vm.nmu.org.uaПредисловие...
TRANSCRIPT
vm.nm
u.org.
ua
vm.nm
u.org.
ua
Министерство образования и науки Украины Национальный горный университет
Библиотека иностранного студента
А.М. Мильцын В.И. Павлищев
Л.И. Бойко В.П. Орел
МАТЕМАТИКА Часть 7
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ (в примерах и задачах)
Учебное пособие
Днепропетровск НГУ 2008
vm.nm
u.org.
ua
УДК 517.3(075.8) ББК 22.161.1я73 М 34
Затверджено до видання навчально-методичним управлінням НГУ як навчальний посібник для студентів технічних спеціальностей різних форм навчання (протокол № 10 від 09.10.07).
Математика: Навч. посібник: У 14 ч. Ч.7. Невизначений інтеграл (у прикладах і задачах) /А.М. Мільцин, В.І. Павліщев, Л.Й. Бойко, В.П. Орел. – Д.: Національний гірничий університет, 2008. – 69 с. – Рос. мовою. – (Бібліотека іноземного студента).
Посібник відповідає програмі вищої математики за розділом "Невизначений інтеграл"
для усіх спеціальностей. Містить близько 140 типових задач не вище середнього рівня складності, теоретичні
основи, методичні вказівки й рекомендації, а також, власне, розв’язання задач. Орієнтовано на організацію системної самопідготовки.
Розглядаються означення, властивості й таблиця невизначених інтегралів, методи заміни змінної та інтегрування частинами, способи інтегрування раціональних дробів, тригонометричних та ірраціональних функцій.
Для студентів, які навчаються на всіх спеціальностях очно, заочно, дистанційно, за вечірньою формою та екстерном, а також для іноземних студентів.
Пособие соответствует программе курса высшей математики по разделу
"Неопределенный интеграл" для всех специальностей. Содержит около 140 типовых задач не выше среднего уровня сложности,
теоретические основы, методические указания и рекомендации, а также, собственно, решения задач. Ориентировано на организацию системной самоподготовки.
Рассматриваются определение, свойства и таблица неопределенных интегралов, методы замены переменной и интегрирования по частям, приемы интегрирования рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функций.
Для студентов, обучающихся на всех специальностях очно, заочно, дистанционно, по вечерней форме и экстерном, а также для иностранных студентов.
УДК 517.3(075.8) ББК 22.161.1я73
© А.М. Мільцин, В.І. Павліщев, Л.Й. Бойко, В.П. Орел, 2008
© Національний гірничий університет, 2008
М 34
vm.nm
u.org.
ua
3
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ................................................................................................... ..... 5
1. Неопределенный интеграл и его свойства ................................................... 6
1.1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла ................. . 6 1.2. Свойства неопределенного интеграла .............................................. . 7 1.3. Таблица неопределенных интегралов ............................................... 9 1.4. Основные тригонометрические формулы,
используемые при интегрировании .................................................. . 10 2. Основные методы интегрирования ............................................................... 11
2.1. Непосредственное интегрирование .................................................. . 11 2.2. Замена переменной ............................................................................. 19 2.3. Интегрирование путем подведения функции
под знак дифференциала .................................................................... 25 2.4. Интегрирование по частям ................................................................ . 30
2.4.1. Интегралы вида ( ) axP x e dx , ( )sinP x axdx ,
( )cosP x axdx .......................................................................... .. 30
2.4.2. Интегралы вида ( ) lnP x xdx , ( ) sinP x arc xdx ,
( )arccosP x xdx , ( )arcP x tgxdx , ( )arcP x ctgxdx ............. .. 32
2.4.3. Интегралы вида cosaxe bxdx , sinaxe bxdx .......................... 34 3. Интегрирование некоторых функций, содержащих
квадратный трехчлен ...................................................................................... 37 4. Интегрирование рациональных дробей ....................................................... . 42 5. Интегрирование тригонометрических функций ......................................... . 52
5.1. Интегралы вида (sin ,cos )R x x dx ..................................................... 52
5.2. Интегралы вида 2sin ,cos cosR x x xdx ,
2cos ,sin sinR x x xdx ...................................................................... . 53
5.3. Интеграл вида sin cosm nx xdx ........................................................ 54
5.4. Интеграл вида 2 2(sin ,cos , )R x x tgx dx .............................................. 58
vm.nm
u.org.
ua
4
5.5. Интегралы вида sin cosmx nxdx , cos cosmx nxdx ,
sin sinmx nxdx .................................................................................. . 59
6. Интегрирование некоторых иррациональных функций ............................. 61
6.1. Интеграл вида , ,...,m r
n sR x ax b ax b dx
.............................. 61
6.2. Интеграл вида 2,R x ax bx c dx ............................................. . 63
7. Об интегралах, не выражающихся через элементарные функции ........... . 67
8. Вопросы для самоконтроля .......................................................................... . 67 Список литературы ........................................................................................... .. 69
vm.nm
u.org.
ua
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие подготовлено с целью повышения качества и прогнозирования результатов обучения иностранных студентов в областях знаний: разработка полезных ископаемых, информатика и вычислительная техника, машиностроение и материалообработка.
Соответствует проекту НГУ об издании серии "Библиотека иностранного студента", авторами которого являются профессора кафедры высшей математики Новикова Л.В. и Мильцын А.М., а также начальник управления международных связей профессор Рогоза М.В., декан горного факультета профессор Бузило В.И. и директор ИЗДО профессор Рыбалко А.Я. Серия содержит четырнадцать справочно-практических руководств к решению задач по математике.
Объем и содержание 7-й части "Неопределенный интеграл" соответствует общему курсу высшей математики. Включает основные вопросы теории, задачи, методические указания к решению и, собственно, решения задач. Здесь собраны задачи не выше средней сложности. Использованы материалы задачников Бермана Г.Н., Минорского В.П., учебников Фихтенгольца Г.М., Пискунова Н.С. и др.
Работая с учебным пособием, студенты, прослушавшие курс лекций, практически научатся применять теорию к решению задач, выявлять тип неопределенного интеграла, идентифицировать его с известными методами и приемами вычисления.
Может быть использовано для планирования и формирования общих и индивидуальных контрольных и тестовых заданий, диагностирования усвоения учебного материала, а также общего и индивидуального контроля знаний и прогнозирования результатов.
Учебное пособие издано на русском языке, что обусловлено договорными отношениями университета с иностранными студентами о языке обучения.
vm.nm
u.org.
ua
6
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
1.1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла
Дифференцирование и интегрирование – две основные операции матема-тического анализа. Первая устанавливает поведение функции в каждой отдель-но взятой точке промежутка, т. е. характеризует функцию локально, а вторая описывает тот же объект на промежутке в целом, т. е. является глобальной ха-рактеристикой функции.
Определение 1. Первообразной функцией от данной функции ( )f x называется такая функция ( )F x , производная которой равна данной функции или, что тоже самое, дифференциал которой равен выражению ( )f x dx :
( ) ( )F x f x или ( ) ( )dF x f x dx .
Пример 1. Пусть ( ) 2f x x . Для какой функции 2x служит производ-
ной? Очевидно, для 2x , так как 2 2x x или 2( ) 2d x xdx . Итак, 2( )F x x .
Но не только эта функция является первообразной для функции ( ) 2f x x .
Действительно, 2 5 2x x , 2 10 2x x
и вообще 2 2x C x (С – про-
извольная постоянная). Поэтому возникает вопрос об отыскании всех первооб-разных от данной функции.
Теорема 1. Если 1( )F x и 2( )F x – две первообразные для функции ( )f x на
промежутке X , то их разность равна постоянной: 1 2( ) ( )F x F x C const . Теорема 2. Если функция ( )f x непрерывна на промежутке X , то для
этой функции всегда существует первообразная. Определение 2. Если функция ( )F x – какая-нибудь первообразная для
функции ( )f x на X , то все множество первообразных для ( )f x на промежутке X представляется выражением ( )F x C , где С – произвольная постоянная. Это и есть неопределенный интеграл.
Записывают ( ) ( )f x dx F x C .
Здесь ( )f x – подынтегральная функция; ( )f x dx – подынтегральное вы-
ражение; x – переменная интегрирования; знак неопределенного интегра-ла.
Замечание 1. Под знаком неопределенного интеграла стоит не производ-ная искомой функции, а ее дифференциал.
vm.nm
u.org.
ua
7
Замечание 2. Отыскание всех первообразных для функции ( )f x называ-ется интегрированием этой функции.
Замечание 3. График функции ( )F x , первообразной от функции ( )f x , называется интегральной кривой.
Пример 2. Пусть имеем 22xdx x C .
Построим несколько интегральных кривых, например, 1y F x , y F x , 1y F x , где
2F x x (рис. 1). Очевидно, все кривые семейства ( )y F x C могут быть получены из од-
ной интегральной кривой параллельным сдвигом в направлении оси OY .
Следовательно, геометрически множество первообразных – это семей-ство интегральных кривых, отличающих-ся друг от друга смещением по оси OY (рис. 1).
1.2. Свойства неопределенного интеграла
В силу определений (1) и (2) справедливы следующие утверждения. 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции, а дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтеграль-ному выражению:
( ) ( )f x dx f x , ( ) ( )d f x dx f x dx .
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции ра-вен сумме этой функции и произвольной постоянной:
( ) ( )dF x F x C .
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Если 0A const , то
( ) ( )Af x dx A f x dx .
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций ра-вен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:
Рис. 1
y
x 0
–1
( ) 1y F x
( )y F x
( ) 1y F x
vm.nm
u.org.
ua
8
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx .
Следствие из 3 и 4 (свойство линейности):
( ) ( ) ( ) ( )Af x Bg x dx A f x dx B g x dx , где
A и B – постоянные.
5. Пусть на одном и том же промежутке ( ) ( )f x dx F x C и ( )u u x – произвольная непрерывно дифференцируемая (гладкая) функция. Тогда
( ) ( ) ( )f u x du x F u x C .
В частности, при u ax b , где a и b – постоянные, имеем
( ) ( ) ( )f ax b d ax b F ax b C или
( ) ( )a f ax b dx F ax b C .
Следовательно, если ( ) ( )f x dx F x C , то
1( ) ( )f ax b dx F ax b Ca
.
Поясним суть последнего свойства на примерах.
Пример 3. Так как 3
2
3xx dx C , то
3
2 sinsin sin
3x
x d x C ,
32 ln
ln ln3x
x d x C ,
32
3
xx x
ee d e C ,
32 ( )
3arctgx
arctgx d arctgx C .
Пример 4. 3
2 31 (2 3) 1(2 3) (2 3)2 3 6xx dx C x C
.
vm.nm
u.org.
ua
9
1.3. Таблица неопределенных интегралов На основании определений (1), (2) и приведенных выше свойств состав-
ляется таблица неопределенных интегралов. Ее правильность проверяется дифференцированием. Будем пользоваться следующей достаточно краткой таб-лицей, где в качестве переменной интегрирования выступает произвольная гладкая функция ( )u u x .
Таблица основных интегралов
1. du u C . 8. ln sinctgudu u C .
2. 1
, 11
uu du C
. 9. ln
sin 2du utg C
u .
2а. 2du u Cu . 10. ln
cos 2 4du utg C
u
.
