wandering in the world of smarandache numbers

217

Upload: don-hass

Post on 08-Apr-2016

223 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

 

TRANSCRIPT

Page 1: Wandering in the World of Smarandache Numbers

Wan

derin

g in

th

e W

orld

o

f S

maran

dach

e N

um

bers * A

.A

.K

. M

aju

md

ar

Smarandache Numbers - Cover:Layout 1 9/2/2010 8:13 AM Page 1

Page 2: Wandering in the World of Smarandache Numbers

����

����

��������

�����

� ���

������������������

������������������

���������� ����!"�#�$�#� �%�&���'() (���* +�,�&�-��..�!�/�012) 0311-��.�

�!���45�����+��6�&78���4�#*�9 ��+��6�&7�.���#�+.�

:

����"&*$���*&;��.���,�&<=(=)��&#/<=((>��.�&��� �*$���/�����#�-��/� 8�& �8�&� �%�&���'

��%�&-�/���(?2<-�� 84�6��/

��4�./* �5@00=) < ) 11=0210�A��(2<?���������

<=(=

Page 3: Wandering in the World of Smarandache Numbers

< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

������������� ���� � ���������� ��������� ��������������

�**��* ���� 6����� ������������������ ������������ ��������� �����!����� ��������!"�#$$�%&�' ��(�����&)&�*�+�,#-./�0���0����� ��-1,$.2,#-./��30�� !&��,21$$245,2$.$$��6����� ��3 ��� "������77888!��&���&��7���7����� � �

�*.'&�8/��5$,$����������� ��������� �0������� ������������� ���8�!��� ��������� ���!!�8������8���4��,&�&'*$�#�� #��5� ������77888&��!!��&���& ��79��������� 7 *���2��� ��������&��������

����

����

����"��&��%��B�&�5�

,&� ���� ����� :�&� 0�8���!� ;�<� � 3���� �/� : ����� ��� ��� ��� �����/� =����������������� �����/�3����/�:����,#-5/�*���!�� ���

5&� ���� ����� :�&� &0&� ����/� : ����� ��� ��� ��� �����/� :���� ���� �����/� :���� ,$$$/�*���!�� ���

#&� ���� ����� :�&� &� >������/� : ����� ��� ��� 63?� �6����� �� 3� � � �� ?���� ����"/�*�?���*���!�� ������� ���������?���� �������� ���!���"/�:����,$$$/�*���!�� ���

��������������� �����>& &�0�8�����3�!�������0&0&>&� �@���������"&� ��6� �/�� ���6������*$���&�#��������

����5C) 10(3CC) 1?(<21

Page 4: Wandering in the World of Smarandache Numbers

? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

"�������

A���� �� ������0�������� �� ������ ���

�0���B&�3�������� �� �� �/�!�� ��!!������������ ��������������! ��/���8����� �����&�����

���8���������2��� �� ������� �!���� ������8� ����� �� ����! �� ����������� ���������������������� �B������*�C ����6�!! � /�6������/�(������/�8����!������� �!���� �/������������� �8���������� 8� ������ ��� ��� �����&� ������� ��� ����� ��� �������� � � �� � ��� ��� ��� �����/� ���� � ������ !������������� �8���)� ��������( � �������� ��� �����!������������&�����

*��� ����� �� ���� ���!�� � ��� ������� ����� ������������ ��������� ��� � ��&�0��� ��� �� �!! � ����� � ��� ���!�� ����� �� � ��2!�� � @�����!� ��� 3�������� � %������/� �� ���� ��� � ���� ��� �������� �� ��� �� � ����!����� ��� �� � ����! ��&� 3�� � ��� �� � ����! ��� �� � ����! � ������������2���8���/���� ��� �� �!!����!! �����/������� �� ����� ��������2��������&�%�8/�8 ���� �3�������� � � <� � �/� 3�������� � ��������/3�������� � B�CC�/� 3�������� � 0���2�A �� ���/� 3�������� � A�������/� �������� 3�������� � ������+ �/� 3�������� ����!������/� ���� 8���� ���&� 0��� ��� � ���������!�/� ���� ��������� ����������� �� � 8��!�� �� ����������������������!�� ��� ������ 8� �� !����� � � ���/� ��������������� ��������� ��� ������������ � ������ �����&�����

0���� �� <� ���������� ����������������/����� ������ ���� ������ �3�������� ����� ��������3 <� � /����������������� ��8������!��� �����,DD1����3�������� �%�������=�����!/������� �� ������ �������!����������!!�5$$-&�*������ ��� �/���� �� ���� ��!������������������� �� 8�@�����!�3� ����� ����&�����

�� �� ��� � ��� � ��� 5$$1/� ���� ����� ���� �������� � <� �� �� � � ��� 8��� � �� ���� ��� �� �3�������� �%������&��� ��� � ������������� ���������� ����������� �� <� ���������&� �����

���8��������� ����/��� �����������! ������ ������������ ��� ���� ��������� ����&��������� �3�������� �%������������������������� ����� ���������������� ��������!��������� ��� ���� ���!�&��� �/�����+ �������� ������/���� !�/�3�� �3�������� �3 <� � �/�3�������� �: � ��������3 <� � �/� �� � 3�������� � B������� ���� ���� � � ��!�C������/� �� � �� ���� 3�������� �B������� ���� ���� � � ��!�C������/� ���� 3�������� � %��� �� ( !�� �� ������! �&� ���� ��� �� �� ��!������ �� ��� ��� /�������� �� ��!��/�������!��!�����6���� ��4/��� �� 8&����8��������� ����/��������� ��� ���������!�������� ���� �� ���� ��!��/������������� ��� � ��� �����!!�5$$D/���� ���� � +������������2��2��� &�0���� � ������6���� ��,/�6���� ��#/�6���� ��-�����6���� ��4/���� ��� ������! ����� ���� ������� �����������@ ��� ������<� ������&�����

��8��!�� !� ������ � ����������������� ��� �����:�&�� � C��������� �� ��� � ��� ������!������� �� ����&�����

����

0&0&>&� �@������(����� ����0���2���������� �����/�=�����

Page 5: Wandering in the World of Smarandache Numbers

2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

����

����

����

����

����

�������

D����*

����� ���������� ������ � ������� ������������������� ��� �������������� �����������

����

����

����

����

����

Page 6: Wandering in the World of Smarandache Numbers

3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

����� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� ���������

�/�.��&���� = � �&*6�#��* 1)0������������������������

�/�.��&���� ( �*�� ���&� 6�#/� ��E�� #��� � � � � � C)?0���������

,&,�3�� ��� !��������( ��!��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,$�E�,,�����

,&5�3�������� �)���3 <� � � ,5�E�,#�����

,&#�3�������� �?� ��3 <� � � ,-�E�,F�����

,&-�3�������� ����� ��������3 <� � � ,F�E�,D�� � � �� � � �� � � �� � � � ����

,&4�3�������� �3<��� ��������3 <� � �� 5$�E�5,�����

,&.�3�������� �;��� ����8 ���������3 <� � �� � 55�����

,&F�3�������� �� ����������3 <� � � 5#�E�54�����

,&1�3�������� �6���!���3 <� � � 5.�E�5F�����

,&D�3�������� �( � �� �3 <� � � 51�E�5D�����

,&,$�3�������� �3��� ����3 <� � � #$�E�#,�����

,&,,�3�������� ��� � ��6�����3 <� � � #5�E�#4�����

,&,5�3 �� ������!�����3�������� �3 <� � �� � � � � � � #.� �����

,&,#�3�� �( ����� � � � � � � #F� �����

( � � � �� #1�������������������������

�/�.��& < ���&� 6�#/� ����&�� � � ��E�� #�� ?C�)�3<��������

5&,�3�������� �6�!��0����� ���: � ��������3 <� � � -5�E�-4�����

5&5�3�������� �*����� ����0����� ���: � ��������3 <� � � -.�E�-F�����

5&#�3 �� ��8����3�������� �: � ��������3 <� � �� -1�E�45�����

5&#&,�3�������� �*����� ����: � ��������%�����!�3 <� � � -1�E�-D�����

5&#&5�3�������� �*����� ����0����� ���: � ��������3 <� � � 4$�E�45�����

( � � � �� 45����������������������

�/�.��& ? �/� ���&� 6�#/� �� #��* 3?�)�00��������

#&,�3�� �?+�!����?+�� �����������3��"� 41�E�.,�����

#&5�3�� �A � ��!�C������� .5�E�.-�����

#&5&,��� �3�������� �:��!�B�������3G��"� .5�E�.#�����

#&5&5��� �0������ �0��!��� �����3��"�����3G��"� .-�����

#&#� �� !!�� ���������� .4�E�1#�����

#&-�3�� �)�� �������������( ����� 1-�E�1F�����

( � � � �� 11�

Page 7: Wandering in the World of Smarandache Numbers

F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�/�.��& 2 �/� "���6* ���&� 6�#/� �� #��* 0C)(F0��������

-&,�3�� ��� !��������( ��!��� D,ED5�����

-&5�3�� �?+�!����?+�� �����������'��"� D#E,#F�����

�?+�� �����������'��&5"/�'���"/�'�#&5�"/�'��<""�����

-&#�3�� �A � ��!�C������� ,#1E,-,�����

-&#&,��� ��� ����3�������� �:��!�B�������'G��"� ,#1E,#D�����

-&#&5��� �0������ �0��!��� �����'��"�����'G��"� ,-$E,-,�����

-&-� �� !!�� ���������� ,-5E,4D�����

-&4�3�� �)�� �������������( ����� � ,.$E,.F�����

( � � � �� � ,.1�������������������������

�/�.��& 3 ���&� 6�#/� ���,�& ��4���6 �&�� 84�� (FC)(C<��������

4&,�3�� ��� !��������( ��!��� ,F$E,F#�4&5�B���!� �����.$�: �� ��3�������� �B�������( !�� �� � ,F-E,F4������� ����3�������� �B�������( !�� ��������! ��

4&#�B���!� �����,5$�: �� ��3�������� �B�������( !�� �� � ,F4E,F.������� ����3�������� �B�������( !�� ��������! ��

4&-�B���!� �����3�������� �B�������( !�� �������� ���� ,FFE,FD�3�������� �B�������( !�� ���������� ���������! ��

4&4�3�������� �B�������( !�� �������� ����3�������� � ,1$E,11�B�������( !�� ��������! ������ ��������� ���0��! ��4&4&,�3�������� �B�������( !�� ��������! �� ,1$E,1-�4&4&5��� ����3�������� �B�������( !�� ��������! �� ,14E,11�

4&.�3�� �)�� �������������( ����� ,1DE,D5�( � � � �� ,D5�

��������

����

�""�������� � (C?)<(?�����

�..� 6�A��(5H�!� �����'��"/���I�,�,"-D5,� � (C?)<=F���������

�..� 6�A��<5H�!� �����'���"J� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � <=1)<(<

��I�./�F/�1/�,$/�,,/�,5/�,#/�,./�5-/�#5/�-1/�D.J�5�������,4,,��������

�..� 6�A��?5H�!� �����'��&5"/���I�,,/�,#/�,F/�,D/�5#/�5D/�#, <(?��������

�#� *B4�68��� �� <(2

������� ����G <(3��������

Page 8: Wandering in the World of Smarandache Numbers

1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�/�.��&= � �&*6�#��* �

��������

K� ��8 � ��!� ��� 3�������� � � <� � �/� �� �� �� � !�� ��!!�� ����� ���! � ��� ���� �&� B��� �������/�8 ���� ���� ��� ��3�������� �� <� � �&��� ���� ����,"�3�������� ������ <� � /� � ��5"� 3�������� � � �� � <� � /� �#"� 3�������� � ���� � ������� � <� � /� �-"� 3�������� ��<��� ��������� <� � �/��4"�3�������� ����� ����8 ���������� <� � �/��."�3�������� �� ����������� <� � /��F"�3�������� ����!���� <� � /��1"�3�������� �� � �� �� <� � /��D"� 3�������� � ���� ���� � <� � /� ���� �,$"� 3�������� � �� � �� ����� � <� � &�0!!� ����� � � � <� � �� ���� � �� � ������ ����� ������ ����� �� �� �� � �!!� � ��� � � ��� /� ����� ��/� ��� ����� /��� ���E����� ������� � +�� �� ������ ��������� ������� ������ ��� ������ ���&�3�� ������ ����� ��� ������� � �� ��� ��� � ���� �3�������� �� <� � ���� ������ �����6���� ��,&������ ������ �3�������� ����/� � �/����!����������� ����� <� � �/�8 ����8��������� ������ � �� <� � ��������� ���� �� ��� � �� !��������������B������������������� ��&�K ����� ������ ���������� ������ �3�������� ����� ������������� � �� �� <� � ����������B������������������� ������������ ���� � ��8���� ��� ������� "&�B��� �� �3�������� � � �/����� �������/� � ���������� ���� �<��� � ������� � <� � �/� �� � <� ������ ��� �� 0� � �� � � ���� � �� ����8 ������ �������� � �� <� � �L�K ���� ���������!����8 �������� ������������ � �� <� � �/�8��! � ���� ��� ��� �� � � �������� � <� � �/�8 � ���� � ����� ��� ���� �� ��� � � +�� �� �� ��� ��� �� �� ��8 �&� K � �!��� ���� � ����� ��� ���� �� ��� �� � 3�������� � ���� �� ��8 �� �������� <� � ������<��� ������������!����� �&� �

� �� �� �� � ��������

����

��� 6���� �� 5/� 8 � ����� �� ����� 3�������� � � � �������� � <� � �/� ��� !�/� �� � � � � � � � � � �3�������� � ��"� �!�� � � �������� ������!� � <� � /� ��"� �!�� ������ ��� � � �������� �� <� � /� �"� ������ ���� � � �������� ������!� � <� � /� ���� ��"� ������ ���� ������ ���� � ��������� <� � &�0���!!�/��� �� <� � ���"������������!����� ���� � �� �� <� � ���"/������"�������� ��!��� ������"&���� ����� /�8 �� ��� ��� � +�!��������������� ���E����� ��&�K ��!���������� �� <� � ������� ���E����������!������������ �� <� � ���"�������"&�����

��������

�8�� ��� �� � ����� 8�� !�� ����� �� 3�������� � ������ ���!� ��������/� ��� !�/� �� �3�������� ���������3��"������� ��� ����3�������� ���������'��"/��� ��� ����@ ������ ������6���� ��#� ����6���� ��-� � �� ��� !�/�8� � �8 ���� � ��� � ! � ���������� ��� ����� �� � ��8����������������� ���� � ��!�C������&���������

����

6���� ��4�� �!��8������ �3�������� ����� ��� !�� ��������! �&�* ��� ���� �3�������� ����� ��� !�� ���������!����������� ���������! �/�� ���! �����!���������� �3�������� ����� ��� !�� ���������!���.$$�����,5$$�������! ����������� �&���������

����

K ����� � �!!� ����� ��� ������ ��� �������� ���"� ���/� ��� ���� ������/� �� � � �� ��� �!!� ������� ���� � ��� �&� ��� �� � !�����!��� ���� ���%��� ��/� �� ������ �����!�� ����� � �� ������ ���!���������� �� � ���"/����"� �������"&�( ��!�/� �� � � � ��� ��� �� � � ������ ��� � �� �� ��� ��������� � <������������!�����3��"����'��"������� ������� ������ �!�����!������� ���!���������&�K��������� �������/�8 � � �� 8� � !�8� �� � � ! ����� � ���������� ���� �� �� ��&� �� � !����� ���/� M0�������������� ��� �� ��� ���� ���%��� ��N/� ���A&;&�;����� ����?& &�K������ �6!�� ����� �� ��/�)+����/� �>/� 4��� ?������� �5$$5""/� ��� � ��� �� �� ���� �� � � ���������� ���� �� � ��� ��������������!��&�

����

Page 9: Wandering in the World of Smarandache Numbers

0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

������������5�A�� �������� � ����O�,/��� �� ��������� ������"������ ����� ������!!��������������/���!������,���������� !�&�

���

��������5�� ��, 5 � � , �

, 5 � � ,�������� �� � ���� � ���� &&& � ���� � &&& � ������

� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �$&,"�

� ��� �� �� � ����������������� ��������������� ���������,/��5/�P/��&��� �/� �

���"� �I� ���,��Q�,"��5��Q�,"� � �P� � �����Q�,"&� � � � � � � � ����

���������� �� 5� A�� �� ��� ��� � �� ��O�,/� �� � ����� �� � ����� ��/� � ��� �� ��� ���"/� ��� �� ����� ������������ ���� � ������� + ������/�8������ ����� �����&�

���

��������5�� ������� ��� ����� �������� �� � ������������� �������$&,"&��� �/��

���"� � �I� �

, 5

, , ,� , , �&&&� ,� � �

� � � � �� � � � � � �

&� � � � � � � � ��

��

������������5A�� �������� � ����O�,/����"������ ���������!!������������������!������,���������� !�"&�

���

��������5�� ������� ��� ����� �������� �� � ������������� �������$&,"&��� �/��

, 5 , 5

, 5

,����� ,��� ,���� ������� ,� � ������� , � ������� ,

��" & �&&&�� , � , � ,

� � � � � �

� �

&� � � � � � � � ���

������������5�0����� � ����O�,�����!! �����������������!������������� ���������!!��������� �������������������/��!!������������!������,����� +!����������� !�"&�����/������� �� �����������!�����5��I����"&�

���

��������50��� � ��� �� ������ ������������ ������ ��

��I�5�5�Q�

,�E�,"/��

8� � ��� ���� � ���O�,�������������5�Q�

,�E�,�������� &� � � � � � � � � ����

������������5�0�������� �������������&"�����!! ������ �� ��� ����������!������

����"�I����"���"������!!���� � �����������8������/��"�I�,&����

��������5��� �������������"/����"��������"��� ���!���!����� &����

������������5�0����� � ����R�$�����!! ��������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� �I�

�� ,� �� "

�� /� � � � � � � � � � � � � � � � � �

8� � ��,� �S� �,/��5/�P/����� ��� ����� ���������������/�������&"������������� ���!��������&� �����

6���� ��,/�6���� ��5/�6���� ��-�����6���� ��4��� ���� ����������� ��������� ��/����!��� ��������� � ���@�����!�&������ �� ����� /���� �� 8�� ��!������ �� �������/��������� �� ��!����� ��!�����!�� �������������&� �� �� �/���� ���� �������2��2��� /�8 ���������� ����� ������!�� ��� �� ��!��������� ��� � ��� ������8 !!/�� ����� <� ��!��8��������!��� ��������&�

Page 10: Wandering in the World of Smarandache Numbers

C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�/�.��&( �*�� ���&� 6�#/� ��E�� #���

��������

����

��������

B������������ �/�8 ���� ���� ���� ���!!�8����� ��3�������� �� <� � ����� � � ��

�,"�3�������� ������ <� � ��

�5"�3�������� � � ��� <� � ��

�#"�3�������� ����� ��������� <� � ��

�-"�3�������� ��<��� ��������� <� � ���

�4"�3�������� ����� ����8 ���������� <� � ���

�."�3�������� �� ����������� <� � ��

�F"�3�������� ����!���� <� � ��

�1"�3�������� �� � �� �� <� � ��

�D"�3�������� ����� ����� <� � �� � � �

�,$"�3�������� ��� � �������� <� � &���

�� ����� �� ��� <� � ����� ��� ����� ����������������� ���� ��!!�� ��� � ���� &�����

��� �����@ ��� ��������� � ��� ����B������������������� ��������������� �3�������� ����/� � �/����!����������� ����� <� � �&�K ���������� ���@ ��� ��������8������������ ���� �� � � � <� � �� ������� �� �� � � ��� � � � !���������� ���� B������� ��� ����� ���� ��&�K ����� � ����� �� ����� ��� � ��� �� � 3�������� � ���� � ������� ���� � � �� � � <� � �� ��������B������������������� ������������ ���� ���8������� ������� "&�

� � � ���

K � � �!!� ����� �� � � <� � � ���B������� ���� ��/� � ���,�B��" /� ���� �� � � <� � � ��������

���� ��� � ���,����" /��� �� ��� ������������ �� ��� � �� !�������������� ������� ���� ��������

B�,"� � �I� � �,/� B�5"� � � �I� � � �,J� B����Q� �5"� � � �I� � �B���� �Q�,"� � � �Q� �B��"/� ����� �,/� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �,&,"���

��,"� � �I� � � �,/� � � � � � � � ���5"� � � �I� � � �#J� �����Q�5"� � � �I� � � ������ �Q�,"� � �Q� ����"/� ����� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&5"����

B��� �� �3�������� � � �/����� �������/�� ���������������<��� ��������� <� � �/� �� �<� �����������0� ��� � ������ �� ����8 ������ �������� � �� <� � �L�K ���� ���������!����8 �������� ������������ � �� <� � �/�8��! ����� �������� �� ��������� <� � �/�8 ����� � ������������ ������ � +�� �� �������� �� ����8 �&�K ��!������� ������������� ������� �3�������� ����� ����8 ���������� <� � ������<��� ������������!����� �&�����

B��� �� � 3�������� � ���/� ���� � ������/� ���!��/� � � �� � ���� ���� ���� � <� � �/� �� �<� �����������;�8���������� ���� ��� � ���� �������� � �� <� � �L�B����� � 3�������� � � ��� <� � /� �� � <� ������ ��� �� ;�8� ����� ! � ���� ��� �� � � <� � � �� � �8� � �� ���� L� �� � �<� ����������!!�� ������� �&�����

0�� ������������ ��� !��������� ��!������T�,&,/�8 ���������� � ! � ���������� ��� ������� �� ��� <� � ��� ����� !������� �� +��� ��� �����������T�,&5���������T�,&,,&���� ����� /�8 ���� ��� � � ��� � � � !������ ������� �� ��� �� � � <� � &� T�,&,5� ��� �� ��� � � �� �� ����!����� �� �3�������� �� <� � �&��� ����� �� ����8������� �� ��������T�,&,#&�

Page 11: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

(�( �*�� "&�4��� �&' ����4������

����

����������5�#������ ��� � ��,$��� �Q� �,$�� �Q� �,"������!!���� � ����/��� ��� �$&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����5�K ������ ���� ���!!�8������� �������! ��� ��� ����� !�����

6�� ��,"���K� ����� �I� � ��� � �I� � �$&����������� /��� �� ��!�����! ��!����� &��

6�� ��5"���K� ����� �I� � �$/��� � ��� � �,&�; � ��!��/��� �� ��!������ ������ ���� /���� ��

,$�� �Q� �,$�� �Q� �,� �I� �,$�� �Q� �5� �I� ��,$�� �� �,"� �Q� �#� �I� �D�,��Q� �,$� �Q� �,$5� �Q� �P��Q� �,$���

,"�Q�#&��

6�� ��#"���K� ������� �,/��� ��� �,&����������� /��� �� ��!����!!�8�/���� ��

,$�� �Q� �,$�� �Q� �,� � �I� � ��,$�� �� �,"� � �Q� � ��,$�� � � �� �,"� � � �Q� �#&�U�� � � ���

����� ����� 5� �� � ��!�� ���E� ����� � ��� � �� ��!������ ��� �� � :��������� � <������� � � � � � � � � � � �+V� � �E� � ��V� � �I� � �,���� � +� � �I� � �,/��� � �I� � �$&�

����� 5� �� � ��� �� :��������� � <������� ��� <����! ��� ��� �+�� �E� � ��"�+��Q� ��"� � � �I� � �,/� 8� � � ����� � � �+� � �E� � � � � �������+��Q� ����� ���� � ��&��� � ��� /��� ���!���8���������!��� ���� � �

� � � �

�,"�+� � �E� � ��� � � �I� � �,� � �I� � � �+� � � �Q� � ��/� � � �5"�+� � � �E� � ��� � � �I�,�� � �I� � � �+� � � �Q� � � ��/�� � � �

�� ����������8������� ���� �� ��� ������E�� ����� ���!�����&�U�� � ���

��������������5� ��%���R�,"�� �����+ ������ �&��� �/�� � �

;(>��� �:��������� � <�������+V� � �� � �%� � �I� � �,���������������� "���� � ����!������+J�� � �

;<>��� �:��������� � <�������%�� �� � ��V� � �I� � �,���������������� "���� � ����!�������&�� ���

����������5�� ������ � ��� � �5"�� �����+ ����� � �&��� �/��� ���!������E�� ����� ���� � ����!����������� �:��������� � <�������+V� � �Q� � �,� � �I� � ���� � ���+� � �I� � �$/��� � �I� � �,&�

� � � �

�����5�*��� ����,&,&5/������������� ����������� ���� ��� �8� ����� �R� � �5��������������� � �/����/� �� � I� � 5�� ���� ��� � ��� � �� �� � R� � ,/� �� �� � 8������� �� � ��� �� :��������� � <������� ��� � � � � ����"V� �� �+V� �I� �,/�8 � � � ����/� ���� ����,&,&5/� �� � ��!�� ����E�� ����� � ��� � �� ��!������ ������� �I�� �,/� � �+� � �I� � �$/���������+� � �I� � �$/��� � �I� � �,/����� <��� �&�3�/� ! ����� ����/����/��� �I� �5� �Q� �,� ������� ���� � ���� ��� � �,&��� �/� �� ���� ��:��������� � <����������� �8���� �����

� � �

+5� � �I� � ��5�Q�

,� � � �E� � �,� � �I� � ���� � � �� � �,"��5� � � �Q� � � ��5�E�,� � � �Q� � � � � �&&&� � � � � �Q� � �,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,"�

� � �

B�����,"/�8 �� ������+� � �I� � �$����������!������� �I� �,/���� ��5� � �Q� � ��5�E�,� � � �Q� � � � � �&&&� � � � � �Q�,� �R� �$&�%�8/����+� � ��� � �$/�������,"/��� ���!���������!��� ���� ��� ���!!�8�����8����

� � �

6�� ��,"����� � �E� � �,� � �I� � �+/��5� � � �Q� � � ��5�E�,� � � � � �Q� � � � � �&&&� � � � � �Q� � �,� � �I� � �+&�� � � �

*��� �� �� ���I� �+� �Q� �,/� ����8 � �� � ! �� ��� �� � <������� �+��Q� �,"5� � �Q� � ��+� �Q� �,"5�E�,� � �Q� � � � � �&&&� � � � �Q� ��+� �Q� �,"5�� �Q�5� �I�� �$/�8���������������! &��

6�� ��5"����� � �� � �,� � �I� � �,/��5� � � �Q� � � ��5�E�,� � �Q� � � � � �&&&� � � � � �Q� � �,� � �I� � �+5&�� � � �

�� �/��� � �I� � �5/�+5� � �I� � �55�Q�

,� � � � �E� � �,&�( 8������������ <������������ ���!!�8���� <����! ��������

�� � ��

�+� � �E� � �,"�+�� �Q� � �,"� � �I� � �5�5� � � �E� � �,"�5� � � �Q� � �,"/�� � � �

8 �� �������� �!&�&�&�����������! ����-/�8��! ��� ��&�&�&���������������! ����-����� ������5� � �E� � �,�����5� � �Q� �,��� ����"&�0���8 �� �������������������&��

�� ����������������������� ��� �� ����!��� ���� �! ���&�U��

Page 12: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��������� ����� 5� �� �� �� � ��� � �5"� ����%� �� �R� �$"� � � �8�� ��+ �� ��� � ��&� �� �/� �� �:��������� � <�������%5�� � �Q� � �,�I� � �������������� � ����!�������&� �

� � � ��

��������� ����� 5� �� �� �� � ��� � �5"� ���� %� ��R� �,"� � � �8�� ��+ �� ��� � ��&� �� �/� �� � :��������� � <�������+5� � �Q� � �,� �I� � �%����������������� "���� � ����!������+&�

� � � ��

����������5�� ������ ��� � �5"�� �����+ ����� � �&��� �/��� ���!������E�� ����� ���� � ����!������������ �:��������� � <�������+5� � �E� � � � ���� � �I� � �,��� ��,"�+�� �I� � �,/��� �I� � �$J��5"�+� � �I� � �#/��� � �I� � �5/��� � �I� � �#&�

� � � �

�����5B������I� �5/��� �! ����� �� ������ ����,&,&5&�3��8 ������ ���� ��� �8� ������� �#&� �B������ ���� ��:��������� � <������/�8 �� � ����/��� �I� �$� ���������!�� ���+� �I� ���,/���������� ���!�� �����E�� ����� � ��� � �� ��!������ +��I� �,/� �� �I� �$&� ��� � � ��� �� � ��� �� :��������� � <������� ���� ���� � � �����E�C ������ � ����!�����/�8 ������ ������+� ��� �,&�� � � �

�������� � �/����/��� �I� �5��������� ���� � ���� ���,/��� ��+5� �E� ���� ��� �+5� �E� ����"5� �I� �,/�8�������������� � ����!����������������+��R�,�����6���!!����,&,&,�5""&�

� � � �

% +�/�! ����� ����/����/��� �I� �5��Q� �,�������� ���� � ������ �,&��� �/�+5� �E� � ��5�Q�

,� �I� �,/��������/� � � � � � � � � � � �

� �

�+� �E� �,"�+��Q� �,"� �I� ��5�Q�

,&��� �

K ���8������ ���� ���!!�8������� ��� ��������������� ���� � �

6�� ��,"���K� ��+��E� �,� �I� �,/�+� �Q� �,� �I� ��5�Q�

,&��

; � /�+� �I� �5���� �� ��8������ � <��������5�Q�

,� �I� �#/������� �!��� ������������ � ����!�������&�

� �

6�� ��5"���K� ��+��E� �,� �I� ��/�+� �Q� �,� �I� ��5&��

( 8��������� �� ���� <������������ � <����! ����������� � �E� �,"��� � � �Q� �,"� �I� �+/�8 �� ���������� � �Q�,"�+&�*�������������������� ������� <�������+��I� ��� �Q� �,����� �R� �,/���� �������R� �,/��� � �Q� �,�R� ��� � �Q� �,� �I� �+&����� �I� �,/��� �� �

� � �

��� �E� �,"����Q� �,"� �I� �+� � ��� � � �� �E� �,� �I� �,/��� �Q� �,� �I� �+/�� � �

���������� �I� �5/�+� �I� �#/��� �I� �#/�8�����������!����������� ���� ��:��������� � <������&�� � �

6�� ��#"���K� ��+��E� �,� �I� ����������� ���� � ����8����5���� ��� ��� �/�� ��� �5����������+� �Q� �,� �I� ��5�E���Q�

,"&��

���������� /�8 ���� �5+��I� ���W,� �Q� ��5��E��"�Q�

,X&�3�� �+��� ����������� ��/������!!�8������� �� � ��

,� �Q� ��5��E��"�Q�

,� �I� �6+/�������� ���� � ��6���� �,&�

����/�5+��I� ����6+"� � ��� � � 6��� �I� �5&�

� � ��

���6��I� �5/��� �����I� �,/������� �� ��!����� <�������+5� �I� �5����������� � ����!�����&�)���� ���� ������/����6���� �5/��� � <�������6��� �I� �5����������� � ����!�����&�����/��� ��#"����������&�� � � �

0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&�U� � �� � � �

��������� ����� 5 �� � ��!�� ���E� ����� � ��� � �� ��!������ ��� �� � :��������� � <������� � � � � � � � �+5��E� ��#� �I� �,����+� �I� �#/��� �I� �5&�

� � ��

��������������5�� ������R� �#"�� �����+ ����� � �&��� �/��� �:��������� � <�������+5� �E� � ����� �I��,�����+��I� �,/��� �I� �$����������!������E�� ����� ���� � ����!�����&�

� � �� �

��������� ����� 5� � �� �� �� �R� �#"� ���� %� �� �R� �$"� � � �8�� ��+ �� ��� � ��&� �� �/� �� � :��������� � <�������+5� �E� � � �%�� � �I� �,����������� � ����!������+&�

��

��������� ����� 5 � �� �� ���� �#"� ���� %� �R�,"� � � �8�� ��+ �� ��� � ��� 8���� %���� �#&� �� �/� �� �:��������� � <�������%5�� �E� � ���� � �I� �,����������� � ����!�����&�

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #���/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 13: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

(�< ���&� 6�#/� 66 ��E�� #� ���� ���� ( �; > ����

���� � �� �� �� � ����

����

��������

��������

�� �3�������� ������ <� � /�� ��� ����� � �� ,)3��" �

�/������ �� <� � �������� ������� �����

� � �� �!������ ��������� ������������ ���� � ����0����� ��W,X"&� ����

�� �������� 8�� ��������� �� <� � ��� ��

,/�,#/�,#4/�,#4F/�,#4FD/�,#4FD,,/�,#4FD,,,#/�,#4FD,,,#,4/�P�&���

���� � ��!/��� ����E����� �������� �� <� � ������� ����� ��

)3��"� �I�,#4�&&&��5� ,"/�� ,& � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,&5&,"��

B������������ �,/�)3����Q� �,"����� � +�� �� ������ �������)3��"������!!�8����B�������� �,/�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

)3���� �Q� �,"� �I,#4�&&&��5� ,"�5� ," � ��

I� �,$��)3��"�� � �Q� � � ��5���Q� �,"�������� ���� � ���� ��� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �,&5&5"� �� ��� �� !�/� �� �

�� �I� ����� ����������������5��� � �Q� �,"&��

����/����� +���! /� �)3�4"� �I� �,$��� �)3�-"� � � �Q� �F/� �

8��! /� �)3�."� �I� �,$V���)3�4"� � � �Q� �,,&�

� � ���

*��� � �� �����!�����������,&5&5"/�8 �� ��� � �

)3����Q� �#"� �I� �,$���)3��Q5"�� � �Q� � � ��5���Q� �4"�������� ���� � ���� ��� �,���

I� �,$�W,$���)3����Q� �,"� �Q� ��5���Q� �#"X� �Q� ��5���Q�4"�������� ���� � ���� ��� �,� � � � � � ��,&5&#�"��

� � �

I,$��Q�

�W,$��)3��"��Q� ��5���Q,"X� �Q� ��5���Q� �#",$�� �Q� ��5���Q� �4"� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��,&5&#�"�� � ��

������� ���� � ������� �,/����������� ��� ��� ��� ��� ��� �,&��� � ��� /�� � � ��

)3����Q� �#"� �I� �,$��Q�

��

Q�

����)3��"� � � �Q� ��5���Q�,",$��Q�

�� � � �Q� ��5���Q�#",$�� �Q� ��5���Q� �4"&� � � � � � � � � � � � ��,&5&-"�

���

B�����,&5&#"/�8 �� �����/������������ � ����,/�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

)3����Q� �#"� �I� �,$��Q�

���)3����Q� �,"� � �Q �5� #"�5� 4"� � ��� ��

I� �,$��Q�

��

Q�

���)3��"� � �Q �5� ,"�5� #"�5� 4"� � � &�� � ��

����������5�#������ ��)3��"����������!�����#������ ��)3����Q� �#"&������5B��������/���8������ ��� ��� ��� �,/����� ����,&,&,/���

#�W�5���Q� �,",$��Q�

�� �Q� ��5���Q� �#",$�� �Q� ��5���Q� �4"X� �I� ��5���Q� �,"�,$��Q�

�� � � �Q� �,$�� �Q� �,"� �Q� �5�,$�� �Q� �5"&�

� � ��

�� �� ��!����8���!!�8���������� �����,&5&-"&�U�� � ��

����������5D������ ��)3�#�"������������ � ������� �,&������5�B�������� �����/��� ������������������)3��"����

,�Q�#�Q�P�Q��5��Q�,"�I��5&��

3�� ��� ������������������)3�#�"�����#�"5�I�D�5/��� �� ��!����!!�8�&�U�

Page 14: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

������������ ����,&5&5/�8 ���� ��� ���� ���������������� � ������������! ����D����������!���������������������������������! ����D��� /����� +���! /�* ����������6��!��W5X"&�

� � ��

����������5�4������ ��)3�4���Q� �#"������������ � ������� �$&������5B�����,&5&5"/�������������������������+ ������� �$/�� � ��

)3�4���Q� �#"� �I� �,$���)3�4���Q� �5"� � � �Q� ��,$���Q� �4"�������� ���� � ���� ��� �,&�� � �

�� ��&�&�&����! ��!���������! ����4/������ � �4������ ��)3�4���Q� �#"&�U�� � ���

*�� ���������� �����������8�����!!����� ��������,#4� ��������)3�5DDD"/�0����� ��W,X���@ ��� �������� + ��������� �������!��� ��������I� �,/� � � �5/�����8����)3�,"� �I� �,� �I� �B�,"� �I� �B�5"� �I� � ���,"/�)3�5"�I�,#�I�B�F""/� �� � � �� � ��� ���� ��� ��� �� � 3�������� � ���� � <� � � ����� �� � �!���B����������/�����"����� ��&������ �� ��,&5&,������� �� ��,&5&5/�8 ����� ��� ���@ ��� �����0����� ������� ����������� &��� ������������ ��� �� ���� !� ������� ���!!�8����� ��!��&�

� � ���

����������5B���������� � ������� �,/�)3����Q� �,"� �R� �,$��)3��"&������5�B�����,&5&5"/�������������� �,/��

)3����Q� �,"� �I� �,$���)3��"� � � �Q� � � ��5���Q� �,"� �R� �,$���)3��"� �R� �,$��)3��"/�� �

8� � ��� ��� �,���������� � �&�K ������� ���� �� ��� ���� <��!���&�U�� � ���

��������������5B���������� � ������� �,/�)3����Q� �5"� � � �� � � �)3��"� �R� �DW)3����Q� �,"� � �Q� � �)3��"X&������5�B����� ����,&5&-/�� � �

)3����Q� �,"� � � �E� � � �)3��"� �R� �D�)3��"������!!��� ��� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �,&5&4"�� � �

%�8/��������� ��� <��!�����,&5&4"/�8 �� ���

)3����Q� �5"� � � �� � � �)3��"� �I� �W)3����Q� �5"� � � �E� � � �)3����Q� �,"X� � � �Q� � � �W)3���� �Q� �,"� � � �E� � � �)3��"X� � ��

R� �DW)3����Q� �,"� �Q� �)3��"X/�8���� ����!��� ���� �� ��!�&�U�� � ���

����������� 5� �?+ ��� �������I� �,/� � � �5� ����8����)3�,"� �I� �,� �I� �B�,"� �I� �B�5"/�)3�5"� �I� �,#��I� �B�F""��� � ��� �������� �������� �3�������� ������ <� � �������� ��!���B����������� ��&������5�������6���!!����,&5&,/�8 �� �����/������!!��� ��� �,/�� � �

)3����Q� �5"� � � �E� � � �)3��"� �R� �DW)3���� � �Q� �,"� � � �Q� � � �)3��"X� �R� �)3���� � �Q� �,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � ��

����/� ��� ���� ��� ��� �� � 3�������� � ���� � <� � � �������� �� � � ��� � � � !������ �,&,"�������� ������� �B����������� ��&�U�� � ��

*������!���� �������/�8 ���� ��� ���!!�8����� ��!�&�� � ��

�����������5��?+ ����������I� �,�����8����)3�,"� �I� �,� �I� ���,""��� � ��� �������� �������� �3�������� ������ <� � �������� ���������� �������/� ��� ���� ��� ��� �� �3�������� � ���� � <� � � �������� �� � � ��� � � � !������ �,&,"�������� ������� �B����������� ��&�U�

��

0����� ��W,X�� ����������/��������� �������5,� ! � ��������� �� <� � /���!��)3�5"/�)3�,$"�����)3�,."��� ����� �&� ���������W#X���@ ��� ��������� � ��� �������� !����������� ������� �3�������� ������ <� � /������� ���@ ��� ����!!�� �������� �&���

������ ������ ������������ ������� �3�������� ������ <� � /��������� ����� ����,&5&5����� � ���� ,&5&#/� ��� ��� ������ ��� ��� � � �� � � ���� ��� �� � ������ )3�#����� �,"� ��� ��� �,"/� 8� � �� ��� ��#���Q� �,�����#��� � �� �,��������� ������4� �Q� �#�������� ���� � ������ �,&�

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 15: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

(�? ���&� 6�#/� �%� ��E�� #� ���� ���� (��; > ����

����

����

�� �3�������� � � ��� <� � /�� ��� ����� � ���,�?3��" /� ��� �� � � <� � �������� ��� ���� ������ � �� �!������ ��������� � � ��������� ���� � ����0����� ��W,X"&� �

� � �

�� ���E����� �������� �� <� � ������� ����� ��

?3��"�I� 5-�&&&��5�"/�� ,&� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,&#&,"����

�� �������� 8�� ��������� �� <� � ��� ���

5/�5-/�5-./�5-.1/�5-.1,$/�5-.1,$,5/�5-.1,$,5,-/�P/���

���8������!���� ���������������� ����� �&����

K ���� �����/������������ � ������� �,/��

?3����Q� �,"� � �I� 5-�&&&��5�"�5� 5"� �� � � ���

I� �,$���?3��"� � �Q� � ��5��Q�5"�������� ���� � ���� ��� �,/� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �,&#&5"��

8� � /���� ��� �� !�/���

�� �I� ����� ����������������5���Q� �5"&��

����/����� +���! /��

?3�-"� �I� �5-.1��I� �,$��?3�#"� �Q� �1/�8��! /�

?3�4"� �I� �5-.1,$��I� �,$V��?3�-"� � � �Q� �,$&����

B�����,&#&5"/��� ���!!�8����� ��!����!!�8��� ���!�&����

����������5�B���������� � ������� �,/�?3����Q� �,"� �R� �,$��?3��"&����

������� ����,&#&,/�8 �������� �������

?3����Q� �5"� � � �� �?3��"� �R� �DW?3���� � �Q� �,"� � � �Q� �?3��"X������!!��� ��� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �,&#&#"��

�� �������������!��������������6���!!����,&5&,/������������� ��� � &����

*��� � �� �����!�����������,&#&5"/�8 �� �����/������������ � ������� �,/���

?3����Q� �5"� �I� �,$���?3����Q� �,"� �Q� ��5���Q� �-"�������� ���� � ���� ��� �,��

I� �,$�W,$���?3��"� � �Q� ��5���Q� �5"X� �Q� ��5���Q� �-"�������� ���� � ������� �,��

I� �,$��Q�

���?3��"� � �Q� ��5���Q� �5",$�� � � �Q� ��5��� �Q� � �-"/�����

?3����Q� �#"� �I� �,$���?3����Q� �5"� � �Q� � ��5���Q� �."�������� ���� � ���� ��� �,���

� I� �,$�W,$��Q�

���?3��"� � �Q� ��5���Q� �5",$�� � � �Q� ��5���Q� �-"X� � �Q� � ��5���Q�."���

I� �,$��Q�

��

Q�

���?3��"� �Q� ��5���Q� �5",$��Q�

�� � �Q� ��5���Q� �-",$�� � �Q� � ��5��� �Q� �."/� � � � � � � � � � � � �� � � � �,&#&-"�

��

������� ���� � ����/���������8������ ��� ��� ��� ��� ��� �,&����

B�����,&#&-"/�8 �� �������

Page 16: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

?3����Q� �#"� �I� �,$��Q�

���?3����Q� �,"� � � �Q� � �5� -"�5� ."� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

I�,$��Q�

��

Q�

���?3��"� � � �Q� � �5� 5"�5� -"�5� ."� � � &�����

�������,&#&-"/���� �� ��8����� ����,&,&,/�8 �������� ��� ���!!�8����� ��!�&�����

����������5�#������ ��?3��"����������!�����#������ ��?3����Q� �#"&���

��

����������5B���������� � ������� �,/�#������ ��?3�#�"&��

����� 5��� ������� ������ �������������&�3�� �?3�#"� �I� �5-.� ����������! ����#/� �� � ! ���������� ��������I� �,&�K ���8������ �������� �� ��!�������� �������� ��/��������/�#�?3�#�"�������� ��&��

%�8/� ��� � ���� ,&#&5/� ��� �� �� 8���� �� � ��������� ������ ���/� 8 � � � ����� #� ����� �� � � � � � � � � � � � �?3�#���Q� �#"� �I� �?3�#���� � �Q� �,""&�������� �� ��!�������� ��������Q� �,&�U����

��������������5�B���������� � ������� �,/�#������ ��?3�#��� � �� �,"&��

�����5� ������ ��� �,"�� ���������������������+ ����� � �&�B�����,&#&5"/���

?3�#�"� �I� �,$���?3�#��� �� �,"� � �Q� �.��������� ���� � ���� ��� �,&���

%�8/����� ����,&#&#/�#������ ��?3�#�"&��� � ��� /�#�������!�������� �?3�#���� �,"&�3�� ���������������/��� �! ����������� �&�U���

��������������5�B���������� � ������� �,/�#��� ����������� �?3�#���Q� �,"&������5�� �������� �,"�� ���������������������+ ����� � �&�B�����,&#&5"/�

��

?3�#��� �Q� �,"� �I� �,$���?3�#�"� � �Q� � ��.���Q� �5"�������� ���� � ���� ��� �,&���

3�� �#������ ��?3�#�"/�����#��� ����������� ��.��� � �Q� �5"/��� �� ��!����!!�8�&�U���

����������5�-������ ��?3�5�"������������ � ������� �,&��

�����53�� �-������ ��?3�5"� �I� �5-�����-������ ��?3�-"� �I� �5-.1/�8 �� �������� �� ��!�������� ��������I� �,/�5&�%�8/�������,&#&5"/���������� �,/��

?3�5�"� �I� �,$���?3�5��� � �� �,"� � �Q� � �-�/��

8� � �������� ����� ���������������-�&�6! ��!�/��� ��� �5������!!��� ��� �#&�����/�-������ ��,$������� ��� �#/�����8 �� ���� �� ��� ��� ��!�&�U��

��

��������������5�B���������� � ������� �$/�-��� ����������� �?3�5���Q� �,"&������56! ��!�� �� �� ��!�� ��� ��� ��������I� �$/���� �?3�,"� �I� �5� ��������������! ����-&�B�������� �,/�

������,&#&5"/�?3�5���Q� �,"� �I� �,$���?3�5�"� � �Q� � ��-���Q� �5"�������� ���� � ���� ��� �,&�

*��� ����,&#&-/�-������ ��?3�5�"&�3�� �-��� ����������� ��-���Q� �5"/��� �� ��!����!!�8�&�U���

����������5�B���������� � ������� �,/�,$������ ��?3�4�"&������5B�����������������������+ ������� �,/�������,&#&5"/�

?3�4�"� �I� �,$���?3�4���� �,"� � �Q� �,$��������� ���� � ���� ��� �,&��

�� �� ��!�������8� ��� ���������� ����� � +�� ���������?3�4�"&�U���

��������������5�5$������ �� �?3�,$�"������������ � ������� �,&��

�����5��!!�8���������� ����� ����,&#&-������ ����,&#&4&�U�

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 17: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

*�� �� ��� �� � ����� �� ��������� 8���� ���� ��� ��� �������� ?3�,-DD"��I� �5-.1P5DD.5DD1/�0����� ��W,X���@ ��� �������� + ��������� ��� ����?3�,"� �I� �5� �I� �B�#""��� � ��� �������� �������� �3�������� � � ��� <� � �������� ��!���B����������/�����"����� ��&��� ���!!�8�����8���� �� ��� ����!������ ���!���������0����� �Y����@ ��� �&� �����

������ ����� 5� �?+ ��� ���� ?3�,"� �I� �5� �I� �B�#""� �� � � �� � ��� ���� ��� ��� �� � 3�������� � � ��� <� � �������� �B����������� ��&������5�*������� �����,&#&#"/������!!��� ��� �,/��� � �

?3����Q� �5"� � � �E� � � �?3��"� �R� �DW?3���� �Q� �,"� � � �Q� � � �?3��"X� �R� �?3���� �Q� �,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � �

����/� ��� ���� ��� ��� �� � 3�������� � ���� � <� � � �������� �� � � ��� � � � !������ �,&,"�������� ������� �B����������� ��&�U�� � �����

*������!���� �������/�8 ���� ��� ���!!�8����� ��!�&�� � �

���

����������� 5��� � ��� �������� ��� ��� �� �3�������� � � ��� <� � � ������� ���������� ��&�

�����

0����� ��W,X� ���� ���� �<� ��������0� ��� � ������ �� ����8 ������?3��"L��� ���!!�8������ �� ����� ����������!����8 ������� �<� �����&���

�����������5�%�� ������ �� ��������� ����� <� � � � �� ,?3�5� ," �

� � � ������ �� ���<��� �

������� ����8 ����������� � ���� �R� �,"&� ������5�� �/�������� ���� ��� �,/� �

��

?3��"� �I 5-�&&&��5�" I��+V�������� ���� � ��+��R� �,&���

%�8/���� �?3��"���� � �������!!��� ��� �,/�+������� � � �&�� �� ���

+� �I� �5��������� ���� � ������� �,&� ��� �/�

?3��"� �I� ��5�"V� �I� �-�V/����

8�������8�������-������ ��?3��"&��

%�8/������������������ ������5��E� �,/�� ��� �,/����6���!!����,&#&#/�?3�5��E� �,"� ��������������! ����-/������ � /��� ����� �������� ������?3�5��E� �,"/�� ��� �,/��������� �� �� ���<��� �&� �*����� �� �������/���� ������ �� ����?3�5��� �E� �,"/��� ��� �,/����� � +�� �� ��������� �������� ��

��8 ������������ � �&�U����

������ ����� 5 ��� ��� � � � �� ����/� ��� �� ��� ��� �� � ����� �,$�� �Q� �-� ��� �,$�� �Q� �./� 8� � � � � � � � � � � � ��,������D"��������� ��� �,"��� ���� � ��/��� ��?3��"�������� ���� �� ���<��� ������� � /�������� ��� ���8 �������� � ����� � �"&��� ���������������!!�8�������

� � � � ���

?3��"� �I� �+V�������� ���� � ��+��R� �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,"�� � �

��

�� ��+������� ���� � �� ��� � �&��� ���!!�8���� ���! ���� �� �� �������! �����!��������������+������� ���� �������������!��������������+5&�%�8/�������������� ��������I��,$��Q�-/� �� ���� �����!�������������?3��,$��Q�-"����1������!!���������! ���!� �����������/������ � /������!!�8������� �� � � �� � �������� ��� ?3��,$��Q�-"� ��� �� � ����� �,"� ��� ���� ������! &� 0����/� ��� � �� �����!�������������?3��,$��Q�."����5������!!���������! ���!� �����������/� �� ����� �������� ������?3��,$��Q�."�����!���� ����� +�� ����! ������ �������,"&�

Page 18: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

����!�������������+� � � � � � � � � � � � � � � ����!�������������+5�5� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -�-� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .�.� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .�1� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -�

��� ����� � ������ ��� ����� �� �� � �� ��8� �� �� ��� �� � ��� �� � ��� � ������ �� ��"� ��I��,$�/� � � � � � � � � � � � ����"���I��,$��Q�5/�����"���I��,$��Q�1/��8� � ���,������D"��������� ��� �,"��� ���� � ��"&�3�����W-X���@ ��� ���������� ������ �� ��������� �� <� � � � ���,�?3��" � ������ �� ����8 �&�

� � � ���

�(�2 ���&� 6�#/� "&��� "&*6�#� ��E�� #� ���� ���� (

""�; > ����

����

���

� �� � � �� � ,� �

�� � ��� ��������� "�� <� � �������� ������� ���������!���� �/���������

�,�I�5/��5�I�#/��#�I�4/��-�I�F/��4�I�,,/��.�I�,#/�P�&���

�� � 3�������� � ���� � ������� � <� � /� � ��� �� ��� � �� ,��3��" /�

���� � ��� �� ��� ��!!�8�� � � �

�3�������� �W4X"�����

��3��"� �I� ��,��5� � �P�� ���� �Q�,/��� �O� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �,&-&,"����

�� ���!!�8����! ������� ����� ��� � �� !������������ �����8������ �� <� � &�� � � � � � ��

����������5���3����Q� �,"� �I� ����Q�,���3��"� � � �� �����Q�,� �� �,"������!!��� ��� �,&������5*��� ��������/�

� � � ��

��3����Q� �,"� �I� ��,� ��5�P�� ���� ����Q�,� � � �Q� �,� �I� ���,� ��5� � � �P�� � ���� �Q� �,"���Q�,� � � �� � � ����Q�,� �Q� �,/�� � � �

8������8���� ���� �� ��� ��� !���������&�U�� � � ���

B����� ����,&-&,/�8 �� ���

��

��������������5��3����Q� �,"� � � �E� � � ���3��"� �I� �W��3��"� � � �E� � � �,X����Q�,� � � �� �,"������!!��� ��� �,&���

����������5�� ���!� �������3��"����������� ���!!�8������ <��!��� ����� � � �

;(>���3��"� �Z� ����"���

,������!!��� ��� �-/� � � � � � �� � � ��

;<>���3��"� �Z����"���

5� � �����!!��� ��� �F/�� � � ��

;?>���3��"� �Z� ����"���

#� � �����!!��� ��� �,$/� � �� � � ��

;2>���3��"� �Z� �����Q�,"���

,������!!��� ��� �#/�� � � ��

;3>���3��"� �Z� �����Q�,"���

5������!!��� ��� �./� � �� � � ��

;F>��3��"� �Z� �����Q�,"��� �

#������!!��� ��� �D&�� � � ��

�����5K ����� ��������#"������."���!�/��� ������������ ���� ���������������!��&�������� �������#"������ �! ���/�8 ���� �������� �� ��!�������� ��������I� �,$/���� ���

��3�,$"��I� �.-.D.D#5#,��Z� ���,$"F� �I� �5DF� �I� �,F5-D1F.#$D&���

%�8/������������ ���!����������� �� ��!��������� ���� � ����� ��� �,$"/������������ ����,&-&,/�8 �� �����/�

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 19: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��3���Q� �,"� �I� ���Q�,� ���3�"� � � �E� � � ����Q�,� � � �� � � �,"�Z� � � ���Q�,� ���3�"� ���

Z� � � ���Q�,��"���

#� � ������ ���������������� ���"�� � � ��

Z� � ���Q�,���Q�,"���

#� � �I� � ����Q�,"���

5/���

8� � ��� �!������ <��!������!!�8��������� ������������ �� <� � �������� �/� � �� � ,� �

�/���������!��

��� ������������� ��� �,"&�����/��� �� ��!�������� �������Q� �,����8 !!&�� � �

������� �������."������ �! ���/�8 ���� �������� �� ��!�������� ��������I� �D/���� �� � � � �

��3�D"� �I� �55#$D51F,�Z����,$".� �I� �5D.� �I� �4D-15##5,&�� � �

%�8������� �!������ �������! ������������/�8 ������ �������� �� ��!�������� �������� ���� � �� � � � � � ���� ��� �D"&��� ��������� ����,&-&,/���� �� ��8������ ���������������� ���/�8 �� ��� � ��

��3���Q� �,"� �I� ���Q�,� ���3�"� � � �E� � � ����Q�,� �� �,"� �Z� � ���Q�,� ���3�"� �Z� ���Q�,���Q�,"��

#� �I� ����Q�,"��

5&��

������� �� ��!�������� �������Q� �,&�� � �

0!!��� � ����! � ��� ������������������&�U�� � ��

�� �! ����� !�8������� ���� �� ��!�������������W.X����� �@������WFX&�����

����������5�?��������3�,"/���3�5"/���3�#"/���3�-"�������3�4"�������� /�������������� �./���3��"��������������� � �E� � � �-����� �������/�����������!���!���� �&�

� � � ��

����� 5� 6! ��!�/� �� � ������ ��� � � ���� ��� �� � � <� � /� ��� !�/� ��3�,"�I�#/� ��3�5"�I�F/� � ���3�#"� �I� �#,/���3�-"� �I� �5,,�������3�4"� �I� �5#,,/��� ��!!����� �&�0!��/���� � �

� � ��

��3�."� � �I� � �#$$#,��I� �4D�4$D/�� � �

��3�F"� � �I� � �4,$4,,��I� �,D�DF�5FF/� �� � ��

��3�1"� � �I� � �D.DD.D,��I� �#-F�5FD4#/�� � �

8 �� �������� �! ���������� �����.���� ��� ��� �1&�� � �

%�8/� ��� �� ��� �� ���� � ������ ��� ��3��"/� �� �� ����� ����Q�,&� �� � ��� /� ��� ���� ��� ������ �D/���3��"����� � � � ����#� ������� "� ���� � ������� ����� ��8������!���!����"/� �� ����3��"��� �����Q�,"���

#/� ���� ����� ��� ���������������8����������."����� ����,&-&5&��

; � ��� �! ������� ����!��� �&�U��

��

��� ���� � �� ���� �� ����/� ���� ��� ����,/� ��3��"� ���� �3���Q�,"� �� � � !���� !�� ���� � �� /� �@������W1X"&��� ���!!�8����! ������� ���� ���� �� � ��!�� ��!�&�� � �

����� ����� 5� B��� ���� ����� �,� ���� � ��� �,/� ��3��"� ���� ��3���� �Q� �"� ��� ��� � ��� ����� � ��,����� ��������� �������������������!���!���� �"���������&������5�B������������ �,��������� �,/� �

� � �

��3����Q� �"� � � �E� � � ���3��"� �I� ��,� ��5� � � �P�� � �������Q�,� ����Q�5� � � �P� � � ����Q�� � � �� �,"&� � � � � � � � � � � � � � �� � �,&-&,"�� � �

��

�������������������� ������������3��"�������3����Q� �"/���� ������ ����Q�/������!!�8��������,&-&,"������ �� ����� �� ����Q�,� ����Q�5� � � �P�� � ����Q�� � �� � �,"&� %�8� ��� ��3��"� ���� ��3����Q� �"� ��� � � ������� "� ���� �������� ��� �����/� �� �� �� � ������� ��� �� � � � ������ ���� � ������� ��� �� �� �� ����� ����Q�"/�8���������������� ����Q�,� ����Q�5� � � �P�� � ����Q�� � �� � �,� �Z� �����Q�"&� � ���

��������������������� ���� �! ���&�U�

Page 20: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��������� ����� 5� B��� ���� ��� � ��� �� ���� ,"� ���� � ���� ,"/� ��� �!!� �� � ���� � ������� ��� � � � � � � � � � � � ����Q�,� ����Q�5� � � �P�� � ����Q�� �� �,��� �! �����������Q�/��� ����3��"�������3����Q� �"��� �� !���� !������ &�

� � � ��

����� 5� ��� �� ��� ���� ������ ���� � ������ ��� ��3��"� ���� ��3���Q�"/� �� �� �� ����� �� � � � � � � � � � � ����Q�,� ����Q�5� � � �P�� � ����Q� �� � �� � �,&� 0!��/� ���� ���� �/� �� � �R� � ����Q�/� ������������ �� � ������ ���� ��� �� � ���!!���&�����/�����!!��� ����������� �������������3��"�������3����Q� �"��� �! �����������Q��/��� ����3��"�������3����Q� �"��� �� !���� !������ &�U�

� � ���

�� � ��!!�8���� � ��!�� ���� � �� ���� �� ���������� W.X� ���� �@������ W1X&�; � �8 ���� � ������! �������&�

� � ���

�����������5�B������������ �,/���3��"����� � �����<��� �������� ����8 ����������� � ���R,"&��

����� 5�6! ��!�/���� ������3�,"/���3�5"/���3�#"/���3�-"�������3�4"����� � +�� �� �������8 ��������� � �������� ����,&-&#"&�

� � �

%�8/����������! /�! ��������� ������ �./�� � �

��3��"� �I� �+�������� ���� � ���+��� �R� �#"�������� ��� �5"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �,"�� � �

K�������!�������� � ��!���/�8 ���������� ���������������� ������������������ ����� �/�! ������� �I� ����8� � ���������� /�8 ���� ���3��"� �I� ��+��"�� �I� �%�/�8� � �%��I� �+��"&�*��� ����,&-&#/����� ����� �E�� � � � �-����� ��� � ������ � � �� �� �� ����� ���E�4� �� � ��� � �����-��� � � �R� � ��� � �E� � �-/� ��� � ��� �R���� ���� �!!� ��� ��� �,"&�; � /� � ������� � � �� � ��� �� � ���� �� �,/� �5/� � � � � �P/� ����4&�0!��/� ��� � ��3��"� ��� ���/� +������ � � ���&�� �� � � � �+� �I� �5��� � �Q� �,�������� ���� � ���� �R� �$&��� �/�������,"/�� � � � ���

�,� ��5� � � �&&&� � � ���� �I� ��5��� � �Q� �,"� � � �E� � � �,�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

I� ��5�"� � � � �Q�,

� � � ��5�"�E�,� � � �Q� � � �&&&� � � � � �Q

,

� � � �

�5�"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �5"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

���� �I� �5/�8 �� �������5"/�-������ ���,� ��5� � � � �&&&� � � � � ���/�8���� ���������&�)���� ���� ������/� �������� �#/���� � � ����� �� �,� ��5� � � �&&&� � � � ���/� ��� ��!!�8�� ����� �5"� ����� � ����� �� �/� ���� ��� <� ��!�/� 5� ����� �� � ��,� ��5� � � � � �&&&� � � � � ���/�8���������������! &�

; � /��� �� �� � �������������3��"������ �������,"��������������! &�U�� � ���

������6���!!����,&-&,������� ������������3����Q� �,"� � � �E� � � ���3��"� �R� �$/�8 �� �� �� � ��

��3����Q� �5"� � � �E� � � ���3��"� � �I� �W��3����Q� �5"� � � �E� � � ���3����Q� �,"X� � � �Q� � � �W��3����Q� �,"� � � �E� � � ���3��"X���

R� �W��3����Q� �,"� � � �E� �,X����Q�5� � � �� �,"���

R� �5�W��3����Q� �,"� � � �E� � � �,X������!!��� ��� �,&�; � /�

��3����Q� �5"� � � �� � � ���3��"� �R� ���3����Q� �,"������!!��� ��� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&-&5"� �� � �

�� ��� <��!�����,&-&5"����8���������� ! � ��������� �3�������� ����� ��������� <� � ��������� �� � � ��� � � � !������ ����B������� ���/�����"� ���� ��&������ ! ���� ��� �� � ��!!�8������ �� �&�

� � � � ��

��

�����������5��� � ��� �������� �������� �3�������� ����� ��������� <� � �������� �B������� ���� ����"� ���� ��� � + ��� ���� �� � ������!� �� �� ��� ��3�,"�I�#�I�B�-"�I���5"/� ���3�5"� �I� �F� �I� ���-""&� � �

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 21: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

(�3 ���&� 6�#/��E��&�"&*6�#���E�� #�� ���� ����( (�"� ; > ����

���� � 6 ���� ����< (

�"� ; > ����

���� ����

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � ����

�� �3�������� ��<��� ��������� <� � ������ ����������/�� ��� ����� � ���,�, ��"3�3 /������� �

3�������� � �<��� � ������� � <� � � ��� �� � � ���� ���/� � ��� �� ��� � ���,�5 ��"3�3 /� �� �� ��� ������(�����WDX"�

��

3�3,��"� �I� � ��,V"�5V"� � � � �P�� � � ���V"� � �Q�,/���O�,/���

3�35��"� �I� � ��,V"�5V"� � � � � �P�� � � ���V"� � � �E� �,/���O�,&���

0!� ������ � +�� �����������3�3,��"�����3�35��"��� ���

3�3,��"� �I� � ���["V� � � � �Q� � �,/��� �O�,/� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,&4&,�"���

3�35��"� �I� � ���["V� � � � �� � �,/��� �O� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,&4&,�"� � � � � � � � � � � � � � � ��

���

�� �������� 8�� ��������� �� <� � � � ���,�, ��"3�3 � � �� � ��

3�3,�,"� �I� �5/� �� � � �

3�3,�5"� �I� �4/� �� � � �

3�3,�#"� �I� �#F/� �� � � �

3�3,�-"� �I� �4FF/� �� � � �

3�3,�4"� �I� �,--$,/��

3�3,�."� �I� � �4,1-$,��I� �,#�#D1FF/� �� � � �

3�3,�F"� �I� �54-$,.$,��I� �,$,�54,4$,/��

3�3,�1"� �I� � �,.54F$5-$,��I� �,F�D4.5D44#/� �� �

3�3,�D"� �I� �,#,.1,1D--$,/���

���8������ ���������� �� ������ ����� ����� ��&� �� � � �� �

�� �������� 8�� ��������� �� <� � � � ���,�5 ��"3�3 � �� � ��

3�35�,"� �I� � �$/� �� � � �

3�35�5"� �I� �#/� �� � � �

3�35�#"� �I� � �#4/� �� � � �

3�35�-"� �I� �4F4/� �� � � �

3�35�4"� �I� �,-#DD/��

3�35�."� �I� �4,1#DD/� �� � � �

3�35�F"� �I� � �54-$,4DD/� �� � � �

3�35�1"� �I� �,.54F$5#DD/� ��

3�35�D"� �I� �,#,.1,1D-#DD/���

���8���/����� ���������� �������� ��/��� �� ����� ���������� /������� �� ��������� ������� � �� �� <� � ��� ��!!�������� ����� ��&� ��

� � � ��

�� �� ��,&4&,����� ������/�������������� �,/�� ��� �����3�3,��"�����3�35��"�������<��� ���������� � ����R� �,"&��� �� ��,&4&5����8����������� ��������� � �� <� � ������ ��� �&�

Page 22: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����������5�B������������ �,/���� ����3�3,��"�����3�35��"�������<��� ���������� � ���R,"&������5����������! /�! �� �

� � �

3�3,��"� ��� �����"V� � � �Q� �,� �I� �+V�������� ���� � �������� �,/�+� �R� �,/�� � �

3�35��"� ��� �����"V� � � �� �,� �I� ��V�������� ���� � �������� �,/��� �R� �,&��

*����� � ����������6���!!����,&,&,�,"�����6���!!����,&,&,�5"�� �� ��� !�&�U�� � �� � �

� �

�����������5B���������� � ������� �,/���� ������ �3�3,��"�����3�35��"�������� �������� ����8 ����������� � ����R�,"&������5������������������&�� ��

� � ��

3�3,��"� ��� ����"5� � � �Q� �,� �I� ����������� ���� � �������� �,/��� �R� �,/������ �#/�� � �

3�35��"� ��� ����"5� � � �E� �,� �I� �C��������� ���� � ������� �,/�C� ��� �,/��� ��� �#&�� �

K ��� ����� �����������������6���!!����,&,&5�����6���!!����,&,&F�� �� ��� !�&�U�� � ���

����������5�B���������� � ������� �,/�� �

;(>�3�3,���� � �Q� �,"�I����Q�,"5�3�3,��"� � � �E� � � ����� � � �Q� �5"/�� � �

;<>�3�35���� � �Q� �,"�I����Q�,"5�3�35��"� � � �E� � � ����� � � �Q� �5"&�� � �

�����5�� ��������������������,"���!�/����������� ��� !�8&� �� � �

3�3,����Q� �,"�I�W���Q�,"[X5�Q�,� �I� ���� �Q� �,"5�W��["5�Q�,X� � � �E� � � ����Q�,"5�Q�,&�U�� � ����

����������5�B���������� � ������� �,/��

;(>�3�3,���� � �Q� �5"� � � �E� � � �3�3,��"� �R� �3�3,���� � �Q� �,"/�� � �

;<>�3�35���� � �Q� �5"� � � �E� � � �3�35��"� �R� �3�35���� � �Q� �,"&�� � �

�����5������������������8���/��������,&4&,"/�������� ������ �� � �

3�3,����Q� �5"� � � �E� � � �3�3,��"� �I� �3�35����Q� �5"� � � �E� � � �3�35��"� �I� ���["5�W����Q� �,"5����Q� �5"5� � � �E� �,X&��

3�� ��!� �����������!���������� ��� �� ��� ���� <��!��� �&�U�� � ����

� ����,&4&5����� ��� ��������� ��� ���!!�8����� ��!��&�� � �� �

����������� 5� �?+ ��� ���� �� � ������!� �� �/�3�3,�,"�I�5�I�B�#"/�3�3,�5"�I�4�I�B�4""� �� � � �� �������� �������� �3�������� ��<��� ��������� <� � ������ ������������������ �B���������������"����� ��&�

� � ���

����������� 5� �?+ ��� ���� �� � ������!� �� /�3�35�5"�I�#�I�B�-"�I���5""� �� � ��� �������� ������ �� � 3�������� � �<��� � ������� � <� � � ��� �� � � ���� ���� ����� �� � B������� ��������"����� ��&�

� � ��

���

�� �<� ���������� ��������� ���W,$X������;�8������� ��������� �� <� � � � ���,�, ��"3�3 �

�� ����� L��� ���!!�8������ �� �/��� ����� �W,,X/���� ����������!����8 ����������<� �����&�� � ���

�����������5������� �R� �5"������� � ����� � �����������5���Q� �,�������� /��� ��3�3,��"�������������� &�

����

����

��������

����

(�����WDX/���� �������!� �����3�3,��"�����3�35��"�����,�������5$/���@ ��� ������� �������� �� <� � ������������!��������� ����� ��������� �&�

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 23: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

(�F ���&� 6�#/���8/�&"*B�&"&*6�#���E�� #�� ���� ����( (�""� ; > ����

����- ���� ����< (

�""� ; > ����

����

�� �����R#"�� �����+ ����� � �&��� �3�������� ����� ����8 ���������� <� � ������ ����������/�� ��� ����� � ���,�, ��";��3 /������� �3�������� ����� ����8 ���������� <� � ������ �� ����

���/�� ��� ����� � ���,�5 ��";��3 /��� �� ��� �������!!�8������

;��3,��"� � �I� ��,�"�5�"� � �P�� � ����"� �Q�,/��� �O� �,/���

;��35��"� � �I� � ��,�"�5�"� � �P� � � ����"� ��,/��� �O� �,&��

��

0!� ������ � +�� �����������;��3,��"�����;��35��"��� ���

;��3,��"� � �I� � ���["��� �Q�,/��� � ��� �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �,&.&,�"��

;��35��"� � �I� � ���["��� ��,/��� ��� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&.&,�"��� � � �

����������5�B���������� � ������� �,/��

;(>�;��3,���Q�,"�I����Q�,"��;��3,��"�E�W���Q�,"��Q�,X/��

;<>�;��35���Q�,"�I����Q�,"��;��35��"�Q�W���Q�,"��Q�,X&�� � � ��

�����������5B������� ��� � ������� �,/���� ����;��3,��"�����;��35��"� ����� �<��� ���������� � ����R� �,"&������5���������! /�! ��

� � � ��

;��3,��"� � ��� � ���["��� �Q� � �,� � �I� � �+5�������� ���� � ��+��R�,&�� � � �

*��/����6���!!����,&,&./������� �����������!�����������R�#&�0����/�! �����/�������� ���� � ����� ��� � �5��;��35�,"� �I� � �$"�

� � � ��

;��35��"� � ��� � ���["��� �E� � �,� � �I� � ��5�������� ���� � ����� ��� � �,/�� � � �

8 ���� ������������������6���!!����,&,&#&��

����/�8 �� ����������������������� ��� ���� /� ����!��������� ��� �� �&�U� � � �� � � �� �

�� ���!!�8�����8���� �� ����� ��� ����� �W,5/�,#X&��

��

����������� 5� ����� ������������� ����� �� � �������I�5� ������� � ��� � ������ �,/� �� �� �� �� <� � � � ���,�, ��";��3 � ����������!���� ����� /���� !�/�;��3,�,"�I�5&�

��

�����������5���������������5��E�,��� ����� �/��� ���� �� <� � � � ���,�5 ��";��3 � ����������!���� ����� /���� !�/�;��35�5"�I�5��E�,J���� �8�� /��� �� <� � ���������������� &�

��

����������� 5�K ���� �� ��� �� �� �3�������� ����� ����8 ���������� <� � ����� ���� �� ����������������� �R� � �#/�������� ������� ��������/��������� ������ ������� �� ��,&.&,/���� ����;��3,��"�����;��35��"� ��� �� �<��� ���� ��� ��� � �� ��R�,"� ���� ��������� �,&�;�8 � �/� ��� ����I� �#/��� ����������������!���! ��������� � �����B���������� ��� � �,/�;��35��"� � �I� � ���["#� � �E� � �,����!!�������� � ��� �� �� �<��� ���� ��� ��� � �� ��R�,"/� ���6���!!����,&,&#/� ���� ��� �;��3,��"� � �I� � ���["#�� �Q� � �,/�8 �� ������;��3,�5"� � �I� � ��5["#� � �Q� � �,� � �I� � �#5/��������/�;��3,�5"������� �� ���<��� &�;�8 � �/����������� ���!��� �������� �� <� � � � ���,�, ��";��3 � ��������� � +�� �� �������� �� ���<��� &� �

Page 24: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

(�1 ���&� 6�#/� "�&������* ��E�� #� ���� ���� ("�; > ����

���� ��������

�� �3�������� �� ����������� <� � /�� ��� ����� � ���,��3��" /����� ��� ������:����� �������3 ! ���W,-X"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�3��"� �I,#4�&&&��5� ,"�5�"�5� 5"�&&&�-5�/ �� ,& � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,&F&,"���

�� �������� 8�� ��������� �� <� � ��� � ��

,5/�,#-5/�,#4.-5/�,#4F1.-5/�,#4FD,$1.-5/�P/���

�!!����8������ � � ������ ��&���

B��� �� �3�������� �� ���������� � <� � /� �� � <� ������ ���� �� �:����� �������3 ! ���W,-X"��������������������������������������������L�

� � ��

��

3�������� ���@ ��� ��������� � ��� ���� &������ �� ��,&F&,/�8 ����� ��� ���@ ��� ������ ����������� &�������� ��� ��� �� �/�8 �� ���� ���!!�8����� ��!��&�

� � ���

����������5�B�������� �5/��3��"��������� ������5�5��Q� �,"�������� ���� � ����R� �,&������5�3�� ���������� �5/� � �� � � � � � � � � � � � � � � � �

�3��"� � �I�,#4�&&&��5� ,"�5�"�5� 5"�&&&�-5 /� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&F&5"��

8 �� �������3��"���� � ��������� ��������������5/��� �!��������������� �<���� ������,&�U� �� � � �����

0����� ���� ���� <� � ������ ����� �! ��������� ���!!�8���&�� � � �

��

��������������5�5������ ���3��"��������� ���� � ������� � �5"����������!������ �I� �,&�� � � ��

��

�����������5�B�������� � �,/��3��"����������� �� ����8 �&������5��� �� ��!�����! ��!����� �������� �I� � �,/���� ��3�,"� � �I� � �#�55����������� �� ����8 �&��� �

������������ ��� ���� ��� � �5������������������&�� �/�������� ���� � ������� � �5/�� � � ��

�3��"� � �I� � �+�������� ���� � ���+�� �R� �,/�� � ��� � �5&�� � � �

3�� ��3��"���� � �/�������+&�� ��+� � �I� �5��������� ���� � �����R�,&��� �/�� � � ��

�3��"� � �I� � ��5�"� � �I� � �5� ��/��

8�������8�������5������ ���3��"/�������������6���!!����,&F&,&�U�� � � �����

���� ����� ���������������� ����� �������� �3������� �� ����������� <� � /�8 �� ��� ���� 8�� <� � /��!! ���� ������������/������ ��� ����� � ���,�(?3��" /������!!�8����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

(?3��"� �I �5�"�5� 5"�&&&�-5/ �� ,& � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �,&F&#"�� � � �

�� �������� 8�� ��������� �� <� � ���� �5/�-5/�.-5/�1.-5/�,$1.-5/�,5,$1.-5/�P&�� � ��

K ���� �����/������!!��� ��� �,/�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

(?3����Q�,"� �I �5� 5"�5�"�5� 5"�&&&�-5� ��� �

I� ��5���Q� �5",$�� � � �Q� �(?3��"�������� ���� � ���� ��� ��/� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&F&-"�

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 25: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

8� � /���� ��� �� !�/�� �

�� �I� ����� ���������������(?3��"&��

����/����� +���! /��

(?3�-"� �I� �1�,$#�� �Q� � �(?3�#"/�(?3�4"� �I� �,$�,$-�� �Q� � �(?3�-"/�(?3�."� �I� �,5�,$.�� �Q� � �(?3�4"&�� �� �� �� � ����

��������

����

����������5�B���������� � ������� �,/�-������ ��W(?3����Q� �,"� � � �E� � � �(?3��"X&������53�� �������,&F&-"/�

� �� �

(?3����Q� �,"� � � �E� � � �(?3��"� �I� ��5���Q� �5",$��������� ���� � ������ ��� ��� ��� �,"/��

�� �� ��!����!!�8�&�U�� � ���

����������5�B�������� �,/�(?3��"��������� ������5�5�� �Q�,"�������� ���� � ������ �$&������5��� ��������������������������&��� �� ��!�������� ��������I� �,&�3�/�8 ������ �������� �

� ��!�������� �������� ��/��������/� �� � �

(?3��"� �I� �5�5��Q� �,"�������� ���� � ������ �$&���

*��/��������� ����� ����,&F&5/�� �

(?3����Q� �,"� � � �E� � � �(?3��"� �I� �-\�������� ���� � ��\� �R� �$/���

8���/���� �� ��8������ ���������������� ���/���� �/�� � �

(?3����Q� �,"� �I� �-\� � � �Q� � � �(?3��"� �I� �-��� � �Q� � � �\"� � � �Q� � � �5&��

����/��� �� ��!�������� �������� �Q� �,����8 !!/����! ������� ������&�U�� � �

����������5�#������ ��(?3�#�"����������!�����#������ ��(?3�#���E� �,"&��

�����5��� �� ��!����!!�8������������������

(?3�#�"��I� ��.�"�,$�� � �Q� � �(?3�#��� � �E� � � �,"�������� ���� � ���� ��� ��&�U�� � ��

*��� � �� �����!�����������,&F&-"/�8 �� ���� ���� !��� � �

(?3����Q� �#"� �I� ��5���Q� �.",$�� � �Q� � �(?3����Q� �5"�������� ���� � ���� ��� ��� �Q� �5�� � �

I� ��5���Q� �.",$�� � �Q� � ��5���Q� �-",$�� � � �Q� � � �(?3����Q� �,"�������� ���� � ���� ��� ��� �Q� �,�� � �

I� ��5���Q�.",$�� �Q��5��Q�-",$�� �Q��5��Q�5",$�� �Q�(?3��"�������� ���� � ������� ��/� � � � � � � � � � � � ��,&F&4"�� � � �

�������/�������� ���� � ����/���������8������ �R� ��� �R� ��� ��� ��� ��� �,/�� � � �

(?3����Q� �#"� � � �E� � � �(?3��"� �I� ��5���Q� �.",$�� � �Q� � ��5���Q� �-",$�� � �Q� � ��5���Q� �5",$�&� � � � �� � � � � � � � � � �,&F&."�� �� �� �� � ��������

����

����

����������5�#������ ��W(?3����Q� �#"� � � �E� � � �(?3��"X������������ � ������� �,&������5���� ��� ���������,&F&."/���� �

� �� �

#��5���Q� �.",$�� � � �Q� � � ��5���Q� �-",$�� � � �Q� � � ��5���Q� �5",$��� � � �

I� �,$�W�5��� �Q� � �."�,$���

�� � � � �Q� �,$���

�� � � � �Q� �,"� � �� � �5�,$���

�� � �Q� � �5"X&�U�

� � � ��

���

��������������5�#������ ��(?3�#�"������������ � ������� �,&������5�� �� ��!�������� �������� �I� � �,/���� �(?3�#"� � �I� � �.-5�����������! ����#&�%�8/������������ �

��!������ ��� �� � � ��!�� ���� �/� ��� ����� #� ����� ��(?3�#�"/�8 � � �/� ������ ���� ,&F&4/� #� ����� �� � � � � � � �(?3�#���Q� �#"� � �I� � �(?3�#���� �Q� � �,""/����������� �� ��!�������� ��������Q� � �,����8 !!&��

��������! � ���� ������������������&�U�� � ��

�� �

��������������5�#������ ��(?3�#��� �E� � �,"������������ � ������� �,&������5���!!�8�������� ����,&F&-/���� �� ��8����6���!!����,&F&5&�U�

Page 26: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��������������5�B���������� � ������� �$/�#��� ����������� �(?3�#��� �Q� �,"&��

�����5�6! ��!�/��� �� ��!�������� ��������I� � �$&�B������ ��� � �,/�������,&F&-"/�� � � �

(?3�#��� �Q� � �,"� � �I� � ��.��� �Q� � �5",$�� � � �Q� � � �(?3�#�"�������� ���� � ���� � ��� �#�&��

%�8/�#�(?3�#�"�����6���!!����,&F&5"�����#��� ����������� ��.���Q� �5"&�; � ��� �� ��!�&�U�� � � ���

����������5�(?3���� �Q� � �5"� � � �E� � � �(?3��"� � �R� � �(?3���� �Q� � �,"������������ � ����� ��� � �,&������5�������,&F&4"/�8 �� �����/������!!��� ��� �,/�

(?3���� �Q� � �5"� � �E� � �(?3��"� � �I� � ��5��� �Q� � �-",$�� � � �Q� � ��5��� �Q� � �5",$�/��

8� � �������� ����� ���������������(?3����Q� �,"&�; � ��� �! ���&�U�� � � ���

�3��"����� � +�� �� ������ �������)3��"�����(?3��"������!!�8����B������������ �,/��

�3��"� � �I� �,$��)3��"�� �Q� � �(?3��"�������� ���� � ���� ��� ��/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&F&F"��

8� � /���� ��� �� !�/��

�� � �I� � ����� ���������������(?3��"&����

B�����,&F&F"/���� �� ��8����� ����,&F&#/�8 ���� �� �����/�������� ��� � �5/����� �-������ ��,$�������� � ��� � ��� � ��� � �5"/��3��"��������� ������-�� �Q� � �5�������� ���� � ���� �R� � �,��� �� ����,&F&,"&�

� � � ����

����������5�#������ ���3��"����������!�����#������ ���3���� �Q� � �#"&��

�����5���!!�8���������� ����� ����,&5&,������ ����,&F&4&�U�� � � ���

����������5�#������ ���3�#�"������������ � ������� �,&��

�����5��!!�8���������� ����� ����,&5&5�����6���!!����,&F&5/���� � ��

�3�#�"� � �I� � �,$��)3�#�"�� � �Q� � �(?3�#�"�������� ���� � ���� � ��� � �#�&�U�� � � �

��������� 5�#������ ���3�#��� �E� � �5"������������ � ������� �,&��

�����5�3�� �#������ ���3�,"� � �I� � �,5/� �� �� ��!�������� �������� �I� � �,&�������� ������������/�8 ������ �������� �� ��!�������� �������� ��/��������/�#������ ���3�#���E� �5"&�*��/��� �/����� ����,&F&F/�#������ ���3�#��� �Q� � �,"/����8����������� �� ��!�������� �������� �Q� � �,����8 !!&�U�

� � � ���

����������5�B���������� � ������� �,/��3���� �Q� � �5"� � � � � �E� � � � � ��3��"� �R� ��3���� �Q� � �,"&������5�*��� � �� �����!�����������,&F&F"/�8 �� ��

�3���� �Q� � �,"� � �I� � �,$���)3���� �Q� �,"� � � �Q� � � �(?3���� �Q� � �,"�������� ���� � ���� ��� � ��� � �Q� � �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �

�3���� �Q� � �5"� � �I� � �,$���)3���� �Q� �5"� � �Q� � �(?3���� �Q� � �5"�������� ���� � ������� � ��� � �Q� � �5/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � � �

8� � ����R� � ��� � �R� � ��� ��� ��&��� � ��� /��

�3���� �Q� � �5"� � � � �E� � � � ��3��"� � �I� � �W,$���)3���� �Q� � �5"� � � �E� � � �,$���)3��"X� � � �Q� � � �W(?3���� �Q� � �5"� � � �E� � � �(?3��"X�� � � �

R� �,$�W)3���� �Q� � �5"� � � �� � � �)3��"X� � � �Q� � � �W(?3���� �Q� � �5"� � � �� � � �(?3��"X�� � � �

R,$���)3���� �Q� � �,"� � � �Q� � � �(?3���� �Q� � �,"�� � �

I� � ��3���� �Q� � �,"/�� � � �

8� � ��� �!������ <��!������!!�8��������,&5&."/�� ����,&F&./������� ����������,$���R��,$�&�U�� � � ����

� ����,&F&,$����� ��� ��������� ��� ���!!�8����� ��!���� ��!���� �W,4X"&�� � � �

��

�����������5�� � ��� �������� �������� �3�������� �� ����������� <� � �������� �B����������/�����"����� ��&�

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 27: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

(�0 ���&� 6�#/� ��&#�4�& ��E�� #� ���� ���� (��; > ����

���� ����

�� � 3�������� � ���!��� ���/� ��� ���� "� � <� � /� � ��� �� ��� � ���,�63��" /� ��� ������ �� ���� � �� �!������ ��������� �������� ���� � ����:����� �������3 ! ���W,-X"&� �� � � ���

�� �������� 8�� ��������� �� <� � ��� �� � � ��

,/�,5/�,5#/�,5#-/�,5#-4/�,5#-4./�P&����

�� ���E����� ������� ����!���� <� � ������� �� �� � � ��

63��"� � �I ,&��/,"��"���&&&�,5# � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �,&1&,"�� �

