SEMINARSKI RAD

Pojam verovatnoće i osnovne osobine

Student:Profesor:

0

Vjerovatnoća u statistici Kvantitativni modeli u finansijama

Ekonomski fakultet u Sarajevu

Linija 4Menadžment

Čekić Mehmed 69371& Jažić Amna 70051Ekonomski fakultet u Sarajevu

4/9/2012

April, 2012.SADRŽAJ

1 O vjerovatnoći........................................................................................................................1

2 O statistici........................................................................................................................1

3 Elementi vjerovatnoće u menadžmentu...........................................................................3

3.1 Matematičko očekivanje, Disperzija, F-ja vjerovatnoće, Zakon raspodjele, F-ja raspodjele:. .3

3.2 USLOVNA VJEROVATNOĆA, NEZAVISNOST, TOTALNA VJEROVATNOĆA, BAJESOVA FORMULA........................................................................................................................................5

3.3 BINOMNE VJEROVATNOĆE, BERNULIJEVA FORMULA, LOKALNA I INTEGRALNA MOAVR-LAPLASOVA TEOREMA.....................................................................................................................7

3.4 Neke raspodjele slučajne promjenjive (apsolutno) neprekidnog tipa: uniformna,eksponencijalna i normalna..........................................................................................10

3.5 Momenti. Kovarijansa i korelacija......................................................................................15

3.6 Čebišeljeva nejednakost. Granične teoreme:(slabi) zakoni velikih brojeva I centralne granične teoreme...........................................................................................................................19

4 ZAKLJUČAK.....................................................................................................................20

5 LITERATURA.........................................................................................................................21

1 O vjerovatnoći

Još od XVII stoljeća, kad su postavljene njene osnove, pa do današnjih dana, teorija vjerovatnoće je predmet interesovanja naučnih radnika različitih profila. Razlog njene aktuelnosti i u savremenom društvu je u tome što je ona od značajne pomoći u prilazu i u potpunijem sagledavanju različitih problema u nauci. Iako je važnost vjerovatnoće sve manje sporna, neprekidno se vode diskusije oko njenih teorijskih osnova. U tim diskusijama angažovani su: filozofi, matematičari, statističari i drugi. Teorija vjerovatnoće je posebno značajna u statističkoj inferenciji, koja počiva na njenim osnovama.

Moze se reći da su dva glavna razloga doprinijela pojavi interesovanja za vjerovatnoću i razvitku njenih matematičkih osnova.

PRVI je proizašao iz matematičkih problema u igrama na sreću. Švicarki matematičar Bernuli u XVIII stoljeću je postavio teorijske osnove vjerovatnoće, kao jedne matematičke discipline. Nešto kasnije taj razvoj je išao dalje u radovima Laplasa, sa njegovim strogo determinističkim pogledom na svijet. Po njemu, vjerovatnoća je sastavni dio nauke o prirodi, kao teorija grešaka, u čijoj osnovi je sistemsko proučavanje sredine i njenog varijabiliteta u ponovljenim mjerenjima. U razvitku teorije vrijedan je Gausov doprinos, sa radovima u oblasti normalnog zakona grešaka.

DRUGI razlog interesovanja za vjerovatnoću proizašao je iz osiguranja protiv rizika, koje se praktikovalo u trgovini u italijanskim gradovima u periodu renesanse.

Bez obzira na diskusije o računu vjerovatnoće i njegovoj interpretaciji, njegova formalna osnova nije diskutabilna. Ipak, kad se primjenjuje račun vjerovatnoće u statističkim istraživanjima, interpretacija modela ne smije da se posmatra kao nešto odvojeno. Subjektivni prilaz računu vjerovatnoće i, na njegovoj osnovi, Bayesova statistika, kako se često naziva, je savremeni trend.

2 O statistici

Kad se govori o statistici, obično, imaju se u vidu numerički podaci iz raznih oblasti ljudskih aktivnosti. Oni se odnose na ponovljene pojave, čije se karakteristike utvrđuju po nekom kriteriju.Podaci se najčešće izražavaju putem tabela i grafikona, na primjer: statistika stanovništva, statistika industrijske proizvodnje itd. Pod statistikom se podrazumjeva i posao oko prikupljanja, sređivanja i objavljivanja statističkih podataka. Ona, također, obuhvata i skup metoda koji doprinose da se dođe do vjerodostojnih zaključaka i odluka, a kako se ti metodi u velikom broju slučajeva oslanjaju na statističku teoriju, to je statistika istovremeno metod i naučna disciplina.

Statistika je relativno nova disciplina ako se uporedi, na primjer, sa astronomijom ili geometrijom, koje su se proučavale jos davno u prethrišćanskoj eri. Istina, još kod Grka, Rimljana, Persijanaca i drugih naroda toga doba vršena su prebrojavanja stanovništva i popisi, prvenstveno u vojne i finansijske svrhe. Savremena statistika, može se reći, počinje od XVII stoljeća. U to doba Englez J. Graunt objavio je rad u kome je, na osnovu podataka o smrtnosti u Londonu, nastojao da pruži odgovor o broju njegovih stanovnika. Smatra se da je to prvi značajniji rad u kome se analiziraju društveni podaci. Nekoliko godina ranije holandski fizičar i matematičar J. Hugugens objavio je rad o igrama na sreću, što je bio značajan događjaj u razvitku teorije vjerovatnoće. A.W. Petty je 1665. god. objavio rad koji se smatra prvim iz domena nacionalnog dohotka.