2б. 21du Cuu
. 11. 22 sec
cosdu udu tgu C
u .
3. lndu u Cu . 12. 2
2 cosecsin
du udu ctgu Cu .
4. ln
uu aa du C
a . 13. 2 2
1du uarctg Ca au a
.
4а. u ue du e C . 14. 2 21 ln
2du u a C
a u au a
.
5. sin cosudu u C . 15. 2 2
arcsindu u Caa u
.
6. cos sinudu u C . 16. 2 22 2
lndu u u a Cu a
.
7. ln costgudu u C . 17. udv uv vdu .
Проверим, например, правильность формулы 4. Для этого найдем диффе-
ренциалы от обеих частей равенства, используя формулу dy y dx :
( ) ( )ln
uu ad a du d Ca ;
( )u ud a du a du (см. свойство 1),
1 1( ) ( ) ( ) 0 lnln ln ln ln
u uu u ua ad C d dC d a a a du a dua a a a .
При интегрировании часто используют следующие преобразования диф-ференциала, в которых a и b – постоянные величины.
vm.nm
u.org.
ua
10
I. ( )dx d x a .
II. 1 ( ), a 0dx d axa .
III. 1 ( ), a 0dx d ax ba .
IV. ( ) ( )x dx d x – подведение множителя под знак дифференциала.
1.4. Основные тригонометрические формулы, используемые при интегрировании
1. 2 2sin cos 1x x , 2 2sin 1 cosx x , 2 2cos 1 sinx x .
2. 2 1 cossin 2 2x x , 2 1 cos2sin 2
xx .
3. 2 1 coscos 2 2x x , 2 1 cos2cos 2
xx .
4. 22
11cos
tg xx
, 22
1 1cos
tg xx
.
5. 22
11sin
ctg xx
, 22
1 1sin
ctg xx
.
6. sin2 2sin cosx x x , sin 2sin cos2 2x xx .
7. 2 2cos2 cos sinx x x , 2 2cos cos sin2 2x xx .
8. sincos
xtgx x . 9. cossin
xctgx x . 10. 1tgx ctgx .
11. cos cos 2cos cos2 2
.
12. cos cos 2sin sin2 2
.
13. sin sin 2sin cos2 2
.
14. sin sin 2cos sin2 2
.
15. sin( ) sin cos cos sin . 16. cos( ) cos cos sin sin .
17. 2
2 2sin1 2
xtgx xtg
. 18. 2
2
1 2cos1 2
xtgx xtg
.
vm.nm
u.org.
ua
11
2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
2.1. Непосредственное интегрирование
Этот метод основан на использовании известных сведений из элементарной математики (формул алгебры и тригонометрии, приемов преобразования подынтегральной функции в сумму нескольких функций), свойств неопределенного интеграла и формул таблицы интегралов.
При вычислении интегралов справа от знака равенства в скобках будем приводить формулы и давать пояснения, необходимые для их вычислений.
Пример 5.
2 2 2 2 2 2 2 4 25 (3 2) ( ) 2 5 (9 12 4)x x dx a b a ab b x x x dx
: :( ) k m k m
действие над степенямиРаспределительный законa m n p am an ap x x x
1 1 2 2 2 36 4 2
1 1 2 2 3 3
1 2 3
:
( ) ( ) ( )(45 60 20 )
( ) ( ) ( ) ,
где , , постоянные
свойство линейности
с f x c f x c f x dxx x x dx
c f x dx c f x dx c f x dx
c c c
16 4 245 60 20 , 11
kk xx dx x dx x dx x dx C kk
7 5 37 5 345 2045 60 20 127 5 3 7 3
x x x C x x x C .
Пример 6.
3 2
4
:2 1 mn m n
почленное делениеx x dx a am n p m n pxk k k k
211 5 1324 12 4
1 1 14 4 4
12 2m
m nn
x x xdx x x x x dxx
x x x
2свойство линейности и табличный интеграл
5 17 34 12 44 24 4
5 17 3x x x C .
vm.nm
u.org.
ua
12
Пример 7.
2 0
:( ) ;
1; 1,
где любое число.
xx
m n m n
Распределительный законa m n a m a nee dx
x x x x aа
21 xe dx свойство линейностиx
2 x dxe dx табличные интегралыx
1xe Cx .
Пример 8.
3
2
1 sin ;
sinm
m nn
почленное делениеx dx и свойство линейности
xx xx
2 sinsin
dx xdxx
[
]
Пример 9.
2 2
2 2
cos2 cos sin ;cos2
sin cos
x x xx dx почленное деление и
x xсокращение общих множителей
2 21 1
sin cosdx свойство линейности
x x
2 2sin cosdx dx ctgx tgx C ctgx tgx C
x x .
Пример 10.
2 22 2
1 11 1cos cos
tg xdx tg x dxx x
2 cos
dxсвойство линейности dxx
табличные интегралы tgx x C .
vm.nm
u.org.
ua
13
Пример 11. 11 sin cos sin cos sin22 2 2
x x dx
11 sin 2 x dx cвойство линейности
1 1sin cos2 2dx xdx x x C .
Пример 12.
2 2 1 1cos cos 1 cos 1 cos2 2 2 2x xdx x x dx
1 1 cos 2 2 x dx cвойство линейности
1 1 1 1 1cos sin sin2 2 2 2 2dx xdx x x C x x C .
Пример 13.
2
23 2
cosctg x dx почленное деление
x
2
2 23 cos2 sincos cos
ctg x xdx ctgx xx x
2
23 cos2
cosx
x
2 2sin cosx x dx свойство линейности
2 2
3 2 11 12cos sinтабличные интегралыdx dx
иx x
3 2tgx ctgx C . Пример 14.
2 13 x x dx почленное делениеx
13 x x dx свойство линейностиx
3
4, 2 3x табличные интегралыdxdx xdx x и
23 lnln3 2
x x x C .
vm.nm
u.org.
ua
14
Пример 15.
2 2 2
1
55 4 55 4 13, где 4 24 4
табличный интегралdx dx dx
x аx x
1 1 1 24 5 5 2 5 5
2 2
x xarctg C arctg C .
Пример 16.
2 22 2
1 12 3 22 3 3
2 2
dx dx dxdxx x x
3 14, где 2
табличный интеграл
а
31 1 1 2 32ln ln2 3 3 2 3 2 32 2 2
x xC Cxx
.
Пример 17.
2 22
1 133 6 23 2
dx dx dxx xx
2
1 163 2
dx табличный интегралx
21 ln 23
x x C .
Пример 18.
2 2 2
1 11 3 11 3 3 3 3
dx dx dxx x x
22
1
13 15, где 1 33
табличный интегралdx
аx
1 1arcsin arcsin 313 3
3
x C x C .
vm.nm
u.org.
ua
15
Пример 19.
2 2 2
1 15 7 57 5 7 7 7
dx dx dxx x x
2
1 167 5
7
dx табличный интегралx
21 5ln 77x x C .
Пример 20.
4 2 33 8 9x x x x dxx x
Разделим почленно числитель на знаменатель; в результате подынтегральная функция раскладывается на слагаемые, каждое из которых проинтегрируем:
14 2 4 23 3
3 32 2
3 8 9 3 8 9x x x x x x x xdx dx dx dxx x x x
x x
7 3 53 543 2 62 23 8 9 3 8 9dx dxx dx x dx x dx x dx
x x
55 1162
3 8 9ln5 5 2 3 1 12 6
табличные интегралы x x x Cи
.
117626 48 9ln
7 11x x x C .
Произвольные постоянные, получающиеся при интегрировании каждого
слагаемого, здесь объединены в одну произвольную постоянную С. Пример 21.
2
2 16x dx
x
Прибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции число 16, получим
vm.nm
u.org.
ua
16
2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16 16 1616 16 4 4
x x dxdx dx dx dxx x x x
116 4 1 13 4 4 4табличные интегралы x xx arctg C x arctg C
и
.
Пример 22.
2
1 5x dx
Возводя в квадрат и интегрируя каждое слагаемое, имеем:
2
1 5 1 2 5 25 2 5 25x x x x xdx dx dx dx dx
5 252 1 4 ln5 ln 25
x xтабличные интегралыx C
и
22 55ln5 2ln5
xxx C
Пример 23.
24cos2x dx
Используя тригонометрическую формулу 21 cos 2cos2xx , находим
24cos 2 1 cos 2 2 cos2x dx x dx dx xdx
2 2sin
1 6табличные интегралы
x x Cи
.
Пример 24.
2tg xdx
Используя тригонометрическую формулу 22
1 1cos
tg xx
, получим
22 2
1 1cos cos
dxtg xdx dx dxx x
11 1табличные интегралы
tgx x Cи
.
vm.nm
u.org.
ua
17
Пример 25. 2
33 3
3 2 3 2 3 2x dxdx dx x dxx xx x
213ln x Cx
.
В примере выполняется деление, а затем применяются свойства интеграла 3, 4 и табличные интегралы 2, 3.
Пример 26.
244 3sin
9xe x dx
x
2 244 3sin 4 3 sin 4
9 9x x dxe dx xdx dx e dx xdx
x x
44 3cos 3 3x xe x arctg C .
В примере используются свойства интеграла 3, 4 и формулы 4а, 5 и 13 таблицы интегралов.
Пример 27.
3 2 2 32
x x
x dx I
Применив свойства 4 и 5, получим
33 2 .2
xI dx dx
Пользуясь таблицей интегралов, найдем
323 2 .3ln 2
x
I x C
Пример 28.
2tg xdx I
2 2
2 2 2sin 1 cos .cos cos cos
x x dxI dx dx dx tgx x Cx x x
vm.nm
u.org.
ua
18
Упражнения
1. 32
14 5x dxx
. Ответ: 4 1 5x x Cx .
2. 433 1 .
2x x dx
xx Ответ: 3 42 29 4 2 9x x x x C .
3. 2
33 2 .x dx
x
Ответ: 213ln x Cx
.
4. 25 2 1 .x x x dx
x x
Ответ: 4 25ln 2 3x x x x Cx
.
5. 5 .x xe dx Ответ: 51 ln5
x xe C
.
6. 2 18 .x x xa e dx Ответ: 2 18
1 6ln 2 1 ln
x xxa e Ca
.
7. 2 37 .x x xe x e e dx Ответ: 474
xe x C .
8. 2 2cos2 .
sin cosxdx
x x Ответ: ctgx tgx C .
9. cos8 cos6 .cos7x x dxx
Ответ: 2sin x C .
10. 2 .ctgx tgx dx Ответ: 4tgx ctgx x C .
11. 2
.16
dxx
Ответ: arcsin 4x C .
12. 2
.5dx
x Ответ: arcsin
5x C .
13. 2
.1 4
dxx
Ответ: 1 arcsin 22 x C .
14. 2
.2 4
dxx
Ответ: 1 arcsin 22 x C .
15. 2
.5
dxx
Ответ: 2ln 5x x C .
16. 2
2 .2 3
dxx
Ответ: 22 ln 2 2 3x x C .
17. 2
.1 4
dxx
Ответ: 21 ln 2 1 42 x x C .
18. 2 .64
dxx Ответ: 1
8 8xarctg C .
vm.nm
u.org.
ua
19
19. 2 .8
dxx Ответ: 2 2
4 4xarctg C .
