vẬt lÝ chẤt rẮn - iop.vast.ac.vnnvthanh/cours/vatlychatran/ch5 tinh chat nhiet.pdf · 5 ngô...
TRANSCRIPT
VẬT LÝ CHẤT RẮN
TS. Ngô Văn Thanh
Viện Vật Lý
Hà Nội - 2016
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 2
Tài liệu tham khảo
[1] Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th Eds. (John Wiley & Sons, 2005)
[2] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007).
[3] Charles Kittel, Mở đầu vật lý chất rắn, (Đặng Mộng Lân và Trần Hữu Phát dịch), (NXB KHKT Hà Nội, 1984).
[4] Nguyễn Ngọc Long, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007).
[5] Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG TP. HCM, 2002)
Website : http://iop.vast.ac.vn/~nvthanh/cours/vatlychatran/
Email : [email protected]
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 3
CHƯƠNG 5. TÍNH CHẤT NHIỆT
1. Nhiệt dung của phonon
2. Tương tác phi điều hòa
3. Độ dẫn nhiệt
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 4
1. Nhiệt dung của phonon
Phonon heat capacity
Nhiệt dung
Phần đóng góp của phonon được gọi là nhiệt dung của mạng
Năng lượng toàn phần của phonon tại nhiệt độ
lượng phonon trung bình ở trạng
thái cân bằng nhiệt có vector sóng K
và độ phân cực p
Hàm phân bố Planck
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 5
1. Nhiệt dung của phonon
Phân bố Planck Xét một tập hợp các dao động tử điều hòa đồng nhất ở trạng thái cân bằng
nhiệt
Tỷ số :
• Nn + 1 : số dao động tử điều hòa ở trạng thái lượng tử kích thích (n + 1)
• Suy ra
Số lượng tử kích thích trung bình của một dao động tử
Xét các tổng :
Viết lại phân bố Planck
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 6
1. Nhiệt dung của phonon
Liệt kê các mode thường (chuẩn tắc) Năng lượng tổng hợp của các dao động tử
Thay tổng theo K bằng tích phân
: là số mode có độ phân cực p trong khoảng tần số đến d
Đặt
Nhiệt dung của mạng:
được gọi là mật độ mode hoặc là mật độ trạng thái
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 7
1. Nhiệt dung của phonon
Mật độ trạng thái trong trường hợp một chiều
Xét bài toán dao động một chiều của N + 1 hạt cách đều nhau 1 khoảng a
Tổng chiều dài là L, 2 hạt ở 2 đầu được giữ cố định
Mode dao động chuẩn với độ phân cực p có dạng sóng đứng
Độ dịch chuyển:
Áp dụng điều kiện biên cho K
Với nghiệm của độ dịch chuyển có dạng :
triệt tiêu tại 2 biên
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 8
1. Nhiệt dung của phonon
Với nghiệm có dạng
• Các nguyên tử không chuyển động vì tại vị trí của các nguyên tử
Chỉ có N – 1 giá trị riêng biệt của K
Trong mỗi khoảng chỉ có duy nhất một mode dao động
Trường hợp có mode trên một đơn vị khoảng K
Không có mode nếu
Xét trường hợp không có giới hạn ở biên
Điều kiện biên tuần hoàn :
Nghiệm của độ dịch chuyển có dạng sóng chạy
Với các giá trị khả dĩ của K
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 9
1. Nhiệt dung của phonon
Xét khoảng
Trong khoảng có mode
Không có mode ở ngoài khoảng
Trường hợp 2 chiều
Xét mạng vuông với hằng số mạng a
• Điều kiện biên tuần hoàn cho khoảng
• Có 1 giá trị khả dĩ của K trong một
đơn vị diện tích
• Số nút mạng cho phép trong hình tròn
diện tích là :
Số lượng các mode trong một
đơn vị dải tần số
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 10
1. Nhiệt dung của phonon
Mật độ trạng thái 3 chiều
Xét hệ gồm N3 ô tối giản trong hình lập phương có cạnh L
