waarom schatten waardevol is - janson.academyjanson.academy/website/data/documents/vb_27_2_j... ·...

4
Volgens Bartjens... Jaargang 7 007/008 nr. Typogram Auteursnaam Dolf Janson Een schatter kan Waarom schatten waardevol is Schattend rekenen is een wat ondergewaardeerde variant van rekenen. Dat is niet terecht, want schatten is niet alleen handig in het dagelijks gebruik, maar ook nuttig vanwege het redeneren dat daarbij nodig is. Leren schatten vraagt echter wel een specifiek soort oefening. Kaas Schatten wordt met name door jonge kinderen nogal eens opgevat als ongericht raden: roep maar wat! Schatten is meer dan dat. Het is op zijn minst doelgericht raden, en dat vraagt voorkennis. Schatten wordt ook wel opgevat als het resultaat van intuïtie en/of ervaring. Op basis van beelden en associaties wordt een getal of hoeveelheid toegekend. Deze laatste invulling van schatten zien we vaak in combinatie met een vorm van meten. De kaasverkoper die bijna exact een halve kilo kaas afsnijdt, en een kok die ‘op het oog’ hoeveelheden ingrediën- ten toevoegt, beschikken door ervaring over (eigen) referen- tiematen, die ze zich lang niet altijd bewust zijn, maar die ze, als je ernaar vraagt, wel kunnen herleiden. Een Goudse kaas heeft een gewicht van ca 15 kg. Een halve kaas weegt dus ca 7,5 kg en kwart daarvan iets minder dan 2 kg. Een halve kilo (‘pond’) is daarvan weer iets meer dan een kwart. Bij het afsnijden moet de kaasverkoper daarom snel de verhouding van het voorliggende stuk tot bijvoorbeeld een halve kaas kun- nen herkennen. De afstand van huis naar school kan een mooie referentie zijn voor afstand, zeker als die afstand lopend wordt afgelegd. Bekende verpakkingen - schoolmelkpakje, colafles, frisdrank- blikje - kunnen steun bieden bij inhoudsmaten. Het begrip ‘kuub’ (1 m 3 ) is te illustreren met zo’n enorme kunststof zak waarin zand, grind of bouwafval worden vervoerd. Dat kan de vraag oproepen hoeveel emmers – een mooie referentie voor 10 liter – je in zo’n zak kunt legen. Schatten is, zeker bij meten, ook het kunnen beredeneren van relaties. ‘Als drie blikjes fris samen een liter bevatten, en als er duizend liter in zo’n ‘kuub- zak’ passen, dan kun je dus drieduizend blikjes in zo’n zak leeg gieten.’ Zo’n redenering is nodig, omdat je je nauwelijks drieduizend blikjes kunt voorstellen. Met intuïtieve schattingen komen kinderen dan niet zo ver. Zelfstandig Een kans om eigen referentiematen met betrekking tot tijd te verwerven doet zich voor tijdens het zelfstandig werken in de klas. Bij het zelfstandig werken moeten kinderen kunnen plannen en hun tijd kunnen indelen. Om dat te leren moeten ze eerst bewust ervaren wat je kunt doen in bijvoorbeeld een half uur, om later te kunnen inschatten wat het betekent als je nog maar een kwartier de tijd hebt. Hoeveel regels kun je Een kaasverkoper maakt bij het schatten van de grootte van een stuk kaas gebruik van verhoudingen. FRANK ROOSENDAAL Laat kinderen niet alleen een kilogram suiker zien, maar laat ze ook werkelijk voelen hoe zwaar het pak is. Ervaren Schatten is in deze voorbeelden gebaseerd op ervaring. Om te kunnen schatten met maten (afstand, tijd, gewicht, oppervlakte) is eigen ervaring met meten essentieel. Kinderen zouden veel voorkomende maten moeten kunnen vertalen naar voorwerpen of situaties die ze kennen. Zo is een kilo (kg) het gewicht van een pak (kristal)suiker. Hier schuilt een addertje onder het gras. Kinderen moeten dat gewicht gevoeld en vergeleken hebben. Leerkrachten die het pak alleen maar laten zien houden er geen rekening mee dat kinderen moeten leren dat afmetingen van een voorwerp niets zeggen over het gewicht ervan. Denk hierbij aan de klassieke vraag: ‘Wat is zwaarder: een kilo veren of een kilo lood?’

