využití „neškolských strategií“ pro řešení úloh v matematice ......a trojúhelníku...

1

Jarmila Novotná

Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta

Využití „neškolských strategií“ pro řešení úloh v matematice

na 2. a 3. stupni

2

Sledované řešitelské strategie

Pokus – ověření – korekce Jde o strategii, při které nejprve na základě našich

zkušeností odhadneme řešení předložené úlohy. Následně ověříme, zdali toto řešení vyhovuje zadání. Další případný odhad již uděláme na základě toho, jak vyšel předchozí výsledek. Takto postupujeme dále až do nalezení řešení.

3


Pokus – ověření – korekce: příklad Určete dvě po sobě následující lichá přirozená čísla tak, aby jejich součin byl 323. V tabulce volíme postupně obě lichá čísla a zkoumáme jejich součin.

Podle posledního sloupce se pak rozhodujeme, zda čísla zvětšíme nebo zmenšíme, dokud nezískáme řešení.

Hledanými čísly jsou čísla 17 a 19.

První liché číslo

Druhé liché číslo

Součin čísel Je to číslo 323?

1 3 3 Není. To je (hodně) málo.

11 13 143 Není. To je málo.

21 23 483 Není. To je moc.

19 21 399 Není. To je moc.

17 19 323 Ano. To je ono.

Upraveno z učebnice Matematika 8, Cihlář J., Zelenka M., Praha 1998, str. 89/12

4


Systematické experimentování Systematické experimentování je strategie, při

které se pokoušíme nalézt řešení úlohy pomocí jednotlivých experimentů. Nejprve vhodně aplikujeme algoritmus, pomocí kterého se snažíme vyřešit úlohu. Pak systematicky měníme vstupní hodnoty algoritmu tak dlouho, až nalezneme správné řešení.

5


Systematické experimentování: příklad Část lístků do divadla stála 220 Kč a část byla po 160 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 19 300 Kč? Využijeme tabulkový procesor (tabulka krácena)

V divadle prodali 63 lístků po 220 Kč a 34 lístků po 160 Kč.

Počet lístků za cenu 220 Kč Cena v Kč

Počet lístků za cenu 160 Kč Cena v Kč Celkem v Kč

97 21 340 0 0 21 340

96 21 120 1 160 21 280

95 20 900 2 320 21 220

… … … … …

75 16 500 22 3 520 20 020

74 16 280 23 3 680 19 960

… … … … …

65 14 300 32 5 120 19 420

64 14 080 33 5 280 19 360

63 13 860 34 5 440 19 300

62 13 640 35 5 600 19 240

… … … … …

18 3 960 79 12 640 16 600

17 3 740 80 12 800 16 540

16 3 520 81 12 960 16 480

… … … … …

6


Strategie analogie Analogie je určitý druh podobnosti. Máme-li řešit

zadanou úlohu, najdeme si analogickou úlohu, tj. úlohu, která bude pojednávat podobným způsobem o analogickém objektu. Pokud se nám podaří tuto novou úlohu vyřešit, nebo pokud její řešení známe, můžeme často metodu jejího řešení nebo výsledek použít i při řešení původní úlohy.

7


Strategie analogie: příkladNa ujetí 420 km spotřebovalo auto 29 l benzínu. Jaká je jeho průměrná spotřeba benzínu na 100 km?

8


Přeformulování úlohy Při použití této strategie přeformulujeme zadanou

úlohu na novou, někdy zcela jinou, úlohu, která je pro nás snadnější k řešení a jejíž řešení je buď přímo řešením původní úlohy, nebo nám její řešení podstatně přibližuje. Speciálním a velmi důležitým případem této strategie je překlad úlohy z jednoho matematického jazyka do jazyka jiného. Klasické úlohy geometrie, jako byla např. trisekce úhlu, se podařilo vyřešit ve chvíli, kdy byly přeloženy do jazyka algebry.

9


Přeformulování úlohy: příklad

10


Řešitelský obrázek Při použití grafické cesty si obvykle úlohu

znázorníme pomocí tzv. řešitelského obrázku. V něm vyznačíme to, co je dáno, a často i to, co chceme získat.

Někdy nás již pomocí tohoto znázornění napadne řešení dané úlohy (příklad A).

Ve většině případů však s obrázkem různě manipulujeme (např. dokreslujeme vhodné pomocné prvky) a pomocí takto doplněného obrázku úlohu vyřešíme (příklad B).

11


Řešitelský obrázek: příklad A Na začátku měla Marie o 10 Kč více než Pavla. Obě získaly další peníze. Pavle se podařilo do dnešního dne svou částku zdvojnásobit, Marii přibylo 20 Kč. Nyní mají obě stejně. Kolik Kč měla každá z nich na začátku?

12


Řešitelský obrázek: příklad A Na začátku měla Marie o 10 Kč více než Pavla. Obě získaly další peníze. Pavle se podařilo do dnešního dne svou částku zdvojnásobit, Marii přibylo 20 Kč. Nyní mají obě stejně. Kolik Kč měla každá z nich na začátku?

