výpočet vnit řních sil přímého nosníku...
TRANSCRIPT
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Výpočet vnit řních sil přímého nosníku II
�Výpočet vnit řních sil nosník ů zatížených spojitým zatížením: příčné konstantní a trojúhelníkové spojité zatížení, spojité zatížení v osové úloze, momentové zatížení
�Výpočet nosníku v prostorové úloze�Výpočet nosníku v krutové úloze
2
Závěry ze Schwedlerových vztah ů
0d
d =−= qx
V
0d
d == Vx
M
Extrém posouvajících sil Vje v průřezu, kde q=0
Extrém ohybových momentů M je v průřezu, kde V=0 nebo mění znaménko
→
→
inte
grac
e
deriv
ace
M
V
-q
Derivačně – integra ční schéma
qx
V −=d
d
Vx
M =d
d
Rax
b
Rbz
aRaz l
n -
+
+
q
M
V
0 0
maxM
vodorovná tečna
Q
3º
2º
1º
1. řád funkce V(x) a M(x)→ typ čáry v diagramech
2. místa extrému u V(x) a M(x)
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil
3
( ) xqVxqRV aazLx ⋅−=−= .
q
VxxqVV a
nnan =⇒=⋅−⇒= 00
q = konst.→
Nebezpečný průřez
b
Rbz
a
Razl
Q = q.l
n+
-
x
2
.lq−V
2
.lq
Posouvající síla na hranici spojitého zatížení
( ) 2
.0
lqRVV azxa === =
( ) 2
lqQRVV azlxb
⋅−=−== =
( )↑===2
.
2
lqQRR bzaz
Posouvající síla pod spojitým zatížením
Reakce 0=axR
Rax
Úloha řešena zleva
xn
x
1º
0º
inte
grac
e
deriv
ace
M
V
-q
b
Rbz
a
Razl
x
q
Posouvající sílapod spojitým zatížením
0xqkonstq ⋅→=q polynom 0°→V polynom 1°
Vx
Mx
+
Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“
[kN]
4
( ) xqVxqRV bbzPx ⋅+=+−= .
q
VxxqVV b
nnbn =⇒=⋅+⇒= 00
q = konst.→
Nebezpečný průřez
b
Rbz
a
Razl
Q = q.l
n+
-
x
2
.lq−
V
2
.lq
Posouvající síla na hranici spojitého zatížení
( ) 2
.lqQRVV bzlxa =+−== =
( ) 20
lqRVV bzxb
⋅−=−==
( )↑===2
.
2
lqQRR bzaz
Posouvající síla pod spojitým zatížením
Reakce 0=axR
Rax
xn
x
1º
0º
inte
grac
e
deriv
ace
M
V
-q
b
Rbz
a
Razl
x
q
Posouvající sílapod spojitým zatížením
0xqkonstq ⋅→=q polynom 0°→V polynom 1°
Vx
Mx
Úloha řešena zprava
Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“
[kN]
5
( ) 22
2xqxR
xxqxRM azaz
Lx
⋅−⋅=⋅⋅−⋅=
( ) ( ) 8
. 2
2max
lqMM lxx ==
=
Extrémní moment je v nebezpečném průřezu (V=0)2º
+0
M0
Ohybový momentpod spojitým zatížením
( ) 00 == =xa MM ( ) 0== =lxb MM
Ohybový moment pod spojitým zatíženímÚloha řešena zleva
8
. 2
max
lqM =
vodorovná tečna
n+
-
2
.lq−
V
2
.lq
xn
x
1º
b
Rbz
a
Razl
x
q
Vx
Mx
( ) xqVxqRV aazLx ⋅−=−= .
Posouvající síla v poli
(kloubové podpory→M=0)
V polynom 1°(lineární pr ůběh)→M polynom 2°(parabola)
inte
grac
e
deriv
ace
M
V
-q
( ) 22
2n
nazn
nnazLx
xqxR
xxqxRM
⋅−⋅=⋅⋅−⋅=
Po dosazení:pouze prostý nosník zatížený q=konstpo celé délce:
[kNm]
[kN]
6
q
VxxqVV b
nnbn −=⇒=⋅+⇒= 00
( ) ( ) 8
. 2
2max
lqMM lxx ==
=
Nebezpečný průřez
( ) xqVxqRV bbzPx ⋅+=+−= .
q = konst.
b
Rbz
a
Raz
l
Q = q.l
n
2º
+
+
-
x
2
.lq−
0
8
. 2
max
lqM =
M
V
0
2
.lq
Posouvající síla
( ) 0== =lxa MM
( ) 00 == =xb MM
Ohybový moment pod spojitým zatížením
Rax
Úloha řešena zpravax
xn
vodorovná tečna
Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“
Ohybový moment
( ) 2
..