Sa intezivnijim razvitkom pojedinih država raste potreba za statističkim podacima iz različitih oblasti državnog i društvenog života. Prvi moderan popis stanovništva izveden je 1790. god. u SAD. Danas, po pravilu, sve države organizuju popise stanovništva najmanje svakih deset godina. Matematička statistika na osnovu računa vjerovatnoće počinje da se razvija od XVII stoljeća. Mnogi veliki matematičari toga i kasnijih stoljeća radili su na teoriji verovatnoće, kao: B. Pascal, P. Ferma, J .Bernuoll, A de Moivre, P.S. Laplace i C.F. Gaus. Neki su bili orijentisani na igre na sreću, a drugi na teoriju grešaka vezanu za astronomska posmatranja.

U XIX stoljeću društvena statistika je postala sastavni dio aktivnosti razvijenih država i potreba za statističkim podacima sve više je rasla. Prošlo stoljeće karakteriše i razvitak statističke teorije i nastojanje da se ona primjeni. U tome posebno mjesto zauzima belgijski astronom i matematičar A. Quetelet. Njegov rad bio je, u velikoj mjeri, usmjeren ka utvrđivanju društvenog determinizma, na bazi masovnih podataka o biološkim, moralnim i duhovnim karakteristikama stanovništva. Tip "prosječnog čovjeka", koga je nastojao da utvrdi na egzaktan način, praksa nije potvrdila. Nezavisno od toga, ovaj naučnik dao je veliki doprinos razvitku statistiškog metoda na osnovama računa vjerovatnoće.

Krajem XIX i početkom XX stoljeća zapaženi su radovi F.Galtona i K. Pearsona. Oni su primjenom matematičkih metoda u statistici dali veliki doprinos nauci o nasležu i razvitku biologije. I drugi brojni statističari izmedju dva svjetska rata su radili na razvitku teorijskih osnova savremene statistike. Za vrijeme II sv. rata, posebno u SAD, razvila se teorija i primjena statističkih metoda sa neizbrisivim pečatom na njen dalji razvoj. Tu spadaju: kontrola kvaliteta, anketna ispitivanja, eksperimenti itd.

Statistika kao disciplina dobija sve značajnije mjesto na univerzitetima i istraživanja su usmjerena kako na teoriju tako i na primjenu. Matematičari - statističari su orijentisani na teoriju, dok se statističari drugih profila bave prvenstveno primjenom. Razvitak statistike se ogleda u rastućem broju zvaničnih statističkih institucija, kao i u brzom porastu broja profesionalnih statističara u drugim organizacijama. To prati i sve veći broj statističkih časopisa, naročito u razvijenim zemljama. Primjena statističkih metoda bila je sve vise tehnički ograničena, jer računske mašine nisu bile dovoljne da se dođe do rezultata u primjeni složenijih metoda multivarijacione analize, analize vremenskih serija itd.

Veliki zaokret nastupio je u pedesetim godinama, uvođenjem elektronskih računara u obradu i analizu statističkih podataka. Time su se otvorile velike mogućnosti daljeg razvitka statistike u svim oblastima, a posebno njene primjene. Danas su računari u brojnim zemljama postali sastavni dio nastave statistike. Razvoj softvera i hardvera, stvaranje banaka podataka, sve bolji programi, kao i nastojanje da se taj sistem poveže u jednu cjelinu, doprinosi kako racionalizaciji metoda analize tako i proširenju okvira primjene. Danas je jedno od osnovnih obilježja države, pored predsjednika i novca, i statistika.

Metodi statistike i statističke analize postali su osnovni metodi u svim oblastima nauke i tehnike. Može se slobodno reći da su raznorodni statistički modeli zaključivanja i analize podataka sastavni dio svakodnevnog života savremenog društva. Zato je upoznavanje sa ovim metodima imperativ u obrazovnom sistemu. Ono je potrebno kako za matematički obrazovane ljude, takođe i za one sa manjim matematičkim znanjem, kako bi mogli da shvate smisao i moć statističkih metoda - radi ispravnih zaključaka u rješavanju problema iz oblasti njihove djelatnosti.

3 Elementi vjerovatnoće u menadžmentu

3.1 Matematičko očekivanje, Disperzija, F-ja vjerovatnoće, Zakon raspodjele, F-ja raspodjele:

Definicija:Neka je X diskretna slučajna promjenjiva sa konačno mnogo vrijednosti i zakonom raspodjele

matematičko očekivanje slučajne promjenjive X je E(x) = x1 p1 + . . . . .xn pn

Neka je X elementarna slučajna promjenljiva sa znakom raspodjele

Ako je red apsolutno kovergentan, kazemo da slučajna promjenjiva X matematičko

očekivanje i da je njeno matematičko očekivanje E(x) = . Neka je X apsolutno

neprekidna slučajna promjenljiva sa gustinom raspodjele g(x). Ako integral ⌡xg(x)dx apsolutno kovergira, tada kažemo da slučajna promjenljiva X ima matematičko očekivanje koje je jednako

