waga i monety – pierwszego stopnia matematyka · 2015-06-27 · waga i monety – rozwiązywanie...

MA

TEM

AT

YK

A?5x + 1 = 2x − 8

13x−7=7x+13.?

Waga i monety –Rozwiązywanie równań

pierwszego stopnia

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Poradnik powstał w wyniku współpracy zespołu nauczycieli, trenerów i autorów:

Krzysztof Grynienko, Piotr Kryszkiewicz, Maciej Krzywda- Pogorzelski,Grzegorz Mikuszewski, Alicja Ostrowska, Bożena Piotrowska

Waga i monety – rozwiązywanierównań pierwszego stopnia

Czas trwania zajęć: jedna jednostka lekcyjna

Cel zajęć

Cele wynikające z podstawy programowej

Uczeń:

• sprawdza, czy dana liczba spełnia równanie stopnia pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 2]

• rozwiązuje równania stopnia pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 3].

Cele operacyjne osiągane przez uczniów

Uczeń:

• poznaje typowe równania pierwszego stopnia z niewiadomą x

• prezentuje wybrane zasoby internetowe ilustrujące rozwiązywanie równań pierwszegostopnia.

Wiedza i umiejętności wejściowe uczniaUczeń potrafi przed lekcją:

• pierwiastkować liczby, w szczególności wyłączać czynnik kwadratowy przed pierwiastek,np. √50=5√2

• podnosić do kwadratu liczby, w zapisie których występuje pierwiastek kwadratowy, np. 3√5

• stosować zależność między długością boku, a długością przekątnej w kwadracie w obiestrony, tak aby nie stosować do tego problemu twierdzenia Pitagorasa, a od razu mnożyć,albo dzielić przez √2

matematyka – metoda podawcza – gimnazjumWaga i monety – rozwiązywanierównań pierwszego stopnia


Cel zajęć


Uczeń:




Uczeń:







matematyka – metoda podawcza – gimnazjum

1



Cel zajęć


Uczeń:




Uczeń:








Waga i monety - rozwiązywanierównań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Czas trwania zajęć: 45 minut

poznaje przykłady równań pierwszego stopnia z ułamkami i nawiasami,wykorzystuje aplikacje internetowe do rozwiązywania równań.

Organizacja lekcji

Infrastruktura

• Układ miejsc tradycyjny – skierowany na tablicę multimedialną

• Ławki dwuosobowe z jednym komputerem podłączonym do Internetu na dwójkę uczniów

• Tablica interaktywna podłączona do komputera nauczyciela z dostępem do Internetu

Zasoby

• Ćwiczenie online „Interaktywna waga” dostępna na http://ldc.content.educhmura.pl/gry

• Ćwiczenie online „Interaktywny kasjer” dostępna nahttp://ldc.content.educhmura.pl/gry

• Załącznik nr 1 – Interaktywna waga – instrukcja do ćwiczenia

• Załącznik nr 2 – Interaktywny kasjer – instrukcja do ćwiczenia

Organizacja lekcji

Infrastruktura




Zasoby





Organizacja lekcji

Infrastruktura




Zasoby





2

Układ miejsc tradycyjny – skierowany na tablicę multimedialnąKomputery podłączone do Internetu (co najmniej jeden na dwójkę uczniów)Tablica interaktywna z dostępem do Internetu podłączona do komputera nauczyciela

Aplikacja „Waga i równania.” dostępna na www.ldc.edu.pl/gry/Waga/start.htmlAplikacja „Monety i równania.” dostępna na www.ldc.edu.pl/gry/Monety/start.htmlZałącznik nr 1: „Waga i równania – informacje.”Załącznik nr 2: „Monety i równania – informacje.”Załącznik nr 3 – Zestaw równań nr 1Załącznik nr 4 – Zestaw równań nr 2Załącznik nr 5 – Rozwiązania zestawu równań nr 1Załącznik nr 6 – Rozwiązania zestawu równań nr 2

Przebieg procesu dydaktycznego


LekCja

Organizacja lekcji uruchomienie sprzętu

Po sprawdzeniu obecności uczniowie siadają w ławkach z komputerami. Uru-chamiają komputery i wchodzą na stronę http://ldc.content.educhmura.pl/gry

Wykład na temat równań 1 stopnia ilustrowany interaktywnymi ćwicze-niami opartymi na konkretnych przykładach

Nauczyciel przedstawia dwa przykładowe problemy, których rozwiązanieopiera się na równaniach liniowych:

1. Arbuz waży kilogram i pół arbuza. Ile waży arbuz?2. Magda uzbierała 61 zł w 20 monetach o nominałach 2 i 5 złotych. Ile

monet pięciozłotowych ma Magda?

Następnie prezentowane są rozwiązania powyższych problemów na „Inte-raktywnej wadze” i „Interaktywnym kasjerze”.

Załącznik nr 1 – Interaktywna waga – instrukcja do ćwiczenia

oraz

Załącznik nr 2 – Interaktywny kasjer – instrukcja do ćwiczenia

W pierwszym przypadku przechodzimy wszystkie pozycje menu z wyjątkiemostatniej – szóstej; w drugim wszystkie pozycje menu (cztery)

Interaktywne ćwiczenia online: „Interaktywna waga” oraz „Interaktywnykasjer” prezentowane przez nauczyciela na tablicy multimedialnej

Czas: 10 min

Czas: 5 minCzas: 3 min

3

Nauczyciel podaje temat, ewentualnie sprawdza obecność. Uczniowie uruchamiają komputery.