Upload: phungnhan

Post on 18-Sep-2018

229 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Waarom schatten waardevol is - janson.academyjanson.academy/website/data/documents/vb_27_2_j... · Waarom schatten waardevol is Schattend rekenen is een wat ondergewaardeerde variant

�� Volgens Bartjens... Jaargang �7 �007/�008 nr. �

typogramauteursnaamdolf Janson

Een schatter kan niet zonder redenerenWaarom schatten waardevol is

Schattend rekenen is een wat ondergewaardeerde variant van rekenen. Dat is niet terecht, want schatten is niet alleen handig in het dagelijks gebruik, maar ook nuttig vanwege het redeneren dat daarbij nodig is. Leren schatten vraagt echter wel een specifiek soort oefening.

KaasSchatten wordt met name door jonge kinderen nogal eens

opgevat als ongericht raden: roep maar wat! Schatten is meer

dan dat. Het is op zijn minst doelgericht raden, en dat vraagt

voorkennis.

Schatten wordt ook wel opgevat als het resultaat van intuïtie

en/of ervaring. Op basis van beelden en associaties wordt

een getal of hoeveelheid toegekend. Deze laatste invulling

van schatten zien we vaak in combinatie met een vorm van

meten. De kaasverkoper die bijna exact een halve kilo kaas

afsnijdt, en een kok die ‘op het oog’ hoeveelheden ingrediën-

ten toevoegt, beschikken door ervaring over (eigen) referen-

tiematen, die ze zich lang niet altijd bewust zijn, maar die ze,

als je ernaar vraagt, wel kunnen herleiden.

Een Goudse kaas heeft een gewicht van ca 15 kg. Een

halve kaas weegt dus ca 7,5 kg en kwart daarvan iets

minder dan 2 kg. Een halve kilo (‘pond’) is daarvan

weer iets meer dan een kwart. Bij het afsnijden moet

de kaasverkoper daarom snel de verhouding van het

voorliggende stuk tot bijvoorbeeld een halve kaas kun-

nen herkennen.

De afstand van huis naar school kan een mooie referentie

zijn voor afstand, zeker als die afstand lopend wordt afgelegd.

Bekende verpakkingen - schoolmelkpakje, colafles, frisdrank-

blikje - kunnen steun bieden bij inhoudsmaten. Het begrip

‘kuub’ (1 m3) is te illustreren met zo’n enorme kunststof zak

waarin zand, grind of bouwafval worden vervoerd. Dat kan de

vraag oproepen hoeveel emmers – een mooie referentie voor

10 liter – je in zo’n zak kunt legen. Schatten is, zeker bij meten,

ook het kunnen beredeneren van relaties. ‘Als drie blikjes fris

samen een liter bevatten, en als er duizend liter in zo’n ‘kuub-

zak’ passen, dan kun je dus drieduizend blikjes in zo’n zak

leeg gieten.’ Zo’n redenering is nodig, omdat je je nauwelijks

drieduizend blikjes kunt voorstellen. Met intuïtieve schattingen

komen kinderen dan niet zo ver.

Zelfstandig Een kans om eigen referentiematen met betrekking tot tijd

te verwerven doet zich voor tijdens het zelfstandig werken in

de klas. Bij het zelfstandig werken moeten kinderen kunnen

plannen en hun tijd kunnen indelen. Om dat te leren moeten

ze eerst bewust ervaren wat je kunt doen in bijvoorbeeld een

half uur, om later te kunnen inschatten wat het betekent als

je nog maar een kwartier de tijd hebt. Hoeveel regels kun je

Een kaasverkoper maakt bij het schatten van de grootte van een stuk kaas gebruik van verhoudingen.

