[vnmath.com]-các chuyên đề lt Đh

5/9/2018 [VNMATH.COM]-c c chuy n LT H - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/vnmathcom-cac-chuyen-de-lt-dh 1/51

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQ

Le Van Thao gui dang tren www.vnmath.com

CHƯƠNG I MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ

1.1. Tính đơn điệu của hàm số

A. Lý Thuyết:Hàm số đơn điệu:- Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng.

* f đồng biến trên K nếu với mọi

* f nghịch biến trên K nếu với mọi

- Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó :* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì

* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì- Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Định lý 1: Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange) Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm

sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a)

Định lý 2:

1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.

* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I.

* Nếu thì hàm số f không đổi trên I2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b).

* Nếu với mọi thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửkhoảng [a,b)

* Nếu với mọi thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b)

B. Bài Tập :

Bài tập1: Chứng minh rằng với mọi phương trình có một nghiệm duy

nhất thuộc đoạn

Bài giải:

Xét hàm số liên tục trên đoạn

Ta có

Vì sinx > 0 nênCreated by [email protected] Mobile 0977.856.521

http://www.vnmath.com/


mailto:[email protected]







Hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn

* Hàm số f liên tục trên đoạn , ta có , nên phương trình cho không có nghiệm

* Hàm số f liên tục trên đoạn ta có . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm

số liên tục ( lớp 11) , với mọi , tồn tại một số thực sao cho f( c) = 0 , vậy c là nghiệm

phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn nên phương trình có nghiệm duy nhấVậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc

Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R Bài giải:

Để hàm số đồng biến trên R thì

*!/ m = -2 thì không thỏa!!/ m = 0 thì đúng . Vậy m = 0 thỏa

* , khi đó để thì

Vậy hàm số đổng biến trên R

Bài tập 3: Cho hàm số : . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn cđộ dài bằng 5Bài giải :* Tập xác định : D = R

*

* , khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt

Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì thỏa mãn

m = hehe!!!

Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số luôn luôn đồng biến?Bài giải:* Tập xác định D = R

* y’ = (2m + 3)cosx + (2 - m) = (2m + 3)t + (2 - m) = f(t) ; với

Created by [email protected] Mobile 0977.856.521







Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQ* Để hàm số đồng biến trên D thì

Bài tập 5:Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trongkhoảng D =Bài giải:

Để hàm số đồng biến trong khoảngPP1:

(**)

Ta có:2

2 2 2

4 1 4 2( ) '( ) 0, (2, )

4 1 ( 4 1)

x x x f x f x x

x x x x

+ − −= ⇒ = < ∀ ∈ +∞

+ + + +, do đó

x [ 2, + )9(**) ax {f(x)} = f(2) m 13

m m∈ ∞

⇔ ≥ ⇔ ≥

PP2:

* m = 0 khi đó1

' 4 1 0 ông thoa mãn ' 0, (2; )4

y x x kh y x= − − ≥ ⇔ ≤ − ⇒ > ∀ ∈ +∞ .Vậy m = 0 ( loại )

*

!/ Hàm số đồng biến trên R khi

Do đó với thì hàm số cũng đồng biến trong khoảng

!!/ Giả sử thì pt y'=0 có hai nghiệm phân biệt

Hàm số đồng biến trong khoảng khi ta có hệ:

Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm

Bài tập 11/Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến ?.

2/Định m để hàm số luôn luôn đồng biến ?.

3/ Định m để hàm số luôn luôn giảm

4/ Cho hàm số . Tìm m để









5/ Định m để hàm số đồng biến trong khoảng

6/ Định m để hàm số nghịch biến trong khoảng

Bài tập 21/Chứng minh rằng phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

2/Cho hàm số có đồ thị là ( Cm); m là tham số.a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4.c. Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.

1.2. Sử dụng tính chất đơn điệu giải phương trình chứa căn

Phương trình vô tỉ là mảng kiến thức thường gặp trong các đề thi đại học , cách giải của phương trình vô rất đa dạng và sau đây tôi xin giới thiệu phương pháp nhỏ sử dụng tính đơn điệu.

I)Dạng I:

Giả sử

Vậy phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 1) Giải phương trình :

Điều kiện

Giả sử

Vậy

II)Dạng II

trong đó

Ví dụ II)Giải phương trình:

Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với:









Giả sử:

suy ra

Vậy phương trình có nghiệm là x=1.

Sau đây là một số bài tập áp dụng:

Giải phương trình:

Bài 1)

Bài 2)

Bài 3)

Bài 4)

Bài 5)

1.3. Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT

1.3.1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT-BPT-HPTĐịnh lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của pt trên Df(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D.

Chứng minh:Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k. Do f đồng biến nên* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên pt f(x) = k vô nghiệm* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên pt f(x) = k vô nghiệmVậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm.Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạn

f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biế(nghịch biến) Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.

Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb)vliên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một.

Chứng minh:Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.








Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQ*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a.*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a.Vậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm. Chú ý: Khi gặp pt F(x) = 0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x) = g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệKhi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt có m nghiệm, khi đó pt có nhiều nhất

m+1 nghiệm.Định lí này là hệ quả của Định lí Roll.Định lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì

f(x) = f(y) ↔ x = y. Các ví dụ:Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

.

.

.

.Giải:1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khkhăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các bạn sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và x=1 là mộnghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải nhsau.