Na začátku měla Pavla 30 Kč a Marie 40 Kč.

13


Řešitelský obrázek: příklad B Mějme čtverec vepsaný do kruhu, přičemž tento kruh je vepsán do čtverce. Určete, jaký obsah většího čtverce zaujímá menší čtverec:

Pomocí vhodného otočení menšího čtverce (viz obr.) a doplnění jeho úhlopříček úlohu již snadno vyřešíme.

Menší čtverec zaujímá polovinu obsahu většího čtverce.

Poznámka: Při řešení této úlohy jsme využili i strategii pomocného prvku (úhlopříčky menšího čtverce).

14


Využití grafů funkcí

Pokud jsou v zadání úlohy funkce nebo pokud se při jejím řešení ukáže, že je vhodné nějaké funkce zavést, pak je obvykle vhodné si sestrojit grafy těchto funkcí. Takovéto grafy často velmi podstatným způsobem přispějí k nalezení řešení dané úlohy.

15


Využití grafů funkcí: příklad

16


Vypuštění podmínky Pokud nejsme schopni při řešení nějaké úlohy splnit

najednou všechny požadované podmínky dané úlohy, můžeme se pokusit některou z nich (či postupně i více z nich) vypustit. Pokud se nám povede takto oslabenou úlohu vyřešit, k vypuštěné podmínce se vrátíme a úlohu se pokusíme dořešit. Typickými úlohami tohoto typu jsou úlohy řešitelné pomocí stejnolehlosti.

17


Vypuštění podmínky: příklad Sestrojte obdélník ABCD, jehož strany jsou v poměru 3 : 2 a jehož úhlopříčka má délku 7 cm. Vypustíme-li podmínku „úhlopříčka má

délku 7 cm“, dostáváme velmi jednoduchou úlohu. Sestrojíme obdélník AKLM, jehož strany budou mít délku např. 3 cm a 2 cm.

Hledaný obdélník je pak se sestrojeným obdélníkem stejnolehlý podle středu A. Vrchol C tedy leží na polopřímce AL ve vzdálenosti 7 cm od vrcholu A.

Další část konstrukce je zřejmá.

18


Cesta zpět Předpokládáme, že to, co máme dokázat, resp. vypočítat,

zkonstruovat, platí, resp. existuje. Pak se snažíme z toho předpokladu odvodit něco, co už víme nebo co se dá snadno dokázat, resp. vypočítat či zkonstruovat. Od koncové situace se tak snažíme přiblížit se co nejvíc k situaci počáteční. Postup pak v konečném důkazu, výpočtu či konstrukci obrátíme.

Jedná se o strategii poměrně často v matematice používanou (viz např. rozbor konstrukční úlohy v geometrii nebo rozbor při konstrukci důkazu věty, která má stavbu implikace). Nemusíme však pomocí ní nalézt celou cestu, jak danou úlohu vyřešit.

19


Cesta zpět: příklad

20


Zobecnění a konkretizace Těmto dvěma strategiím by se ve školské matematice měla

věnovat mimořádná pozornost, protože obě stojí v samotném centru toho, čemu se říká matematické myšlení. Velmi úzce spolu souvisejí, skoro by se dalo říci, že jsou to dvě strany téže mince.

Máme zadanou úlohu. Někdy se ukáže, že pomocí její konkretizace dostaneme

úlohu, kterou umíme vyřešit a že pomocí tohoto řešení dokážeme vyřešit i původní úlohu. Návrat k původní úloze pak představuje zobecnění (příklad A).

Někdy naopak zadanou úlohu zobecníme a dostaneme tak úlohu, kterou jsme schopni vyřešit. Pomocí konkretizace se pak následně vrátíme k úloze původní (příklad B).

21


Zobecnění a konkretizace: příklad A

22


23


Zobecnění a konkretizace: příklad B

Konkretizací pro n = 124 dostáváme řešení naší úlohy.

24


Zavedení pomocného prvku Při řešení matematických úloh se někdy ukazuje vhodné do

tohoto řešení vložit pomocný prvek. Můžeme při tom být vedeni např. přesvědčením, že tím převedeme danou úlohu na úlohu, kterou jsme již dříve řešili, nebo že vznikne jednodušší úloha, kterou již budeme schopni vyřešit.

Takovým pomocným prvkem při řešení geometrických úloh může být např. bod nebo přímka, někdy to však může být i složitější geometrický útvar.

V algebře při řešení rovnic to obvykle bývá nová proměnná, kterou zavedeme. Často pak mluvíme o řešení rovnice pomocí substituce.

25


Zavedení pomocného prvku: příklad

Převzato z Novoveský, Š., Križalkovič, K., Lečko, I. (1968). 777 matematických zábaviek a hračiek z učiva 6.-9. ročníka zákl. devätročnej školy. Bratislava: SPN.