Nauczyciel na tablicy interaktywnej prezentuje zakładki aplikacji, uczniowie na komputerach poznają jej działanie.Po wspólnym rozwiązaniu zadania (czwarta zakładka rozwiązywanie równania):Arbuz waży kilogram i pół arbuza. Ile waży arbuz?uczniowie samodzielnie wybierają zadania z ostatniej zakładki zadania losowei rozwiązują je w parach na komputerach.W trakcie rozwiązywania zapisują w zeszytach równania, które wyświetlają się pod wagą.

Wprowadzenie i organizacja lekcji

Prezentacja aplikacji „Waga i równania” oraz ćwiczeniaCzas: 12 min

Utrwalenie treści wykładu w oparciu o interaktywne ćwiczenia na kon-kretnych przykładach

Uczniowie pracują parami przy komputerach i rozwiązują równania wyloso-wane w ostatniej pozycji menu „Interaktywnej wagi” i „Interaktywnego kas-jera” – patrz:


oraz


Interaktywne ćwiczenia online: „Interaktywna waga” oraz „Interaktywnykasjer” uruchomione na komputerach uczniowskich

Utrwalenie treści wykładu w oparciu o samodzielne rozwiązywanie abs-trakcyjnych ale prostych równań 1 stopnia

Nauczyciel prezentuje na tablicy interaktywnej odręczny zapis rozwiązania równanie1. stopnia z całkowitymi współczynnikami:

2( x – 2) = 2 + 5 (x – 4)

a następnie zapisuje rozwiązanie do pliku jako notatkę i zleca uczniom samodzielnerozwiązanie podobnych równań:

3(x – 4) – 3 = 6(x +1)

oraz

5(3 – x) = 2(x – 1)

Tablica interaktywna

Czas: 10 min

Czas: 10 min

Rozwinięcie treści wykładu w oparciu o rozwiązania równań 1 stopniao rosnącej trudności

Nauczyciel prezentuje trzy równania 1 stopnia o rosnącym stopniu trudności:

9(2x – 3) = 11 + 2(3 – x)

x + 3(3 – x) = 10 – 4(1 – x)

x/3 – 2(x + 5) = 4(1 – x)

Uczniowie rozwiązują zadania samodzielnie w zeszytach. Nauczyciel ocenia rozwią-zania zgłoszone przez uczniów.


Czas: 10 min

Utrwalenie treści wykładu w oparciu o interaktywne ćwiczenia na kon-kretnych przykładach

Uczniowie pracują parami przy komputerach i rozwiązują równania wyloso-wane w ostatniej pozycji menu „Interaktywnej wagi” i „Interaktywnego kas-jera” – patrz:


oraz


Interaktywne ćwiczenia online: „Interaktywna waga” oraz „Interaktywnykasjer” uruchomione na komputerach uczniowskich

Utrwalenie treści wykładu w oparciu o samodzielne rozwiązywanie abs-trakcyjnych ale prostych równań 1 stopnia

Nauczyciel prezentuje na tablicy interaktywnej odręczny zapis rozwiązania równanie1. stopnia z całkowitymi współczynnikami:

2( x – 2) = 2 + 5 (x – 4)

a następnie zapisuje rozwiązanie do pliku jako notatkę i zleca uczniom samodzielnerozwiązanie podobnych równań:

3(x – 4) – 3 = 6(x +1)

oraz

5(3 – x) = 2(x – 1)


Czas: 10 min

Czas: 10 min

Rozwinięcie treści wykładu w oparciu o rozwiązania równań 1 stopniao rosnącej trudności

Nauczyciel prezentuje trzy równania 1 stopnia o rosnącym stopniu trudności:

9(2x – 3) = 11 + 2(3 – x)

x + 3(3 – x) = 10 – 4(1 – x)

x/3 – 2(x + 5) = 4(1 – x)

Uczniowie rozwiązują zadania samodzielnie w zeszytach. Nauczyciel ocenia rozwią-zania zgłoszone przez uczniów.


Czas: 10 min

4

Uczniowie samodzielnie poznają działanie aplikacji,nauczyciel pomaga tym, którzy napotkają trudności.Następnie po wspólnym rozwiązaniu na tablicy interaktywnej jednego przykładu z zakładki układanie równań (dalsza część rozwiązania wyświetla się w następnej zakładce) uczniowie wybierają samodzielnie zadania, rozwiązują je w zeszytach korzystając z aplikacji jako podpowiedzi lub sprawdzenia.

Prezentacja aplikacji „Monety i równania” oraz ćwiczeniaCzas: 12 min

Czas: 8 min

Nauczyciel prezentuje na tablicy rozwiązania równań:- ( 6x + 5) = 9x + 25-3( 5x - 7) = - 20x + 1

Uczniowie rozwiązują samodzielnie w zeszytach wybrane przykłady z Zestawu równań nr 1 (forma papierowa lub elektroniczna załącznika nr 3), sprawdzają swoje rozwiązania z przykładowymi rozwiązaniami (forma papierowa lub elektroniczna załącznika nr 5). Zadaniem domowym może być rozwiązanie wybranych przykładów z aplikacji lub rozwiązanie pozostałych przykładów z zestawów (załączniki nr 3 i nr 4 oraz nr 5 i nr 6).