ĐK:

Xét hàm số , ta có f(x) là hàm liên tục trên D v

nên hàm số f(x) luôn đồng biến.Mặt khác, ta thấy f(1)=4*Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vô nghiệm*Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1)=4 nên pt vô nghiệmVậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Chú ý:

* vì các hàm số y=ax+b với a>0 là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm ( vđiều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra VT của pt là hàm đồng biến* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị số chính phương. 2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và thechú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm đồng biến và pt có nghiệm x=1. Do đó pt nàcó nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1)3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy nhiên nếu nhìn kthì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 v

2x2+1=(2x2)+1, do vậy nếu đặt thì phương trình đã cho trở thành:Created by [email protected] Mobile 0977.856.521








, trong đó là một hàm liên tục và

nên f(t) luôn đồng biến. Do đó

Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2.4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấ

, do vậy nếu đ, khi đó phương trình trở thành:

, trong đó với t>0 .Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy

.Có nhiều phương trình để giải nó ta dự đoán được một số nghiệm và sau đó ta chứng minh ( dựa và

định lí 3) số nghiệm của phương trình không vượt quá số nghiệm ta vừa dự đoán. Ta xét ví dụ sauVí dụ 2: Giải các phương trình sau:

.

.Giải:1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0 và x=1. Ta chứng minh phương trình đã cho có không quá hai nghiệm

Để có điều này ta cần chứng minh hàm số có g''(x)>0 (vì khi đtheo đ/l 3 suy ra g'(x) có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luô

đúng vìVậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1. 2) Đk: x>-1/2.

, trong đó là hàm liên tục và đồng biến. Do đó

Xét hàm số , ta có: , suy ra pt g’(x)=có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn đến pt g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x=0 và x=1 là hai nghiệmcủa pt g(x)=0nên phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1. Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất

.Giải:Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau* Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần chứng chứng minf(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0* Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.Trở lại bài toán:

Xét hàm số .Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2)<0, dẫn đến f(x)=0 luôn có nghiệm









Giả sử là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó . Từ đây ta suy

được . Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x>=1

Ta có nên f(x) là hàm đồng biến.Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.

Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến, do vậy cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình.* Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó là khảo sát hàf(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại mđiểm.

Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán về phương trình ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó hi vong các em có thêm những kĩ năng gi phương trình và nhận dạng được những dạng phương trình nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến . Bâgiờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình. Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:

.

. Giải:

1) ĐK: .

Xét hàm số

Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6.Do đó

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của Bpt là: .2) ĐK: .

Xét hàm số , ta có

suy ra f(x) là hàm đồng biến

Mặt khác:Do vậy Bpt

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

Giải:Từ (2) ta suy ra được |x|,|y|<=1.

, trong đó









với |t|<=1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1]

nên . Thay x=y vào (2) ta có được

là ngiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 6: Giải hệ pt

Giải: Từ pt(1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số

Từ (2) và (3) ta có :

(vì hàm số f(t)=sint-3t là hàm liên tục và nghịch biến trê

.)

Thay x=y vào (2) ta được nghiệm của hệ là: .Chú ý:*Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương pháp, là một phương trình của hệ có dạnf(x)=f(y), dẫn đến ta khảo sát tính đơn điệu của hàm số f(t)* Một chú ý khi sử dụng tính đơn điệu là chúng ta chỉ có được

khi f(t) liên tục và đơn điệu Ví dụ 7: Giải hệ phương trình

Giải: Đặt t=2x-y. Khi đó (1) trở thành:

(*)Ta thấy vế trái (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến và t=1 là một nghiệm của (*). Do vậy (có nghiệm duy nhất t=1

t=1 hay 2x=y+1, thay vào (2) ta được: (Vì hà

là hàm liên tục và đồng biến, đồng thời f(-1)=0).Vậy nghiệm của hệ là:(x;y)=(0;-1). Ví dụ 8: Giải hệ:

Giải: Xét hàm số

Khi đó hệ có dạng : .









ta có: nên f(t) là hàm đồng biếnTa giả sử (x,y,z) là no của hệ và x=Max{x,y,z} khi đó, ta suy ra

Vậy , thay vào hệ ta được phương trình:

.Ta dễ dàng chứng minh được phương trình này có nghiệm duy nhất x=1Vậy x=y=1 là nghiệm của hệ đã cho. Bài tập:Bài 1: Giải các phương trình sau:

Bài 2: Giải các bất phương trình sau

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

.

.

.

.









.

.

.

.

.

Bài 4: Giải và biện luận phương trình

1.3.2. Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số

Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bàitoán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này

chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phươntrình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải cácdạng toán đó. Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên DPhương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm hai đồ thị của hai hàm số và

cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:

1) Lập bảng biến thiên của hàm số .

2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số .

Chú ý : Nếu hàm số liên tục trên D và , thì phương trìnhcó nghiệm

Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

Giải:

1)Xét hàm số có tập xác định là D=R.









Ta có:

thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình f’(x) = 0 vô nghiệm không đổi dấu trên R, mà

đồng biến.

Mặt khác: và .Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm . 2) ĐK:

Xét hàm số với

Ta có: .

vô nghiệm

không đổi dấu trên D, mà

Mặt khác: phương trình có nghiệm .

Chú ý :Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên.

Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

.Giải:1) Phương trình


Ta có: .

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm . 2) Điều kiện: .

Khi đó phương trình









(Vì )

Xét hàm số với .

Ta có: .

Do .

Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4]

Suy ra phương trình có nghiệmChú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rútđược ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quta tìm được ở trên.

Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

Giải:Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này

Ta có: .

Hệ có nghiệm có nghiệm .

với

có .

Vậy hệ có nghiệm . Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

Giải:

Ta có: .

* Nếu vô nghiệm.