FRa

nk

RO

Ose

nd

aa

l

Laat kinderen niet alleen een kilogram suiker zien, maar laat ze ook werkelijk voelen hoe zwaar het pak is.

Ervaren Schatten is in deze voorbeelden gebaseerd op ervaring. Om te

kunnen schatten met maten (afstand, tijd, gewicht, oppervlakte)

is eigen ervaring met meten essentieel. Kinderen zouden veel

voorkomende maten moeten kunnen vertalen naar voorwerpen

of situaties die ze kennen. Zo is een kilo (kg) het gewicht van

een pak (kristal)suiker. Hier schuilt een addertje onder het gras.

Kinderen moeten dat gewicht gevoeld en vergeleken hebben.

Leerkrachten die het pak alleen maar laten zien houden er geen

rekening mee dat kinderen moeten leren dat afmetingen van een

voorwerp niets zeggen over het gewicht ervan. Denk hierbij aan de

klassieke vraag: ‘Wat is zwaarder: een kilo veren of een kilo lood?’

Page 2: Waarom schatten waardevol is - janson.academyjanson.academy/website/data/documents/vb_27_2_j... · Waarom schatten waardevol is Schattend rekenen is een wat ondergewaardeerde variant

Volgens Bartjens... Jaargang �7 �007/�008 nr. � ��

Een schatter kan niet zonder redenerenschrijven in een kwartier? Hoeveel als het ook nog netjes

moet? Hoeveel kun je doen als je ook nog over de antwoor-

den moet nadenken of iets moet opzoeken? Het ontwikkelen

van zulke (eigen) referentiematen is noodzakelijk om zinvol

met tijdindicaties te kunnen werken. Dat moet dus worden

onderzocht en uitgeprobeerd! Nu zien we vaak dat kinderen

bij de aankondiging ‘nog tien minuten’ in paniek raken of

alles snel even afraffelen. Tijdsduur lijkt een soort noodlot,

iets dat je als leerling niet zelf in de hand hebt. Geef kinderen

de gelegenheid om uit te proberen hoeveel (rijtjes) sommen,

regels in een tekst (opstel), opdrachten van begrijpend lezen,

bladzijden uit je leesboek, enzovoort, ze in een gegeven tijd

kunnen afwerken. En laat hen met elkaar praten over hun

ervaringen en de factoren die bij zelfstandig werken de tijd

kunnen beïnvloeden: gemakkelijke of moeilijke opdrachten,

schrijven wat je zelf hebt beleefd of zomaar iets bedenken,

enzovoort. Na verloop van tijd zullen deze kinderen beter

in staat zijn om in te schatten hoeveel tijd ze voor hun werk

nodig hebben en op grond daarvan een planning te maken.

Wanneer schatten?Laat kinderen ook ontdekken wanneer schatten handig en

verstandig is. Bij grote of onoverzichtelijke hoeveelheden,

zoals een mensenmassa, is schatten handig. Maar een ver-

pleegkundige die een schatting doet van de tabletten die ze

aan haar patiënten geeft is gevaarlijk bezig. Schatten gaat

sneller dan precies tellen of uitrekenen en in het dagelijks

leven doen zich veel situaties voor waarin precies tellen of

uitrekenen niet nodig is. Voor het precies vaststellen van

maten of hoeveelheden kunnen we vaak een apparaat gebrui-

ken. Schatten kan nodig zijn om het apparaat te controleren.

Eerst schat de kaasverkoper het gewicht van de kaas, maar

vervolgens legt hij het op de weegschaal en wordt het gewicht

tot op de gram, en de prijs tot op de cent nauwkeurig aange-

geven.

