volume benda putar yang diputar dengan sumbu x dan sumbu y

7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y

http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 1/25

KALKULUS II

VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN

SUMBU X DAN SUMBU Y

KELOMPOK 4

DEWI PUTRI 135500060

BEATRIX DA SILVA FORESIN 135500063

SYARIFAH AINI 135500077

MARLIN H. GAT 135500092

VERONIKA DAIMAN 135500095

YENI IRMAWATI 135500177

ANDIKA KAROMAH DEWI 135500195

UNIVERSITAS PGRI ADI BUANA SURABAYA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PENDIDIKAN MATEMATIKA 2013/B

2015



ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat

dan hidayahnya. Sehingga kami kelompok 4 selaku penulis dapat menyelesaikan tugas

Kalkulus II yaitu Makalah tentang Volume Benda Putar yang Diputar Dengan Sumbu- x dan

Sumbu- y.

Makalah ini disusun menggunakan bahasa yang efektif dan mudah dimengerti serta

dipahami. Sehingga diharapkan makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Kami mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang membantu tersusunnya

makalah ini. Sebagai penulis, kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari

kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran selalu kami harapkan agar makalah ini dapat

lebih bermutu dan bermanfaat. Untuk itu kami mengucapkan terima kasih.

Surabaya, 01 Juni 2015

Kelompok 4



iii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ...................................................................................................................... ii

Daftar Isi .............................................................................................................................. iii

Bab I Pendahuluan ................................................................................................................ 1

1.1 Latar Belakang .................................................................................................... 1

1.2 Batasan Masalah ................................................................................................. 1

1.3 Rumusan Masalah ............................................................................................... 1

1.4 Tujuan Dan Manfaat ........................................................................................... 2

Bab II Pembahasan................................................................................................................ 3

2.1 Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Metode Cakram ...................... 3

2.1.1 Diputar Terhadap Sumbu-x ............................................................................ 3

2.1.2 Diputar Terhadap Sumbu- y ............................................................................ 5

2.2 Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Metode Cincin ........................ 7

2.2.1 Diputar Terhadap Sumbu- x ............................................................................ 7

2.2.2 Diputar Terhadap Sumbu- y ............................................................................ 9

2.3 Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Metode Kulit Tabung ............ 12

2.3.1 Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu- y ....................... 13

2.3.2 Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x ....................... 14

2.3.3 Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) Jika

Diputar Mengelilingi Sumbu- y .................................................................... 16

2.3.4 Menentukan Volume Benda Putar Yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) Jika

Diputar Mengelilingi Sumbu- x .................................................................... 17

Bab III Penutup ................................................................................................................... 21

3.1 Kesimpulan ....................................................................................................... 21

Daftar Pustaka ..................................................................................................................... 22



1

BAB I PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Kalkulus ( bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah

ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus

adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan

aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya.

Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta

dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus mempunyai dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral

yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Kalkulus adalah pintu gerbang

menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan

limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Integral adalah kebalikan dari

proses diferensial. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensial di

mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan

dengan solusi diferensiasi. Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tentu.

Bedanya adalah integral tentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu biasanya

dipakai untuk mencari volume benda putar. Dalam mencari volume benda putar kita dapat

menggunakan beberapa metode yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit

tabung.

1.2 BATASAN MASALAH

Penulis membatasi masalah agar pembahasan makalah yang telah dibuat tidak terlalu

meluas dan fokus pada judul. Dan masalah yang akan dibahas yaitu tentang volume benda

putar terhadap sumbu- x dan sumbu- y.

1.3 RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang, berikut beberapa rumusan masalah yang akan kita bahas

pada makalah ini:

a. Bagaimanakah menentukan volume benda putar yang diputar dengan sumbu- x dan

sumbu- y menggunakan metode cakram ?



2

b. Bagaimanakah menentukan volume benda putar yang diputar dengan sumbu- x dan

sumbu- y menggunakan metode cincin ?

c. Bagaimanakah menentukan volume benda putar yang diputar dengan sumbu- x dan

sumbu- y menggunakan metode kulit tabung ?

