vysokÁ Škola bÁŇskÁ - technickÁ univerzita ostrava … · 4/3/2010 · objemová...
TRANSCRIPT
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA
Fakulta strojníkatedra hydromechaniky a hydraulických zařízení
Cvičení z mechaniky tekutin
Ing. Sylva Drábková, Ph.D.Doc. RNDr. Milada Kozubková, CSc.
2004OSTRAVA
Bernoulliho efekt se projeví poklesem statického tlaku a zvýšením rychlosti
tlakováenergie
kinetickáenergie
potenciálníenergie
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin I
Obsah1. Úvod 1
2. Základní pojmy 2
2.1 Fyzikální vlastnosti tekutin 2
Hydrostatika 8
3. Tlakové poměry v kapalině za klidu 8
3.1 Hydrostatický tlak 8
3.2 Hladinové plochy 11
3.3 Pascalův zákon 13
4. Tlakové síly 15
4.1 Dno nádoby 15
4.2 Tlakové síly na šikmé rovinné stěny 15
4.3 Tlakové síly na křivé plochy 18
5. Relativní pohyb kapaliny 23
5.1 Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený 23
5.2 Pohyb rovnoměrně otáčivý 24
Hydrodynamika 28
6. Základní pojmy a rozdělení proudění 28
6.1 Rozdělení proudění 28
7. Proudění dokonalých kapalin 32
7.1 Rovnice kontinuity 32
7.2 Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu 33
8. Proudění vazké tekutiny 41
8.1 Proudění skutečných kapalin 41
8.2 Bernoulliho rovnice pro skutečnou tekutinu 41
9. Laminární proudění 44
9.1 Proudění v trubici kruhového průřezu 44
9.2 Proudění mezi paralelními deskami 46
9.3 Proudění mezi paralelními deskami s unášivým pohybem 47
9.4 Proudění válcovou mezerou 48
9.5 Stékání po svislé stěně 49
9.6 Proudění klínovou mezerou tvořenou rovinnými deskami 50
10. Turbulentní proudění 51
10.1 Bernoulliho rovnice pro turbulentní proudění 51
11. Hydraulický výpočet potrubí 53
11.1 Třecí ztráty v potrubí 53
11.2 Místní ztráty 61
11.3 Jednoduché potrubí 65
11.4 Gravitační potrubí 70
11.5 Složené potrubí 71
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin II
11.6 Charakteristika potrubí 73
12. Výtok z nádob, přepady 77
12.1 Stacionární výtok kapaliny malým otvorem 77
12.2 Výtok velkým otvorem v boční stěně 78
12.3 Výtok ponořeným otvorem 79
12.4 Výtok při současném přítoku 80
12.5 Vyprazdňování nádob 81
12.6 Přepady 83
13. Proudění v rotujícím kanále 85
13.1 Bernoulliho rovnice pro rotující kanál 85
13.2 Odstředivé čerpadlo 87
13.3 Čerpadlo a potrubí 89
14. Neustálené proudění v potrubí 97
14.1 Bernoulliho rovnice pro neustálené proudění nestlačitelné kapaliny 97
14.2 Rozběh proudu v potrubí při výtoku z nádoby 98
14.3 Hydraulický ráz 103
15. Věta o změně hybnosti 107
15.1 Deska v klidu 107
15.2 Pohybující se deska 109
15.3 Rotační těleso 110
15.4 Peltonovo kolo 110
15.5 Silový účinek proudu na potrubí 111
16. Obtékání těles 113
16.1 Odpor těles a tloušťka mezní vrstvy 113
17. Proudění v korytech 116
17.1 Rovnoměrný průtok 116
18. Fyzikální podobnost a teorie modelování 119
18.1 Hydrodynamická podobnost při proudění kapalin 119
19. Přílohy 121
19.1 Hustota vody, vzduchu a rtuti, dynamická viskozita a kinematická viskozita vody a
vzduchu v závislosti na teplotě121
19.2 Hustota suchého vzduchu v závislosti na tlaku a teplotě 122
19.3 Napětí nasycené vodní páry při teplotách 95 ¸ 140 0C 122
19.4 Dynamická viskozita vody a páry v závislosti na teplotě a tlaku 123
19.5 Kinematická viskozita vody a páry v závislosti na teplotě a tlaku 124
19.6 Fyzikální vlastnosti plynů při 0 °C a tlaku 0.1 MPa, pevných látek a kapalin při 18 °C 125
19.7 Absolutní drsnosti potrubí 126
19.8 Stupeň drsnosti při proudění v otevřených kanálech 126
19.9 Rychlostní součinitel C podle Pavlovského 127
19.10 Těžiště a momenty setrvačnosti některých ploch a objemy těles 128
19.11 Součinitelé odporu těles 129
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin III
20. Laboratorní cvičení z hydromechaniky 130
20.1 Měření třecí ztráty v potrubí 130
20.2 Experimentální stanovení charakteristiky čerpadla 132
20.3 Měření rychlostního profilu volného kruhového proudu 135
21. Přehled použitých označení 138
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 1
1. ÚvodMechanika tekutin je základem pro řešení praktických inženýrských úloh v řadě oborů. Nachází
uplatnění nejen v oblasti strojírenství, ale také ve stavebnictví, energetice, ekologii, biologii, medicíně
a dalších disciplínách. Kromě teoretických vědomostí je podmínkou řešení úloh i schopnost aplikovat
nabyté poznatky v praxi.
Sbírka příkladů z mechaniky tekutin je určena k prohloubení a praktickému procvičení znalostí
získaných v předmětu Mechanika tekutin a Hydromechanika, přednášených na Fakultě strojní, Fakultě
metalurgie a materiálového inženýrství, Fakultě bezpečnostního inženýrství a Hornicko-geologické
fakultě. Je členěna tématicky, označením jednotlivých kapitol a podkapitol navazuje na skripta
„Janalík, J., Šťáva, P.: Mechanika tekutin“, vydané na VŠB-TU Ostrava v roce 2001.
Úvod každé kapitoly je věnován stručnému přehledu teorie a výčtu nezbytně nutných vztahů a
konstant, které slouží pro přípravu na výpočtová cvičení. Teoretický základ je následován souborem
řešených i neřešených příkladů s výsledky řešení. Součástí cvičení z hydromechaniky jsou laboratorní
úlohy, ve kterých se studenti seznámí s přípravou měření, jeho provedením a vyhodnocením. Ve
skriptech jsou uvedeny návody k měření a návrhy tabulek pro zpracování měření a vyhodnocení
hledaných veličin. Sbírku příkladů doplňují v příloze potřebné tabulky, grafy a závislosti vyhodnocené
statisticky z tabulek pro snadnější použití, které doplňují podle potřeb a zkušeností získaných ve
výuce.