3�� � � � � � � � � � � � � � � � � ���

63���� �Q� �,"� � �I� � � ,5#�&&&��� ,"��"�� ," � /�� � � �

8 �� �����/������������ � ������� �,/� �� � � ��

63���� �Q� � �,"� � �I� � �,$���63��"� � �Q� � ���� � �Q� � �,"�������� ���� � ���� � ��� � �,/�63�,"� � �I� � �,J� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&1&5"�� � � �

8� � /���� ��� �� !�/�� � � �

�� � �I� � ����� ������������������� �Q� � �,"&��

����/����� +���! /� ��

63�D"� � �I� �,$��63�1"� � �Q� � �D/� �����

63�,$"�� �I� � �,$5��63�D"� � �Q� �,$&�� � � ���

B�����,&1&5"/�8 �� ���� ���!!�8����� ��!����� � � ��

����������5�B���������� � ������� �,/�63���� �Q� � �,"� � � �E� � � �63��"� �R� �D��63��"&�� � � ��

���

������� ����,&1&,/�8 �� �/���!!�8������ ����������6���!!����,&5&,/�� � � �

63���� �Q� � �5"� � � �E� � � �63��"� �R� �DW63���� �Q� � �,"� � �Q� � �63��"X������!!��� ��� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&1&#"�����/�

63���� �Q� � �5"� � � �E� � � �63��"� �R� �63���� �Q� � �,"/��� ��� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� �,&1&-"�� � � �

*�� �� ��� ����� �� � ���� ���� B������� ����� ����"� ���� ��� ����� ,5� ��� �������� � � � � � � �63�5DDD"� I� ,5#� P� 5DD15DDD/� 0���� �� W,X� ��@ ��� �� ����� � + ��� ���� �� � ������!� �� /� � � � � � � �63�,"�I�,� �I� �B�,"� �I� � �B�5"� �I� ���,""/��� � ��� ����B����������������"����� �������� �3�������� ����!���� <� � &��� ���!!�8������ �� ������������ ���@ ��� �����0����� �&�

� � � ��

�����������5��� � ��� ����B����������������"����� �������� �3�������� ����!���� <� � �� + ��������� �������!��� �����63�,"�I�,�I�B�,"�I�B�5"�I���,"/�63�#"�I�,5#��I� ���,$""&������5��� ��� ���������,&1&-"&�U�

� � � ���

������ ����� 5 0�� ���� � �� ����� �� ���� ��� 0����� �� W,X/� 63�#"� ��� �� ����� ���� �&�;�8 � �/���� �����/�63�#"� ��� �63�5"� � �Q� � �63�,"&�

� � � ��

��

����������5�� ��#������ ��&��� �/�#������ ��63��"����������!�����#������ ��63���� �� �,"&������5��!!�8��� ���!��������,&1&5"&�U�

Page 28: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

*��� � �� �����!�����������,&1&5"/�8 �� �/��

63���� �Q� � �#"� � �I� � �,$���63���� �Q� � �5"� � � �Q� � � ���� � �Q� � �#"�������� ���� � ���� � ��� �,�� � � �

I� �,$�W,$���63���� �Q� � �,"� � � �Q� � ���� � �Q� � �5"X� � � �Q� � ���� � �Q� �#"�������� ���� � ���� ��� �,�� � � �

I� �,$��Q�

�W,$���63��"� �Q� ���� � �Q� �,"X� �Q� ���� �Q� �5",$�� � �Q� ���� � �Q� � �#"�������� ���� � ������� �,�� � � �

I� �,$��Q�

��

Q�

��63��"�� �Q� � ���� � �Q� � �,",$��Q�

�� � � � �Q� � ���� � �Q� � �5",$�� � �Q� � ���� � �Q� � �#"/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&1&4"�

8� � ��� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � �,&������ � �� � �� � �� � � ��������

����

����

����������5�#������ ��63��"����������!�����#������ ��63���� �Q� � �#"&�����

�����5���!!�8�������� ����,&,&,/���� �� ��8�����,&1&4"/���� �� � � �

#� � � ]� � � �W��� �Q�,",$��Q�

�� � � � �Q� � ���� �Q� �5",$�� � � �Q� � ���� � �Q� � �#"X� � �I� � �W��� � �Q� � �,"�,$��Q�

�� � � �Q� �,$�� � �Q� �,"� � �Q� � � ��,$�� � �Q� �5"X&�U�

� � �� � �� � �� � � ��������

����

����������5�#������ ��63�#�"������������ � ������� �,&�����

�����5��� ��������������������������&��� �� ��!�����! ��!����� ��������I� �,/���� �#������ ��63�#"� � �I� � �,5#&�3�/�8 ������ �������� �� ��!�������� �������� ��/��������/�8 ������ ������#������ ��63�#�"�������� ��&�*��� �� �/����� ����,&1&#/�#������ ��63�#��� �Q� �#"� � �I� � �63�#���� �Q� � �,""/� ���8����������� �� ��!�������� �������� �Q� � �,����8 !!/����! �������������&�U�

� � �� � �� � �� � � ����

����

����

��������������5�#������ ��63�#��� �� � �,"������������ � ������� �,&�����

�����5�B�����,&1&5"/���������� �,/�� � � �

63�#�"� � �I� � �,$���63�#��� �� � �,"� � � �Q� � � �#��������� ���� � ���� ��� �,&��

3�� /����� ����,&1&-/�#������ ��63�#�"/��� �� ��!����!!�8�&�U�� � � ���

��������������5#��� ����������� �63�#��� �Q� � �,"������������ � ������� �$&��

�����5�B������I� � �$/�63�,"� �I� �,���������������! ����#&� ��

*��� ����,&1&-/�#������ ��63�#�"������������ � ������� �,&�3�� ��������,&1&5""/�� � � ��

63�#��� �Q� � �,"� � �I� � �,$���63�#�"� � �Q� � ��#��� �Q� � �,"/��

������� �#��� ����������� ��#��� �Q� � �,"/�8 �� ��� ��� ���� �� ��!�&�U�� � �� � �� � �� � � ��������

����

����������5�B���������� � ������� �,/�4������ ��63�4�"&�����

�����5�B�������� �,/�������,&1&5"/�� � � �

63�4�"� � �I� � �,$���63�4��� �E� � �,"� � � �Q� �4��������� ���� � ���� ��� �,&��

6! ��!�/��� ��&�&�&�����������! ����4&�; � /�4������ ��63�4�"&�U�� � � ��

����

B����� �3�������� ����!���� <� � /��� �<� �����������;�8������� ��������� �� <� � ��� ����� L� �

��

��

B! �� ��W,.X���� �������! �������� �����������63��"��������I� �,�,"5$$/�8�������8���������� ���� �� � � ���� ��� ��� �� ���� &� ��� �� �?�������!�%�� � ��!!�8���� �� � ��� �� ��� 3� ����� W,FX/� ��� ���� ����� ������/������������ ������ �/�������� ������ ������������� �������#$F5�� ��������� �3�������� ����!���� <� � &��������� ����� � ��� �� ���@ ��� � ����� �� � � ���������� � ��� �� �3�������� ����!��� � <� � &��������@ ��� � ���!!� � ������ ���� � � ��!� �&�K ���� � ����/� ������ ������ ��������� ����� �������� �3�������� ����!���� <� � /������������� ������� ��� �� ��������� ������63�#��� �Q� �,"������� �,"/�8� � �#��� �Q� �,��������������������������! ����4&�

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 29: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

(�C ���&� 6�#/� ��%�&�� ��E�� #� ���� ���� (��; > ����

����

��� �3�������� �� � �� �� <� � /�� ��� ����� � ���,�(3��" /������ �� <� � �������� ������� ��������� ��������� ���� ���� ���� � �������� �! ������ /����������8����(3�,"� �I� �,&� � � ���

��

�� �������� 8�� ��������� �� <� � ��� ��0����� ��W,X"���

,/�5,/�#5,/�-#5,/�4-#5,/�.4-#5,/�P/���

�������� � ��!/��� ����E� ����� ��������� ������ � � � � � � � � � � � � � ��

(3��"� � �I ,&��/5,�&&&�,"��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �,&D&,"������

B�����,&D&,"/�8 �� �����/������!!��� ��� �,/�� � � � � � � � � �

(3����Q� �,"� �I �� ,"��� ,"�&&&�5,/ �� ,� � /�� ��

I� ���� �Q� �,",$�� � � �Q� � � �(3��"�������� ���� � ���� ��� ����8����(3�,"� �I� �,"/� � � � � � � � � � � � � �� �,&D&5"��

8� � /���� ��� �� !�/�� � ��

�� �I� ����� ���������������(3��"&�� � �

����/����� +���! /�� � ��

(3�D"� �I� �D�,$1�� � �Q� �(3�1"/�(3�,$"��I� �,$�,$D�� � �Q� �(3�D"/�(3�,,"��I� �,,�,$,,� � � �Q� �(3�,$"&�� � ��

��

*��� � �� �����!�����������,&D&5"/�8 �� �/������!!��� ��� �,/�� � �

(3����Q� �#"� �I� ���� �Q� �#",$�� � �Q� � �(3����Q� �5"�������� ���� � ���� ��� ��� �Q� �5�� � �

I� ���� �Q� �#",$�� � �Q� � ���� �Q� �5",$�� � �Q� � �(3����Q� �,"�������� ���� � ���� ��� ��� �Q� �,��

I� ���� �Q� �#",$�� �Q� ���� �Q� �5",$�� �Q� ���� �Q� �,",$�� �Q� �(3��"�������� ���� � ������� ��/� � �� �,&D&#"��

8� � ��� �R� ��� �R� ��� ��� ��&�����/��

(3����Q� �#"� �I� �,$�W����Q� �#",$���

�� � � �Q� � � ���� �Q� �5",$���

�� � � �Q� � � ���� �Q� �,"X� � � �Q� � � �(3��"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&D&-"�

� � ��

��

������� ��5�B���������� � ������� �,/� �� � �

;(>�-������ ��W(3����Q� �,"� � � �E� � � �(3��"X/�;<>,$������ ��W(3����Q� �,"� � � �E� � � �(3��"X&�� � �

�����5�B����!!��� ��� �,/�������,&D&5"/�� � �

(3����Q� �,"� � � �E� � � �(3��"� �I� ���� �Q� �,",$���8������ ��� ��"/�� � �

������ ��&�&�&�����������! ���������-�����,$&�U�� � ����

����������� ��5�B������������ �5/�(3��"��������� ������-� �Q� �,�������� ���� � ������ �$&��

����� 53�� �(3�5"� �I� �5,��I� � �-�4��Q� �,/� �� � � ��!�� ��� ! ��!�� ��� � �������I� �5&�3�/�8 ������ � �� ���!����������� �� ��!�������/��������/�8 ������ ������ � (3��"� �I� �-��Q� �,�������� � ������ �,&�

� �

%�8/����� ����,&D&,/�������� ���� � ��\� ��� �,/�� � ��

(3����Q� �,"� � � �E� � � �(3��"� �I� �-\� � ��� � � (3����Q� �,"� �I� �(3��"� �Q� �-\� �I� �-���Q� �\"� � � �Q� �,/���

8� � ��� � +�� ����������� ���������!!�8���������� ������ ���������������� ���&��

����/��� �� ��!�������� ��������Q� �,����8 !!/����! �������������&�U�

Page 30: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

������� ��5�� ��#���������� ����� ��� �5"&��� �/�#�(3��"����������!�����#�(3���� � �� �,"&��

�����5��!!�8����� ���� !��������,&D&5"&�U���

������� ��5�#������ ��W(3����Q� �#"� � � �E� � � �(3��"X������������ � ������� �,&������5������ ���� �������,&D&-"/���� �� ��8����� ����,&,&,&�U�

� � ��

��

0���� <� � ����� ����,&D&#������ ���!!�8���&�� � �

��

����������� ��5�#������ ��(3��"����������!�����#������ ��(3����Q� �#"&�� � ��

��

������6���!!����,&D&5/��� ���!!�8����� ��!������ � ����!��� ������������������&�� � �

��

����������� ��5�#������ ��(3�#�"������!!��� ��� �,&�� � �

��

����������� ��5#������ ��(3�#��� � �� �,"������������ � ������� �,&������5���!!�8�������6���!!����,&D&#/���� �� ��8����� ����,&D&5&�U�

� � ��

������� ��5�#��� ����������� �(3�#���Q� �,"������������ � ������� �$&������5��� �� ��!�������� ��������I� �$&�B�������� �,/�����,&D&5"/�

� � �

(3�#���Q� �,"� �I� ��#���Q� �,",$�� � � �Q� � � �(3�#�"&�� � �

�������� ���� �� ��� ��� ��!�/���� �#������ ��(3�#�"�����#��� ����������� ��#���Q� �,"&�U�� � ���

������� ��5�B���������� � ������� �,/�(3����Q� �,"� �R� �5(3��"&������5��������,&D&5"/�8 �� ������

� � ��

(3����Q� �,"� �I� ���� �Q� �,",$�� � � �Q� � � �(3��"� �R� �5(3��"����������!�����(3��"� �Z� ���� �Q� �,",$�/�� �

8���������� ���� �(3��"��������� �E� ����������� ��8��! �,$����������� �Q� �,"� �E� ����������� �&�U�� � ���

����������� ��5�B���������� � ������� �,/�(3����Q� �5"� � � �� � � �(3��"� �R� �(3����Q� �,"&������5�������,&D&#"/�8 ���� ��������� ���� � �����������8������ �R� ��"�

� � ��

(3����Q� �5"� � � �E� � � �(3��"� �I� �W(3����Q� �5"� � � �E� � � �(3����Q� �,"X� � � �Q� � � �W(3����Q� �,"� � � �E� � � �(3��"X�� � �

I� �W��� �Q� �5",$�� � � �E� � � ���� �Q� �,",$�X� � � �Q� � �5W(3����Q� �,"� � � �E� � � �(3��"X�� � ��

R� �5W(3����Q� �,"� � � �E� � � �(3��"X�� � �

R� �(3����Q� �,"/����� ����,&D&4&��������� ���� �� ��� ���� <��!���&�U�� � ���

������ �� �� 5� �� � � �� � ��� ���� ��� ��� �� � 3�������� � � � �� � � <� � � ����� �� �B������������������� ���� + �������(3�,"� � �I� �,� �I� � �B�,"� � �I� � �B�5"� � �I� � ���,"/�(3�5"� � �I� � �5,� � �I� � �B�1""&�

� � �

�����5���!!�8�������6���!!����,&D&4&�U�����

�� ���!!�8���� +�� ����������(3��"������ ����0! +��� ��W,1X&��

� ,

@ ,�

� 5

�������������������������������� �, W!�� @X"

(3��" , � G,$

� �

��

� � ��W+X�� ��� ���� ���� � ����������+"&

����

B����� �3�������� �� � �� �� <� � /��� �<� �����������;�8������� ��������� �� <� � ��� ����� L���������@ ��� �/���� ������� �������5F#D�� ���/������(3�15"������ ���!������ ������ �� <� � ��� �3� �����W,FX"&��� ���@ ��� ����!!�� ���������� �� ��!� �&� �

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 31: Wandering in the World of Smarandache Numbers

?= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

(�(= ���&� 6�#/� �'����&�# ��E�� #����� ���� ���� (��; > ����

���� ��������

�� �3�������� ����� ����� <� � /�� ��� ����� � � ���,�33��" /����� ��� ������0����� ��W,X"���

,/�,,/�,5,/�,5#5,/�,5#-#5,/�,5#-4-#5,/�,5#-4.4-#5,/�P&�� � ���

�� ��� �� !�/��� ���E����� �������� �3�������� ����� ����� <� � ����� � �

33��"� �I,5�&&&��� 5"�� ,"�� 5"�&&&�5,/ �� #J � � 33�,"� �I�,/�33�5"� �I�,,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��,&,$&,"�� � ���

�� � ���� ��� ��� �� � 3�������� � ���� ���� � <� � � ��� � � +�� �� �� ��� � ���� ��� �� ����� �������� �3�������� ����!���� <� � �����T�,&1"������� �3�������� �� � �� �� <� � �����T�,&D"������!!�8����B����!!�����#/�

� � �

33��"� �I� �,$���63����E� �,"� � � �Q� � � �(3���� � �E� � � �5"�������� ���� � ���� ��� �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&,$&5"�� � �

8����33�,"� �I� �,/�33�5"� �I� �,,/�8� � ���� ��� �� !�/�� � ��

�� �I� ����� ���������������(3����E� �5"&�� � �

����/����� +���! /�33�#"� �I� �,$��63�5"� � �Q� �(3�,"/�33�-"� �I� �,$5��63�#"� � �Q� �(3�5"&�� � ���

����������5�#������ ��33�#���Q� �,"������������ � ������� �,&� � ������5�� ������ ��� �,"�� ���������������������+ ������ �&��� �/�������,&,$&5"/�

� � ��

33�#���Q� �,"� �I� �,$���63�#�"� � � �Q� � � �(3�#���E� �,"&�� � �

%�8/� ��� � ���� ,&1&-/� #� ����� �� 63�#�"/� ���� ��� 6���!!���� ,&D&-/� #� ����� �� (3�#��� ,"&��� � ��� /�#������ ��33�#���Q� �,"&�U�

� � � �

��

����������5�B���������� � ������� �,/� �� � �

;(>�#��� ����������� �33�#�"/�;<>�#��� ����������� �33�#���Q� �5"&�� � �

�����5��������,&,$&5"/�8 �� ������� � �

33�#�"� �I� �,$���63�#���E� �,"� � � �Q� � � �(3�#���E� �5"/��� ��� �,&�� � �

*��6���!!����,&1&,/�#������ ��63�#���E� �,"/� �������� ����,&D&-/� #��� ����������� �(3�#���� �5"&�; � /�63�#�"�������� ��������! ����#&�0����/���� �

� � �

33�#���Q� �5"� �I� �,$���63�#���Q� �,"� � � �Q� � � �(3�#�"/��� ��� �,/�� � �

���� ��� � #� �� �� ���� ����� � 63�#�� Q� ,"� ���� 6���!!���� ,&1&5"� ���� #� ����� �� (3�#�"� ���� � � � �6���!!����,&D&#"/������!!�8�������33�#���Q� �5"���������������! ����#&�U�� � ����

�������,&1&-"�����6���!!����,&D&4/�8 �������� ��� ���!!�8����! ���&��� ��������������!������������� �������������� ����,&F&,$/������������� ��� � &�

� � �� �

����������5�B���������� � ������� �,/�33����Q� �5"� � � �E� � � �33��"� �R� �33����Q� �,"&�� � ��� �

*������� ������ ��� <��!�������� ����,&,$&#/�8 ���� ��� ���!!�8���&��

��

����������� 5� �?+ ��� ���� �� � ������!� �� �/� 33�,"� �I� �,� �I� �B�,"� �I� ���,"/� 33�5"� �I� �,,��I� ���4""/��� � � �� � ��� � �� ��� ��� �� � 3�������� � ���� ���� � <� � � ����� �� � B������� ���/�����"����� ��&�

Page 32: Wandering in the World of Smarandache Numbers

?( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�� ���!!�8���� ! ������� �� �� � +�� ��������� �� ����� � � �33����Q� �,"� � � �E� � � �33��"� ��� � ��������� ����� � � �63��"� � � �E� � � �63����E� �,"&�� � ���

����������5�33����Q� �,"� � � �� � � �33��"� �I� �,$��Q�

�W63��"� � � �� � � �63����� �5"X������������ � ������� �#/� �8� � �

�� �I� ����� ���������������(3����� �5"/� �� � �

�� �Q� ��� �I� ����� ���������������(3����� �,"&�� � �

�����5�*���,&,$&5"/���������� �#/�� � ��

33��"� �I� �,$���63����� �,"� � � �Q� � � �(3����� �5"/� �� � ��

33����Q� �,"� �I� �,$��Q�

���63��"� � � �Q� � � �(3����� �,"/�� � � �

��������� � � �

33����Q� �,"� � � �� � � �33��"� �I� �,$�W,$���63��"� � � �� � � �63����� �,"X� � � �Q� � � �W(3����� �,"� � �� � �(3����� �5"X�� � ��

I� �,$�W,$���63��"� � �� � �63����� �,"� � �Q� � ���� �� �,"X/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �,"�� � � � � � �

8� � ��� �!���� <��!������!!�8��������,&D&5"&�*��/� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

� � ,

,/ ����� �� �5 � , D����������������������������������������������������

� ,/ ��� �,$ � , ,$ ,�������� ���� � ��� ,�

� ��� � � � � ��

� � � � � � � � � � �� � � ��

I� � ����� ������������������� �� � �,"&�� � � � � � � � � � � � � � � � ���

�� � ��� /�����,&1&5"�� � ��

63����� �,"� �I� �,$���63����� �5"� � � �Q� � � ���� �� �,"/���������

63����� �,"� � � �� � � ���� �� �,"� �I� �,$���63����� �5"&�� � ��

%�8/��!��������������� +�� ����������,"/�8 �� ���� �� ��� ��� ��!�&�U�� � ���

K ���� �� � �����33�5"� �I� �,,� ������� J� �� �� +�� ����� � ������� �� �3�������� ����� ����� <� � ��� �������� ����� ��������<��� ����� � ��

33�#"� �I� �,5,��I� �,,5/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ��

33�-"� �I� �,5#5,��I� ��#�#F"5� �I� �,,,5/�� � ��

33�4"� �I� �,5#-#5,��I� ��,,�,$,"5� �I� �,,,,5/� �� � ��

33�."� �I� �,5#-4-#5,�I���-,�5F,"5� �I� �,,,,,5/�� � ��

33�F"� � �I� �,5#-4.4-#5,��I� ��#�F�,,�,#�#F"5� �I� �,,,,,,5/�� � ��

33�1"� �I� �,5#-4.F.4-#5,��I� �,,,,,,,5/�� � ��

33�D"� �I� �,5#-4.F1F.4-#5,I��,,,,,,,,5/�� � ��

33�,$"� �I� �,5#-4.F1D1F.4-#5,��I� ��D�#F�###..F"5� �I� �,,,,,,,,,5&�� � ����

B��� �� � 3�������� � ���� ���� � <� � /� �� � <� ������ ��� �� ;�8� ����� � ���� ��� �� �� <� � ��� ����� L��� �<� ���������!!�� ���������� ����8 � �&�

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 33: Wandering in the World of Smarandache Numbers

?< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

(�(( ���&� 6�#/� "��&#�6 �/�� ��E�� #� ���� ���� ("��; > ����

����

����

�� �3�������� ��� � �������� <� � /�� ��� ����� � �� ,�63��" �

�/� ���� ��� ������>���������

W,DX/�0����� ��W,X"�� � � ���

,$,/�,$,$,$,/�,$,$,$,$,$,/�,$,$,$,$,$,$,$,/�P/�� � � �

��

8���� ��������� ����� �� ���� !�� ���� ������� �� ��������$,$,� ��� �� � ��������� �� ��� ������ ��������� �� <� � /����������8����3�6�,"��I� �,$,&�� � � �����

K � ������ ��� �� � ����� �� � ! � ���� ��� �� � 3�������� � �� � �� ����� � <� � /�� �� ,�63��" �

�� /����������� ���!!�8����� ��� � �� !��������

� � � ���

3�6���� �Q� �,"� � �I� � �,$-��3�6��"� � �Q� � �,$,/��� ��� �,J�3�6�,"��I� �,$,&� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&,,&,"����

K ������8����� ��� ���!!�8����� ��!�/����������� +�!���� +�� ���������3�6��"&��

����

�����������5�� � ! � ��������� �� <� � � � �� ,�63��" �

�� �� �

� � � ��

,$,/�,$,�,$-� � �Q� �,"/�,$,�,$1� � �Q� �,$-� � �Q� �,"/�,$,�,$,5� � �Q� � �,$1� � �Q� � �,$-� � �Q� �,"/�P/�� � �

�������� � ��!/�� � � �

3�6��"� � �I� � �,$,W,$-����

,"� � � � �Q� �,$-����

5"� � � � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� �,$-� � � �Q� �,X/��� ��� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&,,&5"�

� � � ��

�����5��� �����������,&,,&5"��������������������&��� �� ��!�����! ��!����� �������� �I� �,&�3�/�8 ������ �������� �� ��!�������� �������� ��&�%�8/�������,&,,&,"/���� �� ��8������ ���������������� ���/�8 �� ������� � � ��

3�6���� �Q� �,"� �I� �,$-�3�6��"�� � � � �Q� � �,$,�� � � ��

I� �,$-W,$,�,$-����

,"� � � � �Q� � �,$-����

5"� � � � � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� � �,$-� � � � �Q� � �,"X� � � � �Q� � �,$,�

� � � ��

I� �,$,�,$-�� � � �Q� � �,$-����

,"� � � � � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� � �,$-� � � � �Q� � �,"/�

8�������8��������� �� ��!�������� �������� �Q� �,&�U�� � � �������

B����� ���� ,&,,&,/�8 � � � ����� 3�6��"� ��� �������! � ��� ,$,� ���� �!!� ����,&� ����/� ����� �� �

� <� � � � �� ,�63��" �

�/� 8 � ��� ����� ����� �� � <� � /� ��� !�/� �� � � <� � �

� ,

�63,$,��" �

� �� ��

/�

8��� � +�!��������������� ������� ���!!�8�������!!���&�� � ���� �

���������������5�� � ! � ��������� �� <� � �� ,

�63,$,��" �

� �� ��

� �� ��

,/�+� � �Q� �,/�+5� � �Q� � �+� � �Q� �,/�+#� � �Q� � �+5� � �Q� � �+� � �Q� � �,/�P/�� � � �

8� � �+�� ��� �,$-J��������� � ��!/�� � � ���

�63,$,��" I�� �+���

,� � � �Q� � � �+���

5� � � � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� � �,/��� ��� �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �,&,,&#"�

� � � �

Page 34: Wandering in the World of Smarandache Numbers

?? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�� �������� 8�� ��������� �� <� � �� ,

�63,$,��" �

� �� ��

� �� �� � � �

,/�,$$$,/�,$$$,$$$,/�,$$$,$$$,$$$,/�PJ���

������ �� ��������� �� <� � ����������� �� ��� � �� !�����/���� ������� ���!!�8�����

��

���������������5�B���������� � ������� �,/��

-��63 �63 �63,$, ,$, ,$,�� ," ��" �,",$ / � ,&�

� � � ���

�����5?��� ���������,&,,&#"&�U��

���

B����6���!!����,&,,&5/�8 �� �����/�������������� �,/��

���

-�� ," -� -�63 �63 �63,$, ,$, ,$,�� 5" �� ," ��",$ ,$ �,$ ," /�� �

� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �,&,,&-"��

����

-�� 5" -� 1 -�63 �63 �63,$, ,$, ,$,�� #" �� 5" ��",$ ,$ �,$ ,$ ," &�� �

� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,&,,&4"����

�����������5� �63,$,�5�" I�� ��,$1����

,"� � � �Q� � � �,$1����

5"� � � � �Q� � � � � �P� � � � � �Q� �,$1�Q�� �," �63 5

,$,� " /��� ��� �,&�

��

����� 5��� ������� ������ �������������&��� � � ��!�� ���! ��!�� ��� � ������I�5&�0�������� �� ���!����������� �� ��!��������� ��/�8 �� �������,&,,&-"������

����

1� -�63 �63,$, ,$,�5� 5" �5�",$ �,$ ,"�

� � � � � � � � � � ��

� �1�� ," 1�� 5"1� - 1 �63 5,$,� ",$ �,$ ," ,$ ,$ �&&&� ,$ , � � � � � � � �

��

� �1�� ," 1�� 5"1� 1 �63 5,$,� ",$ ,$ ,$ �&&&� ,$ , / � � � � � � �

8�������8��������� �� ��!�������� �������Q�,����8 !!&�U����

��

�����������5� �63,$,�#�" I�� ��,$,5����

,"� � � �Q� �,$,5����

5"� � � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� �,$,5�Q�� �," �63 #

,$,� " /��� ��� �,&�

��

�����5��� �� ��!�����! ��!����� �������I�5&�0���������� ���!����������� �� ��!��������� ��/�8 �� �������,&,,&4"������

��

,5� 1 -�63 �63,$, ,$,�#� #" �#�",$ �,$ ,$ ,"�

� � � � � ���

� �,5� 1 - ,5�� ," ,5�� 5" ,5 �63 #,$,� ",$ �,$ ,$ ," ,$ ,$ �&&&� ,$ , � � � � � � � � �

� �,5� ,5�� ," ,5�� 5" ,5 �63 #,$,� ",$ ,$ ,$ �&&&� ,$ , / � � � � � � �

8�������8���� ���!����������� �� ��!��������Q�,/��� � ������! �������������&�U�

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 35: Wandering in the World of Smarandache Numbers

?2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

B����� �� <� � �� ,,$,

�63��" �

� �� ��

/��� �<� �����������;�8������� ������ ����� L� ���

%�� �������� �� ��������������� ��������� �� <� � ��� ��������� �/���� ���

�63 5,$,� " I��,$$$,��I� � �F#�,#F/� �63 #

,$,� " I��#�####...F&�

� � � ����

� � � �

K ���8����� ��� ���� �� � ��!�� ��!�&� �� � � ��

������������5�B���������� � ������� �5/� �63,$,��" � ������������ ����� �&�

�����5��� �� ��!�������� �������� �I� � �5&�������/��� �� ��!�������� ��������� � ��������8��� !�8������ ����� ��� � �-"���� � �/�! ���� �I� �5��������� ���� � ������ ��� �5"&��� �/�������,&,,&#"��8� � �+�� ��� �,$-"/�

� � � ��

�63,$,�5�" I�� �+5��

,� � �Q� � �+5��

5� � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� � � �+� � � � �Q� � �,�

� � � ���

I� � �+5��

5�+� � �Q� � �,"� � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� � � ��+� � �Q� � �,"�� � � �

��

I� � ��+� � �Q� � �,"�+5��

5� � � �Q� � � �+5��

#� � � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� � �,"/� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �,&,,&."�

� � � ���

8�������8������� �63,$,�5�" � ������������ ����� �������!!����� ��� �5"&�

��

����/� ��� ��������� ����������� ���� ��� �8� ���� ������&�B�����8 ������ �� �� ��� �8� ����������� /��������I� � ��/�8� � ����� ��� �#"���������� &����������� /�������,&,,&#"��8����+�� ��� �,$-"/�

� � � ��

�63,$,��" I�� �+���

,� � � �Q� � �+���

5� � � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� � �,� � �I

�+ ,+ ,

&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �,"�

� � � ��

� ���� � �I� � �,$5����������+� � �I� � ��5"&��� �/�� � � ��

+� � �� � �,� � �I� � ��5� � �� � �,� � �I� � ���� � �Q� � �,"���� � � � �,"/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � ��

+�� � �� � �,� � �I� � ���5"�� � �� � �,� � �I� � ����� � �Q� � �,"���� � �� � �,"&�� � � ��

�������� �*������!� +������������ � ��� � �Q� � �,����� � ��� � �� � �,/�8 �� ��������,"�� � � ��

�63,$,��" I

�+ ,+ ,

I

5�

5

� ,� ,

I

� ��� ,"�� ,"�� ,"�� ,"

� �

��� � ���

I�

� , � 5 � , � 5^�� ,"�� � &&& ,"_^�� ,"�� � &&& ,"_�� ,"�� ,"

� � � � � � �

��� � ���

I� ������

,� � � � �� � � � �����

5� � � �Q� � � �����

#� � � � ��P�� �Q� � �,"�����

,� � � �Q� � � �����

5� � � �Q� � �����

#� � � �Q�P�� �Q� �,"/�

���������63,$,��" I�������

,� � � � �� � � � �����

5� � � � �Q� � � �����

#� � � � ��P�� �Q� � �,"�����

,� � �Q� � � �����

5� � � �Q� � �����

#� � � �Q�P�� �Q� � �,"&� � � � � � � � � � � � � � � �� �,&,,&F"�

� � � ���

�� ����� � +�� ���������8������� �63,$,��" � ������������ ����� ������ ������� ����� ��� �#"&�

Page 36: Wandering in the World of Smarandache Numbers

?3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

B���!!�/�8 ������ �� �� ��� �8� ���� ������������������ &�� ���� �I� � ���/�8� � ��� ��� �� � !��� ������� �����������/��������� � ��� � �5"���������� � �&��� �/�

� � �� �

�63,$,��" I �63

,$,���" �

�� � ��

I� � �+����

,� � � � �Q� � �+�����

5� � � �Q� � � � � �P� � � � � �Q� � �,�

� � � ��

I� � �+�����

,"�+���

,� � � �Q� � � �+���

5� � � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� � �,"� � �Q� � � �+�����

5"�+���

,� � � �Q� � � �+���

5� � � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� � �,"� � � �Q� � � � � �P�

� � � ��

Q� � ��+���

,� � � �Q� � � �+���

5� � � � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� � �,"�

� � � ��

I� � ��+���

,� � � �Q� � � �+���

5� � � �Q� � � � � �P�� � � � �Q� � �,"W+�����

,"� � � �Q� � � �+�����

5"� � � �Q� � � � � �P� � � � � �Q� � �,X/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �,&,,&1"�

� � � ��

����� � /� �63,$,��" I �63

,$,���" � ����!������������ ����� �&�

� � �

0!!��� � ����! � ��� ������������ ��� �� �&�U������

B�!!�8�������� � ���������� �/�>���������W,DX������ � W5$X���� ����� ������������������� �� ��!������� �� ��,&,,&,&�)���� ���� ������/�8 ����� ��� ���� �� ��!���������!!����������

������ ����������� � �63,$,��" &�B�����,&,,&."/��,&,,&F"������,&,,&1"/�������! �������� �63

,$,��" � ���

����� ����<��� �������������� �5&����

� ���� ,&,,&5� ���8�� ����� �63,$,�5�" � ��� � � +�� �� �� ��� � ���� ��� �63 5

,$,� " / ���� � � � � � � � � �

� ���� ,&,,&#� ���8�� ����� �63,$,�#�" � ��� � � +�� �� �� ��� � ���� ��� �63 #

,$,� " &� 3�� �

��� <� � ������� � �� ��!����� ���� ������� ���!!�8�������!!��� �&�����

���������������5�#������ �� �63,$,�#�" � �����!!��� ��� �,&�

�����5��!!�8�������� ����,&,,&#&�U����

���������������5D������ �� �63,$,�D�" � �����!!��� ��� �,&�

�����5�*������� ����� ����,&,,&#�����6���!!����,&,,&#/������������� ���������8��������

#��,$,5�#���

,"� � � � �Q� � �,$,5�#���

5"� � � � �Q� � � � � �P�� � � � �Q,$,5�Q�� �,"&�

��

�� � ������ ��� ��� ���� /� ��� /� �� � ���� �� ��� ,� ��� ,$,5�#���

,"� � � �Q� � �,$,5�#���

5"� � � �Q� � � � � �P��� � � �Q,$,5�Q��,� ��� #�/�

����� � /��������������! ����#&�U����

>���������W,DX����� ���� �<� ������������� �� <� � �� ,

�63,$,��" �

� �� ��

� �<��� 2�� L�( �!!������

������ � ������!! ���<��� 2�� ���� ��� ��������������! ������ ��<��� ���������� &�6���!!����,&,,&-����8����������������� ����� ������ ��������� �� <� � ��� ������<��� 2�� ��� ��!���3��A�������=�����������W5,X"&�

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 37: Wandering in the World of Smarandache Numbers

?F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

(�(< ��&��� � %*4%� 8 ���&� 6�#/� ��E�� #������B������ �3�������� ����!���� <� � ����� �����T�,&1"/�8 ����������� �� �� ����

�I,

, , , ,� , �&&&�&63��" ,5 ,5# ,5#-

� � � � �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �,&,5&,"�� � � ����

�� ���!!�8����! �������8��������� �� �� ���,&,5&,"������� �� ��/���������������������&�����

�����������5��� �� �� ���,&,5&,"������� �� ���8�����I,

,$,, � &63��" D

! �� �

�����5�B�������� ��������

63��"� ��� �,$��E�,������!!��� ��� �,&��� �/�

� ,�I, � ,

,$, ,� � &63��" D,$

� �

� �� � � �U�����

6������������ �� ���� �3�������� ����!���� <� � ��T�,&1"������� �3�������� �� � �� �� <� � ��T��,&D"/�8 ����������� �� �� ����

�I,

63��" ,5# ,5#-,5� , &&&�&(3��" 5, #5, -#5,

� � � � �� ���

������ �����8���������� �� �/�8 ���� ��� ���!!�8����� ��!�&�����

�����������5�� �� �� ���I,

63��"�(3��"

� � ������ �� ��&� ���

����� 5� �� ��� ����� �� �� � ���� <� � ��

�� ,

63�,$ "(3�,$ "

� �� ��

� ��� �� � ��� �� � <� � &��� � ������

� 8�� ��������� ����� <� � ��� ���

,5�&&&�D�,$" ,5�&&&�DD�,$$" ,5�&&&�DDD�,$$$"/ � / � / �&&&�&�,$"D�&&&�5, �,$$"DD�&&&�5, �,$$$"DDD�&&&�5,

���

��������8���������

63�,$�"�R�(3�,$�"������!!��� ��� �,/����

�������� � � � � � � � � � ���

��

63�,$ "!�� � $&(3�,$ ""�

� ���

; � /��� �� �� ���

��I,

63�,$ "�(3�,$ "

� � ������ �� ��/���������!�������I,

63��"�(3��"

� &�U�

Page 38: Wandering in the World of Smarandache Numbers

?1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

(�(? �*�� ����&������������ ����� ����� � ! � ���������� ��� ������ ��3�������� �� ��� � ���� �� <� � �&���� ����� /��� �� ��� � �� !�����/�������� ������� �� <� � /������� �&����

����� ������ �3�������� ������ <� � /� � ��� <� � /����� ��������� <� � /��<��� �������� � <� � �� ��� �8�� ��� �/� � ���������� � <� � /� ���!��� � <� � � ���� �� � � � �� �� <� � /�8 � ��� � ���8�� ����� ��� � ��� �� � � � <� � �� �������� �� � � ��� � � � !������ ��� �� �B������� ��� ����� ���� ��&� ����� ���8�� ����/� ��� � ��� �� � � � <� � �� ��� ������� ��� � ������ ���� ���� �B����������� ��������������� ����������8&��������!��� �� ����� ��� � ������������ �� ������Y�� ��! ������� ��������!���������� ���� ����B������������������� ��/����� � ��� � ������� � /������������� � �� <� � �&����

����� ������ �3�������� ������ <� � /�8 ������������� �� ��������� �������)3�#�"�����)3�4��Q�#"� ������ � � ���� �J� ���� �� � ���!��� � <� � /�8 � ���8� ����� �� � � ���� ��� �� � �����63�#�"/�63�#��E�,"�����63�4�"�������� ����� �J�8��! /���!�� � ������� �� ������33�#��Q�,"������ ����� ����� <� � �������� ����� �&�)���� ���� ������/���������!� ����� ��� ��! ����������� ��������� ��� � �������� <� � ���������� /������� ����� ����8 ��� <� � ������� ��8���������� ������������!���� ����� &�����/��� ���!!�8�����!����@ ��� �����!!�� ������� �&����

���!�"�#���������;��&����/�H?I>5�� � ��� �������� !����������� ������� �3�������� ������ <� � &�

���

���!�"�#��������;����*HCI>5�� �3�������� ��<��� ��������� <� � ������8������� �������������!��������� ����� ��������� �&�

���

���!�"�#��������5��� �3�������� ����!���� <� � ���������������� �&����

���!�"�#��������5)�!��(3�15"������ �3�������� �� � �� �� <� � �������� &����

����� ������ �3�������� � � ��� <� � /�8 ������������� �� ��������� �������?3�&,$��Q�."����� ?3�&,$��Q�."� �,������D"� ������ � � � �� �� �<��� �/� ���� �� � 3�������� � ���� �� �������� <� � ������8������/������������������������ ���������� �� ���<��� �/������� �3�������� �� ����������� <� � /����� �������� �� �� ����8 ��&�3�/��� ���!!�8����<� ���������!!�� ���������� �� ��!� �&����

$#�%����������;��/,�#/�&H(I>5;�8������� ��������� �3�������� � � ��� <� � ��� �� �� ����8 ��L� �

����

��

�������

�/�.��&(5�*�����&� 6�#/���E�� #��

Page 39: Wandering in the World of Smarandache Numbers

?0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��$�&� #�� ����W,X� 0����� �/� 6���! �&� �!������ ����� �� � �� � ��� 3�������� � 3 <� � �� ���� B���������0� �����( � ������ ��/�������/�0'/��30&�,DD1&�

W5X� � � �* �����/�3&�����6��!�/�=& &�;��� ��0!� ����� ���!!���*���6�&����&/��&>&�,D.F&�� � � �

W#X� � � � ��������/�;&�3�������� �6���� ��� ����� �3 <� � �&�&#���������#����'())���'*"���"�%/��(F/�554���55./�,DDF&�

� � � �

W-X� � � � �3����/�3&�0�3 �����6��@ ��� �����3�������� �3 <� � �&�*�����'�"��+�����%,�#����/�,,/�1.���D5/�5$$$&�

� � �

W4X� � 3�������� /� B&� 6�!! � �� ��� ��� E�H�!�� � `�� � ����� ���!������� ;��� /� *���� ��/�(������&�,DD.&�

� �

W.X� � � �������/�>&�0�3 <� � �B� ��������8 ���-��������"��*)�"��#�/�<<;?>/�D5���D#/�,DD$&�� �

WFX� �@�����/�0&0&>&�0�%�� ������3 <� � �B� ��������8 ��&-��������"��*)�"��#�/�<C;<>/�-,/�,DD.�7�F&�0!��/�������� ���� ������/�#$��,"/�5,/�,DDF7D1��� �� �������� �?�����"&�

W1X� �@�����/� 0&0&>&� 0�%�� � ��� �� � 3�������� � ���� � ������� 3 <� � &�*�����'�"��+�����%,�#����/�C/�,#F�E�,-5/�,DD1&�

WDX� (����/� B&� 3�� � ( ��!��� ������ B���� 3�������� � �2������� 3 <� � �&� *�����'�"��+�����%!�#����/�((/�-5�E�-D/�5$$$&�

W,$X� ���� ��/� B&� 3�������� � ���������� ��� � 3 <� � �&� &#������ �� �#�� ��' ())���'*"���"�%/��(F/�5#F�E�5-$/�,DDF&�

W,,X� � /� &� ���� �� ��� �� � 3�������� � 3<��� � ������� 3 <� � &� *�����'�"�� +�����%,�#����/�C/�,##/�,DD1&�

W,5�E�,#X� � /� &� �� � ���� �� ��� �� � 3�������� � ��8 �� ������� 3 <� � �&� *�����'�"��+�����%,�#����/�(</�551�E�5#,/�5$$,&�

W,-X�:����� ��/�:&� ����H&�3 ! ��&� 3�� �%������� ������ ������� ���%��� ���� ���&�?��������� �������� ��/�A! ���! &�,DD-&�

W,4X�� /� &�� �� ����8 �������� �3�������� �� ����������3 <� � &�*�����'�"��+�����%,�#����/�(=/�,-1�E�,-D/�,DDD&�

W,.X�B! �� �/� &�3�������� �B����������( � �� �B�����&�*�����'�"��+�����%,�#����/�(=/�4�E�#1/�,DDD&�

W,FX� � �3� ����/�(&K&�B�������������� ������8��3�������� �3 <� � �&�*�����'�"��+�����%,�#����/�C/�-�E�,$/�,DD1&�

W,1X� � � �0! +��� �/�3&�0�%�� ����3�������� �( � �� �3 <� � &�*�����'�"��+�����%,�#����/�(</�54$/�5$$,&�

W,DX� >��������/� >&� 6��� ���� ���� ������ ��� 3�������� � %������� ���� ����! ��&� ?��������� �������� ��/�0'/��&3&0&�,DD.&�

W5$X� � � � �� /� &�)������ �� ��� �� �3�������� ��� � ��6�����3 <� � &�*�����'�"��+�����%,�#����/�(=/�,4-�E�,44/�,DDD&�

W5,X� 3�� A��� ���� =�������� ��&� )�� �� � 3�������� � �� � �� 6����&� *"������ -�.��/� 2;(>/� � �--�E�-4/�5$$1&�

� � � �

W55X� � � � �@�����/�0&0&>&�����A������/�;&�)��3�� �( ��� � ���� �3�������� �3 <� � �&�*�����'�"��+�����%,�#����/�(2/�D5�E�,,5/�5$$-&�

Page 40: Wandering in the World of Smarandache Numbers

?C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�/�.��&< ���&� 6�#/� ����&�� � � ��E�� #�� �

� � � � � �

������W,X�������� �������� � ��������� <� � �/��!! ���� �3�������� ��!��� � ��������������!�� <� � ��36:%3"/��� �3�������� ��!�������� ���� � ��������� <� � ��360:3"/��� � 3�������� � ������ ���� � � �������� ������!� � <� � � �3*:%3"/� ���� �� � 3�������� ������� ���������� ���� � ��������� <� � ��3*0:3"&� �

��

������������ �/�8 ������ ���� �����! ��������������� ���E����� ��������� � �� <� � �&��� � +�� ������������ ���E����� ���������� �3�������� ��!�������� ���� � ��������� <� � ������� � 3�������� � ������ ���� ������ ��� � � �������� � <� � � �� � ��� �� ��� T�5&,� ���� T�5&5�� �� ��� !�&��������� �� ����� ������/��� �36:%3������������!����� ������ �360:3/������� �3*:%3������������!����� ������ �3*0:3&����T�5&#/�8 ������ ���� �����! ��������������� �������� �� � ������ �� � ���� ��� �� � 3�������� � ������ ���� � � �������� ������!� � <� � � ���� �� �3�������� ������� ���������� ���� � ��������� <� � &�

��

���T�5&,�����T�5&5/�8 �8��!���� ��� ������ ���!!�8����� ��!��&�

��������5� ��:�� �@��� � �,����/�@����"�� ��� �� � �������������� ��������5"�8���� �

�@

�/ ������� @�

,/������ �8�� ��

� ��

� �

8� � ����������� �!����� �&��� �/� �� ,: , , , , , �� ," &

, � , , ,, , � , ,� �

, , , � ,, , , , �

� � ���

���

����� 5� � ��������� �� � ������ �� �!���� �� �������� �8� � � � � ,6 6 6" � ������ �� �� ��!������ ����������������������� �,����!����������� ���E�����!���/�5��������"/�8 �� �� ��

: , , , , ,, � , , ,, , � , ,� �, , , � ,, , , , �

� ���

���

�5 5 ,�

# # ,�

� � ,�

, $ $ $ $6 6 6 , � , $ $ $6 6 6 , $ � , $ $� �

, $ $ � , $6 6 6, $ $ $ � ,

�" "

"

���

����

����

� , $ $ $ /$ � , $ $

� �$ $ � , $$ $ $ � ,

��

���

8� � ��� �!����� � ������������������!������� ����E�,�8��� ��������!� ! � ������ ��!!����E�,"&� �; � /� �

:�I����E�,"��E�,&�U�

Page 41: Wandering in the World of Smarandache Numbers

2= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��������5�� ��:��"�� ��"�@�� � � �,

����/�@����"�� ��� �� � �������������� ��������5"�8���� �

��"�@

�/ ������� @�

,/������ �8�� ��

� ��

� ��� ���

��" � ,� , , , ,: �� ," �� � ,"&, � , , ,, , � , ,� �

, , , � ,, , , , �

� � � ���

���

����� 5� K � � ������ �� � ������ �� �!���� �� �������� �8� � � , , 5 �6 6 6 &&& 6" � � � ������� �� �� ��� ������������������!!� �� ��!����� �����,� ���������� ���� �� �� � �!����� �� �,����!���� ��� ����� ���/� ���� ,

, 5 �

,6 6 6 &&& 6"� � �

� � ��� �� �� � �� ������� ��� ������ ���� �� �

���������"����� �� � ���

��" � , , , ,:, � , , ,, , � , ,� �

, , , � ,, , , , �

� ���

���

�, , 5 ��

,, 5 ��

���������� ���������������������6 6 6 &&& 6

,6 6 6 &&& 6

�" � � �

"� � �

�� � ,"� , , , , ,, � , , ,, , � , ,� �

, , , � ,, , , , �

� ���

���

���

I����Q���E�,"���E�,"�E,/���

8� � ��� �!���� <��!������!!�8���������� ����� ����5&,&�U��

���

��������5�� ��0��� �@�� � � �,����/�@����"�� ��� �� � �������������� ��������5"�8���� �

�@

,/ ���������� @�

,/����� �8�� ��

� ���

��

�� �/���

� ,�0 , , , , , , 5 &

, , , , , ,, , , , , ,� �, ,, , , , , ,, , , , , ,

� �

���

���

� �

�����5��� ��������������������������&�3�� �����

50 , , 5/� �, ,� �

�� �� ��!�������� �������I�5&�3�/�8 ������ ��� ���!����������� �� ��!��������� ���� � ��������5"&� �

Page 42: Wandering in the World of Smarandache Numbers

2( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

������� ��� �� ��!��������Q�,/�8 ������ ���� �� � �������������� ����Q�,/�0��Q�,/������ �������� ������� �� �!������ �������� �8� � � , , �6 6 6" � � ������ �� �� ��� ���������� ������� �� ���E�����!��������� �,����!�������� ���� �� 8�,����!���"/����� ��

� ,0 , , , , , ,, , , , , ,, , , , , ,� �, ,, , , , , ,, , , , , ,

� �

���

���

����, , ��

5 , , , , ,6 6 6 $ , , , , ,

$ , , , , ,� �, ,$ , , , , ,$ , , , , ,

�" �

���

���

����

�5 , , , , , 50 &, , , , ,

� �, ,, , , , ,, , , , ,

� �

��

��

����

; � /��������� ������ ���������������� ���/��

0��Q�,�I�5�0��I�5�/��

���������� �� ��!�������� �������Q�,&���������! � ����������&�U�

�������� 5 B������ 5"/� � ,��5* , , , , , , � ," �5 &

, , , , , ,, , , , , ,� �

, , , , , ,, , , , , ,

# $% & ' (� �

���

���

�����5�K ������ ���� ���!!�8�����8���� ��� � ���������8� �� ������� � ��������&��

����(5�K� ������� � �/����/���I�5��������� ���� � ������,&��

���������� /����������8������ �� � ��������*��I�*5�/�8 �� �������� ������� ���!������ �������&���

� 5�* * , , , , , ,, , , , , ,, , , , , ,� �

, , , , , ,, , , , , ,

� �

���

���

����

��

, 5�������

5 5� ,�

� � ,��

, , , , , , &� ,"6 6 , , , , , ,6 6 , , , , , ,� ������������������� , ,6 6 , , , , , ,

, , , , , ,

� ) )

)

���

� ���

�/�.��&<5���&� 6�#/�����&�� � ���E�� #��

Page 43: Wandering in the World of Smarandache Numbers

2< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

; � /� , 5�6 6) � � ����������� �,��������� ��5�"�E� �����!������� ���� ����� �/�8��������!� ��5��E�,����� �������� ����� ������!����/����������� ������ ������ &�3���!��!�/� 5 5� ,6 6 ) �� ���� ����� �� � 5��� ���� �5���E�,"�E���� �!����� �� � ��� ����� �/� ����!����� 5���E�5� ���� �� ������ ����� �� ��� �!����/� ���� ��� ��/� ���� ����!!�/� �� � ��E� ��� ���� ��� �Q�,"�E� ��� �!����� �� ���� ����� �&�����/��� �����!����� �������� ����� ������!����������

�5��E�,"�Q��5��E�5"�Q�P�Q�,�I���5��E�,"/� � � � � � � � � � � � � � ���

8������� ���� ����� �������� ���� ���������� �&��� �/����� ����5&#/��

*��I�*5��I��E�,"��05��I��E�,"��55��

E�

,�I��E,"��5��

E�

,&��

����<5�K� ����������/����/���I�5��Q�,�������� ���� � ������,&� ���

���������� /����������8����*��I�*5��Q�,/�8 �� �������� ������� ���!������ ������������ ����

� 5� , , , , , , ,* *, , , , , ,, , , , , ,� �

, , , , , ,, , , , , ,

�� �

���

���

��

, 5� ,�

5 5������

� � 5

, , , , , , &� ,"6 6 , , , , , ,6 6 , , , , , ,� ������������������ , ,6 6 , , , , , ,

, , , , , ,

� ) )

)

���

� ���

����

%�� �����/����������� /��� �����!����� �������� ����� ������!����������

�5�"�Q��5��E�,"�Q�P�Q�,�I���5��Q�,"&���

�� � ��� /��������� ����� ����5&#/���

*��I�*5��Q�,�I��E�,"��05��Q�,�I��E�,"��55��I��E,"��5��E�,&���

3�� /���� ��� ���� /���I �5# $% &' (

� �W+X�� ������ ��!�����������"/��� �� ��!����� ����!��� �&�U��

<�(� ���&� 6�#/� �'#4�# �&��/����# ����&�� � � ��E�� #��� �3�������� ��!�������� ���� � ��������� <� � ����� ��� �������!!�8�&�

��

���������� ����� 5�� � 3�������� � �!�� ������ ��� � � �������� � <� � /� � ��� �� ��/�^360:3��"_/�����8� � ����������� ������ �!����� ��"�

� � � � 5� � #�� � � � 5�� � � � � � 5� � #� ��/ � � � / � � � � � 5� � � / � � � / �&&&� � � � 5� � #� � � �� 5� � � � � #� � � � � 5�

� �� � �� �* *� � � �* *� �� �� � � �* *� �� � �* *�

&�

Page 44: Wandering in the World of Smarandache Numbers

2? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����������5��� ���E� ����� �������� �3�������� ��!�������� ���� � ��������� <� � /�^360:3��"_/���� �

360:3��" � � � � 5� � �� 5"� � �� ,"�� � � 5� � #� � �� ,"� �� 5� � #� � -� � � �

� �� #� � -� � 4� � � � 5�

� �� 5"� � �� ,"� � � �� -"� � �� #"�� �� ,"� � � � � �� #"� � �� 5"�

� � � � � � � � � � � � �� � � � �

� � � � � � � �

����

���

I + ,�� ,5 � ,� ," � � � ����" &5

# $% &' ( � � �

�����5�K ������ ��� ����� !���� ��� ��8� ������� � ����������� �� ��� !�&�����(5������I�5��������� ���� � ������,&�

���������� /�� ����������� ������� ���!����������8��� �������/�8 �� ���� ���� !��360:3��" � � � � 5� � �5� #"� � �5� 5"� � �5� ,"�

� � � 5� � #� � �5� 5"� � �5� ,"� �� 5� � #� � -� � �5� ,"� � � �� #� � -� � 4� � � � � 5�

� �5� 5"� � �5� ,"� � � �5� 4"� � �5� -"� � �5� #"�� �5� ,"� � � � � �5� -"� � �5�

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �

� � � � � � � � �

����

��� #"� � �5� 5"��

, 5�����

5 5� ,

� �Q,

I� � �5� ,"� � �5� 5"� � �5� #"� � 5� � � �� ,"6 6 � � �5� ,"� � �5� 5"� � #� � 5� � �6 6 � � � � �5� ,"� � -� � #� � 5�

� 5� � � � � 4� � -� � #�����������������6 6

� �5� -"� � �5� 4"� � �5� ."� � �5� ,"

� � � � �) � � � � �) � � � � �

� � � � �)

� � � �

�����

�� � � �5� 5"� � �5� #"�

� �5� #"� � �5� -"� � �5� 4"� � � �5� ,"� � �5� 5"�� �5� 5"� � �5� #"� � �5� -"� � � � � �5� ,"�

� � � � � � � � � � � �

��

5� , 5 5�

5�, 5 5�

I�6 6 Q6 Q&&&Q6

,6 6 Q6 Q&&&Q6

""

��5�� � �5� ,"� � �5� 5"�� �5� #"� � 5� � � ,� ," 3

� � �5� ,"� � �5� 5"� � #� � 5� ,� � � � �5� ,"� � -� � #� ,� 5� � � � � 4� � -� ,

� �5� -"�� �5� 4"�� �5� ."� � �5� ,"�� �5� 5"�,� �5� #"�� �5� -"�� �5� 4"� � � �5� ,

� � � � �� � � �

� � � �� � � �

� � � � � � � � �

����

��� "� ,

� �5� 5"�� �5� #"�� �5� -"� � � � ,� � � ��

��5��

5 5 ,����������������

# # 5����������������

5� 5� 5� ,

I� � �5� ,"� � �5� 5"� � �5� #"� � 5� � � ,� ," 3( ( ( �, 5�"� � � � � $( ( ( � �, 5�"� � � � $

� � �, 5�"� � � $�����������������������������( ( (

� � � � � $� � � �, 5�"� � $�

� � � � �" "

"

�����

���

� � � �, 5�"� $�

�/�.��&<5���&� 6�#/�����&�� � ���E�� #��

Page 45: Wandering in the World of Smarandache Numbers

22 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��� 5� ,� 5� ,��5� , 5� , , , , /� ," � ," � 3

, , 5� , , ,, , , 5� , ,

� � �, , , , ,, , , , 5� ,, , , , , 5�

� �

���

����

8� � ��� �� � ������������ ���������� ���5��E�,"/��������

35��I���Q����Q��"�Q����Q�5�"�Q�P�Q�W��Q��5��E�,"�X�I�5���Q���5��E�,"�&�

���

�� � ��� /����� ����5&5/���

360:3��"�I � � � �� , 5� , 5� ,� 5�� ,"� ," 5�� ��5� ,"� � � ," �5�"� � �����

� �� 5� , 5� ,5� ,� ," � � � ��5�" &5 � � �

��

����<5�����I�5��Q�,�������� ���� � ������,&���

���������� /�� ����������� ������� ���!����������8��� �������/�8 �� ���� ���� !��

360:3��" � � � � 5� � �5� 5"� � �5� ,"� � 5��� � � 5� � #� � �5� ,"� � 5�� �� 5� � #� � -� � 5�� � � �� #� � -� � 4� � � � � 5�

� �5� ,"� � 5�� � � �5� -"� � �5� #"� � �5� 5"�� 5�� � � � � �5� #"� � �5� 5"� � �5� ,"�

� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �

� � � � � � � � � �

����

���

���� ����

, 5�Q,

5 5�����

� �Q5

I� � 5�� � �5� ,"� � �5� 5"� � 5� � � �� ,"6 6 � � 5�� � �5� ,"� � #� � 5� � �6 6 � � � � 5�� � -� � #� � 5���������������� � 5� � � � � 4� � -� � #�6 6

� �5� #"� � �5� -"� � �5� 4"� � 5�� � �5� ,"� � �5� 5

� � � � �) � � � � �) � � � � �

� � � � �)

� � � � � �

���

� ��

� "�� �5� 5"� � �5� #"� � �5� -"� � � 5�� � �5� ,"�� �5� ,"� � �5� 5"� � �5� #"� � � � � 5��� � � � � � � � � �

��

����

5� , , 5 5�Q,

5� ,, 5 5�Q,

I�6 6 Q6 Q&&&Q6

,6 6 Q6 Q&&&Q6

"

"

��5�Q,� � 5�� � �5� ,"� � �5� 5"� � 5� � � ,� ," 3

� � 5�� � �5� ,"� � #� � 5� ,� � � � 5�� � -� � #� ,� 5� � � � � 4� � -� ,

� �5� #"� � �5� -"� � �5� 4"� � 5�� � �5� ,"� ,� �5� 5"� � �5� #"� � �5� -"� � � 5�� ,� �5� ,"� � �5�

� � � � �� � � �

� � � �� � � �

� � � � � � � � �� �

����

���

5"� � �5� #"� � � � ,� ��

����

�8� � �35�Q,�I���Q����Q��"�Q����Q�5�"�Q�P�Q����Q�5��"�I��5��Q�,"��Q���5��Q�,"��I��5��Q�,"���Q���""�

Page 46: Wandering in the World of Smarandache Numbers

23 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��5�Q,�

5 5 ,

# # 5���������������������

5� , 5� , 5�

I� � 5�� � �5� ,"� � �5� 5"� � 5� � � ,� ," 3( ( ( ������������ 5�� � � � � $( ( ( � 5�� � � � $

� � 5�� � � $������������������������������� �( ( (� � � � � $� � � 5�� � $� � � � 5��

� �

� � � � �" "

"

�����

����

$

� ���� 5� 5� 5� 5� , , , , &� ," �5� ,"�� ��" �� ," �, 5� , , ,, , 5� , ,

� � �, , , , ,, , , 5� ,, , , , 5�

� � � �

���

����

����

%�8/��������������� �!����� � ������������ ���������� ��5�/�8 �� �/����� ����5&5/��

360:3��"�I � ��� 5� 5�� 5� ,� ," �5� ,"�� ��"� � ," �5� ," � � � � ��

� �� 5� 5��5� ," ,� ," � � � ��5� ," &5 �� � � �

%�8/���� ��� ���� /���I �5# $% &' (

&�; � /��� ��� �� ��������� �&�U����

���������� ����� 5� �� � 3�������� � �!�� � � �������� ������!� � <� � /� � ��� �� ���^36:%3��"_/����

, 5 # -, 5 #, 5 5 # - ,,/ � � � / � � 5 # , � / � � � / �&&&5 , # - , 5# , 5 - , 5 #

� �* *� �* *�

&�

�� �������� 8�� ��������� �� <� � �^36:%3��"_��� � � � �,/�E�#/�E�,1/�,.$/�,1F4/�P&�

� ��

%�� � ����� �� �3�������� ��!��� � ��������������!� � <� � � �����������!����� ���� �� �3�������� ��!�������� ���� � ��������� <� � /�8������I�,/���I�,&�; � /��������� <� � ������ �� ��5&,&,/�8 ���� ��� ���!!�8����� ��!�&����

��������������5��� ���E����� �������� �3�������� ��!��� � ��������������!�� <� � ���� �

+ , � ,�5 � ,36:%3��" , 5 # � 5 � , ������ � ," � �� &55 # - � , � �����,

# - 4 � , �����5� �- 4 . , 5 �����#

� , � , � - � # ������ 5� , 5 � # � 5 ������ ,

# $% & ' ( �� �

����

���

����

�/�.��&<5���&� 6�#/�����&�� � ���E�� #��

Page 47: Wandering in the World of Smarandache Numbers

2F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

<�<� ���&� 6�#/� ���'����&�# �&��/����# ����&�� � � ��E�� #��� �3�������� ������� ���������� ���� � ��������� <� � ����� ��� �������!!�8�&�

���

���������������5��� �3�������� ������� ���������� ���� � ��������� <� � /�� ��� �����^3*0:3��"_/�����8� � ����������� ������ �!����� ��"�

� � � � 5�� � ��/ � � � / � � � � � 5� � � � / ��&&&� � � � 5� � � �

� �� �* *� � � �� �� � �* *� &�

��

������ ����� 5�� � ��E���� � ��� ��� �� � 3�������� � ������ ���� ������ ��� � � ��������� <� � /�^3*0:3��"_/�����4/���� �

3*0:3��" � � � � 5� � �� #"� � �� 5"� � �� ,"�� � � 5� � #� � �� 5"� � �� ,"� � �� 5"�� 5� � #� � -� � �� ,"� � �� 5"� � �� #"�

� �� #"� � �� 5"� � �� ,"� � -� � #� � 5�� �� 5"� � �� ,"� � �� 5"� � #� � 5� � �� �� ,"� � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � �� � � � � �� �

���

���

� 5"� � �� #"� � 5� � � � � � ��

+ ,�� ,5 � ,� ," � � � ��5�" &5

# $% &' ( � � �

�����5�3��������8����3*0:3��"/�8 �� �������� ������� ����8������!������ �������&���

3*0:3��" � � � � 5� � �� #"� � �� 5"� � �� ,"�� � � 5� � #� � �� 5"� � �� ,"� � �� 5"�� 5� � #� � -� � �� ,"� � �� 5"� � �� #"�

� �� #"� � �� 5"� � �� ,"� � -� � #� � 5�� �� 5"� � �� ,"� � �� 5"� � #� � 5� � �� �� ,"� � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � �� � � � � �� �

���

���

� 5"� � �� #"� � � � � � � � ��

5 5 ,������

# # 5

� � � ,

� � � � 5� � �� #"� � �� 5"� � �� ,"�I( ( ( � � � � � �( ( ( ��� � � � � � ��������������������������

� � � � � �( ( (� � � � � �� � � � � �

� � � � � " "

"

���

�����

��

� ,��

� � ,

� � � � 5� � �� #"� � �� 5"� 5� �� ,"�I �, , , , , $6 6 6, , , , , $

, , , , , $, , , , , $, , , , , $

� � � � � " �

���

����

Page 48: Wandering in the World of Smarandache Numbers

21 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

� �� ,� � ,� , , , , , /� ," � 5� �� ,"�, , , , ,

� � �, , , , ,, , , , ,, , , , ,

� � �

��

����

8� � ��� �!����� � ������������ ���������� ����E�,&�%�8/���� �!�������� ����5&-/�8 �� ���

3*0:3��"�I � �� ,

� ,� � ,� � 55� ," � 5� �� ,"� � ," �5 &# $

� % &' (� � � �

��

%�8/��������� � �/����/���I�5��������� ���� � ���/��� ����

� ,� ,5� ,"# $� �% &' ( I

�5� , �� ," � 5� ," � ," � ," /

# $� � % &' ( � � �

���������������/����/���I�5��Q�,�������� ���� � ���/��� �� ��

� ,� ,5� ,"# $� �% &' ( I

��5� 5" � � 5� ," � ," � ," &

# $� � % &' ( � � �

; � /�����!!�/�8 �� �� ���

3*0:3��"�I � ��

� ,� � 55� ," �� 5� �� ,"� 5 /# $

% &' ( � ���

8����8 ���� �� ��������� &�U����

���������� ����� 5�� � 3�������� � ������ ���� � � �������� ������!� � <� � /� � ��� ����^3*:%3��"_/����

, 5 # -, 5 #, 5 5 # - #,/ � � � / � � 5 # 5 � / � � � / �&&&5 , # - # 5# 5 , - # 5 ,

� �* *� �* *�

&�

�� �������� 8�� ��������� �� <� � �^3*:%3��"_��� �,/�E�#/�E�1/�5$/�-1/�E�,,5/�E�54./�4F./�P&�

� ���

%�� �������� �3�������� ������� ����� � ��������������!�� <� � ������������!����� ������ � 3�������� � ������ ���� ������ ��� � � �������� � <� � /�8���� ��I�,/� ��I�,&� ; � /�8 ���� ��� ���!!�8����� ��!���������� <� � ������ �� ��5&5&,&���

��������� ����� 5� �� � ��E���� � ��� ��� �� � 3�������� � ������ ���� � � �������� ������!�� <� � /�^3*:%3��"_/�����4/���� � �

� 5� �53*:%3��" , 5 # � 5 � , � � ," �� ,"�5 &

5 # - � , � � ,# - 4 � � , � 5

� �� 5 � , � 4 - #� , � � , - # 5� � , � 5 # 5 ,

# $% & ' (� � �

���

����

�/�.��&<5���&� 6�#/�����&�� � ���E�� #��

Page 49: Wandering in the World of Smarandache Numbers

20 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

<�?� ��&��� ���/ ���&� 6�#/� ����&�� � � ��E�� #��

<�?�( ���&� 6�#/� ���'����&�# ����&�� � � ����&�4 ��E�� #�

K ������ ���� �3�������� ������� ����� � ��������������!�� <� � /� � �� ,3*:%3��" �

�/�����

8������ ���E����� �����/����6���!!����5&5&,/���

� � � 553*:%3��" � ," �� ,"�5 &# $

% &' (� � ��

� �� � �� � ,3 �

�� � ��� �� <� � ������E����������!����������� �� <� � � � �� ,3*:%3��" �

�/���������

� ,

3 3*:%3�"/�

� � �����,&��

��� ����� � ����/� 8 � ��� � ��� +�!���� +�� ������ ���� �� � � <� � � � �� � ,3 �

�&� ����� ��� ��� �� ��� � �

�� �� ��5&#&,&,&�������� ��� ��� �� �/�8 �8��!��� ���� ���!!�8����� ��!��&����

������������5�B���������� � ������,/�-�

5� ,"-

,/#/&&&/�5� ,"

�5�" ,�5�" &�5�" ,

� ������5�%�� �����/��� �� �� �������� �� ����� �� ��8������ ��������������5�"-&�U�

� � � � � � ���

������������5�B���������� � ������,/��

� ," 7 5 �5

,/#/&&&/�5� ,"

�� ,"�� ,"5��� � &� , �� ,"

� �

� ��

�����5�� ���� �� �� ������� �! ���� �� ��� ������/���������� � �

��

��I�,�Q�#��Q�4�5�Q�P�Q��5��E�,"���

E�

,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �G"�� � � � � �

��

%�8/���!���!������G"������������ ��������������� �� ��!����� +�� ������������G"/�8 �� ��� � � � � �

��

�,�E��"��I�,�Q�5��Q�5�5�Q�P�Q�5���

E�

,�E��5��E�,"��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � �� � �

I�W5�,�Q���Q��5�Q�P�Q����

E�

,"�E�,X�E��5��E�,"��� � � � �� � �

I�5�� ,� ,

� � � �

� E�,�E��5��E�,"��� �

� � � � � � �

I��� ,"�� ,"

� ,�

E�5���/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ��

8������8���� ���� �� ��� ��� ��!�&�U��

��

B����6���!!����5&5&,/�8 �� �����/������������ � �����,/�� � � � � � �

3*:%3�5"�Q�3*:%3�5�Q�,"�I��E,"�.�Q�4"55��

E�

,"/�� � � � � �

3*:%3�5�Q�5"�Q�3*:%3�5�Q�#"�I��E,"Q,�.�Q�,,"55/���������

3*:%3�5"�Q�3*:%3�5�Q�,"�Q�3*:%3�5�Q�5"�Q�3*:%3�5�Q�#"� � ��

I�#�E,"�

Q�

,�.�Q�,#"55��

E�

,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,"�

Page 50: Wandering in the World of Smarandache Numbers

2C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�������������5�B���������� � ������$/� � � � � � � �

;(>� 3-��Q�,�I�

#4�55�5��

Q�

,"�Q�

#,545-��E�

.54

�I� � �-� ,5 �.$� #,"5 # /54� �

� � ��

;<>� 3-��Q�5�I ,4

�5-��

Q�

# ,,54

55���

Q�

,"�E��

.54

�I� � �-� ,5 �,$� ,,"5 # /54� � � �

� � � � � ��

;?>� 3-��Q�#�I #4

�5-���

Q�

,"�

.,54

55�5��

Q�

,"�E�

.54

�I� � �-� ,5 �.$� .,"5 # /54� � � �

� � � � � ��

;2>� 3-��Q�-�I�

,4�5-��

Q�

4�Q�

,545-���

Q�

5"�E�

.54

�I� � �-�� ,"5 �4� 1"5 # &54�� �

� � � � ��

�����5�� ������������� ��������� �� <� � � � �� � ,3 �

�� �� ���

3,�I�,/�35�I�E�5/�3#�I�E�,$/�3-�I�,$&��

;(>� �� ���������� ��������-��Q�,"�� ��������� �� <� � /�3-��Q�,/����� �8���� ������ � ��

3-��Q�,�I�3*:%3�,"�Q�3*:%3�5"�Q�P�Q�3*:%3�-��Q�,"��

I�3*:%3�,"� ��

Q� ,/#/&&&/�5� ,"

W3*:%3�5" 3*:%3�5 ," 3*:%3�5 5" 3*:%3�5 #"X/�

� � � � � �� �

�������/��������� �����,"/�3-��Q�,�I�3*:%3�,"�Q , 5� ,"

,/#/&&&/�5� ,"#� � ," �. ,#"5�

�� �� � � �

I�3*:%3�,"�Q 5� ," 5� ,"

,/#/&&&/�5� ," ,/#/&&&/�5� ,"# .� 5 ,#� 5 &

� �

� ��� �

� � � �

%�8/���� �!�������� ����5&#&,&,��8������I�,"������ ����5&#&,&5��8������I�5-"/�8 �� ��� � � � �

3-��Q�,�I�,�Q�

-� 5 -�# #-W �5 �5 ,"X4 54

� ���

-�,# �5 ,"4

/���

8������8���� ���� �� ��� ��� ��!����� ����� ��!� �����������!������&��

;<>� 3�� �3-��Q�5�I�3-��Q�,�Q�3*:%3�-��Q�5"/� �� � � � � � � � � �

�����������,"����� /���� �� ��8����6���!!����5&5&,/�8 �� ��� � � � � � � � � ��

3-��Q�5�I�W #4�55�5��

Q�

,"�Q�

#,545-��E�

.54X�E��-��Q�#"5-�/� �

��

8��������!��� ������� �� ��� �� +�� ����������3-��Q�5&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

;?>� 3�� �3-��Q�#�I�3-��Q�5�Q�3*:%3�-��Q�#"��I��W ,

4 �5-��

Q�

# ,,54

55���

Q�

,"�E�

.54X�E��-��Q�-"5-��

Q�

,/�� � � � � � �

8 �� ���� �� ��� �� +�� ����������3-��Q�#���� ������!���������&�� � � � � �

;2>� 3�� �3-��Q�-�I�3-��Q�#�Q�3*:%3�-��Q�-"��I�W #4

�5-���

Q�

,"� �

.,54

55�5��

Q�

,"�E�

.54X�E��-��Q�4"5-��

Q�

5/�� � � � � � � � � �

�� �� ��!����!!�8����� ����� �����! ��!� ���������!���������&�� � � � � � � � � � �

�� ��� �8� ����I�$���� ���!��� �� ���� �&�; � /��� �������������! � &�U�

�/�.��&<5���&� 6�#/�����&�� � ���E�� #��

Page 51: Wandering in the World of Smarandache Numbers

3= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

<�?�< ���&� 6�#/� ���'����&�# �&��/����# ����&�� � � ��E�� #�����

K ������ �� �� �3�������� ������� ���� ������ ���� � �������� � <� � /� � �� ,3*0:3��" �

�/�

����8������ ���E����� ��������� ������� �� ��5&5&,&�� �� � �� � ,3 �

�� � ��� �� <� � ������E����������!�

���������� �� <� � � � �� ,3*0:3��" �

�/���������

� ,

3 3*0:3�"/�

� � � �����,&� ��

0�� +�!���� +�� ������������ �� <� � � � �� � ,3 �

�� ������ ��� !�8&� �

��

�������������5�B���������� � ������$/��

;(>5

-�Q5 -�-� , 5 5 5 5

5 5

5 5 5

��5� ," 5��5� ," ��-� -� ,"3 �5�" � �5�"-� , -� , �-� ,"

� �-� -� ," ��5� ,"�������������Q /�-� ," -� ,

�# $� � � � % &� � �' (

# $ % &� �' (

;<>#

-�Q# -�Q5-� 5 5 5 5 5

5 5

5 5 5

��5� ," ��5� ," ��-� #� ,"3 �5�" �5�"-� , -� , �-� ,"

� �-� -� ," ��5� ,"�������������Q /�-� ," -� ,

�# $ � � �% &� � �' (

# $ % &� �' (

;?># 5

-��Q," -�Q5-� # 5 5 5 5

5 5

5 5 5

��5� ," 5��5� ," ��,.� -� 1� #"3 �5�" � �5�"-� , -� , �-� ,"

� �-� -� ," ��5� ,"�������������Q /�-� ," -� ,

�# $� � � � �� �% &� � �' (

# $ % &� �' (

;2># 5

-�Q4 -��Q,"-� - 5 5 5 5

5 5

5 5 5

��5� ," ��5� ," ��,5� -� 4� 5"3 �5�" Q �5�"-� , -� , �-� ,"

� �-� -� ," ��5� ,"�������������Q &�-� ," -� ,

�# $ � � �% &� � �' (

# $ % &� �' (

� � � � ��

�����5B������ �� ��5&5&,/������������ � �����,/� � � � � �� 5 ,�3*0:3�5" 3*0:3�5 ," � ," ��5� ," ��5� ," �5�" /5

# $� � � � � �% &' (�

, 5 ,�3*0:3�5 5" 3*0:3�5 #" � ," ��5� ," �-� ," ��5� ," �5�" /5� �# $� � � � � � � � �% &' (

��������3*0:3�5"�Q�3*0:3�5�Q�,"�Q�3*0:3�5�Q�5"�Q�3*0:3�5�Q�#"� � �

���

, 5 # 5 5 5� ,"� ," � 5��5� ,"�-� ," ��,.� -� ," 5��5� ,"�-� ," �5�" &� # $� � � � � � � ' ( � � � � �� ��"�

Page 52: Wandering in the World of Smarandache Numbers

3( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

;(>� 3�� �3-��Q�,����� �8���� ������ � � �

3-��Q�,�I�3*0:3�,"�Q�3*0:3�5"�Q�P�Q�3*0:3�-��Q�,"����

I�3*0:3�,"� ���

Q� ,/#/&&&/�5� ,"

W3*0:3�5" 3*0:3�5 ," 3*0:3�5 5" 3*0:3�5 #"X/�

� � � � � �� ����

�������� ������"/�� ����5&#&,&,������ ����5&#&,&5��8������I��5�"-"/�8 �� ���

��

5 # 5 , 5� ,"-� ,

,/#/&&&/�5� ,"

5 5 ,� 5� ,"

,/#/&&&/�5� ,"

3 � � 5��5� ,"�-� ," ��,.� -� ," � � ," �5�"

���������� 5� �5� ,"�-� ,"� � ," �5�"

� �

# $� � � � � � ' (

� �

��

� � ��

-�5 # 5

-

-5 5 -� -�

- - 5

�5�" ,� � 5��5� ,"�-� ," ��,.� -� ," ��5�" ,

�5�" ,5�� 5� �5� ,"�-� ," �5�" W�5�" ,X�5�" , W�5�" ,X

# $� � � � � �' (

� ��� � � � �

��

# 5-� 5

5 - 5

# 5 5 --� -�

5 - 5 5

5��5� ," ��,.� -� ," ��5� ,"� � �5�"-� , �5�" , -� ,

5��5� ," ��,.� -� ," 5� W�5�" ,X� � �5�" W�5�" ,X&-� , �5�" , �5� ,"�-� ,"

�# $� � � �� � �% &� �' (

# $� � � �� � % &� �' (

���

%�8/��!! �������� �� ���� �� ���� ��������5�"-�������� ���������� ���/�8 �� �����

� ���� �������5�"-�����# 5 -

5 - 5 55��5� ," ��,.� -� ," 5��,.� ,"�-� , �5�" , �5� ,"�-� ,"

# $� � � �� % &� �' (�

� � � � ��

5

5 5 55��5� ," ��-� -� ,"� /-� , �-� ,"

# $� � % &� �' (�

��

��������� ������5 # 5 5 -

5 - 5 55���5� ," � �,.� -� ," 5� �,.� ,"�-� , �5�" , �5� ,"�-� ,"

� � � � �� �

�� � �

5 5

5 5 5� �-� -� ," ��5� ," &�-� ," -� ,

� � �

�� � �

; � /�����!!�/�8 �� ���� �� ��� �� +�� ����������3-��Q�,&���

;<>� 3�� �3-��Q�5�I�3-��Q�,�Q�3*0:3�-��Q�5"/��������� ��� �� ��5&5&,/��

3-��Q�5�I�3-��Q�,�Q�3*0:3�-��Q�5" -� ,-� ,

-� ,3 �� �"�5�" &5�

��� � �

%�8/�������������,"/�������������������

� ���� ��������5�"-��

Q�

5���� 5 55� , 5� ,, 5� /-� , -� ,

� � � �

�/�.��&<5���&� 6�#/�����&�� � ���E�� #��

Page 53: Wandering in the World of Smarandache Numbers

3< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

� ���� �������5�"-�����5

5 5 55��5� ," ��-� -� ," �� 5��� "5-� , �-� ,"

# $� �% &� �' (�

��

#5

5 5 5��5� ," ��-� #� ,"�-� /-� , �-� ,"

# $ � � �% &� �' (�

8 �� ���� �� ��� �� +�� ����������3-��Q�5&�� � � � � � � � � �

;?>� 3�� �3-��Q�#�I�3-��Q�5�Q�3*0:3�-��Q�#" -� 5-� 5

-� 53 �� �"�5�" /5�

��� � �

� � � � � � �

������������5"/�8 �� ���� �� ��� �� +�� ����������3-��Q�#/��������������

� ���� ��������5�"-��

Q�

#���� 5 55� , 5� ,, 5� /-� , -� ,

� � � �

�� � � � �

� ���� �������5�"-��

Q�

5����#

5 5 5��5� ," ��-� #� ," �� �"-� , �-� ,"

# $ � � �% &� �' (�

���

# 5

5 5 55��5� ," ��,.� -� 1� #"�� &-� , �-� ,"

# $� � � �� �% &� �' (�

� � � � � � �

;2>� 3�� �3-��Q�-�I�3-��Q�#�Q�3*0:3�-��Q�-" -� #-� #

-� #3 �� �"�5�" /5�

��� � � � ���������#"/�

� � � � � � � � � �� � � � � � �

� ���� ��������5�"-��

Q�

-���� 5 55��5� ,"5� , , /

-� , -� ,� � �

� ��

� � � � ��

� ���� �������5�"-��

Q�

5����# 5

5 5 55��5� ," ��,.� -� 1� #" #�� 5��� �"5-� , �-� ,"

# $� � � � � � �% &� �' (�

��

# 55

5 5 5��5� ," ��,5� -� 4� 5"-� /-� , �-� ,"

# $ � � �% &� �' (�

����8 �� ���� �� ��� �� +�� ����������3-��Q�-&�� � � � � � � � � � � � � � � �

%�8/���� ��������������I�$/��� � +�� �����������3,/�35/�3#�����3-��� ���� �������!!�8�����

3,�I��/�35�I�E���5��E�,"�E��5/�3#�I�E���-�5�Q�5��E�,"�E��5�-��Q�,"/���

3-�I���1�#�E�-�5�E�5��Q�,"�Q��5�,5�5�E�-��E�,"&�� �

0!!��� � ����! � ��� ������������ ��� �� �&�U����$�&� #��� � ����

W,X�0�������� �����/�3�������� �: � ��������3 <� � �/�*�����'�"��+�����%,�#����/�(</�5F4�E�5F1/�5$$,&�

W5X� �@�����/�0&0&>&/�)��3�� �3�������� �: � ��������3 <� � �/�*"������-�.��/�2;<>/�1$�E�D4/�5$$1&�

W#X� �@�����/� 0&0&>&/� �� � 3�������� � *����� ���� 0����� ��� : � �������� 3 <� � /�*"������-�.��/�2;2>/�.5�E�.F/�5$$1&�

Page 54: Wandering in the World of Smarandache Numbers

3? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�/�.��&?� � � ��/�� ���&� 6�#/� �� #��* ������!�� �� ������8�� !�� ����� �� ������ ���!� �����������3�������� � ��� � ��� �� � ! ���� ��3�������� ��������/�������� �����3�������� �W,X����� !�&����

������������ �/�8 ���������� ������ ����� ��� ������� �3�������� ��������/�� ��� �����3��"/����8 !!��������� � ��!�� � ��!�C������&����

K �������8������ ������!�� �������������� �3�������� ��������&��������������������� �������� ���!!�8������ �/�8 ����!!�� ��� ���� ����� � ����� �� ������!!�������� ���� � ��&����

���������� ��� 5� B��� ���� ��� � �� ����� �,/� �� � 3�������� � �������/� 3��"/� ��� �� � ���!! ���������� ���� � �������������,&��5&� �P��&� �� � �[�����������! �����&��������/� � �

3��"��I�� ����^ �����- ����� /����]� � ��[ _J���� ��� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����/����� +���! �/��

��"�3�,"�I�,/���� �,��]� � �,[�I�,/��

��"�3�-"�I�-/���� �-������ ��-[/�����-��� ����������� ��������,[/�5[�����#[/��

�"�3�."�I�#/���� �.��]� � �#[�I�./�����.������ ��� ��� ��,[�����5[&�����

3�� ��� ���������B��"��S���[/��- ����� /���������!����� ����������/������!!�8��������� ���������3��"����8 !!2� ��� �&����

*��: ���������#&,/������������ � ������� �,/� ���

3��"��I� ��$� ���

���������!������� ���!!�8�����8�������������� �������� �����

;(>� ������� ��� � ��$[/�;<>� ���� ����������� ���$� � �E � �,"[&������

%�� � ����/� ����� ������������3��"����� ��� �!����!�� ����� �� � ����������!��� � ��� ���������� �� �������� ���� ���� � ��� 3��"� ��� ����� /�8��! � �� � ����������!� � ��������� �!!�8�� �� � ���� � ��� 3��"� �����!�� � �� � ���� �� $&� ����� �� �� �� � ���� � � � ��� �� � ��!� � ��� 3�,"� �� 0������� ��� �� �����������!� � ��������/� 3�,"�I�$/�8� � ��� ���: ��������� #&,/� 3�,"�I�,&�K ��� � ��: ��������� #&,/�!� �� � ��!���� ��� � ��� ��/������ ���!!�8��������������

�,"� � � ��!!�/� �� � ��� �� ������ ���!� ��������� ��� �� � �� ���� ��� %��� ��/� ��� � ����� �� ����������� ���� ���� �� ��� ����� /� ���� ��/� : ��������� #&,� ��� ��� ������ � � 8���� �� � ����������!��������/�

�5"� �� �����!�� �������������[�����[�I�,&5&�P�&������������� � ������� �,/�����8 �� ��� �$[�I�,���!�������� ��� ������� �� � /�������!��!�/���������������&� �� �� �/�����!!�8������ ����� ���� ��!�� � $/� ������!�� 8 � ����� ��� +���� �������� J� ���� �� ��� �� � �������/� ��� � ��� �� ������!���������� �� ����!��� ���� �6���!!����#&,&#"/�

�#"� �������� ��� �� � !�����!� � ��������� ��� 3��"/� ������� 3�,"� ��� � ��� �/� 3�,"� ��� ���� � ��� ��8� ������ �5/�8� � �3�&"������ ��E���!����������������3�&"�8������� !�&�

Page 55: Wandering in the World of Smarandache Numbers

32 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

3 � ��!� � � ��� ��/� ��!������ 0����� �� W5X� ���� 3������ W#X/� ��� � ����� �� ��� � ��� �� � ! � ���������� ��� ��������� �����3��"&��� � ��� ��������C ������ �����#&. E #&,5&��� �������������� ������ � �� ��!���� � ������� �����#&,�E�#&4/���� ����8������ ��!�����������!&����

��������5� ����� ������� &��� �/�������� ��������������!��������! ������ ����������������������! �����&�

���

��������5���������� ���[��� ��������� ���[������������ � ����R��&������53�� ��[����� �8���� �����

��

�[�I��[���Q�,"���Q�5"�P���"/��

�����!!�8�������������� � ��������������[��!�������� ���[&�U���

��������5B���������� � ������ �#/�;(>5������ ��[/�;<>-5������ ���5"[&��

�����5�� ����������������,"�������������������&�3�� �.������ ��#[�I�./�8 �� �������� �� ��!�������� ������I�#&�;(>�K ������ �������� �� ��!�������� �������� ���� � ��/��������/�8 ������ ��������

5� �]� �[�������� ���� � ���R�#&��� �/� �

5��Q�,"� �]� �[���Q�,"�I���Q�,"[� � ��� � � 5��Q�,"� �]� ���Q�,"[/���

8�������8��������� �� ��!�������� ������Q�,����8 !!&��

;<>� B����������,"����� /��

�5"&�5"� �]� �[��5"� � ��� � � �-5"� �]� ��5"[&�U����

��������55���Q�5"������ ���5��Q�,"[������������ � ���� ��� �,&������5����� ��� �5/��� ��5��Q�,� �R� ���Q�5/���������� �� ��!����!!�8�������� �����������

5���Q�5"������ ���5��Q�,"[�I����Q�5"[����Q�#"�P��5�"&�5��Q�,"&��

3�� �5�#������ ��#[/��� �� ��!�������� �������I�,����8 !!&�U����

��������5B���������� � ����/������ �,/��[��[������ �����Q��"[&��

�����53�� � + , �� �"[� �� �[��[

�� � /�8 �� ���� �� ��� ��� ��!�&�U����

��������5B��������- ����� /�3��"���� �,&� �� �� �/�� � � � � � � � � ��;(>� 3��"��I��,����������!��������I��,/� ��

;<>� 3��"��I��5����������!��������I��5&������5��� ��� ���� /��� ������������ �M���N���������������!&�3�/�8 ����� ��� �M��!�����N�����&�

;(>� � ��3��"� �I� �,�������� ��- ����� &��� �/����� ��������/��� �]� �,[/������ � /��� �I� �,&��

;<>� � ��3��"� �I� �5�������� ��- ����� &��� �/����� ��������/��� �]� �5[/������ � /��� �I� �5&�U����

������������53��"���� �#������������ � ������� �#&���

�� ���!!�8����! ������� �������� �����������3��"&���

��������5� � � �3��"���� ��������!!��� ��� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������53�� ��� �]� ��[������������ � ���� ��� �,/��� �� ��!����!!�8�&�U�

Page 56: Wandering in the World of Smarandache Numbers

33 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

������������5 3��"$ ,������������ � ��� ,&�! � � ��

�����5?��� ��������� ����#&.������ ����#&F&�U����

�� �!�8 �����������3��"/���� �����6���!!����#&,/����� ������� ������� ��� �8� ���������������� ����� �&������������ ������� ���!!�8�������

��������5B������������� ����� ������� �-/�3��"���� ���+^ 3��"������]� �� _&� �������5� �� �

3��"��I� ��$�������� ��$- ����� &���

*�� � ��������/� �� �]� ��$[� ����� �$� ��� �� � ���!! ��� ��� � �� 8���� ����� ���� ���"&� �� �/� ! ��!�� ��������������������!�������� ���$[/���������3��"� ��� ��$&�U����

������� 5;(>�3�5�"� ��� ������������� � ������� �#J�;<>�3�-�5"� ��� � � �5������������� � ������� �5&� � � � � � � � � � � ���

�����5��!!�8����� ���� !�������� ����#&#�������8��� !�8����

;(>�5�"� �]� ��[�� � � � � � � � � � � � �� � � ��� � � 3�5�"� ��� ��/��

;<>�-�5"� �]� ��5�"[� � ��� � � 3�-�5"� ��� �5�&�U����

��������5B��������� � ����,/��5���� �,/� ��

3��,��5"� ��� �3��,"�Q�3��5"&��

�����5� ���

3��,"�I��,/�3��5"�I��5�������� ���� � ����,/��5���� �,&��

�� �/��,� �]� ��,[/��5� �]� ��5[� � ��� � � �,��5� �]� ��,[��5[&��

%�8/���� �!�������� ����#&4/��

�,��5� �]� ��,[��5[� � ��� � � �,��5� �]� ���,�Q��5"[/���������

3��,��5"����,�Q��5�I�3��,"�Q�3��5"&�U����

���������5B��������� � ����,/��5/�P/������ �,/� ��

3��,��5�P��"� ��� �3��,"�Q�3��5"�Q�P�Q�3��"&��

�����5�� �������������������������&�*��� ����#&,$/��� �� ��!�������� �8� ���I�5&�3�/�8 ������ �������� �� ��!�������� �������� ���� � ��/��������/��� ���������������� �������

3��,��5�P��"� ��� �3��,"�Q�3��5"�Q�P�Q�3��"&��

�� �/�� ����#&,$/���� �� ��8������ ���������������� ���/���� ����

3���,��5�P��"��Q,"� ��� �3��,��5�P��"�Q�3��Q,"���

�� �W3��,"�Q�3��5"�Q�P�Q�3��"X�Q�3��Q,"���

I�3��,"�Q�3��5"�Q�P�Q�3��"�Q�3��Q,"/��

8�������8��������� �� ��!�������� ������Q�,����8 !!&�U�

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 57: Wandering in the World of Smarandache Numbers

3F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

���������5B���������� � ���� ��� �,/�3��["�I��&��

�����53�� ��[� �]� ��[������������ � ���� ��� �,/��� �� ��!����������� �&�U����

� ����#&,5����8������/������������ � ���$� ��� �,/��� � �������! ������ ���� � ���� ��� �,/���� !�/� � ��� �I� ��$[/� ���� ����� 3��"� �I� ��$J� ��� �� �/� ���� ��� �� ��� �� � ��+����� ���� �� ����������� �� � <�������3��"�I��$����� �������R��$[��� ����������� ��$["&����

� ����#&,,� ! ���� ����������� ��� � ������ �� <��!��� �/��������� ��� ��� �����3������ W#X&��� � ��� ���� ������� ���!!�8�������!!���&����

������������5�� ���!!�8������ <��!��� ����!�����

;(>����������� � ����� ��� �,������ ��� �,/�3��"� ��� �3��"J��

;<>����������� � ����� ��� �,������� ��� �,/��

,

3�� " ��[W3��"X J�

�. �

;?>����������� � ����� ��� �,������ ��� �,/�3���[""� ��� ��J��

;2>����������� � ����,/��5/�P/������,/�����,/�5/�P/��� ���,/�

, 5 �, 5 � , , 5 5 � �

� ��� [" �� [" �� [" � � �&&&� � J3� &&& " � � �� �

;3>����,������5��� ��8����� � �������������5������ ���,/��� �� ��

,, 5

5

�3�� " 3�� " 3� "&� � �

�����5��� ������������� ��� !�8����

;(>�6���������,�I��5�I�P�I���I������� ����#&,,/�8 �� ���� �� ��� ��� ��!�&��

;<>� B����������,"�8�����I�,/�5/�#/�P/����� ���� !�/�8 �� ����

3��"� ��� �3��"/�3��5"� ��� � �53��"/�3��#"� ��� � �#3��"/�P/�3���"� ��� � ��3��"&���

%�8/���!���!������!!��� � ������� ������� <��!��� ����� 28�� /�8 �� ���� �� ��!��� ��� �&��

;?>� �� ��� <��!������!!�8�������������,"����� /���� �� ��8����� ����#&,5����

3���[""� � ��� � �3��["�I��&��

;2>� B����������,"/�8 �� ���

, 5 � , 5 �, 5 � , 5 �

� � � ��� [" �� [" �� [" �� [" �� [" �� ["3� &&& " 3� " 3� " &&& 3� " &� ���

%�8/���� �!�������������#"/�8 �� ���� �� ��� ��� ��!�&��

;3>� � ���,�I��5�������� ���� � ��� ��� �,&��� �/����� ����#&,$/��

3��,"�I�3���5"� ��� �3�"�Q�3��5"/���������

,, 5

5

�3�� " 3�� " 3�" 3� "&

� � � �

0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&�U�

Page 58: Wandering in the World of Smarandache Numbers

31 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

���������5������� ��3��"������������� ������ �5/������������ � ������ �,&������5� ���

3��"�I���������� ���� � ������� �,/���

��������������� ���[&��� �/������������� ��/�������� �8�� ���

���� ����������� ��� ��� � � ������� �����E�,"[� � ��� � � 3��"�� ��� � � ���E�,/��

�������������� ������� ���&�U����

������������5B����������� ������ �5/������������ � ������ �,/���

3��"�I����������� ���� � ���� ��� �,&���

�����5��!!�8����� ���� !�������� ����#&,#&�U����

���������5B���������� � ����������� � ���/���8�������� � ��/�3��"���� �3����"&������5� ��

3��"�I��$�������� ���� � ���$���� �,&��� �/�

��� � � ]� � ���I���&��

E���/���� �]� � ��$[� � ��� � � ��� � �]� � ��$[� � ��� � � 3����"� ��� � ��$&�U����

���������5B���������� � ����,������5�8�����,���� ��5/�3��,"���� �3��5"������������� �,&��

�����5� �/������������ � ������ �,���+ �/���

3��,"�I��$�������� ���� � ���$���� �,&��� �/�

�,�� �]� � � ��$[� � ��� � � �5� � � ]� � � ��$[� � ��� � � 3��5"���� ��$&�U��� ����

���������5B����������� ������ �5/�3����

Q�

/"���� �3���"�3��/"������������ � ����/� �/ � ��� �,&��

�����5� �/� ���

3����

Q�

/"�I��$�������� ���� � ���$���� �,&�� � ��

B���� ���� /�! ��� � �

3���"�I��,/�3��/"�I��5�������� ���� � ���,/��5� ��� �,/�� � ��

8� � /�8�������!�������� � ��!���/�8 ���������� �������5�� ��� � ��,&�K �8���� ��� ���8� ������$�� ��� � ��,���5&�� �/���� �� ��������/��$� �R�� ��,���5��� ���� ��� ��$/��,������5&��� �/�������� ����#&,$/�8 �� ���� ���!!�8�������������� <��!��� ����� � ��

, 5 $ , 5 , 5� � � � � 5� ��� ���� 5/! � � � � ! ���

8������������������������6���!!����#&-&������������������ ����!��� ���� �! ���&�U�

����

���T��#&,/�8 ���� ���� �����! � +�!���� +�� �����������3��"&��8��� �������������� ��!����������� � �� �� �� � ��� �� ��� �� �� �� #&,&,� ���� �� �� �� #&,&5&� 3�� � � � ��!�C������� ��� �� �3�������� � �������� �� � ��� �� ��� T�#&5&� T��#&#� ��� � ��� �� ��� ��� ���� !!�� ���� �����&�K ���!�� ���������� ��8������� �� ������������� ����� ��� �����3��"������ �����!�T�#&-&�

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 59: Wandering in the World of Smarandache Numbers

30 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

?�(� �*��� ��A.4�#��� � � � � � � � � ��A.&����* �� � � � � � � � � � �$*&� � � � � � � � � � ��; >

��������� ����/�8 ���� ��� � +�!���� +�� �����������3��"������� ������ <� � �&� ���

B����/�8 ����� ��������� ��� ���!!�8������ �� �/��� ����3�������� �W,X&��

��

�����������5� ��

, 5 , 5 � ����� � ���� � ���� &&& � ����� � ��

� ����� � �

� � �� � � �� � �������� ��� �� ��� � ���� ��� ���� �������� ���� � ������� �/� �,/� �5/� P/� �� ������ �����!����� � �"&��� �/�

� �, 5 �, 5

�� �� ����� � � �3��" ��+ �3� 3�� ��"/� 3�� ��"/� &&&/ 3�� ��"� &� "/� � � �� ����

� � �

�����5�B���� ����� � ��/�! ��

� �, 5 , 5

�� �� ���� � � ��3� 3�� ��"/� 3�� ��"/� &&&/ 3�� ��"� &3�� " ��+ � "/� � � � �� �

� ��$ $3�� " � �������� ���� � ��� ,/� � � �

����! ���

� ��

���� ������� ���� � ��� ,/ �, � &3�� ��"�

�� � � � � ��

�� �/����� ��������/��$������ ������������ � �����������

$� �� [/�0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� �,"��

��������,� ��� � ��� � ��� � �"������ ������������ � ����������� �

�� �� ��� �� [��� �, � "&� 0

0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � �� � �� � � �5" �%�8/�

$ � � $� � ������!!�, � ��� ���� [� � [������!!�, � &� � � � 011 � � ��

�� � ��� /�������5"/��� $� ��� �� [��� �����!!�, � &� 0

0 � � �

@�� @

���������������������%�8/���� ��� ���/ �� ��" ,������ @/������!!�8������

��� � �

, 5 , 5����� $� ��� � &&& �� ��� �� [/� � � 0

0 ��

��������� ���� �� �������/��

, 5 , 5����� $

����� � ��� � &&& �� ��� �� [&� � � 0�� 0 ����

3�� /�����,"/��$������ ������������ � ��8������������� ���/������!!�8��������

$3��" � 3�� "/�� � 8����8 ���� �� ��������� &�U�

Page 60: Wandering in the World of Smarandache Numbers

3C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

B������ �� ��#&,&,/�8 �� �����/������� ������!�!�� � �

, 5 , 5

������3��" 3� � ���� � ���� &&& � ��" /� � ��� ����

��

8 ���� ������8��� ���!� ����� �, 5

, 5���

��� � �3� / ���3�� ��"/��� 3�� "/�� &&&/ � 3�� ��"/��� "�

� � � ���

8������ ���������!��! ���!!���8&�;�8 � �/�8 ���� � +�� ������������� �������!����� �&�����

����������5B���������� ������ �5/�3��"�I��&� ��

�����5� �� ��

3��"��I� ��$�������� ��$- ����� /���

�������/��� �]� ��$[&�*��� ����#&,/��� ������ ������������$[������� ��������! �����&�%�8/���� ��� �]� ��[��������� ����������� ���� �E�,"[/��� �� ��!����!!�8�&�U�

����

����������5� ���,/��5/�P/���� �������������� �&��� �/���

3��,��5�P��"�I���+^�,/��5/�P/��_&���

�����5*���� �� ��#&,&,/���

3��,��5�P��"�I���+^3��,"/�3��5"/�P/�3��"_&���

%�8/�8 �� ���� �� ��� ��� ��!���������� ����� ����#&,&,&�U�����

����������5� ���,���� �,������5���� �,�� ��8����� � ���8������,/��5"�I�,&��� �/���

3��,��5"�I���+^3��,"/�3��5"_&���

�����5� ���� �� �� � �������������,������5����� ��������� ������� ��������� �

, 5 �, , 5 �� ����� � ���� � ���� &&& � ��/�

� � ��� ����

��

, 5 �5 , 5 �� < ���� < ���� &&& < ��/�

/ / /� ����

��

8� � ��� ����� ���/��,/��5/�P/�������8 !!������ ����� ��<,/�<5/�P/�<���� ��!!��������&��� �/�

, 5 �, 5 �,� 5 , 5 � , 5 �� � ����� � ���� � ���� &&& � ���� < ���� < ���� &&& < ��&�

/ / /� � ��� ����

��

B���� ����� � ��/�! ���

� ��,� � � ,, � , �

������ ��� ���� � � ��3� 3�� ��"/� &&&/ 3�� ��"/� 3�< ��"/� &&&/ 3�< ��"� &3�� " ��+ � "/� � /� � /� �

�� �/������ �� ��#&,&,/��

,� 5 ,3�� � " 3�� " 3�� "&�� � � U�����

0����� ���� ���� <� � ����� ����#&,&#������ ���!!�8���&���

��������������5�� ���������3��"����������!���!����� &�

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 61: Wandering in the World of Smarandache Numbers

F= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�����������5� ���,/��5/�P/������ �,�� ����� � ���8������,/��5/�P/��"�I�,&��� �/���

3��,��5�P��"�I���+^3��,"/�3��5"/�P/�3��"_&���

����� 5 �� � ������ ��� ��� ��������� ��� &� �� � � ��!�� ��� ��� � ���� �I�5/� ��� ����� � ��� � � � � �� ����#&,&#&�3�/�8 ������ ��� ���!����������� �� ��!��������� �&�

������� ��� ���!����������� �� ��!�������Q�,/�! ���,/��5/�P/��/���Q�,�� ��Q�,���� � ���8���� ���

��,/��5/�P/��/���Q�,"�I�,&����

�� �/����� ����#&,&#/���� �� ��8������ ���������������� ���/�8 �� ����

3��,��5�P�����Q�,"�I���+^3��,��5�P��"/�3���Q�,"_���

I���+^3��,"/�3��5"/�P/�3��"/�3���Q�,"_&�; � ��� ��� �� �&�U�

����

B����� ����#&,&,/�� � ��

3��"�I��������������� ������ �5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �#&,&,"��� ��

K ���8�8������������ +�� �����������3��"��������� �5&���������/���������� �����/�������#&,&,"/�� � ���

������� ���[��������� ����������� ����E�,"[&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ��

�� � ��� /�5� ��5�"[ �[�� ,"�� 5"�&&&�W� �� ,"X�5�"/0 � � � � � � �� � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �#&,&5"�

��

����! ��!�/�5������� ������������ � ������������5�"[�����������! �����5&�0����/�

#� ��#�"[ �5�"[�5� ,"�5� 5"�&&&�W5� �� ,"X�#�"/0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �#&,&#"����

����#������� ������������ � ������������#�"[�����������! �����#&��

6������������ ������ �����E�,���� �/�8 �� ���������E�,"������� ������������ � �������������

� ,� �W�� ,"�X[ W�� 5"�X[W�� 5"� ,XW�� 5"� 5X�&&&�W�� 5"� �X 0 � � � � ���

W�� 5"�X[W�� 5"� ,XW�� 5"� 5X�&&&�W�� ,"�X&� � � � �� �� �� � � �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� �#&,&-"���

0��������������� ���� ���� /��� � � ��

� 5� ��� "[ W�� ,"�X[W�� ,"� ,XW�� ,"� 5X�&&&�W�� ,"� �X0 � � � � ����� � ���

5W�� ,"�X[W�� ,"� ,XW�� ,"� 5X�&&&��� "&� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �#&,&4"��

B�����#&,&4"/�8 �� �������

� , 5� ��� "[&� 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �#&,&."� � � � � � ����

3������C������ �� ��!�������#&,&5"�E��#&,&."/�8 ���� ��� ���!!�8����! ���&��� � � � � ���

����������5B����������� ������ �5/�;(>3��"�I��/����,��� �� ��� ��/�;<>3����

Q�

,"�I��5&����

*��������!���������!�����������! ���������� ����#&,&-/�8 ���� ��� ���!!�8����! ���&�

Page 62: Wandering in the World of Smarandache Numbers

F( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

����������5B����������� ������ �5/�� � �

;(>3����

Q�

Q�

,"�I��5�Q��/����,��� �� ��� ��/�;<>3��5���

Q�

,""�I�5�5&�� � ���

����������53��,��5"� ��� �3��,"� �3��5"������������ � ����,/��5���� �,&��

�����5� ���� �� �� � �������������,������5����� ��������� ������� ��������� �

, 5 �, 5 �, , 5 � , 5 �� � ���� � ���� &&& � ���� < ���� < ���� &&& < ���/�

/ / /� � �� , 5 � , 5

5 , 5 � , 5 � � ���� � ���� &&& � ��� � ���� � ���� &&& � ��/�2 2 2 3 3 3

� ������

8� � ��� ����� ���/��,/��5/�P/���/��� ����� ��<,/�<5/�P/�<�����8 !!������ ����� ���,/��5/�P/����� ��!!��������/� 8���� �,/� �5/� P/� ��� ��� �$J� /,/� /5/� P/� /�� ��� �$� 8���� ��� ! ���� �� � / � ��� �,J� 2,/� 25/� P/� 2�� ��� �$J� � � � � � � �3,/�35/�P/�3���� �$�8�������! ������ �3� ��� �,&��� �/�

, 5 �, , 5 5 � � , 5 ,� 5 , 5 � , 5 � , 5

�� �� � � ���������� � ��������� &&& � ���������� < ���� < ���� &&& < ��� � ���� � ���� &&& � ��&�

/ / /� � 2 � � 2 � � 2 3 3 3� ����

��

�� � ��� /������ �� ��#&,&,/���

� ��, , � � , , , 5 , � , � ,

���� �� �� �� ��� � � � �3�� � " ��+ �3�� ���������"/� &&&/ 3�� ���������"/� 3�< ��"/� &&&/ 3�< �"� 3�� ��"/� &&&/ 3�� �"� &/� � 2 � � 2 / 3 3

� ���

%�8/�������� ����#&,./�8 �� ���

� ��, ,� � � , , , 5 , , � � , � ,

,� � � ,, , � ,

����� ��� ���� �� ��� �� ��� � � �3�� � " ��+ �3�� ��"3�� �"/� &&&/ 3�� ��"3�� ��"/� 3�< ��"/ &&&/ 3�< �"/� 3�� �"/ &&&/ 3�� �"�

��� ��� ������������� � � �3�� "� ��+ �3�� ��"/� &&&/ 3�� ��"/� &&&/ 3�� ��

/� 2 � 2 / 3 3�

2 2 3� � �

, 5

��� �"/� &&&/ 3�� �"�

������������� 3�� "3�� "/

3

,8� � �8 ���� ��� ���� �����������3�� " ,/ ����� � �,�

�3�� "������!!�, � �&3� � ��"

�� �� � �

������! � ��� ������/���� �����/������������� ��/�3���"�I���+^�3��"/���_��� ���3��"&�U����

��������������5B���������� � ����,/��5���� �,/� , 5 , 5

, 5 , 5

3�� � " 3�� " 3�� "��� / � &

� � � �� �� � ��

�����5��!!�8��������� ���!!�8�������������� <��!��� ���������� ����#&F"�����

, 5 , 5 , , 5 , 5 5

, 5 , 5 , , 5 , 5 5

3�� � " 3�� " 3�� " 3�� " 3�� � " 3�� " 3�� " 3�� "& / � & &

� � � � � � � � � �� � � � � U

���

����������5B���������� � ����/������ �5/�������� ���Q��&�� � � � ���

�����5� ��������I�5�Q�0/���I�5�Q�*�8� � �0/�*���� �$��� ���� � ��/�8 �� �������

���I��5�Q�0"�5�Q�*"���� ���Q���I��5�Q�0"�5�Q�*"����������!�����0�Q�*�Q�0*���� �$/�8���������� ������������ � ���0/�*���� �$/�8���������� <��!�����������!��8� ��0��I��$��I��*&�U���

��������������5B���������� � ����,/��5���� �,/��

;(>3��,��5"� ��� �3��,"�Q� �3��5"���� �3��,"� �3��5"/����������,/��5���� �5/���

;<>3��,��5"� ��� �3��,"� �3��5"� ��� �3��,"�Q� �3��5"/�����,�I�,�����5�I�,&��

�����5��!!�8�������� ����#&,$������ ����#&,&./���� �� ��8����� ����#&,&F&�U�

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 63: Wandering in the World of Smarandache Numbers

F< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

?�< � � ��*�� �� �&�4�J���* �3�� � ���� ������������ ��� 3�������� � W,X/� �� � 3�������� � �������� ���� � �� � � ��!�����������&������� ��������� ��� ������8������� � ��!�C������/������� ���� �� ��� �� ���!!�8�����8������ �����&������

?�<�( ��/� ����&� 6�#/� ����4 ��� #��* �K; >��

��� � 3�������� � ���!� �������/� � ��� �� ��� 3G��"/� ������� �� ��� 3������ W#X/� ��� � ��� �� �����!!�8�&����

�����������������5B���������� � ����O�,/��� �3�������� ����!��������/�3G��"/�����

� �G3 ��" ��+ �� � �� / ��[ ��� - 011���� &����

� ��3G��"�I��$�������� ���� � ���$��O� �,&�

��

�� �/����: ���������#&5&,&,/��� ���!!�8�����8�������������� �������� ������

�,"� � � � � � � � ��$[������ ���/��

�5"� �����������������! �����[�����������Z��$&����

������������5B���������� � �����O� �,/�,� ��� �3G��"� ��� �3��"� ��� ��&��

�����5� ����

3��"�I��$/�3G��"�I���������� ���� � ����$��O� �,/��� �O� �,&���

�� �/����� �������������3G��"�����3��"/���

$ $ $�[� ��/���� �� [��� ����[� � [��� ���� �&0 0 � 011 � � �6! ��!�/�

,������ ��������� � �����O� �,� ��� � 3G��"� �O� �,&���

B���!!�/��� ������2��������������� ��� <��!��������� ����� ����#&F&��

0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&�U����

������������5B����������� ����O� �5/������������ � �����O� ��/���

3G��[�Q����E�,"["�I���E�,&���

�����5K���������

�[�I����E�,"[������Q�,"�P��/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � ���

8 �� ���������E�,"[������ ���[�Q����E�,"[J���� �� �/����E�,"[������ ���+�������� � ������������ �� � � � ��[�Q����E�,"[/���� ��[������ ���[������[��� ����������� ����E�,"[&�U�

� � ���

����������������5�� � <�������3G��"�I���E�,������������ ����� �������!������/�8� � ������������ &�

�����5*��� ����#&5&,&5/���I�[�Q����E�,"[��������!��������������� �O� ��&�U�

Page 64: Wandering in the World of Smarandache Numbers

F? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

������������5B���������� � ����/��� �O� �,/�3G���"�����+^�3G��"/�3G��"�_&��

�����5� ����

3G��"�I��$�������� ���� � ���$��O� �,&���

�� �/����� ��������/� ���

�$[��� ��� � �$[���� � ��� 3G���"� �O� ��$�I�3G��"&�U����

������������53G�����E�,"�P����E���Q�,""���������������� � ������������ 8�������O� ��� �O� �,&� ��

�����5��!!�8���������� ������ �����������

��[�[� ���� ,"�&&&��� � ,"[ �[&��� �"[

� 0 � � � � � �� U�

���

������������5B���������� � �����O� �,/��

G

5� 5/ ��� �5� #���������� ������3 ��5�"[��5� 5"["�

5� #/ ��� �5� #��������������

� � ��*� �� � �*�

��

�����5���5��Q�#�I������������ /��� ��! ��!�/��5��Q�5"������ ���5�"[��5��Q�5"[/�������

5��Q�#�I����� ����������� ��5�"[��5��Q�5"[�I����E�#"[����E�,"[&���

; � /����������� /�3G��5�"[���5��Q�5"["�I�5��Q�5&��

% +�/�! ��5��Q�#�� ��������� /����������� �O� �#&�K �8����������8�����/����������� ���

5��Q�#������ ���5�"[&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,"���

�����I�#/��� ���,"����������� �/���� �5��Q�#�I�#5������ ���5�"[�I�.[&�3�/�! ���� �O� �-&��

6�� �,���K� ��5��Q�#�I����������� �������� � �����������8�������R� ��� �O� �#&��

���������� /���Z��/�������� �8�� ��

��R��� ��� � ����O� �#���R� �#�� �R� �5��Q�#/��������������&���

; � /����������� ������������ � ���! ���������/������ � /��,"����������� �&��

6�� �5���K� ��5��Q�#�I��5�������� �������� � ������������� �O� �,,/��� �O� �4"&��

; � /��5�E�#�R�5�/����������

5��Q�#�I��5������ ���[���Q�,"���Q�5"��P���5�"��P����5�E�#"�I��5�"[&��

%�8/��������� �����,"/��5��Q�#"[������ ���5�"[��5��Q�5"[/����! ������� ������&�U����

������������5B���������� � �����O� �,/�3G��5��Q�,"[��5��Q�#"["���5���Q�5"&��

�����5*��� ����#&-/������������ � �����O� �,/��

5�� 5"� ��5� ,"[��� ���W5�� 5"X[ �5� #"[�W5�� 5"X� �5� ,"[��5� #"[&� 0 � � � � � � 011 � � ��������� ���� �� ��� ��� ��!�&�U����

�������������50������� ������� ���������3������W#X/���� �������� �/�� ����#&5&,&4���!������ �8���� <��!���������&�3�� � +���! ���� ���� ��� !�8���

�,"�3G�#[��4["�I�./�� � � � � � � � � �� � �5"�3G�4[��F["�I�1/�� � � � � � � � � � � � � � � � �� �#"�3G�F[��D["�I�,$/�� � � � � � � � � � �� �-"�3G�D[��,,["�I�,5/� ��

�4"�3G�,#[��,4["�I�,./��."�3G�,4[��,F["�I�,1/��F"�3G�,D[��5,["�I�55&�4�

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 65: Wandering in the World of Smarandache Numbers

F2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

?�<�< � � ��/� ��66���%� �� �4*8��� �*$ � � � ��; >� � 6 � � ��K; >��

��� ��������/��!! ���� �������� ����!��� ����3��"/����� �� ��� �����33��"/������ ��������� �����3������W#X&����

�����������������5B�������� �!����� ��+-�,/��"/��

� �33 �+" ��� �� � �� / �+ �[�� - ����� &�����

�� ����!����33�+"/����� �� ��� �����33G�+"/����� ��� �������!!�8���3������W#X"&����

�����������������5B�������� �!����� ��+-W,�/�"/��

33G�+"�I � ���+ �� � �� / ��[ +�- ����� &����

B����: ���������#&5&5&,�����: ���������#&5&5&5/�������! ����������

33�+"�I�����������!�����+-���E�,"[/�[5������������� � ��� �O� �5"/���

33G�+"�I��E�,����������!�����+-W��E�,"[/�[,������������� � ����O� �5"&���

K ��� ����� ��� ���!!�8����� ��!��/��� ����3������W#X&����

������������5B�������� �!����� ��+��O� �,/������������ � ����O� �,/��

3G

3

3G

3 �+" ,/ ����+ �[/ � ,"["3 �+"

3 �+"/ ���� ��+ � ,"[��������

� - ��*� �� �*�

����

������������5 3G!� +3 �+" ����+ &!� !� +

6 "� ������� � ��

��� �� �������� ��� � ����� �� ��� �� � � �� ���������� � ��� � ��/� ����� /�8 �� �� �� � ��������33��"/�8��������� ��� ���!� ����O� �,"/�� � �� ��[�E���E�,"[���� �&�3���!��!�/�8 �� ���� ���������33G��"/�8����������� ����� /�8��������� ��� ���!� ���� �O� �,"/�� � �� ��[�E���E�,"[���� �&�����

������������5B���������� � �����O� �,/�3��"� �O� �33G��"&� � � � ������5� ��

��

3��"�I��$/�33G��"�I���������� ���� � ����$��O� �,��������O� �,&����

�� �/����� �������������3��"�����33G��"/���

�$[� �O� � ����������O� � ��[� ��� � �$[� �O� � ��[&���

����/��$��O� ��/�8����8 ���� �� ��������� &�U����

�� �! ����� !�8������ �� ��8������ ���� �� � ����� �� ������!�����33G��"/���������� ����3������W#X&� � �

��

������������5�� �� �� �� �� , 3G

,��W3 ��"X

�� � ������ �� ������������!�������R�,&�

Page 66: Wandering in the World of Smarandache Numbers

F3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

?�? � � � ����#�44� �*�� ��*.�#���������� ����/�8 ���� ���� ����� ��� ������� �3�������� ���������3��"&����

�� ���!!�8������� �! ������� ��� ����0����� ��W5X&��

����������503���Q�,"�E�3��"0����������� �&��

�����5� ����Q�,�I��/�8� � �����F���������� &��� �/����� ����#&,&,������ ����#&D/��

3���Q�,"� �I� �3��"� �I� ��/�3��"�I�3���E�,"� �� � ,5 &�

�� � ��� /��

03���Q�,"�E�3��"0I�3���Q�,"�E�3��"�����E � ,5 I � ,

5� /�

8�������� ���� ����������!��!��� ���������������!��� �����!��� �"&�U����

����������5B����������� �����5���+ �/������������ � �����,/� ,

,

3�� " 3�� " /� �

�! �

�8���� <��!�����������!��8� ����I�5������I�,"&��

�����5*��6���!!����#&-/��

3��"�I����������� ���� � ������,&��

%�8/���� �������� �����"[/������!!�8��������

, Q, ,� ����"[�� ,"��� ��� �W�� ,"�X[�� ��3�� " �� ,"�&� �0 � � 0 � � � � ��� � ��� /�

,

, ,

3�� " �� ,"� 3�� " ��� ,� � � � �

� �

� �� � ! � ��

���������!���������R���Q�,/�8���������� �������������5�������������,/�8������ � + ������8� ����I�5�������I�,&������ �!��� ���� /��� �� !������������!���8���� <��!��������/�������� ���� ��� !�8���

5

5

3�5 " 3�5"- 5 &- 5 55

� � � �

; � /��� �������������! � &�U���

����������5B����������� �����5���+ �/�� ,

� ,�

3�� "!�� � $&�

�"�� �

����� 5*�� � ���� #&#&5/� �� � � <� � ��

�� ,

3�� "�

� �� ��

� ��� �����!�� � � ������ ���� ���� ���� � � �

����5���+ �&�3�� ��� �� <� � ��������� ������6���!!����#&5"/������!!�8���������������� �� ��&�%�8/���������5���+ �/���� ������7�R�$/���8 � �����!!/�8 ��������������� � ��%�R�,/����������

3�� " �8� � � ��� %&�

! 7 � �

����� ����!��� ���� �! ���&�U�

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 67: Wandering in the World of Smarandache Numbers

FF �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��������� ����� 5A�� �� ���� � �!� ���� �� 7�R�$/� ��8 � �� ���!!/� ��� ��� ������! � ��� ����� ������ � ����R�,����������

3��" &�

! 7 �

�����5A�� ������� �!����� ��7�R�$/�8 ����� ������� �����5&��� ����������� ����#&#&#����8��������� � ���������� � �����������

� � �

3�� " �8� � � ��� %&�

! 7 � ����� � �

�� � ��� /�����������I���/�8� � ������������ � ���������������%/�8 �� �������� ��� <��!��������� ����!!�������������� �&�U�

���

/0��)�������5B�����I�5/��� ��� ���� ���!� ������

3�5 "5� ������I�,/�5/�P/��� �

. # 1 1 1 ,$ 4 #- , , , , ,5,/ �,/� / � / � / � / � / � / � / �&&&�&�1 5 ,. 1 #5 - .- 1 ,51 ,. 54. ,51 4,5 ,51� � � � � � � ����

���

����/����� +���! /���� $&$4/7 � � �� ������������I�51/�8 �� ����

1

1

3��" 3�5 " 4 $&$4 &� ,515

� � ! � 7 �4�� � ���

/0��)�������50���!� ������ ����������6���!!����#&#&,������� �����0����� ��W5X&�������������������� �

3��" $&$4/�

� 7 !

8 ����� ������� �<���������� , , $&$4&3�<" <

� ! 7 � � �� ���� �<�I�5#�� �� ���� ������� &�%�8/�

! ����� ������� ������������R�<&��� �/�! ��������I��</�8 �� ��� � ��

3��" 3��<" � , $&$4&� �< �< <

� � � ! 7 � �4�����

�� ���!!�8����� ��!������� ����3�����������3���� �W-X/�8���� ����� �����8����������������&����

����������50�����!����������� � <��������

3��"�I��/��

8� � ����O� �5��������� ������ /��������� �������

��I��/��

8� � ����������� � ����������������� �����E�,"[&��

����� 56! ��!�/���I��/�8� � ������� �����E�,"[/������ ���[&� �� �� �/������ �� ������������ � ������������[�����������! �����&�; � /��

3��"�I��/��

����!��������� �! ���&�U�

Page 68: Wandering in the World of Smarandache Numbers

F1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�� ����������� ����#&#&-����8������/�3��"�I�������O� �5���������� "����������E�,"["���!������&����

/0��)�������53�� �������!����� ������ ����#&#&-��� ���� ��� !�8����

;(>� �� � <�������3��"�I�5�������!���� ���!�����/���� !�/���I�5&��

;<>� �� � <�������3��"�I�#������8����!������/���� !�/���I�#/�.&��

;?>� �� � <�������3��"�I�4�����-[�I�1���!������/���� !�/���I�4/�8� � ������������������-[&��

�� � �������!��������� ���I�4/�,$/�,4/�5$/�#$/�-$/�.$/�,5$&�4����

����������5�� ���!���!������������ � <�������3��"�I����� ��

;(>� ��I�,/�;<>��I�-/;?>���I��/�8� � ������ �5���������� &��

�����5K ������ ��� ����� !���� ��� ��8� �������������������� � �&��

6�� ��,"���K� ������� � �/����/���I�5�������� ���� � ������ �,&����������� /�

+ ,�� 5��� ����������� � [ [�� �� ,/�5/5� � � � ���

8� � ��� �!�������!���������!!�8���������� ����� ����#&D&��

����/���I�5�������I�-��� ��� ���!�� � ����� � ������������������ � <�������3��"�I��&��

6�� ��5"���K� �����������8��������� �4&��

B����/�8 ������ ���� ��� �8� �������������� &�� ����

��I����������� ���� � �����������8������R��&��

�� �/�! ��!��� �� �[ �[�� ,"�� 5"�&&&���"�� ��3��" � �&� 0 � � � � � ! �

% +�/�! ����I��5�������� ���� � ������#&�

���������� /�5 5� � �5�"[ �[�� ,"�� 5"�&&&��5�"�� ��3��" 5� � �&� 01 � � � � � ! ! �

����/����������� �������� � ������ ���!����������� � <�������3��"�I��&�0������ <� ��!�/������������ ���!���!���������3��"�I��������� ������������ &�B����� ����#&,&,/������������� ��������!�������� � <�������3��"�I��&�0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&�U�

���

��������� ����� 5 �� � <������� 3��"�I� �� ���� ��� ������� � ���� �� ��� ��!������/� ���� ������� � ����O� �,���+ �&�

�����5A�� ���� ���� � ����O� �,/�! ����� ������� ������������R�&��� �/���

3��"�I���+^3�"/�3��"_�I���+^3�"/��_�I��&� ���

����/���I����������!����������� � <�������3��"�I��&�3�� ��� � �������������� ����� ��������� ������� ��� ���� ������/��� �� ��!����!!�8�&�U����

�����������53�� � 3��" � ,/� �

� � � �����!!�8��������� � <������� 3��" �

� ���������!������

���� �O� �5&�

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 69: Wandering in the World of Smarandache Numbers

F0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�� ���!!�8����! ��������� ����0����� ��W4X&�����

����������5�� � <�������3��"�3���Q�,"�I������������!�����&��

�����56! ��!�/�� ��� ����������Q�,����� ������� &�3�/�! ���

, 5 �, 5 �� ����� � ���� � ���� &&& � ��/�� � ��

� ���� , 5 �, 5 �<���� , < ���� < ���� &&& < ����/ / //

� � �����

� � �� � � �� � ��������� ��� �� ���� �� �Q�,� ��� � ���� ��� �� ��� ���� � ������/� 8� � � �� � ���� �� � � � � � � � ��/��,/��5/�P/���������� ����� ��</�<,/�<5/�P/�<���� ��!!��������&� �� �� �/�! ������� ����� � ���

��

3��" 3�� "/ �3�� ," 3�< "&� /� � � ���

�� �/��� � <�������3��"3���Q�,"�I����� ���� ������� �

, 5 �, 5 ������ � ���� � ���� &&& � ��&�3�� "3�< "� /� � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,"�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �

*��� ����#&,#/� 3�< "/ � ����������! ����<&�����/��� �!&�&�&�����,"�����������! ����</�����<��� ����������� ��� ��&�&�&�����,"&������������������ ����!��� ���� �! ���&�U��

���

� ���� #&#&.� ���� �� ����� �� � <������� 3��"�3��� �Q� �,"��I� ��� ���� ��� ��!�����&� ;�8 � �/� �� ������������������ � ������8 ������ ���� � <���������

3��"�3���Q�,"�I��/�� �O� �5&���

��� ������������� ����������� ����#&#&./��� ����� � <�������� �� ��, 5 �

, 5 �

������ � ���� � ���� &&& � ��/�3�� "3�< "� /

� � ��� �

��

������ ������ ��� ��!�� ������� ����������� ����#&#&.�������!��� ����!��&�B��� +���! /�8� ���I�5/� � ��� �� �� � ������!� ��!������ ��I�,/� ����� �� ��!������ ��� ��I�,4� �8���� 3�,4"�I�4/� 3�,."�I�."&�0����/���I�5/�4/�1��� ���� ���!����������3��"�3���Q�,"�I�#���8����3�1"�I�-/�3�D"�I�."&�6��� ������������ ��I�� �-/� � ��� �� �� � ���� � ��!������� ��I�#/� F/� ,,/� 5#/� �� ������� � ��!������ ��� ��I�544D� �8���� � � �3�544D"�I�14#/�3�54.$"�I�,5"&�B����I�4/� ������������ ��� �� � �8������ ���!���������I�,D/�4D/� ������������ � ��!������� �� � �� I� F-/� 5-D/� .F-/� ,4F-� �8���� 3�F-"� I� #F/� 3�F4"� I� ,$/� 3�5-D"� I� 1#/� � � �3�54$"�I�,4/� 3�.F-"�I�##F/� 3�.F4"�I�,$/� 3�,4F-"�I�F1F/� 3�,4F4"�I�,$"&� B��� �I�./� ����� ���� ���!������� �� � ��I�,F/�-F/�F,/�FD/�1D/�,FD/�5#D/�#4D/� ���� ��I�,5,-� ��� �� ������� � ��!������ �8����3�,5,-"�I�.$F/�3�,5,4"�I�,5"&�6��� �������������I�F/���I�,#/�-,/�1#/�,#D/�,.F/�54,��� ���+����� ���!������� ���� �� I� ,-./� 4#1/� F#-/� ,#55/� ,#F,� �� � ��� � ���� � ��!������� �8���� 3�,-."� I� F#/� � � � �3�,-F"�I�,-/�3�4#1"�I�5.D/�3�4#D"�I�,-/�3�F#-"�I�#.F/�3�F#4"�I�,-/�3�,#55"�I�..,/�3�,#5#"�I�,-/�3�,#F,"�I�-4F/�3�,#F5"�I�5,"&�B����I�D/���I�,$F/�5.D/�5,1.��� ���� ���!������/���!���� ��������� �� ���� ������� � �8���� 3�5,1."�I� ,$D#/� 3�5,1F"�I� ,1"&� B��� �I� ,$/� ��� ��������� ��� �� � ���� ���!���������I�,-D/�,DD/�#-D/���������� ���!�����������I�,1F-��8����3�,1F-"�I�D#F/�3�,1F4"�I�5$"&�B����I�,,/���+����� ���!��������� ���I�-#/�,$D/�,#,/�,DF/�5.#/�#$F/�������� �������� ���!��������� � �� I� #.5/� ,1,-/� 5..,� �8���� 3�#.5"� I� ,1,/� 3�#.#"� I� 55/� 3�,1,-"� I� D$F/� 3�,1,4"� I� 55/� � � � � �3�5..,"�I�11F/� 3�5..5"�I�##"&� B��� �I�,#/� ��� � ���� � ��!������� �� � ��I�,$#/�,1,/�5##/�#,,/�#1D/����� �� � ������� � ��!������ ��� ��I�,141� �8����3�,141"�I�D5D/� 3�,14D"�I�5."&�6��� ��������� ��� � ��I�,F/� ����� ��!������� �� � ��I�.F/�5F,/�#F#/�1..� �8���� 3�1.."�I�-##/� 3�1.F"�I�#-"&� B��� �I�,D/� � � ���I�#F/�,,#/�,4,/�55F/�#FD/�,$15��� ���!��������8����3�,$15"�I�4-,/�3�,$1#"�I�#1"/����������I�#F/� ���I�F#/�-,$.��� ���!��������8����3�-,$."�I�5$4#/�3�-,$F"�I�F-"&�

Page 70: Wandering in the World of Smarandache Numbers

FC �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�� �����! �������� �� � ������������ "�� �� ������!�����3��"������������� � ����������������� ���� �� ������ � ��!�� � ��� ��&��� ���!!�8�����8��! ������� ��� ����0����� ��W5X&�

���

����������5�� �� �� ��� ,

,�3��"

�� � ������ �� ��&�

��

�����53�� ������ ����#&F"�3��"���� ��������!!��� ��� �,/������!!�8���������

� , � ,

, ,� � /3��" �

� �

� �

� 8 �� � ������

��� ��� ���������� �� ��� ,

,��

�� � ������ �� ��&�U�

����

����������5�� �� �� ���� ,

,�3�� "

�� � ������ �� ��/�8� � ��������� ���E�������� &�

�����5*��� ����#&,&,/��

� �� , �I,

, ,� � /3�� " �

� �

� 8 �� � ���

��� ��� �� �� ���� ,

,��

�� � ������ �� ����;���������K������W.X/��� �� ��,D"&�U�

����

��������� 5�� �� �� ��� ,

,�3�5�"

�� � ������ �� ��&�

�����5� ���������� ��� ���E�������� /����� ����#&,&5/�3�5��"�I���+^�5/����_�I���/���������� �

� �� , � , � ,

, , ,� � � &3�5�" 3�5� " �

� � �

� � �

8 � 8 �� � � U�����

����������5*������ �� �� ��� ,

3��"��

�� � ����

� ,

��3��"

�� � �� ���� �� ��&�

�����5� ���

��I���/��� ��� �,��8� � ��������� ���E�������� "&��� �/�

� � �

� � �

3�� " � �3��" �,/ � ,&� � � 3��" 3�� "

� � � � � �������

�� � ��� /�������� �� �� �� � �

�I, � ,� �

3�� " �� ����� �� 3�� "

� �

�� � � �� ���� �� ��&�; � /�

����

� �

� �� , , � , ,

3�� " �3��" �/� &� � 3��" 3�� "

� � � �

� � � �

8 8 � 8 8 �� � � � � U�

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 71: Wandering in the World of Smarandache Numbers

1= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

% +�/�8 ��� ����� �������� ��������� <������������!�����3��"�������� ��!�����!�������������%��� ���� ���/���������� ��������������������"������� �?�! �����������������"&��� � ��� ���� ������ ����#&#&,#�E�� ����#&#&,D&�������� ��� � �� ��!��/�8 �� ���� �� ��!���� !�8&�

����

�����������5� �����O� �5�� ������� � �&��� �/�

;(>� �B� ",

�� �

� �� ��������!����� ����������� �O� �,�����������O�5���+ �/�8����B�,"� �O� �,J�

��

;<>�,�A� "

� ,"�

� �� � �

� ��� �����!�� ��� ������ ����� �O� �5� ���� ���� ���O� �#� ��+ �/� A��"� ��� �����!��

��� ����������� �O� �#�8� ����� �I�� �5J���

;?>�,�� ,"�;� "

� ,"

��� �

� � �� ��� �����!�� ��� ������ ����� �O� �5� ���� ���� ���O� �#� ��+ �/� 8���� B�,"� �R� �,J�

;��"���������!����� ����������� �O� �#�������� �I�� �5/�8����B�5"� �I� �,� �I� �B�#"�8� ����� �I�� �5&���

�����5�� �� ��!������ ��������������I�5������ ���5"������#"���� ���!��� �� ���� �&�;(>�%�� ������

,� �B� ," B� "5 ,�� �

� � � 8 � �� � � �

���������!����� �� ����Q�,"�R���Q�5/���

8���������� ����������� �O� �,������������O� �5&���

;<>� ���������� /�,� �A� ," A� "� ,"� 5" � ,"

� �� � � 8 � �

� � � � � � � ���������!����� �� ���R���Q�5�

��

8���������� ����������� �O� �5������������O� �#&��

;?>� 3�� �,�� ,"� �� ,"�;� ," ;� "

� ,"� 5" � ,"

� �� �� � � 8 � �

� � � � � � � ���������!����� �� ����R���Q�5/�

�� �� ��!����!!�8������������ �O� �5������������O� �#&��

; � ��� �������������! � &�U�����

�����������5� �����O� �5�� ������� � �&��� �/��

;(>� �������O� �5/�;�> � 5,

��

� �� � ������� �O� �#/ ;,> � #

,�

8� �

� � ������� �O� �-/� � � � � � � � � �;#> � ,# ,

�8

� �� � � ������� �O� �-/�

;<>� �������O� �#/�;�> � #,

��

� �� � � ������� �O� �5/ ;,> � ,

- ,�

8� �

� � � ������� �O� �#/;#>�,� ,

� ,"�

8� � �

� � � ������� �O� �-/��

;?>� �������O� �4/�;�> � 5,

�8

� �� � � ������� �O� �,/�;,>�

,� 5� ,"

�8

� � �� � � ������� �O� �#/�

;2>� �������O� �F/�;�> � #,

�8

� �� � � ������� �O� �,/�;,>�

,� ,� ,"

�8

� � �� � � ������� �O� �5/�

;3>� �������O� �5/�;�>,�� ,"� ,

� ,"

���

� � �� � � ������� �O� �,/;,>

,��� ," ,� ,"

���

� � �� � � ������� �O� �,&�

Page 72: Wandering in the World of Smarandache Numbers

1( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

K ���8������ ���� �����! ��������������� ���!������������ � <�����������

3��"�Q����"�I��&�����

����

�� �����! ������� ������� � �����0���� ��W4X&�; � /�8 ���!!�8������� � ����������&� ���������

����

�����������5�� ���!����!������������ � <�����������

����

3��"�Q����"�I��&�����

����

�� ���I�1/�D&��

�����5� �/�������� ���� � ���/��

3��"�Q����"�I��&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �#&#&,"��

6! ��!�/���������������� /���� ������������� �� O 5/��

3��"�Q����"�I���� �Q�5�R��� �I� � ��&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��

����/��������� ���������� ����� �&�B����/�8 ������ ����� �������!����� �&�

6�� �,���K� ������������ ��������I���/�� O��5���������� /������5"&��

���������� /��� � <��������#&#&,"/���� �� ��8����6���!!����#&#�,"/�� �� ����

���I�3���"�Q�����"� ��� ����Q����Q�,"�I�����Q�,"�Q�,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �,"���

K� ����I�5/�������,"/��5� ��� �5��Q�#/�8���������� ���!������� ��� �#&��

%�8/�! ����I�5/����������,"��� ���� ������5�� ��� �#��Q�,/�8���������������������-������ ����#&#&,5"&���

% +�/�! ����I�#�����,"����� ��#�� ��� � �-��Q�,/�8���������������! ��������#������ ����#&#&,5"&�����/����������� /��� ���!��������! �������� �������#&#&,"������!����� ��� ���I�55/�5#/�#5&�

6� ����8������ � ���!� ������/�8 �� ��������

3�-"�Q���-"�I�-�Q�#�I�F�R�-�I��/�3�1"�Q���1"�I�-�Q�-�I�1�I��/� ���

3�D"�Q���D"�I�.�Q�#�I�D�I��&��

����/����������� /���I�1�������I�D��� ��8����!������������ � <��������#&#&,"&��

6�� �5���K� ������������ ��������I�5��/�� O��#���������� &��

���������� /�����������5"������#"����� ����#&#&,5/���

5���R����Q�5���Q�,"�O�3�5��"�Q���5��"������I�#���������5/�����������4���������,&���

%�8/�� ����8������I�5�#�I�./�8 �� ��������

3�."�Q���."�I�#�Q�-�I�F�R�.�I��&��

����/������������ ��������I�5���������� �����!����������� � <��������#&#&,"��� � �

%�8/����� �!�8������ �� � ��!��� /�! �� ��

, 5 , 5 � � ���� � ���� &&&� � ����� � < ��� /� � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �#&#&5"����

� ��� �� �� � ����������������� ����������������������� ���������/�</��,/��5/�P/��&� ���

� �/������ ����� � ��/��

3��"�I�3���"&��

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 73: Wandering in the World of Smarandache Numbers

1< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

%�8/������ �� ��$&,�����6���� ��$"/���

���"� �I� ���� �Q�,"�/ � �Q�,"��,��Q�,"��5� �Q�,"� �P������Q�,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �5"�� �

:�����������������������#&#&,"�������"/��������5"���� �� ��8����� ����#&F�������3���"� ��� � ���"/������� ����������/�Q�,���,/����Q�,���,������!!�,� ��� � ��� ��� � �/�8 �� ���� ���!!�8�������������� <��!��� ����

, 5 , 5

, 5 ,

� � �� �� � �� � ��� < � �,& & & �&&&� & , ,/

, , , , , , � ,"� ,"&&&� ," ,

� / � �� � �

� � � �� � / � � � � � � � � � / � � � � � � �

������

�������/���� ��� ������ � ������� ���/�8 �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � ��

, 5 , 5

, 5

� � �� �� � �� � ��� < & & �&&&� , ,&

, , , , ,

� /� � � �� � �� �� � / � � � � � � �� � �

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �#"�

6�� �#���K� ������������ ��������I����<//�������<��� ������������� �&��

���������� /��#"��� ���� �������

� < , ,&, ,

� /� �� �� � /� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-"��

; � ��!��/�8 ������ ����� �������!����� �&��

B����/�! ����I�5/�<���#&���

3�� � 5 ,,

�� �

� ������������,������ ����#&#&,,�,""/��-"���� �� < 5/,

/

�/ �

8���������������! ����

<�I�#�����/���5/�������<���4�����/���,������������5"������#"����� ����#&#&,5"&��

B�������-/��-"�8����� ����#&#&,5�,"���� � <# , ,/,

/� !� �/ � �

8���������������! ����<���#�����/���,&���

% +�/�! ����I�#/�<���#&���

K� ����I�,/��������� # # ,/, 5

� 8� �

� �-"���� �� < 5/,

/

!/ �

8���������������! ����<�I�5�����/���#/����

���<���4������/���,"&���

3�� � # #,

�� �

� ��������5������ ����#&#&,5�5""/��-"���� �� <# , ,/,

/� �� �/ � �

8���������������! �

���<�I�5�����/���5��8���������� <��!���������8� ��<�I�5/�/�I�5�������I�5"/�������<���4�����/���,&���

�����!�/�! ������4/�<���4&��

��� ����� �� /� ��� � � 5��������� ,,

8 � �� �

� ���� � ���� #&#&,5�#""/� �-"� ��� �� <5 , ,/,

/� !� �/ � �

8���������������! ����<�I�5�����/���5/�������<���#�����/���,&����

����/����������� /��� ���!��������! �������� �������#&#&,"������!����� ��� ��

��I�#&55/�#&5#/�#5&55/�5��&��

�� ��� ���I�5�������� ��� ���� �����6�� �5&�6� ����8������ ���� ����!� ������/�8 �� ������

Page 74: Wandering in the World of Smarandache Numbers

1? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

3�,5"�Q���,5"�I�-�Q�.�I�,$�Z�,5�I��/�3�5-"�Q���5-"�I�-�Q�1�I�,5�Z�5-�I��/���

3�#."�Q���#."�I�.�Q�D�I�,4�Z�#.�I��&��

; � /��� � ���������!����������#&#&,"������ ��������I����</&��

%�8/�8 ������ �������� ����������#"�8�������,&�B�����#"/�8 �� ���

, 5 , 5

, 5

� � �� �� � �� � ��< �&� �&� �&&&� 5/

, , , ,

/� � �

!/ � � � � � � �

��

8� � /� 8������� !���� ��� � � ��!���/� 8 � ���� ����� � ����� ����� 4� ���� �!!� ,� ��� � ��� ��� � �&� *��� �� �/� ��� �� ����#&#&,5/�8 ���� ��������������&�U�� � ����

����� ����������� ����#&#&,#����� /�8 ����� ����� &��� ���� ��������C ��� !�8&���

��������������5�� �����"�� ��� ����������������&��� �/��

;(>� �� � <�������3��"�Q����"�I��������� ���!����!���������I�1/�DJ��

;<>� �� ��� <��!����3��"�Q����"�R��������� ���!���������I�,/�-/�./��J��

;?>� 3��"�Q����"�Z�������������� � ������,/�-/�./�1/�D/��&�����

����

����

�� ���!!�8����! ��������� ����=��������WFX&���������

�����������5�� ���!����!������������ � <������� �����

����

3��"�I����"� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �#&#&#"���������

�� ���I�,/�1/�D/�,5&�����

�����56! ��!�/��� � <��������#&#&#"��������������� ���!�����/���� ������������� ����O� �5/���

3��"�I���R���E�,�I����"&� ����

����/�������!������������#&#&#"������� ���������� ����� �&�3�/�! ���

, 5 , 5 <���� ��� � ���� � ���� &&&� � ����� � �� /

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �#&#&5"���

� ��� �� �� � ����������������� ����������������������� ���������/�</��,/��5/�P/��&� �� �/������ ����� � ��/�

3��"�I�3���"&���

%�8/������ �� ��$&4�����6���� ��$"/����"������!���!����� /����������#&#&#"����� �8���� ������

, 5 ,, 5

� ��� ���� ," �� ���� � ���� &&&� � ��"� �< "�� �� / �� � �

�� � � � � �� �

, 5 , 5

� ��� � � 5/�� ���� � ���� &&&� � ��"�� �< "� � ,/

� � �� ��� �

���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �,"�

��

8���������������! �������,/���� ������������ �, 5 5

, 5

� ����� ���� � ���� &&&� � ��"��< "� 5 &/� � �

�� � ���

����/�������!����������� � <��������#&#&#"����� � ��� ������� ��8����������I����������I����</&�

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 75: Wandering in the World of Smarandache Numbers

12 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

K ���8������ ���� � ��8���������!��� ��� !�8&��

6�� �,���K� ������������ ��������I���������5"&��

���������� /���� �����/������I�5/��� ����

��5�"���5��

E�

,�R�5����3�5�"��������4/���

�����������#/�����#/��� ����

����"������

E�

,����E�,"���5���

E�

,�R������3���"&���

����/����������� /��� ���!��������! �������� �������#&#&#"������!����� ��� ���

��I�55/�5#/�5-/�#5&��

6� ����8������ � ���!� ������/�8 �� �������

3�-"�I�-�R�5�I���-"/�3�1"�I�-�I���1"/�3�,."�I�.�Z�1�I���1"/�3�D"�I�.�I���D"&��

����/����������� /��� � ��� ��8����!������/���� !�/���I�-/�D&���

6�� �5���K� ������������ ��������I����</&��

���������� /�������,"/�8 �� ���

��< " 5��� ��� �< " 5��� ��� ,/ �� 5/�< #&� ,

/ /� � � � � � � / � � �

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

K������I�#&5�/��#&#&#"��� ���� ��������

��#&5�"���5��I�3�#&5�"�I���+^3�5�"/�3�#"_�I�3�#&5�"/���

8������ ���!��������I�5&� �; � /���I�,5������ ���!����!���������������� /�8����

��

3�,5"�I�-�I���,5"&���

0!!��� � � ����!������ �! ���&�U�����

�� ���!!�8������� �! ������� ��� ����a��a����W1X&�����

��������

�����������5�� ���!����!������������ � <�������3��5"�I����"��� ���I�,/�5-/�4$&�����

����

����

�����������5�� ���!����!������������ � <�������3��#"�I����"��� ���I�,/�-1/�D1&�����

����

����

�����������5�� ���!����!����������� � <�������3��-"�I����"������I�,&���������

��������

�� ���!!�8����� ��!������� �� ����!��� ����� ������� �WDX&�����

����

�����������5�� ���!����!����������� � <�������3���Q��5�Q�P�Q���"�I����"3�,"3�5"�P�3��"�����

�����I�,&�����

��������

����

K �����:��������a�������b� �W,$X���� � ����!��� ���� ���!!�8����� ��!�&�����

��������

���������� 5�� ���!����!������������ � <�������3�,"�Q�3�5"�Q�P�Q�3��"�I��� ��� ,"5� "�

����

�� ���I�,/�,$&�

Page 76: Wandering in the World of Smarandache Numbers

13 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

����������50�� ���������������� ������������������� � <������� ���

W3��"X5�Q�3��"�I��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �#&#&-"���

���� �� ������!������������� ���� � �����O�,������O�,/� ��� ����� �� ���!!�8���� <���������������!��������

��� ,"3� " ��

� ������� ���� � �����O�,������O�,&��

�����53�!������� � <������� ���

W3��"X5�Q�3��"�E���I�$� ��

����������� �3��"/�8 �� ���

,53��" � , -� ,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �#&#&4"�

��

����/���� �������������������������� � <��������#&#&-"���������!�������������/�������������� ����������,�Q�-�������� �� ���<��� &�� ����

,�Q�-��I�+5�������� ���� � ��+�O�,&��� �/�

-��I�+5�E�,�I��+�E�,"�+�Q�,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �,"���

3�� �+�E�,�����+�Q�,������� ���� �������/�������,"/�������� � � �&�� ������+�E�,�I�5�/�������,"/�

-��I��5�"&�5��Q�5"� � ��� � � ��� ,"� &�

� �

B���!!�/�8 �� ��������#&#&5"/���

��� ,"3� " �&�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �#&#&."������

6��� �� !�/� ��� ,"��

� � ������� ���� � <��������#&#&-"/����������8��� !�8����

W3��"X5�Q�3��"�I��5�Q���I�����Q�,"�I��&��

0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&�U����

�����������5B���������� � ���O�5���+ �/��� � <���������

��� ,"3� " ��

� ���

�������������� ����� �������!������&��

�����5A�� ���� ���� � ���O�5/�! ����� ������� ������ �������

��I���E�,/���O�,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,"�

*��� ����#&F/� � , � ,3� " �/ � �

� ! � ������������ ����#&,&#/��

��� ," � ,3� " ��+^3��"/ �3� "_ 3��" �& � �

� � � ������

��������8���������I����������!����������� ���� �� <������&�%�8/���� ��� � ��� ����������� ����� ��������� ������� �������,"/��� �! ����������� �&�U�

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 77: Wandering in the World of Smarandache Numbers

1F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�����������5?<��������#&#&."��!!�8��������������� ���!������������ � <��������#&#&-"���������������!�����!� ����/������� ������ ����#&#&5,&�

;(>�K� ���I�,/��� ���!�����������#&#&-"��� ���

��I�����Q�,"/�8� � ���O�4���������� &���

K� ����O��4/���Q�,�O� �.������������� ����� �/������������ ����#&D/�� ,3�� ," �&5�

� � ! �

%�8/���� ���/���Q�,"�I�,/����� ����#&,&#/���

3�����Q�,""�I���+^�3��"/�3���Q�,"�_�I�3��"�I��&���

;<>�K� ���I�5/�� ��� ���� �������!���!��������I�,/���� ����!�����������#&#&-"��� ���

��� ,"�5�

� /�8� � ���O�#���������� &���

��� ������!��/� ���� � �� � �� �� ���� �� ��I�5��5��Q�

,�E�,"� ��� �!��� �� ��!������ ��� �#&#&-"/�8� � ���O�,���������� � �����������5��Q�

,�E�,�������� �������������� ���

3�5�"���5��Z�5��Q�

,�E�,� � ��� � � 3��"�I���+^�3�5�"/�3�5��Q�

,�E�,"�_�I�5��Q�

,�E�,&�����

;?>�K� ���I�4/���I�-��������!����������#&#&."/�������I�-��������!����������#&#&-"/�� ��� ���� ���!���������� ������ ����#&#&5,&�

����

B�!!�8���������� � ����������/��� ����� �� ��!������ ��!���� �����������(�����6� ������ ������� �W,,X�

���

�� � 3�������� � � �� �� ���� �� ���� �� � ���! � !�� 3�������� � � �� �� ���� �� �� �� ��� �������!!�8�&�����

���������������5A�� �������� � �����O� �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

;(>������!! �� �������������������������!����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� �I

�� ,3�� "

�� &� � � � � � � � � � � � � � � � � �

8� � ��,� �S� �,/��5/�P/����� ��� ����� ���������������&��

;<>������!! ����������� �������������������������!����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� �I� � ��

3��"/%� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

8� � ��� ���������� ���!!��������������������!�������"&�����

�����������5�� ���������� ������� �W,5X/�8������ ������������������3�,"�I�$/����8��������� ���!��3�������� �� �� ������ ������� �I� �,5&�A������W,#X��������8������/���� ���� ���������� 3�,"� � I� � $/� �!!� ���! � !�� 3�������� � � �� �� ���� ��� �� � ��I��/� D/� ,./� 5-&�;�8 � �/��� ������������������ � ������3�,"�I�,&�

���

�� �3�������� �� �� ������ ������� �� ����! � !��3�������� �� �� ������ ����� ���� ������ ����#&#&55������ ����#&#&5#�� �� ��� !�&�

Page 78: Wandering in the World of Smarandache Numbers

11 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����������5�� ���!��3�������� �� �� ������ ����� ���I�,/�.&��

�����5� ����� ����3�������� �� �� ������ �/��������/����: ���������#&#&,/���

�� �, � �

� 3��"&%1

� !

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��#&#&F"�

6! ��!�/�������� ��������!����������#&#&F"&�0!��/���� �����/�������������� ��������I���������5"/��� ���� ����� ������������������ �,/��/��5/�P/���E,/�8����3�,"�I�,/� ��� ����� �� � �&�&�&���� �#&#&F"� ��� �����������! �����/�8��! �������� ���� �!&�&�&�����/��� � ���������!����������� ��������I���&�

*��� ����#&1/� ���� ������������������/�3��"���3��"/�8���� ������ �� <��!���� ����� ������� ! ���� �� �������������&��� � ��� /�������#&#&F"/�8 �� ��

�� ��, � �

� 3��" W���" ,X3��"��� �����Z����"3��"&%

� !

� ! �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,"�

����/�������!������������#&#&F"���������������� ��� <��!��� ������,"&�K ������������ ����� �������!����� �&�

6�� �,���K� ������������ ��������I��</�������<��� ����� ��8����<�R��&��

���������� /����"�I�-/�������/�������,"�8 �� ����

� �< #<��� ���� 5&� ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

%�8/������I�5/��� ����

�� ��, � �

3��" 3�," 3��" 3�<" , � < # < � 5<��� ���< #&%

� !

� � � � � � � � � � � �� �

��

����/����������� /���I�5�#�I�.������ ���!����!����������� � <��������#&#&F"&��

6�� �5���K� ������������ ��������I�5��</�����5/�<���#���������� &��

B����/�! ��3��"�I�3�5�"&�3�� ����"�I�5���Q�,"/�������,"/�8 �� ���

5 5� 5 < 5� ,"3�5 " 5 � ,"��� ���5 < � ,"/� � �� ! � � � � � � � ! � � � ��

8���������������! ������"�<�I�#���������./����������"�<�I�4���������-/�����������"�<���F���������5&��

����/��� �������! �������� �������� � <��������#&#&F"������!����� ��� � ��

��I�#&5�/�5�������4J����I�4&5#�������� � +!�� ����� �3�4&5#"���3�5#""&���

*��/�8� ����I�55</� 5

�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�5 " 3�<" 3�5<" , 5 - < < F 5<J%

� !

� � � � � � � � � � � �� �

��

8� ����I�5#</� 5 # 5

�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�5 " 3�5 " 3�<" 3�5<" 3�5 <" ,4 5<J%

� !

� � � � � � � � �� �

������I�5-</� 5 # - 5 #

�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�5 " 3�5 " 3�5 " 3�<" 3�5<" 3�5 <" 3�5 <" 54 5<J%

� !

� � � � � � � � � � �� �

������I�54</� 5 # - 4 5 # -

�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�5 " 3�5 " 3�5 " 3�5 " 3�<" 3�5<" 3�5 <" 3�5 <" 3�5 <" #D 5<J%

� !

� � � � � � � � � � � � �� �

��

�������/���� ����� /��� �� �������� �����������#&#&F"�������/�8��! ������ � �&��

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 79: Wandering in the World of Smarandache Numbers

10 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

% +�/�! ��3��"�I�<&��� �/�������,"/�8 �� ����

,� 5 < 5� ,"<��� ���5 ,/� �� ! � � � ! � � ���

8�������������! ���!��������I�5/�������/���I�55</�8���������������!����������#&#&F"���������<���#&��

����/��� � ���������!����������� � <��������#&#&F"������ ��������I�5��<&���

6�� �#���K� ������������ ��������I����</������,/�/���,/��/���5"&��

� ��3��"�I�3���"&�%�8/���� ����"�I����Q�,"�/�Q�,"/��,"��� ���� ��������

,� <� � < � ,"� ,"3�� " � ,"� ," ���� ��� & ,&� ," ,

� /� / �� ! � � / � � � � / � � � !

� � � / �� � � � � � � � � �� � �5"�

%�8/���� �,� ,

� ,"

8� � �

� ��������F���������5/��5"���� ��������! ���������F/�<����/�����5�����/���,�

����������-"����� ����#&#&,5"&�����/������������� ������� ������� ����� ����I�5/�#/�4���!�&��

B����/�! ����I�5����������<���#/�����/���5"&��� �/��5"�� ������� ��

, <5 & ,&� ," ,

/�!

� � � / �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �#"�

3�� � < #,

/

�/ �

� ��� <���#� ����/���5/� �#"� ��� ��,#&5 ,/

� ,"�

!� � �

� 8���� ��� ��������! � ���� ��������,�

����� ����#&#&,5�4""&�����/����������� /��#&#&F"����������!����������6�� �5����� "&���

% +�/�! ����I�#/���������������5"� ��

, <# & ,&� ," ,

/�!

� � � / �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-"�

���<���4�����/���,���������� < 5,

/

8/ �

"/��-"���� ��,5&# ,/

� ,"�

!� � �

� 8���������������! �������������,�

����� ����#&#&,5�4""J� ���<�I�5�����/���#���������� 5 5,

/�

/ �"/�������-"/�

,5&# ,/� ,"

�!

� � �� 8�������

��������! �������������,&� �� �� �/�������-"/�,# ,/

� ,"�

!� � �

� 8���������������! ���������-&���

����/��� ���!��������! �������� �������#&#&F"������!����� ��� ���I�5&#�/�55&#��8����5�������#&��

K� ��� 5&# /�� 5 ,

�� ��, � � ,

5

, ,

3��" 3�," 3�5" 3�#" �&&&� 3�# " 3�5&#" 3�5&# " �&&&� 3�5&# "

�������������� , 5 �#" �#" #� ,"/

� �

%� ! � �

� �

� � � � � � � � �

� � � � � � �

� ��

������ � <�������#��5�Q�,"�I�5&#�����������!��������������5&�0���8� ����I�55&#�/��

5 5 5 ,

�� ��, � � ,

, 5

3��" 3�," 3�5" 3�5 " 3�#" �&&&� 3�# " 3�5&#" �&&&� 3�5&# " 3�5 &#" �&&&� 3�5 &# "

�������������� , 5 - 5 �#" - �#"/

� � �

%� ! � �

� �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � �

� ��

8������������������! ����#&� �

Page 80: Wandering in the World of Smarandache Numbers

1C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

B���!!�/�! ����I�4/����������5"��� ���� ������, <4 & ,&

� ," ,

/�!

� � � / �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4"�

��� <���F� ����/���,/� �� �� ��� � < #/,

/

8/ �

� �4"� ��� ��,#&4 ,/

� ,"�

!� � �

� 8���� ��� ��������! � ���� ���� � �

����,J� ���<�I�5�����/���#� ���� ����� 5 5,

/�

/ �"/� �� ��������4"/�

,5&4 ,/� ,"

�!

� � �� 8���� ��� ��������! �

���� ���� ���� ,J� ��� <�I� #� ���� / ��� 5/� �� �� ��� � # #/,

/�

/ �� ����� �4"/�

,#&4 ,/� ,"

�!

� � �� 8���� ���

��������! �������������,&�0!��/�������4"/�,4 ,/

� ,"�

!� � �

� 8���������������! ���������#&���

����/����������� /��� ���!��������! �������� �������#&#&F"������!����� ��� ���I�#&45/�5&45/�55&45&��

%�� /���8 � �/��������I�#&45����!�� ���� ��� <��!�����4"/���� � 4 #& ,&. 5

8 ���

%�8/�8� ����I�5&45/� 5

�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�4" 3�4 " 3�5&4" , 5 4 ,$ 4 5#J%

� !

� � � � � � � � � � �� �

������I�55&45/� 5 5 5 5

�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�5 " 3�4" 3�4 " 3�5&4" 3�5 &4" 3�5&4 " -5&%

� !

� � � � � � � � �� ��

����/��� � ���������!����������#&#&F"������ ��������I����</&��

%�8/�8 ������ ���� �� � ��!��� &�3�/�! �� ��

, 5 , 5 <���� ��� � ���� � ���� &&&� � ����� � �� /

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � ���

� ��� �� �� � ����������������� ����������������������� ���������/�</��/��,/��5/�P/�������,"&� ��

� �/������ ����� � ��/�3��"�I�3���"&��� �/�������,"/�8 �� ���

��Z����"3��" ���"3�� "��� �

, 5 , 5

, 5

� � �� �� � �� � ��� <��� & & & �&&&� 3�� " �&

, , , , ,

� /�

� � �� ! � �

� � / � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �."�

%�8/������I�5/�8�������!�������� � ��!���/�<���4/���������."��� ���� ������, 5 , 5

, 5

� � �� �� � �� � ��5 &� �&� �&&&� ,/

� ," , , ,

�� � �

!� � � � � � � � �

��

8���������������! &�)���� ���� ������/������I�#/�8����<���4/��."��� ���� ������, 5 ,, 5

, 5

� � �� �� � �� � ��5&# &� �&� �&&&� ,/

� ," , , ,

�� � �

!� � � � � � � � �

8��������!�����������! &� �0!!��� � ����8��������I�,/�.��� ��� ���!����!�����������#&#&F"/�8����8 ���� �� ��������� &�U�

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 81: Wandering in the World of Smarandache Numbers

0= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�����������5�� ���!�����! � !��3�������� �� �� ������ ����� ���I�,/�51&��

�����5� ����� ������! � !��3�������� �� �� ������ �/��������/����: ���������#&#&,/���

�� ��, � �

� 3��"&%

� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��#&#&1"�

��

6! ��!�/� ��� ���� � ��� �� ��!������ ��� �#&#&1"&�����/� ���� ��!������ ��� �#&#&1"������ � � �� ������� ����� �&�

���������� /�������!����������#&#&1"���������������� ���!!�8�����������������

�� ��, � �

� 3��" ���"3��"&%

� �

� !� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,"�

��

K ���� ��!� ����������� ����������� ����#&#&55/������ ������� ���!!�8������ �����

6�� �,���K� ������������ ��������I���������5"&��

���������� /���8 � �/��� � ���������!����������� � <��������#&#&1"&��

6�� �5���K� ������������ ��������I��<�8����<����&��

���������� /� ��

�� ��, � �

3��" 3�," 3��" 3�<" 3��<" , � < < , � 5</%

� �

� � � � � � � � � � �� �

��

8�������������!�������I�5&�*��/��� ����

�� ��, � �

3��" # 5<R5<&%

� �

� �� �

����/��� � ���������!���������������� &��

6�� �#���K� ������������ ��������I�5��</�<���#/�����5&��

0�������� ����� 3��"�I�3�5�"/� �� � ������! � ������� �� ���� �� � <������� �#&#&1"� ��� ��!�� ��� � �� � � � ���I�#&55/�#&5#&��

*��/�8� ����I�55</��� ������������ �,/�5/�55/�</�5<�����55</������������

5 5

�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�5 " 3�<" 3�5<" 3�5 <" , 5 - < < - ,, 5</%

� �

� � � � � � � � � � � � � �� �

��

8����������&� ��

0����/�8� ����I�5#</��� ������������ �,/�5/�55/�5#/�</�5</�55<�����5#</��������� ��

��

5 # 5 #

�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�5 " 3�5 " 3�<" 3�5<" 3�5 <" 3�5 <"

�������������� , 5 - - < < - - ,D 5</%

� �

� � � � � � � �

� � � � � � � � � �

��

8����������&��

% +�/���������������3��"�I�</�������������5/�8 �� ��������,"/����

,� 5 < 5� ,"<��� ���5 ,/� �� ! � � � ! � � ���

8�������������! ���!��������I�5/�������/���I�55<&�%�8/���� �

Page 82: Wandering in the World of Smarandache Numbers

0( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

5 5

�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�5 " 3�<" 3�5<" 3�5 <" , 5 - < < < F #</%

� �

� � � � � � � � � � � � � �� �

8 �� ������5

�� ��, � �

3��" F #< 5 <��� ���< F&%

� �

� � � � �� �

����/����������� /���I�55&F�I�51������ ���!����!����������� � <��������#&#&1"&���

6�� �-���K� ������������ ��������I����</&��

� ������3��"�I�3���"�8������I�#/��� ���!��������! �������� �������#&#&1"������!����� ��� ���

��I�5&#�/�55&#��8����5�������#&��

K� ����I�5&#�/��

5 5

,

�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�#" 3�# " �&&&� 3�# " 3�5&#" 3�5&# " �&&&� 3�5&# "

�������������� , 5 5 �#"

� �

%� !

� � � � � � � � � �

� � �

��

5

� ,", 5 5&#5

#� ,"/

� � �� � �

� � � � ��

������ � <�������#��5�Q���Q�,"�I�5&#�����������!��������������5&��

0����/�8� ����I�55&#�/� ��

5 5

5 5 5 5 5�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�5 " 3�#" 3�# " �&&&� 3�# "

����������������� 3�5&#" 3�5&# " �&&&� 3�5&# " 3�5 &#" 3�5 &# " �&&&� 3�5 &# "

� �%

� !

� � � � � � �

� � � � � � � �

� ����

, 5, 5 - 5 �#" - �#"/

� �

� �

� � � � � �� � �

8������������������! ����#&��

K� ����I�4/��� ���!��������! �������� �������,"������!����� ��� ���I�4&55/�5&45/�55&45&��

*��/�8� ����I�5&45/� 5 5

�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�4" 3�4 " 3�5&4" 3�5&4 " ##J%

� �

� � � � � � �� �

����8� ����I�55&45/���

5 5 5 5 5 5

�� ��, � �

3��" 3�," 3�5" 3�5 " 3�4" 3�4 " 3�5&4" 3�5 &4" 3�5&4 " 3�5 &4 " 45&%

� !

� � � � � � � � � �� �

����� �� � ��!��� �8� � , 5 , 5 <���� ��� � ���� � ���� &&&� � ���� 8���� ,/� � �� /

� � ������!���������!����������������� ������ ����������� ����#&#&55����8��������� � <��������#&#&1"����������!�����&� �0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&�U�

����

�� ���!!�8����� ��!������� ����0����� ��W5X&�; � /�8 ���� �������!��� �������&��

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 83: Wandering in the World of Smarandache Numbers

0< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�����������5A�� ���� ��� ���� ���!� ������� �3�������� ����������

3�,"�I�,/�3�5"�I�5/�3�#"�I�#/�'�-"�I�-/�3�4"�I�-/�3�."�I�#/�3�F"�I�F/�3�1"�I�-/�P/��

�� ����� �������������� ��������� ��������� ���!� ������� ���!!�8����8������

��I�$&,5#-4#F-P�&��

�� �/��� ����� ����������������!&��

�����5�� ������������������������&�� �/������ ��������/���� ����������!����� �&��� �/��������� ���������/��������������� ���� �������������� � ���������� ����� �������� �/��������/��������� ������

��I�$&,5#-4#F-��P���,�5��P�����,�5��P����P�&���

� ��%�� ��� ���� � �����������3�%"�I��,�5��P����/�,�������&�*��� ����#&,5/� ��

3���,�5��P����"["�I��,�5��P����/��

���� ��,�5� �P� ���"[� ��� �� � ��+����� ���� ���� �� ���� ����/� ���� ���� ��� � �� ��R� ��,�5� �P� ���"[/� � � � � �3��"����,�5��P����"&�����/� �� � ������� �,�5��P����� ��� �� ������ � � ��� ������� !�� ��� �&������ ! ���� ��� �������������/�������� <� ��!�/���������������!&�U�

��

�� ���!!�8����! ���/����������� +��������!�������� ����� ��������� ��! ����������� <��!������� ����� � ��%���-/������ ����3 ���!!�W,-X&�

��

����������� 5A�� ������ ��� � ��%���-/� �� ����� ��������� �� ! ��� �������� <��!� ���%/�� ��� �����9�%"/�����

%

� 5

3��"�%" � ,/��

# $9 � % &' (� ����

8� � �W+X�� ��� ���� ��� �� ������ � ��! ����������� <��!����+&��

�����5*��� ����#&#&4������ ����#&F/��

,/ ��� �� -���������������� 3��"� $/ ��� �8�� ���������������������

��*# $ � �% &' ( *�����

��

����/������ ����� ����/������� ��������� ��,/���� �������� ������������� ����,&�3�� ���I�-������������ /���������������������� ������������ �� ��� �&�U�

����

�� ��� ������ ����#&#&54����� � +� �� ������������� +��������!�������� ����� ������8������� ��! ����������� <��!��������� ����� � ��%���#&�( �!!�����/���������Q�5��� ��!! ���8������� ������������������Q�5��� ����� �&�3�� ������ ��8������� ��������� ��#/�4"/��4/�F"/��,,/�,#"/��,F/�,D"/��5D/�#,"������-,/�-#"&�0������!������� ���������8������� � ���! �W,4X����������� ����� ������8������� ��! ����������� <��!��������� ����� � ��%���#&������ ���!!�8����! ���/�8 �� ����� ��� ������!������������� ������&���

�����������5A�� ��������� � ��%���#/��� ����� ������8������� ��! ����������� <��!����%/�� ��� �����95�%"/������

% 5

5� #

3��" 3�� 5"�%" � & ��W+X�� ��� ���� ��� �� ������ � ������ + �����+"&� � 5

�# $9 � % &�' (� ����

��

Page 84: Wandering in the World of Smarandache Numbers

0? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����5*��� ����#&#&4������ ����#&F/���

,/ ����������������� 5��� ����� �3��" 3�� 5"&� � 5 $/ ��� �8�� ������������������������������

��� *# $ � �% &�' ( *�����

����/������ ����/����������������������������,��� ����!����������8������� �����&�U����

3�� ���������8������/��� ��������8������� ����������� �� <� � �����8������� ������#/�4"/�������� ������! ����������� ��������������I�#J�������������������!!�� +!�� ���� ��� ���I�-&�

���

�� ��� ����� +� �� ������� ������� ���!!�8����! ���/��� ���� � ���! �W,4X&���

����� ������ 5A�� �� ���� ��� � �� %���#/� �� � ���� �� ��� ���� � ������ ��/� ���Q�5"� �8� � � � � � ����,�������� �E��� ��� ����� � �"�! ����������� <��!����%/�� ��� �����95�%"/������

% 5

5� #

3��" 3�� 5"�%" � & /� � 5

�# $9 � % &�' (� ����

��

�8� � �W+X�� ��� ���� ��� �� ������ � ��! ����������� <��!����+"&����

0���8 ���� +� ������!!������ �����������������!������� ����� ��������� �E�����! ���! ����������� <��!��������� ����� � ��%&�0����� �E�����! ���������� ��������/���Q�5/���Q�."�8� � ��/���Q�5����� � � ���Q�.��� ��!!����� �/��������� ��������/���Q�-/���Q�."�8�����/���Q�-�������Q�.��!!����� �&��� �����! ����4/� F/� ,,"� ���� �,,/� ,#/� ,F"� �� � +���! �� ��� ���� E����! ��� ��� �� � ������ ���/� 8��! � �8�� � � � � � � ����� �E�����! �������� �� ���������� ��F/�,,/�,#"������,#/�,F/�,D"&���� �����@ ��� ������/�!� ��� ��8��2���� �/� �� � �8���E�����! ��� ���� ����� ����"� �� � ������� � ��� ���� �� �;����� ����K������ W.X/� � ���&�4"/������� ���@ ��� �����!!�� ������� �&�

��

�����������5� ��%���4�� �������� ����� � �&� ��

;(>� �� � ���� �� ��� ���� �E�����! ��� ��� �� � ����� ��/� �� �Q� �5/� ���Q��."� ! ��� ����� ��� <��!� ��� %/�� ��� �����9#�%"/����

��

% .

