vyuzitie informacnych a komunikacnych technologii v predmete matematika pre zakladne skoly

Ústav informácií a prognóz školstva

VYUŽITIE INFORMAČNÝCH A KOMUNIKAČNÝCH TECHNOLÓGIÍ V PREDMETE

MATEMATIKA PRE ZÁKLADNÉ ŠKOLY

Učebný materiál – modul 3

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť

Projekty sú spolufinancované zo zdrojov Európskej únie

Tento učebný materiál vznikol v rámci národných projektov „Modernizácia vzdelávacieho procesu na základných školách“ (ITMS: 26110130083, 26140130013) v súlade s Operačným programom Vzdelávanie Ministerstva školstva Slovenskej republiky. Projekty inovujú a modernizujú obsah, me-tódy a výstupy vyučovacieho procesu pre nové kompetencie práce v Modernej škole 21. storočia. Ďalším cieľom projektov je zvyšovať podiel učiteľov participujúcich na projektoch ďalšieho vzdelá-vania s cieľom získania a rozvoja ich kompetencií potrebných pre vedomostnú spoločnosť. Projekty sú realizované v časovom rozpätí rokov 2009 až 2013 a sú spolufinancované zo zdrojov Európskej únie. Realizátorom projektov (prijímateľ NFP) je Ústav informácií a prognóz školstva, Staré Grunty 52, 842 44 Bratislava

Viac informácií o projektoch nájdete na http://www.uips.sk/

resp. na http://www.modernizaciavzdelavania.sk/

Názov: VYUŽITIE INFORMAČNÝCH A KOMUNIKAČNÝCH TECHNOLÓGIÍ V PREDMETE MATEMATIKA PRE ZÁKLADNÉ ŠKOLY

Podnázov: Učebný materiál – modul 3Autori: RNDr. Ingrid Semanišinová, PhD., RNDr. Monika Dillingerová, PhD., RNDr. Radovan Engel, PhD., RNDr. Jozef Hanč, PhD., RNDr. Martina Hančová, PhD., RNDr. Jana Hnatová, PhD., RNDr. Marián Kireš, PhD., Mgr. Marián Karpáč, RNDr. Jana Krajčiová, RNDr. Stanislav Lukáč, PhD., Ing. Miroslav Michalko, PhD., RNDr. Ingrid Milotová, RNDr. Monika Molokáčová, doc. RNDr. Edita Partová, CSc., Mgr. Alena Píšová, RNDr. Jozef Sekerák, PhD., doc. RNDr. Dušan Šveda, CSc., RNDr. Kitti Vidermanová, PhD., RNDr. Viera Vodičková, PaedDr. Katarína Žilková, PhD.

Recenzenti: prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc., doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD.

Zodpovedný redaktor: doc. Ing. Viliam Fedák, CSc.

Vydavateľstvo: pre Ústav informácií a prognóz školstva vydala elfa, s.r.o., Košice, v roku 2010Tlač: elfa, s.r.o., Košice, 613. publikáciaVydanie: prvé

ISBN 978-80-8086-158-2

Obsah

1 IKT KOMPETENCIE A METODIKA ICH ROZVÍJANIA .............................9

1.1 KľÚčOVé A PREDMETOVé KOMPETENCIE ...........................................10

1.1.1 Veda a vedecká gramotnosť ...............................................................10

1.1.2 Rozvoj digitálnej gramotnosti v predmete matematika ................15

1.2 MODERNé TRENDy VO VyUčOVANí MATEMATIKy .............................18

1.2.1 Konštruktivistické prístupy k učeniu .................................................18

1.2.2 Riadené skúmanie .................................................................................19

1.2.3 Riadené skúmanie pomocou workshopovej metódy ....................21

1.2.4 Metóda Peer Instruction ...................................................................... 23

1.2.5 Projektová metóda ............................................................................... 29

1.2.6 Prepojenie matematiky s inými predmetmi a s každodenným životom ................................................................. 30

2 DOMINANTNÉ IKT KOMPETENCIE V PREDMETE MATEMATIKA .......35

2.1 NAUčME ŽIAKOV VyHľADáVAť A TRIEDIť INFORMáCIE ................. 36

2.1.1 Matematické vzdelávacie zdroje na internete ................................. 36

2.1.2 Softvérové systémy pre podporu vyučovania matematiky .......... 40

2.1.3 Učebný systém Planéta vedomostí ................................................... 42

2.2 NAUčME ŽIAKOV SKÚMAť A ANALyzOVAť VzťAHy MEDzI OBJEKTMI ............................................................................................. 45

2.2.1 Využitie schém, tabuliek a grafov pri skúmaní matematických vzťahov ....................................................................... 45

2.2.2 Skúmanie vlastností útvarov a geometrických vzťahov pomocou dynamických konštrukcií .................................. 48

2.2.3 Interaktívne vzdelávacie aktivity s odstupňovaným systémom pomocných informácií ..................................................... 49

2.3 NAUčME ŽIAKOV ANALyzOVAť A zOSTAVOVAť ALGORITMy NA AUTOMATIzáCIU PROCESOV .................................... 53

2.3.1 Nácvik matematických algoritmov .................................................... 54

2.3.2 Využitie IKT pri realizácii matematických algoritmov .................... 57

2.4 NAUčME ŽIAKOV VyUŽíVAť A TVORIť MODELy ................................. 60

2.4.1 Využívanie rôznych typov modelov pri riešení úloh ....................... 63

2.4.2 Stochastické modely ............................................................................ 68

3 DOsAHOVANIE VYUČOVACÍCH CIEľOV VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY s PODPOROU IKT ..........................................................71

3.1 INTEGRáCIA IKT DO VyUčOVANIA MATEMATIKy ............................... 72

3.2 DyNAMICKá GEOMETRIA ............................................................................ 75

3.2.1 Dynamická geometria v rovine .......................................................... 75

3.2.2 Riešenie úloh zo stereometrie pomocou Cabri 3D ........................81

3.3 zBIERKA ÚLOH AKO DATABázA ................................................................. 83

3.4 TVORBA TESTOV POMOCOU APLIKáCIE GENExIS ............................ 85

4 UKÁŽKY METODÍK ................................................................................93

4.1 číSLA .................................................................................................................... 95

4.1.1 zlomkohra .............................................................................................. 96

4.1.2 Sčítavanie a odčítavanie celých čísel ............................................106

4.1.3 Úvod do počtu percent ......................................................................114

4.1.4 Slovné úlohy o percentách................................................................ 123

4.1.5 Matematické modelovanie pohybu a priama úmernosť ............ 130

4.2 PLANIMETRIA ................................................................................................... 144

4.2.1 Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami ......................................... 145

4.2.2 zhodné zobrazenia ............................................................................. 164

4.2.3 Pytagorova veta ................................................................................... 184

4.2.4 Podobnosť geometrických útvarov ................................................ 194

4.3 STEREOMETRIA .............................................................................................. 212

4.3.1 Kockové telesá ..................................................................................... 213

4.3.2 Hranol, objem hranola, povrch hranola ..........................................234

4.4 PRAVDEPODOBNOSť ................................................................................... 249

4.4.1 Na koľký pokus padne číslo 6? .......................................................250

4.4.2 Problém Montyho Halla ....................................................................260

4.5 ŠTATISTIKA ........................................................................................................ 270

4.5.1 Početnosť a relatívna početnosť ...................................................... 271

4.5.2 Modus, medián a aritmetický priemer ............................................284

4.5.3 Skúmanie údajov a vzťahov medzi nimi .........................................293

5Využitie informačných a komunikačných technológií v predmete


PredslOv

Vážení kolegovia, učitelia matematiky na základných školách!

Do rúk dostávate metodickú publikáciu – druhú časť o využití IKT vo vašom predmete, ktorá je zavŕšením práce a súčinnosti riešiteľov národných projektov: Modernizácia vzdelávacieho procesu na základných školách.

Tento učebný text spolu s prvou časťou vás bude sprevádzať v poslednej fáze vášho vzdelávania, v treťom module s názvom: Využitie informačných a komunikačných technológií v predmete matematika pre základné školy.

Možno sa v mysli pýtate, prečo ešte táto publikácia, okrem prvej časti? Odpoveď na túto otázku súvisí s dvomi kľúčovými myšlienkami, ktoré táto kniha zhmotňuje a v rôznych podobách predstavuje.

PRVÁ KľúČOVÁ MYŠLIENKA

Rozsiahly didaktický výskum za posledných 20 rokov jasne a konzistentne dokazuje, že zavedenie a zvládnutie práce s modernými digitálnymi technológiami tak, ako sme ich predstavili v doterajších učebných materiáloch pre vzdelávací modul 1 a 2, nie je ešte zárukou úspešnejšieho vyučovacieho procesu a žiaduceho rozvoja osobnosti žiaka pre jeho ďalší život.

Inými slovami povedané, efektivita interaktívnej tabule, e-hlasovania, počítačových simulácii, počítačom podporovaných nástrojov pre skúmanie a experimentovanie, ale i ďalších technológií, veľmi silne závisí od použitých didaktických metód, foriem a pedagogického pôsobenia učiteľa a od charakteru a špecifík daného predmetu.

Preto prvou kľúčovou myšlienkou, ktorú by si mal učiteľ pri štúdiu tejto knihy odniesť, je, že zavedenie a použitie novej technológie vo vzdelávaní nemôže byť finálnym cieľom, ale len medzičlánkom v procese premeny školy, triedy a predmetu. Rovnako dôležité je zvládnuť aj zodpovedajúce účinné pedagogické postupy a metodiky práce s týmito technológiami. Prax vo vzdelávaní učiteľov ukazuje, že tieto postupy zvládne učiteľ najskôr vtedy, ak mu ich ukážeme na čo najväčšom počte konkrétnych apli-kácií v jeho predmete.

DRUHÁ KľúČOVÁ MYŠLIENKA

Pred viac než dvesto rokmi (1801) bol vo výučbe zavedený vtedy revolučný didaktický nástroj: klasická tabuľa, ktorú dnes chápeme ako „symbol“ tradičnej školy a vzdeláva-nia. Táto veľmi jednoduchá a najrozšírenejšia informačno-komunikačná technológia vo výučbe aj v 21. storočí silne a možno skryte ovplyvňuje postoj a spôsoby práce našich učiteľov s novými IKT. Pritom by malo byť zrejmé, že s novými IKT by sme mali robiť veci novými, im zodpovedajúcimi spôsobmi. Ideálne je robiť týmito novými spôsobmi nové veci, na ktoré pri starých technológiách nebolo možné ani pomyslieť.

Veľmi často sa totiž stáva, že pomocou nových technológií prezentujú učitelia doteraz preberaný − „starý“ obsah zabehnutými − „starými“ spôsobmi. Pôvodný spôsob vý-učby je pre nich technicky aj časovo nenáročný, veď písať kriedou, či fixkou na tabuľu

6 Využitie informačných a komunikačných technológií v predmete


je omnoho jednoduchšie ako zapnúť počítač, interaktívnu tabuľu a pracovať s digi-tálnym perom. „Bolesť a nepohodlie“ je tak silným vnútorným argumentom učiteľa, prečo sa vrátiť späť k pôvodnému spôsobu výučby. Na mnohých školách tak nové interaktívne tabule zapadajú prachom. Notebooky, tablety, či hlasovacie zariadenia sú pekne odložené v skriniach.

Naproti tomu žiaci žijú dnes mimo školy v „inom“ svete. Vyzbrojení počítačmi, mo-bilmi, či sociálnymi sieťami majú po ruke jednoduchý a okamžitý prístup k obrovským množstvám informácií. Sú vo svete, v ktorom chcú komunikovať rýchlo a okamžite. Informácie vyžadujú hneď, pričom získavanie informácií z kníh je pre nich už ne-atraktívne. Majú potrebu robiť viaceré činnosti naraz, pričom obľubujú spoluprácu, zdieľanie svojich zážitkov a skúseností. Nové technológie sú tak pre nich vo výučbe ďaleko atraktívnejšie, pretože tradičná škola pre väčšinu žiakov znamená silne potlá-čanie toho, v čom sa cítia ako ryby vo vode.

Druhou kľúčovou myšlienkou, ktorá by mala zakotviť v mysli učiteľa, je tak myšlienka, že nové informačno-komunikačné technológie nielenže vyžadujú nové spôsoby práce a metodiky, ale dovoľujú a sú efektívne pri „robení nových vecí“. Ako príklad spomenieme, že žiak s grafickou gramotnosťou môže zmysluplne skúmať nerovno-merné pohyby a to pomocou appletov, či detektoru pohybu. Bez týchto technológií by sme boli odkázaní na vyššiu matematiku a vysokú školu. Didaktické výskumy ukazujú, že 11-12 roční žiaci dokážu opäť vďaka digitálnym technológiám úspešne modelovať javy okolo seba a vnímať ich interdisciplinárne z pohľadu matematiky a prírodných vied. Žiaci tak môžu skúmať napr. skok z lietadla s otvorením padáku aj so započítaním odporu vzduchu, študovať vzájomnú závislosť populácie zajacov a rysov, sledovať a modelovať periodický pohyb hlasiviek zaznamenaných na videu, nájsť súvislosť medzi dĺžkou stehennej kosti a výškou postavy človeka, vykonávať počítačové experimenty pri objavovaní pojmov akými sú pravdepodobnosť alebo korelácia. Pred dvadsiatimi rokmi by bolo niečo také na pôde zŠ alebo SŠ len ťažko uskutočniteľné.

s ČÍM sA sTRETNETE

Pripravili sme pre vás učebný materiál, ktorý „pretavuje“ všeobecne predstavené myšlienky modernej školy a poznatkov o technológiách do čo najväčšieho počtu konkrétnych aplikácií - ukážok, hodín, súborov hodín určených pre predmet matema-tika na zŠ. Pritom text kladie rovnakú dôležitosť aj pedagogickej stránke veci. Mnohé časti textu sú spoločné pre zŠ aj SŠ, pretože prepojenie myšlienok a ukážok medzi zŠ a SŠ je nevyhnutné z dôvodu ich nadväznosti.

Publikácia obsahuje spolu štyri kapitoly. Prvá kapitola sumarizuje poznatky o rozvoji kľúčových kompetencií žiakov z pohľadu IKT. Prezentuje tiež niekoľko nových úspeš-ných pedagogických metód a foriem vzdelávania, ktoré v doterajších učebniciach neboli popísané. Ich vznik si vynútili nové informačno-komunikačné technológie, ale aj poznatky didaktického výskumu. Tieto zase spätne ovplyvňujú smery vývoja tech-nológií. Matematika na zŠ alebo SŠ má vďaka svojmu obsahu lepšie predpoklady na rozvoj určitých kľúčových zručností žiaka ako ďalšie predmety. Tomu sa podrob-nejšie aj z pedagogického hľadiska venuje druhá kapitola. Ďalšie možnosti využívania IKT pri dosahovaní cieľov vyučovania matematiky obsahuje tretia kapitola. Posledná časť publikácie prezentuje spolu 16 metodík, ktoré predstavujú spomínané konkrétne ukážky použitia IKT v predmete matematika. Tieto metodiky okrem úvodnej prehľa-



dovej tabuľky nemajú pevne danú štruktúru, sú napísané rôznymi štýlmi, aby oslovili, čo najširšie spektrum učiteľov.

Najdôležitejším zdrojom ďalších a hlavne priebežne aktualizovaných informácií k pub-likácii, na ktorý sa najčastejšie budeme odkazovať, je vzdelávací portálhttp://www.modernizaciavzdelavania.sk/. Okrem toho, že sú na ňom zavesené kapitoly, resp. podkapitoly tejto knihy, obsahuje množstvo doplnkových a rozširujúcich materiálov v digitálnej podobe (tzv. e-obsah). Konkrétne ide napr. o zbierky úloh a pracovné listy k metodikám v digitálnej podobe, ktoré si učiteľ môže stiahnuť a prispôsobiť, aby tak zohľadnil špecifické podmienky a potreby svojich žiakov. Ďalej je tam e-obsah ako sú videá, zvukové nahrávky, obrázky, animácie, či počítačové simulácie, ktoré konkrétne ukážky vzdelávania využívajú. Na portáli možno nájsť v mnohých prípadoch aj roz-šírené verzie metodík, ale aj ďalšie metodiky, ktoré konkrétnym spôsobom ilustrujú ako používať IKT vo vašom predmete.

Na záver si možno mnohí z vás povzdychnú, že v triedach slovenských škôl zatiaľ mô-žeme o nových výučbových pomôckach a podmienkach, aké popisujú niektoré apli-kačné príklady v tomto materiáli, skôr snívať, ako o nich reálne uvažovať. Nesmieme však zabúdať, že s enormne narastajúcim objemom poznatkov ľudstva, výrazne klesá aj cena výrobných technológií a tým narastá prienik a rozšírenosť ich produk-tov. Napr. v roku 2008 tranzistor, najdôležitejšia kľúčová súčiastka integrovaných obvodov mini-notebookov, mobilov, či GPS mal pri výrobnej technológii z roku 1995 okrem väčších rozmerov rádovo aj stokrát väčšiu cenu a pri technológii z roku 1970 stál dokonca milión krát viac. Preto tento materiál treba vnímať ako pomocnú ruku pre učiteľa, aby sa mohol v predstihu stať informovaným o potenciáli nových tech-nológií a nových spôsoboch práce. Pretože IKT, o ktorých je tu reč, budú z hľadiska dĺžky ľudského života ľahko prístupné aj na Slovensku v krátkom časovom horizonte.

Autori publikácie



1 IKT KOMPeTeNCIe a MeTOdIKa ICh rOZvÍJaNIa

V úvode učebného materiálu pre tretí modul sme hovorili o podstate premeny školy z tradičnej na modernú v dnešnej informačnej spoločnosti. Spomenuli sme a zdô-vodnili, prečo pre budúci úspešný život mladých ľudí je nutné trénovať a plne rozvinúť dôležité zručnosti (kompetencie), akými sú:

• tvorivosť a zmysel pre inovácie,

• vedecké myslenie a práca s informá-ciami,

• digitálne občianstvo a odhodlanie celoživotne sa vzdelávať,

• komunikácia a spolupráca,

• kritické myslenie, riešenie problémov a rozhodovanie sa,

• a digitálna gramotnosť.

V tejto úvodnej kapitole myšlienky o kompetenciách uzavrieme a to z pohľadu vedy a vedeckej gramotnosti, pretože poznatky založené na vedeckej metóde poznania prenikajú dnes do každej sféry ľudskej činnosti a predmety ako matematika, či fyzika vedecké myslenie najviac rozvíjajú. Pritom uvedieme ešte niekoľko ďalších argumen-tov, z ktorých by malo byť zrejmé, že rozvoj uvedených kľúčových kompetencií je jediný rozvážny a realistický cieľ vzdelávania v modernej škole. Navyše upozorníme na dôležitú skutočnosť, že tieto kompetencie spolu úzko súvisia, preto ich nemožno rozvíjať izolovane.

Na základe našich úvah dospejeme ďalej k názornej grafickej pomôcke – koláčo-vému diagramu, ktorý prehľadne vizualizuje zložky rozvoja a tréningu digitálnej gra-motnosti. Táto pomôcka bude pre nás pevným základom pre ďalší text a konkrétne aplikácie IKT v predmete matematika. z pohľadu školskej matematiky sa nám pritom vynoria štyri kľúčové IKT kompetencie v rámci digitálnej gramotnosti, k rozvoju a tré-ningu ktorých môže výučba matematiky vďaka svojmu obsahu a povahe dominantne prispieť.

Použitie moderných IKT vo výučbe si vyžiadalo zavedenie nových efektívnych, inte-raktívnych didaktických metód a foriem práce, ktorých predstavenie bude náplňou poslednej časti tejto kapitoly.



1.1 Kľúčové a predmetové kompetencie 1.1.1 veda a vedecká gramotnosť

Explózia vEdEckých a tEchnických poznatkov

V jednom zo svojich posledných čísel časopis Geo uverejnil veľmi zaujímavú repor-táž, ktorá na konkrétnych príkladoch mapuje jeden deň v živote svetovej vedy, 1. feb-ruár 2010. V tomto článku sa môžeme napríklad dočítať aj to, že počas jedného dňa sa na celom svete zverejní okolo 22 000 vedeckých a odborných článkov, pričom ročne ich vyjde viac ako 800 000.

Obr. 1.1.1 Pohľad do tunela LHC

V masmédiách sme sa mohli dopočuť, že 100 metrov pod zemou v 27 km dlhom tuneli v Ženeve vedci, inžinieri a technici konečne úspešne „naštartovali“ veľký hadró-nový zrážač (Large Hadron Collider - LHC) za približne 6 miliárd Eur, čím sa rozbehol najväčší vedecký experiment všetkých čias.

čo sa týka množstva poznatkov súvisiacich s vedou, podľa relevantných odhadov ľudstvo objavilo a zdokumentovalo napr. medzi rokmi 1987 až 1992 toľko prírodoved-ných a technických poznatkov, ako sa mu to podarilo za celú svoju existenciu do roku 1987. Pritom v súčasnosti sa množstvo získaných poznatkov zdvojnásobí za približne 900 dní a interval zdvojnásobovania sa neustále skracuje.

Pri týchto číslach vzniká pochopiteľne otázka, čo ženie ľudí, aby objavovali nové ve-decké a technické poznatky, aby vykonávali zložité experimenty a neustále poznávali a študovali svet okolo nás? Jednou z odpovedí, ktorá sa ponúka, je, že zrejme túžba



po poznaní je prirodzená ľudskej povahe. záhady vesmíru, tajomstvá mikrosveta, ale aj podstata existencie seba samého, lákali človeka od nepamäti.

Počas posledných 400 rokov prírodných vied sa však ukázal ďalší omnoho silnejší dôvod pre vedu. Veda totiž nie je len spôsob poznávania sveta okolo nás, ale aj pro-striedok riešenia problémov rôzneho charakteru. Vedecké a s nimi súvisiace tech-nické poznatky dnes zasahujú takmer do každej sféry každodenného života ľudskej činnosti.

Na prvý letmý pohľad by sa zdalo, žeby stačilo žiaka naučiť tieto vedecké poznatky, lenže pri spomenutom zozname čísel, to nie je fyzicky možné. Samozrejme, že prax si nežiada, aby sa z každého žiaka stal vedec. Ak má však škola žiaka pripraviť do reálneho života, tak jediným realistickým cieľom výučby je, aby sa stal vedecky gramotným človekom. To znamená koncentrovať sa len na niekoľko najdôležitejších základných pojmov a princípov vedy, z ktorých by žiak mohol vychádzať. Na základe prezentácie týchto poznatkov potom v ňom vybudovať vedomie, čo znamená niečo vo vede pochopiť, urobiť o tom správny záver, naučiť sa to uplatniť, vedieť zhodnotiť závery iných a konštruktívne o nich diskutovať; naučiť sa používať vlastný rozum tak, aby žiak čítal, študoval a rozvíjal svoje vedomosti samostatne.

Vedecky gramotný človek vie zaujať racionálnymi argumentmi podložený postoj k výsledkom vedy a k vedeckým záverom a nedá sa oklamať pseudovedeckým šar-latánstvom alebo zneužitiami vedy, za ktoré veda nie je priamo zodpovedná. Napr. ľudia v Bratislave podpisovali petíciu, aby sa nestaval medicínsky urýchľovač - ne-vyhnutný element modernej lekárskej diagnostiky. Slovensko tak nebolo schopné poskytnúť najnovšie možnosti pri diagnostike chorôb pacientov. Pritom, ak by ľudia vedeli zhodnotiť principiálne fungovanie urýchľovača, dokázali by zaujať stanovisko, že im nehrozí žiadne nebezpečenstvo. Alebo sú ľudia, ktorí žiadajú chirurgickú ope-ráciu, nakupujú len v deň, …, keď je mesiac v splne, pretože nekriticky veria tomu, že vtedy má mesiac magicky pozitívne účinky na hojenie rán, resp. na cit pre správne vybratie oblečenia.

Vedecky negramotní ľudia nerozumejú, aký význam má veda pre fungovanie civi-lizácie, spoločnosti, štátu či samotného občana. zvyčajne vnímajú vedu negatívne aj školské predmety ako matematika, či fyzika, ktoré vedecké myslenie najviac roz-víjajú. Takýchto ľudí je dnes bohužiaľ vysoké percento, takže s vysokou šancou sa dostávajú do riadiacich pozícií na úrovni štátu a rozhodujú tak negatívne o smerovaní, financovaní školstva a vedy.

zlá predstava o tom, čo je to veda a aké široké možnosti má absolvent s kvalitným vzdelaním v oblasti matematiky a prírodovedných vied, je tiež jednou z príčin, prečo si dnešní žiaci vyberajú štúdium humanitných vied. A to napriek tomu, že momentálne štatistiky na Slovensku dokazujú, že šanca uplatniť sa na trhu práce s prírodovedec-kým, resp. technickým vzdelaním je 4 krát vyššia a nástupný plat je v priemere až 50 % vyšší ako v prípade vzdelania humanitného smeru.

Čo jE to vEda a ako fungujE

Predmety ako matematika, či fyzika sú svojim obsahom a potenciálom predurčené na to, aby u žiaka vypestovali základné atribúty vedeckej gramotnosti, o ktorých sme pred chvíľou hovorili. Úplne fundamentálnym predpokladom cieľavedomého rozvíja-nia vedeckého myslenia u žiaka v týchto predmetoch je získanie správnej predstavy na konkrétnych príkladoch o tom, čo je to veda, ako funguje a porozumenie nie len



nekritické prijatie, prečo je pre našu civilizáciu dôležitá. Tento základný atribút vedec-kej gramotnosti však dokáže učiteľ u žiaka rozvinúť len vtedy, ak on sám rozumie tomu, čo je to veda a ako funguje. Prieskum preukázal, že je prekvapivé, aké nízke percento absolventov vysokých škôl samotných prírodovedných a technických sme-rov, ako sú napr. aj budúci učitelia matematiky a prírodovedných predmetov, nevie na otázky, čo je veda a ako funguje, fundovane odpovedať.

Preto si poďme predstaviť fungovanie vedy jednoducho a s podporou konkrétnych reálnych príkladov. začiatkom, motiváciou vedeckého bádania je vždy problém z re-álneho sveta (obr. 1.1.2). Problémy sprevádzajú ľudstvo odpradávna a vznikajú vtedy, ak niečo chceme mať, poznať, vedieť, ale v danom momente to nemáme, nepo-známe, nevieme.

Obr. 1.1.2 Základná schéma fungovania vedy

Napríklad v roku 1983 získala prestížny Americký pohár v pretekoch 12 metrových jácht jachta Austrália II. O rok nato zostavili porazení Američania dizajnérsky tím s cieľom vyriešiť dôležitý problém: postaviť nový typ jachty a o štyri roky neskôr vrátiť Austrálčanom zdrvujúcu porážku.

začiatkom 20. storočia sa Benátky ocitli nebezpečne pod vodou za desať rokov 3 krát, koncom 20. storočia za to isté obdobie to už bolo 50 krát. Prekrásne historické mesto tak bojuje o holú existenciu. Aké sú jeho možnosti na záchranu?

Po dvoch mostoch spájajúcich Európu a Malú áziu v Istanbule dnes prejde denne viac ako 300 000 vozidiel. Mesto sa tak dusí v nekonečne dlhých radoch áut, pri-čom dopravný kolaps by vyriešil obdobný podmorský tunel, aký spája Britániu a Francúzsko. Je však možné postaviť bezpečný tunel v miestach, kde takmer každo-ročne dochádza k zemetraseniu až o sile 8 stupňov Richterovej stupnice, pri ktorom sa stromy lámu ľahko ako zápalky a domy padajú ako pyramídy z kariet?



Obr. 1.1.3 Fascinujúce záhady, ale aj nepríjemné problémy, ktorým čelí človek

ZAMYsLITE sA

Najjednoduchšou metódou riešenia problémov je metóda pokus a omyl. Diskutujte spolu o tom, čo konkrétne by znamenala táto metóda v uvedených príkladoch. Skúste urobiť zoznam výhod a nevýhod tejto metódy.

Celkom odlišným postupom k riešeniu problémov pristupuje vedecká metóda. Prvou fázou, úlohou nie je riešiť situáciu priamo, ale najprv sa vytvorí model skúmanej veci, systému. Na základe už získaných informácií (napr. dnes z digitálnych zdrojov) alebo objavením nových (skúmaním a experimentovaním) talianski vedci vytvorili fyzický model mesta a lagúny o veľkosti dvoch futbalových ihrísk. Americkí dizajnéri zase zmenšený model skúšobnej jachty.

Ešte rafinovanejšou možnosťou je vytvorenie (formulácia) počítačového modelu objektu alebo situácie. Túto možnosť využili navrhovatelia istanbulského tunelu. Správanie tunela a okolitého prostredia „zakódovali“ do matematických rovníc, pri-čom využili znalosti o prúdení vody, tlaku vodnej masy, správaní betónu a ďalších materiálov pri zaťažení. Vedci v takom prípade hovoria o matematickom modeli. Aby matematické rovnice boli riešiteľné, je pri vytváraní modelu mimoriadne dôležité uva-žovať v rovniciach len s podstatnými vplyvmi, a nepodstatné zanedbať. Preto dôležitú úlohu pri zjednodušovaní má kritické a hodnotiace myslenie.

Po vytvorení modelu nastáva fáza manipulácie s modelom. Model Benátok dovolil vedcom skúšať rôzne scenáre povodní, merať prúdenia a rozsah zaplavených plôch, zistiť najzraniteľnejšie miesta Benátok. Americkí dizajnéri zase sledovali pohyb ma-lého modelu jachty v bazéne pri rôznych úpravách tvaru a pri rôznych silách vetra. Pri navrhovaní zmien podmienok a zmien modelu je dôležité tvorivo myslieť, mať intuíciu a predstavivosť.

V prípade počítačového, matematického modelu vedci prejdú od rovníc k ich rie-šeniam pomocou matematických metód realizovateľných počítačom. Niekedy sú matematické rovnice natoľko jednoduché, že ich dokážu riešiť aj na papieri. Vďaka



spomenutému prechodu, transformácii rovníc k riešeniam dostávajú vedci rôzne výsledky v závislosti na rôznych zmenách parametrov, napr. v prípade tunela vedci vedia simulovať jeho správanie pri „počítačovom“ zemetrasení.

ZAMYsLITE sA

Skúste prediskutovať na základe rôznych kritérií, aké výhody a nevýhody má fyzický a abstraktný matematický model (napr. z ekonomického hľadiska, časového hľadiska, náročnosti realizácie, atď.).

Treťou etapou vedeckej metódy je na základe výsledkov modelu prerozprávať (inter-pretovať) ich do predpovedí, čo sa udeje v reálnom svete pri danom návrhu riešenia. Nakoniec je potrebné vybrať najlepší návrh, realizovať ho a tým overiť (verifikovať), či naozaj funguje tak, ako to predpovedal model. Ak nie, t.j. ak model nezohľadňo-val všetky dôležité poznatky, tak sa celý proces opakuje. Vytvorí sa nový vylepšený model a testuje, pokým výsledky nebudú bližšie realite. Tým dostávame kľúčovú vlastnosť vedeckej metódy, ktorou sa odlišuje od iných „metód“ predpovedania bu-dúcnosti, akým mnohí ľudia podliehajú - veštenie, náboženstvo, mágia, či astrológia.

Vedu chápeme ako efektívny proces vytvárania a testovania modelov (fyzických alebo matematických), pomocou ktorých vedia vedci robiť veľmi presné a spoľah-livé predpovede.

Japonskí stavitelia sa pustili do projektu Marmaray - stavby návrhu istanbulského tunela, lebo podľa modelov by mal vydržať 10 krát väčšie zemetrasenie, t.j. 9 stup-ňov Richterovej stupnice. Talianski vedci využitím fyzických modelov doplnených o počítačové simulácie začali v roku 2008 projekt Mose (Mojžiš), kde navrhli obrov-ské sklápacie elektromechanické zábrany dookola Benátok. V roku 1987 vedecky navrhnutá americká jachta Stars & Stripes zvíťazila v boji o Americký pohár. Vďaka vede a najnovším technológiám dokážu inžinieri posúvať hranice staviteľstva, napr. postavením 823 m vysokej veže v Dubaji alebo najväčšieho európskeho vodného parku Siam na Tenerife s umelými vlnami, na ktorých sa dá surfovať (obr. 1.1.4).

Obr. 1.1.4 Problémy, za ktorých riešením stojí veda: veža v Dubaji a vodný park na Tenerife



1.1.2 rozvoj digitálnej gramotnosti v predmete matematika

Súčasnú vedu, vedecké bádania si bez moderných informačno-komunikačných technológií nevedia vedci ani len predstaviť. Moderné IKT sú prítomné v každej fáze vedeckej metódy poznávania (obr. 1.1.2). Preto dôležitým poznatkom pre učiteľa by malo byť to, že ak žiak bude na konkrétnych príkladoch zmysluplne a efektívne tré-novať vedeckú gramotnosť, bude prirodzene rozvíjať aj svoju digitálnu gramotnosť (t.j. schopnosti používať, rozumieť, tvorivo uplatniť informácie pomocou IKT), ale aj ďalšie kľúčové kompetencie.

V kontexte vedeckej gramotnosti a jej rozvoja na hodinách matematiky a prírodoved-ných predmetov možno tak rozvoj digitálnej gramotnosti chápať v štyroch hlavných rovinách:

Objavovať a skúmať svet okolo nás pomocou IKT

Žiak by mal vedieť efektívne využívať informačné zdroje; vyhľadávať a s porozume-ním selektovať v získaných informáciách; s pomocou IKT organizovať informácie a skúmať veci a javy okolo nás

Tvoriť a rozvíjať nové myšlienky pre porozumenie sveta okolo nás pomocou IKT

Žiak by mal vedieť analyzovať a interpretovať získané informácie; využiť ich na po-rozumenie a tvorbu modelov vecí a javov; využívať modely a IKT na monitorovanie a kontrolu javov a vecí okolo nás

Vymienať a zdieľať informácie s ostatnými pomocou IKT

Žiak by mal vedieť vhodnou IKT spracovať získané informácie a svoje myšlienky podľa toho kvôli čomu a pre koho sú určené; finalizovať a prezentovať ich; pri ich zdieľaní a výmene vhodne komunikovať

Kriticky myslieť, hodnotiť, rozhodovať sa v akejkoľvek fáze práce

Žiak by mal vedieť kriticky hodnotiť, myslieť a rozhodovať sa, či už pri modelovaní, alebo pri získavaní, spracovávaní, výmene, zdieľaní informácií a výsledkov svojej práce

Obr. 1.1.5 Štyri hlavné roviny rozvoja digitálnej gramotnosti pri poznávaní nášho sveta a pri riešení problémov vedeckou metódou

Pre tieto naše doterajšie úvahy možno využiť aj grafické zobrazenie, ktoré vymysleli britskí didaktici a učitelia a je znázornené na obr. 1.1.6. Koláčový diagram zobrazuje tými istými farbami štyri hlavné roviny, oblasti ako obr. 1.1.5, pričom v prehľadnej forme zachycuje aj základné IKT kompetencie v digitálnej gramotnosti zahrnuté v týchto oblastiach.



Obr. 1.1.6 Grafická pomôcka, ktorá prehľadne vizualizuje 10 základných zložiek digitálnej gramotnosti (IKT kompetencie) v kontexte vedeckej gramotnosti

Úspešný rozvoj IKT kompetencií zachytených v koláčovom grafe, ale aj akýchkoľvek iných kompetencií, je vždy dlhodobý a konzistentný proces. Máme dve principiálne možnosti ako pristupovať k tréningu týchto IKT kompetencií. Jednou možnosťou je tréning všetkých IKT kompetencií v rámci každého školského predmetu, teda aj školskej matematiky. Druhou možnosťou je dominantne rozvíjať len niektoré z nich a ostatným sa venovať omnoho menej. V prvom prípade pri snahe rozvíjať všetko, ne-môžeme venovať rozvoju každej kompetencii toľko času, v takej hĺbke a natoľko kon-zistentne ako v druhom prípade. Preto bude tento rozvoj efektívnejší a úspešnejší, ak si vyberieme druhú možnosť, pričom zvolíme kompromisné riešenie – vyberieme polovicu kompetencií z koláčového diagramu, ktorým sa budeme dominantne veno-vať v rámci predmetu matematika.

ZAMYsLITE sA

Dokáže rozvíjať predmet matematika všetky IKT kompetencie vyznačené vo forme výsekov na koláčovom diagrame? Ktoré by mala školská matematika rozví-jať viac a ktoré menej? Skúste v spoločnej diskusii nájsť odpovede na tieto otázky.

Určite by sme mali rozvíjať u žiaka kritické a hodnotiace myslenie a schopnosť roz-hodovať sa, pretože je to potrebné pre každú fázu úspešnej práce. Aby sme dodržali polovičný počet (5), potom nám zostáva vybrať štyri ďalšie IKT kompetencie a to tie, ktoré sú v danom predmete najviac používané, dominujú, resp. sú pre predmet



nevyhnutné, kľúčové. Ostatným kompetenciám by sme mali venovať menej času a prenechať ich rozvoj na iné predmety.

Ak sa zamyslíme nad matematikou v jednotlivých fázach vedeckej metódy poznáva-nia, návrh predstavuje najdôležitejšiu zložku vedeckej metódy pri tvorbe vedeckých modelov (počítačové modelovanie), ktoré vedú k presným a spoľahlivým predikciám. Aby žiaci rozumeli modelom a chápali, ako sa veci modelujú, je nevyhnutné vedieť využívať už získané informácie a jestvujúce informačné zdroje, resp. ďalšie potrebné informácie experimentovaním a skúmaním objaviť. Následným analyzovaním by žiaci mali vedieť hľadať súvislosti medzi informáciami a vedieť ich pomocou matematiky (napr. rovníc, grafov) popísať.

z uvedeného nám tak vyplýva, že na hodinách matematiky by sme sa mali koncen-trovať na rozvoj štyroch dominantných IKT kompetencií (obr. 1.1.7):

• využívanie informácií a informačných zdrojov

• organizovanie a skúmanie

• analyzovanie a automatizovanie procesov

• chápanie modelov a modelovanie

Obr. 1.1.7 Dominantne rozvíjané IKT kompetencie v predmete matematika

V nasledujúcich kapitolách sa budeme snažiť ukázať hlavne na konkrétnom ilustra-tívnom obsahu ako tieto dominantné IKT kompetencie rozvíjať. Pritom budeme klásť dôraz aj na to, akým didaktickým spôsobom, s akými IKT technológiami tento rozvoj dosiahnuť.



1.2 Moderné trendy vo vyučovaní matematiky

začlenením informačných a komunikačných technológií do vyučovania matematiky sa nemení podstata vyučovacích metód v matematike. Nadobúda len špecifické kontúry determinované prostredím, v ktorom sa realizujú. Vyučovanie matematiky v prostredí IKT si vyžaduje nielen dostatočné materiálno technické vybavenie, ale najmä podlieha zmene vzdelávacieho prístupu, novej komunikácii v matematike, zmene postavenia učiteľa matematiky i žiaka, a tiež organizačnej zmene vyučovacích hodín matematiky. Nutnou podmienkou pre uskutočnenie zmien v procese výučby je dostatočná informatická gramotnosť učiteľov matematiky, ich motivácia a ochota neustále sa vzdelávať v tejto oblasti. Úspešná integrácia IKT do vyučovania matema-tiky znamená pre učiteľa, že nové technológie má využívať primerane a produktívne.

Konkrétne príklady využitia moderných vyučovacích metód s podporou IKT budú uvedené v štvrtej kapitole. V jednotlivých metodikách tejto kapitoly sú na konkrétnom matematickom obsahu aplikované nižšie opísané vyučovacie metódy.

1.2.1 Konštruktivistické prístupy k učeniu

základy konštruktivizmu vypracoval švajčiarsky psychológ Jean Piaget vychádzajúc z experimentov, ktoré boli zamerané na skúmanie vývoja matematických a logic-kých pojmov v predstavách a myslení detí. Teória konštruktivistického poznávania a učenia sa vychádza z predpokladu, že žiak v aktívnej interakcii s prostredím po-stupne konštruuje svoj vnútorný systém poznania. Proces učenia sa by mal prebiehať v podnetnom vzdelávacom prostredí, ktoré inšpiruje žiakov k bádaniu a nastoľuje im otázky a problémy, pri riešení ktorých žiaci aktívne objavujú nové poznatky a usilujú sa pochopiť ich zmysel a význam.

Učenie sa matematike vedie k hľadaniu a skúmaniu súvislostí medzi objektmi a ná-sledne k aplikovaniu osvojených vzťahov pri riešení úloh. V procese riešenia rôznych druhov úloh vytvára žiak základy svojho vlastného matematického porozumenia a presvedčenia o užitočnosti osvojených poznatkov. V tomto zmysle argumentujú aj Hejný a Kuřina (2001): „Matematika bude užitočná, jedine ak bude súčasťou ľudskej kultúry, ak bude účinne pomáhať riešiť problémy každodennej praxe.“ Uvedení autori prispôsobili teóriu konštruktivizmu špecifickým podmienkam a cieľom matematic-kého vzdelávania do podoby tzv. didaktického konštruktivizmu. Uvádzame jednu zo základných téz tejto teórie (Hejný a kol., 2004): „Podstatnou zložkou matematickej aktivity je hľadanie súvislostí, riešenie úloh a problémov, tvorba pojmov, zovšeobec-ňovanie tvrdení, ich preverovanie a zdôvodňovanie.“ Kuřina (2002) ďalej rozvádza podstatné znaky didaktického konštruktivizmu: „Pre konštruktívne poňaté vyučova-nie matematiky je charakteristický systém podnetov, ktoré vedú k jej porozumeniu, k vytváraniu predstáv, pojmov a postupov vo vedomí žiaka.“

základné princípy konštruktivizmu možno pretvárať do konkrétnejších modelov a metód vyučovania. Ide napríklad o model, pre ktorý sa zaviedlo označenie EUR. Model EUR umožňuje rozvoj samostatného kritického myslenia a schopností žiakov zamerané na objavovanie nových poznatkov a ich zaraďovanie do vnútorného sys-



tému známych poznatkov, čo vytvára predpoklady pre hlbšie pochopenie významu preberaného učiva. V publikácii (Steele et al., 1998) je charakterizovaný model EUR ako trojfázový model vyučovania a učenia sa poskytujúci rámec pre aktívnu a efek-tívnu realizáciu základných etáp poznávacieho procesu. Jednotlivé fázy tvoria: evo-kácia, uvedomenie a reflexia.

• Evokácia – proces učenia začína tým, že si žiaci vybavia v pamäti a zopakujú, čo si myslia, že vedia o predloženej téme. Prvá fáza aktivuje vybraný okruh znalostí, ktoré sú základom pre objavovanie nových poznatkov. Pre realizáciu tejto etapy je vhodná skupinová diskusia, prípadne brainstorming.

• Uvedomenie si významu – zámerom druhej etapy je konfrontácia žiakovho pô-vodného konceptu danej témy s novými aktívne získanými informáciami a poznat-kami. Žiaci zaraďujú nové informácie do pamäťových schém a snažia sa vytvárať väzby medzi novými a skôr osvojenými poznatkami.

• Reflexia - žiaci si upevňujú nové vedomosti a aktívne transformujú nové poznatky do svojich vnútorných schém porozumenia. Výsledkom záverečnej fázy by mali byť trvalé vedomosti a schopnosti ich využívania pri riešení úloh.

Konštruktivistické prístupy k učeniu sú konkrétne rozpracované v štvrtej kapitole v metodike zlomkohra (4.1.1) a v dvoch metodikách z Planimetrie, Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami (4.2.1) a Pytagorova veta (4.2.3).

1.2.2 riadené skúmanie

Žiaci si často myslia, že svet matematiky už bol vytvorený a je nemenný. Podľa nich v ňom už nie je miesto pre nové nápady, čiže priemerný žiak nemá šancu objaviť nejakú užitočnú myšlienku. Našťastie tomu tak nie je a žiaci všetkých stupňov škôl by mali mať možnosť presvedčiť sa o tom a zažiť radosť z objavovania. Aby sme to dosiahli, mali by sme rešpektovať to, ako matematické teórie vznikajú a ako sa roz-víjajú. Matematické teórie totiž majú v čase svojho vzniku experimentálno-induktívny charakter a rýdzo deduktívny charakter nadobúdajú až vo chvíli svojho definitívneho spracovania. V tejto súvislosti sa hovorí o skúmaní vo vyučovaní matematiky.

Pred vysvetlením pojmu skúmanie sa najprv pozrime trochu inak na pojem problém. Pri každom probléme môžeme podľa Kopku (2006) identifikovať jeho tri zložky:

• východisková situácia - situácia popisujúca súvislosti a poskytujúca údaje,

• cieľ – to, čo chceme dosiahnuť,

• cesta od východiskovej situácie k cieľu, ktorá môže ale nemusí byť zrejmá alebo dosiahnuteľná.

O skúmaní hovoríme v prípade takého problému, pri ktorom je východisková situácia presne popísaná avšak cieľ nie je presne zadaný alebo nie je zadaný vôbec. Cesta k cieľu vtedy samozrejme nemôže byť známa.



Pri skúmaní pristupuje žiak k matematike veľmi podobne ako matematik pri prvom kontakte s neprebádanou oblasťou. To znamená skúmanie špeciálnych prípadov, snahu o objavenie hlbších princípov, ale aj návraty zo slepých uličiek, či vyrovnávanie sa s frustráciou pri neúspechoch. Na druhej strane úspech znamená získanie rieše-nia problému prípadne dôkazu matematickej vety. zmyslom takéhoto učenia sa nie je aplikovať metódy, ktoré vyvinul niekto iný ale naučiť sa objavovať metódy pre seba.

Skúmanie ako sme ho opísali vyššie môže byť pre žiakov pomerne náročné. Obzvlášť pre mladších žiakov alebo takých, ktorí nemajú so skúmaním dostatočné skúsenosti. z toho dôvodu je vhodné žiacke skúmanie vhodne nasmerovať. zvyčajne to znamená rozdeliť jedno skúmanie na postupnosť viacerých nadväzujúcich tzv. miniskúmaní. Hovoríme vtedy o riadenom skúmaní (z anglického guided investigation). Každé miniskúmanie v rámci riadeného skúmania vlastne predstavuje nasmerovanie žiakov určitým smerom. Pretože takéto miniskúmania zvyčajne nevyžadujú príliš veľa času, je možné ich do výučby zaraďovať často.

Na ilustráciu riadeného skúmania uvažujme nasledujúci problém: Určte veľkosť vnú-torného uhla pravidelného n-uholníka.

Pri určovaní veľkosti vnútorného uhla pravidelného n-uholníka je vhodné systema-tické skúmanie. Skúmajme veľkosť vnútorného uhla vzhľadom na počet strán pravi-delného n-uholníka.

Miniskúmanie č. 1:

a) Rozdeľte pravidelný 5-uholník na čo najmenší počet trojuholníkov.

b) Určte súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov v pravidelnom 5-uholníku.

c) Určte veľkosť vnútorného uhla pravidelného 5-uholníka.

Miniskúmanie č. 2:

a) Rozdeľte pravidelný 6 (7, 8, 9) - uholník na čo najmenší počet trojuholníkov.

b) Určte súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov v pravidelnom 6 (7, 8, 9) - uholníku.

c) Určte veľkosť vnútorného uhla pravidelného 6 (7, 8, 9) - uholníka.

Výsledky skúmania vrátane predchádzajúceho miniskúmania doplníme do tabuľky.

Počet strán pravidel-ného mnohouholníka

Počet trojuholníkov

Súčet veľkostí vnútorných uhlov

Veľkosť vnútorného uhla

5 3 3 ∙ 180° = 540° 540° / 5 = 108°

6 4 4 ∙ 180° = 720° 720° / 6 = 120°

7 5 5 ∙ 180° = 900° 900° / 7 ≈ 128,57°

8 6 6 ∙ 180° = 1080° 1080° / 8 = 135°

9 7 7 ∙ 180° = 1260° 1260° / 9 = 140°



Miniskúmanie č. 3: Určte veľkosť vnútorného uhla pravidelného n-uholníka.

Pravidelný n-uholník vieme rozdeliť na (n-2) trojuholníkov. Súčet veľkostí vnútorných uhlov pravidelného n-uholníka je teda (n-2)∙180°.

Veľkosť vnútorného uhla pravidelného n-uholníka je [(n-2)∙180°]/n.

Dôkaz hypotézy prenecháme na čitateľa.

Príkladom využitia metódy riadeného skúmania sú metodiky Sčítavanie a odčítava-nie celých čísel (4.1.2), zhodné zobrazenia (4.2.2), Hranol, objem hranola, povrch hranola (4.3.2) a metodika Modus, medián a aritmetický priemer (4.5.2).

1.2.3 riadené skúmanie pomocou workshopovej metódy

Jednou z mimoriadne efektívnych foriem riadeného skúmania, resp. objavovania je workshopová metóda. základom workshopovej metódy je skupinová forma výučby, princíp malých krokov s rešpektovaním princípu následnosti a náročnosti, aktívne po-znávanie žiaka a bezprostredné overovanie a vlastné tempo. Použitie workshopu ako vysoko efektívnej vyučovacej metódy, zaviedla a preskúmala významná didaktička Priscilla W. Lawsová so svojim výskumným kolektívom na Dickinson College v USA.

priEbEh výuČby pomocou workshopovEj mEtódy

Typická štruktúra hodiny pomocou workshopovej metódy vyzerá tak, ako to ukazuje obrázok 1.2.1.

Obr. 1.2.1 Schéma typického postupu pri realizácii workshopovej metódy



Motivačný problém. Workshopové hodiny začínajú spravidla motivačným problé-mom. zvyčajne ide o jeden pre danú tému, ktorá môže byť preberaná na viacerých hodinách. Pri výbere motivačného problému, ale aj námetov na nasledujúce žiacke aktivity, je dôležité zvoliť také, ktoré žiaka oslovia, t.j. ktoré sa týkajú jeho osoby, vecí zo sveta prírody, techniky, športu, s ktorými sa denne stretáva. z nich by mal žiak zís-kať pocit, že: (1) matematika je všade okolo neho, týka sa bezprostredne jeho života a (2) matematika je zaujímavá a veľmi užitočná časť ľudského poznania, ktorá dovo-ľuje ľuďom v každej činnosti rozhodovať sa lepšie a efektívnejšie. Atraktivita motivač-ného problému sa výrazne zvyšuje, ak okrem textu obsahuje kvalitný obrázok, video, simuláciu, či pokus.

úvodné otázky. Po motivačnom probléme, ktorý si žiaci prečítajú v pracovných lis-toch spolu s cieľmi ich práce, pokračuje workshop úvodnými otázkami. z didaktic-kého hľadiska majú takéto otázky okrem motivačnej funkcie, aj „zahrievaciu“ funkciu, t.j. aktivizujú žiacke myslenie na preberanú problematiku. Učiteľ neprezradí správne odpovede na tieto otázky, tie vyplynú z aktivít žiakov, ktoré sú zamerané na predikcie, hlavné myšlienky a miskoncepcie (neporozumenia) spojené s danými činnosťami a skúmanými pojmami. Optimálnou možnosťou pre zozbieranie odpovedí žiakov na úvodné otázky je v tomto prípade internetové e-hlasovanie. Žiaci odpovedajú samostatne cez počítač, pričom učiteľ aj žiaci môžu vidieť sumárne odpovede celej triedy a porovnať svoje odpovede nielen v skupine, ale v celej triede.

skupinové aktivity. Po úvodných otázkach nasleduje jadro workshopovej metódy - skupinové aktivity, kde okrem zdieľania názorov a nápadov a vzájomného učenia sa žiaci učia reálne deje a veci pozorovať, skúmať, experimentovať, vytvárať si súvislosti, resp. učiť sa z vlastných chýb. Učiteľ im ako poradca (facilitátor) poskytuje spätnú väzbu o tom, ako sa učia. Žiaci majú k dispozícii vytlačené pracovné listy so zada-niami jednotlivých aktivít, ktoré používajú počas celej hodiny.

Domáce aktivity. záverom danej témy sú domáce aktivity, kde si žiaci zopakujú činnosti z hodiny. Preto predstavujú dôležitú fázu upevnenia získaných poznatkov, myšlienok a zručností. Výsledky domácej úlohy prechádzajú žiaci opäť spoločne na ďalšej hodine. Veľmi vhodné je výsledky domácich aktivít spracovať online napr. pomocou Moodle alebo internetového e-hlasovania, čím učiteľ získa okamžitú spätnú väzbu o práci žiakov dopredu.

kEdy budE workshopová mEtóda fungovať?z organizačného hľadiska pri výučbe pomocou workshopovej metódy je zvyčajne prí-tomný jeden učiteľ (facilitátor) na maximálne 15 žiakov. Workshop zvyčajne trvá jednu dvojhodinovku. Žiaci sú spravidla rozdelení do dvojíc, resp. trojíc, pričom každá sku-pina má k dispozícii počítač, potrebný softvér (veľmi často je to tabuľkový procesor – napr. Excel) a pracovné listy pre workshopovú metódu. Môžu mať aj pomôcky PPL (počítačom podporované laboratórium), či tradičné pomôcky pre experimentovanie.

Aby učiteľ efektívne rozvíjal kompetencie žiaka, Priscilla Lawsová vypracovala jedno-duché základné princípy, ktoré je potrebné pri vyučovaní workshopovou metódou dodržiavať:

• Žiaci pracujú a získavajú poznatky a zručnosti v aktivitách takým spôsobom, ako to robia vedci a výskumníci.

• Učiteľ (facilitátor) dáva spätnú väzbu žiakom, ako sa učia, nie žiaci dávajú spätnú väzbu učiteľovi, ako on vyučuje.



• Učiteľ nikdy nehovorí o danom pojme predtým, než žiaci mali možnosť o ňom porozmýšľať ako prví.

• Žiaden výklad, žiadne tradičné laboratórne alebo teoretické cvičenia, resp. pre-cvičovacie hodiny.

• Je zakázaný štýl „ ukážem-ti-ako-to-robiť „.

• Menej je viac (redukcia množstva tradične preberanej látky o 15-20 %).

Úloha žiakov je tak to, že ako „vedci“ robia predikcie, pozorovania, vytvárajú súvis-losti, pýtajú sa otázky, skúmajú, odhadujú, učia sa z vlastných chýb, zdieľajú názory a nápady, učia sa navzájom, čítajú, píšu, komentujú. Žiak je teda tvorca a spracovateľ informácií, je aktívny, vnútorne motivovaný a zodpovedný za vlastné učenie. Úloha učiteľa je byť facilitátorom - povzbudzovateľom, t.j. učiteľ povzbudzuje, pomáha, dáva žiakom spätnú väzbu, kontinuálne hodnotí ich pokrok, vedie ich diskusie, odpovedá na ich otázky, kladie dodatočné otázky. Inými slovami úlohou učiteľa pri realizácii workshopového vyučovania je byť žiakovi poradcom, sprievodcom v učení riadenom žiakom, na rozdiel od tradičnej výučby, v ktorej učiteľ riadi a kontroluje činnosť žiaka. Učiteľ a žiak predstavujú rovnocenných partnerov, spolutvorcov výsledkov výučby. Nakoniec v praxi sa častokrát stane, že si pracovný list učiteľ vo svojich podmienkach po odskúšaní musí upraviť, aby dosiahol požadované výsledky a ciele. z toho dôvodu sú pracovné listy v elektronickej podobe.

Riadené skúmanie pomocou workshopovej metódy je konkrétne rozpracované v metodike Matematické modelovanie pohybu a priama úmernosť (4.1.5) a v meto-dike Skúmanie údajov a vzťahov medzi nimi (4.5.3).

1.2.4 Metóda Peer Instruction

základ metódy Peer Instruction tvoria konceptuálne otázky, teda otázky, na ktoré neexistujú mechanické odpovede alebo odpovede, ktoré sa dajú ľahko zapamätať, ale vyžadujú hlboké porozumenie preberaného pojmu žiakom. Otázky sú s výberom odpovede, pričom zvyčajne práve jedna odpoveď je správna a ďalšie možnosti by mali zachytiť najčastejšie chyby (miskoncepcie) žiakov.

Konceptuálna otázka by mala byť zameraná na porozumenie jedného pojmu, resp. princípu, aby sa dala presne identifikovať miskoncepcia žiaka. Cieľom je zamerať pozornosť žiakov na podstatné vzťahy a vyvolať v triede aktivitu a interakciu medzi študentmi. Výklad pozostáva z krátkych prezentácií, kľúčových prvkov vzdelávacieho obsahu, a potom nasledujú konceptuálne otázky – predmet do diskusie. Najprv majú študenti krátky čas na sformulovanie svojej individuálnej odpovede. Potom sú vyzvaní diskutovať o svojej odpovedi so spolužiakmi, hľadať argumenty pre a proti. Rozvíja sa tak u žiakov schopnosť komunikovať o matematike, formulovať a kriticky hodno-tiť matematické myšlienky. Ak je väčšina odpovedí správnych, nasleduje zhrnutie a prechod na ďalšiu časť. Opísaný postup prehľadne vyjadruje schéma zobrazená na obrázku 1.2.2.



Obr. 1.2.2 Postup pri metóde Peer Instruction

Kvôli rýchlej spätnej väzbe je výhodné, aby učiteľ pri vyhodnocovaní odpovedí na otázku používal hlasovacie zariadenia.

Metóda Peer Instruction je podrobnejšie rozpracovaná v metodikách o percentách (4.1.3, 4.1.4), v kapitole Pravdepodobnosť (4.4.1 a 4.4.2) a tiež v metodike Podobnosť geometrických útvarov (4.2.4).

Na ukážku konceptuálnych otázok uvádzame príklad konceptuálneho testu k te-matickému celku Percentá. Najprv sú uvedené otázky s možnosťami a za nimi sú správne odpovede s vysvetlením výberu jednotlivých možností, ktorý súvisí s najčas-tejšími miskoncepciami žiakov.

1. 60 % žiakov triedy tvoria dievčatá. Ktoré z nasledujúcich tvrdení je pravdivé?

A) dievčat je dvakrát viac ako chlapcov

B) chlapci tvoria dve pätiny žiakov triedy

C) dievčatá tvoria jednu šestinu žiakov triedy

D) v triede je viac chlapcov ako dievčat



2. Rozhodnite o pravdivosti nasledujúceho tvrdenia: 5 percent vyjadruje jednu pätinu z daného základu.

A) pravda

B) nepravda

3. V triede je 30 žiakov. V tomto týždni každý z nich číta práve jednu knihu. Triedna učiteľka zistila, že 12 žiaci čítajú beletriu, 9 žiaci majú rozčítané knihy z ob-lasti kriminálnych príbehov, 3 žiaci čítajú životopisy známych osobností a zvyšní žiaci science fiction. Určte, ktoré dva druhy kníh číta spolu presne 50 % žiakov triedy.

A) beletriu a kriminálne príbehy

B) beletriu a science fiction

C) kriminálne príbehy a science fiction

D) kriminálne príbehy a životopisy známych osobností

4. Martin mal vyriešiť dve úlohy:

I. Koľko je 20 % z 80?

II. 20 % z ktorého čísla je 80?

Rozhodnite, v ktorej z nasledujúcich možnosti sú uvedené správne výsledky týchto úloh.

A) (I) 400, (II) 16,

B) (I) 20, (II) 160,

C) (I) 16, (II) 160,

D) (I) 16, (II) 400.

5. Vypočítaj 75 % z čísla, ak 5 % z tohto čísla je 20.

A) 15

B) 300

C) 750

D) 1



6. Anna pracuje v supermarkete za hodinovú mzdu 8 €. O koľko percent by sa zvý-šila jej hodinová mzda, ak by prešla na inú pracovnú pozíciu, kde by dostávala 10 € za hodinu?

A) 25 %

B) 120 %

C) 20 %

D) 10 %

7. Koľko percent je 54 sekúnd z 3 minút?

A) 1800 %

B) 18 %

C) 30 %

D) 300 %

8. Automobilka Ford vyrobila v roku 2008 denne 500 áut. V čase hospodárskej krízy sa jej denná produkcia áut znížila o 50 %. Na začiatku roku 2010 au-tomobilka oznámila, že opäť bude vyrábať 500 áut denne. Ktoré z nasledu-júcich tvrdení je pravdivé?

A) V roku 2010 sa denná produkcia áut v porovnaní s časom hospodárskej krízy zdvojnásobila.

B) V roku 2010 sa denná produkcia áut v porovnaní s časom hospodárskej krízy zväčšila o 100 %.

C) V roku 2010 sa denná produkcia áut v porovnaní s časom hospodárskej krízy zväčšila o 250 áut.

D) Všetky predchádzajúce odpovede sú správne.

E) Žiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna.

9. Štvorec má stranu dĺžky 4 cm. O koľko percent sa zväčší jeho obsah, ak dĺžku strany štvorca zväčšíme o 50 %?

A) 225 %

B) 50 %

C) 125 %

D) 100 %



10. Obchodný dom nakupuje u výrobcu horské bicykle za nákupnú cenu 180 €. Priaznivcom horského bicyklovania ich potom vo svojom obchodnom dome predáva za predajnú cenu 250 €. V reklame na predaj tohto tovaru však minul 20 % z predajnej ceny všetkých horských bicyklov, ktoré má na sklade. Koľko horských bicyklov obchodný dom predal, ak z nich mal zisk 500 €?

A) 25

B) 2

C) 8

D) nedá sa to presne určiť, lebo nevieme koľko eur obchodný dom minul na reklamu

správne odpovede a poznámky ku konceptuálnym otázkam

1. Správna odpoveď: B.

Žiaci si majú uvedomiť, že dievčatá predstavujú 53

106= žiakov triedy. Chlapci teda

predstavujú dve pätiny žiakov triedy. Úlohu možno riešiť aj tak, že si žiaci najskôr určia, koľko percent žiakov triedy predstavujú chlapci a percentá potom vyjadria pomerným zlomkom. Žiakom by sme však pri riešení tejto úlohy mali zdôrazniť, že výsledok úlohy nezávisí od počtu žiakov v triede. Tento údaj totižto v zadaní úlohy chýba. Preto riešenie úlohy môžeme rozšíriť o doplňujúcu úlohu: určiť, aký počet žiakov v triede môže byť podľa zadania úlohy. Žiaci by si mali uvedomiť, že celkový počet žiakov v triede musí byť deliteľný číslom 5. To preto, že pomerné zlomky, ktoré vyjadrujú podiel skupiny dievčat, resp. chlapcov k celkovému počtu žiakov majú v menovateli zlomku číslo 5. čitateľmi týchto zlomkov sú navyše nesúdeliteľné čísla.

2. Správna odpoveď: B. Úloha patrí medzi základné. Žiakom je nutné pripomenúť, že základ je vždy 100 %. Preto 5 % zo základu sa dá vyjadriť zlomkom: jedna dvadsatina.

3. Správna odpoveď: C. Pre riešenie úlohy je dôležitá informácia v druhej vete jej zadania. Preto vieme určiť, že 6 žiaci triedy čítajú science fiction. Až v dvoch dvojiciach uvedených druhov kníh je počet ich čitateľov presne 50 % z celkového počtu žiakov triedy. Okrem možnosti C to platí aj v prípade beletrie a životopisov známych osobností. úlohu preto mô-žeme zadať aj s inými alternatívami: A) beletria a životopisy známych osob-nosti, B) kriminálne príbehy a science fiction, C) každá z predchádzajúcich uvedených možností je správna, D) žiadna z predchádzajúcich možností nie je správna. Aj v tomto prípade by bola správna odpoveď: C.

4. Správna odpoveď: D. Žiaci si majú uvedomiť, že kým v úlohe (I) majú základ zadaný, v úlohe (II) ho majú vypočítať. Riešenie úloh nie je náročné na výpočty. Žiaci môžu využiť pre-vod percent na pomernú časť zlomku. Keďže 20 % predstavuje jednu pätinu celku, výsledok riešenia úlohy (I) je 80 : 5 = 16. To ale znamená, že hodnota 80 v (II) úlohe je pätinou hľadaného celku. základ je preto päťkrát väčší. často je za správnu odpoveď označená možnosť A. číselné hodnoty sú tu rovnaké ako v správnej možnosti, ale sú priradené iným úlohám. Žiaci v tomto prípade nemajú dobre osvojený obsah pojmov základ a percentuálna časť.



5. Správna odpoveď: B. Žiaci by si mali uvedomiť, že 75 % je 15-krát viac ako 5 %. Teda aj percentuálna časť pripadajúca 75 % bude 15-krát väčšia ako je hodnota 20, pripadajúca 5 %. Úlohu je však možné riešiť aj cez základ (20-krát väčší ako časť pripadajúca 5 %), pričom 75 % potom predstavuje jeho tri štvrtiny. Po výpočte cez jedno percento by žiak mal siahať v tejto úlohe iba v krajnom prípade. Výsledok uvedený v mož-nosti D naznačuje, že žiak nepochopil úlohu – vypočítal 5 % z 20. Podobne aj možnosť A je riešením úlohy – vypočítaj 75 % z 20. V oboch prípadoch navyše ako keby žiaci mali nadbytočné informácie v texte úlohy.

6. Správna odpoveď: A. často je za správnu odpoveď označená možnosť C. Žiak síce vie, že sa hodinová mzda u Anny zvýši o 2 €, ale neuvedomuje si, vzhľadom ku ktorej hodinovej mzde má urobiť výpočet percent. V riešení tejto úlohy totižto za základ nesprávne po-važuje hodinovú mzdu 10 €.

7. Správna odpoveď: C. Úloha patrí medzi základné úlohy na výpočet percent, ak je daný základ a per-centuálna časť. Náročnosť riešenia úlohy sa zvýšila potrebou premeny zadaných hodnôt na hodnoty s rovnakými jednotkami času. Preto sa môže stať, že niektorí žiaci označia za správne riešenie možnosť A (títo žiaci riešia úlohu: koľko percent je 54 z troch), resp. B (žiaci využívajú nesprávny prevodový vzťah: 1 minúta je 100 sekúnd).

8. Správna odpoveď: D. zo zadania úlohy žiaci pomerne ľahko zistia, že v čase hospodárskej krízy sa denne vyrobilo 250 áut. V roku 2010 sa preto výroba musí zdvojnásobiť (to zna-mená zväčšiť o 250 áut denne, resp. zväčšiť o 100 % na 500 áut denne podľa zadania úlohy). Žiakov treba upozorniť na to, že v úlohách môžu byť správne výsledky vo viacerých alternatívach. Vždy sa však ponúka aj alternatíva, ktorá toto zohľadňuje. Test je koncipovaný tak, aby v každej úlohe bola riešením práve jedna z možností.

9. Správna odpoveď: C. často je za správnu odpoveď označená možnosť A. Je pravdou, že obsah štvorca po zväčšení jeho strany o 50 % bude predstavovať 225 % obsahu pô-vodného štvorca so stranou 4 cm, ale zväčšenie obsahu je iba o 125 %. Úlohu možno zadať v pozmenenom variante (Obdĺžnik má rozmery 10 cm a 15 cm. O koľko percent sa zmení jeho obsah, ak jeho kratšiu stranu zväčšíme a dlhšiu stranu zmenšíme o 20 %?) alebo v ťažšom variante: Štvorec má stranu dĺžky a. O koľko percent sa zväčší jeho obsah, ak dĺžku strany štvorca zväčšíme o 50 %? Počítanie a vyjadrovanie s premennou nie je však pre žiaka 7. ročníka jednoduchou záležitosťou.

10. Správna odpoveď: A. často je za správnu odpoveď označená možnosť D. Celkovú sumu, ktorú ob-chodný dom dal na reklamu, však na vyriešenie tejto úlohy nepotrebujeme vedieť. Vieme, že obchodný dom investoval do reklamy 20 % z predajnej ceny 250 € za jeden bicykel. Je to teda 50 € (jedna pätina predajnej ceny). zisk obchod-ného domu z predaja jedného bicykla je teda 20 € (od predajnej ceny odrátame náklady na reklamu a nákupnú cenu za jeden bicykel). Keďže mal zisk 500 eur, predal 25 bicyklov (500 : 20 = 25).



PRECVIČTE sI

P1: Na základe svojich skúseností vytvorte konceptuálne otázky k tematickému celku Zlomky. Charakterizujte miskoncepcie, ktoré sa môžu prejaviť pri odpo-vediach žiakov na vytvorené otázky.

1.2.5 Projektová metóda

Projektová metóda je odvodená od pragmatickej pedagogiky, ktorú začiatkom 20. storočia rozvíjali predovšetkým J. Dewey a W. H. Killpatrick. Kľúčovým aspek-tom projektovej metódy je integrácia obsahových otázok (čo učiť) s procesuálnymi (ako a kedy učiť). Najväčší význam tejto integrácie je snaha o to, aby projekt umožnil vytvoriť u žiaka skutočný vzťah k poznaniu. Podľa Kubínovej (2002) sa matematika stáva jadrom žiackeho projektu, ktorý sa skladá z rôznych aktivít, pri ktorých žiaci ob-javujú matematické pojmy a zákony. V pedagogickom slovníku (Průcha a kol., 1998) je projektová metóda definovaná ako „vyučovacia metóda, v ktorej sú žiaci vedení k riešeniu komplexných problémov a získavajú skúsenosti s praktickou činnosťou a experimentovaním.“ Valenta (1993) uvádza nasledovné prednosti projektovej metódy:

• navodzuje cielenú učebnú činnosť,

• vyhovuje potrebám a záujmom žiakov, učiteľov (prípadne aj obom stranám súčasne),

• koncentruje sa okolo určitej základnej nosnej myšlienky,

• je zameraná prakticky a smeruje k užitočnosti a upotrebiteľnosti v živote,

• prináša zmeny v osobnosti žiaka (najmä formou nadobudnutých skúseností),

• žiak je vedený k prijatiu zodpovednosti za svoju činnosť.

Užšiu definíciu podáva J. Kratochvílová (2006), ktorá hovorí, že „projektovú metódu chápeme ako usporiadaný systém činností učiteľa a žiakov, v ktorom dominantnú úlohu majú učebné aktivity žiakov a podporujúcu úlohu poradenská činnosť učiteľa, ktorými smerujú spoločne k dosiahnutiu cieľov a zmyslu projektu. Komplexnosť čin-ností vyžaduje využitie rôznych čiastkových metód výučby a rôznych foriem práce.“

Pri realizácii učebných aktivít a spracovaní projektu môžu zohrať dôležitú úlohu mo-derné IKT. z pohľadu učiteľa samotná práca na projekte pripomína výskumnú prácu, ktorú môžeme rozdeliť do štyroch etáp: podnet, plánovanie, realizácia, hodnotenie. Jednotlivé etapy realizácie projektovej metódy opíšeme podrobnejšie.

• Podnet – v úvodnej etape projektu stanovíme problém, ktorý budeme riešiť. z hľadiska motivácie je vítanou skutočnosťou, ak si žiaci dokážu témy projek-tov navrhnúť sami. Učiteľ im môže pomocou internetu, prezentácie, či aktuál-neho videozáznamu pomôcť zorientovať sa v danej problematike a v prípade potreby pomôcť s výberom témy. Nevyhnutné je však už v začiatkoch tohto procesu poukázať na zmysel projektu a dať tak odpoveď na otázku „Prečo projekt uskutočňujeme?“.



• Plánovanie – je spoločná práca žiakov a učiteľa (učiteľov), prípadne ďalších účastníkov projektu (rodičov, verejnosti apod.). Pri plánovaní projektu spolu vytvárame jeho realizačný harmonogram. Tu je potrebné zamyslieť sa nad lo-gickým sledom plánovaných aktivít, vychádzajúc pritom z reálnych časových, priestorových, technických i personálnych podmienok. Nám sa osvedčila kon-kretizácia sledovaných činností z časového hľadiska, pričom popisujeme oso-bitne činnosti žiakov i učiteľa.

• Realizácia – pred samostatnou prácou žiakov v rámci realizácie projektu Petty (2006) odporúča oboznámiť účastníkov projektu s postupom na obrázku 1.2.3.

Obr. 1.2.3 Postup riešenia problémov pri samostatnej práci

Pri hľadaní zdrojov a hľadaní riešení môžu byť v skupine použité rôzne heuris-tické metódy a aktivity napríklad brainstorming, metóda riadeného objavovania alebo tvorba pojmových máp.

• Hodnotenie – vo forme sumatívneho aj formatívneho hodnotenia. Súčasťou hodnotenia má byť aj diskusia, reflexia, prezentácia, pričom príležitosť majú dostať všetci žiaci. Forma hodnotenia a kritériá úspešnosti musia byť žiakom známe od začiatku riešenia projektu. Pri projektovej metóde sa mení pozícia učiteľa, ktorý sa pre žiakov stáva spolupracovníkom, poradcom, usmerňuje ich činnosť, nevykladá novú látku, ale poskytuje zdroje a podnety pre prácu žiakov.

Príkladom na využitie projektovej metódy je metodika Početnosť a relatívna počet-nosť (4.5.1).

1.2.6 Prepojenie matematiky s inými predmetmi a s každodenným životom

Matematike je v sústave vyučovaných predmetov často prisudzované výnimočné po-stavenie pretože je príliš abstraktná a exaktná. Vyučovanie matematiky na základnej škole by však malo žiakom umožniť učiť sa matematiku na problémoch a úlohách, ktoré sa objavujú v každodennom živote, prípadne ukazujú na prepojenia s inými predmetmi.



V tejto súvislosti uvádza Kubínová (2002) nasledujúce dôvody:

• prekonať izoláciu jednotlivých matematických disciplín, najmä geometrie a algebry,

• prekonať izoláciu jednotlivých vyučovacích predmetov a vnímať matematiku ako účinný nástroj na popis zákonitostí a riešenie problémov z rôznych oblastí,

• umožniť žiakovi nadobudnúť ucelené poznanie.

Aj štátny vzdelávací program zdôrazňuje pre matematiku potrebu „rozvíjať schop-nosť používať matematické myslenie na riešenie rôznych problémov v každoden-ných situáciách“.

Do vzdelávacieho obsahu je potrebné zapracovať prierezové témy, ktoré umožňujú poukázať na prepojenosť matematiky s prírodnými vedami, informatikou a s reálnym životom. Aplikovanie matematiky na riešenie problémov z reálneho života môže sti-mulovať záujem žiakov o matematické vzdelávanie a poukázať na užitočnosť osvoje-nia si matematických poznatkov.

Obr. 1.2.4 Pomer dvoch čísel a bicykel

Integrovanie IKT do vyučovania matematiky otvára ďalšie príležitosti na aplikovanie matematiky pri riešení problémov z každodenného života. IKT umožňuje lepšie mo-delovať niektoré reálne situácie, prostredníctvom IKT majú žiaci prístup k veľkému množstvu reálnych údajov, prípadne môžu pri zbere údajov spolupracovať so žiakmi iných škôl. Tieto údaje môžu potom organizovať a triediť, skúmať a vyhodnocovať s využitím matematických prostriedkov.