Ve skriptech je důsledně používána soustava jednotek SI. Označení veličin je převzato ze skript
„Janalík, J., Šťáva, P.: Mechanika tekutin“. Upozorňujeme na podobnost značek rychlosti v a
kinematické viskozity n , které vyplývají z podobnosti písma v aplikovaném editoru rovnic.
Cvičení z mechaniky tekutin vychází ve druhém přepracovaném vydání.
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 2
2. Základní pojmyTekutina je pojem zahrnující kapaliny a plyny. Je to spojité prostředí, které je homogenní a
izotropní (jeho vlastnosti jsou ve všech směrech stejné). Kapaliny se odlišují od plynů a par konstantní
či téměř konstantní měrnou hmotností, tj. hustotou ( konst=r ) a jsou tedy nestlačitelné či velmi málo
stlačitelné. Zavádí se pojem kapaliny ideální, což je kapalina bez vnitřního tření a nestlačitelná.
2.1. Fyzikální vlastnosti tekutin
Měrná hmotnost neboli hustota tekutiny je hmotnost objemové jednotky tekutiny podle vztahu
Vm
=r
Hustota kapalin je závislá na teplotě )(Trr = přibližně lineárně. Měrná hmotnost (hustota) plynů
závisí nejen na teplotě, ale též významně na tlaku ),( pTrr = a pro ideální plyn je dána stavovou
rovnicí ve tvarurTpmrTpV =Þ= r (kde r je měrná plynová konstanta). Závislosti měrné
hmotnosti technicky důležitých látek jsou uvedeny v příloze 19.
Viskozita tekutiny se projevuje při proudění skutečných tekutin. Míra velikosti vnitřního tření
charakterizuje tekutost či fluiditu. S využitím Newtonova vztahu pro tečné napětí laminárního proudu
lze dynamickou vazkost h vyjádřit takto:
yv
¶¶
=ht
Jednotka součinitele h v předchozím vztahu, tj. dynamické viskozity, se definuje
Pa.sm.skg
mN.s
][][][
][2
====v
yth
Technická soustava jednotek (stále používaná v příručkách a tabulkách) zavádí pro jednotku
dynamické viskozity označení 1 P (Poise), což je sPascmgP ×=××= -- 1,011 11 .
Vazkost (viskozita) se vyjadřuje dále součinitelem kinematické vazkosti (viskozity) s příslušnými
jednotkami
123
][ -×=××
== smkgm
smkg
nrh
n
V praxi je dosud stále důležitá jednotka kinematické viskozity v soustavě technické – 1 Stokes, pro
niž platí 12412 1011 --- =×= smscmS .
Z měření vazkosti kapalin Englerovým viskozimetrem vyplývá další jednotka viskozity Englerův
stupeň, která se definuje se jako poměr doby výtoku t objemu 200 cm3 zkoumané kapaliny při dané
teplotě k době výtoku destilované vody o teplotě t = 20oC, tedy
][2
Eo
OHE t
tn =
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 3
Viskozitu vyjádřenou v Englerových stupních lze převádět na kinematickou viskozitu v SI jednotkách
pomocí empirického vztahu
E];s[m10316317 o126 --×÷÷ø
öççè
æ-=
EE
,,n
nn
Viskozita je obecně funkcí veličin stavu, tj. tlaku a teploty. Mimo závislosti pro vodu a vzduch, které
jsou uváděny v přílohách 19, jsou technicky důležité závislosti dynamické viskozity na teplotě pro
minerální oleje. Tyto závislosti lze dobře aproximovat exponenciální funkcí ve tvaru
)(0
Tke ×-×= hh nebo BtA
e +×¢= 0hh
kde BAk ,,,, 00 hh ¢ jsou konstanty, které je nutno pro jednotlivé druhy olejů určit experimentálně a
statisticky např. metodou nejmenších čtverců (např. pomocí software EXCEL).
Objemová stlačitelnost tekutin je schopnost zmenšovat svůj objem při zvýšení vnějšího tlaku.
Vyjadřuje se součinitelem stlačitelnosti
[ ]1Pa1 -
= DD
=÷÷ø
öççè
涶
-=p.V
VpV
V konstTd
který vyjadřuje změnu objemu kapaliny 0VVV -=D připadající na jednotku původního objemu
V při změně tlaku ( )ppp -=D 0 . 0V a 0p jsou objem a tlak tekutiny po stlačení.
Převrácená hodnota součinitele objemové stlačitelnosti d je modul objemové pružnosti kapaliny K
][1 PaKd
= , který závisí na stavových veličinách, tj. tlaku a teplotě.
Součinitel objemové roztažnosti kapalin vyjadřuje schopnost kapaliny zvětšit svůj objem při
zvýšení teploty
[ ]1O1 C,K1 --
= DD
=÷÷ø
öççè
涶
=t.V
VtV
V konstpb
a je definován změnou objemu kapaliny VVV -=D 0 připadající na jednotku původního objemu V
při změně teploty ( )ttt -=D 0 . 0V a 0t jsou objem a teplota kapaliny po zahřátí. Pro výpočet
objemu 0V po roztažení z původního objemu V lze použít vztah ( )t.VV D+= b10 .
Povrchové napětís působí na rozhraní mezi kapalinou a jinou látkou. Definuje se jako tzv.
kapilární konstanta [ ]1Nm-=l
Fpns , kde pnF je výsledný účinek povrchových sil mezi molekulami
kapaliny a jiné látky a l je délky rozhraní.
Kapilární jevy jsou důsledkem povrchového napětí. Vyskytují u trubiček velmi malého průměru
– kapilár, nebo v porézním prostředí. Když adhezní síly jsou větší než kohezní, vystupuje kapalina
v kapiláře do výšky h . V opačném případě, kdy kohezní síly jsou větší než adhezní, zůstává kapalina
v kapiláře o výšku h níže než je hladina okolní kapaliny. Kapilární výšky h se dají spočítat
z podmínky rovnováhy mezi gravitačními silami a povrchovými silami:
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 4
ghdd rpsp 2
4= , odtud
gdh
rs4
=
Příklad 2.1.1
Ve zcela zaplněné tlakové nádrži je voda o tlaku p . Po vypuštění objemu VD vody klesl tlak na tlak
atmosférický, tj. 10 =p bar = 105 Pa abs. Určete objem vody v nádrži při zanedbání pružnosti nádoby.
Zadáno: Vypočtěte: Výsledek:p abs. = 10 bar V = ? m3 80.00
VD = 36 dm3
K = 2000 MPa
Řešení:pVKV
DD
=
Příklad 2.1.2
Při tlakové zkoušce potrubí o průměru d a délce l klesl za hodinu tlak z .1relp na .2relp . Určete,
kolik vody vyteklo netěsnostmi potrubí, je-li potrubí absolutně tuhé.
