VOORBEELDEN TOELATINGSONDERZOEK

WISKUNDE

(MET UITWERKINGEN)

Opmerkingen. Het gebruik van een zakrekenmachine (eventueel met grafische, maar zonder symbolische rekenmogelijkheden) is toegestaan. Men dient altijd de antwoorden volledig toe te lichten en de tussenstappen duidelijk te vermelden, dus ook bij gebruik van een (eventueel grafische) rekenmachine. Bij formuleringen als ‘bereken exact’ of ‘bereken algebraïsch’, e.d., dient het antwoord met 'formulewerk' (dus zonder rekenmachine) te worden afgeleid. In het bijzonder dienen vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch te worden opgelost. Het bijgevoegde formuleblad mag worden gebruikt (andere formulebladen zijn niet toegestaan).

FORMULEBLAD voor TOELATINGSONDERZOEK N.B. Dit formuleblad wordt op het toelatingsonderzoek uitgereikt. Andere formulebladen zijn niet

toegestaan.

GONIOMETRIE

)cos()sin(2)2sin( xxx = 2222 )sin(21)sin()cos(1)cos(2)2cos( xxxxx −=−=−=

1)sin()cos( 22 =+ xx )cos()sin()tan(

xxx =

STANDAARD AFGELEIDEN

functie afgeleide functie afgeleide

axxf =)( 1)( −=′ axaxf )sin()( xxf = )cos()( xxf =′

)ln()( xxf = x

xf 1)( =′ )cos()( xxf = )sin()( xxf −=′

xxf e)( = xxf e)( =′ )tan()( xxf = 2)cos(1)(x

xf =′

xaxf =)( )ln()( aaxf x=′

abc-FORMULE

02 =++ cbxax heeft oplossingen a

acbbx2

42

2,1−±−

=

MACHTEN en LOGARITMEN

( ) nmnm aa = , , nmnm aaa += nmn

m

aaa −= , ( ) nnn baab = ,

n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

pg gxpx =⇔=)log( , , pxpx 10)log( =⇔= pxpx e)ln( =⇔=

)log()log()log( abba ggg =+ , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

baba ggg log)log()log( , )log()log( ana gng =

STANDAARD LIMIETEN

11elim0

=−

→ x

x

x 1)1ln(lim

0=

+→ x

xx

e)1(lim 1 =+∞→

nnn

)allevoor(0e

lim kxx

k

x=

∞→ )0(0)ln(lim

0>=

↓kxx k

x

2

Voorbeeld 1 Toelatingsonderzoek Wiskunde 1. De cijfers tussen haakjes geven de maximale waardering aan. 2. Je dient elk antwoord volledig toe te lichten en alle tussenstappen te vermelden.

Vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch oplossen! Opgave 1. Bepaal alle oplossingen van:

(3) a) 112

+−=+

zzz

(4) b) . 0242 23 =−+ xxx Opgave 2. Los op; geef het antwoord in 3 decimalen (3) a) 02.0)23.0(2.1 <⋅ x

(3) b) 1)3log()log( =−+ xx (3) c) 7

5

)

.108.26.3 76.1 =+t(3) d) . .1010e4 8.0 =+− t

Opgave 3. Bepaal de afgeleide van de volgende functies:

(3) a) 2sin()( 3 xxxg =

(4) b) 20

52e3)(3.2

2 ttf tt −⋅+= −

(4) c) s

ssh21

)(2

+=

(4) d) 13)21sin(2e4)( +−+= tttk

(4) e) )21ln(2)( 3 xxxf −+= . Opgave 4. (6) Los op: . 012416 =−− xx

Opgave 5. Gegeven zijn de volgende matrices:

. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1325

en 0132

BA

(3) a) Bereken AB en BA.

(3) b) Bereken ))(( BABA −+ . (3) c) Bereken en . TAA AAT

3

Opgave 6. Van een fabriek van tennisballen is W de winst in euro's per week. Uitgedrukt in het aantal gefabriceerde ballen q is de formule voor de winst

. 500210121.0 23 +−+−= qqqW

Hierin is q in 1000-tallen en 8010 ≤≤ q .

(3) a) Bereken W(10). Wat betekent dit voor de fabriek?

(4) b) Bereken qW

dd en geef een tekenoverzicht.

(3) c) Bereken de maximale winst die de fabriek per week kan maken. Opgave 7. Gegeven is de functie (x > 0). )ln(2)( xxxf =(3) a) Bepaal van de grafiek van f (x) de snijpunten met de x-as, eventuele asymptoten, en . )(lim

0xf

x ↓

(5) b) Bepaal de afgeleide van f (x), los op: 0)( =′ xf , en ga na of f (x) voor die waarde(n) van x een extreem heeft en zo ja, van welke aard en met welke waarde. (3) c) Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt P = (1, 0) aan de grafiek van f (x). (4) d) Bepaal de tweede afgeleide van f (x), los op: 0)( =′′ xf , en bepaal de eventuele buigpunten van de grafiek van f(x). Opgave 8. In een gebied wordt het aantal prooidieren gegeven door de formule

)362sin(30008000 tN π

+= .

Hierin is t het aantal maanden, gerekend vanaf 1 januari 2000.

(3) a) Wat is de periode? Wat is het maximale aantal prooidieren?

(4) b) Bepaal van de functie N: de amplitude, N(6), en de coördinaten van het eerste maximum na t = 0. Opgave 9. Het aantal pantoffeldiertjes N(t) in een populatie op tijdstip t (in dagen) wordt gegeven

door ttN 916.0e391400)( −+

= .

(4) a) Bepaal N(0), N(2) en N(6). Bepaal ook de gemiddelde snelheid waarmee N(t) groeit tussen t = 2 en t = 6.

(2) b) Bereken . )(lim tNt ∞→

(4) c) Voor welke t is N(t) = 300?

(5) d) Bepaal . )(tN ′

4

Voorbeeld 2 Toelatingsonderzoek Wiskunde 1. De cijfers tussen haakjes geven de maximale waardering aan. 2. Je dient elk antwoord volledig toe te lichten en alle tussenstappen te vermelden.

Vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch oplossen! Opgave 1. Bepaal alle oplossingen van:

(3) a) t

tt

−=

+2

213

(4) b) . 0910 24 =+− xx Opgave 2. Los op; geef het antwoord in 3 decimalen

(3) a) 9.6)1ln(27.3 =++ x(3) b) 0

7

8.12)51.2(3.7 >−⋅ t

(3) c) 52.1091.856.2 3.1 =−−y(3) d) . e3 2 =− − x

Opgave 3. Bepaal de afgeleide van de volgende functies:

(3) a) )3cos()( xxxh =(4) b) 4))32(ln()( ttf +=

(4) c) 1e

3)( 2 −= s

ssg

(4) d) xxxk −− ⋅+= 53e2)(2

(5) e) )2sin(e)( ttf = . Opgave 4. Los op:

(3) a) xx −=− 23 (4) b) . 6e5e2 =− xx

5

Opgave 5. Gegeven zijn de matrices

. 311221

en 123312

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= BA

(3) a) Bereken IAB 5+ .

(3) b) Bereken IBA − . (2) c) Bereken . TBA 23 + Opgave 6. Bij een geurproef blijkt het verband tussen de concentratie x van de stof en de door een

proefpersoon ervaren geurprikkel y te worden gegeven door de lijn in onderstaande dubbellogaritmische grafiek.

1

10

100

1 10

x

y

100

(2) a) Wat is de waarde van x als y = 20? (2) b) Wat is de waarde van y als x = 5? (6) c) Bepaal y als functie van x. Opgave 7. Een functie is gegeven door . )0(e4)( 5.1 ≥= − xxxf x

(3) a) Bepaal van de grafiek van f (x) de snijpunten met de x-as, de y-as, en eventuele asymptoten. (5) b) Bepaal de afgeleide van f (x), los op: 0)( =′ xf , en ga na of f (x) voor die waarde(n) van x een extreem heeft en zo ja, van welke aard en met welke waarde. (4) c) Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt P = ),1( e

4 aan de grafiek van f (x). (5) d) Bepaal de tweede afgeleide van f (x), los op: 0)( =′′ xf , en bepaal de eventuele buigpunten van de grafiek van f(x).

6

Opgave 8. (8) Een periodiek verschijnsel met periode 8 laat zich beschrijven met een sinusfunctie s(t),

die een minimumwaarde 200 en een maximumwaarde 600 heeft. Verder is gegeven, dat s(2) = 400 en 0)2( >′s .

Bepaal de functie s(t). Opgave 9. De groei van een bacteriesoort kan gedurende een bepaalde periode beschreven worden

met het functievoorschrift tbatN =)( .Hierbij is N(t) het aantal bacteriën na t uur en b is de groeifactor, d.w.z. de factor waarmee het aantal elk uur toeneemt.

Voor een bepaalde bacteriesoort geldt op een geschikte voedingsbodem het volgende:

13

13550

alsalsals

104)()(

8)(

8 ≥≤≤≤≤

⋅===

ttt

tNbatN

tNt

(5) a) Bereken a en b. (3) b) Voor welke t is N(t) = 106 ? (3) c) Hoe groot is de groeisnelheid op t = 10 en op t = 15?

7

Voorbeeld 3 Toelatingsonderzoek Wiskunde 1. De cijfers tussen haakjes geven de maximale waardering aan. 2. Je dient elk antwoord volledig toe te lichten en alle tussenstappen te vermelden.

Vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch oplossen! Opgave 1. Bepaal alle oplossingen van:

(3) a) 913 +≥+− xx

(3) b) . 32 45 xxx −=+− Opgave 2. Los op; geef het antwoord in 3 decimalen (4) a) 2)11log()log(2 =+− xx (3) b) 7

3

)

.10e3.28.1 1.3 =+− t

(3) c) 4.73 12.0 −=−−z(3) d) . 01.0)183.0(5 <x

Opgave 3. Bepaal de afgeleide van de volgende functies:

(3) a) 31ln()( 2 tttg +=

(4) b) xxxxf 22.1 e6)4.5(3121)( −− −+=

(4) c) )2sin(1

36)(t

tth+

−=

(4) d) 2)e31()(2 −+−+= sssk

(4) e) )3)cos(42ln()( ++= xxxf . Opgave 4. Los op:

(3) a) 6ee2 += xx

(3) b) xx 215 += .

8

Opgave 5. Gegeven zijn de matrices

en . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

111210312

A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

311221

B

(2) a) Bereken . )(2 AAA ⋅=(3) b) Bereken . IAT 52 −

(3) c) Bereken ABT . Opgave 6. (7) Bepaal alle oplossingen van het stelsel vergelijkingen

. ⎩⎨⎧

−=−=+

602

2

3

xyxyx

Opgave 7. Een functie is gegeven door xxxf −+= e)2()( .(3) a) Bepaal van de grafiek van f (x) de snijpunten met de x-as, de y-as, en eventuele asymptoten. (5) b) Onderzoek f (x) op extremen, en bepaal de aard en waarde van de eventuele extremen. (4) c) Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt P = (0, 2) aan de grafiek van f (x). (4) d) Bepaal de eventuele buigpunten van de grafiek van f(x). Opgave 8. Van een product worden q eenheden geproduceerd; de verkoopprijs per eenheid is p. Er geldt de betrekking:

. qp 2400 −=

Voor de gemiddelde kosten k per geproduceerde eenheid geldt:

q

qqkk 40042.0 ++== .

k is uitgedrukt in dollars per eenheid. (3) a) Laat zien dat de winstfunctie wordt gegeven door . 4003962.2 2 −+−= qqW(3) b) Bepaal q

Wdd en geef een tekenoverzicht.

(2) c) Bepaal de maximale winst en de prijs die er bij hoort. De overheid gaat nu een belasting van 22 dollar per eenheid heffen.

(3) d) Welke prijs moet nu vastgesteld worden om een maximale winst te verkrijgen?

9

Opgave 9.

(5) Bepaal algebraïsch: 16

102lim 23

3

−++−

∞→ xxxx

x .

Opgave 10. Het enzym catalase wordt afgebroken onder invloed van zonlicht in aanwezigheid van

zuurstof. De relatie tussen de concentratie catalase y (in mg/l) en de tijd t (in min) wordt weergegeven door de lijn in onderstaande enkellogaritmische grafiek.

1

10

100

1000

0 10 20 30 40 50 6

t (min)

y (m

g/l)

0

(2) a) Voor welke t is de concentratie catalase gelijk aan 90? (1) b) Wat is de waarde van de concentratie catalase voor t = 50? (6) c) Bepaal y als functie van t.