Matematičko očekivanje predstavlja prosječni očekivani dobitak igrača u jednoj partiji. Disperzija predstavlja prosječno kvadratno odstupanje od prosječne vrijednosti . Neka je data slučajna promjenljiva X. Ako postoji E(x - E(x))² tada slučajna promjenljiva X ima disperziju D(x) = E(x - E(x))² . Disperzija je dakle centralni moment drugog reda. Naziva se varijansa. Pozitivna vrijednost √ D(x) standardna devijacija slučajna promjenljiva. X = X- E(x) / √ D(x) je standarizovani oblik slučajne promjenljive X za nju E(x*)= 0 ; D(x*) = 11° I ako je P[x = a] = 1 ; gdje je a neka kostanta , tada je D(x) = 02° Ako je k kostanta , tada je D(kX) = k² D(x)3° Ako su X i Y nezavisne slučajne promjenljive koje imaju disperzije, tada je D(X+Y)=D(X)+D(Y)

Neke raspodjele slučajne promjenljive (Binomna –Bernulijeva, Hipergeometrijala, Puasononova, Geometrijska)

BINOMNA: neka se pod istim uslovima i nezavisno jedan od drugoga izvodi [n] eksperimenata i neka je vjerovatnoća realizacije događaja A pri opisnim uslovima, tada kažemo da X ima binomnu raspodjelu sa parametrima n i p i pišemo X: B(n,p) često srećemo i naziv Burnelijeva raspodjela i oznaku Sn za slučaj : promjenljivu sa B(n, p) raspodjelom.

0 1 ………. n X: Pn;0. . .Pn;1 . . . . Pn;n , j є b{0 , 1 …… n}

HIPERGEOMETRIJA: Ako se uzima n puta po jedan artikal, ali bez vraćanja, vjerovatnoća da će se dobiti ukupno k artikala I vrsta je :

k = 0,1,2 . . . . min {m,n} ,navedene su vrijednosti k za koje binomni koeficijenti imaju smisla. Vjerovatnoće Pn, k su hipergeometrijske vjerovatnoće i zapaža se da je Pn, k*≠ Pn, k .

PUASONOVA : Ako je λ >0 i raspodjela slučajne promjenljive X data sa :

0 1. . . . . n . . . .

X p0 p1 . . . . . pn . . . .

tada kažemo da X ima Puasonovu raspodjelu sa parametrima λ, i parametrima X :P(λ) ova slučajna promjenljiva ima beskonačno mnogo vrijednosti . U slučaju kada je u binomnom zakonu raspodjele B(n,p) broj n veliki, izračunavanje binomnih vjerovatnoća Pn, k može biti komplikovano. Ako je n veliko ( smatra se da je dovoljno da bude n≥30) I np < 10, tada se može dokazati da je razlika između vjerovatnoća iz Binomnog zakona raspodjele i Puasonove raspodjele P(n,p) vrlo mala tj , Ako vjerovatnoca Pn realizacije događaja A u n-tom opitu zavisi od n ,tj ako je u pitanju binomna raspodjela Sn: B(n,p) tada u slučaju kada nPn λ, n∞ ,

važi Puasonova aproksimacija : P[Sn] , n∞ j є {0,1,2, . . . .} ova

aproksimacija se obično koristi pri : λ <10 . odatle slijedi takođe , da za velike vrijednosti za n

pri cemu je np= λ<10 vazi i: Pn[m1≤ Sn ≤m2] = ΣP [Sn=j]= Σ gdje su

m1,m2 є{ 0,1,2 ,3 . .} I m1≤m2. matematičko očekivanje i diperzija slučajne promjenljive koja ima Puasonovu raspodjelu sa parametrima λ su : E(x)= Momenti 3 i 4 reda su : E(x³) = λ +3λ²+ λ³ ; E(x^4)= λ+7 λ²+6λ³ +λ^4A 3 i 4 centralni momenti su : μ3 = λ , μ4= λ+3λ²

Primjer: Sekretarica generalnog direktora prima, u prosjeku, 3 telefonska poziva svakih 10 minuta. Kolika je vjerovatnoća da će u roku od 10 minuta primiti tačno jedan poziv? A kolika da neće biti poziva u istom periodu?

Za l =3 izračunavamo vjerovatnoću da će Puasonova promjenljiva X uzeti vrijednost 1:

Vjerovatnoća da neće biti poziva u periodu od 10 minuta je jednaka:

GEOMETRIJSKA: Ako prostor elementarnih ishoda ima beskonačno mnogo elementarnih ishoda moguće je da svi elementarni ishodi imaju vjerovatnoću jednaku nuli. Tačka m je slučajno bačena (izabrana) u oblasti S prostora R^k, k=1,2,3 ako je vjerovatnoća izbora tačke iz podoblasti S1 oblasti S proporcijalna mjeri te podoblasti i nezavisi od položaja i forme te podoblasti: P(mє S1)= mjeraS1/mjeraS u 1D mjera je duzina , u 2D mjera je površina , a u 3D mjera je zapremina .