Zadáno: Vypočtěte: Výsledek:d = 400 mm VD = ? m3 0.06283
l = 2 kmK = 2000 MPa
.1relp = 7.5 MPa
.2relp = 7 MPa
Příklad 2.1.3
Potrubí průměru d a délky l je naplněno vodou při atmosférickém tlaku. Jak velký objem VD je
nutno vtlačit do potrubí při tlakové zkoušce, aby se tlak zvýšil o pD ? Potrubí považujte za tuhé, měrná
hmotnost vody je r , modul pružnosti kapaliny je K . Určete součinitel stlačitelnosti d a teoretickou
rychlost zvuku ta .
Dp
l
d
DVZadáno:l = 70 md = 450 mmpD = 0.5 MPa
K = 2E+09 Par = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:VD = ? m3 0.00278d = ? MPa-1 0.00050
ta = ? m.s-1 1414.21
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 5
Příklad 2.1.4
Přístroj na kontrolu manometrů má šroub se závitem M20 x 1,5. Vnitřní objem má tvar válce o
průměru D a délce l . Určete změnu tlaku při zašroubování šroubu o 3 otáčky vřetena. Vypočtěte
teoretickou rychlost zvuku ta .
p
M20
x1.5
l
D
Příklad 2.1.5
Stanovte posunutí pístu lD hydraulického válce vlivem stlačitelnosti kapaliny při zatížení pístnice
silou F . Určete teoretickou rychlost zvuku v oleji ta , vypočtěte součinitel stlačitelnosti kapaliny d .
F
l
Dl
d
K, r
olej
Příklad 2.1.6
Kapalina má viskozitu 100 E a měrnou hmotnost r . Určete její kinematickou a dynamickou viskozitu
v soustavě SI.
Zadáno: Vypočtěte: Výsledky:n = 10 0E n = ? m2s-1 0.0000725r = 0.89 kg.dm-3 h = ? Pa.s 0.0645250
Řešení: Kinematická viskozita se určí z empirického vztahu 60
0 1031,631,7 -×÷øö
çèæ -×=
EEn a
dynamická viskozita ze vzorce rnh ×= .
Zadáno:D = 30 mml = 100 mm
K = 2000 MPar = 1000 kg.m-3
s = 1.5 mmVypočtěte: Výsledky:
VD = ? m3 0.0000014V = ? m3 0.000071pD = ? MPa 39.43662
ta = ? m.s-1 1414.21
Zadáno:l = 1000 mmd = 80 mmF = 28000 Nr = 900 kg.m-3
K = 1300 MPaVypočtěte: Výsledky:
pD = ? MPa 5.57043lD = ? m 0.00428
ta = ? ms-1 1 201.85
d = ? MPa-1 0.00077
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 6
Příklad 2.1.7
Závislost dynamické viskozity na absolutní teplotě je dána tabulkou. Najděte koeficienty 0h a k této
závislosti ve tvaru ( )Tke ×-×= 0hh pomocí lineární regrese a určete hodnotu viskozity pro teplotu t =
24oC a 58oC.
Řešení:
Teplota a viskozita v prvních
dvou sloupcích se překopíruje
do EXCELu, teplota se
přepočítá na absolutní, tj.
15.273+= tT . Vytvoří se graf
závislosti viskozity na teplotě,
proloží se spojnice trendu ve
tvaru exponenciální funkce a
vyhodnotí se koeficienty 0h a k .
Závislost viskozity na teplotě
y = 16872.0799436e-0.0614571x
R2 = 0.9930166
0.00000
0.00005
0.00010
0.00015
0.00020
0.00025
290 295 300 305 310 315 320 325T [K]
h [Pa.s]
Příklad 2.1.8
Stanovte povrchové napětí s vody, jestliže ve skleněné kapiláře o průměru d byla naměřena
kapilární elevace h .
Zadáno: Vypočtěte: Výsledky:t [oC] h [Pa.s] 0h = ? Pa.s 16872.08
23 2.25E-04 k = ? K-1 -0.061457128 1.52E-04
24h = ? Pa.s 0.00019773932 1.18E-04
49h = ? Pa.s 4.25433E-05
38 7.89E-0543 5.89E-0548 4.52E-0550 4.32E-05
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 7
d
h
Příklad 2.1.9
Válcová nádrž o rozměrech d a h je zcela naplněna vodou o atmosférickém tlaku o teplotě 0t .
Určete změnu tlaku v nádrži při změně teploty na hodnotu 1t . Součinitel teplotní roztažnosti vody je
b a modul pružnosti vody je K . Poddajnost stěn nádoby zanedbejte.
Řešení:
VpV
KD
D= 0
0VVKp D
=DÞ
( ) tVVVVtVVtVV D=DÞD+=D+=D+= bbb 00000 1
( )010
0 ttKV
tKVp -=
D=D b
b
Příklad 2.1.10
V plynojemu se uchovává plyn o objemu V při teplotě t a přetlaku pp . Měrná plynová konstanta je
r ( mRr = , kde m je molekulová hmotnost, R je univerzální plynová konstanta) a 0p je
barometrický tlak. Určete hmotnost plynu m v plynojemu, látkové množství plynu n a objem plynu
nV při teplotě 0 OC a tlaku 101325 Pa (tj. při normálních podmínkách).
Zadáno: Vypočtěte: Výsledky:V = 100000 m3 m = ? kg 52 336.57t = 20 0C n = ? kmol 4 135.81
pp = 2.4 kPa nV = ? mn3 92 694.77
r = 657 J.kg-1K-1
0p = 984 hPaR = 8314 J.K-1.kmol-1
Řešeni:rTpVmmrTpV =Þ=
RTpVnnRTpV =Þ=
n
nn
n
nnpT
TpVV
TpV
TVp
=Þ=
Zadáno:h = 15 mmd = 2 mmr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:s = ? N.m-1 0.07358
Řešení:
44 gdhgd
h rs
rs
=Þ=
Zadáno:d = 1 mh = 3 mK = 2000 MPa
0t = 20 OC
1t = 30 OC
b = 0.00064 (OC)-1
Vypočtěte: Výsledky:
pD = ? MPa 12.80
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 8
Hydrostatika
3. Tlakové poměry v kapalině za kliduTlak kapaliny je tlaková síla, působící na jednotku plochy. Je-li tlak na ploše rovnoměrně rozložen,
je dán poměremSFp = , při nerovnoměrném rozložení tlaku je dán obecně
SdFdp = . Jednotkou
tlaku v soustavě SI je 1 Pascal, tj. síla 1 N působící na plochu 1 m2 neboli 1Pa=1Nm-2.