Ta

Ta

26


Zavedení pomocného prvku: příklad

Ta

27


Rozklad na jednodušší případy Při této metodě rozložíme zadanou úlohu na několik

jednodušších úloh, které vyřešíme. Řešení zadané úlohy dostaneme spojením řešení všech jednodušších úloh.

Tato strategie se ve školské matematice typicky používá při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutními hodnotami.

28


Rozklad na jednodušší případy: příkladNa obrázku je vyznačen rovnoběžník. Vrcholem Aveďte dvě přímky tak, abyste tento rovnoběžník rozdělili na tři části stejného obsahu.

Rozdělme uvažovaný rovnoběžník úhlopříčkou vycházející z vrcholu Ana dva shodné trojúhelníky.

Uvažujme např. trojúhelník ABC a pokusme se rozložit jej na tři shodné části.

29



Zadání jednodušší úlohy:Vrcholem A trojúhelníku ABC veďte dvě přímky tak, abyste tento trojúhelník rozdělili na tři části stejného obsahu.

30



Řešení jednodušší úlohy: Rozdělit stranu BC dvěma body na tři shodné části.

Návrat k původní úloze:

31


Užití falešného předpokladu Strategie řazená mezi experimentování Řešitel na začátku určí odhad výsledku, u kterého si je však

vědom toho, že je pravděpodobně nesprávný (falešný). Provede ověření, v rámci kterého zjistí nejen, jestli jeho hodnota vyhovuje zadání úlohy (tak jak to probíhá i u strategií Pokus – Ověření – Korekce a Systematické experimentování), ale i to, jak moc se od hodnoty požadované liší. Přesněji řečeno, kolikrát je požadovaná hodnota jiná než hodnota námi získaná. Na základě tohoto zjištění provede úpravu předpokládaného výsledku. Podstatný je však charakter této korekce. Řešitel totiž neučiní, tak jako u strategie Pokus –Ověření – Korekce, další odhad, ale sofistikovaně již provede výpočet vedoucí k výsledku.

32


Užití falešného předpokladu Na rozdíl od jiných druhů experimentování tato strategie není

univerzální, ale je specifická pro určité typy úloh. Mezi tyto úlohy patří ty, u kterých se v zadání objevuje určitá hodnota, která má poměrový vztah k námi hledané hodnotě. Z matematického pohledu v pozadí těchto úloh stojí linearita vztahů.

Na mysli tedy máme úlohy, kde výstupní hodnoty jsou lineárně závislé na vstupních hodnotách. Určením koeficientu podobnosti získáme údaj, jak změnit námi předpokládanou hodnotu výsledku (falešný předpoklad).

33


Užití falešného předpokladu: příklad

Obsah vybarveného útvaru

ZadáníTrojúhelník ABC na obrázku má jednotkový obsah. Body P, Q, R, S dělí strany AC a BC na tři stejně velké části. Jaká je plocha vybarveného čtyřúhelníku?

Grafická cesta – řešitelský obrázek I

Přesuňme lichoběžník PRSQ do pásu nad ním, jak je ukázáno na obrázku.

Rovnoběžník RSTB přesuneme pod trojúhelník UCV a vzniknou tři shodné lichoběžníky, jak je patrno z obrázku.



Grafická cesta – řešitelský obrázek II

Zavedení pomocného prvku – řešitelský obrázek IIIDoplňme trojúhelník ABC na rovnoběžník

ABCD (viz obrázek). Sestrojme body E a Fjako průsečíky polopřímek PR a QSs úsečkou BD.

Úsečky PE a QF rozdělují rovnoběžník ABCD na tři shodné části. Úsečka BC rozděluje každou z těchto částí na dva čtyřúhelníky, přičemž trojúhelník QSC je shodný s trojúhelníkem ERB. Lichoběžník ABRP tvoří s trojúhelníkem ERB celý pás, tedy obsah celého pásu odpovídá obsahu sjednocení tohoto lichoběžníku a trojúhelníku QSC. Lichoběžník PRSQ tvoří polovinu pásu PEFQ, tudíž obsah je poloviční obsahu celého pásu. Tedy obsah ARBP sjednoceného s QSC je dvojnásobný obsahu PRSQ, tudíž obsah zkoumaného čtyřúhelníku tvoří třetinu obsahu trojúhelníku ABC.


Zavedení pomocného prvku – řešitelský obrázek IIIVložme do trojúhelníku úsečky QF a PE, jak je zobrazeno na obrázku.

Tyto úsečky rozdělily trojúhelník ABC na dvě trojice shodných útvarů, přičemž lichoběžník PRSQ je tvořen po jednom prvku z každé trojice.



Místo obecného trojúhelníku ABC zvolme pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu C.

Zde platí:

Tento výpočet platí ale i pro libovolný trojúhelník. Uvažované tři trojúhelníky jsou totiž vždy podobné (koeficienty podobnosti jsou stejné jako u speciálního případu). Proto i výšky těchto trojúhelníků jsou ve stejném poměru.

využití „neškolských strategií“ pro řešení úloh v matematice ......a trojúhelníku...

Documents