10

Voorbeeld 1 Toelatingsonderzoek Wiskunde: Uitwerkingen Opgave 1.

a) ⇒=⇒=⇒+−+−=⇒+−+=⇒+−=+ 2

112122)1)(12(112

222 zzzzzzzzzzzz

2212

21

−=−===⇒21of

21 zz . De noemer 12 +z moet ongelijk 0 zijn, wat klopt voor

de gevonden antwoorden.

b) ⇒=−+⇒=−+⇒=−+ 0)4)(6(0)242(0242 223 xxxxxxxxx ofof 60 −== xx 4=x .

(Opmerking. Je mag ook zeggen dat uit volgt dat of , en dan de laatste vergelijking oplossen met de abc-formule.)

0)242( 2 =−+ xxx 0=x02422 =−+ xx

Opgave 2. a) We lossen eerst de gelijkheid op: ⇒=⇒=⋅ 2.1

02.0)23.0(02.0)23.0(2.1 xx

786.2)23.0log(

)log()log()23.0log()log())23.0log(( 2.1

02.0

2.102.0

2.102.0 ==⇒=⇒=⇒ xxx .

De functie is een dalende functie van x (want x)23.0(2.1 ⋅ 123.00 << ), dus de ongelijkheid geldt voor . 2.786>x

b) ⇒=−⇒=⇒=−⇒=−+ − 10)3(10101))3(log(1)3log()log( 1))3(log( xxxxxx xx

273

2493

21014)3(3

01032

2 ±=

±=

−⋅⋅−−±=⇒=−−⇒ xxx , dus of . 5=x 2−=x

De oplossing voldoet, want invullen geeft en , die beide zijn gedefinieerd. De oplossing voldoet niet, want

5=x )5log( )35log( −2−=x )2log(− is niet gedefinieerd (evenmin als

). De enige oplossing van de oorspronkelijke vergelijking is dus . )32log( −− 5=x(Opmerking. is ook op te lossen met behulp van de ontbinding

.) 01032 =−− xx0)2)(5(1032 =+−=−− xxxx

c) ( ) ( ) 76.11

76.11

194.2194.29.76.37.108.26.3 76.176.16.39.776.176.176.1 =⇒=⇒=⇒=⇒=+ ttttt

1.563=⇒=⇒ tt 563.11 (of 563.1194.2194.2 76.176.1 ==⇒= tt ).

d) ⇒=⇒=⇒=⇒=+ −−−− )125.0ln()eln(125.0e5.0e45.1010e4 8.08.08.08.0 tttt

2.599=−

=⇒=−⇒8.0

)125.0ln()125.0ln(8.0 tt .

Opgave 3. a) ) . Met de productregel en de kettingregel vinden we: 2sin()( 3 xxxg =

)cos(22)sin(23 32 xxxx +=⋅+=′ 2)2cos()2sin(3)( 32 xxxxxg . (Opmerking. Hierbij hebben we gebruikt dat van de vorm is met . Met de kettingregel is dus de afgeleide van gelijk aan

)2sin( x )sin(u xu 2=)2sin( x 2)2cos(2)cos( ⋅=⋅ xu .)

b) =−⋅+−⋅=′⇒−⋅+= −− 3.123.2

2 3.2201)5ln(522e3)(

2052e3)( ttfttf tttt

1.32 0.115ln(5)52e6 ttt −⋅+−= − .

11

(Opmerking. Hierbij hebben we gebruikt dat van de vorm is met . Met de kettingregel is dus de afgeleide van gelijk aan .)

t2e− ue tu 2−=t2e− 2e2e 2 −⋅=−⋅ − tu

c) s

ssh21

)(2

+= . Met de quotiëntregel vinden we:

2)2(132

ssss

++

=+

−+=

+

⋅+−+=′

222

12

)21(42

)21(

)20()21(2)(

ssssss

s

ssssh s .

(Opmerking. Bij het bepalen van de afgeleide van de noemer hebben we de afgeleide van s

moeten berekenen. Omdat 21

ss = , is deze afgeleide gelijk aan sss

s2

11211

21

21

21

21 ===− .

Ook is gebruikt ssssssssss

ss

s ======⋅=⋅ +−− 21

21

23

21

21

21

112222 11 .)

d) . Met de kettingregel vinden we: 13)21sin(2e4)( +−+= tttk13)22sin(1e12))2(16cos(1 +−++−+ −+=−⋅+⋅=′ ttt)32)21cos(2(e4)( 13)21sin(2 ttk tt .

(Opmerking. We hebben twee keer de kettingregel gebruikt: allereerst bij met , en verder nog bij het differentiëren van u, in het bijzonder bij het

differentiëren van .)

uk e4=13)21sin(2 +−+= ttu

)21sin(2 t+

e) )21ln(2)( 3 xxxf −+= . Met de kettingregel vinden we:

xxxxx

2)2(123

33

2

−−+

−=−−+

−+=′ − ))23()2(

210(

21

12)( 23

321

xxxxx

xf .

(Opmerking. We hebben twee keer de kettingregel gebruikt: allereerst bij met )ln(2 uf =

xxu 21 3 −+= , en verder nog bij het differentiëren van u, in het bijzonder bij het

differentiëren van 21

)2(2 33 xxxx −=− .) Opgave 4. Stel , dan is . De vergelijking is dan te herschrijven als . Oplossen van deze vergelijking met de abc-formule of via de ontbinding geeft de oplossingen en

px =4 22222 )4(44)4(16 pxxxxx ===== ⋅ 012416 =−− xx

0122 =−− pp0)3)(4(122 =+−=−− pppp 4=p 3−=p .

Dus of . De vergelijking 44 =x 34 −=x 44 =x heeft oplossing ; de vergelijking heeft geen oplossing, want kan niet negatief zijn.

1=x34 −=x x4

Opgave 5.

a) , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

25119

020534)3(10

1325

0132 2

AB

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=95

15120916015210

0132

1325

BA .

b) , ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+

1217

1325

0132

BA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−

1453

1325

0132

BA

dus . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−+

9103425

1453

1217

))(( BABA

12

c) , . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

12213

0312

0132TAA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=9665

0132

0312

AAT

Opgave 6. a) , dus de fabriek lijdt een verlies van 500 euro per week bij de productie van 10000 tennisballen.

