volume6 rÉglage crone

7/27/2019 VOLUME6 RGLAGE CRONE

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Centre de comptencesen

automatisation industrielleet productique

asservisSystmes

Volume 6

Asservissements non linaires

J.-M. Allenbach

Ecole dIngnieurs de Genve

Laboratoire dAutomati ue

N X

Edition 2003


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Asservissements non linaires Table des matires

Jean-Marc Allenbach TM1 040425

TABLE DES MATIRES

CHAPITRE 13 RGLAGE CRONE

13.1 INTRODUCTION13.1.1 Expos du problme13.1.2 Modlisation

13.2 PRINCIPE13.2.1 Exemple de systme non stationnaire13.2.2 Blocage de phase13.2.3 Gabarit13.2.4 Effet d'une perturbation

13.2.5 Variation dynamique du paramtre

13.3 DIMENSIONNEMENT13.3.1 Algorithme13.3.2 Illustration13.3.3 Considration globale13.3.4 Filtre analogique13.3.5 Filtre numrique

13.A EXEMPLE INDUSTRIEL

13.B SUPPORT LOGICIEL


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Asservissements non linaires Table des matires

Jean-Marc Allenbach TM2 040425

BIBLIOGRAPHIE

[1] H.BHLER: Conception de systmes automatiques, PPUR, Lausanne.[2] H.BHLER:Electronique de rglage et commande, PPUR, Lausanne.[3] L.MARET:Rgulation automatique, PPUR, Lausanne.[4] H.BHLER: Systmes chantillonns I, PPUR, Lausanne.[5] H.BHLER: Systmes chantillonns II, PPUR, Lausanne.[6] J.NEYRINCK: Thorie des circuits et systmes, PPUR, Lausanne.[7] GILLE,DECAULNE ET PELEGRIN: Thorie et calcul des asservissements linaires,

Dunod, Paris.[8] M.ROSSI: Simulation d'un essieu moteur, EPFL/LEI, Lausanne.[9] O.FLLINGER:Regelungstechnik, Hthig.

[10] B.C.KUO:Automatic Control Systems , Prentice-Hall.[11] E.JUCKER:Equations fondamentales des micromoteurs courant continu avec rotor

sans fer, Portescap, La Chaux-de-Fonds.

[12] L.POVY:Identification de processus, Dunod, Paris.[13] L.MARET:Rgulation automatique 2, Eivd, Yverdon.[14] J.-M.ALLENBACH:Rglage de systme retard pur, EIG/LAE, Genve.[15] J.-M.ALLENBACH:Rglage de systme instable, EIG/LAE, Genve.[16] C.T.CHEN:Analog & Digital Control System Design, Saunders HBJ.[17] W.A.WOLOWICH:Automatic Control Systems, Saunders HBJ.[18] B.C.KUO:Digital Control Systems, Saunders HBJ.[19] M.RIVOIRE,J.-L.FERRIER: Cours d'automatique, Eyrolles, Paris.[20] R.LONGCHAMP: Commande numrique de systmes dynamiques , PPUR, Lausanne.[21] F. DE CARFORT,C.FOULARD:Asservissements linaires continus, Dunod, Paris.[22] P.NASLIN:Les rgimes variables dans les systmes linaires et non linaires, Dunod,

Paris.[23] W.OPPELT:Kleines Handbuch technischer Regelvorgnge, Verlag Chemie GMBH.[24] E.GROSCHEL:Regelungstechnik, R. Oldenburg, Mnchen et Wien.[25] F.MILSANT:Asservissements linaires analyse et synthse, Dunod, Paris.[26] H.GASSMANN:Einfhrung in die Regelungstechnik, Harri Deutsch, Thun[27] M.KUNT: Traitement numrique des signaux, PPUR, Lausanne.[28] DIVERS PROFESSEURS: Cours de mathmatique, EIG, Genve.[29] DIVERS PROFESSEURS:Electronique, EIG, Genve.[30] J.W.HELTON,O.MERINO: Classical Control Using HMethods, Siam,

Philadelpia,1998.

[31] J.B. DECORZENT:Rglage robuste d'ordre non entier, diplme EIG, Genve, 1996.[32] A.OUSTALOUP:La commande CRONE, Herms, Paris, 1991.[33] M.ETIQUE:Rgulation automatique, eivd, Yverdon,2003.[34] M.ETIQUE:Rgulation numrique, eivd, Yverdon,2003.


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Rglage CRONE

Jean-Marc Allenbach 131 030515

CHAPITRE 13: RGLAGE CRONE

13.1 INTRODUCTION

13.1.1 Expos du problme

On dsire rgler la grandeur physiquey d'un systme non linaire.

Fig. 13.1 Systme rgl.

Si les caractristiques du systme varient rapidement, de l'ordre de grandeur des

variations dynamiques du systme, on ne peut pas appliquer les mthodes linaires de

dimensionnement de rgulateur, mme pour un rgulateur adaptatif. Pour cadrer le problme

du rglage de systmes non linaires, on labore un modle qui permet l'tude sans devoir

recourir un outillage mathmatique trop sophistiqu: on dcrit le systme non linaire par

des quations diffrentielles linaires coefficients variables au cours du temps. On devrait

donc parler de systmes non stationnaires.

Un tel systme peut aussi tre reprsent par une fonction de transfert ou une rponse

harmonique. La variation d'un paramtre d'une quation diffrentielle se traduit au niveau de

la fonction de transfert par une variation du gain, d'un ple ou d'un zro ou de plusieurs de cesvaleurs.

Dans la suite de ce chapitre, on adaptera aux systmes non stationnaires les mthodes

linaires dveloppes la section 8.3. A partir d'un systme connu pour la fonction de

transfert qui correspond son fonctionnement nominal, on se propose d'tudier l'impact, sur la

rponse harmonique, d'une variation de gain ou de constante de temps.