Applet na stránke http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=178 je príkladom na pre-pojenie poznatkov o pomeroch dvoch čísel s princípom prevodov na bicykli (obrá-zok 1.2.4). Využitím appletu si žiaci vedia skúmanú situáciu lepšie predstaviť, môžu



situáciu modifikovať a skúmať závislosti. Bez použitia IKT by bol celý proces časovo oveľa náročnejší a ťažšie realizovateľný.

Vhodné príležitosti na prepojenie matematiky s bežným životom a inými predmetmi ponúka projektová metóda. Riešenie vhodne zvolených problémov vyžaduje často využívanie poznatkov z rôznych vedných disciplín a pomáha vytvárať žiakom kom-plexný pohľad na okolitý svet. V publikácii (Kubínová, 2002) možno nájsť námety na zaujímavé interdisciplinárne projekty. Pre budovanie predstavy žiakov o funkčných závislostiach je vhodný projekt „čo hovoria grafy?“ Žiakom bol predložený graf zo-brazený na obrázku 1.2.5.

Obr. 1.2.5 Funkčná závislosť

Úlohou žiakov bolo priradiť ku grafu konkrétne veličiny a charakterizovať zmeny zá-vislej veličiny v jednotlivých oblastiach grafu. Pri riešení projektu si žiaci vyberali väč-šinou závislosť fyzikálnych veličín na čase.

PRECVIČTE sI

P2: Interdisciplinárna vyučovacia jednotka môže byť navrhnutá tak, že buď pre-sahuje obsah matematiky ako vyučovacieho predmetu a ukazuje prepojenia s inými predmetmi, resp. s každodenným životom alebo je navrhnutá tak, že žiaci riešia nejaký problém z každodenného života matematickými prostried-kami. Skúste navrhnúť interdisciplinárny projekt s využitím IKT.

Na zdôraznenie možnosti prepojenia matematiky s inými vyučovacími predmetmi a s každodenným životom sme sa sústredili aj pri vytváraní viacerých metodík, ktoré sú obsahom štvrtej kapitoly. Metodika Matematické modelovanie pohybu a priama úmernosť 4.1.5) ukazuje prepojenie medzi matematikou a fyzikou. V me-todikách o percentách (4.1.3 a 4.1.4) upozorňujeme na často nesprávne používanie percent v každodennom živote. V metodike zhodné zobrazenia (4.2.2) ukážeme ako súvisí často používané spojenie súmerný, symetrický s matematikou. V me-todike Hranol, objem hranola, povrch hranola (4.3.2) sú v závere riešené optima-lizačné úlohy, ktorých cieľom je objavenie telies, ktoré majú pri danom objeme minimálny povrch. V kapitole Pravdepodobnosť (4.4) ponúkame dve pravdepo-dobnostné hry, ktoré pomôžu žiakom porozumieť pravdepodobnostným javom, s ktorými sa môžu stretnúť v každodennom živote. Kapitola Štatistika (4.5) zasa poukazuje na prepojenie matematiky, jazykov a histórie, ukážeme v nej tiež využi-tie štatistiky v praktických aplikáciách vied ako archeológia, kriminalistika, súdne lekárstvo (napríklad ako z odtlačku dlane odhadnúť výšku človeka).



informaČné zdrojE

• ARONS, A.B., „Achieving Scientific Literacy“, Daedalus, Spring, 1983 (český pre-klad, Cesta k přírodovědní gramotnosti I, II, čs. čas. fyz. A 35 (1985), 58-68, 151-158).

• BETCHER, CH., LEE, M. (2009). The Interactive Whiteboard Revolution: Teaching with IWBs, Camberwell, Acer Press.

• BRITSKé NáRODNé KURIKULUM, ICT across curriculum, publikácie - ICT in Science, Mathematics, Musics, History, Geography, Technology and English (2004), http://www.dcsf.gov.uk/.

• BRANSFORD, J.D, BROWN, A.L., COCKING, R.R, DONOVAN, M.S, PELLEGRINO, J.W., EDS. (2000), How People Learn: Brain, Mind, Experience, and School, Washingthon, Academy Press.

• HASTINGS, N. B. (1999). Workshop Calculus: Assessing Student Attitudes and Learning Gains, In: Gold, B., Keith, S., Marion, W (eds.), Assesment Practices in Math, The Mathematical Association of America, 350s. ISBN: 978-0-88385-161-6.

• HEJNÝ, M., KUŘINA, F. (2001). Dítě, škola a matematika: Konstruktivistické přístupy k vyučování, Portál, Praha.

• HEJNÝ, M., NOVOTNá, J., STEHLíKOVá, N. (2004). Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky, 1. díl. Univerzita Karlova v Praze.

• JACKSON, D.P., LAWS P.W. (1997). Workshop physical science: project-based science education for future teachers, parents, and citizens, Proceedings of the International Conference on Undergraduate Physics Education; University of Maryland, College Park, MD, 8 s.

• KOPKA, J. (2006). zkoumání ve školské matematice. Katolícka univerzita Ružomberok. ISBN 80-8084-064-4.

• KRATOCHVíLOVá, J. (2006). Teorie a praxe projektové výuky. Brno: PdF, MU.

• KUBíNOVá, M. (2002). Projekty (ve vyučování matematice) - cesta k tvořivosti a samostatnosti. Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta, Praha, ISBN 80-7290-088-9.

• KURzWEIL, R. (2005), The singularity is near: when humans trascend biology, Penguins books, 2005, ISBN: ISBN 0-670-03384-7.

• KUŘINA, F. (2002). Realismus konstruktivních přístupů k vyučování matematice. zborník príspevkov z konferencie Matematika v škole dnes a zajtra, Katolícka univerzita Ružomberok.

• LAWS, P.W. (1997). Millikan Lecture 1996: Promoting active learning based on physics education reseach in intreoductory phyics courses, Am. J. Phys. 65 (1), 1997, 14-21.

• LAWS, P.W. a kol. (2004). Workshop Physics, Activity Guide, Vol. 1-4, New york: Wiley, ISBN 0471641405, 0471641553, 0471641634, 0471641162.

• LETCHER, J. S. MARSHALL, J. K., OLIVER III, J.C., SALVASEN N. (1987), Stars & Stripes, Scientific American 257, August, 1987.



• MADISON, B.L., STEEN, L.A. (2003), Quantitative literacy: Why Numeracy Matters for Schools and Colleges, NCED, Princeton, New Jersey, 2003.

• PETTy, G. (2006). Moderní vyučování. Portál, Praha, ISBN 80-7367-172-7.

• PRŮCHA, J., WALTEROVá, E., MAREŠ, J. (1998). Pedagogický slovník. 2. vyd. Praha, Portál.

• ROSSMAN, A., CHANCE, B.L. (2008). Workshop Statistics: Discovery with Data, New york: Wiley, ISBN 978-0-470-41266-4.

• STEELE, J., L., Meredith, K. S., Temple, Ch. (1998). Rámec pre kritické myslenie vo vyučovaní. Projekt Orava, Bratislava.

• The PISA 2003 Assesment Framework - Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills, Mathematical, Reading and Scientific literacy OECD, 2003.

• VALENTA, J. (1993). Projektová metoda ve škole a za školou. Pohledy. Praha: Ipos Artama.

• VAN DEN BERG, E., ELLERMEIJER, T., SLOOTEN, O., EDS. (2007). Modeling in Physics and Physics Education, Proceedings GIREP conference 2006 (August 20 – 25, Amsterdam, Netherlands), University of Amsterdam, ISBN 978-90-5776-177-5.

• 1.2.2010: Jeden deň v živote vedy, Geo 6 (7), 2010; Bosporský tunel, Geo 1-2 (7), Január-Február, 2010, str. 68-76; Boj mesta s prírodou, Geo 8 (6), 2009, str. 52-69, ISSN 1336-8001.

• http://physics.dickinson.edu/~wp_web/wp_homepage.html

• http://www.becta.org.uk/

• http://publications.teachernet.gov.uk/

• http://nationalstrategies.standards.dcsf.gov.uk/http://www.maa.org

• http://en.wikipedia.org/wiki/Mose_project

• http://en.wikipedia.org/wiki/Marmaray



2 dOMINaNTNé IKT KOMPeTeNCIe v PredMeTe MaTeMaTIKa

Tak, ako sme uviedli v podkapitole 1.1.2 na hodinách matematiky by sme sa mali koncentrovať na rozvoj štyroch dominantných IKT kompetencií:

• využívanie informácií a informačných zdrojov

• organizovanie a skúmanie

• analyzovanie a automatizovanie procesov

• chápanie modelov a modelovanie

V tejto kapitole vysvetlíme na konkrétnom ilustratívnom obsahu ako tieto dominantné IKT kompetencie rozvíjať.

Kompetencia Využívanie informačných zdrojov zahŕňa najmä znalosti spojené so získavaním a triedením informácií, posúdenie možností využitia získaných infor-mácií a následne s interpretáciou rôznych reprezentácií údajov.

Preskúmanie a organizovanie informácií je kompetencia zameraná na skúmanie matematických situácií, na organizovanie údajov do prehľadných schém a tabuliek, na spracovanie informácií, na analýzu vzťahov medzi údajmi a následne formulovanie hypotéz.

Kompetencia Analýza a automatizácia procesov predstavuje znalosti zostavovať a analyzovať postupy riešenia úloh, vyjadriť ich vo forme algoritmov a využiť IKT pri ich realizácii a automatizácii.

Štvrtá kompetencia Modely a modelovanie je zameraná na tvorbu a využívanie rôznych typov modelov pri riešení úloh, na skúmanie vlastností objektov a vzťahov medzi nimi pri zmenách vstupných parametrov modelu a na využívanie IKT pre si-muláciu procesov. Možnosti rozvíjania týchto kompetencií podrobnejšie popíšeme v nasledujúcich štyroch podkapitolách.



2.1 Naučme žiakov vyhľadávať a triediť informácie

Bez zveličovania možno povedať, že IKT priniesli revolúciu vo výmene informácií. ľudia sa môžu ľahko dostať k obrovskému zdroju informácií zo spoločenského ži-vota, kultúry, vzdelávania alebo aj rôznych vedných disciplín. Množstvo informácií okolo nás však kladie vysoké nároky na rozvíjanie schopností vedieť rýchlo nájsť relevantné informácie, vedieť triediť informácie podľa ich dôležitosti a vedieť aj kriticky zhodnotiť obsah a využiteľnosť získaných informácií. Ak by sme otvorili učebnice informatiky, mohli by sme nájsť kapitoly venované rozvíjaniu kompetencie pracovať s informáciami. Pre skvalitňovanie vzdelávania je však dôležité, aby získané kompe-tencie boli využívané a rozvíjané aj v iných vyučovacích predmetoch pri nadobúdaní vedomostí a zručností a stimulovaní aktívneho učenia sa.

Vo vyučovaní matematiky by malo byť rozvíjanie kľúčovej IKT kompetencie vyhľadá-vať a triediť informácie zamerané na nadobúdanie nasledujúcich spôsobilostí:

• zbierať a triediť informácie podľa viacerých kritérií,

• hľadať vzťahy a súvislosti s inými vyučovacími predmetmi,

• posúdiť možnosti využitia získaných informácií,

• interpretovať informácie vyjadrené pomocou rôznych reprezentácií.

2.1.1 Matematické vzdelávacie zdroje na interneteVyužívanie informačných zdrojov je jednou z kľúčových IKT kompetencií, ktorú je potrebné zakomponovať a rozvíjať vo výučbe matematiky na školách poskytujúcich vyššie stredné vzdelanie. Dôležitým predpokladom integrovania internetu do vyučo-vania matematiky je rozširovať prehľad učiteľov o matematických vzdelávacích zdro-joch na internete a rozvíjať ich schopnosti využívať tieto zdroje pre podporu všetkých etáp vyučovacieho procesu. Internet slúži (nielen pre učiteľov matematiky) ako zdroj rôznorodých materiálov: informácií o zmenách v legislatíve, zdroj odborných textov, appletov, softvérov, zdroj metodických materiálov či podnetných námetov kolegov, ktoré sú použiteľné aj v podmienkach našej školy. Mnohé www stránky ponúkajú v rámci svojho obsahu celý komplex matematických vzdelávacích zdrojov, preto ich zaradenie do jednotlivých okruhov budeme považovať skôr za orientačné.

wEbové stránky úradov, inštitúcií a organizácií

• http://www.minedu.sk/ – stránka Ministerstva školstva Slovenskej republiky, kde v sekcii Kontinuálne vzdelávanie nájdeme aktuálny zoznam všetkých akreditova-ných programov. Program „Modernizácia vzdelávacieho procesu na základných školách“ je jedným z nich.

• http://www.statpedu.sk/– stránka Štátneho pedagogického ústavu poskytuje učite-ľovi matematiky základné informácie týkajúce sa tvorby školského vzdelávacieho plánu, prehľad pedagogickej dokumentácie ako i námety na výučbu konkrétnych hodín.



• http://www.nucem.sk/sk/maturita/ – Národný ústav certifikovaných meraní v sekcii Maturita ponúka učiteľom matematiky cieľové požiadavky kladené na maturantov i ukážky testov k externej časti maturitnej skúšky z matematiky z minulých rokov.

Obr. 2.1.1 Ukážky www stránok úradov, inštitúcií a organizácií

Internetové stránky ďalších organizácií nájdeme na nasledujúcich adresách:

• http://www.uips.sk/ – Ústav informácií a prognóz školstva,

• http://www.mpc-edu.sk/ – Metodicko-pedagogické centrum,

• http://www.iuventa.sk/ – Iuventa organizuje pre žiakov celoštátne i medzinárodne súťaže z matematiky - Matematická olympiáda a Pytagoriáda. Podrobnejšie infor-mácie o týchto súťažiach nájdeme na oficiálnych stránkach:

• http://www.olympiady.sk/index.php?www=sp_detail&id=7&mItem=38&nPid=2,

• http://www.olympiady.sk/index.php?www=sp_detail&id=16&mItem=47&nPid=2.

intErnEtové stránky odborných a didaktických Časopisov prE uČitEľov matEmatiky

• http://mif.ccv.upjs.sk/ – Matematika Informatika Fyzika je didaktický časopis učiteľov matematiky, informa-tiky a fyziky. Uverejňuje články autorov z radov ši-rokej učiteľskej verejnosti v niekoľkých tematických okruhov (napr. obsah a ciele vyučovania, výsledky pedagogického výskumu, didaktické metódy, formy, prostriedky, IKT vo vyučovaní, práca s nadanými žiakmi). časopis má svoju tlačenú i elektronickú po-dobu. Vychádza v spolupráci MPC a CCV PF UPJŠ v Košiciach.

Obr. 2.1.2 MIF

• http://sms.savbb.sk/texty/casopisy_sk.html – Obzory matematiky, fyziky a informatiky je členským časopisom JSMF zaoberajúcim sa teóriou a praktickými otázkami vy-učovania matematiky, fyziky a informatiky na základných a stredných školách. Dostupný je len v tlačenej podobe.

Internetové stránky zahraničných odborných a didaktických časopisov nájdeme na adresách:

• http://bart.math.muni.cz/~fuchs/ucitel/ucitel.html – Učitel matematiky,

• http://www.mfi.upol.cz – Matematika - Fyzika – Informatika,



• http://www.jcmf.cz/casopisy.html#PMFA – Pokroky matematiky, fyziky a astronomie,

• http://www.edupress.pl/matematyka.php – Matematyka,

• http://www.equark.sk/index.php?cl=branch&iid=11 – elektronický časopis eQuark.

EdukaČné portály

Edukačné portály spracované do podoby internetových stránok majú niekoľko ne-sporných výhod. Prvou z nich je ich dostupnosť z ľubovoľného miesta internetového pripojenia. Druhou je možnosť komplexného prístupu k riešeniu zvolenej problema-tiky a treťou je flexibilnosť, ktorá elektronicky spracovaným zdrojom dovoľuje omnoho rýchlejšiu aktualizáciu než zdrojom publikovaným v tlačenej podobe.

K najznámejším edukačným portálom so slovenskou lokalizáciou určite patria:

• http://www.infovek.sk/predmety/matem/index.php,

• http://www.zborovna.sk,

• http://www.interaktivnaskola.sk,

• http://www.ucmeradi.sk,

• http://www.modernyucitel.net,

ktoré podporujú vzájomnú komunikáciu medzi učiteľmi a umožňujú uchovávať, vyhľadávať a zdieľať informačné a vzdelávacie zdroje využiteľné v matematickom vzdelávaní.

zo zahraničných portálov podrobnejšie popíšeme aspoň nasledujúcich šesť.

• http://www.mojeskola.cz – portál venovaný školskej problematike, kde predovšet-kým v časti Sborovňa nájdeme on-line materiály vhodné k príprave na maturitnú skúšku z matematiky či k prijímacím pohovorom na vysoké školy.

• http://www.sulinet.hu – portál s bohatými zdrojmi a pre učiteľov i žiakov v maďarskom jazyku. V sekcii Matematika je rozpracovaných 28 okruhov školskej aj stredoškol-skej matematiky.

• http://www.analyzemath.com – portál ponúka voľne šíriteľné matematické materiály vy-užiteľné pri skúmaní konkrétnych matematických problémov. Obsahuje tutoriály, formulácie problémov a pracovné listy s appletmi využiteľnými v matematických výpočtoch, planimetrii, trigonometrii, štatistike či pri demonštrovaní uplatnenia matematiky v praxi.

• http://illuminations.nctm.org/Activities.aspx?grade=4 – stránka organizácie amerických uči-teľov matematiky obsahujúca aktivity, prípravy na hodiny, stredoškolské štandardy matematiky a odkazy na ďalšie stránky s matematickým obsahom. Ponúkaný materiál je členený do vekových kategórií (pre základné školy odporúčame voľbu K6-8).

• http://mathforum.org/ – portál poskytujúci zdroje, materiály, vzdelávacie aktivity, pro-dukty a služby s cieľom obohacovať a podporiť matematické vzdelávanie na ško-lách. zároveň ponúka zaujímavé interaktívne projekty (Ask Dr. Math, Teacher 2 Teacher, Problems of the Week).



• http://mathworld.wolfram.com/ – podľa tvorcov najrozsiahlejší portál matematických zdrojov s dennou aktualizáciou. Venuje sa vysvetleniu základných pojmov v tema-tických okruhoch od základov matematiky cez aplikovanú a diskrétnu matematiku až po zaujímavosti riešené v rekreačnej matematike.

Obr. 2.1.3 Ukážky internetových stránok edukačných portálov

wEbové stránky s onlinE podporou matEmatického vzdElávania

V súčasnosti dokážeme nájsť na internete množstvo takýchto stránok. Nie všetky však môžeme vo vyučovacom procese využiť. Pri ich posudzovaní zvažujeme viaceré aspekty. Pre učiteľa je dôležité najmä didaktické spracovanie a odborná bezchybnosť online podpory, jej možná aplikácia v jednotlivých fázach vyučovacej hodiny (moti-vačná fáza, expozičná fáza - výklad, skúmanie, aplikačná a fixačná fáza - cvičenia, testy, doplňujúce poznatky z histórie, terminologický slovník, atď.), veková a jazyková primeranosť, tiež jej aktuálnosť a dostupnosť. z pohľadu žiaka je často podstatná formálna úprava a primeraná odborná náročnosť podpory.

V nasledujúcom prehľade teda uvádzame tie (slovenské i zahraničné) webové stránky, ktoré nás svojim obsahom a možným využitím v matematickom vzdelávaní prebiehajúcom na našich stredných školách zaujali.

Obr. 2.1.4 Ukážky internetových stránok s online podporou matematického vzdelávania

• http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika.alej – stránka s on-line zbierkou úloh zo stredoškolskej matematiky členené do tematických okruhov. V každej téme je spracovaných spravidla desať úloh a pri každej úlohe je možné zobraziť znenie aj prehľadné riešenie úlohy.

• http://www.univie.ac.at/future.media/moe/, http://archives.math.utk.edu – stránky s ponukou multimediálnych učebných zdrojov či interaktívnych testov z matematiky.



• http://nlvm.usu.edu – stránka ponúkajúca prístup k virtuálnej knižnici interaktívnych zdrojov určených pre matematické vzdelávanie, ktoré je možné využiť v tematic-kých okruhoch čísla a operácie, Algebra, Geometria, Meranie, Analýza údajov a pravdepodobnosť.

• http://www.ies.co.jp/math/java/ – pôvodom japonská stránka obsahuje kolekciu 279 appletov spracovaných v jazyku Java a zameraných na výučbu stredoškol-skej matematiky.

• http://www.wolframalpha.com/examples/ – stránka ponúka bezplatný prístup k rozsiah-lym zdrojom matematických appletov využiteľných pri skúmaní konkrétnych problémov a úloh. Matematické výpočty sú interaktívne, často graficky i vizuálne prezentované.

PRECVIČTE sI

P3: Vyhľadajte na portáli http://illuminations.nctm.org/ applety k tematickému celku Zlomky.

2.1.2 softvérové systémy pre podporu vyučovania matematiky

K offline informačným zdrojom matematického vzdelávania zaradíme odkazy na tie voľne šíriteľné programy, ktorých využitie na hodinách matematiky máme prakticky overené, a ktorých použitie môžeme odporúčať aj v domácej príprave žiakov.

C.a.R. (http://vk.upjs.sk/~tuleja/CaR/) a Geogebra (http://www.geogebra.org/download/) patria do skupiny programov dynamickej geometrie. Applety v nich vytvorené sú publiko-vateľné na webe v podobe internetových stránok. WinPlot (http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html) a Graph 4.3 (http://www.padowan.dk/graph/, tiež http://www.stahuj.centrum.cz/pod-nikani_a_domacnost/vyukove_programy/graph s českou lokalizáciou) a patria k voľne šíri-teľným kresličom využiteľným pri riešení polohových i metrických úloh z planimetrie a stereometrie. Hot Potatoes (http://hotpot.uvic.ca/index.php#downloads) patrí k programom určeným na tvorbu didaktických testov publikovateľných na webe. Každému tvorcovi testu softvér ponúka šesť formátov testových položiek s uzavretou a s otvorenou krátkou odpoveďou.

Nasledujúce internetové stránky slúžia ako archívy edukačných softvérov alebo ako katalógy odkazov na ďalšie internetové stránky venované problematike výučby matematiky.

• http://kekule.science.upjs.sk/matematika/kniznica_vp/index.htm – Školský informačný servis Matematika obsahuje zaujímavú knižnicu výučbových programov vytvorených v rámci seminárnych a diplomových prác študentov UPJŠ v Košiciach.

• http://www.spomocnik.cz – propaguje využitie internetu v edukačnom procese. Pre učiteľov matematiky budú určite zaujímavé odkazy uvedené na adrese: http://www.spomocnik.cz/index.php?id_document=2034&template=odkaznik .

• http://www.walter-fendt.de/m14cz/ – stránka ponúkajúca prístup k archívu apple-tov, ktoré sú využiteľné v tematických okruhoch Aritmetika, základy algebry,



Planimetria, Stereometria, Trigonometria, Vektorová algebra, Analytická geomet-ria, základy matematickej analýzy, Komplexné čísla, Pravdepodobnosť a tiež v re-kreačnej matematike.

• http://demonstrations.wolfram.com/topics.html#2 – stránka projektu Wolfram Demonstrations Project, ktorý pomocou appletov vytvorených v programe Mathematica prezentuje možnosti dynamických výpočtov v rôznych oblastiach umenia, vedy a techniky. Applety je možné sledovať on-line. Po nainštalovaní voľne šíriteľného programu Wofram Mathematica Player zo stránky http://www.wolfram.com/products/player/ je možné ľubovoľný applet stiahnuť a spúšťať z počítača už bez využitia internetu.

Obr. 2.1.5 Ukážky internetových stránok s offline podporou matematického vzdelávania

Na záver si dovolíme zhrnúť výhody, ktoré nám internet v našej učiteľskej práci prináša:

• priebežná aktualizácia informácií týkajúcich sa pedagogickej a školskej doku-mentácie a legislatívy (znenie nových zákonov, vyhlášok, metodických usmernení, platné učebné osnovy, štandardy a tematické plány),

• prístup k databázam rôznych knižníc a edukačných portálov, k najnovším výstu-pom realizovaných prieskumov a výskumov publikovaných formou konferenčných príspevkov v elektronických zborníkoch alebo formou odborných článkov v elek-tronických časopisoch a publikáciách,

• štúdium nových odborných zdrojov s cieľom inovovať obsah vzdelávania (infor-mácie o najnovších vedeckých objavoch, metodiky výučby, vypracované modely hodín, postupy a návody pre prácu s IKT, atď.),

• priame využívanie dostupných vzdelávacích zdrojov na hodinách matematiky (interaktívne učebné texty, pracovné listy, prezentácie a predvádzacie zošity, di-daktické testy, pomôcky v podobe videosekvencií, matematických appletov či edukačných softvérov),

• komunikácia s kolegami, publikovanie vlastných názorov, učebných materiálov a skúseností na webových stránkach pre učiteľov.

Rozhodne nám však umožňuje ukázať našim žiakom matematiku v jej zaujímavej, pútavej a praktickej podobe. Využitie internetu pre podporu jednotlivých etáp vy-učovacieho procesu je prezentované vo viacerých návrhoch metodík v 4. kapitole (napríklad v metodike zameranej na určovanie početnosti a relatívnej početnosti v podkapitole Štatistika).



PRECVIČTE sI

P4: Vyberte zaujímavý vzdelávací zdroj na internete a navrhnite spôsob jeho vyu-žitia vo vyučovaní konkrétnej témy zo školskej matematiky.

2.1.3 Učebný systém Planéta vedomostí

Modernizácia vzdelávania vyžaduje kvalitné učebné materiály pre učiteľa aj pre žiaka. Rozsiahlou databázou digitálneho obsahu disponuje elektronický vzdelávací sys-tém Planéta vedomostí. Jeho vývoj nadväzuje na medzinárodný projekt zameraný na implementáciu digitálneho obsahu svetového kurikula do národných systémov vzdelávania. Vďaka tomu Planéta vedomostí predstavuje multikultúrny a jazykovo nezávislý digitálny obsah, lokalizovaný v rôznych krajinách sveta. Jej kľúčovou súčas-ťou sú najnovšie vzdelávacie technológie, ktorých cieľom je uľahčiť prípravu učiteľa na vyučovanie a obohatiť ju o žiacky atraktívne prvky.

Obr. 2.1.6 Výhody pre žiakov

Planéta vedomostí zohľadňuje odlišnosť učiteľom riadeného sprístupňovania učiva a sa-mostatnej prípravy žiaka prostredníctvom dvoch vzdelávacích prostredí: pre žiaka a pre učiteľa. Líšia sa ponúkanými nástrojmi a organizáciou (toho istého) vzdelávacieho obsahu do stránok. V žiackom prostredí je dôraz kladený na intuitívnosť, efektívnosť a atraktívnosť odovzdávania poznatkov, k dispozícii je panel s doplnkovými študijnými pomôckami: slovník, periodická tabuľka prvkov, kalkulačka, životopisy vedcov, poznámkový blok.

Učiteľské je obohatené o nástroje na prispôsobenie a zmenu výkladových jednotiek. Ukážka na obrázku 2.1.7 vľavo obsahuje iba animáciu a priestor pre jej doplnenie v učiteľskom prostredí (autorské nástroje sú na palete v spodnej časti obrazovky), vpravo v žiackom sú aktivity kumulované.

Digitálny obsah predmetu matematika je členený do troch vzdelávacích stupňov: zák-ladná škola I, základná škola II a stredná škola. Upozorňujeme však, že rozdelenie nie je celkom zosúladené so slovenským štátnym vzdelávacím programom. Najvyššou obsahovou organizačnou jednotkou v každom stupni sú kapitoly, ktoré sa delia na lekcie a tie ďalej na stránky s vlastným multimediálnym, interaktívnym obsahom.



Obr. 2.1.7 Porovnanie učiteľského a žiackeho prostredia

Obr. 2.1.8 Digitálny obsah

Napriek rôznorodému obsahu zachovávajú všetky študijné stránky typickú štruktúru. Pri jej opise sa budeme odvolávať na obrázok 2.1.9.

Obr. 2.1.9 Študijná stránka lekcie Obsah mnohouholníkov (zaradená do stupňa Matematika I ZŠ)



V hornej časti sú informácie o názve lekcie: Obsah mnohouholníkov, celkovom počte stránok lekcie: 14 a poradí práve zobrazenej stránky: 7, čo sú zároveň aj navigačné tlačidlá na výber zobrazenej stránky. Pod názvom lekcie je uvedený názov stránky: Obsah trojuholníka. Na ľavom okraji je tlačidlo sprievodcu v tvare písmena i, ktoré slúži na zobrazenie informácií o obsahu, cieľoch a odporúčanom postupe pri práci s danou stránkou. Sprievodný text k zobrazenej stránke je na obrázku 2.1.10.

Obr. 2.1.10 Sprievodné informácie k študijnej stránke

Multimediálnym obsahom stránky sú dve animácie ovládané štandardnými tlačidlami prehrávača: prehrať/prerušiť, zastaviť, posunúť. V prvej animácii je postupne odvo-dený vzorec na výpočet obsahu trojuholníka na základe znalosti vzorca na výpočet obsahu rovnobežníka. Druhá animácia žiakom prečíta vzorec pre výpočet obsahu trojuholníka. Tretím prvkom na stránke sú úlohy na precvičenie osvojeného vzorca. Nachádzajú sa tu tri úlohy dostupné pod položkami a), b) a c). Každá úloha je za-meraná na iný typ trojuholníka (ostrouhlý, tupouhlý a pravouhlý). Pri opakovanom nesprávnom vyriešení je v druhej animácii podfarbením zvýraznený vzorec na výpo-čet obsahu trojuholníka. Na pravom dolnom okraji každej stránky je indikátor počtu chýb (ten nie je možné vynulovať, informácia sa zachová aj pri odovzdaní riešenia učiteľovi), tlačidlo pre obnovenie obsahu stránky (vráti obsah do pôvodného stavu a umožňuje opätovné riešenie) a tlačidlo pre kontrolu správnosti riešenia, ktoré zo-brazí aj stručné štatistické vyhodnotenie práce.

Vyučovanie s uplatnením digitálneho obsahu Planéty vedomostí sa u žiakov aj učite-ľov stretáva s pozitívnymi ohlasmi, nakoľko vďaka rozmanitosti kontextového spraco-vania úloh plní popri vzdelávacej aj výchovnú funkciu.

Do istej miery limitujúcim faktorom pre jeho implementáciu môže byť nedostatočné technické vybavenie učebne. Pri frontálnych formách práce je ideálne spojenie inte-raktívneho obsahu s nástrojmi interaktívnej tabule, prípadne tabletu. Rovnako efek-tívna je aj forma individuálnej práce žiakov pri počítačoch. Avšak ani interaktívna tabuľa, ani počítačmi vybavená učebňa nie je podmienkou využívania Planéty vedo-mostí. Vo výkladovej fáze vyučovacej jednotky obsah žiakom efektívne sprostred-kuje aj datavideoprojekcia, aktivity na upevnenie a precvičenie žiaci riešia v rámci domácej prípravy.



2.2 Naučme žiakov skúmať a analyzovať vzťahy medzi objektmi

Aj v reálnom živote môžu nastať situácie, kedy je potrebné prehľadne zaznamenať a preskúmať množinu údajov predstavujúcich hodnoty rôznych veličín. Údaje možno získať empiricky ako výsledky rôznych meraní, napríklad na laboratórnych cvičeniach v prírodovedných predmetoch, možno ich zozbierať pomocou rôznych dotazníkov a ankiet, alebo ich získať z iných zdrojov, napríklad z internetu. Pred spracovaním údajov a skúmaním vzťahov, ktoré sú v nich ukryté, je potrebné zorganizovať údaje do prehľadných štruktúr, aby sa dali efektívne spracovať a vyhodnotiť.

Na spracovanie údajov a skúmanie vzťahov možno využívať aj rozmanité prostriedky, ktoré ponúkajú IKT. Výsledky získané pomocou rôznych výpočtov môžu byť výcho-diskom pre interpretáciu závislostí medzi údajmi a vyvodzovanie záverov. Informácie však nemusia byť ukryté len v súboroch čísel. Vzťahy medzi údajmi môžu byť vyjad-rené aj využitím rôznych typov grafov. Žiaci by sa mali naučiť čítať informácie z grafov a správne charakterizovať graficky vyjadrené závislosti.

Ako zdôrazňuje aj Burn (2002), žiaci by mali mať skúsenosti s využívaním nume-rických, grafických aj symbolických reprezentácií, aby vedeli porozumieť matema-tickým poznatkom.

Kľúčová IKT kompetencia „organizovať údaje a preskúmať vzťahy“ môže byť vo vyu-čovaní matematiky charakterizovaná nasledujúcimi spôsobilosťami:

• zaznamenanie a organizovanie údajov do prehľadných schém, tabuliek a grafov,

• zisťovanie a výber dôležitých informácií pre riešenie matematického problému,

• analýza údajov a vzťahov medzi nimi, formulovanie hypotéz.

2.2.1 využitie schém, tabuliek a grafov pri skúmaní matematických vzťahov

Pri riešení úloh môže zakreslenie prehľadnej schémy nielen pomôcť pri porozumení úlohy, ale môže poskytnúť aj informáciu o výsledkoch. Vo vyučovaní kombinatoriky je pri rozvíjaní kombinatorického myslenia dôležité učiť žiakov zostrojovať schémy a tabuľky na prehľadné usporiadanie všetkých výsledkov riešenia úlohy.

Ako príklad môže slúžiť táto kombinatorická úloha: Na miske je 5 nugátových, 4 va-nilkové a 1 kokosový cukrík. Vypíšte všetky možnosti pre výber 4 cukríkov. Na za-čiatku schémy je vhodné rozlíšiť dva prípady podľa toho, či bol alebo nebol vybraný kokosový cukrík. Po výbere niekoľkých cukríkov ďalšieho druhu je už počet cukríkov tretieho druhu jednoznačne určený a v schéme nemusí byť uvádzaný.



Obr. 2.2.1 Schéma na výpis možností

Na prácu s numerickou a grafickou reprezentáciou údajov je vhodný tabuľkový kalku-látor. V 1. module venovanom základnej digitálnej gramotnosti učiteľa bolo vysvetlené využitie programu Microsoft Excel pri riešení úloh zo školského prostredia. Poznatky z 1. modulu využijeme pri riešení úloh vyžadujúcich aplikovanie matematických po-znatkov. Pri riešení matematických úloh je tabuľka založená na vyjadrení vzťahov medzi údajmi pomocou vzorcov. Proces návrhu a tvorby tabuliek na riešenie mate-matických problémov rozdelil Hvorecký (1992) do troch etáp:

1. Inicializácia – návrh štruktúry tabuľky a naplnenie relatívne malého počtu buniek vstupnými hodnotami.

2. Definícia vzťahov – vytvorenie väzieb medzi inicializovanými bunkami pro-stredníctvom vzorcov.

3. Distribúcia – rozšírenie vzťahov na ďalšie bunky tabuľky s využitím nástrojov tabuľkového kalkulátora.

Využitie rôznych reprezentácií údajov možno ilustrovať na nasledovnej úlohe: Deti skladali z kociek schody (pozri obr. 2.2.2). Určte, z koľkých kociek budú postavené schody v niekoľkých nasledujúcich krokoch.

Obr. 2.2.2 Stavba schodov Obr. 2.2.3 Tabuľka s grafom

Po zakreslení štvorčekov znázorňujúcich kocky usporiadané do schodov možno vytvoriť tabuľku, v ktorej podľa výšky schodov priradíme počet použitých kociek. Na schody s výškou 4 kocky použijú deti spolu 10 kociek, na schody s výškou 5 ko-ciek použijú 15 kociek, atď. Na základe vytvorenej tabuľky možno zostrojiť graf, ktorý vyjadruje závislosť počtu kociek od výšky schodov (pozri obr. 2.2.3). Pri postupnom vytváraní stavby je zrejmé, že v každom novom kroku sa pridáva toľko kociek, do akej



výšky sa stavajú schody. Táto skutočnosť je zreteľná aj z tabuľky, v ktorej sú pre-hľadne zapísané číselné údaje. Preto možno vyjadriť závislosť počtu kociek od výšky schodov symbolickým vzťahom naa nn += −1 , pričom 11 =a . Odvodený vzťah môže byť využitý pri definovaní vzorca v tabuľke na výpočet počtu kociek pre rôzne výšky schodov. z faktu, že počet nových kociek vo výške schodov (aj v každom schode) sa rovnomerne zväčšuje o 1 vyplýva, že závislosť počtu kociek od výšky schodov nie je lineárna. Dá sa ukázať že táto závislosť je kvadratickou, teda počet kociek možno vyjadriť pomocou kvadratického výrazu s premennou n.

PRECVIČTE sI

P5: Odvoďte analytický vzťah pre n-tý člen postupnosti vyjadrujúcej závislosť počtu kociek od výšky schodov.

Na výhody tabuliek pri organizovaní údajov a ich analýze možno poukázať pri rie-šení tejto úlohy: záchranná služba plánuje vybudovať na určitom teritóriu záchrannú stanicu s helikoptérami. V textovom súbore nehody.txt, ktorý je uložený na projek-tovom portáli, sú uvedené súradnice miest v zvolenej súradnicovej sústave, kde sa v sledovanom období prihodili nehody vyžadujúce rýchle lekárske ošetrenie, spolu s počtom nehôd za sledované obdobie. Ako sa má zvoliť pozícia pre vybudovanie záchrannej stanice, aby helikoptéry dorazili na miesto nehody čo najrýchlejšie?

Pre efektívne spracovanie údajov je vhodné zapísať súradnice miest, kde sa pri-hodili nehody a počet nehôd do tabuľky. Opisovaná tabuľka sa nachádza v zošite zach_stanica.xls na projektovom portáli. Pre hľadanie pozície záchrannej stanice je dôležité si uvedomiť, že hlavnou požiadavkou pri jej určovaní nie je minimálny sú-čet vzdialeností miest, kde sa prihodili nehody od pozície záchrannej stanice, lebo na niektorých rizikových miestach sa stávajú nehody častejšie.

To, že niektoré miesta majú väčšiu dôležitosť pre určenie pozície záchrannej stanice, vedie k úvahe, že ak by sme reprezentovali miesta, kde sa prihodili nehody hmotnými bodmi, tak počet nehôd by mohol odpovedať hmotnosti hmotných bodov. Na zá-klade tejto úvahy možno preformulovať pôvodný problém na nový problém vyžadu-júci nájdenie ťažiska hmotných bodov. Súradnice ťažiska hmotných bodov možno vypočítať využitím vzťahu:

∑

∑

=

== k

ii

k

iii

N

BNT

1

1

kde premenná Bi označuje súradnice hmotných bodov a Ni ich hmotnosť. časť zo-stavenej tabuľky s vypočítanými súradnicami ťažiska spolu s grafom je zobrazená na obrázku 2.2.4.

Pre úsporu miesta sú v tabuľke skryté niektoré riadky. V stĺpcoch E, F sú vypočítané súčiny odpovedajúcich súradníc a hmotností. Na výpočet týchto parciálnych výsled-kov nemuseli byť využité pomocné stĺpce, lebo matematická funkcia SUMPRODUCT



umožňuje priamo vypočítať súčet súčinov jednotlivých dvojíc údajových radov. Na výpočet súradníc ťažiska sú využité jednoduché vzorce =E28/D28 a =F28/D28. Tabuľka aj graf sa nachádzajú v zošite zach_stanica.xls.

Obr. 2.2.4 Výpočet ťažiska hmotných bodov

PRECVIČTE sI

P6: V zošite zach_stanica.xls na projektovom portáli vypočítajte súradnice ťa-žiska hmotných bodov pomocou funkcie SUMPRODUCT.

2.2.2 skúmanie vlastností útvarov a geometrických vzťahov pomo-cou dynamických konštrukcií

V tejto časti zameriame našu pozornosť na skúmanie vzťahov medzi geometrickými útvarmi. Na zostrojovanie geometrických útvarov a skúmanie ich vzájomných vzťahov možno využívať dynamické geometrické systémy.

V dynamických konštrukciách sa dá manipulovať s voľnými prvkami konštrukcie a pozorovať vyvolané zmeny na odvodených útvaroch. Táto základná vlastnosť dy-namických konštrukcií umožňuje vyšetrovať invariantné vlastnosti geometrických útvarov a geometrické vzťahy.

zaujímavé vlastnosti vykazuje štvoruholník, ktorý je určený stredmi strán daného štvoruholníka. Manipulovaním s vrcholmi daného štvoruholníka ABCD, možno po-zorovať, že štvoruholník KLMN určený stredmi strán pripomína rovnobežník (pozri obr. 2.2.5). V dynamických geometrických systémoch možno odmerať dĺžky úse-čiek a prípadne aj testovať rovnobežnosť priamok. Po vyslovení hypotézy na základe pozorovania útvarov v dynamickej konštrukcii by mal učiteľ od žiakov vyžadovať aj zdôvodnenie pozorovaných vzťahov.



Obr. 2.2.5 Skúmanie štvoruholníka

Rovnobežnosť úsečiek KL a NM vyplýva zo skutočnosti, že tieto úsečky sú stredné priečky v trojuholníkoch ACD a ACB so spoločnou stranou AC. Podobne využitím uhlopriečky BD možno zdôvodniť rovnobežnosť úsečiek KN a LM. Opisovaná dyna-mická konštrukcia je uložená v súbore stvoruholnik_stredy.fig. Pozorným skúma-ním možno nájsť aj ďalšie súvislosti medzi štvoruholníkom ABCD a rovnobežníkom KLMN. Body P, Q sú kolmé priemety bodov D, M na uhlopriečku AC. Trojuholníky CQM a CPD sú podľa vety uu podobné, pričom koeficient podobnosti je rovný číslu 2. Na základe tejto skutočnosti a vlastnosti strednej priečky možno vysloviť tvrde-nie, že obsah rovnobežníka KLMN je rovný polovici obsahu štvoruholníka ABCD. Odmeraním obsahov štvoruholníkov v dynamickej konštrukcii a manipulovaním s vr-cholmi štvoruholníka ABCD možno pre konkrétne prípady testovať platnosť uvede-ného tvrdenia. Ďalším námetom na skúmanie môže byť hľadanie takých štvoruholní-kov ABCD, aby bol rovnobežník KLMN pravouholníkom. Aj pri skúmaní tohto vzťahu sa dá využiť manipulovanie s dynamickou konštrukciou.

PRECVIČTE sI

P7: Pomocou dynamickej konštrukcie stvoruholnik_stredy.fig, ktorú nájdete na projektovom portáli zistite, pre aký štvoruholník ABCD bude rovnobežník KLMN štvorcom.

2.2.3 Interaktívne vzdelávacie aktivity s odstupňovaným systémom pomocných informácií

Moderné technológie vytvárajú nové príležitosti a možnosti pre podporu procesu učenia založenom na aktívnej práci s informáciami a na realizácii nových foriem dialógu žiakov so vzdelávacím prostredím. IKT umožňujú vytvárať učebné materiály, ktoré sú nielen zdrojom vzdelávacieho obsahu, ale aj prostriedkom pre implemento-vanie modelovacích aktivít, interaktivity a komunikácie so vzdelávacím prostredím, ktorá spolu so spätnou väzbou vytvára možnosti pre usmerňovanie procesu učenia. V učebných materiáloch by mala byť implementovaná stratégia učenia sa, ktorej dôležitou súčasťou je aj poskytovanie potrebnej cielenej pomoci v závislosti od indi-viduálnych schopností a potrieb učiaceho sa.



zapracovanie spätnej väzby a poskytovanie pomoci v elektronických učebných ma-teriáloch má podľa Mareša (2004) určité špecifické črty. Operatívna spätná väzba môže na jednej strane informovať žiaka, či sa s úlohou dobre vyrovnal a tým do istej miery aj modifikovať jeho učebný postup a jeho hodnotenie vlastných schopností riešiť úlohy. Na druhej strane však môže znižovať žiakovu motiváciu zamýšľať sa nad svojím hľadaním pomoci a spätne ho hodnotiť. Systém výučby zapracovaný v inte-raktívnych učebných materiáloch v mnohých prípadoch nie je dostatočne citlivý, aby zistil, aký typ pomoci žiak práve potrebuje a poskytol žiakovi požadovanú pomoc.

Pre stimulovanie aktívneho učenia a rozvíjanie poznávacích schopností učiaceho sa je potrebné integrovať do interaktívnych učebných materiálov odstupňovaný systém pomocných informácií.

Teoretickým východiskom pre zabezpečenie optimálnej miery pomoci môže byť teó-ria odstupňovaného tútorovania, ktorú Aleven a kol. (2003) charakterizoval pomocou nasledovných bodov:

• V prípade potreby poskytuje systém žiakovi pomoc, ktorá by mala byť odstupňo-vaná do viacerých úrovní – odporúčané sú štyri úrovne pomoci,

• Prvé tri úrovne zabezpečujú poskytnutie stále podrobnejších pomocných infor-mácií, ktoré postupne objasňujú podstatu riešenia úlohy,

• Posledná úroveň pomoci podáva podrobné vysvetlenie postupu riešenia úlohy,

• Ak sa nedostatky prejavujú aj v ďalšej práci s učebným systémom - žiakovi je potrebné poskytnúť aj nevyžiadanú pomoc zo strany učiteľa.

Obr. 2.2.6 Schéma riešenia poznávacej úlohy



Súčasťou interaktívnych matematických vzdelávacích aktivít by malo byť aj riešenie úloh, ktoré majú poznávací charakter a pri riešení ktorých môžu žiaci samostatne objavovať nové poznatky.

Na základe teórie odstupňovaného tútorovania je navrhnutá schéma riešenia po-znávacích úloh, ktorá predstavuje všeobecný model pre riadené osvojovanie no-vých poznatkov v procese učenia sa (pozri obrázok 2.2.6).

Aplikovanie schémy na konkrétny matematický obsah budeme ilustrovať na interak-tívnej vzdelávacej aktivite zameranej na objavenie poznatku o súčte vnútorných uhlov v konvexnom päťuholníku. Na vytvorenie vzdelávacej aktivity bol využitý autorský sys-tém ToolBook Instructor. Využívanie vzdelávacej aktivity nevyžaduje plnú inštaláciu komerčného softvérového systému ToolBook. Na prezeranie súborov vytvorených v systéme ToolBook možno využiť voľne prístupný plugin Neuron, ktorý je prístupný na portáli spoločnosti SumTotal Systems, Inc. (www.sumtotalsystems.com). Plugin Neuron a vzdelávacia aktivita sú uložené v súbore uhly_patuholnik.zip na projektovom portáli.

Cieľom vzdelávacej aktivity je priviesť žiakov k objaveniu postupu a vzťahu pre vý-počet súčtu veľkostí vnútorných uhlov v konvexnom mnohouholníku.

V úvode aktivity je zadaná úloha, ktorá vyzýva žiakov k tomu, aby určili súčet veľkostí vnútorných uhlov v konvexnom päťuholníku. Žiaci svoju odpoveď zapíšu do texto-vého poľa a potvrdia ju. V prípade, že žiak odpovie správne, môže pokračovať rie-šením ďalšej úlohy tak, ako navrhuje schéma. Na obrázku 2.2.7 je zobrazená časť stránky so zadaním poznávacej úlohy.

Obr. 2.2.7 Zadanie poznávacej úlohy



Ak by žiak vedel samostatne objaviť postup pre určenie súčtu veľkostí vnútorných uh-lov v päťuholníku, tak by sa po zadaní správnej odpovede dostal na poslednú stránku vzdelávacej aktivity, resp. na ďalšiu úlohu. V prípade, že žiak nevie nájsť riešenie úlohy, resp. zadá nesprávnu odpoveď, zobrazí sa prvá úroveň pomoci, ktorá obsa-huje návod, aby si žiak spomenul na súčet veľkostí uhlov v jednoduchších útvaroch a tento poznatok skúsil využiť. Ďalšia úroveň pomoci je žiakovi poskytnutá po druhej nesprávnej odpovedi. Obsahuje výzvu, aby si žiak rozdelil päťuholník na jednoduch-šie útvary, v ktorých vie určiť veľkosť vnútorných uhlov. V prípade, že žiakovi ponúk-nutá pomoc nepostačuje, je mu v ďalšej pomocnej informácii vysvetlený hlavný krok riešenia úlohy (pozri obrázok 2.2.8) a zadaná je mu náhradná úloha.

Obr. 2.2.8 Hlavný krok riešenia poznávacej úlohy

Keďže žiak nevedel vykonať sám žiadny krok riešenia poznávacej úlohy, musí preu-kázať pochopenie vysvetľovaných vzťahov pri riešení náhradnej úlohy. zadanie ná-hradnej úlohy je zobrazené na obrázku 2.2.9.

Obr. 2.2.9 Náhradná úloha



Ak žiak vyrieši náhradnú úlohu správne, tak môže pokračovať riešením ďalšej úlohy. V opačnom prípade systém pomocných informácii v učebnej aktivite bol pre žiaka nepostačujúci a preto žiak dostáva odporúčanie, aby požiadal o pomoc učiteľa.

Schému riešenia poznávacej úlohy sme aplikovali aj pri tvorbe ďalších interaktívnych vzdelávacích aktivít. Na adrese ftp.upjs.sk/pub/education/mathematics sa nachádza vzdelá-vacia aktivita zameraná na skúmanie vlastností tetivového štvoruholníka.

PRECVIČTE sI

P8: Otvorte vzdelávaciu aktivitu o tetivovom štvoruholníku a prezrite si odstupňo-vaný systém pomocných informácií navádzajúcich na objavenie vzťahu medzi veľkosťami protiľahlých vnútorných uhlov v tetivovom štvoruholníku.

2.3 Naučme žiakov analyzovať a zostavovať algoritmy na automatizáciu procesov

Pojem algoritmus patrí medzi základné pojmy v matematike. často sa považuje za zá-kladný prvok logického uvažovania. Nad algoritmami sa ľudia zamýšľali už dávno v histórii v súvislosti s hľadaním postupov na riešenie úloh. Algoritmus vyjadruje po-stup na realizovanie výpočtov, ktoré sa dajú využiť na riešenie toho istého typu úloh. Podľa Hvoreckého (1992) musí mať algoritmus dve základné vlastnosti:

1. proces opísaný algoritmom dokázateľne končí po realizácii konečného počtu krokov (konečnosť),

2. realizáciou algoritmu získame zo vstupných údajov cieľové výstupné údaje spĺňajúce výstupné podmienky (rezultatívnosť).

Schopnosť aktívne tvoriť postupy riešenia problémov a presne ich zapisovať v ma-tematickom alebo algoritmickom jazyku je dôležitou súčasťou algoritmického mys-lenia. Aj keď sa algoritmické myslenie často chápe najmä ako schopnosť spojená s efektívnym využívaním IKT, je potrebné si uvedomiť, že algoritmické myslenie tvorí dôležitý komponent matematického myslenia. Na hodinách matematiky sa žiaci učia algoritmy na vykonávanie operácií s číslami, na hľadanie prvočísel, zostrojovanie ge-ometrických konštrukcií, riešenie rovníc a sústav rovníc, a pod. Pre porozumenie algoritmov je dôležité nielen zapamätať si postup realizácie algoritmu, ale aj rozumieť prečo je algoritmus správny a prípadne aj vedieť modifikovať algoritmus na riešenie podobných úloh.

Na základe práce Larsona vyčlenil Jančařík (2007) päť úrovní algoritmického myslenia:

1. schopnosť správne aplikovať algoritmus v konkrétnej situácii,

2. schopnosť vytvárať vlastné algoritmy,

3. schopnosť overiť správnosť a efektivitu algoritmov,



4. schopnosť rozoznať problém, ktorý nemá algoritmické riešenie,

5. schopnosť správne popísať algoritmus slovami.

Využitie IKT umožňuje žiakom efektívne realizovať postupy na riešenie niektorých typov úloh. Príkladom môže byť zápis vzorcov na realizáciu výpočtov v prostredí ta-buľkového kalkulátora alebo tvorba procedúr na konštrukciu geometrických útvarov v jazyku LOGO. Kľúčovú IKT kompetenciu analyzovať a zostavovať algoritmy možno charakterizovať nasledujúcimi spôsobilosťami:

• vedieť využívať IKT pri nacvičovaní algoritmov,

• vedieť využiť IKT pri realizácii niektorých častí algoritmu,

• vedieť implementovať algoritmy v prostredí IKT.

2.3.1 Nácvik matematických algoritmov

Vhodné pomôcky pre nacvičovanie matematických algoritmov možno vytvoriť aj v prostredí tabuľkového kalkulátora. Aj s využitím základných nástrojov programu Microsoft Excel sa dajú vytvoriť pracovné zošity, v ktorých môžu žiaci zapisovať údaje len do určených buniek a po potvrdení zápisu získajú vyhodnotenie svojej odpo-vede. Na ilustráciu uvedených možností sme vytvorili zošit percenta.xls, ktorý slúži na precvičovanie základných postupov na počítanie s percentami. Na obrázku 2.3.1 je zobrazená časť prvého hárku.

Žiak môže najprv vypočítať cenu svetra po prvom zlacnení o 5 %, ak pôvodná cena bola 50 EUR. Na vyhodnotenie odpovede uloženej v bunke C8 je v bunke F8 za-písaný vzorec: =IF(C8=“„;“ „;IF(C8=47,5;“správne“;“nesprávne“)). Pre bunky hárku, do ktorých žiak nemá zapisovať údaje, je pomocou príkazu Formát bunky zapnutá ochrana. Táto ochrana sa prejaví po zabezpečení hárku.

Obr. 2.3.1 Počítanie s percentami

Žiak môže v určenej oblasti hárku vytvoriť tabuľku na výpočet ceny svetra po dvoj-násobnom zlacnení pre konkrétne pôvodné ceny svetra. Po správnom výpočte by



mal zistiť, že výsledné (percentuálne) zlacnenie nezávisí od pôvodnej ceny svetra a je stále 9,75 % pôvodnej ceny svetra. Po zapísaní správnej odpovede do bunky A14 a zatlačení tlačidla Kontrola sa zobrazí hárok s vysvetlením riešenia prvej úlohy.

Obr. 2.3.2 Vyhodnotenie odpovede Obr. 2.3.3 Ukrytie hárkov

S tlačidlom Kontrola je spojené makro vytvorené v programovacom jazyku VBA, ktoré je zobrazené na obrázku 2.3.2. Makrá možno vytvárať v záznamovom režime, alebo ich zapisovať v editore jazyka Visual Basic, ktorý najľahšie vyvoláme stlačením kombinácie klávesov ALT+F11. Aby sa ďalšie hárky zošita zobrazovali až po správnej reakcii žiaka, je potrebné automaticky ich ukryť pri otváraní zošita. Preto do okna ThisWorkbook, ktoré obsahuje makrá vykonávané pri otváraní zošita, zapíšeme makro zobrazené na obrázku 2.3.3.

Po preštudovaní vysvetlenia prvej úlohy môže žiak pomocou tlačidla zobraziť hárok s nasledujúcou úlohou (pozri 2.3.4).

Obr. 2.3.4 Počítanie s percentami

Aby fungovali makrá po otvorení zošita, je potrebná ich aktivácia pri otváraní zošita. Po zobrazení dialógového okna vyberieme tlačidlo zapnúť makrá. Dialógové okno sa však zobrazí len vtedy, ak je nastavená stredná alebo nízka úroveň zabezpečenia makier. Úroveň zabezpečenia možno nastaviť pomocou príkazu Nástroje, Makro, zabezpečenie.

PRECVIČTE sI

P9: Navrhnite a vytvorte zošit na precvičovanie vybraného typu algoritmov.



Na precvičovanie matematických algoritmov možno nájsť mnoho zaujímavých vzde-lávacích zdrojov aj na internete. Pre zvýšenie atraktívnosti sú niektoré výučbové programy alebo interaktívne webové stránky vypracované vo forme hier. Medzi vzde-lávacie aplikácie tohto druhu patrí aj applet s názvom Primyphos z kolekcie Waltera Fendta, ktorý je dostupný na adrese www.walter-fendt.de/m14d/primyphos.htm. Applet slúži na nácvik algoritmu na prvočíselný rozklad prirodzených čísel. Súčasťou appletu je aj príbeh o Sisyfosovi, ktorý musel vytlačiť balvan na kopec, ale pred dosiahnutím cieľa sa mu balvan skotúľal z kopca a musel začať od znova. Učiteľ môže využiť tento príbeh na zaujatie žiakov a zvýšenie ich aktivity. Vo vyučovacom procese možno vy-užiť aj český preklad appletu, ktorý sa nachádza na stránke www.walter-fendt.de/m14cz/primyphos_cz.htm.

Žiaci si môžu vybrať číslo z ponúkaných prirodzených čísel. Postupným klikaním po-súvajú číslo nahor po schodíkoch. Ak už číslo nemožno posunúť na vyšší schodík, je potrebné zapísať ho ako súčin deliteľov. Každý zápis do určeného poľa v spodnej časti appletu sa potvrdzuje klávesom ENTER. Na obrázku 2.3.5 je vyjadrené číslo 84 ako súčin deliteľov 4 a 21.

Obr. 2.3.5 Hra na prvočíselný rozklad

Po správnom zápise súčinu deliteľov sa rozdelí kruh s číslom na dva kruhy podľa zapísaných deliteľov. Pre každý deliteľ pokračujeme v rozkladaní, až kým nezískame prvočísla, ktoré možno klikaním presunúť až na vrchol kopca. Súčin všetkých prvo-čísel na vrchole kopca sa rovná prirodzenému číslu zvolenému na začiatku riešenia úlohy. Celý postup možno zopakovať pre ďalšie čísla na úpätí kopca.

Pri práci s appletom Primyphos môžu žiaci voliť zo začiatku delitele pri rozkladaní zloženého čísla podľa vlastného uváženia. Ak by sa však zamýšľali nad opísaním a vytvorením algoritmu na prvočíselný rozklad prirodzených čísel, mali by si uvedomiť dôležitosť aplikovania systematického postupu pri riešení tejto úlohy. Ako pomôcku pre vytváranie prvočíselných rozkladov prirodzených čísel sme pre žiakov pripravili tabuľku v zošite prvociselny_rozklad.xls. Žiaci majú postupne zapisovať do ľavého stĺpca tabuľky delitele čísla, ktoré je uvedené ako posledné v pravom stĺpci tabuľky.



Potom sa číslo z pravého stĺpca tabuľky automaticky vydelí zadaným deliteľom. Prostredný stĺpec tabuľky slúži na kontrolu, či zapísané prirodzené číslo je deliteľom posledného čísla v pravom stĺpci tabuľky. Ak žiak zapíše do tabuľky prirodzené číslo, ktoré nie je deliteľom posledného čísla z pravého stĺpca, tak v prostrednom stĺpci tabuľky sa objaví text „nie“ a nevykoná sa delenie zapísaným číslom. Rozkladanie zadaného čísla je ukončené, ak po vydelení prirodzeného čísla zadaným deliteľom dostaneme číslo 1. V zošite je zapnutá ochrana, ktorá dovoľuje žiakom zapisovať čísla len do určených buniek tabuľky (heslo mvp). Vzorce sú pred žiakmi ukryté, aby ich zbytočne nerozptyľovali. Na obrázku 2.3.6 je tabuľka s prvočíselným rozkladom čísla 120.

Obr. 2.3.6 Tabuľka na prvočíselný rozklad

Môže sa stať, že spočiatku budú niektorí žiaci zapisovať aj delitele, ktoré nie sú pr-vočíslami. V takomto prípade síce vyjadria zadané číslo ako súčin prirodzených čí-sel, ale nezískajú v tabuľke prvočíselný rozklad zadaného čísla. Po rozklade niekoľ-kých prirodzených čísel by mal učiteľ vyžadovať od žiakov slovný opis využívaného postupu. Žiaci by mali pri opise algoritmu vysvetliť, že na začiatku sa má zapísať najmenší prvočíselný deliteľ zadaného čísla. Delenie sa opakuje, kým vypočítané číslo v pravom stĺpci je deliteľné týmto deliteľom. Potom sa zapíše do ľavého stĺpca najbližší väčší prvočíselný deliteľ posledného čísla v pravom stĺpci. Opísaný postup sa opakuje, kým sa po vykonaných deleniach neobjaví v pravom stĺpci číslo 1. Tento postup môže byť základom algoritmu zapísaného v konkrétnom programovacom jazyku.

PRECVIČTE sI

P10: Vyhľadajte na internete applety na prvočíselný rozklad prirodzených čísel.

2.3.2 využitie IKT pri realizácii matematických algoritmov

Vychádzajúc z prác indických matematikov napísal arabský matematik Abú Abdalláh Muhammad ibn Músá al-Chorezmí al-Mádzúsí jednu z prvých kníh zaoberajúcich sa algoritmami na vykonávanie operácií v pozičnej desiatkovej číselnej sústave. Poznamenajme, že meno al-Chórezmí bolo v stredoveku latinizované na Al-Gorizmi, neskôr na Algorithmi, ktoré sa stalo základom slova algoritmus. Aj na hodinách ma-



tematiky sa žiaci učia vykonávať algoritmy na sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie čísel. Po vyriešení mnohých úloh sa u nich využívaný postup zautomatizuje a nemu-sia ani rozmýšľať nad jednotlivými krokmi algoritmu.

zložitejšia situácia nastáva, ak je potrebné algoritmus popísať, alebo ho dokonca zapísať v algoritmickom jazyku. Vhodné prostredie na realizáciu výpočtových algorit-mov operujúcich s ciframi čísel ponúka aj program Microsoft Excel. V matematických súťažiach sa často vyskytujú aj úlohy na hľadanie a doplňovanie cifier. Na obrázku 2.3.7 je zobrazená úloha na hľadanie správnych cifier čísel, v ktorých je cifra 4 nahra-dená ľubovoľnými ciframi. Vo výsledku sú však cifry nezmenené.

Obr. 2.3.7 Sčítanie čísel

V pravej časti obrázka 2.3.7 sú jednotlivé cifry zapísané v samostatných bunkách a využitím vzorcov sú vypočítané cifry súčtu zadaných čísel. Našou úlohou je na-hradiť niektoré cifry číslicou 4 tak, aby bol súčet rovný číslu 9875. Pri implementácii algoritmu sčítame najprv posledné cifry čísel a určíme zvyšok pri celočíselnom delení číslom 10. Využijeme vzorec: =MOD(K3+K4+K5+K6;10). Ak súčet prekročil číslo 9, musíme počet desiatok pripočítať k súčtu desiatok vo vedľajšom stĺpci. Na výpočet zvyšku využijeme vzorec: =INT((K3+K4+K5+K6)/10), ktorý zapíšeme nad desiatky. Tento postup je potrebné zopakovať aj pre ďalšie stĺpce. V tabuľke to vykonáme tak, že skopírujeme vzorce na výpočet súčtu a zvyšku do susedných buniek vľavo. Teraz už stačí nahradzovať cifry štvorkami, až kým sa nám nepodarí získať zadaný výsledok. Tabuľka je uložená v súbore scitanie_cifry.xls.

PRECVIČTE sI

P11: Zostavte tabuľku s prehľadným výpisom všetkých možností riešenia úlohy na súčet troch čísel.

Vráťme sa znova k deliteľnosti prirodzených čísel. Veľmi pekný námet na analyzova-nie, zápis a realizáciu algoritmu ponúka testovanie prvočísel. Tento problém zaujal matematikov už v antickom Grécku. známy grécky matematik Eratostenes vymyslel veľmi efektívny algoritmus na hľadanie prvočísel po zadané prirodzené číslo. Po za-vedení pojmu prvočíslo riešia žiaci na hodinách matematiky úlohu, ako rozhodnúť, či dané prirodzené číslo je prvočíslo. Pre riešenie úlohy je vhodné zostaviť tabuľku, do ktorej sa zapisujú čísla, deliteľnosť ktorými bola postupne vyskúšaná pri testovaní prvočísla. Na začiatku to môžu byť za sebou idúce prirodzené čísla až po polovicu zadaného čísla. Učiteľ má vhodnú príležitosť spolu so žiakmi postupne vylepšovať algoritmus na testovanie prvočísel. Najprv navedie žiakov na zníženie hranice, po ktorú je potrebné skúšať deliteľnosť a potom zameria pozornosť žiakov na čísla v ľa-vom stĺpci tabuľky, ktorými sa vyšetruje deliteľnosť zadaného čísla. Na obrázku 2.3.8



sú zobrazené tabuľky, ktoré boli vytvorené pri postupnom vylepšovaní algoritmu. Uvedené tabuľky sa nachádzajú v zošite test_prvočísla.xls.

Obr. 2.3.8 Testovanie prvočísel

V pravom stĺpci tabuliek je zapísaný v prvom riadku vzorec: =IF(MOD($A$2;A5)=0;1;0). Ak príslušné číslo z ľavého stĺpca je deliteľom zadaného čísla, zapíše sa v pravom stĺpci číslo 1. Ak nie je deliteľom, zapíše sa číslo 0. Vedľa tabuliek možno pomocou funkcie IF zapísať vzorec na rozhodnutie, či zadané prirodzené číslo je prvočíslo. Prvá tabuľka je pomerne rozsiahla, lebo umožňuje nájsť všetkých netriviálnych deliteľov zadaného čísla.

PRECVIČTE sI

P12: Upravte tabuľku v prvom stĺpci obrázka 2.3.8, aby umožňovala zistiť, či za-dané prirodzené číslo je dokonalé (súčet všetkých deliteľov dokonalého čísla je rovný jeho dvojnásobku).

Druhá tabuľka je už úspornejšia, lebo sa v nej testujú čísla len po odmocninu za-daného čísla. Pomocou podmieneného formátu sú zvýraznené čísla, ktorými bola vyskúšaná deliteľnosť zadaného čísla. Po zostavení a vyskúšaní prvých dvoch tabu-liek by mali žiaci objaviť skutočnosť, že vyšetrovať deliteľnosť niektorými číslami nie je potrebné. Napríklad, ak je číslo deliteľné 2, tak už nemôže byť prvočíslo. Ak nie je deliteľné 2, tak nemôže byť deliteľné ani násobkom čísla 2. Podobná úvaha platí pre číslo 3, atď. Preto sú v tretej tabuľke v ľavom stĺpci uvedené len prvočísla. Aj pomerne malá tabuľka umožňuje testovať prvočíselnosť prirodzených čísel menších ako 1000.

Uvedenú úvahu možno využiť aj pri takom postupe hľadania prvočísel, že najprv zapíšeme za sebou idúce prirodzené čísla až po určitú hranicu a potom budeme postupne vyškrtávať násobky prvočísel. Algoritmus založený na tomto postupe sa nazýva Eratostenovo sito. Na internete možno nájsť mnoho appletov na realizáciu



Eratostenovho sita pre rôzne veľké tabuľky s prirodzenými číslami. Pre jednodu-chosť ovládania odporúčame využiť applet na portáli nlvm.usu.edu s názvom Sieve of Eratosthenes v skupine Number and Operations.

Obr. 2.3.9 Eratostenovo sito

Po vyskúšaní algoritmu by mal učiteľ požadovať od žiakov zápis algoritmu. Pri jeho zápise sa musia žiaci zamyslieť najmä nad dvoma otázkami:

• Ako zapísať opakovanie krokov algoritmu?

• Kedy už možno vyškrtávanie čísel ukončiť?

Pri hľadaní odpovede na druhú otázku, by si mali žiaci uvedomiť, že ak po vyškrtaní všetkých násobkov označeného prvočísla, bude nasledujúce nevyškrtnuté číslo väč-šie ako odmocnina z posledného čísla v tabuľke, tak ukončíme vyškrtávanie čísel, lebo v tabuľke už ostali len prvočísla.

2.4 Naučme žiakov využívať a tvoriť modely

Dôležitým predpokladom rozvíjania schopnosti riešiť rôzne typy problémov sú zna-losti a zručnosti spojené s využívaním vhodných modelov reprezentujúcich reálne objekty a situácie. Pri prvotnom chápaní kvantitatívnych vzťahov sú modely tesne na-viazané na konkrétne situácie. Tieto tzv. separované modely využívajú žiaci pri repre-zentovaní reálnych objektov pomocou jednoduchých schém a obrázkov. Postupne sú používané modely stále abstraktnejšie a schopnosť tvoriť a využívať adekvátne matematické modely patrí medzi základné komponenty matematického myslenia.

Podstatou matematického modelovania je dôsledná analýza skúmanej reality a na jej základe zostavený symbolický abstraktný model postavený na matematických a lo-gických vzťahoch medzi jeho parametrami.



Transformácia problémov do matematickej formy je založená na identifikácii pre-menných popisujúcich problém a vyjadrení vzťahoch medzi nimi, aproximáciách a rôznych druhoch výpočtov. Výsledky získané z matematického modelu musia byť interpretované späť do reálneho sveta, kde by mala byť posúdená miera ich vhod-nosti a správnosti. Prehľadne môže byť proces modelovania vyjadrený pomocou nasledovnej schémy.

Obr. 2.4.1 Proces modelovania

Matematické modelovanie vyjadruje kompetenciu používať matematický jazyk a me-tódy pri reprezentovaní a interpretovaní javov odohrávajúcich sa v reálnom svete. OECD PISA vyčlenila osem typických matematických kompetencií, medzi ktoré patrí aj modelovanie (OECD PISA, 2003). Podobne v štátnom vzdelávacom programe ISCED2 je ako dôležitý výsledok vyučovania matematiky uvádzané aj nadobudnutie skúseností s matematizáciou reálnych situácií a s tvorbou matematických modelov.

Matematické modelovanie môže nadobúdať vo vyučovacom procese rôzne podoby. Jednu možnosť predstavuje empirické modelovanie zahŕňajúce zber a analýzu ex-perimentálnych údajov. Ďalšou možnosťou je využitie matematického modelovania ako cyklického procesu riešenia problémov, pri ktorom proces aplikácie alebo tvorby a vylepšovania modelu prebieha vo viacerých etapách za účelom dosiahnutia lep-šieho prispôsobenia realite. Tento spôsob modelovania môže byť realizovaný v na-sledujúcich formách:

• Skúmanie hotového modelu zmenou vstupných údajov za účelom porozume-nia štruktúry modelu a vzťahov medzi jeho komponentmi.

• Modely založené na iterácii a rekurzii umožňujúce prostredníctvom systematic-kých zmien vstupných parametrov postupné približovanie získaných výsledkov k riešeniu skúmaného problému.

• Modelovanie spočívajúce v postupnom vylepšovaní a zovšeobecňovaní mo-delu s cieľom, aby upravený model lepšie odpovedal skutočnosti.

Modelovaniu sa možno učiť len aktívnou praktickou činnosťou. Žiaci môžu v úvod-ných etapách riešenia problémov pracovať aj s hotovými modelmi a zamerať sa na skúmanie vlastností a správania sa modelov zmenou vstupných podmienok.



Modelovací proces pozostáva potom z postupnosti krokov zameraných na identifiká-ciu pravidiel popisujúcich vlastnosti skúmaného modelu. Takýto spôsob výučby pod-poruje aktívne získavanie poznatkov založené na experimentovaní a výskumníckej činnosti. Po pochopení štruktúry modelu a vzťahov medzi jeho základnými prvkami môžu študenti ďalej rozvíjať a vylepšovať vytvorené modely, aby vernejšie a presnej-šie odrážali vybrané aspekty skúmanej reality.

zaradenie modelovacích aktivít do vyučovania matematiky umožňuje efektívnejšie učenie sa a hlbšie porozumenie matematických poznatkov. V článku (Carlson a kol., 2003) venovanom výsledkom päť ročného výskumu zameraného na využívanie ma-tematického modelovania vo vyučovaní matematiky uvádzajú autori niekoľko dôleži-tých záverov. Niektoré z nich sme zhrnuli do nasledovných bodov:

1. Poznávanie reality: od študentov sa vyžaduje skúmanie a analyzovanie reál-nych situácií, ktoré môžu presahovať hranice ich vedomostí a skúseností.

2. Komplexnosť riešených problémov: riešenie problémov pomocou mate-matického modelovania pomáha rozvíjať medzipredmetové vzťahy a ponúka príležitosti pre využívanie poznatkov z rôznych vedných disciplín.

3. Porozumenie problémovej situácie: v úvodnej etape riešenia problému je pre porozumenie problémovej situácie dôležité zrozumiteľne a presne charak-terizovať vzťahy medzi skúmanými objektmi pomocou názorných obrázkov, schém a grafov, ktoré môžu byť východiskom pre vytváranie jednoduchých modelov.

4. Aktívna práca s modelmi: pri riešení problémových situácií sú konfrontované matematické znalosti študentov s požiadavkou vyvíjať a modifikovať rôzne typy matematických modelov.

5. Zovšeobecňovanie výsledkov: postupné vylepšovanie a zovšeobecňovanie modelu reprezentujúceho reálnu situáciu. Študenti v záverečnej etape ana-lyzujú výsledky získané z riešenia matematického modelu a interpretujú ich využiteľnosť na riešenie problému.

Pri rozvíjaní schopností riešiť reálne problémy vytváraním a skúmaním matematic-kých modelov môžu zohrať dôležitú úlohu aj moderné informačné technológie, ako sú dynamické geometrické systémy, tabuľkové kalkulátory alebo rôzne druhy mate-matických programových systémov.

IKT prinášajú možnosti na využitie rôznorodých numerických a grafických nástro-jov a prostriedkov symbolickej algebry pre vytváranie matematických modelov na riešenie rôznych typov problémov z reálneho života. Ďalšou možnosťou vyu-žitia IKT pri modelovaní je simulácia reálnych situácií a dynamických procesov, súčasťou ktorých môžu byť aj veličiny, ktoré majú pravdepodobnostný charakter.

Na základe modelu kľúčových IKT kompetencií od BECTA možno kompetenciu mo-delovanie detailnejšie charakterizovať nasledujúcimi spôsobilosťami:

• vedieť využívať rôzne typy modelov na vyšetrovanie matematických štruktúr a vzťahov medzi objektmi,



• vedieť analyzovať vzťahy medzi objektmi reprezentovanými v modeli vyhod-nocovaním experimentálnych výsledkov získaných zmenami vstupných para-metrov modelu,

• vedieť využívať počítačové simulácie procesov a náhodných javov,

• vedieť porovnávať rôzne typy modelov vo vzťahu k riešenému problému a in-terpretovať získané výsledky.

Na rozvíjanie uvedených IKT kompetencií vo vyučovaní matematiky možno využiť rôzne programové systémy a vzdelávacie zdroje na internete. Niektoré možnosti sú naznačené v nasledujúcich častiach venovaných využitiu modelovania pri riešení problémov. Vzhľadom na rozmanité numerické a grafické nástroje implemento-vané v tabuľkových kalkulátoroch, ponúka tento typ programu zaujímavé možnosti pre tvorbu a využívanie rôznych typov modelov. Tabuľky predstavujú jeden z typov matematických modelov a ich tvorba a modifikácia v prostredí tabuľkového kalkulá-tora pomáha rozvíjať predstavu modelovania ako dynamického procesu.