20. 2 .1 9
dxx
Ответ: 1 33arctg x C .
21. 2 .2 3
dxx Ответ: 6 6
6 2xarctg C .
22. 2 .9
dxx Ответ: 1 3ln6 3
x Cx
.
23. 2 .7
dxx Ответ: 7 7ln14 7
x Cx
.
24. 2 .5
dxx Ответ: 5 5ln10 5
x Cx
.
25. 2 .9 1
dxx Ответ: 1 3 1ln6 3 1
x Cx
.
26. 2 .2 3
dxx Ответ: 6 1,5ln12 1,5
x Cx
.
2.2. Замена переменной
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с целью
приведения его к табличному. Осуществляется замена переменной с помощью подстановок двух видов.
1. Положим ( )x t , где ( )t – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию ( )t x , при этом ( )dx t dt . Тогда
( ) ( ) ( )f x dx f t t dt .
После нахождения интеграла в правой части осуществляется возврат к переменной x с помощью функции ( )t x .
2. При интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену переменной в виде подстановки ( )x t .
Пример 29. Найти интеграл 3
3 2
sin xdx Jx
.
Сделаем замену 3x t , тогда 23dx t dt . Получим
22
sin 3 3 sin 3costJ t dt tdt t Ct
.
Вернемся к прежней переменной, учитывая, что 3t x : 33cosJ x C .
vm.nm
u.org.
ua
20
Пример 30.
1x x dx
Сделаем подстановку 1x t , отсюда 2 1x t , и 2dx tdt . Следовательно,
2 4 21 1 2 2 2x x dx t t tdt t dt t dt
5 3
5 3 2 22 2 2 21 15 3 5 3
t t C x x C .
Пример 31.
sin cosxe xdx
Применяя подстановку sin ,t x приведем данный интеграл к формуле 4а. Положим sin ,t x тогда cos .dt xdx
sin sincos .x t t xe xdx e dt e C e C
На последнем этапе решения t заменяем через sin x . Пример 32.
2 1xdx
x
Применяя подстановку 2 1t x , приведем данный интеграл к табличному интегралу 3. Положим 2 1t x , тогда
2 , .2dtdt xdx xdx
22
1 1 1ln ln 1 .2 2 21xdx dt t C x Ctx
Пример 33.
2(1 ln )dx
x x
Применяя подстановку ln ,t x приведем данный интеграл к формуле 13.
Положим ln ,t x тогда dxdt x .
2 2 ln(1 ln ) 1
dx dt arctgt C arctg x Cx x t
.
vm.nm
u.org.
ua
21
Пример 34. 2
61x dx
x
Применяя подстановку 3t x , приведем данный интеграл к формуле 13.
Пусть 3t x , тогда 23 ,dt x dx а 23dtx dx .
Следовательно,
23
6 2 21 1 133 3 31 1 1
dtx dx dt arctgt C arctgx C
x t t
.
Пример 35.
1 2cos ,sin1 2cos 2sin , sin 2
x txdxdtx xdx dt xdx
1 1 2 1 2cos2 2dt t C x C
t
.
Пример 36.
2
33 2
122 , 2
x a txdx dtdt tx a xdx dt xdx
1 11 232 233 31 1 3 3 ( )2 2 1 4 413
tt dt t C x a C
.
Пример 37.
2
2 21 2 2
( 1) 121
y
yy
e tdy tdt dtt t te dy tdte
1 1 1 12 ln ln .2 1 1 1
y
y
t eC Ct e
Пример 38.
33
3
2 2
2
1 1 7 77 3 7 .3 3 ln7 3ln 7
3
t xx t
x t
x dx x dx dt dt C Cdtx dx
vm.nm
u.org.
ua
22
Пример 39. 8
77 8
8
7
4 51 1 132 ln ln(4 5) .32 32 324 5
32
x tx dx dtx dx dt t C x Ctx
dtx dx
Пример 40. 4
33
8 2
3
14,14 4 где 749 49
4
x tтабличный интегралx dx dtx dx dt
аx tdtx dx
4
41 1 7 1 7ln ln .4 2 7 7 56 7
t xC Ct x
Пример 41.
54
410 2
4
15,15 5 где 24 4
5
x tтабличный интегралx dx dtx dx dt
аx tdtx dx
51 1arcsin arcsin .5 2 5 2t xC C
Пример 42.
2 2
13,7 7 где 7
xx
x x
табличный интегралe te dx dte t аe dx dt
1 1 .7 7 7 7
xt earctg C arctg C
Пример 43.
2 2
165 5
xx
xx
e te dx dt табличный интегралe dx dte t
2 2ln 5 ln 5 .x xt t C e e C
vm.nm
u.org.
ua
23
Пример 44.
12
22
77
coscos
tgx tdxtgx t dt t dtdx dtx
x
32
3 3 2,
2 2 ( 7) .1 3 где 2 2
табличный интеграл t C t C tgx Cа
Пример 45. 2 3 5x x dx I
Положим 3 5.t x Тогда 23dt x dx и 2 1 .3x dx dt
Следовательно, 32
3 31 2 ( 5) .3 3 3 92
dt tI t C x C
Упражнения
1) 21 3
xdxx
. Ответ: 21 1 3 .3 x C
2) 3 2
.4xdx
x Ответ: 2 233 (4 ) .4 x C
3) 2 .x k xdx Ответ: 2 31 ( ) .3 x k C
4) 2
4.
1
x
x
e dxe
Ответ: 2 41 ln 1 .2x xe e C
5) 2 .1 4
x
xdx
Ответ: 1 2 .ln 2
xarctg C
6) 2
sin .4 cos
xdxx
Ответ: cosarcsin .2x C
7) 2 .9
x
xa dx
a Ответ: 1 3ln .6ln 3
x
xa Ca a
8) 2
6 .5x dx
x Ответ: 3
31 5ln .
6 5 5x Cx
vm.nm
u.org.
ua
24
9) 2
6.
3x dxx
Ответ: 3 61ln 3 .3 x x C
10) 3 3 ln .xdx
x
Ответ: 433 (3 ln ) .4 x C
11) .ln 5dx
x x Ответ: 2 ln 5 .x C
12) 22 3 .
sinctgx dx
x
Ответ: 2(2 3) .4
ctgx C
13) 2 .cos 2 1
dxx tgx Ответ: 2 1 .tgx C
14) , 1.( )k
dx kax b
Ответ:
11 ( ) .1
kax b Ca k
15) 4 35 .x x dx Ответ:
41 5 .4 ln5
xC
16) 5
6 .3x dx
x Ответ: 61 ln 3 .6 x C
17) .3 4
x
xe dx
e Подстановка 3 4 .xe t Ответ: 1 ln(3 4 ) .4xe C
18) 4( 1) .tg d Подстановка .tg t Ответ: 3
.3tg tg C
19) 2
3( ) .
( 2)x x dx
x
Подстановка 2 .x t Ответ: 23 5ln 2 .
( 2)xx C
x
20) .x a xdx Подстановка 2.a x t Ответ: 2 22 (3 2 ) .15 x ax a a x
21) 2
.1
x
xe dxe Подстановка 1 .xe t Ответ: ln 1 .x xe e C
22) 2
sin 2 .2 cos
xdxx
Ответ: 22 2 cos .x C
vm.nm
u.org.
ua
25
2.3. Интегрирование путем подведения функции под знак дифференциала
Этот метод основан на использовании формулы замены переменной в следующем формальном виде
( ) ( ) ( )f x dx f x t d x t C . В силу этой формулы таблицу основных интегралов можно обобщить на
случай, когда в формулах вместо переменной интегрирования x стоит функция зависящая от x .
При этом необходимо знание формулы первого дифференциала dy y dx
и таблицы производных.
Пример 46. 1 1 1sin5 sin5 (5 ) sin5 (5 ) cos55 5 5xdx x d x xd x x C .
В примере используются свойство интеграла 5 и табличный интеграл 5. Пример 47.
5 2 5 2 5 2 5 21 1 1(5 2) (5 2)5 5 5x x x xe dx e d x e d x e C .
В примере применяются формула преобразования дифференциала и табличный интеграл 4а.
Пример 48.
2 2
arcsin3 1 3 1arcsin3 arcsin3 (arcsin3 )3 31 9 1 9xdx dxx x d xx x
221 (arcsin3 ) 1 arcsin 33 2 6
x C x C .
Пример 49.
123 3 ( 3) ( 3) ( 3)x dx x d x x d x
32( 3) 2 ( 3) 33 3
2
x C x x C .
В решении применяются формула преобразования дифференциала и табличный интеграл 2.
Пример 50.
10
9 9 91 1 (2 5)(2 5) (2 5) (2 5)2 2 20xx dx x d x u du C
.
vm.nm
u.org.
ua
26
Пример 51.
2
3 33
1 1 1 (4 5)(4 5) (4 5)4 4 4 2(4 5)dx xx d x u du Cx
21
8(4 5)C
x
.
Пример 52. Найти интеграл 3sin cosx xdx I . Преобразуем интеграл следующим образом:
3 3sin cos sin (sin )x xdx xd x . Теперь в качестве переменной интегрирования мы имеем функцию sin x
и относительно этой переменной получим интеграл от степенной функции. Следовательно,
43 sinsin (sin ) 4
xxd x C .
Пример 53. Найти интеграл
1
2
xe dx Ix
.
Так как 21( ) dxd x x
, запишем:
1 11( )x xI e d e Cx .
Пример 54. Найти интеграл 41xdx Ix
.
Путем подведения функции 2x под знак дифференциала приведем данный интеграл к табличному:
22
2 21 ( ) 1 ( )2 21 ( )
d xI arctg x Cx
.
Пример 55.
2 2 2 221 1 122 2 2x x x xe xdx e xdx e dx e C .
Пример 56.
( ) lndx d x a x a Cx a x a
.
Пример 57.
1( )( ) ( ) , ( 1)1( )
mm
mdx x ax a d x a C mmx a
.
vm.nm
u.org.
ua
27
Пример 58. 1 1 ( ) 1 lndx adx d ax b ax b Cax b a ax b a ax b a
.
Пример 59.
1 1( ) ) ( )( )
m mm
dx ax b adx ax b d ax ba aax b
11 ( ) , ( 1)1
max b C ma m
.
Пример 60.
1 (2 5 ) 1 15 ln 2 52 5 2 5 5 5d xdx du x Cx x u
.
Пример 61.
33 2 3 2 3 ( ) 2 ln32
xx x xdx dx d x C
x x .
Пример 62.
(ln ) ln lnln lndx d x x Cx x x .
Пример 63.
1 32 2
21 2( 1) ( 1) ( 1)3cos
tgx dx tgx d tgx tgx Cx
.
Пример 64.
3 31(5cos 2) sin (5cos 2) ( 5sin )5x xdx x x dx 4
31 1 (5cos 2)(5cos 2) (5cos 2)5 5 4xx d x C
41 (5cos 2)20 x C .
Пример 65.
3 2 3 3 3cos 3 cos ( ) cos sinx x dx x d x udu x C . Пример 66.
3
2 2 32 3 2 3 2 3 21 1 1 1 ( ) 1 133 3 3 3sin sin sin sin
d x dux dx x dx ctgx Cx x x u
.
vm.nm
u.org.
ua
28
Пример 67.
