waarom schatten waardevol is - janson.academyjanson.academy/website/data/documents/vb_27_2_j... ·...
TRANSCRIPT
�� Volgens Bartjens... Jaargang �7 �007/�008 nr. �
typogramauteursnaamdolf Janson
Een schatter kan niet zonder redenerenWaarom schatten waardevol is
Schattend rekenen is een wat ondergewaardeerde variant van rekenen. Dat is niet terecht, want schatten is niet alleen handig in het dagelijks gebruik, maar ook nuttig vanwege het redeneren dat daarbij nodig is. Leren schatten vraagt echter wel een specifiek soort oefening.
KaasSchatten wordt met name door jonge kinderen nogal eens
opgevat als ongericht raden: roep maar wat! Schatten is meer
dan dat. Het is op zijn minst doelgericht raden, en dat vraagt
voorkennis.
Schatten wordt ook wel opgevat als het resultaat van intuïtie
en/of ervaring. Op basis van beelden en associaties wordt
een getal of hoeveelheid toegekend. Deze laatste invulling
van schatten zien we vaak in combinatie met een vorm van
meten. De kaasverkoper die bijna exact een halve kilo kaas
afsnijdt, en een kok die ‘op het oog’ hoeveelheden ingrediën-
ten toevoegt, beschikken door ervaring over (eigen) referen-
tiematen, die ze zich lang niet altijd bewust zijn, maar die ze,
als je ernaar vraagt, wel kunnen herleiden.
Een Goudse kaas heeft een gewicht van ca 15 kg. Een
halve kaas weegt dus ca 7,5 kg en kwart daarvan iets
minder dan 2 kg. Een halve kilo (‘pond’) is daarvan
weer iets meer dan een kwart. Bij het afsnijden moet
de kaasverkoper daarom snel de verhouding van het
voorliggende stuk tot bijvoorbeeld een halve kaas kun-
nen herkennen.
De afstand van huis naar school kan een mooie referentie
zijn voor afstand, zeker als die afstand lopend wordt afgelegd.
Bekende verpakkingen - schoolmelkpakje, colafles, frisdrank-
blikje - kunnen steun bieden bij inhoudsmaten. Het begrip
‘kuub’ (1 m3) is te illustreren met zo’n enorme kunststof zak
waarin zand, grind of bouwafval worden vervoerd. Dat kan de
vraag oproepen hoeveel emmers – een mooie referentie voor
10 liter – je in zo’n zak kunt legen. Schatten is, zeker bij meten,
ook het kunnen beredeneren van relaties. ‘Als drie blikjes fris
samen een liter bevatten, en als er duizend liter in zo’n ‘kuub-
zak’ passen, dan kun je dus drieduizend blikjes in zo’n zak
leeg gieten.’ Zo’n redenering is nodig, omdat je je nauwelijks
drieduizend blikjes kunt voorstellen. Met intuïtieve schattingen
komen kinderen dan niet zo ver.
Zelfstandig Een kans om eigen referentiematen met betrekking tot tijd
te verwerven doet zich voor tijdens het zelfstandig werken in
de klas. Bij het zelfstandig werken moeten kinderen kunnen
plannen en hun tijd kunnen indelen. Om dat te leren moeten
ze eerst bewust ervaren wat je kunt doen in bijvoorbeeld een
half uur, om later te kunnen inschatten wat het betekent als
je nog maar een kwartier de tijd hebt. Hoeveel regels kun je
Een kaasverkoper maakt bij het schatten van de grootte van een stuk kaas gebruik van verhoudingen.
FRa
nk
RO
Ose
nd
aa
l
Laat kinderen niet alleen een kilogram suiker zien, maar laat ze ook werkelijk voelen hoe zwaar het pak is.
Ervaren Schatten is in deze voorbeelden gebaseerd op ervaring. Om te
kunnen schatten met maten (afstand, tijd, gewicht, oppervlakte)
is eigen ervaring met meten essentieel. Kinderen zouden veel
voorkomende maten moeten kunnen vertalen naar voorwerpen
of situaties die ze kennen. Zo is een kilo (kg) het gewicht van
een pak (kristal)suiker. Hier schuilt een addertje onder het gras.
Kinderen moeten dat gewicht gevoeld en vergeleken hebben.
Leerkrachten die het pak alleen maar laten zien houden er geen
rekening mee dat kinderen moeten leren dat afmetingen van een
voorwerp niets zeggen over het gewicht ervan. Denk hierbij aan de
klassieke vraag: ‘Wat is zwaarder: een kilo veren of een kilo lood?’