#� 4

3��" 3�� 5" 3�� ."�%" � & & J� � 5 � .

� �# $9 � % &� �' (� ���� �

��

;<>� �� � ���� �� ��� ���� �E�����! ��� ��� �� � ����� ��/� ���Q��-/� ���Q��."� ! ��� ����� ��� <��!� ��� %/�� ��� �����9:#�%"/����

��

% .

#� F

3��" 3�� -" 3�� ."�%" � & & J� � - � .

� �# $:9 � % &� �' (� ���� �

� �8� � �W+X�� ��� ���� ��� �� ������ � ��! ����������� <��!����+"&������

� ����#&#&54�E�� ����#&#&51����8���8��� �3�������� ����������� ���������! ������ ������!��� ���� � � �������� �� � +��� ���� �� ��� ���� �/� �8��� ���� �� ��� ���� �E�����! ��� ����� ����� ����� � ��%&�;�8 � �/��������!��� ����� �������������/�������� ������������!������������ 8/��� � ������!����� ������������ ��!/�� ��� ��� ��!�!���������3��"�����!��� ���!� �����������!� ������� ����&�

��

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 85: Wandering in the World of Smarandache Numbers

02 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

?�2 �*�� ,��&%���* � � 6 ����&��

��� ����� � ����/� ��� � ��� ��������� ������ ��� � ��� �� � ���� ��� �� ��� �� � 3�������� ����������� ���� �&�3�� �<� ��������� ����� ������� �� ! ������� �&���

����������� 5�� ����������� ����#&#&,� ���8�� �����3���Q�,"�E�3��"� ��������������� ������ ������������ ��� !�8J�������/��� ��������!������8��������

�!�� ��� � �3�� ," 3��"�"�

% � %� �1�; � � ��

�� �����������!� ���� �3�� ," 3��"�% � %� ���! ��!��,/�������� ������� ���� ���� ��� !�8����

�3�5" 3�,"� ������� �3�#" 3�5"� � �3�-" 3�#"� � �3�4" 3�-"�

�3�D" 3�,$"� �3�,." 3�,4"� �3�#4" 3�#."� � �3�.-" 3�.#"�

�3�DD" 3�,$$"� � �3

% %�<=1 % %�<=111111111 % %�<=111111 % %�<=

% %�<=111111% %�<=111111% %�<=111 % %�<=

% %�<=1 % �,F." 3�,F4"� � �3�,D." 3�,D4"� %�<= % %�<;1

�� �<� ���������������� � �������� !���������8��� � �3�� ," 3��"�% � %I�,L��� �=�����?��!��W,.X"&���

�����������53�� ������������� ����� �4/�� ,3�� ," � 3��"/5 � ! � �

�����!!�8������/��� ��� <��!����3���Q�,"�R�3��"���!�������������� !��������&�0����/������������� �4/��

� ,3�� ," � 3��"/5�� � ! � �

8�������8��������� ��� <��!����3���Q�,"�Z�3��"���!�������������� !��������&��

� ���� #&#&.� ���� �� ����� �� � <������� 3��"�3��� �Q� �,"� �I� �� ���� ��� ��!�����&� ;�8 � �/� ���� �� � <������/�3��"�3���Q�,"�I��/�� �O� �5/��� ��������������<��� ����� � ������������������� /�������I��/��� ���� � <������� ���� �� ��!������ ��� ��������� ��� �I�3����Q��,"&� * ��� �� ����� ������!� �� /� �� � � �� ���!������� ��� �� � <������� ���� ������!��� ��!� �� ��� &� K � ��� � +���! �� ��� ��������� ��� � � � � � ��I�5/�-/�4/�./�F/�D/�,$/�,,/�,#/�,F/�,D/�#F/�8�������8��������� � <�������3��"3����Q�,"�I���������� �������� ���!������������� � ���!� �����&�B��� �� � ���!� �����/� �� � ��� �������� ������8 !!&� � �0� !���� �� � �����������I�-1$$� � � �!�� ����/� �� � � �� � ��!������� ������� ����!� ������ ���8 !!&��� � ��� ���� ��� !�8����

�I�1�����I�#,/�,5F/�,D,/�55#/�#1#/� � � � � � � � � � �I�,-�����I�DF/�5D#/��

�I�55�����I�5-,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �I�5#�����I�,#F/�55D/�#.F/��

�I�5.�����I�##F/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �I�-,�����I�,.#/�-$D/��

�I�-#�����I�54F/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �I�-F�����I�51,/��

�I�4#�����I�5,,/�#,F/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �I�4D�����I�#4#/��

�I�.F�����I�-$,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �I�F,�����I�51#/��

�I�FD�����I�,4F/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �I�1#�����I�##,/��

�I�DF�����I�,D#/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �I�,#D�����I�5FF/��

�I�,4F�����I�#,#/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��I�,DD�����I�#DF&��

%�� �����/���� ����� /���������� &���

�� �<� ���������������� � �����!����������� � <�������3��"3���Q�,"�I������������ �O� �5L�

Page 86: Wandering in the World of Smarandache Numbers

03 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����������5������ �� ���! ������������� ����� ��� ������� �3�������� ���������3��"/��� � �� <��!��� ����� �� ���� ����#&,&.�����6���!!����#&,&#��������� �� ����� ��!&�3������W#X�� ��� �������� ����� <�������������� <��!��� ������!�����3��"&��� �� ���������������� ������ ��� �� � ����! �� ��� � ���� #&,&.� ��� +�!��� �&� B��� +���! /� ����� � ���� #&,&./� ��� ��!!�8����� ���� !��������

3��,��5"���3��,"�3��5"����,�3��5"������������ � ����,/��5���,&��

0������� �� +���! /�! ���������� ���� �����! ��������������� ���!���������3���"�I���3��"&������I�,�I��/��� � <�������� �� ��������!&�3�/�! ���/���R�,&��� �/����� ����#&,&./��

� 3���" � 3��" 3��"�3��"��� ���� 3��" ���� ��� ,/ �3��" �&� � � � � � � � �

�� � ��� /�3���"�I�3��"�3��"/������ � /����6���!!����#&,&#/�8 ��������� �3���"�I�3��"�Q�3��"&�%�8/��� ����������� ����#&,&F����8������/�8 ��������� ���I�5�I��&����

�����������50������� ������ �����3������W#X/� ��

� �� �

3��" 3��" 3��"!�� ���� $/ � !�� ��� � , ��+ ���� &� � ��

"� "�� � � -���� �

�� ��������������! �������� ��������� /��� ���������!!�8�������� ����#&#&#&������ �� ������ /��� ���������!!�8��������� ���������/������������� ��/�

3��" ,&� � ���

�����������5�� ���!!�8����� ��!������ �� �� ����!��� �����3������W#X���

� �� �

33��"" 3�3��"" 3�3��""!�� ���� $/ � !�� ��� � , ��+ ���� &� � ��

"� "�� � � -����

������� ��� �����������/���� �������

3�3��["" 3��" � ,$ � $����� &�[ �[ �[ �� ,"[! � � � " "� �

�� ������������ �� ���������������������!!�8����B����������� ��/��

3�3��"" 3��" ,&� �� � ���

�����������5�� ����������� ����#&#&,#����8������/��� ��� <��!����3��"�Q����"�R�����!������ ������������ !������������� !�/�8� ����I������������ "/������� ��� <��!����3��"�Q����"�Z����!�����!������ ������������ !������������� !�/�8� ������������ �������I5��/�8� � ��� ��� �#���������� "&����

�����������5���W#X/�3��������@ ��� ���������

3G��5��Q�,"[��5��Q�#"["�I�<��E�,/�8� � �<������� ����������� ���!!�8����5��Q�#&���

B������ ���!� �����3G��5��Q�,"[��5��Q�#"["/���� �����( ����#&5&,&,/�8 �� �������� ��� ���I�5���������!����������� ����� ���@ ��� &�;�8 � �/�������!� ����������I�,$/���� �����3������W#X/���I�5������ ���!�� + ����������� ���@ ��� &��

�� �<� ���������������� ���@ ��� ���� ���������5L��

��������� �� �/�8 ���� ���!���� �� ��!����� ������ ����#&5&,&4&�

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 87: Wandering in the World of Smarandache Numbers

0F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�����������53 � ��!�� � ��� ������ ������ � ���� ����������

� ,

�� ��" � �/�

# $� % &

' (� �

8������������ � +��� �������� ����� �������[��8� � �W+X������ ��� �� ������ � ��! ����������� <��!����+"&�3�� ������������� �������������� � ������,/�

�3�� " ���^����� �[_/� �� %1 ������!!�8�������

�3�� " ���^����� ��" _&� � � � ��

����������"/�B���������� ��� !!�W,FX���� ����� ���� ���!!�8����� ��!�&����

���������� 5 + ,��

3 ����� ,&���������� �� ,"�

�� ���

���������� 5B����� ����#&#&4/�3��"�Z������������������ ����� ������-&����������� �

��+����� ��!� /� � �3��"��+ ���� -/��� � /� ��� ��� ������ ��� ��� ����� ��

3�� "��+ ���� 5/ � 5 /�

� �� �� �

� �

8� � ��� ���+���������� ���!!����� ���������!!�� ���5&�*��� ����#&#&5������ ����#&,&-/��� �

� <� � �

,

3�� "�

� �� ��

��������!��� � ���������������������� �����+ �/�8�������

,3�� " � �����, �&� � � � � � � �

3�� � ,� � ��������!��� ��������������������/��������� � �3��"��+ ���� -/��� � /������������� ������

����� ����!���� ��� ��8� ����I�5�8�����I�#�������I�#�8�����I�5&�3�� ���

5 #

5 #3�# " 3�5 ". 5 , /D # 5# 5

� � 8 � ���

8 ���� ��� ���!!�8����! ���&���

����������5B�������������� ����� ����R�-/� 3��" 5 /� #� �

�8������ � <��!���������������I�D���!�"&����

0����� ��W5X����� ���� ���!!�8����<� �������� ���

$#�%���������5B���8�����������!����� ������� � � +������������������� 3��" � L� � ��

B����� ���� #&-&5/�8 � � � ������� ������ #&-&,� ��� ��!��� ��!��8� �� 5� �$/ X&#- 0����� �� W5X�

�!������� ������/�������������� ������ ,� �� /�8� � ������������ /��� ����I�1/�5F/������� � ��� ��� �

��!����!������&� �

Page 88: Wandering in the World of Smarandache Numbers

01 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

0� ����! �� ������ ��� ��� ��!!�8�� �� ��� ��� �� ����� 3��" , /� �� � ������� � � ��� �� � ����� ��I���&� B����

� ����#&,&-/�� ����#&,&4������ ����#&-&,/�������! ��������������Q�,&� ��

%�8/�8� �������/��� ����

,3�� " � , ��� ��� �/ � 5 ,��� ���� # /�� � �

� � �� �� � � � � � � � � � � � �

��

����8� ����I���Q�,/���

� , 5

� , � , � ,3�� " � , , ��� ���� , ,��� ���� 5&�� � �

� � � � � � � � � ������

K ���!�� ���������� ��8������ ���!!�8������@ ��� �� !�� �����3��"&����

���!�"�#�������5B���������� � ������� �,/�3����Q� �,"� ��� �3��"&���

� �/������ ��������/���

3���Q�,"�I�3��"�I��$�������� ���� � ����������$&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �,"���

6! ��!�/�� ��� ����������Q�,����� ����� &�3�/�! ��

, 5 �, 5 �� ����� � ���� � ���� &&& � ���/�� � ��

� , 5 �, 5 �<���� , < ���� < ���� &&& < ����/ / //

� � ������

� � �� � � �� � ��������� ��� �� ���� ��Q�,� ��� � ���� ��� �� ��� ���� � ������/� 8� � � �� � ���� �� � � � � � � � ��/��,/��5/�P/���������� ����� ��</�<,/�<5/�P/�<���� ��!!��������&� �� �� �/�! ������� ����� � ���

��

3��" 3�� "/ �3�� ," 3�< "&� /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �5"��

����/��� �����! ��������������� ���!����������,"�� �� ��������������� ����� ��������</������� ���� � ���������/������������ ��

3�� " 3�< "&� /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �#"���

K�����������!�������� � ��!���/�8 ���������� ��������R�</����������� ��� � �/&�B�����#"/������!!�8������������������� �3�</"�����<����������� �3���"&�B����� ����#&,&-������ ����#&,&4/�8 �� �����/���� ����R� �</�8 ��������� �,���� � ��� ��� � ���E�,/� �/ � ��� � �<�Q�,/�����������

3�� " ��������� ���� � ��, � ,������ ����������� �"/� � � � ���

�3�< " < �< �"�������� ���� � ������������<��� ����������� ��"&/ � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

0����/���� ����]��$[/���� �Q� �,"� � ]��$[/�������� ���/��� �Q�,"�I�,/������!!�8���������

�����Q� �,"� � ]�� �$[� � ��� �� 3������Q� �,""� ��� ���� � ��� � 3�����Q�,""�I��$/���

��� /����� ����#&1/�3������Q� �,""� ��� �3��"� ��� ��$&��� � ��� /�� � �

3���Q�,"�I�3��"�� ��� � �3���Q�,"�I�3��"�I�3�����Q�,""&� ����

��

�/�.��&?5�/����&� 6�#/��� #��*

Page 89: Wandering in the World of Smarandache Numbers

00 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��$�&� #���W,X� � � � � � �3�������� /� B&�0� B������� ��� �� �%��� ���� ���/�0�&�����&����������/� 3 �&� 3�&� ��&/�

(0;(>/�FD�E�11/�,D1$&��

W5X� � � � �0����� �/�6���! �&�0������������������� �3�������� �B������/�?��������� �������� ��/�H��!/��30&�,DD4&�

W#X� �� 3�����/� =�C� �&� A �� ���� �� �� ��/� :��������� � ?<�������/� ���� 0����� ��� B�������/�0� �����( � ������ ��/�( ������/�5$$5&�

W-X� 3������/� 0&H�! �� ���� 3���� /� :&K&� ����! �� ��� %��� �� �� ���� �4"/� *�����'�"�� 1#�"����2&���*����%/�H�!&�2)3� �?�&�6&�:����� �������H&�3 ! ��"/�%��� ���� �������!�������6�&/���&�-,/�,DD-&�

W4X� 0����� �/� 6���! �&� �!������ ����� �� � �� � ��� 3�������� � 3 <� � �� ���� B�������/�0� �����( � ������ ��/�������/�0'/��30&�,DD1&�

W.X ���� � �� �� �� �;����/�A&;&�����K�����/�?& &�0������������������� ��� �������%��� ��/�)+�����3� � ����!�������/�6!�� ������� ��/�4���?������/�5$$5&�

WFX�� � � � � �=�������/� &� 0�� ?<������� ����!����� �� � 3�������� � B������/� *"������ -�.��/� (;<>/� � �1D��E��D$/�5$$4&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

W1X� � � �a�� a���&� 0�� ?<������� ����!����� �� � ?�! �� B������� ���� �� � 3�������� � B������/�*"������-�.��/�(;<>/�,F#�E�,F4/�5$$4&�

WDX� � � � � � ������ � &� 0�� ?<������� 6�� ������ �� � 3�������� � B������/�*"������-�.��/� (;<>/� �F1�E�1$/�5$$4&�

W,$X� � � � �K ����� :���� ���� a������� b� &� )�� �� � 3�!����!���� ��� ��� ?<������� ����!����� �� �3�������� �B�����������?�! ��B������/�*"������-�.��/�2;<>/�5D��E��##/�5$$1&� � � � � � �

W,,X�� � � � � �6� �/�(&������ /� &�)���� �B�������!�?<�������3��"5�Q�3��"�I��/�*�����'�"��+�����%,�#����/�((/�F#��E��F./�5$$$&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

W,5X�� � � � � ������� &�)��3�������� �� �� ��%��� ��/�*"������-�.��/�<;<>/�5-��E��5./�5$$.&��

W,#X A�����/���!&��� �3�!��������� �� �:��������� �?<��������>��"�I��/�*�����'�"��+�����%,�#����/�2)3/�,-��E��,./�,DD-&�

W,-X� 3 ���!!/� 0&� �� � 3�������� � B������� ���� �� � %��� �� ��� ���� �� � ��� ����� +/�-��������"��*)�"��#�/�<0;?>/���&�4#/�,DD47.&�

W,4X � ���! /� :&�&� �� �6!�����!� 3�������� � B������� ���� �� B����!�� ���� �8��� ���� �/�*"������-�.��/�(;<>/�,,-��E��,,4/�5$$4&�

W,.X =�����?��!�/�)��6��� ���� �H�!� ������� �3�������� �B������/�*"������-�.��/�(;(>/�,5D��E��,#$/�5$$4&�

��

W,FX B�����/� &����� ��� !!/��&�*�������� �� �3�������� �B������/�*�����'�"��+�����%,�#����/�(?/�#F��E��-5/�5$$5&�

����

Page 90: Wandering in the World of Smarandache Numbers

0C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�/�.��& 2� � � ��/�� "���6* ���&� 6�#/� �� #��* 6���� �� #� ��� �� ��� � ���� ��� �� ��� �� � 3�������� � �������� 3��"&� �� � ��� �� �������/�8�� !�2����� ����� �� �3�������� ����� �� �� ������/� ��� �� ��� ����3�������� ��������&� ������������ �/��� ��� ����3�������� ��������/�� ��� �����'��"/��������� � �&������

�� ��� ����3�������� ��������/�'��"/�������� �����>���������W,X/���������!!�8���� � ����

���������� ��� 5� B��� ���� ��� � �� �� ��� �,/� �� � �� ���� 3�������� � �������� '��"� ��� �� �

���!! ���������� ���� � �������������,��Q��5��Q��P��Q��� �

��� ,"5� � ����������! �����&�����/� � � � � � � � � � � � � � � � �

'��"��I�� ����^������- ����� /����]� � � ��� ,"5� _J������ �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�8� � � ����� � ����� �� ������!!�������� ���� � ��"��� � ������

� �����"�� ��E����� ��������!������� ��

���"��S�

��� ,"5� /��- ����� &� � �

�� �/����"���������!����� ����������&��������!� ��������� ���������'��"����8 !!2� ��� �&�����

*�� : ��������� -&,/� '��"� ��� �� � ���!! ��� ������� � ��� � �� �� ���� ����� �� � ��� ����������������!������� �����"�����������! �����&�����/� �

'��"��I� ��$� ��

���������!������� ���!!�8�����8�������������� �������� �����

;(>� ������� ��� � �

$ $� �� ,"5

�/�

;<>� ���� ����������� � ��� ,"5� � ����������8����,� ��� ��� ��� ��$� �E�,&�

����

� �/����������- ����� � ��+ �/��

'��"��I� � ��$/� ���������

���$"��S��

$ $� �� ,"5

�I������������ �- ����� &�

�� �/��$����� ������������!������� ����� � <������������� �������� �����&�����/� ��

�$��I

,5� , 1� ,"� /�

8� � ��������������,��Q��1����������� �� ���<��� J���� �� �/��� ����!! ����$���������������������

�� ����!! �������&�6��� �� !�/���������� ����!! ������ � �����������,��Q��1����������� �� ���<��� /�

�� ���$������ ����!! ������ � ��������������]� � $ $� �� ,"5

� /������ � /�'��"��I� � ��$&�K ����������� ����

�� ���!!�8���� <����! ���� ������������'��"/��������� ������� ������������� ���W5X&�

Page 91: Wandering in the World of Smarandache Numbers

C= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

������������� 5 ,5

'��" ��� �^ � , 1� ,"��� / �, 1�������� �� ���<��� _&�������������������������������������������������������������������������������

�� � - ����� ���

>��������� W,X/� ���� ��� W5X� ���� 0����� �� W#X� ����� �� ��� � ��� �� � ! � ������ ���� ��� ��������� �����'��"&��� �������������� ��������C ������� ���!!�8����� ����-&5 E � ����-&.&��� �������������� ������ � �� ��!���� � �������� ���!!�8����! ����8��������!�����������!&���

��������5� ����� ������� &�� �������� � ������R���"�� ��������! ������������� ���� � �� � ������ �,"&��� �/����� ����������� ����Q�,���������E��,"&�

��

��������5B��������- ����� /�'��"���� �,&� �� �� �/�� � � � � � � � � ��;(>� '��"��I��,����������!��������I��,/� ��

;<>� '��"��I��5����������!��������I��#&������5��� ��� ���� /��� ������������ �M���N���������������!&�3�/�8 ����� ��� �M��!�����N�����&�

;(>� � ��'��"� �I� �,�������� ��- ����� &��� �/����� ��������/��� �]� �,/������ � /��� �I� �,&��

;<>� � ��'��"� �I� �5�������� ��- ����� &��� �/����� ��������/��� �]� �#/������ � /��� �I� �#&�U����

�� ���!!�8����! ������� ��!�8 ��������� ������������'��"&��

��������5#�� ��� � �'��"�� ��� � �5���E�,������!!��� ��� �-&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����5���"� ��

��� ,"5� � ��������!����� �������������- ����� "�8������5"��I��#&�����/�'��"��I��5����

������!��������I��#&��� � ��� /���������� � �-/�'��"���� � ���5"��I��#&�0����/���� ��� �]� ���5���E�,"/������!!�8�������'��"�������� ��� �� �������5���E�,&�U����

�� ���� �����������'��"����� ����-&#����� ������� ������� ��� �8� ����������&�������/�8 �������� ��� ���!!�8����� ��!�&� ���

��������5� � �'��"���� � ��� �E�,���������������� � ������� �#&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������5�������� �#�������������� � �/��� ���� �E�,���� � �/������ � /����]� � ������ �E��,"����

��� ,"5 &�U�

���

�� � !�8 �����������'��"���� �!���� � ������ �&�B��� +���! /� ��� ���-"��I��,$/� ��� ��!!�8�������'��"���� �4������!!������ �,,&�0�� �� ��!�8 �����������'��"������� ������ ����-&4�� !�8������� ��� �8� ���������������� ����� �&���

��������5B������������� ����� ������� � �-/�'��"���� ���+^�'��"������]� ���_&������5� �� �

'��"��I� ��$�������� ��$- ����� &���

�� �/� �� �]� $ $� �� ,"5

��S� ����$"� ����� �$� ��� �� � ���!! ��� ��� � �� 8���� ����� ���� ���"&� 6! ��!�/� ����

����������������!�������� �����$"/���������'��"� ��� ��$&�U���

��������5B��������� � ������� �-/� ,5

'��" � , 1� ," �&� � 8 �

�����5B����: ���������-&5/���� ��� �����������������! ���!� �����I�,/�,5

'��" � , 1� ," �&� � 8 � U�

Page 92: Wandering in the World of Smarandache Numbers

C( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��������� ����� ����� �� ��!���� !�� ������� ��� ����3�������� ���������'��"&����

���T-&,/�8 ���� ���� ��� !��������� ��!���8����8��!��� �� � ������� ���!!�8����� ����&�T��-&5� ��� �� ��� � ����! � +�!���� +�� ������� ���� '��"&� 0�� +�� ������ ���� '��<"� ��� ��� �� ����� �� �� -&5&5/� 8��� � ������ ���8�� ����� �� � ��!������ ��� '��<"� ����!� �� �� � ��!������ ��� �8��:��������� � <�������� ��� �� ���� <&� 3�� � ������!��� �� �� ��� �� �� �� -&5&5� �� � ��� �� ��� � � � � � � �6���!!��� ��-&5&#��E�� �-&5&,1&�3�� �� � ��!�C������������ ��� ����3�������� ����������� ���� ����� T�-&#&� T��-&-� ��� � ��� �� ��� ��� ���� !!�� ���� �����&�K � ��!�� � ����� ���� �� 8���� ��� �� ������������� ����� ��� �����'��"������ �����!�T�-&4&�������

2�(� �*��� �"&�4��� �&'� � � � � � � � � � �����4��

��������� ����/�8 ���� ���� ��� !��������� ��!��������8��!��� �� <��� ������� �� +��� ������������� +�!���� +�� ����������'��"������� ��� �&���

����������5.��]� ������Q�,"����Q��5"����������- ����� J�����.��]� ���5��E�,"������������� ������ �4&������ 5�� � ������ ����� ���8 !!2��8�� �� 3�� � �� � ������� ��� �8�� ��� ���� � ��� � ��� ���

�������! ����5������� �������������� ���� ���� ���� � �������������! ����#/�������� ��5/�#"��I��,/��� � � ��!�� ��!!�8�&� ��� ������!��/� ���� ���� ���� � ����� �4/� .��]� �����E�,"�����Q�,"&� *��� ��� � �� ����4"� ��� �����������! ����./������!!�8�������.��]� �����E�,"����Q�,"&�U���

����������5B���������� � �� � $/�

;(>�-������ ��#5 E ,/�;<>-������ ��#5Q, Q,&�

�����5��� ��� ���� /��� ����������������!�����I$&�3�/�! �� � ,&��

;(>�K�������#5��E��,��I���#��E��,"�#��Q�,"/��� �� ��!����!!�8����� ���� !�&�

;<>�3�� �#5Q,��Q��,��I��#�#5��E��,"��Q��-/��� �� ��!����!!�8���������� ����������,"&�U���

����������5B���������� � �� � $/��

;(>� #������ ��55 E ,/�;<>#������ ��55

Q

, Q,&�

�����5��� ��� ���� /��� ����������������!����� I $&�3�/�! �� � ,&�;(>� *�� � ���� -&,&,/� #� ����� �� �5��E��,"5�5��Q��,"&� 3�� � #� �� �� ���� ����� � 5/� #� ����� ����� � � ��5��E��,"�5��Q��,"��I��55��E��,&�

;<>�%�����������55

Q

,��Q��,��I��5�55��E��,"��Q��#/��� �� ��!����!!�8���������� ����������,"&�U� �

��

����������5B���������� � �� � $/�4������ ��5- E ,&������ 5�� � ������ ��� ��� ��������� ��� � ,&� �� � � ��!�� ��� ! ��!�� ��� � ���� I ,&� 3�/� 8 �

����� �������!������������� ���� � ��&�%�8/���� ��

5-�

Q

," E , I ,.�5- E ,"�Q�,4/�

�����!!�8��������� �� ��!�������� ����� Q,����8 !!/����! �������������&�U���

����������5B���������� � �� � $/�F������ ��5# E ,&������5�� �� ��!�����! ��!����� ����� I ,&������� �������������/�8 ������ ��� ���!������

����� �� ��!��������� ���� � ��&�%�8/� ��

5#�

Q

," E , I 1�5# E ,"�Q�F/�

���8����������� �� ��!�������� ����� Q,����8 !!/�8����8 ���� �� ��������� &�U�

Page 93: Wandering in the World of Smarandache Numbers

C< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

����������5B���������� � �� � $/��

;(>� ,,������ ��54�5

Q

," Q,/�;<>,,������ ��5,$ E ,&�

�����5��� ��� ���� /��� �� ��!�������� �8� �� I $&�3�/�! �� � ,&��

;(>� �� �� ��!����� ���!��� �� �� ���� ���� ����� I ,&�%�8/���������� ������!������������� ���� � ��/������ ���������������� ���/���� �� ��8������ ����������

��

54�5

Q

#" Q , I 5,$W54�5

Q

," Q ,X�E �54�Q�,"�54�E�,"/�

�����!!�8��������� �� ��!�������� ����� Q,����8 !!/����! �������������&� ��

;<>�3�� �5,$ E , I �����54�E�,"�54�Q�,"/��� �� ��!����!!�8���������� ����������,"&�U���

����������5B���������� � �� � $/��

;(>� ,#������ ��5.�5

Q

," Q,/�;<>,#������ ��5,5 E ,&�

�����5��� ��� ���� /��� �� ��!�����������!!����� �8� �� I $&�3�/�! �� � ,&��

;(>� �� � � ��!�� ��� ��� � ���� I ,&� ��� ��� �� ��� ��������/�8 � ����� � ����� ��� ��� ��� � ���� ��� ���� � ��&�%�8/� �

��

5.�5

Q

#" Q , I 5,5�W5.�5

Q

," Q ,X�E �5.�Q�,"�5.�E�,"/�

8�������8���� ���!����������� �� ��!������ Q,&���������! � ����������&� ��

;<>�%�����������5,5 E , I �����5.�E�,"�5.�Q�,"/��� �� ��!����!!�8�����������,"����� &�U���

����������5B���������� � �� � $/��

;(>� ,F������ ��5-�5

Q

," Q,/�;<>,F������ ��51 E ,&�

�����5��� ��� ���� /��� �� ��!�������� �8� �� I $&�3�/�! �� � ,&�;(>� �� �� ��!�����! ��!����� ����� I ,&������� �������������/�8 ������ �������!������������� ���� � ��&��� �/���� �

��

5-�5

Q

#" Q , I 51�W5-�5

Q

," Q ,X�E �5-�Q�,"�5-�E�,"/�

8 �� �������� �� ��!�������� ����� Q,����8 !!&���������! � ���� ������������������&� ��

;<>�3�� �51 E , I �����5-�E�,"�5-�Q�,"/��� �� ��!����!!�8���������� ����������,"&�U���

��������� 5B���������� � �� � $/��

;(>� ,D������ ��5D�5

Q

," Q,/�;<>,D������ ��5,1 E ,&�

�����5��� ��� ���� /��� �� ��!�������� �8� �� I $&�3�/�! �� � ,&�;(>� �� �� ��!�����! ��!����� ����� I ,&������� �������������/�8 ������ �������!������������� ���� � ��&��� �/� �

��

5-�5

Q

#" Q , I 51�W5-�5

Q

," Q ,X�E �5-�Q�,"�5-�E�,"/�

���8����������� �� ��!�������� ����� Q,��!��&���������! � ���� ������������������&� �;<>�K�������51 E , I �����5-�E�,"�5-�Q�,"/��� �� ��!����!!�8�����������,"����� &�U���

����������5B���������� � �� � $/�#,������ ��54 E ,&������ 5�� � ������ ��� ��� ��������� ��� � ,&� �� � � ��!�� ��� ! ��!�� ��� � ���� I ,&� 3�/� 8 �

����� �������!������������� ���� � ��&�%�8/���� ��

54�

Q

," E , I #5�5- E ,"�Q�#,/�

�����!!�8��������� �� ��!�������� ����� Q,����8 !!/����! �������������&�U�

Page 94: Wandering in the World of Smarandache Numbers

C? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

2�<� �*��� ��A.4�#��� � � � � � � � � ��A.&����* �� � � � � � � � � � �$*&� � � � � � � � � � �L; >��

��� ����� � ����/�8 � ������ ��� � �� � +�!���� +�� ������� ����'� � ,"5� "/�'�5"� ����'��"� ���

� ����� -&5&,�E�-&5&#� �� � >��������� W,X� ���� 0����� �� W#X"&� � ����� -&5&-�E�-&5&4� ��� � �� � +�� ������� ���� '���"� ���� C���5"� ���� ��� � ������!��� �&�K � �!��� � ��� � �� � +�!���� ������ ���'�#&5"/�'�4&5"/�'�F&5"/�'�,,&5"/�'�,#&5"/�'�,F&5"/�'�,D&5"/�'�#,&5"/�'�5�"�����'�#�"/����8 !!���� �� � +�� ������� ����'�-�"/�'�4�"/�'�.�"/�'�F�"/�'�1�"/�'�D�"/�'�,$�"/�'�,,�"/�'�,5�"/�'�,#�"/� '�,.�"/� '�#5�"/� '�5-�"/� '�-1"� ���� '�D.�"� ��� � ����� -&5&.� �E� �-&5&#$� � �� ��� !�&��� �� ���-&5&,�E��-&5&5���� ��8���!� ������ � +�� �����������'��<"&�����

����������5'� � ,"5� "��I�����������- ����� &�

�����5�%��������������Q�,"��I�������Q�,"����������!�������I���/��� �� ��!����!!�8�&�U�

����������5B�������- ����� /�'�5"��I��5�

Q�

,� �E�,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�����5*��� ��������/� �

'�5"�I����^�����5� � �]� �

��� ,"5� _�I� ����^����5�

Q�

,� � �]� � ������Q��,"�_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,"� � � � � � � � � � � �

%�8/���� �����/���!���� ������������Q�,���� � �/�����������/�5�

Q�

,������ �� +��!���� �������������Q�,&�; � /��� ���������������,"����5�

Q�

,&���������� ���� �! ���&�U���

����������5B����������� ������ �#���������- ����� /�'��"��I�����E��,&������5*��� ��������/� ��

'��"�I����^������ �]� �

��� ,"5� _�I����^����5&�� �]� ������Q��,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �5"�

��� �� ����� �������Q�,"/� �� �� ������� ����� � ��� ���� ������Q��,/� ���� ���� ����� ���� � ���� -&,"&�0����/���� �����/����������� ���� �������������Q�,/��� ��5������ ���� ���� �&�����/��� ���������������5"������ ��� ��������E��,/�8���� ����!��� ���� �! ���&�U��

� ����-&5&-������ ���� �-&5&4���� �� �� ��� !���� � +�� �����������'���"�����'���5"��������� ���� "� ���� ��� � ������!��� �&� �� �/� �� � +�� ������� ���� '�5�"� ���� '�#�"� ��!!�8� ����� � �� ����-&5&-/������� ���� �� ���6���!!����-&5&,&��� � +�� �����������'�5�5"�����'�#�5"/�8������!!�8������� ����-&5&4/��� ���� �����6���!!����-&5&5&���

����������5�������� �#���������� ���������� �5���������� � ��������������! �����"/��� �� ��

� � ,/ ����5� �� ,"'���" ��/ ����� ����5� �� ," ? � ? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����5*��: ���������-&,/� ��

'���"�I����^��������]� �

��� ,"5� _�I�����^����5����]� ������Q��,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �#"�

� � ��

�� �������������� � ��� ����������Q�,/������������������� ����-&,"&�����/��� ���������������#"�������E��,������� � ���������8� �� �����E��,������Q�,�� �� ��� !������������! ����5�&�U�

Page 95: Wandering in the World of Smarandache Numbers

C2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��������������5� ����� ������������ &��� �/�;(>��������� �#/� �

� � ,/ ����- �� ,"'�5�" ��/ ����� ����- �� ," ? � ? � ����

;<>��������� �4/�

� � ,/ ����# �� ,"'�#�" ��/ ����� ����# �� ," ? � ? �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � ��

�����5�� ����� �� ��!�����!!�8���� ���� !�������� ����-&5&-/����6�� �;(>��� ��������� ������ �#���� ��� ������� ������-��Q�,����-��Q�#��������� ���� � ������� �,"/�

�������6�� ��

;<>��� ��������� ����������� ������#���Q�,����#���Q�5��������� ���� � �������� � �,"/�������� ������ ����E��,��������Q�,��� ��������! ����5&�U������

����������5�������� �#���������� ���������������� � �������������! �����/��� �� ��

5 55

5 5� ,/ ����5� �� ,"'��� "�� / ����� ����5� �� ,"

� ? � � ? ��

�����5�������� �� ��������/���

'���5"��I�����^������5��]� �

��� ,"5� _�I�����^����5��5��]� ������Q��,"_&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �-"���

�� � ��� /��5����������� � +��!���� �������������Q�,������ ����-&,"/������� ��5������������ ��� ���� �&�%�8/����5������� ���5��E��,/��� ���� ���������������-"������ ��� ������5��E��,J������ ���� ������/�����5��Q��,�����������! ����5�/��� ���������������5��Q��,&�U�������

��������������5� ����� ������������ &��� �/��

;(>'�5�5"��I���5��E��,/���������� �#J��

;<>'�#�5"��I���5��E��,/���������� �4&� ��

�����5���������� ��� �/��� �� ��!�����!!�8������� ����-&5&4&��

;(>� � � � � �%�����������-������ ��� � � �����E��,"����Q�,"��I���5��E��,/��� �� ��!����!!�8����� ���� !�&��

;<>�*��� ����-&,&,/�.������ ��� � ��5��E��,&��� �� ��!���� ����!!�8�&�U������

�����������53�� �� � �

'�5�"���� �#����E��,"��I��'�5"��'��"����������������� ��/�����

'�#�5"��I���5��E��,���� �'�5�5"��Q��'��5"������������� ������ �4/�� � �

�����!!�8�������'��"����� ��� ����!���!����� ������������ &����������

�� � +�� �����������'�#&5"�����'�4&5"/��� ����0����� ��W#X/��� ���� ������ ����-&5&.������ ����-&5&F� � �� ��� !�&�� ����-&5&1���� �� ��� +�� ������ ����'�F&5"&������ � ��!���!������ ����������� ���W-X/�����8 ���!!�8������� � ���������������� ������&�%�� �����/������������� � ������ �#���+ �/��� ���!� �����'��&5"�� � ��������� ���������&�

Page 96: Wandering in the World of Smarandache Numbers

C3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

����������5B���������� � ������ �,/� � ,

,5 ,/ ����������'�#&5 " �������� � ��5 / �����

� � ��

�����5�������� �� ��������/��

'�#&5"��I�����^����#&5��]� �

��� ,"5� _�I�����^����#&5�

Q�

,� �]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �4"��

�� �/�5�

Q�

,����������� ��� �������������Q�,�����#����������� ��� ���� �&�%�8/�8 ������ ���� ��8���������!��� ��� ����� !����� � �

6�� ��,"���K� ���������/����/�� �I � �5�� � �Q� �,/�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /����� ����-&,&#�5"/�#������ ��55��

Q�

,� � �Q� �, � �I� �5� � �Q� �,&�*��� ����-&,&#�,"/�

� � �

#� � �%�5�

Q�

,�E�,"� ��� � #&5�

Q�

,05�

Q�

,�5�

Q�

,�E�,"/�� � �

����� � /��� ���������������4"������ ��� �����5�

Q�

,�E�,&�� � �

6�� ��5"���K� ������ � �/����/�� �I� �5�/�������� ���� � ���� � ��� �,&�� � �

*��� ����-&,&#�,"/�#������ ��55�� � �E� �,� �I� �5� � �E � �,&�0!��/��� �

#� � �%�5�

Q�

,�Q�,"� ��� � #&5�

Q�

,05�

Q�

,�5�

Q�

,�Q�,"/�� � �

����� � /����������� /��� ���������������4"������ ��� �����5�

Q�

,&�U��� � ���

����������5B���������� � ������ �,/� 5

,

5

,

�� �- ��������5 / ������ �- � ,"�5 / ����'�4&5 " �� �- � 5"�5 ,/�� �- � #"�5 ,/

?�* ? *� � ? *

? *�

�����5�������� �� ��������/��

'�4&5"��I�����^����4&5��]� �

��� ,"5� _�I�����^����4&5�

Q�

,� �]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �."���

; � /�5�

Q�

,����������� ��� ������������Q�,/�����4����������� ��� ���� �&�K ���� ��������� ��� ����� !���� ������������! ��� ����6�� ��,"���K� ����������� ������� �I� �-��������� ���� � ���� � ��� �,&�

���������� /����� ����-&,&-/�4������ ��5-�� � � �E � �,� �I� �5 � � �E� �,&�%�8/���� ��� �

5�

Q�

5�Q�,� �I� �-�5�E� �,"�Q�4/�8 �� ������

4� � �%�5�

Q�

5�Q�,"� ��� � 4&5�

Q�

,05�

Q�

5�5�

Q�

5�Q�,"/��

����� � /��� ���������������."������ ��� �����5�

Q�

5&�� � �

6�� ��5"���K� ����������� ������� �I� �-��Q�,�������� ���� � ���� � ��� �$&�*��� ����-&,&-/�4������ ��5-�� � � �E� �,� �I� �5�

E�

,� � �E � �,&�%�8/���� �

�� �

5�

Q�

,�Q�,� �I� �-�5�

E�

,�E� �,"�Q�4� �I� �-�5-��E� �,"�Q�4/�8 �� ������

4� � �%�5�

Q�

,�Q�,"� ��� � 4&5�

Q�

,05�

Q�

,�5�

Q�

,�Q�,"/�� � �

����� � /����������� /��� ���������������."������ ��� �����5�

Q�

,&�

Page 97: Wandering in the World of Smarandache Numbers

CF �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6�� ��#"���K� ����������� ������� �I� �-��Q�5�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /�8��������� �

5�

Q�

5�E�,� �I� �,.�5�

E�

5� � �E� �,"�Q�,4/�

���������������/����� ����-&,&-/�4������ ��5-�� � � �E� �,� �I� �5�

E�

5� � �E� �,/�8 �� ������

4� � �%�5�

Q�

5�E�,"� ��� � 4&5�

Q�

,05�

Q�

5�5�

Q�

5�E�,"&�� � �

; � /����������� /��� ���������������."������ ��� �����5�

Q�

5�E�,&��

6�� ��-"���K� ����������� ������� �I� �-��Q�#�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /���� ��� �

5�

Q�

,�E�,� �I� �,.�5�

E�

#� � �E� �,"�Q�,4/�

������� �4������ ��5-�� � � �E� �,� �I� �5�

E�

#� � �E � �,������ ����-&,&-"/�8 �� ������

4� � �%�5�

Q�

,�E�,"� ��� � 4&5�

Q�

,05�

Q�

,�5�

Q�

,�E�,"&��

; � /����������� /�'�4&5"�I�5�

Q�

,�E�,&�0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&�U�

����� ����

����������5B���������� � ������ �,/� ,

5

,

#&5 / ��������� �# '�F&5 " 5 ,/ ������ �# � ,"

�5 ,/ ������ �# � 5"

� ?*� ? �* ? �

�����5*��� ��������/��

'�F&5"��I�����^����F&5��]� � �

��� ,"5� _�I�����^����F&5�

Q�

,� �]� � ����� �Q� � �,"_&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �F"��

; � /�5�

Q�

,����������� ��� ������������Q�,/�����F����������� ��� ���� �&�K ���8������ ���� ���� �������! ��� ��� !�8�����

6�� ��,"���K� ����������� ������� �I� �#��������� ���� � ���� � ��� �,&�*��� ����-&,&4/�F������ ��5#�� � � �E� �,� �I� �5 � � �E� �,&�%�8/��� ���

#&5�

Q�

,�Q�,� �I� �.�5�E� �,"�Q�F/��� �

8���� ���8�� ����� #&5�

Q�

,� Q� ,� ��� �������! � ��� F&� ; � /� F&5�

Q�

,� ����� �� #&5�

Q�

,�#&5�

Q�

,� Q� ,"/� ������� <� ��!�/��� ���������������F"����� ��� �����#&5�

Q�

,&�� � �

6�� ��5"���K� ����������� ������� �I� �#��Q�,�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /��������� ����� ����-&,&4/�� � �

F� � �%�5�

Q�

5�E�,"�I�1�5�

E�

,�E�,"�Q�F�I�1�5#��E�,"�Q�F� ��� � F&5�

Q�

,05�

Q�

5�5�

Q�

5�E�,"/�� � �

����� � /����������� /��� ���������������F"������ ��� �����5�

Q�

5�E�,&��

6�� ��#"���K� ����������� ������� �I� �#��Q�5�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /��������� ����� ����-&,&4/�� � �

F� � �%�5�

Q�

,�E�,"�I�1�5�

E�

5�E�,"�Q�F�I�1�5#��E�,"�Q�F� ��� � F&5�

Q�

,05�

Q�

,�5�

Q�

,�E�,"/�� �

����� � /�'�F&5"�I�5�

Q�

,�E�,&� � � ��; � /��� �! ������� ����!��� �&�M

� �� �� �

��� � ����� -&5&D�E�-&5&,#� � �� ��� !�/� �� � +�� ������� ���� '�,,&5"/� '�,#&5"/� '�,F&5"/�'�,D&5"�����'�#,&5"��� ���� �&��� � �� ��!���8��!��� �� � ��!�� �����T ���� -&-&�

Page 98: Wandering in the World of Smarandache Numbers

C1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��������� 5B���������� � ������ �,/� ,

,

#

5

,

,

,

#

5

,

4&5 / �� �,$ #&5 ,/ ��� �,$ � ,"5 / ������ �,$ � 5"5 / ������ �,$ � #"5 / ������ �,$ � -"'�,,&5 "4&5 ,/ ��� �,$ � 4"#&5 / ����� �,$ � ."5 ,/ ����� �,$ � F"5 ,/ ����� �,$ � 1"5 ,/ �����

? ?

? ? ? �

? ?

? ? �,$ � D"

�******�****** ? �

��

�����5*��� ��������/��

'�,,&5"��I�����^����,,&5��]� � �

��� ,"5� _��I�����^����,,&5�

Q�

,� �]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �1"��

; � /�5�

Q�

,����������� ��� ������������Q�,/�����,,����������� ��� ���� �&�K ���8������ ���!!��� �������! ��� ��� !�8���� �

6�� ��,"���K� ����������� ������� �I� �,$��������� ���� � ���� � ��� �,&�*��� ����-&,&.�5"/�,,������ ��5,$�� � � �E� �,� �I � �5� � �E � �,&�%�8/��� � �

,,0�4&5�

Q�

,�Q�,"� �I� �,$�5�E� �,"�Q�,,� ��� � ,,&5�

Q�

,0�4&5�

Q�

,"&�4&5�

Q�

,�Q�,"&��� �

�� � ��� /��� ���������������1"����� ��� �����4&5�

Q�

,&�� � �

6�� ��5"���K� ����������� ������� �I� �,$��Q�,�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /��������� ����� ����-&,&.�5"/��� � �

,,� � �%�#&5�

Q�

,�E�,"�I�,5�5�

E�

,�E�,"�Q�,,� ��� � ,,&5�

Q�

,0�#&5�

Q�

,"&�#&5�

Q�

,�E�,"/�� � �

����� � /����������� /��� ���������������1"������ ��� �����#&5�

Q�

,�E�,&��

6�� ��#"���K� ����������� ������� �I� �,$��Q�5�������� ���� � ���� � ��� �$&�� � �

���������� /�8�������5�

Q�

#� �I� �5,$��

Q�

4������ �������� � �

5�

Q�

#� �I� �5,$��

Q�

4��I���5,$��E�,"�54�Q�,"�Q��54�Q�,"�E��5,$��E�,"�E�,/�

� � �

8 �� /��������� ����� ����-&,&./������� �� �

,,� � �%�5 �

Q�

#�Q�,"� ��� � ,,&5�

Q�

,05�

Q�

#�5�

Q�

#�Q�,"/��� �

����� � /�'�,,&5"�I�5�

Q�

#&�� � �

6�� ��-"���K� ����������� ������� �I� �,$��Q�#�������� ���� � ���� � ��� �$&�� � ��

; � /���� �5�

Q�

5� �I� �5,$��

Q�

4/������!!�8��������� � �

,,� � �%�5 �

Q�

5�Q�,"� ��� � ,,&5�

Q�

,05�

Q�

5�5�

Q�

5�Q�,"� ��� � '�,,&5"�I�5�

Q�

5&��� � �

6�� ��4"���K� ����������� ������� �I� �,$��Q�-�������� ���� � ���� � ��� �$&��� � �

; � /���� �5�

Q�

,� �I� �5,$��

Q�

4/������!!�8��������� � �

,,� � �%�5 �

Q�

,�Q�,"� ��� � ,,&5�

Q�

,05�

Q�

,�5�

Q�

,�Q�,"� ��� � '�,,&5"�I�5�

Q�

,&�

Page 99: Wandering in the World of Smarandache Numbers

C0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6�� ��."���K� ����������� ������� �I� �,$��Q�4�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /��� �

4&5�

Q�

,�E�,� �I� �,$�5,$��Q�

4�Q� �,"�E�,,� ��� � ,,0�4&5�

Q�

,�E�,"/��

����� � /�'�,,&5"� �I� �4&5�

Q�

,�E�,&�� � �

6�� ��F"���K� ����������� ������� �I� �,$��Q�.�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /��� �� ��!����!!�8��������� ���!!�8���������������!���������� ��

#&5�

Q�

,�Q�,� �I� �,5�5,$��Q�

4�Q� �,"�E�,,� ��� � ,,0�#&5�

Q�

,�Q�,"� ��� � '�,,&5" I #&5�

Q�

,&��

6�� ��1"���K� ����������� ������� �I� �,$��Q�F�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /� �� � �

5�

Q�

#� �I� �5,$���Q�

,"� ��� � ,,0�5�

Q�

#�E�,"� ��� � '�,,&5" I 5�

Q�

#�E�,&��

6�� ��D"���K� ����������� ������� �I� �,$��Q�1�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /��� �� ��� ��� ��!����������� �������!!�8�����

5�

Q�

5� �I� �5,$���Q�

,"� ��� � ,,0�5�

Q�

5�E�,"� ��� � '�,,&5" I 5�

Q�

5�E�,&��

6�� ��,$"���K� ����������� ������� �I� �,$��Q�D�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /��� �� ��!����!!�8�/���� ��� �

5�

Q�

,� �I� �5,$���Q�

,"� ��� � ,,0�5�

Q�

,�E�,"� ��� � '�,,&5"�I�5�

Q�

,�E�,&�0!!��� � ����! � ��� ������&���

�����

����������5B���������� � ������ �,/� 5

,

,

#

5

,

5

,

,

#&5 / ����� �,5 #&5 / ����� �,5 � ,"4&5 ,/ ����� �,5 � 5"5 / ������� �,5 � #"5 / ������ �,5 � -"5 / ���� �,5 � 4"'�,#&5 " �#&5 ,/ ��� �,5 � ."#&5 ,/ ����� �,5 � F"4&5 / �������� �,5 � 1"5

??

? ? ? ? �

? ?

? #

5

,

,/ �������� �,5 � D"5 ,/ �������� �,5 � ,$"5 ,/ �������� �,5 � ,,"

�*******�**** ? *

? ** ? �

�����5*��� ��������/��

'�,#&5"��I�����^����,#&5��]� � �

��� ,"5� _��I�����^����,#&5�

Q�

,� �]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �D"��

; � /�5�

Q�

,����������� ��� ������������Q�,/�����,#����������� ��� ���� �&�K ���8������ ���!!��� �������! ��� �/��8 !� �������� ����� �

6�� ��,"���K� ����������� ������� �I� �,5��������� ���� � ���� � ��� �,&�*��� ����-&,&F�5"/�,#������ ��5,5�� � � �E� �,� �I � �5� � �E � �,&�%�8/��

#&5�

Q�

5�Q�,� �I� �,5�5�E� �,"�Q�,#� ��� � ,#0�#&5�

Q�

5�Q�,"/��

�������/�,#&5�

Q�

,������ ��#&5�

Q�

5�#&5�

Q�

5�Q�,"&�; � /��� ���������������D"����#&5�

Q�

5&�

Page 100: Wandering in the World of Smarandache Numbers

CC �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

6�� ��5"���K� ����������� ������� �I� �,5��Q�,�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /��������� ����� ����-&,&F�5"/��

,#� � �%�#&5�

Q�

,�Q�,"�I�,5�5�

E�

,�E�,"�Q�,#� ��� � ,#&5�

Q�

,0�#&5�

Q�

,"&�#&5�

Q�

,�Q�,"/�� � �

����� � /����������� /��� ���������������D"������ ��� �����#&5�

Q�

,&��

6�� ��#"���K� ����������� ������� �I� �,5��Q�5�������� ���� � ���� � ��� �$&� ������������ /�

4&5�

Q�

,� �E� � �,� �I� �-$�5�

E�

5�E�,"�Q�#D� ��� � ,#&5�

Q�

,0�4&5�

Q�

,"&�4&5�

Q�

,�E�,"/��

����� � /�'�,#&5"�I�4&5�

Q�

,�E�,&�� � �

6�� ��-"���K� ����������� ������� �I� �,5��Q�#�������� ���� � ���� � ��� �$&�� � ��

; � /�5�

Q�

#� �I� �5,5��

Q�

.&�?+�� ����������������!!�8����� � �� �

5�

Q�

#� �I� �5,5��

Q�

.��I���5,5��E�,"�5.�Q�,"�Q��5.�Q�,"�E��5,5��E�,"�E�,/�

8 �� /����� ����-&,&F/�������� � �

,#� � �%�5 �

Q�

#�Q�,"� ��� � ,#&5�

Q�

,05�

Q�

#�5�

Q�

#�Q�,"� ��� � '�,#&5"�I�5�

Q�

#&��� � �

6�� ��4"���K� ����������� ������� �I� �,5��Q�-�������� ���� � ���� � ��� �$&��� � �

; � /���� �5�

Q�

5� �I� �5,5��

Q�

./������!!�8��������� � �

,#� � �%�5 �

Q�

5�Q�,"� ��� � ,#&5�

Q�

,05�

Q�

5�5�

Q�

5�Q�,"� ��� � '�,#&5"�I�5�

Q�

5&���

6�� ��."���K� ����������� ������� �I� �,5��Q�4�������� ���� � ���� � ��� �,&����������� /��� �

5�

Q�

,�Q�,� �I� �5,5��Q�

.�Q� �,� ��� � ,#0�5�

Q�

,�Q�,"/��� �

����� � /�'�,#&5" I 5�

Q�

,&�� � �

6�� ��F"���K� ����������� ������� �I� �,5��Q�.�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /��� �� ��!����!!�8��������� ������������!��������� !�8����� �

#&5�

Q�

5�E�,�I�,5�5,5��Q�

.�Q� �,"�E�,#� ��� � ,#0�#&5�

Q�

5�E�,"� ��� � '�,#&5" I #&5�

Q�

5�E�,&��

6�� ��1"���K� ����������� ������� �I� �,5��Q�F�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /��� �� ��!����������� �������!!�8����� � �

#&5�

Q�

,�E�,�I�,5�5,5��Q�

.�Q� �,"�E�,#� ��� � ,#0�#&5�

Q�

,�E�,"� ��� � '�,#&5" I #&5�

Q�

,�E�,&��

6�� ��D"���K� ����������� ������� �I� �,5��Q�1�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /���

4&5�

Q�

,� �Q�,�I� �-$�5,5��Q�

.�Q�,"�E�#D� � ���� �� ,#0�4&5�

Q�

,�Q�,"� � � � ����� � '�,#&5" I 4&5�

Q�

,&��

6�� ��,$"���K� ����������� ������� �I� �,5��Q�D�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /����� ����-&,&F�5"/���

5�

Q�

#�E�, I� �5,5���Q�

,"�E�,� ��� � ,#0�5�

Q�

#�E�,"� ��� � '�,#&5" I 5�

Q�

#�E�,&�� �

6�� ��,,"���K� ����������� ������� �I� �,5��Q�,$�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /� �

5�

Q�

5�E�, I� �5,5���Q�

,"�E�,� ��� � ,#0�5�

Q�

5�E�,"� ��� � '�,,&5" I 5�

Q�

5�E�,&�� �

6�� ��,5"���K� ����������� ������� �I� �,5��Q�,,�������� ���� � ���� � ��� �$&�� � � �

���������� /��� �� ��!����!!�8���������� ������ ����������,#0�5�

Q�

,�E�,"&�� �

; � /��� �! ������� ����!��� �&�M�

Page 101: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(== �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�����������5B���������� � ������ �,/� -

#

5

,

-

#

5

,

5 / ��� �1 5 / ����� �1 � ,"5 / ����� �1 � 5"5 / ����� �1 � #"'�,F&5 " �5 ,/ ����� �1 � -"5 ,/ ����� �1 � 4"5 ,/ ����� �1 � ."5 ,/ ������ �1 � F"

� ?* ? *

? *** ? � �

? ** ? * ? *

? *�

� �

�����5*��� ��������/��

'�,F&5"��I�����^����,F&5��]� � �

��� ,"5� _�I�����^����,F&5�

Q�

,� �]� � ����� �Q� � �,"_&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �,$"��

; � /�5�

Q�

,����������� ��� ������������Q�,/�����,F����������� ��� ���� �&�K ���8������ ���!!��� ��������!��� ���� ��� !�8����

6�� ��,"���K� ����������� ������� �I� �1��������� ���� � ���� � ��� �,&�*��� ����-&,&1�5"/�,F������ ��51�� � � �E� �,� �I� �5� � �E � �,&�%�8/� ��

5�

Q�

-�Q�,� �I� �,.�5�E� �,"�Q�,F� ��� � ,F0�5�

Q�

-�Q�,"/�� �

��������,F&5�

Q�

-������ ��5�

Q�

-�5�

Q�

-�Q�,"/������� ���������������,$"����� ��� �����5�

Q�

-&��

6�� ��5"���K� ����������� ������� �I� �1��Q�,�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /��������� ����� ����-&,&1�5"/�� � �

,F� � � �%�5�

Q�

#�Q�,"�I�,.�51��E�,"�Q�,F�I�,.�5�

E�

,�E�,"�Q�,F/��� �

����� � /����������� /��� ���������������,$"������ ��� �����5�

Q�

#&��

6�� ��#"���K� ����������� ������� �I� �1��Q�5�������� ���� � ���� � ��� �$&�� � �

���������� /�5Q,�I 51�Q#&��� �/���� ��

5�

Q�

5� �I� �51� �

Q�

-��I���51��E�,"�5-�Q�,"�Q��5-�Q�,"�E��51��E�,"�E�,/�

� � �

�������� ����� ����-&,&1/������!!�8�������� � �

,F� � �%�5 �

Q�

5�Q�,"� ��� � ,F&5�

Q�

,05�

Q�

5�5�

Q�

5�Q�,"� ��� � '�,F&5"�I�5�

Q�

5&��

6�� ��-"���K� ����������� ������� �I� �1��Q�#�������� ���� � ���� � ��� �$&�� � �

; � /���� �5�

Q�

,� �I� �51��

Q�

-/������!!�8������/�,F������ ��5�

Q�

,�Q�,&�; � /�'�,F&5"�I�5�

Q�

,&���

6�� ��4"���K� ����������� ������� �I� �1��Q�-�������� ���� � ���� � ��� �$&�� � �

���������� /�5�

Q�

,� �I� �51��

Q�

4/���������5�

Q�

-�E�,� �I� �,.�51��Q�

-�Q� �,"�E�,F�����������! ����,F&�� ��

; � /�'�,F&5"�I�5�

Q�

-�E�,&��

6�� ��."���K� ����������� ������� �I� �1��Q�4�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /�,F������ ��5�

Q�

#�E�,� �I� �,.�51��Q�

-�Q� �,"�E�,F������ � /�'�,F&5"� �I� �5�

Q�

#�E�,&�� � �

6�� ��F"���K� ����������� ������� �I� �1��Q�.�������� ���� � ���� � ��� �$&�� � �

; � /�5�

Q�

5�E�,� �I� �51���Q�

,"�E�,/�8��������������! ����,F&�����/�'�,F&5" I 5�

Q�

5�E�,&��

6�� ��1"���K� ����������� ������� �I� �1��Q�F�������� ���� � ���� � ��� �$&�� � �

���������� /��� �� ��!����!!�8�/���� �,F������ ��5�

Q�

,�E�,� �I� �51���Q�

,"�E�,&���

Page 102: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(=( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�� ���� ���� ��� ����� ���!!�8 ���������� +�!���� +�� �����������'��&5"/�8� � ����������������� &�*��/������� ��� �/� ���8��!��� ����!��� ������� ����� �����������! ��� ������ ������ � ��� �� �� !��� �� ���� !��� �&�B��� +���! /� ��� �����'�,D&5"/�8 ���� � ��� ����� ��,1�������! ��� �&������ ���!!�8�����8��! ����/�8 ���� ��� � +�� �����������'�,D&5"�����'�#,&5"/�8�������!�� ������� �������&���

�����������5B���������� � ������ �,/� ,

,

#

5

,

-

#

5

,

D&5 / ��� �,D 4&5 ,/ ������ �,D � ,"#&5 ,/ ����� �,D � 5"#&5 ,/ ����� �,D � #"#&5 ,/ ����� �,D � -"5 / ���� �,D � 4"5 / ��� �,D � ."5 / ������ �,D � F"5 / �������� �,D � 1"'�,D&5 " �D&5

? ? ? ? ?

? ? ? ? �

,

,

#

5

,

-

#

5

,/ ������ �,D � D"4&5 / ��������� �,D � ,$"#&5 / �������� �,D � ,,"#&5 / ��������� �,D � ,5"#&5 / �������� �,D � ,#"5 ,/ ��������� �,D � ,-"5 ,/ ��������� �,D � ,4"5 ,/ ��������� �,D � ,."5

? ? ? ? ?

? ? ?

, ,/ ��������� �,D � ,F"�

�***********�**********

? *�

�����5*��� ��������/��

'�,D&5"��I�����^����,D&5��]� � ��� ,"5� _�I�����^����,D&5�

Q�

,� �]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � ��

�� � ���� ��������! ��� ���� ���� ��� !�8&�� �

6�� ��,"���K� ����������� ������� �I� �,1��������� ���� � ���� � ��� �,&�; � /����� ����-&,&D�5"/�,D��]� ��D&5�

Q�

,�Q�,"� �I� �,1�5,1�� � �E� �,"�Q�,D&�����/�'�,D&5"�I�D&5�

Q�

,&�� � �

6�� ��5"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�,�������� ���� � ���� � ��� �$&�3�� �,D������ ��4&5�

Q�

,�E�,� �I� �5$�5,1�� � �E � �,"�Q�,D/�8 ���� /�'�,D&5"�I�4&5�

Q�

,� � �E� �,&�

6�� ��#"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�5�������� ���� � ���� � ��� �$&� ������������ /�,D������ ��,5&5�

Q�

,�E�,� �I� �D.�5,1�� � �E � �,"�Q�D4&�; � /�'�,D&5"�I�#&5�

Q�

#� � �E� �,&�

� ��

6�� ��-"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�#�������� ���� � ���� � ��� �$&��

; � /�,D������ ��.&5�

Q�

,�E�,� �I� �D.�5,1�� � �E � �,"�Q�D4&�6��� <� ��!�/�'�,D&5"�I�#&5�

Q�

5� � �E � �,&�

� ��

6�� ��4"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�-�������� ���� � ���� � ��� �$&�� � �

���������� /�,D������ ��#&5�

Q�

,�E�,� �I� �D.�5,1�� � �E� �,"�Q�D4&��� � ��� /�'�,D&5"�I�#&5�

Q�

,� � �E � �,&�

6�� ��."���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�4�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /�,D������ ��1&5�

Q�

,�Q�,� �I� �4,5�5,1�� � �E � �,"�Q�4,#/�������/�'�,D&5"�I�5�

Q�

-&�

Page 103: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(=< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6�� ��F"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�.�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /�,D������ ��-&5�

Q�

,�Q�,� �I� �4,5�5,1�� � �E � �,"�Q�4,#/������ � /�'�,D&5"�I�5�

Q�

#&��

6�� ��1"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�F�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /�,D������ ��5&5�

Q�

,�Q�,� �I� �4,5�5,1�� � �E � �,"�Q�4,#&�0�����/�'�,D&5"�I�5�

Q�

5&��

6�� ��D"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�1�������� ���� � ���� � ��� �$&�K������� 5�

Q�

,� �I� �5,1� �

Q�

D��I���5,1��E�,"�5D�Q�,"�Q��5D�Q�,"�E��5,1��E�,"�E�,/� ��� ��!!�8�/� ���� ���� -&,&D�,"/�

�����,D������ ��5�

Q�

,�Q�,&�6��� <� ��!�/�'�,D&5"�I�5�

Q�

,&��

6�� ��,$"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�D�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /�,D������ ��D&5�

Q�

,� � �E�,��I� �,1�5,1��

Q�

D��Q�,"��E�,D/��������/�'�,D&5"�I�D&5�

Q�

,� � �E� �,&�

��

6�� ��,,"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�,$�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /�,D������ ��4&5�

Q�

,� � �Q�,��I��5$�5,1��

Q�

D��Q�,"� � �E�,D/������ � /�'�,D&5"�I�4&5�

Q�

,&�� �

6�� ��,5"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�,,�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /�,D������ ��,5&5�

Q�

,� � �Q�,��I��D.�5,1��

Q�

D� �Q�,"� � �E�D4&��� �/�'�,D&5"�I�#&5�

Q�

#&�� �

6�� ��,#"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�,5�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /�,D������ ��.&5�

Q�

,� � �Q�,��I��D.�5,1��

Q�

D��Q�,"� � �E�D4&�����/�'�,D&5"�I�#&5�

Q�

5&�� �

6�� ��,-"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�,#�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /�,D������ ��#&5�

Q�

,� � �Q�,��I��D.�5,1��

Q�

D��Q�,"� � �E�D4&��� � ��� /�'�,D&5"�I�#&5�

Q�

,&�� �

6�� ��,4"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�,-�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /�,D������ ��5�

Q�

-� � �E�,��I� �5,1�� �

Q�

,"� � � �E�,&�0������ <� ��!�/�'�,D&5"�I�5�

Q�

-� � �E� �,&�

��

6�� ��,."���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�,4�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /�,D������ ��5�

Q�

#� � �E�,��I� �5,1���

Q�

,"� � � �E�,/��������/�'�,D&5"�I�5�

Q�

#� � �E� �,&�

� �

6�� ��,F"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�,.�������� ���� � ���� � ��� �$&����������� /�,D������ ��5�

Q�

5� � �E�,��I� �5,1�� �

Q�

,"� � � �E�,&��� � ��� /�'�,D&5"�I�5�

Q�

5� � �E � �,&�

��

6�� ��,1"���K� ����������� ������� �I� �,1��Q�,F�������� ���� � ���� � ��� �$&�%����������/�5�

Q�

,�� �E�,��I� �5,1���

Q�

,"� � � �E�,�����������! ����,D/������!!�8�������'�,D&5"�I�5�

Q�

,� � �E� �,&�

; � /��� �! ������� ����!��� �&�M����

�����������5B���������� � ������ �,/� ,

-

#

5

5

,4&5 / ���� �4 5 ,/ ��� �4 � ,"

'�#,&5 " � 5 ,/ ��� �4 � 5"5 ,/ ��� �4 � #"5 ,/ ��� �4 � #"

� ?* ? *

� � ? * ? * ? �

�����5�������� �� ��������/�

'�#,&5"��I�����^����#,&5�] ��� ,"5� _�I�����^����#,&5�

Q�

,�]� ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � ��

K ���8������ ���� ���� �������! ��� ��� ����� !��� !�8����

6�� ��,"���K� ����������� ������� �I� �4��������� ���� � ���� � ��� �,&�*��� ����-&,&,$/�#,������ ��,4&5�

Q�

,�Q�,� �I� �#$�54�� � � �E � �,"�Q�#,&�����/�'�#,&5"�I�,4&5�

Q�

,&� � ��

6�� ��5"���K� ����������� ������� �I� �4��Q�,�������� ���� � ���� � ��� �$&�; � /���� �#,������ ��1&�5�

Q�

,� � �E� �,� �I � �#5�54�� � � �E � �,"�Q�#,/������!!�8�������'�#,&5"�I�5�

Q�

-� � �E� �,&�

Page 104: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(=? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

6�� ��#"���K� ����������� ������� �I� �4��Q�5�������� ���� � ���� � ��� �$&��

���������� /�5�

Q�

,� �I� �1�54�� � � �E� �,"�Q�1/���������#,������ ��-&�5�

Q�

,� � �E� �,&�����/�'�#,&5"�I�5�

Q�

#� � �E� �,&�

6�� ��-"���K� ����������� ������� �I� �4��Q�#�������� ���� � ���� � ��� �$&��

; � /�5&�5�

Q�

,� � �E � �,� �I� �#5�54�� � � �E � �,"�Q�#,�����������! ����#,&��� � ��� /�'�#,&5"�I�5�

Q�

5� � �E� �,&�

6�� ��4"���K� ����������� ������� �I� �4��Q�-�������� ���� � ���� � ��� �$&��

���������� /�#,������ ��5�

Q�

,� � �E� �,� �I� �54�� �

Q�

,"� � � �E� �,&�0�����/�'�#,&5"�I�5�

Q�

,� � �E� �,&�

0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&�U������

�� � +�� �����������'�5�"�����'�#�"�� � #"��� ���� ������ �����-&5&,- � �� �� �� � ) ���� ���� -&5&,4&�����

�����������5�������� �#���������� ��������� �#���������� � �/��� ��

����- �� ,"� / ������������'�5� " ��� �8�� , /�� ? �� � �

� �

�����5*��� ��������/� �

'�5�"��I�����^����5���]� �

��� ,"5� _�I�����^����-���]� � ����� �Q � � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

K ������ ���� ��8���������!��� �����

6�� �,������������� ������-���Q�,�������� ���� � ������� �,&����������� /�� � �

���I���-���Q�,"��I���-�"��Q��6,��-�"E,��Q��P��Q��6�E,"��-�"��Q��,/� �� � �

���8���������-������ �����E��,&�; � /����������� /�'�5�"��I�����E��,&�� � �

6�� �5������������� ������-���Q��#�������� ���� � ������� �,&�; � /�� � �

���I���-���Q��#"��I���-�"��Q��6,��-�"�

E�

,�#"��Q��P��Q��6��E�,"��-�"#�

E�

,� �Q��#&� �

� � �

�,"� ������� �5���� � �/��� ������ ����-&,&5/�-��]� ��#��E��,"/���������-��]� �����E� �,"&�����/�'�5�"��I�����E��,&� ��� � �

�5"� ������� �#�������/��� ������ ����-&,&5/�-��]� ��#��Q� �,"/��������-��]� �����Q��,"&�; � /�'�5�"��I���&� �� � �

0!!��� � ����! � ��� ������������ ��� �� �&�U����

�����������5�������� �4���������� ��������� �#���������� � �/��� ��

����# �� ,"� / ������������'�#� " ��� �8�� , /�� ? �� � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��

�����5�������� �� ��������/� �

'�#�"��I�����^����#���]� �

��� ,"5� _�I�����^����.���]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

K ���8������ ���� ���!!�8�����8��������! ��� �����

6�� �,������������� ������#���Q�,�������� ���� � ������� �,&����������� /���� ��

���I���#���Q��,"��I���#�"��Q��6,��#�"E,��Q��P��Q��6�E,"��#�"��Q��,/� ��

�����!!�8�������#��]� �����E� �,"&�����/����������� /�'�#�"��I�����E��,&���

6�� �5������������� ������#���Q��5�������� ���� � ������� �,&��� �/��

���I���#���Q�5"��I���#�"��Q��6,��#�"E,�5"��Q��P��Q��6�E,"��#�"5E,��Q��5&� ��

�,"� ������� �5���� � �/��� ������ ����-&,&#/�#��]� ��5��E��,"/��������#��]� �����E��,"&�����/�'�#�"��I�����E��,&� ��

�5"� ������� �#�������/��� ������ ����-&,&#/�#��]� ��5��Q�,"/���������#��]� �����Q�,"&�; � /�'�#�"��I���&�U�

Page 105: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(=2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

� ����-&5&,.��E��� ����-&5&54���� ��� � +�� �����������'�-�"/�'�4�"/�'�.�"/�'�F�"/�'�1�"/�'�D�"/�'�,$�"/�'�,,�"/�'�,5�"�����'�,#�"�� �� ��� !�/�8� � ������������ &� �����

�����������5�������� �#���������� /��� �� ��

� ,/ ��� �1 �� ,"�/ ��� �1 �� ,"'�-�" � #� ,/ ��� �1 �#� ,"#�/ ��� �1 �#� ,"

? �* ? �� � ? *

? ��

�����5*��� ��������/� ��

'�-�"��I�����^����-���]� �

��� ,"5� _�I�����^����1���]� � ����� �Q� � �,"_&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �

; � /������������� ���!���� �������������Q��,&�K ���8������ ��� ����� !�� �� ���!!�8����������� ��������������� �� � ��������������

6�� ��,"������������� ���������I��1���Q�,�������� ���� � ������� �,&� ����������� /�1������ �����E��,/������ � /����� ����-&5&-/�'�-�"��I�����E��,&� � ��

6�� ��5"������������� ���������I��1���Q��F�������� ���� � ������� �$&� �; � /�1������ �����Q�,/������ � /�'�-�"��I��������� ����-&5&-"&�� � �

6�� ��#"������������� ���������I��1���Q��#�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�1������ ��#���E��,��I��1�#���Q��,"/������ � /�'�-�"��I��#���E��,&� � �� � �

6�� ��-"������������� ���������I��1���Q��4�������� ���� � ������� �$&� �; � /�1������ ��#���Q�,��I��1�#���Q��5"/������ � /�'�-�"��I��#�&� �� � �

0!!��� � ����! � ��� ������������ ��� �� �&�U�� ���

�����������5�����I�#��������� �F���������� /��� �� ��

� ,/ ���� �,$ �� ,"�/ ���� �,$ �� ,"'�4�" � 5� ,/ ���� ���4 �5� ,"5�/ ���� ���4 �5� ,"

? �* ? �� � ? *

? ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �

�����5������� ��������/��

'�4�"��I�����^����4���]� �

��� ,"5� _��I�����^����,$���]� � ����� �Q� � �,"_&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �,,"�

� � �

%�8/� ������� ����� � �� � ����� �������Q�,/� ���� 4������ ����� � �� � ��� �&� *�� � ���� -&5&-/� �� ���������������,,"������ ��� ��������E��,���������,$������ �����E��,�������Q��,�� �� ��� !�&� �; � /�8 ���� ��������� ���� ���!!�8����������! �������� ����� � �

6�� ��,"�������������� �8��� �!�������������,&�; � /�,$������ �����E��,/������ � /�'�4�"��I�����E��,&�� � �

6�� ��5"�������������� �8��� �!�������������D&����������� /�,$������ �����Q�,/�������/�'�4�"��I���&�� � �

6�� ��#"�������������� �8��� �!�������������#&�; � /�4��]� ��5���E��,"/���������,$���]� �5��5���E��,"&�� � �

����/��� ���������������,,"������ ��� �����5���E��,&�; � /�'�4�"��I��5���E��,&�� � �

6�� ��-"�������������� �8��� �!�������������F&�; � /�4������ ��5���Q�,/������ � /�'�4�"��I��5�&� ��

; � /��� �������������! � &�U�

Page 106: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(=3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����������5�������� �4���������� /��� �� �� ,/ ���� �,5 �� ,"�/ ���� �,5 �� ,"'�.�" � #�/ ��� �,5 �� 4"#� ,/ ��� �,5 �� F"

? �* ? �� � ? *

? �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �

�����5*��� ��������/� �

'�.�"��I�����^����.���]� �

��� ,"5� _�I�����^����,5���]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� � �

; � /������������� � +��!���� �������������Q��,&� � �� � �

%�8/��� ���!!�8����������� ���������� �� � ����������� ������ ������ ����� ������ � �

6�� ��,"������������� ������� I ,5� Q,�������� ���� � ��� � ,&� �

���������� /�,5������ �����E��,/������ � /����� ����-&5&-/�'�.�"��I�����E��,&� � �6�� ��5"������������� ������� I ,5� Q ,,�������� ���� � ��� � $&� �

; � /�,5������ �����Q�,/������ � /�'�.�"��I��������� ����-&5&-"&�� � �

6�� ��#"������������� ���������I��,5���Q��4�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�-������ ��#���Q�,�I�-�D��Q�-"/���������,5���]� � �#��#���Q�,"&�����/�'�.�"��I��#�&� �� � �

6�� ��-"������������� ���������I��,5���Q��F�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�-������ ��#���E��,�I�-�D��Q�4"/������ � /�'�.�"��I��#���E��,&� �� � �

0!!��� � � ����!������ �! ���&�U����

���������� 5�������� �#�8��������F���������� /��� �� ��

� ,/ ��� �F �� ,"�/ ��� �F �� ,"#�/ ����� �F �#� ,"'�F�" � ����� �F �#� ,"#� ,/

����� �F �5� ,"5�/����� �F �5� ,"5� ,/

? �* ? �* ? �*� � ? *

? �*? * �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

�����5�3�� �

'�F�"��I�����^����F���]� �

��� ,"5� _�I�����^����,-���]� � ����� �Q� � �,"_/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �

�� � �

������������ � +��!���� ������������Q��,/�����F����������� ��� ���� �&� ��

K ������ ���� ���+��� ��������������� &��

6�� ��,"������������� ���������I� �F�� �Q� �,�������� ���� � ���� ��� �,&��

���������� /�F������ �����E� �,/�������� <� ��!�/����� ����-&5&-/�'�F�"��I� ��� �E�,&� ��� � �

6�� ��5"������������� ���������I��F���Q��.�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�F������ �����Q�,/�������/�'�F�"��I��������� ����-&5&-"&� ��� � �

6�� ��#"������������� ���������I��F���Q��5�������� ���� � ������� �,&��

���������� /�F������ ��#���Q�,�I�F�#��Q�,"/���������F���]� � �#��#���Q�,"&��� � ��� /�'�F�"��I��#�&�

Page 107: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(=F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6�� ��-"������������� ���������I��F���Q��4�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�F��]� ��#���E�,"&�6! ��!�/�5��]� ��#���E�,"����8 !!&�����/�,-���]� �#��#���E�,"&�; � /�'�F�"��I��#���E�,&� �� � �

6�� ��4"������������� ���������I��F���Q��#�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�F������ ��5���Q�,�I�F�5��Q�,"/������ � /�'�F�"��I��5�&� � �� � �

6�� ��."������������� ���������I��F���Q��-�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�F������ ��5���E�,�I�F�5��Q�,"/������ � /�'�F�"��I��5��E��,&� �� � �

; � /��� �! ������� ����!��� �&�U�����

����������5B����������� ������ �#/� � �

� ,/ ��� �,. �� ,"�/ ��� �,. �� ,"4�/ ����� �,. �4� ,"4� ,/ ����� �,. �4� ,"'�1�" � #�/ ����� �,. �#� ,"

����� �,. �#� ,"#� ,/����� �,. �F� ,"F� ,/����� �,. �F� ,"F�/

? �* ? �* ? �*

? *� � ? �*? *? *

* ? ��

�����5*��� ��������/� �

'�1�"��I�����^����1���]� �

��� ,"5� _�I�����^����,.���]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� �/������������� � +��!���� ������������Q�,&� ���

; � /�8 ���� ��������� ���� ���!!�8���� ������������!��� ������

6�� ��,"������������� ������� I ,.� Q,�������� ���� � ��� � ,&� ��

���������� /�,.������ �����E��,/�������/����� ����-&5&-/�'�1�"��I�����E�,&� � ���

6�� ��5"������������� ���������I��,.���Q�,4�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�,.������ �����Q�,/������ � /�'�1�"��I��������� ����-&5&-"&���

6�� ��#"������������� ���������I��,.���Q��#�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�,.������ ��4���Q�,/���������,.������� ��4��4���Q�,"&�; � /�'�1�"��I��4�&� � ���

6�� ��-"������������� ���������I��,.���Q�,#�������� ���� � ������� �$&� �; � /�,.������ ��4���E�,�I�,.�4��Q�-"/������ � /�'�1�"��I��4���E�,&� ���

6�� ��4"������������� ���������I��,.���Q��4�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�,.������ ��#���Q�,�I�,.�#��Q�,"/������ � /�'�1�"��I��#�&� � ���

6�� ��."������������� ���������I��,.���Q�,,�������� ���� � ������� �$&� �; � /�,.������ ��#���E��,�I�,.�#��Q�5"/������ � /�'�1�"��I��#���E��,&� ���

6�� ��F"������������� ���������I��,.���Q��F�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�,.������ ��F���E��,�I�,.�F��Q�#"/������ � /�'�1�"��I��F��E�,&� � ���

6�� ��1"������������� ���������I��,.���Q��D�������� ���� � ������� �,&� �; � /�,.������ ��F���Q�,�I�,.�F��Q�-"/������ � /�'�1�"��I��F�&� �����/��� �������������! � &�U�

Page 108: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(=1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����������5B����������� ������ �4/�� ,/ ��� �,1 �� ,"�/ ��� �,1 �� ,"5� ,/ ����� ���D �5� ,"'�D�" � 5�/ ����� ���D �5� ,"

����� ���D �-� ,"-� ,/����� ���D �-� ,"-�/

? �* ? �* ? � � ? �* ? *

? ��

� � � �

�����5*��� ��������/� ��

'�D�"��I�����^����D���]� �

��� ,"5� _�I�����^����,1���]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �� � �

�� ���+�������! ��� ���� ������ � ��� ����� !��� !�8���� � �

6�� ��,"������������� ������� I ,1� Q,�������� ���� � ��� � ,&� ����������� /�,1������ �����E��,/�������/����� ����-&5&-/�'�D�"��I�����E�,&� � �� � �

6�� ��5"������������� ���������I��,1���Q�,F�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�,1������ �����Q�,/������ � /�'�D�"��I��������� ����-&5&-"&� �� � �

6�� ��#"������������� ���������I��,1���Q��4�������� ���� � ������� �$&� �; � /�5��E�,�I�D�-��Q�,"/���������,1������� ��5��5��E�,"&�����/�'�D�"��I��5��E�,&��

6�� ��-"������������� ���������I��,1���Q�,#�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�D������ ��5���Q��,�I�D�-��Q�#"/�������� <� ��!�/�'�D�"��I��5�&� �� � �

6�� ��4"������������� ���������I��,1���Q�F�������� ���� � ������� �$&� �; � /�D������ ��-���E��,�I�D�1��Q�#"/���������,1������� ��-��-���E��,"&�����/�'�D�"��I��-���E��,&��� � �

6�� ��."������������� ���������I��,1���Q�,,�������� ���� � ������� �$&� ����������� /���� �D������ ��-���Q�,�I�D�1��Q�4"/������!!�8������/�'�D�"��I��-�&�U��� ���

�����������5B����������� ������ �#�8��������4/��

� ,/ ��� �5$ �� ,"�/ ��� �5$ �� ,"4�/ ���� �5$ �� #"

���� �5$ �� #"4� ,/'�,$�" � ���� �5$ �� F"#� ,/���� �5$ �� F"#�/���� �5$ �� D"-� ,/���� �5$ �� D"-�/

? �* ? �* ? ** ? �� � ? * ? �*

? *? �*�

� � � �

�����5*��� ��������/� �

'�,$�"��I�����^����,$���]� �

��� ,"5� _�I�����^����5$���]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �� � �

�� � �����������! ��� ���� ������ � ��� !�8���� � �

6�� ��,"������������� ������� I 5$� Q,�������� ���� � ��� � ,&�

���������� /�5$������ �����E��,/�������/����� ����-&5&-/�'�,$�"��I�����E�,&� � �� � �

6�� ��5"������������� ���������I��5$���Q�,D�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�5$������ �����Q�,/������ � /�'�,$�"��I��������� ����-&5&-"&� �

Page 109: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(=0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6�� ��#"������������� ���������I��5$���Q�#�������� ���� � ������� �$&� �; � /�-������ ��4���Q�,�I�-�54��Q�-"/���������5$������� ��4��4���Q�,"&�����/�'�,$�"��I��4�&��

6�� ��-"������������� ���������I��5$���Q�,F�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�-������ ��4���E�,�I�-�54��Q�5,"/������ � /�'�,$�"��I��4���E�,&� �� � �

6�� ��4"������������� ���������I��5$���Q�F�������� ���� � ������� �$&� �; � /�5$������ ��#���E��,�I�5$�#��Q�,"/�������� <� ��!�/�'�,$�"��I��#���E��,&� � �� � �

6�� ��."������������� ���������I��5$���Q�,#�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�5$������ ��#���Q�,�I�5$�#��Q�5"/������ � /�'�,$�"��I��#�&� �� � �

6�� ��F"������������� ���������I��5$���Q��D�������� ���� � ������� �,&� �; � /�4������ ��-���E��,�I�4�,.��Q�F"/���������5$������� ��-��-���E��,"&�����/�'�,$�"�I��-���E��,&�� � �

6�� ��1"������������� ���������I��5$���Q�,,�������� ���� � ������� �$&� ����������� /���� �4������ ��-���Q�,�I�4�,.��Q�D"/������!!�8������/�'�,$�"��I��-�&�U��� �� � ���

�����������5B����������� ������ �#�8��������,,/� � ��

� ,/ ��� �,, �� ,"�/ ��� �,, �� ,"�4�/ ����� �,, �4� ,"4� ,/ ����� �,, �4� ,"�-� ,/ ����� �,, �-� ,"'�,,�" -�/ ����� �,, �-� ,"

����� �,, �#� ,"�#� ,/����� �,, �#� ,"#�/����� �,, �5� ,"5�/����� �,, �5� ,"�5� ,/

? �* ? �* ? �*

? ** ? � � ? �

? ? �? �?