2 3 2 3 2 31 1 1( ) (2 3 )3 3 3x x u xe dx e d x e du e C .
Пример 68.
2 2 2
1 (5 3) 1 15 (5 3)5 5cos (5 3) cos (5 3) cos
d xdx du tg x Cx x u
.
Пример 69.
4
3 3 32
( )( ) ( ) ( ) 41dx arctgxarctgx arctgx d arctgx u du Cx
.
Пример 70.
3 3 3 32 2
1 3 1 1( 3 )3 3 31 9 1 9arctg x arctg x arctg x arctg xdx dxe e e d arctg x e C
x x
.
Пример 71.
2 2 2 21 1 (ln ) 1 ln
2 2ln 4 ln 4 2d x du xdx arctg Cxx x u
.
Пример 72.
1cos(ln ) cosln (ln ) cos sin lnx dx xd x udu x Cx .
Пример 73.
2
1 1 (arcsin ) 2 arcsinarcsin arcsin1
dx dud x x Cx x ux
.
Пример 74.
44 4
2 2
(arcsin 4 ) 1 4 1(arcsin 4 ) (arcsin 4 ) (arcsin 4 )4 41 16 1 16x dxdx x x d xx x
5
4 51 1 (arcsin 4 ) 1 (arcsin4 )4 4 5 20xu du C x C .
vm.nm
u.org.
ua
29
Упражнения
1) 2cos xdx . Ответ: 1 1( sin 2 )2 2x x C .
2) 4 9xdxx . Ответ:
216 3
xarctg C .
3) 2cosx x dx . Ответ: 21 sin( )2 x C .
4) xe dxx . Ответ: 2 xe C .
5) 5
6 4x dxx . Ответ: 61 ln 46 x C .
6) 2
6 4x dxx . Ответ:
316 2
xarctg C .
7) 8sin cosx xdx . Ответ: 9sin
9x C .
8) cos( )x dxx . Ответ: 2sin x C .
9) cos2 3sin
xdxx . Ответ: 1ln 2 3sin3 x C .
10) ln xdxx . Ответ: 2 ln ln3 x x C .
11) 3 lndxx x . Ответ: 3 23 ln2 x C .
12) 2sin 5dx
x . Ответ: 1 55ctg x C .
13) 2cos 3dx
x . Ответ: 1 33 tg x C .
14) 321
arctgx dxex . Ответ: 31
3arctgxe C .
15) 23sin
ctgx dxx . Ответ: 3
ln3
ctgxC .
16) cos dxxx
. Ответ: 2sin x C .
17) 2
5 x xdx . Ответ: 21 52ln5x C .
18) 2(7 )
x
xe dxe . Ответ: 1
7 x Ce
.
19)
1
2
xa dxx
. Ответ:
1
lnxa Ca .
20) 2arcsin1
xdxx . Ответ:
32 arcsin3
x C .
vm.nm
u.org.
ua
30
2.4. Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле udv u v vdu ,
где ( )u u x , ( )v v x непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла udv сводится к отысканию
другого интеграла vdu ; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо табличный, либо проще исходного, либо ему подобен.
При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой может быть найден.
Укажем некоторые интегралы, которые вычисляются методом интегрирования по частям.
2.4.1. Интегралы вида ( ) axP x e dx , ( )sinP x axdx , ( )cosP x axdx
Здесь ( )P x – многочлен. В каждом из указанных интегралов следует положить ( )u P x , тогда для
первого интеграла axdv e dx . Вычисляем ( )du P x dx и, интегрируя, находим 1ax axv e dx ea . Далее применяем формулу интегрирования по частям.
Аналогично проводим вычисления второго и третьего интегралов.
Пример 75.
33 33
22 52 5 1
3
xx xx
du dxu xx e dx
v e dx edv e dx
3 3 3 31 1 1 25 2 2 53 3 3 3
x x x xx e e dx x e e dx
3 3 31 2 12 5 13 63 9 9
x x xx e e C x e C .
Пример 76.
sin3 1sin3 sin3 cos33
du dxu xx xdx
dv xdx v xdx x
1 1 1 1cos3 cos3 cos3 sin33 3 3 9x x xdx x x x C .
vm.nm
u.org.
ua
31
Пример 77.
22
2cos5 1cos5 sin5cos5
5
du xdxu xx xdx
v xdx xdv xdx
21 2sin5 sin55 5x x x xdx
Мы добились снижения степени на единицу.
sin5 снова интегрируем по частям:
x
x xdx
1sin5 sin5 cos55
du dxu xdv xdx v xdx x
21 2 1sin5 cos5 cos55 5 5 5
xx x x xdx
2 21 2 2 1 2sin5 cos5 sin5 25 2 sin5 cos5 .5 25 125 125 25
xx x x x C x x x x C
Пример 78. 5 5
55 51 5 5
5
x xx
x x
du dxu x e ex e dx x dxdv e dx v e
5 5 55 5
21 1(5 ) (5 1)5 5 25 255
x x xx xe e ex e d x x e C x C .
Пример 79.
( )coscos sin
u ax b du a dxax b xdx
dv xdx v x
( )sin sin ( )sin sinax b x x adx ax b x a xdx
( )sin cosax b x a x C . Пример 80.
22 22
2x x xxx
du xdxu xx e dx x e xe dx
v edv e dx
2 22( ) ( 2 2)x x x xx x
u x du dxx e xe e C x x e C
dv e dx v e
.
vm.nm
u.org.
ua
32
2.4.2. Интегралы вида ( ) lnP x xdx , ( )arcsinP x xdx ,
( )arccosP x xdx , ( )arcP x tgxdx , ( )arcP x ctgxdx
Для указанных интегралов за функцию u рекомендуется обозначать, соответственно, функции ln , arcsin , arccos , или .x x x arctgx arcctgx При этом
( ) .dv P x dx Пример 81.
22 3
2
1ln
ln
3
du dxu x xx xdxdv x dx xv x dx
3 3 33 2 31 1 1 1ln ln ln
3 3 3 3 3 9x x xx x dx x x dx x x C
x .
Пример 82.
2
2
11
2
du dxu arctgx xxarctgxdxdv xdx xv xdx
2 2 2 2
2 21 1 1
2 2 2 21 1x x dx x xarctgx arctgx dx
x x
2 2
21 1 1
2 2 2 2 2 21x dx x xarctgx dx arctgx arctgx C
x
21 12 2
xx arctgx C .
Пример 83.
2
ln( 1) 1ln( 1)
2
dxduu x xx x dxdv xdx xv
2 2 2 2ln( 1) ln( 1) 1 ( 1) 12 2 1 2 2 1
x x x dx x x x dxx x
2 ln( 1) 1 ( 1)( 1) 12 2 1
x x x x dxx
2 ln( 1) 1 ( 1)( 1) 12 2 1 1
x x x x dxx x
vm.nm
u.org.
ua
33
2 ln( 1) 1 ( 1)2 2 1x x dxx dx x
2 ln( 1) 1 ( 1)( 1) ( 1)2 2 1x x d xx d x x
2 2ln( 1) 1 ( 1) ln 12 2 2x x x x C
2 21 11 ln( 1) ( 1)2 4x x x C .
Пример 84.
22
33 33 31 91 9
dxu arctg x du dxarctg xdx xarctg x xxdv dx xv x
2
2 21 18 1 (1 9 )3 36 61 9 1 9
xdx d xx arctg x x arctg xx x
213 ln(1 9 )6x arctg x x C .
Пример 85.
22 2
2lnln 2lnln lnxdxu x xdxduxdx x x x x xdv dx v x
2 lnln 2 ln
dxu x dux x xdx xdv dx v x
2 2ln 2 ln ln 2( ln )dxx x x x x x x x x x Cx
2ln 2 (ln 1)x x x x C .
Пример 86.
22
1sin 7 77sin 7
u x du dxxdxdxx dv v ctg x
x
1 17 7 7 ln sin77 7 7 49x xctg x ctg xdx ctg x x C .
vm.nm
u.org.
ua
34
2.4.3. Интегралы вида cosxe xdx , sinaxe xdx Интегралы указанного типа необходимо интегрировать по частям
дважды. При первом интегрировании безразлично, как разбивать подынтегральное
выражение на сомножители, а при повторном интегрировании в качестве u нужно принимать функцию того же типа (т. е. или показательную, или тригонометрическую), что вначале. В результате получают уравнение относительно искомого интеграла.
Пример 87. coscos sincos
xxx du e dxu ee xdx
v xdx xdv xdx
sin sinx xe x e xdx =
К интегралу sinxe xdx применим снова формулу
интегрирования по частям sin cossin
xx du e dxu ev xdx xdv xdx
sin cos cosx x xe x e x x e dx cosxe xdx sin cosx xe x e x cosxe xdx .
Перенося искомый интеграл в левую часть, получим
12 cos sin cosx xe xdx e x x C . Отсюда
1cos sin cos2
x xe xdx e x x C .
Пример 88.
sin 1sin cos
axax
axdu a e dxu ee bxdx
dv bxdx v bxb
cos cos 1cos sin
axaxax
axdu a e dxu ee abx e bxdxb b dv bxdx v bxb
cos sin sinax ax
axe a e abx bx e bxdxb b b b
2
2cos sin sinax ax
axe a e abx bx e bxdxb b b b .
vm.nm
u.org.
ua
35
Введем обозначение sinaxI e bxdx и решим уравнение первой степени относительно неизвестного интеграла I :
2
2 2cos sinax
axe a aI bx e bx Ib b b ;
2
2 21 cos sinaxa eI b bx a bx
b b
;
2 2( ) ( sin cos ) axa b I e a bx b bx
2 2 ( sin cos )axeI a bx b bx
a b
или
2 2sin ( sin cos )ax
ax ee bxdx a bx b bx Ca b
.
Упражнения
1. ( 2) xx e dx . Ответ: ( 1)xe x C .
2. 2 35x
x e dx
. Ответ: 233 6 13x
e x x C
.
3. 5 xx dx . Ответ: 5 1– ln5 ln5
xx C
.
4. 2 sin 2x xdx . Ответ: 2 1cos2 sin 2 cos2
2 2 4x xx x x C .
5. а) ln xdx . Ответ: lnx x x C .
6. 2ln x dxx
. Ответ: 1 ln 1x Cx
.
7. arcsin xdx . Ответ: 2arcsin 1x x x C .
8. arccos 1
x dxx . Ответ: 2 1 arccos 4 1x x x C .
9. 3xx dx . Ответ: 23 ( ln3 1)
ln 3
xx C .
10. 3ln x dxx . Ответ: 3 32 23 9ln2 4x x x C .
11. 2( 2 3)cosx x xdx . Ответ: 2( 2 1)sin 2( 1)cosx x x x x C .
12. 2( 1)lnx x xdx . Ответ: 3 2 3 2
ln3 2 9 4x x x xx x x C
.
13. 2cosxdx
x . Ответ: ln cosxtgx x C .
vm.nm
u.org.
ua
36
14. 3sincosx xdx
x . Ответ: 2122cos
x tgx Cx .
15. 2(5 ) 4xx dx . Ответ: 2
2 3(5 ) 5 14 2ln 2 2ln 2 4ln 2
x x x C
.
16. 2 2x a dx . Ответ: 2 2 2 2 21 ln2 x x a a x x a C .
