välkomna till reglerteknik föreläsning 3 · vi börjar med lite räkneregler som lätt härleds...
TRANSCRIPT
Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 3
Sammanfattning av föreläsning 2PID-regleringBlockschemaräkningReglerdesign för svävande kula
Sammanfattning av förra föreläsningenVi modellerar system med differentialekvationer
…och använder för att definiera överföringsfunktionen G(s)
…som vi Laplacetransformerar
G(s) nämnare kallas polpolynom, polpolynomets rötter kallas för systemets poler (samma som rötter till kar. ekv), och täljarens rötter kallas nollställen
2
Sammanfattning av förra föreläsningen
Någon pol i högra halvplanet: ger ett instabilt system
Alla poler (strikt) i vänstra halvplanet: ger ett stabilt system
Långt bort från origo: ger ett snabbt system
Stor komplexdel (relativt realdel): ger ett svängigt system
Polen närmast origo dominerar (oftast) dynamiken (långsammast bestämmer)
Koppling mellan poler och stegsvar: Vi studerade polernas position i det komplexa talplanet och fann att:
3
PID-regulatorPID-regulator (Propertionell Integrerande Deriverande)
PID är den absolut vanligaste regulatorstrukturen i praktiken
Laplacetransformerad PID-regulator
Alternativ form
4
PID-regulatorP-regulator: Insignalen är proportionell mot reglerfelet
Fördelar: Vi kan minska statiska reglerfelet samt göra systemet snabbare genom att öka KP. Extremt enkel implementering
Nackdelar: Ett visst statiskt reglerfel återstår oftast, stora styrsignaler krävs när K ökas för att minska reglerfelet.
5
PID-regulator
FarthållarenP-reglerad
6
PID-regulator
FarthållarenP-reglerad
Ökad förstärkning
Helt orealistisk!
7
PID-regulatorPI-regulator: Lägg till term som ökar så länge reglerfel kvarstår
Fördelar: Vi kan få bort statiska reglerfelet (vid konstant referens)
Nackdelar: Kan ofta bli instabilt (litar på för gammal information) samt leda till ett oscillativt system
8
PID-regulator
FarthållarenPI-reglerad
Rätt hastighet uppnås
…men för oscillativt
9
PID-regulator
FarthållarenPI-reglerad
Lite mindre I-del
10
PID-regulator
FarthållarenPI-reglerad
än mindre…
11
PID-regulatorPID-regulator: Lägg till term som tar hänsyn till vad som troligtvis kommer att hända (derivatadelen predikterar)
Fördelar: Kan krävas för stabilitet samt kan reducera oscillationer.
Nackdelar: Deriverar en mätsignal som ofta är brusig (snabbt varierande mätfel som vi inte bör reagera på)
(Farthållaren redan tillräckligt bra, vi behöver ej D-del, systemet är för enkelt och införande av D-del ger inget)
12
BlockschemaräkningVi har evaluerat regulatorerna genom att studera det slutna systemetsbeteende i stegsvarsexperiment
Vi behöver smidiga metoder för att ta fram det slutna systemet, dvs överföringsfunktionen från referens R(s) till utsignal Y(s)
Det är nu vi verkligen får användning av våra Laplacetransformer
Vi börjar med lite räkneregler som lätt härleds ifrån de underliggande differentialekvationerna och transformerna
13
BlockschemaräkningSummationspunkt
Transformer adderas enkelt Y(s)=Z(s)+X(s)
Z(s) Y(s)Σ
X(s)
14
BlockschemaräkningSeriekoppling
Y(s)F(s)G(s)X(s)
Den interna signalen Z kan elimineras och överföringsfunktionen från X till Y ges av produkten av de två delsystemen F(s) och G(s)
Z(s)F(s)X(s) G(s) Y(s)
15
BlockschemaräkningParallellkoppling
G(s)
De interna signalerna Z och X kan elimineras och överföringsfunktionen från V till Y ges av summan av de två delsystemen F(s) och G(s)
Z(s)F(s)V(s) Y(s)Σ
X(s)
Y(s)F(s)+G(s)V(s)
16
Blockschemaräkning
U(s) Y(s)F(s)R(s)
-1
ΣE(s) G(s)
Återkoppling
Ställ upp samband över summoroch system:
Bryt ut sambandet vi söker
17
Blockschemaräkning
Slutna systemets överföringsfunktion(C från closed-loop)
Öppna slutna systemets överföringsfunktion, kallas kretsförstärkning(O från open-loop)
18
BlockschemaräkningExempel: Farthållaren med PI-reglering
Bildynamik
Regulator
Slutna systemet
Observationer: Systemet är stabilt om α+KP>0 och KI>0Polerna kan placeras godtyckligt via KP och KIDetta är anledningen till att en D-del ej behövs här
19
Statiska reglerfeletÅterkopplade systemets poler (som definierar stabilitet och respons) togs enkelt fram via blockschemaräkning.