UWAGARównania w zestawach mają zróżnicowany poziom trudności i umożliwiają uczniom wybór przykładów dostosowanych do ich indywidualnych umiejętności.Nauczyciel może przygotować inne zestawy równań uwzględniające możliwości danej klasy.

Prezentacja aplikacji „Monety i równania” oraz ćwiczenia

Ćwiczenia i zadanie domowe


Zobacz poradnik

Metoda podawcza

Informacje metodyczne

Metodyka lekcji

Próby wprowadzenia TIK do metody podającej zmierzają często w kierunku uatrakcyjnienialekcji przez wyświetlanie efektownych elementów multimedialnych, w skrajnym przypadkucałych filmów edukacyjnych. Nawet przy najwyższej jakości tych filmów stajemy przed pro-blemem braku aktywizacji uczniów i rosnącym skupieniu uczniów na tablicy bez wspólnejpracy w skali klasy lub mniejszych zespołów. Przy braku aktywnej roli nauczyciela i uczniówoglądanie filmu w klasie nie różni się wcale od oglądania go w domu. Dlatego warto rozważyćformy, które utrzymując aktywną rolę nauczyciela wykorzystują TIK do interaktywnego konfi-gurowania, rozwiązywania lub modelowania wykonywanego bezpośrednio na tablicy jako ele-mentów tradycyjnego wykładu.

Warto też skorzystać z tradycyjnych form interakcji w metodzie podawczej (np. wykład kon-wersatoryjny) wspomaganej wykorzystaniem tych samych narzędzi interaktywnych na tablicymultimedialnej i na urządzeniach uczniowskich.

Te wszystkie elementy wykorzystano to dzięki dwóm interaktywnym ćwiczeniom wspomaga-jącym zarówno klasyczną część wykładu jak i część włączającą uczniów.

Możliwości zastosowania modelu na innych lekcjachZaprezentowane techniki edukacyjne i ich ułożenie w ciąg lekcyjny mogą mieć zastosowaniewszędzie tam gdzie dysponujemy interaktywnymi narzędziami lub modelami dostosowanymido tematu lekcji. Nie muszą to być zawsze narzędzia przygotowane jednostkowo do konkret-nego tematu – można skorzystać z szeregu narzędzi bardziej uniwersalnych. W matematycebędzie to m.in. Geogebra.

5



Cel zajęć


Uczeń:




Uczeń:








Próby wprowadzenia TIK do metody podającej zmierzają często w kierunku uatrakcyjnie-nia lekcji przez wyświetlanie efektownych elementów multimedialnych lub całych filmów edukacyjnych. Nawet przy najwyższej jakości tych filmów stajemy przed pro blemem braku aktywności uczniów i skupieniu uczniów na tablicy bez pracy w skali klasy lub mniejszych zespołów. Bez aktywnej roli nauczyciela i uczniów oglądanie filmu w klasie nie różni się wcale od oglądania go w domu. Dlatego warto rozważyć formy, w których wykorzystując aktywną rolę nauczyciela TIK stosowany jest do interaktywnego konfi gurowania, rozwiązy-wania lub modelowania bezpośrednio na tablicy i stanowi ele ment tradycyjnego wykładu.

Warto też skorzystać z tradycyjnych form interakcji w metodzie podawczej (np. wykład konwersatoryjny) wspomaganej wykorzystaniem tych samych narzędzi interaktywnych na tablicy multimedialnej i na urządzeniach uczniowskich.

Wszystkie te elementy zastosowano dzięki dwóm interaktywnym aplikacjom wspomaga-jącym tradycyjną część lekcji.

Zaprezentowane techniki edukacyjne i ich ułożenie w ciąg lekcyjny mogą mieć zastosowanie wszędzie tam, gdzie dysponujemy interaktywnymi narzędziami lub modelami dostosowa-nymi do tematu lekcji. Nie muszą to być zawsze narzędzia przygotowane jednostkowo do konkret nego tematu - można skorzystać z szeregu narzędzi bardziej uniwersalnych.

Podstawowe informacjeInteraktywna waga to ćwiczenie umożliwiajace wprowadzenie tematu równa pierwszegostopnia w sposób oparty na konkretnych, odnoszących się do zrozumiałych dla uczniów sy-tuacji przykłdach typu „Cegła waży kilo i pół cegły – ile waży cegła?”,. Ćwiczenie przeznaczonejest do wykorzystania na tablicy multimedialnej oraz na indywidualnych urządzeniach. Ćwi-czenie działa jako usluga online i wymaga połącznia z Internetem.

ekran ćwiczniaEkran składa się z górnego menu oraz pola ćwiczeń. Standardowo należy przechodzić kolejnepozycje menu, które tworzą łącznie spójny ciąg wykładowo-ćwiczeniowy. Ciąg ten prowadzi odwykonania zapisu matematycznego postawionego pytania, przez wymienienie typowych działańzaburzających równowagę wagi i równania (np. jednostronne dodawanie i odejmowanie) orazutrzymujących równowagę wagi (a zatem i równania) takich jak dodawanie i odejmowanie dodwóch stron tych samych wartości i mnożenie lub dzielenie dwóch stron prze liczy naturalne.