3.1. Hydrostatický tlak
Hydrostatický tlak jako účinek kapalinového sloupce se vypočte ze vztahu
hgp r=
Tlak jako stavová veličina se vyjadřuje absolutní a relativní hodnotou. Absolutní tlak se vztahuje
k absolutnímu vakuu. Relativní tlak (podtlak resp. přetlak) se vztahuje k libovolně zvolené hodnotě,
nejčastěji ke hladině atmosférického tlaku 0p a platí vztah
0ppp relabs +=
Ve sporných případech je nutno za jednotkou označit, zda se jedná o tlak absolutní či relativní.
Tlaková diference je rozdíl tlaků ve dvou místech 1, 2
21 ppp -=D
Tlaky 21, pp je nutno dosazovat shodně, tj. oba absolutní nebo oba relativní, protože rozdíl dvou
tlaků udaných v absolutních či relativních jednotkách je stejný. Vztah mezi absolutním a relativním
tlakem je obdobou vztahu mezi absolutní a relativní teplotou ][273 KtT += . Schematicky je tento
vztah patrný obrázku
p [Pa]p
1
p0
p2
0
p
p
p-p
p
1a
1r0
2r2a
vakuum
barometrický tlak
(pod
tlak)
(pre
tlak)
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 9
Příklad 3.1.1
Vypočítejte tlak pod hladinou vody v hloubce h , je-li na hladině hustota r . Uvažujte nestlačitelnou a
stlačitelnou kapalinu. Výsledky porovnejte.
p0
h
Řešení: V případě nestlačitelné kapaliny konst=r a hgpnestl r-= . V případě stlačitelné
kapaliny se předpokládá závislost ,dhedh.gdp Kpp 0
0
-
-=-= rr a tedy ÷øö
çèæ +-=
Kgh
.Kp 01lnr
a
Khg0
0
1rr
r+
= . Výška h se zadává záporně vzhledem k definovanému souřadnému systému
Příklad 3.1.2
Určete změnu tlaku v atmosféře v závislosti na nadmořské výšce. Uvažujte následující varianty
výpočtu vzhledem k definici hustoty:
a) hustota r =konst.
b) hustota se mění v závislosti na přibližně
určeném modulu stlačitelnosti
c) hustota se určí ze stavové rovnice,
předpokládá se polytropická změna
d) hustota se určí ze stavové rovnice, přitom
teplota je konstantní (izotermická změna)
e) hustota se určí ze stavové rovnice, přitom
teplota se mění lineárně
Řešení: V následující tabulce je přehled
vztahů, použitých v jednotlivých variantách.
Tlak není obecně konstantní, proto je zapsán
v diferenciálním tvaru. Vztah pro tlak se získá
integrací a integrační konstanta se určí z
podmínek 0rr = , 0TT = , 0pp = . Teplota
se uvažuje konstantní, jen v případě e) je
Zadáno:h = 8000 m
0p = 0 MPaK = 2100 MPa
0r = 1020 kg.m-3
Vypočtěte:
nestlp = ? MPa 80.04960
stlp = ? MPa 81.55565
1r = ? 1060.42
Zadáno:hustota 0r = 1.226 kg.m-3
atmosférický tlak 0p = 101325 Pa
teplota 0T = 288.15 K
měr.plyn.konstanta r = 287 J.kg-1.K-1
polytrop. exponent n = 1.23modul pružnosti K = 141725.6 Pagradient teploty g = -0.0065 K.m-1
p0
T0
z
p T
g
z
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 10
definována jako lineární závislost.
r T pNestlačitelná tekutina a)
0rr = 0TT =ghpp
dhgdp
00
0 .r
r-=
-=
Stlačitelná tekutina b)K
pp
e0
0
-
= rr2
0cK r=0TT =
÷ø
öçè
æ +-=
-=-=-
Kgh
ln.Kpp
dhedh.gdp Kpp
00
0
1
0
rrr
c)n
pp
1
00 ÷÷
ø
öççè
æ= rr 0TT =
1
00
1
00
11
..
-
÷÷ø
öççè
æ --=
÷÷ø
öççè
æ-=-=
nn
n
hrTg
nnpp
dhgppdhgdp rr
d)
0rTp
=r0TT =
00
0.
rTgh
epp
dhrT
pdhgdp
-=
-=-= r
e)
( )hTrp
gr
-=
0hTT g-= 0 ( )
gg
gr
rg
Thpp
dhhTr
pdhgdp
-
÷÷ø
öççè
æ-=
--=-=
00
0
1
.
Výše uvedené vztahy lze tabelovat v EXCELu a zobrazit pro porovnání tlak v závislosti na výšce h.
Závislost tlaku na výšce v atmosféře
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
75000 80000 85000 90000 95000 100000 105000
p [Pa]
h [m]
a) konst. hustota
b) modul pružnosti K
c) polytropie
d) izotermie
e) teplota je funkcí výšky
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 11
3.2. Hladinové plochy
Hladinové plochy jsou hladiny s konstantní hodnotou tlaku 0, == dpkonstp , případně dalších
skalárních veličin (teplota, hustota, měrná tíha, měrný objem). Hladinové plochy jsou ekvipotenciální
plochy a jsou vždy kolmé na výsledné zrychlení vnější hmotnostní síly a . Hladinové plochy mají
v úlohách hydrostatiky význam při výpočtu tlaků a tlakových sil.
Příklad 3.2.1
Otevřená svislá válcová nádrž je naplněna vodou o výšce 1h a olejem o výšce 2h . Tlak vody u dna
nádrže je změřen piezometrickou trubicí s výškou hladiny h . Jaká je hustota oleje or ? Jaká bude
výška hladiny v piezometrické trubici ( h¢ ), když se nádrž uzavře a tlak v nádrži stoupne o pD ?
p
voda
0p
olej
rV
0r
h
hh
12
Řešení: Pro otevřenou nádrž platí, že 0pp = .
ghpghghp vvo rrr +=++ 0120 a odtud( ) ( )
2
1
2
1
hhh
ghghh vv
orr
r-
=-
=
Pro uzavřenou nádrž s tlakem p , kde ppp D+= 0
ghpghghp vvo rrr ¢+=++ 012 a tedy( )
120 h
hgpp
hv
o
v++
-=¢
rr
r
Příklad 3.2.2
Jaký je rozdíl tlaků pD ve vodorovném potrubí (ve kterém proudí voda), který je měřen U-trubicí
naplněnou rtutí. Rozdíl výšek hladin je hD .