500−=+⋅−⋅+⋅−= 500102101012101.0)10( 23W

b) 210240.3 2 −+−=′= qq)(dd qW

qW . We bepalen eerst wanneer :0)( =′ qW

0210243.0 2 =−+− qq , dus (deel door –0.3): ⇒=−−⇒=+− 0)70)(10(0700802 qqqq10=q of . Invullen van (bijvoorbeeld) de waarden 70=q 0=q , 20=q en geeft

respectievelijk 80=q

0210)0( <−=′W , 0150)20( >=′W en 0210)80( <−=′W .

We vinden dan het tekenoverzicht

c) We zien uit het tekenoverzicht van )(qW ′ dat maximaal is voor ; de maximale winst per week is dan euro.

)(qW 70=q10300=)70(W

Opgave 7. a) Snijpunten met de x-as: los op 00)ln(20)( =⇒=⇒= xxxxf (voldoet niet) of

, dus het snijpunt is ; 1ee0)ln( 0)ln( =⇒=⇒= xx x 0) (1,

∞==∞→∞→

)ln(2lim)(lim xxxfxx

(van de vorm ∞=∞⋅∞ ) en 0=⋅==↓↓

02)ln(lim2)(lim00

xxxfxx

(standaardlimiet), dus er zijn geen asymptoten.

b) 2 )2ln( +=⋅+⋅=′ xx

xxxf 12)ln(2)( .

Los op ⇒=′ 0)(xfe1

==⇒=⇒−=⇒=+ −− 11)ln( eee1)ln(02)ln(2 xxx x .

Met behulp van (bijvoorbeeld) en 022222)eln(2)e( 22 <−=+−⋅=+=′ −−f 02)1( >=′f vinden we het tekenoverzicht

waaruit we zien dat een minimum heeft voor met waarde )(xf 1e−=x

e2

−=−=−⋅== −−−−− 11111 e21e2)eln(e2)e(f .

c) , dus de raaklijn aan de grafiek van in het punt P = (1, 0) heeft de vergelijking . De raaklijn gaat door het punt (1, 0), dus er geldt: , dus

. Dus de raaklijn heeft vergelijking

22)1ln(2)1( =+=′f )(xfpxy += 2 p+⋅= 120

2−=p 2 2 −= xy .

d) x2

=+⋅=′′⇒+=′ 012)(2)ln(2)(x

xfxxf ; de vergelijking 02)( ==′′x

xf heeft geen

oplossingen, er zijn dus geen buigpunten.

q

)(qW ′

10 70

– – – 0 + + + 0 – – –

x

)(xf ′ – – – 0 + + + +

e–10

13

Opgave 8.

a) De functie )362sin(30008000)( ttN π

+= slingert om de evenwichtslijn (met hoogte 8000)

met een periode 36=ππ36/2

2 (maanden) en amplitude 3000; het maximum van is dan

(en het minimum

)(tN

11000=+ 30008000 500030008000 =− ).

b) De amplitude is 3000 ; 10598.1=π+= )sin(30008000)6( 31N .

8000)0( =N en 06.523362)

3602cos(3000)0( >=

π⋅

⋅π=′N , dus stijgt vanaf de

evenwichtslijn met hoogte 8000 (op

)(tN

0=t ) naar de maximale waarde 11000, waar hij na een

kwart periode 93641

=⋅= (maanden) aankomt; de coördinaten van het eerste maximum na

zijn dus . 0=t 11000) (9, Opgave 9.

a) 10=+

= 0e391400)0(N ; 55.2=

+= ⋅− 2916.0e391

400)2(N ; 344.8=+

= ⋅− 6916.0e391400)6(N . De

gemiddelde groeisnelheid van tussen t = 2 en t = 6 is )(tN 72.4=−

=−−

42.558.344

26)2()6( NN

(pantoffeldiertjes/dag).

b) 400=⋅+

=+

=+

= ∞−−∞→∞→ 0391400

e391400

e391400lim)(lim 916.0 ttt

tN .

c) ⇒+=⇒=+

⇒= −− )e391(300400300

e391400300)( 916.0

916.0t

ttN

⇒=⇒=⇒=⇒+= −−−− )ln()eln(e100e11700e11700300400 1171916.0

1171916.0916.0916.0 tttt

5.2=−

=⇒=−916.0

)ln()ln(916.0 117

1

1171 tt .

d) ttN 916.0e391400)( −+

= . Met de quotiëntregel vinden we:

20.916

0.916

)e39(1e14289.6

t

t

−

−

−

−−

+=

+−⋅+−+⋅

=′2916.0

916.0916.0

)e391()916.0e390(400)e391(0)( t

tt

tN .

(Opmerking. Bij het bepalen van de afgeleide van de noemer hebben we de kettingregel gebruikt, in het bijzonder bij het differentiëren van .) t916.0e39 −

14

Voorbeeld 2 Toelatingsonderzoek Wiskunde: Uitwerkingen

Opgave 1.

a) ⇒=⇒=⇒−+−=⇒−+=⇒−

=+

1222423)2)(21(3221

3 222 tttttttttt

tt

11 −==⇒ tt of .

b) Stel . Dan gaat de vergelijking over in . Oplossen van deze vergelijking via de ontbinding (of via de abc-formule) geeft de oplossingen en

px =2 0910 24 =+− xx 09102 =+− pp0)9)(1(9102 =−−=+− pppp

1=p 9=p . Dus , met de oplossingen 12 =x 11 −== xx en , of , met de oplossingen 92 =x 33 −== xx en .

Opgave 2. a) ⇒=+⇒=⇒=+⇒=+⇒=++ + 6.16.1)1ln( e1ee6.1)1ln(2.3)1ln(29.6)1ln(27.3 xxxx x

3.953=−=⇒ 1e 6.1x .

b) We lossen eerst de gelijkheid op: ⇒=⋅⇒=−⋅ 8.12)51.2(3.708.12)51.2(3.7 tt

610.0)51.2log(

)log()log()51.2log()log())51.2log(()51.2( 3.7

8.12

3.78.12

3.78.12

3.78.12 ==⇒=⇒=⇒= tttt .