Po poznaniu tych zasad przechodzimy do rozwiązania równania z zastosowaniem poznanychwcześniej działań utrzymujących równowagę wagi i równość równania.

Scenariusz 13załącznik nr 1 – interaktywna waga – instrukcja do ćwiczenia

Ostatni krok ma już charakter losowego ćwiczenia do samodzielnego wykonania przezuczniów i polega na rozwiązaniu jednego z wygenerowanych równań opartych na podobnymschemacie, ale innych wartościach liczbowych i innych przedmiotach zastępujących arbuz.

ZAŁĄCZNIK NR 1: WAGA I RÓWNANIA – INFORMACJE

6

WAGA I RÓWNANIA to aplikacja umożliwiająca poznanie i ćwiczenie rozwiązywania równań I stopnia z jedną niewiadomą w sposób oparty na konkretnych, zrozumiałych dla uczniów przykładach. Aplikacja przeznaczona jest do wykorzystania na tablicy multimedialnej oraz na indywidualnych urządzeniach. Aplikacja działa jako usługa online i wymaga połączenia z Internetem.

Ekran składa się z górnego menu oraz pola ćwiczeń. Można przechodzić kolejne pozycje menu, które tworzą łącznie spójny ciąg.

Podstawowe informacjeInteraktywna waga to ćwiczenie umożliwiajace wprowadzenie tematu równa pierwszegostopnia w sposób oparty na konkretnych, odnoszących się do zrozumiałych dla uczniów sy-tuacji przykłdach typu „Cegła waży kilo i pół cegły – ile waży cegła?”,. Ćwiczenie przeznaczonejest do wykorzystania na tablicy multimedialnej oraz na indywidualnych urządzeniach. Ćwi-czenie działa jako usluga online i wymaga połącznia z Internetem.

ekran ćwiczniaEkran składa się z górnego menu oraz pola ćwiczeń. Standardowo należy przechodzić kolejnepozycje menu, które tworzą łącznie spójny ciąg wykładowo-ćwiczeniowy. Ciąg ten prowadzi odwykonania zapisu matematycznego postawionego pytania, przez wymienienie typowych działańzaburzających równowagę wagi i równania (np. jednostronne dodawanie i odejmowanie) orazutrzymujących równowagę wagi (a zatem i równania) takich jak dodawanie i odejmowanie dodwóch stron tych samych wartości i mnożenie lub dzielenie dwóch stron prze liczy naturalne.

Po poznaniu tych zasad przechodzimy do rozwiązania równania z zastosowaniem poznanychwcześniej działań utrzymujących równowagę wagi i równość równania.

Scenariusz 13załącznik nr 1 – interaktywna waga – instrukcja do ćwiczenia

Ostatni krok ma już charakter losowego ćwiczenia do samodzielnego wykonania przezuczniów i polega na rozwiązaniu jednego z wygenerowanych równań opartych na podobnymschemacie, ale innych wartościach liczbowych i innych przedmiotach zastępujących arbuz.

Część 1 – oznaczeniaPierwsza pozycja menu – „oznaczenia” pokazuje nam jak zapisać postawiony problem wagiarbuza językiem matematycznym. Arbuzowi jest przypisywane oznaczenie x, a jednemu kilo-gramowemu odważnikowi po prostu 1 (jako symbol dowolnej jednostki miary).

Stan równowagi jest zapisywany jako równanie – obie jego strony są sobie równe.


Część 2 – brak równowagiKolejna pozycja menu – „brak równowagi” pokazuje jak dokładając lub odejmując coś z jednejtylko szalki powodujemy utratę równowagi. Po prawej stronie pojawiają się kolejne polecenia,które są od razu wizualizowane na wadze i w zapisie matematycznym poniżej.

7



Cel zajęć


Uczeń:




Uczeń:








Pierwsza pozycja menu - „oznaczenia” pokazuje nam jak zapisać postawiony problem wagi arbuza językiem matematycznym. Waga całego arbuza oznaczona jest przez x, a jednemu kilo gramowemu odważnikowi odpowiada liczba 1.

Kolejna pozycja menu – „brak równowagi” pokazuje jak dokładając lub zdejmując coś z jed-nej tylko szalki powodujemy utratę równowagi. Obok wagi pojawiają się polecenia, których kliknięcie wizualizowane jest na wadze i w zapisie algebraicznym poniżej.

Część 3 – dodawanie i odejmowanie z obu stron równaniaKolejna pozycja menu – „dodawanie i odejmowanie z obu stron równania” pokazuje jak do-kładając lub odejmując jednocześnie na obu szalkach utrzymujemy stan równowagi. Po prawejstronie pojawiają się kolejne polecenia, które są od razu wizualizowane na wadze i w zapisiematematycznym poniżej.

Część 4 – mnożenie i dzielnie obu stron równaniaKolejna pozycja menu – „mnożenie i dzielnie obu stron równania” pokazuje mnożąc lub dzieląc(czyli układając jednocześnie n razy więcej lub n razy mniej na obu szalkach) utrzymujemystan równowagi. Po prawej stronie pojawiają się kolejne polecenia, które są od razu wizuali-zowane na wadze i w zapisie matematycznym poniżej.

