Peti susret Hrvatskog drutva za mehaniku Terme Jezerica, Donja Stubica, 6.-7. lipnja 2013.

TRAJNA DINAMIKA VRSTOA KORIJENA ZUBA ZUPANIKA

Vukovi, K., Gali, I. & egec, N.

Saetak: U radu je, primjenom metode konanih elemenata, provedena nelinearna analiza naprezanja zupanika u zahvatu. Predmet analize su geometrijski idealni zupanici s vanjskim evolventnim ozubljenjem ravnim zubima. Pretpostavljeno je da su oba zupanika izraena iz istog materijala te da je materijal homogen, izotropan i linearno elastian.

Modeliranjem kontakta izmeu zubi te simuliranjem njihovog prolaska kroz zahvat odreen je ciklus naprezanja za svaki pojedini vor na prijelaznoj krivulji analiziranog korijena zuba pogonskog zupanika pri emu su u obzir uzeti veliki pomaci. Potom je, za svaki od promatranih vorova, analitikim postupkom odreena trajna dinamika vrstoa na osnovu pripadajueg ciklusa naprezanja i Smithovog dijagrama te izraunan faktor sigurnosti kao omjer te trajne dinamike vrstoe i najveeg naprezanja u pripadajuem ciklusu.

Trajna dinamika vrstoa vora na prijelaznoj krivulji korijena zuba s najmanjim faktorom sigurnosti poistovjeena je s trajnom dinamikom vrstoom korijena zuba, a poloaj tog vora s poloajem kritinog mjesta. Dobivene vrijednosti usporeene su s odgovarajuima izraunanim konvencionalnim proraunom. Kljune rijei: zupanik, Smithov dijagram, trajna dinamika vrstoa, MKE

1 UVOD

Zupanik je ozubljeni strojni element koji u paru s drugim takvim elementom ili ozubljenom letvom slui za mehaniki prijenos snage i gibanja. Pri prolasku zuba kroz zahvat, savojno optereenje kojem je izloen korijen zuba mijenja svoj poloaj, smjer i intenzitet. Kao posljedica takvog optereenja, naprezanje u korijenu zuba je promjenljivo, a kako se ponavlja sa svakim novim okretajem zupanika ono je i cikliko. Da ne bi dolo do zamornog loma zuba, a time i do neeljenih posljedica, zupanici se konstruiraju s obzirom na trajnu dinamiku vrstou korijena zuba.

Prema normi ISO 6336 [6], trajna dinamika vrstoa korijena zuba je najvee naprezanje koje zubi uz 99 % pouzdanost izdre bez pojave loma nakon 3106 ciklusa promjene naprezanja. Vrijednosti trajnih dinamikih vrstoa FE za razliite materijale koje se upotrebljavaju za izradu zupanika navedene su u spomenutoj normi, a dobivene su ispitivanjem na savijanje glatkih uzoraka pri istom istosmjernom ciklusu naprezanja (znaajka ciklusa je R = 0). Poznato je da u trenutku izlaska zuba iz zahvata naprezanje u korijenu aktivnog boka zuba, a zbog utjecaja optereenja sa susjednog zuba, iz vlanog podruja prelazi dijelom i u tlano [7], [9], [10] i [11]. Budui da trajna dinamika vrstoa FE ne uzima u obzir tlani dio ciklusa naprezanja u korijenu zuba, ve samo vlani, u ovom je radu na primjeru konkretnog zupanog para predloen postupak za odreivanje stvarnog ciklusa naprezanja te pripadajue (korigirane) trajne dinamike vrstoe korijena zuba manjeg zupanika FEkor.

219

2 NUMERIKI MODEL ZA ODREIVANJE CIKLUSA NAPREZANJA Ciklus naprezanja u korijenu zuba gonjenog zupanika odreen je nelinearnom

analizom primjenom metode konanih elemenata (MKE) uz pretpostavku velikih pomaka. Predmet analize provedene u okviru komercijalnog programskog paketa ABAQUS su geometrijski idealni zupanici s vanjskim evolventnim ozubljenjem ravnim zubima. Dvodimenzijski modeli zupanika kreirani su u skladu s podacima navedenim u tablici 1. te diskretizirani pomou nekompatibilnih etverokutnih konanih elemenata prvog reda za ravninsko stanje naprezanja oznake CPS4I [5].

Tablica 1. Podaci o zupanom paru (duljine u mm)

Naziv Simbol Iznos Pogonski zupanik Gonjeni zupanik Broj zubi z 54 20 Modul m 5 irina zupanika b 10 Diobeni promjer d 270 100 Osnovni profil ozubnice - ISO 53 profil A Razmak osi a 185

Podruja u blizini prijelaznih krivulja korijena te aktivnih bokova zubi koji prolaze

kroz analizirani zahvat, diskretizirana su manjim elementima, a njihova konana veliina odreena je ispitivanjem konvergencije rezultata, vidi sliku 1.