Volgens Bartjens... Jaargang �7 �007/�008 nr. � ��
Een schatter kan niet zonder redenerenschrijven in een kwartier? Hoeveel als het ook nog netjes
moet? Hoeveel kun je doen als je ook nog over de antwoor-
den moet nadenken of iets moet opzoeken? Het ontwikkelen
van zulke (eigen) referentiematen is noodzakelijk om zinvol
met tijdindicaties te kunnen werken. Dat moet dus worden
onderzocht en uitgeprobeerd! Nu zien we vaak dat kinderen
bij de aankondiging ‘nog tien minuten’ in paniek raken of
alles snel even afraffelen. Tijdsduur lijkt een soort noodlot,
iets dat je als leerling niet zelf in de hand hebt. Geef kinderen
de gelegenheid om uit te proberen hoeveel (rijtjes) sommen,
regels in een tekst (opstel), opdrachten van begrijpend lezen,
bladzijden uit je leesboek, enzovoort, ze in een gegeven tijd
kunnen afwerken. En laat hen met elkaar praten over hun
ervaringen en de factoren die bij zelfstandig werken de tijd
kunnen beïnvloeden: gemakkelijke of moeilijke opdrachten,
schrijven wat je zelf hebt beleefd of zomaar iets bedenken,
enzovoort. Na verloop van tijd zullen deze kinderen beter
in staat zijn om in te schatten hoeveel tijd ze voor hun werk
nodig hebben en op grond daarvan een planning te maken.
Wanneer schatten?Laat kinderen ook ontdekken wanneer schatten handig en
verstandig is. Bij grote of onoverzichtelijke hoeveelheden,
zoals een mensenmassa, is schatten handig. Maar een ver-
pleegkundige die een schatting doet van de tabletten die ze
aan haar patiënten geeft is gevaarlijk bezig. Schatten gaat
sneller dan precies tellen of uitrekenen en in het dagelijks
leven doen zich veel situaties voor waarin precies tellen of
uitrekenen niet nodig is. Voor het precies vaststellen van
maten of hoeveelheden kunnen we vaak een apparaat gebrui-
ken. Schatten kan nodig zijn om het apparaat te controleren.
Eerst schat de kaasverkoper het gewicht van de kaas, maar
vervolgens legt hij het op de weegschaal en wordt het gewicht
tot op de gram, en de prijs tot op de cent nauwkeurig aange-
geven.
TellenSchatten komt niet alleen voor bij meten, ook bij tellen wordt
er veel geschat. Tijdens bijvoorbeeld een bordspel als Mens-
erger-je-niet zal een speler al direct willen schatten of hij
terecht komt op de plek waar al een andere speler staat. Hoe
meer ervaring (jonge) spelers hebben hoe beter zij kunnen
schatten waar ze met hun worp terecht zullen komen. Bij
demonstraties en evenementen wordt ook vaak een schatting
gemaakt van het aantal deelnemers of bezoekers. Men telt
bijvoorbeeld het aantal mensen per vierkante meter en rondt
aantallen af op tien- of honderdduizenden.
Wie echter wil weten hoeveel bezoekers zijn weblog krijgt,
schakelt een elektronische teller in, die dat keurig een-voor-
een voor hem bijhoudt. In andere gevallen worden aantallen
vertaald in een gewicht of een inhoud. Wie een zakje maca-
roni, een pak speculaasjes of een pot augurken koopt ziet een
gewicht op de verpakking staan en geen aantal. Toch is die
verpakking gebaseerd op een bepaald aantal dat erin past.
Schattend tellen kan dus blijkbaar ook via het meten van het
gewicht. Er gaan bijvoorbeeld ongeveer 60 speculaasjes in een
pak van 400 gram.
LonendHoe minder ervaring kinderen met grotere hoeveelheden
hebben, hoe eerder schatten kan lonen. Wie net tot 5 kan tel-
len vindt 25 voorwerpen al ‘veel’. Een kleuter die uit een hoe-
veelheid van ongeveer 25 blokken een torentje van 5 blokken
heeft gemaakt, kan uitgedaagd worden om te schatten met
de vraag: ‘Zou je met de rest van de blokken nog een torentje
van 5 blokken kunnen maken?’ Het kind moet de pasge-
bouwde toren dan als referentie gebruiken en deze op het oog
vergelijken met de andere blokken. Natuurlijk volgt daarna
meteen de vraag: ‘Hoe weet je dat?’, ongeacht het antwoord.