8

Kolejna pozycja menu - „dodawanie i odejmowanie” pokazuje jak do kładając (lub zdejmu-jąc) jednocześnie do (od) obu szalek utrzymujemy stan równowagi. Obok wagi pojawiają się polecenia, których kliknięcie jest wizualizowane na wadze i w zapisie matematycznym poniżej.

Kolejna pozycja menu - „mnożenie i dzielnie” pokazuje jak mnożąc lub dzieląc (czyli układając jednocześnie n razy więcej lub n razy mniej na obu szalkach) utrzymujemy stan równowagi. Obok wagi pojawiają się polecenia, których kliknięcie od razu wizuali zowane jest na wadze i w zapisie algebraicznym poniżej.

Część 5 – rozwiązywanie równaniaKolejna pozycja menu – „rozwiązywanie równanie” pokazuje w końcu jak przy pomocy działańściśle matematycznych, ale odpowiadających pokazanym wcześniej zasadom zachowania rów-nowagi na wadze można odpowiedzieć na postawione na wstępie pytanie „Arbuz waży kiloi pół arbuza – ile waży arbuz?”

Do dyspozycji mamy zestaw kartek-poleceń rozmieszczonych po bokach wagi – każdy z na-szych wyborów jest od razu wizualizowany na wadze i w matematycznym zapisie poniżej.

Po kilku operacjach doprowadzamy równanie do postaci x = 2. Jakie to proste!


9



Cel zajęć


Uczeń:




Uczeń:








Kolejna pozycja menu – „rozwiązywanie równanie” pozwala rozwiązać tytułową zagadkę wykorzystując dokładanie i zdejmowanie z szalek tak, aby waga cały czas pozostawała w równowadze.

Część 6 – rozwiązywanie równania o wartościach losowychKolejna pozycja menu – „zadanie losowe” powtarza ekran poprzedni, ale tym razem mamydo czynienia z innym przedmiotem (np. tortem, pizzą) oraz nieznacznie zmienionymi para-metrami równania.

To zadanie powinno już być rozwiązywane samodzielnie przez uczniów.

Uczniowie rozwiązują równanie korzystając z karteczek-poleceń widocznych z boku wagi.Każda decyzja jest od razu wizualizowana na wadze i w zapisie matematycznym (równaniu)widocznym poniżej.

Po kilku operacjach doprowadzamy równanie do postaci x = n/m. To także może być proste!

10

zadania losoweKolejna pozycja menu - „zadanie losowe” zawiera podobne przykłady z innymi przedmiota-mi (np. tortem, pizzą) oraz zmienionymi para metrami równania.

Te zadania powinny być rozwiązywane samodzielnie przez uczniów.

Uczniowie rozwiązują równanie korzystając z poleceń wyświetlanych obok wagi. Każda decyzja jest od razu wizualizowana na wadze i w zapisie matematycznym (równaniu) widocznym poniżej.

Podstawowe informacjeInteraktywny kasjer to ćwiczenie prezentujące wykorzystanie równań liniowych do rozwiązy-wania problemów typu:

„Masz do dyspozycji 10 dwuzłotówek i 10 pięciozłotówek. Dobierz tyle pięciozłotówek i dwu-złotówek, żeby otrzymać kwotę [wylosowana kwota], używając dokładnie [tu liczba monet do-pasowana do kwoty] monet.

Ćwiczenie przeznaczone jest do wykorzystania na tablicy multimedialnej oraz na indywidual-nych urządzeniach. Ćwiczenie działa jako usluga online i wymaga połącznia z Internetem.

ekran ćwiczniaEkran składa się z górnego menu oraz pola ćwiczeń. Standardowo należy przechodzić kolejnepozycje menu, które tworzą łącznie spójny ciąg wykładowo-ćwiczeniowy. Wywód zaczyna sięod układania metodą prób i błędów zadanej kwoty przy pomocy dowolnej liczby monet dwu-i pięciozłotowych. Następnie przechodzimy tego samego problemu, ale z zadaną łączną licząmonet dwu- i pięciozłotowych. Następnie przechodzimy do zapisania takiego zadania w formierównania liniowego.

Scenariusz 13załącznik nr 2 – interaktywny kasjer – instrukcja do ćwiczenia

Po poznaniu tych zasad przechodzimy do rozwiązania równania z zastosowaniem poznanychwcześniej działań utrzymujących równowagę wagi i równość równania i w końcu do rozwiąza-nia takiego równania.

Zadane liczby monet i kwoty są w ćwiczeniach losowane z dosyć szerokiego predefiniowanegozakresu wartości zapewniającego z jednej strony wykonalność każdego zadania, a z drugiejniewielką szansę na powtórzenie ćwiczeń.


ZAŁĄCZNIK NR 2: MONETY I RÓWNANIA – INFORMACJE

11



Cel zajęć


Uczeń:




Uczeń:








MONETY I RÓWNANIA to aplikacja prezentująca wykorzystanie równań liniowych do roz-wiązywania problemów typu:„Wybierz 38 monet dwuzłotowych i pięciozłotowych tak, aby otrzymać 136 zł.” Aplikacja przeznaczona jest do wykorzystania na tablicy multimedialnej oraz na indywidu-alnych urządzeniach. Aplikacja działa jako usługa online i wymaga połączenia z Internetem.