Ett annat viktigt mått vi använt är hur stort reglerfel det återkopplade systemet får, och även detta fås ur lite blockschemaräkning
Överföringsfunktionen S(s) kallas känslighetsfunktionen
20
Statiska reglerfelet
Det statiska reglerfelet definierar så kallade felkoefficienter som betecknar reglerfel vid olika sorters referenssignaler
då r(t) enhetssteg
då r(t) enhetsramp
Statiska reglerfelet kan beräknas via slutvärdesteoremet (om gränsvärdet verkligen existerar)
21
Statiska reglerfelet
För att e0 skall kunna bli noll måste GO(0) vara oändlig! Detta är bara möjligt om GO innehåller minst 1 integrator (dvs pol i origo s=0)
Vi får
Notera att detta uppfylls om regulatorn F(s) har en I-del
Generellt:
22
Regulatordesign för svävande kulaStudera en kula hängandes i luften m.h.a en elektromagnet
y(t)
F(t)
y(t): Kulans positionF(t): Alstrad magnetkraftu(t): Spänning till elektromagnetm: Kulans massa
u(t)
Newton
Magnet
olinjärt…
23
Regulatordesign för svävande kulaOlinjära system hanterar vi i denna kursen genom linjära approximationer, så kallade linjäriseringar.
Vi går inte in på detaljerna här, utan tänker oss att en linjär modell är framtagen som fungerar bra för små rörelser kring en jämviktspunkt
Vi inför också notationen att y(t) och u(t) betyder avvikelse från jämviktspunkter i avstånd och spänning, och antar att alla konstanter blir 1.
Tänkt linjär approximation
24
Regulatordesign för svävande kulaP-regulator: Instabilt oavsett hur man väljer KP!
PI-regulator: Instabilt oavsett hur man väljer KP och KI! (varför…?)
PID-regulator: Poler går att placera godtyckligt!
PD-regulator: Poler går att placera godtyckligt!
25
SammanfattningSammanfattning av dagens föreläsning
Återkoppling av reglerfel, integrerat reglerfel och reglerfelets förändring kallas PID-reglering
PID-reglering är den absolut vanligaste reglerstrukturen i praktiken
P-delen styr (främst) hastigheten och ger en slags basregulator, I-delen används för att få bort statiskt reglerfel och D-del används för att reducera oscillationer samt kan krävas för stabilitet i avancerade fall
Blockscheman används för att enkelt räkna ut överföringsfunktioner mellan olika signaler i reglersystemet
Statiska fel kan beräknas via känslighetsfunktionen (men man bör alltid gå via slutvärdesteoremet för att förstå!)
26
Sammanfattning
PID: Propertionell-integrerande-deriverande återkoppling
Kretsförstärkning: Överföringsfunktion mellan referens och utsignal när återkoppling tas bort, G(s)F(s)
Känslighetsfunktion: Överföringsfunktion mellan referenssignal och reglerfelet
Felkoefficienter: Statiskt reglerfel när referenssignalen är ett enhetssteg, enhetsramp, enhetsparabel,…
Viktiga begrepp
27