G ss s s0

100

1 0 3 1 0 01 1 0 002( )

( , )( , )( , )=

+ + +

(13.1)

A la section 8.3, on avait tenu les raisonnements de base pour les dimensionnements

autour de la pulsation 1 pour laquelle le module de la rponse harmonique franchit l'axe de

module 100. On avait appliqu le critre de la marge de phase pour cette pulsation ou celui du

rapport de pulsation face celle o se rencontre les pentes asymptotiques de 1 et 2.

On fait tracer la rponse harmonique pour les valeurs nominales (1), pour un gain port

de 100 300 (2) et enfin pour une constante de temps dominante 0,3 rduite 0,1 [s] (3).

G sR( ) G ss( )

w e ucm

+


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Rglage CRONE


100

101

102

103

-300

-200

-100

0Phase[degrs]

100

101

102

103

10

0

Frquence [radians/s]

Amplitude

Diagramme de Bode : Go(s)= ------------------------------------------------------------------100

(1+0.3*s)*(1+0.01*s)*(1+0.002*s)

1

2

3

31,2

1

10

102

2

Fig. 13.2 Rponse harmonique du systme (13.1) en boucle ouverte.

On constate autour de 1 que l'impact d'une variation de gain ou d'une variation de la

contante de temps dominante est le mme pour le module comme pour la phase de la rponse

harmonique.

13.1.2 Modle de systme non linairePour la suite de l'expos dans ce chapitre, on modlise un systme non linaire par safonction de transfert rationnelle dont le seul gain est variable au cours du temps. On se

rappelle ici que la pulsation 1 est li au temps de rponse qu'on obtiendra pour le systme en

boucle ouverte et la marge de phase est lie au dpassement maximal sur la rponse indiciel

en boucle ferme. Il ressort donc que les variations de 1 et de la marge de phase induisent des

variations du comportement dynamique du systme rgl.


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Rglage CRONE


13.2 PRINCIPE

13.2.1 Exemple de systme non stationnaire

On utilise pour exposer le principe du rglage Crone [32] un systme rgler du

troisime ordre dont seul le gainKs est variable.

G s Ks s ss s

( ),

( , )( , )( , )=

+ + +

2 5

1 0 02 1 0 008 1 0 0005(13.2)

Dans un premier temps, on essaye de rgler ce systme pour sa caractristique

nominale Ks = 1 avec un rgulateur PI rel de faon obtenir une rponse indicielle

apriodique dans un temps de rponse de 90 [ms], sans cart statique. On a choisi d'imposer

un zro du rgulateur en 10 par un temps de corrlation d'intgrale de 0,1 [s].

G s ss

ss

R( )( , ) ,

,= +

+ +1000 1 0 01

1 1001 0 1

0 1(13.3)

On en dduit la fonction de transfert en boucle ouverte.

G ss

s s s s0

2500 1 0 01

1 100 1 0 02 1 0 008 1 0 0005( )

( , )

( )( , )( , )( , )=

+

+ + + +(13.4)

100

101

102

100


Amplitude

Diagramme de Bode : Go(s)= -----------------------------------------------------------2500*(1+s*0.01)

(1+100*s)*(1+2e-2*s)*(1+8e-3*s)*(1+5e-4*s)

( 22.921 , 1 )

100

101

102

-250

-200

-150

-100

-50

Phase

[degrs]

( 22.921 , -112.7611 ) M = 67,2

Fig. 13.3 Rponse harmonique du systme (13.4) en boucle ouverte.

Avec une marge de phase de 67, on peut attendre un dpassement lgrement

infrieur 4,3 %, donc une allure apriodique. Avec une pulsation 1 = 22,9 [s1], on peut

attendre un temps de rponse voisin de 70 [ms], en extrapolant partir du tableau 6A entre le

comportement optimal et le comportement sans dpassement.

On considre maintenant les variations du systme autour de sa valeur nominale.


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Rglage CRONE


Ks [0,5 2] (13.5)

100

101

102

-250

-200

-150

-100

-50

Phase[degrs]

100

101

102

103

100


Amplitude

Diagramme de Bode : Go(s)= -----------------------------------------------------------2500*(1+s*0.01)

(1+100*s)*(1+2e-2*s)*(1+8e-3*s)*(1+5e-4*s)

Mi = 78 Ms = 55

1i = 12 s1

1s = 40 s1

Fig. 13.4 Rponse harmonique du systme en boucle ouverte (13.4) pour la valeur nominale et les valeurs

extrmales.

On observe une marge de phase qui varie entre 55 et 78, ce qui laisse prsager selon

le tableau 6.A un dpassement entre 10 % et zro. La pulsation 1 laisse prvoir un temps de

rponse entre 54 et 185 [ms]. On peut essayer de confirmer l'estimation par une analyse dans

le lieu des ples.

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40 Ks = 2

Ks = 0,5

Ks = 1

Fig. 13.5 Lieu des ples en boucle ferme du systme en boucle ouverte (13.4) pour la valeur nominale et celles

comprises entre les valeurs extrmales.

Le zro en 100 et les ples voisins de 120 et (hors figure) 2000 sont ngligeables

face aux deux principaux. Leur partie relle nous laisse prvoir un temps de rponse infrieur

0,1 [s] et un dpassement compris entre 0 % et 10 % (marge de stabilit relative = 35).


9/28

Rglage CRONE


On peut vrifier le comportement dynamique l'aide d'un schma tabli sous

Simulink.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Ks 2 1 0,5

Fig. 13.6 Rponse indicielle en boucle ferme du systme en boucle ouverte (13.4) pour la valeur nominale et

les valeurs extrmales.