Ekran składa się z górnego menu oraz pola ćwiczeń. Można przechodzić kolejne pozycje menu, które tworzą łącznie spójny ciąg.

Część 2 – układnie kwoty z zadanej liczby monet

Kolejna pozycja menu – „układnie kwoty z zadanej liczby monet” pokazuje, że w pewnym za-kresie wartości można też ułożyć zadaną kwotę używając do tego celu zadanej liczby monet.Pary kwota/liczba monet w tym ćwiczeniu są dobrane tak, że układ jest zawsze wykonalny.

Tym razem nasze poczynania z monetami ilustruje zapis matematyczny w postaci:

[liczba wybranych pięciozłotówek]*5+[liczba wybranych dwuzłotówek]*2=[łączna kwota]

[liczba wybranych pięciozłotówek]+[liczba wybranych dwuzłotówek]=[łączna liczba monet]

Kiedy obie liczby zgodzą się z zadanymi, przechodzimy do kolejnego ćwiczenia – jesteśmy jużw połowie drogi!

Część 3 – zapisywanie równaniaKolejna pozycja menu – „zapisywanie równania” pokazuje jak zapisać problem doboru odpo-wiednich monet przy pomocy pojedynczego równania liniowego. Ten ekran nie jest ćwicze-niem tylko fragmentem wykładu operującym na przykładzie o zmiennych parametrach.

Spróbujmy zapisać równanie, pokazujący dobieranie kwoty [tu wylosowana kwota] z [tu wy-losowana liczba] monet dwuzłotowych i pięciozłotowych.

Jeżeli liczbę monet pięciozłotowych oznaczymy x, to liczbę monet dwuzłotowych możemy opi-sać następująco:

liczba monet dwuzłotowych = [liczba wszystkich monet] – x

Możemy wtedy zapisać taki wzór na pełną kwotę:

x * 5 + ([liczba wszystkich monet] – x) * 2 = [zadana kwota]

matematyka – metoda podawcza – gimnazjumCzęść 2 – układnie kwoty z zadanej liczby monet













ekran startowyEkran startowy prezentuje problem:

„Masz dowolną liczbę monet pięciozłotowych i dwuzłotowych. Czy możesz zapłacić nimi bezpotrzeby wydawania reszty dowolną kwotę pełnych złotych? Może są jakieś wyjątki?”

Wybierając poszczególne pozycje menu wchodzimy na ekrany ćwiczeniowe.

Część 1 – układanie zadanej kwoty z moneto dwóch nominałachPierwsza pozycja menu – „układanie zadanej kwoty z monet o dwóch nominałach” pozwalana ułożenie z monet dwu- i pięciozłotowych zadanej losowo kwoty metodą prób i błędów.

Na ekranie widać zadaną kwotę oraz dwa stosy: jeden zawiera dwuzłotówki, drugi – pięcio-złotówki oraz zbiór wybranych przez ucznia pięciozłotówek i dwuzłotówek. Monety wybieramyprzeciągając je ze stosów do swojego zbioru. Można też usuwać monety ze swojego zbioru,przeciągając z powrotem na stosy z monetami.

Na dole ekranu widać matematyczny opis zbioru monet w postaci:


Kiedy łączna kwota wyliczona w takim równaniu zgodzi się z zadaną kwotą, przechodzimy dokolejnego ćwiczenia – świetnie nam poszło!

12

Część 1 – dobieranie dwóch nominałów monet do zadanej kwoty Pierwsza pozycja menu – „dobieranie dwóch nominałów monet do zadanej kwoty” pozwala na ułożenie z monet dwu- i pięciozłotowych zadanej losowo kwoty metodą prób i błędów.

Na ekranie widać zadaną kwotę oraz dwa stosy: jeden zawiera dwuzłotówki, drugi - pięcio-złotówki. Przeciągając monety na prawą stronę tworzymy swój zbiór. Można też usuwać monety ze swojego zbioru, przeciągając z powrotem na stosy z monetami.

Na dole ekranu widać matematyczny opis zbioru monet w postaci:[liczba wybranych pięciozłotówek]*5+[liczba wybranych dwuzłotówek]*2=[łączna kwota]Kiedy łączna kwota wyliczona w takim równaniu zgodzi się z zadaną kwotą wyświetlają się gratulacje.

Kolejna pozycja menu – „układanie kwoty z zadanej liczby monet” pokazuje, że dla niektó-rych wartości można ułożyć zadaną kwotę używając do tego celu zadanej liczby monet. Pary: kwota i liczba monet w tej aplikacji są dobrane tak, aby układ był wykonalny.Działania z monetami ilustruje zapis matematyczny w postaci:[liczba wybranych pięciozłotówek]*5+[liczba wybranych dwuzłotówek]*2=[łączna kwota][liczba wybranych pięciozłotówek]+[liczba wybranych dwuzłotówek]=[łączna liczba monet]Kiedy obie liczby zgodzą się z zadanymi, wyświetlają się gratulacje.



























ekran startowyEkran startowy prezentuje problem:

„Masz dowolną liczbę monet pięciozłotowych i dwuzłotowych. Czy możesz zapłacić nimi bezpotrzeby wydawania reszty dowolną kwotę pełnych złotych? Może są jakieś wyjątki?”