De functie is een stijgende functie van t (want ), dus de ongelijkheid geldt voor .

t)51.2(3.7 ⋅ 151.2 >0.610>t

c) ( ) ( ) ⇒=⇒=⇒=⇒=− −−−−−− 3.11

3.11

56.243.193.1

56.243.193.13.13.1 43.1956.252.1091.856.2 yyyy

0.210=⇒ y .

d) 4 ; deze vergelijking heeft geen oplossing, want kan niet negatief zijn.

e4e7e3 222 −=⇒=−⇒=− −−− xxx x2e −

Opgave 3. a) . Met de productregel en de kettingregel vinden we: )3cos()( xxxh =

)sin(33)cos(3 xxx −=⋅−⋅+⋅=′ 3)3sin()3cos(1)( xxxxh . (Opmerking. Hierbij hebben we gebruikt dat van de vorm is met . Met de kettingregel is dus de afgeleide van gelijk aan

)3cos( x )cos(u xu 3=)3cos( x 3)3sin(3)sin( ⋅−=⋅− xu .)

b) . Met de kettingregel vinden we: 4))32(ln()( ttf +=

tt

32))3(ln(212 3

++

=⋅+

⋅+=′ 332

1))32(ln(4)( 3

tttf .

(Opmerking. We hebben twee keer de kettingregel gebruikt: allereerst bij het differentiëren van met , en vervolgens bij het differentiëren van 4uf = )32ln( tu += )32ln( tu += .)

c) 1e

3)(

2 −=

s

ssg . Met de quotiëntregel vinden we:

22

22

1)(ee63e3

−−−

=−

−⋅−−=′

s

ss s22

22

)1(e)02e(3)1(e3)( s

ss ssg .

(Opmerking. Bij het bepalen van de afgeleide van de noemer hebben we de kettingregel gebruikt, in het bijzonder bij het differentiëren van .) s2e

15

d) . ln(5)53e42 xxx −−−−−− ⋅−−=−⋅⋅⋅+−⋅=′⇒⋅+= 1)5ln(532e2)(53e2)(

22 xxxx xxkxk

(Opmerking. Hierbij hebben we gebruikt dat van de vorm is met ; met de kettingregel is de afgeleide van dus gelijk aan . Verder hebben we gebruikt dat van de vorm is met

2

e x− ue 2xu −=2

e x− xx xu 2e2e2

−⋅=−⋅ −

x−5 u5 xu −= ; met de kettingregel is de afgeleide van dus gelijk aan .)

x−51)5ln(51)5ln(5 −⋅⋅=−⋅⋅ −xu

e) 5.0))2(sin()2sin( ee)( tttf == . Met de kettingregel vinden we:

)sin(2e)cos(2 )sin(2

tt t

=⋅⋅⋅=′ − 2)2cos())2(sin(5.0e)( 5.0))2(sin( 5.0

tttf t .

Opgave 4. a) xx −=− 23 . Kwadrateren en uitwerken geeft: ( ) ⇒=−⇒−=− 222

23)(23 xxxx 1 of 30)1)(3(0322 =−=⇒=−+⇒=−+⇒ xxxxxx .

We controleren deze oplossingen door ze in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking. Invullen van in het linker- en rechterlid geeft 3−=x 39323 ==−⋅− respectievelijk

; dat klopt, dus voldoet. Invullen van 3)3( =−− 3−=x 1=x in het linkerlid geeft 11123 ==⋅− , maar invullen in het rechterlid geeft 1− ; du

elijking. s 1=x voldoet niet als

oplossing van de oorspronkelijke verg

b) Stel , dan is de vergelijking te herschrijven als , dus als . Oplossen van deze vergelijking met de abc-formule geeft

px =e 6e5e2 =− xx 652 =− pp0652 =−− pp

275

2495

2614)5(5 2 ±

=±

=−⋅⋅−−±

=p , dus 6=p of 1−=p . Dus of .

Oplossen van geeft , dus

6e =x 1e −=x

6e =x )6ln()ln(e =x ln(6)=x . De vergelijking heeft geen oplossing, want kan niet negatief zijn.

1e −=x

xe(Opmerking. De vergelijking kan natuurlijk ook worden opgelost via de ontbinding .)

0652 =−− pp0)1)(6( =+− pp

Opgave 5.

a) , dus ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−−+−++−+=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−= 10

141326143914322

311221

123312AB

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=+ 60

1461001510

1415IAB .

b) , dus ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−++−+−−−−−+−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

677507138

336192162234234162

123312

311221

BA

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−=−

777517137

100010001

677507138

IBA .

c) . ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=+ 3413

778 3121212 123

312323 TBA

16

Opgave 6. a) Als , dan is (aflezen op de x-as met behulp van de lijn). 20=y 70=xb) Als , dan is 5=x 5=y (aflezen op de y-as met behulp van de lijn). c) Bij een lijn in een dubbellogaritmische grafiek hoort een lineair verband tussen en

, dus . We gebruiken de punten )log( yY =

)log(xX = baXY += )5,5(),( 11 =yx en van de lijn, corresponderend met

)20,70(),( 22 =yx))5log(),5(log(),( 11 =YX en .

Voor de richtingscoëfficiënt a van de lijn geldt

))20log(),70(log(),( 22 =YX

.525.0)5log()70log()5log()20log(

12

12 =−−

=−−

=∆∆

=XXYY

XYa

Dus . Invullen van het punt bXY += 525.0 ))20log(),70(log(),( 22 =YX geeft , dus b+= )70log(525.0)20log( 332.0)70log(525.0)20log( =−=b . We vinden zo

, dus 332.0525.0 += XY 332.0)log(525.0)log( += xy . Hieruit bepalen we y als functie van x: , dus

, dus . (Controleer dit antwoord door de punten en

332.0)log(525.0)log( 1010 += xy

15.210101010 525.0332.0)log(332.0)log(525.0 525.0

⋅=⋅=⋅= xy xx 0.5252.15 x=y)5,5(),( 11 =yx )20,70(),( 22 =yx in te vullen!)

Opgave 7. a) Snijpunten met de x-as: los op (geen oplossing) , dus het snijpunt is ;

0e of 00e40)( 5.15.1 ==⇒=⇒= −− xx xxxf0=⇒ x 0) (0,

snijpunt met de y-as: , dus het snijpunt is ; 0)0( =f 0) (0,

004e

lim4elim4)(lim5.1

5.1 =⋅===∞→

−

∞→∞→ xx

x

xx

xxxf (standaardlimiet), dus de lijn (de x-as)

is horizontale asymptoot.