* Nếu đúng

có nghiệmSuy ra hệ có nghiệm có nghiệm

Ta có: . Xét hàm số f(x) với , có:

.Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm . Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:









.Giải:Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước

Ta có: . Thay vào (1) ta được:

(3).

Hệ có nghiệm có nghiệm . Xét hàm số f(y) với

đồng biến trên các khoảng và

Suy ra hệ có nghiệm .Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số và

. Do đó phương trình có k nghiệm hai đồ thị trên cắt nhau tại k giao điểm. Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

Giải:

Đặt . Ta có phương trình :

.

Xét hàm số

.Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình : có ba nghiệm phân biệt.Giải:

Phương trình (do )

Xét hàm số

.Dựa vào bảng biến thiên .

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình : có đúng một nghiệmGiải:Ta thấy để pt có nghiệm thì . Khi đó:









Phương trình .

Xét hàm số : với

Ta có: với nghịch biến.

Mà: và

Vậy phương trình có đúng một nghiệm

.

Ví dụ 9: Tìm m để hệ phương trình :

có ba cặp nghiệm phân biệt .

Giải:

Ta có : (do x = 0 không là nghiệm phương trình ).Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

(a) .Hệ có ba cặp nghiệm (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Xét hàm số với .

.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt

.

Vậy là những giá trị cần tìm.

Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xácđịnh vừa tìm. Cụ thể:

* Khi đặt , ta tìm được và phương trình (1) trở thành

(2). Khi đó (1) có nghiệm (2) có nghiệm .* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t

chính là miền giá trị của hàm ).* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị

thì phương trình có bao nhiêu nghiệm ?. Ví dụ 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm.

.









.

. Giải:1) Điều kiện: .

Phương trình

ĐặtTa có phương trình : (1).

Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm

Xét hàm số với , có .

Vậy phương trình có nghiệm . 2) Điều kiện:

Đặt

Phương trình đã cho trở thành: (2).

Xét hàm số

.Dựa vào bảng biến thiên của

Suy ra (1) có nghiệm có nghiệm .

Xét hàm số với , có

Suy ra là hàm đồng biến trên

Vậy phương trình có nghiệm .

3) Điều kiện : .

Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho , ta được:

( * ).

Đặt

Khi đó ( * ) trở thành: (3).

Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm .

Xét hàm số f(t) với , có: .

.Vậy phương trình có nghiệm . Created by [email protected] Mobile 0977.856.521







Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQChú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định củt .Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của t. Tuy nhiên ngoài những cách trên tacòn có những cách khác để tìm miền xác định của t. Chẳng hạn:Ở câu 2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t :

.Ở câu 3 để tìm miền xác định ta có thể làm như sau:

vì .

Ví dụ 11: Tìm m để các phương trình

có nghiệm .

có nghiệm trênGiải:1) Đặt và .

Phương trình đã cho trở thành: (3) ( vì ).

Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm t thỏa mãn .

Xét hàm số với , ta có:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm .

2) Đặt . Với .

Phương trình đã cho trở thành:

Phương trình đã cho có nghiệm trên có nghiệm

Xét hàm số với , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên [1;2]

Suy ra .

Vậy phương trình có nghiệm

Ví dụ 12: Xác định mọi giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt

Giải: Điều kiện : .

(Do ).Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt .

Đặt và (2) trở thành

Từ cách đặt ta có: Với mỗi giá trị thì cho ta đúng một giá trị .

Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt .










Suy ra (3) có 2 nghiệm phân biệt

1.4. ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG

A. GIỚI THIỆU

Định lí Lagrange được phát biểu như sau: Cho hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoản(a,b) thì luôn tồn tại sao cho:

Chúng ta sẽ đi tìm hiểu 3 bài toán sử dụng định lí Lagrange trong chương trình THPT như sau:I. Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức.II. Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm.III. Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình.

B. NỘI DUNG1.4.1. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.* Phương pháp

Từ định lí Lagrange , nếu thì:

Vậy từ định lí Lagrange để áp dụng được kết quả trên, điều quan trọng nhất là xác định được hàm số F(x* Ví dụ minh họa

VD1: CMR nếu thì:GiảiBất đẳng thức đã cho tương đương với:

Xét hàm số: liên tục trên , và có đạo hàm trong khoảng . Theo định

Lagrange luôn tồn tại sao cho:

Ta có:

(đpcm).

NX: Điều quan trọng hơn cả trong bài toán này là chúng ta nhận ra được hàm số F(x) qua việc biến đổitương đương BPT đã cho. Ta xét VD 2 …

VD 2: Cho . Chứng minh:Giải

BĐT đã cho tương đương với:

Đặt với



http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=9

http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=13#10


































Ta có:AD định lí Lagrange đối với hàm số: trên , thì tồn tại sao cho:

. Từ (1) suy ra:

Suy ra: (đpcm). NX: Bài này khó hơn bài trên ở chỗ phải tinh ý lấy logaNepe hai vế mới nhận ra đựơc hàm số f (x).

VD 3: Cho a<b<c. CMR:

GiảiXét hàm số:

Theo định lí Lagrange tồn tại sao cho:

Ta thấy:

Từ (1)

Do đó, từ . Suy ra:

1.4.2. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM.* Phương pháp:

Từ định lí Lagrange, nếu F(b)-F(a)=0 thì tồn tại sao cho:

phương trình có nghiệm thuộcĐể áp dụng được định lí Lagrange phải nhận ra hàm số F (x) (thực ra nó là nguyên hàm của hàm

số f(x)).Dạng bài toán này làm theo các bước sau:Bước 1: Xác định hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b), thoả mãn:

a. F'(x)=f(x).b. F(b)-F(a)=0.