2.
2xqxR
xxqxRM bzbz
Px −=⋅⋅−=
Dosazením
1º
[kNm]
[kN]
7
Příklad 1 – posouvající síly - výpo čet zleva
3
a bRax= 0
Raz=7,35kN Rbz=13,65kN
q = 3kN/m
c 1) Výpočet V síly v důležitých bodech:
Va =Vc= Raz=7,35kN(↑)Vb = Raz – Q= -13,6k(↓)
+
2) Výpočet V síly pod spojitým zatížením:(zavedeme lokálně x=0 v místě, kde začíná q)
V(x) = Vc – q . xL
např. pro x=1:V(x1) = Raz – q . 1 = Vc – q . 1 V(x1) = 7,35 – 3 . 1=4,35kN (↑)
např. pro x=5:V(x5) = Raz – q . 5 = Vc – q . 5 V(x5) = 7,35 – 3 . 5= -7,65kN (↓)
1 6
Vx1
x5x1
5 2
xL
Vx5
Rbz
Rbz
Raz
Raz
xL =1
xL =5
Q
Va = 7,35 = Vc
n
-13,651°
V
V(x5)
V(x1)
Mx1
Mx5
[kN]
8
Příklad 1 – posouvající síly, nebezpe čný pr ůřez n - výpo čet zleva
73
a bRax= 0
Raz=7,35kN
Rbz=13,65kN
q = 3kN/m
c+
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
Vn = 0Vc – q . xnL = 0
xnL =Vc / q = 7,35/3 = 2,45 mVa = 7,35 = Vc
xnL
n
-13,651°
V
V(x5)
V(x1)
Vn=0
xL
xn
RbzRaz
V(x) = Vc – q . xL
Obecně:
Mn
[kN]
9
Příklad 1 –posouvající síly - výpo čet zprava
3
a bRax= 0
Raz=7,35kN Rbz=13,65kN
q = 3kN/m
c
1) Výpočet V síly v důležitých bodech:
Va =Vc= -Rbz+Q=7,35kN(↓)Vb = -Rbz = -13,6kN(↑)
+
2) Výpočet V síly pod spojitým zatížením:(zavedeme lokálně x=0 v místě, kde začíná q)
V(x) = Vb + q . xP
např. bod x1,kde x=6:V(x1) = -Rbz + q . 6 = Vb + q . 6V(x1) = -13,65 – 3 . 6=4,35kN (↓)
např. bod x5, kde x=2:V(x5) = -Rbz + q . 2= Vb + q . 2V(x5) = -13,65 + 3 . 2= -7,65kN (↑)
1 6
Vx1
x5x1
5 2
xP
Vx5
Rbz
Rbz
Raz
Raz
xP =6
xP =2
Q
Va = 7,35 = Vc
n
Vb= -13,651°
V
V(x5)
V(x1)
Mx1
Mx5
[kN]
10
Va = 7,35 = Vc
Příklad 1 – posouvající síly, nebezpe čný pr ůřez n - výpo čet zprava
73
a bRax= 0
Raz=7,35kN
Rbz=13,65kN
q = 3kN/m
c
n
Výpočet polohy nebezpečného průřezu:
Vn = 0Vb + q . xn
P = 0
xnP = -Vb / q = 13,65/3 = 2,45 m
-13,65
xnP
1°
V
V(x5)
V(x1)
Vn=0
xP
xn
RbzRaz
V(x) = Vb + q . xP
Obecně:
+
Mx
[kN]
11
Příklad 1 –ohybové momenty- výpo čet zleva
3
a bRax= 0
Raz=7,35kN Rbz
q = 3kN/m
c x5
5 2
xL
Vx5 RbzRaz
xL =5
Q
Va = 7,35 = Vc
n
-13,651°
V
V(x5)
V(x1)
1° 2°
McMx5
M
Mx5
+
Ohybový moment v bodě x5:
Mx5L = Raz . (3+5) - q .52 / 2 = 21,3kNm ( )
na úseku c-b obecn ě zleva:posouvající síla:V(x) = Vc – q . xL
Ohybový moment :Mx
L = Raz . (3+xL) - q . (xL)2 /2
polynom 2°, neboť v rovnici x2 a zároveň
V síly na úseku c-b lineární (polynom 1°)
na úseku a-c obecn ě:Mx = Raz . x
Mc = Raz . 3=22,05kNm ( )
polynom 1°, neboť v rovnici x1 a zároveň
V síly na úseku a-c konstantní (polynom 0°)
Ma = Mb = 0 (kloubové podpory→M=0)
inte
grac
e
deriv
ace
M
V
-q
Všimněte si tečen v průběhu – zakreslovat do obrázků a dodržovat tvary
[kN]
[kNm]
12
Příklad 1 –ohybové momenty- výpo čet zprava
3
a bRax= 0
Raz=7,35kN Rbz
q = 3kN/m
c x5
5 2
xPQ
Va = 7,35 = Vc