Het gaat er namelijk in deze fase niet om of de schatting goed
FRa
nk
RO
Ose
nd
aa
l
Laat kinderen ervaren hoeveel werk ze kunnen uitvoeren in een gegeven tijdspanne.
Om kleuters tot schatten uit te dagen kun je bijvoorbeeld vra-gen: ‘Kun je met de overige blokken nog zo’n torentje van 5 blokken maken?’
FRa
nk
RO
Ose
nd
aa
l
�� Volgens Bartjens... Jaargang �7 �007/�008 nr. �
of fout is, maar om te achterhalen welke (informele) rede-
nering achter het antwoord zit. Laat kinderen hierover met
elkaar in gesprek gaan.
Kinderen die al werken met getallen tot 1000 of meer, zien
voorgaande situatie niet meer als een schatting. Die overzien
onmiddellijk dat er nog minstens een groepje van 5 blokken
ligt en zeggen op grond daarvan: ‘Ja, dat kan gemakkelijk!’
Maar kunnen zij bijvoorbeeld ook schatten hoeveel hagel-
slagjes er in zo’n eenpersoonsdoosje hagelslag zitten? Dat is
op hun niveau weer een aardige schatopgave.
Schattend rekenenDan is er natuurlijk nog het schattend rekenen. Daarbij gaat
het erom het antwoord van een berekening op een passende
en handige manier te benaderen. Passend wil zeggen dat de
mate van nauwkeurigheid bij de getallen en de context van
die opgave moet passen. In een berekening met miljoenen is
een afronding op tientallen niet passend. Daarnaast moet het
rekenwerk handig worden uitgevoerd, want de schatting mag
niet meer tijd kosten dan de precieze berekening. Tenslotte
moet het schatten informatief zijn, dat wil zeggen dat het zin
moet hebben. In veel gevallen betekent dit dat precies uitre-
kenen daarna niet meer nodig is. Als je een feestavond orga-
niseert dan moet je weten hoeveel bezoekers je verwacht en
welke prijzen van toegang en consumpties minimaal nodig
zijn om uit de kosten te komen. In zo’n context gaat het om
aannames en afgeronde getallen.
Gebruik je echter de schatting als een controle van een pre-
cieze berekening, bijvoorbeeld om na te gaan of je de komma
goed hebt geplaatst, dan is een schatting naast een precieze
berekening toch zinvol.
OefenenWat vraagt dit alles van de aanpak in de klas? In de eerste
plaats is het essentieel dat de leerlingen voortdurend worden
uitgedaagd om eerst na te gaan wat voor bewerking er aan de
orde is voor ze gaan rekenen. Laat ze zich afvragen wat het
effect van de bewerking zal zijn (wordt het meer of minder
daardoor?) en binnen welk getallengebied de opgave zich
afspeelt. Het leren herkennen van de orde van grootte van de
getallen in een bewerking en het effect van die bewerking op
die orde van grootte zou eigenlijk altijd vooraf moeten gaan
aan het echte uitrekenen. In groep 3 zou het bijvoorbeeld
heel vanzelfsprekend moeten zijn dat de leerkracht vragen
stelt als: ‘Je hebt 5 en doet er 7 bij, kom je dan voorbij de 10
of niet? Hoe weet je dat?’ Natuurlijk moeten de leerlingen
ook leren dat het precieze antwoord ‘12’ is, maar als ze een-
maal hebben geleerd waaraan ze kunnen herkennen of het
tiental wordt gepasseerd, zijn ze al een heel eind op weg. Dat
vraagt van leerlingen dat ze kunnen beredeneren hoe ze aan
hun antwoord komen. Kunnen redeneren betekent het kun-
nen hanteren van een zekere logica en dat vraagt weer om het
herkennen van essenties, inzichten die nodig zijn om flexibel
met getallen en bewerkingen om te gaan.
Neem bijvoorbeeld de opgave 237 + 468 en stel daarbij de
vraag: ‘Hoeveel is dat ongeveer?’ Op dat moment moet de
leerling razendsnel de kenmerken herkenen: het gaat over
honderdtallen, de bewerking is optellen, dus de uitkomst
wordt groter dan het eerste getal en kan nooit groter zijn dan
800 (300 + 500). Dan is het alleen de vraag of hier ‘ongeveer’
betekent dat een afronding op honderdtallen passend is (wat
als uitkomst 200 + 500 = 700 oplevert), of dat een afronding
op tientallen beter is (wat als uitkomst 240 + 470 = 710 ople-
vert). Dat zal worden bepaald door de context of door een
extra criterium dat de leerlingen vooraf meekrijgen (afronden
op…).