3.2 USLOVNA VJEROVATNOĆA, NEZAVISNOST, TOTALNA VJEROVATNOĆA, BAJESOVA FORMULA

Definicija. (Uslovna vjerovatnoca) : Neka su A i B slučajni događaji iz istog prostora vjerovatnoća ( Ω , F , P ) i neka je P(B)>0 . Tada je uslovana vjerovatnoća događaja A ako se desio događaj B, jednaka : P(A/B)=P(A ∩ B)/P(B)Uslovne vjerovatnoće slučajnih događaja iz jednog prostora vjerovatnoće, u odnosu na jedan događaj iz tog prostora imaju sve osobine vjerovatnoće :

P(A/B) ≥ 0 P(Ω/B) = 1 P( A / B) = 1 - P(A/B)

Definicija. (Nezavisnost) : Neka su događaji A i B iz istog prostora vjerovatnoće. Ako važi P(A ∩ B) = P(A)*P(B) , tada su događaji A i B nezavisni.Na osnovu definicije uslovne vjerovatnoće može se i zaključiti da za nezavisne događaje A i B važi : P(A/B) = P(A) i P(B/A) = P(B) . Ako su događaji zavisni onda je vjerovatnoća P(A/B) različita od P(A).

Ako posmatramo više od dva događaja njihova nezavisnost u ukupnosti , označava da je vjerovatnoća presjeka bilo koja dva od tih događaja jednaka proizvodu vjerovatnoća ta dva događaja,vjerovatnoća presjeka bilo koja tri jednaka je proizvodu vjerovatnoća ta tri događaja itd.

Definicija. (nezavisnost u ukupnosti) : Događaji A1,A2,...,An iz istog prostora vjerovatnoće su nezavisni u ukupnosti ako za svako 2 ≤ k ≤ n i 1 ≤ i1 < i2 <...< ik ≤ n :

P(Ai1∩Ai2∩....∩Aik) = P(Ai1)P(Ai2)......P(Aik)

Multiplikativna teorema : Ako su A,B elementi F događaji iz prostora vjerovatnoće ( Ω , F , P ) i P(A) > 0 i P(B) > 0 onda je :

P(A∩B) = P(A) * P(B/A) = P(B) * P(A/B)

Jednostavnom primjenom indukcije dobija se multiplikativna teorema u opštem slučaju : Ako su A1,A2,...,An događaji iz istog prostora vjerovatnoće ( Ω , F , P ) i P(A1,....An-1) > 0 onda je:

P(A1∩A2∩.....∩An) = P(A1) * P(A2/A1) * P(A3/A1∩A2) * P(An/A1∩A2∩....∩An-1)

Totalna vjerovatnoća : Neka je ( Ω , F , P ) prostor vjerovatnoće i neka događaji zadovoljavaju slijedeće uslove :

1 ) P(Hi) > 0 2 ) ti dogadjaji su međusobno disjunktni Hi ∩Hj ≠ 03 ) njihova unija je siguran događaj H1∩H2∩.....∩Hn = ΩDogađaje H1,H2,.... ,Hn nazivamo hipotezama a skup {H1,H2,...,Hn} potpun sistem događaja

Formula totalne vjerovatnoće ako su poznati P(A/Hi) i P(Hi) :

P(A) = P(A/H1) * P(H1) + P(A/H2) * P(H2) + .....+ P(A/Hn) * P(Hn)

Primjer: Mašina M1 proizvodi 0.1 defektnih proizvoda, a mašina M2 0.3. U magacinu je 80% proizvoda izrađenih mašinom M1, a 20% mašinom M2. Kolika je vjerovatnoća da je slučajno izabrani proizvod iz magacina defektan? 

Označimo događaje:

A1: proizvod je izrađen mašinom M1

A2: proizvod je izrađen mašinom M2

D: proizvod je defektan

Slijedi da je:

P(A1)=0.8 P(A2)=0.2

P(D/A1)=0.1 P(D/A2)=0.3

A1 i A2 su međusobno isključivi događaji od kojih jedan mora da se realizuje, pa se primjenjuje formula za totalnu vjerovatnoću događaja D.

Bajesova formula daje odgovor na pitanje na koji način ako su nam poznate vjerovatnoće hipoteza P(Hi) > 0 i uslovne vjerovatnoće P(A/Hi) nekog događaja A možemo izračunati aposteriorne vjerovatnoće .

P(A/Hk) * P(Hk)P(Hk/A) =------------------------------------------------------------------------------------

P(A/H1) * P(H1) + P(A/H2) * P(H2) + .....+ P(A/Hk) * P(Hk)

Primjer: Predpostavimo da smo na slučajan način uzeli jedan proizvod iz magacina i da je on defektan. Postavlja se pitanje kolika je vjerovatnoća da je proizvod izrađen na mašini A1. Ta vjerovatnoća u oznakama iz gornjeg primera, je:

Vjerovatnoća da je proizvod izrađen na mašini A2 ako je poznato da je defektan, mogla bi se tražiti preko Bajesove formule:

mada je u ovom primjeru mnogo brže kao suprotna vjerovatnoća 

.

