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1 Vorkurs Mathematik für Informatiker -- 1 Potenzen und Polynome -- Thomas Huckle Stefan Zimmer (Stuttgart) 4.10.2018

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Vorkurs Mathematik für Informatiker

-- 1 Potenzen und Polynome --

Thomas Huckle

Stefan Zimmer (Stuttgart)

4.10.2018

Page 2: Vorkurs Mathematik für Informatiker -- 1 Potenzen und ...1 Vorkurs Mathematik für Informatiker-- 1 Potenzen und Polynome --Thomas Huckle Stefan Zimmer (Stuttgart) 4.10.2018

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Vorwort

• Es sollen Arbeitstechniken vermittelt werden für das

Informatikstudium

• Der wesentliche Teil ist das Bearbeiten der Übungsaufgaben

• Aufgaben, die man nicht lösen konnte, kann man vergessen,

daher gibt es keine „Musterlösungen“: „learning by doing“

• Stoffauswahl:

- Wiederholung von Schulstoff

- Informatik-relevante Mathematik

- insgesamt relativ willkürlich, aber interessant!

Vorlesung, Zentralübung, Tutorü., Seminar, Prakt., Lab …

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Vorgehensweise

Mathematik: Definition von Objekten und Operationen.

Frage nach Eigenschaften der definierten Strukturen!

Vorlesung verstehen? Mitschreiben! Nacharbeiten!

Typischer Lösungsweg für Übungsaufgaben:

Aus aktuellem Teil des Skripts/der Vorlesung die Definitionen

anschauen, umformulieren, zusammenfügen Lösung

Jeder Zeit Fragen stellen! Anwesenheit!

Verschiedene Schwierigkeitsstufen.

Serlo: https://de.serlo.org/mathe/universitaet/tu-muenchen/vorkurs-mathematik-informatiker/44328

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„Potenzen“ bzgl. Addition

Einführung der Zahloperationen, basierend auf 0 und 1:

„Potenzen“ bezgl. „+“:

n 11...11

n-mal

Mächtigkeit einer Menge mit

n Elementen (Äpfeln)

Addition: n+1 = (1+1+..+1+1) + 1 als Nachfolger von n

Multiplikation: nnnnmn ...

m-mal

als wiederholte Addition in Paketen oder

Mächtigkeit von m Mengen der Mächtigkeit n

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Potenzen bzgl. Multiplikation

Potenz als wiederholte Multiplikation:

nxxxxx :

n-mal

als abkürzende Definition/Schreibweise „:=„

mnnm xxxxxxxxxxxxxxx

m-mal n-mal m+n-mal

mmm xyxyxyyyxxyx

m-mal m-mal m-mal

mnmmnm xxxxxxxx

n-mal m-mal m-mal

n-mal

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Rekursive Definition

0

0:1

nfürxx

nfürxx

n

n

Präzise mathematische Definition:

Als Computer-Programm:

function Potenz( x: Real; n: Integer): Real;

begin

if n=1 then Potenz := x

else Potenz := x ∙ Potenz(x, n-1)

end;

Rekursives Programm (Ausführung von oben her)

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Loop programm

Induktives Programm (Ausführung von unten her)

function Potenz ( x: Real; n: Integer ) : Real ;

var

p: Real ;

i : Integer ;

begin

p := 1.0 ;

for i := 1 to n do p := p ∙ x ;

Potenz := p ;

end ;

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Brüche als Exponent

Definition:

Für eine positive Zahl x ϵ IR und n ϵ IN ist x1/n diejenige

positive Zahl y, für die gilt yn = x .

Für n=2 bekommen wir die üblichen Wurzeln √¯¯

Entsprechend ist die n-te Wurzel definiert durch

nnn xxx1

1

:

Damit diese Definition vernünftig ist, sollte es nur eine

solche Zahl y geben!

xyxy nn 1

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Rechenregeln

Die Definition von x1/n wurde genau so gewählt, dass die

alte Regel (xm)n = xm∙n weiter gilt:

?1 nnx

xxxxn

nnn

1

1

1

Somit hebt der Exponent 1/n die Wirkung des Exponenten n

auf, bzw. Exponent n hebt 1/n auf.

Daher ist xn die Umkehrfunktion von y1/n (und umgekehrt).

qp

p

qp

qqp

xxxx11

1

:

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Ziel: Erweiterung des

Potenzierens auf reelle ZahlenBrüche (positive rationale Zahlen), schon geschafft.

Erweiterung jeweils so, dass die alten Regeln weiter gelten.

Negative Exponenten:

nmnm xxx für m = 0:nnn xxxx 00

Daher muss x0 = 1 sein.

0xxxx nnnn nmnm xxx für m = − n:

Daher muss sein wegen n

n

xx

1:

1 nn xx

Später soll natürlich auch xy für definiert sein.,0,, xRyx

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Polynome - Definitionen

Ein Term der Form xn heißt Monom (in x);

x є ǀR: Unbekannte; n є ǀN: Potenz

Die ai , i=0,1,…,n, heißen Koeffizienten des Polynoms.

Entsprechend heißt ein Term

ein Polynom (in x). Index i. Summenzeichen.