TellenSchatten komt niet alleen voor bij meten, ook bij tellen wordt

er veel geschat. Tijdens bijvoorbeeld een bordspel als Mens-

erger-je-niet zal een speler al direct willen schatten of hij

terecht komt op de plek waar al een andere speler staat. Hoe

meer ervaring (jonge) spelers hebben hoe beter zij kunnen

schatten waar ze met hun worp terecht zullen komen. Bij

demonstraties en evenementen wordt ook vaak een schatting

gemaakt van het aantal deelnemers of bezoekers. Men telt

bijvoorbeeld het aantal mensen per vierkante meter en rondt

aantallen af op tien- of honderdduizenden.

Wie echter wil weten hoeveel bezoekers zijn weblog krijgt,

schakelt een elektronische teller in, die dat keurig een-voor-

een voor hem bijhoudt. In andere gevallen worden aantallen

vertaald in een gewicht of een inhoud. Wie een zakje maca-

roni, een pak speculaasjes of een pot augurken koopt ziet een

gewicht op de verpakking staan en geen aantal. Toch is die

verpakking gebaseerd op een bepaald aantal dat erin past.

Schattend tellen kan dus blijkbaar ook via het meten van het

gewicht. Er gaan bijvoorbeeld ongeveer 60 speculaasjes in een

pak van 400 gram.

LonendHoe minder ervaring kinderen met grotere hoeveelheden

hebben, hoe eerder schatten kan lonen. Wie net tot 5 kan tel-

len vindt 25 voorwerpen al ‘veel’. Een kleuter die uit een hoe-

veelheid van ongeveer 25 blokken een torentje van 5 blokken

heeft gemaakt, kan uitgedaagd worden om te schatten met

de vraag: ‘Zou je met de rest van de blokken nog een torentje

van 5 blokken kunnen maken?’ Het kind moet de pasge-

bouwde toren dan als referentie gebruiken en deze op het oog

vergelijken met de andere blokken. Natuurlijk volgt daarna

meteen de vraag: ‘Hoe weet je dat?’, ongeacht het antwoord.

Het gaat er namelijk in deze fase niet om of de schatting goed

FRa

nk

RO

Ose

nd

aa

l

Laat kinderen ervaren hoeveel werk ze kunnen uitvoeren in een gegeven tijdspanne.

Om kleuters tot schatten uit te dagen kun je bijvoorbeeld vra-gen: ‘Kun je met de overige blokken nog zo’n torentje van 5 blokken maken?’

FRa

nk

RO

Ose

nd

aa

l

Page 3: Waarom schatten waardevol is - janson.academyjanson.academy/website/data/documents/vb_27_2_j... · Waarom schatten waardevol is Schattend rekenen is een wat ondergewaardeerde variant

�� Volgens Bartjens... Jaargang �7 �007/�008 nr. �

of fout is, maar om te achterhalen welke (informele) rede-

nering achter het antwoord zit. Laat kinderen hierover met

elkaar in gesprek gaan.

Kinderen die al werken met getallen tot 1000 of meer, zien

voorgaande situatie niet meer als een schatting. Die overzien

onmiddellijk dat er nog minstens een groepje van 5 blokken

ligt en zeggen op grond daarvan: ‘Ja, dat kan gemakkelijk!’

Maar kunnen zij bijvoorbeeld ook schatten hoeveel hagel-

slagjes er in zo’n eenpersoonsdoosje hagelslag zitten? Dat is

op hun niveau weer een aardige schatopgave.