3.3 BINOMNE VJEROVATNOĆE, BERNULIJEVA FORMULA, LOKALNA I INTEGRALNA MOAVR-LAPLASOVA TEOREMA

Binomna vjerovatnoca: Posmatramo jedan opis u kome događaj A može da se realizuje sa vjerovatnoćom P(A) = p .Neka se taj opis izvodi n puta pod istim uslovima tj neka je u svakom ponavljanju opisa P(A) = p ,P(A) = 1- p = q i neka su sva izvodjenja opisa međusobno nezavisna .Tada je vjerovatnoća da se u n opisa dogadjaj A realizuje tačno k puta jednaka :

Pn,k = p * q k = 0,1,2,.......,n → binomna šema

Binomna šema se vezuje za ponavljanje eksperimenta pod istim uslovima, a tome odgovara slučajni izbor elemenata sa vraćanjem, a ako analiziramo slučajni izbor bez vraćanja iz populacije koja ima veliki broj elemenata, dobit ćemo vjerovatnoće bliske onima iz binomne šeme. Tako da ako imamo seriju, a artikla među kojima je m prve vrste, a ostalo (a - m) druge vrste. Ako uzimamo ukupno n puta sa vraćanjem po jedan artikal tada je vjerovatnoća da će među njima biti tačno k artikla prve vrste jednaka :

Pn,k = 1 - k = 0,1,2,......,n → sa vraćanjem

Ako se uzima n puta po jedan artikal ali bez vraćanja, vjerovatnoća da ce se dobiti ukupno k artikla prve vrste je :

Pn,k = → bez vraćanja

Primjer: Binomni eksperiment sa jednim opitom (n=1). Ovdje ima dva ishoda: uspješan (realizacija događaja A) sa vjerovatnoćom p i neuspješan sa vjerovatnoćom q=1-p. Slučajna promjenljiva X, koja predstavlja broj realizacija u n=1 opita, uzima vrijednosti 1 i 0, što se vidi iz slijedeće tabele.

S Ishod p(si) X

s1 A1 p 1

s2 A1c q 0

Sada možemo slučajnu promjenljivu X da predstavimo na standardan način, a da, zatim, izračunamo očekivanu vrijednost i varijansu.

     0    1X:    q    p

q+p=1-p+p=1

Slučajna promjenljiva X može uzeti vrijednosti 0 i 1 sa vjerovatnoćama:

pa je:

     0    1X:     q    p

Lokalna Moavr-Laplasova teorema – koristi se za približno određivanje vjerovatnoće pojavljivanja datog događaja m puta u slučaju kada su vrijednosti n i k velike, za p=q=0.5, odnosno za n100 i npq20:

gde je

Funkcija (x) je Gausova funkcija, čije su vrijednosti date u tabeli. Ova funkcija je parna: (x)= (-x).

Integralna Moavr-Laplasova teorema:

gde je vrijednost funkcije (x) data u tabeli. Ova funkcija je neparna: (-x)=-(x).

Poslijedica ove teoreme je Bernulijev zakon velikih brojeva. Neka je proizvoljan pozitivan

broj. Interesuje nas granična vrijednost vjerovatoće događaja M= kada , gdje je

m/n relativna frekvencija događaja A vjerovatnoće p(A)=p:

Poasanova aproksimacija Bernulijeve šeme koristi se za rijetke događaje, kada je malo p, tj. np20:

0

SLUČAJNA PROMJENLJIVARASPODELA SLUČAJNE PROMJENLJIVEFUNKCIJA RASPODELE

Def. Neka je X funkcija definisana na prostoru vjerovatnoće ( Ω , F , P ) koja preslikava prostor elementarnih ishoda Ω u skup R realnih brojeva tako da važi :

1 ) Skup { ω l X ( ω ) < x } je događaj koji pripada F za svako x ε R ( mjerljivost )

2 ) P { ω l X ( ω ) = - ∞ } = ) P { ω l X ( ω ) = ∞ } = 0 ( finitnost )

Tada je X slučajna promjenljiva

Neka je { x1,x2,.........,xn } skup vrijednosti slučajne promjenljive X i neka je :

P[ X = xk ] = pk k = 1,2,3,.......,n

Tada imamo zakon raspodjele slučajne promjenljive X u obliku : x1 x2 ........ xn X : p1 p2 ......... pn

i kažemo da je X diskretna slučajna promjenljiva ( sa konačno mnogo vrijednosti )

Ako je skup vrijednosti slučajne promjenljive X prebrojiv njen zakon raspodjele je : x1 x2 ........ xn .......X : p1 p2 ......... pn .......

tada se kaže da je X elementarna slučajna promjenljiva.