0=y

b) . xx xx −−−− −=−⋅+⋅=′ e4e6 1.50.51e4e5.14)( 5.15.0 xx xxxfLos op of (geen oplossing) of

0)5.1(e40e4e60)( 15.05.15.0 =−⇒=−⇒=′ −−− xxxxxf xxx 05.0 =⇒ x 0e =− x

05.1 =− x 0=⇒ x of 1.5=x . Met behulp van (bijvoorbeeld) en 0e2)1( 1 >=′ −f 038.0e24e26)2( 25.125.0 <−=⋅−⋅=′ −−f vinden we het tekenoverzicht

waaruit we aflezen dat een maximum heeft voor )(xf 1.5=x met waarde , en een (rand)minimum voor met waarde

1.64=)5.1(f0=x 0=)0(f .

c) e21e2)1( ==′ −f , dus de raaklijn aan de grafiek van in het punt )(xf ),1( heeft de

vergelijking e4

pxy += e2 . De raaklijn gaat door het punt ),1( e

4 , dus er geldt: p+⋅= 1e2

e4 , dus

e2=p . Dus de raaklijn heeft vergelijking e

2e2 += xy .

d) =−−−=′′⇒−=′ −−−−−−− )e4e6()e6e3()(e4e6)( 5.15.05.05.05.15.0 xxxxxx xxxxxfxxxfxxx xxx −−−− +−= e4e12e3 1.50.50.5 .

Los op (geen oplossing) of (geen oplossing) of 4 met oplossing (abc-formule)

⇒=+−⇒=′′ −− 0)4123(e0)( 25.0 xxxxf x 05.0 =−x 0e =−x

03122 =+− xx

621

23

86412

89612

42344)12(12 2

±=±

=±

=⋅

⋅⋅−−±=x , dus 28.01 =−= 6

21

23x of

x

)(xf ′ 0 + + + 0 – – – –

1.5 0

17

72.22 =+= 621

23x . Met behulp van (bijvoorbeeld) 026.5)1.0( >=′′f , en 084.1)1( <−=′′f

009.0)3( >=′′f vinden we het tekenoverzicht

We zien hieruit dat )(xf ′′ van teken wisselt in 1xx = en in 2xx = , dus de grafiek van heeft buigpunten en

)(xf0.44)(0.28,=))(,( 11 xfx 1.18)(2.72,=))(,( 22 xfx .

x )(xf ′′

1x

+ 0 – – – 0 + +

2x 0

Opgave 8. De amplitude van de functie dcbtats ++= )sin()( is

200=−=−= )200600(21)minimummaximum(

21a .

Voor de hoogte d van de evenwichtslijn, waar omheen slingert, geldt )(ts

400=+=+= )200600(21)minimummaximum(

21d .

De periode van is )(ts 82=

πb

, dus b82 =π , dus π=41b .

We weten dus nu dat 400)sin(200)( 41 ++π= ctts .

Uit het gegeven volgt 400)2( =s 400400)sin(200 21 =++π c , dus 0)sin( 2

1 =+π c , dus π−= 2

1c of π= 21c . Om de juiste waarde van c te kiezen, gebruiken we dat (dus

dat de grafiek van stijgt in 0)2( >′s

)(ts 2=t ). Er geldt dat )cos(50)( 41 ctts +ππ=′ . De waarde

π= 21c zou leiden tot 050)cos(50)2( <π−=ππ=′s , wat niet juist is. De waarde π−= 2

1c geeft , wat klopt. We vinden dus 050)0cos(50)2( >π=π=′s 400π)π200sin( 2

141 +−= t)(ts .

(Opmerking. De functie 400)sin(200 41 +πt is voor 0=t gelijk aan 400 en stijgend; de

grafiek van kunnen we dus uit die van )(ts 400)sin(200 41 +πt verkrijgen door een

verschuiving over 2 eenheden naar rechts; we krijgen dan 400))2(sin(200)( 41 +−π= tts , wat

gelijk is aan 400)sin(200)( 21

41 +π−π= tts .)

Opgave 9. a) en , dus 8)5( 5 == baN 813 104)13( ⋅== baN

⎩⎨⎧

⋅==

813

5

1048

baba

; ⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=⇒⋅=⇒⋅=⇒

=⇒

88888135

5

105.010481048

8

bbbb

ba

.

Oplossen van de tweede vergelijking geeft: ( ) ( ) 9.17=⇒⋅=⇒⋅= bbb 81

81

8888 105.0105.0 ,

zodat 0.0001234== 5)17.9(8a .

b) , dus los op ttN )17.9(0001234.0)( = ⇒=⇒= 0001234.0106 6)17.9(10)17.9(0001234.0 tt

( ) ( ) ( ) ( )10.3==⇒=⇒=⇒

)17.9(loglog

log)17.9(loglog)17.9(log 0001234.010

0001234.010

0001234.010

6

66 ttt .

c) Voor is , dus , dus (bacteriën per uur).

135 ≤≤ t ttN )17.9(0001234.0)( = )17.9ln()17.9(0001234.0)( ⋅=′ ttN6101.15 ⋅=⋅=′ )17.9ln()17.9(0001234.0)10( 10N

Voor is , dus 13≥t 8104)( ⋅=tN 0)( =′ tN , dus 0=′ )15(N (bacteriën per uur).

18

Voorbeeld 3 Toelatingsonderzoek Wiskunde: Uitwerkingen Opgave 1.

y=–3x+1 a) Het linker- en het rechterlid van de ongelijkheid corresponderen met respectievelijk de

lijnen en . Voor het snijpunt van deze lijnen geldt:

913 +≥+− xx13 +−= xy 9+= xy

284913 −=⇒=−⇒+=+− xxxx . We lezen nu uit de figuur af dat 913 +≥+− xx voor

. 2−≤x y=x+9

b) ⇒=+−⇒−=+− 04545 2332 xxxxxx⇒=−−⇒=+−⇒ 0)4)(1(0)45( 2 xxxxxx

410 ===⇒ xxx ofof . (Opmerking. Je mag ook zeggen dat uit

volgt dat of , en dan de laatste vergelijking oplossen met de abc-formule.)

0)45( 2 =+− xxx 0=x 0452 =+− xxx

Opgave 2.

a) ( ) ⇒=⇒=⇒=+−⇒=+−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++ 2log

112 10102log2)11log()log(2)11log()log(2 11

22 x

x

xxxxxx

12)1100(14)100(100

011001001100100102

222112

⋅−⋅⋅−−±

=⇒=−−⇒+=⇒=+ xxxxxxx

2120100

214400100 ±

=±

=⇒ x , dus 110=x of 10−=x .