Veľkou výhodou tabuľkového kalkulátora je skutočnosť, že údaje v tabuľkách sa pri manipulácii s modelom automaticky prepočítavajú a prinášajú výsledky využi-teľné na riešenie problému.

Henning a Keune (2002) uvádzajú aj ďalšie výhody využívania tabuľkového kalkulá-tora pri realizácii modelovacích aktivít:

• čísla v tabuľkách vypočítané pomocou vzorcov predstavujú výsledky získané riešením modelu reprezentujúceho realitu.

• Využitím základných výpočtových operácií a zabudovaných funkcií sú k dispozícii každodenné „vzťahy“, ktoré možno intuitívne vyjadrovať vytváraním väzieb medzi údajmi prostredníctvom vzorcov.

• Použitím tabuľkového kalkulátora sa práca s modelom výrazne zjednodušuje. Na modeli možno prevádzať simulácie a dajú sa skúmať vplyvy parametrov, kon-krétne hodnoty ktorých sú uložené v bunkách tabuľky.

2.4.1 využívanie rôznych typov modelov pri riešení úloh

Podľa matematického aparátu a typov reprezentácií reálnych objektov využitých pri tvorbe modelu možno rozlišovať päť typov modelov:

• Aritmetický – vyjadrený vo forme tabuľky operácie, usporiadanej n-tice a pod.,

• Geometrický – vytvorený pomocou geometrických útvarov,

• Grafický – znázorňujúci grafy reprezentujúce funkčné závislosti,



• Algebraicko-analytický – založený na identifikovaní premenných a vyjadrení vzťahov medzi nimi pomocou rovníc, nerovníc a funkčných závislostí,

• Kombinovaný

Výber typu modelu pre riešenie problému závisí od charakteru vstupných informácií a vlastností modelovanej problémovej situácie. Využitie aritmetického modelu bu-deme ilustrovať na úlohe z 15. storočia (Kopka, 1999): Hlava ryby váži 1/3 celej ryby, jej chvost váži 1/4 a jej zvyšné telo váži 30 uncí. Koľko váži celá ryba?

Tabuľku predstavujúcu aritmetický model by mohli žiaci vytvoriť aj na papieri. zvolili by si hmotnosť celej ryby a potom by dopočítali hmotnosti ďalších častí ryby podľa vzťahov zo zadania úlohy. Podľa hmotnosti zvyšného tela by v ďalšom riadku tabuľky mohli zapísať novú hodnotu hmotnosti celej ryby a pokračovať vo výpočte. Na ob-rázku 2.4.2 je zobrazená tabuľka, v ktorej bola na začiatku zvolená hmotnosť celej ryby 48 uncí.

Obr. 2.4.2 Hmotnosť ryby Obr. 2.4.3 Využitie vzorcov

Postupne sú dosadzované za hmotnosti ryby väčšie hodnoty, až kým nie je hmotnosť zvyšného tela 30 uncí. Celá ryba teda váži 72 uncí. V prostredí tabuľkového kalku-látora nie je potrebné vytvárať tabuľku s viacerými riadkami, lebo vstupné hodnoty možno v tabuľke prepisovať. Na výpočet hmotností jednotlivých častí ryby sú využité vzorce obsahujúce adresy buniek reprezentujúcich jednotlivé údaje. Pri zápise vzor-cov sa žiaci nemusia trápiť so zapisovaním adries buniek, lebo stačí ukazovateľom myši vybrať príslušnú bunku. Na obrázku 2.4.3 je zobrazený aritmetický model vytvo-rený v programe Microsoft Excel. Vo vzorcovom paneli je zobrazený vzorec zapísaný v bunke C2. Bunka A2 obsahuje vzorec: =D2/3 a v bunke B2 je vzorec: =D2/4.

Ak by sme na začiatku zadali za hmotnosť celej ryby hodnotu 36, ľahko by sme mohli určiť správnu hmotnosť ako dvojnásobok vstupnej hodnoty, lebo aritmetický model na riešenie úlohy je lineárny. Na porozumenie jednoduchých vzťahov medzi objektmi a rozvíjanie schopnosti matematicky vyjadriť tieto vzťahy je vhodné venovať dostatočnú pozornosť lineárnym modelom, ktoré môžu byť východiskom pre grafické alebo aj zložitejšie modely. Využitím aritmetického modelu na riešenie zadanej úlohy možno prirodzene prejsť aj k algebraicko-analytickému modelu. Stačí, ak namiesto dosadzovania konkrétnych čísel za hmotnosť celej ryby, označíme neznámu hmot-nosť písmenom x. Využitím vzťahov vyjadrených vo vzorcoch v bunkách tabuľky

možno zostaviť rovnicu: xxx=++ 30

43.



PRECVIČTE sI

P13: Vytvorte aritmetický model vo forme tabuľky na určenie výslednej koncentrá-cie roztoku zmiešaného z dvoch roztokov s danými hmotnosťami vody a roz-pustenej látky.

Pekným príkladom na aritmetický model je schéma na výpočet kombinačných čísel známa ako Pascalov trojuholník. Aj keď Pascalov trojuholník ma viacero zaujímavých vlastností, sústredíme sa na vyšetrovanie deliteľnosti čísel v Pascalovom trojuholníku. Na obrázku 2.4.4 sú v jednotlivých bunkách tabuľky vypočítané zvyšky pri celočí-selnom delení číslom 3. Bunky, v ktorých je uložený zvyšok 0, sú podfarbené žltou farbou. V tabuľkovom kalkulátore možno vo vytvorenej tabuľke meniť deliteľa čísel a získavať zaujímavé rekurzívne obrázky tzv. fraktály. Opisovaná tabuľka sa nachádza v súbore pascalov_trojuholnik.xls.

Obr. 2.4.4 Pascalov trojuholník

PRECVIČTE sI

P14: Vyhľadajte na internete applety na zobrazovanie fraktálov v Pascalovom trojuholníku.

Na využitie geometrického modelu sme vybrali úlohu z publikácie PISA (2003): Mária býva 2 km od školy a Martin 5 km od tej istej školy. Ako ďaleko od seba bývajú Mária a Martin?

Na geometrickú reprezentáciu problémovej situácie je vhodný dynamický geomet-rický systém. Vlastnosti tohto systému umožňujú vytvoriť dynamický geometrický model, v ktorom možno meniť umiestnenie bydliska spolužiakov a aj zmeniť vstupné parametre modelu predstavujúce vzdialenosti ich bydlísk od školy. Na obrázku 2.4.5 je zobrazená jedna konkrétna situácia.



Obr. 2.4.5 Geometrický model

Príkladom na použitie grafického modelu je applet, ktorý umožňuje žiakovi pozorovať grafickú závislosť dráhy a rýchlosti od času (pozri obrázok 2.4.6). Spomínaný applet nájdete na stránke http://phet.colorado.edu/en/simulation/moving-man.

Obr. 2.4.6 Grafický model

Žiak môže ľubovoľne pohybovať mužom v applete a pozorovať zmeny v jednotlivých grafoch. Pohyb si môže opätovne prehrať buď plynule alebo po krokoch a pozoro-vať tak postupné zmeny v grafe. Dá sa očakávať, že uvedené modelovanie umožní žiakom lepšie porozumieť významu pojmu graf funkcie.



PRECVIČTE sI

P15: Navrhnite úlohy, ktoré môžu žiaci modelovať vo vytvorenom applete

Algebraicko-analytický model, ktorý je zameraný na objavenie vzťahu medzi dĺžkou a šírkou stola a počtom stoličiek, ktoré sa nám ku stolu zmestia za daných pod-mienok, nájdeme na stránke http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=144 (obrázok 2.4.7).

V applete môžeme meniť nastavenia pre dĺžku a šírku stola, počet stoličiek, ktoré sa zmestia k jednému stolu, ďalej môžeme nastaviť, či budeme situáciu skúmať (explo-ration) alebo budeme hádať (guess) výsledok. Najprv odporúčame so žiakmi situáciu skúmať. V tejto fáze môžu žiaci modelovať a pozorovať rôzne situácie a úplne tak po-rozumieť zadanej úlohe. Neskôr pozorujú vzťah medzi dĺžkou a šírkou stola a počtom stoličiek. Až potom môžu skúsiť hádať a nakoniec by mali vedieť zapísať všeobecný vzťah závislosti počtu stoličiek od parametrov stola.

Obr. 2.4.7 Algebraicko-analytický model

PRECVIČTE sI

P16: Odvoďte všeobecný vzťah závislosti počtu stoličiek od parametrov stola.



2.4.2 stochastické modely

Modely možno rozdeľovať podľa viacerých kritérií. Na základe vzťahov medzi výsled-kami modelovaných procesov a stavom veličín sa delia modely na:

1. deterministické: stavy výstupných veličín v ľubovoľnom okamihu možno jed-noznačne určiť pomocou ich predchádzajúcich stavov a časového priebehu vstupných veličín.

2. stochastické (pravdepodobnostné) - výstupné veličiny a stav systému možno určiť len s istou pravdepodobnosťou.

V tejto časti sa zameriame na tvorbu stochastických modelov. Na modelovanie vyu-žijeme prostredie tabuľkového kalkulátora Microsoft Excel, ktorý disponuje generá-torom náhodných čísel. Generátor umožňuje náhodný výber čísel z určenej množiny podľa dopredu stanoveného rozdelenia pravdepodobnosti. Jednoduché využitie ge-nerátora ponúka matematická funkcia RAND, ktorá slúži na generovanie náhodných čísel z intervalu <0;1) podľa rovnomerného rozdelenia. Aplikovaním matematických funkcií INT alebo TRUNC na hodnoty funkcie RAND možno realizovať náhodný výber čísla z konečnej súvislej podmnožiny množiny celých čísel. Napríklad na náhodný výber čísla v športke môžeme využiť vzorec: =1+INT(RAND()*49).

Priradením čísel objektom možno realizovať náhodný výber rôznych typov objektov. V prvej úlohe budeme realizovať náhodný výber dvoch písmen z množiny {A, B, E, K, O, P} a hľadať prípady, keď bola postupne vybraná ŠPz niektorého z miest: Bratislava, Košice, Prešov (BA, KE, PO). Vytvorená tabuľka s desiatimi náhodnými výbermi je zobrazená na obrázku 2.4.8

Obr. 2.4.8 Desať náhodných výberov

Vzorec na generovanie náhodných čísel je zobrazený vo vzorco-vom paneli. Písmená z danej množiny sú zapísané mimo tabuľky v stĺpci K. Na zostavenie dvojice písmen v bunke D2 je využitý vzorec: =CONCATENATE(INDEx($K$1:$K$6;B2;1);INDEx($K$1:$K$6;C2;1)). Funkcia index umožňuje výber prvku z matice podľa poradového čísla riadku a stĺpca. Vzorec je skopírovaný do ďalších buniek v stĺpci D. Na bunky v tomto stĺpci je aplikovaný pod-mienený formát, ktorý zabezpečí podfarbenie buniek obsahujúcich ŠPz zadaných miest.



PRECVIČTE sI

P17: Upravte a doplňte vytvorenú tabuľku, aby mohla byť využitá na porovnanie relatívnej početnosti priaznivých výsledkov pri výbere 100 dvojíc písmen s te-oretickou hodnotou pravdepodobnosti tohto javu.

Druhá ukážka predstavuje jednoduchú lotériu, s akou sa možno stretnúť aj v bež-nom živote. Výrobcovia nápojov zvyknú motivovať kupujúcich k zvýšenému nákupu ich výrobkov tým, že umiestnia na skrytom mieste výrobku označenie pre nejakú formu výhry. Pri predaji nápojov vo fľašiach to môžu byť spodné strany vrchnáčikov. Skúsme si predstaviť nasledovnú situáciu: Firma Pepsi pripravuje hru, v rámci ktorej je na spodnej strane vrchnáčika každej fľaše umiestnené jedno z písmen P, E, S, I. Spotrebiteľ vyhráva, ak sa mu podarí poskladať z vrchnáčikov slovo P-E-P-S-I. Firma plánuje vyrobiť milión vrchnáčikov s písmenami. Aby to nebolo až také jednodu-ché, pravdepodobnosť nájdenia konkrétneho písmena na vrchnáčiku nie je rovnaká. Nájdenie písmena „P“ má pravdepodobnosť 50 %, „S“ má pravdepodobnosť 30 %, pravdepodobnosť nájdenia písmena „I“ je 19 % a písmena „E“ len 1 %.

Pokúsme sa vytvoriť model na simulovanie získavania vrchnáčikov s písmenami a vy-hodnocovania možnosti výhry. V prostredí tabuľkového kalkulátora možno pomocou funkcie RAND a logickej funkcie IF simulovať generovanie písmen s rôznou pravde-podobnosťou ich výberu. Môžeme generovať prirodzené čísla od 1 do 100 a podľa predpísanej pravdepodobnosti určovať výber konkrétnych písmen. Náhodný výber sa v tabuľke zopakuje 100 krát. začiatok tabuľky spolu s hodnotením výsledkov je na obrázku 2.4.9.

Obr. 2.4.9 Simulácia hry P-E-P-S-I

Vzorec z bunky C2 je zobrazený vo vzorcovom paneli. Početnosť jednotlivých písmen z tretieho stĺpca tabuľky je určovaná pomocou štatistickej funkcie COUNTIF. Na vyhod-notenie možnosti výhry je v bunke F7 zapísaný vzorec: =IF(MIN(F2:F5)>0;“áno“;“nie“). Po stlačení klávesu F9 sa zmenia hodnoty funkcie RAND a uskutoční sa simulácia výberov nových písmen.

PRECVIČTE sI

P18: Vytvorte tabuľku na simulovanie 100 hodov dvoma hracími kockami a vypočí-tajte relatívnu početnosť náhodnej udalosti, že súčet na kockách je deliteľný číslom 5.



informaČné zdrojE

• BLUM, W., GALBRAITH, P. L., HENN, H-W., & NISS, M. (eds). (2007). Modelling and applications in mathematics education: the 14th ICMI study. New ICMI Study Series Volume 10. Springer.

• CARLSON, M., LARSEN, S., LESH, R. (2003). Integrating a Models and Modeling Perspective With Existing Research and Practice. In: Beyond Constructivism, Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching. ISBN: 978-0-8058-3822-0. http://math.asu.edu/~carlson/chap25.pdf.

• HENNING, H., KEUNE, M. (2002). Modelling and Spreadsheet Calculation. In: Proceedings of the Second International Conference on the Teaching of Mathematics.

• HVORECKÝ, J. (1992). Tabuľkové kalkulátory a stredoškolská matematika. Matematika, fyzika, informatika, číslo 3.

• JANčAŘíK, A. (2007). Algorithmic thinking, 6th International Conference Aplimat 2007, Bratislava.

• KOPKA, J. (1999). Hrozny problému ve školské matematice. UJEP Ústí nad Labem. ISBN. 80-7044-247-6.

• OECD PISA: Matematika úlohy, 2003.

• http://www.nctm.org

• http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=144

• http://phet.colorado.edu/en/simulation/moving-man



3 dOsahOvaNIe vyUčOvaCÍCh CIeľOv vO vyUčOvaNÍ MaTeMaTIKy s POdPOrOU IKT

Vyučovanie matematiky, v závislosti od vývojových zmien spoločnosti, podlieha v jed-notlivých historických etapách istým modernizačným trendom a reformám. Súčasťou výchovno-vzdelávacieho procesu sa stali IKT, ktorých využívanie sa sleduje z mno-hých hľadísk. Predmetom záujmu štúdia integrácie IKT do vyučovania matematiky je ich významný vplyv na školskú klímu, na interakciu medzi žiakom a učiteľom a na aplikovanie nových didaktických metód, foriem a prístupov.

Potenciál IKT a informatické zručnosti žiakov možno využiť pre zefektívnenie a skvalit-nenie procesu učenia sa a pre napĺňanie vzdelávacích cieľov vyučovania matematiky. Vhodné využívanie nových technológií môže prispievať k zvýšeniu aktivity vzdeláva-cieho procesu a k rozvíjaniu kladných postojov žiakov k matematike a k poznávaniu. Didaktika počítačom podporovaného vyučovania by mala používať nielen metodické postupy tradičného vyučovania, ale mala by rešpektovať najnovšie trendy z oblasti IKT a permanentne navrhovať nové postupy, formy a prostriedky na ich efektívnu integráciu do vyučovacieho procesu.

IKT možno chápať ako súčasť prostredia, ktoré zásadným spôsobom ovplyvňuje ostatné činitele pôsobiace v triangulárnej schéme učiteľ – žiak – poznatok. V tomto kontexte teda možno hovoriť o vyučovaní matematiky v prostredí IKT, ktoré možno interpretovať v dvoch základných líniách, ktoré sa však navzájom nevylučujú.

• Prostredie IKT vo vyučovaní sa všeobecne môže chápať a skúmať z aspektu nielen sociálno-psychologického, ale aj architektonického (celkové riešenie a technické vybavenie učebne), hygienického (napr. otázky súvisiace s osvet-lením), ergonomického (rozmiestnenie ovládacích a prezentačných prvkov učebne) a pod.

• Užší pohľad na termín „prostredie IKT“ vo vyučovaní matematiky špecifikuje a konkretizuje zvyčajne použité programové aplikácie, v ktorých sa realizuje modelovanie matematických situácií (napr. prostredie interaktívnej geometrie a pod.).



3.1 Integrácia IKT do vyučovania matematiky

K najviac akcentovaným špecifickým charakteristikám ovplyvňujúcim matematické vzdelávanie v prostredí IKT, ktoré možno považovať z odborno-didaktického hľadiska za najdôležitejšie, patria:

1. vizualizácia a znázorňovanie,

2. interaktivita a dynamika,

3. tvorba a využívanie modelov, simulácia procesov.

vizualizácia a znázorňovaniE

IKT umožňujú integrovať do vyučovania matematiky rôzne formy znázorňovania v po-dobe statických aj dynamických obrazových materiálov. Vo vyučovaní matematiky je dôležité vytvárať u žiakov adekvátne obrazové predstavy, v ktorých sú pojmy a vzťahy konkretizované, znázornené, usporiadané a zaradené do štruktúry doterajších po-znatkov. Integrácia IKT do vyučovania matematiky znamená zväčša prácu s obrazo-vým materiálom rôzneho druhu, z čoho vyplýva aj riešenie otázok súvisiacich s uče-ním sa z obrazového materiálu, spôsobom jeho spracovávania z psychologického hľadiska a vizuálnou gramotnosťou.

Pri využívaní obrazového materiálu netreba zabúdať na nadobúdanie žiackych kom-petencií súvisiacich s detailným rozborom obrázku. Je dôležité venovať pozornosť štruktúre obrázku, otázke ako je koncipovaný, čo všetko ilustruje, a tiež kontextu jeho zaradenia v práve preberanom učive. Dynamické (resp. animované) formy ob-razového matematického materiálu patria k náročnejším z hľadiska ich korektnej interpretácie. Preto pri ich využívaní v prostredí IKT je potrebné venovať dostatočnú pozornosť nielen výberu kvalitných dynamických materiálov, ale aj vhodnému za-radeniu z hľadiska obsahovej štruktúry a tiež dôkladnej interpretácii sledovaného matematického javu.

intEraktivita a dynamika

Do interakcie žiakov a učiteľa vstupuje prostredie IKT zásadným spôsobom nielen z hľadiska využívania hotových interaktívnych programových produktov, ale najmä z pohľadu možnosti práce vo virtuálnych interaktívnych a dynamických prostrediach, v ktorých sa zmeny uskutočňujú na základe vonkajších podnetov. V prostredí IKT sú pojmy interaktivita a dynamika kľúčovými. Napriek tomu, že sa často vyskytujú v neoddeliteľnej dvojici, treba rozlišovať ich podstatu. Pod pojmom interaktivita ro-zumieme možnosť okamžitej reakcie. Vo vyučovaní matematiky v prostredí IKT inte-raktivitu zabezpečujú prostriedky, akými sú napríklad interaktívna tabuľa, resp. rôzne interaktívne softvérové aplikácie.

Pojem dynamika reprezentuje pohyb, alebo vývoj nejakého javu. Dynamické prvky v prostredí IKT sa môžu vyskytovať samostatne (napr. niektoré animácie nezávislé od vstupných podnetov), ale často sú viazané na podnety užívateľa, teda interaktívne vstupy. Preto možno konštatovať, že interaktivita vnáša do vzdelávacieho procesu prvky dynamiky. Mení statický prístup znázorňovacích techník na možnosť dyna-mických zmien v závislosti od vstupných podnetov. Tým sa otvárajú nové možnosti



v technologických vzdelávacích prístupoch. Väčší priestor získavajú experimentálne postupy, „objaviteľské“ techniky a konštruktivistický kognitívny prístup. Interaktívny počítačový model môže byť virtuálnym laboratóriom, v ktorom možno bez obáv a strachu manipulovať s jeho prvkami, skúmať a spoznávať zákonitosti reality.

Interaktívne prostredie znamená aj možnosť uplatňovania virtuálnych manipulačných metód vo vyučovaní matematiky, keď modely predmetnej manipulácie sú, na rozdiel od tradičných, virtuálne. Interaktívne programové produkty môžu v istých fázach nielen suplovať predmetnú manipuláciu, ale znamenajú aj potenciálny kvalitatívny posun vo vnímaní modelu v inom prostredí, resp. inom zobrazení. Interaktivita je všeobecnou požiadavkou vo vyučovaní, zvlášť vo vyučovaní matematiky. Rozvoj pro-striedkov IKT umožňuje efektívne využívanie interaktívnych zariadení a interaktívnych programových aplikácií v matematickom vzdelávaní na rôznych úrovniach, počnúc názornými demonštračnými ukážkami, cez osobnú žiacku skúsenosť a manipuláciu s interaktívnymi produktmi, až po prípadný vlastný návrh, realizáciu, resp. spoluúčasť na tvorbe matematických interaktívnych výstupov.

tvorba a využívaniE modElov, simulácia procEsov

Prostriedky IKT poskytujú rôznorodé prostredia, v ktorých je možné vytvoriť kon-krétny matematický model simulujúci reálny proces. Jednoduchšie modely môže pripraviť aj učiteľ matematiky zväčša v softvérových aplikáciách s matematicko-gra-fickým obsahom. Existuje však aj množstvo hotových (multimediálnych) produktov, ktoré možno s úspechom aplikovať vo vyučovaní matematiky. V zásade (bez požia-davky na úplnosť) možno rozdeliť softvérové prostredia na tvorbu matematických modelov do nasledujúcich kategórií:

A. systémy počítačovej algebry (CAS – Computer Algebra Systems), ktoré dis-ponujú bohatým aparátom matematických metód umožňujúcich realizáciu operácií s rôznymi matematickými štruktúrami. Ich súčasťou sú aj integrované programovacie jazyky pre programovanie vlastných aplikácií. Medzi najznámejšie programy typu CAS patria Maple, MathCAD, Derive, MuPAD, Maxima. Špeciálne postavenie má profesionálny systém Mathematica.

Obr. 3.1.1 Programy typu CAS

Využívanie matematických softvérových produktov vo vyučovaní má svoje špecifiká, ktoré sa týkajú najmä voľby jeho metodického zaradenia v rámci stanovenej vyučo-vacej štruktúry a dosahovaného cieľa. Systémy počítačovej algebry je možné použiť v závislosti od stanoveného cieľa buď na odbremenenie výpočtov vo fáze zdôrazňo-vania riešiteľskej stratégie, alebo aj ako „kontrolný kalkulátor“ umožňujúci spraco-vávať rôzne druhy vstupných údajov. Niektoré systémy majú vo svojom portfóliu aj



možnosť zobrazenia postupného krokovania výpočtu (nielen zobrazenie korektného výsledku), čo môže byť didakticky užitočný nástroj.

B. Dynamické geometrické systémy (DGS – Dynamic Geometry Systems), ktoré sa vyznačujú tým, že boli vytvorené pre vzdelávacie potreby na simuláciu konštrukč-ných úloh vo virtuálnom prostredí. za základné atribúty sa považujú interaktívnosť a dynamika v zmysle predchádzajúcich terminologických spresnení. Dôsledkom uvedených vlastností je, že prostredia DGS po zmene polohových a metrických vlastností objektu okamžite reagujú zmenou polohy a veľkosti (resp. dĺžky) všetkých závislých útvarov skonštruovaných v priamej, či nepriamej závislosti od pôvodného objektu. Práve interaktivita a dynamika spôsobujú, že DGS sú prostrediami vhodnými na premyslené experimentovanie s konštrukciami, čím umožňujú skúmanie najmä neštandardných situácií.

z hľadiska výslednej prezentácie umožňujú DGS hotové konštrukcie prehrávať krok za krokom, väčšina z nich umožňuje využiť nástroje na efektnú animáciu a súčasne treba vyzdvihnúť výsledný estetický efekt konštrukcií, ktorý možno docieliť definova-ním vizuálnych atribútov pre každý z konštruovaných objektov. DGS, ako špecifická kategória edukačných softvérových produktov, prešli svojim vlastným vývojom a stali sa dôležitou súčasťou matematického vzdelávania a skúmania. DGS sa neustále vyvíjajú a preto je potrebná permanentná reflexia ich aktuálneho stavu z hľadiska dostupnosti pre učiteľskú aj študentskú verejnosť, ďalej z hľadiska ponuky ich kon-štrukčných nástrojov, sledovania priebežných aktualizácií, resp. novovzniknutých systémov.

C. Štandardné aplikačné programy, medzi ktorými majú kľúčové postavenie vo vý-učbe matematiky tabuľkové kalkulátory a databázové systémy. Najrozšírenejšími programami tohto typu sú Microsoft Excel a Microsoft Access alebo ich ekvivalenty. Medzi základné možnosti využitia tabuľkových kalkulátorov vo vyučovaní matematiky patrí riešenie výpočtových úloh (napr. úlohy na postupnosti, úlohy kombinatorického charakteru, riešenie rovníc), grafická interpretácia údajov a matematické modelovanie (využívanie iteračných metód, modelovanie náhodných javov). Tabuľkový kalkulátor môže poskytnúť odbremenenie žiakov od rutinnej práce a sústredenie ich pozornosti na matematizáciu problému a hlbšie pochopenie vzťahov a súvislostí.

D. Edukačné programy a didaktické hry, ktoré môže učiteľ využiť pre menšie te-matické oblasti učiva matematiky. Počítačové hry so vzdelávacím obsahom moti-vujú žiaka aktívne získavať nové vedomosti a rozvíjať zručnosti zavedením súťaži-vosti a možnosti víťazstva. Na rozdiel od predchádzajúcich skupín sa tieto prostre-dia vyznačujú nižšou mierou možnosti modelovania užívateľom, skôr predkladajú hotové modely, prostredníctvom ktorých sú matematické pojmy, vzťahy a postupy interpretované.



3.2 dynamická geometria

V súčasnosti sa na trhu vyskytuje pomerne veľa rôznych DGS, napr. Cabri Geometry, GeoGebra Geometer‘s Sketchpad, Archimedes Geo3D, Cinderella, Compass and Ruler, atď. V snahe sprístupniť učiteľskej verejnosti vytvorené materiály ohodnotené istou známkou kvality a nezávislé od používanej softvérovej platformy, vznikol projekt s názvom InterGeo (I2Geo – Spoločná interaktívna geometria pre Európu) spolufi-nancovaný Európskou úniou. V projekte majú zastúpenie všetky kľúčové programy dynamických geometrií komerčného aj voľne dostupného charakteru. Možno teda konštatovať, že sa jedná o snahu vytvorenia spoločnej platformy DGS v záujme poho-dlného zdieľania vzdelávacích matematických materiálov zameraných na vyučovanie matematiky.

DGS umožňujú jednoduchým spôsobom zostrojovať geometrické útvary a zmenou ich atribútov objavovať a zovšeobecňovať vzťahy medzi objektmi. Dovoľujú kom-binovať algebricky zadané miery spolu s animáciami, čo predstavuje silný nástroj pre experimentálne vyšetrovanie geometrických modelov reálnych situácií a rieše-nie optimalizačných úloh.

Vo všeobecnosti možno konštatovať, že hlavným cieľom integrácie DGS do vyučo-vania matematiky je vytvorenie experimentálneho, interaktívneho a dynamického prostredia umožňujúceho simulovať rôzne stavy vzhľadom na odlišné vstupné atri-búty. Očakávaným dôsledkom je zvýšenie vzdelávacej efektivity. zrejme až s väčším časovým odstupom bude možné objektívne a korektne hodnotiť priamy aj nepriamy vplyv používania DGS vo vyučovaní školskej matematiky.

3.2.1 dynamická geometria v rovine

V tejto časti podrobnejšie predstavíme dva systémy pre dynamickú geometriu a to Cabri Geometriu a GeoGebru. Cabri geometria sa vo vyučovaní využíva už od 90-tych rokov minulého storočia. Projekt Infovek zabezpečil pre slovenské školy multilicenciu pre verziu Cabri Geometry II, ktorá je úplne lokalizovaná do slovenského jazyka.

Štandardné súbory Cabri geometrie II tzv. výkresy majú príponu fig. zvláštnosťou tejto verzie je chýbajúca podpora pravého tlačidla myši. Hlavnou časťou programu je pracovná plocha nazývaná aj nákresňa rozmerov 1m x 1m predstavujúca časť euk-lidovskej roviny. Nad nákresňou sa nachádza panel ponúk a panel nástrojov, ktorý slúži na zostrojovanie a úpravy geometrických útvarov. zdanlivo ho tvorí len 11 sym-bolických tlačidiel s ikonami. V skutočnosti sa pod každým z nich skrývajú ďalšie tlačidlá. Dajú sa dosiahnuť kliknutím, tým sa rozvinie ich zoznam. Potom je potrebné so stlačeným ľavým tlačidlom myši zísť na určité tlačidlo a nasledovné uvoľnenie myši spôsobí jeho zvolenie. Vybrané tlačidlo pritom ostane stlačené a objaví sa na ňom ikona, ktorá ho symbolizuje.



V nasledujúcom odseku sa podrobným popísaním konštrukcie rovnostranného troju-holníka so stranou dĺžky 3,8 cm pokúsime predstaviť prácu s týmto programom.

Prezretím jednotlivých skupín tlačidiel objavíme nástroj Pravidelný n-uholník. Stlačením klávesu F1 sa pod nákresňou zobrazí pomocník k tomuto tlačidlu. Takýto pomocník existuje ku všetkým nástrojom. Opätovné stlačenie F1 pomocníka vypne. Podľa pomocníka prvé kliknutie na nákresňu určí stred, druhé zase bod polomeru pravidelného mnohouholníka. Potom pohybovaním myšou v smere hodinových ru-čičiek nastavíme na nákresni číslo 3. Ono predstavuje počet strán tvoreného pravi-delného mnohouholníka. Po treťom kliknutím sa už na nákresni objaví rovnostranný trojuholník.

Na rozdiel od rysovania na papier možno takmer všetky zostrojené útvary premiest-ňovať po nákresni, či meniť ich tvar pomocou najpoužívanejšieho tlačidla Ukazovateľ. Pohybovaním kurzorom myši po nákresni so zapnutým ukazovateľom sa v blízkosti zostrojeného trojuholníka objaví text „tento pravidelný n-uholník“. Pri jeho strede alebo vrcholoch je to zase text „tento bod“. Ak sa blízko seba nachádza viacero útva-rov, kurzor sa zmení na lupu s otáznikom doplnenú textom „Ktorý útvar?“ a kliknutie vyvolá zoznam, z ktorého si môže užívateľ ďalším kliknutím vybrať požadovaný útvar. Prostredníctvom tejto identifikácie nás program informuje o tom, ktorého útvaru sa dotkne akcia vyvolaná kliknutím. Druh akcie pritom určuje aktuálne vybraný nástroj.

Napríklad po postupnom kliknutí na dva susedné vrcholy rovnostranného trojuhol-níka so stlačeným tlačidlom Vzdialenosť a dĺžka sa na nákresni objaví číslo, dĺžka jeho strán. Pravdepodobne to však nebude 3,8 cm. Kliknutie na číslo ho označí a nasledovné stláčanie klávesov + alebo - mení počet desatinných miest zobraze-ného čísla, prípadne až na maximálnych osem. Program avšak stále pracuje s ma-ximálnou presnosťou. Klávesová skratka CTRL + U zase vyvolá zoznam, z ktorého si možno vybrať meraciu jednotku. zostrojený rovnostranný trojuholník sa dá pre-miestňovať po nákresni, otáčať a je možné meniť dĺžku jeho strán. Na to je potrebné stlačiť tlačidlo Ukazovateľ, potom priblížiť kurzor k rovnostrannému trojuholníku, kým sa nezobrazí jedna z vyššie spomenutých identifikácií a kliknúť. To spôsobí zmenu kurzora zo šípky na ručičku. Ďalej stačí pohybovať myšou so stlačeným ľavým tla-čidlom. číselná hodnota na nákresni sa mení, automaticky so zvolenou presnosťou zobrazuje dĺžku strán trojuholníka. Hoci je to stále rovnostranný trojuholník, nemá stálu dĺžku strán. Nastavením jedného desatinného miesta, meracej jednotky na cen-timetre a nasledovným deformovaním trojuholníka ukazovateľom by síce bolo možné nastaviť dĺžku jeho strán na 3,8 cm, je však zrejmé, že to nie je správne riešenie.

Úloha zostrojiť pravidelný trojuholník ABC s danou dĺžkou 3,8 cm znamená zostrojiť trojuholník ABC so základňou AB dĺžky 3,8 cm a uhlami pri základni veľkosti 60°. Hodnota 3,8 cm sa dá umiestniť na nákresňu pomocou tlačidla číselná hodnota, kliknutím na voľné miesto nákresne a napísaním čísla pomocou klávesnice. Úsečka dĺžky 3,8 cm sa konštruuje takto. Pomocou tlačidla Bod zostrojíme bod a pomenu-jeme ho ako A. Na pomenúvanie útvarov slúži tlačidlo Pomenovanie. Pomenovanie útvaru ale nie je obyčajný text, má rovnakú farbu ako útvar a je s ním zviazané. Na zá-pis obyčajného textu, napríklad zadania úlohy pre žiakov, existuje tlačidlo Komentár. Ďalej využijeme nástroj Bod vo vzdialenosti, klikneme na bod A a potom na číselnú hodnotu 3,8 cm. Po ďalšom kliknutí sa na nákresni objaví bod vzdialený presne 3,8 cm od A, teda bod B. Ostáva zostrojiť bod C. Na to je potrebné naniesť uhol veľkosti 60°. V prostredí programu Cabri sa to robí pomocou nástroja Otočenie, teda využi-tím rovnomenného zhodného zobrazenia. Na nákresňu umiestnime číselnú hodnotu 60°. Potom so stlačeným tlačidlom Otočenie klikneme na bod B, ďalej na bod A a na-



pokon na číslo 60°. Tak vlastne dôjde k otočeniu bodu B okolo bodu A o uhol veľko-sti 60° proti smeru hodinových ručičiek. Vzniknutý bod je hľadaný bod C (obr. 3.2.1).

Obr. 3.2.1 Konštrukcia trojuholníka ABC

Pokus pohybovať jednotlivými zostrojenými bodmi pomocou ukazovateľa vedie k zis-teniu, že hýbať sa dá len s bodmi A a B. Bodom A možno pohybovať ľubovoľne a pre-niesť ho na akékoľvek miesto na nákresni. Bod B sa pohybuje len po kružnici so stre-dom v A a polomerom 3,8 cm. Je to prirodzené, veď je to bod vo vzdialenosti 3,8 cm od A. Môže sa teda pohybovať len v rámci tohto obmedzenia. Bod C je nehybný, prispôsobuje sa však polohe bodov A a B. Spomenuté skutočnosti sú prejavom ta-kzvanej závislosti útvarov. Ide o to, že geometrické útvary sa správajú podľa toho, ako boli definované. zmenou nejakého objektu dochádza k príslušnej zmene všetkých útvarov, ktoré sú na ňom závislé. zaujímavá je však možnosť programu predefinovať objekty, urobiť napríklad z voľného bodu bod na útvare, ale aj naopak. závislosť útvarov tiež spôsobí, že po zmazaní bodu A, kliknutím a stlačením klávesu DELETE, zmiznú body B, C. Ako však sprehľadniť výkres, zbaviť ho prípadných pomocných bodov a čiar? Na to slúži tlačidlo skry/Ukáž, umožňujúce skrývať pomocné útvary, prípadne odkrývať tie skryté, bez toho, aby sa narušili väzby. Tlačidlom Trojuholník postupným klikaním na spomenuté body zostrojí trojuholník ABC. Takto zostrojená konštrukcia je už správna, obsahuje rovnostranný trojuholník s danou dĺžkou strany. Pohybovaním s bodmi A a B ho možno premiestňovať a otáčať. Dĺžka strán pritom ostáva nemenná. Aj tento parameter trojuholníka však možno zmeniť a to prepísaním čísla 3,8 cm na inú hodnotu.

Každý krok konštrukcie sa dá prehrať pomocou položky Prehrať konštrukciu v po-nuke úpravy na paneli ponúk. Otvorí sa okno, z ktorého možno ovládať prehrávanie. Ak chceme, aby sa pri prehrávaní zobrazovali aj skryté objekty je potrebné pred spustením prehrávania aktivovať nástroj skry/Ukáž.

Program Cabri geometria II navyše umožňuje tvorbu a umiestňovanie vlastných tla-čidiel na panel nástrojov. Stačí vyriešiť úlohu raz a potom programu Cabri ukázať postup riešenia. Na tento účel slúžia tlačidlá Počiatočné útvary, Výsledné útvary a Definuj makro. Stlačením prvého spomenutého tlačidla a kliknutím na bod E a čí-selnú hodnotu 3,8 cm sa určí, čím je útvar daný. Potom sa stlačí tlačidlo Výsledné útvary a klikne sa na trojuholník. Na záver sa vyplní dialógové okno, ktoré sa objaví po stlačení posledného tlačidla Definuj makro. Na paneli nástrojov sa objaví nové tlačidlo, ktoré z bodu a číselnej hodnoty zostrojí rovnostranný trojuholník so stranami



zadanej dĺžky. Makrá je možné uložiť ako súbory s príponou mac a používať ich v iných výkresoch.

PRECVIČTE sI

P19: Zostrojte štvorec so stranou dĺžky 4,73 cm. Hotovú konštrukciu uložte ako makro do súboru.

GeoGebra je voľne šíriteľný dynamický geometrický systém disponujúci navyše aj mnohými funkciami tabuľkového kalkulátora a systému počítačovej algebry. Jeho štandardné súbory majú príponu ggb a je lokalizovaný aj do slovenského jazyka. Program si je možné nainštalovať z inštalačného súboru, ktorý je k dispozícii pre via-ceré operačné systémy na adrese http://www.geogebra.org/cms/sk/installers. Následne je možné s programom pracovať aj bez pripojenia k internetu. Tento dynamický geo-metrický systém je však možné využívať bez akýchkoľvek obmedzení vo funkčnosti aj bez inštalácie len v okne webového prehliadača prostredníctvom verzie programu spracovanej ako applet na adrese http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html. Akýsi kompromis medzi spomínanými variantmi je tzv. GeoGebra WebStart. Po kliknutí na tlačidlo WebStart na stránke http://www.geogebra.org/cms/sk/download sa do počítača automaticky nainštalujú len základné súčasti programu. Počas tejto inštalácie je po-trebné byť „online“, ďalej je však možné pracovať s programom aj bez pripojenia k internetu.

Štandardnému rozloženiu okna programu dominuje pracovná plocha so zobrazenou súradnicovou sústavou. Naľavo od nej je tzv. algebraické okno, napravo si je možné zobraziť tabuľku. Pod pracovnou plochou sa nachádza príkazový riadok spolu s roz-baľovacími ponukami slúžiacimi na výber príkazov a premenných a nad ňou je panel ponúk a panel nástrojov. Aj v GeoGebre sú všetky nástroje združené do jedenás-tich skupín tlačidiel, pričom každú z nich reprezentuje ikona posledného zvoleného nástroja danej skupiny. Na rozvinutie ponuky panelu nástrojov je potrebné kliknúť na malú šípku nachádzajúcu sa v pravom dolnom rohu každého tlačidla, inak dôjde len k stlačeniu tlačidla a výberu odpovedajúceho nástroja. Obrázok 3.2.2 zobrazuje okno programu GeoGebra s rozbalenou ponukou panela nástrojov.

Obr. 3.2.2 Pracovné prostredie programu GeoGebra s rozbalenou ponukou panela nástrojov



Uvažujme nasledujúcu úlohu, pri riešení ktorej sa pokúsime objasniť základne princípy ovládania GeoGebry: Daný je trojuholník ABC so stranami dĺžky c = 6 cm, b = 2/3c. Zistite, pre akú veľkosť uhla BAC bude mať trojuholník ABC maximálny obsah.

Konštrukciu trojuholníka začneme úsečkou AB dĺžky 6 cm. zvolíme nástroj úsečka danej dĺžky z bodu a klikneme na prázdne miesto pracovnej plochy. Vznikne bod automaticky pomenovaný ako A a zároveň sa zobrazí dialóg slúžiaci na zadanie dĺžky úsečky. zapísaním čísla 6 a potvrdením dialógu sa na nákresni objaví bod B a úsečka AB pomenovaná ako a.

V algebraickom okne nachádzajúcom sa štandardne naľavo od pracovnej plochy sa zobrazuje prehľad o všetkých objektoch aktívneho súboru. Objekty sú tam zaradené buď medzi voľné alebo závislé objekty. V našom prípade je bod A medzi voľnými objektmi. Bod B a úsečka a sa nachádzajú medzi závislými objektmi. Vedľa kaž-dého objektu v algebraickom okne je kruhová odrážka. Kliknutím na ňu sa farebná výplň odrážky stratí a odpovedajúci objekt na nákresni sa skryje. Opätovné kliknutie má opačný účinok, odrážka sa opäť naplní a objekt na pracovnej ploche sa objaví (obr. 3.2.3).

Obr. 3.2.3 Algebraické okno Obr. 3.2.4 Kontextové menu bodu

GeoGebrou je podporované aj pravé tlačidlo vyvolávajúce kontextové menu, ktoré zvyčajne obsahuje príkazy na zobrazenie/skrytie objektu a jeho pomenovania, premenovanie objektu, zmazanie objektu a nastavenie vlastností objektu (obr. 3.2.4). Na manipuláciu s objektmi slúži tlačidlo Pohyb.

Keďže dĺžka strany b trojuholníka z riešeného problému má mať dĺžku rovnajúcu sa dvom tretinám dĺžky strany AB, zadáme do vstupného poľa b=2/3c. V algebraickom okne sa objaví b=4. Vrchol C trojuholníka leží na kružnici so stredmi v bodoch A a polomerom b. Medzi príkazmi panelu nástrojov sa nachádza príkaz Kružnica daná stredom a polomerom. Vybratím tohto nástroja a kliknutím na bod A sa zobrazí dia-lógové okno na zadanie polomeru kružnice. Po zadaní b a potvrdení sa na nákresni objaví kružnica d so stredom v bode A a polomerom b.



Obr. 3.2.5 Dialógové okno slúžiace na určenie uhla konkrétnej veľkosti

Uvažujme najprv jednoduchšiu situáciu, v ktorej je známa konkrétna hodnota tohto uhla napr. 41°. Do príkazového riadku zadáme α=41°. Na zápis gréckeho písmena a znaku uhla môžeme použiť aj rozbaľovacie ponuky nachádzajúce sa za vstupným poľom. Následne stačí vybrať príkaz Uhol danej veľkosti, kliknúť na bod B a potom na bod A a urobiť nastavenia podľa obrázka (obr. 3.2.5). Vznikne závislý bod po-menovaný B . Výberom nástroja Polpriamka a postupným klikaním na body A, B´ zostrojíme polpriamku AB .

AJ TAKTO sA TO DÁ

V porovnaní s ostatnými dynamickými geometrickými systémami existuje v GeoGebre pre každý nástroj panelu nástrojov odpovedajúci príkaz, ktorý stačí zapísať do vstupného poľa, potvrdiť klávesom ENTER a odpovedajúca konštrukcia sa zrealizuje. Kláves F1 zobrazí pre zvolený príkaz všetky možnosti pre jeho syntak-tický zápis (obr. 3.2.6).

Obr. 3.2.6 Nápoveď k príkazu kružnicaObr .3.2.7 Graf závislosti



Body C trojuholníka získame pomocou nástroja Priesečník objektov kliknutím na kružnicu a polpriamku, ktorá ju pretína. Napokon stačí zvoliť príkaz N-uholník a postupne vyznačiť body A, B, C. Opätovné kliknutie na prvý bod, ktorý bol zadaný sa konštrukcia trojuholníka uzavrie. Pomocou kontextového menu premenujeme práve zostrojený objekt napríklad na troj. Na zefektívnenie experimentovania pri hľa-daní riešenia využijeme posuvníky. Nový posuvník vložíme kliknutím na pracovnú plochu po zvolení nástroja Posuvník. Objaví sa okno slúžiace na nastavenie vlastností posuvníka. Keďže v našom prípade je premenná α už zadaná a je voľným objektom, stačí kliknúť na odrážku vedľa názvu premennej v algebraickom poli. Na nákresni sa objaví posuvník umožňujúci meniť premennú α s predvoleným nastavením. z kon-textového menu tohto objektu sa vyberie položka Vlastnosti... a v zobrazenom dialó-govom okne sa upraví minimálna, maximálna hodnota premennej a krok. Keďže sa jedná o vnútorný uhol trojuholníka, môže sa uhol meniť od 0° po 180°, pričom krok sa nastaví na 1°.

Nástrojom Obsah sa po kliknutí na trojuholník ABC objaví na pracovnej ploche údaj s obsahom tohto trojuholníka. Pomocou posuvníka sa dá meniť veľkosť uhla α v za-daných hraniciach a sledovať zmenu obsahu trojuholníka. závislosť obsahu troju-holníka ABC od veľkosti uhla α sa dá jednoducho vizualizovať v danej súradnicovej sústave. Stačí do príkazového riadku postupne zadať x=α, y=troj, v priesečníku takto zostrojených priamok skonštruovať nový bod a v jeho kontextovom menu zvoliť po-ložku Stopa zapnutá. Pohybovaním s posuvníkom sa na nákresni vyznačí príslušný graf (obr. 3.2.7). Na základe tohto grafu a údajov na pracovnej ploche sa možno ľahko dopracovať k hypotéze, že obsah trojuholníka je maximálny vtedy, keď sa veľkosť uhla α rovná 90°.

METODICKÁ POZNÁMKA

Obsah trojuholníka ABC možno určiť aj na základe vzťahu (1/2)*b*c*sin(α). Tento výraz nadobúda maximum vtedy, keď maximum nadobúda goniometrická funkcia sin(α) a to je vtedy, keď má uhol α veľkosť 90°.

PRECVIČTE sI

P20: Daný je obdĺžnik s obvodom O. Na zmenu hodnôt tejto premennej použite posuvník s minimálnou hodnotou 10 cm, maximálnou 40 cm a krokom 1 cm. Zistite, pre aké rozmery má obdĺžnik maximálny obsah. Závislosť obsahu obdĺžnika od jedného z jeho rozmerov znázornite v súradnicovej sústave. Hypotézu zistenú týmto skúmaním sa pokúste zdôvodniť.

3.2.2 riešenie úloh zo stereometrie pomocou Cabri 3d

Program Cabri 3D je DGS, ktorý pracuje so základnými trojrozmernými útvarmi ako sú bod, priamka a rovina. Konštrukcie sú euklidovské, t.j. priamku v priestore zostro-jíme len tak, že určíme jej dva rôzne body, alebo ako priesečnicu dvoch rôznobežných rovín. Program Cabri 3D má zabudované viaceré grafické možnosti. Sú rozdelené



do skupín Body, Lineárne útvary, Plochy, Metrika, zobrazenia, N-uholníky, Telesá, Pravidelné telesá, a Meranie. Príslušný konštrukčný nástroj sa vyberá pomocou ikon, rozbalením príslušnej skupiny využitím malého trojuholníka vpravo dolu.

základy práce s programom Cabri 3D budeme ilustrovať na konštrukcii hranola. Pri práci s programom je vhodné zobraziť návod na využívanie nástrojov pomocou klávesu F1. Program Cabri 3D poskytuje príkaz Kolmý štvorboký hranol na kon-štrukciu kvádra a príkaz Hranol na konštrukciu ľubovoľného hranola. V nasledujú-com príklade popíšeme konštrukciu štvorbokého hranola, ktorý je zobrazený na ob-rázku 3.2.8.

Obr. 3.2.8 Hranol

Najprv zostrojíme hranol ABCDEFGH s lichobežníkovou podstavou v základnej ro-vine (zR). Do tejto roviny umiestnime tri nekolineárne body A, B, C využitím príkazu Bod. Na vytvorenie úsečky AB využijeme príkaz úsečka. Cez bod C zostrojíme rov-nobežnú priamku r s úsečkou AB pomocou príkazu Rovnobežka. Pri jej konštrukcii je potrebné ukázať na úsečku AB a potom na bod C, cez ktorý má prechádzať rov-nobežka. Na tejto rovnobežke zostrojíme bod D. Využitím príkazu Mnohouholník vy-tvoríme lichobežník ABCD. Na záver konštrukcie mnohouholníkov je potrebné ukázať na vrchol, s ktorým sme začali, aby sme ukončili jeho konštrukciu.

V ďalšom kroku zostrojíme vektor určujúci smer a veľkosť posunutia vrcholov z dolnej podstavy do príslušných vrcholov v hornej podstave. V našom prípade zostrojíme vektor kolmý na rovinu podstavy, ktorého začiatočný bod umiestnime do roviny pod-stavy. zostrojíme bod v zR a cez tento bod pomocou príkazu Kolmica zostrojíme priamku k kolmú na zR. Na priamke k zvolíme bod, ktorý predstavuje koncový bod vektora. Pomocou príkazu Vektor zostrojíme vektor u. zostrojený lichobežník ABCD a vektor u využijeme na konštrukciu hranola ABCDEFGH s využitím príkazu Hranol.

V programe Cabri 3D možno využívať aj kontextovú ponuku vyvolávanú pravým tlačidlom myši. Jej využitie môžeme ukázať na zobrazenie kostrového (drôteného) modelu telesa. V kontextovej ponuke hranola vyberieme Štýl povrchu – Neviditeľný.

Pomocou príkazu skryť/Ukázať z kontextovej ponuky možno napríklad dočasne ukryť pomocné prvky konštrukcií za účelom sprehľadnenia konštrukcie. Spätne sa skryté objekty zobrazujú pomocou príkazu Ukáž skryté objekty, ktorý sa nachádza v ponuke.



Hranol ABCDEFGH otočíme okolo úsečky AB o 90°. Pre realizáciu príkazu Otočenie vytvoríme pomocou príkazu Kalkulačka na výkrese hodnotu 90. Následne využi-jeme príkaz Otočenie na získanie otočeného hranola, ktorý má bočnú stenu v zR. Postup konštrukcie môžeme prehrať pomocou príkazu Prehrať konštrukciu, ktorý sa nachádza v hlavnej ponuke v položke Okno.

PRECVIČTE sI

P21: Zostrojte 5-boký kolmý hranol, ktorý je položený na niektorej z bočných stien.

3.3 Zbierka úloh ako databáza

Pri príprave interaktívnych učebných materiálov musí niekedy učiteľ vyhľadávať rôzne námety a úlohy, ktoré nie sú vždy na jednom mieste. Vyhľadávanie je mnohokrát veľmi náročné a to aj z časového hľadiska, pretože tlačené zbierky úloh sú statické a ponúkajú výber úloh väčšinou iba podľa jedného kritéria - témy. Aj z týchto dôvo-dov bola na Prírodovedeckej fakulte Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach vytvorená elektronická zbierka úloh, v ktorej učitelia majú možnosť podstatne rýchlejšie nájsť úlohy pre výučbu. Táto zbierka má slúžiť prednostne učiteľom, preto je tu možnosť, aby sa aj učitelia spolupodieľali na napĺňaní databázy úloh.

zbierka je prístupná na internetovej adrese http://ais-cv.upjs.sk. Po potvrdení príslušného odkazu sa objaví vstupný formulár na identifikáciu osoby, ktorá chce so zbierkou pra-covať. Teda prístup k zbierke je podmienený prihlásením sa do systému. Keďže ide o dynamické prostredie, tak sme užívateľov zbierky rozdelili do troch skupín a v závis-losti od toho majú aj špecifikované práva. Prvá skupina zahŕňa bežných používateľov, ktorí majú možnosť len vyhľadávať a prezerať si úlohy, prípadne ich aj vytlačiť. Druhá skupina, skupina administrátorov, už môže zbierku úloh napĺňať, modifikovať a aj ma-zať úlohy. Táto skupina má najvyššie práva. V tretej skupine sú tzv. operátori zbierky, ktorí nemajú možnosť mazať úlohy, len upravovať a pridávať úlohy. V tejto skupine sú vlastne aj tí učitelia, ktorí chcú aj napĺňať databázu úloh.

Pre jednoduchšie vyhľadávanie sú úlohy v zbierke zatriedené podľa určitých krité-rií, ktoré môžu mať niekoľko úrovní. Tieto kritéria tvoria akúsi vnútornú štruktúru. Samotné kritéria rozdeľujeme do troch typových tried:

1. téma, podtéma, element učiva,

2. didaktická funkcia,

3. poznávacia úroveň.

Takéto triedenie úloh je v zbierke navrhnuté aj z dôvodu, aby z nich bolo možné zo-staviť systémy úloh, ktoré môžu byť využité aj ako pracovné listy pre žiakov. Systémy úloh môže používateľ vytvoriť sám postupným výberom úloh zo zbierky.

Štruktúru kritérií je možné modifikovať, t.j. meniť pomenovanie typu kritéria, úrovne typu kritéria, pridávať a takisto mazať typ kritéria, úroveň typu kritéria a kritérium. Ak sa vymaže kritérium, úlohy prislúchajúce tomuto kritériu síce zostanú v zbierke úloh, ale pokiaľ to bolo jediné kritérium, ku ktorému boli zaradené, ostanú v zbierke úloh



nezaradené. z toho dôvodu je potrebné mazanie kritérií dobre zvážiť a preto touto možnosťou disponujú len administrátori zbierky úloh.

Práca so samotnou zbierkou je jednoduchá. Po kliknutí myšou na hlavnej stránke na položku Výber úloh sa používateľ dostane na stránku, ktorá poskytuje možnosť definovania rôznych kritérií výberu a vlastností zobrazenia úloh. Používateľ má mož-nosť rozhodnúť, či chce, aby sa zobrazilo iba zadanie úloh spĺňajúcich požadované kritéria alebo aj návod na riešenie úlohy alebo dokonca aj celý postup riešenia úlohy s výsledkom. V podstate proces výberu a zobrazenia úloh pozostáva z troch krokov. V prvom kroku sa volia kritériá úloh.

Obr. 3.3.1 Kritériá výberu úloh

V druhom kroku môže používateľ zvoliť časti úloh, ktoré majú byť zobrazené.

Obr. 3.3.2 Zobrazovanie častí úloh

V poslednom kroku sa zobrazí zoznam vybraných úloh, z ktorého možno zobrazovať úlohy.

Obr. 3.3.3 Výber a zobrazenie úloh



Ak používateľ patrí medzi operátorov zbierky, tak má aj možnosť existujúce úlohy meniť a pridávať nové úlohy. Aj tieto procesy sú jednoduché. K tvorbe novej úlohy je potrebné potvrdenie tlačidla Nová úloha, čím sa zároveň otvorí stránka s postu-pom jej tvorby. Pre zápis jednotlivých častí úlohy je pripravená šablóna programu Microsoft Word. Používateľ môže postupne zapísať:

• zadanie úlohy,

• návod na riešenie úlohy,

• riešenie úlohy,

• výsledok úlohy.

Po zápise jednotlivých častí úlohy je potrebné úlohu uložiť a potom odoslať. V ďalšom kroku sa vyberajú kritériá určujúce zaradenie vytvorenej úlohy do zbierky. V zozname kritérií sú tri základné kritériá, ktoré sú zobrazené aj na obrázku 3.3.1. Na záver môže používateľ skontrolovať celý obsah úlohy. Úpravu úloh možno realizovať zvolením príkazu editácia úloh.

Vývoj IKT sa dotýka aj vzdelávania a prípravy vzdelávacieho procesu. IKT poskytujú rozsiahle možnosti ako zefektívňovať prípravu na vyučovanie. Opísaná zbierka úloh môže byť jednou z možností, ako pomôcť učiteľom pri príprave na vyučovanie, a to hlavne pri vyhľadávaní úloh buď na konkrétnu tému, podtému alebo element učiva, alebo úloh plniacich konkrétnu didaktickú funkciu resp. úloh rozvíjajúcich určitú po-znávaciu funkciu.

3.4 Tvorba testov pomocou aplikácie Genexis

o aplikácii gEnExis

GenExis je softvérový produkt vyvinutý pre učiteľov a vzdelávajúce inštitúcie za úče-lom tvorby a využívania elektronického testovania. Vďaka charakteru svojich nástro-jov je zameraný na prírodovedné predmety, matematiku, ale aj jazyky. Vytvorené tes-tové úlohy je možné využívať pri samoštúdiu študentov, ale systém rovnako umožňuje z daných úloh vytvárať testy v on-line alebo tlačenej podobe. Prednosťou a ústrednou črtou systému je, že pri tvorbe testovej úlohy sa zadáva šablóna úlohy s definova-nými premennými (číselné hodnoty, slová a slovné spojenia) a závislosťami. Systém dokáže počas generovania testu zo šablóny vytvárať množstvo variácií danej úlohy líšiacimi sa číselnými hodnotami, názvami položiek, či dokonca s modifikovanými vzťahmi pre výpočty. Vyhodnocovanie testu z pohľadu študenta zohľadňuje danú variáciu úlohy, teda aj pri vysvetlení postupu riešenia zobrazuje konkrétne hodnoty premenných. Automatické hodnotenie skracuje čas potrebný na vyhodnotenie testu a značne sa tak zjednodušuje tvorba viacerých verzií testu, ktorá je často pre tvorcu testu (spravidla učiteľa) veľkou záťažou.

Pri tvorbe testov možno rozlíšiť tri fázy: tvorba znenia úlohy, vysvetlenie postupu rie-šenia a riešenie samotné. Editor cvičení poskytuje možnosť zadávania komplexných



rovníc a vkladanie širokej palety podkladov pre riešenie úloh, ako sú napr. video, audio či obrázky.

Testovanie študentov je možné v dvoch podobách:

• on-line, prostredníctvom web rozhrania po autentifikácii študenta,

• v tlačenej podobe, v prípade nemožnosti testovať študentov on-line.

Pri nemožnosti realizovať test v on-line podobe aplikácia GenExis poskytuje silný nástroj pre tlač úloh prostredníctvom integrovaného Sprievodcu tlačou. Učiteľ si po vyšpecifikovaní úloh (prípadne tematických kapitol) a počtu požadovaných testov má možnosť vytlačiť písomné práce pre študentov a taktiež verziu s vyriešenými úlohami pre rýchle vyhodnotenie úloh (požadované výsledné riešenie alebo kompletný po-stup s medzivýsledkami). Aplikácia umožňuje zdieľanie úloh medzi učiteľmi.

prístup k aplikácii

Používatelia môžu k aplikácii pristupovať dvoma spôsobmi. Pre študentov je k dispo-zícii web rozhranie, prostredníctvom ktorého sa môžu registrovať do kurzov a absol-vovať jednotlivé sprístupnené testy a cvičenia.

Učiteľ (tvorca testov) pristupuje k tvorbe a zdieľaniu obsahu prostredníctvom samo-statnej aplikácie, ktorú si musí stiahnuť z portálu GenExis a nainštalovať na svojom počítači. Ide teda o lokálnu aplikáciu, ktorá však počas doby používania musí mať prí-stup k internetu, nakoľko všetok vytvorený obsah je centrálne uložený na serveroch.

Pre prístup k aplikácii je potrebné navštíviť stránku: http://www.genexispro.com. Stránka je k dispozícii aj v slovenskom jazyku. Účastníci projektov: Modernizácia vzdelávacieho procesu na základných školách sa do aplikácie prihlasujú nasledovne:

Prihlasovacie meno: emailová adresa (identická ako v profile na portáli www.modernizaciavzdelavania.sk)

Heslo: 123456

opis pracovného prostrEdia gEnExis dEsktop

Po spustení aplikácie GenExis Desktop je potrebné zadať prihlasovacie meno a heslo (rovnaké ako na web portál). základná pracovná plocha prostredia ponúka pre uči-teľa nasledujúce funkcie:

• úvodná strana. Ide o základnú obrazovku, v ktorej je ponúkané rýchle vyhľadá-vanie v obsahu a umožňuje skrátený prístup k vybraným funkciám aplikácie.

• Kurzy. Táto voľba slúži na vytvorenie vzdelávacieho kurzu. Učiteľ môže vytvo-riť prostredníctvom sprievodcu nový kurz, napríklad Matematika – Goniometria. Následne do tohto kurzu zaradí Cvičenia z Knižnice. Študent po jeho zaradení do kurzu má prístup k zdieľaným cvičeniam. Tie následne slúžia na otestovanie jeho vedomostí, prípadne sebahodnotenie.

• skupiny a používatelia. Kompletná správa používateľov a ich zaraďovanie do skupín. Učiteľ má v tejto voľbe možnosť zaradiť študentov do menších skupín, napr. podľa tried, do ktorých patria. Administrátor vzdelávacej inštitúcie má v tejto časti možnosť prideľovať administrátorské a učiteľské licencie zvoleným používa-teľom.



Obr. 3.4.1 Úvodná obrazovka GenExis Desktop 3.0

• Knižnica. V tejto časti je možné vytvárať nové cvičenia pre študentov a organizo-vať ich do priečinkov podľa uváženia učiteľa. Napríklad to môže byť podľa pred-metu, ročníka, či tematického celku. Vytvorené úlohy je možné spustiť a otestovať ich funkčnosť. zároveň je možné ich zdieľať prostredníctvom Verejnej knižnice. Verejná knižnica taktiež umožňuje zdieľať úlohy medzi učiteľmi a vzdelávacími inštitúciami. Táto časť taktiež ponúka vytvorenie testu prostredníctvom integrova-ného sprievodcu. Test sa skladá z cvičení, ktoré boli vopred vytvorené v Knižnici.

• Testovanie. V prípade vytvorenia a aktivácie testov je možné ich stav sledovať v tejto časti. Ponúka informáciu o čase začatia a názve skúšky.

• Tlač. Jednou z veľkých výhod tejto aplikácie je možnosť vytvorené testy vytla-čiť. Táto funkcia je využívaná zvlášť v prípade výučby v učebniach bez prístupu k počítaču. Učiteľ má možnosť prostredníctvom sprievodcu vygenerovať požado-vaný počet testov a vytlačiť ich na samostatné označené hárky. zároveň dostane k dispozícií výsledky jednotlivých úloh na jednom hárku, čo uľahčí ich kontrolu a hodnotenie. Podľa návrhu cvičenia môže byť každé jedinečné, čím sa sťažia snahy o opisovanie riešení v testovanej skupine študentov.

• Štatistiky. Táto sekcia slúži na poskytovanie štatistík o využití vzdelávacej inšti-túcie a používateľskej aktivity jednotlivcov za zvolené obdobie. Učiteľ tak získa informáciu aj o čase, ktorý študent strávil pri jednotlivých cvičeniach.

PRECVIČTE sI

P22: Vyhľadajte v Knižnici GenExis cvičenia z matematiky a oboznámte sa s ich obsahom.



tvorba cviČEní

z ľavej ponuky aplikácie vyberieme voľbu Knižnica a z kontextovej ponuky vyvolanej pravým tlačidlo myši vyberieme voľbu Vytvoriť cvičenie. Tým spustíme editor cvičení, ktorý je srdcom celej aplikácie (pozri obrázok 3.4.2).

Obr. 3.4.2 Editor cvičení

Učiteľovi sú ponúknuté dve záložky Úloha a Riešenie. V záložke Úloha do horného prázdneho okna vkladáme znenie úlohy, ktoré pozostáva z jej textového znenia, rôz-nych premenných a multimédií. Premenné sú k dispozícií na pravej lište editora. Spodné okno zobrazuje Vlastnosti jednotlivých premenných – napríklad číselná premenná poskytuje voľbu typu intervalu, či zoznamu prípustných hodnôt. záložka Riešenie poskytuje priestor pre vysvetlenie správneho postupu riešenia. Uvedenie postupu riešenia umožňuje študentovi pochopiť, kde urobil chybu, navyše riešenie je plne prispôsobené konkrétnemu zneniu úlohy. Náhľad na výslednú podobu úlohy tak, ako sa zobrazí študentovi, umožňuje voľba z hlavnej ponuky editora súbor, Uložiť a náhľad.

Riešenie úlohy, ktoré môže študent zadať, je v prípade prírodovedných predme-tov široké. Niekedy sa očakáva forma jednoduchého čísla, inokedy však môže ísť o matematický vzťah, či textový reťazec. Všetky tieto spôsoby odpovede sú apliká-ciou akceptované a záleží len od učiteľa, aké výstupné hodnoty bude od študenta požadovať.

PRECVIČTE sI

P23: Vytvorte cvičenie v produkte GenExis ako testovú otázku z matematiky pre de-finovaný test z vybraného tematického celku.



tvorba tEstov

Obr. 3.4.3 Zostavenie testov do kurzu

Po vytvorení niekoľkých cvičení je možné zaradiť ich do zostavy testu. Učiteľ vytvorí napríklad niekoľko cvičení (úloh) z goniometrie a následne niektoré z nich zaradí do testu. Vytvorenie testu je jednoduché a je možné využiť služby sprievodcu. V sek-cii Knižnica vyberieme z kontextovej ponuky voľbu Vytvoriť test. Následne zadáme jeho meno a popis. Sprievodca ďalej vyžaduje zaradenie vybraných cvičení do testu, pričom výber sa realizuje z knižnice prístupnej pre daného učiteľa. Učiteľ si navolí cvi-čenia podľa uváženia a ukončí sprievodcu. Takto vzniknutý test nie je aktivovaný. Aby bol test prístupný študentovi, je potrebné zaradiť ho do kurzu (pozri obrázok 3.4.3). Vytvorený test tak môže byť súčasťou viacerých kurzov a v každom mať iný čas aktivácie. čas aktivácie a dĺžka trvania testu záleží len od učiteľa, ktorý ho aktivuje.

tvorba kurzov a ich publikovaniE on-linE

Po vytvorení cvičení a testov je možné vytvoriť ucelený kurz. Študenti sa prostredníc-tvom web portálu zaraďujú do kurzov. Obsah kurzu tvoria samotné cvičenia a testy. Vytvorenie kurzu je prostredníctvom aplikácie GenExis Desktop veľmi jednoduché. V ľavej ponuke si zvolíme možnosť Kurzy a z kontextovej ponuky vyberieme príkaz Vytvoriť nový kurz. Tým opäť aktivujeme sprievodcu, ktorý na začiatku vyžaduje zadanie základných informácií o kurze. Ak potrebujeme, aby bol kurz prístupný cez web portál, nesmieme zabudnúť vybrať možnosť Publikuj informácie o kurze na webe. Potom kurz zaradíme do kategórie za účelom prehľadnejšieho a ľahšie kategorizovateľnejšieho usporiadania kurzov v systéme. Pokiaľ nám ani jedna ka-tegória nevyhovuje, môžeme si prostredníctvom voľby spravovať kategórie vytvoriť vlastnú. Následne si z knižnice vyberieme požadované cvičenia a testy, ktoré chceme sprístupniť účastníkom zaradeným do kurzu. V prípade testov nastavíme aj čas ich aktivácie a deaktivácie.

Do vytvoreného kurzu je v ďalšom kroku potrebné zaradiť účastníkov. Napríklad do kurzu Matematika 3. ročník môžeme zaradiť všetkých študentov tretieho ročníka danej školy. Učiteľ pomocou kontextovej ponuky vytvoreného kurzu vyberie príkaz Pozvať do kurzu. Pre zaradenie študentov stačí zadávať ich e-mailové adresy. Títo následne dostanú pozvánku do kurzu do schránky elektronickej pošty a kliknutím na vložený internetový odkaz potvrdia svoj záujem o zaradenie do kurzu.



prístup k výslEdkom a štatistikám

Ďalšou dôležitou funkcionalitou aplikácie je prístup k výsledkom študentov. Pokiaľ študent zaradený do kurzu má prístup k cvičeniam a k testom, tak po ich absolvovaní sa výsledky zapíšu do štatistík prístupných učiteľovi. Ukážka okna obsahujúceho informácie tohto druhu je zobrazená na obrázku 3.4.4.

Obr. 3.4.4 Prístup k štatistikám

Štandardne ponúka systém vlastné štatistiky používateľov, avšak prostredníctvom filtrovania je možné vybrať informácie o ľubovoľnom študentovi. Pomocou záložky História sa dajú zobraziť kompletné výsledky testov a cvičení všetkých študentov.

PRECVIČTE sI

P24: V rámci študijnej skupiny sa zapojte do tvorby odpovedí na vytvorené cvi-čenia zostavené do jedného testu. Prezrite si štatistiku vyhodnotenia vašej úspešnosti.

informaČné zdrojE • BROUSSEAU, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Edited

and translated by: Balacheff, N., Cooper, M., Sutherland, R., Warfield, V., ISBN 0-7923-4526-6.

• čáP, J., MAREŠ, J. (2001). Psychologie pro učitele. Praha, portál, ISBN 80-7178-463-x.

• DOBRAKOVOVá, J., KOVáčOVá, M., záHONOVá V. (2008). Mathematica pre středoškolských učiteľov. Bratislava, Slovenská technická univerzita, ISBN 978-80-89313-19-8.

• KUTzLER, B., KOKOL-VOLJC, V. (2000). Introduction to DERIVE 5. Austria.

• LUKáč, S., ŠVEDA, D., SEMANIŠINOVá, I., JODAS, V. (2002). IKT vo vyučovaní matematiky. Asociácia projektu Infovek, ISBN 80-7098-318-3.



• SPAGNOLO, F., čIŽMáR, J. (2003). Komunikácia v matematike. Brno: Přírodovědecká fakulta MU, ISBN 80-210-3193-x.

• VRBA, A. (2000). Oživlá geometrie, MFI, roč. 10, č. 2,3.

• ŽILKOVá, K. (2009). Školská matematika v prostredí IKT. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave, ISBN 978-80-223-2555-4.

• http://www.acdca.ac.at

• http://www.cediv-m.com

• http://www.geogebra.org/cms

• www.t3ww.org

• http://www.wolfram.com



4 UKážKy MeTOdÍK

Štvrtá kapitola obsahuje návrhy metodík zameraných na využitie IKT pri vyučovaní konkrétnych tém z matematiky pre základné školy. základným kritériom pri vypraco-vávaní návrhov metodík bola aplikácia moderných vyučovacích metód, ktoré sa dajú vhodne a zmysluplne podporiť modernými technológiami. V niektorých prípadoch je aplikovanie vybranej metódy priamo prepojené s možnosťami využitia IKT.

Kapitola je rozdelená do nasledujúcich piatich častí podľa tematických okruhov:

• čísla

• Planimetria

• Stereometria

• Pravdepodobnosť

• Štatistika

Pri výbere konkrétneho vzdelávacieho obsahu boli zohľadňované viaceré požiadavky. V prvom rade sme sa usilovali spracovať metodiky k témam zo základných tematic-kých okruhov vymedzených v štátnom vzdelávacom programe ISCED 2. Ďalším krité-riom pri výbere tém bola snaha vypracovať metodiky k viacerým tematickým celkom z rôznych ročníkov, aby sme učiteľom poskytli námety pre systematické a pravidelné aplikovanie rôznych typov IKT do vyučovania matematiky na základnej škole.

Vypracované návrhy metodík majú rovnakú rámcovú štruktúru. začínajú úvodnou tabuľkou s nasledujúcimi informáciami:

• Podrobnejší popis obsahu vyučovacej jednotky (Téma – O čom to bude)

• Ročník, pre ktorý je námet odporučený (Ročník – Koho učíme)

• Stručne formulované ciele vo vedomostnej oblasti a v oblasti predmetových kompetencií (Ciele – čo sa žiak naučí)

• základné poznatky a predmetové kompetencie, ktoré má žiak vedieť pred vý-učbou popísanou touto metodikou a sú nevyhnutné preto, aby žiak dokázal zvládnuť navrhovanú výučbu (Vstup – čo sa vopred od žiaka očakáva)



• Kľúčové kompetencie žiaka spojené s digitálnou gramotnosťou, t.j. schopnos-ťami využívať IKT, tak ako je to popísané v druhej kapitole (Kompetencie – čo si žiak osvojí)

• Popis dôležitého didaktického problému, ktorý majú zvyčajne žiaci pri danej téme, a ktorý použitie IKT a nových didaktických metód rieši (Didaktický prob-lém – čo budeme riešiť)

• Učebné pomôcky, ktoré sú založené na IKT, použitý e-obsah a ďalšie neštan-dardné pomôcky (Prostriedky – čo použijeme)

• Použité metódy a formy práce (Metódy a formy – Ako to zrealizujeme)

Návrh vyučovacej jednotky ďalej obsahuje úvodné informácie k výučbe, úlohy, resp. aktivity pripravené pre žiakov, komentáre, vysvetlivky, riešenia a ďalšie poznámky pre učiteľa (Metodická poznámka), návrhy na zamyslenie sa, na možnosti rozširovania a prehlbovania niektorých navrhovaných postupov (zamyslite sa), tipy na prípadnú obmenu v návrhu vyučovacej jednotky (Aj takto sa to dá). V závere jednotlivých tema-tických okruhov sú uvádzané odkazy na použitú literatúru a elektronické informačné zdroje, ktoré môžu učitelia využiť pre štúdium a získanie ďalších učebných materiálov.



4.1 čísla

Prvá časť štvrtej kapitoly – čísla – patrí k okruhu čísla, premenná a počtové výkony s číslami, ktorý predstavuje jeden z piatich základných okruhov vo vzdelávacom ob-sahu školskej matematiky. Vo vytvorených metodikách sme sa zamerali na zlomky, celé čísla, percentá a posledná metodika sa zaoberá priamou úmernosťou.

Zlomkohra je matematická hra, ktorá by mala žiakom napomôcť pri rozvíjaní pred-stavy zlomku ako mnohosti a adresy. zvolený model umožňuje utvárať dobré pred-stavy o rovnosti zlomkov, umožňuje abstrahovať od predmetnej predstavy zlomku, vytvára priestor pre modelovanie sčítavania zlomkov. Využitie ďalších navrhovaných appletov poskytuje okrem efektívnej vizualizácie zlomkov aj okamžitú spätnú väzbu pre žiaka a učiteľa.