17. 2 2a x dx . Ответ: 2 2 21 arcsin2xx a x a Ca
.
18. cos(ln )x dx . Ответ: 1 cosln sin ln2 x x x C .
19. sin xe xdx . Ответ: 1 sin cos2
xe x x C .
20. 2 cosxe xdx . Ответ: 21 sin 2cos5
xe x x C .
vm.nm
u.org.
ua
37
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Интегралы вида
1dxIX
; 2dxIX
; 3Ax BI dxX
; 4Ax BI dxX
,
где 2X ax bx c , приводятся к табличным путем выделения из Х полного
квадрата: 2 2
222 4
b c b c bX a x x a xa a a a a
.
Для интегралов 1 2, I I этой операции достаточно, для интегралов 3 4, I I предварительно следует образовать в числителе дифференциал величины Х.
Действительно,
2
3 2
22 2
2
A Abax b Bu ax bx cAx B a aI dx dxX du ax b dx ax bx c
2 22
2 2A ax b Ab dxdx Ba aax bx c ax bx c
2
2 2 2
2
12 2
2 4
d ax bx cA Ab dxBa a aax bx c b c bx
a a a
.
Первый интеграл справа типа duu
находится по формуле 3 таблицы
основных интегралов, ко второму интегралу в зависимости от знака выражения 2
24c ba a применяется формула 13 либо 14. Подобным образом находится
интеграл 4I .
Пример 89. Найти интеграл 2 6 25dx
x x .
Выделим в знаменателе полный квадрат:
2 2 2
( 3) 1 3134 4( 3) 43 16
dx d x xarctg Cxx
.
Пример 90. Найти интеграл 22 3 2
dx
x x .
2 2 2
1 12 3 2 32 3 2 1 1
2 2
dx dx dx
x x x x x x
vm.nm
u.org.
ua
38
22
1 1 152 2 25 33 9 1
16 44 16
dx dx
xx
31 1 4 34arcsin arcsin5 52 2
4
x xC C
.
Пример 91. Найти интеграл 24 4 17dx
x x .
2 22 2
1 1 1 ,174 4 24 4 17 1 44 2
dx dx dx x t dx dtx x x x x
21 1 1 2 1 .4 8 2 8 44
dt t xarctg C arctg Ct
Пример 92. Найти 24
6 25x dx
x x
.
Находим производную знаменателя подынтегральной функции
2 6 25 2 6x x x .
Преобразуем числитель так, чтобы из него можно было выделить выражение 2 6x , и затем разобьем интеграл на два интеграла
2 2 24 1 2 6 14 1 2 6
2 26 25 6 25 6 25x x xdx dx dx
x x x x x x
2
2 2 2 2
6 251 ( 3)7 726 25 6 25 ( 3) 4
d x xdx d xx x x x x
21 7 3ln 6 25 .2 4 4
xx x arctg C
При нахождении интеграла использованы следующие преобразования
дифференциала: 3d x dx ,
22 6 6 25x dx d x x .
vm.nm
u.org.
ua
39
Пример 93. 2 21 1 (2 1) 3
21 1x xdx dx
x x x x
2
2 2 21 (2 1) 3 1 ( 1)2 2 21 1 1
x dx dx d x xx x x x x x
22
1 1( )3 1 3 22 2ln( 1)2 2 2 3 31 3
22 4
d x xx x arctg C
x
21 2 1ln 1 3 .2 3
xx x arctg C
Пример 94. 2 2
3(3 2) 3 2 3
6 9 ( 3)
x ux dx x dx x u
x x x dx du
2 2 23 11 3 11 3 11u du dudu du
u uu u u
11 113ln 3ln 3
3u C x C
u x
.
Пример 95.
2 2
22
2
3 12 3 1 22 2
7 8 3 1 12 2 ,4 16 162 3 1
3 3 , , 4 4
x x x x
x dx x ux x
ãäå u x x u dx du
2 2 2
37 81 1 1 8 14
1 1 12 2 216 16 16
uu dudu du
u u u
2
2 2
112 1 1 1642 ln 21 1 1 12 2
16 4 4 16
d uuudu
u u u
vm.nm
u.org.
ua
40
2
3 11 14 4ln 2ln ln3 1 16 0,5
4 4
x xu Cxx
22ln 1,5 0,5 .x x C
Пример 96. Найти интеграл 24 12 1
xdx
x x .
2
2 2
1 12(8 12)4 12 1 8 8(8 12)4 12 1 4 12 1
xxdx u x x dxdu x dxx x x x
2 22
31 8 12 3 1 3 28 2 2 8 414 12 1 33 24 2
d xx dx dudx
ux x x x x
21 3 3 32 ,16 2 ln 2
8 4 2 2a u x x C
2 21 3 3 14 12 1 ln 4 12 1 .
4 4 2 2x x x x x C
Пример 97. Найти интеграл 21 3 4x x dx . Выделим в подкоренном выражении полный квадрат
2 2 23 1 3 9 9 11 3 4 4 4 24 4 8 64 64 4
x x x x x x
2
23 25 25 3 34 4 , , ,8 64 64 8 8
x u где u x x u
dx du . Тогда
vm.nm
u.org.
ua
41
2 2251 3 4 264
x x dx u du
21 25 25 82 arcsin2 64 64 5
uu u C
23 1 3 25 8 3arcsin8 4 4 64 5
xx x x C
.
Упражнения
1. 2 4 8dx
x x . Ответ: 1 2
2 2xarctg C
.
2. 2 2 5dx
x x . Ответ: 1 1
2 2xarctg C
.
3. 2 4 3
dx
x x . Ответ: 2ln 2 4 3x x x C .
4. 24 4 3
dx
x x . Ответ: 21 ln 2 1 4 4 3
2x x x C .
5. 25 4
dx
x x . Ответ: 2arcsin
3x C
.
6. 2 2
dx
x x . Ответ: 2ln 1 2x x x C .
7. 2
( 3)
6
x dx
x x
. Ответ: 2 26 6ln 3 6x x x x x C .
8. 21 2 3
xdx
x x . Ответ: 21 3 1 1arcsin 1 2 3
2 33 3x x x C
.
9. 24 12 1
xdx
x x . Ответ: 2 21 34 12 1 ln 2 3 4 12 1
4 4x x x x x C .
10. 2
4
2
x dxx x
. Ответ: 2 7 2 12 arcsin
2 3xx x C
.
11. 23 4x x dx . Ответ: 21 2( 2) 7 ( 2) 7arcsin2 7
xx x C
.
12. 2 2 6x x dx . Ответ: 2 21 ( 1) 2 6 5ln 1 2 62
x x x x x x C
.
vm.nm
u.org.
ua
42
4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Рациональной дробью называется дробь вида ( ) / ( )P x Q x , где ( )P x и ( )Q x – многочлены.
Если степень переменной числителя ниже степени переменной знаменателя, то дробь называется правильной, в противной случае – неправильной. Перед интегрированием рациональной дроби надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:
1) если дана неправильная рациональная дробь, то необходимо выделить из нее целую часть, т. е. представить в виде
1( ) ( )( )( ) ( )
P x P xM xQ x Q x
,
где ( )M x – многочлен, а 1( )( )
P xQ x
– правильная рациональная дробь;
2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:
2( ) ... ...nmQ x x a x px q ,
где 2 / 4 0p q ; 3) правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших
дробей: 11 1
1( ) ... ...( ) ( ) ( )
m mm m
A AP x AQ x x ax a x a
1 1 1 1
1 22 2...n n n n
n nB x C B x C B x C
x px qx px q x px q
+...;
4) по методу неопределенных коэффициентов вычислить
1 1 1 1, , ..., , ..., , , ... , m m n nA A A B C B C .
В результате интегрирование рациональной дроби сведется в основном к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей следующих типов:
1. lnA dx A x a Cx a
.
2. 11
1( ) ( )m mAdx A C
mx a x a
.
3. 2 2 2
( / 2)(2 )22
2
ApA x p BAx B A x pdx dx dx
x px q x px q x px q
vm.nm
u.org.
ua
43
22 2 2
ln2 2 2
2 4
Ap dx A Ap dxB x px q Bx px q p px q
22 2
2 2ln2 4 4
A B Ap x px px q arctg Cq p q p
.
Пример 98. Выделить целую часть рациональной дроби
3 2
2( ) 3 5 7( )( ) 2
P x x x xR xQ x x
.
Решение: 3 23 5 7x x x 2 2x 3 2x x 3x 23 3 7x x 23 6x 3 1x
Итак, 3 2
2 23 5 7 3 13
2 2x x x xx
x x
.
Пример 99. Найти 2
1x dx
x .
Прежде всего представим подынтегральную функцию в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен.
Получим частное 1x и остаток 1, т. е.
2 111 1
x xx x
.
Тогда
2 1 11 11 1 1
x dx x dx x dx dxx x x
21
ln 12
xx C
.
2x 1x 2x x 1x x 1x 1
vm.nm
u.org.
ua
44
Пример 100. Найти интеграл 5 4
38
4x x dx
x x
.
Решение. Так как дробь неправильная, выделим из нее целую часть. Итак, 5 4 2
23 3
8 4 24 44 4
x x x xx xx x x x
.
Интегрируя обе части, получаем 5 4 3 2 2
3 38 4 24 4
3 24 4x x x x x xdx x dx
x x x x
.
Разложим знаменатель правильной дроби 2
34 2
4x x
x x
на множители:
3 4 2 2x x x x x . Тогда
22 4 2 24 22 2 2 2 2 2
A x Bx x Cx xx x A B Cx x x x x x x x x
.
Так как знаменатели в левой и правой частях равны, приравняем числители: 2 24 2 4 2 2x x A x Bx x Cx x . Следовательно,
2 2 2 24 2 4 2 2x x Ax A Bx xB Cx Cx .
Сравнив коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему
уравнений 4;
2 2 4; 4 2,
A B CB C
A
решив которую, найдем значения искомых коэффициентов: 12
A , 34
B ,
54
C .
Приведенный здесь метод нахождения коэффициентов А, В, С называют методом неопределенных коэффициентов.
Замечание. В исходное тождество, по которому составляется система
уравнений с неизвестными коэффициентами, можно подставлять любые значения х (метод частных значений). Возникают новые равенства с теми же неизвестными. Если знаменатель дроби из левой части имеет действительные корни, то удобно подставлять в тождество именно эти значения. Немедленно определяется какой либо из неизвестных коэффициентов, что значительно упрощает решение системы, либо вообще определяются последовательно все
vm.nm
u.org.
ua
45
неизвестные коэффициенты, не приводя к системе. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.
Итак, разложение рациональной дроби на сумму простейших имеет вид
2 4 2 1 1 3 1 5 12 2 2 4 2 4 2
x xx x x x x x
.
Таким образом,
2 4 2 1 3 52 2 2 4 2 4 2
x x dx dx dxdxx x x x x x
1 3 5ln ln 2 ln 22 4 4
x x x C .
Окончательно
525 4 3 2
3 328 4 ln
3 24 2
x xx x x xdx x Cx x x
.
Пример 101. Найти интеграл 2
41x dx
x .
Решение. Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших:
2 2
4 22 1 11 11 1 1x x A B Cx D
x xx xx x x
.