1.4 TUJUAN DAN MANFAAT

a.

Mengetahui bagaimana menentukan volume benda putar yang diputar dengan

sumbu- x dan sumbu- y menggunakan metode cakram.

b. Mengetahui bagaimana menentukan volume benda putar yang diputar dengan

sumbu- x dan sumbu- y menggunakan metode cincin.

c.

Mengetahui bagaimana menentukan volume benda putar yang diputar dengan

sumbu- x dan sumbu- y menggunakan metode kulit tabung.



3

BAB II PEMBAHASAN

Integral tentu dapat digunakan untuk menghitung luas tidaklah mengherankan;

integral diciptakan untuk keperluan itu. Namun, penggunaan integral berlanjut jauh di luar

penerapan itu. Hampir setiap besaran yang dapat dianggap sebagai hasil pemenggalan sesuatu

menjadi potongan-potongan yang lebih kecil, penghampiran tiap bagian, penjumlahan dan

pengambilan limit apabila tiap potongan mengecil, metode iris, hampiri, dan integrasikan

dapat digunakan untuk menentukan volume benda pejal asalkan volume dari setiap potongan

mudah dihampiri.

Misalkan diketahui suatu benda padat yang diperoleh dengan cara memutar suatu

daerah di bidang datar terhadap suatu garis di bidang itu, benda yang diperoleh disebut suatu

benda putar . Garis di bidang itu disebut dengan sumbu putar . Sebagai ilustrasi misalkan

daerah segitiga diputar mengelilingi salah satu sisinya, daerah yang diputar itu akan

menghasilkan kerucut (Gb.1). Demikian pula dengan segi empat siku-siku, jika diputar

dengan sumbu putar salah satu sisinya, akan menghasilkan silinder lingkaran tegak (Gb.2).

Lihat gambar berikut:

2.1 MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR MENGGUNAKAN

METODE CAKRAM

2.1.1 Diputar Terhadap Sumbu-x

Secara umum, volume benda didefinisikan sebagai luas alas A dikali tinggi h, yakni:

Jika daerah R = {x, y: a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f x, f kontinu}, seperti pada Gb.3. Apabila

daerah R diputar terhadap sumbu- x, diperoleh suatu benda pejal berbentuk cakram (Gb.4). dan benda

putarnya seperti yang nampak pada Gb.5.

Sumbu putar

Gb. 1 Gb. 2

V = A . h



4

Jika elemen luas pada Gb.3 diputar terhadap sumbu x, maka akan diperoleh suatu

bangun yang mempunyai volume. Pada volume benda pejal, V yang dihasilkan dapat didekati

dengan mengambil suatu elemen persegi panjang di R yang tegak lurus sumbu putar. Di mana

interval tertutup [a,b] dibagi menjadi n bagian sehingga ∆xi =b−a

n. Sehingga diperoleh cakram

lingkaran (Gb.4) berjari-jari f(xi) dan tebalnya (tingginya) ∆xi , yang menghasilkan elemen

volume,

∆Vi =

π f 2

xi

∆xi

Maka jumlah volumenya adalah

V = π f 2x1 ∆x1 + π f 2x2 ∆x2 + π f 2x3 ∆x3 + … + π f 2xn ∆xn = π f 2xi ∆xi

n

i=1

Atau dapat dikatakan, jika daerah R diputar terhadap sumbu- x, maka nilai hampiran

untuk volume benda putar oleh n buah cakram lingkaran yang masing-masing volumenya

∆Vi, i = 1,2, ... ,n adalah

V ≈ ∆Vi

n

i=1

= π f 2xi ∆xi

n

i=1

Gb.4

∆xi

f(xi)

x

R

a b

y = f(x)

∆xi x

y

0

Gb.3

Gb.5

y = f(x)

y

xa0 b



5

Karena fungsi f kontinu pada a, b, maka jumlah riemann untuk V ini mempunyai

limit untuk panjang partisi yang menuju nol. Jadi diperoleh

V = limP→0π f 2xi ∆xi

n

i=1

=π limP→0 f 2xi ∆xi

n

i=1

=π f 2x

b

a

dx

Sehingga dapat disimpulkan, volume benda putar yang terjadi bila daerah

R = {x, y: a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f x, f kontinu}, diputar terhadap sumbu- x adalah

2.1.2 Diputar Terhadap Sumbu-y

Jika daerah M = {x, y: a ≤ y ≤ b,

0 ≤ x ≤ gy, g kontinu} , seperti pada Gb.6.