La vrification en simulation confirme les estimations par la rponse harmonique ou le

lieu des ples. Avec une variation d'un facteur 2 du seul paramtre gain du systme rgler,

on observe d'importantes variations du comportement dynamique du systme rgl. On peut

aller du systme mou au systme oscillatoire. Pour une installation industrielle, une telle

varit de comportement n'est en gnral pas acceptable.

13.2.2 Blocage de phase

Pour limiter la variation du comportement en cas de fluctuation des paramtres du

systme rgler, le principe du rglage CRONE insre un correcteur entre le rgulateur et le

systme rgler.

Fig. 13.7 Systme rgl incluant un correcteur CRONE.

L'objectif de ce filtre CRONE est de corriger la phase pour qu'elle soit constante entre

1i et 1s. On escompte ainsi maintenir constante la marge de phase, et par consquent le

dpassement pour toute la plage de variation du paramtre Ks. Le temps de rponse pourra,

lui, continuer de varier puisque l'intersection de la rponse harmonique avec l'axe 10 0 varie.

En fait, on fixe une valeur de marge de phase souhaite en fonction de l'application, autour de

laquelle on accepte une lgre fluctuation . On dfinit ainsi une sorte de fentre dlimite

par deux pulsations 1i et 1s et une phase de 180 +M

.

G sR( ) G ss( )

w e ucm y

+G sC( )


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Rglage CRONE


100

101

102

100


Amplitude

Diagramme de Bode : Go(s)= ------------------------------------------------------------GC(s)2500*(1+s*0.01)

(1+100*s)*(1+2e-2*s)*(1+8e-3*s)*(1+5e-4*s)

100

101

102

-250

-200

-150

-100

-50

Phase[degrs]

M = 67,2

Fig. 13.8 Rponse harmonique du systme (13.4) en boucle ouverte incluant un correcteur CRONE.

On a essay d'tablir intuitivement un filtre CRONE avec deux ples pour des

pulsations l'extrieur de la fentre et deux zros l'intrieur de l'intervalle dfini par les

ples:

G ss s

s sC ( )

( , )( , )

( , )( , )=

+ +

+ +10

1 0 06 1 0 007

1 0 07 1 0 0007(13.6)

100

101

102

103

-160

-140

-120

-100

-80Phase[degrs]

100

101

102

100


Amplitude

Diagramme de Bode : G0(s)= ---------------------------------------------------------------------------25000*(1+s*0.01)*(1+s*0.06)*(1+s*0.007)

(1+100*s)*(1+s*0.07)*(1+s*0.0007)*(1+2e-2*s)*(1+8e-3*s)*(1+5e-4*s)

( 207.5432 , 0.99495 )

( 73.1058 , 0.99613 )

Fig. 13.9 Rponse harmonique du systme (13.4) en boucle ouverte incluant le correcteur CRONE (13.6).

On est parvenu bloquer la phase proche de 120 dans l'intervalle de pulsation [73

207]. On peut donc s'attendre un dpassement qui reste de l'ordre de 5 % pour les variations

du paramtreKs, mais un temps de rponse qui varie entre 10 et 29 [ms].


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Rglage CRONE


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Ks2 1 0,5

Fig. 13.10 Rponse indicielle en boucle ferme du systme en boucle ouverte (13.4) pour la valeur nominale etles valeurs extrmales, avec correcteur CRONE (13.6).

On constate en effet que l'allure du comportement dynamique reste semblable quel que

soit le point de fonctionnement, mais le dpassement est plus important que prvu, mais

apriodique, ce qui suggre la prsence d'un zro non ngligeable. Le temps de rponse est

comme prvu plus court qu'en l'absence du filtre CRONE choisi. On peut imprimer le lieu des

racines pour ce systme.

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0-150

-100

-50

0

50

100

150

Fig. 13.11 Lieu d'Evans en boucle ferme du systme en boucle ouverte (13.4) pour la valeur nominale et les

valeurs extrmales, avec correcteur CRONE (13.6).

On confirme qu'une variation de Ks dplace la paire de ples dominants le long de la

marge de stabilit relative 45, induisant une allure semblable de la rponse indicielle. Si le

ple et le zros rels s'annulent, l'effet des zros en 100 et 143 n'est pas annul par le ple

voisin de 120, et n'est pas ngligeable. Les autre ples et zros sont ngligeables, placs loinen dehors de la figure (au-del de 1000).


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Rglage CRONE


13.2.3 Gabarit

Au paragraphe prcdent, on a tabli un gabarit du filtre de manire un peu

opportuniste, puis on a observ le rsultat obtenu. Dans la pratique, c'est le comportement

dynamique souhait pour le systme rgl qui va dicter les limites du gabarit. Le dpassement

souhait sur la rponse indicielle dtermine la marge de phase M . La rapidit souhaitedu rglage dtermine l'intervalle de pulsation [1i 1s], en dpendance avec l'intervalle de

variation du paramtre. Le gabarit du filtre CRONE est tabli partir de la rponse

harmonique en boucle ouverte, ce qui donne un filtre phase variable.

arg ( ) arg ( )

[ ]

G j G jC M

1i 1spour

= +

0 180 (13.7)

arg ( )

[ ]

G jC

1i 1spour

0(13.8)

L'ouvrage de rfrence du rglage CRONE [32] aborde le problme avec une tolrance

de phase nulle, ce qui a impliqu une dfinition mathmatique de la drive d'ordre non

entier. Ici, on entre tout de suite dans l'application concrte par une squence de ples et zros

en fonction causale. Si on applique la condition (13.8) aussi pour les pulsations leves, on

impose mme le nombre de ples gal au nombre de zros.