n
-13,651°
V
V(x5)
V(x1)
1° 2°
McMx5
M
Mx5
Ohybový moment v bodě x5:
Mx5P = Rbz . 2 - q .22 / 2 = 21,3kNm
na úseku b-c obecn ě zprava:posouvající síla:V(x) = Vb + q . xP
Ohybový moment :Mx
P = Rbz . xP - q . (xP)2 /2
na úseku c-a :
již za spojitým zatížením,výhodnější počítat zleva.Mc = Raz . 7 - Q . 3,5=22,05kNm ( )
Ma = Mb = 0 (kloubové podpory→M=0)
inte
grac
e
deriv
ace
M
V
-q
Vx5RbzRaz
xP =2
Všimněte si tečen v průběhu – zakreslovat do obrázků a dodržovat tvary
[kNm]
[kN]
13
7,35
Raz=7,35kN
Příklad 1- Mn , výsledky
73
a bRax
Rbz=13,65kN
q = 3 kN/m
c
1° 2°
xnL
-13,65
Mc=22,05
Extrémní moment v nebezpečném průřezu:
MnL = Raz . (3+xn
L) - q . (xnL)2 /2
MnP = Rbz . xn
P - q . (xnP )2 /2
xnP
na úseku c-b obecn ě zleva:
MxL = Raz . (3+xL) - q . (xL)2 /2
na úseku b-c obecn ě zprava:
MxP = Rbz . xP - q . (xP)2 /2
d4 3
n
n
Md
Me
e
na úseku a-c obecn ě:Mx = Raz . x
Mc = Raz . 3
Podobně dopočítejte moment v d
(v místě náhradního břemene):
MdL= Md
P = 29,4 kNm
Ma = Mb = 0
1°
= 0N
V
M
Mn = 31,05 kNm
Ohybový moment v bodě e:
MeL = Raz . (3+5) - q .52 / 2 = 21,3kNm
MeP = Rbz . 2 - q . 22 / 2 = 21,3kNm
[kN]
[kN]
[kN]
14
29,4
7,35
Raz
Pravidla, která je nutno dodržet p ři řešení vnit řních sil
a b
Rax
Rbz
q = 3 kN/m
c
1° 2°
xnL
-13,65
22,05
xnP
Mn = 31,05 kNm
Výpočet reakcídodržet všechna pravidla:3 podmínky rovnováhy + 1 kontrolní, zřetelné značení skutečného směru
d
n
n
1°
= 0N
V
M
- vykreslit schéma pro všechny 3 vnitřní síly (i nulové)- N,V kladné nad osu, M na stranu tažených vláken- vlevo od každého schématu označit, o kterou vnitřní
sílu se jedná. Značení v kroužku, např. N- v každém obrazci zřetelné znaménko vnitřní síly- obrazce buď šrafovat kolmo na osu nosníku nebo
ponechat prázdné- značení stupňů polynomů- značení bodu, kde se mění stupeň polynomů (bod c) - přechod z 1° do 2° (bod c)plynulý
(pokračování lineárního průběhu tvoří tečnu paraboly)- všechny potřebné hodnoty vnitřních sil do obrázku:
zejména: v místě změny zatížení (bod c), minimálně 1hodnota M v poli pod spojitým zatížením (bod d),extrémní moment
- hodnota V síly v zadaném místě např. bod d, včetně rovnice výpočtu (viz předešlé i následující snímky)
- označit a okótovat místo nebezpečného průřezu- výpočet polohy nebezpečného průřezu - nutná rovnice- výpočet momentů – pro všechny hodnoty nutné rovnice- v místě Mmax (Mn)je tečna vodorovná (extrém funkce)
-7,65
[kN]
[kN]
[kN]
15
Příklad ze skript
Zadání a řešení příkladu 4.13Obr. 7.28. / str. 107
(a) (b)Zadání: pro oba zatěžovací stavy (liší se pouze velikostí osamělé síly) stejného prostého nosníku určit reakce, sestrojit průběhy posouvajících sil a ohybových momentů a určit extrémní hodnoty vnitřních sil.