Apabila daerah M diputar terhadap sumbu- y,

diperoleh suatu benda pejal berbentuk cakram

(Gb.7). dan benda putarnya seperti yang

nampak pada Gb.8.

V = π f 2xb

a

dx

Gb.8

x = g(y)

x

y

0

b

a

y

Gb.7

∆yi

g(yi)

x

Gb.6

a

b

x = g(y)

∆yi

y

0

M



6

Jika elemen luas pada Gb.6 diputar terhadap sumbu- y, maka akan diperoleh suatu

bangun yang mempunyai volume. Pada volume benda pejal, V yang dihasilkan dapat didekati

dengan mengambil suatu elemen persegi panjang di M yang tegak lurus sumbu putar. Di

mana interval tertutup [a,b] dibagi menjadi n bagian sehingga ∆yi =

b

−a

n . Sehingga diperoleh

cakram lingkaran berjari-jari g(yi) dan tebalnya (tingginya) ∆yi , yang menghasilkan elemen

volume

∆Vi = π g2(yi) ∆yi

Jika daerah M diputar terhadap sumbu y, maka nilai hampiran untuk volume benda

putar oleh n buah cakram lingkaran yang masing-masing volumenya ∆Vi, i = 1,2, ... ,n adalah

V ≈ ∆Vi

n

i=1

= π g2(yi) ∆yi

n

i=1

Karena fungsi f kontinu pada a, b, maka jumlah riemann untuk V ini mempunyai

limit untuk panjang partisi yang menuju nol. Jadi diperoleh

V = limP→0π g2(yi) ∆yi

n

i=1

=π limP→0 g2(yi) ∆yi

n

i=1

=π g2(y)

b

a

dy

Sehingga dapat disimpulkan, volume benda putar yang terjadi bila daerah

M = {x, y: a ≤ y ≤ b, 0 ≤ x ≤ gy, g kontinu}, diputar terhadap sumbu- y adalah

Secara keseluruhan dapat kita ketahui metode ini dikatakan metode cakram karena

elemen volumenya berbentuk cakram.

CONTOH SOAL

Tentukan volume daerah yang di batasi oleh garis y = x + 2, sumbu- x , x = 1 dan x =

3 yang diputar mengelilingi sumbu- x?

Penyelesaian :

Garis y = x + 2

Untuk x = 0 maka y = 2

Untuk y = 0 maka x = - 2

V = π g2(y)

b

a

dy



7

V = π y2 dxb

a

=

π( x + 2 )2 dx

3

1

= π x2 + 4 x + 4 dx3

1

= π 1

3x3 + 2x2 + 4x

1

3

= π 9 + 1 8 + 1 2 − 1

3+ 2 + 4

= π39 – 61

3

= 322

3 π satuan volume


METODE CINCIN

2.2.1 Diputar Terhadap Sumbu-x

Misalkan untuk daerah R = x, y: a ≤ x ≤ b, gx ≤ y ≤ f x dengan fungsi f dan g

kontinu pada a, b, lihat gambar Gb.9. Bila R diputar dengan sumbu putar sumbu- x, maka

akan dihasilkan suatu benda pejal, di mana bagian tengahnya lubang. Atau dengan kata lain

elemen luasnya menghasilkan benda putar berbentuk cincin (Gb.10), sedangkan benda

putarnya seperti yang nampak pada Gb.11, sehingga metode ini disebut metode cincin. Di

mana untuk menentukan volume benda putarnya, dapat didekati dengan mengembangkan

pendekatan metode cakram.

x

Gb.10

∆xi

r1 = g(xi)

r2 = f(xi) f(xi) − g(xi)