Bước 2: Khi đó tồn tại sao cho:

phương trình f(x)= 0 có nghiệm .

* Ví dụ minh hoạ:VD1: CMR phương trình:

có nghiệm với mọi a,b,c.Giải

Xét hàm số:Dễ dàng nhận thấy:















































Khi đó tồn tại sao cho:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng .

VD 2: Giả sử: . CMR phương trình:có nghiệm thuộc khoảng (0, 1)

Giải

Xét hàm số: liên tục trên [0,1] và có đạo hàm trong khoảng (0,1). Ta có:


Vậy phương trình đã cho có nghiệm thụôc khoảng (0,1).Từ VD2 ta có thể giải được bài toán sau:

VD3: Giả sử: . CMR phương trình:có nghiệm thuộc khoảng (0,1).

Giải

Xét hàm số:

Nhận thấy, F(x) liên tục trên [0,1] và có đạo hàm trong khoảng (0,1).Ta có:


V ì n ên ta c ó: .V ậy ph ư ơng tr ình đ ã cho c ó nghi ệm thu ộc kho ảng (0,1).

1.4.3. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.* Phương pháp:

Đ ể áp d ụng đ ịnh l í Lagrange vào việc giải phương trình ta thực hiện theo các bước sau đây:Bước 1: Gọi là nghiệm của phương trình.

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng thích hợp , từ đó chỉ ra hàm số liên tụctrên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b).

Khi đó theo định lí Lagrange tồn tại sao cho:








































(*)Bước 3: Giải (*), ta xác định được .Bước 4: Thử lại

* Ví dụ minh họa:VD 1: Giải phương trình: .Giải

Gọi là nghiệm của phương trình đã cho. Ta được:(1)

Xét hàm số: . Khi đó:

(1)Vì F(t) liên tục trên [3,4] và có đạo hàm trong khoảng (3,4), do đó theo định lí Lagrange tồn tại

sao cho:

Thử lại và thấy đúng.

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=1.

VD 2: Giải phương trình: Giải

Gọi là nghiệm của phương trình đã cho, ta có:

(2).

Xét hàm số: , khi đó:

Vì F(t) liên tục trên [2,3] và có đạo hàm trên (2,3), do đó theo định lí Lagrange luôn tồn tại

sao cho:

Thử lại thấy đúng. vậy phương trình có hai họ nghiệm và .

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

1. CMR nếu x>y> 0 thì2. Giải các phương trình sau:

1.

2.





































Chương II PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNHLe Van Thao gui dang tren www.vnmath.com

2.1. Phương pháp giải một số phương trình bậc bốn

Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi học kỳ, hoặc ngay cả kiểm tra trên lớp đều có thể xuất hiện các bàitoán giải phương trình bậc bốn. Tôi viết bài này mong cung cấp cho các bạn một phương pháp tổng quátđể giải các bài toán đó. Ở khuôn khổ bậc THPT, tôi chỉ đề cập đến việc giải ra nghiệm thực của PT. Sauđây là một số dạng PT bậc bốn hay gặp:

1) Phương trình đối xứng

Là PT có dạng:

Nhận xét rằng không phải là nghiệm của PT, vì vậy chia 2 vế của PT cho , ta thu được PT

(1)

Đặt , điều kiện t , thay t vào (1) thu được PT:

Tới đây ta giải PT bậc hai như bình thường.Chú ý: cách giải tương tự đối với những PT sau:

với ,

2) Phương trình trùng phương (bỏ qua vì trong SGK đã có)

3) Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m, với a + b = c + d






















Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQViết lại PT dưới dạng

Đặt

Điều kiện

PT tương đương:

Sau đó giải phương trình bậc 2.

4) Phương trình

Đầu tiên đặt

Thay vào PT rồi triển khai, ta thu được PT tương đương:

Đặt , điều kiện , ta thu được phương trình trùng phương ẩn u. Từ đó giải tiếp ta tìm được x

5) Phương trình

Ý tưởng để giải phương trình này là biến đổi 2 vế về 2 tổng bình phương bằng nhau. Biến đổi như sau:

(2)Vấn đề là tìm được m sao cho vế phải trở thành một tổng bình phương. Ta nhận thấy nếu vế phải là tổng bình phương thì phương trình Vế phải = 0 có nghiệm kép, khi và chỉ khi , tức là:

Tới đây ta thu được phương trình bậc 3 của m:






































Tiếp tục giải ta sẽ thu được nghiệm m. Thay m vào phương trình (2) rồi giải tiếp tìm được x.

6) Kết quả mở rộng cho phương trình bậc bốn tổng quát

(3)

Vế phải là tổng bình phương thì phương trình Vế phải = 0 phải có nghiệm kép, khi và chỉ khi ,tức là:

(4)

Giải phương trình (4) ta thu được 3 giá trị của m. Sau đó lại thế m vào PT (3) để giải tiếp.

2.2. Sử dụng hằng đẳng thức giải phương trình vô tỉ

Dạng I) Phương trình dạng

Ví dụ 1:Giải phương trình:


Giải (1):

Giải (2):


Điều kiện:

Phương trình đã cho tương tương với:

Giải (1) ta có: x=0.









































Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQGiải (2) ta có x=1.

Dạng II) Phương trình dạng


Điều kiện

Phương trình đã cho tương đương với :

Giải (1) x=1.

Giải (2) x=0.


Điều kiện


Giải (1) ta có

(vô nghiệm)

Giải (2) ta có:x = 0.