V metodike sčítavanie a odčítavanie celých čísel využívame applet s „nábojovým modelom“ na vizualizáciu vlastností operácií sčítavania a odčítavania v množine ce-lých čísel. Na nácvik objavených vlastností využívame postupnosť gradovaných úloh v programe Microsoft Excel.

Na percentá sa vo vyučovaní na základnej škole kladie veľký dôraz. Napriek tomu mu žiaci často nerozumejú do hĺbky. Percentá sa často používajú v bežnom živote, pracujú s nimi ľudia rôznych zameraní a nie je nič výnimočné stretnúť sa s chybnou interpretáciou, jednu ukazuje obrázok 4.1.1. Metodika úvod do počtu percent vyu-žíva skutočnosť, že percentá nie sú pre žiakov neznámym pojmom. Avšak nie vždy a nie všetci žiaci sú na rovnakej úrovni. Navrhovaný systém výučby môže pomôcť preklenúť rozdiely medzi žiakmi, ktoré sa vyrovnávajú vo vzájomnej komunikácii o správnych odpovediach na jednotlivé otázky. Učiteľ zároveň zistí vstupnú úroveň porozumenia jednoduchých výpočtov počtu percent.

slovné úlohy o percentách sú zamerané na správne porozumenie textu úlohy. Metóda Peer Instruction dáva priestor na komunikáciu o úlohe a môže zabezpečiť hlbšie porozumenie textu úlohy u väčšiny žiakov. Ponúkané alternatívy v jednotlivých úlohách sú zamerané na miskoncepcie žiakov, nútia ich rozmýšľať nad úlohou a ak-tívne s ňou pracovať.

Posledná metodika je venovaná Priamej úmernosti. Ide o interdisciplinárnu meto-diku, ktorá ukazuje prepojenie matematiky a fyziky. zároveň je vhodnou propedeuti-kou pojmu lineárna funkcia, ktorý sa zavádza neskôr.

Obr. 4.1.1 Nízke ceny 110 % garancia?

http://kara.allthingsd.com/files/2009/07/110percent.png



4.1.1 Zlomkohra

Téma O čom to bude

Ročník Koho učíme

Rovnosť zlomkov, rozširovanie a krátenie zlomkov, zák-ladný tvar zlomku, porovnávanie a usporiadanie zlomkov, propedeutika algoritmu na sčítavanie zlomkov

7. ročník ZŠ

Ciele čo sa žiak naučí

Vstup čo sa vopred od žiaka očakáva

• porozumieť pojmu rovnosť zlomkov, rozširovanie a krátenie zlomkov, zák-ladný tvar zlomku

• sčítavať a odčítavať zlomky na tyčo-vom (úsečkovom), neskôr na čokolá-dovom (obdĺžnikovom) a koláčovom (kruhovom) modeli

Navyše budeme:

• rozvíjať predstavu zlomku ako bodu na číselnej osi (adresa a mnohosť)

• rozvíjať kombinatorické myslenie

• ovláda pojem zlomok, čitateľ a me-novateľ zlomku, zlomková čiara

• zlomkom určí, aká časť celku je zná-zornená

• vie znázorniť zapísaný zlomok gra-ficky

• vypočíta časť z celku, pričom výsle-dok je prirodzené číslo, napr. 1/2 z 50, 3/4 z 24 a podobne

• ovláda základy práce s počítačom, s internetovým prehliadačom

Kompetencie čo si žiak osvojí

Didaktický problém čo budeme riešiť

• kľúčovú kompetenciu modely a mo-delovanie pri skúmaní vzťahov medzi zlomkami (rovnosť zlomkov, porovná-vanie zlomkov)

• Vybraná matematická hra by mala žiakom napomôcť pri rozvíjaní predstavy zlomku ako mnohosti a adresy. zvolený model umožňuje utvárať dobré predstavy o rovnosti zlomkov, umožňuje abstrahovať od predmetnej predstavy zlomku, vytvára priestor pre modelovanie sčítavania zlomkov.

• Využitie appletu navyše zabezpečí okamžitú, automatickú kontrolu ťa-hov hráčov pre všetky hrajúce sku-piny.

Prostriedky čo použijeme

Metódy a formy Ako to zrealizujeme

• počítač s prístupom na Internet pre dvojicu žiakov

• vytlačený pracovný list

• riadené skúmanie, matematická hra

• práca vo dvojiciach – žiaci si vo dvojiciach zahrajú hru a spoločne riešia úlohy z pracovného listu



úvod k mEtodikE Matematické hry umožňujú rozvíjať komunikáciu žiakov o matematike. zlomkohra vyžaduje komunikáciu medzi dvojicou žiakov, ktorá sa týka rovnosti zlomkov, usporia-dania zlomkov a možností rozložiť daný zlomok na súčet dvoch, prípadne viacerých zlomkov. Prvá časť vyučovacej jednotky je rozdelená do etáp, pričom sa strieda hra-nie hry na počítači a riešenie úloh v pracovných listoch, ktoré so stratégiou hry úzko súvisia. V procese hrania hry a riešenia úloh, žiaci hlbšie porozumejú pojmom a me-tódam, ktoré súvisia s hrou a zároveň s osvojovaným učivom. V druhej časti vyučo-vacej jednotky navrhujeme využiť applety, prostredníctvom ktorých si žiaci na čoko-ládovom a koláčovom modeli dotvárajú predstavu o rovnosti zlomkov, o usporiadaní zlomkov. V závere vyučovacej jednotky navrhujeme využitie appletov na zopakovanie rovnosti zlomkov, rozširovania a krátenia zlomkov. Tieto applety zároveň slúžia ako propedeutika algoritmu na sčítavanie zlomkov úpravou na rovnakého menovateľa.

motivácia

Na začiatku hodiny žiakov oboznámime s hrou a s pravidlami hry. Žiaci hru vyhľa-dajú na internetovej adrese: http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap5/5.1/#applet (obr. 4.1.2).

Obr. 4.1.2 Zlomkohra

Na začiatku hry si hráči určia poradie, v akom budú hrať. Jeden hráč má figúrky mod-rej a druhý červenej farby. Všetky figúrky oboch hráčov sú na začiatku hry na nule. Počas zlomkohry hráči striedavo posúvajú jednou alebo viacerými figúrkami do-predu o hodnotu zlomku, ktorú určí počítač. Po ukončení svojho ťahu, hráč klikne na „Finish move“, čím umožní ťah svojmu protihráčovi. V prípade, ak sa hráč nevie alebo nemôže pohnúť, klikne na „Pass“. Učiteľ sa môže so žiakmi dohodnúť (podľa časových možností) na jednom z dvoch možných spôsobov ukončenia hry:



1. Hra končí ak jeden z hráčov posunie všetky svoje figúrky z núl na jednotky. Tento hráč je zároveň víťazom hry.

2. Hra končí po určenom časovom limite, napr. 10 minút. Vyhráva hráč, ktorý má viacero figúrok bližšie k jednotke.

HRA

Zahrajte sa Zlomkohru.


Navrhujeme, aby si učiteľ počas hrania hry robil poznámky o činnosti žiakov v prie-behu hry, napr.

• používajú žiaci krátenie zlomkov pri posúvaní figúrok?

• používajú žiaci rozširovanie zlomkov pri posúvaní figúrok?

• pohybujú sa v niektorej fáze hry naraz dvoma figúrkami?

• pohybujú sa v niektorej fáze hry naraz viacerými figúrkami?

Po ukončení hrania hry by v triede mala pod vedením učiteľa prebehnúť diskusia o stratégii jednotlivých žiakov pri hre. V diskusii učiteľ prípadne upozorní žiakov na ďalšie možnosti v hre (vykrátenie zlomku, rozšírenie zlomku, rozloženie zlomku na súčet viacerých zlomkov) Po diskusii žiaci vo dvojiciach vypracujú úlohy v pracov-nom liste s názvom Skúmanie hry I. Počas riešenia úloh môžu využívať applet s hrou a niektoré situácie si vyskúšať.

skúmaniE hry iPri riešení úloh 1 až 7 predpokladajte, že ste na začiatku hry a všetky figúrky sú na 0.

1. Ktorú kartičku potrebujete, ak sa chcete posunúť jednou figúrkou na 2/4?

2. Ktorú kartičku potrebujete, ak sa chcete posunúť jednou figúrkou na 2/3?

3. Ak dostanete kartičku 1/2, kam všade sa môžete postaviť so svojou figúrkou?

4. S ktorými figúrkami sa môžete posúvať, ak dostanete kartičku 3/6?

5. Jožko niečo tvrdí, rozhodni či má pravdu:

a) Ak dostanem kartičku 6/10, tak môžem postaviť figúrku na 3/5.

b) Ak dostanem kartičku 6/8, tak môžem postaviť figúrku na 8/6.

c) Ak dostanem kartičku 1/2, tak môžem postaviť figúrku na 5/10.

d) Ak dostanem kartičku 3/4, tak môžem postaviť figúrku na 6/8.

e) Ak dostanem kartičku 3/8, tak môžem postaviť figúrku na 3/4.



6. Odpovedajte na nasledujúce otázky:

a) Ktorú kartičku potrebujete, ak sa chcete posunúť jednou figúrkou na 2/4?

b) Ktorú kartičku potrebujete, ak sa chcete posunúť jednou figúrkou na 3/4?

c) Ktorú kartičku potrebujete, ak sa chcete posunúť jednou figúrkou na 5/8?

Porozmýšľajte, či úloha nemá viacero riešení.

7. Vyskúšajte, či sa môžeme posúvať aj dvoma figúrkami naraz? Napríklad ak do-stanem kartičku 2/8? Ak áno, napíšte ako sa to dá.

8. Stalo sa vám počas hry, že ste sa nevedeli pohnúť? Popíšte, prípadne vymyslite a nakreslite takúto situáciu v hre.


Žiaci by si mohli už počas hrania hry uvedomiť rovnosť niektorých zlomkov. Intuitívne môžu objaviť pravidlá pre rozširovanie a krátenie zlomkov. Posúvanie dvoma figúr-kami naraz je zároveň propedeutikou sčítavania zlomkov. Niektoré úlohy majú via-cero riešení, učiteľ by mal žiakov viesť k tomu, aby ich objavili čo najviac.

skúmaniE hry ii

1. Ktoré zlomky môžu byť na kartičkách? Podarí sa vám nájsť všetky?

2. Ak dostanete kartičku 1/2, kam všade sa môžete postaviť, ak sa posúvate:

a) jednou figúrkou,

b) dvoma figúrkami.

3. Nájdite kartičku so zlomkom, pri ktorej sa viete posunúť aj s troma figúrkami naraz.

4. Popíšte čo najviac možností ťahu, ak ste na začiatku hry a dostanete kartičku 4/5. Uvažujte aj o možnosti, že budete posúvať viacero figúrok.

5. Vymyslite situácie v hre, v ktorých má hráč aspoň 5 rôznych možností ťahov.

6. Janka dostala kartičku 5/6. So svojimi figúrkami stojí na 1/2, 1/3, 4/6 a s ostat-nými na nule. Jej protihráč má figúrky na 1/2 a 5/6 a s ostatnými stojí tiež na nule. Kam sa má Janka posunúť, aby vyhrala v hre, ak po jej ťahu hra končí?

7. Janka dostala kartičku 2/8. So svojimi figúrkami stojí na 2/4 a na 4/8, s ostatnými na nule. Jej protihráč má figúrky na 4/4, 6/8 a s ostatnými stojí tiež na nule. Kam sa má Janka posunúť, aby neprehrala?

8. Vyrobte si podobnú hru s inými zlomkami.


Pracovný list Skúmanie hry II je zameraný na nadaných žiakov, ktorí pri riešení úloh napredujú rýchlejšie. Nachádza sa v ňom viacero úloh zameraných na rozvíjanie kombinatorického myslenia a úlohy, ktoré majú viacero možných riešení.



prEchod od zlomkohry k ČísElnEj osi

Po ukončení skúmania hry je možné upevniť predstavu žiakov o zlomku ako adrese a precvičiť znázorňovanie zlomkov menších ako 1 na číselnej osi. Na to môžeme využiť aj učebný systém Planéta vedomostí, časť Matematika I zŠ, II. čísla a číselné sústavy. časť I., 5. zlomky, usporiadanie zlomkov, list 4 a 5 (obr. 4.1.3).

Učiteľ môže žiakov vyzvať, aby si podobné úlohy vytvorili sami, pričom znázorňujú zlomky menšie ako 1 na číselnej osi, na ktorej jedna jednotka meria napr. 10 cm. Dá sa očakávať, že žiaci budú využívať predstavu zlomku ako operátora, teda napríklad pri znázorňovaní 5/12 budú počítať veľkosť dielika ako 5/12 z 10 cm.

Obr. 4.1.3 Znázorňovanie zlomkov na číselnej osi

rovnosť zlomkov – iné modEly K tomu, aby si žiaci vytvorili lepšiu predstavu o rovnosti zlomkov je vhodné použiť aj iné modely zlomkov, napr. čokoládový a koláčový model. Vhodný materiál nájde učiteľ na stránke: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_105_g_3_t_1.html?open=teacher&hide-panel=true&from=vlibrary.html (obr. 4.1.4)



Obr. 4.1.4 Rovnosť zlomkov


Ponúkaný applet využíva čokoládový a koláčový model na reprezentáciu zlomku a umožňuje správnosť kontroly výsledku. Navrhujeme, aby si žiaci jednotlivé rov-nosti, ktoré si overia pomocou appletu zapisovali do zošita.

Učiteľ môže počas práce s appletom vyzvať žiakov, aby našli príklady zlomkov, u kto-rých sa počet dielikov (pieces) musel len zväčšiť a príklady zlomkov, u ktorých sa počet dielikov dal aj zväčšiť aj zmenšiť. Na základe toho môže zaviesť pojmy rozširo-vanie, krátenie zlomkov, základný tvar zlomku.

Žiaci si môžu precvičiť rozširovanie, krátenie zlomkov a úpravu na základný tvar aj v učebnom systéme Planéta vedomostí, časť Matematika I zŠ, II. čísla a číselné sú-stavy. časť I., 5. zlomky, list 6 a list 7 (formuláciu v liste 7 je potrebné upraviť: na-miesto vynásobte číslom 3, má byť vynásobte čitateľa aj menovateľa zlomku číslom 3, resp. rozšírte zlomky číslom 3)

usporiadaniE zlomkov

Rozvíjať dobrú predstavu o usporiadaní zlomkov môžeme prostredníctvom appletu na stránke: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_159_g_3_t_1.html?open=activities&from=ca-tegory_g_3_t_1.html (obr. 4.1.5).

Žiaci upravujú dva zlomky na rovnakého menovateľa (rozdelenie na rovnaký počet dielikov). Po správnej úprave znázornia zlomky na číselnej osi a nájdu zlomok, ktorý sa nachádza na číselnej osi medzi nimi. Ďalším delením na iný počet dielikov môžu žiaci nájsť aj niekoľko príkladov takýchto zlomkov. Navrhujeme, aby si žiak jednotlivé príklady zapisoval do zošita. Šikovnejších žiakov môžeme vyzvať, aby našli 5 zlomkov, ktoré ležia medzi danými zlomkami.

Výhodou appletu je, že kontroluje správnosť postupu po krokoch. Podobne ako pred-chádzajúci applet ponúka čokoládový aj koláčový model.



Obr. 4.1.5 Usporiadanie zlomkov

sČítavaniE zlomkov – propEdEutika

Na zopakovanie rovnosti zlomkov, rozširovania a krátenia zlomkov a zároveň ako propedeutiku algoritmu na sčítavanie zlomkov môže učiteľ využiť applet na stránke:

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_106_g_3_t_1.html?from=category_g_3_t_1.html (obr. 4.1.6).

Obr. 4.1.6 Sčítavanie zlomkov

Jednotlivé úlohy sú rozdelené podľa obtiažnosti do troch úrovní (easier, harder, har-dest), využívajú koláčový a čokoládový model. Riešenie každej úlohy je rozdelené na dve časti. V prvej časti žiak upravuje zlomky na spoločného menovateľa a v druhej časti sčíta zlomky s rovnakým menovateľom. Každú časť si žiak môže vizualizovať na vopred ponúkanom modeli zlomku.

bazár nápadov a námEtov

Na hodinách matematiky je často nutné, aby žiaci spoľahlivo zvládli niektoré elemen-tárne algoritmy, napr. operácie so zlomkami. Pre žiakov je to veľmi často monotónna a nudná činnosť. K tomu, aby bola táto činnosť pre žiaka zaujímavejšia môžeme



využiť gradované úlohy, teda úlohy, ktorých náročnosť stúpa (graduje) podľa urči-tých kritérií. Každý žiak má možnosť počítať úlohy odpovedajúcej úrovne. Ak ich zvládne, postupuje do vyššej kategórie. Takéto spôsoby prezentácie úloh sú výhodné tým, že umožňujú individualizáciu. Využitie pracovných listov v programe Microsoft Excel pre gradované úlohy umožňuje navyše okamžitú kontrolu správnosti výsledku. Poskytuje tak žiakovi aj učiteľovi okamžitú spätnú väzbu.

Žiaci na hodine postupne vypracujú pracovné listy rozdelené do úrovní podľa obtiaž-nosti. Po správnom vypracovaní úloh žiak postupuje do vyššej úrovne (level). Po vy-pracovaní úloh v jednotlivých úrovniach, prípadne na konci vyučovacej jednotky, žiak uloží modifikovaný pracovný list do určeného súboru a priečinka súborov. V prípade, ak sa žiakovi nedarí pri riešení úloh má možnosť vygenerovať si inú množinu čísel. Na základe toho do akej úrovne sa žiak dostane, vie učiteľ posúdiť úroveň jeho ve-domostí z preberaného učiva.

sčítavanie a odčítavanie zlomkov (obr. 4.1.7)

Úlohy sú rozdelené do štyroch úrovní (levelov). V prípade, že sa žiak nedokáže dlhšie posunúť do vyššej úrovne je potrebné, aby mu učiteľ pripomenul postup pri algo-ritme, s ktorým má žiak problém.

Obr. 4.1.7 Pracovné listy v programe Microsoft Excel – Sčítavanie a odčítavanie zlomkov

Level 1 obsahuje úlohy zamerané na nácvik algoritmu sčítavania zlomkov s rovna-kým menovateľom. Spolu 6 úloh - 4 úlohy na sčítavanie dvoch zlomkov, 2 úlohy na sčítavanie troch zlomkov.

Sledované javy:

• sčítavanie zlomkov s rovnakým menovateľom,

• úprava na základný tvar.

Level 2 – sčítavanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Spolu 6 úloh - 4 úlohy na sčí-tavanie dvoch zlomkov, 2 úlohy na sčítavanie troch zlomkov.



Sledované javy:

• sčítavanie zlomkov s rôznymi menovateľmi,


Level 3 – oproti predchádzajúcej kategórii pribudne jav odčítavanie zlomkov. Spolu 6 úloh – 4 úlohy na odčítavanie dvoch zlomkov, dve úlohy na kombináciu sčítavania a odčítavania troch zlomkov.

Sledované javy:

• sčítavanie zlomkov,

• odčítavanie zlomkov,


Level 4 – pribudne jav prevod desatinného čísla na zlomok, premena zmiešaného čísla na zlomok a naopak. Spolu 6 úloh – 2 úlohy na sčítavanie a odčítavanie, v čí-selnom výraze sa vyskytujú desatinné čísla a zlomky, 2 úlohy na sčítavanie a odčí-tavanie, v číselnom výraze sa vyskytuje zmiešané číslo, 2 úlohy na sčítavanie a od-čítavanie, v číselnom výraze sa vyskytuje desatinné číslo, zlomok a zmiešané číslo. Výsledok je potrebné uviesť v tvare zmiešaného čísla.

Sledované javy:

• sčítavanie zlomkov,

• odčítavanie zlomkov,

• prevod desatinného čísla na zlomok,

• premena zmiešaného čísla na zlomok a naopak,

• úprava na zlomok v základnom tvare.

Násobenie a delenie zlomkov (obr. 4.1.8)

Úlohy sú opäť rozdelené do 4 úrovní (levelov).

Obr. 4.1.8 Pracovné listy v programe Microsoft Excel – Násobenie a delenie zlomkov



Level 1 – nácvik algoritmu násobenia zlomkov. Spolu 6 úloh na násobenie zlomkov, 3 úlohy na násobenie zlomku prirodzeným číslom a 3 úlohy na násobenie zlomku zlomkom

Sledované javy: • násobenie zlomkov, • krátenie zlomkov.

Level 2 - pribudne algoritmus na delenie zlomkov a úprava zloženého zlomku. Spolu 6 úloh na delenie zlomkov, 1 úloha na delenie zlomku prirodzeným číslom, 1 úloha na delenie prirodzeného čísla zlomkom, 2 úlohy na delenie zlomku zlomkom a 2 úlohy zamerané na úpravu zloženého zlomku.

Sledované javy: • násobenie zlomkov, • delenie zlomkov,• krátenie zlomkov,• úprava zloženého zlomku.

Level 3 - v tejto úrovni pribudne prevod desatinného čísla na zlomok a zmiešaného čísla na zlomok. Spolu 6 úloh – 3 úlohy na násobenie, resp. delenie zlomku a de-satinného čísla a 3 úlohy na násobenie, resp. delenie zlomku a zmiešaného čísla, výsledok je potrebné upraviť v tvare zmiešaného čísla.

Sledované javy: • násobenie zlomkov, • delenie zlomkov,• krátenie zlomkov,• prevod desatinného čísla na zlomok,• prevod zmiešaného čísla na zlomok a naopak,• úprava zloženého zlomku.

Level 4 – Kombinujeme tu všetky operácie so zlomkami, medzi javy pribudne priorita operácií. Nachádza sa tu spolu 6 úloh, nasledujúcich typov: (A+B).C, A.(B-C), A+B.C, (A-B):C, A:(B-C).D, A-B/C.D, pričom veľké písmená reprezentujú zlomky.

Sledované javy:• násobenie zlomkov, • delenie zlomkov,• krátenie zlomkov,• prevod desatinného čísla na zlomok,• prevod zmiešaného čísla na zlomok a naopak,• úprava zloženého zlomku,• priorita operácií.



4.1.2 sčítavanie a odčítavanie celých čísel



Objavenie algoritmov na sčítavanie a odčítavanie celých čísel a ich nácvik 8. ročník ZŠ



• algoritmus na sčítavanie a odčítavanie celých čísel za pomoci nábojového modelu (mnohostno-operátorový mo-del) – objav algoritmu

• algoritmus na sčítavanie a odčítavanie celých čísel – nácvik algoritmu

• ovláda algoritmus na sčítavanie a odčítavanie prirodzených a de-satinných čísel

• rozumie pojmu celé číslo, pozná modely celého čísla (dlh, teplota, nadmorská výška, poschodie) a rieši jednoduché úlohy s využi-tím týchto modelov

• ovláda základy práce s počítačom



• kľúčovú kompetenciu modely a mode-lovanie pri modelovaní záporného čísla v nábojovom modeli

• kľúčovú kompetenciu analýza a auto-matizácia procesov – časť materiálu je zameraná na nácvik algoritmov sčítava-nia a odčítavania celých čísel.

• Pomocou appletu vizualizujeme základné vlastnosti operácií sčí-tavania a odčítavania v množine celých čísel. Vybraný applet tiež zefektívni činnosť učiteľa a žiaka.

• Na nácvik algoritmov sčítavania a odčítavania celých čísel vyu-žijeme gradované úlohy. Každý žiak má tak možnosť počítať úlohy zodpovedajúcej úrovne. Využitie IKT umožňuje okamžitú kontrolu správnosti výsledku. Poskytuje tak žiakovi aj učiteľovi okamžitú spätnú väzbu.



• počítač s dataprojektorom (interak-tívna tabuľa)

• počítač pre každého žiaka, resp. pre dvojicu žiakov

• internetový prehliadač

• riadené skúmanie

• individuálna, resp. skupinová (žiaci vytvoria dvojice) forma práce pri počítačoch zameraná na vyhľa-dávanie a spracovávanie informácií



úvod k mEtodikE

Cieľom pripravenej vyučovacej jednotky je objaviť algoritmy na sčítavanie a odčíta-vanie celých čísel. Vyučovacia jednotka pozostáva zo štyroch častí. V prvých troch častiach vyučovacej jednotky žiaci používajú applet, ktorý je dostupný na internete. V prvej časti sa žiaci oboznamujú s modelom celých čísel (nábojový model) a učia sa v ňom reprezentovať konkrétne celé čísla. V druhej časti žiaci modelujú v applete sčítavanie celých čísel a riešia jednoduché úlohy. V tretej časti modelujú odčítavanie záporných čísel. Nasleduje zovšeobecnenie algoritmu a jeho nácvik. Nácvik prebieha najprv len na množine celých čísel a neskôr sa rozširuje aj na množinu kladných a záporných desatinných čísel. Žiaci používajú vytvorené pracovné zošity v programe Microsoft Excel.

rEprEzEntácia záporného Čísla v nábojovom modEli

úLOHA 1

Spustite si applet na stránke:

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_162_g_3_t_1.html?from=category_g_3_t_1.html

V applete zaškrtnite možnosť „Free Play“. Každé z čísel -3, 4, -7 znázornite aspoň troma rôznymi spôsobmi. Na obrázku je dvoma rôznymi spôsobmi znázornené číslo -3 (obr. 4.1.9).

Obr. 4.1.9 Reprezentácia čísla v nábojovom modeli


Cieľom úlohy je žiakov oboznámiť so znázornením záporných čísel v novom modeli. Ak je to potrebné učiteľ môže navrhnúť viacero podobných úloh na precvičenie. Správne znázornenie čísla v nábojovom modeli a uvedomenie si možnosti znázor-niť konkrétne číslo viacerými možnými spôsobmi je nutnou podmienkou pre poro-zumenie a riešenie ďalších úloh.



sČítavaniE cElých ČísEl

úLOHA 2

Pomocou appletu ako v úlohe 1. vypočítajte nasledujúce úlohy:

3 + 5 = 5 + (+3) = -5 + (-6) =-2 + 3 = 4 + (-7) = 6 + (-2) =

-2 + (-3) = -6 + 4 = -4 + (-4) =


Navrhujeme, aby postup pri sčítavaní učiteľ rozdelil na nasledujúce etapy:

1. znázornenie prvého sčítanca v modeli.

2. Pridanie potrebného počtu kladných, resp. záporných nábojov (na základe hodnoty druhého sčítanca).

3. Interpretácia výsledku.

Prvé dve etapy pri riešení úlohy -2 + 3 = sú na obrázku 4.1.10.

Obr. 4.1.10 Sčítavanie celých čísel

Ak je to potrebné, učiteľ precvičí so žiakmi ďalšie úlohy, pričom vyberá sčítance me-dzi celými číslami od - 10 do 10.

odČítavaniE cElých ČísEl

úLOHA 3

V applete zaškrtnite možnosť „Computer“ a riešte úlohy na odčítavanie celých čísel, ktoré vám generuje počítač.




Odčítavanie pomocou appletu je rozdelené do štyroch krokov:

1. znázornenie hodnoty menšenca. Po dokončení žiak stlačí tlačidlo „Continue“.

2. Dodanie potrebného počtu neutrálnych nábojov + -, aby sme v ďalšom kroku mohli odoberať potrebný počet nábojov, ktoré budú reprezentovať hodnotu menšiteľa.

3. Odoberanie potrebného počtu nábojov (hodnota menšiteľa).

4. Spájanie nábojov + a – (pri potiahnutí náboja - na náboj + oba náboje zmiznú). zapísanie výsledného náboja. Po dokončení žiak stlačí tlačidlo „Check“.

Uvedené štyri kroky vizualizuje obrázok 4.1.11.

Obr. 4.1.11. Odčítavanie celých čísel

Pri riešení úloh 4 až 8 budeme využívať predchádzajúci applet, ale namiesto režimu Computer budeme používať režim User.



úLOHA 4

V applete zaškrtnite možnosť „User“ a riešte nasledujúce úlohy na odčítavanie ce-lých čísel.

3 - 5 = 5 - (+3) = -5 - (-6) =-2 - 3 = 8 - 7 = 6 - (-2) =

-4 - (-3) = -6 - (- 6) = -4 + (-4) =


Postup je podobný ako pri predchádzajúcej úlohe, navyše nám na začiatku pri-budne krok zapísania úlohy do appletu. Učiteľ môže takto precvičiť úlohy, v ktorých je menšenec aj menšiteľ celé číslo väčšie ako -10 a menšie ako 10.

úLOHA 5

Riešte nasledujúce dvojice úloh. Porovnajte výsledky úloh. Čo ste zistili?a) 4+(+6) 4+6b) 8+3 8+(+3)c) 7+7 7+(+7)d) 1+(+9) 1+9

úLOHA 6

Riešte nasledujúce dvojice úloh. Porovnajte výsledky úloh. Čo ste zistili?a) 5-(+8) 5-8b) 7-4 7-(+4)c) 6-6 6-(+6)d) 2-(+10) 2-10

úLOHA 7

Riešte nasledujúce dvojice úloh. Porovnajte výsledky úloh. Čo ste zistili?a) 3+(-7) 3-7b) 8-4 8+(-4)c) 9-9 9+(-9)d) 7+(-6) 7-6

úLOHA 8

Riešte nasledujúce dvojice úloh. Porovnajte výsledky úloh. Čo ste zistili?a) 5-(-7) 5+7b) 9+4 9-(-4)c) 8+8 8-(-8)d) 2-(-6) 2+6




Po každej z úloh 5 až 8 učiteľ so žiakmi rozoberie, čo zistili. Na základe riešení tak žiaci postupne objavujú vzťahy schematicky vyjadrené nasledovne:

+ ( + ) = +

- ( + ) = -

+ ( - ) = -

- ( - ) = +

úLOHA 9

Pokúste sa bez použitia appletu zistiť, ktoré úlohy budú mať rovnaké výsledky:

-3 - 5 = -3 + 5 = 5 + 6 = 5 - 6 =-3 +(-5) = -3 - (+5) = 5 +(- 6) = 5 - (-6) =-3 - (-5) = -3 + (-5) = 5 - (+6) = -5 + (-6) =


Úloha slúži na upevnenie objavených vzťahov medzi znamienkami.

prEcviČovaniE uČiva Na precvičovanie algoritmov na sčítavanie a odčítavanie celých čísel môžeme využiť pracovný zošit v programe Microsoft Excel pyramidy_levely.xls. V pracovnom zo-šite sú úlohy rozdelené do troch úrovní. V prvej úrovni žiaci len sčítavajú celé čísla, v druhej úrovni je jedno odčítanie celých čísel a v tretej úrovni je potrebné odčítavať viackrát. Na obrázku 4.1.12 je pyramída z úrovne 3.

Obr. 4.1.12 Pyramída – úroveň 3

Pracovný zošit minitabulky_celecisla.xls umožňuje precvičiť operácie sčítavania a odčítavania kladných a záporných desatinných čísel, pričom žiaci využívajú už ob-javené vlastnosti operácií sčítania a odčítania celých čísel. Úlohy sú rozdelené do pia-



tich úrovní od A po E (obr. 4.1.13). Ich náročnosť postupne graduje. Každý žiak má možnosť počítať úlohy odpovedajúcej úrovne. Ak ich zvládne, postupuje do vyššej kategórie. Takéto spôsoby prezentácie úloh sú výhodné tým, že umožňujú individu-alizáciu. Program Microsoft Excel zároveň vykonáva kontrolu výsledku a poskytuje tak učiteľovi aj žiakovi okamžitú spätnú väzbu.

Obr. 4.1.13 Minitabuľky – kategórie A, B, E

Popis úloh v jednotlivých úrovniach:

Kategória A: sčítavanie celých čísel

V zadávacom poli (farebne zvýraznené políčka) sú celé čísla z intervalu < -100, 100 >. Žiak vykonáva operáciu sčítania celých čísel. V prípade, že zvládne úlohy bezchybne alebo s jednou chybou, postupuje do vyššej kategórie.

Kategória B: sčítavanie a odčítavanie celých čísel

Dve čísla sú v číselnom poli, zvyšné v zadávacom poli. Celé čísla sú z intervalu < -100, 100 >. Oproti kategórii A pribudlo odčítanie celých čísel.

Kategória C: sčítavanie kladných a záporných desatinných čísel

Všetky čísla sú v zadávacom poli. čísla (aj desatinné s jedným, resp. dvoma desatin-nými miestami) sú z intervalu < -100, 100 >.

Kategória D: sčítavanie a odčítavanie kladných a záporných desatinných čísel

Dve čísla sú v číselnom poli, zvyšné v zadávacom poli. čísla sú z intervalu od < -100, 100 >. Majú nula, jedno, resp. dve desatinné miesta.

Kategória E: sčítavanie a odčítavanie kladných a záporných desatinných čísel (0 až 3 desatinné miesta)

Dve čísla sú v číselnom poli, zvyšné v zadávacom poli. Jedno číslo v riadku a jedno v stĺpci má tri desatinné miesta, zvyšné 1 až 2 desatinné miesto, dve čísla sú v čísel-nom poli.

bazár nápadov a námEtov

Nadaní žiaci si môžu prostredníctvom appletu na stránke:

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_122_g_3_t_1.html?open=instructions&from=category_g_3_t_1.html precvičiť nielen operácie so zápornými číslami, ale rozvíjajú aj svoje lo-gické myslenie (obr. 4.1.14).



Obr. 4.1.14 Hlavolam – Kruh 0 (Circle 0)

Cieľom hlavolamu je vložiť do každého kruhu dve čísla tak, aby bol súčet troch čísel v každom kruhu rovný 0. Ak žiak správne vyplní kruh, jeho podfarbenie sa zmení. Táto funkcia poskytuje žiakovi priebežne spätnú väzbu o správnosti postupu.

Úlohy, ktoré generuje applet, môžu žiaci riešiť aj za domácu úlohu.



4.1.3 Úvod do počtu percent



Percento, percentová časť, počet percent, základ 7. ročník ZŠ



• porozumieť pojmu percento ako dele-nia celku na stotiny

• porozumieť pojmom základ, percen-tová časť, počet percent

• prepojiť skúsenosti s percentami v bežnom živote a pojmom percento v matematike

• vypočítať 1 %,10 %,25 %,50 %,75 % ako zlomkový podiel

• vypočíta časť z celku vyjadrenú zlomkom

• ovláda operácie so zlomkami

• ovláda vzťah medzi zlomkom a de-satinným číslom

• ovláda vzťah zlomkov a delenia

• používa hlasovacie zariadenie pri odpovedaní na otázky



• kľúčovú kompetenciu preskúmanie a organizovanie informácií – žiaci budú analyzovať údaje, ktoré o percentách už majú a pomocou nich sa pokúsia vyriešiť jednoduché úlohy zo života

• kľúčovú kompetenciu analýza a auto-matizácia procesov vo fáze osvojova-nia a upevňovania učiva

• Ukážeme prepojenie skúsenosti žiakov s percentami v bežnom ži-vote s pojmom percento v mate-matike a tiež prepojenie s učivom o zlomkoch.

• Navrhovaná metodika výučby núti žiakov komunikovať o učive a tak zlepšiť porozumenie učivu aj u žia-kov, ktorým chýbajú skúseností s percentami so života.



• hlasovacie zariadenia

• počítač pre učiteľa a pre každú dvo-jicu žiakov

• prezentácia s úlohami pre žiakov

• prístup na Internet

• pracovné listy v programe Microsoft Excel

• učebný systém Planéta vedomostí

• Peer Instruction

• prevažuje skupinová forma práce (2 až 4-členné skupiny, môžu byť vytvorené podľa zasadacieho po-riadku)



úvod k mEtodikE

Navrhovaná vyučovacia jednotka je rozdelená na štyri časti. V prvej časti uvedieme žiakov do problematiky, na úlohe vysvetlíme prečo zavádzame percentá. V druhej časti vychádzame zo skúsenosti žiakov s percentami v bežnom živote a prostred-níctvom úloh zistíme na akej úrovni sú vstupné vedomosti žiakov. V prvej a druhej časti dominuje metóda Peer Instruction. Tretia časť je zameraná na osvojenie učiva, navrhujeme použitie pracovných listov v Exceli. V poslednej časti, určenej na fixáciu učiva, navrhujeme využiť voľne dostupný softvér a učebný systém Planéta vedomostí.

navodEniE problémovEj situáciE

úLOHA 1

Žiaci školy sa zapojili do humanitárnej zbierky Modrý gombík.

Z 20 žiakov piateho ročníka si modrý gombík zakúpilo 16, z 25 žiakov šiesteho roč-níka si 21 zakúpilo modrý gombík a z 50 žiakov siedmeho ročníka to bolo 30 žiakov.

Ktorý z týchto ročníkov sa úspešnejšie zapojil do akcie?

Hlasovanie

A: piaty

B: šiesty

C: siedmy


Cieľom úlohy je navodiť problémovú situáciu potrebnú na zavedenie počtu per-cent. Učiteľ prostredníctvom riadenej diskusie vyzve žiakov na obhájenie svojich názorov.

Možné situácie:

• žiak hlasuje za siedmy ročník, lebo 30 je najviac a tak určite do humanitárnej zbierky prispeli najväčšou sumou. Protiargument: prvý ročník toľko žiakov ani nemá – to sa nedá porovnať.

• prvý a druhý ročník sú na tom rovnako, veď 4 žiaci si nekúpili modrý gombík.

Cieľom diskusie nie je dôjsť k správnemu riešeniu ( aj keď sa to môže stať), ale donútiť žiakov zamyslieť sa nad možnosťou spravodlivého porovnania.

Potom nasleduje nové hlasovanie tej istej úlohy. Dá sa očakávať prevaha odpovedí A a B. Učiteľ pomocou ďalšej riadenej diskusie smeruje k porovnaniu vzhľadom na počet žiakov v jednotlivých triedach tak, aby sa zachoval pomer. Vhodné je začať porovnaním druhého a tretieho ročníka, vzhľadom na dvojnásobok počtu žiakov. Nasleduje otázka ako do toho zahrnúť prvý ročník s 20 žiakmi. Výsledkom by mal byť návrh na tzv. maxitriedu so 100 žiakmi (násobok 20, 25 a 50).



úLOHA 2

Zapíšte do nasledujúcej tabuľky počet žiakov jednotlivých ročníkov a počet žiakov, ktorí si zakúpili modrý gombík. Potom vyplňte ďalšie stĺpce pre maxitriedu tak, aby pomer ostal zachovaný.

Trieda počet žiakov modrý gombík maxitrieda modrý gombíkPIATA

ŠIESTA

SIEDMA

RIEŠENIE

Trieda počet žiakov modrý gombík maxitrieda modrý gombíkPIATA 20 16 100 80ŠIESTA 25 21 100 84SIEDMA 50 30 100 60


z posledného stĺpca je zrejmý výsledok a zároveň je to aj percentuálne vyjadrenie. Vhodné je zdôrazniť, že na porovnanie potrebujeme vždy rovnaké delenie, nemusí to byť po stovkách, ale ukázalo sa, že delenie na stovky je z hľadiska jednoduchosti počítania výhodnejšie a má aj historický pôvod ( staroveký Rím – regiment vojska – 100 vojakov).

Pomocou tabuľky učiteľ zavedie nové pojmy: základ – počet žiakov v triede, per-centová časť – počet žiakov, ktorí si zakúpili modrý gombík, počet percent – koľko modrých gombíkov by pripadlo na 100 žiakov, zavedenie označenia počtu percent.

pErcEntá v každodEnnom životE

Cieľom nasledujúcich úloh s využitím hlasovacích zariadení je zistiť mieru porozu-menia percent, prípadne schopnosť jednoduchých výpočtov. Táto informácia slúži pre učiteľa ako štartovacia pozícia pre ďalšiu výučbu.



úLOHA 3

Po písomke sa Zuzka pýta Petra, ako ju napísal. Peter odpovedá: „Tak na 50 %“. Znamená to, že:

Hlasovanie

A: Vedel všetko.

B: Nevedel nič.

C: Väčšinu vedel.

D: Väčšinu nevedel.

E: Asi polovicu vedel a polovicu nevedel.


Postupujeme v súlade s metódou Peer Instruction, t.j. v prípade, že po prvom hlasovaní je viac ako polovica nesprávnych odpovedí, necháme žiakov poradiť sa v skupinách a realizujeme druhé hlasovanie. Dá sa očakávať, že po ňom bude prevaha správnych odpovedí. Na záver môže učiteľ uviesť ďalšie príklady použitia pojmu 50 % v bežnej reči.

úLOHA 4

Hokejový brankár má úspešnosť 50 %. Chceli by ste ho do tímu?

Hlasovanie

A: Áno.

B: Nie.


Otázka je opäť zameraná na prepojenie percent s každodenným životom. Očakávame skôr odpovede B. Vyzveme žiakov, aby vysvetlili, čo to znamená, že brankár má úspešnosť 50 % (napr. z 10 striel na bránu 5 pustí). Vhodné je zaoberať sa otázkami:

• Akú má mať úspešnosť brankár, aby sme ho chceli?

• 75 % stačí?

• Koľko striel potom pustí?

• Môže mať 100 % úspešnosť?

V rámci rozhovoru navrhujeme uskutočniť aj jednoduché výpočty, napr. koľko striel z 24 je 75 %, koľko je 80 % a pod.



úLOHA 5

Na obchode je nápis „zníženie o 50 %“. Včera ste si v ňom vyhliadli rifle, ktoré stáli 35. Koľko budú stáť dnes?

Hlasovanie

A: Pätinu pôvodnej sumy.

B: Polovicu pôvodnej sumy.

C: Menej ako 15 €.

D: 30 €.


Predpokladáme, že po úlohe 4 by malo byť zrejmé, že 50 % je polovica z daného základu, táto úloha umožňuje učiteľovi získať spätnú väzbu o porozumení žiakov.

úLOHA 6

Opäť sme v tom istom obchode, kde majú 50 % zlacnenie. Nohavice stáli pôvodne 35 €, tričko 20 €. Janka si kúpila nohavice a Katka tričko.

Hlasovanie

A: Ušetrili rovnako.

B: Janka ušetrila viac peňazí.

C: Katka ušetrila viac peňazí.


Úloha zdôrazňuje dôležitosť základu, z ktorého sa počet percent počíta. Očakávame aj odpovede A. Ak sa vyskytujú nesprávne odpovede aj po druhom hlasovaní, tak navrhneme žiakom, aby na základe skúsenosti z diskusie o úlohe 4, vyčíslili novú cenu nohavíc a trička. zdôraznime spojenie 50 % z 35 €, 50 % z 20 €.

úLOHA 7

V triede s 32 žiakmi je 10 dievčat. Je to:

Hlasovanie

A: Viac ako 25 %.

B: Menej ako 25 %.

C: 25 %.

MeToDiCKá PoznáMKa:

Po dobrej skúsenosti s 50 %, otestujeme porozumenie pojmov 25 % a 75 %. Predpokladáme, že úlohu riešia žiaci odhadom. Po druhom hlasovaní nasmeru-jeme rozhovor k cieľu 25 % z celku = jedna štvrtina celku. Na záver môžeme pre-viesť výpočet 25 % z 32 žiakov.



úLOHA 8

Janka a Zuzka písali test z matematiky, ktorý bol ohodnotený na 100 bodov. Janka napísala test na 75 %, Zuzkina úspešnosť bola 25 %.

Kto napísal test lepšie a na koľko bodov?

Hlasovanie

A: Janka, mala 100 bodov.

B: Zuzka, mala 75 bodov.

C: Janka, mala 75 bodov.

D: Zuzka, mala 25 bodov.

E: Janka, mala 25 bodov.


Dnes je už pomerne časté udávať výsledky testov v percentách. Úloha sa snaží vy-užiť túto žiacku skúsenosť. Učiteľ môže začať rozhovorom, či už písali test, v ktorom mali úspešnosť vyjadrenú v percentách, prípadne aká bola ich úspešnosť a čo to znamenalo: 100 % – hodnotenie jednotkou (výborný), 30 % – katastrofa, hodnote-nie päťkou (nedostatočný) a pod. Chceli by ste napísať test ako zuzka alebo ako Janka? Alebo lepšie? S koľkými percentami by ste boli spokojní? Bodové hodnote-nie testu na 100 bodov je zámerné, žiaci by si mali všimnúť súvislosť počtu bodov a percentuálnej úspešnosti testu. Učiteľ môže položiť žiakom otázky: Ako to bude pri inom počte bodov za test? Prečo?

úLOHA 9

Martin a Richard písali test z matematiky. Martin mal 12 bodov, čo bol plný počet, Richard napísal test na 75 %. Koľko bodov má Richard?

Hlasovanie

A: 6

B: 8

C: 9

D: 10


V nadväznosti na predchádzajúcu úlohu učiteľ po hlasovaní kladie otázky: Na koľko percent napísal test Martin? Koľko bodov by mal Richard, ak by mal test 100 bodov?

Na záver so žiakmi zhrnieme: 1 % - stotina celku, 25 % - štvrtina celku, 75 % - tri štvrtiny celku.



osvojEniE uČiva

AKTIVITA 1

Percentá a stotiny


Žiaci pracujú v skupinách (najvhodnejšie dvaja žiaci pri jednom PC) s pracovným listom prac_list_i.xls (obrázok 4.1.15). Ich úlohou je vyplniť príslušný počet per-cent, pričom využívajú získané skúsenosti z predchádzajúcej práce. Učiteľ je len navigátorom správneho zápisu, pričom žiakom necháva čas na pokusy. Pracovný list obsahuje štvorce, rozdelené na 100 štvorčekov (s cieľom dosiahnuť porozume-nie, že celok tvorí 100 %). Úlohou žiakov je podľa počtu vyfarbených štvorčekov určiť, koľko percent z celku je vyfarbených. Následne sa objaví kontrolné hlásenie o správnosti, resp. nesprávnosti zápisu.

Obr. 4.1.15 Ukážka z pracovného listu I

Po tejto aktivite nasleduje diskusia s učiteľom, ktorej výsledkom má byť zvládnutý poznatok o tom, že:

• celok tvorí 100 %

• celok tvorí 100 rovnakých častí, kde 1 % je jedna stotina celku

• celok = 1 = 100 %

• jedna stotina celku = 1 /100 = 1 %

AKTIVITA 2

Percentá a časť celku




Žiaci (opäť v skupinách) postupne pracujú s pracovnými listami prac_list_ii.xls, prac_list_iii.xls, prac_list_iV.xls. Ukážky z pracovných listov sú na obrázkoch 4.1.16, 4.1.17 a 4.1.18.

Pracovný list II je zameraný len na pojem 50 %. Cieľom je, aby si žiaci uvedomili, že polovica je vždy 50 % z celku, nezávisle od grafického zobrazenia. Je možné, že pre väčšinu žiakov to bude veľmi jednoduché. V pracovných listoch III a IV žiaci z grafického znázornenia určujú v percentách aká časť obrázka je vyfarbená.

Obr. 4.1.16 Pracovný list II Obr. 4.1.17 Pracovný list III Obr. 4.1.18 Pracovný list IV

Cieľom predchádzajúcich úloh a aktivít bolo, aby si žiaci uvedomili, že 50 % je po-lovica základu, 25 % je štvrtina základu, 75 % je tri štvrtiny základu, 20 % je pätina základu, 10 % je desatina základu, 1 % je stotina základu.

fixácia uČiva

Na fixáciu vedomostí môžeme použiť:

1. učebný systém Planéta vedomostí. Navrhujeme použiť časť Matematika I. zŠ – učiteľ, lekcia 1. Riešenie slovných úloh, strana 5 – prostredníctvom videa je žiakom vysvetlené čo znamená na kruhovom diagrame 100 %, 50 %, 20 % a pod. (obrázok 4.1.19).

2. Voľne dostupný interaktívny softvér Power Pods zo stránky http://www.primaryga-mes.co.uk/pg3/ppods/powerpods.swf (obrázok 4.1.20). Úlohou žiakov je správne pri-radenie troch typov zápisu: desatinné číslo – zlomok – percentá. Na úvodnej obrazovke si žiaci zvolia, ktorý z daných troch typov zápisov má byť zobrazený. Ak si zvolíme percentá, tak si ďalej môžu vybrať jeden z levelov – A alebo B. Po spustení sa objaví 8 kruhov, v ktorých sú dané počty percent. Pod hlavnou obrazovkou sa postupne prikotúľajú kruhy s desatinným číslom alebo zlom-kom. Ten žiaci umiestnia k príslušnému počtu percent. Postupne tak dostanú trojice navzájom ekvivalentných zápisov – desatinným číslom, percentami a zlomkom. Využitie tohto softvéru tak umožní upevniť prepojenie medzi už osvojeným učivom (zlomky a desatinné čísla) a novým učivom (percentá).



Obr. 4.1.19 Percentá v učebnom systéme Planéta vedomostí

Obr. 4.1.20 Prepojenie percent so zlomkami a desatinnými číslami



4.1.4 slovné úlohy o percentách



slovné úlohy s využitím počtu percent 7. ročník ZŠ



• pracovať s textom slovnej úlohy na percentá

• riešiť slovné úlohy s využitím počtu percent

• interpretovať v praxi výsledok výpočtu

• vie vypočítať počet percent, hod-notu príslušnú k počtu percent a základ




• kľúčovú kompetenciu preskúmanie a organizovanie informácií zamerané na výber a na zisťovanie dôležitých in-formácií pre riešenie matematického problému – žiaci sa naučia pracovať s textom slovnej úlohy, vybrať si z neho dôležité informácie pre vyriešenie úlohy

• Pri riešení slovných úloh na per-centá majú žiaci často problém s určovaním základu, s identifiko-vaním skrytých informácií v úlohe, s interpretáciou niektorých údajov v úlohe, prípadne s interpretáciou výsledku riešenia úloh. Pri výbere konceptuálnych úloh a príslušných alternatív k úlohe sme sa zamerali práve na uvedené miskoncepcie.

• Hlasovacie zariadenia posky-tujú žiakom aj učiteľovi okamžitú spätnú väzbu o odpovediach a tým vytvárajú lepšie predpoklady pre ďalšiu komunikáciu o úlohe.



• počítač s dataprojektorom, resp. inte-raktívna tabuľa pre učiteľa

• hlasovacie zariadenie pre každého žiaka

• prístup na Internet a počítač pre dvo-jicu žiakov


• učebný systém Planéta vedomostí


• prevažuje skupinová práca žiakov (2 až 4 – členné skupiny, môžu byť vytvorené podľa zasadacieho po-riadku)



úvod k mEtodikE

Slovné úlohy s využitím počtu percent sú pre žiakov väčšinou náročné, ich nesprávne pochopenie vedie k tomu, že percentá sú pre mnohých žiakov a neskôr aj dospelých strašiakom. Využitie hlasovacích zariadení dáva priestor na hlbšie porozumenie textu úlohy, na prezentáciu a spätné overenie vlastných názorov. Ponúkané možnosti nú-tia žiakov rozmýšľať nad úlohou a aktívne s ňou pracovať. Navrhovaná vyučovacia jednotka pozostáva z troch častí. V prvej časti – Opakovanie – učiteľ hravou formou zopakuje výpočty súvisiace s počtom percent. Nasleduje riešenie slovných úloh s vy-užitím metódy Peer Instruction. V záverečnej časti navrhujeme opakovanie s využitím učebného systému Planéta vedomostí.

opakovaniE

Učiteľ začne hodinu hrou Bingo. Ak žiaci nepoznajú hru, tak ich oboznámi s pravidlami.

Pravidlá hry Bingo: Žiaci si zostavia tabuľku 3x3 a do každého okienka si zapíšu práve jedno číslo z ponúkanej množiny čísel. čísla musia byť navzájom rôzne. Napr.: {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9} Potom učiteľ skontroluje vyplnené tabuľky (z dôvodu prípadného podvádzania a dopisovania v priebehu hry).

Formou prezentácie V programe Microsoft PowerPoint sú žiakom postupne zadá-vané jednoduché úlohy na výpočet prevažne spamäti. Žiaci sú povinní zapísať si zadanie a výsledok úlohy, prípadne ak potrebujú, aj výpočet. Ak dané číslo, ktoré je výsledkom úlohy, majú v tabuľke, zaškrtnú si ho.

Žiak, ktorý má zaškrtnuté všetky čísla, zakričí „Bingo“ a odovzdá zošit učiteľovi na kontrolu.

Učiteľ skontroluje aj správnosť vyriešenia všetkých zadaných úloh.

úLOHY K HRE BINGO

50 % z 1,6 150 % z 0,2 400 % z 2 75 % z 1,2 25 % z 1,6 200 % z 0,5 25 % z 2,4 75 % z 4 40 % z 10 20 % z 1 150 % zo 4 30 % z 30 50 % z 0,2 125 % z 1,6 10 % zo 7 25 % z 28 40 % z 1,25 100 % z 5

riEšEniE slovných úloh

Učiteľ začne rozhovorom o tom, v ktorých situáciách sa žiaci s percentami stretli. Očakávané odpovede sú napr. v obchode, v banke, pri testoch, v zemepisných at-lasoch ...



Potom nasleduje postupné riešenie slovných úloh. zadania úloh má učiteľ pripra-vené formou prezentácie. Po prečítaní textu slovnej úlohy nasleduje prvé hlasovanie, pri ktorom sa každý žiak rozhoduje individuálne. Potom nasleduje diskusia v skupi-nách a ďalšie hlasovanie. Po tomto hlasovaní nasleduje frontálny rozhovor o znení úlohy s cieľom zistiť do akej miery mu žiaci porozumeli. Jednotlivé úlohy sledujú podľa potreby mieru porozumenia zneniu úlohy, odhad žiakov (bez výpočtu) alebo správnosť riešenia úlohy.

úLOHA 1

Medveď mal na začiatku zimy hmotnosť 400 kg. Cez zimu schudol o 10 % a potom do leta 10 % svojej hmotnosti (po zime) pribral. Koľko vážil medveď v lete?

Hlasovanie

A: Rovnako ako na začiatku zimy.

B: Viac ako na začiatku zimy.

C: Menej ako na začiatku zimy.


Táto úloha často zvádza k odpovedi A. Vysvetlenie je jednoduché: 10 % schudol, 10 % pribral – to je predsa to isté! Po hlasovaní žiaci v skupinkách situáciu rozo-berú, uskutočnia prípadné výpočty a potom hlasujú opäť. Učiteľ potom spoločne so žiakmi vypočíta, na akú hmotnosť medveď schudol a koľko opäť pribral. (Pritom dbá na vhodnosť zápisu a výpočtu celej úlohy.) zdôrazni dôležitosť základu, z kto-rého počet percent počítame. Správna odpoveď je C.

Po spoločnej diskusii učiteľ môže žiakov vyzvať, aby hľadali odpovede na nasle-dujúce otázky:

a) Koľko percent mal pribrať, aby dosiahol svoju pôvodnú hmotnosť?

b) Vášmu otcovi v práci najprv o 10 % znížia plat a potom ho opäť o 10 % zvýšia. Môže byť spokojný?

úLOHA 2

Kanadský hokejový brankár chytil v zápase so Švédskom 34 striel, čo bolo 85 % všetkých striel na jeho bránu. Švédsky brankár chytil len 80 % všetkých striel vystre-lených na švédsku bránu, napriek tomu Švédsko vyhralo rozdielom jedného gólu. Švédsky brankár mal menšiu úspešnosť (len 80 %) ako kanadský, napriek tomu Švédi vyhrali. Znamená to, že:

Hlasovanie

A: Švédi mali šťastie.

B: Kanaďania vystrelili menej striel ako Švédi.

C: Kanaďania vystrelili viac striel ako Švédi.

D: Nie je to možné.




Správna odpoveď je A aj B Učiteľ môže zvážiť, či po prvom hlasovaní (ak prevažujú nesprávne odpovede) a po diskusii v skupinách, nie je potrebné vysvetliť: „čo to znamená, že úspešnosť brankára je 85 %? Môže mať brankár úspešnosť 100 %? Akú úspešnosť by ste priali slovenskému hokejovému brankárovi? Koľko je (priemerne) striel vystrelených na bránu počas celého hokejového zápasu?“ Až potom vyzveme žiakov na druhé hlasovanie. Ak ani po druhom hlasovaní nie je prevaha odpovede B., tak navrhu-jeme, aby učiteľ so žiakmi počítal úspešnosť brankára pre rôzne prípady, zvolíme počet striel na bránu a zvolíme počet gólov. z týchto údajov počítame úspešnosť brankára, t. j. koľko percent všetkých striel na bránu chytil. Údaje môžeme zapísať aj do tabuľky.

Potom pokračujeme riešením úlohy, určíme koľko striel bolo vystrelených na ka-nadskú bránku, z toho určíme počet gólov v kanadskej sieti atď.

úLOHA 3

Rodičia sa rozhodli kúpiť LCD televízor. Značku, ktorá sa im páčila mali v dvoch obchodoch za rôzne ceny. V supermarkete stál 699 eur, v obchode s elektrospotre-bičmi 669 eur. V oboch obchodoch sa však rozhodli cenu znížiť a to takto: v super-markete o 20 % a v obchode s elektrospotrebičmi o 15 %.

Poraďte rodičom, kde majú nakúpiť. Pokúste sa najprv odhadnúť a hlasujte:

Hlasovanie

LCD televízor je výhodnejšie kúpiť:

a) v supermarkete,

b) v obchode s elektrospotrebičmi,

c) je to jedno, cena bude rovnaká.


Pred hlasovaní zdôraznime, že ide len o odhad, nič nepočítame. Po prvom hlaso-vaní, žiaci úlohu v skupinkách rozdiskutujú a opätovne hlasujú. Nakoniec, v prípade potreby, vyrieši úlohu učiteľ spolu so žiakmi. Je zaujímavé všímať si koľko žiakov pred odhadom predsa len urobilo výpočet. Urobiť dobrý odhad nie je vždy jedno-duché, naopak výpočet je istý a koľko ľudí sa možno dá pomýliť. Správna odpoveď je A.



úLOHA 4

Pani Mlsná má veľmi rada zmrzlinu. Stále by si chcela kupovať viac a viac zmrzliny. V budúcnosti sa jej núkajú dve možnosti: zvýšia jej plat o 10 %, alebo zmrzlina zlac-nie o 10 %.

V ktorom prípade si bude môcť kúpiť viac zmrzliny?

Hlasovanie

A: Ak jej zvýšia plat o 10 %.

B: Ak zmrzlina zlacnie o 10 %.


Úloha opäť nie je výpočtová, cieľom je, aby si žiaci uvedomili, že hodnota príslušná počtu percent závisí od základu. Podľa výsledku hlasovania, žiaci prednášajú ar-gumenty na podporu svojho rozhodnutia.

úLOHA 5

Ak stranu štvorca zväčšíme o 40 %, o koľko sa zväčší jeho obsah?

Hlasovanie

A: o 16 %

B: o 40 %

C: o 80 %

D: o 96 %

úLOHA 6

Jednu stranu obdĺžnika zväčšíme o 10 % a druhú stranu zmenšíme o 10 %. Týmto postupom sme získali nový obdĺžnik, ktorý má obsah:

Hlasovanie

A: väčší ako pôvodný,

B: menší ako pôvodný,

C: rovnaký ako pôvodný obdĺžnik.


Úlohy 5 a 6 sú podobné a pomerne náročné. Dá sa očakávať, že mnohí odpovedia v prvom hlasovaní nesprávne. Žiaci môžu v skupinách riešiť túto úlohu s viacerými konkrétnymi hodnotami, potom nasleduje nové hlasovanie. Ak ani po tomto hla-sovaní nie sú správne odpovede, tak učiteľ vysvetlí úlohu na tabuli. Odporúčame nakresliť obrázok, ktorý vizualizuje situáciu so zväčšovaním, resp. zmenšovaním strany. Na obrázku 4.1.21 je štvorec k úlohe 5, červený štvorec je pôvodný, po zväč-šení strany pribudol žltý štvorec a modré obdĺžniky. Žiaci si môžu situáciu nakresliť a vystrihnúť a skúsiť pribudnuté časti poukladať do pôvodného štvorca. Správna odpoveď v úlohe 5 je D a v úlohe 6 je B.



Obr. 4.1.21 Vizualizácia úlohy 5

úLOHA 7

Koľko gramov kuchynskej soli treba rozpustiť v 400 gramoch vody, aby sme dostali 20 % roztok?

Hlasovanie

A: 100 g

B: 80 g

C: 60 g

D: 40 g

E: 20 g


Úloha môže byť pre siedmakov pomerne náročná. Správna odpoveď je A. Ak robí úloha žiakom problémy je vhodné po druhom hlasovaní zaradiť prácu s appletom na stránke http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=154. V applete môžeme na-staviť režim Exploration (skúmanie – tento odporúčame na začiatok) (obr. 4.1.22a) alebo režimy Unknown Percent (obr. 4.1.22b), Unknown Total, Unknown Pile.

Obr. 4.1.22a Režim Exploration Obr. 4.1.22b Režim Unknown Percent



Tieto režimy reprezentujú nasledovné tri typy úloh na zmiešavanie roztokov:

1. Unknown Percent: zafarbite krúžky v kope B tak, aby po spojení kôp A a B dohromady x % z celkového počtu krúžkov bolo zafarbených.

2. Unknown Total: Pridajte a zafarbite krúžky v kope B tak, aby x % krúžkov v kope B bolo zafarbených a po spojení kopy A a B dohromady y % z celko-vého počtu krúžkov bolo zafarbených.

3. Unknown Pile: Pridajte a zafarbite krúžky v kope B tak, aby po spojení kopy A a B dohromady y % z celkového počtu krúžkov bolo zafarbených.

Pre siedmy ročník odporúčame využívať predovšetkým režimy Exploration a Unknown Percent. Riešenie uvedených úloh je zároveň vhodnou propedeutikou pre riešenie slovných úloh tohto typu pomocou rovníc v deviatom ročníku.

opakovaniE

Na zopakovanie možno využiť samostatnú prácu žiakov s učebným systémom Planéta vedomostí (obr. 4.1.23).

Predpokladáme, že každý žiak, resp. dvojica má vlastný počítač. Navrhujeme prerie-šiť viaceré slovné úlohy, za najvhodnejšie považujeme:

• kurz Matematika I zŠ – žiak, lekcia 1. Riešenie slovných úloh, str.5 – slovná úloha Jedenie a pitie s členskou kartou – zameraná na vypočítanie percentu-álnej zľavy na jedlo pre držiteľov členskej karty,

• kurz Matematika I zŠ – žiak, lekcia 54. Výpočty úvahou, str. 8 a 9 – parkovacie miesta v garáži, lístok do divadla, výpočet je spamäti,

• kurz Matematika I zŠ – žiak, lekcia 95. Percentá –možno použiť celú lekciu aj s vyhodnotením – úlohy sú pekné, zadanie úlohy je podporené animáciou,

• kurz Matematika II zŠ – žiak, lekcia 60. Percentá – možno použiť celú lekciu, pekná je slovná úloha o výpočte dane z pridanej hodnoty, jeden príklad vyrie-šený plus tri na samostatné riešenie.

Obr. 4.1.23 Slovné úlohy na percentá v učebnom systéme Planéta vedomostí

Upozorňujeme na skutočnosť, že portál pracuje s percentami ako s desatinnými čís-lami, nevyužíva výpočty cez 1 %.



4.1.5 Matematické modelovanie pohybu a priama úmernosť



Využitie pojmu priama úmernosť pri popise a modelo-vaní pohybu, propedeutika k pojmom konštantná, line-árna, resp. ľubovoľná funkcia.

8., 9. ročník ZŠ



• význam konštanty priamej úmernosti a zápis rovnice úmernosti (predpis) pri modelovaní pohybu

• načrtnúť graf pohybu ako javu z bež-ného života, zároveň sa rozvíja jeho schopnosť slovne interpretovať graf v reálnom živote

Žiak navyše získa:

• prvú predstavu o matematickom po-pise a modelovaní jednoduchých po-hybov pomocou priamej úmernosti

• prvotnú predstavu o pojme lineárna funkcia, nelineárna funkcia

• ovláda čo je to súradnicový sys-tém, vie zostrojiť body v súradnico-vom systéme na základe tabuľky hodnôt

• vie čo je priama úmernosť a jej zák-ladné popisy (graf a rovnica)

• orientuje sa v prostredí tabuľko-vého kalkulátora, vie meniť vstupné údaje v tabuľkách

• rozumieť pojmu rýchlosť na zá-kladnej úrovni, t.j. že je to počet prejdených metrov za sekundu, alebo počet prejdených kilometrov za hodinu



• skúmanie a organizovanie informácií – žiaci analyzujú a skúmajú vzťahy me-dzi zistenými informáciami a formulujú závery, odhadujú dôležité parametre

• chápanie modelov a modelovanie – žiaci modelujú pohyb pomocou pojmu priama úmernosť, resp. lineárnej funk-cie a vidia význam modelovania

• Pojem funkcie je vysoko abstraktný pojem, preto je dôležitá dlhodobá propedeutická príprava už na zŠ.

• IKT umožňujú priamo cez vlastné zážitky a skúsenosti (pohyb tela) demonštrovať modelovanie dejov a ukázať tak prepojenie matema-tiky s reálnym životom.



• interaktívna tabuľa (IT)

• tabuľkový procesor Microsoft Excel, Google

• internetový e-hlasovací systém

• videá a softvér na videoanalýzu

• PC simulácie (applet a excelet)

• vytlačené pracovné listy s aktivitami

• riadené skúmanie - workshopová metóda

• skupinová forma práce pri počíta-čoch pripojených na internet (dvo-jica žiakov na jeden počítač)



úvod k mEtodikE

Cieľom tejto metodiky, ktorá tematicky patrí do okruhu Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy, je predstaviť dôležitú fázu propedeutickej prípravy žiakov základnej školy k jednému z fundamentálnych matematických pojmov: pojmu funkcie. Hlavná myš-lienka spočíva v budovaní predstavy o základných typoch funkcií: konštantná, line-árna a nelineárna (všeobecná) funkcia s využitím okamžitej vlastnej skúsenosti a kon-krétnych zážitkov z matematického skúmania najprirodzenejšieho deja z bežného života – pohybu pomocou priamej úmernosti. Vďaka tomu metodika demonštruje aj aplikáciu matematiky v reálnom svete okolo nás a je interdisciplinárnym prepojením s fyzikou.

Metodika využíva dominantne riadené skúmanie vo forme workshopovej metódy, ktorej základné kroky sú uvedené v kapitole 1.2.3. Obsah učiva je možné zvládnuť v dvoch (až troch) vyučovacích hodinách. Odporúčame stiahnuť si z portálu žiacky pracovný list Modelovanie_funkcie_pracovny_list.doc, pretože pomáha k lepšej orientácii pri čítaní tejto metodiky. V prípade potreby je možné ho upraviť.

motivaČný problém: drvivý dopad kométy?V roku 1998 sa vo filme Drvivý dopad (angl. Deep Impact) ľudstvu nepodarilo odvrátiť zrážku kométy so zemou. Vo finálnej scéne tvorcovia vytvorili na počítačoch filmovú predstavu dôsledkov dopadu „zabijáckej“ kométy na zem. Pozrite si túto scénu v di-gitálnom videu DrvivyDopad.flv, ktoré možno nájsť aj na www.youtube.com.

Obr. 4.1.24 Pred viac než tristo rokmi vyriešil problém dopadu kométy I. Newton

Dokážu vedci vskutku spoľahlivo predpovedať, kde na zemi dopadne kométa vzdia-lená stovky miliónov kilometrov, ako to stvárnil film alebo to je len fikcia? Kladnú od-poveď na túto otázku dal už pred viac ako tristo rokmi jeden z najväčších matemati-kov a fyzikov všetkých čias Issac Newton (obr. 4.1.24), ktorý sformuloval matematické rovnice, vo fyzike známe ako pohybové rovnice, pomocou ktorých vedia vedci naozaj



spoľahlivo odpovedať na otázky typu: Kadiaľ poletí, resp. ako sa bude pohybovať kométa, lopta, šíp, či kameň?

Náročnosť Newtonovho prístupu predpovedania pohybu kométy však presahuje možnosti vzdelania zŠ. Vďaka počítaču si však ukážeme ako predpovedať jedno-duchšie pohyby.

K tomu nám poslúži postava, ktorá žije vo virtuálnom svete počítačov a ktorá dokáže okamžite sledovať pohyb vašej ruky a pohybovať sa presne ako ona. Inak povedané dokáže vykonávať ľubovoľné pohyby ako Superman, preto sa volá Motion-Man1 a navyše je v službách fyziky.

Svet, v ktorom Motion-Man žije, vytvára JAVA program s tým istým názvom Motion-Man.jar, ktorý vytvorili pracovníci na University of Colorado v USA a jeho slovenskú verziu si môžete jednoducho spustiť na ich stránke http://phet.colorado.edu/ alebo si ju odtiaľ stiahnuť.

úVODNÉ OTÁZKY

Na videu chodza.mov vidíme chôdzu ženy a muža.

1. Odhadnite, ako dlho zaznamenávala kamera tieto pohyby, aké vzdialenosti pri tom prejdú muž a žena a popíšte vlastnými slovami jednotlivé pohyby.

2. Spoločne sledujte učiteľovu analýzu videa pohybu muža a ženy pomocou počí-tača. Na získaných grafoch odčítajte približne koľko metrov prejde žena počas prvej sekundy a druhej sekundy. To isté zistite pre muža.

Vysokorýchlostnou kamerou, ktorá dokáže snímať 500 snímok za sekundu, bol spo-malene zaznamenaný výstrel šípu z luku (sip.mov).

3. Čo očakávate: v momente, keď šíp opustí luk, je rýchlosť šípu v porovnaní s rých-losťou auta na diaľnici:

a) omnoho menšia,

b) menšia,

c) porovnateľná,

d) väčšia,

e) omnoho väčšia.

1 Zistite, ako sa správne číta Motion-Man a čo znamenajú slová Motion a Man v slovenčine.




Učiteľ má pripravené video chodza.mov vo svojom počítači, aby ho mohol žia-kom predviesť na IT, ďalej softvér pre analýzu pohybu zachyteného na videu, napr. Coach alebo Tracker (Stopár). My si ukážeme výsledky v programe Tracker. Učiteľ vie predviesť žiakom video-analýzu videa. Podrobný návod ako pracovať s Trackerom je v materiáli video_stopar.doc. Najvhodnejšie je pozrieť si celý postup predvádzania videa žiakom na metodickom videu analyza_chodze.avi, kde sú uve-dené aj podrobné metodické pokyny aj požadovaný výsledok (obr. 4.1.25). Video a návod si môžete stiahnuť z portálu.

Obr. 4.1.25 Výsledok analýzy videa (graf) chôdze muža

z videa predvedeného na IT by mali žiaci dokázať so zdôvodnením odhadnúť, resp. urobiť slovný popis vystihujúci nasledovné fakty, ktoré učiteľ zapíše na IT (obr. 4.1.26).

Obr. 4.1.26 Výsledky pozorovania, merania, odhadov pri sledovaní videa



Ak žiaci v celotriednej diskusii neobsiahnu nejaký uvedený výsledok, je vhodné na-viesť ich využitím otázky na e-hlasovanie, pomocou ktorej zistíme aj odpoveď ohľa-dom rýchlosti šípu. Učiteľ neprezradí správnu odpoveď na žiadnu otázku.

Na prvú otázku nájdu žiaci potvrdzujúce odpovede pomocou nástrojov časomiera a meradlo v Trackeri. Učiteľ môže prezradiť, že žena na videu má výšku 1,65 m. Odpoveď na druhú otázku odčítajú žiaci priamo z grafu získaného videoanalýzou (s prípadnou pomocou učiteľa.) Mali by prísť na to, že potrebnú vzdialenosť získajú odčítaním druhých (priestorových) súradníc bodov. Obe otázky majú „zahrievaciu“ funkciu s cieľom pripomenúť už známe poznatky (súradnice bodov, ich odčítanie, ich zápis). Na tretiu otázku, ktorá má predovšetkým motivačný charakter, nájdu žiaci odpoveď sami počas jednej zo skupinových aktivít, ktoré nasledujú po úvodných otázkach a riadia vlastné skúmanie žiakov.

aktivity na vyuČovacEj hodinE - popisujEmE pohyb pomocou grafu

Ako naznačil úvodný problém, chceme sa začať učiť robiť to, o čom snívali a snívajú astrológovia, či veštice a čo dokáže len veda pomocou matematiky: predpovedať spo-ľahlivo a presne budúcnosť. V tomto prípade budeme predpovedať polohu rôznych objektov v prípade jednoduchých pohybov na základe činnosti, ktorú vedci nazývajú modelovanie. Pomôže nám v tom softvér Motion-Man a tiež softvér Microsoft Excel.

Pri každej aktivite čítajte každú jej otázku alebo úlohu veľmi pozorne predtým, ako začnete pracovať. Skúste robiť presne to, čo je v úlohách. Pracujte vo dvojiciach, porovnávajte si výsledky, diskutujte, pomáhajte si. Vždy skúšajte dané postupy, či merania viackrát.

AKTIVITA 1

zaČínamE pracovať s motion-manom

Spustite si program Motion-Man.jar. Nájdete ho na stránke phet.colorado.edu, chvíľu sa s ním pohrajte (pohybujte s panáčikom pomocou myšky doľava a do-prava, skúšajte rôzne pohyby).

a) Zakreslite do obrázka dve značky (napr. krížiky), kde má ísť Motion-Man, aby sa dostal do polohy 2 m a do polohy 5 m.

b) Na prvej záložke Úvod v programe overte alebo vyvráťte vašu odpoveď z a) tým, že myšou presuniete Motion-Mana do polohy 2m a do polohy 5 m.

c) Predstavte si, že máte v rukách meter. Stručne vysvetlite (popíšte), čo urobíme s metrom, aby sme zaznačili v priestore polohu 2 m vzhľadom na zvolený bod (nula).



Na druhej záložke grafy stlačením tlačidiel červené mínus skryte (zminimalizujte) súradnicové sústavy pre rýchlosť a zrýchlenie a ponechajte len pre polohu.

d) Vyznačte na obrázku bod, ktorý pre čas 4,0 sekundy dáva polohu 5 m.

e) Stručne popíšte postup, ako ste zostrojili bod v úlohe c).

Nepokračujte ďalej, kým vám celú aktivitu neskontroluje učiteľ.


Cieľom prvých dvoch úloh a), b) aktivity 1 je zistiť, či žiaci rozumejú pojmu poloha. Napr. že poloha 2 m je vzdialenosť 2 m v kladnom smere osi od pevne zvoleného bodu (bod nula). V úlohe c) očakávame, že žiaci zapíšu, že pri vyznačení polohy 2 m musia namerať meradlom v kladnom smere vzdialenosť 2 m. V úlohe d) a e) si žiaci pripomenú postup konštrukcie bodu v súradnicovom systéme.