Gb.9

a b

y = f(x) ∆xi

x

y

0

y = g(x)R

0 -2 1 3

2

-2

x

y

y = x + 2



8

Jika elemen luas pada Gb.9 diputar terhadap sumbu- x, maka akan menghasilkan

benda putar berbentuk cincin (Gb.10), di mana dari gambar tersebut diperoleh jari-jari alas

lingkaran luar r2 = f(xi), dan jari-jari alas lingkaran r1 = g(xi), serta tebalnya (tingginya)

adalah ∆xi, sehingga menghasilkan elemen volume

∆Vi = πr22 − r1

2h = πf 2(x

i) − g2(x

i)∆xi

Sehingga dapat kita temukan, bahwa volume benda putar yang terjadi bila daerah

R = x, y: a ≤ x ≤ b, gx ≤ y ≤ f x, f dan g kontinu diputar terhadap sumbu x adalah

V = limP→0πf

2(x

i) − g2(x

i)∆xi

n

i=1

V = π limP→0f

2(x

i) − g2(x

i)∆xi

n

i=1

V = π limP→0 f 2

(xi)

n

i=1 ∆xi − limP→0 g2

(xi)

n

i=1 ∆xi

Gb.11

x

y

0

V = πf 2(x) − g2(x)

b

a

dx



9

2.2.2 Diputar Terhadap Sumbu-y

Daerah D dibatasi oleh dua kurva, daerah D = x, y: a ≤ y ≤ b, gy ≤ x ≤ f y dengan fungsi f dan g kontinu pada

a, b

, lihat gambar Gb.12. Bila D diputar dengan sumbu

putar sumbu- y, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, di mana bagian tengahnya lubang.

Atau dengan kata lain elemen luasnya menghasilkan benda putar berbentuk cincin (Gb.13),

sedangkan benda putarnya seperti yang nampak pada Gb.14.

Jika elemen luas pada Gb.12 diputar terhadap sumbu- y , maka akan menghasilkan

benda putar berbentuk cincin (Gb.13), di mana dari gambar tersebut diperoleh jari-jari alas

lingkaran luar r2 = f(yi), dan jari-jari alas lingkaran r1 = g(yi), serta tebalnya (tingginya)

adalah ∆yi , sehingga menghasilkan elemen volume

∆Vi = πr22 − r1

2h = πf 2(y

i) − g2(y

i)∆y

i

y

Gb.13

∆yi

r1

= g(yi)

r2 = f(yi)

f(yi) − g(yi)

Gb.14

x0

Gb.12

a

b

x = f(y)

∆yi

y

x0

x = g(y)

D



1

Sehingga dapat kita temukan, bahwa volume benda putar yang terjadi bila daerah

D = x, y: a ≤ y ≤ b, gy ≤ x ≤ f y, f dan g kontinu diputar terhadap sumbu- y adalah

V = lim

P→0 πf

2(y

i)

−g2(y

i)

∆y

i

n

i=1

V = π limP→0f

2(y

i) − g2(y

i)∆y

i

n

i=1

V = π limP→0 f

2(y

i)

n

i=1

∆xi − limP→0 g2(y

i)

n

i=1

∆yi

CONTOH SOAL

1)

Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan

y = 4x – 3 diputar 360omengelilingi sumbu- x adalah….satuan volume

Penyelesaian:

Misalkany1 = 4x − 3 dan y2 = x2

Dalam menggambar kurva pada diagram

kartesius yaitu dapat dilakukan dengan

menentukan koordinat dua fungsi

terlebih dahulu

y1 = 4x − 3

x 0 1 2 3

y -3 1 5 9y2 = x2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

Batas integral adalah perpotongan kedua kurva.