Dạng III) Phương trình dạng:


Phương trình đã cho tương đương với :

Dạng IV)


Điều kiện:


Sau đây là một số bài tập áp dụng:Giải phương trình:

Bài 1)

Bài 2)

Bài 3)

Bài 4)

Bài5)

----------------------------------------------------------

2.3. Phương pháp đặt ẩn phụ trong giảiphương trình vô tỷ

Có ba bước cơ bản để thực hiện PP này:- Đặt ẩn phụ và gán điều kiện cho ẩn phụ















































Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQ- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ. Tiến hành giải quyết phương trìnhvừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọnẩn phụ thích hợp.- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm đượcvà kết luận nghiệm

* Nhận xét :

- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán .- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôimuốn nêu ra trong bài viết này đó là :+ PP Lượng giác hoá+ PP dùng ẩn phụ không triệt để+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ

Trong khuôn khổ bài này tôi chỉ trình bàyPhương pháp lượng giác hoá, các PP khác các

bạn xem them trong các sách tham khảo.

1. Nếu thì ta có thể đặt

hoặc

Ví dụ 1 :

Lời giải :

ĐK : ĐặtPhương trình đã cho trở thành :

cos( )( ) = 0

Kết hợp với điều kiện của t suy ra :

Vậy phương trình có 1 nghiệm :

Ví dụ 2 :

Lời giải : ĐK :Khi đó VP > 0 .

Nếu Vậy VT < = 0 nên PT vô nghiệm

Nếu .

Đặt , với ta có :

( ) ( ) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là

Ví dụ 3 :

Lời giải :

ĐK :

Đặt phương trình đã cho trở thành :

Vậy nghiệm của phương trình làVí dụ 4 :

Lời giải :ĐK : x >= -2

Nếu : thì

Vậy

Đặt phương trình đã cho trở thành :

v.v…Ví dụ 5 :

Lời giải :

ĐK :

ĐặtPhương trình đã cho trở thành :









kết hợp với điều kiện của t

2. Đặt để đưa về phươngtrình lượng giác đơn giản hơn :

Ví dụ 6 :

(1)

Lời giải :

ĐK:

Đặt .Khi đó (2) trở thành :

v.v.

3. Mặc định điều kiện : . sau khi tìm đượcsố nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phươngtrình và kết luận :Ví dụ 7:

Lời giải : phương trình đã cho tương đương với :

(1)Đặt :(1) trở thành :

Suy ra (1) có tập nghiệm :

Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tậpnghiệm chính là SHic, Gõ mỏi tay quá ! Mong các sỉ tử viết tiếpvào hộ tôi với nhé. Hehe!!!

2.4. Phương trình đẳng cấp lượng giác:

Cách giải:* Tìm nghiệm (lúc đó và

)

* Chia hai vế phương trình cho ta đượ phương trình :

Đăth ta có phương trình :

Giải phương trình tìm được

Bài 1 : Giải phương trình

(*)GiảiVì không là nghiệm nên

Chia hai vế của (*) cho ta được

Đặt ta có phương trình :

Vậy hay

hay

Bài 2 : Giải phương trình :

(*)Giải

*Khi thì và t(*) vô nghiệm*Do không là nghiệm nên chia hai vếcủa (*) cho ta có






























(*)

GiảiDo không là nghiệm nên chia hai vế

của (*) cho

Ta có :

Bài 4 : Giải phương trình (*)Giải


Bài 5 : Giải phương trình(*)

Giải

* Khi thì (*) vô nghiệm

* Chia hai vế phương trình (*) cho tađược

(với tgα = 2)

Bài 6 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm

2003) – Năm tớ thi đây màGiải phương trình

(*Giải

Điều kiện vàTa có :

(do nên, )Do đó :

V (**)

(nhận do )Lưu ý : có thể làm cách khác

: vô nghiệm

Bài 7 : Giải phương trình(*)

Giải

Vì không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho ta được





























(*)GiảiĐiều kiện :Ta có :

Do không là nghiệm của (**) . chiahai vế phương trình (**) cho ta được

: Vô nghiệm

Bài 9 : Giải phương trình (*)

Giải*Vì không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho thì


(*)

GiảiChia hai vế của phương trình (*) cho

Bài 11 : Cho phương trình

*)a/ Giải phương trình khi b/ Tìm m để phương trình (*) có duy nhất mộ

nghiệm trênGiải

Khi thì và nê(*) thành :

vô

nghiệmChia hai vế (*) cho thì

a/ Khi thì (*) thànhCreated by [email protected] Mobile 0977.856.521
































b/Ta có : thìXét phương trình : (2)

(do không là nghiệm )

Đặt (C) và

Ta có :

Do (**) luôn có nghiệm trên yêu cầu bài toán

Cách khác : Dùng tam thức bậc haiBÀI TẬP1.Giải các phương trình sau :

a/

b/c/

d/e/

f/

g/

h/k/

m/

n/2.Cho phương trình :

a/ Tìm m để phương trình có nghiệm

b/ Giải phương trình khi

(ĐS : )

2.5. Phương trình lượng giác chứa căn vàphương trình lượng giác chứa giá trịtuyệt đốiA) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCCHỨA CĂN

Cách giải : Áp dụng các công thức

Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh đã bỏ phần bất phương trình lượng giácnên ta xử lý điều kiện bằng phương pháp thử lại và chúng tôi bỏ các bài toánquá phức tạp.