16
( )kNm202
.2
.
2
==
⇒=
lqM
lQM
b
b
( ) xqV Lx .−=
Konstantní spojité zatížení – konzola – V síly
Rbz
a
l= 2mb
Mbq =10kN/m= konst.
Q = q.l=20kN
-
xlx ,0∈
Reakce: nutno řešit z podmínek rovnováhy
Posouvající síla
( )↑===
=
kN20.
,0
lqQR
R
bz
bx
( ) 00 == =xa VV
( ) kN20. −=−=−== = bzlxb RlqVVx.qVx −=
20−V
Rbx
kN102
. =− lq1º
0º
0
Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“.V síla nepřechází přes 0, na celé délce prutu nebude extrém momentu.
Úloha řešena zleva
Posouvající síla v polovině délky prutu
( ) ( ) kN101212
=⋅=⋅−== ==qlqVV xlx
17
( ) 2
.
2..
2xqxxqM L
x −=−=
( ) xqV Lx .−=
Konstantní spojité zatížení – konzola - momenty
Rbz
a
l= 2mb
Mb
q =10kN/m= konst.Q = q.l
-
2º
-
xlx ,0∈
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑==== kNlqQRR bzbx 20.,0
( ) 00 == =xa MM
( ) 2
. 2
)(
lqMM lxsilavnitrnib −== =
( )kNmlql
QM b 202
.
2.
2
===
x.qVx −=
( ) ( )( )22.
2
.2
2
12
lqxqMM xlx
−=−== ==
20−
20−
0
5−M
V
Rbx
2
2x.qM x −=
10−1º
0º
0
vodorovná tečna
Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“
Úloha řešena zleva
( ) kNm52
1. 2
1 −=−==q
M x
[kNm]
[kN]
18
( ) 2
.
2..
2xqxxqM x −=−=
( ) xqV x .−=
Důkaz Schwedlerových vztah ů pro p říčnou úlohu
a
l= 2mb
q =10kN/m= konst.Q = q.l
-
2º
-
x
x.qVx −=
20−
20−
0
5−
V
2
2x.qM x −=
10−1º
0º
0
Úloha řešena zleva
M
Posouvající síla:
qx
V −=d
d
Vx
M =d
d
Spojité zatížení:
konstqqx
==)(
Ohybový moment:
inte
grac
e
deriv
ace
M
V
-q
viz snímek č.2 ↓:
viz snímek č.2 ↓:
Poznámka:Integrační konstanty jsou zde nulové, protože V(x=0)=0 i M(x=0)=0
19
( ) 2
. 2xqxRMM bzb
Px −⋅+−=
( ) xqRxqVV bzbPx .. +−=+=
Základní zat ěžovací stavy spojitého zatížení
Rbz
a
lb
Mb
q = konst.Q = q.l
-
2º
-
x Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑=== lqQRR bzbx .,0
( ) 0. =+−== = lqRVV bzlxa
( ) qlRVV bzxb −=−== =0
( ) 02
2
=−⋅+−== =ql
lRMMM bzblxa
( ) ( ) 2
2
0
qlMMM reakcebxb −=−== =
( )2
.
2.
2lqlQM b ==
x.qRx.qV bzb +−=+
( ) 8
. 2
2
lqM
dosazenípolx
−==
2
. 2lq−
lq.−
0
8
. 2lq−M
V
Rbx
Úloha řešena zprava
2
2x.qxRM bzb −⋅+−
1º2
.lq−
0º
Reakce: nutno řešit z podmínek rovnováhy
[kNm]
[kN]
20q
LVx
L
xqVV a
nn
an
20
20
2 ⋅=⇒=⋅−⇒=
vodor. tečna
L
a b
Rax=0
RazRbz
V2°Va
qx
x
L= délka TROJÚHELNÍKU – ne nosníku!!!