Kedua kurva berpotongan jika y1 = y2 4x − 3 = x2

x2 − 4x + 3 = 0

(x

−1)

x

−3

= 0

x = 1 atau x = 3

V = πf 2

(y) − g2

(y)b

ady

1 2 3-2 -1-1

-2

-3

9

0

y = 4x – 3y = x y

x



11

Menghitung volume

V = π(y12 − y2

2)

3

1

dx

= π (4x − 32 − (x2)2 )3

1 dx

= π (16x2 − 24x + 9 − x4)3

1dx

= π 16

3x3 − 12x2 + 9x − 1

5x5

1

3

= π 16

3. 33 − 12 . 32 + 9.3 − 1

5. 35 − 16

3. 13 − 12 . 12 + 9.1 − 1

5. 15

= π 144 − 108 + 27 − 243

5− 16

3+ 12 − 9 +

1

5

= π 66 − 48 25 − 5 1

3

= π 13 − 2

5+

1

3

= π 13 − 11

15

= 124

15π satuan volume

2) Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan

y = 2x diputar mengelilingi sumbu- y?

Penyelesaian:

Misalkan y1 = x2 dan y2 = 2x

Dalam menggambar kurva pada diagram

kartesius yaitu dapat dilakukan dengan

menentukan koordinat dua fungsi

terlebih dahulu

y1 = x2

x -2 -1 0 1 2

y 4 1 0 1 4

y2 = 2x

x -1 0 1 2

y -2 0 2 4

y = 2xy = x2

4

0 1 2-2 -1

-1

-2

y

x



12

Batas integral adalah perpotongan kedua kurva.

Kedua kurva berpotongan jika y1 = y2 x2 = 2x

x2 − 2x = 0

xx − 2 = 0 x = 0 atau x = 2

x = 0 y = 2 . 0 = 0

x = 2 y = 2 . 2 = 4

Menentukan volume

V = π (x12d

c− x2

2) dy

=

π y

− 1

2

y

2

dy

4

0

= π y − 1

4 y2 dy

4

0

= π 1

2 y2 −

1

12y3

0

4

= π 8 − 16

3 − 0

=8

3π satuan volume


METODE KULIT TABUNG

Telah dibahas menentukan suatu benda putar dengan mengambil elemen luas persegi

panjang yang tegak lurus sumbu putarnya, dan elemen benda berbentuk cakram dan cincin.

Metode lain yang dapat digunakan untuk menentukan volume benda yang terbentuk yang

diakibatkan oleh suatu daerah R yang diputar terhadap sumbu putar adalah metode kulit

tabung. Jika elemen yang diambil persegi panjang yang sejajar dengan sumbu putar. Maka

benda yang akan dihasilkan kulit tabung. Untuk banyak persoalan, metode ini lebih mudah

digunakan ketimbang metode cakram atau metode cincin.

Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran

tegak yang sepusat (Gb. 15). Jika jari-jari dalam r1 dan jari-jari luar r2 dan tinggi tabung

adalah h, maka volume yang diberikan adalah:



13

V = luas alas. tinggi = π r2

2 h − π r12 h

= πr22 − r1

2h

= πr2 + r1r2 − r1h

= 2π r2 + r12

hr2 − r1

Persamaanr2+r1

2, yang akan kita

tandai dengan r, adalah rata-rata dari r1 dan r2.

Jadi,

V = 2

π.

jari

−jari rata

−rata

.

tinggi

.(tebal) = 2

πrh

∆r

2.3.1 Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Misalkan fungsi f(x) ≥ 0 kontinu pada interval [a,b]. Andaikan daerah R dibatasi

oleh kurva-kurva, y = f(x), sumbu- x, garis x = a, dan garis x = b, pada Gb.16. Apabila daerah

R diputar terhadap sumbu- y, maka dihasilkan suatu benda pejal, lihat Gb.17. Untuk

menghitung volumenya, buatlah elemen berbentuk persegi panjang yang sejajar sumbu putar ,

sumbu- y. Jika elemen ini diputar terhadap sumbu- y maka dihasilkan sel yang berbentuk kulit

silinder, Gb.17.