Giải































GiảiĐiều kiện :

Lúc đó :


GiảiTa có :

So lại với điều kiện

* Khi thì

* Khi thì

Do đó

















GiảiLúc đó :

(hiển nhiên là nghiệm , vìthì VT=2, VP=0 )

Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứagiá trị tuyệt đối


GiảiĐặt

(*) thành

Do đó (*)

hy


Giải


Đặt với

Thì

(*) thành

(vô nghiệmDo đó

với


Giải

hay

hoặc





















Hoặc

(**)

Hoặc (**)

Ta thấy hệ (**) vô nghiệm vì:

(**) hoặc

Vậy (*)


Giải


(*)Giải

Điều kiện vàLúc đó :

(loại)

Thử lại : * thì

(nhận) Và

(nhận)

* thì (nhận) và

(nhận)Do đó

Chú ý : Tại (**) có thể dùng phương trìnlượng giác không mẫu mực


















Cách khác

hay

hay

hay

hay(nhận xét : khi thì và

)

BÀI TẬP1.Giải phương trình :

a/

b/c/

d/

e/

f/

g/h/

k/

l/

2.Cho phương trình :(1)

a/ Giải phương trình khi

b/ Giải và biện luận theo m phương trìn(1)

3.Cho

a/ Giải phương trình khi

b/ Cho.Tìm tất cả các giá trị m để phương trình

có nghiệm.(ĐS : )

4.Tìm m để phương trình sau có nghiệm

(ĐS

B.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCCHỨA CÁC TRỊ TUYỆT ĐỐI

Cách giải :1/ Mở giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa2/ Áp dụng

*

*


(*)Giải


(*)Created by [email protected] Mobile 0977.856.521


































Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQGiải

ĐặtVới điều kiện :Thì

Do đó (*) thành :

(loại)

Vậy


(*)GiảiĐặt (điều kiện

)Thì

(*) thành :

(loại do điều kiện)Khi thì

Bài 13 : Giải phương trình (*)Giải

Bài 14 : Giải phương trình (

GiảiTa có :

Bài 15 : Tìm các nghiệm trên củaphương trình :

(*)

GiảiTa có :

Điều kiện :

*Khi thì nên :

Do nên hay

Khi thì nên :


















Do nên

Bài 16 : Cho phương trình :

(*)Tìm a sao cho phương trình có nghiệm.GiảiTa có :

Đặt điều kiện

thì (*) thành : (**)

(do thì (**) vônghiệm )

Xét trên

thì

Do đó : (*) có nghiệm .

Bài 17 : Cho phương trình

(*)Tìm m để phương trình có nghiệm trên

GiảiĐặt thìVậy : (*) thành (**)

(chia 2 vế cho )

Khi thìVậy (**)

Xét trênTa có

Do đó : (*) có nghiệm trên

BÀI TẬP1/ Giải các phương trình

a/

b/

c/d/

e/

f/

g/

h/m/

n/

r/s/

o/





















p/

2.Tìm tham số a dương sao cho phươngtrình có nghiệm3.Cho phương trình :

a/ Giải phương trình khi b/ Tìm m để phương trình có nghiệm

(ĐS )

2.5. Phương trình lượng giác không mẫu mực

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNGMẪU MỰCTrường hợp 1 : TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM

Áp dụng Nếu thì


GiảiTa có :


Giải

Ta có :

(ta nhận và loại )


GiảiTa có :

Vậy :

và

và

và

và


































Trường hợp 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP

Nếu thì


(*)Giải

Ta có :

Cách khác :Ta có

Do đó


Giải

Ta có :

* Do : và nên

* Do nên

VậyDấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi


Giải

Điều kiện :

Ta có :

Ta có :Xét (2)Ta có : khi thì

Tương tựVậy vàSuy ra vế phải của (2) thì

Mà vế trái của (2) :Do đó (2) vô nghiệm

Vậy :


Giải

Ta có :

Ta có :màDo đó dấu = của (*) xảy ra





























Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQBài 8 : Giải phương trình :

GiảiDo bất đẳng thức Bunhiacốpski :

nên :

Dấu = xảy ra

Mặt khác :dấu = xảy raVậy :

dấu = của (*) chỉ xảy ra khi :

Bài 9 : GIải phương trình :

GiảiĐiều kiện :* Do bất đẳng thức Cauchy :

dấu = xảy ra khi

* Mặt khác :

nên

dấu = xảy ra khi

Do đó :

Dấu = của (*) xảy ra

Trường hợp 3:

Nếu thì

Áp dụng :

Tương tự cho các trường hợp sau


Giải

Ta có :

Do vànên dấu = của (*) chỉ xảy ra

Do :

để k nguyên ta chọn (thì)

Các khác






















Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQBài 11 : GIải phương trình :

Giải

Vậy :

Do đó :

(Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa)


GiảiTa có :

Cách khác

Bài 13: Giải phương trình :

GiảiTa có :

hay

hayhay (**)

hay

Cách khác

hay
















Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQBài 14 : Giải phương trình :

Giải

Điều kiện :Lúc đó :

Do đó : (*) vô nghiệm.

Cách khác

hay

hay

Bài 15 : Giải phương trình lượng giác :

GiảiTa có :

Cách khác

hay

hay

Cách khác

Trường hợp 4 : DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐlà hàm giảm khi

Do đó ta có


Giải

Ta có :

Xét trên R Ta có :và

Do đó là hàm đồng biến trên R

Vậy nênnên

Do đó :






















Vậy :Dấu = của (*) chỉ xảy ra tạiDo đó


GiảiTa có

Cách khác

hay

BÀI TẬPGiải các phương trình sau

1.

2.

3.

4.5.

6.

7.8.

9.10.

11. với

12.

13.14.

15.16.

17.18.