Vector K được xác định từ điều kiện tuần hoàn:
• Ta thu được
Trong không gian , thể tích có một giá trị khả dĩ của K
Tổng số mode khả dĩ trong thể tích này là:
Mật độ trạng thái của từng loại phân cực
Thể tích
hình cầu
bán kính K
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 11
1. Nhiệt dung của phonon
Mô hình Debye cho mật độ trạng thái Áp dụng phương pháp gần đúng Debye
Hệ thức tán sắc được viết dưới dạng :
• : là vận tốc không đổi của âm thanh
Mật độ trạng thái :
Xét một mẫu có N ô tối giản => có N mode phonon âm
Từ công thức :
Suy ra tần số ngưỡng (cutoff) :
Vector sóng ngưỡng :
Điều kiện của vector sóng trong mô hình Debye :
• => số mode thoả mãn điều kiện này làm giảm số bậc tự do của mạng đơn nguyên tử
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 12
1. Nhiệt dung của phonon
Năng lượng nhiệt của mỗi loại phân cực
Giả thiết : vận tốc của phonon không phụ thuộc vào độ phân cực
Trong đó :
được gọi là nhiệt độ Debye
Năng lượng toàn phần của phonon
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 13
1. Nhiệt dung của phonon
Nhiệt dung của mạng
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 14
1. Nhiệt dung của phonon
Quy luật Debye T3 Tại nhiệt độ rất thấp, ta có thể tính gần đúng biểu thức tích phân
Suy ra
Nhiệt dung
• Được gọi là gần đúng Debye T3
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 15
1. Nhiệt dung của phonon
Mô hình Einstein cho mật độ trạng thái
Xét hệ N dao động tử điều hoà một chiều có cùng tần số 0
Biểu thức mật độ trạng thái của Eisntein
Năng lượng nhiệt của hệ :
Nhiệt dung của hệ dao động
Trường hợp 3 chiều
Thay N = 3N
Trong giới hạn nhiệt độ cao
Nhiệt độ đặc trưng
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 16
1. Nhiệt dung của phonon
Mật độ trạng thái tổng quát Dạng tổng quát : số các giá trị khả dĩ của vector tương ứng với khoảng tần
số từ đến + d.
: số trạng thái trên một đơn vị dải tần số
Tính thể tích của lớp vỏ (shell)
Xét một yếu tố diện tích :
trên không gian tại tần số không đổi
Yếu tố thể tích giữa 2 mặt tần số
không đổi và + d ,
có dạng hình trụ đứng có đáy là
và chiều cao là
: là khoảng cách giữa 2 mặt
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 17
1. Nhiệt dung của phonon
Gradient của tần số vuông góc với mặt phẳng
Độ lệch tần số giữa 2 mặt
Yếu tố thể tích
Biên độ vận tốc nhóm của phonon
Ta có :
Thay thể tích của tinh thể : L3 = V
Mật độ trạng thái:
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 18
2. Tương tác phi điều hòa
Một số hạn chế của lý thuyết điều hòa Hai sóng dao động mạng không tương tác với nhau, mỗi sóng không bị tắt dần,
không bị thay đổi dạng theo thời gian
Không có quá trình dãn nở truyền nhiệt
Các hệ số đàn hồi đoạn nhiệt và đẳng nhiệt là bằng nhau
Hằng số đàn hồi không phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ
Nhiệt dung tiến đến hằng số ở nhiệt độ cao T >
Tinh thể thực không thỏa mãn các điều kiện trên
Trong thực nghiệm : 2 phonon tương tác với nhau và sinh ra một phonon thứ 3 có tần số : 3 = 1 + 2
Ý nghĩa vật lý của tương tác phonon
Phonon thứ nhất gây ra sức căng đàn hồi tuần hoàn, làm thay đổi hệ số đàn hồi của mạng theo không/thời gian
Phonon thứ 2 nhận sự thay đổi hệ số đàn hồi, bị tán xạ rồi sinh ra phonon thứ ba, giống như sự dịch chuyển của tấm lưới 3 chiều.