Il faut aussi veiller obtenir un gain en boucle ouverte de 1 au milieu de l'intervalle de

frquence pour la valeur moyenne du paramtre variable.

=

=

1s1i

0C

pour

)(

1

)(

jGjG (13.9)

Il faut toutefois rester conscient que le gabarit est construit partir du critre de la

marge de phase et qu'on est soumis aux mmes restriction que ce dernier: la validit

s'applique des systmes qui s'approximent des systmes fondamentaux du 2e ordre.

L'exemple trait ci-dessus ne vrifie justement pas cette hypothse par la prsence d'un zro

proche des ples dominants.

On notera encore que si on accepte une marge de phase plus faible, cela implique une

pente plus raide du module au franchissement de l'axe de module 100

. Cela a pourconsquence qu'une mme variation de paramtre ncessite un intervalle de pulsation plus

troit, qui se traduit dans l'espace temps par une moindre dispersion de la rapidit du rglage.

13.2.4 Effet d'une perturbation

On a tudi l'effet d'une variation de paramtre sur la rgulation de poursuite

(changement de consigne), on peut aussi observer les rsultats sur une rgulation de maintien

(action de perturbation). L'tude a port sur un systme pour lequel la fonction de transfert est

ouverte par un premier bloc d'ordre1, de gain variable Ks et de constante de temps 0,008. La

perturbation s'ajoute la sortie de ce bloc pour agir sur le reste du systme.


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Rglage CRONE


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0,5

1

2

Ks

Fig. 13.12 Rponse en boucle ferme une perturbation sur le systme en boucle ouverte (13.4) pour la valeurnominale et les valeurs extrmales.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0,5

1

2

Ks

Fig. 13.13 Rponse en boucle ferme une perturbation sur le systme en boucle ouverte (13.4) pour la valeur

nominale et les valeurs extrmales, avec correcteur CRONE (13.6): T= 0,008 dans le premier bloc.

Sans filtre CRONE, on observe une forte dispersion du comportement: mou avec

temps de correction trs long pour le gain le plus faible et lgrement oscillatoire mais avecune correction nettement plus rapide lorsque le gain est plus lev. Le filtre CRONE permet

de limiter la dispersion des comportements dus aux variation du gain, mais avec un succs

moindre: On n'a plus de comportement mou et le temps de correction est raccourci, mais

l'cart maximal de rglage accuse encore une grande dispersion, mme s'il est

considrablement rduit, sauf dans le cas nominal.

Lorsque c'est la constante de temps dominante 0,02 qui est dans le premier bloc, on

obtient des rsultats un peu diffrents: l'allure du comportement dynamique accuse moins de

dispersion, le temps de correction reste peu prs le mme, mais l'cart de rglage est plus

lev qu'en absence de filtre CRONE.

Ces exemples n'ont pas la prtention d'apporter une rponse exhaustive, mais donnent

une bonne indication.


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Rglage CRONE


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0,5

1

2

Ks

Fig. 13.14 Rponse en boucle ferme une perturbation sur le systme en boucle ouverte (13.4) pour la valeurnominale et les valeurs extrmales, avec correcteur CRONE (13.6): T= 0,02 dans le premier bloc.

13.2.5 Variation dynamique du systme

Pour un systme nominal, on applique une variation de consigne. Une fois le rgime

tabli (0,5 [s] plus tard), le gainKs varie brutalement d'un facteur 2.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Avec correcteur CRONE

Sans correcteur CRONE

Fig. 13.15 Comportement dynamique en boucle ferme: le systme (13.4) varie t= 0,5 [s].

Une variation si brutale du paramtre est peu raliste, mais elle permet de constater

que le rgulateur rattrape plus rapidement l'cart de rglage avec un correcteur CRONE:

rduction du temps de correction d'un facteur 3 et de l'cart maximal d'un facteur 2.


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Rglage CRONE


13.3 DIMENSIONNEMENT

13.3.1 Algorithme.

Pour le dimensionnement du filtre CRONE, on adapte un peu le principe dcrit au

paragraphe 13.2.3. On choisit bien l'intervalle de pulsation et la marge de phase moyenne. Au

lieu de choisir la tolrance , on choisitNvaleurs de pulsation comprises dans l'intervalle.

omega k N= [ ] 1 L L (13.10)

102

-118

-117.5

-117

-116.5

-116

-115.5

-115

pulsation [rad/s]

Phase [deg]

PHASE AVEC REGULATEUR CRONE

1 Nk

Fig. 13.16 Phase du systme rgl dans l'intervalle de pulsation.

La tolrance est une consquence du nombre de points choisis et de leur rpartition

dans l'intervalle. L'quation (13.7) se transforme en relation exacte pour les Npoints. Dans

l'exemple ci-dessus, on voit que la tolrance n'est pas symtrique par rapport la marge de

phase choisie.

]...1[180))(arg())(arg( Mk0kC NkjGjG += (13.11)

On peut crire le filtre CRONE comme un filtre polynomial sous la forme d'Evans

avec les plespCi et les zroszCj.

G s k

s z

s p

j

m

i

nC C

Cj

Ci

( )

( )

( )

=

=

=

1

1

(13.12)

La rponse harmonique s'tablit partir de la fonction de transfert.

