МАТЕМАТИКА Подготовка к ЕГЭ 2015

Задача №19 экономического содержания

Омельченко Татьяна Михайловна, учитель математики МБОУ СОШ №20

г. Владивостока

На данный момент в содержании самого ЕГЭ пока никаких реальных изменений нет, информация для экзамена 2014

пока актуальна и для 2015 года. ЕГЭ по математике предполагается разделить на базовый и профильный

уровень. Сделана оговорка, что это на данный момент только обсуждается, а если и будет вводится такая форма сдачи, то её планируется внедрять в некоторых регионах.

По новому проекту 2015 года (профильный уровень) экзамен включает в себя 21 задачу. Содержание заданий

ЕГЭ 2014 года и ЕГЭ 2013 актуально, так что можно использовать литературу и готовиться по сборникам опубликованным для выпускников этих лет. Все типы

задач останутся и в 2015 году.

Часть 2Содержит 12 заданий по материалу курса средней школы.

Это задания 10-21. Задания 10-14 также с кратким ответом,

в заданиях 15-21 необходимо привести грамотное и обоснованное решение.

* * *Первая часть (1-9) предназначена для проверки базовых

знаний — эти задачи соответствуют уровню обычной средней школы без углубленного изучения математики.

Вторая часть (10-21) подразумевает повышенный и высокий уровень знаний и навыков.

Задания 15 и 16 — никаких углублённых знаний математики не требуют. Важно грамотно оформить решение задачи.

Задачи 17 и 18 — это уже серьезный уровень. Но школьной программы также достаточно, чтобы их решить. Хорошие теоретические знания плюс навыки решения плюс умение делать выводы из начального условия — и задачи будут решены.Задачи 19, 20 и 21 — самые сложные и нестандартные. Подвластны тем, кто не просто хорошо знает математику, а увлечён и любит её. Требуется оригинальное, нестандартное мышление, смекалка, изобретательность. Само решение занимает на тетрадном листе немного места, но поразмыслить придётся.

Задачи № 19Вариант 3

31 декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема

выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк

начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%),

затем Владимир переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму взял Владимир в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то

есть за два года)?

Буквенные обозначения

Решение. Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей,

а годовые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга

умножается на коэффициент m=1+0,01k. После первой выплаты сумма долга составит: a1=am-x.

После второй выплаты сумма долга составит:

a2=a1m-x=(am-x)m-x=am2-mx-x=am2-(1+m)x

Решениеk = 14%, m = 1,14 x = 4548600 p. n = 2 (за 2года)_____________ a = ?Остаток am2-x(m+1)=0 am2=x(m+1)кредит a= x(m+1) m2

a=4548600(1,14+1) = 9734004 = 1,142 1,2986 7490000 р.

Вариант 431 декабря 2014 года Сергей взял в банке

6 944 000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря

каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5 %),

затем Сергей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Сергей выплатил долг

тремя равными платежами (то есть за три года)?

k = 12,5%, m = 1,125 а = 6944000 p.n = 3 (за 3 года)__________________х = ? (am2-x(m+1))m-x=0 am3-x(m2+m+1)=0

x= am3

m2+m+1

x= 6944000(1,125)3 =

(1,125)2 + 1,125 + 1

6944000 (1,423828125) =2916000 p. 3,390625

Вариант 5Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн рублей.

Погашение кредита происходит раз в год равными суммами

(кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество

лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 тысяч

рублей?

Вариант 6 1 января 2015 года Михаил Юрьевич взял в

банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая –

1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 % на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2 %), затем Михаил Юрьевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Михаил

Юрьевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 250

тысяч рублей?

Вариант 731 декабря 2014 года Олег взял в банке

некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита

следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся

сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то

выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Под какой процент Олег взял

деньги в банке?

Годовой % k Кредит аm = 1+ 0,01kЕсли n = 4, то x1 = 328050 р.Если n = 2, то х= 587250 р.Годовой % k =?Решение:Если n = 2, то a2= am2-(1+m)x (остаток, равный 0) Отсюда а = (1+m)x m2

Если n = 4, то a4= (am3-m2 x1-mx1-x1)m -x1 (остаток, равный 0) Отсюда а = (m3+m2 +m+1)x1 = (m+1) (m2+1)x1 m4 m4

Решив уравнение, найдём m(1+m)x = (m+1) (m2+1)x1 m2 m4

x m2 =x1 (m2+1)x m2 - x1 (m2+1) = 0m2= __ x1 __ x - x1

m2= 328050 = 1,265625 m=1,125 k=(1,125 -1):0,01=12,5 259200 k=12,5%

Вариант 831 декабря 2014 года Сергей взял в банке

некоторую сумму в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк

начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10 %), затем Сергей переводит в банк 2 662 000

рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными

платежами (то есть за три года)?

Вариант 931 декабря 2014 года Георгий взял в банке 1

млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая –

31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму

долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Георгий переводит очередной транш. Георгий

выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 570 тыс. рублей, во второй 599,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал

кредит Георгию?

Вариант 1031 декабря 2014 года Леонид взял в банке 1

млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая –

31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму

долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Леонид переводит очередной транш. Леонид выплатил кредит за два транша, переведя в

первый раз 700 тыс. рублей, во второй 440 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит

Леониду?

КОНЕЦ