Dh
h
p1 2
pv
Hg
Zadáno:
1h = 0.2 m
2h = 1.2 mh = 1.2 m
0p = 0.10132 MPa
vr = 1000 kg.m-3
=Dp = 0.01 MPaVypočtěte: Výsledky:
or = ? kg.m-3 833.33
h¢ = ? m 2.21936
Zadáno:hD = 0.35 m
vr = 1000 kg.m-3
Hgr = 13600 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:pD = ? Pa 43262.10
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 12
Řešení: Podmínka rovnováhy v levém a pravém rameni diferenciálního U-manometru:
pL pp = ( ) hghhgphgp Hgvv D+D-¢=¢+Þ ..... 21 rrr
( ) hgppp vHg D-=-=D ..21 rr
Příklad 3.2.3
Tlak vody v potrubí se měří U-trubicí s otevřeným koncem. Rozdíl hladin rtuti v U-trubici je hD .
Poloha spodní hladiny rtuti ve vztahu k ose potrubí je dána výškou h . Jak veliký je měřený tlak p ?
Jak se při stejném tlaku p v nádobě změní údaj v U-trubici, změní-li se h na h¢ . Tlak ovzduší je 0p .
Příklad 3.2.4
Určete přirozený tah pD v topeništi, které je spojeno s komínem vysokým h . Hustota vzduchu je vzr
a hustota kouřových spalin je spr .
Příklad 3.2.5
V soustavě ústředního topení ohřívá kotel K vodu na teplotu 1t . V radiátoru R se voda ochladí na
teplotu 2t . Ostatní části jsou tepelně izolovány. Výškový rozdíl kotle a radiátoru je h . Určete přetlak
21 ppp -=D , který bude působit na ventil V , který za provozu přeruší cirkulaci vody.
hh
Dh
Dh
p rV
rHg
'
'
Zadáno:hD = 0.3 mh = 1 mh¢ = 1.5 m
0p = 0.1 MPa
vr = 1000 kg.m-3
Hgr = 13600 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:p = ? Pa 130214.80h¢D = ? m 0.33673
rVZ
SPr
h
Zadáno:
vzr = 1.29 kg.m-3
spr = 0.44 kg.m-3
h = 20 mVypočtěte: Výsledky:
pD = ? Pa 166.77
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 13
Řešení: ( ) hgp ..21 rr -=D
Příklad 3.2.6
Určete absolutní tlak vzduchu v nádobě, jsou-li údaje na dvoukapalinovém manometru následující :
1h , 2h , 3h a tlak ovzduší je 0p .
p
Hgr
rV
vzduch
h
hh
0
1
23
p
3.3. Pascalův zákonTlak je obecně funkcí polohy. Pokud jsou však hmotnostní síly působící na kapalinu v klidu mnohem
menší než síly tlakové, je tlak ve všech místech kapaliny konstantní, což je zákon Pascalův. Toho se
využívá například u hydraulických lisů, hydraulického akumulátoru, hydraulických pohonů.
Hydraulický lis je v podstatě nádoba s kapalinou, ve které se pohybují dva písty různých průměrů. Na
obou pístech je dle Pascalova zákona stejný tlak2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1÷÷ø
öççè
æ==Þ==
dd
SS
FF
SF
SFp
Příklad 3.3.1
Do nádrže naplněné kapalinou jsou vestavěny dva písty o průměrech 1d a 2d . Na první z nich
působí síla 1F . Určete tlak p v kapalině a sílu 2F udržující píst v rovnováze.
S1
S2
F1
F2
t2
1p p
2
t1
V
K
R
h
Zadáno:
1t = 90 oC
2t = 60 oCh = 8 m
Vypočtěte: Výsledky:== 901 rr ? kg.m-3 965.3== 602 rr ? kg.m-3 983.2
p = ? Pa 1404.79
Zadáno:
1h = 700 mm
2h = 600 mm
3h = 300 mm
Hgr = 13600 kg.m-3
vr = 1000 kg.m-3
0p = 0.1 MPaVypočtěte: Výsledky:
p = ? Pa 139043.8
Zadáno:
1d = 0.29 m
2d = 0.55 m
1F = 1407 kNVypočtěte: Výsledky:
p = ? MPa 21.30135
2F = ? kN 5060.84929
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 14
Příklad 3.3.2
Dva válce o různých velikostech jsou pevně spojeny tyčí. Jestliže na plochu 1S působí tlak daný 1p ,
pak na tuto plochu působí síla 1F , která je přenášena na plochu 2S a na výstupu se získá tlak 2p .
Určete hodnotu tohoto tlaku.
S1
S2
p1
F2
p2
Příklad 3.3.3
Táhlem spojené písty silového zařízení se ustálí v poloze naznačené na obrázku. Určete h , je-li dán
poměrdD
a H .
Příklad 3.3.4
Určete tlak plynu v plynojemu jestliže v U – trubici naplněné lihem je rozdíl hladin hD . Do jaké výšky
vystoupí hladina vody v trubici, kterou je plynojem spojen s vodní nádrží?
Zadáno:
1S = 20 cm2
2S = 16 cm2
1p = 1 MPaVypočtěte: Výsledky:
2p = ? Pa 1 250 000.0
p0
h
H
p0
D d
Zadáno:
dD
= 3
H = 4 mr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:h = ? m 3.56
p
t
Dh
Zadáno:hD = 0.02 m
0p = 0.101 MPa
líhr = 800 kg.m-3
vodar = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:p = ? MPa 0.10084t = ? m 0.01631
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 15
4. Tlakové síly
4.1. Dno nádoby
Tlaková síla na dno nádoby (rovinná vodorovná plocha) se určí ze vztahů
VgShgSpF rr ===
Objem V je tzv. zatěžovací objem definovaný třemi
plochami, které ho omezují:
§ plocha S , na niž působí tlaková síla F
§ hladinová plocha tlaku ovzduší ( konstp =0 )
§ válcová plocha vzniklá pohybem povrchové
(tvořící) přímky po obrysu plochy S . Povrchová
přímka je rovnoběžná se silou FHydrostatický tlak p působící na vodorovné plochy,
pokud se uvažuje jen zemská tíže, je konstantní.
Tlaková síla F prochází těžištěm zatěžovacího objemu V .
4.2. Tlakové síly na šikmé rovinné stěny
Tlaková síla od kapaliny působící na šikmé a svislé rovinné plochy je dána vztahem
VgSpShgF TT rr ===
kde:
Tp - hydrostatický tlak v těžišti plochy
Th - svislá vzdálenost těžiště plochy S od
hladinové plochy tlaku ovzduší .0 konstp =
V je zatěžovací objem omezený následujícími
plochami:
§ plochou S , na kterou se počítá tlaková síla
§ sklopenou hladinovou plochou tlaku ovzduší
§ válcovou plochou vzniklou opsáním přímky rovnoběžné s hledanou silou F po obrysu plochy S .