V prípade, že máme dostatok času je vhodné pri kontrole aktivity skupín odporučiť šikovným a rýchlym žiakom po vykonaní aktivity 1, aby vypracovali aj doplňujúcu úlohu o tom, čo znamená znamienko mínus pre polohu objektu. Pomalším poradíme, aby túto úlohu preskočili.

DOPLňUJúCA úLOHA

Vykonajte aktivity a) až c) pre polohu -4 m a vysvetlite, čo znamená znamienko mínus v zápise polohy a čo to znamená pre vyznačovanie vzdialeností metrom.

Očakávame, že žiaci prídu na to, že znamienko pred hodnotou polohy nám hovorí o smere, v ktorom meriame polohu, pričom mínus predstavuje vždy opačný smer merania vzdialeností ako je to v prípade bez žiadneho znamienka, resp. so znamien-kom +.



AKTIVITA 2

tvorímE grafy alEbo motion-man v akcii

V tejto aktivite zostávame na záložke Grafy, pričom súradnicové sústavy pre rýchlosť a zrýchlenie máme skryté. Skúste hýbať Motion-Manom a sledujte, čo sa deje. Ak chcete vytvorené grafy zmazať a vrátiť Motion-Mana do polohy 0, tak stlačte tlačidlo zmazať a nastavte polohu Motion-Mana na nulu (t.j. do políčka pod názvom poloha vpíšte 0 a stlačte enter). Starostlivo si mazanie a nastavanie polohy natrénujte.

Pokračujeme vytvorením dvoch grafov tým, že Motion-Mana budete vzďaľovať od bodu 0 podľa nasledovných pokynov:

a) Vytvorte prvý graf zväčšovaním vzdialenosti Motion-Mana doprava, pričom s ním choďte pomaly. Začnite na značke 0 metrov. Zväčšujte jeho vzdialenosť pomaly, ale konštantným tempom tak, aby v 4 sekunde dosiahol približne polohu 5 m. Trpezlivo skúšajte dovtedy, kým nedosiahnete požadovaný graf a nebudete s ním spokojní. Uložte si svoju kópiu grafu (cez printscreen obra-zovky).

b) Vytvorte druhý graf zväčšovaním vzdialenosti Motion-Mana, pričom s ním choďte dvakrát rýchlejšie ako pri prvom grafe. Začnite opäť na značke 0 met-rov. Zväčšujte jeho vzdialenosť rýchlejšou, ale konštantnou chôdzou tak, aby bol v 4 sekunde približne v polohe 10 m. Opäť skúšajte, kým nebudete spo-kojní s výsledkom. Uložte si graf cez printscreen.

c) Načrtnite vaše grafy do obrázka, pritom označte body na osiach vhodnými číslami, zachycujúcimi konkrétne vzdialenosti a časy.

d) Popíšte slovne, aký tvar majú vzniknuté grafy. Takisto popíšte, čo sa deje s tva-rom grafu, ak Motion-Man ide čoraz rýchlejšie, ale vždy konštantným tempom.

Nepokračujte ďalej, kým vám výsledky celej aktivity neskontroluje učiteľ.




Očakávame, že žiaci vytvoria grafy približne v tvare úsečiek spájajúcich body [0,0] a [4,5], resp. [0,0] a [4,10]. Odtiaľ by grafy mali pokračovať ako vodorovné polpriamky. Úloha nie je taká jednoduchá, ako sa na prvý pohľad zdá. Je veľmi vhodné, ak prvú úlohu a) urobia žiaci spoločne s učiteľom na IT. Je potrebné tvorbu grafu skúšať mnohokrát (> ako 10), pričom žiakov vyvolávame k tabuli a motivujeme napr. súťažou o najlepší graf. Ostatní žiaci komentujú, či pohyb bol rovnomerný (konštantné tempo) alebo nie. Úlohy b), c), d) robia žiaci už sami. Keďže mnohí žiaci kvôli nízkej trpezlivosti majú tendenciu urobiť grafy neporiadne, je potrebné ich kon-trolovať a povzbudzovať. V prípade, že žiaci urobia aktivity rýchlejšie ako za jednu hodinu, je vhodné s nimi výsledky aktivity spolu zosumarizovať.

domácE aktivity V nasledujúcich domácich aktivitách si precvičte, resp. upevnite svoje vedomosti a chápanie prebraného učiva.

DOMÁCA AKTIVITA 1

stojaci motion-man

Našou úlohou je vyšetriť, čo sa stane, keď Motion-Man od začiatku ostane stáť, t.j. nezmenšujete ani nezväčšujete jeho vzdialenosť.

a) Predstavte si, že Motion-Man je už na začiatku v polohe 1,5 metra. Potom takto ostane stáť 5 sekúnd. Načrtnite do obrázka zodpovedajúci graf závislosti polohy na čase. Doplňte aj čísla k bodom na osiach, aby zachytávali vami uvažované časy a polohy.

b) Spustite program Motion-Man.jar a prejdite na druhú záložku Grafy. Nastavte počiatočnú polohu Motion-Mana na 1,5 m. (t.j. do políčka pod názvom po-loha vpíšete číslo a stlačíte enter. Dôležité upozornenie: Keďže ide o americký program, čísla s desatinnou čiarkou sa zadávajú s bodkou, t.j. namiesto 1,5 zadáme 1.5.). Stlačte veľké tlačidlo, ktoré je na obrázku. Slovne popíšte, čo deje a porovnajte vzniknutý graf s vašou predpoveďou v časti a).

c) Vyskúšajte si aktivity a) a b) s polohou 5 m.



DOMÁCA AKTIVITA 2

tvorímE grafy pomocou rýchlosti

Všetko zmažte tlačidlom nulovať všetko. Teraz skryte kliknutím na červené mínus len súradnicový systém pre zrýchlenie.

a) Zadajte rýchlosť 1 m/s do políčka pod nadpisom rýchlosť (t.j. vpíšte tam 1 a stlačte enter). Slovne popíšte, aký pohyb vykonáva Motion-Man a aký graf polohy vznikol.

b) Hodnotu rýchlosti meňte z hodnoty 0 m/s a postupne zvyšujte stále o 0,2 až dovtedy kým nedostanete graf, ktorý prechádza tým istým bodom ako graf z úlohy b), t.j. v 4. sekunde bude poloha 5 metrov. Zapíšte hodnotu rýchlosti, ktorú ste dosiahli.

Dôležité upozornenie: Nezabudnite, že v amerických programoch píšeme bodku namiesto desatinnej čiarky.

c) Aktivity a) a b) urobte tak, aby graf prechádzal v 4. sekunde značkou 10 m. Zapíšte hodnotu rýchlosti, ktorú ste dosiahli.


Obidve domáce aktivity sú dôležité nielen z dôvodu precvičenia, ale aj preto, že prvá pojednáva propedeuticky o konštantnej funkcii a druhá pracuje s pojmom rýchlosť, pričom žiak sleduje propedeuticky prepojenie tohto pojmu s tvarom grafu polohy v závislosti na čase. zručnosti a vedomosti z tejto úlohy budú dôležité pri zís-kaní odpovede, akou rýchlosťou sa pohybuje šíp vystrelený z luku. Dôležité si je tiež uvedomiť, že rýchlosť má aj jednotku a to m/s. Kontrolu domácej úlohy môžeme urobiť pomocou internetového hlasovania (alebo LMS ako je Moodle), ktoré môžu žiaci vykonať už pred hodinou alebo na jej začiatku.

aktivity na vyuČovacEj hodinE - modElujEmE a prEdpovEdámE pohyb pomocou vzorca

AKTIVITA 3

popis pohybu pomocou vzorcov

Poďme vzorcami (rovnicami) popísať pohyby, ktorými sme tvorili grafy pomocou Motion-mana. Popisu pohybu pomocou vzorca hovoria matematici modelovanie pohybu.

Stlačte tlačidlo zmazať a nastavte polohu Motion-Mana na nulu, čím uvediete Motion-Mana do pôvodného stavu. V hornom menu v položke špeciálne vlastnosti (horný riadok v okne programu) vyberte položku pohyb pomocou vzorca. Posuňte si otvorené okno s názvom Pohyb podľa vzorca vpravo dole, do priestoru mimo Motion-Mana a grafu polohy.



a) Zadajte vzorec 2*t (* znamená krát) do políčka otvoreného okna a spustite program pomocou tlačidla (malá šípka) pod políčkom. Slovne popíšte, aký pohyb vykonáva Motion-Man. Načrtnite graf, ktorý ste dostali.

b) Číslo pred znamienkom * a písmenom t meňte z hodnoty 0 a postupne zvy-šujte stále o 0,25 na hodnoty 0,25; 0,5; 0,75; atď. až dovtedy kým nedostanete graf, ktorý prechádza tým istým bodom ako graf z úlohy b), t.j. v 4. sekunde na značke 5 metrov. Zapíšte vzorec, ktorým ste to dosiahli.

c) Úlohy a) a b) urobte aj pre prípad, keď graf prechádza v 4. sekunde značkou 10 m. Zapíšte opäť vzorec, ktorým ste dosiahli požadovaný graf.

d) Porovnajte získané vzorce so získanými rýchlosťami z domácej aktivity 2. Je medzi nimi nejaký súvis? Ak áno, aký?



Žiaci by mali zistiť, že danými vzorcami zadávame rovnomerné pohyby, pričom Motion-Man po prejdení 10 m narazí do steny. Po náraze graf má tvar vodorovnej polpriamky, ako to bolo v aktivite č.2. Opäť je vhodné prvú úlohu a) urobiť so žiakmi spoločne na IT. Žiaci by mali dospieť k vzorcom priamej úmernosti x(t) = 1,25*t a x(t)= 2,5*t. Súčasne by mali dospieť k záveru, že rýchlosť pri pohybe je totožná s konštantou úmernosti. Po vykonaní tejto aktivity je vhodné si spolu so žiakmi pripomenúť, že v daných vzorcoch t je značka ubehnutého času a x(t) je značka po-lohy označenej písmenom x v čase t. Ak by sme označili čas písmenom x a polohu písmenom y, tak by sme dostali štandardné vzorce priamej úmernosti: y = 1,25x a y= 2,5x.

AKTIVITA 4

prEdpovEdámE budúcnosť pomocou matEmatiky

Všetko zmažte (na obrazovke máte len Motion-Mana v bode nula a graf polohy). Pomocou okna Pohyb pomocou vzorca nastavte graf daný vzorcom 2*t.

Spustite pohyb. Približne po šiestich sekundách pohyb Motion-Mana zastavte (pou-žite na to rovnaké tlačidlo, ktorým ste ho spustili).

a) Prepnite sa na funkciu Znova prehrať (playback) a pozrite sa, čo robí daný program.

b) Myškou chyťte zvislú modrú čiaru, ktorá ukazuje polohu na grafe počas play-backu, a pomocou nej odhadnite a zapíšte polohu pre zodpovedajúce časy v tabuľke (t.j. posuňte ju do polohy v čase 2; 3,5 a 4).

čas v sekundách 2 3,5 4Poloha z grafuPoloha z rovnice



c) Dosaďte časy z tabuľky do vzorca 2*t a zapíšte do tabuľky.

d) Je nejaký súvis medzi druhým a tretím riadkom tabuľky? Ak áno, aký?

Predstavte si, žeby sme na začiatku tejto aktivity odstránili stenu, ktorá bráni v po-hybe Motion-Mana, nastavili by sme jeho počiatočnú polohu na nulu, vzorec pre po-hyb by bol 2.5*t a spustili by sme ho.

a) Skúste predpovedať budúcnosť Motion-Mana, t.j. do akej polohy by sa dostal po 10 a do akej po 21 sekundách. Popíšte, akým spôsobom ste dostali vašu hodnotu polohy?

b) Nastavte Motion-Mana do nulovej polohy, vložte vzorec 2.5*t. Overte si vašu predpoveď z úlohy e) tým, že zmeriate priamo polohu Motion-Mana v daných časoch.



Táto aktivita nadväzuje na motivačný problém dopadu kométy. Žiaci by mali prísť na to, že hodnoty z grafu sú rovnaké (alebo približne rovnaké) ako hodnoty získané zo vzorca. Navyše pomocou vzorca možno ľahko robiť predpoveď budúcnosti po-hybu (konkrétne polohy). V tomto prípade je vhodné žiakom povedať, že toto je jeden zo spôsobov ako postupujú vedci pri predpovedi budúcnosti. Odhalia vzorec pre pohyb kométy, planéty, či delovej gule a dosadením daného času zistia, kde sa bude daný objekt v tomto čase nachádzať.

spoloČná aktivita: rýchlosť vystrElEného šípu

Učiteľ predvedie opäť video letiaceho šípu, pričom urobí analýzu videa od okamihu, keď šíp opustí luk, čím by mal dostať výsledok ako na obrázku 4.1.27.

Obr. 4.1.27 Výsledok videoanalýzy pohybu šípa po opustení luku



získané údaje v tabuľke prenesie učiteľ do Excelu, kde zobrazí údaje v grafe typu xy, čím potvrdí ten istý tvar grafu ako pri videoanalýze. Potom zobrazí pre dané body trendovú čiaru prechádzajúcu cez bod [0,0] spolu s rovnicou modelujúcou pohyb šípu. Výsledok by mal zodpovedať obrázku 4.1.28. Celý postup predvádzania videa žiakom je na metodickom videu analyza_sipu.avi.

Obr. 4.1.28 Výsledok zobrazenia údajov z pohybu šípa v Exceli

zo získanej rovnice pohybu by žiaci mali prísť na to, aká je rýchlosť šípu v metroch za sekundu, t.j. že je to konštanta úmernosti 67,422 metrov za sekundu. Žiaci by mali vedieť premeniť rýchlosť na km/h, napr. postupom: za hodinu by pri takej rýchlosti šíp prešiel 67,422*3600 =242 719,2 m, čo je približne 240 000 metrov za hodinu alebo 240 km/h. Pri tejto aktivite, ktorá je odpoveďou na úvodnú otázku o rýchlosti šípu, je vhodné dať priestor na diskusiu, či autá na diaľnici dosahujú takú rýchlosť, alebo nedosahujú. Očakávame od žiakov odpoveď, že typická rýchlosť na diaľnici je najvyššie povolená rýchlosť – 130 km/h, takže v tomto prípade by bola správna odpoveď d). Všimnite si, že otázka nebola zámerne presne formulovaná. Ak by sa jednalo o nemecké diaľnice, kde nie je horný limit správna odpoveď na otázku by mohla byť aj b), aj c). Určite však nepripadá do úvahy odpoveď a). zaujímavé je spýtať sa žiakov, kedy by nastal prípad e).

domácE aktivity V nasledujúcich domácich aktivitách si žiaci precvičia, resp. upevnia svoje vedomosti a chápanie prebraného učiva, pričom druhá úloha je propedeutickou pre lineárnu funkciu.



DOMÁCA AKTIVITA 3

hľadámE rovnicu a rýchlosť pohybu chôdzE V súbore udaje_chodza.xls sú uložené údaje o pohybe muža z videa na prvej ho-dine. Stiahnite si a otvorte daný súbor.

a) Klikaním alebo ťahaním posuvníka vytvorte taký graf, ktorý čo najlepšie vysti-huje zobrazené body.

b) Zapíšte rovnicu, ktorá popisuje pohyb muža a ktorú ste dostali po vytvorení grafu.

c) Urobte predpoveď, ako ďaleko prejde muž za dobu 3 sekundy a za dobu 5,5 sekundy, ak by sa naďalej pohyboval týmto tempom.

d) Akou rýchlosťou sa pohyboval muž v m/s a v km/h? Stručne popíšte, ako ste dostali túto hodnotu.

DOMÁCA AKTIVITA 4

zmEna polohy motion-mana

Spustite program Motion-Man. Zadajte pohyb pomocou vzorca 2*t. Teraz však na začiatku uložte Motion-Mana do polohy 2 m.

a) Predtým než spustite Motion-Mana načrtnite graf polohy v závislosti na čase.

b) Spustite Motion-Mana a overte svoju predpoveď.

c) Doplňte nasledovnú tabuľku polôh pre dané časy:

čas v sekundách 2 3,5 4

Poloha z grafu v m

Poloha z rovnice v m

Všetko zmažte. Nastavte Motion-Mana do počiatočnej polohy 2 m. Zobrazte si sú-radnicové systémy len pre polohu a rýchlosť.

d) Meňte rýchlosť od 0 postupne po krokoch 0,5 dovtedy, kým nedostanete taký graf ako v úlohe b). Zapíšte, akú hodnotu rýchlosti ste dostali.

e) Nastavte Motion-Mana do počiatočnej polohy 0 m a pomocou vzorca urobte taký istý graf polohy ako v b) a d).

f) Zhrňte, čo má spoločné a čím sa líši pohyb podľa vami získaného vzorca od pohybu podľa vzorca 2*t.

AJ TAKTO sA TO DÁ

Motion-Manom môže byť aj sám učiteľ, pričom použije detektor pohybu z počíta-čom podporovaného laboratória a celá trieda prechádza spoločne všetkými akti-vitami. Alebo ak má každá dvojica detektor pohybu, tak sa Motion-Manom môže stať každý zo žiakov.



informaČné zdrojE

• ARNOLD, V.I. (1998). On teaching mathematics, Russian Math. Surveys 53 (1), s. 229-236.

• BEICHNER, R. (1996). The Impact of Video Motion Analysis on Kinematic Graph Interpretation Skills, Am. J. Phys., 64, s. 1272-1277.

• BURJAN, V., BASTLOVá, A. (1999). Matematika základnej školy v testoch. Exam Bratislava. ISBN 80-967702-7-6.

• HASTINGS, N. B. (1999). Workshop Calculus: Assessing Student Attitudes and Learning Gains, In: Gold, B., Keith, S., Marion, W (eds.), Assesment Practices in Math, The Mathematical Association of America, 350s. ISBN: 978-0-88385-161-6.

• HASTINGS, N.B. (1999), Workshop Calculus with graphical calculators, Springer, New york.

• HEJNÝ, M. a kol. (1989). Teória vyučovania matematiky 2. SPN Bratislava. ISBN 80-08-00014-7.

• HRDINA, ľ., MAxIAN, M. (1997). Príklady z matematiky pre osemročné gymnázia. SPN Bratislava. ISBN 80-08-02466-6.

• HUGHES-HALLETT, D. (2003). The Role of Mathematics Courses in the Development of Quantitative Literacy, s. 91-98, In: Madison, B.L., Steen, L.A. (2003). Quantitative literacy: Why Numeracy Matters for Schools and Colleges, NCED, Princeton, New Jersey, 2003.

• KOPKA, J. (2006). zkoumaní ve školské matematice. Katolícka univerzita v Ružomberku, Ružomberok. ISBN 80-8084-064-4.

• LAWS, P.W. a kol. (2004). Workshop Physics, Activity Guide, Vol. 1, New york: Wiley, 2004, ISBN 0471641405.

• NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS (NCTM). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, Va.: NCTM, 2000.

• PRINCE, M., FELDER, R. (2007). The Many Faces of Inductive Teaching and Learning, JCST 36 (5), 14-20.

• REPáŠ, V., čERNEK, P. (1999). Matematika pre 7. ročník zŠ. OrbisPictus Istropolitana, Bratislava.

• STEHLíKOVá, N. (2000). Motivační způsoby nácviku základných matematických dovedností. Učitel matematiky, roč. 9, 2000, č. 1 (37), s. 25-31. ISSN 1210-9037.

• ŠEDIVÝ O. a kol. (2000). Matematika pre 7. ročník zŠ, I. a II. diel. SPN, Bratislava.• WILLOUGHBy, S.S. (2000). Functions from Kindergarten through Sixth Grade,

s. 197-201, In: Branda Moses, B. , ed. (2000), Algebraic Thinking, Grades K-12: Readings from NCTM’s School-Based Journals and Other Publications, Reston, National Council of Teachers of Mathematics.

• http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=144http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=154

• http://nlvm.usu.edu• http://phet.colorado.edu• http://www.primarygames.co.uk/pg3/ppods/powerpods.swf• http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/• http://en.wikipedia.org/wiki/Deep_Impact_(film)



4.2 Planimetria

Planimetria patrí podľa štátneho vzdelávacieho programu k tematickému okruhu Geometria a meranie. Medzi jeho základné vzdelávacie ciele v rámci Planimetrie patrí zoznámenie sa so základnými geometrickými útvarmi, skúmanie a objavovanie ich vlastností. Na to sú zamerané aj štyri návrhy metodík, ktoré sú obsahom tejto kapitoly:

1. Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami

2. zhodné zobrazenia

3. Pytagorova veta

4. Podobnosť geometrických útvarov

Metodika Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami využíva dynamické geometrické systémy na vytvorenie predstavy o uhloch, na zvládnutie operácií s uhlami a na zis-ťovanie veľkosti uhlov odhadom, meraním a výpočtom.

Zhodné zobrazenia sú zamerané na to, aby sa žiak naučil rozoznávať a modelovať osovo a stredovo súmerné útvary v rovine, aby poznal základné vlastnosti dvojíc sú-merných útvarov a vedel ich využívať pri jednoduchých konštrukciách.

Nosnou časťou vyučovacej jednotky k Pytagorovej vete je jej objavovanie. Využívame konštruktivistické prístupy k učeniu, pričom cieľom je, aby žiaci samo-statne sformulovali znenie Pytagorovej vety. Súčasťou metodiky sú testy vytvorené v Hot Potatoes, ktoré slúžia na opakovanie práve sprístupneného učiva a poskytujú žiakovi aj učiteľovi okamžitú spätnú väzbu.

Cieľom metodiky Podobnosť geometrických útvarov je hlboké porozumenie vzťahu podobné útvary v matematike. Vychádzame pritom zo skúsenosti žiakov z každodenného života. Metodika využíva metódu Peer Instruction, vďaka ktorej sa žiaci vo vzájomnej komunikácii a diskusii naučia rozhodnúť, ktoré útvary sú podobné, a ktoré nie sú.

Obr. 4.2.1 Mozaika z pravidelných mnohouholníkov



4.2.1 Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami



Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami, konštrukčné úlohy s uhlami 6. ročník ZŠ



• identifikovať uhol a jeho určujúce prvky (vrchol, ramená)

• porozumieť a aplikovať algoritmus prená-šania uhlov, zvládnuť algoritmus grafic-kého súčtu uhlov, objaviť a využiť vlast-nosti vnútorných uhlov v trojuholníku

• porovnávať dva uhly a kategorizovať ich podľa veľkosti

• význam, modelovanie a konštrukciu osi uhla

• zistiť meraním, odhadom a výpočtom veľ-kosť uhlov

• rozumie základným geometric-kým pojmom: bod, priamka, úsečka, polpriamka, opačné polpriamky, polrovina, opačná polrovina



• kľúčovú kompetenciu využitie modelov a modelovanie na skúmanie uhlov, ana-lýza a interpretácia modelovacích postu-pov a získaných výsledkov

• využitie IKT pri realizácii a nácviku mate-matických algoritmov (prenášanie uhlov, zostrojenie osi uhla)

• preskúmanie a organizovanie výsledkov pri zmenách vstupných parametrov mo-delu

• Pojem uhol, binárne relácie a operácie v množine geomet-rických útvarov sú pre žiakov 6. ročníka pomerne náročné pojmy. Využitie IKT pri vyučo-vaní tejto témy má nielen silný motivačný charakter, ale napo-máha tiež vo fázach uvedome-nia si významu a reflexie.

• Aktívne využívanie výučbových materiálov v prostredí IKT pri vy-učovaní prezentovaného učiva podporí samostatné a aktívne učenie sa u žiakov.



• interaktívna tabuľa

• programy, applety, animácie a hry do-stupné na Internete

• modely vytvorené pomocou dynamic-kých geometrických systémov

• konštruktivistické prístupy k učeniu

• dialogické a heuristické metódy na rozvoj myslenia a vlastného poznávacieho úsilia žiakov



úvod k mEtodikE za základnú softvérovú platformu z oblasti IKT v učive o uhloch možno považovať systémy dynamickej geometrie, ktoré umožňujú vytvorenie experimentálneho pros-tredia pre žiakov. V nasledujúcej časti sú prioritne využité systémy GeoGebra a C.a.R., pričom všetky ukážky je možné realizovať aj v iných dynamických systémoch. Výber konkrétneho systému na spracovanie niektorej úlohy (resp. aktivity) je zvyčajne pod-mienený ponukou jeho konštrukčných nástrojov. zároveň je možné využiť zverejnené materiály na webových stránkach, ktoré sú vo forme rôznych interaktívnych animácií, úloh, ale aj rôznych interaktívnych hier využiteľných v rôznych etapách vyučovacieho procesu. Všetky uvedené možnosti IKT majú nielen silný motivačný charakter, ale na-pomáhajú vo fázach uvedomenia si významu a reflexie. Cieľom aktívneho využívania hotových alebo učiteľom vytvorených výučbových materiálov v prostredí IKT je najmä podpora samostatného myslenia a aktívneho učenia žiakov.

urČujúcE prvky uhla

CIEľ

Vytvorenie korektnej predstavy o uhloch a ich určujúcich prvkoch

AKTIVITA 1

Vytváranie predstavy o uhloch

(zdroj: http://www.webmatika.sk/zadania/uhol/uhol.html)

Prostredníctvom digitálnej tabule vytvorte interaktívne prostredie na prácu s elektro-nickým materiálom uvedeným v zdroji (obr. 4.2.2a). Pred začiatkom práce ukončite animáciu pomocou prvej ovládacej ikony a skryte text aj číselnú hodnotu uvádzajúcu veľkosť uhla.

Technická poznámka

Elektronický materiál s názvom „Uhol“ je vytvorený v dynamickom geometrickom systéme C.a.R., preto manipulácia s appletom je rovnaká ako práca v C.a.R. zmenu polohy zobrazených geometrických útvarov možno uskutočniť pri zapnutej voľbe v tvare šípky (prvá ikona - posunúť bodom).

a) b)

Obr. 4.2.2 Interaktívna pomôcka určená na vytváranie predstavy o uhloch



Využite uvedený zdroj na nasledujúce činnosti:

• Na pracovnej ploche je zobrazený hodinový ciferník a vyznačené sú dve pol-priamky, ktoré reprezentujú dve hodinové ručičky. Uzatvorte so žiakmi internú dohodu o tom, ktorá polpriamka bude reprezentovať malú hodinovú ručičku, a ktorá polpriamka bude symbolizovať veľkú ručičku. Pomocou interaktívneho pera (alebo rukou) zmenou polohy bodov A a B je možné meniť polohu pol-priamok VA a VB. Simulujte nastavenia hodinových ručičiek podľa niektorých ľubovoľne zvolených časov.

• Všímajte si, ako sa mení vyznačená farebná časť pri rôznych hodinových konfi-guráciách. Uvedenú zvýraznenú časť nazveme pojmom uhol, presnejšie uhol AVB.

• zapnite interaktívnu tabuľu v režime anotácií a zvoľte na pracovnej ploche v ciferníkovej časti, ale aj mimo nej, niekoľko bodov (obr. 4.2.2b). Úlohou žia-kov je triediť body na tie, ktoré patria danému uhlu a tie, ktoré danému uhlu nepatria. zámerne je potrebné zvoliť aj body, ktoré ležia na polpriamkach VA a VB. Používajte terminologické spojenia typu: Bod A patrí uhlu AVB, bod C nepatrí uhlu AVB.

• Položte otázku, či polpriamky VA a VB patria uhlu. Na základe predchádzajú-cich skúseností z triedenia bodov, ktoré vyznačenému uhlu patria, resp. nepat-ria by mali žiaci správne identifikovať polpriamky VA a VB ako množiny bodov, ktoré vyznačenému uhlu AVB patria.

• Vypnite anotačný režim interaktívnej tabule a vyzvite viacerých žiakov, aby sa (zmenou polohy bodov A, B) pokúsili znázorniť uhol, ktorý zvierajú hodinové ručičky, keď je práve napr. 5 hodín, 8 hodín, pol štvrtej a podobne.

tErminologické sprEsnEnia

Čo je uhol?

Spôsobov, ako definovať uhol, je viac a výber metódy vždy závisí od cieľovej vzde-lávacej skupiny. Úvahu možno začať s tromi bodmi A, V, B, ktoré neležia na jednej priamke a definovať „konvexný uhol AVB ako množinu všetkých bodov X všetkých polpriamok VY, kde bod Y je bodom úsečky AB“ (Šedivý, Križalkovič, 1990, s. 149).

Avšak pre nižší vzdelávací stupeň sa odporúča uvažovať nad dvomi rôznymi pol-priamkami VA, VB so spoločným začiatočným bodom V, pričom tieto polpriamky rozdelia rovinu na dve časti, z ktorých každá spoločne s polpriamkami VA a VB tvo-ria uhol. Bližšiu konkretizáciu uhla AVB potom realizujeme určením niektorého jeho vnútorného bodu.

Čím je uhol určený a ako zapisujeme uhly?

Určujúce prvky uhla AVB

• Bod V nazývame vrchol uhla,

• polpriamky VA, VB nazývame ramená uhla.



Symbolicky označujeme: ∠ AVB

Uhly často označujeme písmenami gréckej abecedy, napr.:

α - alfa, b - beta, g - gama, d - delta, j - fí, w – omega.

Priamy uhol

• Priamy uhol je uhol určený dvomi opačnými polpriamkami. (Alternatíva: Polrovina s hraničnou priamkou AB je priamy uhol.)

úLOHA 1

Narysujte dve rôznobežky, ich priesečník označte písmenom K. Vyznačte farebne a zapíšte aspoň štyri uhly určené narysovanými polpriamkami so začiatkom K. (súbor uhol.html, alebo uhol.ggb).

METODICKÁ POZNÁMKANa riešenie úlohy je možné využiť niektorý zo systémov dynamickej geometrie, alebo priložené súbory (obr. 4.2.3 a), v ktorých sú niektoré uhly vyznačené, treba ich identifikovať, správne zapísať, resp. vyhľadať ďalšie. z hľadiska formovania korektnej predstavy o uhle sa odporúča na interaktívnej tabuli znázorniť predznačenou farbou nielen symbolický oblúčik, ale uhol vyznačiť šrafovaním (resp. farbením) príslušnej časti roviny (obr. 4.2.3 b).

Vyznačte na výkrese niekoľko rôznych bodov. Diskutujte o tom, či body patria alebo nepatria vyznačeným uhlom.

a) b)

Obr. 4.2.3 Úloha zameraná na identifikáciu a zápis uhla

úLOHA 2

V danom trojuholníku (štvoruholníku) vyznačte všetky uhly, ktoré sú určené vr-cholmi a stranami trojuholníka (štvoruholníka). (súbor vnutorny_uhol.html alebo vnutorny.uhol.ggb).




Úloha je zameraná na identifikáciu vnútorných uhlov v danom trojuholníku ABC (štvoruholníku DEFG). Využite interaktívnu tabuľu, niektorý zo systémov dyna-mickej geometrie, resp. priložené súbory. Diskutujte so žiakmi o dvoch rôznych uhloch pri jednotlivých vrcholoch určených príslušnými stranami trojuholníka (štvoruholníka).

Vnútorné uhly trojuholníka ABC sú uhly α, b, g, určené vrcholmi a stranami trojuhol-níka ABC, ktoré sú vyznačené na obrázku 4.2.4a.

Analogicky definujte vnútorné uhly štvoruholníka. Využite interaktivitu prostredia a zmenou polohy vrcholov štvoruholníka simulujte ďalšie situácie (napr. obr. 4.2.3c), v ktorých jeden z vnútorných uhlov nie je konvexný.

a) b) c)

Obr. 4.2.4 Vnútorné uhly trojuholníkov a štvoruholníkov

AKTIVITA 2

Vnútorné uhly n-uholníkov na geodoske (pomôcka: http://www.matika.sk/aplijav.htm#sgeo)

Využite virtuálnu geodosku na zostrojovanie rôznych n-uholníkov a vyznačte pro-stredníctvom použitia digitálnej tabule všetky vrcholy a vnútorné uhly n-uholníkov. Každý vyznačený uhol zapíšte.

Obr. 4.2.5 Vnútorné uhly n-uholníkov na geodoske



prEnášaniE uhla a porovnávaniE dvoch uhlov

CIEľ

Porozumieť a aplikovať postup prenášania uhlov. Zostrojiť uhol zhodný s daným uhlom. Vedieť porovnať dva uhly.

AKTIVITA 3

Prenášanie uhlov (zdroje: uhol.prenasanie.html,http://www.mathsisfun.com/geometry/construct-anglesame.html)

Učiteľ pripraví interaktívnu tabuľu, na ktorej je zostrojený konvexný uhol AVB a pol-priamka LK.

úLOHA 3

Pokúste sa preniesť (premiestniť) daný uhol AVB tak, aby jedno rameno prenese-ného uhla bola polpriamka LK.

• Učiteľ vyhodnotí návrhy žiakov, pričom nie je potrebné v počiatočnej fáze začať používaním kružidla a pravítka. Jeden z navrhnutých postupov môže byť, že pou-žitím počítačovej myši, alebo interaktívneho pera uhol jednoducho premiestnime ako obrázok na tabuli do požadovanej polohy. Uvedený postup však v zošite nie je možný, preto treba vyžadovať iné návrhy. Ďalší spôsob prenesenia daného uhla spočíva v použití priesvitného papiera. Daný uhol žiaci obkreslia a prenesú na danú polpriamku tak, aby sa jedno z ramien uhla AVB „prekrývalo“ s ramenom LK. Učiteľ dbá na podrobný opis činnosti, ktorá sa vykonáva, pričom za pod-statný moment sa považuje dôsledné priloženie prenášaného papiera k danej polpriamke LK.

• Metodický postup graduje do činnosti, pri ktorej učiteľ vyžaduje prenesenie uhla len prostredníctvom štandardných geometrických pomôcok (kružidlo, pravítko).

• Vo fáze reflexie možno využiť animovanú elektronickú pomôcku konštrukčného algoritmu prenášania daného uhla (obr. 4.2.6). zdôvodnite postup prenášania.

• Využite niektorý z dostupných systémov dynamickej geometrie na realizáciu postupu prenášania uhla. Taktiež možno využiť webové elektronické zadanie (uhol.prenasanie.html, obr. 4.2.7) uvedené v zdroji (vytvorené v systéme C.a.R). Experimentovaním s polomerom pomocnej kružnice využívanej v postupe prená-šania uhla zdôvodnite možnosť voľby ľubovoľnej dĺžky polomeru.

• Pri vyššie uvedených činnostiach je potrebné zdôrazňovať, že činnosť prenášania uhla reprezentuje zostrojenie uhla KLM, ktorý je s daným uhlom AVB zhodný.



Obr. 4.2.6 Elektronické internetové zadanie – prenášanie

uhla http://www.webmatika.sk/zadania/uhol/uhol.prenasanie.html

Obr. 4.2.7 Konštrukčný algoritmus prenášania uhla http://www.mathsisfun.com/geometry/construct-anglesame.html


Zhodnosť uhlov

Uhly v geometrii prenášame pomocou pravítka a kružidla. Uhol AVB a prene-sený uhol KLM sú zhodné.

čítame: Uhol α = AVB je zhodný s uhlom b = KLM.

zapisujeme: AVB KLM


Prenášanie daného uhla na danú polpriamku je jednou z významných činností po-trebných k porovnávaniu dvoch uhlov. Podstata konštrukčného algoritmu prenáša-nia uhla (obr. 4.2.6) spočíva vo využití vlastností dvoch zhodných trojuholníkov (apli-kácia vety „sss“), pričom z úsporného dôvodu sa využíva voľba rovnoramenného trojuholníka. Dôležitosť znalosti konštrukčného prenášania uhlov sa vynára najmä

• pri geometrickej interpretácii manipulačných aktivít založených na princípe premiestňovania uhlov v rovine s cieľom overovania zhodnosti uhlov;

• pri grafickom porovnávaní uhlov, t. j. pri skúmaní relácií (menší, väčší, rovný);

• pri grafickom sčitovaní a odčitovaní uhlov.

AKTIVITA 4

Porovnávanie uhlov

(zdroje: http://www.webmatika.sk/animacie/II.stupen/porovnavanie_uhlov_mensi.html http://www.webmatika.sk/animacie/II.stupen/porovnavanie_uhlov_vacsi.htmlhttp://www.webmatika.sk/animacie/II.stupen/porovnavanie_uhlov_zhodne.html)



Učiteľ predloží žiakom rôznofarebné papierové modely reprezentujúce uhly rôznych veľkostí. Každý žiak, resp. skupina dostane práve dva modely. Odpovedajte na na-sledujúce otázky:

a) Sú uhly, ktoré držíte v rukách, zhodné?

b) Ak nie, pokúste sa vo dvojici zistiť, ktorý uhol je väčší, resp. ktorý je menší.

c) Vysvetlite postup porovnania dvoch papierových uhlov a svoje tvrdenie zdô-vodnite.

• Žiaci úlohu riešia prikladaním papierových modelov reprezentujúcich dva rôzne uhly. Učiteľ sleduje spôsob prikladania a porovnávania, pričom zdôrazňuje v po-stupe, že vrcholy oboch uhlov sa musia „prekrývať“ a zároveň dve zodpovedajúce si ramená sa tiež „prekrývajú“. zároveň je potrebné upozorniť na skutočnosť, že nezáleží na tom, ktorý uhol sa prenáša (t. j. nemožno očakávať porovnanie uhlov ešte pred samotným prenesením, čo je častý nedostatok pri realizácii prenášania).

Vizualizáciu princípu realizácie porovnávania dvoch uhlov poskytujú animované elektronické pomôcky (obr. 4.2.8a, obr. 4.2.8b). Ich cieľom je poukázať na množinu výsledkov vzájomného porovnávania dvoch uhlov ( AVB > KUL, AVB <

KUL, AVB KUL) a súčasne ilustrovať podstatu porovnávania daných uhlov.

a) b)

Obr. 4.2.8 Porovnávanie dvoch daných uhlov http://www.webmatika.sk/animacie/II.stupen/porovnavanie_uhlov_mensi.html http://www.webmatika.sk/animacie/II.stupen/porovnavanie_uhlov_vacsi.html

http://www.webmatika.sk/animacie/II.stupen/porovnavanie_uhlov_zhodne.html

sprEsnEnia

Porovnávanie dvoch uhlov

• Pri porovnávaní dvoch uhlov môžu nastať tri prípady:

• Uhol AVB je väčší ako uhol KUL. zapisujeme: AVB KLM

• Uhol AVB je menší ako uhol KUL. zapisujeme: AVB KLM

• Uhol AVB je zhodný s uhlom KUL. zapisujeme: AVB KLM



os uhla

CIEľ

Pochopiť význam osi uhla, vedieť modelovať a konštruovať os uhla, aplikovať postup v riešení konštrukčných úloh.

AKTIVITA 5

Os uhla (os_uhla_animacia.html)

Narysujte na kancelársky hárok papiera ľubovoľný uhol AVB a vystrihnite model uhla. zložte papier tak, aby bol uhol AVB rozdelený na dve zhodné časti. Odpovedzte na nasledujúce otázky:

a) Ako treba skladať papierový model uhla, aby vznikli dve zhodné časti? (Papierový model uhla AVB zložíme tak, že polpriamky VA a VB sa budú „prekrývať“ a „sklad“ bude prechádzať vrcholom uhla V.)

b) Aký geometrický útvar vytvoril „sklad“ papiera? (Sklad reprezentuje model pol-priamky so začiatkom v bode V.

c) Aké dva rovinné útvary vznikli? (zložením papiera vznikli dva zhodné uhly.)

d) Využite interaktívnu vizualizačnú pomôcku uvedenú v zdroji (obr. 4.2.9a, 4.2.9b, 4.2.9c) a na digitálnej tabuli vyznačte oba zhodné uhly a polpriamku, ktorú na-zveme os uhla.

a) b) c)

Obr. 4.2.9 Animácia modelovania osi uhla prostredníctvom skladania papiera

úLOHA 4

Pomocou pravítka a kružidla zostrojte os daného uhla AVB.

(http://www.mathsisfun.com/geometry/construct-anglebisect.html,

http://www.webmatika.sk/zadania/uhol/os_uhla.html)




Na základe predchádzajúcej aktivity je zrejmé, že na konštrukciu osi uhla potrebu-jeme zostrojiť jeden bod, ktorý leží na hľadanej osi uhla. Slovne možno zhrnúť opis konštrukčného postupu do nasledujúcich krokov:

• zostrojíme kružnicový oblúk so stredom vo vrchole uhla V a ľubovoľným po-lomerom.

• Priesečníky kružnicového oblúka s ramenami uhla označíme K, L.

• zostrojíme kružnicové oblúky so stredmi v bodoch K a L a konštantným po-lomerom.

• Kružnicové oblúky sa pretnú v bode X, ktorý leží na osi uhla.

• zostrojíme polpriamku VX, ktorá je osou uhla.

Pomerne vydarená animácia vyššie opísaného postupu je na webovej stránke uve-denej v zdroji (obr. 4.2.10a). Realizujte konštrukciu v prostredí dynamickej geometrie. Možno tiež využiť zhotovenú interaktívnu konštrukciu (obr. 4.2.9b, os_uhla.html) a experimentovať s polohou ramien daného uhla AVB. Simulujte aj situáciu, v ktorej sú ramená VA, VB opačné polpriamky, t. j. uhol AVB je priamy uhol.

Os rozdelí priamy uhol AVB na dva zhodné uhly AVX a BVX, z ktorých každý nazý-vame pravý uhol.

a) b)

Obr. 4.2.10 a) Konštrukčný postup na zostrojenie osi uhla

http://www.mathsisfun.com/geometry/construct-anglebisect.html

Obr. 4.2.10 b) Interaktívna animácia postupu konštrukcie osi uhla s možnosťou vyznačenia

stopy bodu P ležiaceho na osi uhla (http://www.webmatika.sk/zadania/uhol/os_uhla.html)


Os uhla

Polpriamka VX so začiatkom v bode V, ktorá rozdelí uhol na dva zhodné uhly sa nazýva os uhla.



Pravý uhol

• Os VX delí priamy uhol AVB na dva pravé uhly.

• Priamka VX je kolmá na priamku AB a nazýva sa kolmica.

Zhrnutie

Definovanie osi uhla a zvládnutie konštrukčného postupu na jej zostrojenie má stra-tegický význam najmä z dôvodu vytvárania predstavy o pravom uhle, a teda relá-cii kolmosť. Na najnižšom stupni matematického vzdelávania postačuje definovať os uhla ako polpriamku so začiatkom vo vrchole V, ktorá rozdelí daný uhol na dve zhodné časti (dva zhodné uhly). Konštrukčný postup ilustruje animovaná ukážka, ktorej znázornenie je na obr. 4.2.10a. Konštrukcia osi priameho uhla (uhol, ktorého ramená sú opačné polpriamky) je zároveň konštrukciou dvoch význačných zhod-ných uhlov – uhlov pravých. Na vyššom stupni vzdelávania možno definovať os uhla ako množinu bodov s charakteristickou vlastnosťou. Pre tieto potreby je vhodnejšou pomôckou interaktívna animácia postupu konštrukcie osi uhla (obr. 4.2.10b), v ktorej je možné sledovať zmeny polohy bodu P ako reprezentanta všetkých bodov daného uhla s vlastnosťou, že ich vzdialenosti od ramien uhla sa rovnajú. Okrem vopred pripravených hotových konštrukcií vo forme animácií, je možné použiť elektronické zadanie (http://www.webmatika.sk/zadania/uhol/os_uhla_zadanie.html), v ktorom má študent konštrukciu osi konvexného uhla pomocou konštrukčných nástrojov uvedených v zá-hlaví úlohy sám realizovať.

mEraniE vEľkosti uhla

CIEľ

Odhadovať a merať veľkosti uhlov, identifikovať susedné a vrcholové uhly, kategori-zovať uhly podľa ich veľkosti.


Určovanie veľkosti daného uhla sa najjednoduchšie realizuje meraním pomocou uhlomera. Budovanie predstavy o veľkosti uhla prebieha postupne a vo všeobec-nosti platí, že čím viac praktických meraní žiak absolvuje, tým je lepší aj približný odhad veľkosti uhla. zmysluplné používanie tradičnej pomôcky (uhlomera) si vyža-duje dôkladnú znalosť princípu merania uhlov, čo pre učiteľa matematiky znamená zvládnutie didaktiky vyučovania uvedenej oblasti.

Kým na začiatku procesu vyučovania zisťovania veľkosti uhlov používajú žiaci tra-dične dostupný uhlomer, učiteľ môže použiť jeho virtuálny model (obr. 4.2.10a) zo-brazený na interaktívnej tabuli.

Ešte pred samotnou realizáciou merania je potrebné oboznámiť žiakov so stupňo-vým uhlomerom a zdôvodniť jednotku merania.

Uhol veľkosti jedného stupňa vznikne rozdelením priameho uhla na 180 zhodných uhlov so spoločným vrcholom. Každý z nich má veľkosť 1°.



z didaktického hľadiska je vhodné začať merať uhly a zisťovať ich veľkosti v tzv. štan-dardnej polohe.

AKTIVITA 6

Meranie uhla

(zdroj č. 1 http://www.webmatika.sk/zadania/uhol/meranie_uhol.html,

zdroj č. 2 http://www.mathplayground.com/measuringangles.html)

• V uvedenom zdroji č. 1 (obr. 4.2.11a) simulujte rôznu polohu ramena VB uhla AVB a zistite jeho veľkosť. Uvedená interaktívna pomôcka umožňuje meniť veľkosť daného uhla a taktiež meniť polohu oboch ramien uhla. Uvedená skutočnosť umožňuje gradáciu náročnosti úloh. Vyšší stupeň náročnosti sa dosiahne zmenou polohy ramena VA, pričom nie je možné meniť polohu uhlomera. zobrazená je tiež informácia o veľkosti uhla, ktorú možno z didaktických dôvodov skryť, alebo ju použiť v rovine kontrolnej funkcie.

• Zvlášť odmerajte veľkosť pravého uhla a veľkosť priameho uhla.

• Využite uvedenú pomôcku aj na úlohu opačnú, t. j. zostrojte uhol, ktorého veľkosť je vopred daná. Učiteľ skryje zobrazovanie veľkosti uhla a postupne zadáva rôzne veľkosti uhlov. Žiaci prostredníctvom bodov A, B menia polohu ramien VA, VB tak, aby mal uhol požadovanú veľkosť.

a) b)

Obr. 4.2.11 Interaktívne vyučovacie pomôcky určené na určovanie veľkostí uhlov

http://www.webmatika.sk/zadania/uhol/meranie_uhol.html, http://www.mathplayground.com/measuringangles.html

Na určovanie veľkostí uhlov je určená aj druhá edukačná aplikácia (obr. 4.2.11b) s názvom „Meranie uhlov“ so spätnou väzbou v tvare zvukového efektu a vypísanej informácie o úspešnosti, resp. neúspešnosti merania. Výhodou tejto aplikácie je, že virtuálnym uhlomerom možno otáčať a nastaviť do správnej polohy. Uhly sú ge-nerované v rozsahu od 0° do 180 °, výsledok merania sa zapisuje do poľa v celých stupňoch a tolerancia chyby je 1°.

AKTIVITA 7

Odhad veľkosti uhla (http://www.mathplayground.com/alienangles.html)



a) b)

Obr. 4.2.12 Matematická interaktívna hra určená na odhad veľkostí uhlov daných v stupňovej miere http://www.mathplayground.com/alienangles.html

Po získaní dostatočných skúseností s meraním uhlov možno vyučovacie aktivity za-merať na odhadovanie veľkostí uhlov. Na obr. 4.2.12 je zobrazená pomerne vydarená interaktívna matematická hra určená na „nastavenie“ polohy ramien uhla s požado-vanou veľkosťou.

úLOHA 5

Zostrojte trojuholník ABC a vyznačte všetky jeho vnútorné uhly. Odmerajte a zapíšte veľkosť vnútorných uhlov daného trojuholníka.

Úlohu je vhodné riešiť prostredníctvom interaktívnej tabule, ktorá v ponuke základ-ných nástrojov obsahuje „trojuholník“ aj „uhlomer“. Taktiež je možné riešiť modifi-kované úlohy a namiesto vnútorných uhlov trojuholníka možno merať vnútorné uhly všeobecného n-uholníka.

AKTIVITA 8

Rozdelenie uhlov podľa veľkostí (súbor rozdelenie_uhlov.html)

Prvotnú predstavu o porovnávaní uhlov získali žiaci už v aktivite 4. Na základe skúse-ností z určovania veľkostí uhlov možno pristúpiť aj k porovnávaniu a ku kategorizácii uhlov podľa ich veľkosti.

Podľa veľkosti uhlov možno rozdeliť uhly na ostré, pravé, tupé a priame. Vizualizovať uvedenú kategorizáciu možno prostredníctvom súboru uvedeného v zdroji (obr. 4.2.13a, 4.2.13b, 4.2.13c, 4.2.13d). Stačí meniť polohu ramien uhla a podľa aktu-álnej veľkosti uhla AVB sa zobrazuje jeho zaradenie do príslušnej kategórie.



a) b)

c) d)

Obr. 4.2.13 Rozdelenie uhlov podľa veľkosti súbor rozdelenie_uhlov.html

a) Využite priložený súbor, simulujte rôzne veľkosti uhlov a nacvičujte názvoslovie jednotlivých kategórií.

b) Dané sú veľkosti uhlov: 23°, 156°, 90°, 172°, 48°, 180°, 89°, 66°, 115°. Na inte-raktívnej tabuli v priloženom súbore presuňte texty (ostrý uhol, pravý uhol, tupý uhol, priamy uhol) tak, aby ich nebolo vidno (resp. presuňte ich do pravej časti obrazovky). Vytvorte prehľadnú tabuľku, ktorú možno jednoducho vložiť priamo v aplikácii prostredníctvom voľby „tabuľka“ v položke „vzhľad“, alebo kombináciou kláves CTRL+SHIFT+S. Žiaci zobrazujú uhly zmenou polohy ramien a zaraďujú ich do príslušných skupín. Kontrolu správnosti možno vykonať opätovným zobra-zovaním textov.

c) Usporiadajte predchádzajúce uhly podľa veľkosti.

Z dvoch uhlov, je menší ten, ktorý má menšiu veľkosť (resp. väčší ten, ktorý má väčšiu veľkosť).

d) zobrazte v aplikácii aspoň tri uhly, ktoré sú ostré (tupé) a napíšte ich veľkosť.

úLOHA 6

Zostrojte priamy uhol AVB, ďalej bod C, ktorý patrí danému uhlu a polpriamku VC. Odmerajte a zapíšte veľkosť uhlov AVC a BVC. (súbor susedne_uhly.html).

• Uhly AVC a BVC nazývame susedné uhly. (Susedné uhly majú jedno rameno spoločné a zvyšné ramená sú navzájom opačné polpriamky.)

• Žiaci môžu riešiť úlohu jednotlivo alebo v skupinách. Uskutočnite niekoľko meraní pri rôznej polohe polpriamky VC. Parciálne výsledky zapisujte do pre-hľadnej tabuľky (možno použiť zápis priamo na interaktívnu tabuľu, prípadne do tabuľky Microsoft Excel).

• Priebežne vytvorte interaktívnu konštrukciu v niektorej dynamickej geomet-rii (alebo použite uvedený zdroj), vyznačte uhly aj s výpisom ich veľkostí.



Odporúčame nastavenie zaokrúhľovania veľkostí na 0 desatinných miest (obr. 4.2.14). Postupne meňte polohu bodu C a teda veľkosť uhlov AVC a BVC.

• Výsledkom pozorovania a meraní je skutočnosť, že súčet veľkostí takto zostro-jených uhlov je 180°.

úLOHA 7

Zostrojte dve rôznobežné priamky AB, CD a označte ich spoločný bod V. Priamky rozdelia rovinu na štyri uhly. Označte ich α, b, g, d (obr. 4.2.15) a zistite ich veľkosť. (súbor vrcholove_uhly.html).

• Žiaci môžu opäť pracovať individuálne alebo v skupinách. Výsledky je vhodné zaznamenávať na interaktívnu tabuľu do prehľadnej tabuľky.

• Využite dynamiku konštrukcie v priloženom súbore a pozorujte zmeny vo veľ-kostiach uhlov, ktoré nastanú po polohových zmenách daných bodov A, B, C, D.

Obr. 4.2.14 Súčet veľkostí susedných uhlov Obr. 4.2.15 Veľkosti vrcholových a susedných uhlov

• Výsledkom experimentov a meraní je skutočnosť, že vybrané dvojice zobraze-ných uhlov majú rovnakú veľkosť.

• Uhly AVC a BVD sa nazývajú vrcholové uhly. (Vrcholové uhly majú spoločný vrchol a ich ramená sú opačné polpriamky.) Aj uhly BVC a AVD sú vrcholové uhly (obr. 4.2.15). Veľkosť vrcholových uhlov sa rovná, a teda sú zhodné.


Rozdelenie uhlov podľa veľkosti

Uhol AVB nazývame:

• ostrý uhol, ak je jeho veľkosť menšia ako 90° ( < 90°)

• pravý uhol, ak je jeho veľkosť 90° ( = 90°)

• tupý uhol, ak jeho veľkosť je väčšia ako 90° a menšia ako 180° (90° < < 180°)

• priamy uhol, ak je jeho veľkosť 180° ( = 180°).



Dvojice uhlov

• susedné uhly majú jedno rameno spoločné a zvyšné ramená sú navzájom opačné polpriamky.

• Vrcholové uhly majú spoločný vrchol a ich ramená sú opačné polpriamky.

Veľkosti niektorých význačných uhlov

• Priamy uhol má veľkosť 180°.

• Pravý uhol má veľkosť 90°.

• zhodné uhly majú rovnaké veľkosti. Uhly, ktoré majú rovnakú veľkosť sú zhodné

grafický súČEt uhlov

Cieľ:

Pochopiť princíp a aplikovať postup grafického súčtu dvoch uhlov a viacerých uhlov. Objaviť konštantný súčet všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku.

Na princípe znalosti prenášania uhlov na danú polpriamku je založená realizácia gra-fického súčtu dvoch uhlov. Podstatu grafického súčtu dvoch daných uhlov ilustruje animácia (obr. 4.2.16a), ktorá diskrétne odhaľuje aj konštrukčný princíp. Žiak však nedostáva hotový konštrukčný návod (algoritmus), ako grafický súčet skonštruovať.

z hľadiska teoretickej konštrukčnej podstaty je dôležité, aby žiaci disponovali znalos-ťou konštrukcie styčných uhlov v rovine, teda uhlov so spoločným vrcholom a spo-ločným jedným ramenom. Operácia grafického sčitovania uhlov je komutatívna a tiež asociatívna a zdôvodnenie uvedených vlastností vychádza zo základu zjednotenia množín bodov, ktorými je uhol definovaný.

Na overenie konštrukčného algoritmu, ktorý je dôsledkom pochopenia uvedeného princípu možno použiť matematické elektronické zadanie vytvorené v dynamickej geometrii Compass and Ruler (obr. 4.2.16b). Úlohou riešiteľa je vypracovať konštruk-ciu vo virtuálnom prostredí dynamickej geometrie pomocou konštrukčných nástrojov zobrazených v záhlaví zadania. Ak bude konštrukcia správna, t. j. uhol, ktorý je súč-tom dvoch daných uhlov bude v závere označený, bude o tom užívateľ informovaný krátkym oznamom o korektnosti riešenia. Úloha o grafickom súčte dvoch daných uhlov koncipovaná v tvare elektronického zadania je určená pre starších žiakov, resp. v nižších ročníkoch ako pomôcka pre učiteľa.



Obr. 4.2.16 a) Animácia demonštrujúca princíp grafického súčtu dvoch uhlov

http://www.webmatika.sk/animacie/II.stupen/sucet1.html

Obr. 4.2.16 b) Elektronické zadanie určené na vyriešenie

http://www.webmatika.sk/zadania/sucet_uhlov/sucet_uhlov.html

úLOHA 8

Narysujte dva rôzne uhly α, b, zostrojte ich grafický súčet g. Potom uhly odmerajte a vypočítajte súčet ich veľkostí.

(http://www.webmatika.sk/zadania/sucet_uhlov/sucet_uhlov.html)

• Žiaci rysujú do zošitov, učiteľ môže využiť pomôcku uvedenú v zdroji. Výsledky meraní a súčtu môžu žiaci diktovať a zapisovať do spoločnej tabuľky.

• Cieľom meraní a výpočtov je uvedomiť si, že súčet veľkostí daných dvoch uhlov sa rovná veľkosti ich grafického súčtu.

úLOHA 9

Narysujte ľubovoľné dva susedné uhly a vyznačte ich grafický súčet. (súbor susedne_uhly.html)

• Žiaci pracujú samostatne v závere možno využiť na zhrnutie interaktívnu pomôcku uvedenú v zdroji.

• Grafickým súčtom dvoch susedných uhlov je priamy uhol. Možno tiež overiť, že súčet veľkostí dvoch susedných uhlov je 180°.

úLOHA 10

Narysujte uhly s veľkosťami 210°, 240°, 270°.

• Na interaktívnej tabuli zobrazte uhlomer. Využite vlastnosti grafického súčtu na vhodný rozklad daného uhla, napr. 210° = 180° + 30°.



vEta o súČtE vnútorných uhlov v trojuholníku

Schopnosť argumentácie a dokazovania je považovaná z hľadiska abstrakcie v ma-tematike za veľmi dôležitý stupeň poznávania. Snáď najzávažnejším a najviac vysky-tujúcim sa problémom je otázka formálnosti zvládnutia matematických viet a vzor-cov. V základnom učive o uhloch je často využívanou veta o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku.

AKTIVITA 9

Súčet veľkostí vnútorných uhlov v trojuholníku.

(súbor sucet_uhlov_trojuholnik.html)

Vystrihnite z kancelárskeho papiera ľubovoľný trojuholník a vyznačte farebne všetky jeho vnútorné uhly na oboch stranách papiera. Poskladajte ho podľa návodu (obr. 4.2.17a, 4.2.17b, 4.2.17c, súbor uvedený v znení úlohy). čo ste zistili?

a) b) c)

Obr. 4.2.17 Súčet veľkostí vnútorných uhlov v trojuholníku – skladanie papiera

• Učiteľ môže využiť animáciu skladania papiera uvedenú v zdroji. Animáciu možno zastaviť a manuálne možno skladanie papiera simulovať na interaktívnej tabuli zmenou polohy vrcholov trojuholníka. Taktiež je možné meniť veľkosť a tvar da-ného trojuholníka. Učiteľ môže vyznačiť na tabuli jednotlivé uhly po zložení.

• Na obojstranne farebne vyznačených papieroch je aj po zložení zrejmé, ktoré uhly sa kam premiestnili. Po zložení papiera si možno všimnúť, že grafický súčet vyznačených uhlov tvorí priamy uhol.

• Odmerajte všetky vnútorné uhly v trojuholníku a zistite ich súčet.

• V každom trojuholníku je grafickým súčtom všetkých jeho vnútorných uhlov priamy uhol. Súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov každého trojuholníka sa rovná 180°.

• Pre starších žiakov, ktorí už diferencujú súhlasné a striedavé uhly je určená vizua-lizácia vety o grafickom súčte všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku vo forme flash animácie (obr. 4.2.18).



Obr. 4.2.18 Vizualizácia vety o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku ABC http://www.webmatika.sk/animacie/II.stupen/troj3.html



4.2.2 Zhodné zobrazenia



stredová a osová súmernosť 9. ročník ZŠ



• konštruovať obraz daného útvaru v osovej súmernosti

• konštruovať obraz daného útvaru v stredovej súmernosti

• rozlíšiť, či ide o osovú alebo stredovú súmernosť

• určiť osovo súmerné útvary a ich osí súmernosti

• určiť stredovo súmerné útvary

• ovláda základné zručnosti rysovania

• pozná vety o zhodnosti trojuholníkov (sss, sus, usu)

• rozhodne, či sú geometrické útvary zhodné




• kľúčovú kompetenciu využívanie informačných zdrojov pri hľadaní osovo a stredovo súmerných útvarov

• kľúčovú kompetenciu preskúmanie a organizovanie informácií pri hľa-daní vzťahov a súvislostí medzi jed-notlivými obrázkami a pomocou nich určenie druhu súmernosti

• Žiaci často rýchlo zvládnu postup pri zobrazovaní útvarov v osovej a v stredovej súmernosti. Pomocou sady rôznorodých vopred priprave-ných digitalizovaných obrázkov sa budeme snažiť vytvoriť presnú pred-stavu o útvaroch, ktoré si zodpove-dajú v súmernosti.

• Využitie metódy Peer Instruction umožňuje precizovať predstavy žia-kov vo vzájomnej komunikácii a ne-skôr ich presne matematicky popí-sať.



• dataprojektor a počítač pre učiteľa

• hlasovacie zariadenie

• pripravená prezentácia s otázkami pre hlasovacie zariadenia

• pripravené výkresy vytvorené pomo-cou dynamického geometrického systému



• striedajú sa všetky formy práce od individuálnej, cez skupinovú (dvojice pri práci na počítačoch, resp. štvorice pri hlasovaní) až po frontálnu



úvod k mEtodikE

Vyučovacia jednotka je zameraná na to, aby sa žiaci naučili rozoznávať a modelovať osovo a stredovo súmerné útvary v rovine, aby poznali základné vlastnosti dvojíc sú-merných útvarov. V učive o stredovej a osovej súmernosti je vhodné využiť možnosti dynamických geometrických systémov, ktoré umožňujú žiakom sledovať priebeh konštrukcií. Využitie otázok na hlasovanie, pričom niektoré sú doplnené rôznoro-dými obrázkami umožnia zistiť, či žiaci porozumeli súmernostiam do hĺbky a nielen formálne zvládli algoritmické postupy. Ponúkané možnosti nútia žiakov rozmýšľať nad úlohou a aktívne s ňou pracovať. Pri otázkach na hlasovanie navrhujeme učiteľovi postupovať v súlade s metódou Peer Instruction, ktorá je popísaná v časti 1.2.4 tejto publikácie. Žiaci teda najprv hlasujú samostatne, nasleduje diskusia v skupinách a nasleduje opätovné hlasovanie. Po druhom hlasovaní učiteľ vysvetlí správnu odpo-veď, a ak je to potrebné, dá žiakom ešte náhradnú úlohu.

Vyučovaciu jednotku začíname motiváciou, ktorá sa týka symetrií v každodennom živote. Pokračujeme osovou a následne stredovou súmernosťou.

K vyučovacej jednotke sú na projektovom portáli k dispozícii applety vytvorené v Cabri Geometrii aj v Geogebre. Učiteľ si tak môže zvoliť dynamický geometrický systém, ktorý mu viac vyhovuje.

motivácia V úvode hodiny sa učiteľ venuje pojmu ornament. Nechá priestor pre žiakov, aby vy-svetlili význam tohto slova a uviedli príklady. Očakávame, že spomenú výšivky, výzdobu budov (architektonické prvky), mráz na okne, tetovanie a pod. Potom učiteľ predloží niekoľko ornamentov a nechá žiakov hlasovať, ktorý z nich sa im najviac páči.

úLOHA 1

Z ornamentov na obrázku 4.2. 19 vyberte jeden, ktorý sa vám najviac páči.

Hlasovanie

A: A

B: B

C: C

D: D

E: E


Vzhľadom na to, že „páčiť sa“ je subjektívne, predpokladáme rovnomerné rozlo-ženie hlasovania. Bez komentára a diskusie prejdeme ešte k jednému hlasovaniu:



A B C

D E

Obr. 4.2.19 Ornamenty


Vzhľadom na to, že „páčiť sa“ je subjektívne, predpokladáme rovnomerné rozlo-ženie hlasovania. Bez komentára a diskusie prejdeme ešte k jednému hlasovaniu:

úLOHA 2

Ktorý obrázkov (obr. 4.2.20) na vás lepšie pôsobí?

Hlasovanie

A: A

B: B

A B

Obr. 4.2.20 Obrázok okien




Po odhlasovaní vyzve učiteľ žiakov, aby sa pokúsili zdôvodniť prečo sa im daný orna-ment najviac páčil, resp. prečo na nich pôsobil vybraný obrázok lepšie. Nenecháme sa odbiť odpoveďami: „lebo sa mi páči, lebo je pekný...“, ale pátrajme do hĺbky. Očakávame, že sa v obhajobe daného obrázku objaví pojem symetrickosti, sú-mernosti. Pravdepodobne sa žiaci rozdelia na dve skupiny podľa toho, či majú radi veci symetrické, alebo dávajú radšej prednosť asymetrii. Nebuďte prekvapení, že väčšina z nich dáva radšej prednosť asymetrii (ako prejav vzbury proti poriadku). Ornamenty môžeme rozdeliť na symetrické a nesymetrické. Vyzveme žiakov, aby uviedli ďalšie príklady zo svojho okolia, ktoré sú súmerné alebo nesúmerné.

Podobne rozoberieme obrázky s oknami. Tu je pravdepodobnejšie, že na väčšinu lepšie pôsobia obe okná zatvorené – obrázok je súmerný. Otvorené okno narúša celkový dojem symetrickosti.

Diskusiu uzavrieme konštatovaním, že sa teraz budeme zaoberať ornamentmi, obráz-kami a vecami, ktoré sú symetrické – súmerné. Sú schované pod názvom „zhodné zobrazenia“.

úLOHA 3

Venujme sa bližšie pojmu symetrickosť. Čo to znamená, že obrázok je symetrický?


Očakávame odpovede: „Je rovnaký.“, „Má dve rovnaké polovice!“, „Opakuje sa tam ten istý motív“ a pod.

úLOHA 4

Pozorne si prezrite ornamenty na obrázku 4.2.21. Je ich súmernosť rovnaká? Ak nie, rozdeľte ich na skupiny podľa typu súmernosti.


Úloha slúži na klasifikáciu zobrazení: osovej súmernosti a stredovej súmernosti. Žiaci samostatne, alebo s pomocou učiteľa roztriedia obrázky do dvoch skupín, ktoré spoločne opíšu a učiteľ ich pomenuje.

Očakávame, že žiaci ľahšie vytriedia obrázky B, D, E - osovú súmernosť- s odôvod-nením, že stačí obrázok prehnúť na polovicu a máme to isté. (Táto súmernosť je nám bližšia, aj naše telo ju vykazuje.) Učiteľ môže upozorniť žiakov, že obrázok B sa dá prehnúť dvoma spôsobmi, bude mať dve osi symetrie.

Potom sa sústredíme na zvyšné obrázky, kde žiaci nenájdu os symetrie, napriek tomu je obrázok symetrický. Túto symetriu nazveme stredovou a predstaviť si ju môžeme ako otočenie časti obrázku okolo jedného bodu o 180 stupňov.

Ďalej sa budeme venovať len osovej súmernosti.



A B C

D E

Obr. 4.2.21 Ornamenty

osová súmErnosť

úLOHA 5

Na obrázku 4.2.22a je daný ornament, ktorý je osovo súmerný. Vieme nájsť aj os symetrie (priamku, ktorá rozdelí obrázok na dve zhodné polovice). Nakoľko sú dve, venujme sa teraz tej „zvislej“. Nájdite a zakreslite na obrázku aspoň tri dvojice bodov, každý z jednej polovice, ktoré si navzájom odpovedajú.


Potrebné je vytvoriť obrázok so zakreslením takýchto dvojíc bodov a osi o. Riešenie je na obrázku 4.2.22b.

Obr. 4.2.22a Osovo súmerný ornament Obr. 4.2.22b Osovo súmerný ornament s jednou vyznačenou osou a trojicou

odpovedajúcich si bodov



Predpokladáme nízku náročnosť úlohy. Na jej základe zavedie učiteľ pojmy vzor a obraz.zároveň žiaci objavia vlastnosti osovej súmernosti (spojnica vzor-obraz je kolmá na os, jej stred leží na osi).

Učiteľ zadefinuje osovú súmernosť.

úLOHA 6

Daná je os o a bod A, ktorý jej nepatrí. V osovej súmernosti s osou o zostrojte obraz bodu A.

AJ TAKTO sA TO DÁ

Konštrukciu je možné zrealizovať aj prostredníctvom dynamického geometrického systému. Stačí otvoriť súbor zhodne_zobrazenia_uloha06, ktorý obsahuje ob-jekty spomínané v zadaní úlohy a využiť nástroje programu na zostrojenie obrazu bodu. Manipulovaním s bodom A a priamkou o možno sledovať vplyv týchto zmien na obraz bodu.

úLOHA 7

Daná je os o a úsečka AB. V osovej súmernosti s osou o zostrojte obraz úsečky AB, ak

a) úsečka AB nepretína os o,

b) úsečka AB pretína os o.

AJ TAKTO sA TO DÁ

V dynamickom geometrickom systéme je potrebné otvoriť súbor zhodne_zo-brazenia_uloha07 obsahujúci priamku o a úsečku AB, ktorá priamku o nepre-tína. Použitím nástrojov programu sa zostrojí obraz úsečky AB vzhľadom na os o. Pohybom s bodmi A, B a priamkou o možno konštrukciu zmeniť tak, aby úsečka AB pretínala os o a sledovať vplyv týchto zmien na obraz úsečky.

úLOHA 8

Daná je os o a priamka p. V osovej súmernosti s osou o zostrojte obraz priamky p, ak

a) priamka je rovnobežná s osou,

b) priamka je rôznobežná s osou.

AJ TAKTO sA TO DÁ

Súbory zhodne_zobrazenia_uloha08a, zhodne_zobrazenia_uloha08b obsa-hujú geometrické útvary zo zadania úlohy. Po otvorení konkrétneho súboru je po-trebné skonštruovať obraz priamky p v osovej súmernosti s osou o a pohybovaním s danými priamkami sledovať obraz priamky p.



Učiteľ s pomocou žiakov zhrnie vlastnosti osovej súmernosti - čo je obrazom priamky v osovej súmernosti, aké samodružné body má osová súmernosť a ktoré priamky sú samodružné v osovej súmernosti. Žiaci rýchlo určia priamky kolmé na os súmernosti, určiť samotnú os je ťažšie.

úLOHA 9

Daná je os o a trojuholník ABC. V osovej súmernosti s osou o zostrojte obraz troju-holníka ABC.

AJ TAKTO sA TO DÁ

Konštrukciu je možné ukázať aj prostredníctvom dynamického geometrického sys-tému. Súbor zhodne_zobrazenia_uloha09 obsahuje trojuholník ABC a priamku o. Po zostrojení obrazu trojuholníka v osovej súmernosti s osou o a pohybom s danými geometrickými útvarmi je možné sledovať vplyv zmien na obraz trojuholníka. Súbor zhodne_zobrazenia_uloha09.html obsahuje animáciu konštrukcie trojuholníka. V ani-mácii sa postupne objavuje priamka o, trojuholník ABC, bod x na trojuholníku ABC a obraz bodu x zostrojený využitím nástrojov kolmica a kružnica. Následne sa bod x pohybuje po trojuholníku ABC a jeho obraz zanechávajúc stopu vykresľuje obraz trojuholníka. Ak kurzor umiestnime mimo okna s animáciou, tak sa animácia zastaví.

úLOHA 10

Daná je os o a kružnica k. V osovej súmernosti s osou o zostrojte obraz kružnice k.

AJ TAKTO sA TO DÁ

Objekty uvedené v zadaní úlohy sa nachádzajú aj v súbore dynamického geometric-kého systému zhodne_zobrazenia_uloha10. Využitím nástrojov tohto programu je po-trebné zostrojiť obraz zadanej kružnice v osovej súmernosti danej osou o. Manipuláciou s danými útvarmi je potom možné sledovať vplyv týchto zmien na obraz kružnice.

úLOHA 11Ktoré z nasledujúcich dvojíc obrázkov na obrázku 4.2.23 predstavujú vzor a obraz v osovej súmernosti?Hlasovanie A: A, CB: A, C, EC: B, DD: B, C, E



A

B

C

D

E

Obr. 4.2.23 Dvojice útvarov, z ktorých niektoré predstavujú vzor – obraz v osovej súmernosti




Úloha preverí vizuálne pochopenie osovej súmernosti. Ak je nesprávnych odpovedí veľa aj po druhom hlasovaní, tak sa vrátime k výkladu a zopakujeme vlastnosti osovej súmernosti.

úLOHA 12

Daný je pravidelný n-uholník a priamka o. V osovej súmernosti s osou o zostrojte obraz daného pravidelného n-uholníka.

AJ TAKTO sA TO DÁ

Konštrukciu je možné ukázať aj prostredníctvom programu GeoGebra (zhodne_zobrazenia_uloha12.ggb). Uvedená dynamická konštrukcia obsahuje priamku o a pravidelný n-uholník, ktorého počet vrcholov možno posuvníkom meniť od 4 po 10. Po zostrojení obrazu n-uholníka možno zmenou vstupných objek-tov (vrátane počtu vrcholov daného n-uholníka) sledovať vplyv zmien na obraz n-uholníka.

Následne žiaci samostatne vypracujú v zošitoch úlohu:

Daný je štvorec ABCD. V osovej súmernosti s osou AC zostrojte obraz štvorca ABCD.

Predpokladáme reakciu niektorých žiakov: „Načo sme to zobrazovali, veď je to to isté.“ Učiteľ vyzve žiakov, aby našli aj inú os, podľa ktorej sa štvorec ABCD zobrazí sám do seba. zavedie pojem osovo súmerný útvar a spolu so žiakmi určia počet osí súmernosti štvorca. Potom vyzveme žiakov, aby uviedli iné osovo súmerné útvary.

úLOHA 13

Koľko osí súmerností má úsečka?

Hlasovanie

A: 0

B: 1

C: 2

D: nekonečne veľa


Očakávame dosť odpovedí B. Odhaliť os súmernosti – priamku, na ktorej úsečka leží, je náročnejšie. Žiaci si zakreslia do zošita úsečku a jej osi súmernosti.



úLOHA 14

Koľko osí súmerností má priamka?

Hlasovanie

A: 0

B: 1

C: 2

D: nekonečne veľa


Očakávame dosť odpovedí C. Po skúsenosti s úsečkou si budú myslieť, že je to to isté. Navrhneme im zakresliť do zošita dve predpokladané osi súmernosti a pri umiestňovaní kolmej osi odhalia svoj omyl.

úLOHA 15

Koľko osí súmerností má kruh?

Hlasovanie

A: 0

B: 1

C: 2

D: nekonečne veľa

úLOHA 16

Koľko osí súmerností má trojuholník?

Hlasovanie

A: 0

B: 1

C: 2

D: 3

METODICKÁ POZNÁMKA:

Úloha je zavádzajúca, lebo neurčuje aký trojuholník máme na mysli. Vzhľadom nato je správna odpoveď A – nula, všeobecný trojuholník nemá os súmernosti. Podľa rozloženia možností však môžeme vidieť ako žiaci rozmýšľali a potom spolu prediskutovať špeciálne typy trojuholníkov: rovnostranný a rovnoramenný. Žiaci si zakreslia do zošita tieto typy trojuholníkov a vyznačia ich osi súmernosti.



úLOHA 17

Koľko osí súmerností má pravidelný päťuholník?