G j k

j z

j p

j

m

i

nC C

Cj

Ci

( )

( )

( )

=

=

=

1

1

(13.13)


16/28

Rglage CRONE


La phase introduite par ce filtre peut tre crite en fonction des ples et zros.

arg( ( )) arctan( ) arctan( )G jp zi

n

j

m

CCi Cj

=

= =

1 1

(13.14)

Pour la phase, l'influence d'un ple ngatif (stable) est la mme que celle d'un zropositif; ce qui permet de rassembler ples et zros comme un ensemble de racines ri.

p r r et z r rCi i i Ci i ipour pour= < = >0 0 (13.15)

On peut alors rcrire (13.14) aux valeurs de pulsations choisies, pour lesquelles

l'argument du filtre est connu par (13.11).

arg( ( )) arctan( )G jr

N n mi

N

C kk

i

avec

= = +

=

1

(13.16)

L'quation (13.16) est vraie pour lesNvaleurs choisies, ce qui nous donne un systmedeNquations Ninconnues qu'il faut rsoudre pour dterminer les racines du filtre. Comme

ces quations ne sont pas linaires, on essaye de les transformer pour obtenir un systme plus

ais rsoudre: on prend la tangente des deux cts de l'galit.

tan(arg( ( ))) tan( arctan( ))G jr

ai

N

C kk

ik

= =

=

1

(13.17)

On facilite aussi l'criture en prenant comme inconnues les inverses des racines

recherches. Pour linariser (13.17), on applique la rgle de la somme des arcs pour

dvelopper la fonction tangente. On utilise les coefficients de Vite, dj rencontrs lorsqu'on

exprime les coefficients de polynme partir de ses racines (10.54).

tan( arctan( ))k i k ii

avecx a xri

N

=

= =1

1(13.18)

a

v

v

pN

qN

pp

p

p

qq

q

qk

k

k

N N

N

Navec et=

=

=

+

=

=

( )

( )

PE( ) PE( )

( )1

1

1

2 2

2 10

20

(13.19)

v

v x x x

v x x x x x x

v x x xN

k0

k1 k k k N

k2 k k k N-1 N

kN k N

=

= + + +

= + + +

=

1

1 2

21 2

21 3

2

1 2

L

L

M

L

(13.20)

Pour permettre le calcul, on extrait la partie connue des termes de Vite: les pulsations

choisies leves la puissanceN.

ikkivv i= (13.21)

Il ne reste alors plus queNtermes dterminer au lieu deN2.


17/28

Rglage CRONE


a

v

v

p p

pp

p

q q

qq

qk

k

k

N

N=

+

+

=

=

( )

( )

1

1

2 1

2 10

2

20

(13.22)

v

v x x x

v x x x x x x

v x x x

0

1 N

2 N-1 N

N N

=

= + + +

= + + +

=

1

1 2

1 2 1 3

1 2

L

L

M

L

(13.23)

On peut crire (13.22) sur une ligne.

== ++

=

NN

12

2

kk0

12

12

kk )1()1(

q

qq

qqp

pp

pp

vava (13.24)

On a rsoudre un systme de N quations N inconnues vi: on peut l'crire sous

forme matricielle.

a W v= (13.25)a v( ) ( )k a i v= =k i (13.26)

W

W

( , ) ( )

( , ) ( )

k i i p

k i a i p

p p

q q

= = +

= = +

+1 2 1

1 2 1

2 1

2

k

k k

si

si(13.27)

On peut rsoudre (13.25) par calcul matriciel, si W est rgulire.

v W a= 1 (13.28)

Les valeursxi recherches sont les racines du polynme (13.29).

( ) 1i N ix vi

i=0

N

(13.29)

En sparant les racinesxi1 en ples et zros selon (13.15), la fonction de transfert du

filtre CRONE est dtermine au gain kC prs. Il faut encore s'arranger pour que le module dela rponse harmonique en boucle ouverte vaille 1 pour la pulsation centrale de l'intervalle,

lorsque le processus se trouve dans son tat moyen.

G j G j0 moy C moy

moy2avec

N

( ) ( )

log log

=

=

+

1

101

(13.30)

k

G j G j

C

0 moy Co moy

=1

( ) ( )

avec G j

j z

j p

j

m

i

nCo

Cj

Ci

( )

( )

( )

=

=

=

1

1

(13.31)


18/28

Rglage CRONE


Cet algorithme, par le rassemblement des ples et zros en un ensemble de racines, ne

garantit pas un filtre causal. On peut donc tre amen ajouter un ple correspondant des

pulsations plus leves que la limite suprieure de l'intervalle. On le placera au moins un

facteur 10 voire 20 pour que l'effet sur la plage de pulsation considre soit ngligeable.

13.3.2 Illustration.

Pour illustrer notre propos, on reprend l'exemple (13.4), pour lequel on choisit un

blocage de phase entre 70 et 210 [rad/s].

omega = [ ]70 110 120 150 210 (13.32)

On lance un calcul avec le logiciel croneEIG.m dcrit l'annexe 13B. Les donnes dusystme (13.4) pour sa valeur nominale ont t rassembles dans un fichierMATLAB.

sys13Bparam

[Numcrone,Dencrone,Nf,Df]=croneEIG(Ns,Ds,NR,DR,marphase,omega,bande);

100

101

102

103

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

Gain dB

MODULE AVEC REGULATEUR CRONE

100

101

102

103

-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

pulsation [rad/s]

Phase [deg]

PHASE AVEC REGULATEUR CRONE

avec

sans

Fig. 13.17 Phase et module du systme rgl, on a aussi superpos la rponse harmonique en boucle ouverte sansle filtre CRONE.


19/28

Rglage CRONE


On observe bien le succs de la stratgie de blocage de phase. Pour garantir un gain de

1 en boucle ouverte pour 200 [rad/s], on choisit un gain de 10 pour le filtre CRONE. On a

obtenu les racines dans la fentre de commandeMATLAB.

Numi =

1.0e+002 *

-0.7837 - 0.8916i -0.7837 + 0.8916i -1.9477

Deni =

-82.8787 +97.1440i -82.8787 -97.1440i

On a donc obtenu deux ples conjugus complexes et trois zros dont deux conjugus

complexes. On est prcisment dans le cas qui ncessite l'adjonction d'un ple pour garantir la

causalit du filtre CRONE. On le place 1000. On essaye en simulation avec un schma

Simulink, dans lequel on importe depuis l'espace de travailMATLAB les paramtres des blocs.