Def. Neka je X slučajna promjenljiva. Realna funkcija F definisana jednakošću F (x) = P { ω l X ( ω ) < x } = P [ X < x ] , x ε R

je funkcija raspodjele slučajne promjenljive X

Ako je F funkcija raspodjele neke slučajne promjenljive, tada je:

a ) F neopadajuća funkcija

b) F (- ∞ ) = 0 , F ( ∞ ) = 1

c )F neprekidna sa lijeve strane za svako x ε R

3.4 Neke raspodjele slučajne promjenjive (apsolutno) neprekidnog tipa: uniformna,eksponencijalna i normalna.

UNIFORMNA: Ako je gustina raspodjele slučajne promjenjive X

g(x)=

Tada kazemo da je X slučajna promjenjiva sa uniformnom raspodjelom na intervalu (a,b) a

koristi se i termin ravnomjerna raspodjela. Uobičajena oznaka je X: . Matematičko

očekivanje i disperzija ,

Uniformnu raspodjelu imaju greške grubih mjerenja pomoću aparata sa krupnom podjelom, kada se izmjerena vrijednost zaokružuje na najbliži cijeli broj. Ako se tacka M slučajno bira na realnoj pravoj kada je izdjeljena na segmente dužine d, tada dužina svakog od odsječaka, na kojoj tacka M dijeli interval u kome se nalazi, ima uniformnu raspodjelu

Primjer: Slučajna promjenljiva X ima uniformnu raspodjelu na intervalu [2; 4]. Odrediti funkciju raspodjele slučajne promjenljive X, a zatim izračunati vjerovatnoće događaja:

a) fX _ 3g, b) f1 < X _ 2; 5g, v) f2; 5 < X _ 3; 5g.

Rješenje: Slučajna promjenljiva X ima uniformnu raspodjelu na intervalu [2; 4], što znači da je a = 2 i b = 4, tako da je funkcija raspodjele

a)

b)

c)

EKSPONENCIJALNA: Ako je gustina raspodjele X oblika

tada kažemo da slučajna promjenjiva X ima eksponencijalnu raspodjelu sa parametrom

sto označavamo X: . Ako tada je , , a treći i četvrti

momenti su , slučajna promjenljiva X: ima osobinu koja se naziva

odsustvo memorije. Naime da svaka 2 pozitivna broja t i s vazi .Ova raspodjela je jedina neprekidna raspodjela sa osobinama odsustva memorije.

NORMALNA: Ako je gustina raspodjele slučajne promjenljive X:

tada kažemo da X ima normalnu raspodjelu sa

parametrima m i i to označavamo sa X: . Matematičko očekivanje i disperzija su

redom jednaki m i .

Gustina raspodele g(x) slučajne promjenljive koja ima normalnu raspodjelu uočavamo- lokalni max u tački x=m - simetrija grafika oko prave x=m

- 2 prevojne tačke - Horizontalna asimptota y=0

- Max vrijednost

Funkcija raspodjele F(x) slučajne promjenljive koja ima normalnu raspodjelu ima

prevojnu tačku x=m i njena vrijednost u toj tački je jednaka , dok su y=0 i y=1 horizontalne

asimptote pri ,odnosno

Specijalan slučaj predstavlja normalna raspodjela sa parametrima m=0 i . Za takvu slučajnu promjenljivu kažemo da ima normalnu raspodjelu N(0,1). Značaj ove raspodjele proizilazi iz slijedećeg tvrđenja: Ako slučajna promjenljiva X ima raspodjelu, tada

slučajna promjenljiva ima N(0,1) raspodjelu.

Primjer: Jedna mašina proizvodi 5% defektnih proizvoda. Nađi vjerovatnoću da će u 200 proizvoda bit a) od 5 do 15,   b) od 11 do 21,    c) najviše 15.

Riješenje:

a) slučajna promjenljiva X koja predstavlja broj defektnih u 200 proizvoda ima binomni raspored sa n=200 i p=0.05.

0     1     2   ...   200X:     p0    p1    p2  ...  p200

P(od 5 do 15 defektnih) = P(5X15) = p5+p6 + ... + p15, gde je:

Očigledno bi ovakav način računanja P(A) bio dugačak i komplikovan. Zato se primjenjuje aproksimacija binomnog rasporeda normalnim rasporedom (4.10). Pošto se sa diskretnog prelazi na neprekidni raspored, interval 5£ X£ 15 se proširuje na 4.5£ X£ 15.5 da bi i sa aproksimacijama, približne vjerovatnoće bile dobro definisane tj. ispunjavale zahtjev treće aksiome.

Kako je

np=200 × 0.05=10,

npq=200 × 0.05 × 0.95=9.5,

to je:

 

ima približno normalan raspored.

Slijedi da je

P(A) = P(-1.78 Z 1.78)

= (1.78) - (-1.78)

= (1.78) - (1- (1.78))

= 2 (1.78) -1

= 2 × 0.9625 - 1 = 0.925

Vjerovatnoća je preko 92% da je broj defektnih u 200 proizvoda najmanje 5 a najviše 15.

b) 

.

c)

Vjerovatnoća da u 200 proizvoda nema više od 15 defektnih iznosi 96%.

3.5 Momenti. Kovarijansa i korelacija

Neka je i X data slučajna promjenljiva. Ako postoje , odnosno:

, nazivaju se redom k-tim momentom,odnosno k-tim centralnim momentom

slučajne promjenljive X. Označavamo ih sa , odnosno . Očigledno , . Ako postoji moment reda r, tada postoje i svi momenti reda k za k<r . Momenti raspodjele su važna karakteristika, jer postoji mogućnost (ako su ispunjeni određeni uslovi) da poznavanje momenta jednoznačno određuje raspodjelu.