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 19
2. Tương tác phi điều hòa
Giãn nở nhiệt (Thermal Expansion) Xét dao động cổ điển có tính đến sự ảnh hưởng của số hạng không điều hòa
trong biểu thức của thế năng tại nhiệt độ T
Thế năng của các nguyên tử khi nó bị lệch ra khỏi vị trí cân bằng
với
• Số hạng bậc 3: tính bất đối xứng của lực đẩy lẫn nhau giữa các nguyên tử
• Số hạng bậc 4: làm mềm dao động ở vùng có biên độ lớn
Sử dụng hàm phân bố Boltzmann
Trung bình thống kê theo lý thuyết xác suất nhiệt động học
trong đó
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 20
2. Tương tác phi điều hòa
Giả thiết rằng phần năng lượng phi điều hòa là rất bé so với
Sử dụng gần đúng :
Khai triển tích phân ở tử số
Tích phân ở mẫu số
Ta tìm được :
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 21
3. Độ dẫn nhiệt
Thông lượng của năng lượng nhiệt Năng lượng truyền qua một đơn vị diện tích trong một khoảng thời gian
K : hệ số dẫn nhiệt
: gradient nhiệt
Theo lý thuyết động học chất khí
C : nhiệt dung trên một đơn vị thể tích
: vận tốc trung bình của hạt
: quãng đường tự do trung bình của hạt giữa 2 lần va chạm
Thông lượng của hạt theo phương x
• n : là nồng độ phân tử
Ở trạng thái cân bằng nhiệt, độ lớn của thông lượng theo 2 chiều là như nhau
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 22
3. Độ dẫn nhiệt
c : là nhiệt dung của một hạt. Khi nó dịch chuyển tử vùng có nhiệt độ T + T
sang vùng có nhiệt độ T thì nó sẽ giải phóng một năng lượng là cT
Độ chênh lệch nhiệt độ giữa điểm đầu và điểm cuối của quãng đường tự do của một hạt
: là thời gian trung bình giữa 2 va chạm
Thông năng toàn phần
Phonon : vận tốc không đổi
Trong đó
• Quãng đường tự do :
• Nhiệt dung của cả hệ :
• Suy ra :
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 23
3. Độ dẫn nhiệt
Nhiệt trở của khí phonon Quá trình tán xạ : tán xạ hình học và tán xạ bởi các phonon khác
Trường hợp lực tác dụng giữa các nguyên tử chỉ có dạng điều hoà
• Không xảy ra cơ chế tán xạ giữa các phonon
• Quãng đường tự do chỉ bị giới hạn bởi các biên của tinh thể
Trường hợp tương tác mạng phi điều hoà
• Xảy ra sự liên kết giữa 2 phonon
• Làm giảm quãng đường tự do trung bình của phonon
Hiệu ứng liên kết phi điều hoà của các phonon
Ở nhiệt độ cao : quãng đường tự do trung bình tỷ lệ thuận với 1/T
• Số lượng các phonon bị kích thích tỷ lệ với nhiệt độ T
• Vì vậy, tần suất va chạm giữa các phonon cũng tỷ lệ với T
• Hệ quả là quãng đường tự do trung bình tỷ lệ thuận với 1/T
Chú ý:
• Va chạm giữa phonon và các sai hỏng mạng tĩnh hoặc biên của tinh thể không làm thay đổi năng lượng của các phonon riêng lẻ.
• => tần số của phonon tán xạ và tần số của phonon tới là bằng nhau
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 24
3. Độ dẫn nhiệt
Xét quá trình va chạm 3 phonon
• Đây là quá trình không cân bằng
• Xung lượng toàn phần của phonon không đổi trong quá trình cân bằng
• Các phonon phân bố cân bằng tại nhiệt độ T làm cho tinh thể bị trượt xuống dưới
Xung lượng của phonon khi va chạm được bảo toàn
• Bởi vì :
• Nên là số phonon có vector sóng
Xét trường hợp
• Do nên không có nhiệt trở do phonon
Quá trình Umklapp (quá trình U)
Để có nhiệt trở :
: là vector mạng đảo, có mặt trong mọi định luật bảo toàn
Quá trình này có năng lượng bảo toàn
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 25
3. Độ dẫn nhiệt
Quá trình thường Quá trình Umklapp
Mạng không hoàn hảo
Ảnh hưởng đến quá trình va chạm hình học của phonon
Theo công thức :
Ở miền nhiệt độ thấp, quãng đường tự do trung bình của phonon có giá trị cỡ đường kính D của mẫu