PolSuppl=[1e-3 1];Dencrone=conv(Dencrone,PolSuppl);Numcrone=10*Numcrone;

regana13cc

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

2 1 0,5 Ks

Fig 13.18 Rponse indicielle du systme rgl.

Les rsultats sont assez satisfaisants, trs voisins de ceux qu'on avait obtenus avec un

filtre CRONE intuitif la section 13.2.2. Si on repousse le troisime ple plus loin, les

rsultats sont encore meilleurs.

13.3.3 Considration globale.

Pour cet algorithme, on constate qu'on peut obtenir des racines relles ou complexes. Il

faut toutefois noter que le choix de l'ensemble des pulsations dans l'intervalle a une influence

sur les valeurs de racines calcules: il peut tre ncessaire de faire plusieurs essais avant

d'obtenir un rsultat convenable. Le critre de la marge de phase utilis dans cet algorithme

sous-entend que les zros du systme en boucle ferme seront ngligeables face aux ples

dominants. L'exemple trait ici est justement un cas o cette hypothse de dpart n'est pasvrifie.


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Rglage CRONE


13.3.4 Filtre analogique.

Pour la ralisation du filtre CRONE d'ordre n, on peut placer en cascade n filtres AP

ou RP en cascade, lorsque le nombre de ples est gal au nombre de zros (fig. 7.B09 et

7.6.3). Un amplificateur final permet d'ajuster le gain la valeur souhaite. Si le nombre de

ples est plus lev, on place encore un filtre passe-bas pour chaque ple supplmentaire. Sion obtient des ples ou des zros complexes cas qui n'est pas rare il faudra faire appel

des schmas plus sophistiqus.

13.3.5 Filtre digital

La complexit d'un filtre CRONE est telle qu'on prfre en gnral l'implanter sur un

microprocesseur ou un processeur de signal. On veillera pouvoir garantir une priode

d'chantillonnage 5 fois plus courte que la plus petite constante de temps du filtre. Il suffit

alors de convertir la fonction de transfert en s du filtre en fonction de transfert en z. Pour

l'implantation dans le processeur, on a combin le rgulateur PI et le filtre CRONE avant la

conversion en filtre chantillonn.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Fig 13.19 Rponse indicielle du systme rgl par un rgulateur chantillonn combin PI+CRONE.

Les rsultats sont largement les mmes qu'avec une filtre continu, mais avec de plus

grande facilits d'implantation et de maintenance.

On peut aussi choisir une priode d'chantillonnage plus longue, mais son effet n'est

plus ngligeable sur le comportement: les valeurs suprieures des ples risquent mme de

perdre leur sens. Il ne faut pas oublier que la gamme de pulsation choisie en 13.2.3 est

dtermine par le temps de rponse espr, la priode d'chantillonnage doit tre en relation,

un ordre de grandeur raisonnable est de 20 priodes d'chantillonnage pour le temps de

rponse.


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Rglage CRONE


13.A EXEMPLE INDUSTRIEL

13.A.1 Description du processus.

On tudie un usinage par lectrorosion en mode "enfonage". La pice usiner et

l'lectrode mobile baignent dans un liquide dilectrique. On applique entre l'lectrode et la

pice une diffrence de potentiel.

13.A1 Enfonage.

Un certain temps d'amorage Td aprs l'application de l'impulsion, une tincelle clate

de manire stochastique la surface d'attaque de l'usinage, d'une dure Ta fixe par la

commande. Du ct pice, la trs forte densit de courant provoque une fusion locale de la

matire et la formation d'un canal ionis dans le dilectrique. A l'interruption de la diffrence

de potentiel, le canal ionis se collapse. L'onde de choc provoque jecte la matire en fusion

qui se solidifie en microbilles dans le dilectrique. Un microcratre est form dans la pice.

13.A2 Etincelles: profils de tension et de courant.

Les tincelles se succdent intervalles rguliers Tb dtermins par la commande, mais

des emplacements alatoires de la surface. La juxtaposition des cratres entrane une rosion

de la matire, de la forme de l'lectrode. On doit veiller maintenir une bonne qualit des

tincelles, comme la premire de la figure 13.A2, suffisamment nergtique pour garantir une

bonne rosion. Pour cela, il est ncessaire de maintenir rgulire une distance appelegap

optimale entre la pice et l'lectrode: quelques microns. Le problme est que les

caractristiques du systme varient au cours du temps, avec les proprits du dilectrique

contamin par les billes de matire conductrice. Il peut mme y avoir localement une forte

baisse de la rsistance cause d'une accumulation de billes.

Par ailleurs, ds que l'lectrode a pntr dans la pice, on ne peut pas mesurer le gap

de manire directe. On utilise une des consquences du gap qui est le taux d'attente, danslequel seul le temps Td est variable.

lectrodepice en

usina e dilectri ue

tincelle

Ius

Uus

Td Ta Tb

normales bas niveau court-circuit

t

t


22/28

Rglage CRONE


dd

a b d

=+ +

T

T T T(13.A1)

En ralit, d ne mesure pas le gap en microns, mais la valeur qu'il aurait si le

dilectrique tait propre. Cette particularit aide au rglage puisque c'est la disposition

l'clatement des tincelles qu'on veut rgler.

Les tincelles "bas niveaux" ou "court-circuit" ne sont pas rosives, elles apparaissent

lorsque la distance lectrique lectrode pice est trop courte. La commande numrique de

l'usinage dtecte la dgradation de l'usinage et dclenche un retrait de l'lectrode. Le brassage

ainsi provoqu permet du dilectrique propre de remplir la cavit. L'lectrode est ensuite

replonge pour poursuivre l'usinage.