Tlaková síla F je kolmá na plochu S , prochází těžištěm zatěžovacího obrazce a působiště tlakové
síly leží vždy pod těžištěm T plochy S . Platí vztah:
y
yTT
y
yP M
Jx
MJ
x +==
yJ - moment setrvačnosti plochy S k ose y
yTJ - moment setrvačnosti plochy S k ose Ty procházející těžištěm plochy a rovnoběžné s y
yM - statický moment plochy S k ose y , pro který platí SxM Ty =
h
V
F
TS
T
1
D
TP
x
x P
T
a
F
H O2
h t
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 16
Pro plochy nesouměrné k ose Tx platí
y
xyT
y
TT
y
xyt M
JM
yxSMJ
y +××
== kde
xyJ - deviační moment k osám x, y
xyTJ - deviační moment k souřadnému systému s počátkem v těžišti plochy.
Rozložením tlakové síly F do os kartézského systému se získají složky yx FF , .
Svislá složka tlakové síly yy VgF r= , kde je zatěžovací objem yV je opět určen:
§ plochou S§ hladinovou plochou tlaku ovzduší
§ válcovou plochou tvořenou svislou přímkou, která opíše plochu S po obrysu.
Vodorovná složka tlakové síly xF se rovná tlakové síle na průmět plochy S do svislé roviny
xTx ShgF r= .
Příklad 4.2.1
Stanovte velikost tlakové síly F na kruhové víko výpustě a vzdálenost působiště tlakové síly px .
Určete svislou složku tlakové síly yF .
D
TP
x
x P
T
a
F
H O2
h t
Řešení:4
.).sin(.....2DxgShgF TT
parr ==
4..
64.
2
4
Dx
D
xMJ
xx
T
Ty
tTP
p
p
+=+=
acos.FFy =
pT xxx -=D
Zadáno:D = 1 m
Tx = 1.8 ma = 40 degr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:F = ? N 8914.54
px = ? m 1.83472
yF = ? N 6828.93
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 17
Příklad 4.2.2
Stanovte velikost síly F na kruhové víko nádrže, jestliže v připojené trubce je hladina ve výšce h .
Vypočtěte vzdálenost hD působiště P tlakové
síly od těžiště T plochy. Nakreslete zatěžovací
obrazec. Měrnou hmotnost vody uvažujte r .
Příklad 4.2.3
Stanovte tlakovou sílu F a vzdálenost jejího působiště ph pro čtvercové víko kanálu v hloubce Th
pod hladinou ( 0p = konst.). Určete střední hodnotu tlaku p na víko.
p0
h ha
F
T
H O
p0
P
2
PT
Příklad 4.2.4
Určete sílu F na páce, kterou se otevře ventil o průměru d uzavírající otvor v tlakové nádobě. Sklon
roviny ventilu je a a pákový převod ba . Přetlak na hladině je np .
d
a
l F
pn
ab
F /
h
p0
D
h
Dh
FP
H OT2
Zadáno:h = 1.4 mD = 0.8 mr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:F = ? N 6 903.46hD = ? m 0.02857
Zadáno:
Th = 1.6 m
a = 1 mr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:F = ? N 15 696.00
ph = ? m 1.65208
p = ? Pa 15 696.00
Zadáno:d = 0.25 ml = 0.6 mh = 0.85 m
ba = 3a = 60 0
np = 30000 Pa
r = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:F = ? N 6 396.46
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 18
4.3. Tlakové síly na křivé plochy
Tlakové síly na křivé plochy se řeší dvěma metodami, tj metodou složkovou a metodou
náhradních ploch.
Metoda složková spočívá v určení svislé a vodorovné složky tlakové síly na křivou plochu. Pro
svislou složku tlakové síly platí
yV
yS
yyy VgdVgdShgdFFyy
rrr ==== òòò
Objem yV zatěžovacího obrazce je stejně určen jako při výpočtu svislé
složky yF u šikmé rovinné plochy. Je omezen následujícími plochami:
1. křivou plochou S , na niž se počítá svislá složka tlakové síly
2. hladinovou plochou tlaku ovzduší ( konstp =0 )
3. pláštěm vytvořeným svislými přímkami rovnoběžnými se složkou
yF nad obrysem křivé plochy S .
Objem yV se zpravidla vypočte jako rozdíl objemů dvou základních geometrických těles. Svislá složka
yF prochází těžištěm zatěžovacího objemu yV .
Vodorovná složka tlaku je určena rovnicí
xtxV
xS
xxx ShgVgdVgdShgdFFxx
rrrr ===== òòò
xS je plocha průmětu křivé plochy do svislé roviny. Postup výpočtu je stejný jako u šikmé rovinné
plochy, tj. vodorovná složka xF na křivou plochu S se
rovná tlakové síle na průmět xS křivé plochy do svislé
roviny a prochází těžištěm zatěžovacího objemu xV .
Výslednice tlakové síly na křivou plochu pak je
22yx FFF += a směr výslednice se určí
x
y
FF
tg =a . Výslednice tlakové síly F pak prochází
průsečíkem složek yx FF , . V případech, kdy křivá plocha má několikanásobný průmět ve směru
uvažované složky tlakové síly, je nutno křivou plochu rozdělit na tolik částí, aby každá část měla
jednoduchý průmět. Výsledná složka tlakové síly se určí součtem tlakových sil na všechny části křivé
plochy ( se zřetelem na znaménko ).
Při výpočtu tlakové síly na křivou plochu metodou
náhradních ploch se postupuje takto:
§ křivá plocha se nahradí rovinnou plochou (nebo více
rovinnými plochami) tak, aby křivá plocha a náhradní
plocha uzavíraly objem V . Tíha kapaliny v tomto
S
dS
dVy
Vy
3
2
1
V
S SF
x
F xxx
G
SFN
FNG
F
NS
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 19
objemu je G .
§ vypočte se tlaková síla na náhradní plochu NF (případně se určí vektorovým součtem
vypočtených tlakových sil na všechny náhradní plochy)
§ tíha kapaliny G se vektorově odečte nebo přičte, jestliže náhradní plochou se objem V přidal
nebo odečetl od celkového objemu tekutiny v nádobě.
Příklad 4.3.1
Stanovte tlakovou sílu F na válcový segmentový uzávěr o poloměru R a šířce B . Určete sklon
tlakové síly, tj. úhela . Určete vodorovnou složku xF a svislou složku yF tlakové síly F .
R
H O
F
2
a
Řešení: BRRgShgF xtx ..2
.... rr == BRgVgF yy .4
....2p
rr ==
22yx FFF +=
x
y
FF
arctg=a
Příklad 4.3.2
Stanovte tlakovou sílu F na válcový jez o průměru D a šířce B . Určete složky tlakové síly xF a yF
a úhel a .
D
F a
Příklad 4.3.3
Stanovte velikost tlakové síly F na válcovou plochu u dna nádrže o šířce B . Určete vodorovnou
složku tlakové síly xF přímým výpočtem a svislou složku tlakové síly yF .