KOVARIJANSA: Matematičko očekivanje slučajne promjenjive (x - Ex)(y – Ey) je kovarijansa slučajnih promjenljivih X i Y Ako je kovarijansa jednaka nuli, koordinate su nekorelisane. Ako su slučajne promjenljive X i Y nezavisne, onda je kovarijansa 0. obrnuto ne važi, naime ako je slučajne promjenljive X i Y mogu biti zavisne.

KOEFICIJENT KORELACIJE: slučajnih promjenljivih X i Y je

Ako i označavaju standardizovane oblike slučajnih promjenljivih X i Y, onda je

koeficijent korelacije može se pokazati da je .

Koeficijent korelacije je način mjerenja stepena zavisnosti promjenljivih X i Y.

Primjer: U n dana se mjeri obim padavina u dva mjesta A i B. Neka je X dnevna količina padavina u mjestu A, a Y količina padavina u mjestu B. Ako su A i B veoma blizu jedan drugom, tada su X i Y potpuno zavisne promjenljive, tj. svakoj vrijednosti X odgovarat će tačno jedna vrijednost Y, i obrnuto.Ako su A i B na suprotnim stranama Zemlje, mozemo očekivati da ce X i Y biti stohastički nezavisne promjenljive. Međutim, kada sa A i B udaljeni međusobno nekoliko stotina kilometara, neće se desiti nijedan od prethodnih ekstremnih slucajeva. Tada ćemo posmatrati izvjesnu korelacionu vezu između X i Y.Sada se postavlja problem utvrđivanja jednog parametra, koji zavisi od zakona vjerovatnoca i koji predstavlja mjeru korelacione zavisnosti promjenljivih X i Y. U statističkim ispitivanjima koristi se veoma veliki broj parametara kao mjera korelacionih veza. Ipak, najčesce se koristi tzv. koeficijent korelacije, koji služi kao mjera linearne zavisnosti promjenljivih X i Y. Koeficijent korelacije je definisan preko varijansi i kovarijansi slučajnih promjenljivih X i Y.

Vidjeli smo da kovarijansa sadrzi u sebi varijabilitet promjenljive X, varijabilitet promjenljive Y i uzajamne promjene X i Y. Da bi dobili čist pokazatelj zajedničkih odstupanja promjenljivih X i Y, potrebno je da u kovarijansi eliminišemo onaj dio koji je posljedica pojedinačnih odstupanja promjenljive X i promjenljive Y.

Pojedinačna odstupanja promjenljivih X i Y mjerimo standardnim devijacijama . Zato

ćemo kovarijansu podijeliti sa . Tako cemo dobiti izraz za koeficijent korelacije

(2.36)Ovako definisani koeficijent korelacije zadovoljava potpuno slijedeće uslove: Uslov 1. Pretpostavimo da su X i Y nezavisne promjenljive. Tada je njihova kovarijansa jednaka nuli, pa imamo tvrđenje: Ako su X i Y nezavisne slučajne promjenljive, njihov koeficijent korelacije jednak je nuli. Postavlja se, sad, obrnuto pitanje: ako je koeficijent korelacije , jednak nuli, da li su X i Y nezavisne slučajne promjenljive? Nažalost, odgovor je negativan. Naime, može se desiti da je koeficijent korelacije jednak nuli, ali između promjenljivih X i Y postoji čak i funkcionalna veza. Na primjer, neka je zakon vjerovatnoće slučajne promjenljive (X,Y) dat funkcijom

Tada je kovarijansa data izrazom

  

pri cemu je D oblast unutar kruga U prvom i trećem kvadrantu XOY ravni, podintegralna funkcija je pozitivna, a u drugom i

četvrtom je negativna. Zato je

tako da je koeficijent korelacije . Međutim, ako je X=0, onda se Y mjenja uniformno u intervalu (-R;R), a ako je X=R, Y

može uzeti samo vrijednost 0, što znači da između X i Y postoji funkcionalna zavisnost. Prema tome, koeficijent korelacije ne zadovoljava u potpunosti Uslov 1. Zato se njegova upotreba ograničava na one probleme kod kojih se posmatra ili očekuje aproksimativna ili linearna veza.  Uslov 2. Koeficijent korelacije ima vrijednost +1 ili -1, ako i samo ako su X i Y međusobno linearno zavisne slučajne promjenljive. Dokaz. Prvo ćemo pretpostaviti da su X i Y linearno zavisni. Neka je ta zavisnost izražena funkcijom

Na osnovu osobine očekivane vrijednosti, imat ćemo vezu

Kovarijansa je jednaka

Zamjenjujući formule u gornji izraz dobit ćemo

odnosno,

(2.39)Sa druge strane iz dobijamo

tako da je kovarijansa jednaka

odnosno,

(2.40)Množeci (2.39) i (2.40), dobit će se

odnosno,

(2.41)

Ako je a > 0, onda je pozitivno, pa je koeficijent korelacije

a ako je a < 0, onda je negativno, pa je

a to je trebalo dokazati. Sada ćemo pretpostaviti da koeficijent korelacije ima vrijednost

U tom slučaju je

odnosno,

Označimo gornji količnik sa . Dobit ćemo dvije jednačine

a to se može izraziti preko očekivanih vrijednosti

Koristeći osobinu očekivane vrijednosti, gornje jednačine se mogu napisati u obliku

Ako prvu jednačinu pomnožimo sa i saberemo sa drugom, dobit ćemo

odnosno,

Gornji izraz predstavlja očekivanu vrijednost kvadrata jedne slučajne promjenljive. Ta očekivana vrijednost biće jednaka nuli jedino ako je

odnosno,

a to znači da između Y i X postoji linerna veza. To je i trebalo dokazati. Uslov 3. Koeficijent korelacija ima vrijednost između -1 i +1. Dokaz. Posmatrat ćemo izraz

definisan za svako realno t. Očekivana vrijednost ovog izraza je nenegativna, tj.