L'installation complte, conue par la socit Charmilles Technologies, est dcrite de

manire trs simplifie la figure 13.A3.

13.A3 Boucle de rglage du gap.

On distingue le processus d'lectrorosion proprement dit U, avec sa mesure du taus

d'attente d. L'lectrode est positionne une hauteurpz par une colonne verticale entrane

par une commande d'axe CA. Le rgulateur R dlivre la commande d'axe le signal de

commande Ucm, labor en fonction de l'cart de rglage Usa. On reconnat encore le

gnrateur d'impulsions GI et le dispositif SD de surveillance des dfauts.

Les ingnieurs spcialiste de cette machine ont pu la modliser par un fonction de

transfert linarise, dont les paramtres sont dtermins par le type d'usinage choisi. Cette

fonction de transfert a t calcule pour un gain unit du rgulateur P.

G ss

U (s)

due

sa

( )( )

=

(13.A2)

Il se trouve que le gain en boucle ouverte subit de fortes variations autour de la valeur

moyenne, en fonction de la qualit instantane du dilectrique. On observe que la marge de

phase varie entre +90 et 90. Si on ferme la boucle dans ces circonstances, le systme sera

par moment mou et par moment trs instable. Pour garantir une stabilit mme dans les cas

extrmes, il faut rduire le gain d'environ 10 [dB] et adopter un rgulateur P de gain 0,3. En

consquence, l'autre extrmit, le comportement devient trs mou. La rponse harmonique

correspondant (13.A2) est donne la figure 13.A4. L'intersection de son module avec l'axe

0 [dB] couvre un large intervalle de frquence.

R CA U

SD

GI

dref

d

+

Usa Ucm

Us

pz1


23/28

Rglage CRONE


101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

frequence [Hz]

Gain[dB]

MODULE AVEC REGULATEUR DE GAIN 1

101

102

103

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

Phase[deg]

PHASE AVEC REGULATEUR DE GAIN 1

13.A4 Rponse harmonique en boucle ouverte de la chane d'usinage par enfonage, aux valeurs moyenne (traitcontinu) et extrmes (traits interrompus).

13.A.2 Application d'un filtre CRONE.

Le problme prsent semble bien se prter la mise en place d'un blocage de phasepar filtre CRONE dans la plage de frquences ou le module croise l'axe 0 [dB]. On a pu

appliquer l'algorithme CRONE programm en MATLAB pour ce cas. On a test plusieurs

intervalles de frquence et plusieurs choix de frquence dans cet intervalle. On observe bien

la figure 13.A5 la variation de phase borne entre 30 et 50 pour la plage de frquence entre

30 et 80 [Hz]. Ce dimensionnement a t test en rponse indicielle sur une simulation assez

fidle du processus complet, qui tourne surSimulink.

Dans un second temps, on a ouvert la boucle d'une installation relle au niveau du

signal Usa, et on y a insr un processeur de signal dans lequel on a tlcharg les valeurs de

filtre calcules par l'algorithme CRONE (fig. 13.A6), et compiles depuis un fichierMATLAB

par un logiciel appropri. Le filtre de la figure 13.A7 correspond la meilleure performanced'usinage obtenue, prsente la figure13.A8 en comparaison avec un usinage sans filtre.


24/28

Rglage CRONE


101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

frequence [Hz]

Gain[dB]

MODULE DU REGULATEUR CRONE pour [31.831 79.5775]

101

102

103

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

Phase[deg]

PHASE DU REGULATEUR CRONE pour [31.831 79.5775]

13.A5 Rponse harmonique en boucle ouverte de la chane d'usinage par enfonage, avec filtre CRONE, auxvaleurs moyenne (trait continu) et extrmes (traits interrompus): essai d'exploration.

13.A6 Boucle de rglage du gap avec filtre CRONE insr.

R CA U

SD

GI

dref

d

+

Usa Ucm

Us

pz

DSPPC


25/28

Rglage CRONE


1 01

1 02

1 03

-4 0

-3 0

-2 0

-1 0

0

1 0

2 0

f requence [Hz ]

G

ain

[dB]

M O D U L E D U R E G U L A T E U R C R O N E p o u r [ 4 4 . 9 9 3 1 1 0 4 . 9 9 9 3 ]

1 01

1 02

1 03

- 3 5 0

- 3 0 0

- 2 5 0

- 2 0 0

- 1 5 0

- 1 0 0

-5 0

0

f requence [Hz ]

Phase

[deg]

P H A S E D U R E G U L A T E U R C R O N E p o u r [ 4 4 .9 9 3 1 1 0 4 . 9 9 9 3 ]

13.A6 Rponse harmonique en boucle ouverte de la chane d'usinage par enfonage, avec filtre CRONE, auxvaleurs moyenne (trait continu) et extrmes (traits interrompus): meilleur essai.

Les essais pratiques ont t mens sur une pice d'acier de qualit W300 jusqu' une

profondeur de 3,5 [mm], avec une lectrode de cuivre de 7,3 [mm] de diamtre. Le rgime

d'usinage choisi est appel E 373 chez le constructeur, la consigne de taux d'attente d est de0,3 et le gap correspondant est voisin de 40 [m]. On a mesur l'cart de rglage Usa et la

position verticalepz de l'lectrode. D'autres dimensionnements ont t calculs pour adapter

la machine relle. Il faut la fois garantir une bonne stabilit du gap pendant environ 0,1 [s] et

aussi un bon suivi lors du recul pendant le repos qui spare deux sries d'impulsions

conscutives.