Wybierając poszczególne pozycje menu wchodzimy na ekrany ćwiczeniowe.

Część 1 – układanie zadanej kwoty z moneto dwóch nominałachPierwsza pozycja menu – „układanie zadanej kwoty z monet o dwóch nominałach” pozwalana ułożenie z monet dwu- i pięciozłotowych zadanej losowo kwoty metodą prób i błędów.

Na ekranie widać zadaną kwotę oraz dwa stosy: jeden zawiera dwuzłotówki, drugi – pięcio-złotówki oraz zbiór wybranych przez ucznia pięciozłotówek i dwuzłotówek. Monety wybieramyprzeciągając je ze stosów do swojego zbioru. Można też usuwać monety ze swojego zbioru,przeciągając z powrotem na stosy z monetami.

Na dole ekranu widać matematyczny opis zbioru monet w postaci:


Kiedy łączna kwota wyliczona w takim równaniu zgodzi się z zadaną kwotą, przechodzimy dokolejnego ćwiczenia – świetnie nam poszło!

Część 4 – rozwiązywanie równaniaKolejna pozycja menu – „rozwiązywanie równania” zaczyna się od tego co było zakończeniempoprzedniego ekranu – od równania liniowego opisującego sytuację z monetami:

Spróbuj rozwiązać równanie:

5x + 2([liczba wszystkich monet] – x) = [zadana kwota]

Potem pojawiają się kolejno przyciski sugerujące kolejne kroki zmierzające do rozwiązaniarównania:

• przycisk: rozwiń nawias

5x + 2*[liczba wszystkich monet] – 2x = [zadana kwota]

• przycisk: zgrupuj koło siebie wszystkie wyrażenia z x

5x – 2x + 2*[liczba wszystkich monet] = [zadana kwota]

• przycisk: skróć współczynniki przy x

3x + [liczba wszystkich monet]*2 = [zadana kwota]

• przycisk: odejmij od obu stron dwukrotną liczbę wszystkich monet

3x = [zadana kwota] – [liczba wszystkich monet]*2

• przycisk: podziel obie strony równania przez współczynnik stojący przy x

x = ([zadana kwota] – [liczba wszystkich monet]*2)/3

liczba wybranych pięciozłotówek = [x]

liczba wybranych dwuzłotówek = [liczba wszystkich monet] – [x]

• przycisk: sprawdzenie


W ten sposób można obliczyć ile pięciozłotówek oraz ile dwuzłotówek trzeba użyć, żeby uzys-kać zadaną kwotę przy określonej łącznej liczbie monet.

Część 4 – rozwiązywanie równaniaKolejna pozycja menu – „rozwiązywanie równania” zaczyna się od tego co było zakończeniempoprzedniego ekranu – od równania liniowego opisującego sytuację z monetami:

Spróbuj rozwiązać równanie:

5x + 2([liczba wszystkich monet] – x) = [zadana kwota]

Potem pojawiają się kolejno przyciski sugerujące kolejne kroki zmierzające do rozwiązaniarównania:

• przycisk: rozwiń nawias

5x + 2*[liczba wszystkich monet] – 2x = [zadana kwota]

• przycisk: zgrupuj koło siebie wszystkie wyrażenia z x

5x – 2x + 2*[liczba wszystkich monet] = [zadana kwota]

• przycisk: skróć współczynniki przy x

3x + [liczba wszystkich monet]*2 = [zadana kwota]

• przycisk: odejmij od obu stron dwukrotną liczbę wszystkich monet

3x = [zadana kwota] – [liczba wszystkich monet]*2

• przycisk: podziel obie strony równania przez współczynnik stojący przy x

x = ([zadana kwota] – [liczba wszystkich monet]*2)/3

liczba wybranych pięciozłotówek = [x]

liczba wybranych dwuzłotówek = [liczba wszystkich monet] – [x]

• przycisk: sprawdzenie


W ten sposób można obliczyć ile pięciozłotówek oraz ile dwuzłotówek trzeba użyć, żeby uzys-kać zadaną kwotę przy określonej łącznej liczbie monet.

13



Cel zajęć


Uczeń:




Uczeń:








Część 3 – układanie równaniaKolejna pozycja menu - „układanie równania” pokazuje jak zapisać problem doboru odpo-wiednich liczb monet przy pomocy równania liniowego.

Pozycja „rozwiązywanie równania” umożliwia rozwiązanie równania z poprzedniego ekra-nu. Klikając na podpowiedzi otrzymujemy kolejne równania równoważne, które prowadzą do rozwiązania równania i sprawdzenia otrzymanego wyniku.