CHƯƠNG III BẤT ĐẲNG THỨCLe Van Thao gui dang tren www.vnmath.com

3.1. Các phương pháp biến đổi trong chứng

minh BĐT

1. Biến đổi tương đương

khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chúý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức...

Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện

, chứng tỏ rằng :

----------------------------------------------------------

Giải:






















, bất đẳng thức nàyđúng do giả thiết

Đẳng thức xảy ra

2. Đưa về hàm số

khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chấtđơn điệu và liên tục

Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn :và .

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Giải:

Từ giả thiết . Ta có :

Đặt với ; có

P là hàm nghịch biến trong đoạn

( đạt khihoặc

).

( đạt khi

).

3. Sử dụng phương pháp đánh giá:

đây là PP tương đối khó trong việc CM BĐT,tùytừng dạng bài mà có cách đánh giá khác

nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán

Ví dụ 1:

Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộcđoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:

Giải:

Do giả thiết

(đpcm)

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tađều có:

Giải:

bất đẳngthức cần chứng minh đúng với .

Với , đpcm

(1)

Ta có :
























( đpcm).

Ví dụ 3:

Cho . Chứng minh:

Giải:

Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong3 số bằng 1, số còn lại bằng 0

4. Sử dụng tam thức bậc 2

Ví dụ:

Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điềukiện , ta luôn có:

Giải:

- Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minhhiển nhiên đúng.

- Nếu thì với và

đpcm

Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với

nên (1) đúng ( đpcm)

5.Phương pháp quy nạp

Ví dụ:

Chứng minh rằng với thì

Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát

hơn kết quả của bài toán trên.

Giải:

Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây:

Với

Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n)

- Với

( do .

- Giả sử khẳng định đúng với , ta sẽ chứnminh khẳng định cũng đúng với .



















Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQDo khẳng định đúng với

Vì

Mà vế phải bằng

Vậy khẳng định đúng với

3.2. Kỹ thuật Cô-Si ngược dấu

Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳngthức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPTChuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuậtCô-Si ngược dấu.

Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điềukiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:

Bài giải:

Ta luôn có :

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có:

nên (1)

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

(2)

(3)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3)ta có:

(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức

Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c cóa+b+c=3 thì ta có:

Ta có:

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có:nên

(1)

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

(2)

(3)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3)ta cũng có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1















































Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQNhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minhđược những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giảiđược ,sau đây là một số bài tập ứng dụng:

Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d taluôn có:

Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:

Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng

minh rằng:

3.3. Phương pháp tam thức bậc hai trongchứng minh bất đẳng thức

Trong chuyên đề này chúng ta sẽ sử dụng định lívề dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bấtđẳng thức. Nội dung của chuyên đề này hết sứcđơn giản đó là : Đưa bất đẳng thức cần chứng

minh về dạng Khi đó ta có thể xemvế trái của (*) là một tam thức bậc hai của một biến nào đó rồi sử dụng định lí thuận hoặc định líđảo của tam thức bậc hai để chứng minh (*).

Dạng 1 : Sử dụng định lí thuận về dấu của tamthức bậc hai.

Bài 1)Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác cònx,y,z là ba số thỏa mãn điều kiện

ax+by+cz=0.Chứng minh (1)Bài giải:

Từ ax+by+cz=0 Vậy:

(1)

(2)

Nếu y=0 thì (2) -->(2) đúng -->(1đúng.

Nếu ,khi đó:

Quan niệm vế trái của (3) là tam thức bậc hai củ

có hệ số của là a>0 và

Từ |b-c|<a--> , tương tự

và

Vậy -->nên vế trái

của (3) luôn >0-->(3) đúng -->(1) được chứngminh.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 0

Bài 2)Cho và abc=1.Chứng minh rằng:

Từ abc=1 và do nên chắc chắna>0.Ta có:

(1)

Xét tam thức bậc hai Ta có hệ số của là 1>0 và

Theo định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai thì f(x)>0 với mọi x














































đúng-->dpcm

Dạng 2)Sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai

Bài 1)Cho (a+c)(a+b+c)<0.Chứng minh:

Nếu a=0 thì từ giả thiết ta có c(b+c)<0 (1)

Bất đẳng thức phải chứng minh có dạng

(2)

Từ (1) suy ra vậy (2) đúng -->dpcm.

Nếu xét tam thức bậc hai sau:

Từ f(0)=a+b+c ; f(-1)=2(a+c) -->từ gải thiết ta cóf(0)f(-1)<0.Theo định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai suy ra phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt .hay

Một số bài tập vận dụng:

1)Cho các số a,b,c,d,m,n thảo mãn :

.Chứng minhrằng:

2)Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta đều có:

3.4. MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐTCÓ ĐIỀU KIỆN

Chúng ta thường gặp các dạng toán chứng minhBĐT có dạng :Cho ,chứng minh

có một kĩ thuật là ta đi chứng minh :

.Nếu chứng minh đượcnhư thế , từ điều kiện ta suy ra được

.Sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ 1.Cho ,chứng minh :

Giải : Ta có :

mà nên

nên

Ví dụ 2:Cho x,y là các số dương thỏa mãn

,chứng minh rằng :

Giai: Ta có :

Mà

Ví dụ 4:Cho x,y là các số dương thỏa

,chứng minh rằng :

Giải: Ta có :

(x,y là các số dương)

Tương tự 2 bài trên ta suy raMong phương pháp này sẽ hỗ trợ cho các bạngiải toán ,đặc biệt là những ai yêu bài toán BĐT

3.5. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toáBĐT và cực trị
























Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQ.BĐT và cực trị, đây cũng là mảng kiến thức sâurộng và tương đối khó.Bài viết này sẽ hướng dẫncác bạn những hướng suy nghĩ và giải quyết các bài tập dạng này thông qua PP chọn "điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoán được để từ đó cóhướng giải quyết phù hợp nhất.

Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3

Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản:

Bài 1: Cho .Tìm Min của:

Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để

vì dấu = xảy ra khi a=1,mâu thuẫn với đk

Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3và đây chính là "điểm rơi" của bài toán.Khi a=3

thì và

Ta áp dụng Cosi như sau: ta có

Khi đó kết hợp với đk ta có

Dễ thấy khi a=3 thì .Vậy khia=3

Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:

Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi

a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụngCosi như sau:

Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có

.Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có

.Thay vào ta có

Bài 3:

Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR:

P= + + >=

Giải:

Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nnghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạn

.Ở đây d

thấy .Vậy còn a và b.Ta sẽ

dụng PP "điểm rơi".

Ta hãy cứ viết

và dấu "=" đạt được khi .Ta chú ý tiđk x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toá

khi .Khi đó ta có 9a=b.Cho a=và b=9 ta được ngay:

Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 btoán đơn giản hơn rất nhiều và chỉ là TH đặc bicủa bài toán 1.

Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lời gicho các bạn

Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min:

P= + +

3.6. Khai thác một bài toán tìm giá trị nhỏnhất

Chúng ta tìm hiểu một bài toán như sau:









"Cho . Tìm GTNN của

" Đối với dân chuyên Toán và có thể nhiều bạnkhác nữa, bài toán này tương đối dễ. Còn đối vớidân không phải dân chuyên Toán, việc giải vàmở rộng bài toán này đã đưa đến nhiều kết quảthú vị. Hãy thử xem? Trước hết chúng ta xem xétlời giải của bài toán trên:

Cộng 2 BĐT trên ta có

. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ

khi

Tuy nhiên vấn đề đặt ra là tại sao nghĩ ra được số

để thêm vào BĐT? Để giải quyết vấn đề này,sử dụng ý tưởng dùng BĐT như trên, nhưng tôisẽ thêm vào 1 số nào đó:

Cộng hai BĐT trên ta có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Giả sử đã tồn tại để dấu "=" xảy ra, khi đó

.

Thay vào F được GTNN của F là đạt được kh

.

Như vậy việc đưa số vào áp dụng BĐT là hotoàn có cơ sở. Từ đó tôi đã nâng bài toán lên vớhệ số các số hạng là các số dương:

"Cho . Tìm GTNN

của " Mục tiêu của chúng ta là dùng BĐT Cô-si saocho khi cộng 2 BĐT vào, ta có vế trái là 2F cộnvới 1 số hạng nào đó, còn vế phải chứa biểu thứđã cho trong giả thiết. Rõ ràng việc đặt số đơlẻ sẽ không đưa đến kết quả mà phải biến đổi sốhạng cộng vào mỗi BĐT

Cách đặt số hạng cộng vào này giúp ta triệt tiêuđược c bên vế trái, nhân thêm được hệ số a vàovế phải. Ta tiếp tục cộng 2 BĐT:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

. Khi đó . Giả sử đcó alpha thỏa mãn dấu "=", tức là:

(1)

Khi đó theo (1) tìm được GTNN của F là

Lần này, chúng ta phát triển bài toán theo hướngtăng dần số mũ. Để tránh phức tạp, chúng ta chocác hệ số bằng 1.

"Cho . Tìm GTNN của

"
































Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQÁp dụng BĐT Cô-si cho 4 số dương:

Ở đây, cộng 3 số hạng bậc 4 của x với 1 số hạngtự do. Mục đích là để khi ta áp dụng BĐT Cô-si,

ta thu được một số hạng bậc 3 của x. Cộng 2 BĐT:

.Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

. Khi đó (2).Giả sử tồn tại để dấu bằng xảy ra, vậy thì:

.

Thay vào (2) ta có , đạt được khi x =

y =

Không dừng lại ở việc phát triển hệ số, chúng tathử nâng bài toán lên với số mũ, số ẩn,và sẽ mở rộng thêm được một số kết quả sau:Bài toán 1: "Cho

. Tìm GTNNcủa " Áp dụng BĐT Cô-si:

Cộng 3 BĐT vào:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

. Khi đó . Giả sử tồntại thỏa mãn dấu "=", khi đó:

. Khi đó đạt được khi

Bài toán 2: "Cho

. Tìm

GTNN của "

Áp dụng BĐT Cô-si:

Cộng 3 BĐT vào:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

.

Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu

được kết quả:

Đạt được khi

Bài toán 3: "Cho. Tìm GTNN

của "Áp dụng BĐT Cô-si cho n số hạng:


































Cộng 2 BĐT:

Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thuđược kết quả:

Đạt được khi

Các bạn hãy thử tìm lời giải cho các bài toán sau: Bài toán 4: "Cho

. TìmGTNN của ."

Bài toán 5: "Cho.

Tìm GTNN của ."

Bài toán 6: "Cho

Tìm GTNN của ." (a, b,c, d, e, f là các số dương)

-------------------------The End------------------------

Hy vọng tài liệu này tôi tổng hợp sẽ giúp íchđược cho các bạn trong quá trình ôn thi ĐH cũnnhư trong học tập. Mọi ý kiến đóng góp xin vuilong liên hệ theo địa chỉ

[email protected] hoặc

[email protected] - Mobile 0977856521

Thanks!










[vnmath.com]-các chuyên đề lt Đh

Documents