Sketsa daerah R dan benda putar V

r

h

Gb.15

R

f(x)=h

r

x

x = a

x = b y = f(x)

a bx

0

y

Gb.16

∆x



14

Dari Gb.17, dengan pendekatan volume kulit tabung dihasilkan,

∆V = πrh∆r = 2πxf(x)∆x

Dimana x terletak pada a ≤ x ≤ b. Kemudian untuk menghitung volume benda

putarnya, ambillah limitnya apabila tebal kulit tabung menuju nol. Sehingga volume benda

putarnya diperoleh

2.3.2 Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Misalkan fungsi g(y) ≥ 0 kontinu pada interval [a,b]. Andaikan daerah D dibatasi

oleh kurva-kurva, x = g(y), sumbu- y, garis y = a, dan garis y = b, pada Gb.20. Apabila daerah

D diputar terhadap sumbu- x, maka dihasilkan suatu benda pejal, lihat Gb.21. Untuk

menghitung volumenya, buatlah elemen berbentuk persegi panjang yang sejajar sumbu putar,

sumbu- x. Jika elemen ini diputar terhadap sumbu- x maka dihasilkan sel yang berbentuk kulit

silinder, Gb.21.

x

y

Gb.17

V = 2π xf(x)b

a

dx



15

Sketsa daerah D dan benda putar V

Dari Gb.21, dengan pendekatan volume kulit tabung dihasilkan,

∆V = πrh∆r = 2πyg(y)∆y

Dimana x terletak pada a ≤ x ≤ b. kemudian untuk menghitung volume benda

putarnya, ambillah limitnya apabila tebal kulit tabung menuju nol. sehingga volume benda

putarnya diperoleh

∆y

Gb.20

D

g(y)=h

y = ry = a

y = b

x = g(y)

a

b

y

0 x

y

x

Gb.21

V = 2

π

y g(y)

b

a

dy



16

2.3.3 Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) Jika

Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Misalkan diketahui fungsi f(x) dan g(x) yang kontinu pada interval [a,b], di mana

g(x) ≤ f(x). Andaikan daerah R yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x), garis x = a dan x = b,

seperti pada Gb.18.

Apabila daerah R diputar

terhadap sumbu- y, akan dihasilkansuatu benda pejal. Untuk menentukan

volume bendanya, ambil elemen

persegi panjang pada daerah R yang

sejajar sumbu- y. Apabila elemen itu

diputar terhadap sumbu- y, akan

dihasilkan suatu kulit tabung seperti

yang nampak pada Gb.19.

Karena pengambilan persegi panjang sejajar dengan sumbu putar, maka volume

kulit tabungnya sebagai berikut

∆V = πrh∆r = 2πxf x − g(x)∆x

Dimana x terletak pada [a,b]. Jadi,

Gb.19

x

y

V = 2π xf x − g(x)b

a dx

Gb.18

h = f(x) – g(x)x = r

x = a x = b

f(x)

a b x

0

y

∆x

g(x)R



17

2.3.4 Menentukan Volume Benda Putar Yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) Jika

Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Rumus volume benda putar di atas dapat dikembangkan apabila dibatasi oleh dua

kurva. Misalkan diketahui fungsi f(y) dan g(y) yang kontinu pada interval [a,b], di mana

g(y) ≤ f(y). Andaikan daerah D yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y), garis y = a dan y = b,

seperti pada Gb.22.

Apabila daerah D diputarterhadap sumbu- x, akan dihasilkan suatu

benda pejal. Untuk menentukan volume

bendanya, ambil elemen empat persegi

panjang pada daerah D yang sejajar

sumbu- x. Apabila elemen itu diputar

terhadap sumbu- x, akan dihasilkan suatu

kulit tabung seperti yang nampak pada

Gb.19.

Karena pengambilan persegi panjang sejajar dengan sumbu putar, maka volume

kulit tabungnya sebagai berikut

∆V = πrh∆r = 2πyf y − g(y)∆y

Dimana y terletak pada [a,b]. Jadi,

Gb.23

y

x

V = 2

π

y

f

y

−g(y)

b

a

dx

D

Gb.22

h = f(y) – g(y)

y = r

y = a

y = b

f(y)

a

b

y

0 x

∆

g(y)



18

CONTOH SOAL

1) Tentukan volume benda putar

yang dihasilkan apabila daerah

R pada gambar di samping

diputar mengelili sumbu- y.

