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VOLUMES BY CYLINDRICAL SHELLS

In the disk method, the axis of revolution must be adjacent to the region being rotated and is the axis of the independent variable;  in the method of cylindrical shells, the axis of revolution might be separated from the region being rotated and is the axis of the dependent variable.

USE DISKS USE SHELLS

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BASIC DIFFERENCE IN CONCEPT:

Disk method divides the solid into infinitesimal flat cross‐sectional disks.

Shell method divides the solid into infinitesimal curved cylindrical shells.

Then . . . 

circumference of the base circle with radius x

a solid of revolution

surface area of the cylindrical shell at x (since, if it is cut open and rolled out flat, it is a rectangle of length and width 

AREA =

approximate volume of the “infinitesimal cylindrical shell” at x.  Then “add up” all of the infinitesimal volumes to get the volume, V, of the solid:

VERTICAL AXIS OF REVOLUTION

HORIZONTAL AXIS OF REVOLUTION

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EX #1:  Find the volume of the solid of revolution obtained by         rotating the region bounded by the curve 

and the lines  andabout the y‐axis.

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EX #2:  Find the volume of the solid of revolution obtained by rotating the region enclosed between   

and the line about the y‐axis.

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EX #3:  Find the volume of the solid of revolution               obtained by rotating the region bounded by  

and the x‐axis about the y‐axis.

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EX #4:   Find the volume of the solid of revolution obtained by rotating the region bounded by the graphs of 

andabout the line 

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EX #5:  Find the volume of the solid formed by     revolving the region bounded by the graphs of 

and about the x‐axis.

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EX #6:    Find the volume of the solid formed by        revolving the region bounded by the graphs    of and about the x‐axis.