Hlasovanie

A: 0

B: 1

C: 5


Žiaci sa často nechajú zlákať možnosťou, že pravidelný päťuholník má jednu os súmernosti (zvyčajne myslia „zvislú“ os prechádzajúcu „horným“ vrcholom – vzhľa-dom na obrázok.). Týmto žiakom môže učiteľ navrhnúť otočiť obrázkom, prípadne pozrieť sa naň z inej strany. Ak nájdu aj druhú os, nájsť všetkých päť je už hračka.

úLOHA 18

Koľko osí súmerností má pravidelný šesťuholník?

Hlasovanie

A: 0

B: 1

C: 3

D: 6


Môžeme očakávať množstvo odpovedí C, ide o tri osi prechádzajúce cez protiľahlé vrcholy šesťuholníka. Nájsť osi spájajúce stredy protiľahlých strán je náročnejšie.

Učiteľ potom spolu so žiakmi určí počet osí súmernosti ďalších osovo súmerných útvarov, napr. obdĺžnika, kosoštvorca, rovnoramenného lichobežníka, uhla a pod.

úLOHA NAVYŠE

Nadanejší žiaci môžu skúsiť zovšeobecniť výsledky úloh 15 a 16 pre ľubovoľný pra-videlný n-uholník.

Učiteľ diskutuje so žiakmi o tom, kde všade okolo nás môžeme vidieť príklady na osovú súmernosť. V rámci obrazovej prezentácie má pripravených niekoľko obrázkov.



Obr. 4.2.24 Pohorie ad jazerom Obr. 4.2.25 Motýľ Obr. 4.2.26 Britská vlajka

Obr. 4.2.27 Medvedík Obr. 4.2.28 Javorový list Obr. 4.2.29 Vážka

Obr. 4.2.30 Váhy

opakovaniE osovEj súmErnosti

Na zopakovanie možno využiť samostatnú prácu žiakov s učebným systémom Planéta vedomostí. Predpokladáme, že každý žiak, resp. dvojica má vlastný notebook.

Navrhujeme použiť kurz Matematika II zŠ, lekcia 25.zobrazenia, str. 3. Prostredníctvom videa si žiaci na názornom príklade zopakujú osovú súmernosť a jej vlastnosti, v ďal-šej časti majú možnosť sami dokresľovať obrazy útvarov v osovej súmernosti.

Obr. 4.2.31 Planéta vedomostí - obrazovka venovaná osovej súmernosti



úlohy na domácu prácu k osovEj súmErnosti

• Vyhľadať písmená abecedy, ktoré sú osovo súmerné. Ktoré z nich majú dve osi súmernosti?

• Vyhľadať vlajky štátov, ktoré sú osovo súmerné. (aj s pomocou internetu)

• Vyhľadať na internete niekoľko ľubovoľných obrázkov, ktoré sú osovo súmerné.

• Narysovať útvar podľa vlastnej fantázie, ktorý je osovo súmerný.

strEdová súmErnosť

Ďalej sa budeme venovať stredovej súmernosti. Vrátime sa k ornamentom, ktoré boli stredovo súmerné.

úLOHA 19

Vieme už, že ornament na obrázku 4.2.32 nie je osovo súmerný. Napriek tomu má dve symetrické polovice. Nájdite a zakreslite na obrázku aspoň tri dvojice bodov vzor--obraz, každý z jednej polovice, ktoré si navzájom odpovedajú a spojte ich úsečkou.

Obr. 4.2.32 Ornament


Potrebné je vytvoriť obrázok so zakreslením takýchto dvojíc bodov.

Predpokladáme, že žiaci intuitívne vedia, kde má ten ktorý bod svoju „dvojičku“, svoj obraz. Aj keď rysovanie v predloženom obrázku nebude najpresnejšie, pekne sa ukáže, že všetky spojnice vzor-obraz sa pretnú v jednom bode. Ten nazveme stredom súmernosti s. Upozorníme, že stred súmernosti leží v strede spojnice vzor-obraz.

Učiteľ zadefinuje stredovú súmernosť.

úLOHA 20

Daný je bod S a bod A, rôzny od bodu S. V stredovej súmernosti so stredom S zo-strojte obraz bodu A.



AJ TAKTO sA TO DÁ

Konštrukciu je možné uskutočniť aj pomocou dynamického geometrického systému. Je na to potrebné otvoriť súbor zhodne_zobrazenia_uloha20, ktorý obsahuje objekty spomínané v zadaní úlohy a využiť nástroje konkrétneho programu na zostrojenie obrazu bodu v stredovej súmernosti určenej bodom S. Manipulovaním s bodmi A a S možno sledovať vplyv týchto zmien na obraz bodu A.

úLOHA 21

Daný je bod S a úsečka AB. V stredovej súmernosti so stredom S zostrojte obraz úsečky AB.

AJ TAKTO sA TO DÁ

V dynamickom geometrickom systéme je potrebné otvoriť súbor zhodne_zobrazenia_uloha21 obsahujúci bod S a úsečku AB. Použitím nástrojov programu sa zostrojí obraz úsečky AB vzhľadom na bod S. Pohybom s bodmi A, B, S možno konštrukciu meniť a sledovať vplyv týchto zmien na obraz úsečky.

úLOHA 22

Daný je bod S a priamka p. V stredovej súmernosti so stredom S zostrojte obraz priamky p, ak

A: bod S nepatrí priamke p,

B: bod S patrí priamke p.

AJ TAKTO sA TO DÁ

Súbory zhodne_zobrazenia_uloha22a, zhodne_zobrazenia_uloha22b obsa-hujú geometrické útvary zo zadania úlohy. Po otvorení konkrétneho súboru v dyna-mickom geometrickom systéme je potrebné skonštruovať obraz priamky p v stre-dovej súmernosti so stredom v bode S a pohybovaním s danými útvarmi sledovať obraz priamky p.

Učiteľ s pomocou žiakov zhrnie vlastnosti stredovej súmernosti, určia samodružné body stredovej súmernosti a samodružné priamky v stredovej súmernosti.

úLOHA 23

Daný je bod S a trojuholník ABC. V stredovej súmernosti so stredom S zostrojte obraz trojuholníka ABC.



AJ TAKTO sA TO DÁ

Konštrukciu je možné ukázať aj prostredníctvom dynamického geometrického sys-tému. Súbor zhodne_zobrazenia_uloha23 obsahuje trojuholník ABC a bod S. Po zo-strojení obrazu trojuholníka v stredovej súmernosti so stredom v bode S a pohybom s danými geometrickými útvarmi je možné sledovať vplyv zmien na obraz trojuholníka. Súbor zhodne_zobrazenia_uloha23.html obsahuje animáciu konštrukcie trojuhol-níka. V animácii sa postupne objavuje bod S, trojuholník ABC, bod x na trojuholníku ABC a obraz bodu x zostrojený využitím nástrojov priamka a kružnica. Následne sa bod x pohybuje po trojuholníku ABC a jeho obraz zanechávajúc stopu vykresľuje obraz trojuholníka. Ak kurzor umiestnime mimo okna s animáciou, tak sa animácia zastaví.

úLOHA 24

Daný je bod A a kružnica k(S;r). V stredovej súmernosti so stredom A zostrojte obraz kružnice k.

AJ TAKTO sA TO DÁ

Objekty uvedené v zadaní úlohy sa nachádzajú aj v súbore dynamického geomet-rického systému zhodne_zobrazenia_uloha24. Využitím nástrojov programu je potrebné zostrojiť obraz zadanej kružnice v stredovej súmernosti so stredom v bode S. Manipuláciou s danými útvarmi je potom možné sledovať vplyv týchto zmien na obraz kružnice.

úLOHA 25

Ktoré z dvojíc obrázkov na obrázku 4.2.33 predstavujú vzor a obraz v stredovej súmernosti?

Hlasovanie

A: E, F

B: B, E, F

C: B, E, G

D: A, B, F, G

E: C, D

A – Archimedes



B – Aristoteles

C – Pytagoras

D – Einstein

E – Trojuholník



F - Malý princ

G - Vodové farby

Obr. 4.2.33 Dvojice útvarov, z ktorých niektoré predstavujú vzor – obraz v stredovej súmernosti


Úloha preverí vizuálne pochopenie stredovej súmernosti. Je to ťažšia úloha ako pri osovej súmernosti. Žiaci by mali pomerne rýchlo vylúčiť osovú súmernosť (s tou už majú skúsenosti) – to ukáže počet hlasov pre možnosť E. Nie je však pravda, že, čo nie je osová súmernosť, to je stredová! Po hlasovaní učiteľ zopakuje vlastnosti stredovej súmernosti a vyzve žiakov spojiť dvojice vzor a obraz v jednotlivých mož-nostiach, čo hneď odhalí nesprávnosť niektorých tvrdení.

úLOHA 26

Daný je obdĺžnik ABCD. Nech S je priesečník uhlopriečok tohto obdĺžnika. V stredo-vej súmernosti so stredom S zostrojte obraz obdĺžnika ABCD.


Úloha slúži na zavedenie pojmu stredovo súmerný útvar. Šikovnejší žiaci nezačnú ani rysovať.



úLOHA 27

Dané sú útvary:

• úsečka,

• rovnostranný trojuholník,

• štvorec,

• kružnica,

Ktoré z týchto útvarov sú stredovo súmerné?

Hlasovanie

A: úsečka, rovnostranný trojuholník, kružnica

B: štvorec, kružnica

C: rovnostranný trojuholník

D: úsečka, štvorec, kružnica

E: rovnostranný trojuholník, štvorec


Predpokladáme, že problém bude s rovnostranným trojuholníkom. Veľa žiakov sa dá zlákať predstavou, že ťažisko je jeho stred súmernosti. Jednoduchým obrázkom dokážeme nesprávnosť takéhoto tvrdenia.

úLOHA 28

Daný je pravidelný päťuholník a pravidelný šesťuholník. Ktorý z nich je stredovo súmerný?

Hlasovanie

A: len pravidelný päťuholník

B: len pravidelný šesťuholník

C: obidva

D: žiaden z nich


Predpokladáme viac odpovedí C. Žiaci sa opäť dajú zlákať predstavou, že obidva útvary majú stred súmernosti totožný so stredom im opísanej kružnice (kružnica, ktorá slúžila na ich zostrojenie).

úLOHA NAVYŠE

Nadanejší žiaci môžu skúsiť zovšeobecniť výsledok úlohy pre ľubovoľný pravidelný n-uholník.



ZAMYsLITE sA

Môže mať nejaký útvar viac ako jeden stred súmernosti?

Učiteľ diskutuje so žiakmi o tom, kde všade okolo nás môžeme vidieť príklady na stre-dovú súmernosť.

opakovaniE strEdovEj súmErnosti

Obr. 4.2.34 Planéta vedomostí - obrazovka venovaná stredovej súmernosti

Na zopakovanie možno využiť samostatnú prácu žiakov s učebným systémom Planéta vedomostí. Predpokladáme, že každý žiak, resp. dvojica má vlastný notebook.

Navrhujeme použiť kurz Matematika II zŠ-žiak, lekcia 25. zobrazenia, str.7. Prostredníctvom videa si žiaci na názornom príklade zopakujú stredovú súmernosť a jej vlastnosti, v ďalšej časti majú možnosť sami dokresľovať obrazy útvarov v stre-dovej súmernosti.

úlohy na domácu prácu k strEdovEj súmErnosti

• Vyhľadať písmená abecedy, ktoré sú stredovo súmerné. Ktoré sú aj osovo súmerné?

• Vyhľadať vlajky štátov, ktoré sú stredovo súmerné. (aj s pomocou internetu)

• Vyhľadať na internete niekoľko ľubovoľných obrázkov, ktoré sú stredovo sú-merné.

• Narysovať útvar podľa vlastnej fantázie, ktorý je stredovo súmerný.



A B C

D E F

G

Obr. 4.2.35 Útvary, z ktorých niektoré sú súmerné

Ktorý z obrázkov je osovo súmerný? Ktorý z obrázkov je stredovo súmerný?


Posledná úloha slúži ako spätná väzba k učivu o stredovej a osovej súmernosti.



4.2.3 Pytagorova veta



Pravouhlý trojuholník, vlastnosti pravouhlého trojuhol-níka, Pytagorova veta, použitie Pytagorovej vety pri rie-šení úloh.

9. ročník ZŠ



• pomenovanie a vlastnosti strán pra-vouhlého trojuholníka, jeho základné vlastnosti

• Pytagorovu vetu, jej znenie a matema-tický zápis, zapísať Pytagorovu vetu pri rôznych označeniach pravouhlého trojuholníka

• identifikovať pravouhlý trojuholník v neštandardných situáciách a zapísať pre neho Pytagorovu vetu

• Navyše budeme:• rozvíjať čitateľskú a matematickú gra-

motnosť

• pozná druhú mocninu čísel a vie ju vypočítať ako súčin dvoch čí-sel, pomocou kalkulačky (príp. ta-buľky)

• pozná druhú odmocninu čísel, vie ju vypočítať pomocou kalkulačky (tabuliek)

• pozná základné vlastnosti vše-obecného trojuholníka

• ovláda rozdelenie trojuholníkov podľa vnútorných uhlov

• pozná konštrukciu trojuholníka podľa vety sss

• pozná vzorec na výpočet obsahu štvorca, vie ho použiť



• kľúčovú kompetenciu preskúmanie a organizovanie informácií pri analýze údajov a vzťahov medzi trojicami čísel a formulovaní hypotéz

• kľúčovú kompetenciu analýza a auto-matizácia procesov zameraná na ná-cvik algoritmu

• Žiaci si lepšie zapamätajú pozna-tok, ktorý objavia sami. Využitie dynamických geometrických sys-témov umožňuje zefektívniť objavo-vanie Pytagorovej vety, skúmanie vlastností trojuholníkov a vzťahov medzi dĺžkami ich strán.

• Vytvorené testy sú zamerané na hlboké porozumenie pojmu pravouhlý trojuholník a jeho vlast-ností a na porozumenie zneniu Pytagorovej vety.



• počítač pre každého žiaka (dvojica)• počítač s dataprojektorom pre učiteľa• prezentácia v Microsoft PowerPoint • demonštračné videá• testy vytvorené v Hot Potatoes

• konštruktivistické prístupy k uče-niu sa

• skupinová forma práce (2- až 4-členné skupiny)



úvod k mEtodikE

V pripravenej vyučovacej jednotke sa zameriame na to, aby žiak zvládol s porozume-ním zvládol pojmy prepona a odvesna pravouhlého trojuholníka, Pytagorovu vetu, jej matematický zápis pri rôznych označeniach pravouhlého trojuholníka a využitie pri riešení matematických úloh, identifikáciu pravouhlého trojuholníka v slovných úlo-hách a úlohách z praxe a na jej základe zápis Pytagorovej vety.

Navrhovaná vyučovacia jednotka je rozdelená na niekoľko častí. Na začiatku zopaku-jeme poznatky žiakov o pravouhlom trojuholníku. Nasleduje objavovanie Pytagorovej vety v skupinách, žiaci pracujú formou výskumu. V ďalšej časti žiaci pracujú vo dvo-jiciach a osvojujú si sprístupnené učivo. Každá dvojica potrebuje počítač s inter-netovým prehliadačom, s prehliadačom obrázkov a videí, s programom Microsoft PowerPoint. Žiaci pracujú s demonštračnými obrázkami a videami, hotovými apliká-ciami a pripravenými testami, vytvorenými v softvéri Hot Potatoes.

Testy, vytvorené k tejto téme slúžia na zvládnutie vyššie popísaných znalostí. Pomocou nich dokáže žiak zvládnuť oveľa viac úloh ako pri bežnej výučbe. Testy poskytujú žiakovi rýchlu spätnú väzbu o správnosti príp. nesprávnosti jeho odpovedí. Variabilita úloh slúži k dôkladnému precvičeniu problematiky a k lepšiemu zvládnutiu učiva.

pravouhlý trojuholník – opakovaniE

úLOHA 1

Spustite si macro konstrukcia podla vety sss.mac v programe Cabri Geometria a zostrojte trojuholníky s nasledujúcimi veľkosťami strán:

a) 6 cm, 8 cm, 10 cm b) 7 cm, 8 cm, 10 cmc) 5 cm, 7 cm, 13 cm d) 6 cm, 6 cm, 6 cme) 5 cm, 12 cm, 13 cm f) 9 cm, 9 cm, 16 cmg) 5 cm, 4 cm, 7 cm h) 4 cm, 4 cm, 5 cm

Pomocou nástroja uhol odmerajte veľkosti uhlov trojuholníka a rozhodnite, či ide o ostrouhlý, tupouhlý alebo pravouhlý trojuholník.


Úloha má slúžiť na zopakovanie učiva o rozdelení trojuholníkov podľa veľkostí vnú-torných uhlov. Učiteľ zároveň môže vyčleniť skupinu pravouhlých trojuholníkov ako tú, o ktorú sa bude opierať ďalšie učivo. So žiakmi v diskusii zopakuje, čo všetko o pravouhlých trojuholníkoch už vedia.

pravouhlý trojuholník – sprístupňovaniE uČiva Na sprístupnenie učiva o pravouhlom trojuholníku využije učiteľ snímky 2 až 5 z pre-zentácie Pytagorova veta.pps Na základe nich vysvetlí žiakom pojmy odvesna, prepona, popíše ich vlastnosti a význam pre ďalšie použitie v úlohách.



úLOHA 2

Otvorte si súbor test_i.htm a zopakujte si základné vlastnosti pravouhlého trojuhol-níka a potrebné názvoslovie.


Test I je zameraný na poznanie prepony a odvesien pravouhlého trojuholníka, jedna časť testu je zameraná na veľkosti uhlov v pravouhlom trojuholníku (zároveň teda slúži na zopakovanie učiva o súčte veľkostí uhlov v trojuholníku). Žiaci si na rôz-nych zobrazeniach a pomenovaniach pravouhlého trojuholníka overia svoje zna-losti z určovania prepony, odvesien a uhlov. Test I obsahuje 6 rôznych pravouhlých trojuholníkov, pričom ku každému žiak odpovedá na 5 otázok. Medzi jednotlivými úlohami sa žiak posúva šípkou na modrej lište v hornej časti obrazovky, medzi úlohami šípkou v pravej oranžovej časti obrazovky. Testy sú vytvorené tak, aby sa poradie úloh a otázok generovalo v náhodnom poradí. Je málo pravdepodobné, že žiaci, ktorí sedia vedľa seba, majú na pracovnej ploche tie isté úlohy a otázky v jednom momente. Test je typom testu s výberom odpovede. Žiacka úspešnosť je vyhodnocovaná v percentách.

Obr. 4.2.36 Test I

Test I – ukážka piatich otázok pre pravouhlý trojuholník xyz na obrázku 4.2.36 s pravým uhlom pri vrchole z a kratšou odvesnou xz.

1. Ktorá z daných strán pravouhlého trojuholníka s pravým uhlom pri vrchole z je dlhšia odvesna?

a) x

b) z

c) y



2. Ktorá z daných strán pravouhlého trojuholníka s pravým uhlom pri vrchole z je kratšia odvesna?

a) y

b) x

c) z

3. Ktorý uhol je v trojuholníku xyz pravý, ak strany x, y sú odvesny?

a) pri vrchole z

b) pri vrchole y

c) pri vrchole x

4. Ktorá zo strán trojuholníka xyz s pravým uhlom pri vrchole z je kratšia odvesna?

a) úsečka xy

b) úsečka yz

c) úsečka xz

5. Ktorá z daných strán pravouhlého trojuholníka s pravým uhlom pri vrchole z je prepona?

a) y

b) z

c) x

Túto aktivitu je vhodné so žiakmi uzavrieť kontrolnými otázkami:

a) Ako rozdeľujeme trojuholníky podľa veľkosti vnútorných uhlov?

b) Aké vnútorné uhly má pravouhlý trojuholník?

c) Ako sa volá najdlhšia strana v pravouhlom trojuholníku? čo o nej vieš?

d) čo sú to odvesny? čo o nich vieš?

Učiteľ môže na záver premietnuť žiakom zhrnutie na snímke 6 v prezentácii Pytagorova veta.pps.

pytagorova vEta – formulácia hypotézy

Keďže cieľom témy je objavenie Pytagorovej vety a získanie znalosti zapísať Pytagorovu vetu pri každom označení pravouhlého trojuholníka, v úvodnej časti ho-diny je vhodné zopakovať učivo o pravouhlom trojuholníku.

úLOHA 3

Pomocou Testu II (súbor test_ii.htm) si zopakujte základné časti pravouhlého trojuholníka, Doplňte slová prepona, odvesna do viet o pravouhlom trojuholníku (obr. 4.2.37).



Obr. 4.2.37 Test II


Test II obsahuje 10 viet s prázdnymi textovými poľami, kde žiaci doplnia do viet o pravouhlom trojuholníku vhodné slovo. Na konci testu je kontrolné tlačidlo, ktorým si žiaci overia správnosť svojich odpovedí. V prípade, že odpoveď nevedia, je im k dispozícií pomocné tlačidlo (pomôcka), ktorá im „napovie“- poskytne nasledujúce písmeno v odpovedi. Test je vytvorený tak, aby sa poradie otázok generovalo ná-hodne. Je vhodné, aby si žiaci robili náčrty jednotlivých pravouhlých trojuholníkov s vyznačeným pravým uhlom v niektorom z nainštalovaných grafických editorov alebo do zošita.

Test II – ukážka

Doplň slová do textu....

1. Ak v pravouhlom trojuholníku DEF je strana „d“ prepona, potom strany „e“, „f“ sú ...

2. Ak v pravouhlom trojuholníku GHI sa pravý uhol nachádza pri vrchole G, potom strana „g“ je ...

3. Ak v pravouhlom trojuholníku MNO je strana „MN“ prepona, potom strana „o“ je ...

4. Ak v pravouhlom trojuholníku yzA je strana „yz“ najdlhšia, potom je to ...

úLOHA 4

Otvorte si súbor pribeh_znicenej_knizky.pdf a prečítajte si Príbeh zničenej knižky.


Po prečítaní príbehu učiteľ vysvetlí žiakom, že v ďalšej etape práce budú pracovať vo dvojiciach, pričom každá dvojica predstavuje riešiteľský tím. Každý tím bude riešiť rovnakú výskumnú úlohu.



úLOHA 5

Vaša výskumná úloha sa nachádza v dokumente Trojuholníkové rodinky čísel (trojuholnikove_rodinky_cisel.pdf). Pokúste sa odpovedať na otázky v tomto dokumente.


Učiteľ v tejto etape práce necháva žiakov pracovať bez časového obmedzenia. Odpovedá na všetky žiacke otázky, súvisiace s objavovaním a snahou odpove-dať na otázky v príslušnom dokumente. Žiakov upozorní na to, že všetky „riešiteľ-ské poznámky“ , objavy, pokusy, ... si majú zapisovať. Môžu rysovať, aj používať kalkulačku. Výsledkom žiackeho skúmania by mala byť jedna z hypotéz: 1. Súčet druhých mocnín menších čísel z rodinky je rovnaký ako druhá mocnina najväčšieho čísla z rodinky. 2. Trojuholník, ktorý má strany dlhé ako čísla z rodinky, je pravouhlý.

Predpokladáme, že nie každému riešiteľskému tímu sa podarí postaviť hypotézu. Bolo by vhodné, ak by svoj postup a jeho zdôvodnenie prezentovali tie riešiteľské tímy, ktoré k tejto hypotéze dospeli.

AJ TAKTO sA TO DÁ

V priebehu skúmania môžu žiaci použiť macro konstrukcia podla vety sss.mac v programe Cabri Geometria alebo softvér reseni_obecneho_trojuhelniku na stránke http://www.instaluj.cz/reseni-obecneho-trojuhelniku.

Pri práci so softvérom Řešení obecného trojuhelníku (Riešenie všetobecného troju-holníka) postupujeme nasledovne:

1. Klikneme postupne na Strana 1, Strana 2, Strana 3 → označia sa jednotlivé strany (zafarbia sa).

2. Klikneme na tlačidlo zadat hodnoty → do jednotlivých políčok vpíšeme dĺžky jednotlivých strán trojuholníka → klikneme na tlačidlo Výpočet.

3. V okne Výsledky výpočtov si pozrieme veľkosti vnútorných uhlov tohto trojuhol-níka → na základe nich môžeme zistiť o aký typ trojuholníka pôjde (ostrouhlý, tupouhlý, pravouhlý).

4. V pravom dolnom rohu tohto okna sa nachádza tlačidlo zobrazit → kliknutím na neho sa daný trojuholník nakreslí.

Po vyriešení úlohy 5. môže učiteľ oboznámiť žiakov so znením Pytagorovej vety a jej matematickou podobou. Na fixáciu a zhrnutie je vhodné použiť snímky 7 až 12 v pre-zentácii Pytagorova veta.pps. V prezentácii sú odkazy na applety a videá, ktoré rôznymi spôsobmi demonštrujú dôkazy Pytagorovej vety.



pytagorova vEta – osvojEniE uČiva

úLOHA 6

V Teste II_b (súbor test_ii_b.htm) doplňte zápis Pytagorovej vety na základe ozna-čenia jednotlivých strán trojuholníka (obr. 4.2.38). Náčrty potrebné k zápisu robte do zošita alebo do grafického editora priamo v PC.

Obr. 4.2.38 Test II b


Test II_b je zameraný na doplnenie zápisu Pytagorovej vety na základe označe-nia jednotlivých strán trojuholníka. Ak je test zadaný ako samostatná práca, tak je vhodné, aby si žiaci robili náčrt pravouhlého trojuholníka do zošita (príp. priamo do PC, do niektorého grafického editora). Náčrt je dôležitý kvôli prepojeniu grafickej a textovej podoby Pytagorovej vety. Ak bude práca s testom frontálna, tak je možné robiť náčrty na klasickú, resp. interaktívnu tabuľu. Test obsahuje 10 viet s prázdnymi textovými poľami, kde žiaci doplnia riešenie. Na začiatku práce s testom je po-trebné, aby učiteľ vysvetlil žiakom zápis druhej mocniny do textových polí: a2= a^2.

Test II_b – ukážka

Doplň zápis Pytagorovej vety (používaj mená strán trojuholníka).

1. Ak v pravouhlom trojuholníku DEF je strana „d“ prepona a strany „e“, „f“ sú odve-sny, potom správny zápis Pytagorovej vety bude: ...

2. Ak v pravouhlom trojuholníku GHI sa pravý uhol nachádza pri vrchole G, potom správny zápis Pytagorovej vety bude: ...

3. Ak v pravouhlom trojuholníku MNO je strana „MN“ prepona, potom správny zápis Pytagorovej vety bude: ...



úLOHA 7

Otvorte si Test III (súbor test_iii.htm). V každom obrázku nájdite pravouhlý trojuhol-ník, ktorého strany viete zapísať na základe zobrazeného označenia. Zapíšte správne znenie Pytagorovej vety (obr. 4.2.39).

Obr. 4.2.39 Test III


Test III je zameraný na „objavovanie“ pravouhlého trojuholníka v rôznych obrázkoch. Vzhľadom na to, že sa v teste vyskytujú aj obrázky telies, s ktorými žiaci ešte ne-pracovali, tak je možné považovať túto časť testu za propedeutiku učiva o telesách. Na základe „objaveného“ pravouhlého trojuholníka žiaci správne zapisujú znenie Pytagorovej vety. Test má kombinovanú formu – vlastný zápis Pytagorovej vety, vý-ber z niekoľkých možností ale aj typ odpovede s viacerými správnymi možnosťami. Test obsahuje 8 úloh. Na konci testu je kontrolné tlačidlo, ktorým si žiaci overia správnosť svojich odpovedí.



Test III – ukážka

Obr. 4.2.40 Obrázok z testu III

Kosoštvorec (obr. 4.2.40): a .... strana kosoštvorca; u, v .... uhlopriečky kosoštvorca

Nájdi v obrázku pravouhlý trojuholník a vyber k nemu správne znenie Pytagorovej vety:

a) (v/2)^2+(u/2)^2=a^2

b) v^2+u^2=a^2

c) a^2+(v/2)^2=u^2

d) v^2=a^2+u^2

úLOHA 8

Otvorte si Test IV (súbor test_iV.htm). V každom obrázku nájdite pravouhlý trojuhol-ník, ktorého strany viete zapísať na základe zobrazeného označenia. Zapíšte správne znenie Pytagorovej vety a vypočítajte neznámu veličinu.


Test IV je nadstavbou Testu III. Žiaci nepracujú s označením strán, ale ich dĺž-kou. Pytagorovu vetu vytvárajú kombináciou číselných a textových údajov. Podľa Pytagorovej vety počítajú neznámu veličinu.

Test IV – ukážka

Obr. 4.2.41 Obrázok z testu IV



Pravouhlý trojuholník (obr. 4.2.41)

o .... odvesna 6 cm .... odvesna 8 cm .... prepona --------------------------

Vypočítaj veľkosť odvesny „o“ v centimetroch, výsledok zaokrúhli na dve desatinné miesta.

úLOHA 9

V Teste V je niekoľko slovných úloh. Hľadajte v nich dôležité údaje, načrtnite k úlohe obrázok a odpovedajte na príslušné otázky (obr. 4.2.42).

Obr. 4.2.42 Test V


Cieľom testu V je pripraviť žiakov na riešenie úloh z praxe. Pre žiaka je veľmi dôle-žité, aby sa naučil nájsť v texte, v obrázku informáciu, ktorá ho nasmeruje k použitiu Pytagorovej vety. Mnohí žiaci majú problém nájsť v texte podstatné a potrebné údaje a oddeliť ich od zvyšku textu. Preto je vhodné v rámci riešení slovných úloh rozvíjať u žiakov ich čitateľskú a matematickú gramotnosť. Test je zameraný na vy-hľadávanie údajov v texte a vytváranie obrázku (náčrtu) k slovnej úlohe. Cieľom nie je úlohu riešiť, ale vytvoriť cestu k správnemu riešeniu.

Test V obsahuje 8 úloh, pričom ku každej žiak odpovedá na 2-3 otázky. Medzi jednot-livými úlohami sa žiak posúva šípkou na zelenej lište v hornej časti obrazovky, medzi úlohami šípkou v pravej žltej časti obrazovky. Testy sú vytvorené tak, aby sa poradie úloh a otázok generovalo v náhodnom poradí.



4.2.4 Podobnosť geometrických útvarov



Zväčšovanie a zmenšovanie v štvorcovej sieti, podobné útvary, vzťah medzi obvodmi podobných útvarov 9. ročník ZŠ



• pojem podobné útvary• rozhodnúť, či dané útvary sú, alebo

nie sú podobné• nakresliť v štvorcovej sieti podobný

útvar k danému útvaru v štvorcovej sieti

• rozumieť slovným spojeniam raz taký veľký, jedenkrát, dvakrát väčší a pod.

• vzťah medzi obvodmi podobných útvarov (objavenie a využitie pri riešení úloh)

• rozhodne, či sú útvary zhodné• vie vypočítať obsah a obvod útva-

rov v štvorcovej sieti • pozná vlastnosti základných rovin-

ných geometrických útvarov • má skúsenosti s prácou s hlasova-

cími zariadeniami



• kľúčovú kompetenciu využívať infor-mačné zdroje pri vyhľadávaní informá-cií o pantografe

• kľúčovú kompetenciu preskúmanie a organizovanie informácií zameranú na analýzu údajov a vzťahov medzi ob-jektmi, formulovanie hypotéz o vzťahu medzi obvodmi podobných útvarov

• So spojením podobný, podobné sa žiaci stretávajú bežne; s využi-tím metódy Peer Instruction a hla-sovacích zariadení dostane učiteľ rýchlu spätnú väzbu o žiackej predstave, ktorú môže postupne matematicky precizovať.

• Žiaci sa vďaka vzájomnej komuni-kácii a diskusii naučia rozhodnúť, ktoré útvary sú podobné, a ktoré nie sú.



• počítač pre každého žiaka a pre uči-teľa s prístupom na internet


• pripravený pracovný hárok vytvorený v prostredí Microsoft Excel

• prezentácia v program Microsoft PowerPointe

• Peer Instruction• individuálna a skupinová práca

pri používaní metódy Peer Instruction

• individuálna forma práce pri počí-tačoch zameraná na zakresľovanie podobných útvarov



úvod k mEtodikE

Vyučovacia jednotka je rozdelená na niekoľko častí. začíname motiváciou pojmov podobnosť, podobné útvary, poukážeme tiež na prepojenie s každodenným životom. V druhej časti vytvárame predstavu o tom, čo sú podobné útvary. Najprv zopaku-jeme, čo sú zhodné útvary a potom postupne precizujeme predstavu o podobných útvaroch. Ďalej sa zameriame na odhalenie vzťahu medzi obvodmi podobných útva-rov. V závere vytvorenej metodiky sú úlohy na hlasovanie s cieľom identifikovať a na-praviť niektoré časté miskoncepcie žiakov, ktoré súvisia s podobnosťou.

Vo vytvorenej metodike dominuje metóda Peer Instruction. z tohto dôvodu navrhu-jeme, aby pri úlohách, v ktorých sa hlasuje, najprv žiaci hlasovali individuálne. Po pr-vom hlasovaní (a zverejnení výsledkov hlasovania) necháme žiakov medzi sebou v skupinkách diskutovať, nech sami hľadajú argumenty podporujúce ich presved-čenie (učiteľ neprezradí správne riešenie úlohy). Následne žiaci opätovne hlasujú. Po druhom hlasovaní môžeme nechať žiakov predniesť svoje argumenty pred trie-dou. Až v závere zhrnie učiteľ správne riešenie.

motivácia

úLOHA 1

Vyhľadajte na internete čo je to pantograf, kde a na čo sa využíva.


z internetu môžu žiaci zistiť, že pojem pantograf zahŕňa mnoho vecí: od polygra-fickej frézovačky, zberača prúdu, či označenia niektorých vlakových jednotiek, až po mechanickú pomôcku (v podobe rovnobežníka z kĺbovo spojených tyčí) na prekresľovanie kresieb, máp alebo situačných plánov v rôznej mierke zmenšenia alebo zväčšenia. No a práve táto posledne spomenutá pomôcka nás bude zaují-mať. Na ukážku uvádzame na obrázku 4.2.43 pantograf nachádzajúci sa v Múzeu vedy v Londýne slúžiaci na prekresľovanie obrazov:

Obr. 4.2.43 Pantograf v Múzeu vedy v Londýne

Učiteľ môže nechať žiakov, aby si sami vyhľadali webové stránky poskytujúce applety pantografu, jeden z nich je na stránke http://www.ies.co.jp/math/java/geo/panta/panta.html (obr. 4.2.44).



Obr. 4.2.44 Pantograf z appletu

úLOHA 2

Pomocou appletu pantografu nakreslite podobné obrázky.


Úloha 2 slúži na to, aby si žiaci skúsili, ako sa pracuje s pantografom a získali tým predstavu o podobných útvaroch.

úLOHA 3

Popíšte niekoľko situácií, v ktorých potrebujeme kresliť podobné obrázky.


Necháme žiakov nachádzať takéto situácie. Môžu to byť napríklad niektoré z na-sledujúcich možností: vyrábanie, prípadne prekresľovanie plánov (záhrad, bytov, domov, interiérov, súčiastok,...), máp, zmenšovanie, prípadne zväčšovanie obrazov.

podobné útvary i

úLOHA 4

Určte všetky útvary z obrázka 4.2.45 , ktoré sú zhodné?

Hlasovanie

A: A, B

B: A, C

C: A, D

D: A, B, D




Úloha 4 slúži na zopakovanie zhodnosti útvarov. Spolu so žiakmi si pripomenieme, že útvary sú zhodné, ak po premiestnení (aj prípadnom otočení) sa kryjú. Potom už nebude problém určiť správnu odpoveď D.

Následne žiakov vyzveme, aby vyslovili svoju predstavu o podobných útvaroch. Diskusiu uzavrieme úlohou 5.

A B C D

Obr. 4.2.45 Zhodné útvary

úLOHA 5

Sú nasledujúce obrázky (obr. 4.2.46) podobné?

Hlasovanie

A: áno

B: nie

Obr. 4.2.46 Logo futbalového klubu Manchester United I


Predpokladáme, že s touto úlohou nebudú mať žiaci žiadne problémy a určia správnu odpoveď A.



úLOHA 6

Sú nasledujúce obrázky (obr. 4.2.47) podobné?

Hlasovanie

A: áno

B: nie

Obr. 4.2.47 Logo futbalového klubu Manchester United II


Tu už predpokladáme menšie problémy. Uzavrieme to tým, že podobné útvary sa musia vo všetkých smeroch zmeniť (zväčšiť alebo zmenšiť) rovnako, ako keby sme sa na jeden z nich pozerali lupou a videli ten druhý. Vyššie uvedené obrázky to nespĺňajú, teda správna odpoveď je B.

Už môžeme popísať našu predstavu o podobných útvaroch:

Ak sa daný útvar zväčší alebo zmenší v určitej mierke, jeho obraz bude podobný pô-vodnému útvaru. Podobné útvary majú rovnaký tvar a líšiť sa môžu len vo veľkosti.

Ďalšie úlohy nám túto predstavu pomôžu upevniť.

úLOHA 7

Aký obraz uvidíme, ak sa na trojuholník U na obrázku 4.2.48 pozrieme lupou, ktorá dvakrát zväčšuje?

Hlasovanie

A: A

B: B

C: C



U

A B C

4.2.48 Podobné trojuholníky


Správna odpoveď je C.

úLOHA 8

Sú útvary A, B na obr. 4.2.49 podobné?

Hlasovanie

A: áno

B: nie

A BObr. 4.2.49 Podobné útvary I


Žiaci, ktorí označili ako správnu odpoveď A, zistili, že útvar B je dvakrát dlhší aj širší, no neuvedomili si, že nie ja aj dvakrát hrubší ako útvar A. Teda správna odpoveď je B.



úLOHA 9

Ktoré z útvarov A, B, C, D na obrázku 4.2.50 sú podobné s útvarom U?

Hlasovanie

A: A, D

B: B, C

C: A, C

D: C

E: D

U

A B C D

Obr. 4.2.50 Podobné útvary II


Len jeden z útvarov A, B, C, D je podobný s útvarom U, a to útvar C.

Správna odpoveď je D.

Ešte by žiaci mali získať predstavu, že podobné útvary môžu byť „rôzne natočené“.



úLOHA 10

Určte všetky útvary z obrázka 4.2.51, ktoré sú podobné s útvarom U.

Hlasovanie

A: A

B: A, D

C: A, C, D

D: A, B, D

U

A B CD

Obr. 4.2.51 Podobné útvary III


Táto úloha skrýva zopár záludností. Ak niekto tipoval možnosť B, neuvažoval, že aj zhodné útvary sú špeciálnym prípadom podobnosti. Ak niekto tipoval možnosť A, neuvažoval ani o možnosti podobné útvary „otáčať“. Správna odpoveď je D.

úLOHA 11

Určte všetky útvary na obrázku 4.2.52, ktoré sú podobné s útvarom U.

Hlasovanie

A: A

B: A, B

C: A, E

D: A, D, E

E: A, B, C

F: A, B, C, E




Správna odpoveď je F. Úloha v sebe skrýva všetky možnosti, ktoré sme doteraz rozoberali. Útvar A je dvakrát menší ako útvar U, útvar B tiež, no navyše je pooto-čený. Útvar C je zhodný s útvarom U, ibaže je pootočený. Útvar D nie je podobný s útvarom U. Novým je útvar E. Ten je podobný s útvarom U, no žiaci to nemusia odhaliť, lebo je jedenapolkrát väčší a s tým ešte nemajú skúsenosť.

U

A B C D E

Obr. 4.2.52 Podobné útvary IV

úLOHA 12

V pracovnom liste Utvary_podobnost_komplet.xls (obr. 4.2.53) je znázornených 16 útvarov (v 16 rôznych záložkách). Na bielu plochu nakreslite dvakrát zväčšený útvar (vzhľadom na pôvodný útvar). Do tabuľky zapíšte jeho obvod (za jednotku zvoľte dĺžku jedného štvorčeka) a obsah (za jednotku zvoľte obsah jedného štvor-čeka). Pomocou appletu pantografu kreslite podobné obrázky.

Obr. 4.2.53 Pracovný list v programe Microsoft Excel




Žiaci pracujú samostatne (prípadne vo dvojiciach) pri počítači a využívajú pripra-vený pracovný list. Po zapísaní požadovaných údajov do tabuľky sa žiaci hneď dozvedia ich správnosť. Správnosť zakresleného útvaru musí skontrolovať učiteľ.

Okrem zakresľovania podobných útvarov majú žiaci vypočítať aj ich obvody a ob-sahy. Táto úloha je preto aj propedeutikou k zisteniu pomeru obvodov a obsahov podobných útvarov.

vzťah mEdzi obvodmi podobných útvarov

úLOHA 13

Majme obdĺžnik ABCD s dĺžkami strán |AB| = 3 cm, |BC| = 2 cm a obdĺžnik A BĆ´D , ktorého strany sú dvakrát dlhšie ako strany obdĺžnika ABCD. Koľkokrát je väčší obvod obdĺžnika A BĆ´D ako obvod obdĺžnika ABCD?

Hlasovanie

A: 2-krát väčší

B: 4-krát väčší

C: 8-krát väčší


Najprv necháme žiakov hlasovať. Potom úlohu spoločne vyriešime (vypočítame obvody oboch obdĺžnikov a určíme ich pomer), čím zdôvodníme, že správna od-poveď je A.

Úloha 14 sa od úlohy 13 bude líšiť tým, že pôjde o všeobecný obdĺžnik, teda neza-dáme jeho rozmery.

úLOHA 14

Majme obdĺžnik ABCD a obdĺžnik A BĆ´D , ktorého strany sú dvakrát dlhšie ako strany obdĺžnika ABCD. Koľkokrát je väčší obvod obdĺžnika A BĆ´D ako obvod obdĺžnika ABCD?

Hlasovanie






Obr. 4.2.54 Vzťah medzi obvodmi podobných obdĺžnikov


Správna odpoveď je A. So žiakmi vedieme diskusiu o tom, že pomer obvodov podobných útvarov nezávisí od ich rozmerov (a je rovný koeficientu podobnosti oboch útvarov). Nabádame ich, aby sa to pokúsili zdôvodniť. Môžeme si pomôcť obrázkom 4.2.54.

či to žiaci naozaj pochopili, si overíme v ďalšej úlohe.

úLOHA 15

Majme obdĺžnik ABCD a obdĺžnik A B´C´D , ktorého strany sú štyrikrát dlhšie ako strany obdĺžnika ABCD. Koľkokrát je väčší obvod obdĺžnika A B´C´D ako obvod obdĺžnika ABCD?

Hlasovanie





Správna odpoveď je B.

raz taký vEľký, jEdEnkrát, dvakrát väČší

Úlohy 16, 17, 18 by mali vyvolať diskusiu o tom, čo si v bežnom živote predstavujeme, keď povieme, že niečo je raz také veľké.

úLOHA 16

Koľkokrát je väčší „domček“ B ako „domček“ A (obr. 4.2.55)?

Hlasovanie

A: jedenkrát väčší

B: dvakrát väčší

C: štyrikrát väčší



A BObr. 4.2.55 Porovnávanie domčekov I


Ak v bežnom živote povieme: „Je raz taký veľký.“, myslíme tým, že je dvakrát taký veľký. V matematike však musíme byť presní, preto za správnu odpoveď považu-jeme B. Ak niekto považoval za správnu odpoveď možnosť C, zrejme tým myslel, že sa obsah zväčšil štyrikrát. V diskusii je potrebné ozrejmiť, že slovné spojenie „dvakrát väčší“ chápeme tak, že všetky rozmery sa zväčšia dvakrát.

úLOHA 17

Koľkokrát je menší „domček“ C ako „domček“ A (obr. 4.2.56)?

Hlasovanie

A: jedenkrát menší

B: dvakrát menší

C: štyrikrát menší

A CObr. 4.2.56 Porovnávanie domčekov II





úLOHA 18

Koľkokrát je väčší „domček“ D ako „domček“ A (obr. 4.2.57 )?

Hlasovanie

A: jedenkrát väčší

B: nulakrát väčší

A DObr. 4.2.57 Porovnávanie domčekov III


Správna odpoveď je A.

podobné útvary iiV úlohách 19 až 26 sa zameriame na niektoré miskoncepcie žiakov, ktoré súvisia s podobnosťou.

úLOHA 19

V zošite je nakreslený uhol veľkosti 30o. Koľko stupňov bude mať tento uhol, ak sa naň pozrieme lupou, ktorá dvakrát zväčšuje?

Hlasovanie

A: 30o

B: 60o

C: 90o


Úloha je chyták, veľa žiakov sa na to nachytá, no potom sa na tom dobre zabavia. Správna odpoveď je A.

úLOHA 20

Sú dva štvorce z obrázku 4.2.58 podobné?

Hlasovanie

A: áno

B: nie



Obr. 4.2.58 Podobné štvorce?



úLOHA 21

Sú si všetky štvorce navzájom podobné?

Hlasovanie

A: áno

B: nie



úLOHA 22

Sú dve kružnice z obrázku 4.2.59 podobné?

Hlasovanie

A: áno

B: nie



Obr. 4.2.59 Podobné kružnice?



úLOHA 23

Sú si všetky kružnice navzájom podobné?

Hlasovanie

A: áno

B: nie



úLOHA 24

Sú dva obdĺžniky z obrázku 4.2.60 podobné?

Hlasovanie

A: áno

B: nie

Obr. 4.2.60 Podobné obdĺžniky?


Tu už predpokladáme, že mnohí žiaci sa nechajú nachytať a povedia, že oba obdĺž-niky sú podobné. Sme si vedomí, že bez zavedenia pojmu „koeficient podobnosti“ aspoň na intuitívnej úrovni, je zdôvodnenie správnej odpovede náročné. Môžeme nechať úlohu neuzavretú. Správna odpoveď je B.

úLOHA 25

Sú si všetky obdĺžniky navzájom podobné?

Hlasovanie

A: áno

B: nie





úLOHA 26

Sú dva pravouhlé trojuholníky z obrázku 4.2.61 podobné?

Hlasovanie

A: áno

B: nie


Správna odpoveď je A. Táto úloha patrí pri daných vedomostiach žiakov medzi náročnejšie. Žiaci ešte nepoznajú vety o podobnosti trojuholníkov, takže nevedia zdôvodniť, že trojuholníky sú podobné podľa vety uu. Takže úlohu necháme zatiaľ zodpovedanú len na úrovni odhadu.

Obr. 4.2.61 Podobné pravouhlé trojuholníky?

informaČné zdrojE

• BUŠEK, I. a kol. (1992). zbierka úloh z matematiky pre 8. ročník základných škôl. SPN, Praha.

• DIVíŠEK, J. a kol. (1989). Didaktika matematiky pro učitelství 1. stupně zŠ. Praha: SPN. 272 s. ISBN 80-04-20433-3.

• HEJNÝ, M. a kol. (1990). Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: SPN. ISBN 80-08-01344-3.

• MELICHAR, J. a kol. (1995). Matematika pre 4. ročník základných škôl. Bratislava: SPN, šieste vydanie. ISBN 80-08-00459-2.

• ŠEDIVÝ, O. a kol. (2003). Matematika pre 9. ročník základných škôl 1. časť. SPN, Bratislava.



• ŠEDIVÝ, O. – čERETKOVá, S. – MALPEROVá, M.(1997). Matematika pre 5. roč-ník ZŠ (1. časť). Bratislava: SPN. 126 s. ISBN 80-08-01435-0.

• ŠEDIVÝ, O. – čERETKOVá, S. – MALPEROVá, M. – BáLINT, ľ.(1999). Matematika pre 6. ročník ZŠ (2. časť). Bratislava: SPN. ISBN 80-08-02678-2.

• ŠEDIVÝ, O. - KRIŽALKOVIč, K.(1990). Didaktika matematiky pre štúdium učiteľ-stva 1. stupňa ZŠ. Bratislava: SPN.. 272 s. ISBN 80-08-00378-2.

• VANíčEK, J. (2009). Počítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta. 212 s. ISBN 978-80-7290-394-8

• ŽILKOVá, K. (2009). Školská matematika v prostredí IKT. Bratislava: Univerzita Komenského. 138 s. ISBN 978-80-223-2555-4.

• ŽILKOVá, K. (2009). Modernizačné prvky v učive o uhloch. In: Potenciál prostre-dia IKT v školskej matematike I. Bratislava: Univerzita Komenského, str. 89 – 96. ISBN 978-80-223-2754-1.

• http://www.instaluj.cz/reseni-obecneho-trojuhelniku

• http://www.matematikaapc.kvalitne.cz/7_sos.htm

• http://www.mathsisfun.com/geometry/construct-anglesame.html

• http://www.mathplayground.com/measuringangles.html

• http://www.mathplayground.com/alienangles.html

• http://www.webmatika.sk

• http://wikipedia.org

zdroje obrázkov:

• http://www.tattoo-pictures-archive.com/pictures/big/celtic-ornament/other/celtic-ornament--other020.jpg

• http://auto-moto-samolepky.afirma.cz/files/products/184.jpg

• http://www.wolkertattoo.estranky.sk/archiv/ifile/463.jpg

• http://www.kovanepolotovary.eu/img1/ornamenty/ornamenty_K3370.jpg

• http://tetovani-vzory.info/tetovani/motivy-tetovani-ornamenty_resize.jpg

• http://farm2.static.flickr.com/1184/1367755078_a675d98b1a.jpg

• http://static-p3.fotolia.com/jpg/00/15/72/00/400_F_15720078_cbtY7caZWViR7lQffX7RjLliX-5GHQVSs.jpg

• http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/zahlentheorie/bilder/euklid.jpeg

• http://aryanrebel.files.wordpress.com/2008/07/ah-skriatok-1.jpg

• http://s3.amazonaws.com/pixmac-preview/decorative-border-ornament.jpg

• http://www.wallpaper.cz/primo/old_ir/hory_za_jezerem--400x300.jpg

• http://img2.flog.pravda.sk/8t3/kYZ_107134_m.jpg



• http://www.wibo-swiss.sk/svk/subory/uk_flag.gif

• http://www.magnetky.qsh.eu/images/detska/maco_03_5x4cm.jpg

• http://blog.sme.sk/blog/2109/64444/jmliec.jpg

• http://www.guh.cz/edu/bi/biologie_bezobratli/foto09/foto_008.jpg

• http://eda.bloguje.cz/img/20041110-vahy.jpg

• http://www.math.rochester.edu/u/faculty/doug/UGpages/archimedes_lever.gif

• http://professorglobal.cbpf.br/cursos/datas/website-rev/imagens/aristoteles.jpg

• http://www.gjar-po.sk/heureka/ucastnici/al_qaeda/pytago1.gif

• http://readingsangha.files.wordpress.com/2010/03/einstein_tongue.jpg

• http://lerepertoire.files.wordpress.com/2009/01/the_little_prince.jpg

• http://www.pekap.sk/data/att/3910_obr. jpg

• http://i991.photobucket.com/albums/af31/HackJ96/Logos.jpg

• http://neoagency.sk/userfile/image/Statny %20znak %20SR.png

• http://quasepublicitarios.files.wordpress.com/2010/05/logo_mercedes.gif

• http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/S-Bahn-Logo.svg/341px-S-Bahn-Logo.svg.png

• http://azahar.files.wordpress.com/2008/12/snowflake_.jpg

• http://www.ies.co.jp/math/java/geo/panta/panta.html

• http://www.footballtransfernews.org/wp-content/uploads/2010/02/manchester_united_fc.png



4.3 stereometria

Pri rozvíjaní priestorovej predstavivosti, vytváraní správnej predstavy o telesách a ich vlastnostiach je potrebné, aby si žiaci dokázali skúmané objekty dobre predstaviť. Využitie IKT umožňuje učiteľovi predstaviť žiakom rôznorodé telesá, aktívne s nimi pracovať, modifikovať ich a vytvoriť tak správnu predstavu o skúmaných pojmoch, ich vlastnostiach a vzťahoch medzi nimi. IKT tiež umožňuje zvýšiť motivačné a akti-vizujúce prvky na vyučovacej hodine, umožňuje efektívnejšie prezentovať niektoré vlastnosti, poskytuje žiakovi aj učiteľovi okamžitú spätnú väzbu.

Na podporu vyučovania stereometrie existujú viaceré výučbové programy a applety na internete, ktoré sú často zamerané na určitú triedu problémov. zaujímavé a uži-točné nástroje pre vyučovanie stereometrie poskytuje program Cabri 3D, ktorý pred-stavuje dynamický geometrický systém na priestorové zobrazovanie telies.

V časti Stereometria tejto publikácie sú dva návrhy metodík:

1. Kockové telesá

2. Hranol, objem hranola, povrch hranola

Metodika Kockové telesá navrhuje využiť kombinované metódy vyučovania – po-mocou učebných pomôcok (manipulácia s modelmi telies) a využitie výučbových programov. Ide predovšetkým o program Building houses, v ktorom žiaci vytvárajú rôzne kockové telesá.

V metodike Hranol, objem hranola, povrch hranola sú prezentované možnosti vy-užitia programu Cabri 3D pri výučbe objemu a povrchu hranola. V závere metodiky sú riešené optimalizačné úlohy. Ich cieľom je objavenie telies, ktoré majú pri danom objeme minimálny povrch.

Obr. 4.3.1 Stereometria



4.3.1 Kockové telesá



stavba telies zo stavebnicových kociek na základe podmienok 5. ročník ZŠ



• pojem kockové teleso

• postaviť jednoduché kockové teleso zo stavebnicových kociek podľa rôz-nych záznamov (plán, úplný plán, kódovaný zápis, náčrt)

• zaznamenať kockové teleso plánom, kódovaným zápisom a náčrtom

• pojmy nárys, pôdorys a bokorys,

• nakresliť nárys, pôdorys a bokorys kockového telesa

• postaviť kockové teleso na základe jeho nárysu, pôdorysu a bokorysu

• rozlišovať a vyberať si z rôznych foriem záznamov kockové telesá podľa situácie a účelu

• žiak pozná teleso kocka

• pozná pojmy vrchol, hrana, stena kocky a vie ich určiť

• žiak vie načrtnúť obraz kocky

• má základné zručnosti pri práci s počítačom a internetom



• kľúčovú kompetenciu modely a mo-delovanie pri skúmaní kockových telies a ich vlastností, pri využívaní počítačovej simulácie pri osvojovaní si pojmov nárys, pôdorys a bokorys.

• Kockové telesá, ich definícia, rôzne spôsoby zaznamenávania s dôra-zom na rozvoj priestorovej predsta-vivosti.

• Pomocou IKT je možné skúmať a realizovať stavby kockových telies s kockami „vo vzduchu“ (pomocou stavebnicových kociek sa tieto te-lesá postaviť nedajú bez zlepenia/poškodenia jednotlivých kociek)



• sada stavebnicových kociek

• pracovné listy

• počítače s prístupom na Internet

• počítač s dataprojektorom, resp. in-teraktívna tabuľa pre učiteľa

• počítačový program Building houses

• problémový výklad

• samostatná práca, skupinová práca,

• práca pri počítačoch (v dvojčlen-ných skupinách, podľa možností v podmienkach školy)



úvod k mEtodikE

Pri vyučovaní Stereometrie v piatom ročníku je vhodné využiť kombinované metódy vyučovania – pomocou učebných pomôcok (manipulácia s modelmi telies) a využitie výučbových programov.

Samotné IKT je veľkým prínosom pre učiteľa pri príprave na vyučovanie – prehľadné, farebné obrázky, ktoré by inak musel zdĺhavo kresliť na tabuľu (zbytočné zaberanie vyučovacieho času). Takto pomocou spätného projektora, dataprojektora, interaktív-nej tabule premieta žiakom rôzne stavby a vysvetľuje potrebné pojmy.

Využitie IKT vo vyučovaní tohto tematického celku podporí záujem žiakov o danú problematiku, na hodine sa stihne vyriešiť viac úloh – deti stavby nekreslia na papier (vyhnú sa tým neprehľadným náčrtom a „nekonečnému gumovaniu“), ale stavajú priamo v dynamickom prostredí, ktoré im umožňuje stavbu otáčať, dopĺňať (vyhneme sa problému nedostatku modelov kociek pre všetkých žiakov) a jednoduchým klik-nutím kocku odobrať, ak sa žiak pomýli. Výučbové programy majú veľkú výhodu aj pri spätnej väzbe pre žiaka – hneď majú výsledok svojej práce skontrolovaný.

Čo jE kockové tElEso?V úvode hodiny si so žiakmi vysvetlíme, aké telesá považujeme za kockové telesá, a aké nie.

Pod označením kockové teleso budeme rozumieť teleso zložené z konečného počtu zhodných kociek tak, že každá kocka je spojená s aspoň jednou ďalšou kockou celou stenou

Žiakom ukážeme dve stavby (obr. 4.3.2) – jedna stavba je kockové teleso, druhá stavba nie je kockové teleso.

Obr. 4.3.2a Kockové teleso Obr. 4.3.2b Teleso, ktoré nenazývame kockové teleso t

úLOHA 1

Postavte ľubovoľné kockové teleso.




Žiakom postupne na úlohách vysvetlíme rôzne záznamy kockových stavieb:

1. Náčrt kockového telesa. (Nebudeme žiakov učiť presné pravidlá voľného rov-nobežného premietania).

2. Plán a úplný plán.

3. Kódovaný zápis.

4. zobrazením pohľadov spredu – nárys, zhora – pôdorys, zboku - bokorys.

motivácia k plánu tElEsa

úLOHA 2

Postavte teleso dané na obrázku 4.3.3. Najprv spočítajte, koľko kociek budete na stavbu potrebovať.

Obr. 4.3.3 Obrázok telesa


Všetci žiaci majú postavenú budovu. Nechajme ich porozmýšľať, ako by danú bu-dovu popísali tak, aby ju bez videnia predlohy mohli spolužiaci nakresliť – očaká-vané odpovede sú: má tri poschodia; prvé a druhé je rovnaké, ale tretie má už o šesť kociek menej; je široká šesť kociek; atď.

sprístupňovaniE uČiva plán tElEsa

úLOHA 3

Zuzka si zakreslila postavenú stavbu tak ako na obrázku 4.3.4. Rozumiete jej obrázku?



3 3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

33

3

3

3

22

2 2

2

Obr. 4.3.4 Plán kockového telesa


Tento záznam kockového telesa nazývame plán telesa – akoby sme obkreslili kockové teleso, a vyznačíme v ňom kocky prvého poschodia. Potom do každého štvorčeka napíšeme, koľko kociek sa nachádza v stĺpci nad ním.

3 3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

33

3

3

3

22

2 2

2

a) obkreslíme kockové teleso b) vyznačíme štvorčeky na základe kociek v prvom

poschodí telesa

c) do jednotlivých štvorčekov vyznačíme, koľko kociek

je v stĺpci nad ním

Obr. 4.3.5 Tvorba plánu kockového telesa


Pri riešení úlohy 4, 5 a 6 môžu žiaci využiť program Building houses (http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00249/toepassing_wisweb.en.html). Program ponúka možnosť otáčania postavenej stavby.



popis prácE s programom building housEs

V programe si ako prvé nastavíme, na akom veľkom pláne chceme stavať. Daný po-čet zadávame pomocou zelených šípok, zvýraznené na obrázku 4.3.6.

Obr. 4.3.6 Nastavenie stavebnej plochy v programe Building Houses

Vyberieme funkciu Build (stavať), a pomocou myši pridávame kocky na stavbe. Ak sa pomýlime, pomocou funkcie Break down (zbúrať) odoberieme nechcenú kocku zo stavby. Program umožňuje stavbu otáčať rôznymi smermi, a tým stavať aj v „nevi-diteľnom“ priestore.

úLOHA 4

Podľa plánu na obrázku 4.3.7 postavte stavbu.

2

2

2 3

1

11

1

1

1 1

1

Obr. 4.3.7 Plán pre kockové teleso

RIEŠENIE

Postavíme teleso postupne po poschodiach.

Najprv postavíme prvé poschodie stavby (obr. 4.3.8a).

Doplníme kocky na druhé poschodie (obr. 4.3.8b).

Doplnením poslednej kocky na tretie poschodie je naša stavba hotová (obr. 4.3.8c).



Obr. 4.3.8a Prvé poschodie Obr. 4.3.8b Druhé poschodie Obr. 4.3.8c Tretie poschodie

prEcviČovaniE a upEvňovaniE uČiva plán tElEsa

úLOHA 5

Na obrázku 4.3.9 sú dané telesá a plány. Priraď k plánom farbu telesa, ktoré popisuje.

RIEŠENIE

plán A – farba modrá

plán B – farba červená

plán C – farba ružová

plán D – farba zelená

plán E – farba žltá

Zelené teleso Ružové teleso Modré teleso

Žlté teleso Červené teleso



1

2

3 1

11

2

3

1

1 1

1

2

2 3

11

plán A

farba

_________

1

2

3 1

11

2

3

1

1 1

1

2

2 3

11

3 2

1

1

11

1

1

3 2

2

11

1

plán B

farba

_________

1

2

3 1

11

2

3

1

1 1

1 2

2 3

11

3 2

1

1

11

1

1

3 2

2

11

1

plán C

farba

_________

1

2

3 1

11

plán D

farba

_________

1

2

3 1

11

2

3

1

1 1

1

2

2 3

11

3 2

1

1

11

1

1

plán E

farba

_______

Obr. 4.3.9 Priraď k plánom farbu telesa

úLOHA 6

Postavte telesá podľa plánov na obrázku 4.3.10.

Plán č. 1 Plán č. 2

1 2 1

2

2

2

1

1

1

3

1

11 1

1

1

3

2

2

1

1

1

2

2

2

34

1 2 1

2

2

2

1

1

1

3

1

11 1

1

1

3

2

2

1

1

1

2

2

2

34

Plán č. 3Plán č. 4

1 2 1

2

2

2

1

1

1

3

1

11 1

1

1

3

2

2

1

1

1

2

2

2

34

1 2 1

2

2

2

1

1

1

3

1

11 1

1

1

3

2

2

1

1

1

2

2

2

34

Obr. 4.3.10 Postavte telesá podľa plánov



RIEŠENIEStavba podľa plánu č. 1 Stavba podľa plánu č. 2

Stavba podľa plánu č. 3 Stavba podľa plánu č. 4

Obr. 4.3.11 Stavby podľa plánov z úlohy 6

motivácia k úplnému plánu tElEsa

úLOHA 7

V programe Building Houses postavte teleso ako na obrázku 4.3.12:

Je táto stavba správne zapísaná nasledovným plánom?

3 2 3

Ak nie, aký plán priradíme tejto stavbe?

Obr. 4.3.12 Motivácia k úplnému plánu telesa

RIEŠENIE

Teleso nie je týmto plánom správne zapísané.




Učiteľ prediskutuje so žiakmi, prečo daný plán nie je správny. záverom diskusie je, že plán telesa nie je vhodný pre také typy kockových telies, ktoré majú niektoré kocky „vo vzduchu“.

sprístupňovaniE uČiva úplný plán tElEsa

Pre záznam telies, ktoré majú kocky „vo vzduchu“, zavedieme úplný plán - plán podľa poschodia. Pre jednotlivé stĺpce namiesto počtu kociek v stĺpci zapíšeme, na ktorom poschodí máme kocku. Plán telesa z úlohy 7 bude nasledovný:

1,2,3 1,3 1,2,3

prEcviČovaniE a upEvňovaniE uČiva úplný plán tElEsa

úLOHA 8

Na obrázku 4.3.13 sú dané telesá a ich úplné plány. Priraď k plánom farbu telesa, ktoré popisuje.

RIEŠENIE

úplný plán A – farba: zelená

úplný plán B - farba: ružová

úplný plán C - farba: modrá

úplný plán D - farba: žltá

Ružové teleso Zelené teleso



Modré teleso Žlté teleso

úplný plán A

farba: ____________úplný plán B

farba: ____________

úplný plán C

farba: ____________úplný plán D

farba: ____________

Obr. 4.3.13 Telesá a úplné plány

motivácia ku kódovanému zápisu tElEsa

stavebný diktát

Učiteľ diktuje žiakom pokyny na stavbu telies, a žiaci stavajú podľa jeho pokynov:

„Nastavte si rozmer na 4 políčka. Začíname na prvom políčku v druhom riadku. Polož kocku, choď doprava, polož kocku, choď doprava, polož kocku, choď dozadu, polož kocku, choď o poschodie vyššie, polož kocku.“



Obr. 4.3.14 Stavba podľa diktátu

Sprístupňovanie učiva kódovaný zápis telesa

Na skrátenie zápisu budeme používať kódovaný zápis telesa, pričom jednotlivé kódy sú:

polož kocku

choď dozadu (od seba)

choď dopredu (k sebe)

choď doľava

choď doprava

≡choď hore (o poschodie vyššie)

#choď dole (o poschodie nižšie)

úLOHA 9

Postavte kockové teleso dané kódovaným zápisom a zapíšte jeho plán.

→ → ↓ ≡� � � � � .

RIEŠENIE

Plán telesa:

2

1 1 1

Obr. 4.3.15 Hľadané kockové teleso a jeho plán




Postavené kockové teleso môžeme nechať žiakov načrtnúť vo voľnom rovnobež-nom premietaní,– pre žiakov 5. a 6. ročníka je to však pomerne ťažká úloha. Preto je vhodnejšie využiť program Building Houses, a pomocou klávesy Printscreen si vložíme obrázok do súboru, vytlačíme a nalepíme do zošita. Na druhej strane, je postačujúce, ak si žiaci zapíšu iba plán stavby.

Pri tvorbe diktátu učiteľ nesmie zabúdať, že žiaci nemôžu pridávať kocku „pod plán“, ani mimo plánu. Je vhodné žiakom presne určiť pozíciu na pláne, kde majú začať stavať.

prEcviČovaniE a upEvňovaniE uČiva kódovaný zápis tElEsa

úLOHA 10

Ku kockovému telesu na obrázku 4.3.16 priraďte jeho kódovaný zápis.

Obr. 4.3.16 Teleso a kódovaný zápis

RIEŠENIE

Existuje veľa riešení tejto úlohy, jedným z nich je napr. zápis

# #→ → ↑ ↑ ≡ ← ≡ ← ↓� � � � � � � � � � � .

úLOHA 11

Ktorý z kódovaných zápisov a) – d) nepopisuje teleso, ktorého úplný plán je

2

2,3 1,2



a) ≡ ↑ ←↓ ≡� � � � � ,

b) # #→ ↑ ↓� � � � � ,

c) ≡ ↓ ← ≡� � � � � ,

d) #→ ↑ ↓ ← ≡ ≡� � � � � .

RIEŠENIE

zápis c) nepopisuje teleso dané plánom.

úLOHA 12

Niektoré z nasledujúcich zápisov popisujú rovnaké telesá. Zistite, ktoré sú to:

a) → ↑ → ↓� � � � � , d) ← ↓ ← ↑� � � � � ,

b) → → ↑ ←� � � � � , e) ←← ↓ → ↑� � � � � ,

c) ← ↑ ← ↓� � � � � , f) ↓ ↓ → ←↑ →� � � � � .

RIEŠENIE

zápisy a) a b) popisujú rovnaké teleso, zápisy d) a e) popisujú rovnaké teleso,

úLOHA 13

Dané sú kódované zápisy. Nakreslite ich plán a stavbou sa presvedčte o správnosti svojho riešenia.

a) → ↑� � � , c) ← ↑ ≡� � � � ,b) → ≡� � � , d) #→ ↓ ← ← ≡ →→↑ ≡ ←� � � � � � � � � .

RIEŠENIE

a) b) c) d)

1 2 2 3

1 1 1 2 1 1 2 1 1




Predchádzajúce úlohy ukazujú ako spolu súvisia záznamy kockových telies. So žiakmi môžeme diskutovať o tom, ktorý zápis sa im zdá vhodnejší a prečo, učíme ich tak dekódovať, interpretovať a rozlišovať medzi rôznymi formami znázorňovania (popisovania) matematických objektov a situácií, vyberať medzi rôznymi formami znázorňovania a prechádzať medzi nimi podľa situácie a účelu.

sprístupňovaniE uČiva zápis kockového tElEsa pomocou pôdorysu, nárysu a bokorysu


zavedieme si pojmy nárys, pôdorys a bokorys. Pri bokoryse je dôležité žiakom zdôrazniť, že je to pohľad z pravého boku.

Pôdorys je pohľad na teleso zhora, narys je pohľad na teleso spredu bokorys je pohľad na teleso sprava.

úLOHA 14

Postavte teleso dané úplným plánom. Nakreslite jeho pôdorys – pohľad zhora na te-leso, nárys – pohľad spredu na teleso a bokorys – pohľad sprava na teleso. Overte svoje riešenie v programe.

1,2,3

1,2,3 1,2 1 1,2

1 1 1

RIEŠENIE

Postavené teleso je na obrázku 4.3.17:

Obr. 4.3.17 Riešenie úlohy 14



Jednotlivé pohľady na teleso:

pôdorys (zhora) nárys (spredu) bokorys (sprava)

V programe Building houses zapneme funkciu Show views (ukáž pohľady, obr. 4.3.18a). Objavia sa tri pohľady na teleso – top – pohľad zhora = pôdorys, front – pohľad spredu = nárys, right – pohľad z boku (myslíme vždy pohľad sprava) = bokorys (obr. 4.3.18b).

Obr. 4.3.18a Tlačidlo Show views Obr. 4.3.18b Zobrazenie pohľadov na teleso

Postavíme teleso ako na obrázku 4.3.19. Postavené teleso môžeme v programe otá-čať a presvedčiť sa tak, že pôdorys, nárys a bokorys sú správne vykreslené.

Obr. 4.3.19 Kockové teleso



prEcviČovaniE a upEvňovaniE uČiva zápis kockového tElEsa pomocou pôdorysu, nárysu a bokorysu

úLOHA 15

Načrtnite teleso dané nárysom, pôdorysom, bokorysom. Skontrolujte svoje riešenie v programe.

Nárys pôdorys bokorys

RIEŠENIE

(s postupom práce v programe)

V programe Building houses si najprv nakreslíme pôdorys ako prvé podlažie:

Obr. 4.3.20 Prvý krok - stavba telesa podľa pôdorysu

Vidíme, že v náryse aj bokoryse sa objavila chyba, tak odoberieme kocky a pridáme ich na druhé poschodie. Skúšame, kým nedostaneme teleso s danými pohľadmi.



Obr. 4.3.21 Dokončenie stavby podľa nárysu a bokorysu

úLOHA 16

Postavte telesá podľa daných plánov, zakreslite a porovnajte ich nárysy, pôdorysy a bokorysy.

teleso 1 - žlté teleso 2 – modré

2 3 2 2 3 2

2 1 1 1 2 1

1 1

RIEŠENIE

Postavíme telesá ako na obrázku 4.3.22.

Obr. 4.3.22 Telesá k úlohe 16



zakreslíme ich nárys, pôdorys, bokorys.

Nárys Nárys

Pôdorys Pôdorys

Bokorys Bokorys

Pri porovnaní oboch telies vidíme, že dve rôzne telesá môžu mať rovnaký nárys, pôdorys a bokorys. Týmito troma pohľadmi teda nie je teleso jednoznačne určené.

úLOHA 17

Postavte teleso podľa daných pohľadov.

Nárys Pôdorys Bokorys



RIEŠENIE

V riešení na obrázku 4.3.23 uvádzame každú kocku inou farbou, aby bolo viditeľné, kde kocky nie sú.

Obr. 4.3.23 Kockové teleso

úLOHA 18

Postavte teleso podľa daných pohľadov. Koľko najmenej kociek potrebujete? Koľko najviac kociek môžete použiť?

Nárys Pôdorys Bokorys

RIEŠENIE

Obr. 4.3.24 Kockové teleso v programe Building houses

Najmenší počet kociek, ktoré potrebujeme na stavbu telesa je 23, najväčší počet je 26 kociek.



AJ TAKTO sA TO DÁ

Podobné zadania sú vytvorené v programe Building houses with side views (http://www.fi.uu.nl/toepassingen/02015/toepassing_wisweb.en.html). Ponúka nám 10 úloh, v ktorých podľa daných pohľadov máme postaviť teleso. za správne riešenie dostaneme 5 bodov. Ak použijeme čo najmenej kociek, môžeme dostať až 10 bodov. Treba však upozorniť, že v programe ako správne riešenie za 10 bodov sú telesá z kociek, ktoré nemusia spĺňať vlastnosti kockových telies.


Nasledujúce úlohy sú zamerané nielen na rozvoj priestorovej predstavivosti, ale aj kombinatorického myslenia žiakov.

úLOHA 19

Koľko rôznych kockových telies viete postaviť z 3 kociek? Takéto telesá nazývame trikuby.

RIEŠENIE

2 rôzne telesá:

teleso A teleso B

Obr. 4.3.25 Kockové telesá z troch kociek - trikuby

úLOHA 20

Koľko rôznych kockových telies viete postaviť zo 4 kociek? Takéto telesá nazývame tetrakuby.

RIEŠENIE

8 rôznych telies:

teleso 1 teleso 2 teleso 3 teleso 4



teleso 5 teleso 6 teleso 7 teleso 8

Obr. 4.3.26 Kockové telesá zo štyroch kociek - tetrakuby

ZAMYsLITE sA

Ako voľné pokračovanie tohto učiva je možná aktivita SOMA KOCKA. Poskladáme ju vynechaním niektorých dielov trikubov a tetrakubov.

AJ TAKTO sA TO DÁ

Alternatívou k programu Building houses môže byť aj program Cabri 3D, ktorý umožňuje stavbu kockových telies. Postačí, ak si vytvoríme teleso kocka, a program nám hneď ponúka prikladať kocku na ďalšie steny už existujúcej kocky. Na obrázku vidíme prostredie programu Cabri 3D pri stavbe kockového telesa.

Obr. 4.3.27 Prostredie Cabri 3D



4.3.2 hranol, objem hranola, povrch hranola



Zavedieme pojem hranol a odvodíme vzorec na výpočet objemu a povrchu kolmého a šikmého hranola 8. ročník ZŠ



• porozumieť pojmom hranol, vrchol, hrana, stena, podstava, bočné steny hranola, kolmý hranol, šikmý hranol

• určiť počet vrcholov, hrán, stien a počet bočných stien hranola u n-bokého hra-nola

• načrtnúť obrázok n-bokého hranola

• porozumieť vzorcu na výpočet objemu hranola, vedieť ho vypočítať

• skúmať vzťah medzi objemom kolmého a šikmého hranola

• porozumieť vzorcu na výpočet povrchu hranola, vedieť ho vypočítať

• skúmať vzťah medzi objemom a povr-chom hranola

• vie vypočítať obsah trojuholníka

• pozná trojuholníky, ktoré nie sú zhodné, ale majú rovnaký ob-sah, vie uviesť príklady takých trojuholníkov

• vie vypočítať obsah mnohouhol-níka rozdelením na trojuholníky

• rozumie pojmu teleso, objem a povrch telesa, pozná jednotky objemu

• vie narysovať obraz kvádra a kocky vo voľnom rovnobežnom premietaní

• vie vypočítať objem a povrch kvádra a kocky



• kľúčovú kompetenciu modely a mode-lovanie pri vytváraní správnej predstavy o pojme hranol, pri odvodzovaní vzťahu na výpočet objemu a povrchu hranola, pri skúmaní vzťahov medzi objemom kolmého a šikmého hranola a pri skú-maní vzťahov medzi objemom a povr-chom hranola

• Pri pojme hranol je pre žiakov náročné rozlíšiť čo je podstava a čo je bočná stena. zameriame sa tiež na dôkladné porozumenie vzorcov na výpočet objemu a po-vrchu hranola.