Schattend rekenenDan is er natuurlijk nog het schattend rekenen. Daarbij gaat

het erom het antwoord van een berekening op een passende

en handige manier te benaderen. Passend wil zeggen dat de

mate van nauwkeurigheid bij de getallen en de context van

die opgave moet passen. In een berekening met miljoenen is

een afronding op tientallen niet passend. Daarnaast moet het

rekenwerk handig worden uitgevoerd, want de schatting mag

niet meer tijd kosten dan de precieze berekening. Tenslotte

moet het schatten informatief zijn, dat wil zeggen dat het zin

moet hebben. In veel gevallen betekent dit dat precies uitre-

kenen daarna niet meer nodig is. Als je een feestavond orga-

niseert dan moet je weten hoeveel bezoekers je verwacht en

welke prijzen van toegang en consumpties minimaal nodig

zijn om uit de kosten te komen. In zo’n context gaat het om

aannames en afgeronde getallen.

Gebruik je echter de schatting als een controle van een pre-

cieze berekening, bijvoorbeeld om na te gaan of je de komma

goed hebt geplaatst, dan is een schatting naast een precieze

berekening toch zinvol.

OefenenWat vraagt dit alles van de aanpak in de klas? In de eerste

plaats is het essentieel dat de leerlingen voortdurend worden

uitgedaagd om eerst na te gaan wat voor bewerking er aan de

orde is voor ze gaan rekenen. Laat ze zich afvragen wat het

effect van de bewerking zal zijn (wordt het meer of minder

daardoor?) en binnen welk getallengebied de opgave zich

afspeelt. Het leren herkennen van de orde van grootte van de

getallen in een bewerking en het effect van die bewerking op

die orde van grootte zou eigenlijk altijd vooraf moeten gaan

aan het echte uitrekenen. In groep 3 zou het bijvoorbeeld

heel vanzelfsprekend moeten zijn dat de leerkracht vragen

stelt als: ‘Je hebt 5 en doet er 7 bij, kom je dan voorbij de 10

of niet? Hoe weet je dat?’ Natuurlijk moeten de leerlingen

ook leren dat het precieze antwoord ‘12’ is, maar als ze een-

maal hebben geleerd waaraan ze kunnen herkennen of het

tiental wordt gepasseerd, zijn ze al een heel eind op weg. Dat

vraagt van leerlingen dat ze kunnen beredeneren hoe ze aan

hun antwoord komen. Kunnen redeneren betekent het kun-

nen hanteren van een zekere logica en dat vraagt weer om het

herkennen van essenties, inzichten die nodig zijn om flexibel

met getallen en bewerkingen om te gaan.

Neem bijvoorbeeld de opgave 237 + 468 en stel daarbij de

vraag: ‘Hoeveel is dat ongeveer?’ Op dat moment moet de

leerling razendsnel de kenmerken herkenen: het gaat over

honderdtallen, de bewerking is optellen, dus de uitkomst

wordt groter dan het eerste getal en kan nooit groter zijn dan

800 (300 + 500). Dan is het alleen de vraag of hier ‘ongeveer’

betekent dat een afronding op honderdtallen passend is (wat

als uitkomst 200 + 500 = 700 oplevert), of dat een afronding

op tientallen beter is (wat als uitkomst 240 + 470 = 710 ople-

vert). Dat zal worden bepaald door de context of door een

extra criterium dat de leerlingen vooraf meekrijgen (afronden

op…).

Ook hierbij zijn weer redeneringen nodig die veelal zijn geba-

seerd op voorkennis, zoals ‘237 is dichter bij 200 dan bij 300,

dus moet ik naar beneden afronden’, dan wel ‘37 is dichter bij

Kinderen moeten met elkaar praten over afrondingen: 237 ligt dichter bij 200 dan bij 300, dus hier moet ik naar beneden afronden.

FRa

nk

RO

Ose

nd

aa

l

Page 4: Waarom schatten waardevol is - janson.academyjanson.academy/website/data/documents/vb_27_2_j... · Waarom schatten waardevol is Schattend rekenen is een wat ondergewaardeerde variant

Volgens Bartjens... Jaargang �7 �007/�008 nr. � ��

40 dan bij 30, dus moet ik naar boven afronden.’ De leerlin-

gen moeten dus weten wat afronden is en welke regels daarbij

gelden. En ze moeten in staat zijn snel het dichtstbijzijnde

tiental of honderdtal te herkennen.