De oplossing voldoet, want invullen geeft en , die beide zijn gedefinieerd. De oplossing voldoet niet, want

110=x )110log(2 )121log(10−=x )10log(2 − is niet gedefinieerd. De enige

oplossing van de oorspronkelijke vergelijking is dus 110=x .

b) ⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=+− )ln(1.3)ln()eln(e5.12e3.27.10e3.28.1 3.25.12

3.25.121.3

3.25.121.31.31.3 ttttt

0.546==⇒1.3

)ln( 3.25.12

t .

c) ( ) ( ) 0.041=⇒=⇒=⇒=⇒−=− −−−−−− zzzzz 12.01

12.01

34.412.0

34.412.012.012.0 4.4334.73 .

d) We lossen eerst de gelijkheid op: 002.0)183.0()183.0(01.0)183.0(5 501.0 =⇒=⇒= xxx

659.3)183.0log()002.0log()002.0log()183.0log()002.0log())183.0log(( ==⇒=⇒=⇒ xxx .

De functie is een dalende functie van x (want x)183.0(5 1183.00 << ), dus de ongelijkheid geldt voor . 3.659>x Opgave 3. a) ) . Met de productregel en de kettingregel vinden we: 31ln()( 2 tttg +=

tttt31

3)3ln(122

+++=⋅

+⋅++=′ 3

311)31ln(2)( 2

tttttg .

19

(Opmerking. Hierbij hebben we gebruikt dat )31ln( t+ van de vorm is met )ln(u tu 31+= .

Met de kettingregel is dus de afgeleide van )31ln( t+ gelijk aan 331

131⋅

+=⋅

tu.)

b) =−⋅−⋅+−⋅=′⇒−+= −−−− 2e6)4.5ln()4.5(32.1121)(e6)4.5(3

121)( 22.222.1 xxxx xxfxxf

xxx 22.2 e12ln(5.4)(5.4)3101 −− +⋅+−= .

(Opmerking. Hierbij hebben we gebruikt dat van de vorm is met . Met de kettingregel is dus de afgeleide van gelijk aan .)

x2e− ue xu 2−=x2e− 2e2e 2 −⋅=−⋅ − xu

c) )2sin(1

)36()2sin(1

36)(5.0

tt

ttth

+−

=+

−= . Met de quotiëntregel vinden we:

=+

⋅+−−+⋅⋅−=′

−

2

5.05.0

))2sin(1()2)2cos(0()36())2sin(1(6)36(5.0)(

tttttth

2

5.05.0

))2sin(1()2cos()36(2))2sin(1()36(3

ttttt

+−−+−

=−

.

(Opmerking. Bij het bepalen van de afgeleide van de teller hebben we de kettingregel gebruikt: is van de vorm met 5.0)36( −t 5.0u 36 −= tu . Ook bij het bepalen van de afgeleide van de

noemer hebben we de kettingregel gebruikt, in het bijzonder bij het differentiëren van .) )2sin( t

De uitdrukking die we voor hebben gevonden vereenvoudigen we nog door de teller en de noemer met te vermenigvuldigen; we vinden dan

)(th′5.0)36( −t

36))sin(2(1)cos(26)cos(212)sin(233

2 −++−+

=−+−−+

=′tt

tttt5.02 )36())2sin(1(

)2cos()36(2))2sin(1(3)(tt

tttth .

d) . Met de kettingregel vinden we: 2)e31()(2 −+−+= sssk

3)3e(1e6)(122

2

ss

sss+−

+−+−−+−

+

−=+−⋅++−=′ ))12(e30()e31(2)(

22 3 ssk ssss .

e) )3))(cos(42ln()3)cos(42ln()( 5.0 ++=++= xxxxxf . Met de kettingregel vinden we:

3)cos(42))(cos()sin(22)0)sin())(cos(22(

3))(cos(421)(

5.05.0

5.0 ++−

=+−⋅+++

=′−

−

xxxxxx

xxxf .

We kunnen deze uitdrukking nog vereenvoudigen door de teller en de noemer met te

vermenigvuldigen:

5.0))(cos(x

)cos(3)cos(4)cos(2)sin(2)cos(2

xxxxxx

++

−=′ )(xf .

Opgave 4. a) Stel , dan is de vergelijking te herschrijven als , dus als

. Oplossen van deze vergelijking met de abc-formule geeft px =e 6ee2 += xx 62 += pp062 =−− pp

251

2251

2614)1(1 2 ±

=±

=−⋅⋅−−±

=p , dus 3=p of 2−=p . Dus of .

Oplossen van geeft , dus

3e =x 2e −=x

3e =x )3ln()ln(e =x ln(3)=x . De vergelijking heeft geen oplossing, want kan niet negatief zijn.

2e −=x

xe

20

(Opmerking. De vergelijking kan natuurlijk ook worden opgelost via de ontbinding .)

062 =−− pp0)2)(3( =+− pp

b) Stel px = , dan is de vergelijking xx 215 += te herschrijven als , dus als . Oplossen van deze vergelijking met de abc-formule of via de ontbinding

geeft de oplossingen

pp 2152 +=01522 =−− pp

0)3)(5(1522 =+−=−− pppp 5=p en 3−=p . Dus 5=x of 3−=x . De vergelijking 5=x heeft oplossing ; invullen van deze oplossing in

de oorspronkelijke vergelijking geeft 2552 ==x

2521525 += , wat klopt, dus voldoet. De vergelijking

25=x3−=x heeft geen oplossing, want x kan niet negatief zijn.

Opgave 5.

a) . ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++−++−+−++++−++−+−−−+

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

033432701

123111102220210200326312304

111210312

111210312

2A

b) . ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−=−

346232201

100010001

5123111102

252 IAT

c) =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−+−−+++−++++−−+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−−= 326312304143121102

111210312

312121ABT

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−−= 701821 .

Opgave 6.