Умножив обе части равенства на знаменатель 41 x , будем иметь
2 2 2 21 1 1 1 1x A x x B x x Cx D x ;
2 3 2 3 2 3 2x Ax Ax Ax A Bx Bx Bx B Cx D Cx Dx .
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений
3
2
0
0;1;0;0,
x A B CA B DxA B CxA B Dx
из которой найдем
14
A ; 14
B ; 0C ; 12
D .
Следовательно,
vm.nm
u.org.
ua
46
2
4 21 1 14 1 4 1 21 1
x dx dx dx dxx xx x
1 1 1 1 1 1ln 1 ln 1 ln4 4 2 4 1 2
xx x arctgx C arctgx Cx
.
Пример 102. Найти 4 22 8
4x dx
x x
.
Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители
4 2 22 8 2 8
4 2 2x x
x x x x x
.
Далее представим подынтегральную функцию в виде суммы элементарных дробей
2 22 8
2 22 2x A B C D
x x xx x x x
.
Приведя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим
22 8 2 2 2 2 2x Ax x x B x x Cx x
2 3 22 2 2 4 4Dx x A C D x B C D x Ax B .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аргумента в правой и левой частях равенства, получим систему уравнений
0;2 2 0;
4 2; 4 8.
A C DB C D
AB
Решив эту систему, получим:
12
A ; 2B ; 14
C ; 34
D .
Следовательно,
2 22 8 1 2 1 3
2 4 2 4 22 2x
x x xx x x x
.
Поэтому
4 2 2 22 8 2 8 1 2 1 3
2 4 2 4 24 2 2x xdx dx dx
x x xx x x x x x
21 1 3 1 2 1 32 ln ln 2 ln 22 4 2 4 2 2 4 4
dx dx dx dx x x x Cx x x xx
.
vm.nm
u.org.
ua
47
Пример 103. Найти
2
22 2
2 3x x dx
x x
.
Запишем разложение подынтегральной дроби на элементарные
2
2 22 2
2 32 3 2x x A B C
x xx x x
.
Приводим дроби к общему знаменателю и приравниваем числители
22 2 2 2 3 3 2x x A x x B x C x
2 4 6 3 4A C x A B C x A B C .
Приравнивая коэффициенты при 2x , x и свободные члены в правой и левой частях равенства, получим систему уравнений
1;4 2;
6 3 4 2.
A CA B C
A B C
Решив эту систему, получим 45
A , 2B , 15
C .
Следовательно,
2
2 22 2 4 2 1
5 2 5 32 3 2x x
x xx x x
.
Поэтому
2
2 22 2 4 2
5 22 3 2x x dx dxdx
xx x x
1 4 2 1ln 2 ln 35 3 5 2 5
dx x x Cx x
.
Пример 104. Найти
2
2 2
5 91 2 2x x dx
x x x
.
Раскладываем подынтегральную функцию на элементарные дроби. Найдем неопределенные коэффициенты
2
2 2 225 9
1 2 21 2 2 1x x A B Mx N
x x xx x x x
.
vm.nm
u.org.
ua
48
Приведем элементарные дроби к общему знаменателю и приравняем числители
22 2 25 9 1 2 2 2 2 1x x A x x x B x x Mx N x .
Отсюда 2 3 25 9 2x x A M x A B N M x
2 2 2 2B M N x A B N . Приравниваем коэффициенты при 3x , 2x , x и свободные члены:
0;2 1;
2 2 5;2 2 9.
A MA B M NB M N
A B N
Решив систему, находим 75
A ; 75
M ; 1B ; 215
N .
Следовательно,
2
2 2 22
5 9 7 1 7 215 1 5 2 21 2 2 1
x x xx x xx x x x
.
2
22 25 9 7 1
5 11 2 2 1x x dx
xx x x x
22
7 21 75 15 2 2 1
x dx dxdxxx x x
2
27 3 7 15 5 12 2
x dxdx x dxxx x
2 2 2
1 12 2 4 2 27 7 1 7 142 2ln 15 5 1 5 52 2 2 2 1 1
x x dxdx x dxxx x x x x
27 1 7 14ln 1 ln 2 2 15 1 10 5
x x x arctg x Cx
.
Пример 105. Найти 3 8xdx
x .
Рациональная дробь 3 8x
x является правильной. Разложим знаменатель
на множители, а дробь на простейшие дроби:
vm.nm
u.org.
ua
49
3 22 28 2 42 2 4x x A Bx D
xx x xx x x
.
Умножив равенство на 3 8x , придем к тождеству 2 2 4 2A x x Bx D x x
или 2 2 2 4 2A B x A B D x A D x . Приравняв коэффициенты при 2 ,x x и 0x , получим систему
0,2 2 1,4 2 0.
A BA B DA D
Умножая второе уравнение системы на 2 и прибавляя его к третьему, придем к системе:
08 4 2A BA B
или 0
12 2
A B
A B
.
Складывая уравнения последней системы, получаем 1 13 2 6A A .
Из первого уравнения последней системы получаем 16B A ,
а из третьего уравнения первой системы находим 1 12 2 6 3D A .
Следовательно,
3 2 2
1 1 11 1 26 6 3
2 6 2 68 2 4 2 4
xxdx dx xdx dxx xx x x x x
2
1 (2 2) 31 ( 2) 1 26 2 6 2 4
xd x dxx x x
2 21 1 (2 2) 3ln 26 6 2 62 4 2 4
x dx dxxx x x x
2
2 2
2 41 1 1 ( 1)ln 26 12 22 4 ( 1) 3d x x d xx
x x x
21 1 1 1ln 2 ln 2 46 12 2 3 3xx x x arctg C
.
vm.nm
u.org.
ua
50
Пример 106. Найти 3 22 13 2xI dx
x x x
.
Рациональная дробь 3 22 13 2x
x x x
– правильная. Разложим знаменатель на
множители, а дробь на простейшие дроби:
3 2 22 1 2 1 2 1
( 1)( 2) 1 23 2 3 2x x x A B C
x x x x x xx x x x x x
.
Умножим последнее равенство на ( 1)( 2)x x x : 2 1 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)x A x x Bx x Cx x .
Коэффициенты , ,A B C находим методом частных значений, который состоит в том, что переменной x придают конкретные значения столько раз, сколько неизвестных коэффициентов. При этом полученная система значительно упрощается, если переменной x придавать значения, равные действительным корням знаменателя дроби. В самом деле,
10, 1 2 ,2x A A 1, 1 (1 2) 1,x B B
32, 3 2 (2 1) .2x C C Следовательно,
1 3 31 12 2 21 2 2 1 2
dx dxI dx dxx x x x x x
1 ( 1) 3 ( 2)ln2 1 2 2d x d xx x x
3
21 3 1 2ln ln 1 ln 2 ln2 2 2 2
xx x x C Cx x
.
Пример 107. Найти 3 2( 2)
2x dxx x
.
3 2 2 2( 2) ( 2)
22 ( 2)x dx x dx A B CI dxx xx x x x x
.
Определим коэффициенты А, В, С, применяя метод частных значений: 2
2 22 ( 2) ( 2) 22 ( 2)
A B C x A x x B x Cx xx xx x x
2x , 4 4C , 1C ; 0x , 2 2B , 1B ; 1x , 3A B C , 3 3 1 1 1A B C .
Следовательно, 21 1 1
2I dxx xx
2( 2) 1ln ln 22
dx dx d x x x Cx x xx
.
vm.nm
u.org.
ua
51
Упражнения
1.
2 2 61 2 4x x dx
x x x
.
Ответ:
3 5
71 4
3ln 1 7ln 2 5ln 4 ln2
x xx x x C C
x
.
2.
2
31
1 3x dx
x x
.
Ответ: 2
1 3 5 1ln8 1 32 34 1
x Cx xx
.
3. 3 2
23 5 7
2x x x dx
x
.
Ответ: 2 21 3 13 ln 22 2 2 2
xx x x arctg C .
4. 3 2dx
x x .
Ответ: 2
21 ln4 2
x Cx
.
5. 3
32
4x dx
x x
.
Ответ:
32
51 2ln4 2
x xx Cx
.
6. 2
3 22 1
5 6x dx
x x x
.
Ответ: 1 7 17ln ln 2 ln 36 2 3x x x C .
7. 6 3 2
44 2 1x x x x dx
x x
.
Ответ: 3
27 2 2 2 1ln ln 1 ln 13 3 3 3 3x xx x x x arctg C
.
8. 5
42 2 1
1t t dt
t
.
Ответ: 2 1 1 1ln4 1 2tt arctgt Ct
.
9. 4 2 2dx dx
x a x .
Ответ: 2 31 1 xarctg Caa x a
.
10. 4 4dx dx
x a .
Ответ: 3 31 1ln
4 2x a xarctg Cx a aa a
.
vm.nm
u.org.
ua
52
5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
5.1. Интеграл вида sin ,cosR x x dx
Рассмотрим интеграл sin ,cosR x x dx , (4)
где R – рациональная функция. Интегралы вида (4) приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
2x
t tg . (5)
Применив эту подстановку, получим
22sin
1t
xt
; 2
21cos1
tx
t
; 2
21
dtdx
t
. (6)
Рассмотренная выше подстановка (5) позволяет проинтегрировать всякую функцию вида (sin ,cos )R x x , поэтому ее иногда называют "универсальной тригонометрической подстановкой".
Пример 108. Найти интеграл 3 5cos
dxI
x
.
Решение. Подынтегральная функция рационально зависит от cos x . Применив подстановку (5) с учетом (6), будем иметь
2 2 2
2
21 1 2 1 22 ln ln4 2 41 1 4 23 5 21
xtg
dt dt tI C C
xtt t t tgt
.
Пример 109.
2
2
2 2
2, 2 , ,2 1sin cos 2 1sin , cos
1 1
x dttg t x arctgt dx
dx t
x x t tx x
t t
2 2 22
2 2
2 ( 1)2 22 1 2 1 ( 1) 2(1 )
1 1
dt dt d t
t t t t tt
t t
1 21 1 2 1 22 ln ln2 2 1 2 2 1 22
xtgt
C Cxt
tg
.
На практике универсальная подстановка часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей, поэтому во многих частных случаях используют другие тригонометрические подстановки, которые быстрее ведут к цели.
vm.nm
u.org.
ua
53
5.2. Интегралы вида 2(sin ,cos )cosR x x xdx , 2(cos ,sin )sinR x x xdx
Рассмотрим интеграл 21(sin ,cos )cosR x x xdx I . (7)
С помощью подстановки sint x (8)
задача сводится к интегрированию функции, рационально зависящей от t . Действительно,
21 ,1I R t t dt .
При нахождении интеграла вида 22cos ,sin sinR x x xdx I
используется подстановка cost x . В этом случае задача сводится к интегрированию функции, рационально зависящей от t :
22 ,1I R t t dt .
Пример 110.
2 2 2
cos ,sin sin ,
3 cos 3 3sin
x txdx dt dt
xdx dtx t t
xdx dt
1 3 1 3 cosln ln2 3 3 2 3 3 cos
t xC C
t x
.
Пример 111.
55 5
sin3 ,cos3 1 1cos3 3 , 3 3sin 3
cos3 3
x txdx dt
x dx dt t dtx t
dtxdx
4
4 41 1 1 1 13 4 12 12 sin 3
tC C C
t x
.