Sl. 1. Diskretizirani modeli zupanika u zahvatu s rubnim uvjetima

Gonjeni zupanik optereen je okretnim momentom T = 250 Nm posredno preko

referentne toke O2, dok je kut zakreta pogonskog zupanika 1 zadan takoer posredno, ali preko referentne toke O1, vidi sliku 1. Referentna toka O2 povezana je

220

kinematskom vezom s vorovima na unutarnjem rubu gonjenog zupanika, a referentna toka O1 s vorovima na unutarnjem rubu pogonskog zupanika. U konanici, objema referentnim tokama onemogueni su translacijski pomaci. Prijenos optereenja s jednog na drugi zupanik ostvaren je modeliranjem kontakta izmeu aktivnih bokova zubi u zahvatu uz zanemarivanje trenja. Kontakt je simuliran pomou metode Lagrangeovih multiplikatora, a u programskom paketu ABAQUS je obuhvaen kroz odabir opcije hard contact. Prolazak zuba kroz zahvat simuliran je pak inkrementiranjem kuta zakreta pogonskog zupanika 1 do konane vrijednosti od 27. Pretpostavljeno je da su oba zupanika izraena od elika 18CrNiMo7-6 te da je on homogen, izotropan i linearno elastian. Podaci o materijalu dani su tablici 2. Tablica 2. Podaci o materijalu

elik 18CrNiMo7-6 Modul elastinosti E 206 000 MPa Poissonov faktor 0,3 Trajna dinamika vrstoa za R = 0, [6] 0 = FE 1 000 MPa Trajna dinamika vrstoa za R = -1, [6] -1 0,7FE 700 MPa Granica razvlaenja, [5] Re 850 MPa Granica teenja za savojno optereenje, [8] ts 1,4Re 1 190 MPa

3 ODREIVANJE TRAJNE DINAMIKE VRSTOE Iz rezultata numerike analize pomou MKE dobivena je promjena normalnog naprezanja u smjeru tangente na prijelaznu krivulju korijena zuba u ovisnosti o kutu zakreta gonjenog zupanika 2 koji je s kutom 1 povezan preko prijenosnog omjera i. Pretpostavi li se da dobivena ovisnost ujedno predstavlja i ciklus naprezanja te da on odgovara jednom okretaju zupanika tada se prema Smithovom dijagramu trajna dinamika vrstoa FEkor bilo kojeg vora na prijelaznoj krivulji korijena zuba gonjenog zupanika moe odrediti iz izraza

1FEkor,min ,max 0 1

,max 11

VV V V V VV V

, (1)

gdje su -1 i 0 trajne dinamike vrstoe za ciklus naprezanja sa znaajkom R = -1 odnosno R = 0, a ,max i ,min maksimalno odnosno minimalno naprezanje u ciklusu. S tim da u sluaju kada je FEkor > ts, vrijedi da je FEkor = ts, gdje je ts granica teenja pri savojnom optereenju. Sigurnost S u pojedinom voru na prijelaznoj krivulji korijena zuba izraunana je prema izrazu

FEkor,max

S VV , (2)

gdje je FEkor trajna dinamika vrstoa, a ,max maksimalno naprezanje pripadajueg ciklusa.

U konanici, trajna dinamika vrstoa vora na prijelaznoj krivulji korijena zuba s najmanjim faktorom sigurnosti poistovjeena je s trajnom dinamikom vrstoom korijena zuba, a poloaj tog vora s poloajem kritinog mjesta.

221

4 PRIKAZ I ANALIZA REZULTATA

Promjena normalnog naprezanja u ovisnosti o kutu zakreta 2 odreena je za sve vorove na prijelaznoj krivulji promatranog korijena zuba gonjenog zupanika, a na slici 2. dana je za 4 karakteristina vora. Utvreno je da se najvee naprezanje ,max u svim vorovima prijelazne krivulje javlja uvijek pri istom kutu zakreta 2 koji odgovara poetku jednostrukog zahvata promatranog zuba. Navedeno ne vrijedi za minimalno naprezanje ,min budui se ono, ovisno o promatranom voru, javlja pri razliitim iznosima kuta zakreta 2. Kod veine vorova taj kut odgovara poetku jednostrukog zahvata zuba koji u zahvatu slijedi promatranog. U onim sluajevima kada to ne vrijedi, razlike u odnosu na stvarna minimalna naprezanja su zanemarive.

Sl. 2. Promjena normalnog naprezanja u karakteristinim vorovima na

prijelaznoj krivulji u ovisnosti o kutu zakreta pogonskog zupanika 2

Promjena maksimalnog naprezanja u ciklusu ,max, minimalnog ,min, srednjeg ,sr te amplitude ,a u ovisnosti o kutu tangente na prijelaznu krivulju korijena zuba prikazana je na slici 3. Moe se uoiti da je u gotovo svim vorovima na prijelaznoj krivulji korijena zuba ciklus naprezanja naizmjenian. Jednako tako moe se uoiti da kut tangente u voru s najveim naprezanjem u korijenu zuba iznosi 38, te se shodno tome ne nalazi na kritinom presjeku odreenom kutom = 30 kako to sugerira konvencionalni proraun opisan u normi ISO 6336 [6].