⎩⎨⎧

−=−=+

602

2

3

xyxyx

; . ⎩⎨⎧

−=−=+=⇒=+

602of00)2(

2

22

xyyxxyxx

We splitsen het stelsel op in twee stelsels:

a: ; oplossing ⎩⎨⎧

−=−=

60

2xyx

⎩⎨⎧

−=⇒=⇒

60

yx

⇒ )6,0(),( −=yx

b: ; ⎩⎨⎧

−=−=+

602

2

2

xyyx

⎩⎨⎧

−==⇒=⇒−=−⇒−=⇒

2of246 2223

221

xxxxxy

oplossingen ⇒ )2,2(),( −=yx , . )2,2(),( −−=yx

We hebben zo in totaal drie oplossingen gevonden, namelijk: 6)(0, − , , . 2)(2, − 2)2,( −− Opgave 7. a) Snijpunten met de x-as: los op (geen oplossing) , dus het snijpunt is

0e of 020e)2(0)( ==+⇒=+⇒= −− xx xxxf2−=⇒ x 0) 2,(− ;

snijpunt met de y-as: , dus het snijpunt is ; 2e)20()0( 0 =+=f 2) (0,

000e2

elim

e2lime)2(lim)(lim =+=+=

+=+=

∞→∞→

−

∞→∞→ xxxxx

x

xx

xxxxf (standaardlimieten), dus de

lijn (de x-as) is horizontale asymptoot; 0=yopmerking: . −∞=∞⋅−∞=+= −

−∞→−∞→

x

xxxxf e)2(lim)(lim

21

b) Los op of (geen oplossing)

xxx xxxf −−− −−=−⋅++⋅=′ e)1(1e)2(e1)( . ⇒=−−⇒=′ − 0e)1(0)( xxxf01=−−⇒ x 0e =− x 1−=⇒ x .

Met behulp van (bijvoorbeeld) en 0ee)12()2( 22 >=−=−′f 01e)10()0( 0 <−=−=′f

– 0 +

x )(xf ′′

0

vinden we het tekenoverzicht

waaruit we aflezen dat een maximum heeft voor met waarde .

)(xf 1−=xe=+−=− e)21()1(f

x

)(xf ′ + + + 0 – – – –

–1

1

c) , dus de raaklijn aan de grafiek van in het punt (0, 2) heeft de vergelijking . De raaklijn gaat door het punt (0, 2), dus er geldt: 1)0( −=′f )(xf

pxy +−= 1 p+⋅−= 012 , dus . Dus de raaklijn heeft vergelijking

2=p2 +−= xy .

d) . Los op xxxx xxxfxxf −−−− =−⋅−−+⋅−=′′⇒−−=′ e1e)1(e1)(e)1()( ⇒=′′ 0)(xf=− x ( bijvoorbeeld)

en vinden we het tekenoverzicht

e zien hieruit dat

of e geen oplossing). Met behulp van (

e)1( <−=−′′f

⇒=⇒ − 0e xx 0=x 0

0 0e)1( 1 >=′′ −f

W )(xf ′′ van teken wisselt in 0=x , dus de grafiek van )(xf heeft een namebuigpunt voor 0=x , lijk 2)(0,=))0(,0( f .

Opgave 8.

Opbrengst (van de q eenheden) – Kosten (gemaakt bij de productie van de q a) Winst =eenheden), dus

=++−−=−=− qq

qqqqkqpk )40042.0()2400( =−= qpKOW

4003962.240042.02400 222 −+−=−−−−= qqqqqq .

3964.4 +−=′= q)(dd qW

qW . We bepalen eerst wanneer 0)( =′ qW : b)

904.4

39603964.40)( =−−

=⇒=+−⇒=′ qqqW . Invullen van (bijvoorbeeld) de waarden

en geeft respectievelijk 80=q 100=q 044 >)80( =′W en 044)100( <−=′W .

e vinden dan het tekenoverzicht

) We zien uit het tekenoverzicht va

W c n )(q′ dat maximaal is vo . De ma le )(qW or ximaW 90=q

+ + + + + + + + 0 – – –

q

)(qW ′

0 90

winst is dan 17420=)90(W dollar bijbe nde prijs per eenheid product is dan ⋅−= 902400p

ordt de w

. De hore dollar.

d) Door de belasting w inst bij verkoop van q eenheden product verminderd met 220=

q22 , dus de winstfunctie wordt nu 3742.222)4003962.2()( 22 −+−=−−+−= qqqqqqW .

Dus 03744.4)( =+−=′ qqW voor

400

854.4

374=

−−

=q .

Het tekenoverzicht van is nu

aaruit volgt dat de winst nu maxim al is voor

)(qW ′ w a 85=q . De bijbeh de prijs per e heid product is dan

oren en

+ + + + + + + + 0 – – –

q 0 85

)(qW ′

dollar. 230=⋅−= 852400p

22

Opgave 9. We delen de tel de hoogler en de noemer door ste macht van x in de noemer, dat is 3x :

31

=+−

=+−

=+− 0022

lim102lim323

xxxx . −+−+−+ ∞→∞→ 006116

101

163

23

xxxx xx

Opgave 10. ) Als , dan is 90=y 10=ta (aflezen op de t-as met behulp van de lijn).

, dan is b) Als 50=t 10=y (aflezen op de y-as met behulp van de lijn). aritmische schaal en op

een schaa g(yc) Bij een lijn in een enkellogaritmische grafiek met op de y- as een logde t-as gewone l hoort een lineair verband tussen loY en , dus )= tX =

baXY += . We gebruiken de punten )90,10(),( 11 =yt en )10,50(),( 22 =yt van de lijn, corresponderend met ))90log(,10(),( 11 =YX en ))0),( 22 1log(,50(=YX . Voor de

richtingscoëfficiënt a van de lijn geldt 02386.02

12 −==−

=X

Y.

Dus bXY +−= 02386.0 . Invullen 1050

)90log()10log(

1 −−

XY

XYa

van het punt

−∆∆

=

))90log(,10(),( 11 =YX geef, dus

t b+⋅−= 1002386.0)90log( 193.21002386.0)90log( =⋅+=b . We vinden zo

X , d193.202386.0 +−=Y us 193.202386.0)log( +−= ty . y als 193.202386.010 +− t , dus 023.0− , dus

Hieruit bepalen we functie van t: 10 =y

86193.202386.0 ⋅=⋅=⋅= − ttty .

)log(

156)9466.0(10)10(1010 193.2 t(0.9466)156=y(Controleer dit antwoord door de punten )90,10(),( 11 =yt en )10,50(),( 22 =yt in te

vullen!)

23