*****�

� � � �

��

�����5*��� ��������/� ��

'�,,�"��I�����^����,,���]� �

��� ,"5� _�I�����^����55���]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � ��

; � /������������� � +��!���� ������������Q�,/�����,,����������� ��� ���� �&� ��

K ���� ��������� ��� ��������! ��� �&� �� � �

6�� ��,"������������� ���������I��,,���Q�,�������� ���� � ������,&� �

���������� /�,,������ �����E��,/�������/����� ����-&5&-/�'�,,�"��I�����E�,&� �� � �

6�� ��5"������������� ���������I��,,���Q�,$�������� ���� � ������� �,&� �� � �

; � /�,,������ �����Q�,/�������� <� ��!������� ����-&5&-"/�'�,,�"��I���&� �� � �

6�� ��#"������������� ���������I��,,���Q��5�������� ���� � ������� �,&� �� � �

���������� /�,,������ ��4���Q�,�I�,,�4��Q�,"/������ � /�'�,,�"��I��4�&�� �� � �

6�� ��-"������������� ���������I��,,���Q��D�������� ���� � ������� �,&� �� � �

; � /�,,������ ��4���E�,�I�,,�4��Q�-"/������� � ��� /�'�,,�"��I��4���E�,&� �� � �

6�� ��4"������������� ���������I��,,���Q��#�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�,,������ ��-���E��,�I�,,�-��Q�,"/������ � /�'�,,�"��I��-���E��,&� � �

Page 110: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(=C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

6�� ��."������������� ���������I��,,���Q��1�������� ���� � ������� �,&� �; � /�,,������ ��-���Q�,�I�,,�-��Q�#"/�������� <� ��!�/�'�,,�"��I��-�&� �� � �

6�� ��F"������������� ���������I��,,���Q��-�������� ���� � ������� �,&� ����������� /�,,������ ��#���E��,�I�,,�#��Q�,"/������ � /�'�,,�"��I��#��E�,&� � �� � �

6�� ��1"������������� ���������I��,,���Q��F�������� ���� � ������� �$&� �; � /�,,������ ��#���Q�,�I�,,�#��Q�5"/��������/�'�,,�"��I��#�&� �� � �

6�� ��D"������������� ���������I��,,���Q��4�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�,,������ ��5���Q�,�I�,,�5��Q�,"/������ � /�'�,,�"��I��5�&�� �� � �

6�� ��,$"������������� ���������I��,,���Q��.�������� ���� � ������� �,&� �; � /���� �,,������ ��5���E�,�I�,,�5��Q�,"/������!!�8������/�'�,,�"��I��5���E��,&�U���� �

�����������5�������� �#���������� /��� �� ��

� ,/ ��� �5- �� ,"�/ ��� �5- �� ,"#�/ ����� ���1 �#� ,"'�,5�" ����� ���1 �#� ,"�#� ,/

����� �5- �F� ,"F� ,/����� �5- �F� ,"F�/

? �* ? �* ? �*� � ? *

? *? �*�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �

�����5*��� ��������/� ��

'�,5�"��I�����^����,5���]� �

��� ,"5� _�I�����^����5-���]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �

; � /������������� � +��!���� ������������Q�,&� ��

K ������ ���� ���!!�8���� ������� ��������������� �� � ��������������

6�� ��,"������������� ������� I 5-� Q,�������� ���� � ��� � ,&� ����������� /�5-������ �����E�,&��� � ��� /����� ����-&5&-/�'�,5�"��I�����E�,&� ��

6�� ��5"������������� ���������I��5-���Q��5#�������� ���� � ������� �$&� �; � /�5-������ ����Q�,/�������/�'�,5�"��I��������� ����-&5&-"&� � ��

6�� ��#"������������� ���������I��5-���Q��4�������� ���� � ������� �$&����������� /�1������ ��#���Q�,�I�1�D��Q�5"/���������5-������� ��#��#���Q�,"&�; � /�'�,5�"��I��#�&��

6�� ��-"������������� ���������I��5-���Q��,D�������� ���� � ������� �$&� �; � /�1������ ��#���E�,�I�1�D��Q�F"/�������� <� ��!�/�'�,5�"��I��#���E�,&� ��

6�� ��4"������������� ���������I��5-���Q��F�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�5-������ ��F���E�,�I�5-�F��Q�5"/������� � ��� /�'�,5�"��I��F���E�,&� � ��

6�� ��."������������� ���������I��5-���Q��,F�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�5-������ ��F���Q�,�I�5-�F��Q�4"/������ � /�'�,5�"��I��F�&� ��

6�� ��F"������������� ���������I��5-���Q�,,�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�1������ ��#���E��,�I�1�D��Q�-"/�������/�'�,5�"��I��#��E�,&� � ��

6�� ��1"������������� ���������I��5-���Q�,#�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�1������ ��#���Q�,�I�1�D��Q�4"/������ � /�'�,5�"��I��#�&� �������! � ��� ������������ �! ���/���� ������'�#."�I�1&�U�

Page 111: Wandering in the World of Smarandache Numbers

((= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�����������5B����������� ������ �5/� � ��

� ,/ ��� �,# �� ,"�/ ��� �,# �� ,".�/ ����� �,# �.� ,"�.� ,/ ����� �,# �.� ,"-�/ ����� �,# �-� ,"�-� ,/ ����� �,# �-� ,"'�,#�" #�/ ����� �,# �#� ,"

����� �,# �#� ,"�#� ,/����� �,# �4� ,"4�/����� �,# �4��4� ,/

5�/�5� ,/

? ? �? �

? ? �

? � ? �? ? �?

,"����� �,# �5� ,"����� �,# �5� ,"

�******�****

? �** ? �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����5*��� ��������/� ��

'�,#�"��I�����^����,#���]� �

��� ,"5� _�I�����^����5.���]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � �

; � /������������� � +��!���� ������������Q�,/�����,#����������� ��� ���� �&� ��

� ����������� /�8 ���� ��������� ���� ��8 !� �������! ��� ��������������� ���� � �

6�� ��,"������������� ������� I ,#� Q,�������� ���� � ��� � ,&� �

���������� /�,#������ �����E��,/�������/����� ����-&5&-/�'�,#�"��I�����E�,&� � ��

6�� ��5"������������ ���������I��,#���Q�,5�������� ���� � ������� �,&� �� � �

; � /�,#������ �����Q�,/������ � /�'�,#�"��I��������� ����-&5&-"&��

6�� ��#"������������� ���������I��,#���Q��5�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�,#������ ��.���Q�,�I�,#�.��Q�,"/������ � /�'�,#�"��I��.�&�� �� � �

6�� ��-"������������� ���������I��,#���Q�,,�������� ���� � ������� �$&� �; � /�,#������ ��.���E�,�I�,#�.��Q�4"/������ � /�'�,#�"��I��.���E�,&� �� � �

6�� ��4"������������� ���������I��,#���Q��#�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�,#������ ��-���Q��,�I�,#�-��Q�,"/������ � /�'�,#�"��I��-�&�� �� � � �

6�� ��."������������� ���������I��,#���Q�,$�������� ���� � ������� �,&� �; � /�,#������ ��-���E��,�I�,#�-��Q�#"/������ � /�'�,#�"��I��-���E��,&� �� � �

6�� ��F"������������� ���������I��,#���Q��-�������� ���� � ������� �,&� ����������� /�,#������ ��#���Q��,�I�,#�#��Q�,"/������ � /�'�,#�"��I��#�&�� �� � �

6�� ��1"������������� ���������I��,#���Q��D�������� ���� � ������� �,&� �; � /�,#������ ��#��E�,�I�,#�#��Q�5"/������ � /�'�,#�"��I��#��E�,&� �� � �

6�� ��D"������������� ���������I��,#���Q��4�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�,#������ ��4���Q�,�I�,#�4��Q�5"/������ � /�'�,#�"��I��4�&�� ��

6�� �,$������������� ���������I��,#���Q��1�������� ���� � ������� �,&�; � /�'�,#�"��I��4���E��,&� �� � �

6�� �,,������������� ���������I��,#���Q��.�������� ���� � ������� �,&� ����������� /�,#������ ��5���Q�,�I�,#�5��Q�,"/������ � /�'�,#�"��I��5�&�� �� � �

6�� �,5������������� ���������I��,#���Q��F�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�,#�"��I��5���E��,&�U�

Page 112: Wandering in the World of Smarandache Numbers

((( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

���� �����-&5&5.�E�-&5&5F/�8 ���� ��� � +�� �����������'�,.�"�����'�#5�"&����� � ��

�����������5B����������� ������ �#/� � ��

� ,/ ��� �#5 �� ,"�/ ��� �#5 �� ,",,� ,/ ���� �#5 �� #",,�/ ������ �#5 �� 5D",#� ,/ ���� �#5 �� 4",#�/ ������ �#5 �� 5F"D�/ ����� �#5 �� F"

������ �#5 �� 54"D� ,/'�,.�" ����� �#5 �� DF�/

F� ,/#� ,/#�/4� ,/4�/,4� ,/,4�/

? ? �

? ?

? ? ? ? �?

"������ �#5 �� 5#"������ �#5 �� ,,"������ �#5 �� 5,"������ �#5 �� ,#"������ �#5 �� ,D"������ �#5 �� ,4"������ �#5 �� ,F"

�********�*

? *? *? *

* ? * ? * ? * ? �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����5*��� ��������/� ���

'�,.�"��I�����^����,.���]� �

��� ,"5� _�I�����^����#5���]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � �

��

; � /������������� � +��!���� ������������Q�,&� ���

���������� /�8 ���� ��������� ���� ���+� ��������! ��� ��������������� ���� � �

6�� ��,"������������� ������� I #5� Q,�������� ���� � ��� � ,&� �

���������� /�#5������ �����E��,/�������/����� ����-&5&-/�'�,.�"��I�����E�,&� � ��

6�� ��5"������������� ���������I��#5���Q��#,�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�#5������ ��� � ��� �Q�,/������ � /�'�,.�"��I��������� ����-&5&-"&��

6�� ��#"������������� ���������I��#5���Q��#�������� ���� � ������� �$&� �� � �

3�� �,,��E�,�I�#5�,,��Q�,"/������!!�8�������#5������ ��,,���E�,&�; � /�'�,.�"��I��,,��E�,&�� � �

6�� ��-"������������� ���������I��#5���Q��5D�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�,.�"��I��,,�&� �� � �

6�� ��4"������������� ���������I��#5���Q��4�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�#5������ ��� � �,#��� �E�,�I�#5�,#��Q�5"/������ � /�'�,.�"��I��,#��E�,&� � �� � � �

6�� ��."������������� ���������I��#5���Q��5F�������� ���� � ������� �,&�; � /�'�,.�"��I��,#�&� �� � �

6�� ��F"������������� ���������I��#5���Q��F�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�D��Q�,�I�#5�D��Q�5"&��� � ��� /�#5������ ��D���Q��,/������ � /�'�,.�"��I��D�&� �� � �

6�� ��1"������������� ���������I��#5���Q��54�������� ���� � ������� �,&�; � /�'�,.�"��I��D��E�,&� �� � �

6�� ��D"������������� ���������I��#5���Q��D�������� ���� � ������� �,&� ����������� /�#5������ ��F���Q�,�I�#5�F��Q�5"/�������� <� ��!�/�'�,.�"��I��F�&� � ��

6�� ��,$"������������� ���������I��#5���Q��5#�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�,.�"��I��F���E��,&� �

Page 113: Wandering in the World of Smarandache Numbers

((< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6�� ��,,"������������� ���������I��#5���Q�,,�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�#5������ ��� � �#���E�,�I�#5�#��Q�,"/������ � /�'�,.�"��I��#��E�,&� � �� � �

6�� ��,5"������������� ���������I��#5���Q��5,�������� ���� � ������� �,&�; � /�'�,.�"��I��#�&���

6�� ��,#"������������� ���������I��#5���Q�,#�������� ���� � ������� �$&� ��

3�� �#5������ ��� � �4���E�,�I�#5�4��Q�5"/������!!�8������/�'�,.�"��I��4��E�,&� � ��

6�� ��,-"������������� ���������I��#5���Q�,D�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�,.�"��I��4�&� �� � �

6�� ��,4"������������� ���������I��#5���Q�,4�������� ���� � ������� �,&� ��

���������� /�#5������ ��� � �,4���E�,�I�#5�,4��Q�F"/�������/�'�,.�"��I��,4��E�,&� � �� � �

6�� ��,."������������� ���������I��#5���Q�,F�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�,.�"��I��,4�&�U������

�����������5B����������� ������ �#/� � ��

� ,/ ��� �.- �� ,"�/ ��� �.- �� ,"5,�/ ���� �.- �� #"5,� ,/ ������ �.,#� ,/,#�/D�/D� ,/F�/F� ,/5D�/5D� ,/4� ,/4�/,F�/'�#5�" �,F� ,/,4�/,4� ,/5F� ,/5F�/#�/#� ,/54�/54� ,/5#�/5#� ,/,D� ,/,D�/,,�/,,� ,/#,� ,/#,�

? ? �?

- �� .,"���� �.- �� 4"������ �.- �� 4D"����� �.- �� F"������ �.- �� 4F"���� �.- �� D"������ �.- �� 44"������ �.- �� ,,"������ �.- �� 4#"������ �.- �� ,#"������ �.- �� 4,"������ �.- �� ,4"������ �.- �� -D"������ �.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - �� ,F"

������ �.- �� -F"������ �.- �� ,D"������ �.- �� -4"������ �.- �� 5,"������ �.- �� -#"������ �.- �� 5#"������ �.- �� -,"������ �.- �� 54"������ �.- �� #D"������ �.- �� 5F"������ �.- �� #F"������ �.- �� 5D"

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

������ �.- �� #4"������ �.- �� #,"������ �.- �� ##"

�*****************�*************** ? * ? * ? �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Page 114: Wandering in the World of Smarandache Numbers

((? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����5*��� ��������/� ��

'�#5�"��I�����^����#5���]� �

��� ,"5� _�I�����^����.-���]� � ����� �Q� � �,"_&� � �

; � /������������� � +��!���� ������������Q�,&� ��

� ����������� /�8 ���� ��������� ���� �#5�������! ��� ��������������� ���� � �

6�� ��,"������������� ������� I .-� Q,�������� ���� � ��� � ,&� ����������� /�.-������ ��� � ��� �E��,/�������/����� ����-&5&-/�'�#5�"��I�����E�,&� � ��

6�� ��5"������������� ���������I��.-���Q��.#�������� ���� � ������� �,&� �; � /�.-������ ��� � ��� �Q�,/������ � /�'�#5�"��I��������� ����-&5&-"&��

6�� ��#"������������� ���������I��.-���Q�#�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�5,��Q�,�I�.-�5,��Q�,"/���������.-������ ��5,���Q�,&�; � /�'�#5�"��I��5,�&�

��

6�� ��-"������������� ���������I��.-���Q��.,�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�5,��E�,�I�.-�5,��Q�5$"&�����/�#5��]� ��,,���Q�,"/�������� <� ��!�/�'�#5�"��I��5,��E�,&� �� � �

6�� ��4"������������� ���������I��.-���Q��4�������� ���� � ������� �$&� �� � �

3�� �.-������ ��� � �,#��� �E�,�I�.-�,#��Q�,"/������!!�8������/�'�#5�"��I��,#��E�,&� � �� � � �

6�� ��."������������� ���������I��.-���Q��4D�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�.-������ ��� � �,#���Q��,�I�.-�,#��Q�,5"&��� � ��� /�'�#5�"��I��,#�&� �� � �

6�� ��F"������������� ���������I��.-���Q�F�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�D��Q�,�I�.-�D��Q�,"&�����/�.-������ ��� � �D���Q��,/������ � /�'�#5�"��I��D�&�� � �

6�� ��1"������������� ���������I��.-���Q��4F�������� ���� � ������� �,&� �� � �

; � /�.-������ ��� � �D��E�,�I�.-�D��Q�1"/�����������/�'�#5�"��I��D��E�,&� �� � �

6�� ��D"������������� ���������I��.-���Q��D�������� ���� � ������� �,&� �3�� �.-������ ��� � �F���Q�,�I�.-�F��Q�,"/������!!�8������/�'�#5�"��I��F�&� � ��

6�� ��,$"������������� ���������I��.-���Q��44�������� ���� � ������� �,&� ����������� /�.-������ ��� � � �F���E�,�I�.-�F��Q�."/������ � /�'�#5�"��I��F���E��,&� �� � �

6�� ��,,"������������� ���������I��.-���Q�,,�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�5D��Q�,�I�.-�5D��Q�4"/���������.-������ ��� � �5D���Q�,&�����/�'�#5�"��I��5D�&� � �� � �

6�� ��,5"������������� ���������I��.-���Q��4#�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�.-������ ��� � �5D���E�,�I�.-�5D��Q�5-"/�������/�'�#5�"��I��5D��E�,&��

6�� ��,#"������������� ���������I��.-���Q�,#�������� ���� � ������� �$&� �; � /�.-������ ��� � �4���E�,�I�.-�4��Q�,"/�������� <� ��!�/�'�#5�"��I��4��E�,&� � ��

6�� ��,-"������������� ���������I��.-���Q��4,�������� ���� � ������� �,&� �3�� �.-������ ��� � �4���Q�,�I�.-�4��Q�-"/������!!�8������/�'�#5�"��I��4�&� �� � �

6�� ��,4"������������� ���������I��.-���Q�,4�������� ���� � ������� �,&� ����������� /�.-������ ��� � �,F���Q�,�I�.-�,F��Q�-"/������ � /�'�#5�"��I��,F�&� � �� � �

6�� ��,."������������� ���������I��.-���Q��-D�������� ���� � ������� �,&� �; � /�,F��E�,�I�.-�,F��Q�,#"&�����/�.-������ ��,F���E�,/�������/�'�#5�"��I��,F��E�,&��

6�� ��,F"������������� ������� I .-� Q,F�������� ���� � ��� � $&� �

���������� /�.-������ ��,4���Q��,�I�.-�,4��Q�-"/�������� <� ��!�/�'�#5�"��I��,4�&� � �

Page 115: Wandering in the World of Smarandache Numbers

((2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6�� ��,1"������������� ���������I��.-���Q��-F�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�.-������ ��� � �,4���E�,�I�.-�,4��Q�,,"/������ � /�'�#5�"��I��,4��E�,&���

6�� ��,D"������������� ���������I��.-���Q�,D�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�5F��E�,�I�.-�5F��Q�1"/���������.-������ ��� � �5F���E�,&�; � /�'�#5�"��I��5F��E�,&� � ���

6�� ��5$"������������� ���������I��.-���Q��-4�������� ���� � ������� �,&� �� � �

; � /�5F��Q�,�I�.-�5F��Q�,D"&�����/�.-������ ��� � �5F���Q�,/�������/�'�#5�"��I��5F�&� �� � ��

6�� ��5,"������������� ���������I��.-���Q��5,�������� ���� � ������� �,&� �� � �

���������� /�#��Q�,�I�.-���Q�,"/���������.-������� ��� � �#��#��� �Q�,"&�����/�'�#5�"��I��#�&��

� �

6�� ��55"������������� ���������I��.-���Q��-#�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�#���E��,�I�.-�#��Q�5"&�����/�.-������� ��� � �#��#���E�,"/�������/�'�#5�"��I��#��E�,&� ���

6�� ��5#"������������� ���������I��.-���Q��5#�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�54��Q�,�I�.-�54��Q�D"&��� � ��� /�.-������ ��54���Q��,/������ � /�'�#5�"��I��54�&�� � ��

6�� ��5-"������������� ���������I��.-���Q��-,�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�.-������ ��� � �54��E�,I�.-�54��Q�,."/������ � /�'�#5�"��I��54��E�,&� ��� � �

6�� ��54"������������� ���������I��.-���Q��54�������� ���� � ������� �,&� ��

���������� /�.-������ ��� � �5#���Q�,�I�.-�5#��Q�D"/������ � /�'�#5�"��I��5#�&� � ���

6�� ��5."������������� ���������I��.-���Q��#D�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�.-������ ��� � �5#���E�,�I�.-�5#��Q�,-"/������ � /�'�#5�"��I��5#���E��,&� ��� � �

6�� ��5F"������������� ���������I��.-���Q��5F�������� ���� � ������� �,&� ��

���������� /�,D��E�,�I�.-�,D��Q�1"/���������.-������ ��� � �,D���E�,&�����/�'�#5�"��I��,D��E�,&� � ��� � �

6�� ��51"������������� ���������I��.-���Q��#F�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�.-������ ��� � �,D���Q�,�I�.-�,D��Q�,,"/������ � /�'�#5�"��I��,D�&���

6�� ��5D"������������� ���������I��.-���Q��5D�������� ���� � ������� �$&� ��

3�� �,,��Q�,�I�.-�,,��Q�4"/������!!�8�������.-������� ���,,��,,���Q�,"/�������/�'�#5�"��I��,,�&���

6�� ��#$"������������� ���������I��.-���Q��#4�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�.-��]� ��,,���E�,"�I�.-�,,��Q�."/���������.-������� ���,,��,,���E�,"&�����/�'�#5�"��I��,,��E�,&� ��� � �

6�� ��#,"������������� ���������I��.-���Q��#,�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�.-������ ��� � �#,���E�,�I�.-�#,��Q�,4"/������ � /�'�#5�"��I��#,��E�,&� � ��� � �

6�� ��#5"������������� ���������I��.-���Q��##�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�#,��Q�,�I�.-�#,��Q�,."&�����/�.-������ ��#,���Q�,/�������� <� ��!�/�'�#5�"��I��#,�&��

0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&�U�������

K ���8���� ��� � +�� �����������'�5-�"/�'�-1�"�����'�D.�"������ ���!!�8������� �! ����&�K � ���!!� �� � �� � ��� �� � � � ��!��� ��� �������� � ���� -&-&,1� ���� � ���� -&-&5,� ��� T�-&-� ������ ����� 8���� <�������� ����!����� '��"� ���� �� � ������ ��� ��������� !� � ���"� ��� � ���������������"��������"��?�! �Y�������������"&���

Page 116: Wandering in the World of Smarandache Numbers

((3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����������5B����������� ������ �4/� � ��

� ,/ �� �-1 �� ,"�/ �� �-1 �� ,"#�/ ���� �,. �#� ,"#� ,/ ��� �,. �#� ,"F� ,/ ��� �-1 �F� ,"F�/ ��� �-1 �F� ,"

����� �-1 �,,� ,",,�/'�5-�" ������ �-1 �,,� ,",,� ,/����� �-1 �,4� ,",4�/����� �-1 �,,4� ,/

4�/4� ,/D�/D� ,/

? ? �? �

? ?

? �? ��? ? �?

4� ,"����� ���1 �4� ,"����� ���1 �4� ,"����� �,. �D� ,"����� �,. �D� ,"

�*******�*** * ? �* ? * ? �* ? �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����5*��� ��������/� ��

'�5-�"��I�����^����5-���]� �

��� ,"5� _�I�����^����-1���]� � ����� �Q� � �,"_&� � � � � � � � � � � � � � � � � �

; � /������������� � +��!���� ������������Q�,&� ��

� ����������� /�8 ���� ��������� ���� ���+� ��������! ��� ��������������� ���� � �

6�� ��,"������������� ������� I -1� Q,�������� ���� � ��� � ,&� �

���������� /�-1������ ��� � ��� �E��,/�������/����� ����-&5&-/�'�5-�"��I�����E�,&� � ��

6�� ��5"������������� ���������I��-1���Q��-F�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�-1������ ��� � ��� �Q�,/������ � /�'�5-�"��I��������� ����-&5&-"&��

6�� ��#"������������� ���������I��-1���Q��4�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�#��Q�,�I�,.�D��Q�,"/���������-1������� ��� � �#��#���Q�,"&�; � /�'�5-�"��I��#�&� � �� � �

6�� ��-"������������� ���������I��-1���Q��-#�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�#��E�,�I�,.�D��Q�1"&�����/�-1������� ���#��#���E�,"/�������� <� ��!�/�'�5-�"��I��#��E�,&� �� � �

6�� ��4"������������� ���������I��-1���Q�F�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�-1������ ��� � �F��� �E�,�I�-1�F��Q�,"/������ � /�'�5-�"��I��F��E�,&� � �� � � �

6�� ��."������������� ���������I��-1���Q��-,�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�-1������ ��� � �F���Q��,�I�-1�F��Q�."/�������� <� ��!�/�'�5-�"��I��F�&� �� � �

6�� ��F"������������� ���������I��-1���Q�,,�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�#��E�,�I�,.�D��Q�5"/�������/�-1������� ��#��#���E��,"&�; � /�'�5-�"��I��#��E�,&�� � �

6�� ��1"������������� ���������I��-1���Q��#F�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�,.������ ��#��Q�,�I�,.�D��Q�F"/���������-1������� ��#��#���Q��,"&�����/�'�5-�"��I��#�&� �� � �

6�� ��D"������������� ���������I��-1���Q�,#�������� ���� � ������� �$&� ��

3�� /�-1������ ��� � �,,���Q�,�I�-1�,,��Q�#"/�8 �� �����/�'�5-�"��I��,,�&� � ��

6�� ��,$"������������� ���������I��-1���Q��#4�������� ���� � ������� �,&� �

Page 117: Wandering in the World of Smarandache Numbers

((F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

���������� /�-1������ ��� � �,,���E�,�I�-1�,,��Q�1"/������ � /�'�5-�"��I��,,���E��,&� �� � �

6�� ��,,"������������� ���������I��-1���Q�,F�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�,4��Q�,�I�,.�-4��Q�,."���������-1������� ���,4��,4���Q�,"/������ � /�'�5-�"��I��,4�&�� � �

6�� ��,5"������������� ���������I��-1���Q�#,�������� ���� � ������� �$&� ��

%�� �����/�,4���E��,�,.�-4��Q�54"&�����/�-1������� ��,4��,4���E��,"/�������/�'�5-�"��I��,4���E��,&��

6�� ��,#"������������� ���������I��-1���Q�,D�������� ���� � ������� �$&� ����������� /�-1������ ��� � �4���Q�,�I�-1�4��Q�5"/������ � /�'�5-�"��I��4�&�� ��

6�� ��,-"������������� ���������I��-1���Q��5D�������� ���� � ������� �$&� �; � /�-1������ ��� � �4��� � �E� �,�I�-1�4��Q�#"/������ � /�'�5-�"��I��4��E�,&� �� � �

6�� ��,4"������������� ���������I��-1���Q��5#�������� ���� � ������� �$&� �3�� �D��Q�,�I�,.�5F��Q�,#"/������!!�8�������-1������� ��� � �D��D���Q�,"/�������/�'�5-�"��I��D�&�� � ��

6�� ��,."������������� ���������I��-1���Q��54�������� ���� � ������� �,&� �; � /�D��E�,�I�,.�5F��Q�,-"&�����/�-1������� ��� � �D��D���E�,"/������ � /�'�5-�"��I��D��E�,&��

0!!��� � � ����!������ �! ���&�U����

���������� 5B����������� ������ �4/� � ��

� ,/ �� �D. �� ,"�/ �� �D. �� ,"�,D�/ ������ �D. �,D� ,"�,D� ,/ ����D�/ �����D� ,/�#� ,/#�/ �������5F�/�5F� ,/�,4�/�,4� ,/'�-1�" �4� ,/�4�/�54�/�54� ,/�5,� ,/�5,�/�#,� ,/�#,�/�,,� ,/�,,�/�,#� ,/�,#�/�F�/�F� ,/

? ? �? �

��� �D. �,D� ,"���� �#5 �D� ,"���� �#5 �D� ,"���� �#5 �#� ,"���� �#5 �#� ,"����� �#5 �5F� ,"����� �#5 �5F� ,"����� �#5 �,4� ,"����� �#5 �,4� ,"����� �D. �4� ,"����� �D. �4� ,"����� �D. �54� ,"����� �D. �54� ,"����

? ? �? ? �? ? �? ? �? ? �? ? �?

� �#5 �5,� ,"����� �#5 �5,� ,"����� �D. �#,� ,"����� �D. �#,� ,"����� �D. �,,� ,"����� �D. �,,� ,"����� �D. �,#� ,"����� �D. �,#� ,"����� �#5 �F� ,"����� �#5 �F� ,"

�**************�****

? *? �*? *? �*? *? �*? *

* ? �* ? �* ? �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��

Page 118: Wandering in the World of Smarandache Numbers

((1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����5*��� ��������/�'�-1�"��I�� ����^����D.���]� � ����� �Q � � �,"_&���

; � /������������� � +��!���� ������������Q�,&� ��

���������� /�8 ���� ��������� ���� �#5�������! ��� ��������������� ���� � �

6�� ��,"������������� ������� I D.� Q,�������� ���� � ��� � ,&����������� /�'�-1�"��I�����E�,&�

6�� ��5"������������� ���������I��D.���Q��D4�������� ���� � ������� �,&�; � /�'�-1�"��I���&�� � �

6�� ��#"������������� ���������I��D.���Q��4�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�,D��Q�,�I�D.�,D��Q�,"/���������D.������� ��,D���Q�,&�; � /�'�-1�"��I��,D�&� � �� � �

6�� ��-"������������� ���������I��D.���Q��D,�������� ���� � ������� �,&�; � /�'�-1�"��I��,D��E�,&� �� � �

6�� ��4"������������� ���������I��D.���Q��F�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�D��Q�,�I�#5�5F���Q��5"/���������D.������� ��D��D���Q�,"&�; � /�'�-1�"��I��D�&� � �� � � �

6�� ��."������������� ���������I��D.���Q��1D�������� ���� � ������� �$&����������� /�'�-1�"��I��D��E�,&� �� � �

6�� ��F"������������� ���������I��D.���Q�,,�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�#5������ ��#���E��,�I�#5�D��Q�,"/�������/�D.������� ��#��#���E��,"&�����/�'�-1�"��I��#��E�,&�� � �

6�� ��1"������������� ���������I��D.���Q��14�������� ���� � ������� �,&����������� /�'�-1�"��I��#�&� �� � �

6�� ��D"������������� ���������I��D.���Q�,#�������� ���� � ������� �$&� ��

3�� �#5������ ��5F���Q�,�I�#5�1,��Q�,,"/�8 �� �����/�'�-1�"��I��5F�&�� ��

6�� ��,$"������������� ���������I��D.���Q��1#�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�-1�"��I��5F���E��,&� �� � �

6�� ��,,"������������� ���������I��D.���Q�,F�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�#5������ ��,4���Q�,�I�#5�-4��Q�1"/���������D.������� ��,4��,4���Q�,"&�����/�'�-1�"��I��,4�&�� � �

6�� ��,5"������������� ���������I��D.���Q��FD�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�-1�"��I��,4���E��,&� ��

6�� ��,#"������������� ���������I��D.���Q�,D�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�D.������ ��4���Q�,�I�D.�4��Q�,"/������ � /�'�-1�"��I��4�&�� ��

6�� ��,-"������������� ���������I��D.���Q��FF�������� ���� � ������� �,&�; � /�'�-1�"��I��4��E�,&� �� � �

6�� ��,4"������������� ���������I��D.���Q��5#�������� ���� � ������� �$&� ��

3�� �54��Q�,�I�D.�54��Q�."/������!!�8�������D.������ ��54���Q�,/�������/�'�-1�"��I��54�&� � �� � �

6�� ��,."������������� ���������I��D.���Q��F#�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�54��E�,�I�D.�54��Q�,D"&�����/�D.������ ��54���E�,/������ � /�'�-1�"��I��54��E�,&��

6�� ��,F"������������� ���������I��D.���Q��54�������� ���� � ������� �,&�; � /�'�-1�"��I��D��E�,&� �� � �

6�� ��,1"������������� ���������I��D.���Q��F,�������� ���� � ������� �$&����������� /�'�-1�"��I��D�&�� � �

6�� ��,D"������������� ���������I��D.���Q��5D�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�#5������ ��5,��E�,�I�#5�.#��Q�,D"/���������D.������� ��5,��5,��E�,"&�����/�'�-1�"��I��5,��E�,&� �� � �

6�� ��5$"������������� ���������I��D.���Q��.F�������� ���� � ������� �$&����������� /�'�-1�"��I��5,�&��

6�� ��5,"������������� ���������I��D.���Q��#,�������� ���� � ������� �$&� �

���������� /�D.������ ��#,���E�,�I�D.�#,��Q�,$"/������ � /�'�-1�"��I��#,���E��,&� �� � �

6�� ��55"�������������� ���������I��D.���Q��.4�������� ���� � ������� �,&����������� /�'�-1�"��I��#,�&�� � �

6�� ��5#"������������� ���������I��D.���Q��#4�������� ���� � ������� �,&� �; � /�D.������ ��,,���E��,�I�D.�,,��Q�-"/�������/�'�-1�"��I��,,���E��,&�

Page 119: Wandering in the World of Smarandache Numbers

((0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6�� ��5-"�������������� ���������I��D.���Q��.,�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�-1�"��I��,,�&�� � �

6�� ��54"������������� ���������I��D.���Q��#F�������� ���� � ������� �$&� �; � /�D.������ ��,#���E��,�I�D.�,#��Q�4"/�������/�'�-1�"��I��,#���E��,&�6�� ��5."������������� ���������I��D.���Q��4D�������� ���� � ������� �$&����������� /�'�-1�"��I��,#�&�

6�� ��5F"������������� ���������I��D.���Q��-,�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�D.������ ��F��� �Q��,�I�D.�F��Q�#"/���������/�'�-1�"��I��F�&� �� � �

6�� ��51"������������� ���������I��D.���Q��44�������� ���� � ������� �,&�; � /�'�-1�"��I��F���E�,&� �� � �

6�� ��5D"������������� ���������I��D.���Q��-#�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�#5������ ��#���E��,�I�#5�D��Q�-"/��������/�D.������� ��#��#���E��,"&�; � /�'�-1�"��I��#��E�,&�� � �

6�� ��#$"������������� ���������I��D.���Q��4#�������� ���� � ������� �$&����������� /�'�-1�"��I��#�&� �� � �

6�� ��#,"������������� ���������I��D.���Q��-F�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�#5������ ��,4���E��,�I�#5�-4��Q�55"/�������/�D.������� ��,4��,4���E��,"&�����/�'�-1�"��I��,4���E��,&��

6�� ��#5"������������� ���������I��D.���Q��-D�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�-1�"��I��,4�&�� � �

; � ��� �! ������� ����!��� �&�U����

����������5B����������� ������ �4/��� ���!� �����'�D.�"��� ������!!�8�������

�*&�*$. L;CF.> ���� �*&�*$. L;CF.> ���� �*&�*$. L;CF.>

,D5��Q�,� ��E�,� � � ,D5��Q�#4� ,,��E�,� � � ,D5��Q�.F� 5,��,D5��Q�,D,� �� � � ,D5��Q�,4F� ,,�� � � ,D5��Q�,54� 5,��E�,�,D5��Q�4� 4,�� � � ,D5��Q�#F� -4��E�,� � � ,D5��Q�F,� D��,D5��Q�,1F� 4,��E�,� � � ,D5��Q�,44� -4�� � � ,D5��Q�,5,� D��E�,�,D5��Q�F� D�� � � ,D5��Q�-,� #D�� � � ,D5��Q�F#� 4F��E�,�,D5��Q�,14� D��E�,� � � ,D5��Q�,4,� #D��E�,� � � ,D5��Q�,,D� 4F��,D5��Q�,,� #4�E,� � � ,D5��Q�-#� #��E�,� � � ,D5��Q�FF� 4�E,�,D5��Q�,1,� #4�� � � ,D5��Q�,-D� #�� � � ,D5��Q�,,4� 4��,D5��Q�,#� 4D�� � � ,D5��Q�-F� ,4��E�,� � � ,D5��Q�FD� ,F��,D5��Q�,FD� 4D��E�,� � � ,D5��Q�,-4� ,4�� � � ,D5��Q�,,#� ,F��E�,�,D5�Q,F� ,4�� � � ,D5��Q�-D� -F�� � � ,D5��Q�1#� 5F��E�,�,D5��Q�,F4� ,4��E�,� � � ,D5��Q�,-#� -F��E�,� � � ,D5��Q�,$D� 5F��,D5�Q,D� 5F��E�,� � � ,D5��Q�4#� 5D��E�,� � � ,D5��Q�14� #��,D5��Q�,F#� 5F�� � � ,D5��Q�,#D� 5D�� � � ,D5��Q�,$F� #��E�,�,D5��Q�5#� 54�� � � ,D5��Q�44� F��E�,� � � ,D5��Q�1D� -,��E�,�,D5��Q�,.D� 54��E�,� � � ,D5��Q�,#F� F�� � � ,D5��Q�,$#� -,��,D5��Q�54� 5#�� � � ,D5��Q�4D� ,#�� � � ,D5��Q�D,� ,D��E�,�,D5�Q,.F� 5#��E�,� � � ,D5��Q�,##� ,#��E�,� � � ,D5��Q�,$,� ,D��,D5��Q�5D� 4#�E,� � � ,D5��Q�.,� 5,��E�,� � � ,D5��Q�D4� ##��,D5��Q�,.#� 4#�� � � ,D5��Q�,#,� 5,�� � � ,D5��Q�DF� ##��E�,�,D5��Q�#,� #,��E�,� � � ,D5��Q�.4� .#�� � � � �,D5��Q�,.,� #,�� � � ,D5��Q�,5F� .#��E�,� � � � �

Page 120: Wandering in the World of Smarandache Numbers

((C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����5*��� ��������/�'�D.�"��I�����^����,D5���]� � ����� �Q� � �,"_&���

; � /������������� � +��!���� ������������Q�,&� ���

���������� /�8 ���� ��������� ���� �.-�������! ��� ��������������� ���� � �

6�� ��,"������������� ������� I ,D5� Q,�������� ���� � ��� � ,&����������� /�'�D.�"��I�����E�,&�

6�� ��5"������������� ���������I��,D5���Q�,D,�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�D.�"��I���&�� � �

6�� �#������������� ���������I� �,D5���Q��4�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�4,��Q�,�I�.-�,4#��Q�-"/���������,D5������� ��4,��4,���Q�,"&�; � /�'�D.�"��I��4,�&�� � �

6�� ��-"������������� ���������I��,D5���Q�,1F�������� ���� � ������� �,&� �� � �

; � /�,D5������� ��4,��4,���E�,"�I�,D5�,F�"&�,4#��Q�,-D"/�������� <� ��!�/�'�D.�"��I��4,��E�,&� �� � �

6�� ��4"������������� ���������I��,D5���Q�F�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�D��Q�,��I��.-�5F���Q��,"/���������,D5������� ��D��D���Q�,"&�; � /�'�D.�"��I��D�&� � �� � � �

6�� ��."������������� ���������I��,D5���Q�,14�������� ���� � ������� �,&� �� � �

; � /�,D5������ ��D��D���E��,"�I�,D5�#�"&�5F��Q�5."/�������� <� ��!�/�'�D.�"��I��D��E�,&� �� � �

6�� ��F"������������� ���������I��,D5���Q�,,�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�,D5������ ��#4���E��,�I�,D5�#4��Q�5"/�������/�'�D.�"��I��#4��E�,&�� � �

6�� ��1"������������� ���������I��,D5���Q�,1,�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�,D5������ ��#4���Q��,�I�,D5�#4��Q�##"&�0������ <� ��!�/�'�D.�"��I��#4�&� �� � �

6�� ��D"������������� ���������I��,D5���Q�,#�������� ���� � ������� �$&� ��

3�� /�,D5������ ��4D���Q�,�I�,D5�4D��Q�-"/�8 �� �����/�'�D.�"��I��4D�&� � ��

6�� ��,$"������������� ���������I��,D5���Q�,FD�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�,D5������ ��4D���E�,�I�,D5�4D��Q�44"/������ � /�'�D.�"��I��4D���E�,&� �� � �

6�� ��,,"������������� ���������I��,D5���Q�,F�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�.-������ ��,4���Q�,�I�.-�-4��Q�-"/���������,D5������� ��,4��,4���Q�,"&�����/�'�D.�"��I��,4�&�� � �

6�� ��,5"������������� ���������I��,D5���Q�,F4�������� ���� � ������� �,&� ��

���������� /�,D5������� ��,4��,4���E��,"��I��,D5�4�"&�-4��Q�-,"/�������/�'�D.�"��I��,4���E��,&� ��

6�� ��,#"������������� ���������I��,D5���Q�,D�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�.-������ ��5F���E�,�I�.-�1,��Q�1"�����#�������� ���5F�/������ � /�'�D.�"��I��5F���E�,&��

6�� ��,-"������������� ���������I��,D5���Q�,F#�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�.-������ ��5F��� � �Q��,�I�.-�1,��Q�F#"/������ � /�'�D.�"��I��5F�&� �� � �

6�� ��,4"������������� ���������I��,D5���Q�5#�������� ���� � ������� �$&� ��

3�� �54��Q�,�I�,D5�54��Q�#"/������!!�8�������,D5������ ��54���Q�,/�������/�'�D.�"��I��54�&��� � �

6�� ��,."������������� ���������I��,D5���Q�,.D�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�54��E�,�I�,D5�54��Q�55"&�����/�,D5������ ��54���E�,/������ � /�'�D.�"��I��54��E�,&��

6�� ��,F"������������� ���������I��,D5���Q�54�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�5#���Q��,�I�,D5�5#��Q�#"/��������/�,D5������ ��5#���Q�,&��� � ��� /�'�D.�"��I��5#�&� �� � �

6�� ��,1"������������� ���������I��,D5���Q�,.F�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�5#��E�,�I�,D5�5#��Q�5$"/�������/�,D5������ ��5#���E�,&�����/�'�D.�"��I��5#��E�,&�

Page 121: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(<= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6�� ��,D"������������� ���������I��,D5���Q��5D�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�,D5������ ��4#��E�,�I�,D5�4#��Q�1"/��������/�'�D.�"��I��4#��E�,&� �� � �

6�� ��5$"������������� ���������I��,D5���Q�,.#�������� ���� � ������� �$&� ��

3�� /�,D5������ ��4#���Q�,�I�,D5�4#��Q�-4"/������!!�8������/�'�D.�"��I��4#�&� � ��

6�� ��5,"������������� ���������I��,D5���Q�#,�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�,D5������ ��#,���E�,�I�,D5�#,��Q�4"/������ � /�'�D.�"��I��#,���E��,&� �� � �

6�� ��55"�������������� ���������I��,D5���Q�,.,�������� ���� � ������� �,&� ��

3�� /�,D5������ ��#,���Q�,�I�,D5�#,��Q�5."/������!!�8������/�'�D.�"��I��#,�&� � �� � �

6�� ��5#"������������� ���������I��,D5���Q�#4�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�,D5������ ��,,���E��,�I�,D5�,,��Q�5"/�������/�'�D.�"��I��,,���E��,&��

6�� ��5-"�������������� ���������I��,D5���Q�,4F�������� ���� � ������� �$&� ��

3�� /�,D5������ ��,,���Q�,�I�,D5�,,��Q�D"/������!!�8������/�'�D.�"��I��,,�&� � �� � �

6�� ��54"������������� ���������I��,D5���Q�#F�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�.-������ ��-4���E��,�I�.-�,#4��Q�5."/�������/�'�D.�"��I��-4���E��,&��

6�� ��5."������������� ���������I��,D5���Q�,44�������� ���� � ������� �,&� ��

���������� /�.-������ ��-4���Q�,�I�.-�,#��Q�,$D"/������ � /�'�D.�"��I��-4�&� � ��

6�� ��5F"������������� ���������I��,D5���Q��-,�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�.-������ ��#D��� �Q��,�I�.-�,,F��Q�54"/���������/�'�D.�"��I��#D�&� �� � �

6�� ��51"������������� ���������I��,D5���Q�,4,�������� ���� � ������� �,&� ��

3�� �.-������ ��#D���E�,�I�.-�,,F��Q�D5"/������!!�8������/�'�D.�"��I��#D���E�,&� �� � �

6�� ��5D"������������� ���������I��,D5���Q��-#�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�.-������ ��#���E��,�I�.-�D��Q�5"/���������,D5������� ��#��#���E��,"&�; � /�'�D.�"��I��#��E�,&�� � �

6�� ��#$"������������� ���������I��,D5���Q�,-D�������� ���� � ������� �$&��� �/�'�D.�"��I��#�&� �� � �

6�� ��#,"������������� ���������I��,D5���Q��-F�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�.-������ ��,4���E��,�I�.-�-4��Q�,,"/�����,D5������� ��,4��,4���E��,"&�����/�'�D.�"��I��,4���E��,&��

6�� ��#5"������������� ���������I��,D5���Q�,-4�������� ���� � ������� �,&� ��

���������� /�.-������ ��,4���Q��,�I�.-�-4��Q�#-"&�6��� <� ��!�/�'�D.�"��I��,4�&�� � �

6�� ��##"������������� ������� I ,D5� Q -D�������� ���� � ��� � ,&� ��

���������� /�,D5������ ��-F���Q��,�I�,D5�-F��Q�,5"/�������� <� ��!�/�'�D.�"��I��-F�&�

6�� ��#-"������������� ���������I��,D5���Q�,-#�������� ���� � ������� �,&�; � /�'�D.�"��I��-F���E��,&�� � �

6�� ��#4"������������� ���������I��,D5���Q��4#�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�,D5������ ��5D���E��,�I�,D5�5D��Q�1"/��������/�'�D.�"��I��5D��E�,&� � �� � �

6�� ��#."������������� ���������I��,D5���Q�,#D�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�D.�"��I��5D�&� �� � �

6�� ��#F"������������� ���������I��,D5���Q��44�������� ���� � ������� �,&� �� � �

���������� /�,D5������ ��F���E��,�I�,D5�F��Q�5"&�; � /�'�D.�"��I��F���E��,&� � �� � � �

6�� ��#1"������������� ���������I��,D5���Q�,#F�������� ���� � ������� �$&� �� � �

; � /�,D5������ ��F���Q��,�I�,D5�F��Q�4"/�������� <� ��!�/�'�D.�"��I��F�&� �� � �

Page 122: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(<( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

6�� ��#D"������������� ���������I��,D5���Q��4D�������� ���� � ������� �$&� �� � �

���������� /�,D5������ ��,#���Q��,�I�,D5�,#��Q�-"/�������/�'�D.�"��I��,#�&�� � �

6�� ��-$"������������� ���������I��,D5���Q�,##�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�,D5������ ��,#���E��,�I�,D5�,#��Q�D"&�0������ <� ��!�/�'�D.�"��I��,#���E��,&� �� � �

6�� ��-,"������������� ���������I��,D5���Q��.,�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�.-������ ��5,���E�,�I�.-�.#��Q�5$"&��� � ��� /�'�D.�"��I��5,��E�,&� � ��

6�� ��-5"������������� ���������I��,D5���Q�,#,�������� ���� � ������� �$&� ��

3�� /�.-������ ��5,���Q�,�I�.-�.#��Q�-#"/������!!�8������/�'�D.�"��I��5,�&� �� � �

6�� ��-#"������������� ���������I��,D5���Q��.4�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�.-������ ��.#���Q�,�I�.-�,1D��Q�.-"/�������/�,D5������� ��.#��.#���Q�,"&�����/�'�D.�"��I��.#�&�� � �

6�� ��--"������������� ���������I��,D5���Q�,5F�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�,D5������� ��.#��.#���E��,"/�������/�'�.#�"��I��.#���E��,&� ��

6�� ��-4"������������� ���������I��,D5���Q��.F�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�.-������ ��5,���Q�,�I�.-�.#��Q�55"/������ � /�'�D.�"��I��5,�&� � ��

6�� ��-."������������� ���������I��,D5���Q�,54�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�.-������ ��5,��� � �E� �,�I�.-�.#��Q�-,"/������ � /�'�D.�"��I��5,��E�,&� �� � �

6�� ��-F"������������� ���������I��,D5���Q�F,�������� ���� � ������� �$&� ��

3�� �D��Q�,�I�.-�5F��Q�,$"/������!!�8�������,D5������� ��D��D���Q�,"/�������/�'�D.�"��I��D�&�� � �

6�� ��-1"������������� ���������I��,D5���Q�,5,�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�D��E�,�I�.-�5F��Q�,F"&�����/�,D5������� ��D��D���E�,"/������ � /�'�D.�"��I��D��E�,&��

6�� ��-D"������������� ���������I��,D5���Q�F#�������� ���� � ������� �$&� ��

���������� /�4F���E��,�I�.-�,F,��Q�.4"/�����#������� ��4F�&��� � ��� /�'�D.�"��I��4F��E�,&� �� � �

6�� ��4$"������������� ���������I��,D5���Q�,,D�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�4F��Q�,�I�.-�,F,��Q�,$."&��� � ��� /�'�D.�"��I��4F�&�� � �

6�� ��4,"������������� ���������I��,D5���Q�FF�������� ���� � ������� �,&� ��

���������� /�,D5������ ��4���E�,�I�,D5�4��Q�5"/������ � /�'�D.�"��I��4���E��,&� �� � �

6�� ��45"�������������� ���������I��,D5���Q�,,4�������� ���� � ������� �,&�; � /�'�D.�"��I��4�&�� � �

6�� ��4#"������������� ���������I��,D5���Q�FD�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�,D5������ ��,F���Q��,�I�,D5�,F��Q�F"/�������/�'�D.�"��I��,F�&��

6�� ��4-"�������������� ���������I��,D5���Q�,,#�������� ���� � ������� �$&� ��

3�� /�,D5������ ��,F���E�,�I�,D5�,F��Q�,$"/������!!�8������/�'�D.�"��I��,F��E�,&� � �� � �

6�� ��44"������������� ���������I��,D5���Q��1#�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�.-��]� ��5F���E��,"�I�.-�1,��Q�#4"/���������,D5������� ��5F��5F���E��,"&�����/�'�D.�"��I��5F���E��,&��

6�� ��4."������������� ���������I��,D5���Q�,$D�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�D.�"��I��5F�&��

6�� ��4F"������������� ���������I��,D5���Q��14�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�.-������ ��#���Q��,�I�.-�D��Q�-"/���������,D5������� ��#��#���Q��,"&�����/�'�D.�"��I��#�&��

6�� ��41"������������� ���������I��,D5���Q�,$F�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�D.�"��I��#��E�,&� ��

Page 123: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(<< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6�� ��4D"������������� ���������I��,D5���Q��1D�������� ���� � ������� �$&� ��

; � /�,D5������ ��-,���E��,�I�,D5�-,��Q�,D"/��������/�'�D.�"��I��-,��E�,&� �� � �

6�� ��.$"������������� ���������I��,D5���Q�,$#�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�D.�"��I��-,�&� �� � �

6�� ��.,"������������� ���������I��,D5���Q��D,�������� ���� � ������� �,&� �� � �

; � /�,D5������ ��,D���E��,�I�,D5�,D��Q�D"&�; � /�'�D.�"��I��,D��E�,&�� � �

6�� ��.5"������������� ���������I��,D5���Q�,$,�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�D.�"��I��,D�&� �� � �

6�� ��.#"������������� ���������I��,D5���Q��D4�������� ���� � ������� �,&� ��

; � /�.-������ ��##���Q��,�I�.-�DD��Q�-D"/�������/�,D5������� ��##��##���Q��,"&�; � /�'�D.�"��I��##�&��

6�� ��.-"������������� ���������I��,D5���Q��DF�������� ���� � ������� �$&�; � /�'�D.�"��I��##���E��,&�� � �

0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&�U�������

K� ���������������� ����� �/�8 ���� �� ��� ���!!�8������ �� �� ��

'��"� �I� ����������� ���� � �������� �,����������������� �� $ $� �� ,"5

�"&� �

K ���8������ ���� ���!!�8�����8���� ��������������� ����

6�� �,��������� � ��������������Q�,�������"&�

���������� /����� ����������� � $�5/�������� �8�� /�

�� � ]� � $�5� � �� � ���]� � $ $� �� ,"

5� � �� � '��"���� ���� �E� �,&�

6�� �5�������������������������Q�,���� � �"&��

�������� � �/��� �/����� ����������� ���&������������/����� ����������� ���/����� ��

�� � ]� ���� � �� � ���]� $ $� �� ,"5

� � �� � '��"���� ����E�,&�

����/������������������ ����� �/����� ����������� ���&��

%�8/�! ���� �� �� � ����������������� ����������������������� ��������5/��,/��5/�P/���/�� ��

, 5 � � , �, 5 � � ,�������� �� 5��� � ���� � ���� &&& � ���� � &&& � �����

� � � � ��� �� $/ � $������!!�, � �"/� � � � � � ����

���

8� � ��,/��5/�P/������ ������ �����!����� � �&��� �/��� ��������������Q�,�����������! ������

, 5 �, 5 �

,5������� � ���� � ���� &&& � ����

� � �� �������� �, � �J�� ! �

���

������ ���� ���� �����������! ���� � ��

@ @ , �

@ @ , �

�� ����� � ����� &&& �� ���

� � ������� , @ �&� � � �

���

��

K ���8���� ������������� +�� ����������'��<"/�8� � �������<��� ��8�������������� �&��� ���!!�8����� ��!������� �������� ���W5X&�

Page 124: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(<? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����������5� ��������<�� ��8������ ��8����<��R� ��&�� ���� �I� �<� �E� ��&��� �/��

'��<"� �I� ����^ ��< ," <�� ,"/� �� _/�

8� � ���������Q��,��������E� �,��� ��������! �����&�

�����5*��� ��������/�'���<"��I�����^������<��]� � ��� ,"5� _�&� � � � � � � � � � � � � � � � � �

%�8/�8 ������ ���� ���� �������! ��� ��� ����� !�&��

6�� ��,"���K� ��������� ��������<������ ������Q�,"&����������� /� ��

���I� ��+/��� �Q�,� �I� �<��������� ���� � ���+���� �,/������ �,/��

! ����������� � <���������+��E� ��"� �I� �����E� �,&���������8�������������� ������E� �,&�%�8/��

����E� �,� �I� ��� ��� � �� �I � ,�� /�+� �I < ,

�� /����I ��< ,"

�� &�

6�� ��5"���K� ��������� ������Q�,"�����<������ ���&����������� /� ��

���Q� �,� �I� ��+/��� �I� �<��������� ���� � ���+���� �,/������ �,&��

����/�8 �� ���� � <���������+��E� ��"� �I� �����Q� �,&���������8�������������� ������Q� �,&�%�8/��

����Q� �,� �I� ��� ��� � �� �I � ,� /����I ��< ,"

�� &�

6�� ��#"���K� ���<������ ������Q� �,"&� �������� ������������� �6�� �#������ ������������ �� ��-&5&5"&�; � /��� ��� �� ��������� �&�U�

����

����� �� ��-&5&5/�8 ���� �����!� ������ � +�� ����������'��<"&������������ ����/�8 ����� ��� ���!!�8����! ������ /����� +���! /��� �� ��5&,5&5����A�����W4X"&�

���

�����������5� ��������<�� ��8�������������� �&��� �/��� �:��������� � <������� �� � �

<����E� ���+��I��,�� � �

������� ������� ����� ����� ��!������&� �� �� �/� ��� �+�/���"� ����� ��!��������� �� �:��������� � <������/��� ��������!�������������� ������

�� �

+��I��+���Q��<�/��� �I������Q� ���/�8� � ������ �$���������� � �&�� � �

��

�����������5� ��������<�� ��8������ ��8����<��R������� �4&��� �/� �� � �

'��<"��I�����^<����E� �,/� ��+���E�,_/� �8� � �

��� �I�����^����+/���- ����� /�<����E����+� �I��,_/� �� �� �

+���I�����^+���+/���- ����� /���+��E��<��� �I��,_&� � � � � � � � ��� � �

�����53�� � �

'��<"��I�����^�����<��]� � ��� ,"5� _/�� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �0"�

� � �

�����!!�8�������8 ���� ��������� ���� ���� ��� ��� !�8�������������� ����

6�� �,���K� ��������� ��������<������ ������Q�,"&����������� /� � �

Page 125: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(<2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

���I����+�������� ���� � ��+���� �,/� �� � �

���Q�,�I��<���������� ���� � ������� �,&�� � �

B������ � ��8�� <�������/�8 �� ���� �:��������� � <�������� � �

<����E� � ���+��I��,&� �� � �

*��� ����-&5&#,/��� ����� �:��������� � <������������������ ����� �������!������&�� �� � � � � � � �� � �

��� �I�����^����+/���- ����� /�<����E����+� �I�,_&�� � �

B��� ����� ��/� �� � ��� ��������� +�� ��� ��� �� ��� �� � <������� <�����E�� ���� �+� �I� �,&� %�� � ����� ��� ���� +��������� ������������������ � �&��� �/��� ���������������0�"������� ������ � �

���Q�,��I��<���� � �� � ���I��<����� �E� � �,&� � � �� �� �

6�� �5���K� ��������� ������Q�,"�����<������ ���&�; � /� �� � �

���Q�,��I����+�������� ���� � ��+���� �,/� �� � �

���I��<���������� ���� � ������� �,&�� �� �

�� � ��8�� <��������! �������� �:��������� � <������&�� � �

��+��E�� �<����I��,&� �� ��

+���I�����^+���+/� ��- ����� /���+��E��<����I�,_&��

B��� �����+�/� �� ���� ������������ ������ ��������I�

$�+ ,<&�; � ��!��/�+��������������������� �

������� � ������!��� ���!�&��� ���������������0"������� ������ � �

���Q�,��I����+�� � �� � ���I����+��� �E� �,&� � � �� � �

6�� �#� ��K� ���<������ �� ����Q�,"&� ��� ����� �� /����I��� �<�� �E��,&�*��� �� �/����6�� �,�����6�� �5����� /�������� ��������� ��� ����������&�����/�������� ����������&��

�� ������������ ��� �� ����8���!!�8���������� ����6�� �,�����6�� �5&�U�� � ����

�����������5� ��������<�� ��8������ ��8����<��R������� �4&�� ��� � ��

<� �I������Q��c�������� ���� � ��������c�8�������� �,�����,���� �c� ��� ��� �E��,&�� � ��

K ���8������ ���� ��8���� ����� ������� �� ��-&5&5���� � �

6�� �,���K� ��������� ��������<������ �� �����Q�,"&����������� /� � ��

���I����+�������� ���� � ��+���� �,/� �� �� �

���Q�,��I��<����I� ��� ���� �Q�c"��������� ���� � ������� �,&�� � �

B������ ����� ��8�� <�������/�8 �� �� � ���

c����E� ��+�� �E� � ���"���I��,& � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � �-&5&,"��� � �

6�� �5���K� ��������� ������Q�,"�����<������ ���&�; � /� ��

���Q�,��I����+�������� ���� � ��+���� �,/� ��

���I�������Q��c"��������� ���� � ������� �,&��

�� � ��8�� <��������! ������ ���

�+��E�� �� ��"��� �E� � �c� ����I��,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � �-&5&5"�

Page 126: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(<3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

3�� �������!����� ���� ���� �����6���!!����-&5&#�E�6���!!����-&5&,1�� !�8& � �� �� �� �����

��������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<��R������� �4&�� �� �� � �

<� �I������Q�,�������� ���� � ������ �5&��� �/� �

'��<"��I��<��E�,&�� � �

�����5B�����-&5&,"�8����c��I��,/�8 �� �� ��

��� �E� � ��+�� �E� � ���"���I��,/� ��

�� �����������!���������8������� ����I��,/�+��I������I��&��� �/��� ���������������0"������� ������ � �

���Q�,��I��<����I� �<� � �� � ���I��<� �E�,&� �� � �

%�� �����/�������-&5&5"�8����c��I��,/�8 ���� ��+��E����"��� �E�� ��� �I��,/�8������ �! ����������! ���!�������

���I� ����E�,������+��E������I� �,"&�U�� � ���

��������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<��R������� �4&�� �� �� � �

<� �I�����Q�,"���E��,�������� ���� � ������ �,&��� �/� �

'��<"��I��<&�� � �

�����5B�����-&5&5"�8����c� �I� ��� �E � �,/�8 ���� /� ���

�� �E� �W�� �Q� �,"�� �E� �+X�� �I� �,/� ���

8��� �����������!����������� �I� �,/�+� �I� ��� � � �Q � �,"�� �I � �� � � �Q� �,&��� �/��� ���������������0"������� ����� ��

�� �I � �< ��� �I � �<&� � ��

%�� � ����/� ����� �-&5&,"� 8���� c� �I� ��� �E� �,/� 8 � ��� � W�� � � �Q� �,"�� �E� �+X�� �E � ��� �I� �,/� 8���� �� � ! ���� ������! ���!������ �

�� �I� ��� �E� �,�������� �Q �,"�� � � �E� �+� �I� �,"&�U�����

��������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<� �R� ��� ��� �4&�� �� ���

<� �I� �� ��� �Q � �5�������� ���� � ��� ��� �,&� � � � � � � � � � � � � ��� �/� �

'���<"��I�

<�� ,"5 &� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � �

�����5K����c� �I� �5�����-&5&5"/�8 ���� � �� � ��

�+� � � �E� �� ��"�� �E� �5 � ��� �I � �,/� ����

8������ �����������!������ �

�� �I�

� ,5

� �����+� �E� ���� �I � �,"&� ���

�������� ���� �I � �<��� �I�

<�� ,"5 � ����� �������! ���!����������0"&� �

� � �

%�8/��-&5&,"�8����c� �I� �5���� �� � �� � ��

5�� �E� ��+� � � �E � � � �� ��"�� �I� �,/� � ��� � �

8������ �����������!������ � �

Page 127: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(<F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�� �I�

� ,5� � � �����+� �I� ���� �Q�,"&� �

�������� �� �

�� �I � �< ��� �E � �, � �I�

<�� ,"5� E� �,� �

�������� ��������! ���!����������0"&�%�8/���� � ��

<�� ,"5� E,��R�

<�� ,"5 /� �

�����!!�8������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

'��<" ����I ����

<�� ,"5 /� �

8����8 ���� �� ��������� &�M� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� �� �� � ����

��������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<� �R� ��� ��� �4&�� �� �� � �

<� �I� ��� � � �Q� �,"�� �E � �5�������� ���� � ��� ��� �,&� � � � � � � � � � � � � � ��� �/� �

'���<"� �I�

<�� ,"5 E,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � �

�����5B�����-&5&,"�8���� � c� �I� ��� �E� �5/�8 �� �/� � � �� �� �

W�� � � �Q� �,"�� �E� �+X�� �E � �5 ��� �I � �,/� � � �� � ��

8��� �����������!��������� ��

�� �I�

� ,5 � �����+� �I���� � � �Q� �,"�� �E � �,"&� �

�������� ���� �I� �< ��� �E� �,� �I�

<�� ,"5

�E� �,������ �������! ���!����������0"&� �� � �

%�� �����/��-&5&5"�8����c� �I� ��� �E� �5� � ��� �� � �� � ��

5�� �E� �W�� � � �Q� �,"�� �E� �+X�� �I� �,/� � ��

8������ �����������!������ ��

�� �I�

� ,5� � �����+� �I���� � � �Q� �,"�� � �E � �,"&� �

6��� ������������������� /�8 �� �� ��

�� �I � �< ��� �I�

<�� ,"5� � �

�������� ��������! ���!����������0"&�*������ � � � ��

<�� ,"5�

�R�

<�� ,"5

�E� �,/� �

�����!!�8������� �

'��<"� �I�

<�� ,"5 E� �,/� �

����!��������� �� ��� ��� ��!�&�U�

Page 128: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(<1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<� �R� ��� ��� �F&�� �� � � �

<� �I� ���� �Q� �#�������� ���� � ��� ��� �,&��� �/� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

<�� ," / ����# �� ,"#'��<"

<�� ," ,/ �����# �� ,"#

� ? **� � �* ? �*�

�����5B�����-&5&,"������-&5&5"�8����c� �I� �#/�8 ���� �� �� ��� !��� � �

#�� �E� ��+� �E� ���"�� �I � �,/� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"�� � � �

�+� �E� ���"�� �E� �#��� �I� �,&� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"�� � �

K ���8������ ���� ���!!�8�����8��������! ��� �����

6�� �,���K� ��#������ ����� �E� �,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������� /��� �����������!��������������� ����������"/�8������� � �

�� �I�

� ,# � � �����+� � � �E � ���� �I � �,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

0!��/��� �E� �,�����������! ����5����8 !!&��� � ��� /��� ���������������0"���� �

�� �I � �< ��� �I �

<�� ,"# &� �

6�� �5���K� ��#������ ����� �Q�,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������� /���"���� ���� �����������!�����/�8������� �

�� �I�

� ,#� � �����+� �E� ���� �I� �,"&� �

%�� �����/�5������ ���� �Q� �,&��� � ��� /��� ���������������0"���� �

�� �I � �< ��� �E � �, � �I�

<�� ,"#�

�E� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����/��� �� ��!����� ����!��� �&�U����

��������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<� �R� ��� ��� �F&�� �� ��

<� �I� ��� � � �Q� �,"�� �E � �#�������� ���� � ��� ��� �,&��� �/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

<�� ," / ����# �� ,"#'��<"

<�� ," ,/ �����# �� ,"#

�� ? �**� � * ? *�

� � � � � � � � � � � �

�����5�� � <���������-&5&,"������-&5&5"�8����c� �I� ��� �E � �#���� �� �� ��� !��� � �

W�� � � �Q� �,"�� � � �E � � � �+X�� � � �E � �#�� �I� �,/� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"��

� � �

#�� �E� �W�� � � �Q� �,"�� �E� �+X�� �I� �,&� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"�� � �

K ���8������ ���� ���!!�8�����8���� ����� � �

6�� �,���K� ��#������ ����� �Q� �,"&� � � � � � � � � � � � ��

���������� /��� �����������!�����/������� ����������"/���� � �

Page 129: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(<0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�� �I�

� ,#� � �����+� �I� ��� � � �Q� �,"�� �E� �,"&� �

�� �� �/�5������ ���� �Q� �,&��� � ��� /��� ���������������0"���� ��

�� �I � �< ��� �I �

<�� ,"#� &� � �

6�� �5���K� ��#������ ����� �E� �,"&� ��

���������� /��� �����������!�����/������� ���������"/���� ��

�� �I�

� ,# � �����+� �I� ��� � � �Q� �,"�� �E� �,"&� �

�� �� �/�5������ ���� �E� �,&��� � ��� /��� ���������������0"���� ��

�� �I � �< ��� �I �

<�� ,"#

�E� �,&�U�

������������� 5� ��������<�� ��8������ ��8����<� �R� ��� ��� �F&�� �� ��

<� �I� ���� �Q� �-�������� ���� � ��� ��� �,&� � ��� �/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

<�� ," / ���- �� ,"-'��<"

<�� ," ,/ �����- �� ,"-

� ? **� � �* ? �*�

����

��

�����5K����c� �I� �-/��-&5&,"������-&5&5"��� ��� �� �� ��� �������� � �

-�� �E� ��+� �E� ���"�� �I� �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"�� � �

�+� �E� ���"�� �E� �-�� �I� �,&� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"�� � �

%�8/� ���� ���� ���� � �� ��� �F/� +��!�� �� � ��� �� � ��!!�8���� �8�� �� �� ��� ���� �� ?��� �� �� �E� �,� ����������! ����-/������ �Q� �,�����������! ����-&�� � �

K ������ ���� � ��8���������!��� ��� ����� !��� !�8�����

6�� �,���K� ��-������ ����� �E� �,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������� /��� �����������!��������������� ����������"/�8������� � ��

�� �I�

� ,- � � �����+� �I� ���� � � �Q � �,"&� �

�� � ��� /��� ���������������0"���� ��

�� �I � �< ��� �I �

<�� ,"- &� � �

6�� �5���K� ��-������ ����� �Q� �,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���������� /���"���� ���� �����������!�����/�8������� ��

�� �I�

� ,-� � �����+� �I� ���� � � �Q� �,"&� �

�� � ��� /� �� ���������������0"���� ��

�� �I � �< ��� �E � �, � �I�

<�� ,"-�

�E� �,&�U�

Page 130: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(<C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<� �R� ��� ��� �F&�� �� �� � �

<� �I� ��� � � �Q� �,"�� �E � � � �-�������� ���� � ��� ��� �,&� � ���� �/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

<�� ," / ���- �� ,"-'��<"

<�� ," ,/ �����- �� ,"-

�� ? �**� � * ? �*� ��

�����5B�����-&5&,"������-&5&5"�8����c� �I� ��� �E� �-/�8 ���� �� �� ��� !��� � �

W�� � � �Q� �,"�� � � �E � �+X�� � � �E � � � �-�� �I� �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"�� � �

-�� �E� �W�� � � �Q� �,"�� � � �E� � � �+X�� �I� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"�� � �

K ���8������ ���� ���!!�8�����8���� ��8������ ��� ���!���������!��� ��������� ������� ����������6���!!����-&5&D"���� � �

6�� �,���K� ��-������ ����� �Q� �,"&� �

���������� /��� �����������!������������ ����������"���� � �

�� �I�

� ,-� � �����+� �I� ��� � � �Q� �,"�� � � �E� �,"&� �

�� � ��� /��� ���������������0"������ �I� �<��� �I�

<�� ,"-� &� � �

6�� �5���K� ��-������ ����� �E� �,"&� ��

���������� /��� �����������!�����/������� ���������"/���� �

�� �I�

� ,- � �����+� �I� ��� � � �Q� �,"�� � � �E� �,"&� �

�� � ��� /��� ���������������0"������ �I� �<�� �I �

<�� ,"-

�E� �,&�U����

���������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<� �R� ��� ��� �,,&�� �� ��

<� �I� ���� � � �Q� �4�������� ���� � ��� ��� �,&� � � ��� �/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

<�� ," / ������4 �� ,"�4

�<�5� ," ,/ ������� 4� 5'��<"

�<�5� ,"/ ������������ 4� #<�� ," ,/ �����4 �� ,"�4

� ? **

� � �*� �� � �*

* �* ? ��

� � � � � � � � � � � �

<�� ," / ��������4 �� ,"4

<�5� ,"� ,/ �������4 �� 5"�4

<�5� ,"� / ������������4 �� #"�4

<�� ," ,/ ��������4 �� ,"4

� ? **

�* ? *� �

* ? ** �* ? ��

�����5�� � <���������-&5&,"������-&5&5"�8����c� �I� �4��� �� �� ��� !���

4�� �E� ��+� � � �E � � � ���"�� �I� �,/� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"��

�+� � � �E� � � ���"�� � � �E � �4�� �I� �,&� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"��

%�8/������������� ��� ��� �F/� +��!���� ������ ���!!�8����������� �������� �

Page 131: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(?= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6�� �,���K� ������������ �������� �I� �4�� � � �Q� �,�������� ���� � ���� ��� �5&�� � �

��� ����� �� /� 4� ����� �� ��� �E� �,"&� �� �/� �� � �������� ��!������ ��� ������ �� ����� ���"/� 8���� ��� � � � � � �

�� �I�

� ,4 � �����+� � � �E� � � ���� �I� �,"&��� � ��� /��� ���������������0"������ �I � �< ��� �I �

<�� ,"4 &�

��

6�� �5���K� ������������ �������� �I� �4�� � � �Q� �5�������� ���� � ���� ��� �5&�� ��

���������� /��������"��������"/�8 �� ��� �� ��� !����

,� �I� �4�� � � �E � ��+� �E� ���"�4�� � � �Q� �5"� � �I� �4W�� � � �E� � � ��+� �E � � � ���"�X� � �E� �5�+� �E� ���"/�� � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����"��

,� �I� ��+� � � �E � � � ���"�4�� � � �Q� �5"� � � � �E� � � �4�� �I � �5�+� � � �E� ���"� � � � �E� �4W�� �E� ��+� �E� ���"�X&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"��

6! ��!�/��� �����������!��������������� �����������"/�8������� ���

�� �E� ��+� �E � ���"�� �I� �,/�+� �E� ���� �I� �5� ��� � �� �I� �5�� � � �Q � �,������+� �I� ��5�� � � �Q� �,"� � � � �Q� �5"&��

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<��� �E� �,� �I� �<�5�� � � �Q � �,"� � �E� �,&� ��

6�� �#���K� ������������ �������� �I� �4�� � � �Q� �#�������� ���� � ���� ��� � �5&�B������"��������"/�8 �� ���

,� �I� �4�� � � �E � � � ��+� �E� ���"�4�� �Q� �#"� � �I� �4W�� � � �E� � � ��+� �E � ���"�X� � � � �E� � � �#�+� � � �E� ���"/�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"��

,� �I� ��+� �E� ���"�4�� � � �Q� �#"� � � � �E � � � �4�� �I� �#�+� � � �E� � � ���"� � � � �E� � � �4W�� �E � ��+� �E� ���"�X&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"��

�� �����������!��������������� ����������"������!!�8���� ��

� � � � � � � � � � �� �E � � � ��+� �E� ���"�� �I� �,/�+� �E� ���� �I� �5� ��� � �� �I� �5�� � � �Q� �,������+� �I� ��5�� �Q � �,"� � � � �Q� �5"&��

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<��� �I� �<�5�� � � �Q� �,"&� ��

6�� �-���K� ������������ �������� �I� �4�� � � �Q� �-�������� ���� � ���� ��� �5&�� � �

���������� /�4������ ����� �Q� �,"&��� �/��� �����������!�����/������� ���������"/����� ��

�� �I�

� ,4� � �����+� �E� ���� �I� �,"&� �

�� � ��� /��� ���������������0"������ �I� �<��� �E� �,� �I�

<�� ,"4�

�E� �,&�U������

���������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<� �R� ��� ��� �,,&�� �� ��

<� �I� ��� � � �Q� �,"�� �E � �4�������� ���� � ��� ��� �,&� ��

�� �/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

<�� ," ,/ ����4 �� ,"4

<�5� ,"/ ���������� 4� 5'��<"

<�5� ," ,/ �������� 4� #<�� ," / ����4 �� ,"4

� ? **

� � �*� �� � �*

* �* ? ��

� � � � � � � � � � � �

<�� ," ,/ �����4 �� ,"�4

<�5� ," / ��������4 �� 5"4

<�5� ," ,/ ������4 �� #"4

<�� ," / �������4 �� ,"4

� ? **

�* ? *� �

* ? ** �* ? ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����5B�����-&5&,"������-&5&5"�8����c� �I� ��� �E� �4/�8 ���� �� �� ��� !���

W�� � � �Q� �,"�� � � �E � �+X�� � � �E � �4�� �I� �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"���

4�� � � �E� � � �W�� � � �Q� �,"�� � � �E� �+X�� �I� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"�

Page 132: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(?( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

0������� ����������6���!!����-&5&,,/�8 ������ ���� ���!!�8����������������!��� ���� ��

6�� �,���K� ������������ �������� �I� �4�� � � �Q� �,�������� ���� � ���� ��� �5&����������� /�4������ ����� �E� �,"&��� �/��� �����������!��������������� ���������"/�8�������

�� �I�

� ,4 � �����+� �I� ��� � � �Q� �,"�� � � �E� �,"&� � �

�� � ��� /��� ���������������0"���� �

�� �I � �< ��� � � �E � �, � �I �

<�� ,"4

�E� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

6�� �5���K� ������������ �������� �I� �4�� � � �Q� �5�������� ���� � ���� ��� �5&� � � � � � � � � � � � � � � � � ������������ /��������"��������"/�8 �� ��� �� ��� !��

��

,� �I� �W�� � � �Q� �,"�� � � �E� � � �+X�4�� � � �Q � �5"� � � � �E� � � �4�� �I� �5W�� � � �Q� �,"�� �E� �+X� � � � �E � � � �4W�� � � �E� � � ��^�� � � �Q� �,"�� � � �E� �+_X/� � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � ����"��

,� �I� �4�� � � �E � � � �W�� � � �Q � �,"�� �E� �+X�4�� � � �Q� �5"� � �I� �4W�� � � �E� � � ��^�� � � �Q� �,"�� � � �E � �+_X� � � �E� � � �5W�� � � �Q� �,"�� � � �E� � � �+X&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � ���"���

6! ��!�/��� �����������!��������������� ����������"/�8������� ���

���E� � � ��^�� � � �Q�,"���E��+_�I�,/����Q�,"���E� �+�I�5� � �� � ��I�5��� � �Q�,������+��I�����Q�,"�5���Q�,"��E��5"&���

; � /����������� /��� ���������������0"�����I<�I<�5� Q,"&� ��

6�� �#���K� ������������ ��������I�4��� � �Q�#�������� ���� � ������� �5&����������� /��������"��������"/�8 �� ��� �� ��� !���

,�I�W��� � �Q�,"��� � �E� �+X�4��� � �Q�#"��E��4��I�#W��� � �Q�,"���E��+X��E� �4W���E� ��^��� � �Q�,"���E��+_X/�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � ��"��

,�I�4���E��W�� �Q�,"���E� �+X�4���Q�#"�I�4W���E���^���Q�,"���E��+_X��E��#W�� �Q�,"���E��+X&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���"��

�� �����������!��������������� ���������"������!!�8���� ��

���E� ��^��� � �Q�,"���E� �+_�I�,/����Q�,"���E� �+�I�5� � �� � � � ���I�5���Q�,������+��I�����Q�,"�5���Q�,"��E��5"&��

; � /����������� /��� ���������������0"������I�<����E��,�I�<�5���Q�,"�� � �E� �,&� � � �

6�� �-���K� ������������ ��������I�4���Q��-�������� ���� � ������� �5&����������� /�4������ ������Q��,"&��� �/��� �����������!��������������� ����������"&��� ����������������� ���������������0"��� ���� �����

���I � ,4� � �����+�I�����Q�,"���E� �,"/���I�<���I <�� ,"

4� &�U � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���

���������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<��R������� �,#&�� ����

<�I�����Q��.�������� ���� � ������ �,&� � ��� �/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

<�� ," / ���. �� ,".'��<"

<�� ," ,/ �����. �� ,".

� ? **� � �* ? �*�

� � � � � � � � � � � � � �

�����5�� � <���������-&5&,"������-&5&5"�8����c� �I� �.�� �� �� �� ��� !����

.�� �E� ��+� �E� ���"�� �I� �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"���

�+� �E� ���"�� �E� �.�� �I� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"��

%�8/� ���� �������� ��� ��� �,#/� +��!���� ���� �� � ��!!�8���� �8���� �� ������� ��?��� ���� �E� �,� ����������! ����./������ �Q�,�����������! ����.&��

K ����������� ���� ��8���������!��� ��� ����� !��� !�8���

Page 133: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(?< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6�� �,���K� ��.������ ����� �E�,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���������� /��� �����������!��������������� ����������"/�8������� �

�� �I�

� ,. � �����+� �I� ���� �Q�,"&� �

�� � ��� /��� ���������������0"���� �

�� �I � �< ��� �I�

<�� ,". &� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

6�� �5���K� ��.������ ����� �Q�,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������� /���"���� ���� �����������!�����/�8������� �

�� �I�

� ,.� � �����+� �I� ���� �Q� �,"&� �

�� � ��� /��� ���������������0"���� �

�� �I � �< ��� �E � �, � �I�

<�� ,".�

�E� �,&�U� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � ����

���������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<� � �R� � ��� � ��� � �,#&�� �� �<� �I� ��� � � �Q�,"�� �E� �.�������� ���� � ��� ��� �,&� �

�� �/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �<�� ," / ���. �� ,".'��<"

<�� ," ,/ �����. �� ,".

�� ? �**� � * ? *�

�����5B�����-&5&,"������-&5&5"�8����c� �I� ��� �E� �./�8 ���� �� �� ��� !���

W�� � � �Q�,"�� �E� �+X�� �E� �.�� �I � �,/� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"���

.�� �E� �W�� � � �Q�,"�� � � �E � � � �+X�� �I � �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"���

K ���8������ ���� ���!!�8�����8���� ��8������ ��� ���!���������!��� ��������� ������� ����������6���!!����-&5&,#"����

6�� �,���K� ��.������ ���� � �� �� �� �Q � �� �� �� �,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������� /��� �����������!�����/������� ����������"/���� ��

�� �I�

� ,.� � �����+� �I� ��� �Q�,"�� �E � �,"&� �

�� � ��� /��� ���������������0"���� ��

�� �I �<��� �I�

<�� ,".� &� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

6�� �5���K� ��.������ ����� �E� �,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �; � /��� �����������!��������������� ���������"/�8������� ��

�� �I�

� ,. � �����+� �I� ��� �Q�,"�� �E � �,"&� �

�� � ��� /��� ���������������0"���� ��

�� �I � �< ��� �I�

<�� ,".