Zadáno:R = 0.8 mB = 3 mr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:
xF = ? N 9 417.60
yF = ? N 14 793.12F = ? N 17 536.46a = ? deg 57.5184
Zadáno:D = 1 mB = 10 mr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:
xF = ? N 49 050.00
yF = ? N 38 523.75F = ? N 62 369.719a = ? deg 38.146
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 20
h
R
S
F
Příklad 4.3.4
Určete velikost síly F a její sklon a na válcovou plochu. Nakreslete zatěžovací obrazec pro svislou
složku tlakové síly yF . Vypočtěte vodorovnou složku tlakové síly xF . Prochází vektor síly F
středem S ?
R
S
Fa
Příklad 4.3.5
Stanovte velikost síly F na plochu tvaru polokoule a úhel a , který svírá s vodorovnou rovinou.
Určete vodorovnou složku tlakové síly xF .
F a
R
h
Řešení: 2..... RhgShgF tx prr == 3..34
21.... RgVgF yy prr ==
22yx FFF +=
x
y
FF
arctg=a
Zadáno:h = 1.2 mR = 0.8 mB = 4.0 mr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:
xF = ? N 25 113.60
yF = ? N 17 946.24F = ? N 30 866.82
Zadáno:R = 0.8 mb = 4 mr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:
xF = ? N 12 556.80
yF = ? N 5 389.44F = ? N 13 664.53a = ? deg 23.22919
Síla neprochází středem.
Zadáno:h = 6.5 mR = 4 mr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:
xF = ? N 3 205 175.78
yF = ? N 1 314 943.91F = ? N 3 464 423.37a = ? deg 22.31
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 21
Příklad 4.3.6
Do karburátoru se přivádí benzín potrubím o průměru d přetlakem pp . Stanovte rozměry kulového
plováku z podmínky, že hladina benzínu v karburátoru má být v ose otvoru a že plovák má být
ponořen z poloviny v okamžiku otevření jehly. Hmotnost jehly je jm a plováku pm .
a bR
d
m p m j
pp
Příklad 4.3.7
Určete tlakovou sílu F na polokulové víko nádoby. Určete směr tlakové síly tj. úhel a . Prochází
výslednice F bodem S ? Nakreslete zatěžovací obrazec pro xF a yF .
p0
h
Rr
F
a
Řešení: 2.... RhgFx pr= 3..34.
21.... RgVgF yy prr ==
22yx FFF +=
x
y
FF
arctg=a
Příklad 4.3.8
Jakou silou F je zvedán svršek formy při odlévání duté polokoule? Vypočtěte tlak Ap kovu v bodě
A po odlití.
Zadáno:d = 3 mm
pp = 0.04 MPaa = 45 mmb = 15 mm
jm = 15 g
pm = 25 gr = 800 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:R = ? m 0.02605
Zadáno:R = 0.5 mh = 1.8 mr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:
xF = ? N 13 868.55
yF = ? N 2 568.25F = ? N 14 104.35a = ? deg 10.4915
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 22
H
s
R F
A
kov r písekK
Příklad 4.3.9
Určete tlakovou sílu F na polokulové víko válcové nádrže, která je naplněna kapalinou o hustotě r .
Použijte metody náhradních ploch. Výška hladiny je h , poloměr polokoule je R . Nakreslete
zatěžovací obrazec pro sílu F :
p0
R F
r
h
Příklad 4.3.10
Určete výsledný tlak vody na plochu polokulového víka, které zakrývá kruhový otvor v šikmé stěně
nádoby. Těžiště otvoru je v hloubce h , průměr otvoru je d . Šikmá stěna svírá s vodorovnou rovinou
úhel a . Použijte metody náhrad. ploch.
T
a
F
d
S
h b
Řešení:4.......
2dhgShgF NtNp
rr == 33 .32...
34
21.... rgrgVgG prprr ===
Þ-= GFF N acos..222 GFGFF NN -+=
Zadáno:R = 0.4 ms = 0.023 m
H = 0.8 m
kr = 7800 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:F = ? N 22 280.43
Ap = ? Pa 28 847.29
Zadáno:r = 1000 kg.m-3
h = 3 mR = 1 m
Vypočtěte: Výsledky:
NF = ? N 92 456.99
G = ? N 20 546.00F = ? N 71 910.99
Zadáno:h = 2.5 md = 0.4 ma = 45 o
r = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:
NF = ? N 3 081.90G = ? N 164.37F = ? N 2968.0
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 23
5. Relativní pohyb kapaliny
5.1. Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený
V závislosti na zrychlení se určí sklon hladinových plochgatg =a . Poloha hladinové plochy
atmosférického tlaku ovzduší (nebo daného tlaku) se určí podle následujících podmínek
§ kapalina za pohybu nepřetéká z nádoby, pak je objem tekutiny v nádobě před pohybem a za
pohybu stejný ( konstV = ).
§ kapalina za pohybu přetéká, pak hladina tlaku ovzduší prochází okrajem nádoby, kde kapalina
začala přetékat.
a
a
a
Po vyšetření hladinové plochy tlaku ovzduší za relativního klidu kapaliny se řeší úlohy stejně jako u
nádoby s kapalinou za klidu. Pro tlak v libovolném místě platí hgp r= , kde h je svislá vzdálenost
bodu od hladiny tlaku ovzduší. Tlaková síla kapaliny F na plochu S je určena obecně VgF r= ,
kde V je objem zatěžovacího obrazce. Zatěžovací obrazec je určen podle stejných pravidel jako dříve
( hladinová plocha .0 konstp = je šikmá rovina ).
Příklad 5.1.1
Vozík ve tvaru hranolu se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a . Jeho objem
je rozdělen přepážkou na dvě části, v nichž je voda ve výši 1h , 2h . Šířka vozíku je B . Určete
výslednou tlakovou sílu F na přepážku.
a
h
h
L
2/3L
FF
1
2
1
2
x 1
x 2
Zadáno:L = 3 m
1h = 1 m
2h = 1.75 m
B = 1 ma = 3.924 m.s-1
r = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:
1F = ? N 9 613.80
2F = ? N 11 784.26
F = ? N 2 170.46
1x = ? m 0.40
2x = ? m 0.20
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 24
Řešení:31Ltgx a= , ( ) ( )
BxhxhgF2
.. 11111
++= r
62Ltgx a= , ( ) ( )
Bxh
xhgF2
.. 22222
--= r 12 FFF -=
Příklad 5.1.2
V uzavřeném sudu je kapalina o hustotě r . Sud se na podvozku pohybuje rovnoměrně zrychleným
pohybem se zrychlením a . Určete tlakovou sílu F na levé kruhové dno, je-li délka sudu l a průměr
d . V sudu je v nejvyšším bodě objemu odvzdušňovací otvor, v němž je tlak ovzduší 0pp =
(hladinová plocha atmosférického tlaku musí procházet odvzdušňovacím otvorem, což je rozhraní
mezi kapalinou a ovzduším).
d
l
a
F
ap
0
Příklad 5.1.3
Nádrž ve tvaru hranolu s malým zavzdušňovacím otvorem ve víku u přední hrany se na podvozku
pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a . Nádrž byla za klidu zcela zaplněna
kapalinou o hustotě r . Stanovte za pohybu tlakovou sílu 1F působící na dno nádrže, sílu 2F na víko
a sílu 3F na zadní stěnu nádrže.