Ćwiczenia – zestaw 1

a) –(2x + 3) + 2 = 4x – 5

b) –(3a – 4) – 5 = 6 + (–a – 2)

c) 10 – (5x – 2) = 7x +12

d) –5 – 8x = –(5x – 3) – 8

e) 2x + 7= – (3x – 8) + 5

f) 1,2 – (5,6a + 5) – 4,2 = –2,6 + (3,6a + 20,6)

Scenariusz 13załącznik nr 3 – interaktywna waga – zestaw ćwiczeń nr 1


ZAŁĄCZNIK NR 3 – Zestaw równań nr 1

a) -(2x + 3) + 4 = 4x - 5b) -(3a - 4) - 5 = 6 + (-a - 2)c) 10 - (5x - 2) = 7x +12d) -5 - 8x = -(5x - 3) - 8e) 2x + 7= -(3x - 8) + 5f) 1,2 - (5,6a + 5) - 4,2 = - 2,6 - (3a - 20,6)

a) 2x + 7= – 3 (3x – 8) + 5

b) –1,5(2x + 2) = –3( –2 + 4x)

c) –0,5 (30z – 4) + 5 = –0,2 ( –90 + 20z)

d) –2(2a + 7) = 2a + (–3a – 4)

e) –4(3,5y – 2) = –0,4(5y + 10)

Scenariusz 13załącznik nr 4 – interaktywna waga –zestaw ćwiczeń nr 2

a) 2x + 7= – 3 (3x – 8) + 5

b) –1,5(2x + 2) = –3( –2 + 4x)

c) –0,5 (30z – 4) + 5 = –0,2 ( –90 + 20z)

d) –2(2a + 7) = 2a + (–3a – 4)

e) –4(3,5y – 2) = –0,4(5y + 10)


a) 2x + 7= - 3(3x - 8) + 5b) -1,5(2x + 2) = -3(-2 + 4x)c) -0,5(30z - 4) + 5 = -0,2(-90 + 20z)d) -2(2a + 7) = 2a - (3a + 4)e) -4(3,5y - 2) = -0,4(5y + 10)

ZAŁĄCZNIK NR 4 – Zestaw równań nr 2

14

a) 2x + 7= – 3 (3x – 8) + 5

b) –1,5(2x + 2) = –3( –2 + 4x)

c) –0,5 (30z – 4) + 5 = –0,2 ( –90 + 20z)

d) –2(2a + 7) = 2a + (–3a – 4)

e) –4(3,5y – 2) = –0,4(5y + 10)


a) -(2x + 3) + 4 = 4x - 5-2x - 3 + 4 = 4x - 5 / + 2x1 = 6x - 5 / + 56 = 6x /:6x = 1

b) -(3a - 4) - 5 = 6 + (-a - 2)-3a +4 - 5 = 6 - a - 2 -3a - 1 = 4 - a /+3a-1 = 4 +2a / - 4-5 = 2a /:2a = - 2,5

c) 10 - (5x - 2) = 7x +1210 - 5x +2 = 7x +1212 - 5x = 7x +12 / - 12-5x = 7x /+5x0 = 12x /: 12x = 0

d) -5 - 8x = -(5x - 3) - 8- 5 - 8x = - 5x + 3 - 8- 5 - 8x = - 5x - 5 / + 5- 8x = - 5x / + 5x- 3x = 0 / :(-3) x = 0

e) 2x + 7 = - (3x - 8) + 52x + 7 = -3x + 8 + 5 / + 3x5x + 7 = 13 /-75x = 6 /:5x = 1,2

f) 1,2 - (5,6a + 5) - 4,2 = - 2,6 -(3a - 20,6)1,2 - 5,6a - 5 - 4,2 = - 2,6 - 3a + 20,6- 8 - 5,6a = - 3a +18 / + 8-5,6a = - 3a +26 / + 3a-2,6a = 26/:(-2,6)a = -10

ZAŁĄCZNIK NR 5 – Rozwiązania zestawu równań nr 1

15



Cel zajęć


Uczeń:




Uczeń:








Ćwiczenia – zestaw 1

a) –(2x + 3) + 2 = 4x – 5

b) –(3a – 4) – 5 = 6 + (–a – 2)

c) 10 – (5x – 2) = 7x +12

d) –5 – 8x = –(5x – 3) – 8

e) 2x + 7= – (3x – 8) + 5

f) 1,2 – (5,6a + 5) – 4,2 = –2,6 + (3,6a + 20,6)

Scenariusz 13załącznik nr 3 – interaktywna waga – zestaw ćwiczeń nr 1


ZAŁĄCZNIK NR 6 – Rozwiązania zestawu równań nr 2

a) 2x + 7= - 3 (3x - 8) + 5 / - 72x= -9x + 24 + 5 - 7 / +9x11x = 22 / :11x = 2

b) -1,5(2x + 2) = -3(-2 + 4x)-3x - 3 = 6 - 12x / + 3 -3x = 9 - 12x / + 12x9x = 9 / :9x = 1

c) -0,5 (30z - 4) + 5 = -0,2(-90 + 20z)-15z + 2 + 5 = 18 - 4z / + 4z -11z + 7 = 18 / -7 -11z = 11 / : (-11)z = -1

d) -2(2a + 7) = 2a - (3a + 4)-4a - 14 = 2a - 3a - 4 / + 14-4a = -a + 10 / + a-3a = 10 / : (-3)a = -3 ⅓

e) -4(3,5y - 2) = -0,4(5y + 10)-14y + 8 = -2y - 4 / - 8-14y = -2y - 12 / + 2y-12y = -12 / : (-12)y = 1

16

waga i monety – pierwszego stopnia matematyka · 2015-06-27 · waga i monety – rozwiązywanie...

Documents