�E� �,&�U�

Page 134: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(?? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

���������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<� �R� ��� ��� �,#&�� �� ��

<� �I� ���� � � �Q� �F�������� ���� � ��� ��� �,&� � � ��� �/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

<�� ,"� / ��������F �� ,"��F

�<�#� ," ,/ ������� F� 5�<�5� ," ,/ ������� F� #'��<" �<�5� ,"/ ������������ F� -�<�#� 5"/ ����������� F� 4<�� ,"� ,/ ������F �� ,"��F

� ? ** � � �* � � �*� � � � �*

� � �*�*

? �*�

� � � � � � � � � �

<�� ,"F

<�#� ,"F

<�5� ,"F

<�5� ,"F

<�#� ,"F

<�� ,"F

/ ��������F �� ,"�

,/ ������F �� 5"

,/ ������F �� #"

/ �����������F �� -"

/ �����������F �� 4"

� ,/ ��������F �� ,"��

� ? *

? **

? *� �? *

* ? ** ? �� �

�����5�� � <���������-&5&,"������-&5&5"�8����c��I��F��� �� �� ��� !��� � �

F�� �E� ��+� � � �E � � � ���"�� �I� �,/� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"�� � � � � � �

�+� �E� ���"�� �E� �F�� �I� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"�� � �

%�8/������������� ��� ��� �,,/� +��!���� ������ ���!!�8������+��� �������� �� � �

6�� �,���K� ������������ �������� �I� �F�� �Q�,�������� ���� � ���� ��� �5&�� � �

��� ����� �� /� F� ����� �� ��� �E� �,"&� �� �/� �� � �������� ��!������ ��� ������ �� ����� ���"/� 8���� ��� � � � � � � �

�� �I�

� ,F � �����+� � � �E � � � ���� �I� �,"&��� � ��� /��� ���������������0"���� �

�� �I � �< ��� �I�

<�� ,"F &� �

� � �

6�� �5���K� ������������ �������� �I� �F�� � � �Q�5�������� ���� � ���� ��� �5&����������� /��������"��������"/�8 �� ��� �� ��� !��� � �

,� �I� �F�� � � �E � � � ��+� �E� ���"�F�� � � �Q�5"� �I� �FW�� � � �E� � � ��+� �E � ���"�X� � �E� � � �5�+� �E� ���"/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����"�� � ��

,� �I� ��+� � � �E � � � ���"�F�� � � �Q�5"� � � � �E� � � �F�� �I� �5�+� � � �E� � � ���"� � � � �E� �FW�� � � �E� ��+� � � �E � ���"�X&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"�� � �

6! ��!�/��� �����������!��������������� �����������"/�8������� �� � �

�� � � �E� � � ��+� �E � ���"�� �I� �,/�+� � � �E � � � ���� �I � �#� � �� � �� �I� �#�� � � �Q �,������+� �I� ��#�� � � �Q� �,"� � � � �Q� �#"&�� � �

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<��� � � �E� �,� �I� �<�#�� � � �Q� �,"� � � � �E � �,&� �� � �

6�� �#���K� ������������ �������� �I� �F�� � � �Q� �#�������� ���� � ���� ��� �5&� �; � /��������"��������"/� �� � �

,� �I� �F�� � � �E � � � ��+� �E� ���"�F�� � � �Q� �#"� � �I� �FW�� � � �E� � � ��+� � � �E � � � ���"�X� � � � �E� � � �#�+� �E� ���"/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"��� � �

,� �I� ��+� �E� �� ��"�F�� � � �Q � �#"� � � � �E� � � �F�� �I� �#�+� � � �E� �� ��"� � � � �E� � � �FW�� � � �E� � � ��+� �E � �� ��"�X&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � ���"�� � �

�� �����������!��������������� ���������"������!!�8���� �� � �

�� �E� ��+� �E � �� ��"�� �I� �,/�+� � � �E� � � �� ��� �I � �5� � �� � �� �I� �5�� � � �Q � �,������+� �I� ��5�� � � �Q� �,"� � � � �Q� �5"&�� � �

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<� ��� �I � �<�5�� � � �Q� �,"� � � � �E� �,&� ��

6�� �-���K� ������������ �������� �I� �F�� � � �Q� �-�������� ���� � ���� ��� �5&����������� /��������"��������"/�8 �� ��� �� ��� !��� � �

,� �I� �F�� � � �E � � � ��+� �E� � � �� ��"�F�� � � �Q � �-"� � �I� �FW�� � � �E� � � ��+� � � �E� �� ��"�X� � �E� � � �-�+� �E� �� ��"/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����"��

,� �I� ��+� �E� �� ��"�F�� � � �Q � �-"� � � � �E� � � �F�� �I� �-�+� �E� �� ��"� � � � �E � � � �FW�� �E� ��+� � � �E� � � �� ��"�X&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����"�

Page 135: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(?2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

6! ��!�/��� �����������!��������������� ������������"/�8������� ���

�� �E� ��+� �E � �� ��"�� �I� �,/�+� �E� �� ��� �I� �5� � �� � �� �I� �5�� � � �Q � �,������+� �I� ��5�� � � �Q� �,"� � � � �Q� �5"&��

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<� ��� �I � �<�5�� � � �Q� �,"&� ���

6�� �4���K� ������������ �������� �I� �F�� � � �Q� �4�������� ���� � ���� ��� �5&� ��

B������"��������"/�8 ���� ����

,� �I� �F�� � � �E � � � ��+� �E� �� ��"�F�� �Q� �4"� � �I� �FW�� � � �E� � � ��+� �E � �� ��"�X� � � � �E � � � �4�+� �E � �� ��"/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+"��� � �

,� �I� ��+� � � �E � � � �� ��"�F�� �Q� �#"� � � � �E� � � �F�� �I� �4�+� � � �E� � � �� ��"� � � � �E � �FW�� � � �E � ��+� �E� �� ��"�X&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+"��� � �

�� �����������!��������������� ��������+"/�8������� ���

�� � � �E� � � ��+� �E � �� ��"�� �I � �5/�+� � � �E� � � �� ��� �I� �#� � �� � �� �I� �#�� � � �Q� �5������+� �I� ��#�� � � �Q� �5"� � � � �Q� �#"&��� � �

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<� ��� �I � �<�#�� � � �Q� �5"&� ���

6�� �.���K� ������������ �������� �I� �F�� � � �Q� �.�������� ���� � ���� ��� �5&��

���������� /�F������ ����� �Q� �,"&��� �/��� �����������!��������������� ���������"/�8���������

�� �I�

� ,F� � �����+� � � �E� � � �� ��� �I� �,"&� �

��

�� � ��� /��� ���������������0"���� ���

�� �I � �< � ��� �I�

<�� ,"F�

�E� �,&�4 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ������

���������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<� �R� ��� ��� �,#&�� �� � �

<� �I� ��� � � �Q� �,"�� � � �E � �F�������� ���� � ��� ��� �,&� ��� �/� � � � �

<�� ," ,/ ������F �� ,"�F

<�#� ,"/ �������������� F� 5<�5� ,"/ �������������� F� #'��<" � <�5� ," ,/ ��������� F� -<�#� 5" ,/ �������� F� 4<�� ," / �������F �� ,"�F

� ? ** � � �* � � �*� � � � �*

� � �*�*

? �*�

� � � � � � � � � � � � � � � � �

<�� ,"F

<�#� ,"F

<�5� ,"F

<�5� ,"F

<�#� ,"F

<�� ,"F

,/ ��������F �� ,"�

/ �������F �� 5"�

/ �������F �� #"��

,/ �������F �� -"�

,/ �����F �� 4"�

/ ��������F �� ,"�

� ? *

? **

? *� � ? *

* ? ** ? ��

����

�����5B�����-&5&,"������-&5&5"�8����c� �I� ��� � �E � �F/�8 ���� �� �� ��� !���� � �

W�� � �Q�,"�� � �E� � �+X�� �E� �F�� �I� �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"��� � �

F�� �E� �W�� � �Q�,"�� � �E � � �+X�� �I� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"��

� � �

K ���8������ ���� ���!!�8������+��������!��� ���� � �

6�� �,���K� ������������ �������� �I � �F�� �Q �,�������� ���� � ���� ��� �5&��� � �

���������� /�F������ ����� �E� �,"&��� �/��� �����������!��������������� ���������"/�8��������

�� �I�

� ,F � �����+� �I� ��� �Q�,"�� � �E� �,"&� � � �

Page 136: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(?3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�� � ��� /��� ���������������0"���� ��

�� �I� �<��� �E�, � �I�

<�� ,"F

�E� �,&�� � �

6�� �5���K� ������������ �������� �I � �F�� �Q �5�������� ���� � ���� ��� �5&��

���������� /��������"��������"/�8 �� ��� �� ��� !���

� � �

,� �I� �W�� � �Q�,"�� �E� �+X�F�� �Q�5"� � � �E� �F�� �I� �5W�� � �Q�,"�� �E � �+X� � � �E � � �FW�� �E� ��^�� � �Q�,"�� �E� �+_X/� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � ����"�� � ��

,� �I� �F�� �E� �W�� �Q�,"�� �E � �+X�F�� �Q�5"��I� �FW�� �E� ��^�� � �Q �,"�� �E� �+_X� �E � �5W�� � �Q�,"�� � �E� �+X&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � ���"��� � �

6! ��!�/��� �����������!��������������� ����������"/�8������� �� � �

�� � �E � � ��^�� �Q�,"�� �E� �+_ � �I� �,/��� � �Q�,"�� �E � �+ � �I� �#� � �� � �� �I� �#�� � �Q �,������+� �I� ��� � �Q �,"�#�� � �Q�,"� � � �E�#"&�� � �

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<��� �I� �<�#�� �Q�,"&� �� � �

6�� �#���K� ������������ �������� �I � �F�� � �Q�#�������� ���� � ���� ��� �5&� �; � /��������"��������"/�� � �

,� �I� �W�� � � �Q�,"�� �E� �+X�F�� �Q�#"� � � �E � �F�� �I� �#W�� � � �Q �,"�� �E� �+X� � � �E� �FW�� � �E � � ��^�� � �Q�,"�� � �E� �+_X/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � ��"��� � �

,� �I� �F�� �E� �W�� � �Q�,"�� �E� �+X�F�� �Q�#"��I� �FW�� �E� � ��^�� �Q �,"��E �+_X� �E� �#W��Q�,"��E�+X&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � ���"�� � �

�� �/����"���� ���� �����������!�����/�8������� �� � �

�� � �E � ��^�� �Q �,"�� � �E� �+_ � �I� �,/��� �Q�,"�� � �E � � �+� �I� �5� � �� � �� �I � �5�� � �Q�,������+� �I� ��� � �Q�,"�5�� � �Q�,"� �E �5"&�� � �

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<��� �I� �<�5�� � �Q�,"&� ��

6�� �-���K� ������������ �������� �I � �F�� �Q �-�������� ���� � ���� ��� �5&� �; � /��������"��������"/� �� � �

,� �I� �W�� � �Q�,"�� �E� �+X�F�� � �Q�-"� � � �E � �F�� �I� �-W�� �Q �,"�� �E� �+X� �E� � �FW�� � �E� � ��^�� � �Q�,"�� �E�+_X/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � ����"�� �� �

,� �I� �F�� �E� � �W�� � �Q�,"�� �E � �+X�F�� �Q�-"� �I� �FW�� � �E � � ��^�� � �Q �,"�� �E�+_X� �E� � �-W�� �Q�,"�� �E � �+X&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �����"���

6! ��!�/��� �����������!��������������� �����������"������!!�8���� �� � �

�� �E� ��^�� �Q�,"�� �E � �+_ �I�,/��� �Q�,"�� � �E � � �+�I�5� � �� � ��I�5�� �Q �,������+�I��� �Q�,"�5�� �Q�,"� � � �E� �5"&�� � �

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<��� � �E� �,� �I� �<�5�� � �Q�,"� �E�,&� ��

6�� �4���K� ������������ �������� �I � �F�� �Q �4�������� ���� � ���� ��� �5&����������� /��������"��������"/�8 �� ��� �� ��� !��� � �

,� �I� �W�� �Q�,"�� �E� �+X�F�� �Q�4"� � � �E � �F�� �I� �4W�� �Q �,"�� �E� �+X� � � �E� �FW�� � �E � � ��^�� �Q�,"�� �E� �+_X/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � ��+"�� �� �

,� �I� � �F�� �E � �W�� �Q�,"�� �E� �+X�F�� �Q�4"� � �I� �FW�� �E� ��^�� � �Q �,"�� �E� �+_X� � � �E � � �4W�� �Q�,"�� �E � �+X&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � �+"�� � �

�� �/���+"���� ���� ���!!�8��������������!�������� �� � �

�� �E� ��^�� �Q�,"�� �E � �+_ �I�5/��� �Q�,"�� �E� � �+ �I�#� � �� � ��I�#�� �Q�5������+�I��� �Q�,"�#�� �Q�5"� �E�#"&�� � �

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<��� � �E� �,� �I� �<�#�� �Q�5"�� �E� �,&� ��

6�� �.���K� ������������ �������� �I � �F�� �Q �.�������� ���� � ���� ��� �5&����������� /�F������ ����� �Q�,"&��� �/��� �����������!��������������� ����������"/�8�������

�� �I�

� ,F� � �����+� �I� ��� �Q�,"�� �E � �,"&� �

�� � ��� /��� ���������������0"���� �

�� �I� �<��� �I�

<�� ,"F� &�U� � � �� �

Page 137: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(?F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

���������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<� �R� ��� ��� �,#&�� �� �<� �I� ��� � �Q �1�������� ���� � ��� ��� �,&�

�� �/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �<�� ," / �������1 �� ,"�1

<�#� ,"/ ���������� 1� #'��<"

�<�#� 5" ,/ ������� 1� 4�<�� ," ,/ ������1 �� ,"�1

� ? **

� � �*� � � � �** �

? �*�

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

<�� ,"1

<�#� ,"1

<�#� ,"1

<�� ,"1

/ ������1 �� ,"

/ ��������1 �� #"�

,/ ������1 �� 4"

,/ �����1 �� ,"

� ? ** ? *� �

? *** ? ��

�����5K����c� �I� �1�����-&5&,"������-&5&5"/�8 �� ��� �� ��� !��� � �

1�� �E� ��+� �E� ���"�� �I � �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"�� � � � � � � �

�+� �E� ���"�� �E� �1�� �I � �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���"�� � �

%�8/������������� ��� ��� �,#/� +��!���� ������ ���!!�8����������� �������� �� � �

6�� �,���K� ������������ �������� �I � �1�� �Q �,�������� ���� � ���� ��� �5&�� � �

��� ����� �� /� 1� ����� �� ��� �E� �,"&� �� �/� �� � �������� ��!������ ��� ������ �� ����� ���"/� 8���� ��� � � � � �

�� �I�

� ,1 � �����+� �E� ���� �I� �,"&��� � ��� /��� ���������������0"������ �I� �<��� �I�

<�� ,"1 &�

� � �

6�� �5���K� ������������ �������� �I � �1�� �Q �#�������� ���� � ���� ��� �5&��

���������� /��������"��������"/�8 �� ��� �� ��� !��� � ��

,� �I� �1�� �E� ��+� �E � ���"�1�� �Q�#"� �I � �1W�� �E� ��+� �E � ��"�X� �E� �#�+� �E� � ���"/�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����"�� �� �

,� �I� ��+� �E� ���"�1�� �Q�#"� � � �E � �1�� �I� �#�+� �E� ���"� � � �E� �1W�� �E � ��+� �E� ���"�X&�� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"��

� � �

6! ��!�/��� �����������!��������������� ����������"/�8������� �� � �

�� �E� ��+� �E � � ���"�� �I� �,/�+� �E� ���� �I� �#� � �� � �� �I� �#�� �Q�,������+� �I� ��#�� �Q�,"� � �Q�#"&�� �

; � /����������� /��� ���������������0"��������� I ���� < ����� ���� I ���� <�#� � �� �� �� �Q ����,"&� ��

6�� �#���K� ������������ �������� �I � �1�� �Q �4�������� ���� � ���� ��� �,&� ��

B������"��������"/�8 �� ��� ��

,� �I� �1�� �E� ��+� �E � � ���"�1�� �Q�4"� �I� �1W�� �E� ��+� �E� ���"�X� � � �E � �4�+� � �E� � ���"/�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � ���"�� � ��

,� �I� ��+� �E� ���"�1�� �Q�4"� � � �E � �1�� �I� �4�+� �E� ���"� � � �E� �1W�� �E � � � ��+� �E� � ���"�X&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"� � ���

�� �����������!��������������� ����������"������!!�8���� �� � �

� � � � � � � � � � �� � �E� � ��+� �E� � ���"�� �I � �5/�+� �E� ���� �I� �#� � �� � �� �I � �#�� �Q�5������+� �I� ��#�� �Q�5"� � �Q �#"&�� � �

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<��� �E �,� �I� �<�#�� �Q�5"� �E�,&� ��

6�� �-���K� ������������ �������� �I � �1�� � �Q�F�������� ���� � ���� ��� �,&����������� /�1������ ����� �Q�,"&��� �/��� �����������!��������������� ���������"/�8��������

�� �I�

� ,1� � �����+� � �E� � ���� �I� �,"&� �

��

�� � ��� /��� ���������������0"���� ��

�� �I� �<��� �E� �, � �I�

<�� ,"1�

�E� �,&�U � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Page 138: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(?1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

���������������5� ��������<�� ��8������ ��8����<� �R� ��� ��� �,#&�� �� �<� �I� ��� � �Q�,"�� �E� �1�������� ���� � ��� ��� �,&� �

�� �/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �<�� ," ,/ ��������1 �� ,"1

<�#� ," ,/ ��������� 1� #�'��<"<�#� 5"/ ������� 1� 4�<�� ," / �����1 �� ,"1

� ? ** � � �*� � � � �*

�* ? �*�

� � � � � � � � � � �

<�� ,"1

<�#� ,"1

<�#� ,"1

<�� ,"1

,/ ��������1 �� ,"

,/ �������1 �� #"

/ �����1 �� 4"

/ �������1 �� ,"

� ? ** ? *� �

? **

? �*�

� ��

�����5B�����-&5&,"������-&5&5"�8����c� �I� ��� �E� �1/�8 ���� �� �� ��� !��� � �

W�� � �Q �,"�� �E� �+X�� �E � �1�� �I� �,/� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��"�� � �

1�� �E� �W�� � �Q�,"�� �E� �+X�� �I� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"��

K ������ ���� �������������!��� ��������������� ��� �� � �

6�� �,���K� ������������ �������� �I � �1�� �Q �,�������� ���� � ���� ��� �5&�� � �

���������� /�1������ ����� �E� �,"&��� �/��� �����������!��������������� ���������"/�8�������

�� �I�

� ,1 � �����+� �I� ��� � �Q �,"�� �E�,"&� � � �

�� � ��� /��� ���������������0"������ �I� �<��� �E � �, � �I�

<�� ,"1

�E� �,&�� � �

6�� �5���K� ������������ �������� �I � �1�� �Q �#�������� ���� � ���� ��� �5&��

���������� /��������"��������"/�8 �� ��� �� ��� !��� � �

,� �I� �W�� � �Q�,"�� �E� �+X�1�� �Q�#"� � � �E� � �1�� �I� �#W�� � �Q�,"�� �E � �+X� �E � � �1W�� � �E� � ��^�� � �Q�,"�� � �E� � �+_X/� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � ����"�� � �

,� �I� �1�� �E� �W�� � �Q�,"�� �E� �+X�1�� � �Q�#"� �I� �1W�� � �E � � ��^�� � �Q �,"�� �E� �+_X� �E � � �#W�� � �Q �,"�� �E� � �+X&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � ���"�� � �

6! ��!�/��� �����������!��������������� �����������"/�8������� �� � �

�� �E� ��^�� � �Q �,"�� � �E� � �+_�I �,/��� � � �Q�,"�� � �E� � �+ �I�#� � �� � ��I�#�� � �Q �,������+�I��� � �Q�,"�#�� �Q�,"� � � �E� �#"&�� � �

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<��� � �E� �,� �I� �<�#�� � �Q�,"� � �E� �,&� �

6�� �#���K� ������������ �������� �I � �1�� � �Q�4�������� ���� � ���� ��� �,&����������� /��������"��������"/�8 �� ��� �� ��� !��� � �

,� �I� �W�� � �Q�,"�� � �E� �+X�1�� � �Q�4"� � � �E� �1�� �I� �4W�� � �Q�,"�� �E� �+X� � � �E � �1W�� � �E� � ��^�� � �Q�,"�� �E� � �+_X/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � ��"�� � �

,� �I� �1�� �E� �W�� � �Q�,"�� � �E � � �+X�1�� � �Q�4"� �I� �1W�� � �E � ��^�� �Q �,"�� �E� �+_X� �E � �4W�� �Q�,"�� �E� �+X&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � ���"��

�� �����������!��������������� ����������"������!!�8���� �� � �

� � � � � � � � � � �� � �E� � ��^�� � �Q�,"�� � �E� � �+_�I�5/��� � � �Q�,"�� � �E� � �+ �I�#� � �� � ��I�#� � � �Q�5������+�I��� � �Q�,"�#�� � �Q �5"� � � �E � �#"&�� � �

; � /����������� /��� ���������������0"������ �I� �<��� �I� �<�#�� � �Q� �5"&� ��

6�� �-���K� ������������ �������� �I � �1�� � �Q�F�������� ���� � ���� ��� �5&����������� /�1������ ����� �Q�,"&��� �/��� �����������!��������������� ����������"/�8�������

�� �I�

� ,1� � �����+� �I� ��� � �Q �,"�� � �E � �,"&� �

�� � ��� /��� ���������������0"���� �

�� �I� �<��� �I�

<�� ,"1� &�U�

Page 139: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(?0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

2�? � � ��*�� �� �&�4�J���* �3�� � ���� ������������ ��� >��������� W,X/� �� � �� ���� 3�������� � �������� ���� � �� � � ��!�����������&������� ��������� ��� �������� ������ � �� � ��!�C������/���� ������� ���!!�8�����8������ �����&�������

2�?�( � ��/� �"���6* ����&� 6�#/� ����4 ��� #��* LK; >��

��� ��� ����3�������� ����!��������/�� ��� �����'G��"/�������� �����3������W.X/����� ��� �������!!�8�&����

�����������������5B���������� � �����O� �,/��� ��� ����3�������� ����!��������/�'G��"/�����

G��� ,"' ��" ��+ �� � �� / � �5

� �� �� - 011� ��

���� &����

��

� ��'G��"�I��$�������� ���� � ���$��O� �,&�

��

�� �/����: ���������-&#&,&,/��� ���!!�8�����8�������������� �������� ������

�,"� $ $� �� ,"����� �� �

5�

11 1 /�

�5"� �����������������! ���� ��� ,"5� � ����������R��$&� �

����

������������5B���������� � �����O� �,/� G,, ' ��" � , 1� ,"&5� � � �

�����5� ����

'G��"�I��$�������� ���� � ���$��O� �,/��

�������/����� ��������/�

��I�& $ $� �� ,"5

� � ������� ���� � ����O� �,&�

�� �/�$ $� �� ,"

�5

�� /�

8������� ���� ��&�&�&��� <��!���&��� ���� ������������ ��� <��!��������������&�U���

���

������������5 G� ,"' � " 5

� � ����������� � ����O� �,&�

�����5*��� ��������/��

G� ," ��� ," ' � " ��+ � �5 5� � + �<,� �� 011� �@�

&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �,"��

%�8/���� �����Q�,"�I���Q�,"����������!�������I�/��� ���+�����������,"����&�U�

Page 140: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(?C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

����������������5� ��������<�I�5��E�,�� ��8������ �&��� �/�'G��<"�I�<&���

�����53�� ��<�I < ,� "&<5� /��� �� ��!����!!�8�������� ����-&#&,&5&�U�

���

������������5B���������� � ����/��� �O� �,/�'G���"�����+^�'G��"/�'G��"�_&���

�����5� ����

'G��"�I��$�������� ���� � ���$��O� �,&���

�� �/����� ��������/���

$ $� �� ,"�

5�

101 11 � ��� � $ $� �� ,"��

5�

101 11 � ��� 'G���"�O��$�I�'G��"&�U����

������������5� �����O� �#�� ������� &��� �/������������ � ����O� �,/�

G

5/ ��� �� #' �� "

,/ ��� �� #

��*� ��*��

�����5*��� ��������/� G

��� ,"' �� " ��+ �� � �� / � � &5

� �� �� - 011� ��

���� � �

����� ������������Q�,�����/��� ���� ���� ���� ������� �5&�%�8/���Q�,�I��/���I�5� ��� � ��I�#/���Q�,�I�5/���I��� ��� � ��I�,&�

����/������ �� ������ �8� ������#/�8 ��������� ���I�,&�U����

������������5B���������� � �����O� �,/�'��"� �O� �'G��"&� � � � ������5� ��

��

'��"�I��$/�'G��"�I���������� ���� � ����$��O� �,��������O� �,&���

�� �/����� �������������'G��"�����'��"�� �� ��� !�/���

$ $ $ $� �� ," � �� ,"��� ," ��� ,"�/ ���� ��� ��� &5 5 5 5

� �� �10111 0111 � 101 11 �

��

����/��$��O� ��/�8����8 ���� �� ��������� &�U����

������������50�����!����������� � <�������'��"�I�'G��"��������� ��������

��I� ,"5� /�� �O� �,&�

�����5� ���

'��"�I��I�'G��"�������� ���� � ����O� �,&��� �/�

� ," � ,"�/ � ��5 5� �

10111 11 01 11 � ���� ,"� &5�

� � U����

����������������5�� � �������������� ����� �������������������� � <������� �'��"�I�'G��"&�

Page 141: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(2= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

2�?�< � � ��/� ��66���%� �� �4*8��� �*$ � � � �L; >� � 6 � � �LK; >��

��� ��������/��!! ���� �������� ����!��� ����'��"/����� �� ��� �����'3��"/������ ��������� �����3������WFX&����

�����������������5B�������� �!����� ��+-�$/��"/��

3��� ,"' �+" ��� �� � �� / �+5

� �� �� - �� ��

���� &�����

�� ����!����'3�+"/����� �� ��� �����'3G�+"/����� ��� �������!!�8���3������WFX"&����

�����������������5B�������� �!����� ��+-W,�/�"/��

'3G�+"�I��� ,"��+ �� � �� / � + &5

� �� �- �� ��

���� ����

B����: ���������-&#&5&,�����: ���������-&#&5&5/�������! �������/������������ � ����O� �,/��

'3�+"�I�����������!������ ," � ,"+ � / X/5 5 �

- � � � � � � � � � ��

'3G�+"�I�����������!������ ," � ,"� 5"+ W / "&5 5� � �

- �

K ��� ����� ��� ���!!�8����� ��!�&����

������������5B�������� �!����� ��+��O� �,/������������ � ����O� �,/��

3G

3

3G

�Q," � ,"� 5"5 5

� ,"5

' �+" ,/ ������+ � / "' �+"

' �+"/ �� ��+ ���������������

� �

� � -*� ��*�

���� �����

������������5B���������+ ��� �!����� ��+��O� �,/��

3G, ,5 5� 1+ , #" ' �+" � 1+ , ,"&� ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �-&#&5&,"�

�����5� �/�������� �� �!����� ��+�O�,���+ �/��

'3G�+"�I��������� ���� � ��� �O� �,&��

�� �/����� ��������/���

� ," � ,"� 5"+5 5� � �

� ! /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �,"��

8� � ������� �!��� ������ � ��������������� ����� ��� <��!���&�%�8/��,"����������� ���

���������!����� � � � � � �5�Q��E�5+���$�Z�5�Q�#�E�5�+�E�,"���

���������!����� , ,5 5� 1+ , #" � 1+ , ,"� ! � � /� � � � � � � � � � � � � � �

8������8���� ���� �� ��� ��� ��!�&�U��� ���

����������������5B���������+ ��� �!����� ��+��O� �,/��

3G,5' �+" W � 1+ , ,X��W�X�� ��� ���� ���� � �����������"&� � ����

Page 142: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(2( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����5�� �� ��!����!!�8�������� ����-&#&5&5/��������������

, ,5 5� 1+ , #" � 1+ , ," ,/� � � �

���������� � �/���������� �������� ���+�������� � ��������������� ��� <��!�����-&#&5&,"&�U����

����������������5 3G,5' �+" � 1+ , ,"����+ &6 � "� ����

�����5��!!�8�������6���!!����-&#&5&,����� &�U���� � ����

��� �� �������� ��� � ����� �� ��� �� �� ������������ � ��� � ��/� ����� /�8 �� �� �� ���������'3��"&��� �������� 8�� �������'3��"��� ���

,/�5/�5/�#/�#/�#/�-/�-/�-/�-/�4/�P/����

8� � � �� � ��!� � � �� � O� � ,"� ��� � � �� �� � ," � ,"� �

5 5�

� � ��� �&� 3���!��!�/� 8 � � �� �� �

��������'3G��"/�8����������� ����� /�8��������� ���� ��� ���� ���!� �� ���

,/�,/�5/�5/�5/�#/�#/�#/�#/�-/�-/�-/�-/�-/�4/�P/����

8� � ��� ���!� ���� �O� �,"����� � �� �� � ,"� 5" � ,"� � ,

5 5� � �

� � � ��� �&������

������������5B���������� � �����O� �,/�'��"� �O� �'3G��"&� � � � ������5� ��

��

'��"�I��$/�'3G��"�I���������� ���� � ����$��O� �,��������O� �,&����

�� �/����� �������������'��"�����'3G��"/���

$ $� �� ,"�� /

5�

011 � ��� ,"�5�

�1 � ��� ���� $ $� �� ," � ��5

� + �<,� �1

@&�

��

����/��$��O� ��/�8����8 ���� �� ��������� &�U�����

������������50�����!����������� � <�������'��"�I�'3G��"��������� ��������

��I� ,"5� /�� �O� �,&�

�����5� ���

'��"�I��I�'3G��"�������� ���� � ����O� �,&��� �/�

� ," � ,"� / ���5 5� �

101 11 � � ���� ,"� 5

�� &�U�����

����������������50�����!����������� � <�������'��"�I�'3��"��������� ��������

��I� ,"5� /�� �O� �,&�

�����5���!!�8�������� ����-&#&5&-������ ����-&#&5&,&�U��

Page 143: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(2< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

2�2 � � � ����#�44� �*�� ��*.�#���������� ����/�8 ���� ���� ����� ��� ������� ��� ����3�������� ���������'��"&����

)� ���@������� � � ������ ����� ��� �����3��"�����'��"��������/���������� � <�������3��"�I������� ��� ������� � ���� �� ��� ��!������/� �� � <�������'��"�I��� �� �� ���� � ����� ���� ��!�����/� ��� ������� ������ ����-&-&,&��� �� +��! ���/�� ����-&-&5/������ ����0����� ��W#X&�

���

����������5�� � <�������'��"�I������������!�����&�� � �

�����5� �/�������� ���� � ����O�,/�'��"�I��/��������/���

�� � ]� ��� ,"5� � � �� � ���]� �� ,"�

5 � � �� � '��"���� ��� �E� �,/�

8�������������������������� �����������&�U����

����������50'���Q�,"�E�'��"0����������� �&��

�����5� ����Q�,�I�5�������� ���� � �����,&��� �/����� ����-&5&5������ ����-&-/��

'���Q�,"� �I� �'�5"� �I� �5�

Q��

,�E� �,/�'��"� ��� ���E�,�I�5�E� �5&��� � ��� /��

0'���Q�,"�E�'��"0I�'���Q�,"�E�'��"����5�

Q�

,�E�,"�E��5�E�5"�I�5�Q�,/��

8�������� ���� ����������!��!��� ��������������!��� �����!��� �"&�U����

�� ���!!�8����! ������� ����� ������������������������'���Q�,"������ ��'��"&���

����������5� ����� ������� ������ ��������I�-��Q�,/��� �O� �,���������� � �&��

� ��<�� ������ ������ ����������<�I�5��E�,�I�1��Q�,&� ��

�� �/�'�5�"������ ��'�<"�I�'�5��E�,"&��

�����5*��6���!!����-&5&,�,"�'�5�"�I���E�,&��

*������������/�<���������� /��������/����� ����-&5&#/�'�<"�I�'�5��E�,"�I�5���E�,"&��

; � /�'�5�"�I���E�,������ ��'�<"�I�'�5��E�,"�I�5���E�,"&�U�����

���������� 5A�� ������ ��� � ����O� �5/� �� � <�������'��"�I���������� ������� ����� �������!������&�

�����5A�� ���� ���� � ����O� �5/�8 ����� ������� ������������50����Q�,"&��� �/��

'��"�I�������� ����-&5&-"&��

%�8/���� ��/��� � �������������� ����� ��������� ������� �� ��� ������&�0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&� � U�

���

�� � ��!!�8���� ��� � � ��!��/� ��� �� ���� ����-&-&4�E�� ����-&-&F/� �� � �� � �������� W1X/���������� ����������� ��� � ��� ������� ���� �&�

��

����������5�B���������� � ��� �O� �5���+ �/��� � <���������I�'��"��������������� ����� �������!������&������5�� � <���������I��'��"���� <����! ������'��"�I��&�U�

Page 144: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(2? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

����������5�� ������� '�5�"'��"

� ���������� ������ &�

�����5A�� ���� ���� � ����O� �,/�8 ����� ������� ������������50����Q�,"&�� ���

�� �I� �

��� ,"5�

��� ����"����������'��"�I��"&�

� ��'�5�"�I��&�

%�8/� ,��� ," ��� ,"

5 55 �� ���� ," 5�/ �5�� �� ��5 �� �� ��5 �� ��� ,"&���� �0 � � 011 � 011 � 011 � ���

K ���8������ ���� ���!!�8�����8���� �����

6�� ��,"���K� ��������� ��������5�

Q��

,������ �����Q�,"&����������� /� �

��I����������� ���� � ����R�,&��

%�� �����/�����,/�������� �8�� ��

��I�,� ��� � ��I��� ��� � ���"�I����"�I��� ��� � ��I����"���5�&��

%�8/�50����Q�,"� ��� � 50����Q� � ��"/�

��

������� �50����Q�,"/������!!�8�������50��� �E�,"/�������������5�Q�,&�; � /��

'�5�" � � 5 /'��" �

� � 8 ��

8�������� ���� ����������!��!��� �������������������� ��!��!��� "&� ��

6�� ��5"���K� ��5�

Q��

,������ ��������������� �����Q�,"&����������� /� �

��I����E�,�������� ���� � ����R�,&��

���������� /�����,/�������� �8�� ��

��I�,� ��� � ��I���E�,� ��� � ���"�I�����E�,"� ��� � ��I����"�R�����E�,"���5�&�%�8/�

50����Q�,"� ��� � 50����Q� � ���Q�,"/���

������� �50�/������!!�8�������50��� �Q� �,"/�������������5�E� �,&�; � /��

'�5�" � , ,� 5 ,/'��" � � �

� � � ��

8�������� ���� ����������!��!��� �������������������� ��!��!��� "&�U����

/0��)�������5��������������������� ������� '�5�"'��"

� ����� �� �������#$/�8 ���� �������� �

������ ������������#5�I�50����Q�,"&�6����������I�#,/�����������I #, #55� � I�-D./�8 �� ��

'�5�" '�DD5" D.$ #$&DF #$&'��" '�-D." #,

� � � 8 � �4�

Page 145: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(22 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

����������5A�� ������� �!����� �����R� �$/��� ��� <��!��� ���

'�� ," �'��"

�8 /� '�� ," �

'��"

8 ��

�������������� ����� �������!������&��

�����5A�� ���� ����� �����R� �$/�8 ����� ������� � ��������!!�8�����

�I���+^�-/�W5�X�_��W+X�� ��� ���� �! ������� � ������! ��������+"&�� ��

� ,"� �, �" ��"�, �"/5�

� � � � ��

8� � ��� �O� �,���������� � ������������

� , ��"�, �" ,� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,"��

������� &�� ���

���I� �W,��Q� ��� �Q�,"�X&�%�� ������

�����Q�,"� �I� ����Q�,"�,��Q� ��"W,��Q� ��� �Q�,"�X� �I� �5�W,��Q� ��� �Q�,"�X/��

���������

��� ,"�� � �� ��'��" �&5�

0 � � ��

�� � ��� /��

'�� ," ��"�, �"� &'��" � 5���"

� �� �

��

%�8/���"�, �" ��"W, �� ,"X� ��" � �� ," 5���" 5��"�� ,"

� � �� 8 � �

� � ��

��

���������!����� � � � � � � �,� �Q� ��"W��Q� �5��"��� �Q�,"X� �R� �W,� �Q� ���� �Q�,"XW��Q�5���"X/��

�������/����������!����� �5��"� �R� �5/� ��

8���������� &�

��������8��������� ��������� ��"�, �"� ��" 5���"

��

�� ��������!��� � ����������&�%�8/���� �

!�� �� ��"5"�

� /��

�����!!�8�������'�� ," �&'��" 5

�8 � ����

% +�/������ �O� �-/�! ���� �I� ���"�,��Q� ��"/��

8� � ��� �O� �,���������� � ������������

�� �E� �,� �I� ���"�,��Q� ��"� �E� �,� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �5"��

������� &��� �/�

Page 146: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(23 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

'�� ," ��"�, �" 5� 5 &'��" � 5���"

� � ��

%�8/���"�, �" 5 ��"W, �� ,"X 5���" ��� ," 5���" 5��"�� ,"

� � � � 8 � �

� � ��

���������!����� ���

W��"�,��Q� ��"�E�5XW��Q� �5��"��� �Q�,"X� �R� �W��"^,��Q� ���� �Q�,"_�E�5XW��Q�5���"X���

�������/����������!����� � 5W��"X5��E� �-��"� �R� �5���"���

�������/����������!����� � ���Q�,"� �E� �-� �R� �5/��

8���������� &�

��������8��������� ��������� ��"�, �" 5���" 5���"

� �

�� ��������!��� � ����������&�%�8/���� �

!�� ����"5"�

� /��

�����!!�8��������

'�� ," �&'��" 5

8 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �#"�

3�� ��� � �������������� ����� ��������� ������� ��������,"�����5"/��� �� ��!����!!�8�&�U�����

�����������5���� ����-&-&F/������ �������� � ���� �� �������,&�*���8 ����� ���O� �-�����!�������� ���� �� � �������������� ��� <��!�����#"&�

�����

/0��)�������5���������� �� <� � �� '�� ,"'��"

�� �� ��

� ���� '�� ,"'��"

� �� ��

/� ���� ������8����

����� �� ���������I�5/�8 ����� ���I� �-&��� �/���"� �I� �,$&����

;(>K ���� �������� ��� ���� � ���� �O� �$�������������

�� �Q� �,� �I� ���"�,��Q� ��"� �Q� �,� �I� �,$�,��Q� �-�"� �Q� �,� �I� �,,��Q� �-$����

������� &�K ��� ��� ���� ���� !���� ����� �����

,,/�,#,/�5,,/�54,/�##,/�-D,/�P��

8����'�,," ,$ 5&4'�,$" -

� � /� � � � � � � '�,#," ,#$ #&##'�,#$" #D

� � /� ����

'�5,," 5,$ ,$&4'�5,$" 5$

� � /� � � � '�54," 54$ 5&$,.'�54$" ,5-

� � /� ����

'�##," ##$ F&4'�##$" --

� � /� � � � � '�-D," -D$ 5&4,'�-D$" ,D4

� � /�P&�

Page 147: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(2F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

;<>K ���� �������� ��� � �O� �$������������

�� �E� �,� �I� �,$�,��Q� �-�"� �E� �,� �I� �D� �Q� �-$����

������� &��� ��� ���� ����� ���� ���

1D/�-$D/�--D/�F.D/�P�8����

'�1D" 11 5&4,'�D$" #4

� � /� � � � '�-$D" -$1 ,$&5'�-,$" -$

� � /� ��

'�--D" --1 -&45'�-4$" DD

� � /� '�F.D" F.1 ,#&D.'�FF$" 44

� � /�P�&�4������

����������5A�� ������ � ����� � ����O� �5/��� � <��������

'�� ," '��"

�� �

������!������&��

�����5A�� ���� � � ����� � ����O� �5/�8 ����� ������� ������������50����Q�,"&�� ��<�� ������ ������ ������ ������ �

<�I���Q�,&�%�8/�! ������

��I��������������Q�,�I�<"/��

�������� ����� ����-&5&-/�'��"�I��/����������

'�� ," '�<" '�� ," � &'��" '��" '��" �� �� � � � � U�

�����

/0��)�������56��� �������������I�5����� ����-&-&1/���� ������ ���/�<"��������� ���

��/�<"�I��#/�F"/��,,/�5#"/��5#/�-F"/�8����

'�F" '�5#" '�-F". -.555/ � 5/ � 5&'�." # '�55" ,, '�-." 5#

� � � � � � ���

6��� �������������I�-/�8 ���� ���

��/�<"�I��F/�5D"/��FD/�#,F"/��,5F/�4$D"/�8����

'�5D" '�#,F" '�4$D"51 #,. 4$1-/ � 5/ � -&'�51" F '�#,." FD '�4$1" ,5F

� � � � � � ����4�����

�����������53�� � '��" 5� , 5/� �

� ! � �����!!�8��������� � <�������

'��" �

� �

���������!���������� �O� �5&��� ��� ��I�,����������� ������ ����-&-&,&�

Page 148: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(21 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�� �����! �������� �� � ������������ "�� �� ������!�����'��"������������� � ����������������� ���� �� ������ � ��!�� � ��� ��&��� ���!!�8�����8��! ������� ��� ����>���������W,X&�

����

��������� 5�� �� �� ��� ,

,�'��"

�� � ������ �� ��&�

��

�����5�� ���������!!�8�������� ������������

� , � ,/#/�&&& � , � ,

,5

, , , ,� � � � � /'��" '��" 5� , �

� � �

� � � �

8 � 8 8 �� � � � ����

8� � �8 ���� ��� ���� ������������ ���������� �� �������� �� ��&�U����

����������5�� �� �� ��� ,

'��"��

�� � ������ �� ��&�

�����5B�������� �������� �� �� �� ,

,

5 ,5

� �

� � ������ �� ��/���� � ,

5 ,!�� $&5

"�

� �

�� � ��� /��

,

� , ,

'��" 5 , &� 5

� � �

� �

8 8 �� � � U������

�����W1X��������� ���� ���� �� � ��!�� ��!�/���� ��� !�8&���

�����������5�� �� �� �� �� ,

,W'��"X

�� � ������ �� ������������!�������R�,&�

�����

�� ���!!�8����� ��!����� ��� ����3������WDX&�����

�����������5 G G

� �

' ��" ' ��"!�� ��� � $/ � !�� ��� � ,&

'��" '��""� "�� � �

�����5K������I��/���� �� ��8����� ����-&5&#������ ����-&#&,&-/�8 ���� ��

G G

5 / ����� #' ��" ' ��" � ,,'��" '��" / ����� #� ,

� �* � � ��* �

�����8������ �������!����������!� ���������� �&�

% +�/�! ����I � ,"5� � ����������� � ����O� �,&�3�� ����� ����-&5&,������ ����-&#&,&5/�

G� ," � ,"

'� " ' � "5 5

� �� � /�

�� ���� ������������ �! ������� ����!��� �&�U���

��

��������������5�� �� �� �� G

� ,

' ��"�'��"

�� � ������ �� ��&�

Page 149: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(20 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�����������5 G G

� �

' ��" ' ��"!�� ��� � $/ � !�� ��� � 5&

� �"� "�� � ����

�����5K������I��/���� �� ��8����� ����-&5&#������ ����-&#&,&-/�8 �� ���� �������!����������!� ���������� ����������� ����-&-&,5����� "&��

���� ���� �� ������������/���������� �����/������������ � ����O� �,/���

G

� ,"' � "5 !�� � � !�� � � 5 !�� � � 5&

,� ," � ,"5 5

"� "� "�

�� � � �� ��� � �

������

%�8/������� ����-&#&,&,/���

G' ��" , ,5 , 5&1� 1��

� � � �� � �

� U�����

��������������5�� �� �� �� G

� ,

' ��"��

�� � ������ �� ��&�

���

����������� 5?������ �� � � �� �� G

� ,

' ��"��[

�� � ���� �Q,� G

� ,

' ��"�� ,"

�[

� � ��� �� �� ��� ���

���������!����� �&�����

�� �� +����� �! ������� ��� �� ��8������ ���� �� � ����� �� ������!�����'3��"�����'3G��"&��� ��������� ������ ����3������WFX/������� �� ����� ��� ����=����!��A���W,$X&� � �

��

�����������5�� �� �� �� �� , 3G

,��W' ��"X

�� � ������ �� ���������R�$&�

���

�����������5B���������R�5/��

;(>� �� , 3

,� �� ,"/W' ��"X

� A � � ;<> �� , 3G

,� �� ," ��"&W' ��"X

� A � A� �

8� � �A��"������ �(� �����C ����������&��

�����5� �� �

���� ," � ,"� / X5 5 � /�=��

� ," � ,"� 5"W / "5 5� � � &�

;(>� B������ �� ��������/�'3��"�I������-�&��� � ��� /��

� � �� , , � � ,3 3

, , � � � � �� ,"&W' ��"X W' ��"X

� � �

� � - �

� � � A � � � � ������

;<>� 3�� �'3G��"�I������-=/�8 �� �/��

� � �� , , � = ,3G 3G

, , ,� � � � �� ," ��"&W' ��"X W' ��"X

� � �

� � - �

�� � � A � A� � � � � U�

Page 150: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(2C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�����������5B���������R�,/��

;(>��

,-� � �

� , 3

� ," , 5� �, " ��" ��/ "/W' ��"X 5 -

� A A�

����

;<>��

� � ,� , 3G

� ," ,� �, " ��"&W' ��"X 5

� A�

��

8� � � ��/ "A � � ����� �;��8��C�C ����������&��

�����5� ��������=�� ��������� ����������� ����-&-&,.&��

;(>� B�������� �������

��

�� � 3

, / ������� ,/4/D/ �&&& ������� ,"� $/ ��������������� � ������������

W' ��"X,� / ������ #/F/,,/ �&&&������

-

� �* *� �

*�*

� �

����� ����� ����/��� ����������� ������� ! � ����������� W, 5 �&&&� � ,"X ,� ," &� � � � ��

�� � ��� /��

� � � � �� , ,/4/�&&& #/F/�&&& ,/#/4/�&&& ,/4/�&&&3

� ," , , , ,� 5W' ��"X

� � � � �

� � � � � � � � /�

��

8������8���� ���� �� ��� ��� ��!�/���� ���

,-� � � � �

,/#/4/�&&& ,/4/�&&& $

, , , , ,�, " ��"/ � � ��/ "& 5 �- ," -

� � �

� A � � A�� � � ����

��

;<>� ���������� /��

��

�� = 3

, / ������� 5/ ./,$/ �&&&������� ,"� $/ �������������������������������

W' ��"X,� / ������ -/1/,5/ �&&&������

-

� �* *� �

*�*

� �

8������ ������� ! � ������=���������� ������ , 5 �&&&� � ," &� � � ��

�� � ��� /���

� � � � � � � � �� , 5/./�&&& -/1/�&&& ,/#/4/�&&& ,/5/#/�&&&3G

� ," , , , , , ,�W' ��"X 5 -

� � � � �

� � � �� � � � � �

��

� � � � � � � ,/5/#/�&&& ,/5/#/�&&&

, , , , ,�, "5 5 - � �

� �� � /���

8������8���� ���� �� ��� ��� ��!����� ������!��������&�U�

Page 151: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(3= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

K ���8������ ���� �����! ��������������� ���!������������ � <�����������

'��"�I����"&���������

�� � ����! �� ���� � �� ����� � �� ��� '����� ��� W,,X/� ���� !�� �� ��� ������ � � W,5X&� � � � � �� ���� -&-&,1� ��� �� �� � � ��!�� ��� � �� �� ��� �� � ���� � <������&�K � ��!!�8� �� � ��� � !�� � ������������������������ ����� ������� /���!!��������� ������������������&� �

����

��������

�����������5'��"��R� ����"������!!���� � ������R� �,5$&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��

�����5����� �I� ��/�8� � ����O� � �4���������� /��� ���

'��"� �I� ��� �E�,� �R� �5� �I� ����"/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���

�������/��� �� ��!�� ��� ��� ��������������� &�����/������������� ����������� ���� ��� �8� ���������������� ����� �&�� ���� � �� ������� � �������������

��

'��"� ��� ����"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �,"�� � �

� ������� ��� ����� �������� �� � ������������� ������ ��

, 5 � � , �, 5 � � ,�������� �� � ���� � ���� &&&� � ���� � &&&� � �����

� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �-&-&,"�

��

�������������� �� ��$&,����6���� ��$"���

���"� �I� ���,��Q�,"��5��Q�,"� �P������Q�,"&�� ��

� ���� �������������"�� �� ��� �������!!�8������

7 5�� �� ",

�� �

� �&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �5"�

��

�� �/�������-&-&,"������5"/���

, 5

, 5 � �� "� �� "&&&� �� "� � � I, 5

, 5

, 5

�� 75 �� 75 �� 75� � �

&� �&&&� �, , ,

� � �

� � � � � ��

��

����"

� ����� � ��

�'��"� ����

� � ��

Z�,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �#"��

%�8/��

,/ �������� �� 5����� .,/ �������� �� #����� 54� �� "� � / ���� �� 4����� ,54 / ���� �� F����� ,5

8 � � ��* � � � �**� � � � �**

8 � � �*�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��-&-&5"�

� � �

���� ������-&-&5"/���������� ������

Page 152: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(3( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

57 5

54 45 -

,/ �� �������!���� �� � ,"�� �� " � � �, / �� �������!���� �� � ,"

���

�� � � �*� �� � � � � �*�� � � �� � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��-&-&#"�

� � �

�����8������ �!�����8���� <��!��� ������-&-&5"���!!�8���� ���� !�&�0����/���� �� � ���

54�Z�.5�����5.�R�F5/�����#�Z�55�����#5�O� �#5/���

�� ��������8���� <��!��� ������-&-&5"��� � ����!��� �&� ��� � �

*��/��-&-&5"������������#"� + ��������� ���!!�8������� ��� �����

�,"�K� �����I� �5�/�,� ��� � ��� � ��� � �4/��

�5"�K� �����I� �#�/�8� � ����O� �4���������� /��

�#"�K� �����I� �5���/�,� ��� � ��� � ��� � �4��������O� �#���������� /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �-&-&-"��

�-"�K� �����I� �5�&#��/�,� ��� � ��� � �� � � �4��������O� �4���������� /��

�4"�K� �����I� �5��45/�,� ��� � ��� � ��� � �4&�����

����

����/� + ��������� ����� �������� �������!��� ������ /��� �� ��!������ ����-&-&,1������� &���������

������! � ��� ������/�8 ���� ��������� ���� ��� �8� ������������ ��������,"�E��4"�����-&-&-"&������������ �� !�8&�

����

���6�� ��,"/�8� �����I� �5�/����� ����-&5&5/��

'��"�I� �'�5�"� �I� �5��

Q�

,� �E�,�R� ��� �Q�,� �I� ���5�"� �I� ����"�����,���� � ��� � ��� � �4&�

��

���6�� ��5"/�8� �����I� �#�/����6���!!����-&5&,�5"/��

'��"�I� �'�#�"�� �O� � ��� �E�,� �O� � �-� �I� ���#�"� �I� ����"������������� ����O� �4&���

���6�� ��#"/�8� �����I� �5���/�,� ��� � ��� � ��� � �4/����"�I� �5��� �Q�,"&��

%�8/������6���!!����-&5&,�,"/� ��

'�5�"��O� � ��� �E�,� �O� � �-� �I� ���5�"��������O� �4/���

�8����'�5�#"�I�#�Z�-�I���."/�'�5�4"�I�-�I���,$""/���

������ ����-&5&,./���

'�55��"� �O� ��� �E�,� �O� �.� �I� ���55��"������� �O� �F��8������������ <��!����8� ����I�F"/���

'�55��"� �O� �#���E�,� �R� �.� �I� ���55��"�������I�#/�4/��

������ ����-&5&5$/��

'�5#��"� �O� ��� �E�,� �R� �1� �I� ���5#��"������� �O� �,,/���

'�5#��"� �O� �#�� �R� �1� �I� ���5#��"������� �I� �#/�4/�F/���

������ ����-&5&5./���

'�5-��"� �O� ��� �E�,� �O� �,$� �I� ���5-��"��������O� �,,��8������������ <��!����8� ����I�,,"/���

'�5-��"� �O� �D�� �O� �,$��I� ���5-��"�������I�#/�4/�F/���

������ ����-&5&5F/���

'�54��"� �O� ��� �E�,� �O� �,5� �I� ���54��"��������O� �,#��8������������ <��!���������������I�,#"/���

'�54��"� �O� �D��R�,5��I� ���54��"������� �I� �#/�4/�F/�,,&�

Page 153: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(3< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

���6�� ��-"/�8� �����I� �5�&#��/�,� ��� � ��� � ��� � �4��������O� �4���������� /����"�I�-���Q�,"&��

%�8/������� ����-&5&,1/��

'�.�"��O� ��� �E�,� �R� �1� �I� ���.�"��������O� �,,/���

'�.�"� �O� �#���E�,� �R� �1� �I� ���.�"�������I�4/�F/��

�8����'�.�#"�I�1�R�.�I���,1""/��

������ ����-&5&5-/��

'�,5�"��O� ��� �E�,� �O� �,5� �I� ���,5�"��������O� �,#��8������������ <��!����8� ����I�,#"/���

'�,5�"��O� �#���E�,� �R� �,5� �I� ���,5�"��������I� �4/�F/�,,/���

�8����'�,5�#"�I�1�Z�D�I���#.""/��

������ ����-&5&51/���

'�5-�"��O� ��� �E�,� �O� �,.� �I� ���5-�"��������O� �,F��8������������ <��!����8� ����I�,F"/���

'�5-�"��O� �#��E�,� �R� �,.��I� ���5-�"��������I� �F/�,,/�,#/���

�8����'�5-�#"�I�.#�R�,5�I���F5""&��

������ ����-&5&5D/���

'�-1�"��O� ��� �E�,� �O� �5$� �I� ���-1�"��������O� �5#��8������������ <��!����8� ����I�5#"/���

'�-1�"��O� �#��E�,� �O� �5$��I� ���-1�"��������I� �F/�,,/�,#/�,F/�,D/��

�8������������ <��!����������I�FJ�'�-1�#"�I�.#�R�,4�I���,--"/�'�-1�4"�I�D4�R�,4�I���5-$""&���

���� �����'�D.�"/�8 ����!!��� ��� ����� ����-&5&5D������ ����-&4&���

%�8/���� �'�D.�"��O� �'�-1�"/�8 �� ��������

'�D.�"��O� ��� �E�,� �R� �5-��I� ���D.�"��������O� �5D/���

'�D.�"��O� �#��E�,� �R� �5-��I� ���D.�"��������I� �,,/�,#/�,F/�,D/�5#/����

�8����'�D.�#"�I�.#��R� �,1�I���511"/�'�D.�4"�I�544��R� �5-�I���-1$"/�'�D.�F"�I�.#��R� �5-�I���.F5""&�� ��

���6�� ��4"/�8� �����I� �5��45/�,� ��� � ��� � ��� � �4/���� ��������5��45"�I���5��45"�I�#��� �Q�,"&��

*��/����� ����-&4/���

'�5��45"� �O� �'�45"� �I� �5-� �R� �#��� �Q�,"� �I� ���5��45"������!!�,� ��� � ��� � ��� � �4&��

0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&�U��� �����

����� ����������� ����-&-&,1����� /�8 ����� ����� &��� ���� ��������C ��� !�8&����

��������������5�� �����"�� ��� ����������������&��� �/��

;2>� �� � <�������'��"�I����"������� ���!����!���������I�,/�#/�,$J��

;3>� �� ��� <��!����'��"�Z����"������� ���!����!���������I�./�#./�,5$J��

;F>� '��"�R����"������������ � ������,/�#/�./�,$/�#./�,5$&�����

��������

��������

��������� � ������������ �� � �����/��!!��� ����� �������8������ �� ��!�����!�������!����� ���������/��� ����� ���,/�#/�./�,$/�#.�����,5$"��� ��������!������� ��&� �

Page 154: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(3? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��������������5'��"�Q����"�R����"������������ � �����O� �,&��

�����5B����6���!!����-&-&#/��� �� ��!����!!�8�/� + ���������!�������� ����� ���./�#.�����,5$&�%�8/������ �� ��$&5�����6���� ��$"/�

��."�I���5�#"�I�5/���#."�I���55&#5"�I�,5/���,5$"�I���5#&#&4"�I�#5&��

6� ����8������ � ����� ��/�8 �� ���� �� ��� ��� ��!�&�U���

0�� ��� ���� � ��� <� � � ��� 6���!!���� -&-&-� ��� �� � ��!!�8���� ���!!���&� �� � ��� �����! �������!���� ���� �� �����'������������ ������� �W,#X&����

��������������5�� � <�������'��"�Q����"�I����"����������!�����&���

�� ���!!�8�����8��� ��!����� ��� ����0����� ��W#X&����

���������� 5�� � <�������'��"�I����"��������������� ����� �������!������&������5�� ��������������! ���B����������� ����O� �#/�

��

'��"�I���E�,�I����"&�U����

����������5�� � <�������'��"�Q����"�I����������������� ����� �������!������&������5� ��

��

��I�#&55/�8� � ���O� �,���������� � �&��

�� �/������� ����-&5&.������� �� ��$&5�����6���� ��$"/��

'��"�I�'�#&55"�I�55�Q�

,/����"� �I� ���#&55"� �I�

5 , ,# 5�#&5 "�, "�, " I�55&�

B�����������/� ��

'��"�Q����"�I�'�#&55"�Q���#&55"�I�55�Q�

,�Q�55�I�#&55�I��&�U�����

0���� ��� !�� ������! �������� � �������� ���!!�8���/��� ����'��������W,,X&����

�����������5�� � <�������'��"�Q����"�I��������� ���!����!��������I�4.&��

�����5�� �/�������� ���� � �����O� �,/�� � ��

'��"�Q����"�I��&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �,"�� � ��

*��� ��������/���

'��"W'��" ,"X W� ���"XW� ^���" ,_X�� �5 5

� 0 � ����

� � ����

��� ," ���"W���" ,X ����"&5

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �5"�

��

%�8/������������/�������5"/�8 �� ������� � ���

���"W���" ,X�� � ������ �������� ���"W���" ,X&5

0 � 011 ����

� � ���

)���� ���� ������/��������� � �/�������5"/� �� � ���

���"W���"�E�,X�I��5�E�,"��������� ���� � ����O� �,&�

Page 155: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(32 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

����/���� ��� ���� /���

5 ����"W���" ,X ����� ����W���"X ����� ���� ,&���"

� � 8 � ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �#"���

*��/�����������������-&-&5"� + ��������� ���� ��� ����� ������-&-&-"&�����/��� � <��������,"����������!�����/� + ��������� ��� �������� �������� �����������-&-&-"&���

������! � ��� ������/�8 ���8������ ���� ���� ��� ������-&-&-"�� ����� !�&�����

���6�� ��,"/�8� �����I� �5�/����� ����-&5&5/��

'��"�Q����"�I� �'�5�"�Q���5�"� �I� �5��

Q�

,� �Q� ��� �R� �5�� �I� ������������ � ��� � �O� �,&�

��

���6�� ��5"/�8� �����I� �#�/����6���!!����-&5&,�5"/��

'��"�Q����"�I� �'�#�"�Q���#�"��� ��� �Q�#�Z�#���I� ��������������� ����O� �4&���

���6�� ��#"/�8� �����I� �5���/�,� ��� � ��� � ��� � �4/����"�I� �5��� �Q�,"&��

%�8/������6���!!����-&5&,�,"/� ��

'�5�"�Q���5�"���� � ��� �Q�#�Z� �5���������O� �4��8����'�5�#"�Q���5�#"�I�#�Q�-�R�."/��

������ ����-&5&,./���

'�55��"�Q���55��"���� �#�� �Q�4� �Z� � �-���������O� �F/��

�'�55&#"�Q���55&#"�I�1�Q�.�R�,5/�'�55&4"�Q���55&4"�I�,4�Q�.�R�5$"/���

������ ����-&5&5$/��

'�5#��"�Q���5#��"� ���F��� �Q�F� �Z� � �1���������O� �,,/��

�'�5-"�Q���5-"�I�,4�Q�1�Z�5-/�'�-$"�Q���-$"�I�,4�Q�1�Z�-$/�'�4."�Q���4."�I�-1�Q�1�I�4."/���

������ ����-&5&5./��

'�5-��"�Q���5-��"� ��� �,4���Q�D� �Z� �,.���������O� �,,/���

�'�-1"�Q���-1"�I�#5�Q�,$�Z�-1/�'�1$"�Q���1$"�I�.-�Q�,$�Z�1$/�'�,,5"�Q���,,5"�I�.#�Q�,$�Z�,,5"/���

������ ����-&5&5F/���

'�54��"�Q���54��"� ��� �#,���Q�,,��Z� �#5���������O� �,,/���

�8������������ <��!����������I�,,/�����'�D."�Q���D."�I�.#�Q�,5�Z�D./� ���

'�,.$"�Q���,.$"�I�.-�Q�,5�Z�,.$/�'�55-"�Q���55-"�I�.#�Q�,5�Z�55-"&���

���6�� ��-"/�8� �����I� �5�&#��/�,� ��� � ��� � ��� � �4��������O� �4���������� /����"�I�-���Q�,"&��

%�8/������� ����-&5&,1/���

'�.�"�Q���.�"���� �#�� �Q�F� �Z� �.���������O� �4/���

�8����'�.�#"�Q���.�#"�I�1�Q�.�I�,-��Z� �,1"/���

������ ����-&5&5-/���

'�,5�"�Q���,5�"���� �F�� �Q�,,��Z� �,5���������O� �4/���

�8����'�,5�#"�Q���,5�#"�I�1�Q�D�I�,F��Z� �#."/���

������ ����-&5&51/��

Page 156: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(33 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

'�5-�"�Q���5-�"���� �,4���Q�,4��Z� �5-���������O� �4/��

�8����'�5-�#"�Q���5-�#"�I�.#�Q�,5�I�F4�R�F5"/���

������ ����-&5&5D/��

'�-1�"�Q���-1�"���� �#,���Q�,D��Z� �-1���������O� �#/���

�8����'�-1�#"�Q���-1�#"�I�.#�Q�,4�I�F1�Z�,--"/���

������ ����-&5&#$/���

'�D.�"�Q���D.�"���� �4D���Q�5#��Z� �D.���������O� �#&��

�8����'�D.�#"�Q���D.�#"�I�.#�Q�,1�I�1,�Z�511"&���

���6�� ��4"/�8� �����I� �5��45/�,� ��� � ��� � ��� � �4/�8 �� ������� ���� ��� ����� �!������

'�4$"�Q���4$"�I�5-�Q�.�Z�4$/�'�,$$"�Q���,$$"�I�5-�Q�D�Z�,$$/��

��

'�5$$"�Q���5$$"�I�,F4�Q�,5�Z�5$$/�'�-$$"�Q���-$$"�I�55-�Q�,4�Z�-$$/��

��

'�1$$"�Q���1$$"�I�4F4�Q�,1�Z�1$$&��

0!!��� � ����! � ��� ������������ �! ���&�U����

�� � ������ ��� � ���� -&-&5,� ���8�� ����� ��I�4.� ��� �� � ��!�� ��!������ ��� �� � <������� � � � � �'��"�Q����"�I��/����������� ���� �/� ��� ��'��"�Q����"�R������'��"�Q����"�Z��&� �

���

�� ���!!�8����� ��!������� ���� ������� �W,5X/�8��� �������� !� �������� ��!��������� ���W-X�8��������������! � &�3 /���8 � �/�6��@ ��� �-&4&5����T�-&4&����

�����������5�� ���!����!������������ � <�������'��"�I����"��� ���I�5/�� �O� �,&����

������������������8�������� ����������'�5"�I�5�Q�

,�E�,�I���5"&�����

���������������50����� � �����O� �,�����!! ���� ����3�������� �� �� �����������!����� � � � � � � � � � � � � � � � � ���

�� �I

�� ,'�� "&

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��

8� � ��,� �S� �,/��5/�P/����� ��� ����� ���������������&����������

���W,-X/�0����� ��� ������������� ���!���� ����3�������� �� �� ������ ���! ��������,$.��� ��� �I� �-/�./�-F,4--&�;�8 � �/���� ��� �I� �-F,4--��������� ���������I� �1��8�������I� �41D-#�������� "/�������!������ ������������� �,/�5/�-/�1/��/�5������-�&�3�� �1������ �����Q� �,� �I� �41D--/������!!�8������� � � � �� ����-&5&-������

��

'��"� �I� ��� �E� �,/�'�5�"� �I� ��/�'�-�"� �I� ��/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������� � �

��I� �-F,4--�R

�� ,'�� "&

�� �

��

����/��� �I� �-F,4--���������� ����3�������� �� �� �&�%�� �����/��� ����� ��.�����!���� �� �&�

Page 157: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(3F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�����������50�����!����������� � <������� ���

W'��"X5�Q�'��"�I�5�� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,"���

�������� ��������I � ,"5� /��O�,&�

�����53�!������� � <�������W'��"X5�Q�'��"�E�5��I�$������������ �'��"/�8 �� ����

,5'��" � 1� , ,"&� � �

��������8��������,"����������� � ����!��������!�����1��Q�,������� �� ���<��� &�� ���

1��Q�,�I�+5�������� ���� � ��+�O�#&���� �/�

1��I��+�E�,"�+�Q�,"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �5"���

3�� �+�E�,�����+�Q�,���� ��� ���� �������/�������5"/�8 �� ����������������� � � �&�� ����

+�E�,�I�5�������� ���� � ���O�,&��

�� �/�������5"/�

1��I�5�5�Q�5"� ��� � ��I � ," &5� �

; � /��� �! ���&�U�����

K ���8�!��������� � <�������������� <��!��� ������!����������3��"�����'��"&����

�����������5��� ���!����������� � <�������3��"�I�'��"�����

��I���/��

8� � ����������������� �]����E�,"[�����'���"�I��&�

�����5� �/�������� ���� � ������� �,/�

3��"�I�'��"�I���������� ���� � ������� �,&��

B���� ���� /�! ���

, 5 @ @ , , 5 @ @ ,������� ������� < ���� < ���� &&& �< ���� < &&&<

� � � � �� �

� ��� �� �� � ����������������� ��������������� ���������,/��5/�P/��������� �����!����� � �"&��

%�8/���������� � � �/�������� �8�� /����� ���� �]� ��� ,"5� "�������� �,���� � �@� ��� �/�

, 5 @ @ , @ 5

, 5 @ @ , @ 5

�] ]� �� �] ]< ���� < ���� &&& �< ���� ������� < ���� < ���� &&& �< ���� �� ," &5� �

� �

� � � � � ��

0����/���� ��� �]��[/������!!�8��������

+ ,, 5 @ @ , @ 5

, 5 @ @ , @ 5

�] ]� [ �� �] ]< ���� < ���� &&& �< ���� ������� < ���� < ���� &&& �< ���� �� ,"[ &5� �

� �

� � � � � �

*����� ��

, 5 @ @ , , 5 @ @ ,������� ������

] ��� ��]� < ���� < ���� &&& �< ���� < &&&< �� ,"[ ���3��" � ,/�

� � � � �� � � ����

Page 158: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(31 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

����8 �� �������������������&�����/��������� ����/������

, 5 @

, 5 @

] �]< ���� < ���� &&& �< ���� �/� � � ����

@ , @ 5 @ , @ 5

@ , @ 5 @ , @ 5

] ]� ,� �� �] ]< ���� < ���� &&& �< ���� ������� < ���� < ���� &&& �< ���� �� ,"[ &5

� � � �

� � � �

� � � � � �� ����

%�8/�8 ����8�������������� ������� &��� ������������������������&�3�/�! �� ��

, 5 �, 5 ������ � ���� � ���� &&& �� ����/ / //

� �

8����

� �, �,���� �������

� ��+ � � �����/ � / &&&/ � &/ / //� �

*����� �/�������� �,���� � �@� ��� �/��

+ ,, 5 @ @ , @ 5

, 5 @ @ , @ 5

] ]� �� �] ]� [< ���� < ���� &&& �< ���� ������� < ���� < ���� &&& �< ���� �� ,"[� �/

� �

� � � � � � �

, 5 @ @ , , 5 @ @ ,������� ������

]� ]��� < ���� < ���� &&& �< ���� < &&& < �� ,"[/�

� � � � �� � �

�������������&�0����/������I��/�8����/���5/��� ������ ����������� ����E�,"[/������

5 5 , ,�� ��� "[ ,&5�&&&��5�"�&&&�� �&&&��5� "�&&&��� "�&&&��5� "�&&&�� // / / /% � �

���������� ���8 ������������������ ������/�/�E�,"&�*����� �/����� ����������� � � �� ," &5

/ / � �

����/� �� ����� � � �� ���� /� ���/� ��I��&� �� � ��� /� �� � ����! �� ��� �������� �� � ��!������ ��� � � �3��"�I�'��"�� �� ������� �����! ��������������� ���!����������� ���!!�8���� <�����������

3��"�I��/�'��"�I��&��

�� �! ������8���!!�8���������� ����� ����#&#&-�����6���� ��#"&�U����

/0��)�������5�� ����� �������������Q�,"�����������! ����-&��� �/���

'�5�"�I���I�3�5�"&��

; � /���I�5�/�8� � ������������ ����������-0���Q�,"/��������!���������3��"�I�'��"&��

��������8��������� � <�������3��"�I�'��"����� �� ������������ ����� �������!������&�4��

/0��)�������5�� ������� �4�� ������� ����������#0���Q�,"&��� �/�3�#�"�I���I�'�#�"&�4��

/0��)�������5�0�� � ��� �� ������ ����I�5�5Q,�E�,"��������!���������3��"�I�'��"/���� /����� ����-&5&,�����( ����#&#&5�����6���� ��#"/�

, , , 5 �5 ,"'�5 �" '� " 5 , 3�5 �"&5

� ��� � � � �� �� �� �4

����

3�� � '��"� I� �� E� ,� Z� �� I� 3��"/� ��� ��!!�8�� ����� '��"� Z� 3��"� ������� !�� ��� �&� 0����/� ��� � � � � �'�5"�I�5�Q�

,�E�,�R�5�O�3�5"/�'��"�R�3��"�������� !����� �&�

Page 159: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(30 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�����������5�� � <�������'�3��""�I�'��"��������������� ����� �������!������&��

�����56! ��!�/�������!���������3��"�I����������!���������'�3��""�I�'��"&�* ��� ���� �������!���!��������I����8� � ����O� �#���������� "/������ ��� �������!����������

�� ,"�� / �� #�������� /5

� � ��

��� /������������ /� � , �/5

! � �������� ����-&5&,/� ��

�� ,"� �� ,"�'� " � ,/ �3� " �/5 5

� � �����

; � /�������������/��

�� ,"� �� ,"�'�3��"" '�3� "" '��" � , 3� " 3��"&5 5

� � � � � � U����

�����������5�� � <�������3�'��""�I�3��"��������������� ����� �������!������&��

�����5� ����I�5�/�8� � ����O� �#���������� ����������-������ �����Q�,"&��� �/��

3�'��""�I�3�'�5�""�I�3��"�I���I�3�5�"�I�3��"&�U����

�����������5�� � <�������3�'��""�I�'��"��������������� ����� �������!������&��

�����5� ����I�5�/�8� � ����O� �#���������� ����������-������ ������Q� �,"&��� �/��

3�'��""�I�3��"�I���I�'�5�"�I�'��"&�U����

�����������5�� � <�������'�3��""�I�3��"����������!�����&��

�����5��!!�8�������� ����-&-&,&�U����

�� ���!!�8�����8��� ��!����� ��� ���� ������� �W,4X&���

���������� 5�� � � +������������ !���������������������� ��� <��!����3�'��""�R�'�3��""&��

�����5� ����I�5�/�8� � ����O� �#���������� ����������-������ ������Q� �,"&��� �/� ��

3�'��""�I�3��"�I���R���E�,�I�'��"�I�'�3��""&�U����

����������5�� � � +������������ !���������������������� ��� <��!����3�'��""�Z�'�3��""&��

�����5� ����I��/�8� � ����O� �#���������� &�B�����������/��

3�'��""�I�3�'��""�I�3���E�,"�Z���E�,�I�'��"�I�'�3��""&�U��� ���

0����� �� W#X� ��@ ��� �� ����/� �� � � ��� ��� ������� � ���� �� ��� ��� � ��� �� ���� ����� � � � �'��"�3��"��'��"���3��""������� �� ���<��� &��� ���!!�8����! �������������� ���@ ��� &�

���

�����������5� ����� ������� ������ �������

��I�1��Q�#� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �,"��

������� ���� � ���� �O� �,/����������#��Q�,�I�+5������� �� ���<��� �������� ���� � ��+��O� �5&�� � �

� ��<�� ������ ������ ������ �������� � � �

<�I���Q�1�������� ���� � ��� �O� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �5"�� � �

�� �/�'��<"�3��<"������� �� ���<��� &� � �� � �

Page 160: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(3C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

����� 5 � �� �� ���� <� � � �8�� ���� �� ��� �� � ������ �,"� ���� �5"� � �� ��� !�&� �� �/� ��� �6���!!����-&5&,F/�'��<"�I�<+5&�%�8/���� �3��<"�I�</������!!�8��������

'��<"�3��<"�I��<+5"&�<"�I��<+"5&�U����

��������������5�� � � +��������������� ����� ����������������'��"���3��"�����'��"3��"������� �� ���<��� &�

�����5� ��<�� ������� ������ �������� � � �

<�I�,,��Q�1�������� ���� � ���� �O� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �G"�� � �� �

�� �/����6���!!����-&5&,F/�'�,,<"�I�-</��������/�'�,,<"�3�,,<"�I��-<"&�<"�I��5<"5&� � �� � �

%�8/���� ��� � �������������� ����� ��������� ������� �������G"/��� �� ��!��������� �&�U����

/0��)�������5������6���!!����-&-&./�8 �� ���� ���� !���� ����� ���

<�I�,D/�-,/�,$F/�,4,/�,F#/�5#D/�51#/�#-D/�P/�8���� �

'�,,�,D"�3�,,�,D"�I��5�,D"5/� � � � � � � � � � �'�,,�-,"�3�,,�-,"�I��5�-,"5/�� � �

'�,,�,$F"�3�,,�,$F"�I��5�,$F"5/� � � � � � �'�,,�,4,"�3�,,�,4,"�I��5�,4,"5/�� � �

'�,,�,F#"�3�,,�,F#"�I��5�,F#"5/� � � � � � �'�,,�5#D"�3�,,�5#D"�I��5�5#D"5/�� � �

'�,,�51#"�3�,,�51#"�I��5�51#"5/� � � � � � �'�,,�#-D"�3�,,�#-D"�I��5�#-D"5&�4����

�����������5�

�!�� ��� � $&'��""�

� �����

�����5� ��������<�� ��8������ ��8����<�I���E�,�������� ���� � ����O� �,&���

� ����I��<&��� �/����6���!!����-&5&-/� ��< �<� , /

'��" '��<" < �� � � �

� � � �

8�������� ���� ����������!�����!!������������ !����������� ��<&�U����

�� ���!!�8����� ��!������� ����0����� ��W#X&�; � /�8 ���� �������!��� �������&����

�����������5A�� ���� ��� ���� ���!� ������� ��� ����3�������� �����������

'�,"�I�,/�'�5"�I�#/�'�#"�I�5/�'�-"�I�F/�'�4"�I�-/�P/���

�� ����� �������������� ��������� ��������� ���!� ������� ���!!�8����8�������

��I�$&,#5F-P&���

�� �/��� ����� ����������������!&��

�����5�� ������������������������&�� �/������ ��������/���� ��������!&��� �/��������� ���������/��������������� ���� �������������� � ���������� ����� �������� �&�� ��%�I��,��5�P��������� �� ���������������� ��������������������'��"�I�%"&�*��/����� ����-&5&,/� �

'�"���%������������ � ���R�

%�% ,"5� /�

���������� ������������� � ���%�������� � ���������� !����� �&�U�

Page 161: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(F= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

2�3 �*�� ,��&%���* � � 6 ����&��

3�� ���� ����������������� ��� ����3�������� ����������� ���� ��� !�8������

�����������5�� ���!!�8����<� ��������� ����� �����>���������W,X"���� � �

�,"� ����� � �������� � �������������'��"� �R� �'����Q� �,"� �R� �'����Q� �5"� �R� �'����Q� �#"L���

�5"� ����� � �������� � �������������'��"� �Z� �'����Q� �,"� �Z� �'����Q� �5"� �Z� �'����Q� �#"L�� � ��

�� ���!!�8���� +���! �����8 ���� �<� ������������ ����������� ���

�,"� '�54."��I� �4,,��R� �54.��I� �'�54F"��R� �'�541"��I� �,51��R� �,,,��I� �'�54D"��R� �'�5.$"��I� �#D/���

�5"� '�,4D"��I� �4#��Z� �.-� �I� �'�,.$"��Z� �'�,.,"��I� �.D��Z� �1$��I� �'�,.5"��Z� �'�,.#"��I� �,.5&�� � ��

0����� �� W#X� ������ �� !����� ��� � � �� ��� ���� � ��� ������ ���� � � ������ � ���� ��� �� �� <� � �^'��"_/�8������I�,111.������ ��������� �������I�F4.,������ �� ������ &����

����������� 5�� ����������� ����-&-&5� ���8�� �����'���Q�,"�E�'��"� ��������������� ������ ������������ ��� !�8&��� �����������!� ����0'���Q�,"�E�'��"0����,/�����!����������� ���!� �����'��"/����� ������ ������@ ��� ������0'���Q�,"�E�'��"0I�,����������!�������I�5/�4&����

�����������5���W#X/�0����� ������ ���� �<� ������������� � �����!� �����8� � ��� � ��� ���!������� ����� �������!������������ � <�������'��"�I��L�� ����-&-&-����8 �����������<� ����������� �� ����� &����

�����������5� ����-&-&,D����8��������� � <�������'��"�I����"��������������� ����� ����� ��!������/� ��� !�/� ��I��/� 8� � � ����� �#� ��� �� ���� &� 0� � ���� � �� ��� ��!�����/� ������ �� ���0����� ��W#X/�����

��I�5�/�8� � ������������ ����������-������ ����E�,&��

�� �/�0����� �� ��� �� �� � <� ������ �� 0� � �� � � ���� ��� �� ������� � ����!�� ��� ��!������� ��� �� � <�������'��"�I����"L�������8 ���� ����� �<� �����/�8 ���������� �����/����� ����-&5&-/���

'��"�I���E�,������������� ������������5������ ����E�,&���

%�8/���� ���������� ������ ���!���!����� ����� ����������""���

���"�I���"����"/���

�����!!�8������� ���

'��"�I����"����������!�������"�I�,&�*���

��"�I�,����������!������I�,/�5&���

����/�����������!����������� � <�������'��"�I����"������ ��������I��/�8 ��������� ��I�,/�5&��

�������� �� ����� ������/����6���!!����-&5&,�,"/������������� ������������-������ ����E�,/��

'�5�"�I���E�,/��

�������/������ �� ��$&5�����6���� ��$"/��

, ,�5�" 5��, "�, " � , '�5�"&5 �

� � � � �

Page 162: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(F( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

����������� 5B����� ����-&-&./�8 �� � ����� '�5�"'��"

� ���� ���� ����������!�� !��� &� ���

��� � � ���8�� ����/� �� � <������� '�5�" ,'��"

� � ���� ������� � ���� �� ��� ��!������&� �� � ������ ��� ���

��!!�8����� ����� ������� ������ ��������I�-��Q�,�������� ���� � ���� ��� �,&��� �/�����������I��/�8� � ����� �,����������� � �/����� ����-&5&#������ ����-&5&,-/���

'�5�" '�5� " � , ,&'��" '�� " � ,

� � �

����

��

����/�������I�4/�8 �� ����I�45/�4#/�4-/�8������

5 # -

5 # -

'�5&4 " '�5&4 " '�5&4 " .5-5- ,5-,/ � ,/ � ,/5- ,5- .5-'�4 " '�4 " '�4 "

� � � � � � ���

8��! /���� ��������������I�,#/�8 �� ����I�,#5/�,##/�8������

5 #

5 #

'�5&,# " '�5&,# ",.1 5,D.,/ � ,&,.1 5,D.'�,# " '�,# "

� � � � ���

0����/� ������I�,/�8 �� ����I�45/�,#5/�,F5/�5D5/�#F5/�-,5/�8������

5 5 5 5

5 5 5 5

'�5&,F " '�5&5D " '�5&#F " '�5&-, "511 1-$ ,#.1 ,.1$,/ � ,/ � ,/ � ,&511 1-$ ,#.1 ,.1$'�,F " '�5D " '�#F " '�-, "

� � � � � � � � ���

0���� ��������� �����!�������!����������'�5�"�I�'��"����� �������� �������!!�8����� ����� ������� ������ ��������I�-��E�,�������� ���� � ���� ��� �,&�� ����I��/�8� � ����� �5� ������� � ����� � �&��� �/����� ����-&5&#������ ����-&5&,-/���

'�5�" '�5� " � , ,&'��" '�� " � ,

� � �

����

��

B��� +���! /�������I�#/�8 ���� ���

5 - .

5 - .