5.2. Pohyb rovnoměrně otáčivý
Pro určení tlakové síly na stěny při rovnoměrném otáčivém pohybu nádoby s kapalinou nutno
definovat výšku pH rotačního paraboloidu na poloměru R , pro kterou platí
( )g
Rg
uH p 22
22 w×==
Zadáno:l = 1 m
d = 0.6 mp = 101325 ma = 2.943 m.s-1
r = 800 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:F = ? N 1 330.71
Zadáno:a = 4.905 ms-2
b = 0.5 mc = 1 mh = 0.5 mr = 720 kgm-3
Vypočtěte: Výsledky:
1F = ? N 2 648.70
2F = ? N 882.90
3F = ? N 1 324.35
h
c
a
F
ap
0
F
F
13
2
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 25
Na jiném poloměru r je výška paraboloidu určena analogickou rovnicí( )
gr
guhp 22
22 w×==
Poloha hladinové plochy tlaku ovzduší se vyšetří pro
následující případy:
§ Nepřetéká-li tekutina za pohybu z nádoby, je objem
kapaliny v nádobě před pohybem a za pohybu stejný
( konstV = ).
§ U otevřené válcové nádoby, pokud kapalina nevytéká,
hladina se může volně zvednout, půlí původní hladina
výšku paraboloidu ph , protože objem rotačního
paraboloidu je roven polovině objemu opsaného válce.
Při přetékání se ustálí hladina tak, že prochází místem, kde tekutina začala přetékat, tj. okrajem
nádoby.
Po vyšetření hladinové plochy tlaku ovzduší za relativního klidu kapaliny se řeší úlohy stejně jako u
nádoby s kapalinou v klidu. Tlak v kapalině je ghp r= , kde h je svislá vzdálenost daného bodu od
hladiny tlaku ovzduší. Tlaková síla F od kapaliny na plochu S je VgF r= , kde V je zatěžovací
objem dříve určený (hladinová plocha konstp =0 je rotační paraboloid).
Příklad 5.2.1
Stanovte otáčky nádoby n , při kterých se hladina 0p = konst. dotkne dna nádoby a nakreslete
hladinovou plochu atmosférického tlaku. Vyteče zčásti kapalina z nádoby? Když ano, jaký objem V
vyteče? Jaký relativní tlak Ap bude v místě A na poloměru Ar při rotaci nádoby s kapalinou?
r
hh
d
n
0
A
A
Řešení:ïî
ïí
ì
³
á=
2pro
2pro2
0
00
hhh
hhhH p
ïïî
ïïí
ì
³-
£=
hhhdhd
hhV
.21li-je
4.
21
4.
.21li-je0
0
2
0
2
0
pp
Zadáno:
0h = 0.0667 mh = 0.1 md = 0.1 m
Ar = 0.025 m
r = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:
pH = ? m 0.10n = ? s-1 4.459
Ap = ? Pa 245.40V = ? m3 0.000131
H
Rr
h
w
p
H /2 p p
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 26
( )Þ
×=
÷øö
çèæ ×
=g
ndg
d
H p 82
22 2
2
pw
( ) 222
8
d
g.Hn p
p=
( )grn
ghgp AAA 8
2...2....
2prr ==
Příklad 5.2.2
Válcová nádoba o průměru d a výšce h je zaplněna kapalinou do výšky 0h ode dna nádoby. Určete
maximální otáčky, při kterých kapalina nevyteče z nádoby a jaká bude výška paraboloidu.
hh
d
n
0
Příklad 5.2.3
Nádoba je až po otvor naplněna vodou. Určete výšku rotačního paraboloidu hladinové plochy ph ,
vypočítejte tlakovou sílu 1F na dno a 2F na víko nádoby, tlak 1p a 2p v místech 1 a 2 při rotaci
nádoby otáčkami n . Nakreslete hladinovou plochu atmosférického tlaku při rotaci. Otvor ve víku je
velmi malý. Vypočítejte úhlovou rychlost w .
d
n
h
2
1
Řešení: npw 2=( )
gd.H p 8
2w=
÷øö
çèæ += pHhd.gF
21
4
2
1p
r ( ) gHhp p r+=1
Zadáno:
0h = 6.667 cmh = 10 cmd = 4 cm
Vypočtěte: Výsledky:
pH = ? m 0.06666n = ? s-1 9.10066
Zadáno:h = 0.3 md = 0.2 mn = 2 ot.s-1
r = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:w = ? s-1 12.57
pH = ? m 0.08053
1F = ? N 104.87
2F = ? N 12.41
1p = ? Pa 3 733.00
2p = ? Pa 790.00
Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin 27
24
2
2pHd.gF p
r= gHp p r=2
Příklad 5.2.4
Stanovte otáčky n nádoby, při nichž se hladina atmosférického tlaku dotkne dna. Určete tlak Ap v
bodě A při rotaci nádoby s kapalinou. Nádoba má ve víku malý otvor. Nakreslete hladinovou plochu
atmosférického tlaku při rotaci.
D
n
h
2
1
hA
Řešení: Þ¢= vzduchukapaliny VV ( ) 28.
4.
1
211
2
21
2
hhh
DdhdhhD -=Þ=-
pp
( )pp
ww218
28 21
2
1dgh
ng
dh ==Þ= ,gDgghp AA 8
22wrr ==
Příklad 5.2.5
Nádoba je naplněna po okraj kapalinou. Vypočtěte objem kapaliny V , který přeteče otvorem ve víku
nádoby při její rotaci otáčkami n , při kterých se hladinová plocha 0p =konst dotkne dna. Určete
relativní tlak Ap v bodě A při rotaci nádoby. Kolikrát se zvětší tento tlak ve srovnání s původním
tlakem za klidu.
D
n
h
A
d
Zadáno:
1h = 1.1 m
2h = 0.9 mD = 1.4 mr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:n = ? s-1 1.75160
Ap = ? Pa 29 675.29
Zadáno:d = 0.15 mD = 0.3 mh = 0.25 mr = 1000 kg.m-3
Vypočtěte: Výsledky:n = ? s-1 4.69979
V = ? m3 0.00221
Ap = ? Pa 9 809.99j = ? 4.00