Odavde se, poslije kvadriranja, dobija da je

sšo predstavlja kvadratni trinom sa negativnom diskriminantom,

,odnosno,

odakle se dobija da je

a to je i trebalo dokazati.U praksi se najčešće koristi tzv. Normalna raspodjela. Kad (X,Y) ima Normalnu raspodjelu, tada su X i Y nezavisne ako i samo ako je njihov koeficijent korelacije =0. Prema tome, kod Normalne raspodjele koeficijent korelacije potpuno zadovoljava uslove 1-3. To je, takođe, jedan od razloga najčešćeg korištenja koeficijenta korelacije kao mjere zavisnosti između promenljivih X i Y.

3.6 Čebišeljeva nejednakost. Granične teoreme:(slabi) zakoni velikih brojeva I centralne granične teoreme.

Ako je za slučajnu promjenljivu X matematičko očekivanje E(X²) konačno,tada važi nejednakost

Čebiševa: O[X ] za svako

Def: Neka je X1,X2,… niz nezavisnih slučajnih promjenljivih definisanih nad istim prostorom

vjerovatnoća.Ako za svaki pozitivan broj važi tada

kažemo da za prostorni niz važi slabi zakon velikih brojeva.Teorema : Neka je niz X1,X2,… nezavisnih slučajnih promjenljivih sa istom

raspodjelom,konačnim matematičkim očekivanjem jednakim a i konačnom disperzijom.Tada za posmatrani niz slučajnih promjenljivih važi slabi zakon velikih brojeva, tj.

Teorema : Neka je X1,X2,… niz nezavisnih slučajnih promjenljivih sa konačnim matematičkim očekivanjima i neka postoji konstanta c tako da važi: DXn c ,n=1,2,.. Tada za posmatrani niz slučajnih promjenljivih važi slabi zakon velikih brojeva.

Teorama : Neka je X1,X2… niz nezavisnih slučajnih promjenljivih sa konačnim

matematičkim očekivanjima i neka važi .Tada za posmatrani niz slučajnih

promjenljivih važi slabi zakon velikih brojeva.

Teorema : Neka su X1,X2,…zavisne slučajne promjenljive sa konačnim matematičkim očekivanjima i neka postoji konstanta c tako da važi: D(Xn) c , n-1,2,.. , neka postoji cov(Xl0 Xn)0 ravnomjerno kad k-n Tada za posmatrani niz slučajnih promjenljivih važi slabi zakon velikih brojeva.

Centralna granična teorema : Neka su date nezavisne slučajne promjenljive X1,X2,… koje imaju istu raspodjelu,sa konačnim matematičkim očekivanjem a i disperziju 2. Tada za posmatrani niz slučajnih promjenljivih važi centralna granična teorema:

4 ZAKLJUČAK

Mnoge pojave koje se dešavaju u prirodi i društvu možemo tačno predvidjeti znajući sve uzorke njihovog nastajanja.Vrlo često njihov nastanak može se opisati matematičkim aparatom.

I u prirodi i društvu postoje, medjutim, događaji koje nismo u stanju da predvidimo niti da objasnimo njihovo dalje odigravanje. Bez obzira na to što je nauka u nekim slučajevima i uspjela da objasni način na koji se te pojave odigravaju, te pojave se ipak dešavaju mimo naših očekivanja.

Iz priloženog rada se vidi da za opisivanje tzv. masovnih pojava i pojava sa slučajnim ishodima služimo se slučajnim događajima. Sad smo u stanju da tačno opišemo slučajne događaje i da uspostavimo izvjesne relacije među njima. Ono što je bitno za posmatranu pojavu su zakonitosti koje treba da utvrdimo. To ćemo moći učiniti jedino onda kad budemo u stanju da na izvjestan način ,,mjerimo" slučajnost kod slučajnih događaja. Na osnovu ,,izmjerenih" slučajnosti moguće je kvantitativno poređenje slučajnih događaja, a to će nam omogućiti i potpunije opisivanje posmatrane pojave.

Slučajnost kod slučajnih događaja se ispituje i ,,mjeri" preko vjerovatnoće koja je u različitim trenutcima svog razvoja bila definisana različito.

5 LITERATURA

1. Bošković O. i Dragutinović Mitrović R., Osnovi statističke analize: Elementi analize vremenskih serija, Ekonomski fakultet, Beograd, 2007.

2. R.Somun- Kapetanović, Pregled predavanja iz Statistike I dio, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2003; Pregled predavanja iz Statistike II dio, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2003.

3. R. Somun-Kapetanović, Statistika u ekonomiji i menadžmentu, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2006.