L
xqV
x
L
xqV
xqVV aaxax ⋅
⋅−=⋅⋅−=⋅−=222
2
)(
L
xqq
x⋅=
)(
Trojúhelníkové zatížení - posouvající síly
Va = Raz
Vb = Raz – Q= -Rbz
Vnitřní síly pod trojúhelníkovým zatížením nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0.
Tady zleva !!!
q
Raz Rbz
qx
x
q
Mx
vx
Posouvající síla na hranici spojitého zatížení
Posouvající síla pod spojitým zatížením
( )L
xqqlineárníxq x
1
⋅=→=
q je lineární funkce x -polynom 1°→V polynom 2°(parabola)
+
1°
1°
Vb
Nebezpečný průřez – není v těžišti trojúhelníku!
Q
n
inte
grac
e
deriv
ace
M
V
-q
[kN]
21
L= délka TROJÚHELNÍKU – ne nosníku!!!
L
xqV
x
L
xqV
xqRV aaxazx ⋅
⋅−=⋅⋅−=⋅−=222
2
)(
L
xqq
x⋅=
)(
Trojúhelníkové zatížení – ohybový moment
Vnitřní síly pod trojúhelníkovým zatížením nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0.
Tady zleva !!!
Raz Rbz
qx
x
q
Mx
vx
Posouvající síla pod spojitým zatížením
Ohybový moment pod spojitým zatížením
V je funkce x2 -polynom 2°(parabola)→M polynom 3°(parabola 3°)
+
1°
Q
inte
grac
e
deriv
ace
M
V
-q
( ) 00 == =xa MM ( ) 0== =lxb MM
(kloubové podpory→M=0)
Mx = Raz . x -1/2 . qx . x . x /3
= Raz . x -1/2 . (q.x/L). x .x /3
= Raz . x - q . x3/6.L
L
xqxRM azx ⋅
⋅−⋅=6
3
)(
M
vodor. tečna
nV
2°
3°
Va=Raz
Vb
vodor. tečna
Nebezpečný průřez – není v těžišti trojúhelníku!
Všimněte si tečen v průběhu – zakreslovat do obrázků a dodržovat tvary
[kNm]
[kN]
22
N
vodor. tečna
36
L=9
a b
Rax=0
Raz=6kN
Rbz=12kN
Q =0,5 .4.9 =18kN
V
2°6
-12
qx
x
5,78 5,11
= 0
L= délka TROJÚHELNÍKU – ne nosníku!!!L
xqV
x
L
xqV
xqVV aaxax ⋅
⋅−=⋅⋅−=⋅−=222
2
)(L
xqq
x⋅=
)(
Příklad 2 – normálové a posouvající sílyVýpo čet V síly v krajních bodech:
Va = Raz=6kNVb = Raz – Q= -12kN
+Výpo čet V síly pod spojitým zatížením:
např. pro x=1:
Vnitřní síly pod trojúhelníkovým zatížením počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!!
( ) 2
1
9
461 ⋅−=V
1kNm9
4
9
14 −=⋅=⋅=L
xqqx
( ) L
xqVV a ⋅
⋅−=2
2
1
např. pro x=2: 1kNm9
8
9
24 −=⋅=⋅=L
xqqx
( ) 21
xqVV xa ⋅−= nebo
( ) kN78,592
146
2
1 =⋅⋅−=Vnebo
q = 4kN/m
( ) 2
2
9
862 ⋅−=V
( ) L
xqVV a ⋅
⋅−=2
2
2( ) 22
xqVV xa ⋅−= nebo
( ) kN11,592
246
2
2 =⋅⋅−=Vnebo
[kN]
[kN]
23
N
vodor. tečna
36
L=9
a b
Rax=0
Raz=6kNRbz=12kN
Q =0,5 .4.9 =18 kN
n
n
Vxn=5,196
2°6
-12
5,785,11
= 0
L= délka trojúhelníku – ne nosníku!!!
L
xqV
x
L
xqV
xqVV aaxax ⋅
⋅−=⋅⋅−=⋅−=222
2
)(
L
xqq
x⋅=
)(
Příklad 2 – posouvající síly – nebezpečný pr ůřez
+
Výpo čet polohy nebezpe čného pr ůřezu:Není v těžišti trojúhelníku
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
Vnitřní síly u trojúhelníkového zatížení nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!!
q = 4kN/m
qn
xn
m196,52 =⋅⋅=⇒
q
LVx a
n
0=nV
02
=⋅−= nxan
xqVV
n
02
2
=⋅⋅−=
L
xqVV n
an
[kN]
[kN]
24
Vnitřní síly pod trojúhelníkovým zatížením nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!!