ModelUit onderzoek blijkt dat het aanleren van dit type vaardig-

heden niet alleen wordt bepaald door het kennen van regels

en feiten, maar vooral door van anderen te horen hoe zij

daarmee omgaan. Op grond van welke overwegingen maken

anderen hun keuze? De leraar kan hieraan bijdragen door

hardop te denken, ogenschijnlijk vanzelfsprekende herken-

ningspunten te benoemen en afwegingen expliciet maken:

‘Moet ik nu afronden naar boven of naar beneden? O, ik zie

het al: 237 ligt op de getallenlijn dichter bij de 200 dan bij de

300, dus dan moet ik het naar beneden afronden.’

Het kan in volgende lessen betekenen dat de leerlingen dit in

twee- of drietallen samen doen: om beurten hardop denken,

waarbij de ander(en) goed luisteren of zij het ook zo zouden

doen. Min of meer heterogene groepjes zijn hierbij nuttig: de

nog wat onzekere leerlingen horen het goede voorbeeld en

worden zonodig gecorrigeerd of aangevuld, verder gevorder-

de leerlingen worden uitgedaagd heel precies te luisteren of

de juiste afwegingen worden gemaakt, en moeten die zonodig

uitleggen, wat voor hen een verdiepend effect kan hebben.

Of schatten vervolgens een zinvolle, want lonende aanpak is

voor een leerling, zal sterk worden bepaald door diens reken-

vaardigheid. Voor succesvol schatten is het essentieel dat de

leerling snel de mogelijkheden kan herkennen, de bijbeho-

rende regels en rekenfeiten kan oproepen en die dan opnieuw

snel kan toepassen en naar zijn hand zetten. Hoewel het

feitelijke rekenwerk door het gebruik van afgeronde getallen

misschien simpeler is, blijken veel leerlingen niet de voorken-

nis en vaardigheid te bezitten om de juiste ronde getallen te

vinden en daarmee ‘te spelen’ Gezien het belang van schat-

tend rekenen in het dagelijks leven en de rekenvaardigheid

die daarvoor nodig is, lijkt het raadzaam om hieraan veel

aandacht te besteden, maar dan wel op de hiervoor geschetste

manier en niet door het individueel laten maken van rijtjes

schatopgaven.

TenslotteSchatten moet je (gaan) durven. Dat lijkt misschien vreemd,

maar het heeft te maken met onze aangeleerde fixatie op dat

ene goede antwoord. Daarvan afwijken wordt dan eng…

Schatten betekent namelijk: durven werken met afgeronde

getallen en dan het liefst afgeronde getallen waarmee je han-

dig kunt rekenen. Een opgave naar je hand zetten is meestal

wel het laatste dat kinderen op school hebben geleerd. Wilt u

zelf eens ervaren hoe dat gaat, reken dan eens uit of u ouder

of jonger bent dan 1.000.000.000 seconden!

De auteur is senior adviseur bij Marant ‘adviseurs in leren &

ontwikkeling’ in Elst (Gld).

Noot:Verder lezen? Zie http://tule.slo.nl/RekenenWiskunde/F-L28.

html

NVORWO-nieuws

algemene ledenvergadering en nVORWO-lezing

Woensdagavond �� januari �008

om �0 uurtijdens de panama-

Conferentie in noordwijkerhout

De agenda staat op www.nvorwo.nl.Hier kunt u tevens zien wie de NVORWO-lezing gaat houden.

Uitnodiging

Grote Bèta- techniekdag

Voor wie?Voor leraren basisonderwijs en

Pabo-studenten die zin hebben in een inspirerende studiedag

Wanneer?Op vrijdag 8 februari 2008

van 10 tot 16 uur

Waar?Basisschool “Het krijt” in Assen

Informatie en aanmelden via www.asbeco.nl