Пример 112.
3 2 2
2 2 2sin sin sin (1 cos )sincos cos cos
xdx x x x xdxdx
x x x
2
2
cos ,(1 )sin ,
sin
x tt dt
xdx dtt
xdx dt
2 21 1 11 cos cos
dtdt dt t C x C
t xt t
.
vm.nm
u.org.
ua
54
Пример 113. 2 2
2 2
cos ,(2 cos ) (2 )sin sin , ( )2cos 1 2 1
sin
x tx t
xdx xdx dt dtx t
xdx dt
22
2 2 2
1 31 2 1 2 2 1 32 1 2 1 2 2 1
2 2 2
tt dt
dt dt
t t t
11 3 1 2ln2 2 1 12
2 2
t
t C
t
1 3 2 2 cos 1cos ln2 4 2 cos 1x
x Cx
.
Пример 114.
3 2 2cos cos cos (1 sin )cos2 sin 2 sin 2 sin
xdx x xdx x xdx
x x x
2 2sin , (1 ) 12 2cos
x t t dt tdt
t txdx dt
2( 4) 3 ( 2)( 2) 32 2
t t tdt dt
t t
( 2)( 2) 3 ( 2) ( 2) 32 2dt d t
t dt t d tt t
2 2( 2) (sin 2)3ln 2 3ln sin 22 2t x
t C x C
.
5.3. Интеграл вида sin cosm nx xdx
К интегралам, рассмотренным в разделе 5.2, приводится интеграл sin cosm nx xdx . (9)
Пусть, по крайней мере, один из показателей ( m или n ) – нечетное
положительное число. Если n – нечетное целое число, то используется подстановка sint x , если же m – нечетное целое число, то подстановка
cost x .
vm.nm
u.org.
ua
55
Если оба показателя степени m и n – четные целые положительные числа, то следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул понижения степени:
2
2
1sin cos sin 2 ;2
1sin 1 cos2 ;21cos 1 cos2 . 2
x x x
x x
x x
(10)
Пример 115. Найти 3
4cossin
xdx I
x .
Данный интеграл относится к интегралам вида (9), где n – нечетное
положительное число ( 3n ). Представим его в виде (7): 2
4cos cossin
xI xdx
x – и
используем подстановку (8): sint x ; cosdt xdx . Тогда
2 24 2
4 41 sin 1cos
sinx t
I xdx dt t dt t dtx t
3 31 1 1 1
sin3 3sinC C
t xt x .
Пример 116. Найти 3 2sin cosx xdx . Так как 3m – нечетное и положительное, то cost x , тогда sindt xdx .
3 2 2 2sin cos sin cos sinx xdx x x xdx
2 2 2 21 cos cos sin 1x x xdx t t dt
5 3 5 3
4 2 cos cos5 3 5 3t t x x
t t dt C C .
Пример 117. 3 5 2 5 2 5sin cos sin cos sin (1 cos )cos sinx xdx x x xdx x x xdx
2 5cos ,
sin , (1 )sin
x t
xdx dt t t dt
xdx dt
8 67 5 8 61 1cos cos8 6 8 6
t tt dt t dt C x x C .
vm.nm
u.org.
ua
56
Пример 118. Найти 3
2cossin
xdx
x .
Так как 3n – нечетное, положительное, то полагаем sint x , тогда cosdt xdx .
23 2
2 2 2 2
1 sin coscos 1sin sin
x xx t dtdx dx dt dt
x x t t
1 1 sinsin
t C x Ct x
.
Пример 119.
33 3 3 1sin cos (sin cos ) sin 22x xdx x x dx x dx
3 2 21 1 1sin 2 sin 2 sin2 (1 cos 2 ) sin28 8 8xdx x xdx x xdx
2 2cos2 ,
1 12sin 2 , (1 )16 161sin 2 2
x t
xdx dt t dt dt t dt
xdx dt
3 31 1 cos 2cos216 3 16 3t x
t C x C
.
Пример 120. Найти 2cos xdx .
Так как 2 1 cos2cos2
xx
, то
2 1 1 1cos 1 cos2 cos22 2 2
xdx x dx dx xdx
1 1 1 1cos2 (2 ) sin 22 4 2 4
dx xd x x x C .
Пример 121.
2 2 1sin 3 sin (1 cos2 )2xdx
1 1 1 1 1 1cos6 cos6 sin62 2 2 2 2 12x dx dx xdx x x C .
Пример 122. Найти интеграл 2 2sin cosx xdx I . Решение. Из формулы (6) § 1.4 следует:
2
22 2 21 1sin cos sin cos sin 2 sin 22 4
x x x x x x
.
vm.nm
u.org.
ua
57
Учитывая формулу (2) § 1.4, получим
2 2 1 1 cos4 1sin cos 1 cos44 2 8
xx x x
.
Итак,
1 1 11 cos4 cos48 8 8
I x dx dx xdx ;
1 1 sin 48 32
I x x C .
Пример 123. Найти 2 4sin cosx xdx .
22 4 2sin cos sin cos cosx xdx x x xdx
2 2 21 1 cos2 1 1sin 2 sin 2 sin 2 cos24 2 8 8
xx dx xdx x xdx
21 1 cos4 1 sin 2 (sin 2 )8 2 16
xdx xd x
31 1 1sin 4 sin 216 64 48
x x x C .
Пример 124.
24 2 2 1sin (sin ) (1 cos2 )2xdx x dx x dx
2 21 1(1 2cos2 cos 2 ) cos2 2 cos 24 4x x dx dx x dx xdx
1 1cos2 (2 ) (1 cos4 )4 2x xd x x dx
1 1 1 1sin 2 cos4 44 2 2 4x x dx x dx
1 1sin 2 cos4 (4 )4 2 8x
x x xd x
1 3 1sin 2 sin 44 2 8x x x C
.
Пример 125.
2 2 2 2(1 2cos ) ( ) 2x dx a b a ab b 2 2(1 4cos 4cos ) 4 cos 4 cosx x dx dx xdx xdx
2 1cos (1 cos2 ) 4sin 2 (1 cos2 )2x x x x x dx
vm.nm
u.org.
ua
58
4sin 2 2 cos2x x dx xdx 4sin 2 sin2x x x x C 3 4sin sin2x x x C .
5.4. Интеграл вида 2 2( ,sin ,cos )R tgx x x dx
При нахождении интегралов, рационально зависящих от sin x и cos x в четных степенях и tgx , используется подстановка t tgx .
Применив эту подстановку, будем иметь
21dt
dxt
; 2
22sin
1t
xt
; 22
1cos1
xt
.
Таким образом, задача нахождения интегралов сводится к интегрированию функций, рационально зависящих от t .
Пример 126. Найти 24 cosdx
Ix
.
Решение. Применим подстановку tgx t , тогда 22
1cos1
xt
, 21dt
dxt
.
2 222
2
211 24 3 2 31 4
1
d tdt dtI
t ttt
1 1 2 3 22 63 3 3
t tgxarctg C arctg C .
Пример 127.
2
2 222
2 2
, , 1
2 sin sin1 1
dttgx t x arctgt dx
tdx
tg x txx
tg x t
2 2
22
12 222 1
1
dt dt tarctg C
t tt
t
12 2
tgxarctg C
.
vm.nm
u.org.
ua
59
Пример 128.
4 44
2 2
2
,1 1,
1 1
1
tgx tt dt t
tg xdx x arctgt dtt t
dtdx
t
2 2 32
2 2
1 1 11 31 1
t t dt tdt t dt t arctgt C
t t
3 3( )3 3
xtg x tgtgx arctg tgx C tgx x C .
5.5. Интегралы вида sin cosmx nxdx ,
cos cosmx nxdx , sin sinmx nxdx
При нахождении данных интегралов используются формулы
тригонометрии
1sin cos sin( ) sin( )2
mx nx m n x m n x ,
1cos cos cos( ) cos( )2
mx nx m n x m n x ,
1sin sin cos( ) cos( )2
mx nx m n x m n x ,
позволяющие произведение тригонометрических функций представить в виде суммы функций, интегрирование которых не вызывает принципиальных затруднений.
Пример 129. Найти интеграл cos sin3x xdx I . Решение. Применив первую из формул, получим
1 1 cos4 cos2 1 cos4sin4 sin2 cos22 2 4 2 4 2
x x xI xdx xdx C C x
.
Пример 130.
1sin3 sin5 cos( 2 ) cos82x xdx x x dx
1 1 1 1cos2 cos8 sin2 sin82 2 4 16xdx xdx x x C .
vm.nm
u.org.
ua
60
Упражнения
1. 3 5dx
cosx . Ответ: 21 2ln4 2 2
xtg
Cx
tg
.
2. 3sindx
x . Ответ: 2
2
1 1 1 1ln2 2 8 8 22
x xtg tg C
xtg
.
3. 4cos xdx . Ответ: 3 1 1sin2 sin48 4 32x
x x C .
4. 4 2sin cosx xdx . Ответ: 31 1 1sin 4 sin 28 2 8 6x
x x C
.
5. 4 4sin cosx xdx . Ответ: 1 3 1 1sin 4 sin864 2 2 16x x x C
.
6. 3sin xdx . Ответ: 3cos cos3
xx C .
7. 31 2cos x dx . Ответ: 387 14sin 3sin2 sin3x x x x C .
8. 7cos xdx . Ответ: 3 5 73 1sin sin sin sin5 7x x x x C .
9. 6 3sin coskx kxdx . Ответ: 7 91 1 1sin sin7 9kx kx Ck
.
10. 3
5sin
cosxdx
x . Ответ: 5 514 45 5cos cos14 4x x C .
11. 3tg xdx . Ответ: 21 ln cos2
tg x x C .
12. 4sec xdx
tgx . Ответ: 522 5tgx tg x C .
13. cos 5 cos4 4x x dx
.
Ответ: 1 1sin6 cos412 8x x C .
14. sin7 cos sin8x x xdx .
Ответ: 1 1 1 1sin16 sin 2 sin144 16 2 14x x x x C
.
15. 3cos cos
cos2x x
dxx
. Ответ: 1 3 2 2 sin 1sin ln2 4 2 sin 1
xx C
x
.
vm.nm
u.org.
ua
61
6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.1. Интеграл вида , , ..., m r
n sR x ax b ax b dx
Рассмотрим интеграл , , ..., m r
n sR x ax b ax b dx
, (15)
где R – рациональная функция. Подстановка pax b t , где p – наименьшее общее кратное чисел
, ..., n s , преобразует (15) в интеграл от рациональной функции переменной t
pt bx
a
;
1pptdx dt
a
. (16)
Пример 131. Найти интеграл
23 2 1 2 1
dxI
x x
.
Решение.
2 13 22 1 2 1
dxI
x x
.
Здесь 3n , 2s , поэтому 6p . Применив подстановку 62 1x t и
учитывая (16), получим 5 2 2
4 33 1 13 3
1 1t t dt t
I dt dtt tt t
21 33 1 3 3ln 11 2
t dt t t t Ct
.
Вернемся к прежней переменной, учитывая, что 6 2 1t x :
3 6 63 2 1 3 2 1 3ln 2 1 12
I x x x C .
Пример 132. . Найти 3 3x x dx .
Полагаем 3 3t x , отсюда находим 3 3x t , 23dx t dt .