Promjena faktora sigurnosti S u ovisnosti o kutu tangente na prijelaznu krivulju korijena zuba prikazana je na slici 4. Vidljivo je da se poloaj vora s najmanjim faktorom sigurnosti ne podudara s vorom na kritinom presjeku prema normi ISO 6336 [6]. Takoer ne podudara se ni s vorom u kojem je naprezanje u korijenu zuba najvee, ali ni s vorom u kojem je amplituda naprezanja najvea. Navedeno je posljedica neproporcionalne raspodjele naprezanja ,max i naprezanja ,min na prijelaznoj krivulji korijena zuba te utjecaja srednjeg naprezanja ,sr.

222

Sl. 3. Promjena normalnog naprezanja u ovisnosti o kutu

tangente na prijelaznu krivulju

Sl. 4. Faktor sigurnosti S u ovisnosti o kutu tangente na prijelaznu krivulju

Tablica 3. Usporedba rezultata u karakteristinim vorovima na prijelaznoj krivulji vor , ,max, MPa FEkor, MPa S S najmanjim faktorom sigurnosti 42,6 272,4 956,6 3,51 S najveim naprezanjem 38 274,6 971,2 3,54 S najveom amplitudom naprezanja 59 239,9 884,4 3,69 Na kritinom presjeku prema ISO 6336 [6] 30 269,3 990,0 3,68

223

Usporedba rezultata u karakteristinim vorovima na prijelaznoj krivulji korijena zuba dana je u tablici 3 Moe se uoiti da su razlike izmeu faktora sigurnosti u pojedinim vorovima relativno male.

Najvee naprezanje u korijenu zuba izraunano konvencionalnim proraunom iznosi F0 = 284,5 MPa. Kako je trajna dinamika vrstoa korijena prema konvencionalnom proraunu FE = 1000 MPa to faktor sigurnost korijena zuba iznosi S = 3,52, to je gotovo identino najmanjem faktoru sigurnosti S = 3,51 iz tablice 3. Posljednje se moe objasniti injenicom da konvencionalni proraun precjenjuje ne samo trajnu dinamiku vrstou, ve i najvee naprezanje u korijenu zuba zbog ega faktor sigurnosti korijena zuba izraunan pomou njega ne odstupa bitno od onog odreenog postupkom opisanim u ovom radu.

5 ZAKLJUAK

U radu je predstavljen postupak za odreivanje trajne dinamike vrstoe korijena zuba zupanika koji za razliku od konvencionalnog prorauna uzima u obzir i tlani dio ciklusa naprezanja. Usporedbom dobivenih vrijednosti s odgovarajuima izraunanim konvencionalnim proraunom utvreno je da konvencionalni proraun pogreno pretpostavlja poloaj kritinog mjesta. Pored navedenog, precjenjuje kako trajnu dinamiku vrstou tako i najvee naprezanje u korijena zuba zupanika to je i osnovni razlog zbog kojeg ne dolazi do bitne promjene faktor sigurnosti korijena zuba u odnosu na onog dobivenog ovdje opisanim postupkom.

Literatura:

[5] ABAQUS 6.12, Dassault Systemes, Simulia, 2012. [6] ISO 6336, Calculation of Load Capacity of Spur and Helical Gears, ISO, 2006. [7] Linke H, Brner J., The influence of neighbouring teeth on the tooth root capacity, International Gearing Conference. Newcastle, UK, 1994. [8] Ognjanovi, M., Mainski elementi, Mainski fakultet, Beograd, 2011. [9] Opali, M., Vukovi, K., eelj, D., Bending fatigue crack initiation life prediction in spur gear tooth root, Proceedings of 2nd International Conference of Engineering Against Fracture (ICEAF II) Mikonos, Grka, 2011. [10] Opali, M., Vukovi, K., eelj, D., Risovi, S., Prediction of thin-rim gears bending fatigue crack initiation life, The 7th International Scientific Conference - Research and Development of Mechanical Elements and Systems, Zlatibor, Srbija, 2011, str. 487-492. [11] Podrug, S., Jelaska, D., Glode, S., Influence of different load models on gear crack path shapes and fatigue lives, Fatigue & Fracture of Engineering Materials Structures, Vol. 31, No. 5., 2008, str. 327-339.

Autori: Kreimir Vukovi, Sveuilite u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zavod za konstruiranje, Ivana Luia 5, tel. +385 1 6168 165, fax +385 1 6168 284 , e-mail: kresimir.vuckovic@fsb.hr, web stranica: www.fsb.unizg.hr/elemstroj Ivica Gali, Sveuilite u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zavod za konstruiranje, Ivana Luia 5, tel. +385 1 6168 230, fax +385 1 6168 284 , e-mail: ivica.galic@fsb.hr, web stranica: www.fsb.unizg.hr/elemstroj Nikola egec, Sveuilite u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Ivana Luia 5, e-mail: nikola.cegec@hotmail.com

224