• Využitie IKT umožňuje efektívne skúmať vzťahy medzi objemami už známych telies (kocka a kvá-der) a objemami n-bokých hra-nolov.



• počítač s dataprojektorom, resp. inte-raktívna tabuľa, s výkresmi v Cabri 3D (stačí demo verzia)

• hlasovacie zariadenia a počítač pre kaž-dého žiaka, resp. pre dvojicu žiakov

• modely rôznych telies


• práca v skupinách



úvod k mEtodikE

Vyučovacia jednotka je zameraná na zavedenie pojmu hranol a objavenie vzorcov na výpočet objemu a povrchu kolmého a šikmého hranola. Pri objavovaní vzorcov budú, kvôli vizualizácii objektov, ktoré sú predmetom skúmania, využívané applety vytvorené v Cabri 3D Geometrii. Navrhujeme tiež využívať reálne modely hranolov. Vo vyučovacej jednotke budú na overenie, či žiaci do hĺbky porozumeli novozavede-ným pojmom a skúmaným vzťahov, použité hlasovacie zariadenia, ktoré poskytujú učiteľovi okamžitú spätnú väzbu. Pri otázkach na hlasovanie navrhujeme učiteľovi postupovať v súlade s metódou Peer Instruction, ktorá je popísaná v časti 1.2.4 tejto publikácie. Žiaci teda najprv hlasujú samostatne, nasleduje diskusia v skupinách a potom opätovné hlasovanie. Po druhom hlasovaní učiteľ vysvetlí správnu odpoveď, a ak je to potrebné, dá žiakom ešte náhradnú úlohu.

Vyučovacia jednotka pozostáva z troch častí: 1. Hranol a objem kolmého hranola, 2. Objem šikmého hranola, 3. Povrch hranola. Po objavení vzorcov na výpočet sa budeme zaoberať aj optimalizačnými úlohami, ktoré súvisia s pojmami objem a po-vrch hranola, napr. ktorý hranol má pri minimálnom povrchu maximálny objem. Úlohy tohto typu umožňujú ukázať žiakom prepojenie matematiky s každodenným životom.

K vyučovacej jednotke sú na projektovom portáli k dispozícii applety vo formáte cg3, pre tých učiteľov a žiakov, ktorí majú nejaké skúsenosti s programom Cabri 3D. Pre učiteľov, ktorí s programom nemajú dostatočné skúsenosti sú pripravené applety vo formáte html. K týmto appletom je potrebný len internetový prehliadač. Ich nevý-hodou je obmedzená možnosť modifikácie.

hranol a objEm kolmého hranola

úLOHA 1

Otvorte si výkres telesa.cg3 (obr. 4.3.28). Vidíte tam rôzne telesá, ktoré z nich by ste označili slovom hranol? Vyberte si jednu z odpovedí:

Hlasovanie

A: žlté

B: žlté a fialové

C: žlté, zelené a fialové

D: žlté, zelené, fialové a modré

E: všetky


Úvodná úloha je zameraná na zistenie intuitívnej predstavy žiakov o pojme hranol. Učiteľ si na základe odpovedí žiakov vytvorí obraz o predstavách žiakov, ktoré po-tom môže modifikovať. Na záver riešenia úlohy spoločne so žiakmi definuje pojem hranol ako teleso, ktorého horná a dolná podstava sú rovnaké mnohouholníky, bočné steny sú obdĺžniky, bočné hrany sú rovnobežné, môže rozlíšiť kolmý a šikmý hranol. Učiteľ vysvetlí pojem vrchol, hrana, podstava hranola a stena hranola a po-menovanie n-boký hranol, využíva pri tom poznatky, ktoré už žiaci majú z predchá-dzajúceho učiva o kockách a kvádroch.



Obr. 4.3.28 Ktoré teleso je hranol?

úLOHA 2

Otvorte si výkres hranoly.cg3 (obr. 4.3.29) a zapíšte, koľkoboké hranoly sú na ob-rázku, koľko majú vrcholov, koľko majú hrán a stien. Napríklad: Červený hranol je 4-boký hranol. Má 8 vrcholov, 12 hrán a 6 stien.


Úloha je zameraná na overenie, či žiaci porozumeli pojmom: podstava hranola, bočné steny hranola, vrchol hranola, hrana hranola. Žiaci môžu v applete manipulo-vať s objektom (otáčať ho a posúvať) a vytvoriť si tak lepšiu predstavu o hranoloch. Ak je to potrebné môže učiteľ použiť ďalšie obrázky hranolov. Navrhujeme tiež po-užiť reálne priestorové modely telies, s ktorými môžu žiaci manipulovať.

Obr. 4.3.29 Určte počet vrcholov, stien a hrán

úLOHA 3

V učebnom systéme Planéta vedomostí si spustite časť Matematika II ZŠ, XVI. Vzdialenosti v rovine a v priestore, 97. Objem a povrch hranola, list 5 – Zostrojte svoj vlastný hranol. Zostrojte 3-boký, 4-boký a 5-boký hranol. Po narysovaní každého hranola urobte kópiu obrazovky (kláves Printscreen) a skopírované obrázky vložte do súboru Hranoly_Menoziaka.doc.



Obr. 4.3.30 Obraz hranola vo voľnom rovnobežnom premietaní


Využitie IKT v tejto úlohe výrazne uľahčuje žiakovi rysovanie hranola tým, že po na-rysovaní podstavy sa útvar automaticky zobrazí vo voľnom rovnobežnom premie-taní. Pomáha tak vytvárať u žiaka intuitívnu predstavu o tom, ako má vyzerať správny nákres. Navrhujeme, aby na záver žiaci narysovali aspoň jeden hranol do zošita a otestovali si tak svoju zručnosť bez použitia počítača.

úLOHA 4

Otvorte si výkres kvader.na.hranoly.cg3 (obr. 4.3.31). Vypočítajte objem kvádra na obrázku. Posúvaním bodu X rozdelíte kváder na dva trojboké hranoly. Čo vieme povedať o vzniknutých hranoloch? Aký je objem 3-bokých hranolov?

Zmeňte rozmery podstavy kvádra posúvaním červených bodov v dolnej podstave kvádra a vypočítajte: obsah podstavy kvádra, objem kvádra, obsah podstavy trojbo-kého hranola a objem 3-bokých hranolov ak ich výška je:

a) 1 cm

b) 2 cm

c) 3 cm

d) 4 cm

e) 5 cm (výšku kvádra zmeníte posúvaním bodu y)

Výsledky svojich výpočtov zapíšte do pracovného zošita objemKvadra.xls (obr. 4.3.32).

Porovnajte čísla, ktoré vyjadrujú obsah podstavy a objem hranola. Čo ste si všimli?



Obr. 4.3.31 Objem pravouhlého trojbokého hranola


Prostredníctvom appletu si žiaci vedia lepšie predstaviť, že objem trojbokého hra-nola, ktorého podstava je pravouhlý trojuholník je rovný polovici objemu kvádra. Tento poznatok využívajú pri výpočte objemu trojbokého hranola. Výsledky výpoč-tov zapisujú do pracovného zošita v Microsoft Exceli, ktorý automaticky kontroluje správnosť výpočtov.

Obr. 4.3.32 Pracovný list v programe Microsoft Excel

Posledná otázka v znení úlohy by mala žiakom pomôcť uvedomiť si, že objem kvádra a trojbokého pravouhlého hranola môžeme vypočítať tak, že obsah podstavy vyná-sobíme výškou hranola.



Vzťah, že objem pravouhlého trojbokého hranola sa rovná súčinu obsahu podstavy a výšky tohto hranola, môže učiteľ precvičiť na niekoľkých úlohách bez použitia IKT.

úLOHA 5

Otvorte si výkres 3hranol_objem.cg3 (obr. 4.3.33).

Pozorujte ako sa menia namerané a vypočítané hodnoty.

a) Posúvajte bod B, ktoré hodnoty sa menia?

b) Posúvajte bod A, ktoré hodnoty sa menia?

c) Posúvajte bod Y, ktoré hodnoty sa menia?

d) Posúvajte bod X, ktoré hodnoty sa menia?

e) Posúvajte bod C, ktoré hodnoty sa menia?

Vysvetlite svoje pozorovania.


Žiaci by si mali všimnúť, že ak zachovávame obsah podstavy (posúvanie bodu C) a výšku hranola, tak objem telesa sa nezmení. Objem pravouhlého trojbokého hranola je teda rovnaký ako objem iného trojbokého hranola, ktorý má rovnaký obsah podstavy. Pri výpočte objemu všeobecného trojbokého hranola môžeme postupovať rovnako ako pri výpočte objemu pravouhlého trojbokého hranola, teda vypočítame obsah podstavy a vynásobíme ho výškou.

Obr. 4.3.33 Objem trojbokého hranola



Na vyučovacej hodine by po tejto úlohe mali nasledovať štandardné úlohy, prostred-níctvom ktorých by si žiaci precvičili postup pri výpočte objemu trojbokého hranola podľa odvodeného vzťahu.

úLOHA 6

Otvorte si výkres 5hranol.na.hranoly.cg3 (obr. 4.3.34). Pozorujte, že každý 5-boký hranol sa dá rozložiť na trojboké hranoly (posúvaním bodov 1, 2 a 3, ktoré sa na za-čiatku nachádzajú v spoločnom bode troch žltých priamok).

a) Použitím nástroja objem vypočítajte objem 5-bokého hranola ako súčet obje-mov vzniknutých trojbokých hranolov. Výsledky zapíšte do zošita.

b) Vypočítajte objem 5- bokého hranola ako súčin obsahu podstavy 5-bokého hranola (nástroj Povrch/Obsah a ukázanie na zvýraznenú podstavu 5-bokého hranola) a výšky hranola. Výsledky zapíšte do zošita.

c) Zmeňte rozmery podstavy päťbokého hranola a jeho výšku (posúvaním čer-vených bodov v podstave päťbokého hranola a bodu Y) a pozorujte výsledky oboch spôsobov výpočtu.

d) Porovnajte výsledky oboch spôsobov výpočtu. Čo ste zistili? Vysvetlite.

Na základe pozorovaní zapíšte, ako môžeme postupovať pri výpočte objemu hra-nola, ak poznáme obsah podstavy a výšku hranola.

Obr. 4.3.34 Objem hranola


Žiaci by mali zistiť, že obidva spôsoby výpočtu vedú k rovnakému výsledku. Šikovnejší z nich by si mali uvedomiť, že obidva výpočty sú ekvivalentné. Žiaci totiž už v predchádzajúcom učive nadobudli nejaké skúsenosti s distributívnym záko-nom, ktorý sa tu využíva a odôvodnia napr.: „V prvom výpočte vynásobíme obsah podstavy každého 3-bokého hranola výškou a v druhom obsah celej podstavy (čo je súčet obsahov podstáv 3-bokých hranolov) výškou“. Na základe riešenia úlohy zavedieme vzorec na výpočet objemu n-bokého hranola ako súčinu obsahu pod-stavy a výšky.



Objavený vzťah je vhodné so žiakmi precvičiť počítaním štandardných úloh na výpo-čet objemu n-bokého hranola do zošita. Uvedieme príklad vhodnej úlohy.

úLOHA 7

Na obrázku 4.3.35 je teleso, ktorého objem je:

Hlasovanie

A: 1350 dm3

B: 1950 dm3

C: 750 dm3

D: 3250 dm3

E: Zo zadaných údajov nevieme bez dodatočného merania objem telesa určiť.

Obr. 4.3.35 Správna identifikácia podstavy pri výpočte objemu


Úloha je zameraná na správnu identifikáciu podstavy hranola pri výpočte objemu. častou miskoncepciou u žiakov je stotožnenie podstavy so stenou, na ktorej je hranol položený.

objEm šikmého hranola

Nasledujúce úlohy sú zamerané na objavenie vzorca na výpočet objemu šikmého hranola. Po vyriešení úloh by mali žiaci intuitívne naformulovať Cavalieriho princíp, ktorý hovorí: Ak pre dve telesá existuje taká rovina, že každá s ňou rovnobežná rovina pretína obidve telesá v rovinných útvaroch s rovnakými obsahmi, tak majú tieto telesá rovnaký objem.



úLOHA 8

Otvorte si výkres 3hranol.kolmy.sikmy.cg3 (obr. 4.3.36). Predstavte si, že máte nádoby takého istého tvaru ako na obrázku. Čo myslíte, do ktorej nádoby sa zmestí viac vody? Pred odpoveďou na otázku môžete manipulovať s útvarmi (meniť výšku hladiny vody posúvaním bodu Y, meniť tvar podstavy posúvaním bodov v podstave modrého hranola, „prilepiť“ podstavy oboch hranolov k sebe posúvaním bodu X, meniť zošik-menie zeleného útvaru pohybovaním bodu Pohyb v hornej podstave hranola).

Hlasovanie

A: Do modrej.

B: Do zelenej.

C: Do oboch rovnako.

D: Nedá sa rozhodnúť na základe údajov, ktoré máme.

E: Závisí to od výšky hladiny vody, resp. od tvaru podstavy nádoby.

Obr. 4.3.36 Objem trojbokého šikmého hranola

úLOHA 9

Otvorte si výkres 4hranol.kolmy.sikmy.cg3 (obr. 4.3.37). Predstavte si, že máte nádoby takého istého tvaru ako na obrázku. Čo myslíte, do ktorej nádoby sa zmestí viac vody?

Hlasovanie

A: Do modrej.

B: Do fialovej.






Obr. 4.3.37 Objem štvorbokého šikmého hranola

úLOHA 10

Otvorte si výkres 5hranol.kolmy.sikmy.cg3 (obr. 4.3.38). Predstavte si, že máte nádoby takého istého tvaru ako na obrázku. Čo myslíte, do ktorej nádoby sa zmestí viac vody?

Hlasovanie

A: Do tyrkysovej.

B: Do hnedej.




Obr. 4.3.38 Objem päťbokého šikmého hranola




Navrhujeme, aby tieto úlohy žiaci riešili nasledovne:

• Žiaci najprv hlasujú samostatne o úlohe 8.

• Diskusia v skupinách a opätovné hlasovanie k úlohe 8.

• Učiteľ zobrazí výsledky hlasovania.

• Žiaci hlasujú samostatne o úlohe 9.


• Učiteľ zobrazí výsledky hlasovania. zatiaľ neprezradí správnu odpoveď, že objem oboch hranolov je rovnaký. Ak je po tomto hlasovaní veľa odpovedí nesprávnych učiteľ môže na objasnenie situácie použiť napr. 10 rovnakých mincí alebo balíček kariet (pozri obrázok 4.3.39). Žiakom položí otázku: „zmenil sa objem mincí (kariet v balíčku) zošikmením, poposúvaním jednot-livých mincí (kariet)?“

Obr. 4.3.39 Cavalieriho princíp (prebrané zo stránky http://en.wikipedia.org/wiki/File:Cavalieri %27s_principle.jpg)

• Žiaci hlasujú samostatne o úlohe 10.


• Nasleduje vysvetlenie správneho riešenia úloh 8 až 10.

úLOHA 11

Otvorte si výkres hranoly.sikme.cg3 (obr. 4.3.40). Na základe pozorovaní, skúste sformulovať, ako by sme mohli vypočítať objem šikmého hranola, ak poznáme obsah podstavy a výšku hranola.



Obr. 4.3.40 Objem šikmého hranola


Na základe skúseností z riešenia predchádzajúcich úloh by žiaci mali naformulovať vzorec pre výpočet objemu šikmého n-bokého hranola ako súčinu obsahu pod-stavy a výšky hranola. Učiteľ môže na záver zaradiť úlohy na precvičenie objave-ného vzorca na výpočet objemu šikmého hranola.

povrch hranola

úLOHA 12

Otvorte si výkresy povrch.hranola3.cg3, povrch.hranola4.cg3, povrch.hranola5.cg3 (obr. 4.3.41) a pomocou nástrojov „Sieť mnohostena“ a „Obsah“ vypočítajte povrch hranolov.

Obr. 4.3.41 Povrch hranola




Žiaci by si mali výsledky svojich výpočtov zapisovať do zošita. Po vyriešení úlohy 12 môže učiteľ zaradiť štandardné úlohy na výpočet povrchu hranola.

úLOHA 13

Posúďte pravdivosť tvrdenia: Povrch hranola vypočítame tak, že spočítame obsah steny, na ktorej je hranol položený, vynásobíme ho dvomi a pripočítame obsahy zvyšných stien.

Hlasovanie

Pravda - nepravda


Žiaci by si mali uvedomiť, že ak je hranol položený na bočnej stene, tak tvrdenie neplatí. Vo formulácii je teda potrebné uviesť, že dvakrát započítavame obsah pod-stavy hranola a nie obsah steny, na ktorej je hranol položený. Na základe riešení predchádzajúcich úloh zovšeobecníme postup na výpočet povrchu hranola. Tento postup precvičíme na štandardných úlohách.

úLOHA 14

Na obrázku 4.3.35 (pri úlohe 7) je teleso, ktorého povrch je :

Hlasovanie

A: 2250 dm2

B: 958 dm2

C: 1283 dm2

D: 1158 dm2

E: Zo zadaných údajov nevieme bez dodatočného merania povrch telesa určiť.


Hlasovanie je opäť zamerané na to , aby si žiaci uvedomili, čo je podstava hranola na obrázku.

úLOHA 15

Otvorte si výkres 3hranol_povrch.cg3 (obr. 4.3.42). Posúďte pravdivosť tvrdenia: Povrch trojbokého hranola sa so zmenou polohy bodu C nemení.

Hlasovanie

Pravda - nepravda




Žiakom ukážeme, že v tomto prípade neplatí rovnaký vzťah ako pri objeme trojbo-kého hranola. Aj keď sa obsah podstavy opäť nemení (a teda ani objem hranola), menia sa obsahy bočných stien, ktoré ovplyvňujú celkový povrch. Učiteľ môže dať žiakom zistiť odpoveď na otázku: „Pre akú polohu bodu C bude mať trojboký hranol najmenší povrch?“ Ďalej môže učiteľ so žiakmi diskutovať o aplikáciách zistených vzťahov v praxi (výber telesa, ktorý má pri danom objeme minimálny povrch).

Obr. 4.3.42 Kedy sa mení povrch hranola

úLOHA 16

Dané sú dva hranoly s rovnakou podstavou a rovnakou výškou. Jeden je kolmý a druhý šikmý. Rozhodnite, čo platí pre povrchy telies.

Hlasovanie

A: Povrch kolmého hranola je väčší ako povrch šikmého hranola.

B: Povrch kolmého hranola je menší ako povrch šikmého hranola.

C: Povrch kolmého hranola je rovnaký ako povrch šikmého hranola.

D: Povrch kolmého hranola môže byť väčší, menší aj rovnaký ako povrch šikmého hranola, závisí to od konkrétnych údajov.

Obr. 4.3.43 Povrch kolmého a šikmého hranola




Po hlasovaní učiteľ vyzve žiakov, aby si otvorili výkres 5hranoly.povrchy.cg3 (obr. 4.3.43) a skúsili skúmať telesá vo výkrese. Ak väčšina žiakov odpovedala v úlohe 5 nesprávne, tak ich vyzve, aby hlasovali opätovne.

Na záver je opäť vhodné rozobrať myšlienku, ktoré telesá majú pri danom objeme minimálny povrch. So žiakmi môžeme diskutovať o tom, že v bežnom živote sa oveľa viac stretávajú s kolmými hranolmi. Jedným z dôvodov môže byť ich minimálny po-vrch pri danom objeme.

informaČné zdrojE

• HEJNÝ, M. – JIROTKOVá, D.: Krychlová tělesa. <citované dňa 12. 11. 2009>. online verzia: http://www.p-mat.sk/pytagoras/zbornik2005/032_HejnyJirotkova_KT.pdf

• KOPKA, J. (2006). zkoumaní ve školské matematice. Katolícka univerzita v Ružomberku, Ružomberok, ISBN 80-8084-064-4.

• PAVELOVá, E.: Priestorová predstavivosť a vyučovanie. <citované dňa 12. 11. 2009>. online verzia http://www.p-mat.sk/pytagoras/zbornik2003/zbornik2003.pdf

• PAVLOVIčOVá, G. – ŠVECOVá, V. (2009). Pracovné dielne z geometrie. Nitra: UKF. 102 s. ISBN 978-80-8094-566-4.

• POMyKALOVá, E. (2002). Matematika pro gymnáziá – Stereometrie. Prometheus, Praha.

• REPáŠ, V., čERNEK, P. (1999). Matematika pre 7. ročník zŠ. OrbisPictus Istropolitana, Bratislava.

• ŠEDIVÝ, O. a kol. (1998). Matematika pre 6. ročník základných škôl, 1. časť. 1. vydanie, Bratislava: SPN. ISBN 80-08-02677-4.

• ŠEDIVÝ, O. a kol. (2001). Matematika pre 6. ročník základných škôl, 2. časť. 2. vydanie, Bratislava: SPN. ISBN 80-08-03182-4.

• http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00249/toepassing_wisweb.en.html

• http://www.fi.uu.nl/toepassingen/02015/toepassing_wisweb.en.html



4.4 Pravdepodobnosť

V kapitole Pravdepodobnosť ponúkame dve pravdepodobnostné hry, ktoré pomôžu žiakom porozumieť pravdepodobnostným javom, s ktorými sa môžu stretnúť v každo-dennom živote. Navrhované vyučovacie jednotky požadujú, aby žiak mal skúsenosti s určovaním pravdepodobnosti jednoduchých javov a s pojmami istý a nemožný jav. Žiaci realizujú pokusy, zaznamenávajú ich výsledky a vytvárajú si predstavu o prav-depodobnosti javov.

Pripravené vyučovacie jednotky umožňujú využiť IKT v nasledujúcich situáciách:

• zdieľanie výsledkov (spracovanie získaných údajov v tabuľkách Google)

• okamžitá spätná väzba (výsledky náhodného pokusu v tabuľkách Google, vý-sledky hlasovania pri použití hlasovacích zariadení)

• modelovanie náhodného pokusu (excelet v programe Microsoft Excel)

V kapitole sa nachádzajú dva návrhy metodík:

1. Na koľký pokus padne číslo 6?

2. Problém Montyho Halla

V metodike Na koľký pokus padne číslo 6 žiaci na začiatku odhadujú pravdepo-dobnosť javu „na koľký pokus padne na hracej kocke číslo 6“. Keďže väčšina žiakov má s týmto javom skúsenosti, na ich základe vytvoria prvotný odhad. Následne sa realizujú pokusy a žiaci zaznamenávajú štatistické údaje. Na základe nových zistení upravujú svoj odhad.

Problém Montyho Halla je inšpirovaný televíznou show. Žiaci opäť odhadujú prav-depodobnosť udalosti a následne realizujú náhodné pokusy, ktoré vedú k disku-sii o správnosti prvotného odhadu. Diskusia, ktorá je tiež motivovaná hlasovaním na konceptuálne otázky, týkajúce sa študovanej problematiky, umožňuje rozvíjať pravdepodobnostné myslenie žiakov.

Obr. 4.4.1. Monty Hall v televíznej show



4.4.1 Na koľký pokus padne číslo 6?



Pravdepodobnostné hry a pokusy – odhad a výpočet pravdepodobnosti udalosti „Číslo šesť padne na n-tý pokus.“

8., 9. ročník ZŠ



• urobiť reálny odhad (v súvislosti s otáz-kou „Na koľký pokus najčastejšie padne na kocke číslo šesť?“) a zdôvodniť ho

• posúdiť hodnovernosť štatistického po-kusu, ktorý slúži na odhad pravdepo-dobnosti udalosti

• posúdiť, ktorá z udalostí je viac a ktorá menej pravdepodobná (na základe šta-tistického pokusu)

• porovnať svoj prvotný odhad so záve-rečným riešením problému, prípadne zdôvodniť ich rozdielnosť

• vie určiť pravdepodobnosť nie-ktorých jednoduchých javov (napr. pravdepodobnosť, že padne číslo 6 na klasickej hracej kocke)

• vie uviesť príklady istého a ne-možného javu

• dokáže realizovať zber údajov a zapísať ich do tabuľky pri jed-noduchých pravdepodobnost-ných experimentoch (hod koc-kou, hod mincou a pod.)

• má skúsenosti s prácou s hlaso-vacími zariadeniami



• kľúčovú kompetenciu preskúmanie a organizovanie informácie zamerané na analýzu údajov a vzťahov medzi ob-jektmi, formulovanie hypotéz

• modely a modelovanie pri využívaní po-čítačových simulácií náhodných javov

• Posúdenie zložitejších udalostí z pravdepodobnostného po-hľadu je pre žiaka často náročné; je potrebná diskusia medzi žiakmi, viacnásobná realizácia pokusu a štatistické zaznamená-vanie výsledkov.

• Využitie hlasovacích zariadení poskytuje učiteľovi aj žiakovi okamžitú spätnú väzbu o odhade žiakov, na základe toho dokáže lepšie riadiť diskusiu, voliť vhodné príklady, realizovať experimenty.



• pracovné listy s úlohami a hracie kocky

• počítač s dataprojektorom


• applet v programe Microsoft Excel


• práca v skupinách a vo dvojiciach pri počítačoch, zameraná na vyu-žitie počítačových simulácií



úvod k mEtodikE

Azda každý sa stretol s hrou Človeče, nehnevaj sa a v rozpore s názvom hry sa hne-val, prečo mu nechce konečne padnúť na kocke číslo šesť. Ako to teda je? Na koľký pokus najčastejšie padne na kocke číslo šesť?

začiatok tejto hry je všeobecne známy: štyri figúrky v domčeku, v ruke kocka. Dostať figúrku z domčeka do hry nie je zložité, stačí hodiť na kocke číslo šesť. Máme na to tri pokusy. Je to dosť? často sa sťažujeme, že málo. Tá šestka nie a nie padnúť. Problém ako vyšitý pre vyučovanie pravdepodobnosti na hodinách matematiky je na svete: „Kedy najčastejšie padá na kocke šestka?“.

• čo si o tom myslia žiaci?

• Aký je ich prvotný odhad?

• No iba odhad nestačí. Aká je realita?

• čo tak vyskúšať si to naživo a hádzať kockou? Tých pokusov by však malo byť dosť veľa, aby to bolo štatisticky hodnoverné. Ako to teda zorganizovať?

• V triede je celkom slušné množstvo žiakov, a keď každý z nich bude nejaký čas hádzať kockou, spolu sa zozbiera štatisticky nezanedbateľný počet štatistických údajov. Sú tieto výsledky pre žiakov hodnoverné?

• Ak ich hodnovernosť (kvôli nepostačujúcemu počtu štatistických údajov) nie je do-statočná, môžeme si pomôcť simuláciou hádzania kockou v programe Microsoft Excel .

• Vedia tieto štatistické výsledky žiaci aj zdôvodniť vhodným matematickým apa-rátom?


Kvôli lepšej názornosti môžeme na hodinu doniesť hru Človeče, nehnevaj sa. Spolu so žiakmi si pripomenieme pravidlá hry a vovedieme ich do problému.

úLOHA 1

Odhadnite, na koľký pokus padá na kocke najčastejšie číslo šesť?

Hlasovanie

A: Na prvý.

B: Na druhý.

C: Na každý pokus je to rovnako.

D: Ani jedna z vyššie uvedených možností nie je správna.




Každej dvojici žiakov rozdáme pracovný list. Vyzveme žiakov, aby do pracovného listu zapísali svoj prvý odhad, ktorý by odrážal ich skúsenosť pri hádzaní kockou. (Každý žiak z dvojice zapíše svoj vlastný odhad.) Vyzveme ich, aby sa pokúsili na-písať, na základe čoho odpovedali tak, ako odpovedali. Potom necháme žiakov hlasovať pomocou hlasovacích zariadení. Následne im umožníme predniesť svoje odhady a dôvody pred celou triedou a necháme ich diskutovať. Po diskusii polo-žíme kontrolnú otázku.

úLOHA 2

Na koľký pokus môže padnúť na kocke číslo šesť?

Hlasovanie

A: Na prvý, alebo druhý, alebo tretí, alebo štvrtý, alebo piaty, alebo šiesty.B: Na ľubovoľný.


Touto otázkou si overíme, či žiaci chápu zadaný problém. či si nezamieňajú pora-die pokusu, pri ktorom padne na kocke číslo šesť, s číslom, ktoré v danom hode na kocke padne. Prípadne vyzveme jedného žiaka, aby pred celou triedou hádzal kockou dovtedy, kým na nej padne číslo šesť. Spolu s celou triedou tieto pokusy počítame. Ďalšou úlohou riešený problém trochu zúžime.

úLOHA 3

Odhadnite, na koľký pokus padá na kocke častejšie číslo šesť, na prvý alebo na druhý?

Hlasovanie

A: Na prvý.B: Na druhý.C: Rovnako.


Predpokladáme, že väčšina žiakov odpovie nesprávne C. zatiaľ im však správnu odpoveď neprezradíme, nasledujúca úloha im viacej nabúra ich predstavy.

úLOHA 4

Odhadnite, na koľký pokus padá na kocke častejšie číslo šesť, na prvý alebo na tridsiaty?

Hlasovanie

A: Na prvýB: Na tridsiaty.C: Rovnako.




Tu už mnohí spozornejú, vylúčia možnosť B aj C a ostane im možnosť A, čo je správna odpoveď na položenú otázku. Žiaci sú už dostatočne vtiahnutí do prob-lému. Navrhneme vyskúšať si hádzanie kockou v praxi. Každej dvojici rozdáme hraciu kocku. Žiaci budú vo dvojiciach získavať a zaznamenávať štatistické údaje.

úLOHA 5

Hádžte kockou dovtedy, kým vám na nej padne číslo šesť. Počítajte, na koľký pokus sa tak stane. Poradie tohto pokusu zapíšte do tabuľky. Takto hádžte 5 minút a všetky údaje zaznamenajte do tabuľky.


Uvádzame niekoľko možných údajov, ktoré môže obsahovať tabuľka:

Poradie hodu, pri ktorom padlo na kocke číslo 6

3, 2, 14, 1, 3, 4, 4, 3, 4

úLOHA 6

Prepíšte údaje z tabuľky k úlohe 5 do tabuľky v Google dokumentoch.

Obr. 4.4.2 Poradie hodu, pri ktorom padlo na kocke číslo 6




Tabuľku v Google dokumentoch vopred pripraví učiteľ a zabezpečí jej zdieľanie pre všetkých žiakov v triede. Každá dvojica žiakov zaznamená výsledok do pripra-venej tabuľky. Navrhujeme nasledovný postup:

• Vyzveme všetky dvojice, aby si spočítali, koľkokrát majú v tabuľke z úlohy 5 napísané číslo 1 (toto číslo odpovedá počtu tých pokusov, v ktorých padlo číslo šesť na prvýkrát).

• Následne si toto číslo každá dvojica zaznamená do tabuľky do stĺpca, ktorý je vytvorený pre každú skupinu. Vytvorená tabuľka automaticky spočíta sumu hodnôt za všetky skupiny.

• Vyzveme všetky dvojice, aby si spočítali, koľkokrát majú v tabuľke „Poradie hodu...“ napísané číslo 2 (toto číslo zodpovedá počtu tých pokusov, v ktorých padlo číslo šesť na druhýkrát).

• Ďalej opakujeme všetko tak ako v predchádzajúcom prípade.

• Od istého čísla sa začnú čoraz častejšie objavovať nuly. Vtedy už iba vyzveme, aby každá dvojica povedala, aké ďalšie čísla má ešte zapísané. Ich počet za-píšeme aj na tabuľu.

• Na záver môžeme ešte doplniť výsledky pokusov realizovaných pomocou ex-celetu (pozri obrázok 4.4.3).

Obr. 4.4.3 Excelet Na koľký pokus padne 6



úLOHA 7

Odhadnite, na koľký pokus padá na kocke najčastejšie číslo šesť?

Hlasovanie

A: Na prvý.

B: Na druhý.

C: Na každý pokus je to rovnako.

D: Ani jedna z vyššie uvedených možností nie je správna.


Táto úloha má rovnaké zadanie ako úloha 1. Tentoraz však už žiaci majú pred se-bou súbor štatistických údajov súvisiacich s daným problémom a vyriešili pomocné úlohy, ktoré im mohli nabúrať predstavy. Väčšinou sú tieto údaje postačujúce na to, aby žiaci videli, že najčastejšie padá na kocke číslo šesť na prvýkrát. Preto sa dá očakávať zmena ich odhadu. Vyzveme ich, aby napísali aj dôvod svojho odhadu.

matEmatické vyriEšEniE problémovEj situáciE

Nasledujúca časť metodiky je určená predovšetkým pre nadaných žiakov a smeruje k vyčísleniu pravdepodobnosti skúmaného javu.

úLOHA 8

Vypočítajte pravdepodobnosť, že číslo šesť padne na kocke na prvýkrát.


Predpokladáme, že s výpočtom tejto pravdepodobnosti nebudú mať žiaci veľké problémy. Keďže počet všetkých možných javov je 6 (na kocke môžu padnúť čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6), z toho je len jeden jav priaznivý (keď na kocke padne číslo 6), tak pravdepodobnosť, že číslo šesť padne na kocke na prvýkrát, je 1/6. Táto úloha zároveň slúži na zopakovanie výpočtu pravdepodobnosti javu.

úLOHA 9

Vypočítajte pravdepodobnosť, že číslo šesť padne na kocke na druhýkrát.

Hlasovanie

A: 5/6 + 1/6

B: 5/6 . 1/6

C: 1/5

D: 1/12

E: 1/6




Tu už predpokladáme väčšiu rôznorodosť riešení. Necháme ich najprv napísať do pracovného listu svoj odhad, prípadne ho zdôvodniť. Potom umožníme žiakom hlasovať za jednu z nasledujúcich možností.

Po hlasovaní žiakom umožníme pred celou triedou zdôvodniť svoje tipy. Ak má niekto iný návrh na výpočet tejto pravdepodobnosti, rozoberieme aj tú možnosť. Riadenou diskusiou vylúčime niektoré možnosti.

Možné situácie:

• Ak niekto hlasuje za možnosť E, môže argumentovať napríklad tým, že prvý hod neovplyvňuje druhý, preto obe možnosti majú rovnakú pravdepodobnosť. Protiargument: Ak v prvom hode padne číslo šesť, druhý hod sa už nekoná, preto nie je pravda, že prvý hod neovplyvňuje druhý.

• Ak niekto hlasuje za možnosť D, jeho argument sa môže zakladať na tom, že si vyberáme len jednu možnosť spomedzi dvanástich (v prvom hode máme šesť možností výsledkov, v druhom tiež). Protiargument: Ktorá z týchto dvanástich mož-ností by bola tá správna?

• Ak sa niekto stotožní s možnosťou C, môže o všetkých možnostiach uvažovať takto:

- v prvom hode padne na kocke číslo 1 a zároveň v druhom hode padne na kocke číslo 6,




- v prvom hode padne na kocke číslo 5 a zároveň v druhom hode padne na kocke číslo 6.

Nie je mu však jasné, že týchto päť možností je vyhovujúcich spomedzi všet-kých 36.

• Pri výbere možností A, B žiaci môžu uvažovať nasledovným spôsobom. Na to, aby číslo šesť padlo na druhý pokus, nesmie padnúť na prvý pokus. Teda v pr-vom hode môže padnúť len päť čísel (1, 2, 3, 4, 5) spomedzi šiestich možností (1, 2, 3, 4, 5, 6). Potom pravdepodobnosť, že v prvom hode nepadne číslo 6, je 5/6. Pravdepodobnosť, že v druhom hode padne číslo šesť, je 1/6. Nemusí však žiakom byť jasné, že tieto dve pravdepodobnosti máme násobiť, teda že správna možnosť je B.



Nasleduje vysvetlenie (riadenou diskusiou). Najprv položíme dve pomocné otázky:

úLOHA 10

Aká je pravdepodobnosť, že na kocke padne číslo 6?

Hlasovanie

A: 1/2

B: 5/6

C: 1/6

D: 1/5


Nepredpokladáme žiaden problém s vyriešením tejto úlohy. Necháme ich najprv napísať do pracovného listu svoje riešenie, potom im umožníme hlasovať za jednu z nasledujúcich možností. Správna odpoveď je C.

úLOHA 11

Aká je pravdepodobnosť, že na kocke nepadne číslo 6?

Hlasovanie

A: 1/2

B: 5/6

C: 1/6

D: 1/5


Správna odpoveď je B. Spomedzi všetkých šesť možností (v ktorých môže na kocke padnúť jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6) je päť možností vyhovujúcich (kedy na kocke padnú čísla 1, 2, 3, 4, 5).

Vrátime sa k hľadaniu správneho riešenia úlohy: Aká je pravdepodobnosť, že číslo šesť padne na kocke na druhýkrát? Pomôžeme si nasledujúcim obrázkom. Modrou farbou je znázornená situácia po prvom hode: šestka padne s pravdepodobnosťou 1/6, nepadne s pravdepodobnosťou 5/6. (Vyplýva to z riešenia úloh 10, 11.)



Obr. 4.4.4 Vyčíslenie pravdepodobnosti javu „číslo 6 padne na kocke na 2. (3., 4., ...)-krát“

Nutnou podmienkou toho, aby mohol nastať druhý hod je, že číslo šesť nepadlo na kocke v prvom hode. To sa stalo s pravdepodobnosťou 5/6. Spomedzi 5/6 mož-ností (keď v prvom hode nepadlo číslo šesť) len v 1/6 padlo číslo šesť v druhom hode. Preto pravdepodobnosť, že číslo šesť padne v druhom hode, je 5/6 ⋅1/6=5/36.

úLOHA 12

Vypočítajte pravdepodobnosť, že číslo šesť padne na kocke na tretíkrát.

Hlasovanie

A: 5/6 + 5/6 + 1/6

B: 5/6 ⋅ 5/6 ⋅ 1/6

C: 5/6 + 1/6 +1/6

D: 5/6 ⋅ 1/6 ⋅ 1/6


Predpokladáme, že (po dôslednom vyriešení úlohy 9) táto úloha už žiakom nebude robiť veľké problémy. Správna odpoveď je B. Pri vysvetľovaní si môžeme opäť po-môcť predchádzajúcim obrázkom.



úLOHA 13

Vypočítajte pravdepodobnosť, že číslo šesť padne na kocke na štvrtýkrát.

Hlasovanie

A: 5/6 + 5/6 + 5/6 + 1/6

B: 5/6 ⋅ 5/6 ⋅ 5/6 ⋅ 1/6

C: 5/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6

D: 5/6 ⋅ 1/6 ⋅ 1/6 ⋅ 1/6



úLOHA 14

Aby ste lepšie posúdili, ktoré z vyššie vypočítaných pravdepodobností sú men-šie a ktoré väčšie, vyčíslite ich (pomocou kalkulačky) so zaokrúhlením na 4 desa-tinné miesta. Sformulujte záver vyplývajúci z týchto výpočtov, v ktorom odpoviete na otázku: „Na koľký pokus padá na kocke najčastejšie číslo šesť?“.


Pri riešení tejto úlohy nepredpokladáme žiadne problémy.

RIEŠENIE

• pravdepodobnosť, že číslo šesť padne na kocke na prvýkrát je: 1/6 ≈ 0,1667;

• pravdepodobnosť, že číslo šesť padne na kocke na druhýkrát je: 5/6 ⋅ 1/6 ≈ 0,1389;

• pravdepodobnosť, že číslo šesť padne na kocke na tretíkrát je: 5/6 ⋅ 5/6 ⋅ 1/6 ≈ 0,1157;

• pravdepodobnosť, že číslo šesť padne na kocke na štvrtýkrát je: 5/6 ⋅ 5/6 ⋅ 5/6 ⋅ 1/6 ≈ 0,0960.

z vyššie uvedených hodnôt vyplýva, že s najväčšou pravdepodobnosťou padne na kocke číslo šesť na prvýkrát.

Uvedomujeme si, že nie všetci žiaci sa musia stotožniť s týmto záverom. Môže sa stať, že štatistických údajov získaných hádzaním kocky nie je dostatočne veľa, prípadne, že rozdiel medzi počtom pokusov, v ktorých padlo číslo šesť na prvýkrát a počtom pokusov, v ktorých padlo číslo šesť na druhýkrát môže byť malý a tým málo dôve-ryhodný. Tu si môžeme pomôcť simuláciou hádzania kockou v programe Microsoft Excel, ktorý generované hody kockou zobrazí do prehľadných tabuliek.



4.4.2 Problém Montyho halla



Pravdepodobnosť – má udalosť, ktorá nastane po rea-lizácii náhodného pokusu, vplyv na pravdepodobnosť niektorých javov?

8., 9. ročník ZŠ



• rozumieť zneniu problému Montyho Halla, odhadnúť riešenie problému Montyho Halla a svoj odhad zdôvod-niť

• posúdiť hodnovernosť štatistického pokusu, ktorým sa zisťuje riešenie vyššie uvedeného paradoxu

• na základe štatistického pokusu po-súdiť, ktorý z daných javov je viac a ktorý menej pravdepodobný

• rozumieť zdôvodneniu, prečo sú nie-ktoré javy viac, iné zase menej prav-depodobné

• porovnať svoj prvotný odhad so zá-verečným riešením problému, odô-vodniť ich rozdielnosť

• rozumie pojmu pravdepodobnosť a vie vypočítať pravdepodobnosť niektorých udalostí, napr. pravdepo-dobnosť, že padne 6 pri hode hra-cou kockou, pravdepodobnosť, že padne znak pri hode mincou a pod.

• má skúsenosti s prácou s hlasova-cími zariadeniami



• kľúčovú kompetenciu preskúmanie a organizovanie informácie zamera-nej na analýzu údajov a vzťahov me-dzi objektmi, formulovanie hypotéz

• modelovanie náhodného pokusu pomocou počítačovej simulácie ná-hodného javu

• Rozriešiť Monty Hall paradox pomo-cou odhadovania, realizácie viace-rých pokusov, vyriešenia návodných úloh, prípadne pomocou počítačo-vej simulácie, ktorá nám urýchli celý proces.



• počítač a dataprojektor pre učiteľa

• počítače s prístupom na internet a hlasovacie zariadenia pre žiakov

• tri rovnaké predmety (napr. kocky) so značkou na jednom z nich (ná-lepkou na jednej stene) pre každú dvojicu žiakov

• pracovné listy s úlohami


• individuálna forma práce pri počíta-čoch zameraná na využitie počítačo-vých simulácií



úvod k mEtodikE

Problém Montyho Halla je úloha, ktorá bola nepriamo inšpirovaná televíznou šou Montyho Halla. Problém bol v roku 1975 publikovaný ako zaujímavá hračka v odbor-nom časopise American Statistician. Veľký záujem nevyvolala. No o pätnásť rokov neskôr sa úloha spolu s jednoduchým riešením objavila v stĺpčeku spoločenského magazínu Parade a vyvolala búrku polemík v laických aj odborných kruhoch. Úloha znela takto: Predstavte si, že ste v televíznej šou a môžete si vybrať jedny z troch dverí. Za jednými dverami je auto, za ostatnými sú kozy. Vyberiete si dvere, napr. dvere číslo 1. Moderátor (ktorý vie, kde je auto) otvorí jedny zo zvyš-ných dvoch dverí, za ktorými je koza (napr. dvere číslo 3). A potom sa spýta: „Nechcete zmeniť svoj výber a vybrať si radšej dvere číslo 2?“., Je výhodné zmeniť svoj výber?

čo si o tom myslia žiaci?

• Aký je ich „prvotný odhad“?

• No iba odhad nestačí. Aká je realita?

• čo tak vyskúšať si to naživo?

• Sú tieto výsledky pre žiakov hodnoverné?

• Ak ich hodnovernosť kvôli nepostačujúcemu počtu štatistických údajov nie je dostatočná, môžeme si pomôcť počítačovou simuláciou.

• Vedia tieto štatistické výsledky žiaci aj zdôvodniť vhodným matematickým apa-rátom?

• Keďže toto zdôvodnenie je pre žiakov náročné, môžeme si pomôcť vyriešením návodnej úlohy.

Považujeme za dôležité nepreskočiť fázu „skúšania naživo“ a začať hneď počítačo-vou simuláciou. Reálnym pokusom žiaci lepšie pochopia, ako funguje počítačová simulácia. Okrem toho žiaci môžu namietať, že to mohlo byť naprogramované tak, aby to vyšlo. Na druhej strane však reálnym pokusom nemusíme dostať postačujúce množstvo pokusov tak, aby to bolo aj štatisticky hodnoverné. V tom nám pomôže počítačová simulácia.


začneme rozprávaním o spomínanej televíznej šou Montyho Halla (cez dataprojektor vysvietime fotku zo spomínanej šou), pričom sformulujeme úlohu. Kvôli lepšej názor-nosti spustíme video, ktoré nám celú situáciu vizualizuje. Môžeme ho nájsť na stránke

http://www.youtube.com/watch?v=mhlc7peGlGg.

Toto video je v angličtine (v prípade potreby ho žiakom komentujeme). Pustíme z neho žiakom len jeho prvú časť, a to v trvaní 1:30. (Ďalej totiž nasleduje riešenie problému. To žiakom neprezrádzame, majú na to prísť sami.)



Obr. 4.4.5 Ilustračné video

AJ TAKTO sA TO DÁ

Namiesto spustenia videa (alebo na jeho doplnenie) môžeme predviesť jednu takú situáciu „naživo“ pred celou triedou. Použijeme pri tom pripravené pomôcky: tri rov-nako vyzerajúce predmety, pričom na jednom z nich je značka auta, na zvyšných dvoch sú značky kozy. zjednodušiť si to môžeme aj tak, že (ľubovoľná) značka bude iba na jednom z troch predmetov. Potom je jasné, že tento predmet odpovedá autu, zvyšné (neoznačkované) predmety znázorňujú kozy. Je vhodné vybrať predmety tak, aby bolo jasné, kde je predná strana (so značkou) a kde zadná. My sme si ich vyrobili z kociek stavebnice LEGO. Dvere si môžeme nakresliť na hárok čistého papiera. (Tie už neskôr pri simulácii problému žiakmi nie sú potrebné.)

Obr. 4.4.6 Troje „dverí“

zamiešame všetky tri predmety a náhodne ich rozmiestnime do troch dverí tak, aby značku videl iba vyučujúci, nie žiaci. Tým určíme, za ktorými dverami je auto a za kto-rými sú kozy. Potom vyzveme niekoho z triedy, aby si zatipoval, za ktorými dverami je auto. Tento tip zapíšeme na tabuľu a „otvoríme“ jedny zo zvyšných dvoch dverí, za ktorými je koza. (Otočíme predmet tou stranou k žiakom, na ktorej by mala byť značka.) Následne vyzveme žiaka z triedy, či nechce svoj pôvodný tip zmeniť. Jeho rozhodnutie zapíšeme na tabuľu a „otvoríme“ dvere, za ktorými je auto. Ak žiaci po-chopili problém, každej dvojici rozdáme pracovný list a trojicu predmetov. Môžeme prejsť k prvej úlohe.



úLOHA 1

Predstavte si, že ste v televíznej šou a môžete si vybrať jedny z troch dverí. Za jed-nými dverami je auto, za ostatnými sú kozy. Vyberiete si dvere, povedzme, že dvere číslo 1. Moderátor (ktorý vie, kde je auto) otvorí jedny zo zvyšných dvoch dverí, za ktorými je koza (povedzme dvere číslo 3). A potom sa spýta: „Nechcete zmeniť svoj výber, a vybrať si radšej dvere číslo 2?“. Je výhodné zmeniť svoj výber?

Hlasovanie

A: Výhodnejšie je ostať pri pôvodnom výbere (v našom prípade sú to dvere číslo 1).

B: Výhodnejšie je zmeniť svoj výber (v našom prípade otvoriť radšej dvere číslo 2).

C: Obe možnosti sú rovnako výhodné (je jedno, či zvolíme dvere číslo 1 alebo číslo 2).


Počas čítania úlohy ju pred celou triedou simulujeme pomocou pripravených troch predmetov a „dverí“ (tie môžu pri názornej ukážke predstavovať traja žiaci). Následne necháme žiakov hlasovať. Vyzveme ich, aby do pracovného listu napísali, na základe čoho odpovedali tak, ako odpovedali. Potom umožníme žiakom pred-niesť svoje odhady a dôvody pred celou triedou. znázorníme počty žiakov, ktorí tipovali za príslušné možnosti. Necháme ich diskutovať.

Tento problém sme zvolili so zámerom zaujať. zaujať aj tým, že prvý odhad väčšiny žiakov bude iný ako správne riešenie problému. Keďže jeho riešením sa zaoberali aj mnohí matematici, ktorí tiež podľahli prvému klamnému zdaniu, predpokladáme, že žiaci nebudú omnoho múdrejší od nich a najviac z nich si zvolí možnosť C. Teda, že sa im bude zdať, že je úplne jedno, či svoju voľbu zmenia, alebo nie.

Aby sa žiaci čo najviac stotožnili so správnym riešením, celú situáciu si nasimulujú, čím získajú nezanedbateľné množstvo štatistických údajov. Keďže chceme čo naj-jednoduchšie porovnať výhodnosť, prípadne nevýhodnosť oboch možností (meniť resp. nemeniť svoje pôvodné rozhodnutie), najlepšie by bolo mať rovnaké množstvo pokusov so zmenou rozhodnutia a pokusov, v ktorých tipujúci zotrváva pri pôvodnej voľbe. To nám zabezpečí nasledujúca úloha.

úLOHA 2

Vo dvojici sa dohodnite, kto v nasledujúcej simulácii bude zotrvávať pri pôvodnom výbere a kto bude po otvorení jedných dverí meniť svoj výber.


Žiakova voľba v úlohe 2 sa nemusí zhodovať s tým, čo si myslí žiak o riešení problému.



úLOHA 3

Vo dvojici simulujte situáciu z úlohy 1. Urobte desať pokusov, pričom tipovať bude ten z dvojice, kto zotrváva pri pôvodnom výbere. Svoje pokusy zapíšte do tabuľky. (Zakreslite krížik do políčka charakterizujúceho situáciu, ktorá v danom pokuse na-stala. Nakoniec spočítajte počet príslušných krížikov.)

Číslo pokusu Vyhral auto Vyhral kozu

1.2.3.4.5.6.7.8.9.

10.Spolu


Počas realizácie úlohy sa vyučujúci pristaví pri každej dvojici a overí si, či všetci správne pochopili úlohu. V ďalšej úlohe sa žiaci vo dvojici vymenia.

úLOHA 4

Vo dvojici simulujte situáciu z úlohy 1. Urobte desať pokusov, pričom tipovať bude ten z dvojice, kto mení pôvodný výber. Svoje pokusy zapíšte do tabuľky. (Zakreslite krížik do políčka charakterizujúceho situáciu, ktorá v danom pokuse nastala. Nakoniec spočítajte počet príslušných krížikov.)


1.2.3.4.5.6.7.




8.9.

10.Spolu


Výsledky realizovaných pokusov môžu žiaci zapísať do pripravenej Google tabuľky (obr. 4.4.7).

Teraz je ten správny čas na diskusiu o tom, či tieto získané štatistické údaje sú hod-noverné. Žiaci môžu namietať napríklad tým, že pomocou malinkej drobnosti vedeli rozoznať kocku na ktorej bola nálepka. Predpokladáme, že žiaci sami prídu na to, že čím by bolo pokusov viac, tým sú výsledky hodnovernejšie. Preto môžeme spustiť program, ktorý by nám simuloval daný problém. Tak môžeme získať väčšie množstvo údajov a tiež počítač nebude „podvádzať“.

Obr. 4.4.7 Monty Hall – výsledky pokusov v Google tabuľke



úLOHA 5


Hlasovanie





Táto úloha má rovnaké zadanie ako úloha 1. Tentoraz však už žiaci majú pred sebou súbor štatistických údajov súvisiacich s daným problémom. Väčšinou sú tieto údaje postačujúce na to, aby žiaci videli, že výhodnejšie je zmeniť pôvodné rozhodnutie. Preto sa dá očakávať zmena ich odhadu. Tiež ich vyzveme, aby napí-sali dôvod svojho odhadu. zobrazíme počty žiakov, ktorí v druhom odhade hlaso-vali za jednotlivé možnosti. (Porovnáme, ako sa zmenilo odhadovanie žiakov oproti prvému odhadu.)

Aby žiaci lepšie pochopili riešenie problému, dáme im pomocnú úlohu:

úLOHA 6

Predstavte si, že ste v televíznej šou a môžete si vybrať jedny zo sto dverí. Za jednými dverami je auto, za ostatnými sú kozy. Vyberiete si dvere, povedzme, že dvere číslo 1. Moderátor (ktorý vie, kde je auto) otvorí 98 dverí zo zvyšných 99 dverí, za ktorými sú kozy (povedzme dvere číslo 3, 4, 5, ..., 100). A potom sa spýta: „Nechcete zmeniť svoj výber, a vybrať si radšej dvere číslo 2?“. Je výhodné zmeniť svoj výber?

Hlasovanie





Predpokladáme, že pri zmene počtu dverí z troch na sto je „okatejšia“ vhodnosť zmeny pôvodného rozhodnutia.

matEmatické vyriEšEniE problémovEj situáciE

Žiaci sú už dostatočne zahĺbení do problému, mnohí tušia aj jeho rozriešenie. Je čas ho matematicky korektne vyriešiť. Najprv vyriešime úlohu 6 (kde si vyberáme spomedzi sto dverí).



úLOHA 7

Vypočítajte pravdepodobnosti, že

a) auto bude za dverami z pôvodného výberu (v našom prípade za dverami číslo 1 spomedzi 100 dverí),

b) auto bude za dverami po zmene výberu (v našom prípade za dverami číslo 2 spomedzi 100 dverí).


Žiakov necháme najprv napísať do pracovného listu svoj odhad, prípadne ho zdô-vodniť. Potom im umožníme zahlasovať za jednu z nasledujúcich možností.

Hlasovanie

A:

• pravdepodobnosť, že auto bude za dverami z pôvodného výberu (v našom prípade za dverami číslo 1 spomedzi 100 dverí), je 50/100 = 50 %,

• pravdepodobnosť, že auto bude za dverami po zmene výberu (v našom prípade za dverami číslo 2 spomedzi 100 dverí), je 50/100 = 50 %;

B:

• pravdepodobnosť, že auto bude za dverami z pôvodného výberu (v našom prípade za dverami číslo 1 spomedzi 100 dverí), je 1/100 = 1 %,,

• pravdepodobnosť, že auto bude za dverami po zmene výberu (v našom prípade za dverami číslo 2 spomedzi 100 dverí), je 1/99;

C:


• pravdepodobnosť, že auto bude za dverami po zmene výberu (v našom prípade za dverami číslo 2 spomedzi 100 dverí), je 2/99;

D:

• pravdepodobnosť, že auto bude za dverami z pôvodného výberu (v našom prípade za dverami číslo 1 spomedzi 100 dverí), je 1/100 =, 1 %,

• pravdepodobnosť, že auto bude za dverami po zmene výberu (v našom prípade za dverami číslo 2 spomedzi 100 dverí), je 99/100 = 99 %;

E:


• pravdepodobnosť, že auto bude za dverami po zmene výberu (v našom prípade za dverami číslo 2 spomedzi 100 dverí), je 50/100 = 1/2 = 50 %.




Žiakom umožníme pred celou triedou zdôvodniť svoje tipy. Ak má niekto iný návrh na výpočet pravdepodobností, rozoberieme ich. Riadenou diskusiou vylúčime nie-ktoré možnosti.

Správna odpoveď je D, lebo auto bude za dverami z pôvodného výberu len vtedy, keď si hráč vyberie dvere, za ktorými je auto, hneď pri prvom výbere. Teda spomedzi 100 dverí sú len jedny preňho vyhovujúce, teda pravdepodobnosť je 1/100 = 1 %. Auto bude za dverami po zmene výberu vtedy, keď si hráč vyberie pri prvom výbere kozu, lebo potom je jasné, že auto bude za jednými zo zvyšných 99 dverí. No keďže nám moderátor z týchto 99 dverí otvorí 98 (za ktorými sú kozy), ostanú nám tie s au-tom. No a pravdepodobnosť, že na začiatku otvoríme dvere s kozou je 99/100 = 99 % (spomedzi 100 dverí je 99 pre nás vyhovujúcich).

Možné situácie:

Ak niekto hlasuje za možnosť A, môže argumentovať napríklad tým, že nakoniec (po otvorení 98 dverí) ostane jedna koza a jedno auto v dvoch dverách.

Iniciujeme nové hlasovanie. Po novom hlasovaní vyzveme žiakov, aby si do pracov-ných listov napísali aj správne riešenie úlohy 7.

Môžeme prejsť k vyriešeniu pôvodnej úlohy.

úLOHA 8

Vypočítajte pravdepodobnosti, že

a) auto bude za dverami z pôvodného výberu (v našom prípade za dverami číslo 1 spomedzi troch dverí),

b) auto bude za dverami po zmene výberu (v našom prípade za dverami číslo 2 spomedzi troch dverí).

Hlasovanie

A:

• pravdepodobnosť, že auto bude za dverami z pôvodného výberu (v našom prípade za dverami číslo 1 spomedzi troch dverí), je 50/100 = 50 %,

• pravdepodobnosť, že auto bude za dverami po zmene výberu (v našom prípade za dverami číslo 2 spomedzi troch dverí), je 50/100 = 50 %;

B:

• pravdepodobnosť, že auto bude za dverami z pôvodného výberu (v našom prípade za dverami číslo 1 spomedzi troch dverí), je 1/3 ≈ 33,3 %,

• pravdepodobnosť, že auto bude za dverami po zmene výberu (v našom prípade za dverami číslo 2 spomedzi troch dverí), je 2/3 ≈ 66,6 %.




Predpokladáme, že po dôslednej analýze predchádzajúcich úloh väčšina žiakov vyrieši túto úlohu správne. Správna odpoveď je B.

Auto bude za dverami z pôvodného výberu (v našom prípade za dverami číslo 1 spomedzi troch dverí) len vtedy, keď si hráč vyberie dvere, za ktorými je auto, hneď pri prvom výbere. Teda spomedzi 3 dverí sú len jedny preňho vyhovujúce, teda prav-depodobnosť je 1/3. Auto bude za dverami po zmene výberu (v našom prípade za dverami číslo 2 spomedzi troch dverí) vtedy, keď si hráč vyberie pri prvom výbere kozu, lebo potom je jasné, že auto bude za jednými zo zvyšných 2 dverí. No keďže nám moderátor z týchto 2 dverí otvorí jedny, za ktorými je koza, ostanú nám tie s au-tom. No a pravdepodobnosť, že na začiatku otvoríme dvere s kozou je 2/3 (spomedzi 3 dverí sú 2 pre nás vyhovujúce). Teda dvakrát väčšia šanca je vyhrať auto pri zmene výberu ako pri pôvodnom výbere.

Na záver sa vrátime ešte raz (teraz už naposledy) k pôvodnej úlohe.

úLOHA 9


Hlasovanie





Predpokladáme, že teraz už väčšina žiakov hlasuje za správnu možnosť B.

informaČné zdrojE


• ŠEDIVÝ, O. a kol. (2003). Matematika pre 9. ročník zŠ, I. a II. diel. SPN Bratislava.

• MOJŽIŠ, M. Monty Hallova úloha (.týždeň 36/2009).

• Foto Profimedia.sk/Ida Mae Astute (.týždeň 36/2009).

• http://www.youtube.com/watch?v=mhlc7peGlGg



4.5 Štatistika

Tematický okruh Štatistika je zameraný na porozumenie bežným štatistickým vy-jadreniam, na schopnosť posúdiť realitu zo štatistického pohľadu. zameriame sa tiež na rozvoj schopnosti abstrahovať od individuálnych údajov a skúmať podstatné vlastnosti údajov ako celku.

V tematickom okruhu Štatistika sa nachádzajú tri návrhy metodík:

1. Početnosť a relatívna početnosť

2. Modus, medián a aritmetický priemer

3. Skúmanie údajov a vzťahov medzi nimi

V metodike Početnosť a relatívna početnosť zavedieme uvedené pojmy a využi-jeme ich na prezentáciu elementov matematiky v slovenskom jazyku (frekvencia pís-men v slovenskom jazyku) a v dejepise (história šifier a vojnové konflikty) a naopak.

Metodika Modus, medián a aritmetický priemer je zameraná na rozvíjanie schopnosti:

• poznať a používať rôzne typy charakteristík polohy pre štatistický súbor (mini-málna, maximálna hodnota, modus, medián, aritmetický priemer),

• rozhodnúť sa pre vhodnú charakteristiku, skúmať dve rôzne charakteristiky v jed-nej vzorke a skúmať vzťah medzi týmito charakteristikami.

Ukazuje tiež prepojenie matematiky s každodenným životom (štatistika súvisiaca so sledovaním televízie).

Metodika skúmanie údajov a vzťahov medzi nimi je propedeutická k pojmu kore-lácia a korelačný koeficient. Ukážeme v nej využitie matematiky v praktických apliká-ciách vied ako archeológia, kriminalistika, súdne lekárstvo (napríklad ako z odtlačku dlane odhadnúť výšku človeka).

Obr. 4.5.1 Štatistika v dennej tlači

http://www.sme.sk/c/4824886/sirenie-novej-chripky.html



4.5.1 Početnosť a relatívna početnosť



Zavedenie pojmov početnosť a relatívna početnosť pri skúmaní frekvencie písmen v slovenskom texte. 8., 9. ročník ZŠ



• porozumieť pojmom početnosť a re-latívna početnosť štatistického znaku

• určiť početnosť a relatívnu početnosť štatistického znaku

• aplikovať poznatky o početnosti a re-latívnej početnosti pri riešení niekto-rých úloh z každodenného života

• použiť relatívnu početnosť, ako pro-striedok na porovnávanie rôzne veľ-kých vzoriek

• porozumieť vzťahu relatívnej počet-nosti a veľkosti vzorky

• ovláda význam pojmov štatistický súbor, štatistická jednotka, kvantita-tívny a kvalitatívny štatistický znak

• pozná štatistické diagramy – histo-gram, kruhový diagram, polygón

• ovláda základy práce s internetovým prehliadačom

• vie sa orientovať v prostredí tabuľ-kového kalkulátora, meniť vstupné údaje v tabuľkách

• ovláda základy práce s textovým edi-torom



• kľúčovú kompetenciu využívanie in-formačných zdrojov pri hľadaní a vý-bere informácií a pri posúdení mož-nosti využitia získaných informácií (vyhľadávanie článkov na zisťovanie frekvencie písmen, vyhľadávanie in-formácií o Cézarovej šifre)

• skúmanie a organizovanie informácií – žiaci analyzujú a skúmajú vzťahy medzi zistenými informáciami a for-mulujú závery

• Pojmy početnosť a relatívna počet-nosť zavádzame v procese rieše-nia úloh z každodenného života. Ukazujeme možnosti aplikácie poj-mov. Relatívnu početnosť využijeme ako prostriedok na porovnávanie rôzne veľkých vzoriek.

• Využitie IKT nám umožní efektívne určovať početnosť a relatívnu počet-nosť, pracovať s reálnymi informá-ciami.






• Microsoft Office

• projektová metóda

• individuálna, resp. skupinová forma práce (žiaci vytvoria dvojice) pri po-čítačoch zameraná na vyhľadávanie a spracovávanie informácií



úvod k mEtodikE

Cieľom pripravenej vyučovacej jednotky je zaviesť pojmy početnosť a relatívna po-četnosť. Tieto pojmy sú zavedené v súvislosti s určovaním frekvencie písmen v slo-venskom texte. V úvodnej časti metodiky využívame projektovú metódu, ktorá začína podnetom pre žiakov – zistiť, ktoré písmeno slovenskej abecedy je najzriedkavejšie. Počas realizácie projektu – pri zisťovaní početnosti jednotlivých písmen žiaci vyhľa-dávajú na internete vhodné články a za pomoci programu Word zistia početnosť písmen, ktorú evidujú v tabuľkovom kalkulátore. získané údaje od jednotlivých žiakov sa spoločne zosumarizujú. V tejto fáze je ukončená práca na projekte. Nasleduje zavedenie pojmu početnosť a relatívna početnosť. Na ďalších úlohách ukážeme tiež možnosti prepojenia nadobudnutých poznatkov s praxou.

PODNET

V osemsmerovke 10 x 10, ktorá obsahuje bežné slovenské slová je ukrytých aj 5 mien: TAMARA, CYRIL, DENISA, BORIS, GABIKA. Vašou úlohou je v čo najkrat-šom čase nájsť aspoň jedno meno. Ktoré meno by ste začali hľadať?

Hlasovanie

A: TAMARA

B: CYRIL

C: BORIS

D: GABIKA

E: DENISA

F: Je jedno, ktoré meno začnem hľadať. Musím mať šťastie.


Dá sa očakávať, že väčšina žiakov si vyberie meno, ktoré je v bežnom živote zried-kavé, t.j. CyRIL. Niektorí žiaci si zrejme uvedomia, že by si mali vybrať meno, ktoré obsahuje zriedkavé písmeno. Správna voľba je D. GABIKA, pretože práve písmeno G je v slovenských textoch zriedkavé. Je teda veľká šanca, že bude v celej osem-smerovke len raz a rýchlo ho nájdeme. Diskusia o správnej odpovedi je zároveň motiváciou k naplánovaniu a k realizácii projektu.

PLÁNOVANIE PROJEKTU

Na internete vyhľadajte niektorú aktuálnu správu, resp. článok v slovenskom jazyku. Skopírujte obsah vybraného textu do programu Word. Pomocou funk-cií tohto programu určte počet jednotlivých písmen v texte. Tento počet potom spolu s linkou na článok, z ktorého ste čerpali zadajte do pracovného zošita Pocetnost_pismen_SJ.xls. Po vyplnení všetkých políčok v riadku súbor uložte pod názvom Pocetnost_pismen_SJ_“Meno“.xls a zašlite na e-mailovú adresu učiteľa.

Rovnaký postup realizujte pre správu, resp. článok v anglickom (nemec-kom, francúzskom) jazyku. Výsledky zadajte do súboru v Exceli s názvom Pocetnost_pismen_aJ_“Meno“.xls.




V tejto fáze učiteľ žiakov oboznámi s hodnotením projektu. Mal by žiakom povedať, že bude hodnotený: výber článku pre zisťovanie početnosti písmen, správnosť vy-pracovania, dodržanie termínu odovzdania výsledku práce, prezentácia výsledkov (výber článku, zistené najčastejšie písmeno, najzriedkavejšie písmeno, prekvapivé výsledky a pod.).

Pred realizáciou projektu navrhujeme so žiakmi preriešiť nasledujúcu úlohu, ktorá bližšie charakterizuje, ako sa bude hodnotiť výber článku.

úLOHA

Porozmýšľajte, či sú nasledujúce texty vhodné na určovanie frekvencie výskytu písmen v slovenskom jazyku. Svoje rozhodnutie odôvodnite.

a) úryvok z básne Slnce na vodách od Ladislava Novomeského:Klin výšin syčí šípy bystriny,jazzuje žvatlavý džavot riav,krok gondôl klokoce tokom potokovpod plotom topoľov a balád balvany valia vlny valného Dunaja:hujaja, do mora, do mora, hujaja.

b) Žreb kvalifikácie EURO 2012A-skupina: Nemecko, Turecko, Rakúsko, Belgicko, Kazachstan,

AzerbajdžanB-skupina: Rusko, sLOVENsKO, Írsko, Macedónsko, Arménsko,

AndorraC-skupina: Taliansko, Srbsko, Severné írsko, Slovinsko, Estónsko,

Faerské ostrovyD-skupina: Francúzsko, Rumunsko, Bosna a Hercegovina, Bielorusko,

Albánsko, LuxemburskoE-skupina: Holandsko, Švédsko, Fínsko, Maďarsko, Moldavsko, San

MarínoF-skupina: Chorvátsko, Grécko, Izrael, Lotyšsko, Gruzínsko, MaltaG-skupina: Anglicko, Švajčiarsko, Bulharsko, Wales, čierna HoraH-skupina: Portugalsko, Dánsko, Nórsko, Cyprus, IslandI-skupina: Španielsko, česko, Škótsko, Litva, Lichtenštajnskočítajte viac: http://futbal.sme.sk/c/5229109/futbalisti-si-o-euro-2012-zahraju-aj-proti-ru-

som-a-irom.html#ixzz0esIHrsZT




Žiaci by mali v diskusii uviesť dôvody, pre ktoré uvedené texty nie sú vhodné na ur-čovanie frekvencie písmen v slovenskom jazyku (krátkosť článku, nereprezentatívny výber článku, výskyt viacerých písmen neodpovedá realite a pod.).

rEalizácia projEktu

Počas realizácie projektu budeme využívať počítač, ktorý nám výrazne uľahčí a urýchli prácu. Otvorte si napríklad správu na stránke http://korzar.sme.sk/c/5217441/snina-opravi-kastiel-z-eurofondov.html.

Pri určovaní počtu písmen v tomto texte budeme postupovať nasledovne:

1. Úpravy → Nájsť a nahradiť → Zvýrazniť všetky položky v nájdenej časti – ozna-číme všetky výskyty hľadaného písmena v texte.

2. Úpravy → Kopírovať – označené písmena skopírujeme.

3. Súbor → Nový – otvoríme nový prázdny dokument.

4. Úpravy → Prilepiť – skopírovaný text (všetky výskyty hľadaného písmena) vložíme do nového súboru.

5. Súbor → Vlastnosti → Štatistické údaje → Počet znakov – zistíme koľkokrát sa hľadané písmeno vyskytuje v texte.


Prácu žiakov vizualizujú nasledujúce obrázky:

1. Otvorenie článku na Internete.

Obr. 4.5.2 Článok na internete



2. Skopírovanie do programu Word a následné označenie skúmaného písmena.

Obr. 4.5.3 Označenie písmena v programe Word

3. zistenie početnosti písmena.

Obr. 4.5.4 Početnosť písmena



4. zápis zistenej početnosti do pracovného zošita Pocetnost_pismen_SJ.xls v programe Microsoft Excel.

Obr. 4.5.5 Zápis početnosti do pracovného zošita

Kroky 2. až 4. žiaci opakujú, až kým neurčia početnosť všetkých písmen.

V následnej realizácii zadaného projektu už pokračujú žiaci samostatne a vyplnené riadky v excelovských súboroch zašlú učiteľovi mailom do vopred stanoveného termínu.

AJ TAKTO sA TO DÁ

Namiesto Microsoft Excelu môže učiteľ využívať tabuľky v prostredí Google doku-menty. V tomto prípade učiteľ nemusí spájať jednotlivé riadky od žiakov do jedného súboru, ale žiaci zdieľajú jeden dokument, do ktorého každý zapisuje požadované údaje.

Žiakom dáme pokyn, aby údaje do tabuľky vložili do riadku s poradovým číslom zhod-ným s ich poradím v klasifikačnom hárku. Internetovú linku k tabuľke pošle učiteľ žia-kom emailom. Kliknutím na túto linku sa v prehliadači dostanú do tabuľky na obrázku 4.5.6. Ovládanie a písanie v tejto tabuľke je takmer identické s Microsoft Excelom.

Obr. 4.5.6 Využitie Google dokumentov



hodnotEniE projEktu

Jednotliví žiaci stručne vysvetlia výber článkov, uvedú písmená s najnižšou a naj-vyššou početnosťou, prípadne nejaké prekvapivé výsledky. Učiteľ spolu s ostatnými žiakmi zhodnotí výber článkov a vypracovanie projektu.

Na záver učiteľ prezentuje v jednom súbore sumárne výsledky početností jednotli-vých písmen za odovzdané články v slovenskom a v cudzom jazyku. Spoločne s trie-dou diskutuje, či boli výsledky očakávané alebo ich prekvapila nízka, resp. vysoká početnosť niektorých písmen. Porovnajú rozdiely v početnostiach písmen v dvoch rôznych jazykoch.

Výsledky projektu a nadobudnuté skúsenosti žiakov využijeme pri zavedení pojmov početnosť a relatívna početnosť.

poČEtnosť a rElatívna poČEtnosť

Učiteľ môže formálne zaviesť pojem početnosť ako počet štatistických znakov šta-tistického súboru, ktoré majú tú istú hodnotu znaku, pričom si na konkrétnych prí-kladoch s rôznymi štatistickými súbormi a štatistickými znakmi overí porozumenie pojmu, napríklad:

• v štatistickom súbore „žiaci Vašej triedy“ má štatistický znak „farba očí“ hodnotu „modrá“ s početnosťou ...,

• v štatistickom súbore „žiaci Vašej triedy“ má štatistický znak „výška žiaka“ hod-notu „165 cm“ s početnosťou ...,

• v štatistickom súbore „typy áut“ má štatistický znak „počet valcov“ hodnotu „5“ s početnosťou ...,

• v štatistickom súbore „článok …“ má štatistický znak „označenie písmena“ hod-notu „a“ s početnosťou ... .

Po uvedení príkladov môže učiteľ diskutovať so žiakmi o rozdieloch pri určovaní po-četnosti pri kvalitatívnom a kvantitatívnom znaku, napr. u niektorých kvantitatívnych znakov je výhodné hodnoty zlučovať do intervalov (napr. výška človeka).

úLOHA 1

Ako by ste porovnali, v ktorom z vybraných článkov v rámci riešenia projektu sa najčastejšie vyskytuje písmeno „e“, resp. „r“?


V procese hľadania odpovede na otázku, by si žiaci mali uvedomiť, že vybrané články, ktoré každý žiak, resp. dvojica žiakov skúmali, boli rôzne dlhé. z tohto dô-vodu potrebujeme na porovnanie výskytu písmen v jednotlivých článkoch vhodnej-šie číslo ako je početnosť. Keďže žiaci už majú skúsenosti s percentami, je možné, že sami navrhnú porovnanie cez percentá. Na základe tejto diskusie zavedieme pojem relatívna početnosť ako číslo, ktoré sa počíta ako podiel početnosti a roz-sahu štatistického súboru. Toto číslo vyjadruje, aká časť štatistického súboru má rovnakú hodnotu štatistického znaku.



úLOHA 2

Určte relatívnu početnosť jednotlivých písmen vo Vašom článku a niektorom inom článku. Výpočty zapíšte do pracovného zošita Pocetnost_pismen_SJ.xls. Porovnajte relatívnu početnosť niektorých písmen.