3 2 6 33 3 3 3 3 3x x dx t t t dt t t dt
vm.nm
u.org.
ua
62
6 3 7 43 93 97 4
t dt t dt t t C
4 34 3 3 31 3 1 33 3 3 3
7 4 7 4t t C x x C
3
33 3 3 4 91 93 3 3
7 28 28x x x
x x x C C
.
Пример 133. Найти 2 4xdx
x .
Положим 2 4t x , отсюда находим 2 2
4t
x
, 2
tdtdx .
23
2
21 14 2 2 28 8 32 4
t tdtxdx t
t dt t Ctx
2 6 2 4 124 6
t t x xC C
.
Пример 134.
22
2
12 1 , ,1 2 22 1 1, 1 2 2
tx t x
xdx
x tdx tdt x
22 211 1 112 2 2
t tdtt dt t dt dt
t
3 31 1 (2 1) 12 1 1 2 12 3 2 3 3
t xt C x C x x C
.
Пример 135.
2 2, 2 11 2x t x txdx t
dttx dx tdt
2 1 1 ( 1)( 1) 12 2 2 ( 1) 21 1 1t t t dt
dt dt t dtt t t
2( 1) ( 1)2 ( 1) ( 1) 2 2 2ln 11 2d t t
t d t t Ct
2( 1) 2ln 1x x C .
vm.nm
u.org.
ua
63
Пример 136.
22
222
1 1, 11 1
2 1, 1
xt x
x txdx
tdt xxx dx txt
22 2 32 3
22
1 2 2 12 2 3 31
t t dt xt dt t C C
xt
.
6.2. Интеграл вида 2,R x ax bx c dx
Интеграл 2,R x ax bx c , где R – рациональная функция, путем
выделения полного квадрата из квадратного трехчлена приводится к одному из трех видов:
1. 2 2, , R t t dt t tgz .
2. 2 2, , cos
R t t dt tz
.
3. 2 2, , sinR t t dt t z .
С помощью указанных в скобках подстановок задача нахождения интегралов сводится к интегрированию функций, рационально зависящих от тригонометрических.
Пример 137. Найти интеграл 21 4x x dx I . Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, выделив полный
квадрат из квадратного трехчлена:
22 4 4 5 5 2I x x dx x dx .
Обозначив через 2t x и применив подстановку 5sint z ; 5 cosdt zdz , получим
2 2 1 cos25 5 cos 52
zI t dt zdz dz
5 5 5 5sin 2 sin cos2 4 2 2
z z C z z z C .
Вернемся к прежней переменной, учитывая, что
vm.nm
u.org.
ua
64
arcsin5t
z , sin5t
z , 2
2cos 1 sin 15t
z z ,
25 2 5 2 4 4arcsin 1
2 2 55 5x x x x
I C
.
Окончательно
25 2 1arcsin 2 1 42 25
xI x x x C
.
Пример 138.
2
2
sin , cos ,arcsin1
x t dx tdtx dx
t xx
22
2
sin cos 1sin (1 cos2 )21 sint tdt
tdt t dtt
1 1 1sin 2 ( sin cos )2 2 2t t C t t t C
2 21 1sin 1 sin arcsin 12 2t t t C x x x C .
Пример 139.
2 21 2sin ,
3 2 4 ( 1) 2cos ,1arcsin 2
x t
x x dx x dx dx tdt
xt
2 24 4sin 2cos 4 cost tdt tdt
2 (1 cos2 ) 2 cos2t dt dt tdt
212 sin2 2 sin 1 sin2t t C t t t C
21 1 12 arcsin 12 2 2x x x
C
21 12arcsin ( 1) 3 22 2x
x x x C
.
vm.nm
u.org.
ua
65
Пример 140.
32 2
2
2 , 2
22 2 seccos
xx tgt t arctg
dx
dtx dx tdtt
2 2
332
2 sec 1 sec 1 cos2 2sec2 2
tdt tdttdt
ttg t
1 1sin sin2 2 2x
t C arctg C
.
Пример 141.
2
2 2 22 2
2 2 2
22
1 cos, ,sin sin1 1 1 sin cos1 1 ,
sin sin sin1 11, arcsin
sin
tdtx dx
t t
x t tdx x ctg t
x t t t
ctg t txt
22
2 2cos 1 11 sin sin
sin
ctg t tdtctg tdt dt
t tt
2
1cos arcsin1arcsin 1sin sin arcsin
dt xdt t ctgt C C
xtx
2
2
11 sin arcsin1 1 1arcsin arcsin 11x
C x Cx x x
x
21arcsin 1x Cx
.
Упражнения
1. x a xdx . Подстановка: 2a x t .
Ответ: 3 52 2( ) ( )3 5a a x a x C .
2. 2x
dxx . Подстановка: 2x t .
Ответ: 2 2 2 2x
x arctg C .
vm.nm
u.org.
ua
66
3. 12 1x
dxx
. Подстановка: 22 1x t .
Ответ: ( 2) 2 13
x xC
.
4. 3dx
x x . Подстановка: 6x t .
Ответ: 3 6 62 3 6 6ln 1x x x x C .
5. 6
31xdx
x . Подстановка: 6x t .
Ответ: 6 6 656 2 6 65 x x x arctg x C .
6. 1 1
xdx
x . Подстановка: 21x t .
Ответ: 32 ( 1) 4 1 4ln 1 13 x x x x C .
7. 41 2 1 2dx
x x . Подстановка: 41 2x t .
Ответ: 4 41 2 2 1 2 2ln 1 2 1x x x C .
8. 3 4
dx
x x . Подстановка: 6x t .
Ответ: 6
66 12 2x
x arctg C .
9. 2 2x a dx . Подстановка: cossina
x a ectt
.
Ответ: 2 2 2 2 21 ln2 x x a a x x a C .
10. 2 23 4
dx
x x . Подстановка: 2sinx t .
Ответ: 2
2
1 3 4ln2 3 3 4
x xC
x x
11. 2
25x
dxx
. Подстановка: 5x tgt .
Ответ: 2
25 ln 5xx x C
x
.
vm.nm
u.org.
ua
67
7. ОБ ИНТЕГРАЛАХ, НЕ ВЫРАЖАЮЩИХСЯ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
В (1.1) мы уже отмечали, что всякая функция, непрерывная на промежутке X , имеет на этом промежутке первообразную, т. е. существует такая функция ( )F x , что ( ( )) ( )d F x f x dx . Однако не всякая первообразная, даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции. Последнее происходит из-за узости класса элементарных функций. При этом говорят, что интеграл в элементарных
функциях "не берется". Сказанное относится к 2xe , 1
ln x, sin x
x, 31 x и
бесчисленному множеству других функций. В таких случаях задачу интегрирования решают приближенными методами.
8. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Определение первообразной. 2. Сформулировать теорему о свойстве первообразных. 3. Какая функция имеет первообразную? 4. Определение неопределенного интеграла. 5. Как называют выражение, которое стоит под знаком неопределенного интеграла? 6. Геометрический смысл неопределенного интеграла. 7. В чем состоит смысл замены переменной в неопределенном интеграле? 8. Записать формулу интегрирования по частям. 9. Для каких типов интегралов применяется формула интегрирования по частям? 10. Как называют действие отыскания всех первообразных? 11. Чему равна производная от неопределенного интеграла? 12. Чему равен неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции? 13. Можно ли постоянный множитель выносить за знак неопределенного интеграла? 14. Чему равен неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций? 15. Какая дробь называется рациональной? 16. Какая рациональная дробь называется неправильной? 17. Какая рациональная дробь называется правильной? 18. Как нужно проинтегрировать неправильную дробь? 19. Как интегрируется простейшая правильная дробь (1 случай)?
vm.nm
u.org.
ua
68
20. Как интегрируется простейшая правильная дробь (2 случай)? 21. Как интегрируется простейшая правильная дробь (3 случай)? 22. Какую подстановку используют при интегрировании sin ,cosR x x dx ?
23. Какую подстановку используют при интегрировании 2sin ,cos cosR x x xdx ?
24. Какую подстановку используют при интегрировании 2sin ,cos sinR x x xdx ?
25. Как найти sin cosm nx xdx , если n – нечетное целое положительное число?
26. Найти 2 2sin 2 cos 2x xdx .
27. Какая подстановка используется при интегрировании ( )R tgx dx ?
28. Какую формулу нужно применить, чтобы sin cosmx nxdx привести к табличному? 29. Какую формулу нужно применить, чтобы sin sinmx nxdx привести к табличному. 30. Какую формулу нужно применить, чтобы cos cosmx nxdx привести к табличному. 31. Какая подстановка используется для нахождения , nR x ax b dx ?
32. Какая подстановка используется для нахождения 2 2,R x a x dx ?
33. Какая подстановка используется для нахождения 2 2,R x a x dx ?
34. Какая подстановка используется для нахождения 2 2,R x x a dx ?
vm.nm
u.org.
ua
69
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2-х т. – М.: Наука, 1985. – Т.1. – 432 с.
2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2-х т. – М.: Наука, 1967. – Т.1. – 440 с.
3. Синайский Е.С., Новикова Л.В., Заславская Л.И. Высшая математика: Учеб. пособие. – Д.: НГУ, 2004. – Ч.1. – 398 с.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1990. – 624 с.
5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987. – 352 с.
6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977. – 416 с.
vm.nm
u.org.
ua
70
Навчальне видання
Бібліотека іноземного студента
Мільцин Анатолій Михайлович Павліщев Валентин Іванович
Бойко Любов Йосипівна Орел Валентина Пантеліївна
Математика
Частина 7
Невизначений інтеграл
(у прикладах і задачах)
Навчальний посібник
(Російською мовою)
Редактор Ю.В. Рачковська
Підписано до друку 18.01.08. Формат 30 х 42/4. Папір офсет. Ризографія. Ум. друк. арк. 3,8. Обл.-вид. арк. 3,8. Тираж 250 прим. Зам. №
Підготовлено до друку та видрукувано у Національному гірничому університеті.
Свідоцтво про внесення до Державного реєстру ДК № 1842. 49005, м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 19
vm.nm
u.org.
ua
69
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2-х т. – М.: Наука, 1985. – Т.1. – 432 с.
2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2-х т. – М.: Наука, 1967. – Т.1. – 440 с.
3. Синайский Е.С., Новикова Л.В., Заславская Л.И. Высшая математика: Учеб. пособие. – Д.: НГУ, 2004. – Ч.1. – 398 с.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1990. – 624 с.
5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987. – 352 с.
6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977. – 416 с.
vm.nm
u.org.
ua
70
Навчальне видання
Бібліотека іноземного студента
Мільцин Анатолій Михайлович Павліщев Валентин Іванович
Бойко Любов Йосипівна Орел Валентина Пантеліївна
Математика
Частина 7
Невизначений інтеграл
(у прикладах і задачах)
Навчальний посібник
(Російською мовою)
Редактор Ю.В. Рачковська
Підписано до друку 18.01.08. Формат 30 х 42/4. Папір офсет. Ризографія. Ум. друк. арк. 3,8. Обл.-вид. арк. 3,8. Тираж 250 прим. Зам. №
Підготовлено до друку та видрукувано у Національному гірничому університеті.
Свідоцтво про внесення до Державного реєстру ДК № 1842. 49005, м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 19