Penyelesaian:

Misalkan y = f(x)

V = 2π xb

a f(x) dx

= 2π x(3 + 2x − x2)3

0 dx

= 2π 3x+2x2 − x3 dx3

0

= 2π 3

2x2 +

2

3x3 − 1

4x4

0

3

= 2π3

2 32 +2

3 33 − 1

4 34 − 3

2 02 +2

3 03 − 1

4 04

= 2π3

29 +

2

327 −

1

481 − 0

= 2π 27

2+

54

3− 81

4

= 2π 162 + 216 − 243

12

= 2

π135

12

= π 270

12

=45

2π satuan volume

2)

Tentukan volume benda putar yang dihasilkan apabila daerah D yang terletak

dikuadran pertama dibatasi oleh x = y3 dan y = x2 diputar terhadap

a) Sumbu- y

b)

Sumbu- x

1

2

3

1 2 3

x

y

R

y = 3 + 2x − x2



19

Penyelesaian:

Menggambar kurva pada diagram

kartesius dengan menentukan koordinat

dua fungsi terlebih dahulu

x = y3

X -1 0 1

Y -1 0 1

y = x2

X -1 0 1

Y 1 0 1

a)

Diputar terhadap sumbu- y

Diketahui x = y3 y = x1

3 dan y = x2, misalkan f(x) = x1

3 dan gx = x2

V = 2π xf(x) − g(x)b

a

dx

= 2π x x

13

− x2

1

0 dx

= 2π x43 − x3

1

0

dx

= 2π 37

x73 −

1

4x4

0

1

= 2π 3

7(1)

73 −

1

4(1)4 − 3

7(0)

73 −

1

4(0)4

= 2π 3

7 −

1

4 − 0

= 2π 5

28

=5

14π satuan volume

b) Diputar terhadap sumbu- x

Diketahui y = x2 x = y1

2 dan x = y3, misalkan f (y) = y1

2 dan g(y) = y3

y

x

1

x = y3

y = x2

1

R

0



2

V = 2π yf(y) − g(y)b

a

dy

= 2π y y12 − y31

0

dy

= 2π y32 − y4

1

0

dy

= 2π 25

y52 −

1

5y5

0

1

= 2π 2

5(1)

52 −

1

5(1)

5 − 2

5(1)

52 −

1

5(1)

5

= 2

π

2

5

− 1

5 −0

= 2π 1

5

=2

5π satuan volume



21

BAB III PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Dalam menentukan volume benda putar yang diputar terhadap sumbu- x dan

sumbu- y dapat digunakan 3 metode, yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit

tabung. Metode cakram digunakan untuk menentukan volume benda putar yang dibatasi oleh

satu kurva. Sedangkan metode cincin digunakan untuk menentukan volume benda putar yang

dibatasi oleh dua kurva. Di mana dalam metode cakram dan metode cincin, pengambilan

piasnya tegak lurus dengan sumbu putarnya.

Metode kulit tabung, merupakan metode yang lebih mudah digunakan untuk

menentukan volume benda putar yang dibatasi oleh satu kurva maupun dua kurva. Di mana

pengambilan piasnya sejajar dengan sumbu putarnya.



DAFTAR PUSTAKA

Astuti, Anna Yuni, dan Ngapiningsih. 2012. Matematika Program Ilmu Pengetahuan Alam.

Klaten: Intan Pariwara.

Astuti, Anna Yuni, dkk. 2012. Detik-detik Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran

2012/2013 Untuk SMA/MA Program IPA. Klaten: Intan Pariwara.

Herynugroho, dkk. 2010. Matematika SMA Kelas XII Program IPA. Yudhistira.

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus

Martono, Koko. 1999. Kalkulus. Jakarta: Erlangga.

Prayudi. 2006. Kalkulus Fungsi Satu Variabel . Yogyakarta: Graha Ilmu.

Purcell, dll. 2003. Kalkulus Edisi Kedelapan Jilid 1. Jakarta: Erlangga.



volume benda putar yang diputar dengan sumbu x dan sumbu y

Documents