Par rapport aux premiers essais, il a fallu un peu largir l'intervalle de frquences. Pour

cet expos sur un exemple concret, on a prfr conserver les mesures en frquence plutt

qu'en pulsation et le trac du module en dcibels plutt qu'en chelle logarithmique qui sont

usuelles chez le constructeur des machines, mme si cela ncessite des conversions d'chelle

par rapport la partie thorique du chapitre.


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Rglage CRONE


A Usinage standard B Usinage avec filtre CRONE

13.A7 Usinage en rgime E 373 pendant 0,2 [s]:trace 1 (0,5V/div.): Usa, trace 2 (20mV/div.): pz, avec origine dcale.

On constate une plus grande variation tant de la position que de l'cart de rglage

en prsence du filtre CRONE. Malgr ces apparences, la qualit de l'usinage a t amliore:

au lieu de 190 tincelles basniveau dtectes pendant la dure de l'usinage, il n'y en a eu que

130. On a donc conomis 60 mouvements sortieentre de l'lectrode. Le temps total pour

rod 3,5 [mm] a pass de 20 minutes 17 minutes alors que la qualit de la surface usine

t maintenue. Grce l'application du filtre CRONE, on a bien obtenu un meilleur rglage du

processus nonlinaire.


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Rglage CRONE


13.B SUPPORT LOGICIEL

13.B.1 Description.

L'algorithme dcrit au paragraphe 13.3.1 a t implment sous forme de trois fonctionsMATLAB.

La fonctionCrone1 donne les ples et les zros du rgulateur CRONE si on entre la fonctionde transfert du systme rgler sous forme "transfer function" [Ns,Ds]. On peut choisir aussi un

prrgulateur [NR,DR]. On doit aussi marphase dfinir la marge de phase requise et omega les

pulsations choisies pour l'intervalle de blocage de phase. On peut aussi introduire un retard pur

retpur en cas de besoin. Cette fonction retourne le vecteur des ples et celui des zros du

rgulateur CRONE, et aussi la fonction de transfert du systme combin au prrgulateur.

>>[Crozero,Cropole,numinf,deninf]=crone1(Ns,Ds,NR,DR,marphase,omega,retpur);

On vrifie qu'il y a au moins autant de ples que de zros, sinon on dfinit un nouveau vecteur Cropolepar adjonction de ples situs au minimum un facteur 10 du zro le plus gauche.

La fonctionCrone2 donne la fonction de transfert du filtre CRONE et la fonction de transferten boucle ouverte du systme. Si on ne fixe pas la pulsation de rfrence pour le module 1, c'est le

programme qui choisit le milieu de l'intervalle dfini pourCrone1. Cette fonction retourne la fonctionde transfert du rgulateur CRONE, et aussi celle du systme en boucle ferme.

>>[Ncro,Dcro,N0,D0]=crone2(Crozero,Cropole,numinf,deninf,omega,omegaref);

La fonctionCrone3 affiche la rponse harmonique en boucle ouverte totale et, pour mmoire,celle sans filtre CRONE. On obtient aussi la fonction de transfert en boucle ferme.

>>[Nfc,Dfc] = crone3(numinf,deninf,N0,D0,bande);

Si on constate un saut de phase de 180, il faut redfinir le vecteuromega des pulsations et

refaire la procdure 1 4: soit en diminuant l'cart entre les pulsations de part et d'autre du saut de

phase. A dfaut il faut augmenter le nombre de points choisis dans l'intervalle.

Laccs ces fonctions est facilit par le programme interactif ReguCrone qui permet uneentre aise des donnes du systme rgler avec plusieurs formes dcriture possibles et des

spcifications du cahier des charges. Il offre aussi la possibilit de vrifier ensuite les rsultats du

systme rgl : rponse indicielle en boucle ferme et lieu des ples ou rponse harmonique en boucle

ferme. En cas de besoin, il est encore possible dadjoindre un filtre de consigne, par exemple pour

adopter un rgulateur structure RST. On y accde par la page daccueil du logiciel daide au

dimensionnement DimReg en slectionnant le bouton Robuste . on appelle cette page en crivantDimReg sur la ligne de commande MATLAB. On peut aussi taper ReguCrone sur la ligne de

commandeMATLAB, on ne passse pas alors par la page de choix. Ce programme permet aussi de

mmoriser des rsultats intermdiaires, quon peut ensuite rcuprer sans avoir refaire toute la

procdure dentre.


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Rglage CRONE

13.B.2 Recommandations.

La fonction ReguCrone.m mis en ligne ici est la version 1.0, base sur un travail de diplme

crit sous forme de script MATLAB plutt que comme fonction [31]. Elle est susceptible d'tre mise

jour en tout temps. A l'usage, on a remarqu que le rsultat est trs dpendant du choix des pulsations

(vecteur omega). On obtient parfois des rsultats errons avec apparition d'un saut de phase de

180, justement dans l'intervalle de pulsation pour lequel on veut bloquer la phase Si aprs plusieurs

essais, on ne parvient pas obtenir le rsultat escompt, on devra augmenter le nombre de pulsations

choisies dans l'intervalle, avec pour consquence l'augmentation de l'ordre du rgulateur CRONE. On

peut ensuite rduire l'ordre du rgulateur CRONE en simplifiant manuellement les ples et zros

proches, ce qui aura pour consquence un largissement de la tolrance sur la marge de phase.

Si on ne fixe que les deux extrmits de lintervalle de pulsation, lalgorithme ne pose pas de

problme numrique, mai la tolrance de phase est dautant plus grande que lintervalle est large.

L'amlioration de la fonctionnalit de ce programme est dpendante des rsultats obtenus avec

les utilisateurs, les remarques d'utilisateurs externes l' eig sont donc particulirement bienvenues. Les

amliorations viseront aussi la souplesse et la convivialit.

volume6 rÉglage crone

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