M
vodor. tečna
36
9
a bRax=0
Raz=6kN Rbz=12kN
n
n
Vxn=5,196
2°
3°
Mn=20,785
6
-12
vodor. tečna
Mx = Raz . x -1/2 . qx . x . x /3
= Raz . x -1/2 . (q.x/L). x .x /3
= Raz . x - q . x3/6.L
Mn = 20,785 kNm,
Ma = Mb = 0
L
xqxRMobecně az
L
x ⋅⋅−⋅=
6:
3
)(
x
M(x=1) = 5,93kNm, M(x=2) = 11,4kNm
5,78
5,9311,4
5,11
L
xqq
x⋅=
)(
Příklad 2 – ohybové momenty
L= délka trojúhelníku – ne nosníku!!!L
xqV
xqVV axax ⋅
⋅−=⋅−=22
2
)(
Výpočet V síly pod spojitým zatížením:
Výpo čet momentu pod spojitým zatížením:
Mn = Raz . xn -1/2 . qxn . xn . xn /3
= Raz . xn -1/2 . (q.xn/L). xn .xn /3
= Raz . xn - q . xn3/6.L
q = 4kN/m
Výpo čet momentu v nebezpe čném pr ůřezu:
+
[kNm]
[kN]
25
( ) l
xqV
x
l
xqV
xqRV bb
xbz
Px 2
.
2
.
2
. 2
+=⋅+=+−=
q
lVx
l
xqVV b
nn
bn
⋅=⇒=+⇒=
20
.2
.0
2
Rax b
Rbz
a
Raz l
n
2
.lqQ =
-
+
+
q
M
V
x
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑==3
..
3
2 lqQRaz
( ) azlxa Rlq
VV === = 3
.
( ) 6
.lqRVV bzoxb −=−== =
0
l
xqqx
.=
0
( )↑==6
.
3
lqQRbz
6
.lq−
3
.lq
Základní zat ěžovací stavy spojitého zatíženíReakce 0=axRvýpočet nutný zprava x
qx
l3
2
maxM
vodorovná tečna
Nebezpečný průřez xn
( ) l
xqxR
xxqxRM bz
xbz
Px 6
..
3.
2
..
3
−=−=
( )nxxMM ==max[kNm]
[kN]
3º
2º
1º
26
x/3
M
a
l
b
Mb
q2
.lqQ =
3º-
-
x
V
Reakce
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑===2
.,0
lqQRR bzbx
( ) 00 == =xa VV
( ) bzlxb RQl.q
VV −−=−== = 2
( ) 00 == =xa MM
( ) blxb Mlq
MM −=−== = 6
. 2
( )6
.
3.
2lqlQM b ==
( ) l
xqx
l
xqxqV xL
x .2
.
2
.
2
2
−=⋅−=⋅−=
( ) l
xqx
l
xqM L
x .6
.
3.
.2
. 32
−=−=
( ) 8
.2
lqVV lxc −==
=
2
.lq−
0
8
.lq−2º
( )2
2..
48
1lqMM lxc −==
=
2.48
1lq−
6
. 2lq−
l
xqqx
.=→
Základní zat ěžovací stavy spojitého zatížení
Rax
výpočet nutný zlevax
vodorovná tečna
vodorovná tečna
c
qx
podobnost trojúhelníků 2
x.qQ x
x =
l
xqVx .2
. 2
−=→
l
xqM x .6
. 3
−=→
1º
l/3
[kNm]
[kN]
27
( )
l.x.q
xRM
x.
l.x.q
xRMM
bzb
bzbPx
6
323
2
−⋅+−=
−⋅+−=
Porovnejte průběhy V,M včetně hodnot u obou typů zatížení
Rbz
a
l
b
Mb
q
3º
2º
-
-
M
V
x
Posouvající síla
Ohybový moment
( ) 0== =lxa VV
( ) bzxb RVV −== =0
( ) 0== =lxa MM
( ) bxb MMM −== =0
( )3
..
3
2.
2lqlQM b ==
( )2
2..