Ook hierbij zijn weer redeneringen nodig die veelal zijn geba-
seerd op voorkennis, zoals ‘237 is dichter bij 200 dan bij 300,
dus moet ik naar beneden afronden’, dan wel ‘37 is dichter bij
Kinderen moeten met elkaar praten over afrondingen: 237 ligt dichter bij 200 dan bij 300, dus hier moet ik naar beneden afronden.
FRa
nk
RO
Ose
nd
aa
l
Volgens Bartjens... Jaargang �7 �007/�008 nr. � ��
40 dan bij 30, dus moet ik naar boven afronden.’ De leerlin-
gen moeten dus weten wat afronden is en welke regels daarbij
gelden. En ze moeten in staat zijn snel het dichtstbijzijnde
tiental of honderdtal te herkennen.
ModelUit onderzoek blijkt dat het aanleren van dit type vaardig-
heden niet alleen wordt bepaald door het kennen van regels
en feiten, maar vooral door van anderen te horen hoe zij
daarmee omgaan. Op grond van welke overwegingen maken
anderen hun keuze? De leraar kan hieraan bijdragen door
hardop te denken, ogenschijnlijk vanzelfsprekende herken-
ningspunten te benoemen en afwegingen expliciet maken:
‘Moet ik nu afronden naar boven of naar beneden? O, ik zie
het al: 237 ligt op de getallenlijn dichter bij de 200 dan bij de
300, dus dan moet ik het naar beneden afronden.’
Het kan in volgende lessen betekenen dat de leerlingen dit in
twee- of drietallen samen doen: om beurten hardop denken,
waarbij de ander(en) goed luisteren of zij het ook zo zouden
doen. Min of meer heterogene groepjes zijn hierbij nuttig: de
nog wat onzekere leerlingen horen het goede voorbeeld en
worden zonodig gecorrigeerd of aangevuld, verder gevorder-
de leerlingen worden uitgedaagd heel precies te luisteren of
de juiste afwegingen worden gemaakt, en moeten die zonodig
uitleggen, wat voor hen een verdiepend effect kan hebben.
Of schatten vervolgens een zinvolle, want lonende aanpak is
voor een leerling, zal sterk worden bepaald door diens reken-
vaardigheid. Voor succesvol schatten is het essentieel dat de
leerling snel de mogelijkheden kan herkennen, de bijbeho-
rende regels en rekenfeiten kan oproepen en die dan opnieuw
snel kan toepassen en naar zijn hand zetten. Hoewel het
feitelijke rekenwerk door het gebruik van afgeronde getallen
misschien simpeler is, blijken veel leerlingen niet de voorken-
nis en vaardigheid te bezitten om de juiste ronde getallen te
vinden en daarmee ‘te spelen’ Gezien het belang van schat-
tend rekenen in het dagelijks leven en de rekenvaardigheid
die daarvoor nodig is, lijkt het raadzaam om hieraan veel
aandacht te besteden, maar dan wel op de hiervoor geschetste
manier en niet door het individueel laten maken van rijtjes
schatopgaven.
TenslotteSchatten moet je (gaan) durven. Dat lijkt misschien vreemd,
maar het heeft te maken met onze aangeleerde fixatie op dat
ene goede antwoord. Daarvan afwijken wordt dan eng…
Schatten betekent namelijk: durven werken met afgeronde
getallen en dan het liefst afgeronde getallen waarmee je han-
dig kunt rekenen. Een opgave naar je hand zetten is meestal
wel het laatste dat kinderen op school hebben geleerd. Wilt u
zelf eens ervaren hoe dat gaat, reken dan eens uit of u ouder
of jonger bent dan 1.000.000.000 seconden!
De auteur is senior adviseur bij Marant ‘adviseurs in leren &
ontwikkeling’ in Elst (Gld).
Noot:Verder lezen? Zie http://tule.slo.nl/RekenenWiskunde/F-L28.
html
NVORWO-nieuws
algemene ledenvergadering en nVORWO-lezing
Woensdagavond �� januari �008
om �0 uurtijdens de panama-
Conferentie in noordwijkerhout
De agenda staat op www.nvorwo.nl.Hier kunt u tevens zien wie de NVORWO-lezing gaat houden.
Uitnodiging
Grote Bèta- techniekdag
Voor wie?Voor leraren basisonderwijs en
Pabo-studenten die zin hebben in een inspirerende studiedag
Wanneer?Op vrijdag 8 februari 2008
van 10 tot 16 uur
Waar?Basisschool “Het krijt” in Assen
Informatie en aanmelden via www.asbeco.nl