Úloha slúži na precvičenie výpočtu relatívnej početnosti. Výsledky riešenia úlohy budú neskôr využité na ukázanie prepojení medzi matematikou a praxou.

úLOHA 3

a) Určte relatívnu početnosť písmen spolu za všetky vybrané články. Výsledky zapíšte do pracovného zošita Pocetnost_pismen_SJ.xls. Porovnajte svoje výsledky s vý-sledkami zverejnenými na stránke: http://www.iskra.sk/duurko/hry/scrabble/skfreq.htm

b) V pracovnom zošite Pocetnost_pismen_SJ.xls zostrojte graf relatívnej počet-nosti písmen v slovenskom jazyku.

úLOHA 4

Adam a Boris nezávisle na sebe zisťovali relatívnu početnosť písmen v slovenskom texte. Adam si vybral dvojstranový článok z novín. Boris si vybral 300-stranovú knihu. U koho by ste skôr očakávali, že relatívna početnosť písmena „w“ bude 0,15?

Hlasovanie

A: U AdamaB: U Borisa


Úlohy 3 a 4 sú zamerané predovšetkým na precvičenie a upevnenie pojmu relatívna početnosť. Žiaci by si mali uvedomiť dôležitosť výberu dostatočne veľkej a reprezen-tatívnej vzorky, napríklad, že výsledok, ktorý sa výrazne líši od očakávaného, kon-krétne hodnota relatívnej početnosti písmena „w“ 0,15, kým skutočná hodnota je 0,001, sa dá skôr očakávať v menšej vzorke, prípadne v nereprezentatívnej vzorke, preto je správna odpoveď A.

úLOHA 5

Na stránke http://sk.wikipedia.org/wiki/Scrabble nájdete bodovanie v slovenskej verzii hry Scrabble. Porovnajte navrhnuté bodovanie a početnosť jednotlivých hracích kame-ňov s výsledkami úlohy 2.

úLOHA 6

Vyhľadajte na internete informácie o Cézarovej šifre. Tieto informácie by Vám mali pomôcť pri dekódovaní nasledujúceho zašifrovaného textu (pôvodný text bol napí-saný v slovenskom jazyku bez diakritiky a pri kódovaní bola použitá anglická abe-ceda, 26 znaková abeceda):



ZM VQPZQV GXUOU EFAVU H DMPQ BMF PAYAH BUMFUOT DALZKOT RMDUQN.

LUVG H ZUOT BUMFU EGEQPUM BUMFUOT DALZKOT ZMDAPZAEFU.

WMLPK OTAHM ZQVMWQ PAYMOQ LHUQDMFWA.

BA HQOQDAOT EM, MWA EM ZM EFMDKOT BDUMFQXAH BMFDU, LUPG G ZUQWATA PAYM,

BUVG EHAV ANXGNQZK ZMBAV M RMVOUM OUSMDK EHAVQV ANXGNQZQV LZMOWK.

LUMPZU PHMVM QNKHMVG H PAYAOT DAHZMWQV RMDNK, ZQOTAHMVG DAHZMWQ LHUQDMFWM, ZQBUVG DAHZMWK ZMBAV, MZU ZQRMVOUM DAHZMWQ OUSMDK.

- NDUF LUVQ H OQDHQZAY PAYQ.

- EHQP OTAHM BEAH.

- PMZ BUVQ OMV.

- LQXQZK PAY VQ XMHKY EGEQPAY NUQXQTA.

- ANKHMFQX LQXQZQTA PAYG BUVQ WMHG.

- AEANM RMVOUMOM BMXX YMXX OTAHM HFMOUWK.

- ANKHMFQX LXFQTA PAYG RMVOU PGZTUXX.

- ANKHMFQX PAYG GBDAEFDQP BUVQ YXUQWA.

- ZAD LUVQ H BDHAY PAYQ.

- FQZ, WFA RMVOU NXQZP LUVQ HQPXM AEANK OTAHMVGOQV YMOWK.

- YMVUFQX WAZM LUVQ HQPXM FATA, WFA RMVOU PGZTUXX.

- FQZ, WFA RMVOU NXGQ YMEFQD, BUVQ BUHA.

- ZQYQO RMVOU BDUZOQ.

- ZAD LUVQ HQPXM YAPDQTA PAYG.

- AEANM, OA RMVOU NXQZP, YM EGEQPM BUVGOQTA HAPG.

WFA OTAHM DKNUOWK?


Úlohy 5 a 6 umožnia učiteľovi ukázať využitie nadobudnutých poznatkov. Úloha 5 je zameraná na to, aby si žiaci všimli, že pri vytváraní hry Scrabble boli využité poznatky o frekvencii písmen v danom jazyku. Učiteľ môže so žiakmi diskutovať aj o ďalších aspektoch, ktoré súvisia s hrou (počet niektorých písmen v hre je nižší ako iných a počet bodov je rovnaký a pod.) Žiaci by si mali uvedomiť, že z dôvodu rôznej frekvencie písmen v rôznych jazykoch je pre každý jazyk iná verzia tejto hry. Pri úlohe 6 sa žiaci dozvedia o jednej z najstarších šifier. Učiteľ môže spomenúť, že táto šifra sa už dnes nepoužíva, preto lebo je ľahko dešifrovateľná na základe frekvenčnej analýzy. Podobne je to aj pri zložitejších šifrách, ktoré sa dajú dešifrovať s využitím frekvenčnej analýzy. Problematiku šifier môže učiteľ využiť na realizá-ciu interdisciplinárneho projektu Matematika – Dejepis (História šifier a vojnové konflikty)



RIEŠENIE úLOHY 6. - rozšifrovaný text:

NA JEDNEJ ULICI STOJI V RADE PAT DOMOV PIATICH ROZNYCH FARIEB.

ZIJU V NICH PIATI SUSEDIA PIATICH ROZNYCH NARODNOSTI.

KAZDY CHOVA NEJAKE DOMACE ZVIERATKO.

PO VECEROCH SA, AKO SA NA STARYCH PRIATELOV PATRI, ZIDU U NIEKOHO DOMA, PIJU SVOJ OBLUBENY NAPOJ A FAJCIA CIGARY SVOJEJ OBLUBENEJ ZNACKY.

ZIADNI DVAJA NEBYVAJU V DOMOCH ROVNAKEJ FARBY, NECHOVAJU ROVNAKE ZVIERATKA, NEPIJU ROVNAKY NAPOJ, ANI NEFAJCIA ROVNAKE CIGARY.

- BRIT ZIJE V CERVENOM DOME.

- SVED CHOVA PSOV.

- DAN PIJE CAJ.

- ZELENY DOM JE LAVYM SUSEDOM BIELEHO.

- OBYVATEL ZELENEHO DOMU PIJE KAVU.

- OSOBA FAJCIACA PALL MALL CHOVA VTACIKY.

- OBYVATEL ZLTEHO DOMU FAJCI DUNHILL.

- OBYVATEL DOMU UPROSTRED PIJE MLIEKO.

- NOR ZIJE V PRVOM DOME.

- TEN, KTO FAJCI BLEND ZIJE VEDLA OSOBY CHOVAJUCEJ MACKY.

- MAJITEL KONA ZIJE VEDLA TOHO, KTO FAJCI DUNHILL.

- TEN, KTO FAJCI BLUE MASTER, PIJE PIVO.

- NEMEC FAJCI PRINCE.

- NOR ZIJE VEDLA MODREHO DOMU.

- OSOBA, CO FAJCI BLEND, MA SUSEDA PIJUCEHO VODU.

KTO CHOVA RYBICKY?

Odpoveď: NEMEC

ZAMYsLITE sA

Je vhodné, aby žiaci pracovali s pojmami početnosť a relatívna početnosť aj v iných štatistických súboroch a v súvislosti s pravdepodobnosťou, príkladom sú úlohy 7, 8, 9, 10.

úLOHA 7

Spustite si excelet MincaKockaCraps.xls. Pomocou exceletu realizujte aspoň 5 000 hodov mincou, kockou a dvoma kockami. Zapíšte početnosť a relatívnu po-četnosť nasledujúcich znakov:

a) padne znak na minci

b) padne číslo 2, 5 a 6 na kocke

c) padne súčet 7, 12, resp. 10 na dvoch kockách

Porovnajte svoje výsledky so spolužiakmi. Aký výsledok očakávate u jednotlivých pokusov pri realizácii 1 000 000 hodov?



Hod mincou Hod kockou Hod dvoma kockami

Obr. 4.5.7 Štatistika a pravdepodobnosť

úLOHA 8

Na web stránke Slovenského hydrometeorologického ústavu v časti Meteorológia - Snehové správy nájdete údaje o výške snehu v jednotlivých lyžiarskych strediskách (obr. 4.5.8). Zostrojte tabuľku a graf početnosti lyžiarskych stredísk s výškami snehu od 0 do 30 cm, od 30 do 60 cm, od 60 do 90 cm, … . Zvoľte iné delenie intervalu, napr. 0-20 cm a pozorujte ako sa zmení graf početnosti.

Obr. 4.5.8 Údaje o výške snehu


Pri grafickom znázornení početnosti kvantitatívneho znaku je častý problém dele-nie intervalov, znázornenie intervalu s nulovou početnosťou a zaradenie krajných hodnôt intervalu. Vybraná úloha otvára možnosti diskutovať so žiakmi o týchto problémoch.

úLOHA 9

V nasledujúcej tabuľke je v každom riadku popísaný štatistický súbor, zodpoveda-júca štatistická jednotka a štatistický znak. Porozmýšľajte, ako by ste postupovali pri určovaní početnosti a relatívnej početnosti štatistického znaku.



Štatistický súbor Štatistická jednotka Štatistický znak

Občania mesta Košice nad 18 rokov Občan mesta nad 18 rokov Mesačný príjem

Občania mesta Košice nad 18 rokov Občan mesta nad 18 rokov Vlastník auta

Autá na parkovisku Auto Farba auta

Obchody s potravinami v meste Nitra Obchod s potravinami Počet nakupujú-cich za týždeň

Domáce zvieratá v meste Poprad Domáce zviera Druh zvieraťa

Mestá na Slovensku Mesto na Slovensku Počet obyvateľov


Žiaci by si pri riešení úlohy mali uvedomiť rozdiely pri určovaní početnosti u kvanti-tatívneho znaku a kvalitatívneho znaku. U kvantitatívneho znaku je vhodné hodnoty rozdeliť do intervalov a zisťovať početnosť pre daný interval. Žiaci môžu navrhnúť iné štatistické súbory a štatistické znaky, ktorých početnosť, resp. relatívnu početnosť má zmysel určovať.

úLOHA 10

Vyberte si informáciu na výrobku, ktorú považujete za najviac dôveryhodnú. Informácia označená * je zvyčajne uvedená na výrobku na málo viditeľnom mieste.

Hlasovanie

A. Krém A - revolučná novinka v boji proti celulitíde. Po prvom týždni používania preukázaná znížená viditeľnosť u 72 percent žien*.

*Test bol realizovaný na 50 ženách počas 7 dní - samohodnotenie.

B. Krém proti starnutiu B s bohatšou a dokonalou konzistenciou. Dokonalá výživa a dokonalá regenerácia dokonale vyhladzuje vrásky. Účinky potvrdzuje 85 % žien.*

* Výskumu sa zúčastnilo 1084 žien, ktoré účinky potvrdili vo výskume realizova-nom prostredníctvom internetu.

C. Klinické výskumy ukázali, že každodenné používanie zubnej pasty C vedie k lep-ším výsledkom. Zubná pasta pôsobí predovšetkým proti zápalom a krvácavosti ďasien, proti zvýšenej tvorbe zubného kazu a zubného kameňa.*

* Klinické testy boli realizované na 627 pacientoch so zápalom a krvácavosťou ďasien a u 56 % sa preukázalo zmiernenie príznakov.

D. Deväť žien z desiatich potvrdilo, že tablety D do umývačky riadu sú oveľa účinnej-šie oproti iným tabletám.




Prostredníctvom tejto úlohy môže učiteľ poukázať na to, že číslo udávajúce relatívnu početnosť môže byť zneužité na oklamanie. Napríklad číslo 20 % môžeme dostať ako podiel: 1/5, 100/500 alebo 1000/5000. Nie je jedno, či je rozsah štatistického súboru 5, 500 alebo 5000. V prípade A je teda vzorka príliš malá. Takisto môže so žiakmi diskutovať o vhodnosti výberu vzorky na výskum (bola vzorka v prípade B. vybraná správne?, dajú sa na základe získaných údajov robiť uvedené závery?, dá sa očakávať, že na internete reagovali skôr ženy, ktoré boli s výsledkom spo-kojné?). V prípade D ide len o konštatovanie, nie je ani pokus podložiť tvrdenie niečím exaktnejším. V prípade C je síce vzorka menšia ako v prípade B, ale výskum je realizovaný na pacientoch, ktorí trpia problémom, ktorý výrobok rieši. Dá sa teda považovať za najviac dôveryhodný.

ZAMYsLITE sA

Na záver preberanej problematiky je možné zaviesť pojem kumulatívna počet-nosť (frekvencia) a krivka kumulatívnej početnosti. Pojem úzko súvisí s poj-mom početnosť a využíva sa pri popisovaní kvantitatívnych znakov. Tento pojem je vhodne spracovaný v učebnom systéme Planéta vedomostí v časti Matematika II zŠ, 43. Krivka kumulatívnej početnosti, hárky 2, 3, 4 (hárky 5, 6 a 7 vyžadujú navyše zvládnutie pojmov medián, horný a dolný kvartil). Žiakom je pojem kumulatívna početnosť vysvetlený prostredníctvom video ukážky zameranej na meranie teplôt počas obdobia 200 dní. Nájdeme tu aj viacero úloh na precvičenie a upevnenie zavedeného pojmu.

Obr. 4.5.9 – Kumulatívna početnosť v učebnom systéme Planéta vedomostí



4.5.2 Modus, medián a aritmetický priemer



Zavedenie pojmov modus a medián, skúmanie vzťa-hov medzi charakteristikami polohy (modus, medián a aritmetický priemer)

8., 9. ročník ZŠ



• reprezentovať údaje pomocou bod-kového diagramu (dotplot), resp. stĺpcového diagramu

• popísať charakteristické vlastnosti množiny údajov s dôrazom na ich rozptyl

• používať pojmy modus, medián a aritmetický priemer pri popisovaní vlastnosti údajov

• porozumieť vzťahu medzi jednotli-vými charakteristikami polohy skú-manej množiny údajov

• vybrať vhodnú charakteristiku po-lohy pre skúmanú množinu údajov

• formuluje otázky, ktoré súvisia so spracovaním údajov, rozlišuje kvantitatívne a kvalitatívne údaje

• vie čítať informácie zo štatistických diagramov (histogram, kruhový dia-gram, polygón)

• pozná pojem aritmetický priemer a vie ho vypočítať

• ovláda základy práce s internetovým prehliadačom, vyhľadáva informácie na internete



• kľúčovú kompetenciu preskúmanie a organizovanie informácií pri za-znamenávaní štatistických údajov, pri ich triedení do kategórií a analýza vzťahov medzi skúmanými objektmi

• kľúčovú kompetenciu modely a mo-delovanie pri zmenách hodnôt šta-tistických znakov a skúmaní vplyvu týchto zmien na hodnoty charakte-ristík polohy

• Poukážeme na potrebu výberu správnych charakteristík polohy (mo-dus, medián a aritmetický priemer) pre rôzne množiny údajov.

• Navrhované applety umožnia žiakom efektívne skúmať vzťahy medzi jed-notlivými charakteristikami polohy. Môžu pozorovať ako zmeny hodnôt znaku štatistického súboru ovplyvnia zmeny vybraných charakteristík.



• počítač s dataprojektorom (interak-tívna tabuľa)

• počítač pre každého žiaka, resp. pre dvojicu žiakov



• individuálna, resp. skupinová (žiaci vytvoria dvojice) forma práce pri po-čítačoch zameraná na vyhľadávanie a spracovávanie informácií



úvod k mEtodikE

Žiaci sa na hodinách štatistiky oboznamujú s charakteristikami polohy – modus, medián a aritmetický priemer s cieľom vedieť ich vypočítať. Málokedy sa v učebných materiáloch uvádza, pri akých štatistických súboroch sú jednotlivé charakteristiky vhodné. V metodike sú vybrané úlohy, ktoré poukážu na potrebu výberu správnych charakteristík pre rôzne množiny údajov. Postupne sa zameriame na to, aby sa žiaci oboznámili s charakteristikami polohy – veličinami modus a medián. Aritmetický priemer by mal byť už žiakom známy. Žiaci pracujú najprv s kvalitatívnymi, neskôr s kvantitatívnymi údajmi, pričom ich najprv triedia do kategórií a intuitívne určujú niektoré vlastnosti údajov. Neskôr sú formálne zavedené pojmy modus a medián. V závere navrhnutej vyučovacej jednotky sa s jednotlivými charakteristikami polohy pracuje na abstraktných údajoch s cieľom zovšeobecniť vzťahy medzi nimi.

Úvodné úlohy metodiky sa týkajú posudzovania televízneho programu z rôznych hľa-dísk a výsledky, ktoré žiaci zistia, je možné prediskutovať aj na hodinách z predmetu Náuka o spoločnosti, prípadne Etika.

modus

úLOHA 1

Počas jedného týždňa sledujte hlavnú spravodajskú reláciu na jednej televíznej sta-nici. Každú správu, ktorá sa v spravodajstve objaví, zaraďte do niektorej z vymeno-vaných kategórií:

zo zahraničia, O dianí na Slovensku, O kriminalite, O celebritách, Iné.


V úlohe žiaci triedia údaje, do vopred určených kategórií. Očakávame, že žiaci pri-nesú ku každej kategórii počty jednotlivých správ. Na úvod môžeme so žiakmi dis-kutovať aj o tom, či vybrané kategórie boli podľa nich vhodné. Učiteľ ďalej zadáva žiakom úlohy a otázky:

• Navrhnite, akú krátku informáciu by ste o tom, čo ste zistili, dali do novín. (Úloha smeruje k tomu, čo žiaci považujú za dôležité, vyberú si na popis údajov nejakú charakteristiku polohy?)

• z ktorej kategórie bolo najviac správ? (Otázka je prípravou k pojmu modus.)

• z ktorej kategórie bolo najmenej správ?

• Aké sú minimálne a maximálne číselné hodnoty pre jednotlivé kategórie? (Otázka je prípravou k pojmu rozsah údajov.)

• Navrhnite, ako by mohlo vyzerať grafické spracovanie výsledkov.

Pri grafickom spracovaní sa zameriame na to, aby žiaci zvládli stĺpcový diagram a bodkový diagram (dotplot). Obidva diagramy sú vhodné predtým ako začneme so žiakmi znázorňovať údaje histogramom. Tieto diagramy sú na rozdiel od histo-gramu „jednorozmerné“ (zameriavajú sa na znázornenie údajov na osi x) a nevyža-dujú zlučovanie údajov do intervalov na osi x.



Na grafické znázornenie svojich výsledkov pomocou stĺpcového diagramu môžu žiaci použiť applet na stránke:

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_323_g_3_t_5.html?from=category_g_3_t_5.html

Na obrázkoch 4.5.10 a 4.5.11 je stĺpcový a bodkový diagram pre nasledujúce údaje (počty správ z jednotlivých kategórií):

Zo zahraničia O dianí na Slovensku O kriminalite O celebritách Iné

5 7 15 12 11

Obr. 4.5.10 Stĺpcový diagram Obr. 4.5.11 Bodkový diagram

Navrhujeme, aby sa žiaci v závere riešenia úlohy oboznámili s pojmom modus (naj-častejšie sa vyskytujúca hodnota) a rozsah údajov.

úLOHA 2

Zistite, aké typy programov vysielali najsledovanejšie slovenské stanice Markíza, JOJ a STV za posledné dva týždne v čase od 20.00 do 22.00. Údaje, ktoré ste zistili, zaznačte do vhodnej tabuľky, nakreslite bodkový alebo obdĺžnikový diagram.


V druhej úlohe si žiaci sami volia skupiny (kategórie), do ktorých budú údaje trie-diť. Po vyriešení môžeme so žiakmi diskutovať o tom aké skupiny si zvolili, koľko majú skupín, či je vhodnejšie mať málo alebo veľa skupín a pod. Ďalšie aktivity sú podobné ako v úlohe 1.



mEdián

úLOHA 3

a) Koľko hodín ste včera pozerali televíziu? Medzi siedmimi kamarátmi to vyzeralo tak, ako je zobrazené v diagrame na obrázku 4.5.12.

Odpovedajte na nasledujúce otázky:

Najčastejšie koľko hodín pozerali televíziu?

Koľko hodín priemerne pozerali TV?

Aký bol minimálny a maximálny čas pozerania TV?

Ak by ste si mali vybrať jedno z čísel, ktoré vyjadruje počet hodín strávených po-zeraním televízie, ktoré by ste si vybrali?

b) Urobte prieskum medzi svojimi spolužiakmi, koľko času strávili včera pozeraním televízie. Upravte a prezentujte získané údaje tak, aby boli rýchlo a ľahko zrozumi-teľné, napríklad keď ich zverejníte v školskom časopise.

c) Od 27 žiakov 7. ročníka sme získali informácie o tom, koľko času týždenne strávia pozeraním televízie.

1,5 21 12,5 0 2,5 15 23 19 4

8 16 13,5 16,5 6 4,5 9 18 5

8,5 6 3 9 11,5 3,5 19,5 13 10

Určte, koľko hodín priemerne strávili pozeraním televízie.

Vyberte z čísel takú hodnotu, od ktorej je polovica čísel väčšia a polovica čísel menšia.

Ako by ste postupovali, ak by bolo žiakov 30 a hodnoty boli nasledovné?

1,5 21 12,5 0 2,5 15 23 19 4 14

8 16 13,5 16,5 6 4,5 9 18 5 10,5

8,5 6 3 9 11,5 3,5 19,5 13 10 9

Obr. 4.5.12 Stĺpcový diagram k 3. úlohe




Na rozdiel od predchádzajúcich úloh sú hodnoty, ktoré sú znázornené na x-ovej osi kvantitatívne. V časti a) sme sa obmedzili len na prirodzené čísla. Žiaci by mali ve-dieť spočítať priemerné hodnoty, aj keď im môže robiť problém potreba zarátať nie-ktoré hodnoty viackrát (ide o vážený priemer). Požiadavka vybrať hodnotu, od ktorej je polovica čísel väčšia a polovica čísel menšia, smeruje k zavedeniu pojmu medián.

časť b) úlohy je zameraná na vhodnú reprezentáciu zistených údajov a na výber vhodnej charakteristiky polohy. čo si žiaci vyberú – modus, ako najčastejšiu hod-notu, priemer alebo medián? Ktorá charakteristika je najvhodnejšia a prečo?

časť c) je opäť zameraná na výpočet priemeru a na prípravu k pojmu medián. Hodnoty, ktoré reprezentujú čas pozerania televízie sú vybrané tak, aby boli viac rozptýlené. Ak by učiteľ požadoval grafické znázornenie údajov, tak nadaní žiaci môžu navrhnúť zlučovanie hodnôt do intervalov. V takom prípade môžu mať prob-lémy s tým, kam zaradiť krajné hodnoty intervalov a s potrebou vybrať rovnako veľké intervaly.

Po vyriešení úlohy navrhujeme formálne zaviesť pojem medián ako prostrednú hod-notu. Určovanie hodnoty modu a mediánu navrhujeme potom precvičiť na štandard-ných učebnicových úlohách. Je tiež možné, aby učiteľ využil učebný systém Planéta vedomostí - Matematika I zŠ, V. Štatistika. časť I., 35. Stredné hodnoty (obr. 4.5.13). Žiak si tu precvičí určovanie modu, mediánu, aritmetického priemeru a rozpätia hod-nôt. Ich hodnoty určuje buď z obrázka, tabuľky alebo zo štatistického diagramu.

Obr. 4.5.13 Precvičenie výpočtu modus, mediánu, priemeru v učebnom systéme Planéta vedomostí



vzťah – modus, mEdián a priEmEr

úLOHA 4

Mama si zisťovala, ako dlho pozerajú jej dvaja synovia Mišo a Jožo televíziu počas letných prázdnin (spolu 9 týždňov). Ktorý z nich je podľa vás väčší TV maniak?

Týždeň 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Mišo 11 61 16 18 17 14 0 16 15

Jožo 21 21 22 19 18 17 2 22 20


Úloha 4 je zameraná na výber vhodnej charakteristiky údajov. Učiteľ môže so žiakmi diskutovať o tom, ktorá charakteristika (modus, medián, priemer, rozpätie údajov) vhodne charakterizuje údaje. Opýta sa napr. žiakov: Je vhodné určovať priemer, modus alebo medián. Vysvetlite prečo. Žiaci by si mali uvedomiť, že hodnota 61 u Miša príliš ovplyvňuje jeho priemer a „typicky“ pozerá televíziu v týždni kratšie ako Jožo. Modus nemá význam určovať, lebo hodnoty sa veľmi neopakujú.

úLOHA 5

V ankete spravodajskej relácie jednej televíznej stanice sa opýtali 12 absolventov vy-sokej školy otázku: „Aký plat očakávate v prvý rok vašej kariéry?“ Dostali nasledovné sumy: 1000 €, 750 €, 1500 €, 1200 €, 800 €, 900 €, 600 €, 650 €, 850 €, 2000 €, 1500 €, 1000 €.

a) Vypočítajte medián a priemer týchto hodnôt.

b) Predpokladajte, že do ankety pribudne ďalší absolvent, ktorý na začiatku svojej ka-riéry očakáva plat 100 000 €. Ako veľmi tento študent ovplyvní priemer a medián?

c) Ktorá hodnota bude viac ovplyvnená zaradením študenta do výpočtov, medián alebo priemer? Vysvetlite, prečo je to tak.


Úloha opäť poukazuje na to, že hodnoty, ktoré sa veľmi líšia od „typických“ výrazne ovplyvnia priemer ale nie medián. Žiaci by si mali lepšie uvedomiť, že priemer je viac ovplyvnený extrémnymi hodnotami ako medián.

úLOHA 6

a) V spravodajskej relácii sa v ankete pýtali ľudí aký je ich mesačný plat. Je vhodné, aby opýtaný oznámil priemerný mesačný plat, modus svojich platov alebo medián?

b) Objavila sa správa, že priemerný plat ľudí na Slovensku je 700 €. Znamená to, že väčšina ľudí má plat okolo 700 €? Ako by ste postupovali, ak by ste chceli určiť „typický plat Slováka“?




Úloha 6 by mala viesť k diskusii učiteľa so žiakmi o interpretácii jednotlivých cha-rakteristík polohy. Napríklad, ktorá charakteristika polohy môže byť pri vybranom štatistickom súbore najmenej zavádzajúca? Je výhodné poznať viac charakteristík polohy k tomu, aby sme mohli o údajoch robiť závery? čo vieme povedať o štatis-tickom súbore, v ktorom sa medián výrazne líši od priemeru?

úLOHA 7


http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap6/6.6/index.htm (obr. 4.5.14).

1. Zmeňte niektoré hodnoty (A až G) a pozorujte, kedy sa zmení priemer a kedy sa zmení medián.

2. Ako sa správa medián a priemer, ak ponecháme jednotlivé body v rovnakom poradí, ale zmeníme ich hodnoty?

3. Čo sa stane, ak niektorú hodnotu posuniete ku krajnej hodnote na číselnej osi? Pohybujte bodmi tak, aby ste mali množinu údajov, pre ktorú je priemer typická hodnota a medián nie je, a naopak. Pre aké hodnoty údajov nie je priemer (me-dián) reprezentatívna hodnota?


Použitie interaktívneho softvéru umožňuje žiakom porovnávať vplyv zmien v údajoch na medián a aritmetický priemer. Interaktívny applet (obr. 4.5.14) mení hodnoty priemeru a mediánu zároveň s tým, ako žiak mení konkrétne zobrazené hodnoty. Úlohou žiakov je teda sledovať vplyv zmeny jednej alebo viacerých hodnôt na me-dián a aritmetický priemer, pozorovať pre aké údaje nie je vhodný ako charakte-ristika polohy priemer a pre aké medián. Na osi je zobrazených 7 bodov, ktorých číselnú hodnotu máme zobrazenú pod diagramom. Okrem daných 7 bodov máme vyznačený aj priemer a medián.

Žiaci môžu napríklad pozorovať a formulovať nasledovné vlastnosti:

• Ak premiestnime body smerom ku koncom osi okrem bodu D, tak sa mení len priemer a medián ostáva rovnaký.

• Ak sú údaje približne symetricky rozložené, tak pri premiestnení prostredného bodu sa priemer veľmi nezmení, ale medián rastie významne.

• Ak sú takmer všetky namerané hodnoty približne rovnaké, tak stačí jedna od-ľahlá hodnota a priemer na rozdiel od mediánu nevystihuje dané údaje.



Obr. 4.5.14 Vlastnosti mediánu a priemeru

úLOHA 8


http://statweb.calpoly.edu/chance/applets/DotPlotApplet/DotPlotApplet.html (obr. 4.5.15).

Skúste hádať priemer a medián na základe diagramu. Určte z neho modus. Sformulujte odpovede na nasledujúce otázky:

• Charakterizujte diagramy, pre ktoré je hodnota mediánu, modu a priemeru pri-bližne rovnaká.

• Charakterizujte diagramy, pre ktoré je hodnota priemeru väčšia ako hodnota mediánu.

• Charakterizujte diagramy, pre ktoré je hodnota mediánu väčšia ako hodnota prie-meru.

Obr. 4.5.15 Bodkový diagram a hodnota mediánu, modu a priemeru




Budeme využívať predovšetkým nasledujúce funkcie appletu (pozri tiež obr. 4.5.15):

• „Draw sample“ (Vygeneruj vzorku) – tlačidlo slúži na náhodné vygenerova-nie vzorky údajov, ktoré sa zobrazia vo forme bodkového diagramu (dotplot). Opakované stlačenie vygeneruje stále nové údaje.

• „Edit/Paste Data...“ (Uprav/Vlož údaje) – tlačidlo vyvolá okno, v ktorom sa zobrazia číselné hodnoty údajov zodpovedajúce bodkovému diagramu. Vygenerované údaje je možné ľubovoľne modifikovať.

• Kliknutím na ľubovoľný bod v diagrame sa bod vyznačí žltou farbou a nad dia-gramom môžeme odčítať presnú číselnú hodnotu zodpovedajúcu danému bodu. Bod môžeme jednoducho myšou premiestniť a zároveň pozorovať, ako to ovplyvnilo priemer, medián.

• „Guess Mean“ (Odhadni priemer) – po zaškrtnutí políčka sa v diagrame zo-brazí zvislá zelená čiara označená ako „mean“ (priemer), pričom sa pod ozna-čením zobrazuje aj číselná hodnota, v ktorej je čiara umiestnená. Môžeme ju voľne posúvať pomocou myši. čiaru umiestnime do bodu, ktorý považujeme za aritmetický priemer.

• „Guess Median“ (Odhadni medián) – zaškrtávacie políčko funguje analogicky ako políčko pre odhad priemeru. Opäť sa zobrazí zvislá čiara (hnedá), označená ako „median“, spolu so zodpovedajúcou číselnou hodnotou. Pomocou myši pre-miestnime čiaru do hodnoty, ktorú považujeme za medián.

• „show actual“ (Ukáž skutočnú hodnotu) – po zaškrtnutí políčka (vedľa po-líčka pre odhad priemeru) sa v diagrame zobrazí šípka a skutočná číselná hod-nota aritmetického priemeru, resp. mediánu zobrazených údajov.

Cieľom úlohy je, aby žiaci odhalili vzájomnú polohu mediánu a priemeru v závislosti na tvare diagramu. Mali by si všimnúť, že ak je diagram symetrický, modus, me-dián a priemer majú približne rovnakú hodnotu. Ak je diagram zošikmený doprava (t.j. chvost je natiahnutý smerom k väčším hodnotám), priemer je väčší ako medián a ten je väčší ako modus. Ak je diagram zošikmený doľava (t.j. chvost je natiahnutý smerom k menším hodnotám), priemer je menší ako medián a medián je menší ako modus. Prejavuje sa tu vlastnosť priemeru – citlivosť na extrémne hodnoty. Žiaci by sa tiež mali presvedčiť o tom, že medián sa nebude meniť vôbec, ak odľahlú hodnotu umiestnime ešte ďalej od ostatných hodnôt. Teda na rozdiel od priemeru je odolný voči extrémom.



4.5.3 skúmanie údajov a vzťahov medzi nimi



skúmanie údajov a vzťahov medzi nimi, úvod k pojmu korelácia 9. ročník ZŠ



• rozumieť kvalitatívnemu popisu štatistických závislostí medzi pre-mennými (pojmy: vzťah, závislosť; pozitívna, negatívna, silná, mierna, žiadna)

• objaviť a rozumieť na intuitívnej úrovni základným vlastnostiam ko-relácie ako miery závislosti medzi 2 premennými (typ závislosti; rozsah hodnoty korelácie; rozmer; význam znamienka +/-)

• rozpoznať rozdiel medzi štatistickou závislosťou a príčinnou závislosťou

• odhadovať hodnotu korelačného koeficientu na základe grafického znázornenia

• využívať grafy a koreláciu na efek-tívny popis závislosti dvoch premen-ných pri analýze údajov

• pracovať s reálnymi údajmi

• efektívne využívať IKT na výpočet korelačného koeficientu a grafickú reprezentáciu údajov

• vie zostrojiť body v súradnicovom systéme na základe danej tabuľky hodnôt

• vie, čo je lineárna funkcia

• ovláda využívanie základných výpoč-tových funkcií programu Microsoft Excel

• ovláda základy tvorby a jednoduché úpravy grafov v programe Microsoft Excel



• kľúčovú kompetenciu využívanie informačných zdrojov so zamera-ním na zbieranie, výber a triedenie informácií a správnu interpretáciu rôznych reprezentácií údajov

• kľúčovú kompetenciu preskúmať a organizovať informácie zameranú na analýzu údajov a vzťahov medzi údajmi, tvorbu a úpravy tabuliek a grafov

• Pri tradičnej výučbe štatistiky sa kla-die viac dôraz na to ako počítať šta-tistické veličiny, než na ich pochope-nie, interpretáciu a význam v praxi. Odstraňovanie miskoncepcií súvisia-cich s pojmom korelácia.

• IKT poskytujú pomoc pri riešení týchto problémov vďaka možnos-tiam a rýchlosti vykonávania štatistic-kých výpočtov a vizualizácie údajov.





• tabuľkový procesor Microsoft Excel, Google

• Internetový e-hlasovací systém

• applety alebo excelety

• vytlačené pracovné listy s worksho-povými aktivitami

• reálne údaje uložené v excelovských zošitoch

• riadené skúmanie - workshopová metóda

• skupinová forma práce pri počíta-čoch pripojených na internet (dvojica žiakov na jeden počítač)


úvod k mEtodikE

Táto metodika v tematickom okruhu štatistika ilustruje využívanie IKT pri prezentácii dvoch kľúčových myšlienok matematickej štatistiky: pojem závislosť a jej vizualizáciu a pojem korelácia a jej vlastnosti. Metodika využíva dominantne riadené skúmanie vo forme workshopovej metódy, ktorej základné kroky sú uvedené v prvej kapitole v časti 1.2.3. Obsah učiva je možné zvládnuť v troch až štyroch vyučovacích hodi-nách v závislosti na schopnostiach a zručnostiach žiakov. z portálu je potrebné stiah-nuť pracovný list korelaciazS_pracovny_list.doc, ktorý pomáha k lepšej orientácii pri čítaní metodiky. Navyše je vo formáte Microsoft Word, čo dovoľuje modifikovať aktivity podľa vlastných potrieb.

motivaČný problém: hovoriacE stopy

Obr. 4.5.16 Hovoriace stopy

Vo februári 2009 obletela vedecký svet správa o nájdení 1,5 milióna rokov starých stôp v Afrike (4°18’44‘‘ s.z.š, 36°16‘16‘‘ v.z.d.). Pomocou laserového skenovania a me-raním stlačenia usadenín v mieste stôp došli vedci k významnému objavu, že takúto stopu mohol zanechať jedine predok človeka, ktorý chodil už vzpriamene ako dnešní



ľudia. z veľkosti stôp a ich hĺbky ďalej vedci usúdili, že výška jedinca, ktorý vytvoril stopy, bola približne 1,75 m.

Rovnakými vedeckými metódami dokážu kriminalisti odhaliť z odtlačkov nohy výšku páchateľa, či hľadanej osoby. Pri nájdení kostrových pozostatkov postačuje dokonca je-diná zachovaná kosť, aby tieto metódy dali archeológom predstavu o veľkosti postavy.

Akým spôsobom sa dá z veľkosti chodidla alebo jednej kosti odhadnúť výška člo-veka? Ako pri pátraní po totožnosti hľadanej osoby, obete alebo páchateľa je možné zo stôp určiť približne výšku postavy? Vedci, kriminalisti, súdni lekári a archeológovia dokážu nájsť odpovede na tieto otázky vďaka časti matematiky, ktorej základnými myšlienkami sa budeme zaoberať.

úVODNÉ OTÁZKY

1. Myslíte si, že existuje závislosť medzi rozpätím dlane a výškou postavy, t.j. že na základe rozpätia dlane vieme odhadnúť koľko dotyčný človek meria?

2. Má veľkosť dopravných značiek alebo značenia nejaký význam pre cestnú pre-mávku? Vysvetlite. Ak sedíte v aute, z akej vzdialenosti už rozoznáte dopravnú značku?

3. Čo očakávate: ak je vek vodiča vyšší, tak vzdialenosť z ktorej vie rozoznať do-pravné značenie je:

a) väčšia

b) menšia

c) rozoznávanie značiek nesúvisí s vekom


Pri hľadaní odpovedí na tieto otázky by žiaci v spoločnej diskusii mali dôjsť k do-mnienke, že medzi rozpätím dlane a výškou je závislosť podobne ako aj medzi vekom a vzdialenosťou, z ktorej sme schopní rozoznať značky. Pritom žiaci by mali dokázať sformulovať slovný popis typu: ak jedna veličina narastá, čo sa deje s dru-hou? Pri týchto otázkach je vhodné použiť e-hlasovanie. Prvá otázka je typu pravda--nepravda, pri druhej by žiaci mali najprv do zošitov zapísať svoj odhad a potom by mala nasledovať otázka napr. s výberom odpovedí: a) cca 10 m, b) cca 50 m, c) cca 100 m, d) cca 200 m. A tretia má automaticky tvar s výberom odpovedí. Po úvodných otázkach nasleduje riadené skúmanie žiakov s využitím workshopo-vých aktivít.

pojEm závislosti

Na hodinách štatistiky sme sa oboznámili s viacerými spôsobmi zobrazenia a popiso-vania vlastností vecí a dejov okolo nás, pričom sme sa zamerali vždy na popis jednej vlastnosti, tzv. veličiny alebo znaku, napr. výška žiaka, výsledok z testu z matematiky, počet písmen v danom texte, počet hodín strávených sledovaním televízie. V nasle-dujúcich aktivitách sa sústredíme na údaje, keď na danom objekte meriame dve vlastnosti - dva znaky. V takom prípade nás bude zaujímať ako použiť grafy a súhrnné štatistiky na odhalenie toho, či takéto dva znaky spolu súvisia.



Po prečítaní úvodného motivačného problému Hovoriace stopy nás môže zaujímať, či pri meraní výšky a dĺžky chodidla chlapcov v triede odhalíme nejaký vzťah. Je zrejmé, že vzťah tu je, pretože vyšší chlapec bude mať aj väčšie chodidlo. Ak by sme vedeli tento vzťah popísať presnejšie, vedeli by sme napríklad odhadnúť veľkosť jeho chodidla na základe jeho výšky? Alebo ak napríklad má žiak chodidlo dlhé 26 cm, vedeli by sme odhadnúť jeho výšku? V iných prípadoch vzťah medzi dvomi znakmi nemusí byť taký zrejmý. Našim cieľom bude teraz oboznámiť sa s prostriedkami, ktoré môžu byť nápomocné pri odhaľovaní takýchto závislostí.

aktivity na vyuČovacEj hodinE

AKTIVITA 1

výška ČlovEka a rozpätiE jEho dlanE

Na vykonanie tejto aktivity si pripravte nasledovné pomôcky: zvinovacie meradlo, dlhé pravítko. Budete pracovať v dvojiciach.

a) Odmerajte v dvojiciach navzájom svoju výšku a rozpätie dlane (vzdialenosť konca palca a malíčka vystretej roztiahnutej dlane). Namerané údaje zapíšte do Google tabuľky Výška a dlaň.

b) Potom, čo všetci žiaci zadajú svoje údaje do tej istej tabuľky, skopírujte si všetky namerané údaje po skompletizovaní tabuľky do Microsoft Excelu. O aký typ ve-ličiny ide (kvalitatívna alebo kvantitatívna)? Zvoľte vhodný typ grafu a znázornite namerané údaje.

Obr. 4.5.17 Výška človeka a rozpätie dlane – zápis do Google tabuľky



c) Popíšte slovne vytvorený graf. Čo pozorujete s narastajúcou výškou?

d) Graf XY je nápomocný pri odhaľovaní závislosti dvoch veličín. Pomocou interne-tového e-hlasovania odpovedzte na nasledovnú otázku:

Ak narastá výška žiaka od nižších hodnôt k vyšším (zľava doprava), tak sa zväč-šuje aj rozpätie jeho dlane od kratších dĺžok k dlhším (zdola nahor). V takom prípade je prirodzené hovoriť, že:

1. Výška ovplyvňuje rozpätie dlane v pozitívnom zmysle, t.j. medzi výškou a roz-pätím dlane je pozitívna závislosť.

2. Výška ovplyvňuje rozpätie dlane v negatívnom zmysle, t.j. medzi výškou a rozpätím dlane je negatívna závislosť.

AKTIVITA 2

vEk vodiČa a dopravné znaČky

a) Stiahnite si súbor vek_a_vzdialenost.xls. Súbor obsahuje údaje pre 30 ná-hodne vybratých účastníkov cestnej premávky. Údaje boli zozbierané za účelom zvýšenia bezpečnosti na diaľnici. Pre každého účastníka sa zaznamenal jeho vek a maximálna vzdialenosť, z ktorej bol schopný prečítať dopravné značenie.

b) Popíšte v akom rozmedzí sa pohybuje vek vodiča v rokoch a v akom rozmedzí vzdialenosť v metroch? Predtým, než znázornite údaje do grafu, načrtnite obrá-zok, aký tvar grafu očakávate.

c) Znázornite údaje do XY grafu.

d) Popíšte slovne vytvorený graf. Čo pozorujete pre zvyšujúci sa vek?

e) Pomocou internetového e-hlasovania odpovedzte na nasledovnú otázku:

Ak sa zvyšuje vek vodiča od nižších hodnôt k vyšším (zľava doprava), tak sa zni-žuje maximálna vzdialenosť, z ktorej je osoba schopná prečítať značku. V takom prípade je prirodzené hovoriť, že:

1. Vek ovplyvňuje maximálnu rozpoznávaciu vzdialenosť v pozitívnom zmysle, t.j. medzi týmito dvomi veličinami je pozitívna závislosť.

2. Vek ovplyvňuje maximálnu rozpoznávaciu vzdialenosť v negatívnom zmysle, t.j. medzi týmito dvomi veličinami je negatívna závislosť.


Pri skupinovej práci žiaci písomne odpovedajú do pracovných listov, pričom by mali zvládnuť prácu s grafom xy v Microsoft Exceli, ktorý je vhodný na skúmanie závis-losti dvoch veličín. Pri zobrazení by si mali uvedomiť, že je vhodné upraviť rozsah zobrazených údajov na oboch osiach, konkrétne minimálnu hodnotu.



Obr. 4.5.18 Vek vodiča a dopravné značky – XY graf v Microsoft Exceli

Výsledkom ich práce v prípade druhej úlohy by mal byť graf na obrázku 4.5.18 (v prí-pade prvej aktivity očakávame obdobný tvar, ale s kladnou smernicou). Na záver oboch aktivít by malo dôjsť k zhrnutiu a formulácii toho, čo je to pozitívna a čo je negatívna závislosť medzi dvomi veličinami.

sPOLOČNÁ AKTIVITA

späť k hovoriacim stopám

Otvorte si súbor predikcia.xls. V grafe z aktivity č.2 sú vložené tri priamky. Jedna prechádza približne „prostrednými hodnotami“, druhá približne minimálnymi a tretia približne maximálnymi (obr. 4.5.19). Skúste „od oka“ preložiť v Microsoft Exceli tri takéto priamky v grafe z aktivity 1. Na čo sú dobré tieto priamky? Zamyslite sa nad touto otázkou v súvislosti s hovoriacimi stopami.

Poznámka: Štatistici spomenuté priamky neprekladajú od oka ale na základe presného špeciálneho matematického postupu. My sa ním však nebudeme zaoberať.


Úloha predstavuje propedeutickú úlohu na lineárnu regresiu. Žiaci by intuitívne mali cítiť význam týchto troch priamok ako priamok vhodných na predikciu. Inými slovami na základe týchto priamok vieme predpovedať interval pre rozpätie dlane pri danej výške alebo naopak. Napr. v prípade veku a vzdialenosti z grafu doká-žeme predpovedať hodnotu vzdialenosti pre 60 ročného vodiča, mala by sa pohy-bovať v rozmedzí 120±30.



Obr. 4.5.19 Ukážka zo súboru predikcia.xls

Túto skutočnosť využívajú práve kriminalisti, súdni lekári spomenutí v motivačnom probléme.

DOPLňUJúCA úLOHA

Sú skúmané závislosti v aktivitách 1 a 2 funkciami? Vysvetlite.


Doplňujúce úlohy sú vhodné len pre šikovnejších žiakov v prípade dostatku času. Ak majú žiaci správnu predstavu o funkciách, t.j. že pri funkčných závislostiach je každej hodnote priradená nanajvýš jedna, tak by mali dôjsť k záveru, že tieto skú-mané závislosti nie sú funkciami s touto vlastnosťou. Napr. v prípade veku 23 sú priradené dve hodnoty vzdialenosti 155 a 140.

Učiteľ by si mal uvedomovať, že v presnej matematickej terminológii štatistické zá-vislosti nie sú reálne funkcie reálnej premennej. Ide o tzv. lineárnu regresiu, kde reálnym číslam nie sú priradzované reálne čísla, ale náhodné veličiny. S týmito poj-mami nemajú byť žiaci oboznámení, a úloha má mať len propedeutický charakter.

domácE aktivity

V nasledujúcich domácich aktivitách si precvičte, resp. upevnite svoje vedomosti a chápanie prebraného učiva.



DOMÁCA AKTIVITA 1

vEľkosť rodín

a) Myslíte si, že ľudia z veľkých rodín si vyberajú partnerov skôr z veľkých rodín, ma-lých rodín, alebo medzi veľkosťami rodín manželského páru nie je žiaden vzťah?

b) Myslíte si, že ľudia z veľkých rodín majú skôr veľkú rodinu, naopak malú rodinu, alebo si myslíte, že tu nie je žiadna závislosť?

Obr. 4.5.20 Google tabuľka pre domácu aktivitu Veľkosť rodín

a) Na internete do Google tabuľky Veľkosť rodín (určenej pre celú vašu triedu) vy-plňte svoje údaje.

b) Koľko závislostí vieme vytvoriť na základe vypĺňanej tabuľky? Vymenujte ich.

c) Urobte vlastné predikcie o týchto závislostiach (žiadna, veľmi slabá, mierna, silná; pozitívna, negatívna) a zaznamenajte ich ako odpovede na otázky na e-hlasova-nie k tejto domácej úlohe.

Pokyny: Údaje do tabuľky vložíte do riadku s poradovým číslom zhodným s vašim poradím v klasifikačnom hárku. Internetovú linku k tejto tabuľke dostanete od učiteľa emailom, kde sa kliknutím na túto linku v prehliadači dostanete do tabuľky na ob-rázku. Ovládanie a písanie v tejto tabuľke je takmer identické s Microsoft Excelom. Rovnako dostanete linku k otázkam na e-hlasovanie, kde zaznamenáte svoje predikcie.



DOMÁCA AKTIVITA 2

vzťahy mEdzi dvomi znakmi (vEliČinami) v rEálnych situáciách

Zamyslite sa nad nasledujúcimi dvojicami znakov uvedených v nasledovnej tabuľke.

a) Zapíšte do tabuľky (napr. v programe Word, alebo programe Google dokument), aký charakter a akú silu závislosti alebo „previazanosti“ očakávate medzi uve-denými dvojicami veličín. V prípade charakteru závislosti použite jedno z prí-davných mien pozitívna, negatívna, žiadna. V prípade sily závislosti použite prídavné mená žiadna, veľmi slabá, mierna, silná.

b) Vyrobte tabuľku (napríklad vo Worde) s dvomi stĺpcami, kde prvý stĺpec bude identický s prvým stĺpcom tabuľky z úlohy a) a v druhom stĺpci bude niekoľkými vetami vysvetlené, prečo ste zvolili uvedené prídavné mená pre danú závislosť.

Dvojica veličín Charakter závislosti

sila závislosti

Cena letenky a vzdialenosť cieľa

zemepisná šírka a januárová teplota v mestách EÚ

Výška postavy a priemer známok

Výška postavy a dĺžka chodidla

Veľkosť (objem) motora auta a jeho spotreba

čas v behu na 1500 m a počet kľukov

Dĺžka spánku a čas strávený učením

Veľkosť porcie a kalorická hodnota jedál rýchleho občerstvenia

METODICKÁ POZNÁMKA K DOMÁCIM AKTIVITÁM

Úlohou domácich aktivít je zlepšenie a tréning vhľadu, hodnotiaceho myslenia a in-tuície žiakov v prípade závislosti medzi dvomi znakmi v reálnych situáciách. Vo všet-kých 11 prípadoch možných závislostí oboch aktivít (3 prípady v prvej a 8 prípadov v druhej aktivite), ak údaje preukazujú závislosť, tak ide o príčinné závislosti. Tieto aktivity sú nevyhnutnou prípravou a tréningom pre ďalšie aktivity na nasledujúcich hodinách, preto by ich žiaci mali vykonať starostlivo.

sPOLOČNÁ AKTIVITA

sila závislosti a domáca aktivita Č. 2

Aktivita nadväzuje na domácu aktivitu č. 2: Vzťahy medzi dvomi znakmi v reálnych situáciách.



Predikcie charakteru závislosti vo forme e-hlasovania. Učiteľ otvorí súbor Vztahy.xls (prístupný na portáli) na interaktívnej tabuli. Žiaci si môžu dané grafy otvoriť aj vo svojich počítačoch.

Vzhľadom na náročnosť danej aktivity je vhodné na chvíľku upustiť od workshopovej metódy a prejsť na riadené vyučovanie učiteľom s využítím e-hlasovania (metóda Peer Instruction).

Otázka na e-hlasovanie. Na základe grafu urobte záver o zobrazenej závislosti.

Závislosť medzi danými dvomi veličinami je:

1. pozitívna2. negatívna3. žiadna

Obr. 4.5.21 Sila závislosti – súbor Vztahy.xls


Učiteľ po druhom hlasovaní metódou Peer Instruction na interaktívnej tabuli vypi-suje k jednotlivým grafom o akú závislosť ide. Plynule nadväzuje krátkym komen-tárom v tom zmysle, že v niektorých prípadoch sú závislosti napr. pozitívne, ale napriek tomu sa tvarom grafy líšia. Preto ak je tam nejaká závislosť, tak ich charak-terizujeme ďalším prídavným menom.



Skúste teraz pomocou prídavných mien veľmi slabá, mierna, silná, charakterizovať jednotlivé závislosti a to pomocou internetového e-hlasovania:

Otázka na e-hlasovanie. Závislosť medzi danými dvomi veličinami je:

1. veľmi slabá

2. mierna

3. silná

4. ani jedno z nich (v prípade, že medzi veličinami nie je žiadna závislosť)


Učiteľ po druhom hlasovaní opäť na interaktívnej tabuli zapíše, akú silu má každá závislosť. Žiaci by mali intuitívne cítiť, že sila závislosti súvisí s rozptýlenosťou. Mali by získať predstavu, že ak sú body v grafe veľmi rozptýlené, ide o slabú závislosť. Ak sú body sústredené okolo priamky, tak je to závislosť veľmi silná. Pojem sily závis-losti je takto spomenutý na intuitívnej úrovni, bez presnej definície, pričom aktivita je spoločná, aby učiteľ mal istotu a videl spätnú väzbu od všetkých žiakov. Pri po-sledných závislostiach by úroveň úspešnosti mala prekročiť 70 %. Ak neprekročí, učiteľ by mal zhrnúť vyššie uvedenú predstavu a zopakovať celú aktivitu na grafoch z Veľkosti rodín, pričom spolu so žiakmi grafy v Google tabuľke zostrojí a potom o charaktere a sile dáva hlasovať.

pojEm a vlastnosti korElaČného koEficiEntu

úVODNÉ OTÁZKY

1. Myslíte si, že existuje závislosť medzi známkami získanými z matematiky a fyziky vo vašej triede? Vyberte typ závislosti – negatívna, pozitívna, žiadna.

2. Odhadnite počet mobilných telefónov pripadajúcich v priemere na 100 ľudí v na-sledujúcich krajinách: USA, Čína, Haiti a Slovensko.

3. Čo očakávate: ak vlastníme viac mobilných telefónov, budeme žiť

a) v priemere dlhšie (dlhšia priemerná dĺžka života)

b) v priemere kratšie (kratšia priemerná dĺžka života)

c) neočakávate žiadnu závislosť medzi týmito dvomi veličinami


Pri druhej dávke motivačných otázok už žiaci majú prvotnú predstavu, čo je to pozitívna závislosť (t.j. závislosť, keď nárast jednej veličiny spôsobuje nárast druhej) a čo znamená napr. silná závislosť. V prípade výsledkov pre M a F vďaka prepoje-nosti a podobnosti predmetov M a F, by mali žiaci odhaliť pozitívnu závislosť medzi známkami (t.j. lepšia známka z M znamená aj lepšiu z F), pričom táto závislosť by mala byť silne lineárna.



V prípade mobilov by si žiaci mali pri diskusii uvedomiť, že počet mobilov (na 100 oby-vateľov) bude nižší v menej rozvinutých krajinách. Mali by tiež dôjsť k záveru, že vyšší počet mobilov v domácnosti, nám nezaručí dlhovekosť. Od niektorých žiakov mô-žeme očakávať odpoveď, že vplyvom mobilu žijeme kratšie.

AKTIVITA 3

výslEdky písomiEk – úlohy a) – d)

Na hodinách štatistiky ste sa stretli s číslami ako priemer alebo medián, ktoré sú-hrnne vystihujú skúmané hodnoty akými boli počty hodín strávených pred TV alebo absolventmi žiadané platy. Ďalším súhrnným číslom bolo rozpätie, ktoré hovorí, ako sú skúmané hodnoty rozptýlené.

V tejto a ďalšej aktivite sa zoznámite so štatistickým pojmom korelačný koeficient (skrátene korelácia), ktorý sa označuje r a číselne vyjadruje mieru ako silne sú dve veličiny previazané. Vzorec pre r je pomerne zložitý, preto ak to bude potrebné, na jeho výpočet použijeme Excel. Výpočtový vzorec si ukážete až na strednej škole, keď už budete mať lepšie matematické zručnosti, ale už teraz môžete mať konkrétnu predstavu o tom, čo vlastne korelačný koeficient vyjadruje.

a) Otvorte si súbor Triedy.xls, ktorý obsahuje zoznamy hypotetických výsledkov písomiek z dvoch predmetov v šiestich rôznych triedach (A-F).

b) Uvážte, o aký typ údajov sa jedná, kvalitatívne alebo kvantitatívne? Navrhnite vhodný typ grafu na znázornenie údajov pre všetkých 6 tried a grafy vytvorte.

c) Stručne popíšte, aký vzťah odhaľujú grafy medzi výsledkami písomiek z prvého a druhého predmetu. Ak poznáte výsledok písomky žiaka z prvého predmetu, máte tak informáciu o výsledku písomky z druhého predmetu? Vysvetlite. Je me-dzi danými veličinami nejaký vzťah, závislosť?

d) Na základe zobrazených grafov zadeľte triedy do nasledujúcej tabuľky:

Závislosť silná Mierna Veľmi slabá

Negatívna

Pozitívna


Pri skupinovej práci žiaci písomne odpovedajú do pracovných listov, pričom by mali opäť siahnuť po grafe xy v ExCELI, ktorý je vhodný na skúmanie závislosti dvoch veličín. Pri zobrazení by si mali uvedomiť, že je vhodné upraviť rozsah zobrazených údajov na oboch osiach, konkrétne minimálnu hodnotu.



Výsledkom ich práce by mali byť nasledovné grafy:

Obr. 4.5.22 Výsledky písomiek – typ závislosti

Na základe zobrazených grafov by mali zadeliť triedy do tabuľky nasledovne:

Závislosť silná Mierna Veľmi slabá

Negatívna C D F

Pozitívna E A B

AKTIVITA 3

výslEdky písomiEk – úlohy E) – j)

e) Pomocou funkcie CORREL( ; ) vypočítajte hodnotu korelačného koeficientu me-dzi výsledkami dvoch písomiek pre každú z tried a doplňte vypočítané hodnoty do predchádzajúcej tabuľky.

f) Čo očakávate na základe získaných výsledkov? Aká bude najväčšia možná hod-nota korelačného koeficientu? Aká bude najmenšia možná?

g) Za akých podmienok očakávate, že korelačný koeficient nadobudne tieto ex-trémne hodnoty?

h) Ako súvisí hodnota korelačného koeficientu s grafickým zobrazením?

i) Ako súvisí hodnota korelačného koeficientu so silou závislosti?

j) Akú závislosť predpokladajú údaje v prípade, že korelačný koeficient nadobudne nulovú hodnotu? Ako by mohol vyzerať bodový graf pre údaje s nulovým kore-lačným koeficientom?




Vykonanie aktivít e) až j) by malo viesť žiakov k experimentálnemu odhaleniu zák-ladných vlastností korelácie. Žiaci by na základe získaných výsledkov mali dospieť k tomu, že hodnota korelácie sa zrejme pohybuje v intervale -1, +1. Ďalej, že kladné znamienko koeficientu znamená „pozitívnu“ závislosť, t.j. s rastom jednej veličiny rastie aj druhá. záporné znamienko zasa „negatívnu“ závislosť a tiež, že, čím je hodnota r bližšia k 1, resp. -1, tým silnejšia je závislosť veličín. Dá sa očakávať, že žiaci budú pred-pokladať v úlohe j) pri nulovej hodnote koeficientu nezávislosť pozorovaných veličín. Na základe zobrazených grafov by mohli dôjsť k záveru, že body v grafe budú tvoriť akýsi „zhluk“, resp. budú rovnomerne rozptýlené po celej oblasti grafu.

AKTIVITA 3

výslEdky písomiEk – úlohy k) – n)

k) Znázornite údaje pre triedu H aj I v súbore Triedy GHi.xls, odhadnite r, urobte predbežný záver o závislosti výsledkov písomiek v daných triedach.

l) Spočítajte r pre triedu H aj I a urobte finálny záver o závislosti.

m) Ktoré z hodnôt pre triedu H a ktoré pre triedu I môžeme označiť slovom odľahlé? Vysvetlite.

n) Zmažte odľahlé hodnoty v jednotlivých triedach a spočítajte r pre H aj I. Porov-najte so záverom v úlohe l).


Úlohami k) až n) chceme žiakov upozorniť na možný výrazný vplyv odľahlých (ex-trémnych) hodnôt na veľkosť korelačného koeficientu. Kým v prípade triedy H zo-brazené údaje naznačujú silnú lineárnu závislosť, čomu by mal zodpovedať odhad r blízky 1, vypočítaná hodnota je len r = 0,037. V prípade triedy I zasa podľa grafu ne-predpokladáme vysokú hodnotu koeficientu, Excel vypočíta r = 0,705. (obr. 4.5.23)

Obr. 4.5.23 Veľkosť korelačného koeficientu a odľahlé hodnoty



Žiaci môžu jednoducho v Exceli zmazať tieto extrémne hodnoty a zistiť zmenenú hod-notu korelačného koeficientu pre zvyšné údaje. Korelácia bez extrémnych hodnôt - H: 0.999; I: 0.130. Na základe uvedeného, sa žiaci presvedčia, že odľahlé (extrémne) hodnoty, ktoré sa mohli dostať do súboru napríklad chybou pri zapisovaní, môžu výrazne ovplyvniť veľkosť korelačného koeficientu, a to v oboch smeroch.

DOPLňUJúCE úLOHY

výslEdky písomiEk – úlohy o) – p)

o) Otvorte súbor TriedyGHi.xls. Vypočítajte korelačný koeficient z výsledkov dvoch predmetov pre triedu G, ktorej výsledky sú na prvom hárku. Urobte záver o závis-losti. Slovne popíšte, ako asi bude vyzerať graf pre triedu G.

p) Overte svoju domnienku vykreslením grafu.

Obr. 4.5.24 Kvadratická závislosť


Predpokladáme, že žiaci na základe vypočítanej hodnoty r ≈0 urobia záver o ne-závislosti údajov. V zobrazenom grafe pre triedu G (obr. 4.5.24) by však mali roz-poznať závislosť, ktorá nie je lineárna (je kvadratická). T.j. mali by dôjsť k záveru, že korelačný koeficient meria len silu lineárnej závislosti a zložitejšie závislosti neodhalí. Úlohou chceme žiakov upozorniť na to, že výpočet koeficientu bez predchádzajú-ceho zobrazenia údajov nemá zmysel.

DOPLňUJúCE úLOHY

výslEdky písomiEk – úlohy q) – r)

q) Znázornite údaje pre triedu J v súbore Triedy GHi.xls, odhadnite r, urobte pred-bežný záver o závislosti výsledkov písomiek tejto triedy.

r) Spočítajte r. Dostali ste hodnotu akú ste očakávali?




Vysoký korelačný koeficient môže byť spôsobený aj dvoma nezávislými zhlukmi údajov. (Napríklad dievčatá a chlapci, dve rôzne školy, dve triedy s rôznymi učiteľmi).

Obr. 4.5.25 Neočakávaná hodnota korelačného koeficientu

o Čom korElaČný koEficiEnt nEhovorí

AKTIVITA 4

mobilné tElEfóny a dĺžka života – úlohy a) – b)

V nasledujúcej tabuľke máme údaje o priemernom počte mobilných telefónov pripa-dajúcich na 100 obyvateľov pre vzorku 20 krajín z rôznych častí sveta. Druhý stĺpec údajov nám poskytuje informáciu o priemernej dĺžke života v každej z nich.

a) Popíšte danú tabuľku (ktoré krajiny majú najnižší počet, ktoré najvyšší počet telefónov v priemere na 1 obyvateľa; to isté urobte aj pre priemernú dĺžku života.)

b) Údaje v tabuľke sú uložené v súbore mobilne_telefony.xls. Stiahnite si tento súbor. Preskúmajte, či medzi danými dvoma veličinami je nejaká závislosť, t.j. vy-kreslite potrebný graf, urobte na základe grafu predikciu pre korelačný koeficient a potom ju pomocou Microsoft Excelu overte.

Krajina Počet telefónov na 100 obyvateľov*

Dĺžka života* Krajina Počet telefónov

na 100 obyvateľov*Dĺžka

života*Austrália 102,5 81,2 Maroko 64,2 71,2Bangladéš 21,7 64,1 Mexiko 62,5 76,2Bolívia 34,2 65,6 Moldavsko 49,6 68,9Brazília 63,1 72,4 Pakistan 38,4 65,5Egypt 39,8 71,3 slovensko 112,6 74,7Francúzsko 89,8 80,7 sudán 21,3 58,6Haiti 26,1 60,9 Turecko 82,8 71,8Kambodža 17,9 59,7 Turkménsko 6,32 56,9Lýbia 73,1 74,0 UsA 86 78,2Malajzia 87,9 74,2 V. Británia 120,5 79,4

*Reálne údaje podľa www.gapminder.org vzťahujúce sa na rok 2007




Žiaci zobrazia údaje pomocou grafu xy v Exceli. Na základe obrázku odhadujú hodnotu korelačného koeficientu, ktorý následne vypočítajú pomocou funk-cie CORREL( ; ) a porovnajú so svojím odhadom. Očakávame výsledok ako na obr. 4.5.26.

Obr. 4.5.26 Graf XY na odhad korelačného koeficientu

V prípade, že má učiteľ, k dispozícii viac času a chce, aby si žiaci trénovali prácu s grafmi (odčítanie hodnôt a vytvorenie tabuľky) a s databázami reálnych údajov, môže žiakom poskytnúť v pracovných listoch nevyplnenú tabuľku. Žiaci na stránke internetovej databázy www.gapminder.org nájdu graf a z neho si zistia údaje, vytvoria ta-buľku a následne vytvoria vlastný graf. zároveň môžeme úlohu prepojiť s geografiou, ak žiaci budú dané krajiny vyhľadávať na mape (napr. maps.google.com, program Google zem).

AKTIVITA 4

mobilné tElEfóny a dĺžka života – úlohy c) – d)

c) V jednej z úvodných otázok ste mohli dôjsť k záveru, že medzi známkami z fyziky a matematiky je zrejme závislosť a to silne pozitívna. To znamená, že čím žiak lepšie ovláda matematiku, tým je väčšia šanca, že mu pôjde lepšie aj fyzika.

Ak zopakujeme túto úvahu na mobilné telefóny, z grafického znázornenia aj z hodnoty r sa zdá, že čím viac telefónov budeme mať, tým dlhšie budeme žiť. Inými slovami ak menej rozvinutej krajine pošleme viac mobilov, tak by sa im mal zvýšiť priemerný vek. Okomentujte túto úvahu.

d) Ak dve premenné vykazujú silnú závislosť, t.j. ich korelácia je blízko +1 a -1, vy-plýva vždy z tejto závislosti, že jedna premenná je príčinou druhej?




Vysoká hodnota korelačného koeficientu medzi mobilmi a dĺžkou života síce na-značuje silnú lineárnu závislosť, ale žiaci by mali intuitívne vycítiť, že počet mobilov nemôže predlžovať život. Skôr by mohli niektorí žiaci argumentovať, že je tam vplyv tretej premennej – rozvinutosti krajiny. Vďaka rozvinutosti krajiny majú ľudia viac mobilov aj lepšiu životnú úroveň, zdravie. Príklad ilustruje dôležitý rozdiel medzi závislosťou a príčinnosťou. Dve veličiny môžu byť silne previazané (čo môžeme od-merať korelačným koeficientom), ale bez príčinnej závislosti. zvyčajným dôvodom je závislosť oboch meraných veličín od tretej, ktorú sme nemerali. V tomto prípade to je životná úroveň v krajinách, ktorá ovplyvňuje dĺžku života aj počet mobilov.

DOPLňUJúCE úLOHY

a) Štúdia ukázala, že medzi stupňom IQ a dĺžkou života je silná korelácia. Znamená to, že ak máte nadpriemerné IQ, budete automaticky žiť dlhšie?

b) Ukázalo sa, že čím viac teplého šatstva sa predá, tým viac sa predá horúcej čo-kolády. Znamená to, že čím viac teplého šatstva si kúpite, tým väčší obrat bude mať miestna cukráreň z horúcej čokolády?


V úlohách žiakov vyzývame, aby odôvodnili svoje odpovede. Očakávame, že iden-tifikujú tretiu premennú (zdravší životný štýl, ročné obdobie), ktorá ovplyvňuje obe pozorované premenné.

domácE aktivity

DOMÁCA AKTIVITA 3

tréning odhadu korEláciE na „simulátorE“

V tejto dôležitej domácej aktivite budete trénovať odhad korelácie na základe grafic-kého vyjadrenia závislosti.

a) Stiahnite si program korelacianR2.ggb, ktorý dokáže náhodne generovať údaje a vypočítať korelačný koeficient. Na stránke www.geogebra.org spustite softvér Geogebra a otvorte v ňom stiahnutý program korelacianR2.ggb.

b) Predtým než spustíte simuláciu, odškrtnite možnosť zobrazovania r. Potom spus-tite simuláciu, pre zobrazované údaje urobte predikciu pre r a nakoniec si ju overte zobrazením r. Tento tréning zopakujte aspoň desaťkrát a výsledky zapíšte do nasledovnej tabuľky.

Simulácia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10PredikciaSkutočnosť



DOMÁCA AKTIVITA 4

korElaČný koEficiEnt a vEľkosť rodín

(Táto aktivita je pokračovaním domácej aktivity č. 1.)

a) Otvorte si Google Tabuľku Veľkosť rodín, ktorú ste vyplnili vy aj všetci vaši spolu-žiaci a prekopírujte si údaje do svojho vlastného excelovského súboru.

b) Vytvorte grafy všetkých závislostí, nad ktorými ste uvažovali v domácej aktivite č. 1.

c) Na základe grafov urobte odhady korelačného koeficientu pre zobrazené závis-losti a potom si overte svoj odhad výpočtom koeficientu v Exceli. Svoje výsledky zapisujte do podobnej tabuľky ako v domácej aktivite č. 2

d) Využitím vytvorenej tabuľky odpovedzte pre každú závislosť pomocou interneto-vého e-hlasovania na otázku:

Aké znamienko bude mať korelačný koeficient pre danú závislosť?

1. kladné

2. záporné

3. žiadne, lebo tam nie je žiadna závislosť

Veľkosť korelačného koeficientu je:

1. 0 – 0,3 (veľmi slabá závislosť),

2. 0,3 – 0,7 (mierna závislosť),

3. 0,7 – 0,9 (silná závislosť),

4. 0,9 – 1,0 (veľmi silná),

5. iná možnosť ako predchádzajúce.

DOMÁCA AKTIVITA 5

vEľkosť topánky, hasiČské autá a tEplota vzduchu

a) Bola preukázaná silná pozitívna závislosť medzi veľkosťou topánky a slovnou zá-sobou dieťaťa. Znamená to, že ak má váš mladší brat väčšiu nohu ako jeho spo-lužiaci v škôlke, má väčšiu slovnú zásobu v porovnaní s nimi? Vysvetlite.

b) Prečo možno očakávať silnú pozitívnu koreláciu medzi počtom hasičských áut, ktoré sa zúčastnia na hasení a rozsahom škody spôsobenej požiarom? Znamená to, že by škody boli menšie, keby bolo vyslaných menej hasičských áut? Vysvetlite.

c) Otvorte si súbor teplota_mesta.xls. Z uvedených grafov urobte závery o závis-losti medzi priemernou mesačnou teplotou v Košiciach a v Bratislave a medzi priemernou mesačnou teplotou v Sydney a Barcelone. Znamenajú jednotlivé grafy to, že počasie alebo teplota vzduchu v Košiciach ovplyvňuje teplotu v Brati-slave, resp. teplota v Sydney ovplyvňuje teplotu v Barcelone? Vysvetlite.



METODICKÁ POZNÁMKA K DOMÁCIM AKTIVITÁM

V tretej domácej aktivite ide o tréning odhadu korelácie na simulovaných údajoch a v štvrtej tréning na reálnych údajoch, zber údajov a uvedomenie si možných závis-lostí a piata na pripomenutie toho, že matematická závislosť nemusí byť príčinnou závislosťou.

Vďaka tabuľkovému kalkulátoru Google tabuľka s ovládaním takmer identickým Excelu a e-hlasovaniu, vieme výsledky aktivít jednoducho skontrolovať ešte pred ho-dinou. Na hádanie nemusíme využívať Geogebru, môžeme použiť vhodný Excelet, t.j. applet naprogramovaný v Exceli. V takom prípade je prostredie žiakom zvyčajne bližšie.

AJ TAKTO sA TO DÁ

Veľmi vhodným zdrojom reálnych údajov pre vlastné worskhopové aktivity alebo pro-jekty okrem stránky www.gapminder.org, databázy OSN, sú databázy Eurostat a Slovstat (www.statistics.sk), pričom posledná z nich poskytuje množstvo údajov o SR.

Na odhadovanie korelácie možno použiť aj applety voľne prístupné na internete:

http://statweb.calpoly.edu/chance/applets/guesscorrelation/GuessCorrelation.html

Applet umožňuje generované údaje aj editovať, teda môžeme použiť aj vlastné name-rané údaje, prípadne pridávať body so zvolenými súradnicami.

Podobný applet možno nájsť na stránke:

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=82

Žiak body pridáva sám pomocou myši, pričom zároveň môže sledovať ako sa mení korelačný koeficient. Applet je vhodný na skúmanie vplyvu odľahlých hodnôt.



informaČné zdrojE


• HEJNÝ, M., KUŘINA, F. (2001). Dítě, škola a matematika: Konstruktivistické přístupy k vyučování. Portál Praha. ISBN 80-7178-581-4.

• BENNETT, M.R. a kol. (2009). Early Hominin Foot Morphology Based on 1.5-Million-year-Old Footprints from Ileret, Kenya., Science, Vol. 323, Iss. 5918, February 26.

• LAWS, P. W. (1997), Millikan Lecture 1996: Promotivng active learning based on physics education research in introductory physics courses, Am. J. Phys. 65(1), str. 14-21.

• MCGATHAA, M., COBB, P., MCCLAIN, K. (2002). An analysis of students’ initial statistical understandings: developing a conjectured learning trajectory. Journal of Mathematical Behavior 21, str. 339–355.

• NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS (NCTM). (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, Va.: NCTM.

• ROSSMAN, J.A., CHANCE, B.(2008). Worshop statistics: Discovery with data, 2nd Edition, Wiley, ISBN 0-470-4170-21.

• ROSSMAN, J.A.(1996). Workshop statistics: using technology to promote learning by self-discovery, Proceedings of conference Research on the Role of Technology in Teaching and Learning Statistics, Granada, Spain, str. 221-232.

• ŠEDIVÝ, O. a kol. (2001). Matematika pre 8. ročník zŠ, I. a II. diel. SPN Bratislava.

• UTTS, J.M., HECKARD, R.F. (2004). Mind on Statistics, 2nd Edition, Brooks/Cole, ISBN: 0-534-3905-5.

• WALKER, P., WOOD, E., (2006). Science Sleuths: 60 Activities to Develop Science Inquiry and Critical Thinking Skills, Grades 4-8, Jossey-Bass Teacher, ISBN: 0-787-9743-58.

• http://www.sciencecentric.com/news/09022642-ancient-footprints-show-earliest-evidence-mo-dern-foot-anatomy-walking.html,

• http://www.gapminder.org

• http://www.iskra.sk/duurko/hry/scrabble/skfreq.htm

• http://nlvm.usu.edu/

• http://sk.wikipedia.org/wiki/Scrabble

vyuzitie informacnych a komunikacnych technologii v predmete matematika pre zakladne skoly

Documents