48
5lqM lx
−==
( ) ( ) lqV lx..8/3
2−=
=
2
lq ⋅−
0
lq.8
3−
2..48
5lq− 3
. 2lq−
( )↑===2
.,0
lqQRR bzbx
Reakce
Základní zat ěžovací stavy spojitého zatížení
Rax
výpočet nutný zpravax
c ( ) l
xqV
x
l
xqV
xqRV bb
xbz
Px .2
.
2
.
2
2
+=⋅+=⋅+−=
l
xqqx
.=
qx
l.x.q
xRM bzb 6
3
−⋅+−
l.
x.qVV bx 2
2
+=
1º
28
Porovnání pr ůběhů vnit řních sil
a
l
bMb
q2
q
3º-
-
x
2
.lq−8
.lq−2º
2.48
1lq− 6
. 2lq−
l
xqqx
.=
Rax
x
c
qx
l
xqVx .2
. 2
−=
l
xqM x .6
. 3
−=
Rbz
a
l
bMb
q
3º
2º
-
-
x
2
lq ⋅−
0
lq.8
3−
2..48
5lq− 3
. 2lq−
Rax
x
c
l
xqqx
.=
qx
Mx
Vx
1º
1º
l.x.q
VV bx 2
2
+=
l.
x.qx.RMM bzbx 6
3
−+−=M
V
[kNm]
[kN]
M
V
[kNm]
[kN]
29
Spojité zatížení v osové úloze
ba
Rax
l
Výpočet reakcí
Normálová síla
( )→==⇒=−
=∑lnNRNR
F
axax
ix
.0
:0
( ) ( )lxnxnlnxnRN axLx −=+−=+−= ....
n = konst.
N = n.l
( ) lnRN axa .−=−=-
Při působení spojitého osového zatížení se vodorovná reakce určí pomocí výslednice celého spojitého zatížení – plocha zatěžovacího obrazce (obecně integrace, u jednoduchých obrazců elementární vzorce geometrie). Obdobně se při výpočtu normálové síly určí dílčí výslednice spojitého zatížení vlevo nebo vpravo od uvažovaného průřezu.
x
N
( )lxn −.ln.−[kN]
30
( ) mRV azLx −=−== konst.
b
Rbz
a
l
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↓== ml
MRaz
( )↑== ml
MRbz
( ) 0.... =+−=+−= xmxmxmxRM azLx
m = konst.M = m.l
Raz
-
Prostý nosník zatížený momentovým zatížením
M
V
( ) mVV xa −== =0
( ) mVV lxb −== =
m−
x
Reakce 0=axR
Rax
[kNm]
[kN]
31
Výpočet nosníku v prostorové úloze
Staticky určitý nosník v prostoru musí být podepřen nv=6 jednoduchými vnějšími vazbami, které musí být správně uspořádány, aby nevznikl výjimkový případ podepření. Při řešení prostorového nosníku vycházíme z 6-ti podmínek rovnováhy:
a) Konzolasložky reakcí: Rax, Ray, Raz, Mx, My, Mz
b) Nosník na dvou podporáchsložky reakcí: Rax, Ray, Raz, Rbx, Rby, Rbz
0, =∑ sixM 0, =∑ siyM
0=∑ ixF 0=∑ izF0=∑ iyF
0, =∑ sizM
Složky reakcí:
3 silové podmínky rovnováhy:
3 momentové podmínky rovnováhy:
z
Pz
x
y
Pyqz
Px
32
Výpočet nosníku v krutové úloze
Jedna vnější vazba – jediná složka reakce (nv = 1) z podmínky rovnováhy:
xaxaxxx
ix
MMMMM
M
⇒=+−−
=∑0
:0
321
Jediná složka vnitřních sil – kroutící moment T (torze).
Kladný směr při pohledu proti kladnému smyslu osy x se snaží prut otáčet protisměru hodinových ručiček – pravidlo pravé ruky (proti-proti, levotočivé kroucení).
Mxa Mx3 Mx2 Mx1
3213 xxx MMMT −−−=
212 xx MMT −−=
11 xMT −=
a b b
Zatížení nosníku kroutícím momentem Mx (momentem kolem osy x)
Podrobněji v předmětu Pružnost a plasticita
33
Okruhy problém ů k ústní části zkoušky
1. Výpočet vnitřních sil nosníků zatížených spojitým zatížením
2. Řešení trojúhelníkového zatížení nosníku
3. Výpočet nosníku v krutové úloze
4. Výpočet nosníku v prostorové úloze