0

1

1

0

axaxaxa n

n

n

i

i

i

Das Summenzeichen Σ dient der einfacheren Notation

nn

n

i

i aaaaaa

1210

0

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Polynom als Code

program Polynom;

const

n = 3;

var

a: array [0 . . n] of Real = (4.0 , 0.0 , 7.0 , 15.0 );

x: Real = 2.0;

sum: Real;

i: Integer;

begin

sum := 0.0;

for i := 0 to n do

sum := sum + a[i] * (x ** i);

WriteLn (sum);

end;

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Diskussion

Das Programm wertet das Polynom aus.

Man gibt also eine Stelle x ein und erhält dafür

den Wert des Polynoms sum an dieser Stelle x.

Das Programm ist eigentlich ein schwerer Kunstfehler.

Aufwändig und teuer! Es geht wesentlich geschickter!

Beispiele für Polynome:

1 (nach 0 das einfachste)

7 x + 3

15 x3 + 7 x2 + 4 ( ein „innerer“ Koeffizient ist 0)

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Grad eines Polynoms

Der Grad eines Polynoms ist „das größte i“ mit ai ≠ 0

Notation: nxn :)deg(

Allgemein: nxan

i

i

i

0

deg (= n, falls an ≠ 0).

Aufgabe: deg(1)=?, deg(7x+3)=?, deg(15x3+7x2+4)=?

deg(1)=0; deg(7x+3)=1; deg(15x3+7x2+4)=3;

deg(0)=?

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deg(0)?

Rechenregeln für deg: Sei pn Polynom vom Grad n.

deg(pn ∙ pm) = n + m = deg(pn) + deg(pm)

deg(pn+pm) <= max{n,m} = max{deg(pn),deg(pm)}

Speziell für pn=0 soll daher auch gelten:

deg(0∙pm) = deg(0) + m = deg(0)

deg(0+pm) = max{deg(0),m} = m

→ deg(0) = ̶ ∞

Manchmal auch deg(0) = -1 in der Computeralgebra.

Also deg(0)<m, so dass deg(0)+1=deg(0)

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?312 22 xxxx

Addieren und Multiplizieren

von PolynomenFunktioniert mit den üblichen Rechenregeln.

42312 222 xxxxxx

Multiplizieren:

?312 22 xxxx

352

363

2

2

312

234

2

23

234

22

xxxx

xx

xxx

xxx

xxxx

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Polynomdivision (mit Rest)

Naheliegend: (x+1) : (x+1) = 1 (Vorsicht mit x=-1)

oder p(x) = 2x+2 = 2(x+1) = 2q(x) p:q=2

Ähnlich: (x2-1) : (x+1) = (x-1)

oder x2 - 1 = (x-1) (x+1)

13312

)13(352422

22

234234

xxxxx

xxxxxxxxx

sieht man

Aus dem vorigen Beispiel

312352 22234 xxxxxxxx

Formale Definition? Berechnung?

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Division mit Rest für lN

Zu n,m ϵ lN gibt es eindeutig bestimmte q,r ϵ lN mit r<m, so dass

n = q∙m + r

gilt. Dabei ist q das Ergebnis und r der Rest der ganzzahligen

Division von n durch m: n/m = q Rest r

Übertragung auf Polynome:

Zu zwei Polynomen N und M mit Koeffizienten aus lR gibt es

eindeutig bestimmte Polynome Q, R mit Koeffizienten aus lR mit

deg(R) < deg(M), so dass N = Q∙M + R.

Dabei ist Q das Ergebnis und R der Rest der Polynomdivision

von N durch M, N : M = Q Rest R

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Beispiel

3x x 1 )1/(121: 2 xxxx

)( 23 xx 2x

)( 2 xx

x2)22( x

1 (-1 ist der Rest)

( ) ( )

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Lineare Polynome

Wichtige Spezialfälle: Polynome von kleinem Grad

Im Fall deg(P) ≤ 1 heißt P linear und ist eine Gerade.

P von der Form

bxaxPP )(

z.B. in linearen Gleichungen: a∙x + b = 0

Ist leicht zu lösen, so lange a ≠ 0 ist.

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Quadratische Polynome

Im Fall deg(P) ≤ 2 heißt P quadratisch, ist also von der Form

P = P(x) = a∙x2 + b∙x + c (eine Parabel)

Dazu gehören die quadratischen Gleichungen (oBdA a=1):

02 qpxx

mit den Lösungen

qpp

x 42

2

21

so lange p2 ≥ 4q ist (andernfalls komplexe Lösungen!)

Aufgabe: 2x2 – 14x + 24 = 0. Lösungen? x=3, x=4.

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Nullstellensuche

Die Nullstellen x1 , x2 eines quadratischen Polynomes liefern

eine Zerlegung in Linearfaktoren:

).)(( 21

2 xxxxqpxx

Sei P ein beliebiges Polynom vom Grad n mit Nullstelle x1.

Dann kann man den Linearfaktor x – x1 abspalten durch

Polynomdivision:

)()()( 1xxxQxP

mit einem Polynom Q vom Grad n-1.

Die Nullstellen von P sind nun x1 und die Nullstellen von Q.

Hauptsatz der Algebra: Polynom zerfällt in n Linearfaktoren.

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Beispiele

Polynome P und rationale Funktionen P/Q sind wichtige

Klassen von Beispielfunktionen und dienen als Baukasten,

um kompliziertere Funktionen anzunähern

(Potenzreihe, Computergraphik, Bildverarbeitung)

Annäherung der

Exponentialfunktion

bei x=0 durch

Polynome wach-

senden Grads.