'�5&# " '�5&# " '�5&# "1 1$ F51,/ � ,/ � ,/ �1 1$ F51'�# " '�# " '�# "

� � � � � � ������

����������I�F/�8 �� ����

5 -

5 -

'�5&F " '�5&F "-1 5-$$,/ � ,&-1 5-$$'�F " '�F "

� � � � �������

�����������5�� � <������� '�#�" ,'��"

� � ����������� ����� �������!������&�������� �����/�! ��

��I��5/�8� � ������ �#���������� &��� �/����� ����-&5&#�����6���!!����-&5&5�5"/���

5 5

5 5

'�#�" '�#� " � , ,&'��" '�� " � ,

� � �

����

Page 163: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(F< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

K ���8��� ����� ������� ���@ ��� ��� !�� �����'��"&����

���!�"�#�������5'��"��I� �5���E� �,����������!������� �I� �5�������� ���� � ������ �$&����

� �/�������� ���� � ������� �,/���

'��"� �I� ���/�8� � �����I� �5���E� �,������������ �]� � $ $� �� ,"5

�"&�

���

%�� �������� ���@ ��� ������� ��������I� �,��8������I� �$"&�0!��/���� �������������� �������� &���

� ��'�5�"� �I� ��,&�

��

K �8����������8�������,��I� �5����Q� �,&����

3�� ����]� $� ,5�/������!!�8�������

���

5�� � ]� $5�� ,"5�

�I�

$�5� ," ,5� �

J� �

��� �� �/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

5���� ����������� � 5�� ,"5�

�I�

�5� ," ,5� � � �����!!�,����������E�,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����/��,�I�5���� �Q� �,� �I� �5�5���E� �,"� �Q� �,� �I� �55� ��� �E� �,&�

��

� � �

0!!��� � ����8��������

'��"� �I� �5���E� �,� ��� � '�5�"� �I� �55� ��� �E� �,&���

� � �

6�������������������� ��/�8 �� ��������� � �

'��"� �I� �5���E� �,� ��� � '�5��"� �I� �5�Q�

,��� �E� �,������������ � ������ �,&�

��

� � �

3�� �'�,"� �I� �,/������ ����!!�8�������'�5"� �I� �5�Q�

,� �E� �,&�

����

���!�"�#�������5����������������� ������5�������� ���� � ������ �$/��� ��'��"� �Z� ��&�����

*��� ����-&-&,/�8 ���� +!�� ��� ��������!���������'��"� �I� ��&�3�/�! ��'��"� �I� ����8��������R� ��&�� � �

%�� �����/��������� ���������� ����� �/���������� �������������� �#�������� /�� ��� �$"&�� ��

����I� ����� �Q� ���������� ���� � ����� ��� �,/�,� ��� ��� ��� ��� �E� �,&��� �/�

�������Q� �,"� �I� ������ �Q� ��"����� �Q� ��� �Q� �,"� �I� ����5��� �Q� �5����Q� ��"� �Q� ������Q� �,"&��� � ��� /�

�� � ]� ������� �Q� �,"����������!������� �Q�,�I� ��&���

� � �

*��/����6��@ ��� �-&4&,/��� �Q�,� �I� ���! ��������� ��� �8� ������������ ������5&�����/��� ���� ������������� �&��

Page 164: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(F? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

���!�"�#�������5'��"��I� ��� �E� �,����������!������� �I� ���������� ����� ������ �#/�� ��� �,&����

� �/�������� ���� � ������� �5/�� � ��

'��"� �I� ���/�8� � �����I� ��� �E� �,&��

� � �

�� �/�5� �]� ����������� ]� ����� �Q�,"J���� �� �/����� ����������� ����Q�,���������,���� ��� ��� ���� �E� �,&�� � �

� ��'��5"� �I� ��,&�

� � �

3�� ����]� ����� �Q� �,"/������!!�8������� ���

��

�5� � ]� ����� �Q� �,"5�I� ����5� �Q� �5���"� �Q� �,J� � ���� �� �/�

�5��� ����������� �����Q� �,"5�I� ���5��Q� �5�"� �Q� �,������!!�,� ��� ������ ���� �E� �,&�����/�

�,��I� ���5� �Q� �5���� �I� ���� �E� �,"5� � �Q� �5����E� �,"� �I� ��5� �E� �,/� ��

� � �

������������ �5��]� ���� � � ��� � 5�� ]� ��,"���� � �

'��"� �I� ��� �E� �,� ��� � '��5"� �I� ��5� �E� �,&���

� � �

6�������������������� ��/�8 �� �������� � �

'��"� �I� ��� �E� �,� ��� � '��5"� �I� ��5� �E� �,������������ � ������ �,&�% +�/�! ��

'��5�Q�

,"� �I� ��5�������� ���� � ������ �,&���

� � �

3�� ����]� ����� �Q� �,"/������!!�8������� ����

�5�Q�

,� � ]� ����� �Q� �,"5�Q�

,�I� �W���� �Q� �,"5�Q�

,� �E� �,X� �Q� �,J� �

��� �� �/�� � �

�5�Q�

,��� ����������� �����Q� �,"5�Q�

,�I� �W����Q� �,"5�Q�

,� �E� �,X� �Q� �,���������,���� ������ �����E�,&�

����/��5��I� ������Q� �,"5�Q�

,� �E� �,� �I� ��5�Q�

,� �E� �,/� �

��

������������ �5��]� ���� � � ��� � 5�� ]� ��5"���� � ��

'��"� �I� ��� �E� �,� ��� � '��5�Q�

,"� �I� ��5�Q�

,� �E� �,������������ � ������ �,&�

�� � �

0!!��� � ����8�������� � �

'��"� �I� ��� �E� �,� ��� � '��"� �I� ��� �E� �,������������ � ������ �,&��� � �

B���!!�/���� � �� � �� � �

'��"� �I� ��� �E� �,������������� ������ �#/� �� � �� � �

�����!!�8������� �� � �� � �

'��"� �I� ��� �E� �,&�������

�����������5>���������W,X������� �����������!!��� ���!� ����������������'����Q� �,"� �I� �'��"&��

��������� �� �/�8 ��� ��� ���!!�8������@ ��� ���

Page 165: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(F2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

���!�"�#�������5B���������� � ������� �,/�'����Q� �,"� ��� �'��"&����

� ���

'����Q� �,"� �I� �'��"� �I� ����������� ��- ����� �������� �,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �/� � � � � � � � � � � � �� � �� � �

$ $ $ $ $ $� �� ," � �� ," � �� ,"�� � / ��� ,"� � �� ����� ,"� � /

5 5 5� � �

0 � 0 � � 0 ��� � �

��� ���/��� �Q�,"�I�,&��� � ��� /���

'������Q� �,""� ��� ���� ��� � '�����Q�,""�I��$/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � ����

��� /����� ����-&4/�'������Q� �,""� ��� �'��"� ��� ��$&��� � ��� /�� � �

���� �Q� �,"� � ]� $ $� �� ,"5

���� ��� ,"

5�

� ]� $ $� �� ,"5

���� � '� ��� ,"

5� "� ��� ���&� �

���

����/��������� ����� ����-&5&,/� ���

'� ��� ,"5� "� �I� ��� ��� ���� �I� �'��"&�

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

*��/��� ����� ��� <��!��������������6��@ ��� �-&4&5&�����

�����������5>���������W,X����� ���� ���!!�8����<� ��������A�� ��������� � �������� �,/���8���������� ��� � ����������'��"� �I� ���L� ����

A�� ��������� � �������� �,/�! ����

'E,���"� �I� �^�����- ����� ��'��"� �I� ���_&� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-&4&,"���

*��� ����-&5&,/�'E,���"����� ��� �������!!���� � ����$- ����� J���� �� �/���

���+� ���

$ $� �� ,"5

�-'E,���"&� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���

��������8��������� �� ��'E,���"�������2 �����8�������+�����!��� ��� ! � ��&����

%�� �����/��-'E,���"����������!������� ���!!�8�����8�������������� �������� �� ���

�,"� ������� �� $ $� �� ,"5

�/�

��

�5"� ���� ����������� � ��� ,"5� � ����������8����#���� ��� ��� ���� �E� �,&�

����/����� +���! �/� ���

'E,�,"� �I� �^,_/�'E,�5"� �I� �^#_/�'E,�1"� �I� �^1/� �,5/� �,1/� �#._&��� ����

K ����!�������-&4&,"����������� ������������� 8���)���� �� �� ����� /�8 �� ��� ��� �� !������BBBB������!!�8�����

B��������,/��5- ����� /��,�BBBB��5����������!����� � '��,"�I�'��5"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �-&4&5"�

Page 166: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(F3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��������� ���� + ��� ����� ����������BBBB������� <����! � �� !��������� ����� &��� �� ���'E,��"/��- ����� /��� � �� �� �� � <����! � � !��� �� ���� �� ��� �� � <����! � � � !������ BBBB� ��� ����� � 8���� �� ���!!�8�����8������ ��� ������

�,"� ,

� ,' ��"

�� I ����� /�

� � ��

�5"� , ,, 5 , 5' �� " ' �� " ���� � & C �D=1 � �

� � ��

����/����������- ����� /��� � ������ �������!���� ��- ����� � ����������-'E,��"&����

A�� ��������� � �������� �,/�! ��6���"�� ��� ����� �������� � ��������������'��"� �I� ���/��������/�6���"�� ��� ���� ����� ����� ! � �������'E,���"&��� �/�������� ��� �,/���

$$ $

$$

$ $

� ,"��� " �� , / ����� ��������

5, 6�� "�

�� "W��� ," ,X/ ������ ���� � �5

� �# $* % &* ' (� � �* � *�

� �

��

8� � /� ���� ���� ��� � �� �/� ���"� � ��� �� �� � ���� �� ��� ��������� ��� �� ��!������ ,� ���� �&�%�� /���8 � �/�������� ����� ���� ��������������������&���

%�8/�! ���� ��� �#�� ������� &�*��� ����-&5&#/�'��"� �I� � ��� �E� �,/��������� ���

�-'E,����E� �,"������!!��� ��� �#&� ���

� ���-'E,����E� �,"/��������/�������� �� ��� ,"5 &��� �/������������� ��/�������� �8�� �

��

�� � ]� � ,5 � � �� � ���]� �� ,"�� 5"

5 � � �� � '��"���� � ��� �E� �5/�

��

�������������� �����������&�����/����� ! � ������'E,����E� �,"��������!���! �����&����������!��/�������� ��������� ! � ������'E,����E� �,"&�����/������ ��� �4���������� /��� ��'E,����E� �,"������������! ����

�8�� ! � ���/���� !�/������� ��� ,"5 &� �

% +�/�! ����� ������� ���������� $ $� �� ,"5

�&�3�� �'��"� �I� ��� �E� �,/�8 �� ������

���

�-'E,���"����������!������� �E� �,� ��� ���/� ����

�������/����������!������� ��� ����Q� �,&����

���� ����-&-&#/�8 �����!!������ ��������� � <������� '��" 5'�� ,"

��

� ������!������&�;�8 � �/�

�� � ���� �� ��� ��!������� ��� ���� �� ��� &� 0� !���� �� � ���� ����� ���� 4$$$� � � �! �� ��!�� 5,���!��������� �

��I�F#/�,D#/�.F#/�,,4#/�,5$,/�,#5,/�,.4F/�,F4#/�5$,F/�5,#F/�5-$,/� ��

5-F#/�54D#/�#5,F/�##,#/�##.,/�#-1,/�#.DF/�#F5,/�-$4F/�-,FF&�

Page 167: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(FF �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

����������� ����/��� ���!!�8����<� ������������ ���� �������

$#�%���������5:� ���� � <������� '��" �� 5"'�� ,"

� ��

� � � � ��

;(>���� ����������� ����� �������!�������8� ���I�5L�;<>��� ���!��������������5L����

� ����-&-&4����8��������� � <������� � �� 5"'��"

� � � �������������� ����� �������!������&�

K� ���I�5/�8 ������������ ���!������&�B��� +���! /�! ��������

��I�5��/�8� � ������������ ����������-������ �����Q�,"/���������������� � �/���

8 ���� /��������� ����� ����-&5&,-/� ��

� �

� �

5� 5�� 5&'��" '�5� " �

� � � �

0����/���I�#��/�8� � ������������ ����������#������ �����Q�,"/���������������� � �/�

��

�������!��������� �������������I�#/���� ����� ����-&5&,4/��

� �

� �

#� #�� #&'��" '�#� " �

� � � �������

��������� ������ ���!!�8����<� ����������

$#�%���� ����� 5:� �� �� � <������� � �� 5"'��"

� � � ��� � ��� �� ��!������L� :� �� ��� ��� �

��!�����������$�Z��Z�,&�����

�� ���!!�8����<� ���������� !�� ������ ����-&-&1&���

$#�%���������5:� ���� � <������� '�� ," �'��"

�� � �

;(>��� ���!�������8� ������ �#�������L��

;<>��� ����������� ����� �������!�������8� ������ � �L�8� ���������L��

� � ���

�� ���!!�8����<� ����������� ������ �����0����� ��W#X�����

$#�%���������5K������� �� �����������!� �����$������������ �� �� �� ��I,

,�W3��" '��"X

�� ���������� �� ��������!!��� �R� ��$L�

��

0����� �� W#X� ���� ���� �� ����� �� � � �� ���I,

,�3��" '��"

�� � ��� ��� �� ��&� �� � ������ ���

����! ���� ������ ��� ���E�������� &��� �/��

� � � � ��I, �I, � , � ,

,5

, , , ,� � � &3��" '��" 3�� " '�� " � �� ," �

� � � �

� �

8 � 8 8 �� � � � � � � ����

�����

Page 168: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(F1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

K �!�� ���������� ��8������ ���!!�8����<� ���������������! ��/��!���������!!��� �&���

$#�%���������50� ��� � ���!������������ ���!!�8���� <�������L�����

;(>� '���Q�5"�I�'���Q�,"�Q�'��"L�����

;<>� '��"�I�'���Q�,"�Q�'���Q�5"L�����

;?>� '���Q�5"�I�'���Q�,"'��"L�����

;2>� '��"�I�'���Q�,"'���Q�5"L�����

;3>� '���Q�5"�Q�'��"�I�5�'���Q�,"L�����

;F>� '���Q�5"�'��"�I�W'���Q�,"X5L�����

����

����

$#�%���� ����� 5� 0� � �� � � ������� !�� ����� ������ �� ��� #� ��� ���� � ��� ������ ���� � ������� ��������� �� <� � � � �� ,'��" �

�L�

���3��������5�B�����!!���!������������ � <�������'��"�Q�,�I�3��"&����

%�� �����/������������� �����#/���

'��"�I���E�,/�3��"�I��/���

��� �������I��� �������!��������� �� � <�������'��"�Q�,�I�3��"&�3�/� �� �<� ������ ��� ��0� � �� � ���� ����!������������ � <�������'��"�Q�,�I�3��"L�����

����

����

$#�%���� ����� 5�A�� �� ����!�������� ���� �� �/�8���� ��� �� � !��� ��� ��!� � ��� � ���� �����'���"� �� � ��!�������� ���� �!!� ,�������/�8� � �'���"� ��� �� � �E��!�� ����������� ���'��"�8������� !�L�

���

( �!!�����/������� ��������!! ����!��������������� ������ ���� ����8�����������8����&�A�� ������!������������ /�������������! /������� ��� ������������!������������ �������������'��"�����!�������!������ /�������� ����-&5&-&�����/����������8������ ���!������������ �,$,/�8 ����� ����I�#$#/�-$-/�.$./�F$F/�1$1/�D$D/�,,,,����������'��"��������!������ ���� ����� �������

����

'�#$#"�I�,$,/�'�-$-"�I�#$#�I�'�.$."�I�'�1$1"/� �����

'�F$F"�I�5$5/�'�D$D"�I�-$-/�'�,,,,"�I�4$4&�����

����

0������� ������� ���������0����� ��W#X/�����

����

'#�D$D"�I�'5�-$-"�I�'�#$#"�I�,$,&�����

����

�� ����� �,#,���� ����� ������� ���!������ ����'�5.5"�I�,#,�I�'�,--,"�I�'�5115"&�����

6! ��!�/� �� ���!������������ ������� ����� �����8����� ��!�����!��������8����� �� ����� �� �3�������� ���������3��"����8 !!/���� /����� +���! /�����

����

3�,$,�"�I�,$,���������,�������D&�����

����

A�� ��� !�8��� ���� �� +���! ��8� � ������������'��"��� ���!������ ��������

����

'�---"�I�,,,�I�'�FFF"�I�'�111"������,,,������������ "&�����

����

'�,$$,"�I�FF�I�'�#$$#"/�'�5$$5"�I�#.#������,$$,������������ "&����

Page 169: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(F0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��$�&� #������

��������

W,X � � � �� � � �� � � �� � � �>��������/�> ������&�6��� �����������������3�������� �%���������������! ��&�?��������� �������� ��/��30&�,DD.&�

W5X�� � � � � ����� ��/� ; ���&� 3������� ��� �� � ) ��� ��� %��� ��� E� 0� B 8� 3�������� � %������� ����3���!��������&�?��������� �������� ��/��30&�,DDF&�

W#X� 0����� �/� 6���! �&� �!������ ����� �� � �� � ��� 3�������� � 3 <� � �� ���� B�������/�0� �����( � ������ ��/�������/�0'/��30&�,DD1&�

W-X��� ���� ��/�; ���&�)�� �� ��� ����3�������� �B����������� �� �����������! ��&������ �&��� �?�! ����B������/�*�����'�"��+�����%,�#����/�(</�#.��E�-,/�5$$,&�

W4X� � A����/�0�������0&��� ��� �������%��� ���E�0�������������&�:�� �����!����������&/�%a/��30&�5$$,&�

W.X� � � �

� 3�����/� =�C� �&� A �� ���� �� �� ��/� :��������� � ?<�������/� ���� 0����� ��� B�������/�0� �����( � ������ ��/�( ������/��30&�5$$5&�

WFX� � � �

� 3�����/� =�C� �&� )�� 0������ � 0��!��� �� ��� 6 ������ 0����� ��� B�������/� *�����'�"��+�����%,�#����/�(2/�,51��E�,#5/�5$$-&�

W1X�� ����/� (�����&� 3�� ����� ��� �� ��� �� � �� ���� 3�������� � B������/�*"������-�.��/�(;<>/�,.F��E��,F5/�5$$4&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

WDX� � � �

� 3�����/� =�C� �&�)�� ��:��!� ��� �� � �� ���� 3�������� � B������/�*�����'�"��+�����%,�#����/�(?/�,1��E�5#/�5$$5&�

W,$X�� =����!��A��&�M)���� �0������ �0��!��� ������� �3���! �B������N/�*"������-�.��/�<;?>/�11��E��D,/�5$$.&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

W,,X� '����� ��&� 3�!������ ��� �8�� �� ������� 6�� ������ �� � :������� B������� ���� �� ��� ���23�������� �B������/�*�����'�"��+�����%,�#����/�((/�,#5��E��,#4/�5$$,&�

W,5X�� � � � ������ � &� �8�� B�������!� ?<�������/� *�����'�"�� +�����% ,�#����/� (2/� ,1$��E�,15/�5$$-&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

W,#X � � �� � �� � �� � �'�������� ���� ������� &�)�� �� �B�������!�?<�������'��"�Q����"�I����"/�*�����'�"��+�����%,�#����/�((/�FFEF1/�5$$$&�

W,-X�� � � �0����� �/�6���! �&�)��%��� ���������� ��� ���23�������� �����3�������� �� �� �/�*�����'�"��+�����%,�#����/�(2/�-$��E��-,/�5$$-&�

W,4X� ������� &�)���� �:��� � � �3�'��""�E�'�3��""/�*�����'�"��+�����%,�#����/�((/�,,./�5$$$&�

W,.X� �@�����/�0&0&>&�0�%�� ���� �� ��� ����3�������� �B������/�*"������-�.��/�<;?>/� �,E 54/�5$$.&�

�������

Page 170: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(FC �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�/�.��& 3 ���&� 6�#/� ���,�& ��4���6 �&�� 84������

����

� �� �� �� � � � � �� � � �� � � �� � � � ����

����

����

����

����

����

����

� �� �� �� � � � � �� � � �� � � �� � � � ����

����� ���� �� ��� � ��� �� ��� 3�������� � �������� � !�� �� ���� �� ���� 3�������� � ��������� !�� �� ������! �/� � ��� �� �����!!�� � !�8&� �� � �� ��� ��� �� � 3�������� � �������� � !�� ��������! ��8���������������� �����3������W,X&���� �/����8��� +� �� �����0����� ��W5X������!�� ��� ��� ����3�������� ���������� !�� ��������! �����8 !!&����

� ��E0*6�� ���������! �8������� ����I�*6/���I�06/��I�0*&�B�!!�8����3������W,X/�8 �� ��� �������/��/�"��� �������! �E0*6&�� �����:/��:/�:"�� ���� ����������! �8������� �����! �������:/��:/�:&�( �!!�������8��������! �����/��/�"��������:/��:/�:"��� �����!������������!������� ������ ���� ���� ������������!������������ �"&�����/����� +���! /����

� � � �

� �: : :

� ������� � � � �

� �: : :

"/�

�� ���� ��8��������! �����/��/�"��������:/��:/�:"��� �����!��&���

�� ���!!�8�����8��� ������������ ��� ����3������W,X�����0����� ��W5X�� �� ��� !�&�� ��

���������� ��� 5��8�� ������! �����/��/�"� �������:/��:/�:"� �8� � � �/��/�� �����:/��:/�:� �� � �!!�������� ���� � ��"��� ���������� �3�������� ���������� !�� �����/�3�E��� !�� �"����

3��"�I�3��:"/�3��"�I�3��:"/�3�"�I�3�:"/��

�8� � �3�&"������ �3�������� ��������/�� ��� �����6���� ��#"&�� ���

�������������5��8��������! �����/��/�"��������:/��:/�:"��� ���������� ��� ����3�������� ���������� !�� �����/�'�E��� !�� �"���� �

'��"�I�'��:"/�'��"�I�'��:"/�'�"�I�'�:"/��

�8� � �'�&"������ ��� ����3�������� ��������/��� �� �����6���� ��-"&�� ���

0� ���� � ���8��� ��� � !������ �8�� ������! �� ���� � �� ������ �� ��� 3������ W,X� ���� � ������! �E0*6/� 8���� ���! �� �/� /� ���� 2� ��/� /� ���� 2� � ���� ������� � ��� � ��"/� ��� � � � ��� �� ��� � � � � � ����/�//�2"&��� �/�8 ���� ��� ���!!�8����� ��������/��� ����3������W,X�����0����� ��W5X&���

�������������5�A�� ���8��������! �/����/�//�2"��������:/�/:/�2�:"/�8������ � �

��Q�/�Q�2�I�,1$�I��:�Q�/:�Q�2�:/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&,"��

;(>��� ���� ���������� �3�������� ���������� !�� �����/�3�E��� !�� �"���� �� � � �

3��"�I�3��:"/�3�/"�I�3�/:"/�3�2"�I�3�2�:"J��

;<>��� ���� ���������� ��� ����3�������� ���������� !�� �����/�'�E��� !�� �"���� �� � � �

'��"�I�'��:"/�'�/"�I�'�/:"/�'�2"�I�'�2�:"&�� � � � � � ����

���: ���������4&,�E�: ���������4&5/��� ���� ������� ���������������! ���� �3�E��� !�� ��7��'�E��� !�� �/�8��! ��� ������! �/�� ���� ������ �� �/��� �3�E��� !�� ��7�'�E��� !�� �����: ���������4&#&�%�� �������� �����������4&,"�� � !������ ���� ������� ���������� ���� ����! �������������! ����,1$�� �� �&��� � �� � � � � � �

T�4&,���� ����� ��� !��������� ��!��/�8������ ��� �����T�4&5�����T�4&#������� �.$�� �� ������,5$�� �� ��������! ��� �� ��� !�&��� ��������� ����� � �������� � �����T�4&-&�T�4&4��� ������ ��� ���� �����: ���������4&#&�3�� �� ������� ���� ������� �����!�T�4&.&�

Page 171: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(1= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

3�( � � �� � �� � �� � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �*�� "&�4��� �&' ����4��� �� �� �� � ����

����

����

����

����

� �����/��/�"�� ���������! �8������� ���/�������/��������! �� 0F /� *F � ���� 6F /�������8������� ������ &��� �/� �

���

����������5�� �����/��/�"�� ���������! �8������� ���/�������/�8��� � 0F I�.$$��������8������� ������ "&��� �/�

��

-�5�I��5�E��"5�Q�#�5&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&,&5"���

�����5��� 0F I�.$$/��� �� ����6�I ,

5� # ��*�Q����*"&�

�� � ��� /��4&,&,"�� ���������

5� � 5��� *# # ��* ��� *

� ��

&� � � �� �,"�� � � � � � � � � � �

B������ �(;3�����,"/�� � � � � � � � � � �

# ����*�I��5�E��"����*&�� � � � � �

3<��������������� �/�8 �� ��� � � � � �

#�5��,�E����5*"�I��5�E��"5����5*/� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������/� � � � � �

W�5�E��"5�Q�#�5X���5*�I�#�5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �5"�� � � � � � � � � � �

0����/�������� ��;3�����,"/�

���*�I #�5�&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �#"�

%�8/� !�������������*�������5"������#"/�8 �����!!��� �/�55

5 5#�#�5��5 �" #�

� � � � � �/�

8������� ���� �� ��� ��� ��!����� ������!���������&�U�� � � � � �

��

����������5�� �����/��/�"�� ���������! �8������� ���/�������/�8��� � 0F I�,5$$��������8������� ������ "&��� �/�

� � � � � ��� � � � � ��

-�5�I��5�Q��"5�Q�#�5&� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&,&#"������5���� 0F I�,5$$/��� ��

���6�I ,5� # ��*�E����*"&�

�� � ��� /��4&,&,"��� ���� ������5� � 5

��� *# # ��* ��� *� �

&� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � ��"�

0�

��

��

� � ��� 0 ��� * ��� 6

� � /� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �4&,&,"�

8� � ����6�I�����,1$�E��0�Q�*""�

I�����0�Q�*"�I����0���*�Q���0����*&� *�

6�

0� *��

��

.$$�

��

6�

Page 172: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(1( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�� ��;3������"���� ��

���*�I #�5�/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � ���"�

8��! ��� �(;3������"���� ��5� � 5

��� *# # ��* ��� *� �

&� � � � � �� � � ����"�

%�8/� !�������������*����������"/����������"/�8 �� ���� �� ��� ��� ��!�&�U�����

����

����

����

����

%�� �����/�8� �� 0F I�.$$/��� �� ��� �������������� !� /������������������/���������� �8 ���� ����!! ��������� �!��� ������ ������� �������! ����/��/�""J�������� 0F I�,5$$/��� ������� �� �!��� ������ ������ �������! &�0!��/���� �����/�������������! �/��/��/�������� �������� ���� � �2��!� �&�� � � � � �

���� � � � � �� �

����������5�����$/��$/�$"����������E�������!���!����������� �:��������� � <������� � �� � � � � �

-�5�I��5�E��"5�Q�#�5/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �4&,&5"��

�� ���� �����$�����$������ �� ��������$������� ���� ���� ����! ���������$&��

�����5�K �8��� ��4&,&5"������ � <����! ��������� � � � � � �

�5�I��5�E���Q�5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&,&5�"� � � � � � �

�� � � � � � �

� ����$/��$/�$"�� �����!����������4&,&5"/����������� � � � � � �

�$5�I��$5�E��$�$�Q�$5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,"�� � � � � � �

K ���8������ ���� ���!!�8�����8���� ����� � � � � � �

6�� ��,"���� ���$�R��$/�$�R��$&� ��

� ���$�I��$�Q��/�$�I��$�Q���������� ���� � �����R�$/���R�$/�8���������&� �

� � � � � � �

�� �/�������,"/�8 �� ��� � � � � � �

�$5�I���$�Q��"5�E���$�Q��"��$�Q��"�Q���$�Q��"5�� � � � � � �

�������/� � � �� � � $�I��$���Q��"�Q��5�Q��5�E����� � � � � � �

�������/� � � � �� � ���I��$���Q��"�Q��5�Q��5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �5"�� � � �

%�8/���� ��5�Q��5�R�5��/�������5"/�8 �� ��� � � � � � �

���R��5�Q��5�R�5��/�� � � � � � �

! ����������������������&�� � � � � �

6�� ��5"���� ���$�Z��$/�$�Z��$&� � � � � ��� � � � � � �

K�������!�������� � ��!���/�8 ���������� ������$�R��$&�� ��� � � � � � �

�$�I��$�Q�/�$�I��$�Q���������� ���� � ����R�$/���R�$/�8� � ��R��&�� � � � � � �

�� �/�������,"/�� � � � � � � � � � �

��$�Q�"5�I��$5�E��$��$�Q��"�Q���$�Q��"5�� � � � � � �� � � � � �

�������/� � � � � �� � �5�$�Q�"�I����$�Q��"&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �#"��

*��/������! ��������������������/���� ��

�R��� ��� � �5�$�Q�"�R���5�$�Q�"�R���5�$�Q��"�R����$�Q��"&�� � � � � �� � � �

� � � � � � �

����/�� ��� ��6�� ��,"�����6�� ��5"�������� �&� �� �� � � �

0!!��� � � ����!������ �! ���&�U� �

��

6�

0� *��

��,5$$�

��

�/�.��&35���&� 6�#/����,�&��4���6�&�� 84��

Page 173: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(1< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

*�� � ���� 4&,&#/� ��� ��$/� �$/� $"� ��� �� �����E�������!"� ��!������ ��� �� � :��������� � <������� � � � �-�5�I��5�E��"5�Q�#�5/��� �/�8�������!�������� � ��!���/�� � � � � � �

�$�Z��$�Z�$&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �4&,&-"� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �

��� �� � ��!������ ��� �� �:��������� � <������� �4&,&5"� ��� ��8�/� �� ��8 � ��� ����� �� � ������� � �� �����!�����&������������ ������� ���!!�8����! ���&�� � � � � � ���

����������5������$/��$/�$"��������!����������� �:��������� � <������� �� � � � � � � � � � �

-�5�I��5�E��"5�Q�#�5/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �4&,&5"�� � � � � � �

�� ����$/�$�E��$/�$"�����!�������!����������4&,&5"&� � ��� �� � � �

�����5������$/��$/�$"��������!����������4&,&5"/��� ������ ��4&,&5"���� <����! �������4&,&5�""�� � � � � � � � � � ��

�$5�I��$5�E��$�$�Q�$5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,"�� � � � � � � � � � �

( 8��������,"������ � <����! ��������� � � � � � � � � �

�$5�I��$�E��$"5�E��$�E��$"$�Q�$5/��8 �� ��������$/�$�E��$/�$"�����!�������!����������5�I��5�E���Q�5/���� <����! ��!�/�����4&,&5"&�U����

� ����4&,&-� ���8�� ����� �� �:��������� � <�������-�5�I��5�E��"5�Q�#�5����� �� �� �������� ���� � �"� ��!������� ��������/���� !�/� ��$/��$/�$"�������$/�$�E��$/�$"/�8������ � ��� � �� ��&�%�� �����/�������� ���/���$/�$/��$"�������$/�$/�$�E��$"��� ��!�����!������������ �:��������� � <������&�� � � � � � �����

�� ���!!�8�������! ���� ���� ���!����������-�5�I��5�E��"5�Q�#�5�8� ��,�������,$$&�� � � � � � �� � � � � � �

�3�������4*��#����%�����56�"237�8�3���������������� � � � � � �� � � � � � �

�� �� � � �� �� � � �� �� �F� #� 1� � -D� ,.� 44� � D,� ,,� D.�� � 4� 1� � � � #D� 44� � � 14� D.�,#� F� ,4� � � � 5,� 4.� � � ,D� DD�� � 1� ,4� � � � #4� 4.� � � 1$� DD�,D� 4� 5,� � .,� D� .4� � � #D� ,$-�� � ,.� 5,� � � � 4.� .4� � � .4� ,$-�#,� ,,� #4� � .F� #5� FF� � � � -D� ,$4�� � 5-� #4� � � � -4� FF� � � � 4.� ,$4�#F� F� -$� � F#� ,F� 1$� � DF� 44� ,,5�� � ##� -$� � � � .#� 1$� � � � 4F� ,,5�-#� ,#� -1� � FD� -$� D,� � � � �� � #4� -1� � � � 4,� D,� � � � �

� � � � � � �� � � �� � �

�� � !���� �� � ���� ���� �� � ��!������� ��� �� � :��������� � <������� -�5�I��5�E��"5�Q�#�5� ���� � � �,��� ���� ,$$� ���8�� ����/� ��� ���� �� �� ��!������� ��!�� ���� ������ ���� �� ����� �� ��� ��!���! �"/���� !�/� 8� �� �� I� F/� ,#/� ,D/� #,/� #F/� -#/� .,/� .F/� F#/� FD/� DF&� ��� ��� �� /� �� � � �� � �8����� � �� �����!��������������� �� ! ����������������! �������� � ��"&�� � � � �

�� �

������! �4&,&,����� /���!���� ���!����������-�5�I��5�E��"5�Q�#�5��������� ������ ����8�/�8������ � + ������� 8� �� ��I�-D�I�F5� ���� ��I�D,�I�#�,#J� 8� �� ��I�-D/� �� � � �� � ����� ��� � �� �����!������/�8��! �������I�D,/��� � ��� � �������� � �� �����!������������ �:��������� � <������&�

Page 174: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(1? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

% +�/�8 ������ �������� ����������� �:��������� � <�������� � � � � � �

-�5�I��5�Q��"5�Q�#�5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �

���������� /�8 ���� ��� ���!!�8����� ��!�&�� � � � � ��� �

����������5������$/��$/�$"��������!����������� �:��������� � <������� � �� � � � � � �

-�5�I��5�Q��"5�Q�#�5/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �4&,&#"�� � � � � �

�� ���$�R���+^�$/�$_&������5K �8��� ��4&,&#"������ � <����! ��������

�5�I��5�Q���Q�5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&,&#�"� ������$/��$/�$"�� �����!����������4&,&#"/��� ��

�$5�I��$5�Q��$�$�Q�$5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �,"�����$�R��$/��� ��������,"/�

�$5�R��$5�Q��$�$�Q�$5� ��� � $�R��$�$�Q�$5/�8���������������! &�; � /��$�Z��$&�0����/��

$�R��$� ��� � �$5�R��$5�Q��$��$�Q��$5� ��� � $�R��$5�Q��$��$/�! ����������������������&�; � /�$�Z��$&�U�� � � � � � �� � � � � � �

�� ���!!�8����! ������� ���� �� !����������� �8 ���� ���!�����������4&,&5"������4&,&#"&�� � � � � � �� � � � � � �

����������5�����$/��$/�$"��������!����������� �:��������� � <������� � ��

-�5�I��5�E��"5�Q�#�5/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �4&,&5"��

�� ����$/��$/�$�E��$"��������!����������� �:��������� � <��������

-�5�I��5�Q��"5�Q�#�5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �4&,&#"������5�����$/��$/�$"��������!����������� �:��������� � <��������4&,&5"/��� ��

�$5�I��$5�E��$�$�Q�$5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��"�%�8/�� 8���������"�����

�$5�I��$5�Q��$�$�E��$"�Q��$�E��$"5/�8 �� ��������$/��$/�$�E��$"��������!����������5�I��5�Q���Q�5/�8������� <����! �������4&,&#"&�U���� � � � � � �

�� ���!!�8�������! ���� ���� ���!����������-�5�I��5�Q��"5�Q�#�5�����,�������,$$&�� � � � � � �� � � � � � �

�3�������4*��#����%�����56�"837�8�3���������������� � � � � � �� � � � � � �

�� �� � � �� �� � � �� �� �F� #� 4� � -D� ,.� #D� � D,� ,,� 14�,#� F� 1� � � � 5,� #4� � � ,D� 1$�,D� 4� ,.� � .,� D� 4.� � � #D� .4�#,� ,,� 5-� � .F� #5� -4� � � -D� 4.�#F� F� ##� � F#� ,F� .#� � DF� 44� 4F�-#� ,#� #4� � FD� -$� 4,� � � � �

� � � � � � ��

�� � ���� � ���! � 4&,&5� ���8�� ����/� �� � � �� � ��!������� ��� �� � :��������� � <������� � � � � � � � � � �-�5�I��5�Q��"5�Q�#�5�8� ����I�F/� ,#/�,D/�#,/�#F/�-#/�.,/�.F/�F#/�FD/�DF� �������!���! ����� �� � ����� �"/� ���� ��� ��� �� /� �� � � ��� ��!�� �� � ��!�����J� ��� �� � ��� �� ����/� �� � � �� � �8����� � �� �����!�������8� ����I�-D/�8��! ���I�D,������������������� � �� �����!������&�

�/�.��&35���&� 6�#/����,�&��4���6�&�� 84��

Page 175: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(12 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

3�<� ����4��� *$ F= ��8&��� ���&� 6�#/� �� #��* ��4���6 � 6 "���6* ���&� 6�#/� �� #��* ��4���6 �&�� 84�� � � � �� � � �� � � �� � � �

� � � �� � � �� � � �� � � � ����

����

����

K �������8������ ���!!�8����� ��!��� !�� ������� �.$�� �� ��������! �&�� � �

����������5�� �����/��/�"�� ���������! �8���� 0F I�.$$/�������� � ��E���!� ����� ���/�������&��� �/�;(>� �/������������������ �:��������� � <�������

� � � � � � �

-�5�I��5�E��"5�Q�#�5/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �4&5&,"�� � � � � � �

;<>� �� �:��������� � <��������4&5&,"��������������� ����� �������!������&�� � � � � �

�����5�������,"������ �! ���������� ���� � ������� ����4&,&,&�%�8/������$/��$/�$"��������!����������� �:��������� � <��������4&5&,"/��� �����$/���$/��$"�����!���������!����������������� � �����5/������ � /��4&5&,"����� �� ������������ ����� �������!������&�%�8/�������� ����/�8 �� ������ �

�,�I�F/��,�I�#/�,�I�1/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&5&5"��������!����������4&5&,"&�U�� ��

%�� �����/� ��

�5�I�F/��5�I�4/�5�I�1/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&5&#"��

������ ������� � �� �����!����������� �:��������� � <��������4&5&,"/�������� ���!��� �� ���� �&�( �!!� ����/� �8�� ��!��������� �� � �� ��� ��� �� � ��� �� ����2C ��"�����������!���! ���� �� ���� �J���� �8�� /��� ���� ���� � �� ��&�� � � � � � �� � � � � � �

�����������5�� � �������������� ����� ���������������������!���.$�� �� ��������! ��������� �3�E��� !�� �&������5�K ������ ���� ���!!�8�������������������!���������! ��

��

��F�/�#�/�1�"�������F�/�4�/�1�"/� ���

8� � �����,,���������� &�*��� ����4&,&,/� ��������.$�� �� ��������! &� �%�8/���� ������������� �����F/���

3�#�"�I���I�3�4�"/���

�����!!�8��������� ���������!��"�������! ����F�/�#�/�1�"�������F�/�4�/�1�"��� �3�E��� !�� �&�U�� � � � � � �� � � � � � �

�����������5��� � �������������� ����� ���������������������!���.$�� �� ��������! ��������� �'�E��� !�� �&������5�K ������ ���� ���!!�8�������������������!���.$�� �� ��������! ��

� � � � � �� �

��F�/�#�/�1�"�������F�/�4�/�1�"/� ��� � � � � � �

8� � ������������ ������ ������� ��

��I��#���,$"��E�,�I�#$��E�,/��- ����� &� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �4&5&-"�� � � � � �� �

3�� �.� �]� ����Q�,"/�,$��]� ����Q�,"/����� ����-&5&-�����6���� ��-"/���

'�#�"�I���I�'�4�"&���

����/��� ���������������! ����F�/�#�/�1�"�������F�/�4�/�1�"��� �'�E��� !�� �&�� �

%�8/���� ��� � ��� ����������� ����� ��������� ������� �������4&5&-"�����:����! �Y���� �� �/�� /����� +���! /�;���������K������W#X/��� �� ��,4/���&�,#"/�8 ���� ��� �� ��� ��� ��!�&�U�

Page 176: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(13 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�������� �� ����� ��� � �����/��������������� ������ ������� � � � �

��I��#���,$"��Q�,�I�#$��Q�,/��- ����� /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �4&5&4"��� � � � � � �

�� �� �� ����������������!���.$�� �� �� ������! ����F�/�#�/�1�"�������F�/�4�/�1�"� �������� � ����������� � ����!�������������� ������! �� ����� �� �'�E��� !�� �/� ��� � ���� �����/������.� ����,$������ � � ����E�,"/��������� ����-&5&-/�� � � � � �

'�#�"�I���E�,�I�'�4�"&��� � � � � � ��� � � � � � �

K ���8����� ��� ���!!�8������ �� �&�� � � � � � �� � � � � � �

�����������5��� � � +��������������� �����!��������������.$�� �� ��������! ��������� ������3�E��� !�� ������'�E��� !�� �&������5�B������ �� ��4&5&,������� �� ��4&5&5/�8 �� �������� ���������.$�� �� ��������! ��

� � � � � � �

��F�/�#�/�1�"�������F�/�4�/�1�"/� �� � � � � � �

8� � ������������ ������ ������ �� � � � � � �

��I��#���,$"��E�,�I�#$��E�,/��- ����� &� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � � � � � �

�� ������3�E��� !�� ������'�E��� !�� �/���� ����������/�3�#�"�I���I�3�4�"&�U�� �� �� �� � � � � �� � � �� � � �� � � � ����

����

����

����

����

����

����

� �� �� �� � � � � �� � � �� � � �� � � � ����

3�?� ����4��� *$ (<= ��8&��� ���&� 6�#/� �� #��* ��4���6 � 6 "���6* ���&� 6�#/� �� #��* ��4���6 �&�� 84�� � � � �� � � �� � � �� � � �

� � � �� � � �� � � �� � � � ����

����

����

����

K �������8������ ���!!�8����! �������������� ��C ��,5$�� �� ��������! �&����

���������� 5�� �����/��/�"� � � �� ������! �8���� 0F I�,5$$/� ���� ��� � �E���!� ����� ���/�������&��� �/�;(>� �/������������������ �:��������� � <�������

� � � � � �

-�5�I��5�Q��"5�Q�#�5/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �4&#&,"�� � � � � � �

;<>� �� �:��������� � <��������4&#&,"��������������� ����� �������!������&�� �

�����5������,"���!!�8�������� ����4&,&5&� �0����/���� ��$�I�F/��$�I�#/�$�I�4��������!����������� �:��������� � <��������4&#&,"/��������������� ����� �������!������������ �������F/�#/�4"/����,&���������� ��������5"������ �! ���&� �; � /��� �������������! � &�U�

� � � � � � ��� � � � � � � � � �

�����������5��� � �������������� ����� ���������������������!���,5$�� �� ��������! ��������� �3�E��� !�� �&�

� �

�����5�K ������ ���� ����������������!���������! ���� � � � � � �

��-D�/�,.�/�#D�"�������-D�/�5,�/�#4�"/� ��

������8���������,5$�� �� ��������! /����� ����4&,&5&� �%�8/������������� �����,F/��

3�,.�"�I���I�3�#D�"�I�3�5,�"�I�3�#4�"&��

����/������������� �����,F/� �� ���������!��"�������! ����-D�/�,.�/�#D�"�������-D�/�5,�/�#4�"��� � �3�E��� !�� �&������ ����!��� ���� ��� �� �&�U�

�/�.��&35���&� 6�#/����,�&��4���6�&�� 84��

Page 177: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(1F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

������������� �� ��4&#&,����� /�8 ���� ���� ��� ������ ������������ ����! �4&,&5"� � � � � � � � � � � � ��

;(>� �,�I�-D/��,�I�,./�,�I�#D/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&#&5"���

;<>� �5�I�-D/��5�I�5,/�5�I�#4/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&#&#"��

�� ��8����� � �� �����!������������ �:��������� � <�������-�5�I��5�Q��"5�Q�#�5&� �

��� � � � � � �

�����������5��� � �������������� ����� ���������������������!���,5$�� �� ��������! ��������� �'�E��� !�� �&�

�����5K �������8������ ����������������!���,5$�� �� ��������! ���� � � � � � ��

��-D�/�,.�/�#D�"�������-D�/�5,�/�#4�"/� � � ��� � � � � � ��

8� � ������������ ������ �������� � � � � � �

��I��54���#���4���F5���,#"��E�,�I�#$4F.$��E�,/��- ����� &� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �4&#&-"�� � � � � � �

3�� ��

5���,.��]� ����Q�,"/�5���#D��]� ����Q�,"/�5���5,��]� ����Q�,"/�5���#4��]� ����Q�,"/�� � � � � � ��

���� ����-&5&-/������������� �������� �������4&#&-"/�� � � � � � ��

'�,.�"�I�'�#D�"�I�'�5,�"�I�'�#4�"�I��&�� � � � � � ��

�� � ��� /���������������� �������4&#&-"/��� �����!����������������������!��"�,5$�� �� ��������! ����-D�/�,.�/�#D�"�������-D�/�5,�/�#4�"��� �'�E��� !�� �&�� �

0!!��� � ����! � ��� ������������ ��� �� �&�U��� � � � � � ���

0� � ���� ������� � ����!�� ��� ��������!��"� ,5$� � �� �� ������! �� ����� �� � '�E��� !�� �/� ��� � ����� �������!!�8����� ����� ������� ������ ��������

��I��54���#���4���F5���,#"��Q�,�I�#$4F.$��Q�,/��- ����� &� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �4&#&4"���

*��� ����-&5&-/����������/���

'�,.�"�I�'�#D�"�I�'�5,�"�I�'�#4�"�I���E�,/���� � �

5���,.��]� ����E�,"/�5���#D��]� ����E�,"/�5���5,��]� ����E�,"/�5���#4��]� ����E�,"&��� �

����� ����!!�8��������� ���������������! ����-D�/�,.�/�#D�"�������-D�/�5,�/�#4�"��� �'�E��� !�� �������������� �������� �������4&#&4"&�� � � � � � ���� � � � � � �

�����������5�� � �������������� ����� ���������������������!���,5$�� �� ��������! ��������� ������3�E��� !�� ������'�E��� !�� �&�

�����5B������ �� ��4&#&,������� �� ��4&#&5/�8 �� �������� ���������������! ����

��-D�/�,.�/�#D�"�������-D�/�5,�/�#4�"/� ���

8� � ������������ ������ ������ ��

��I��54���#���4���F5���,#"��Q�,�I�#$4F.$��Q�,/��- ����� /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���

�� ������3�E��� !�� ������'�E��� !�� �/���� ����������/��

3�,.�"�I�3�#D�"�I�3�5,�"�I�3�#4�"�I��&� ��

0!!��� � ����! � ��� ������������ ��� �� �&�U�

Page 178: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(11 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

3�2� ����4��� *$ ���&� 6�#/� �� #��* ��4���6 � 6 "���6*���&� 6�#/� �� #��* ��4���6 "'�/�8*&�� �&�� 84�� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �

����0�������! �����!! ���������� ������/�������E����! �"������ �����������! �����D$�� �� �&������

( �!!� ����� �� ������! � ���/� ��/� �"� �8���� ��� �� ��� ! ����� �/� �� ���� "� ��� �������� ��/� 8����$6 D$F � /� ��� ���� ��!�� ��� �5�Q��5�I�5&� ����/� �� � ����! �� ��� �������� �� � 3�E��� !�� ��7�'�E��� !�� ��

�������� ���������! ������ !�� ������� ���!������������ �:��������� � <��������

�5�Q��5�I�5&���

��� 8���� ��!!�8�/� 8 � ���!!� �� � �� � ��� �� � ��!!�8���� �8�� ��� � �� ��� ��!������� ��� �� �:��������� � <��������5�Q��5�I�5����

;(>� �$�I�#/��$�I�-/�$�I�4/��5"��$�I�4/��$�I�,5/�$�I�,#&�����

�� ���!!�8����� ��!������� ����0����� ��W5X&�� � � ��

�����������5�� � ��� ����������� �����!���������������������!����������� ���������! ��������� �3�E��� !�� �&�

�����5�B����������� �����,F/��� ��8������!� ������������!����������� ���������! �� ���

��#�/�-�/�4�"�������4�/�,5�/�,#�"� ���

�� �3�E��� !�� �/���� ��

3�#�"�I�3�-�"�I�3�4�"�I�3�,5�"�I�3�,#�"�I��&�U����

����������� 5��� � ��� ���� ������� ����� ���������������������!����������� ��� ������! ��������� �'�E��� !�� �&�

�����5K ������ ���� ����������������!����������� ���������! ���

��#�/�-�/�4�"�������4�/�,5�/�,#�"/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �4&-&,"��

8� � ������������ ������ �������

��I��5#���#���4���,#"��Q�,�I�,4.$��Q�,/��- ����� &� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �4&-&5"��

*��� ����-&5&-/��

'�#�"�I�'�-�"�I�'�4�"�I�'�,5�"�I�'�,#�"�I���E�,/��

���������� �������! ����#�/�-�/�4�"�������4�/�,5�/�,#�"��� �'�E��� !�� �&�3�� � �� � � ��� ��� ������� � ���� �� ��� ���� �� ��� �� � ����� �4&-&5"/� 8 � � �� �� � � ��� �� ������� ����� ���������������������!���'�E��� !�� ���������� ���������! �&�U�����

�����������5��� � �������������� ����� ���������������������!����������� ���������! ��������� ������3�E��� !�� ������'�E��� !�� �&��

�����5B�!!�8��������� �� ��4&-&,������� �� ��4&-&5/���� ��� ���������������! ���

��#�/�-�/�4�"�������4�/�,5�/�,#�"/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��

8� � ������������ ������ �������

��I��5#���#���4���,#"��Q�,�I�,4.$��Q�,/��- ����� /��

�� ������3�E��� !�� ������'�E��� !�� �&�U�

�/�.��&35���&� 6�#/����,�&��4���6�&�� 84��

Page 179: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(10 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�����������5�� � � +�����������!������������ ����� ������������� ���������! ��8������ �3�E��� !�� �/������E�8�� /� ��� �� � ������! ����� �� � ���� ����!����� ������� ����� �����.$�� �� ��������! �&�

����� 5�K � ����� �� �� � �������� ��� ������! � ��#�/�-�/�4�"� ���� �� � .$� � �� �� ������! � � ���F�/�#�/�1�"&�%�8/������������� �����,,/���

3�#�"�I�3�-�"�I�3�4�"�I�3�F�"�I�3�1�"�I��&���

����/��� �������! ����#�/�-�/�4�"�������F�/�#�/�1�"��� �3�E��� !�� �&�U�� � � � � � �� �� � � � � �

�����������5��� � � +�����������!������������ ����� ������������� ���������! ��8������ �'�E��� !�� �/������E�8�� /������ �������! �������� ����������� �����!�����.$�� �� ��������! �&�

�����5�� ��������� ���������! ���#�/�-�/�4�"������� �.$�� �� ��������! ���F�/�#�/�1�"��� �'�E��� !�� �������������� �������� �������

��I��5-���#���4���F"��E�,�I�,.1$��E�,/��- ����� /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �4&-&#"��

��� /����������/�'�#�"�I�'�-�"�I�'�4�"�I�'�F�"�I�'�1�"�I��&�U�

�� � � � � � ��

%�� �����/��������������� ������ �������

��I��5-���#���4���F"��Q�,�I�,.1$��Q�,/��- ����� /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �4&-&-"��

�� �/����������/�'�#�"�I�'�-�"�I�'�4�"�I�'�F�"�I�'�1�"�I���E�,&� ���

����/� �� � �������� ��� ������! � ��#�/� -�/� 4�"� ���� �� � .$� � �� �� ������! � ��F�/� #�/� 1�"� �� � � � � � �'�E��� !�� �������������� �������� �������4&-&-"&�� � � � � � �� � � � � ���

�����������5��� � � +�����������!������������ ����� ������������� ���������! ��8������ ������ 3�E��� !�� �� ���� '�E��� !�� �/� �����E�8�� /� ��� �� � ������! �� ��� �� � ���� ����!�� ��� ������� ����� �����.$�� �� ��������! �&�

� �

����� 5�K � ����� �� �� � �������� ��� ������! � ��#�/�-�/�4�"� ���� �� � .$� � �� �� ������! � � ���F�/�1�/�4�"/�8� � ������������ ������ �������4&-&#"&��� �/������ �� ��4&-&-������� �� ��4&-&4/��� ���� ������3�E��� !�� ������'�E��� !�� �&�U�� � � � � �

�� � � � �� �

�����������5��� � � +�����������!������������ ����� ������������� ���������! ��8������ �3�E��� !�� �/������E�8�� /������ �������! �������� ����������� �����!�����,5$�� �� ��������! �&�

����� 5�K � ����� �� �� � �������� ��� ������! � ��#�/�-�/�4�"� ���� �� � ,5$� � �� �� ������! � � ���F�/�#�/�4�"/�8� � �����,,���������� &�3�� /����������/���

3�#�"�I�3�-�"�I�3�4�"�I�3�F�"�I��/��

�� �������! ����#�/�-�/�4�"�������F�/�#�/�4�"��� �3�E��� !�� �&�U�� � � � � � �� � � � �

�� �

�����������5��� � � +�����������!������������ ����� ������������� ���������! ��8������ �'�E��� !�� �/������E�8�� /������ �������! �������� ����������� �����!�����,5$�� �� ��������! �&�

�����5�B����������� �������� ������ ��

��I��5#���#���4"��E�,�I�,5$��E�,/��- ����� /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �4&-&4"�� �

�� ��������� ���������! ���#�/�-�/�4�"������� �,5$�� �� ��������! ���F�/�#�/�4�"��� �'�E��� !�� �/���� /����������/�

'�#�"�I�'�-�"�I�'�4�"�I�'�F�"�I��&�U�

Page 180: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(1C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�������� �� ����� ��� � �����/��������������� ������ ������ ��

��I��5#���#���4"��Q�,�I�,5$��Q�,/��- ����� /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �4&-&."���

�� �/����������/�'�#�"�I�'�-�"�I�'�4�"�I�'�F�"�I�'�#�"�I���E�,/���

����� � /��� ��������� ���������! ���#�/�-�/�4�"������� �,5$�� �� ��������! ���F�/�#�/�4�"��� �'�E��� !�� �&��� � � � � � �

���������� 5��� � � +�����������!������������ ����� ������������� ���������! ��8������ ������ 3�E��� !�� �� ���� '�E��� !�� �/� �����E�8�� /� ��� �� � ������! �� ��� �� � ���� ����!�� ��� ������� ����� �����,5$�� �� ��������! �&�

� �

����� 5*���� �� ��4&-&F� ������ �� ��4&-&1/� �� ��������� ��� ������! ���#�/�-�/�4�"������� �,5$�� �� ��������! ���F�/�#�/�4�"��� ������3�E��� !�� ������'�E��� !�� �/�8� � ������������ ������ �������4&-&4"&�U�� � � � � �

����

����������/�8 ����� ��������� ��� ���!!�8������� ��� �� ����� �������� �.$�� �� ������,5$�� �� ��3�E��� !�� ��7�'�E��� !�� ��������! �&����

�����������5��� � � +�����������!������������ ����� �����.$�� �� ��������! ��8������ �3�E��� !�� �/������E�8�� /������ �������! �������� ����������� �����!��,5$�� �� ��������! �&�

� �

�����5��� �.$�� �� ��������! ���F�/�#�/�1�"������� �,5$�� �� ��������! ���F�/�#�/�4�"��� � �3�E��� !�� �������������� �����,,/���� /������������ /��

3�F�"�I�3�#�"�I�3�1�"�I�3�4�"�I��&�U���� � � � � � �

������������5��� � � +�����������!������������ ����� �����.$�� �� ��������! ��8������ �'�E��� !�� �/������E�8�� /������ �������! �������� ����������� �����!�����,5$�� �� ��������! �&�

� �

�����5��������������� ������ �������

��I��5-���#���4���F"��E�,�I�,.1$��E�,/��- ����� /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �4&-&F"���

�� �� �� � .$� � �� �� ������! � ��F�/� #�/� 1�"� ���� �� � ,5$� � �� �� ������! � ��F�/� #�/� 4�"� �� � � � � � � �'�E��� !�� �/���� /����������/�

'�F�"�I�'�#�"�I�'�1�"�I�'�4�"�I��&�U��� ����

%�� �����/��������������� ������ ������ ��

��I��5-���#���4���F"��Q�,�I�,.1$��Q�,/��- ����� /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �4&-&1"��� ��

'�F�"�I�'�#�"�I�'�1�"�I�'�4�"�I���E�,&��

K������������!� �����/�8 �� ����� ������������.$�� �� ��������! ���F�/�#�/�1�"����� �� �,5$�� �� ��������! ���F�/�#�/�4�"�8������ �'�E��� !�� �&�� � � � � � ��� � � � � � �

������������5��� � � +�����������!������������ ����� �����.$�� �� ��������! ��8������ ������ 3�E��� !�� �� ���� '�E��� !�� �/� �����E�8�� /� ��� �� � ������! �� ��� �� � ���� ����!�� ��� ������� ����� �����,5$�� �� ��������! �&�

� �

�����5��������������� ������ �������4&-&F"/������ �� ���4&-&,$������� �� ��4&-&,,/��� �.$�� �� ��������! ���F�/�#�/�1�"������� �,5$�� �� ��������! ���F�/�#�/�4�"��� ������3�E��� !�� ������ � � � �'�E��� !�� �&�U�

�/�.��&35���&� 6�#/����,�&��4���6�&�� 84��

Page 181: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(0= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

3�3� ���&� 6�#/� �� #��* ��4���6 � 6 "���6* ���&� 6�#/��� #��* ��4���6 �&�� 84�� � ��&�� *$ �/��& � 84��

������� ����� � ����/� 8 � ����� �� �� � ����! �� ��� �������� �� � 3�E��� !�� �� ���� '�E��� !�� �� ������! �� ���� ��������� ������! �/��������/������ �� �� ����: ���������4&#&��� ����

K ������ ���� ��� ����3�E��� !�� ��������! ������'�E��� !�� ��������! ��� ����� !�����T�4&4&,�����T�4&4&5�� �� ��� !�&�����

����

����

����

����

���� ����

3�3�(� ���&� 6�#/� �� #��* ��4���6 �&�� 84������

����

����

������������� ���������/�0����� ��W5X�� ��� ������3�E��� !�� �����������������! �������� �� �� ����: ���������4&#"&�; �� ��������� ����������&����

;�8 � �/����������� /��� ����������������3E,��"������ �� !���!&��� �3�������� ���������3��"����! ��!��������@ ��� &�;�8 � �/�8 ����� ��� ��� ���� �� �3E,��"������!!�8����

� � � ��

3E,��"�I�^�- ����� � �� � � � � �3��"�I��_������������ � ������,/� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&4&,�"�8����

3E,�,"�I�,&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&4&,�"��� � ��

�� �/����������- ����� � ��^,/�5/�#/�-/�P_/��� �� ��3E,��"��������E� �������������� ��8�����[��������!��� ��� ! � ��&�6! ��!�/��-3E,��"����������!������� ���!!�8�����8�������������� �������� ����� � � ��

�,"� ������� ���[/��

�5"� ���� ����������� � [� � �������� � � 8����,�� � ����E�,&�� � � � � � ��� � � � � �� �

K ����!�������4&4&,"������������ � �������������� 8���)���� �� �� ����� /�8 �� ��� ��� �� !������B������!!�8����

� � � ��

B��������,/��5- ����� /��,�B��5����������!������ � � � �3��,"�I�3��5"&�� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �4&4&5"��� � ��

��� ��� �� �������������8���� ���� ����� �����B� ������ <����! � �� !��������� ����� &� ��� ���8 !!�E���8������� ��� <����! � � � !������ ���� �� �� ���������� ���� �� � � �� ����� "� �� /� ���� +���! /�A����� W-X/��� �� ��,,&5/���&�#5"&��� �� ���3E,��"/��- ����� /��� /�������/��� � <����! � �!��� ������ ������� � <����! � �� !������B���� ����� /��������� ����� ���!!�8�����8������ ��� �����

;(>� ,

� ,3 ��"

�� I ����� /� �

��

;<>� , ,, 5 , 53 �� " 3 �� " ���� � C �D=1 � &� � � �

��

����/����������- ����� /��� � ������ �������!���� ��- ����� � ����������-3E,��"&���� � � � � � ��� � � � � � ��

��� � �!� 8���� �� � ��������� �4&,"� ������ ��/� �� � �����������Q�/�Q�2�I�,1$�I��:�Q�/:�Q�2�:"/� 8 ������ ���� �� ����� ��� ��� ,3 �� " ? 9 /�� ��� �������!!�8�����

,3 �� " ? 9 �I� �^��- ����� � ��3��"�I��/�,�������,1$_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �4&4&#"�

Page 182: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(0( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�� ���!!�8�������! ���� ������� ����� ��� ���� !�� �������������! �&����

�3�������49��#�%�� �* 6�:;7 5< �---- ����� 4*6�75�=������������ >�� � � � � � �

� � (� ;�NO> � � � (� ;�NO> �

,� ^,_� 4D� ^4D/��,,1/��,FF_�5� ^5_� .,� ^.,/��,55_�#� ^#/��._� .F� ^.F/��,#-_�-� ^-/��1/� �,5/��5-_� F,� ^F,/��,-5_�4� ^4/��,$/��,4/��5$/��#$/��-$/��.$/��,5$_� F#� ^F#/��,-._�.� ^D/��,./��,1/��#./��-4/��-1/��F5/��1$/��D$/��,--/��,1$_� FD� ^FD/��,41_�F� ^F/��,-/��5,/��51/��#4/��-5/��4./��.#/��F$/��1-/��,$4/��,,5/��,5./��,-$/��,.1_� 1#� ^1#/��,.._�1� ^#5/��.-/��D./��,51/��,.$_� 1D� ^1D/��,F1_�D� ^5F/��4-/��1,/��,$1/��,#4/��,.5_� DF� ^DF_�,$� ^54/��4$/��F4/��,$$/��,4$/��,F4_� ,$,� ^,$,_�,,� ^,,/��55/��##/��--/��44/��../��FF/��11/��DD/��,,$/��,#5/��,4-/��,.4/��,F._� ,$#� ^,$#_�,#� ^,#/��5./��#D/��45/��.4/��F1/��D,/��,$-/��,,F/��,#$/��,-#/��,4._� ,$F� ^,$F_�,-� ^-D/��D1/��,-F_� ,$D� ^,$D_�,4� ^,54_� ,,#� ^,,#_�,F� ^,F/��#-/��4,/��.1/��14/��,$5/��,,D/��,#./��,4#/��,F$_� ,5F� ^,5F_�,D� ^,D/��#1/��4F/��F./��D4/��,,-/��,##/��,45/��,F,_� ,#,� ^,#,_�55� ^,5,_� ,#F� ^,#F_�5#� ^5#/��-./��.D/��D5/��,,4/��,#1/��,.,_� ,#D� ^,#D_�5.� ^,.D_� ,-D� ^,-D_�5D� ^5D/��41/��1F/��,,./��,-4/��,F-_� ,4,� ^,4,_�#,� ^#,/��.5/��D#/��,5-/��,44_� ,4F� ^,4F_�#F� ^#F/��F-/��,,,/��,-1_� ,.#� ^,.#_�-,� ^-,/��15/��,5#/��,.-_� ,.F� ^,.F_�-#� ^-#/��1./��,5D/��,F5_� ,F#� ^,F#_�-F� ^-F/��D-/��,-,_� ,FD� ^,FD_�4#� ^4#/��,$./��,4D_� � �

���

6! ��!�/� �8�� 3�E�� !�� �� ������! �� ���/�//� 2"� ���� ���:/�/:/� 2�:"� ����� �������� �� � ��!!�8���������������

� � �

�/� ��:- ,,3 �� " ? 9 J� �//� �/:- ,

53 �� " ? 9 J� � 2/� �2�:- ,#3 �� " ? 9 � ������� ��,/���5/���#- ����� &�

� � �

����/����� +���! /��������� ��� � �

�/��:�-^,_�I ,3 �, " ? 9 J� �� � �

//�/:�-^,,/�55/�##/�--/�44/�../�FF/�11/�DD/�,,$/�,#5/�,4-/�,.4/�,F._�I ,3 �,, " ? 9 J�� � �

2/�2�:-^F/�,-/�5,/�51/�#4/�-5/�4./�.#/�F$/�1-/�,$4/�,,5/�,5./�,-$/�,.1_�I ,3 �F " ? 9 /�

�/�.��&35���&� 6�#/����,�&��4���6�&�� 84��

Page 183: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(0< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

8 � ��� �������� �� � 3�E� � � !�� �� ������! �� ��,/�,,/�,.1"� ���� ��,/�,.4/�,-"&� %�� � ����/� ��� �,3 �, " ? 9 I�^,_� ����� ����! ����� �/� ���8 ����� ���I�,/� �� ��8 �������!������� ��:�I�,&�0����/�

���������/��:/�//�/:�-^54/�4$/�F4/�,$$/�,4$/�,F4_�I ,3 �,$ " ? 9 /�8 ����������� ���������3�E��� !�� ��������! ����54/�,4$/�4"�������F4/�,$$/�4"�8������ ������ ������������� ��

3��"�I�3��:"�I�,$�I�3�/"�I�3�/:"������3�2"�I�3�2:"�I�4"&���

6�������� �/��:/�//�/:-^4/� ,$/� ,4/� 5$/� #$/� -$/� .$/� ,5$_�I ,3 �4 " ? 9 /� 8 � � � ����� �� � <��!�� ��!�������! ���.$/�.$/�.$"����3�E��� !�� ����� �������� ��8��������! ����#$/�#$/�,5$"�������5$/�-$/�,5$"[��������� �� ����� ��� � �������� ��������.$/�.$/�.$"�������5$/�-$/�,5$"��� �'�E��� !�� �����8 !!&� �� ���

0����� ��W5X��� ���� �������! ����#/�F/�,F$"�������./�5,/�,4#"������� +���! ������3�E��� !�� ������� 8� � � �!!� �� � ��+� ���! �� �� � ���� � ��&�� � ������ � � ��!� ��� ����!E���E ����� ����� ���! �4&4&,/���� ����8������ ���� ��� !�8����� ��

�,"� ��4/�54/�,4$"�������#$/�4$/�,$$"��3�4"�I�3�#$"�I�4/�3�54"�I�3�4$"�I�,$�I�3�,4$"�I�3�,$$""/�� � ��

�5"� ��5$/�.$/�,$$"�������,$/�,5$/�4$"��3�5$"�I�3�,$"�I�4�I�3�.$"�I�3�,5$"/�3�,$$"�I�3�4$"�I�,$"/�� � ��

�#"� ��4/�-4/�,#$"�������.$/�,./�,$-"��3�4"�I�3�.$"�I�4/�3�-4"�I�3�,."�I�./�3�,#$"�I�3�,$-"�I�,#"/�� � ��

�-"� ��4/�14/�D$"�������.$/�,$5/�,1"��3�4"�I�3�.$"�I�4/�3�14"�I�3�,$5"�I�,F/�3�D$"�I�3�,1"�I�."/�� � ��

�4"� ��#F/�4$/�D#"�������F-/�F4/�#,"��3�#F"�I�3�F-"�I�#F/�3�4$"�I�3�F4"�I�,$/�3�D#"�I�3�#,"�I�#,"/�� � ��

�."� ��-$/�4$/�D$"�������.$/�F4/�-4"��3�-$"�I�3�.$"�I�4/�3�4$"�I�3�F4"�I�,$/�3�D$"�I�3�-4"�I�."&�� � ��

�F"� ��5$/�F$/�D$"�������.$/�1-/�#."��3�5$"�I�3�.$"�I�4/�3�F$"�I�3�1-"�I�3�D$"�I�3�#."�I�."&�� � ��

�� �!�����8���� � +���! ��8� � ��!!��� ���+����! ���� ���� &��� � � � � �

���

0�� +������� � ����� �� � ���� ��� 0����� �� W5X� ���� ������ ��� �!!� �������!��� 3�E��� !�� ��������! �����/�//�2"� �������:/�/:/�2�:"� ��Q�/�Q�2�I�,1$�I��:�Q�/:�Q�2�:"�8������!� ������� ��� �� � ���� � � �,�������,F1/�� � �! ����������������� ��� ���!!�8������!� �������������! ������������

1#/�DF/�,$F/�,,#/�,5,/�,5F/�,#F/�,#D/�,-D/�,4,/� � ��

,.#/�,../�,.F/�,.D/�,F5/�,F#/�,F-/�,F4/�,F./�,FF/�,F1&� �� � � � � ��� � � � � � �

0�!�� ��!�������� ���!� ������4&4&-"��������� �������! �4&4&,�� � �!���� ���!!�8������������

�,"�A � ��!!�/��� ����� ���� !��������������! ����� ������ ,3 �� " ? 9 � ���������� ����������,1$�� �� ���������������! ��/�8������ � + ������������I�,/�5/�,$,/�,$#/�,$D/�,54/�,#,/�,4F&�B����� �!������+��� �/�8 ����������� ���!!�8���� +���! ����

� � �

��"���,$,/�D/�F$"�������,$,/�,./�.#"��8����3�D"�I�.�I�3�,."/�3�F$"�I�F�I�3�.#""/�� � �

��"�K������I�,$#/�8 ���� ���� ����������������! �/� ��

��,$#/�F/�F$"/���,$#/�,-/�.#"/���,$#/�5,/�4."�������,$#/�#4/�-5"� ��

�8����3�F"�I�3�,-"�I�3�5,"�I�3�#4"�I�F�I�3�F$"�I�3�.#"�I�3�4."�I�3�-5""/� ��

8������ ������E�8�� �3�E��� !�� �/�������� ����� �������� �������! �/� ��

��,$#/�,,/�.."/���,$#/��55/��44"�������,$#/�##/�--"� ��

�8����3�,,"�I�3�55"�I�3�##"�I�,,/�3�.."�I�3�44"�I�3�--"��I�,,"/� ��

8������ ������E�8�� �3�E��� !�� �/��

�"���,$D/�,,/�.$"�������,$D/�../�4"��8����3�,,"�I�,,�I�3�.."/�3�.$"�I�4�I�3�4""/�

�4&4&-"�

Page 184: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(0? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��"�� � � � � � � ���,54/�4/�4$"�������,54/�#$/�54"��8����3�4"�I�4�I�3�#$"/�3�4$"�I�,$�I�3�54""/����8 !!������ ��������,54/�,,/�--"�������,54/�55/�##"��8����3�,,"�I�3�55"�I�,,�I�3�--"�I�3�##""/�� �

� "�B����� �I�,#,/�8 ���� ���� �������! �/���,#,/�F/�-5"/���,#,/�,-/�#4"�������,#,/�5,/�51"��8����3�F"�I�3�,-"�I�3�5,"�I�F�I�3�-5"�I�3�#4"�I�3�51""/������8�����8������ �3�E�� !�� �/�� �

���"�� � � � � � � � � � ���,4F/�D/�,-"�������,4F/�,./�F"��8����3�D"�I�.�I�3�,."/�3�,-"�I�F�I�3�F""&�� �

�5"�%�� ����1#/�,..- ,3 �1# " ? 9 ��� ���������������! �&�� �

�#"�*���� 4D/�,,1- ,3 �4D " ? 9 � ��� ��� ��� ��� �� � ��� �� � ��� �� ����! �� ����/� ����,FF- ,3 �4D " ? 9 ���������� ��������������! ������&��� �� �������������!!�8���������I�,FF/��� ���� ���!������������� /� ���� 2� �� � /� I� ,/� 2� I� 5&� %������ ����� ����� ,3 �, " ,̂_ ? 9 � � ���� ,3 �5 " ^5_ ? 9 � � �� �����! ���� � ��/� 8 � ������ ����� �� � ���� �������!��� ������! � 3�E��� !�� �� ��� ��,FF/�,/�5"&� �� ���� ������� �8� ����I�,F#- ,3 �,F# " ? 9 � �8���� ���������! ����� �"/���I�,F4- ,3 �,$ " ? 9 ���� ���I�,F.- ,3 �,, " ? 9 &�0����/� -#/�1./�,5D- ,3 �-# " ? 9 � ��� ��� ��� ����� ���� �� ���� �� ����! �/�����,F5- ,3 �4D " ? 9 � ��������� ��������������! �&��� �� ���!�������8��� !�8&�

�� � � ����

� � ��I�,F5� �:� �I�,F5� �:� �I�,5D� �:� �I�1.� �:� �I�-#� ( �����//2"� �,/�F"� 3���!���������! � %���������! � %���������! � %���������! � E�� �5/�."� 3���!���������! � %���������! � %���������! � %���������! � /:�Q�2:� ��� �1�� �#/�4"� 3���!���������! � %���������! � %���������! � %���������! � E�� � �-/�-"� 3���!���������! � %���������! � %���������! � %���������! � /:�Q�2:� ��� �-1�

� � ��

��

)�� �� ���� ������/� �����I�,F,/�8 ����� �� �� �3�E��� !�� ���������� ������! �/���,F,/�-/�4"�������,45/�,5/�,$"��8����3�,F,"�I�3�,45"�I�,D/�3�-"�I�3�,5"�I�-/�3�4"�I�3�,$"�I�4"/�������� ������������ �� I� ,F$/� 8 � ��� � �8�� �����/� ��� !�/� �� � ����� ��,F$/� #/� F"� ���� ��,4#/� ./� 5,"� �8���� � � � � � �3�,F$"�I�3�,4#"�I�,F/�3�#"�I�3�."�I�#/�3�F"�I�3�5,"�I�F"/������� ���������������! ����,F$/�-/�."�������,4#/�5-/�#"��8����3�-"�I�3�5-"�I�-"&�� � � � � � �� � � � � � ��

K � !�� ������.$�� �� ������,5$�� �� ��3�E��� !�� ����������� ������! �/�8� � ���.$��,5$"�� �� ��������! ������ �8��� ��� ����! ����.$��,5$"�� �� �/������ �� �� ����: ���������4&#&�K �������!���� ����������� ������� ��� /���� !�/� �� ���������������! ����.$/�#$/�D$"�������.$/�-$/�1$"��8����3�#$"�I�3�-$"�I�4/�3�D$"�I�3�1$"�I�."/� ���� �8����������� �� � � ���� ��� /���� !�/� �� ��������,5$/�5-/�#."�������,5$/�,5/�-1"��8����3�5-"�I�3�,5"�I�-/�3�#."�I�3�-1"�I�."/����8 !!���� �� ��������,5$/� 5$/� -$"/� ��,5$/� #$/� #$"� �3�5$"� I� 3�#$"� I� 3�-$"� I� ."&� K � �!��� ������ ��� � ������ ����������� ���������! ��������� �3�E��� !�� �J��� ���� � �� � ��

��"� ��D$/�-$/�4$"�������D$/�,4/�F4"��8����3�-$"�I�3�,4"�I�4/�3�4$"�I�3�F4"�I�,$"/��� � �

���"���D$/�#./�4-"�������D$/�D/�1,"��8����3�#."�I�3�D"�I�./�3�4-"�I�3�1,"�I�D"/��� � �

����"���D$/�,1/�F5"�������D$/�-4/�-4"��8����3�,1"�I�3�-4"�I�.�I�3�F5""&�����

����4&4&#"/��� �� ��3E,��"������ ��� ��� ������������� � ���- ����� &����������� �������! �������� � ��� ��� ������ �� � ����� ������� ��� �� � � ��� 3E,��"&�)�� ������!��� ��� � ��� ��� �� � � �� 3E,��"/�8� � � �� ��� ��� ���� ���� &� 3�� � ! � ������ ���� ��� �� ��� 3E,��"� �� � ��� �� �8������� �����"� ���H���! �3 ! ���W4X&�� �� �� �� � � � � �� � � �� � � �� � � � ����

�/�.��&35���&� 6�#/����,�&��4���6�&�� 84��

Page 185: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(02 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

K ����������� ��� ���!!�8����! ���&� � � � � ��� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �

����������5�������� ���!!��� � ! � �������3E,��"&�� � � �

�����5� ���-3E,��"/���������3��"�I��&� �%�8/�

�� �]��[� ��� � �[�I����������� ���� � ������,&� �� � � �

6! ��!�/����� ����������� ��/�������� �8�� /��� � ��

�� �]��� ��� � ��I����������� ���� � ������,� ��

���[�I����� ��

�����I����E�,"[� ��

��3��"������E�,"[/�� � � �

�������������� �� ������������3��"&� ��

�� � ��� /����� ����������� ��/���������/��������/����� ���� �! ���&�U�� � � � � � ���

%�8/�8 ���� �� ��� ���!!�8���������������3E,��"/�8� � �����#���������� ���� � � �

�,"� �/��[-3E,��"/���� ������ ����!! ��� ! � ��������[�� ������ �!��� ��� ! � ������3E,��"/�� � � ��

�5"� �-3E,��"������!!�,��������E�,/�

�#"� ���Q�5�E�,"�-3E,��"������!!�,����� � ,5 /�

�-"� ����-3E,��"��� ����]��/�� � � ��

�4"� 3E,��"� �������� �����E�,"["� ���� �� ��� ! � ���/� 8� � � �����E�,"["� � ��� �� �� � ���� �� ����������� "����������������E�,"[��� �3�����������3���� �W.X"&�

� � � � � � �� � � � � �� ��

%�� �����/����3��"�I��/��� ����������� ������������� &������ ����!!�8������/������������������ �������� � ���� �/� �� �� ������� �!��� � � ������� � ���&� ����/� ����� ��� ������� /� �� �� �!!� �� � ! � ���� ��� 3E,��"� �� � �!��� ������� � ���� ��&� 0����/� ���� ���� ��+ �� ���� � ���� #/� 3E,��"��������� +��!�� �� � ���� � ���� !�/� �� ��� !�"&� ����/� �� � � <� � � ��� ���� �� �,/� �5/� P� �� ������� ������� �� �� ��� �� ���3E,��,"/�3E,��5"/�P��8������ �����28�� ����@����"&��� ����� ����� ! � ��������� �� ��3E,��"�������["�E������E�,"["��� �H���! �3 ! ���W4X"&���

0������!�������� �! ���� ! � ������3E,��"/�� ��� ����� ,���3 ��" /������� �����H���! �3 ! ���

W4X�������������������� ����� ������� �������

, 5 , 5

�� � ���� � ���� &&& � ��/

� � �� �

8� � ��,/��5/�P/����� ��� ����� �������������8�����,�Z��5�Z�P�Z��/��� �� ��

,���

��[" ,� ������������������������/3 ��"

� ��

� ��

8� � � ��["� � ����� � +��� ������������� ����� ��������� ���������������[&�%�� �����/��

,���3�3 ��"" � � � ���������- ����� J�

��8 � �/�� � � � � � � � � �� , ,��� ���3 �3�1"" 3 �-" - � � &�

Page 186: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(03 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

3�3�<� "���6* ���&� 6�#/� �� #��* ��4���6 �&�� 84������������������� ���������/�0����� ��W5X�� ��� ������'�E��� !�� �����������������! �������� �

� �� ����: ���������4&#"&�; �� ��������� ����������&����

;�8 � �/����������� ��!��/�!� ��� �3�E��� !�� ���� ����T�4&4&,/��� ����������������'E,��"������ �� !���!&�( �!!������T�-&4����6���� ��-������'E,��"����� ��� �������!!�8������

'E,��"�I�^�- ����� � �� � '��"�I��_������������ � ������,/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � �4&4&4"����

8� � /��-'E,��"����������!������� ���!!�8�����8�������������� �������� �����

;(>� ������� �� ��� ,"5� /�

� � �

;<>� ���� ����������� � � ,"5�� � � �������� � � 8����,�� � ����E�,&�

�� � � � � � � � � � ���

�� �����������4&,"����� �� �!��8������������ ������� �� ����� ��� ��� ,' �� " ? 9 ���

,' �� " ? 9 I�^�- ����� � ��'��"

�I��/�,�������,F1_&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&4&."�

���! �4&4&5���� ������� ����� ��� ���� !�� �������������! �&��� � � � � � � � � �� ���

6! ��!�/� �8�� '�E��� !�� �� ������! �� ���/�//� 2"� ���� ���:/�/:/� 2�:"� ����� �������� �� � ��!!�8����������������

�/��:- ,,' �� " ? 9 J�//�/:- ,

5' �� " ? 9 /�2/�2�:- ,#' �� " ? 9 � ������� ��,/��5/��#- ����� &�

����/����� +���! /�����������

�/��:�-^5/�._�I ,' �# " ? 9 J�//�/:�-^--/�-1/�11/�,#5/�,F._�I ,' �#5 " ? 9 /��

8 � ��� �������� �� � '�E� �� !�� �� ������! �� ��5/�-1/�,#$"� ���� ��./� --/� ,#$"&� 0����/� �������� � � � � ��/��:/�//�/:�-^54/�4$/�F4/�,$$/�,4$_�I ,' �5- " ? 9 /� 8 � ��� ����� �� � ����� ��� '�E�� !�� �� ������! �� ���54/�,4$/�4"�������F4/�,$$/�4"�8������ ������ ��������������

'��"�I�'��:"�I�5-�I�'�/"�I�'�/:"������'�2"�I�'�2�:"�I�-"&���

6�������� �/��:/�//�/:�-^1/� 5$/� 5-/� #$/� -$/� .$/� ,5$_� I ,' �,4 " ? 9 /� 8 � � � ����� �� � <��!�� ��!�������! ���.$/�.$/�.$"����'�E��� !�� ������� �������! ���5$/�-$/�,5$"[� �������

�� �������! ����-/�,./�,.$"�������,-/�.5/�,$-"/����������0����� ��W5X��������� ��� ���/��� ���� +���! ������'�E��� !�� �������8� � ��!!��� ���+����! ���� ����� � ��&�� ���� ���������� ���� /���� ��� !�8�����

�,"� ��1/�,5/�,.$"�������-$/�#./�,$-"/��

�8����'�1"�I�'�-$"�I�,4/�'�,5"�I�'�#."�I�1/�'�,.$"�I�'�,$-"�I�.-"/��

� �

�5"� ��,./�5$/�,--"�������,5-/�5-/�#5"/��

�8����'�,."�I�'�,5-"�I�#,/�'�5$"�I�'�5-"�I�,4/�'�,--"�I�'�#5"�I�.#"/��

�#"� ��#F/�4$/�D#"�������F-/�F4/�#,"��

�8����'�#F"�I�'�F-"�I�#./�'�4$"�I�'�F4"�I�5-/�'�D#"�I�'�#,"�I�#$"&� �

�/�.��&35���&� 6�#/����,�&��4���6�&�� 84��

Page 187: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(0F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�3�������49��#�%�� �? 6�:;7 5< �---- ����� 4?6�75�=������������

>�

� ����

��

� ����

��

� ����

��

,� ^,_� #4� ^D$_� 1$� ^1,/�,$1/�,.5/�,1$_�5� ^#_� #.� ^#F/�F-/�,,,_� 15� ^1#_�#� ^5/�._� #D� ^45/�,#$/�,4._� 1#� ^,.._�-� ^4/�,$_� -$� ^-,/�15/�,.-_� 1-� ^,F$_�4� ^,4_� -,� ^,5#_� 1F� ^,,./�,F-_�.� ^F/�5,_� -5� ^-#/�,5D_� 11� ^1D/�,F1_�F� ^-/�,-/�51_� -#� ^1._� D4� ^,45_�1� ^D/�,5/�,1/�#._� --� ^DD/�,,$/�,.4_� D.� ^DF_�D� ^-4_� -4� ^,,4_� ,$$� ^,$,_�,$� ^,,/�44_� -.� ^-F_� ,$5� ^,$#_�,,� ^55/�##/�.._� -F� ^D-/�,-,_� ,$.� ^,$F_�,5� ^,#/�5./�#D/�F1_� -1� ^-D/�4./�1-/�D1/�,-F/�,.1_� ,$1� ^,$D_�,#� ^D,_� -D� ^,F4_� ,,,� ^,-1_�,-� ^#4/�,$4_� 4,� ^,$5_� ,,5� ^,,#_�,4� ^1/�5$/�5-/�#$/�-$/�.$/�,5$_� 45� ^4#/�,$._� ,5$� ^,5,_�,.� ^,F/�#-/�.1/�,#._� 4#� ^,4D_� ,5-� ^,54_�,F� ^4,/�,4#_� 4-� ^,#4_� ,5.� ^,5F_�,1� ^,D/�4F/�,F,_� 44� ^,-$/�,4-_� ,5F� ^.-_�,D� ^#1/�D4_� 4.� ^F./�,,-/�,##_� ,51� ^,F5_�5$� ^-5/�F$_� 41� ^4D_� ,#$� ^,#,_�5,� ^FF_� 4D� ^,,1/�,FF_� ,#.� ^,#F_�55� ^5#_� .$� ^.,/�,55_� ,#1� ^,#D_�5#� ^-./�.D/�D5/�,#1_� .#� ^#5/�F5/�D./�,,5/�,--_� ,-1� ^,-D_�5-� ^54/�4$/�F4/�,$$/�,4$_� .-� ^1$/�,$-/�,.$_� ,4$� ^,4,_�54� ^.4_� .4� ^,-#_� ,4.� ^,4F_�5.� ^5F/�,,F_� ..� ^.F_� ,.5� ^,.#_�5F� ^4-/�.#/�,5._� .F� ^,#-_� ,..� ^,.F_�51� ^5D/�41_� .D� ^,.,_� ,.1� ^,.D_�5D� ^1F/�,-4_� F$� ^F,_� ,F5� ^,F#_�#$� ^#,/�D#/�,44_� F,� ^,-5_� ,F1� ^,FD_�#,� ^,./�.5/�,5-_� F5� ^F#/�,-._� 544� ^,51_�#5� ^--/�-1/�11/�,#5/�,F._� F1� ^FD_� � �#-� ^14/�,,D_� FD� ^,41_� � �

����

��������

����

0����� ��W5X/���� �������� +������� ������ ��� ������������������!!��������!���'�E��� !�� ��������! �����/�//�2"��������:/�/:/�2�:"� ���Q�/�Q�2�I�,1$�I��:�Q�/:�Q�2�:"�8������!� ������� ��� �� � ���� � � �,�������,F1/�� ��������������������� ��� ���!!�8������!� ���������������������! ���������

(L ;�NO> (L ;�NO> (L ;�NO>

Page 188: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(01 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

,/�,4/�5#/�#4/�-,/�-4/�4,/�4D/�.4/�.F/�F,/�F#/�FF/�FD/�15/�1#/�1./�1F/�1D/� ��

D$/�D,/�DF/�,$,/�,$5/�,$4/�,$F/�,$D/�,,#/�,,4/�,,./�,,1/�,5,/�,5#/�,54/�,5./�,5F/��

,#,/�,#-/�,#4/�,#F/�,#D/�,-,/�,-5/�,-#/�,-1/�,-D/�,4,/�,45/�,4#/�,4F/�,41/�,4D/��

,.,/�,.#/�,.-/�,../�,.F/�,.D/�,F$/�,F,/�,F5/�,F#/�,F-/�,F4/�,F./�,FF/�,F1&���

6��� �� � ���! � ��� �� � � ��� ,' �� " ? 9 /� ���! � 4&4&5/� � � ���!�C �� ��� +�!������� ����� ��� �������L� �H ��� !��� � ��!� � ����� ��� �� ��� �� �� � �8�� ������! �� ��� � � ����!��&� B��� +���! /� ��� 8 � �� � � � � � � �

��I�,F-- ,' �1F " ? 9 /��� ���� ���� �������! ������������!� ������//�2"��� ��,/�4"/��5/�-"������#/�#"&�%�� �������� ��8��� ��� ,' �, " ,̂_ ? 9 � � ���� ,' �5 " ^#_ ? 9 � � �� � �������! ���&�����/�����:�I�,F-/��� �� �� � �8�� ������! �� ���/� //� 2"� ���� ���:/�/:/� 2:"� ����� � � ����!��&� )�� �� � ��� �� ����/� ��� � � � � � �

�:�I�,,.- ,' �1F " ? 9 /� �� ��8 ������� �����/:/�2:�8����/:�Q�2:�I�.-&�%�8/�8 ������ �� �� � �� �8� ����I,.-&�������� �����������C ������� �����!��������� !�8�������

� � ��I�,.-� �:�I�,.-� �:�I�15� �:�I�-,� ( �����//�2"� �,/�,4"� 3���!���������! � %���������! � %���������! � *����� !�����������! ����� ���� �5/�,-"� 3���!���������! � %���������! � %���������! � /:�Q�2:���#-�� �#/�,#"� 3���!���������! � %���������! � %���������! � #�� !��������������! ����� ��� �-/�,5"� 3���!���������! � %���������! � %���������! � /:�Q�2:���.-�� �4/�,,"� 3���!���������! � %���������! � %���������! � /:�Q�2:���.4�� �./�,$"� 3���!���������! � %���������! � %���������! � /:�Q�2:���,.�� �F/�D"� 3���!���������! � %���������! � %���������! � /:�Q�2:���4F�� � �1/�1"� 3���!���������! � %���������! � %���������! � ��������

;�8 � �/� �����I�,.4/� 8 � ��� � �� �8�� �������!��� '�E��� !�� �� ������! �/� ��� !�/� ��,.4/�F/�1"� ������1,/�5,/�.$"&����

0�!�� ��!�������� ���!� ������4&4&F"��������! �4&4&5�� � �!���� ���!!�8������������

�,"��� ����� ���������� �������������,1$�� �� ��������������! ����� ��!!�� !�����������! ����� ��/�8���� �� � + ������ ��� #/� -F/� .-/� ���� ,$#&� B��� �� � !���� ��� � �� �/�8 ���� � �� � ��!!�8���� +���! ����

��"���-F/�F./�4F"�������-F/�,,-/�,D"��8����'�F."�I�4.�I�'�,,-"/�'�4F"�I�,1�I�'�,D""/��

��"���.-/�,5/�,$-"�������.-/�#./�1$"��8����'�,5"�I�1�I�'�#."/�'�,$-"�I�.-�I�'�1$""/��

�"���,$#/�,,/�.."�������,$#/�44/�55"��8����'�,,"�I�,$�I�'�44"/�'�.."�I�,,�I�'�55""&��

�5"� ����������� �� � �� �/� ��� ����!� ��� ������ ��� ��� ��� �� � ����! �� ����/� �!!� ��� ����!� ����� �� ���� ��������� ,' �� " ? 9 � �!��� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �� ����! �� ����/� 8���� �� � + ������ ���,-4- ,' �5D " ? 9 � �1F- ,' �5D " ? 9 � �� ��������� ��������������! ������"/�����,-.- ,' �F5 " ? 9 ��F#- ,' �F5 " ? 9 � �� ��������� ��������������! ������"&������������ ����/�8 ������ �������� ���!!�8����������������! �����

��"���,-4/�,-/�5,"�������,-4/�51/�F"��8����'�,-"�I�F�I�'�51"/�'�5,"�I�.�I�'�F""/��

��"���,-./�-/�#$"�������,-./�,-/�5$"��8����'�-"�I�F�I�'�,-"/�'�#$"�I�,4�I�'�5$""&��

�#"��� ���!������ ����� ,' �5F " ? 9 � �������������� ��������������! ����������,5.&�

�4&4&F"�

�/�.��&35���&� 6�#/����,�&��4���6�&�� 84��

Page 189: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(00 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

K �� ��� ������.$�� �� �/�,5$�� �� �������������� ���'�E��� !�� �����������������! �/� ����� � � �� � ���: ��������� 4&#� �8� � � �� .$� �,5$"� � �� �� ������! � ��� �� �8��� � �� � ���! � ��� .$��,5$"�� �� �"&�K ���� ��������� ���!!�8�����8�����������'�E��� !�� ��.$�� �� ��������! ����� ��

�,"� ��1/�.$/�,,5"�������5-/�.$/�D."��8����'�1"�I�'�5-"�I�,4/�'�,,5"�I�'�D."�I�.#"/�� � �

� �

�5"� ��#5/�.$/�11"�������F5/�.$/�-1"��8����'�#5"�I�'�F5"�I�.#/�'�11"�I�'�-1"�I�#5"&��

%�� �����/������ �� ���� +���! /��!!��� ���+����! ���� ���� &����

0�������� �,5$�� �� ��'�E��� !�� ��������! �/�8 ���� ���������!���� �����/���� !�/��� �������! �� � � ���5$/� �-$/� �,5$"� ������#$/� �#$/� �,5$"� �8���� �'�5$"� �I�� � �'�#$"�� �I�� � �'�-$"�� �I�� � �'�,5$"�� �I�� �,4"/�8��! � ���� � ������������������'�E��� !�� ���������� ���������! ��8 ����������&�������

K ��!���!�� �������������!������������'�E��� !�� ��������! ��8� � ��!!��� ���+����! ���� ���� &������������������ �� ���������!��� ������ /�8 ���� ��� ���!!�8��������������

��"� ��F5/�5$/�11"/���F5/�.$/�-1"��8����'�5$"�I�,4�I�'�.$"/�'�11"�I�#5�I�'�-1""/��

���"� ��11/�5$/�F5"/���11/�.$/�#5"��8����'�5$"�I�,4�I�'�.$"/�'�F5"�I�.#�I�'�#5""/��

����"���4-/�-5/�1-"/���4-/�F$/�4."��8����'�-5"�I�5$�I�'�F$"/�'�1-"�I�-1�I�'�4.""/��

���"���F$/�55/�11"/���F$/�../�--"��8����'�55"�I�,,�I�'�.."/�'�11"�I�#5�I�'�--""/��

��"� ��1$/�54/�F4"/���1$/�4$/�4$"��8����'�54"�I�5-�I�'�4$"�I�'�F4""/��

���"���1,/�,,/�11"/���1,/�44/�--"��8�����'�,,"�I�,$�I�'�44"/�'�11"�I�#5�I�'�--""&�����

�������� �� ����� ��� � �������� �!����������������� �3�E��� !�� �����8 !!/���� ����

3�-5"�I�F�I�3�F$"�I�3�1-"�I�3�4."/�3�55"�I�,,�I�3�.."�I�3�11"�I�3�--"/����

3�54"�I�,$�I�3�4$"�I�3�F4"/�3�,,"�I�,,�I�3�44"�I�3�11"�I�3�--"&��������

������ ����� �� � ���/� 8 � !�� �� ���� '�E� � !�� �� ������ ��� ������! �� ��� �� �� � ���������!����������������� �I� ��:&�)���� ����� ��!� �� ���4D����������/����8����54��������� �3�E��� !�� �����8 !!&�)���� �������8��������� �I� ��:��������� ��� ���!!�8������!� ���������������������

,/�5/�#/�./�F/�1/�,#/�,-/�,4/�,./�,F/�,1/�5,/�55/�5#/�5-/�5D/�#,/�#-/�#4/�#1/�#D/�-$/��

-,/�-#/�-4/�-./�-D/�4$/�4,/�45/�4#/�4./�4F/�41/�4D/�.,/�.5/�.4/�../�.F/�.D/�F#/�F-/��

F./�FF/�F1/�FD/�15/�1#/�1-/�14/�1./�1F/�1D/�D$/�D,/�D5/�D#/�D4/�D./�DF/�D1/�DD/�,$,/��

,$5/�,$-/�,$4/�,$./�,$F/�,$D/�,,$/�,,,/�,,#/�,,-/�,,4/�,,./�,,F/�,,1/�,,D/�,5,/����

,55/�,5#/�,5-/�,54/�,5./�,5F/�,##/�,#-/�,#4/�,-,/�,-5/�,-#/�,--/�,-F/�,-1/� ����

,-D/�,4$/�,4,/�,45/�,4#/�,44/�,4./�,4F/�,41/�,4D/�,.$/�,.,/�,.5/�,.#/�,.-/� ����

,.4/�,../�,.F/�,.1/�,.D/�,F$/�,F,/�,F5/�,F#/�,F-/�,F4/�,F./�,FF/�,F1&����

3���!���� ��������3�E��� !�� �����������������! ������ ���� ���� ����������������� �I���:"�������,$F5������/�8���� �� ���+��������� �����-.�������8� ���� �I� ��:� �I� �#F&��� �� �������8�� ����� �� ����� � ��� �I� ��:��������� ��� ���!!�8������!� �������������������

41/�F,/�F#/�FF/�1#/�1./�D,/�DF/�,$F/�,,,/�,,#/�,,1/�,5,/�,5#/�,5F/�,#5/�,#F/� ���

,#D/�,-,/�,-5/�,--/�,-F/�,-1/�,-D/�,4,/�,4#/�,4-/�,4./�,41/�,4D/�,.,/�,.5/��

,.#/�,.4/�,../�,.F/�,.1/�,.D/�,F$/�,F,/�,F5/�,F#/�,F-/�,F4/�,F./�,FF/�,F1&�� � � � � ��

Page 190: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(0C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

3�F� �*�� ,��&%���* � � 6 ����&�� � � � �� � � �� � � �� � � � ����

����

����

����

����

����

�� �� ��4&5&,������� �� ��4&5&5� ���T�4&5����� � � �� ��� !�� �� � +��� � ������������� ������� �����!� �����.$�� �� �� ������! �� ������� �3�E��� !�� ������'�E��� !�� �/� �� ���� ���������� ��!��� ����� ��� ������ �,5$�� �� ��������! ���� ���� ������� �� ��4&#&,������� �� ��4&#&5�� �� ��� !�����T�4&#/�8��! ��� �� ��4&-&,������� �� ��4&-&5�� �� ��� !�����T�4&-�� ��! ���� ��� ��8������ ��������� ���������! �&�;�8 � �/���� �����/��� ���!� ������/�������/����8 !!������ ���!� ���:/��:/�����:������ �� ! ��������������������! �����/��/�"��������:/��:/�:"��� �<��� �!��� /�������!��!�������� � �� � ���'�E�� !�� �� ������! �&������ ��� ���������! � ���8 �8���� ��� ���� � �� � ��������� ���� �� �����!� �� ��� ������ ��� �������!��� .$� � �� �/� ,5$� � �� �� ���� �������� ��� ������! �� ����� �� � � � � � �3�E��� !�� �����'�E��� !�� �&� �� � � � � � ����� � � � � �

��� ���� � � � ����� �� ����/� ��� ��� ������! � ��� ����� ������ ��� �������!��� .$� � �� �� ����� ,5$�� �� �"�������! �����/��/�"��������:/��:/�:"�������� �3�E��� !�� �����'�E��� !�� �/�8�������!! ����!� ������/��/�/������:/��:/�:&����������������������������! �������!!���8���������������������� ���������"/�8 ���� ����!�������� ���!������������ �:��������� � <���������4&5&,"������4&#&,"���� �!�� !�&���� � � � � � �� � � � �� �

B����/�8 ������ ���� �:��������� � <��������� � � �

-�5�I��5�E��"5�Q�#�5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �4&5&,"��� � � �

*��� ����4&5&,/��� �����! ��������������� ����������������!���.$�� �� ��������! ����� <����! ������ �� � ����! �� ��� �������� �����E�������!"� ��� � �� ��� ��!������� ��� �� � :��������� � <��������4&5&,"&�� ����4&,&-�������� ��������� ���!������������ � <��������4&5&,"����������� � �� ��������&�)� �8 ���������������������� � �� �����!�����������4&5&,"/�8 ����������!�� �8������ ����� ��������������� ������! �� ������� �3�E��� !�� �����'�E��� !�� �&�K � �!!������ � ���8���� �� �� !�������� +���! �� !�8&�� � � � � ���� �

/0��)�������5��8����� � �� �����!������������ �:��������� � <��������4&5&,"��� ��� � �

;(>��,�I�F/��,�I�#/�,�I�1/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&5&5"��� � � �

;<>��5�I�F/��5�I�4/�5�I�1&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4&5&#"�� ��

�������� � ��8����!������/�8 ����������� �����!�������������!��"����������.$�� �� ��������! �/���F/�#/�1"�������F/�4/�1"/�8� � ����,���������� � �&�%�8/����8 ����� ����������� ��� �

'�#"�I�'�4"/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,"��� �

�� �� �� � ��� ��������� ����� ��� ������! �� � �� �� '� E� � !�� �&� 6�������� � I� 1� ���� ����� � � � � � �'�#"�I�'�5-"�I�,4�I�'�-$"�I�'�4""/�8 � � �� �� � ����� ��� .$� � �� �� ������! ����4./�5-/�.-"� ������4./� -$/� .-"/� 8���� �� � '� E� � !�� �&� �� � ��� � �I� ,-� ��� �� �� � ���� ����� ��� ������! �� � � � � � ���D1/�-5/�,,5"� ���� ��D1/�F$/�,,5"� ���� � '�-5"�I�5$�I�'�F$""&� 0��� �I�##� ��� �� �� � ������ ��������� � '�DD"�I�--�I�'�,.4""&�K � ��� ���!!� � �� ��� /� � ��� �� ���� � ��� ��������� ��� ��I��5D/��#,��������4&5&-"������4&5&4"�8������I�,"/����� +���! /����� ���� �������������I�#./�45&�� � ��

����/� ���������������!�������������� � �� �����!������������ �:��������� � <��������4&5&,"/� �� �����! �������������������"������������!��"�.$�� �� ��'�E��� !�� ��������! ��� �� ������� �����! ��������������� ���!�����������,"&�3�/��� �<� ���������� ����;�8����������� ���!�����������,"L� �

�/�.��&35���&� 6�#/����,�&��4���6�&�� 84��

Page 191: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(C= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

%�� � ����/� ��� � 3�-5"�I�F�I�3�F$"/� �� � ����� ��� ������! �� ��D1/�-5/�,,5"� ���� ��D1/�F$/�,,5"� ��� � � � � � �3�E�� !�� �����8 !!&��������/���D1/�-5/�,,5"�������D1/�F$/�,,5"��� ������3�E��� !�� ������'�E��� !�� �&�K������ ���!��������4&5&5"������4&5&#"�����4&5&,"/�8 ��������������� ���������!��� �����8 !!����

6�� ��,"���0� ��� � ���� � ��������,/�8�������,��/�,���,"/�����������

3�F"�I�3�F,"/�3�#"�I�3�#,"/�3�1"�I�3�1,"L� �� � � � � � � � � � � � �

6�� ��5"���0� ��� � ���� � ��������,/�8�������,��/�,���,"/�����������

3�F"�I�3�F,"/�3�4"�I�3�4,"/�3�1"�I�3�1,"L�� � � � � � �

6�� ��#"���0� ��� � ���� � ��������,��/�,���,"/�����������

3�F"�I�3�F,"/�3�#"�I�3�4,"/�3�1"�I�3�1,"L��� � � � � � �

��� 6�� � �5"/� �������� �I�5� ���� ,�I�5�#�I�./� 8 � � �� �� � ����� ��� ������! �� ��F/� � 4/� � 1"� ���� � � � � � � ���5,/�,4/�5-"/�8������ �3�E��� !�� ���8����3�F"�I�F�I�3�5,"/�3�4"�I�4�I�3�,4"/�3�1"�I�-�I�3�5-""&��

��� 6�� � �#"/� �������� �I�5�4�I�,$� ���� ,�I�5/� 8 � � �� �� � ����� ��� ������! �� ��F$/�#$/�1$"� ���� ���,-/�,$/�,."/�8������ �3�E��� !�� ���8����3�F$"�I�F�I�3�,-"/�3�#$"�I�4�I�3�,$"/�3�1$"�I�.�I�3�,.""&���

����� ��� ������ �'�E��� !�� ��������! �/��� ���� ��������!��� ���� ���

6�� ���"���0� ��� � ���� � ��������,/�8�������,��/�,���,"/�����������

'�F"�I�'�F,"/�'�#"�I�'�#,"/�'�1"�I�'�1,"L� ��� � � � � �

6�� ����"���0� ��� � ���� � ��������,/�8�������,��/�,���,"/�����������

'�F"�I�'�F,"/�'�4"�I�'�4,"/�'�1"�I�'�1,"L��� � � � � �

6�� �����"���0� ��� � ���� � ��������,��/�,���,"/�����������

'�F"�I�'�F,"/�'�#"�I�'�4,"/�'�1"�I�'�1,"L� �� � � � � � �

�� � � �� �� �� ���� � ������!�� ��� � �!�8���&� 6�� � ����"� 8���� �I�,-/� ,�I�-5/� ��� �� �� � ����� ��� � � � �'�E��� !�� ��������! ����D1/�-5/�,,5"�������5D-/�5,$/�##."/���� ��� �

'�D1"�I�-1�I�'�5D-"/�'�-5"�I�5$�I�'�5,$"/�'�,,5"�I�.#�I�'�##."&�4�� � � � � � �� � � � ��

����

/0��)�������5�3�� � ���

;(>� �#�I�,#/��#�I�F/�#�I�,4/�;<>��-�I�,#/��-�I�1/�-�I�,4&� ���

�� ��8����� � �� �����!������������ �:��������� � <��������4&5&,"�������� ���!��� �� ���� �"/��� ��8�� ������! �� ��,#/�F/�,4"� ���� ��,#/�1/�,4"� �� � .$� � �� �� '�E�� !�� �� ��� � ��� ���� ����� �'�F"� I� '�1"&� 3�� /� ���� � I� F/� '�-D"� I� -1� I� '�4."/� 8 � � �� �� � � ��� �� ����� ��� ������! �� � � � � � � ���D,/�-D/�,$4"�������D,/�4./�,$4"&�6���������I�,,/�8 �� ���� ���������������! ����,-#/�FF/�,.4"�������,-#/�11/�,.4"/�8������ �3�E��� !�� �&�4������

/0��)�������5K ���8������ ���� ���!!�8�������������

;(>� �,�I�F/��,�I�#/�,�I�1/�;<>��-�I�,#/��-�I�F/�-�I�,4&� � ���

*��?+���! �4&.&,�����?+���! �4&.&5/� ��� ����� ��!��������� �� �:��������� � <������� �4&5&,"&�%�8/������� �� � � �8����!������/�8 ������������������.$�� �� �� ������! �� ������� �3�E��� !�� �&�)� ���������������,,D/�4,/�,#."�������55,/�,,D/�544"/���� ��� �

3�,,D"�I�3�F���,F"�I�,F�I�3�,#���,F"�I�3�55,"/� �� � �

3�4,"�I�3�#���,F"�I�,F�I�3�F���,F"�I�3�,,D"/��

3�,#."�I�3�1���,F"�I�,F�I�3�,4���,F"�I�3�544"&�4�

Page 192: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(C( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

% +�/�8 ������ �������� ����������� �:��������� � <���������

-�5�I��5�Q��"5�Q�#�5&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �4&,&5"�� � � � � � �� � � � � � �

0�!���������! �4&,&5����8������/���������� �������!�������������������,5$�� �� ��������! ��������� �3�E��� !�� ��7�'�E��� !�� �/� � ��8���� �� � �8����� � �� �����!���������� �� �:��������� � <��������4&,&5"���� ��������������I�-D&�B������ �� ��4&#&,�8�������I��,F/�8 �� ���� ���������,5$�� �� ��������! �� ��1##/� 5F5/� ..#"� ���� ��1##/� #4F/� 4D4"� ����� �� � 3�E��� !�� �&� �� � ��!!�8���� +���! ��!!������ �� ��8� ��� �������� ������ ��� ,5$� � �� �� 3�E�� !�� �� ������! �/� ������ �� � ��!������� ����4&,&5"&�� � � � � � ��� � � � � � �

/0��)�������5��8����� � �� �����!������������ �:��������� � <��������4&,&5"��� � �� �

;(>��,�I�F/��,�I�#/�,�I�4/�;<>��5�I�,#/��5�I�F/�5�I�1&� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �

�������� � ��8����!������/�8 ���������������������������!��"�,5$�� �� ��������! �/���F/�#/�4"�������,#,/�F,/�1,"/�8� � ����,�����,���,��� ���� � ��&�%�8/����8 ����� ������,���������� ����

3�F"�I�3�,#,"/�3�#"�I�3�F,"/�3�4"�I�3�1,"/� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� �

�� �� �� � ��� ��������� ����� ��� ������! �� � �� �� 3�E��� !�� �&�6�������� ��I� �,F/� ,��I��,F� ���� �����3�F"�I �3�,,D"�I �,F �I �3�55,"�I �3�,#,"/� 3�#"�I �3�4,"�I �,F �I �3�,,D"�I �3�F,"/� 3�4"�I �3�14"�I �F/� � � � �,F� �I� �3�,#."��I� �3�1,""/�8 �� ���� ���������,5$�� �� ��������! ����,,D/��4,/��14"�������55,/��,,D/�,#."/�8���� �� � 3�E��� !�� �&�K � ��� ��8� �������� J� ��� ���/� ���� �� �� ��� �� � ����!�� ��� ����!���������! ����,,D�/�4,�/�14�"/�,�������./� ���3�E��� !�� �� ��� ������ �� �����!����� ����!��� ������! ����55,�/�,,D�/�,#.�"/�,�������.&�4�� � � � � � ��� � � � � � �

�����������5������������������������������!��"�,5$�� �� ��3�E��� !�� ��������! �/��������� ����� � �� ��"� ��!������� �,#/��F/� �1"� ���� �-D/��,./��#D"� ��� �� �:��������� � <������� �4&,&5"/� 8 ������ �� �� � ������! �� ��,#/�F/�1"� ���� ��-D,/�,.,/�#D,"/� 8� � � ���,� ���� ,���,� �� ���� � ��� ���� �����3�,#"�I�3�-D,"/�3�F"�I�3�,.,"/�3�1"�I�3�#D,"&�6���������I�,�I�,F/�8 �� ���� �� ��� ���������55,/�,,D/�,#."�������1##/�5F5/�..#"&�;�8 � �/����8 ���� �������� ���� ����� �� ���� ������ �� � �8��������! �"����� ����� ���� �������� ��/� �� � ������! �����/��/�"��������:/��:/�:"��� �3�E��� !�� �����3��"� <��!�������� ����3��:"/�3��:"�����3�:"/�3��"� <��!�������� ���� �� �� �������� �8�/�����3�"� <��!�� �� � �������� "/� �� ��8 ����� ������� ���������� � � � � � �3�E��� !�� �� ������! �� ����� ��,#/�F/� 1"� ���� ��-D,/� ,.,/� #D,"� ��� ��!!�8�� �� K � ���� � � � � ��I�55���F�����,�I�5&��� �� ��!���������/��!������������0����� ��W5X��������� ��� ���/���� � � � ���#.-/�,D./�55-"�������D1/�#5/�F1"/�8� � � �

�� ��

3��"�I�3�#.-"�I�,#�I�3�F1"�I�3�:"/�3��"�I�3�,D."�I�,-�I�3�D1"�I�3��:"/�� � ��

3�"�I�3�55-"�I�1�I�3�#5"�I�3��:"&�� ����

�� � ����������� ��� �� ����� ��� ,5$� � �� �� '�E��� !�� �� ������! �/� ������ �� � ��!������� ��� �� �:��������� � <������� �4&,&5"/� ��� ���� ��� � ������!�/� ������!��!�� � ��� � ��!�� � ��� !���! � �����8���������� ���!� �����'��"&�K ��!!������ �� !�8���8����������/��!������������0����� ��W5X/����� ������� ��������� ���!������������ �:��������� � <��������4&,&5"&�

� ���

/0��)�� ����� 5� �� � ����� ��� ,5$� � �� �� ������! �� ��,#/�F/�1"� ������-D,/�,.,/�#D,"������� � �����( ����4&.&,"��� �'�E��� !�� �����8 ����� ��I�5-�����,�I�,5&��� �� ��!���������������#,5/�,.1/�,D5"�������411/�,D5/�-.1"/�8����'�#,5"�I�,-#�I�'�-.1"/�'�,.1"�I�-1�I�'�411"&�%�� �����/����������� /��� ���� ������� ���� ������� ��8��������! ��������� ���� �&�4�

�/�.��&35���&� 6�#/����,�&��4���6�&�� 84��

Page 193: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(C< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

K �!�� ������!�������� ������� �����8������ ���!!�8������ ������! ���������@ ��� �&� �� � � � � � �� � � � � �

$#�%���������5�������������! ������������ � ��!� +�!���������!�������!!��� ���!������������ �:��������� � <�������-�5�I��5�E��"5�Q�#�5L�

� � � � � � �� � � � �

���! � 4&,&,� ���8�� ����/� ���� ,�������,$$/� �� � ��!������� ��� �� � <������� -�5�I��5�E��"5�Q�#�5� +�����8� ���� ��� ������ ���� �� � �����#��Q�,&�%�� � ����/� ��� �� ��!���������-�5�I��5�E��"5�Q�#�5� �����8�/� �� �� �� � ���� ��� � �� ��� ��!������ ��� �� � <������� ��� �!��� ��8�/� ���� ���� 4&,&-J���� �� �/������ ���! �����������������!����������� �:��������� � <�������-�5�I��5�Q��"5�Q�#�5����8 !!/��������� ����� ����4&,&.&�� � � � � � ��

$#�%���� ����� 5� ��� ��� ������! � ��� ����� �� ����� ��� �� ������ ��� �� � ���� �� ��� ������ ����������!���������! ��������� �3�E��� !�� ��7�'�E��� !�� �/������ �� �� ���� �: ���������4&,L�

� � � � � �� �

$#�%���� ����� 5� ��� ��� ������! � ��� ����� �� ����� ��� �� ������ ��� �� � ���� �� ��� ������ ����������!���.$�� �� ��������! ��������� �3�E��� !�� ��7�'�E��� !�� �/������ �� �� ����: ���������4&,L�

� � � � � � � � � � �� � � � � � �

$#�%���������5�������������! ���������� �� ����� �������������� ����� ����� ! � ��������� �� �� ,3 �� " ? 9 L�

��

���!�"�#�������5�� � ����������������������!���D$�� �� ��������! ��������� �'�E��� !�� �/������ �� �� ����: ���������4&#&�

��

$#�%���� ����� 5� A�� �� �� ������! � ���/��/�"/� 8���� ��� �� � ��������� ����� �� ����!��� ������! � � ����:/��:/��:"� +�����������������/��/�"��������:/��:/��:"��� �3�E�� !�� ��7�'�E�� !�� �L�

���

A�� ���� ������2���! ��������! ���#/�-/�4"/�8 ���������������!���������! /���� !�/���./�1/�,$"/����� �������#/�-/�4"�������./�1/�,$"��� �3�E�� !�� �J����/� �� � � ������ ������! �8���� �������!������� �'�E�� !�� �������#/�-/�4"&�;�8 � �/��� �������E����! ��������! ����,1/�1$/�15"�������#./�,.$/�,.-"��� �'�E�� !�� �&�%�� �����/��� �������! ����,1/�1$/�15"�������#./�,.$/�,.-"��� �����3�E�� !�� �&�����

���$�&� #�����

W,X�3�����/�>&�(&�3&/�3�������� �%��� ��( !�� ��������! �/�*�����'�"��+�����%,�#����/�((/�,$F�E�,$D/�5$$$&�

�� �

W5X�0����� �/�6���! �/�3�!����������3�� �3����������! ������3�������� �%��� ��( !�� ��������! �/�*�����'�"��+�����%,�#����/�((/�,,$�E�,,/�5$$$&�

�� �

W#X�� � �;����/� A&;&� ����K�����/� ?& &/� 0�� ������������ ��� �� � �� ���� ��� %��� ��/� 4��� ?������/�)+�����3� � ����!�������/�6!�� ������� ��/�)+����/��>&�5$$5&�

�� �

W-X�A����/�0&�0&/��� ��� �������%��� ��/�0�������������/�:�� �����!�������/���&/�5$$,&��� � � �

W4X� � � �H���! � 3 ! ��/� )�� �� � %�� ���!� B������� ,���3 /� *�����'�"�� +�����% ,�#����/� ((/� � �

5,#�E�5,-/�5$$$&���

W.X�3������/�0&�����3���� /�:&K&/�����! �����%��� ���� ���/�*�����'�"��1#�"����6&���*����%7/�P*4�2)3/�-,/�,DD-&�

WFX� �@�����/�0&�0&�>&/�)��3�� ��� ����3�������� �B�������( !�� ��������! �/�*"������-�.��/2;?>/�D4�E�,$4/�5$$1&� �

Page 194: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(C? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�""����G��(5P�4���*$L; >$*& �Q�(;(>3===�

����

��,4���(�(5P�4���*$L; >$*& Q(;(>?3< L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >,� ,� -4� D� 1D� 11� ,##� 4.� ,FF� 4D� 55,� 4,� 5.4� ,$4� #$D� ,$5�5� #� -.� 5#� D$� #4� ,#-� .F� ,F1� 11� 555� #.� 5..� 4.� #,$� ,5-�#� 5� -F� -.� D,� ,#� ,#4� 4-� ,FD� ,F1� 55#� 555� 5.F� 1D� #,,� #,$�-� F� -1� #5� D5� 5#� ,#.� ,.� ,1$� 1$� 55-� .#� 5.1� 5$$� #,5� ,-#�4� -� -D� -1� D#� #$� ,#F� ,#.� ,1,� ,1$� 554� DD� 5.D� 5.1� #,#� #,5�.� #� 4$� 5-� D-� -F� ,#1� 5#� ,15� D,� 55.� ,,5� 5F$� 1$� #,-� ,4.�F� .� 4,� ,F� D4� ,D� ,#D� ,#1� ,1#� .$� 55F� 55.� 5F,� 5F$� #,4� #4�1� ,4� 45� #D� D.� .#� ,-$� 44� ,1-� ,.$� 551� 4.� 5F5� 544� #,.� FD�D� 1� 4#� 45� DF� D.� ,-,� -F� ,14� F-� 55D� 551� 5F#� FF� #,F� #,.�,$� -� 4-� 5F� D1� -1� ,-5� F,� ,1.� D5� 5#$� ,,4� 5F-� ,#.� #,1� ,4D�,,� ,$� 44� ,$� DD� --� ,-#� .4� ,1F� ##� 5#,� 5,� 5F4� DD� #,D� 1F�,5� 1� 4.� -1� ,$$� 5-� ,--� .#� ,11� -F� 5#5� ,--� 5F.� 5#� #5$� 544�,#� ,5� 4F� ,1� ,$,� ,$$� ,-4� 5D� ,1D� 5F� 5##� 5#5� 5FF� 5F.� #5,� ,$F�,-� F� 41� 51� ,$5� 4,� ,-.� F5� ,D$� ,D� 5#-� ,,.� 5F1� ,#D� #55� D,�,4� 4� 4D� 41� ,$#� ,$5� ,-F� -1� ,D,� ,D$� 5#4� D-� 5FD� .5� #5#� ,45�,.� #,� .$� ,4� ,$-� .-� ,-1� ,,,� ,D5� ,51� 5#.� ,F.� 51$� ,.$� #5-� 1$�,F� ,.� .,� .$� ,$4� ,-� ,-D� ,-1� ,D#� ,D5� 5#F� F1� 51,� 51$� #54� 54�,1� 1� .5� #,� ,$.� 45� ,4$� 5-� ,D-� D.� 5#1� 1-� 515� -F� #5.� ,.#�,D� ,1� .#� 5F� ,$F� ,$.� ,4,� ,4$� ,D4� #D� 5#D� 5#1� 51#� 515� #5F� ,$1�5$� ,4� .-� ,5F� ,$1� 1$� ,45� D4� ,D.� -1� 5-$� D4� 51-� F,� #51� 51F�5,� .� .4� 54� ,$D� ,$1� ,4#� ,F� ,DF� ,D.� 5-,� 5-$� 514� F4� #5D� ,-$�55� ,,� ..� ,,� ,,$� --� ,4-� 44� ,D1� --� 5-5� ,5$� 51.� ,-#� ##$� --�5#� 55� .F� ..� ,,,� #.� ,44� #$� ,DD� ,D1� 5-#� 5-5� 51F� -,� ##,� ##$�5-� ,4� .1� ,.� ,,5� .#� ,4.� #D� 5$$� ,F4� 5--� ,1#� 511� .#� ##5� 5-1�54� 5-� .D� 5#� ,,#� ,,5� ,4F� ,4.� 5$,� ..� 5-4� -D� 51D� 511� ###� #.�5.� ,5� F$� 5$� ,,-� 4.� ,41� FD� 5$5� ,$$� 5-.� ,5#� 5D$� ,,4� ##-� ,.F�5F� 5.� F,� F$� ,,4� -4� ,4D� 4#� 5$#� 51� 5-F� #1� 5D,� D.� ##4� ,#-�51� F� F5� .#� ,,.� 1F� ,.$� .-� 5$-� ,,D� 5-1� #,� 5D5� F5� ##.� .#�5D� 51� F#� F5� ,,F� 5.� ,.,� .D� 5$4� -$� 5-D� 1#� 5D#� 5D5� ##F� ##.�#$� ,4� F-� #.� ,,1� 4D� ,.5� 1$� 5$.� ,$#� 54$� ,5-� 5D-� -1� ##1� ,.1�#,� #$� F4� 5-� ,,D� #-� ,.#� ,.5� 5$F� -4� 54,� 54$� 5D4� 4D� ##D� ,,#�#5� .#� F.� 4.� ,5$� ,4� ,.-� -$� 5$1� .-� 545� .#� 5D.� ,,,� #-$� ,,D�##� ,,� FF� 5,� ,5,� ,5$� ,.4� --� 5$D� F.� 54#� 55� 5DF� 4-� #-,� ,4-�#-� ,.� F1� ,5� ,55� .$� ,..� 1#� 5,$� 5$� 54-� ,5F� 5D1� ,-1� #-5� ,45�#4� ,-� FD� F1� ,5#� -,� ,.F� ,..� 5,,� 5,$� 544� 4$� 5DD� D,� #-#� #-5�#.� 1� 1$� .-� ,5-� #,� ,.1� -1� 5,5� ,4D� 54.� 4,,� #$$� 5-� #--� ,51�#F� #.� 1,� 1$� ,54� ,5-� ,.D� ,.1� 5,#� F,� 54F� 54.� #$,� -5� #-4� -4�#1� ,D� 15� -$� ,5.� 5F� ,F$� 1-� 5,-� ,$F� 541� ,51� #$5� ,4,� #-.� ,F5�#D� ,5� 1#� 15� ,5F� ,5.� ,F,� ,1� 5,4� 14� 54D� ,,,� #$#� ,$,� #-F� #-.�-$� ,4� 1-� -1� ,51� 544� ,F5� ,51� 5,.� 1$� 5.$� #D� #$-� D4� #-1� 1F�-,� -$� 14� #-� ,5D� -5� ,F#� ,F5� 5,F� .5� 5.,� ,,.� #$4� .$� #-D� #-1�-5� 5$� 1.� -#� ,#$� #D� ,F-� 1F� 5,1� ,$1� 5.5� ,#,� #$.� ,#4� #4$� ,F4�-#� -5� 1F� 5D� ,#,� ,#$� ,F4� -D� 5,D� F5� 5.#� 5.5� #$F� #$.� #4,� 5.�--� #5� 11� #5� ,#5� #5� ,F.� #5� 55$� 44� 5.-� #5� #$1� 44� #45� #,D�

�..� 6�A��(5P�4���*$L; >

Page 195: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(C2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��,4���(�<5P�4���*$L; >$*& Q?3?;(>1<= L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >#4#� #45� #DD� 4.� --4� 1D� -D,� -D$� 4#F� ,FD� 41#� 5.-� .5D� 55,� .F4� #5-�#4-� 4D� -$$� 55-� --.� 55#� -D5� 51F� 4#1� 5.1� 41-� 4,,� .#$� #4� .F.� ,.1�#44� F$� -$,� -$$� --F� ,-D� -D#� 5$#� 4#D� D1� 414� D$� .#,� .#$� .FF� .F.�#4.� 11� -$5� 5$$� --1� #1-� -D-� 5$1� 4-$� 1$� 41.� 5D5� .#5� FD� .F1� ##D�#4F� 1-� -$#� ,44� --D� --1� -D4� --� 4-,� 4-$� 41F� 41.� .##� 5,$� .FD� DF�#41� ,FD� -$-� #$#� -4$� DD� -D.� #,� 4-5� 5F,� 411� -1� .#-� #,.� .1$� 544�#4D� #41� -$4� 1$� -4,� ,.-� -DF� F$� 4-#� ,1$� 41D� 5-F� .#4� 54-� .1,� 55F�#.$� 1$� -$.� 51� -45� ,,5� -D1� 1#� 4--� 544� 4D$� 4D� .#.� ,4D� .15� #-$�#.,� #.$� -$F� ,,$� -4#� ,4$� -DD� -D1� 4-4� ,$D� 4D,� ,DF� .#F� ,D4� .1#� .15�#.5� ,1$� -$1� 544� -4-� 55F� 4$$� #F4� 4-.� ,$-� 4D5� -1$� .#1� 1F� .1-� ,45�#.#� ,5$� -$D� -$1� -44� D$� 4$,� ,.F� 4-F� 4-.� 4D#� 4D5� .#D� F,� .14� 5F-�#.-� ,$-� -,$� -$� -4.� D4� 4$5� 54,� 4-1� ,#.� 4D-� 5D.� .-$� 544� .1.� #-#�#.4� ,-4� -,,� ,#F� -4F� -4.� 4$#� 4$5� 4-D� 5-#� 4D4� #-� .-,� .-$� .1F� 551�#..� .$� -,5� ,$#� -41� 551� 4$-� .#� 44$� DD� 4D.� --F� .-5� ,$F� .11� ,51�#.F� #..� -,#� ,,1� -4D� ,#4� 4$4� ,$$� 44,� 4F� 4DF� ,D1� .-#� .-5� .1D� 45�#.1� ,.$� -,-� 5$F� -.$� ,.$� 4$.� 545� 445� 5$F� 4D1� D,� .--� ,.$� .D$� 5F4�#.D� 1,� -,4� ,.4� -.,� -.$� 4$F� ,.1� 44#� 5#F� 4DD� 4D1� .-4� ,5D� .D,� .D$�#F$� ,1-� -,.� .-� -.5� ,#5� 4$1� ,5F� 44-� 5F.� .$$� 55-� .-.� ,45� .D5� 4,D�#F,� ,$4� -,F� ,#1� -.#� -.5� 4$D� 4$1� 444� F-� .$,� .$$� .-F� .-.� .D#� D1�#F5� 5,.� -,1� F.� -.-� #,D� 4,$� 1-� 44.� -,.� .$5� #$$� .-1� 1$� .D-� #-F�#F#� #F5� -,D� -,1� -.4� #$� 4,,� ,-.� 44F� 44.� .$#� ,#-� .-D� ,F.� .D4� ,#D�#F-� ,1F� -5$� ,$-� -..� 5#5� 4,5� ,$5#� 441� 5,.� .$-� ,4,� .4$� 5DD� .D.� ,--�#F4� ,54� -5,� -5$� -.F� -..� 4,#� ,1D� 44D� ,5D� .$4� ,5$� .4,� .5� .DF� 5$-�#F.� -F� -55� 5,,� -.1� ,-#� 4,-� 54.� 4.$� ,.$� .$.� #$#� .45� -11� .D1� #-1�#FF� ,,.� -5#� ,11� -.D� ,##� 4,4� 5$4� 4.,� ##� .$F� .$.� .4#� .45� .DD� 5##�#F1� 5F� -5-� ,4D� -F$� ,-$� 4,.� ,51� 4.5� 51$� .$1� 4,5� .4-� ,$1� F$$� ,F4�#FD� #F1� -54� 4$� -F,� ,4.� 4,F� ,1F� 4.#� 4.5� .$D� ,F-� .44� ,#$� F$,� F$$�#1$� D4� -5.� F,� -F5� ,F.� 4,1� ,,,� 4.-� -F� .,$� .$� .4.� 51F� F$5� #5-�#1,� ,5.� -5F� ,15� -F#� -#� 4,D� ,F#� 4.4� 554� .,,� 5#-� .4F� F5� F$#� #F�#15� ,D,� -51� #5$� -F-� 5#.� 45$� .-� 4..� 51#� .,5� ,#4� .41� ,-$� F$-� #1-�#1#� #15� -5D� .4� -F4� F4� 45,� 45$� 4.F� ,.,� .,#� .,5� .4D� .41� F$4� ,-$�#1-� 544� -#$� 5,4� -F.� ,,D� 455� ,,.� 4.1� -D.� .,-� #$F� ..$� ,5$� F$.� #45�#14� 44� -#,� -#$� -FF� 4#� 45#� 455� 4.D� 4.1� .,4� ,.-� ..,� ..$� F$F� 5$5�#1.� ,D5� -#5� #4,� -F1� 5#D� 45-� #D5� 4F$� F4� .,.� ,F4� ..5� ##,� F$1� ,F.�#1F� ,F,� -##� -#5� -FD� -F1� 454� ,54� 4F,� 4F$� .,F� .,.� ..#� 4,� F$D� F$1�#11� D.� -#-� 5,.� -1$� 544� 45.� 5.#� 4F5� ,-#� .,1� #$1� ..-� -,4� F,$� 51-�#1D� #11� -#4� 5D� -1,� 55,� 45F� ,1.� 4F#� ,D,� .,D� .,1� ..4� ,1D� F,,� #,4�#D$� #D� -#.� #5F� -15� 5-$� 451� #5� 4F-� 51F� .5$� 5FD� ...� #.� F,5� .5#�#D,� .1� -#F� ,,-� -1#� .D� 45D� 451� 4F4� 5F4� .5,� ,.,� ..F� ,,4� F,#� D5�#D5� -1� -#1� F5� -1-� ,5$� 4#$� ,4D� 4F.� 4,5� .55� #,,� ..1� ,.F� F,-� 1-�#D#� ,#,� -#D� -#1� -14� ,D-� 4#,� ,,F� 4FF� 4F.� .5#� 5..� ..D� 555� F,4� .4�#D-� ,D.� --$� ,F4� -1.� 5-#� 4#5� 4.� 4F1� 511� .5-� #4,� .F$� 5$$� F,.� 4#.�#D4� FD� --,� D1� -1F� -1.� 4##� 5-.� 4FD� ,D5� .54� .5-� .F,� ,5,� F,F� 5#D�#D.� ,-#� --5� 4,� -11� #$-� 4#-� 5.F� 41$� ,--� .5.� #,5� .F5� .#� F,1� #4D�#DF� #D.� --#� --5� -1D� ,.5� 4#4� 5,-� 41,� 1#� .5F� ,#5� .F#� .F5� F,D� F,1�#D1� ,DD� ---� ,,,� -D$� ,D4� 4#.� ##4� 415� D.� .51� -F,� .F-� ##.� F5$� 55-�

Page 196: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(C3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��,4���(�?5P�4���*$L; >$*& Q1<(;(>(=00�� �� �� �� � �� �� �� �� � �� �� �� �� �� � L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >F5,� #$1� F.F� ,,F� 1,#� 5F$� 14D� 141� D$4� ,1$� D4,� #,F� DDF� DD.� ,$-#� --F�F55� #.$� F.1� 4,5� 1,-� 5D.� 1.$� 5,4� D$.� -45� D45� 5F5� DD1� -DD� ,$--� ,--�F5#� 5-$� F.D� F.1� 1,4� #54� 1.,� -,� D$F� D$.� D4#� D45� DDD� 5D.� ,$-4� 5$D�F5-� 4-#� FF$� 44� 1,.� 544� 1.5� -#,� D$1� .1$� D4-� -5#� ,$$$� .5-� ,$-.� 45#�F54� ,F-� FF,� 54F� 1,F� ,F,� 1.#� 1.5� D$D� -$-� D44� ,D$� ,$$,� FF� ,$-F� #-1�F5.� ,5$� FF5� ,D5� 1,1� -$1� 1.-� 4,5� D,$� ,$-� D4.� 5#D� ,$$5� ,.F� ,$-1� .44�F5F� F5.� FF#� FF5� 1,D� D$� 1.4� #-4� D,,� D,$� D4F� 1F� ,$$#� ,,1� ,$-D� ,$-1�F51� 5F5� FF-� ,F,� 15$� -$� 1..� -#5� D,5� D4� D41� -FD� ,$$-� F45� ,$4$� 55-�F5D� F51� FF4� ,5-� 15,� 15$� 1.F� 511� D,#� ,.4� D4D� 5F#� ,$$4� ,#-� ,$4,� ,$4$�F#$� 5,D� FF.� D.� 155� -,,� 1.1� 5,.� D,-� -4.� D.$� 544� ,$$.� 4$#� ,$45� 5.#�F#,� 14� FFF� ,,,� 15#� 155� 1.D� #D4� D,4� .$� D.,� D.$� ,$$F� 5.4� ,$4#� #5-�F#5� ,1#� FF1� #11� 15-� F5$� 1F$� ,--� D,.� .1F� D.5� 54D� ,$$1� .#� ,$4-� #-$�F##� F#5� FFD� 5-.� 154� DD� 1F,� -$5� D,F� #D5� D.#� ,$F� ,$$D� ,$$1� ,$44� 5,$�F#-� #.F� F1$� #D� 15.� -,5� 1F5� 4--� D,1� ,#4� D.-� 5-$� ,$,$� ,$$� ,$4.� #1-�F#4� ,D4� F1,� ,-5� 15F� 15.� 1F#� #1F� D,D� D,1� D.4� #14� ,$,,� ##.� ,$4F� #$,�F#.� 4F4� F15� .1� 151� 5$F� 1F-� -#.� D5$� ,.$� D..� 545� ,$,5� 451� ,$41� 451�F#F� ..� F1#� #FF� 15D� 151� 1F4� ,54� D5,� #$.� D.F� D..� ,$,#� ,$,5� ,$4D� #4#�F#1� 51F� F1-� F#4� 1#$� -,4� 1F.� F5� D55� -.$� D.1� 1-F� ,$,-� ,.1� ,$.$� ,4D�F#D� F#1� F14� #,-� 1#,� 5F.� 1FF� 1F.� D5#� ,-5� D.D� ,45� ,$,4� ,F-� ,$.,� ,$.$�F-$� ,1-� F1.� ,#,� 1#5� F.F� 1F1� -#D� D5-� 5#,� DF$� -1-� ,$,.� ,5F� ,$.5� 4#,�F-,� #1� F1F� F1.� 1##� #D,� 1FD� 5D#� D54� F-� DF,� DF$� ,$,F� 554� ,$.#� ,$.5�F-5� #F,� F11� 4D,� 1#-� -,.� 11$� #,D� D5.� -.#� DF5� F51� ,$,1� 4$1� ,$.-� #DD�F-#� F-5� F1D� 5.#� 1#4� ##-� 11,� 11$� D5F� 5$.� DF#� ,#D� ,$,D� ,$,1� ,$.4� 51-�F--� -.-� FD$� FD� 1#.� 5$1� 115� --$� D51� #,D� DF-� -1F� ,$5$� ,,D� ,$..� 4#5�F-4� ,-D� FD,� ,,5� 1#F� 5,.� 11#� 115� D5D� D51� DF4� 5DD� ,$5,� ,$5$� ,$.F� -1-�F-.� #F5� FD5� ,-#� 1#1� -,D� 11-� 5F5� D#$� ,44� DF.� .F,� ,$55� #.-� ,$.1� .5#�F-F� ##5� FD#� ,15� 1#D� 1#1� 114� 4D� D#,� #-5� DFF� DF.� ,$5#� ,1.� ,$.D� ,$.1�F-1� -$F� FD-� #D.� 1-$� 55-� 11.� --#� D#5� 5#5� DF1� -11� ,$5-� 5$-F� ,$F$� #5$�F-D� #5,� FD4� ,$4� 1-,� 1-$� 11F� 11.� D##� #,,� DFD� 11� ,$54� -4$� ,$F,� ,4#�F4$� #F4� FD.� ,DD� 1-5� -5$� 111� ,,,� D#-� -.F� D1$� --$� ,$5.� #5#� ,$F5� F#.�F4,� F4$� FDF� FD.� 1-#� 51,� 11D� ,5.� D#4� 55$� D1,� ,$1� ,$5F� F1� ,$F#� -$.�F45� F$-� FD1� 4.� 1--� .#5� 1D$� #44� D#.� ,-#� D15� -D,� ,$51� 54.� ,$F-� ,FD�F4#� 54,� FDD� ,1F� 1-4� ,.D� 1D,� 5-5� D#F� D#.� D1#� D15� ,$5D� #-5� ,$F4� #$$�F4-� ,,.� 1$$� 4F4� 1-.� ,11� 1D5� 55#� D#1� ##4� D1-� 51F� ,$#$� 4,4� ,$F.� 1$F�F44� ,4$� 1$,� 1D� 1-F� #.#� 1D#� D-� D#D� #,5� D14� #D-� ,$#,� ,$#$� ,$FF� #4D�F4.� 5,.� 1$5� -$$� 1-1� ,4D� 1D-� --F� D-$� #F4� D1.� 5$#� ,$#5� ,51� ,$F1� --$�F4F� F4.� 1$#� 5,D� 1-D� 515� 1D4� ,FD� D-,� D-$� D1F� ,-$� ,$##� ,$#5� ,$FD� -,4�F41� #FD� 1$-� 5$$� 14$� -5-� 1D.� 4,,� D-5� ,4.� D11� 5$1� ,$#-� ,1F� ,$1$� 1$�F4D� 5#$� 1$4� .D� 14,� ,1-� 1DF� 5$F� D-#� #.1� D1D� #--� ,$#4� -4� ,$1,� -.�F.$� D4� 1$.� ,44� 145� F,� 1D1� --1� D--� F.F� DD$� --� ,$#.� ,,,� ,$15� 4-$�F.,� F.$� 1$F� 5.D� 14#� 145� 1DD� -#-� D-4� ,1D� DD,� DD$� ,$#F� #$4� ,$1#� #.$�F.5� #1$� 1$1� #$#� 14-� 5--� D$$� 55-� D-.� -#� DD5� D.$� ,$#1� 4,D� ,$1-� 5F,�F.#� 5,F� 1$D� 1$1� 144� ,F$� D$,� -5-� D-F� D-.� DD#� ##$� ,$#D� ,$#1� ,$14� ,4-�F.-� ,D,� 1,$� 1$� 14.� #5$� D$5� ,.-� D-1� 445� DD-� -D.� ,$-$� .-� ,$1.� ,1$�F.4� ,#4� 1,,� 1,$� 14F� 14.� D$#� -5� D-D� #.-� DD4� ,DD� ,$-,� #-F� ,$1F� ,$1.�F..� #1#� 1,5� 5#,� 141� ,-#� D$-� ,,5� D4$� F4� DD.� 5-1� ,$-5� 45$� ,$11� 544�

�..� 6�A��(5P�4���*$L; >

Page 197: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(CF �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��,4���(�25P�4���*$L; >$*& Q(=0C;(>(23F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >,$1D� 5-5� ,,#4� -4-� ,,1,� ,,1$� ,55F� -$1� ,5F#� ,##� ,#,D� ,#,1� ,#.4� D$� ,-,,� ..#�,$D$� -#4� ,,#.� .#D� ,,15� 4D,� ,551� D5$� ,5F-� ,D4� ,#5$� #1-� ,#..� .1#� ,-,5� #45�,$D,� ,$D$� ,,#F� #F1� ,,1#� ,.1� ,55D� ,551� ,5F4� 4$� ,#5,� ,#5$� ,#.F� ,#..� ,-,#� #,-�,$D5� ,$-� ,,#1� 4.1� ,,1-� F$#� ,5#$� ,.-� ,5F.� 1F� ,#55� ..$� ,#.1� 4,5� ,-,-� 4$-�,$D#� ,$D5� ,,#D� .F� ,,14� #,4� ,5#,� ,5#$� ,5FF� ,5F.� ,#5#� 4#D� ,#.D� ,#.1� ,-,4� 4.4�,$D-� 4-F� ,,-$� D4� ,,1.� 4D5� ,5#5� #1-� ,5F1� F,� ,#5-� DD5� ,#F$� .1-� ,-,.� ,F.�,$D4� 5,D� ,,-,� -1D� ,,1F� ,,1.� ,5##� 4-1� ,5FD� ,5F1� ,#54� -5-� ,#F,� -4.� ,-,F� 4-4�,$D.� D4D� ,,-5� 4F,� ,,11� 5D.� ,5#-� .,.� ,51$� ,$5-� ,#5.� 4,� ,#F5� #-#� ,-,1� F$1�,$DF� ,$D.� ,,-#� ,5.� ,,1D� -D5� ,5#4� 514� ,51,� ,15� ,#5F� ,#5.� ,#F#� ,#F5� ,-,D� -5D�,$D1� 5-#� ,,--� ,-#� ,,D$� 1-� ,5#.� F5$� ,515� .-$� ,#51� -,4� ,#F-� 551� ,-5$� .#D�,$DD� #,-� ,,-4� 55D� ,,D,� #D.� ,5#F� ,5#.� ,51#� ,515� ,#5D� --#� ,#F4� #F-� ,-5,� .#F�,,$$� ,F4� ,,-.� ,D,� ,,D5� --F� ,5#1� .,D� ,51-� #5$� ,##$� #DD� ,#F.� ,51� ,-55� #,4�,,$,� #..� ,,-F� ,14� ,,D#� ,,D5� ,5#D� 5D-� ,514� 4,-� ,##,� ,##$� ,#FF� #5#� ,-5#� ,-55�,,$5� 44,� ,,-1� 51F� ,,D-� 4D.� ,5-$� -.-� ,51.� .-#� ,##5� 5D.� ,#F1� 45� ,-5-� 1$$�,,$#� ,,$5� ,,-D� #1#� ,,D4� 5#D� ,5-,� 4,$� ,51F� ,-#� ,###� 441� ,#FD� ,D.� ,-54� F4�,,$-� 4F4� ,,4$� 5F4� ,,D.� 5$F� ,5-5� -4D� ,511� ,.$� ,##-� ,,4� ,#1$� #--� ,-5.� D5�,,$4� ,.D� ,,4,� ,,4$� ,,DF� ,1D� ,5-#� -4,� ,51D� ,511� ,##4� 1D� ,#1,� ,#1$� ,-5F� ,-5.�,,$.� #,4� ,,45� 4,5� ,,D1� 4DD� ,5--� #,,� ,5D$� 5,4� ,##.� ,,.1� ,#15� .D,� ,-51� ,,D�,,$F� 1,� ,,4#� ,,45� ,,DD� ,$D� ,5-4� ,.4� ,5D,� ,5D$� ,##F� 4F#� ,#1#� -.,� ,-5D� ,-51�,,$1� 1#,� ,,4-� 4F.� ,5$$� 55-� ,5-.� #4.� ,5D5� ,45� ,##1� ..1� ,#1-� 1.-� ,-#$� 55$�,,$D� ,,$1� ,,44� 5$D� ,5$,� ,5$$� ,5-F� 1.� ,5D#� -#,� ,##D� ,$#� ,#14� 44-� ,-#,� 4#�,,,$� ---� ,,4.� 511� ,5$5� .$$� ,5-1� F.F� ,5D-� .-F� ,#-$� 5$$� ,#1.� 545� ,-#5� 1D4�,,,,� 4$4� ,,4F� 4##� ,5$#� -$,� ,5-D� ,5-1� ,5D4� 54D� ,#-,� 5DF� ,#1F� -#F� ,-##� ,-#5�,,,5� -,.� ,,41� ,D5� ,5$-� #-#� ,54$� .5-� ,5D.� ,5,4� ,#-5� .F,� ,#11� ,$-$� ,-#-� 5#D�,,,#� ,$4� ,,4D� #$-� ,5$4� 5-$� ,54,� 5F1� ,5DF� ,5D.� ,#-#� 5#F� ,#1D� -.5� ,-#4� 5-4�,,,-� 44.� ,,.$� ,--� ,5$.� -.1� ,545� #,5� ,5D1� ,F.� ,#--� #1-� ,#D$� ,#D� ,-#.� #4D�,,,4� --4� ,,.,� 5,4� ,5$F� -54� ,54#� #4F� ,5DD� -#5� ,#-4� 5.D� ,#D,� -51� ,-#F� -FD�,,,.� 5,.� ,,.5� 1#� ,5$1� ,$4.� ,54-� ,#5� ,#$$� .5-� ,#-.� .F5� ,#D5� .$1� ,-#1� F,D�,,,F� ,,,.� ,,.#� ,,.5� ,5$D� ,44� ,544� 54$� ,#$,� ,#$$� ,#-F� --D� ,#D#� #D1� ,-#D� ,-#1�,,,1� 44D� ,,.-� D.� ,5,$� ,5$� ,54.� F1-� ,#$5� 5,.� ,#-1� ##.� ,#D-� 5$-� ,--$� 4F4�,,,D� #F5� ,,.4� -.4� ,5,,� 4,1� ,54F� -,D� ,#$#� ,#$5� ,#-D� 51-� ,#D4� 5FD� ,--,� ,#,�,,5$� #1-� ,,..� 5.-� ,5,5� #$#� ,541� -$F� ,#$-� 1,4� ,#4$� #5-� ,#D.� ,$-F� ,--5� #$1�,,5,� 4#,� ,,.F� #1D� ,5,#� ,5,5� ,54D� ,541� ,#$4� ,--� ,#4,� #14� ,#DF� 54#� ,--#� 55,�,,55� -$F� ,,.1� 4,,� ,5,-� .$F� ,5.$� 55-� ,#$.� .45� ,#45� ,,1#� ,#D1� .DD� ,---� #.$�,,5#� ,,55� ,,.D� ,.F� ,5,4� -14� ,5.,� ,D-� ,#$F� ,#$.� ,#4#� ,.-� ,#DD� ,#D1� ,--4� 51D�,,5-� 51$� ,,F$� 5.$� ,5,.� 4,5� ,5.5� .#,� ,#$1� #5F� ,#4-� .F.� ,-$$� ,F4� ,--.� 5-$�,,54� ,54� ,,F,� ,,F$� ,5,F� ,5,.� ,5.#� -5$� ,#$D� ,4#� ,#44� 5F$� ,-$,� -.F� ,--F� ,--.�,,5.� 4.#� ,,F5� 1FD� ,5,1� 5$#� ,5.-� ,,1-� ,#,$� 45-� ,#4.� FD,� ,-$5� F$$� ,--1� 4-#�,,5F� #D,� ,,F#� .1� ,5,D� 45D� ,5.4� 5#$� ,#,,� ,,-� ,#4F� -,#� ,-$#� ,1#� ,--D� ,.,�,,51� -F� ,,F-� 41F� ,55$� #$-� ,5..� .#5� ,#,5� ,$5-� ,#41� .FD� ,-$-� #4,� ,-4$� F5-�,,5D� ,,51� ,,F4� #F4� ,55,� ,,$� ,5.F� ,1,� ,#,#� -$#� ,#4D� .$#� ,-$4� 51$� ,-4,� ,-4$�,,#$� ##D� ,,F.� -1� ,555� #F.� ,5.1� D4,� ,#,-� F5� ,#.$� 544� ,-$.� F$#� ,-45� ,5$�,,#,� ,,.� ,,FF� -51� ,55#� ,555� ,5.D� ,11� ,#,4� 454� ,#.,� ,#.$� ,-$F� ##4� ,-4#� ,-45�,,#5� 1-1� ,,F1� 5-F� ,55-� 511� ,5F$� #1$� ,#,.� #51� ,#.5� 55F� ,-$1� ,$5#� ,-4-� F5F�,,##� #$1� ,,FD� 5.,� ,554� -D� ,5F,� ,5#� ,#,F� -#1� ,#.#� #F.� ,-$D� ,-$1� ,-44� ,D-�,,#-� 4.F� ,,1$� 5D4� ,55.� .,5� ,5F5� ,4D� ,#,1� .4D� ,#.-� -D4� ,-,$� ,-$� ,-4.� 1#5�

Page 198: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(C1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��,4���(�35P�4���*$L; >$*& Q(231;(>(0<2� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >,-4F� D#� ,4$#� ###� ,4-D� ,4-1� ,4D4� #,D� ,.-,� 4-.� ,.1F� -15� ,F##� ,F#5� �,FFD� 4D#�,-41� F51� ,4$-� F$-� ,44$� ,5-� ,4D.� 4.� ,.-5� 15$� ,.11� ,$44� ,F#-� 511� ,F1$� 1$$�,-4D� ,-41� ,4$4� #$$� ,44,� #5D� ,4DF� ,4D.� ,.-#� #F,� ,.1D� 4.#� ,F#4� .D-� ,F1,� 5F#�,-.$� 41-� ,4$.� 54,� ,445� D.� ,4D1� ,1F� ,.--� D4D� ,.D$� .F4� ,F#.� -D.� ,F15� .-1�,-.,� -1.� ,4$F� 5F-� ,44#� ,445� ,4DD� 5-.� ,.-4� ,-$� ,.D,� 5..� ,F#F� #1.� ,F1#� ,F15�,-.5� F#,� ,4$1� #F.� ,44-� ,,,� ,.$$� ,$5-� ,.-.� 15#� ,.D5� -5#� ,F#1� #D4� ,F1-� 55#�,-.#� F.� ,4$D� 4$#� ,444� #,$� ,.$,� ,.$$� ,.-F� 5-#� ,.D#� ,.D5� ,F#D� 4,F� ,F14� 1-�,-.-� .F,� ,4,$� .$-� ,44.� ,,.F� ,.$5� F,,� ,.-1� D5F� ,.D-� #.#� ,F-$� ,--� ,F1.� 1D5�,-.4� 414� ,4,,� ,4,$� ,44F� .D5� ,.$#� .1.� ,.-D� .FD� ,.D4� 554� ,F-,� ,F-$� ,F1F� ,F1.�,-..� F#5� ,4,5� F1#� ,441� 4#5� ,.$-� -$$� ,.4$� DD� ,.D.� ,4#.� ,F-5� -.1� ,F11� --F�,-.F� ,.5� ,4,#� #4.� ,44D� ,441� ,.$4� #5$� ,.4,� 4$F� ,.DF� ,.D.� ,F-#� 1#� ,F1D� ,F11�,-.1� #.F� ,4,-� F4.� ,4.$� -1$� ,.$.� 5,D� ,.45� D--� ,.D1� 1-1� ,F--� 4--� ,FD$� ,FD�,-.D� ##1� ,4,4� -$-� ,4.,� 55#� ,.$F� ,.$.� ,.4#� 4F� ,.DD� ,.D1� ,F-4� #-D� ,FD,� ,D1�,-F$� ,D4� ,4,.� ,,#.� ,4.5� F1$� ,.$1� ##4� ,.4-� 15F� ,F$$� -5-� ,F-.� #1F� ,FD5� 4,,�,-F,� ,-F$� ,4,F� #.D� ,4.#� 45,� ,.$D� ,.$1� ,.44� ##$� ,F$,� F51� ,F-F� ,F-.� ,FD#� 1,-�,-F5� 1D.� ,4,1� 545� ,4.-� #D,� ,.,$� ,.$� ,.4.� 5$F� ,F$5� ,1-� ,F-1� 44,� ,FD-� 5$F�,-F#� -D,� ,4,D� 411� ,4.4� .54� ,.,,� ,FD� ,.4F� ,.4.� ,F$#� ,#$� ,F-D� 5.-� ,FD4� #4D�,-F-� F#.� ,45$� D4� ,4..� F1#� ,.,5� 5-F� ,.41� 151� ,F$-� .#D� ,F4$� 1F4� ,FD.� --1�,-F4� .-D� ,45,� .F4� ,4.F� ,4..� ,.,#� ,.,5� ,.4D� 5#F� ,F$4� ,4-� ,F4,� ,$5� ,FDF� 4DD�,-F.� 51F� ,455� F.$� ,4.1� 1#5� ,.,-� 1$F� ,..$� -,4� ,F$.� 145� ,F45� .4.� ,FD1� -.-�,-FF� 5,$� ,45#� ,455� ,4.D� 455� ,.,4� ,F$� ,..,� .$-� ,F$F� 4.D� ,F4#� ,F45� ,FDD� FF$�,-F1� F#D� ,45-� 111� ,4F$� F1-� ,.,.� ,#,5� ,..5� 5F.� ,F$1� .F,� ,F4-� 1F.� ,1$$� 55-�,-FD� 5$#� ,454� 4-D� ,4F,� ,4F$� ,.,F� D1� ,..#� ,..5� ,F$D� ,F$1� ,F44� #5-� ,1$,� ,1$$�,-1$� -1$� ,45.� F.#� ,4F5� #D5� ,.,1� 1$1� ,..-� F.F� ,F,$� #.$� ,F4.� -#D� ,1$5� -5-�,-1,� ,-1$� ,45F� 4$D� ,4F#� #.#� ,.,D� ,.,1� ,..4� #.D� ,F,,� 41� ,F4F� 54,� ,1$#� .$$�,-15� -44� ,451� ,D,� ,4F-� F1F� ,.5$� 1$� ,...� #D,� ,F,5� #5$� ,F41� 1FD� ,1$-� .,4�,-1#� ,-15� ,45D� -,F� ,4F4� ,54� ,.5,� ,.5$� ,..F� ,...� ,F,#� 4F$� ,F4D� ,F41� ,1$4� #.$�,-1-� 1-F� ,4#$� ,#4� ,4F.� 4D,� ,.55� 1,,� ,..1� -,.� ,F,-� 14.� ,F.$� #,D� ,1$.� #$$�,-14� 4-� ,4#,� ,4#$� ,4FF� ..-� ,.5#� 4-$� ,..D� ,..1� ,F,4� .14� ,F.,� 41F� ,1$F� -,.�,-1.� F-#� ,4#5� #1#� ,4F1� 5.#� ,.5-� .$1� ,.F$� 4$$� ,F,.� ,-#� ,F.5� 11$� ,1$1� ,.D4�,-1F� ,-1.� ,4##� ,-.� ,4FD� ,4F1� ,.54� .5-� ,.F,� 44F� ,F,F� ,$,� ,F.#� 1.$� ,1$D� ,#-�,-11� D.$� ,4#-� F.F� ,41$� FD� ,.5.� 1,5� ,.F5� 5$1� ,F,1� 14D� ,F.-� --$� ,1,$� ,1$�,-1D� ,-11� ,4#4� .,-� ,41,� ,1.� ,.5F� ,.5.� ,.F#� 5#1� ,F,D� F.-� ,F.4� F$4� ,1,,� ,1,$�,-D$� 4D4� ,4#.� ,$5#� ,415� ,,5� ,.51� 5D.� ,.F-� 5,.� ,F5$� 44D� ,F..� 11#� ,1,5� ,$4.�,-D,� -5.� ,4#F� #,1� ,41#� ,415� ,.5D� ,1$� ,.F4� 5$$� ,F5,� ,F5$� ,F.F� #-,� ,1,#� ,-F�,-D5� ,,,D� ,4#1� F.1� ,41-� #4,� ,.#$� 1,4� ,.F.� ,54.� ,F55� 51F� ,F.1� 5F5� ,1,-� D$F�,-D#� ,-D5� ,4#D� #5#� ,414� .#-� ,.#,� .DD� ,.FF� ,5D� ,F5#� ,F55� ,F.D� .$D� ,1,4� ,5$�,-D-� ##5� ,4-$� 44� ,41.� FD5� ,.#5� 544� ,.F1� 1#D� ,F5-� -#,� ,FF$� 4D� ,1,.� ,,#4�,-D4� 5DD� ,4-,� F#.� ,41F� 451� ,.##� F1,� ,.FD� -#F� ,F54� 5F4� ,FF,� 5#$� ,1,F� 445�,-D.� 45F� ,4-5� FF,� ,411� ,,D,� ,.#-� ,F,� ,.1$� 55-� ,F5.� 1.#� ,FF5� ,#51� ,1,1� -$-�,-DF� -D1� ,4-#� ,4-5� ,41D� -4-� ,.#4� -#4� ,.1,� ,.1$� ,F5F� .5F� ,FF#� ,DF� ,1,D� F-1�,-D1� -5F� ,4--� ,D5� ,4D$� ,4D� ,.#.� -$1� ,.15� 1-$� ,F51� 4,5� ,FF-� 11F� ,15$� ,$-�,-DD� ,-D1� ,4-4� #$D� ,4D,� 541� ,.#F� ,.#.� ,.1#� ,4#� ,F5D� -44� ,FF4� -54� ,15,� .$.�,4$$� #F4� ,4-.� FF5� ,4D5� ,#D5� ,.#1� -.1� ,.1-� ,5.#� ,F#$� 4,D� ,FF.� -1$� ,155� D,,�,4$,� -F-� ,4-F� 5F5� ,4D#� .-1� ,.#D� 5DF� ,.14� .F-� ,F#,� 4F.� ,FFF� ,FF.� ,15#� ,155�,4$5� F4,� ,4-1� 5,4� ,4D-� FD.� ,.-$� .44� ,.1.� 1-#� ,F#5� -#5� ,FF1� 111� ,15-� 4,5�

�..� 6�A��(5P�4���*$L; >

Page 199: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(C0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

���

� � � � � � � � � � � � � � �

L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >,154� 1F4� ,1F,� ,1F$� ,D,F� 4.F� ,D.#� F4-� 5$$D� 5-4� 5$44� -,$� 5,$,� 4F5� 5,-F� ,,#�,15.� F-F� ,1F5� #4,� ,D,1� D4D� ,D.-� ,-F5� 5$,$� 5$$� 5$4.� 54.� 5,$5� ,$4,� 5,-1� 4#.�,15F� #FF� ,1F#� ,1F5� ,D,D� #$#� ,D.4� 45-� 5$,,� 5$,$� 5$4F� D.1� 5,$#� F$,� 5,-D� #$F�,151� -4.� ,1F-� D#.� ,D5$� 544� ,D..� D1#� 5$,5� 4$#� 5$41� ,$51� 5,$-� ,1-$� 5,4$� #$$�,15D� 41D� ,1F4� .5-� ,D5,� ##D� ,D.F� 51$� 5$,#� 4-D� 5$4D� .#1� 5,$4� -5$� 5,4,� -FF�,1#$� .$� ,1F.� ##4� ,D55� D.$� ,D.1� 51F� 5$,-� ,$$F� 5$.$� F5$� 5,$.� #5-� 5,45� ,#--�,1#,� ,1#$� ,1FF� ,1F.� ,D5#� .-,� ,D.D� F,4� 5$,4� ,44� 5$.,� -41� 5,$F� #-#� 5,4#� 5,45�,1#5� .1F� ,1F1� #,5� ,D5-� -1$� ,DF$� D1-� 5$,.� .#� 5$.5� ,$#,� 5,$1� 45F� 5,4-� #4D�,1##� 5#-� ,1FD� ,1F1� ,D54� ,F4� ,DF,� F5D� 5$,F� 5$,.� 5$.#� 5$.5� 5,$D� ..4� 5,44� -#$�,1#-� #D5� ,11$� F$-� ,D5.� ,$F� ,DF5� .D.� 5$,1� ,$$1� 5$.-� ,51� 5,,$� 1--� 5,4.� --$�,1#4� F#-� ,11,� #-,� ,D5F� #51� ,DF#� ,DF5� 5$,D� .F5� 5$.4� 5D-� 5,,,� 5,,$� 5,4F� F,D�,1#.� ,#4� ,115� D-$� ,D51� 5-$� ,DF-� ,-$� 5$5$� 4$-� 5$..� ,$#5� 5,,5� #1-� 5,41� -,4�,1#F� 1#4� ,11#� 4#1� ,D5D� .-5� ,DF4� -F-� 5$5,� 4,.� 5$.F� .#.� 5,,#� 5,,5� 5,4D� 54-�,1#1� D,D� ,11-� -F,� ,D#$� 4FD� ,DF.� 5$1� 5$55� ##.� 5$.1� F$-� 5,,-� F44� 5,.$� 1.-�,1#D� .,5� ,114� 5.$� ,D#,� ,D#$� ,DFF� .4D� 5$5#� 1.F� 5$.D� 5$.1� 5,,4� 5#-� 5,.,� 5,.$�,1-$� ,.$� ,11.� #.1� ,D#5� 445� ,DF1� #--� 5$5-� 451� 5$F$� -4D� 5,,.� 451� 5,.5� ,$1$�,1-,� 454� ,11F� 55,� ,D##� ,D#5� ,DFD� ,DF1� 5$54� #5-� 5$F,� -#.� 5,,F� ,-4� 5,.#� #$1�,1-5� D5$� ,111� F.F� ,D#-� D.F� ,D1$� --$� 5$5.� ,$,5� 5$F5� ,,,� 5,,1� ,$4D� 5,.-� ,.5#�,1-#� 1F#� ,11D� ,111� ,D#4� 5,4� ,D1,� 4..� 5$5F� 5$5.� 5$F#� .D$� 5,,D� #54� 5,.4� 1.4�,1--� ,#1#� ,1D$� 4#D� ,D#.� ,$11� ,D15� DD,� 5$51� ,.1� 5$F-� F#,� 5,5$� ,4D� 5,..� #.$�,1-4� #.D� ,1D,� .,� ,D#F� 5D1� ,D1#� ..$� 5$5D� 5$51� 5$F4� 5-D� 5,5,� 4$-� 5,.F� ,DF�,1-.� F1$� ,1D5� -F5� ,D#1� ,45� ,D1-� ,$5#� 5$#$� 41$� 5$F.� 4,D� 5,55� ,$.$� 5,.1� 5F,�,1-F� ,1-.� ,1D#� .#$� ,D#D� 44#� ,D14� FD-� 5$#,� .FF� 5$FF� -$5� 5,5#� #14� 5,.D� D.#�,1-1� #1-� ,1D-� D-F� ,D-$� .FD� ,D1.� DD5� 5$#5� ,5F� 5$F1� ,$#D� 5,5-� .-1� 5,F$� 5FD�,1-D� ,1-1� ,1D4� #FD� ,D-,� .-F� ,D1F� ,D1.� 5$##� 144� 5$FD� 4#D� 5,54� #F-� 5,F,� ,$$,�,14$� D5-� ,1D.� ,,1-� ,D-5� DF,� ,D11� -D.� 5$#-� FD,� 5$1$� .-� 5,5.� ,$.#� 5,F5� 4-#�,14,� .,F� ,1DF� 1,5� ,D-#� 1F$� ,D1D� --,� 5$#4� ,,$� 5$1,� 5$1$� 5,5F� F$1� 5,F#� D$,�,145� -.#� ,1D1� #.-� ,D--� ,5,4� ,DD$� ,DD� 5$#.� ,45F� 5$15� #-F� 5,51� .$1� 5,F-� ,$1F�,14#� 4--� ,1DD� -55� ,D-4� #1D� ,DD,� #.5� 5$#F� 41,� 5$1#� 5$15� 5,5D� 5,51� 5,F4� ,F-�,14-� F5$� ,D$$� #DD� ,D-.� ,#D� ,DD5� D,5� 5$#1� ,$,D� 5$1-� 45$� 5,#$� 51-� 5,F.� 544�,144� ,$4� ,D$,� ,D$$� ,D-F� ,F.� ,DD#� ,DD5� 5$#D� 5$#1� 5$14� 444� 5,#,� 5,#$� 5,FF� .55�,14.� ,4#.� ,D$5� D4,� ,D-1� -1F� ,DD-� DD.� 5$-$� 544� 5$1.� --F� 5,#5� ,#,5� 5,F1� ,$11�,14F� .,1� ,D$#� .D5� ,D-D� ,D-1� ,DD4� ,1D� 5$-,� ,4.� 5$1F� 5$1.� 5,##� ,$5.� 5,FD� 5,F1�,141� D51� ,D$-� 1#5� ,D4$� 5DD� ,DD.� ,-D.� 5$-5� ,$5$� 5$11� ,--� 5,#-� -1-� 5,1$� 4--�,14D� 4$.� ,D$4� 54-� ,D4,� ,D4$� ,DDF� ,DD.� 5$-#� D$1� 5$1D� 5$11� 5,#4� 5--� 5,1,� F5.�,1.$� 5FD� ,D$.� D45� ,D45� ,51$� ,DD1� 5D.� 5$--� 4,,� 5$D$� F4D� 5,#.� .5#� 5,15� ,$D,�,1.,� ,1.$� ,D$F� ,D$.� ,D4#� .5� ,DDD� ,DD1� 5$-4� -$D� 5$D,� 5$-� 5,#F� 5,#.� 5,1#� 5D4�,1.5� 411� ,D$1� -5#� ,D4-� DF.� 5$$$� ,#F4� 5$-.� -D4� 5$D5� ,4.1� 5,#1� ,$.1� 5,1-� 5F5�,1.#� ,.,� ,D$D� -,-� ,D44� #D$� 5$$,� 44,� 5$-F� F,5� 5$D#� D,� 5,#D� D5� 5,14� ,,-�,1.-� ,.#,� ,D,$� F.-� ,D4.� -11� 5$$5� #.#� 5$-1� -$D4� 5$D-� #-1� 5,-$� #5$� 5,1.� ,$D5�,1.4� F-4� ,D,,� ,D4� ,D4F� F5,� 5$$#� 5$$5� 5$-D� .1#� 5$D4� -,D� 5,-,� 5,-$� 5,1F� 5,1.�,1..� #,,� ,D,5� 5#D� ,D41� 11� 5$$-� ,.F� 5$4$� ,$5-� 5$D.� ,--$� 5,-5� -F.� 5,11� ,.-$�,1.F� ,1..� ,D,#� ,D,5� ,D4D� .4#� 5$$4� -$$� 5$4,� 5D#� 5$DF� 5##� 5,-#� 5,-5� 5,1D� ,D1�,1.1� ,-$$� ,D,-� 1F� ,D.$� F#4� 5$$.� 11-� 5$45� 4,5� 5$D1� ,$-1� 5,--� ,-$F� 5,D$� 5,D�,1.D� 5..� ,D,4� F.4� ,D.,� #F$� 5$$F� 1D,� 5$4#� 5$45� 5$DD� 5$D1� 5,-4� .4� 5,D,� D#1�,1F$� 55$� ,D,.� -FD� ,D.5� ,$1� 5$$1� F45� 5$4-� D-1� 5,$$� 55-� 5,-.� ,$F5� 5,D5� D4D�

��,4���(�F5P�4���*$L; >$*& Q(0<3;(><(C<����

Page 200: Wandering in the World of Smarandache Numbers

(CC �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��,4���(�15P�4���*$L; >$*& Q<(C?;(><330� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >5,D#� .-4� 55#D� 55#1� 5514� D,-� 5##,� .5D� � 5#FF� 5#F.� 5-5#� 5-55� 5-.D� 155� 54,4� ,$$4�� 5,D-� ,$D.� � 55-$� #1-� 551.� ,$,.� 5##5� 5.-� 5#F1� -D5� 5-5-� #$#� 5-F$� -44� 54,.� -$F�� 5,D4� -#D� 55-,� ,$FD� 551F� 551.� 5###� 5##5� 5#FD� ,15� 5-54� FF4� 5-F,� F$.� 54,F� 1#D�5,D.� FD5� 55-5� 4#,� 5511� #4,� 5##-� ,,.F� 5#1$� ,,D� 5-5.� ,5,5� 5-F5� F5$� 54,1� ,54D�5,DF� 5,D.� 55-#� 55-5� 551D� 4-4� 5##4� D#-� 5#1,� 5#1$� 5-5F� 1$D� 5-F#� 5-F5� 54,D� ,,--�5,D1� F1-� 55--� -$F� 55D$� D,4� 5##.� 4,,� 5#15� #D.� 5-51� .$F� 5-F-� ,5#.� 545$� 55-�5,DD� F#5� 55-4� --D� 55D,� 1.D� 5##F� 5-.� 5#1#� 5#15� 5-5D� .D#� 5-F4� DD� 545,� 545$�55$$� ,F4� 55-.� ,,5#� 55D5� ,D,� 5##1� ,.F� 5#1-� --F� 5-#$� ,5,4� 5-F.� ,14.� 5455� ,5.$�55$,� -D.� 55-F� #5,� 55D#� 55D5� 5##D� 5##1� 5#14� 4#$� 5-#,� 55$� 5-FF� 5-F.� 545#� 1-$�55$5� ,,$$� 55-1� ,D.F� 55D-� ,,-F� 5#-$� 41-� 5#1.� ,,D5� 5-#5� 4,5� 5-F1� 4#,� 545-� .#,�55$#� 55$5� 55-D� 4,D� 55D4� ,#4� 5#-,� 5#-$� 5#1F� ,4-� 5-##� 1,$� 5-FD� ,$F5� 5454� ,$$�55$-� 44,� 554$� DDD� 55D.� 51F� 5#-5� ,,F,� 5#11� ,#D5� 5-#-� ,5,.� 5-1$� D.$� 545.� -5$�55$4� --$� 554,� 554$� 55DF� 55D.� 5#-#� .#1� 5#1D� 5#11� 5-#4� DF-� 5-1,� 15F� 545F� F5,�55$.� ,,$#� 5545� ,.11� 55D1� #1#� 5#--� 1FD� 5#D$� 5#D� 5-#.� 5#,� 5-15� ,5-$� 5451� ,#-#�55$F� 55$.� 554#� F4$� 55DD� D.1� 5#-4� ##4� 5#D,� FDF� 5-#F� 5-#.� 5-1#� 4F5� 545D� ,,5-�55$1� 4F4� 554-� #D,� 5#$$� 4F4� 5#-.� .1� 5#D5� 5$F� 5-#1� ,5,D� 5-1-� ,$1$� 54#$� 5F4�55$D� 55$1� 5544� ,.-� 5#$,� ,,F� 5#-F� 5#-.� 5#D#� 5#D5� 5-#D� 5F$� 5-14� F$� 54#,� 54#$�55,$� 55$� 554.� F$-� 5#$5� ,,4,� 5#-1� ,F.$� 5#D-� 4#,� 5--$� #$-� 5-1.� -4,� 54#5� .#5�55,,� ..� 554F� ,$#.� 5#$#� ,,5F� 5#-D� -$4� 5#D4� -FD� 5--,� 5--$� 5-1F� 151� 54##� 4D4�55,5� 445� 5541� ,,51� 5#$-� 4,5� 5#4$� #F4� 5#D.� 4DD� 5--5� 5D.� 5-11� 5,F.� 54#-� ,5.F�55,#� 55,5� 554D� 54,� 5#$4� -.$� 5#4,� 5#4$� 5#DF� .,,� 5--#� #-D� 5-1D� ,,F1� 54#4� .F4�55,-� ,,$F� 55.$� D$-� 5#$.� ,,45� 5#45� F#4� 5#D1� ,,DD� 5---� #F.� 5-D$� DD4� 54#.� ,41-�55,4� 114� 55.,� #55� 5#$F� F.1� 5#4#� ,1,� 5#DD� 5#D1� 5--4� -1D� 5-D,� -5#� 54#F� -F5�55,.� 1#,� 55.5� ,,.� 5#$1� 4F.� 5#4-� -51� 5-$$� 4F4� 5--.� ,55#� 5-D5� .5#� 54#1� ,11�55,F� F#1� 55.#� ,$55� 5#$D� 5#$1� 5#44� #,-� 5-$,� 5-$$� 5--F� 5--.� 5-D#� ,,$F� 54#D� 54#1�55,1� ,,$1� 55.-� 1-1� 5#,$� #1-� 5#4.� 5-F� 5-$5� ,5$$� 5--1� 511� 5-D-� ,,.$� 54-$� ,$,4�55,D� D4,� 55.4� ,4$� 5#,,� 5#,$� 5#4F� 5#4.� 5-$#� 1D$� 5--D� 1.1� 5-D4� -DD� 54-,� #.#�555$� -1$� 55..� #$1� 5#,5� 511� 5#41� ,,FD� 5-$-� .$$� 5-4$� ,,F4� 5-D.� F.F� 54-5� ,5#�555,� 555$� 55.F� 55..� 5#,#� 4,#� 5#4D� ##.� 5-$4� 54D� 5-4,� ,F,� 5-DF� .1,� 54-#� 54-5�5555� ,,,,� 55.1� 4.F� 5#,-� .5#� 5#.$� D--� 5-$.� ,5$#� 5-45� ,1#D� 5-D1� ,5-1� 54--� ,4D�555#� -D-� 55.D� 55.1� 5#,4� D54� 5#.,� F1.� 5-$F� 41$� 5-4#� 1D,� 5-DD� --,� 54-4� 4$D�555-� -,.� 55F$� .1$� 5#,.� ,D5� 5#.5� ,,1$� 5-$1� 44D� 5-4-� -$1� 54$$� .5-� 54-.� ,,#D�5554� 1$$� 55F,� F4.� 5#,F� DD#� 5#.#� 1##� 5-$D� 5,D� 5-44� -D$� 54$,� ,55� 54-F� 4..�555.� #F,� 55F5� .#D� 5#,1� #$-� 5#.-� 4D,� 5-,$� 5-$� 5-4.� ,4#4� 54$5� DF5� 54-1� 1#5�555F� D,F� 55F#� 55F5� 5#,D� FF#� 5#.4� -5D� 5-,,� 5-,$� 5-4F� #4$� 54$#� 54$5� 54-D� 54-1�5551� ,.F,� 55F-� ,,#.� 5#5$� #,D� 5#..� ,.1� 5-,5� ,$F,� 5-41� ,551� 54$-� 5,D,� 544$� D$$�555D� F-#� 55F4� #4$� 5#5,� ,$44� 5#.F� ,$45� 5-,#� #1$� 5-4D� 5-41� 54$4� 4$$� 544,� 544$�55#$� ,,,4� 55F.� 4.1� 5#55� 5,4� 5#.1� ,..-� 5-,-� ,5$F� 5-.$� .,4� 54$.� 1D4� 5445� #,D�55#,� 1F#� 55FF� 545� 5#5#� 4$4� 5#.D� 5$.� 5-,4� .D� 5-.,� #5,� 54$F� -#.� 544#� ...�55#5� -D4� 55F1� .F� 5#5-� ..-� 5#F$� #,4� 5-,.� ,$4.� 5-.5� ,5#,� 54$1� F4D� 544-� ,5F.�55##� 5#,� 55FD� .11� 5#54� .4$� 5#F,� 5#F$� 5-,F� 5-,.� 5-.#� 15,� 54$D� ,,4F� 5444� #.-�55#-� ,,,.� 551$� D4� 5#5.� ,,.#� 5#F5� 4D5� 5-,1� ,44� 5-.-� #1-� 54,$� ,$$-� 544.� F,�55#4� ,-D� 551,� 551$� 5#5F� F,4� 5#F#� .F1� 5-,D� D-#� 5-.4� 51D� 54,,� ,$4#� 544F� 544.�55#.� 44D� 5515� .4,� 5#51� D.� 5#F-� ,,1F� 5-5$� ,5$� 5-..� 4-1� 54,5� ,F5F� 5441� ,5FD�55#F� 55#.� 551#� F.,� 5#5D� ,#.� 5#F4� 1F-� 5-5,� 5.D� 5-.F� 5-..� 54,#� ,$FF� 544D� 145�55#1� #F5� 551-� ,F,5� 5##$� .DD� 5#F.� #4,� 5-55� .D5� 5-.1� .,.� 54,-� -,D� 54.$� ,$5-�

�..� 6�A��(5P�4���*$L; >

Page 201: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<== �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��,4���(�05P�4���*$L; >$*& Q<3F(;(><C<0� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >54.,� ,,15� 5.$F� #D4� 5.4#� #F1� 5.DD� 5.D1� 5F-4� #$4� 5FD,� 5FD$� 51#F� 51#.� 511#� D.$�54.5� .F,� 5.$1� ,FD5� 5.4-� ,#5F� 5F$$� DDD� 5F-.� ,#F5� 5FD5� ,F--� 51#1� 4,.� 511-� F5$�54.#� ,,.4� 5.$D� 5.$1� 5.44� 4#$� 5F$,� F#� 5F-F� F#F� 5FD#� #-5� 51#D� ,$$5� 5114� ,,4-�54.-� .-$� 5.,$� ,--� 5.4.� 55-$� 5F$5� ,#4,� 5F-1� .1F� 5FD-� ,,-#� 51-$� .#D� 511.� -1$�54.4� ,1D� 5.,,� ,,,D� 5.4F� 5.4.� 5F$#� -F.� 5F-D� 5F-1� 5FD4� ,5D� 51-,� D-F� 511F� 511.�54..� ,51#� 5.,5� ,D4D� 5.41� --#� 5F$-� ,,1#� 5F4$� ,$$$� 5FD.� ,.#,� 51-5� F1#� 5111� 545F�54.F� ,5$F� 5.,#� -$5� 5.4D� 5.41� 5F$4� 4-$� 5F4,� #D5� 5FDF� 5FD.� 51-#� 51-5� 511D� ,$F�54.1� #5$� 5.,-� ,#$F� 5..$� #DD� 5F$.� ,.-� 5F45� ,51� 5FD1� ,#DD� 51--� F,,� 51D$� ,,44�54.D� F#-� 5.,4� ,$-4� 5..,� 11F� 5F$F� 5F$.� 5F4#� 5F45� 5FDD� .5,� 51-4� 4.D� 51D,� 5D-�54F$� ,51-� 5.,.� ,,DD� 5..5� ,##,� 5F$1� 5$#,� 5F4-� #5#� 51$$� 55-� 51-.� ,-5#� 51D5� 5-$�54F,� 14F� 5.,F� 5.,.� 5..#� 5..5� 5F$D� .$5� 5F44� 44$� 51$,� 51$$� 51-F� 41-� 51D#� 5.#�54F5� ,D51� 5.,1� 4.$� 5..-� ,5D4� 5F,$� ,$1-� 5F4.� .11� 51$5� -.F� 51-1� 5$-F� 51D-� ,--F�54F#� 5-1� 5.,D� -14� 5..4� FFD� 5F,,� 5F,$� 5F4F� D,1� 51$#� 51$5� 51-D� -$.� 51D4� 4FD�54F-� ,-#� 5.5$� .44� 5...� ,##5� 5F,5� ,.D4� 5F41� ,D.� 51$-� 5,$#� 514$� F4� 51D.� 4-#�54F4� 15-� 5.5,� 5.5$� 5..F� ,5.� 5F,#� 5F,5� 5F4D� F,5� 51$4� #F-� 514,� 514$� 51DF� 51D.�54F.� ,.$� 5.55� 44,� 5..1� 44,� 5F,-� D-#� 5F.$� 4F4� 51$.� ,1#� 5145� F,5� 51D1� 545�54FF� 141� 5.5#� F#,� 5..D� .51� 5F,4� ,1$� 5F.,� ,54-� 51$F� ,5$#� 514#� ,5.1� 51DD� ,##1�54F1� ,511� 5.5-� ,$5-� 5.F$� ---� 5F,.� .FD� 5F.5� ,#1$� 51$1� #4,� 514-� ,-5F� 5D$$� ,.5-�54FD� 54F1� 5.54� ,54� 5.F,� 5.F$� 5F,F� 5$1� 5F.#� #$.� 51$D� 51$1� 5144� 4F$� 5D$,� D..�541$� 5,4� 5.5.� -$#� 5.F5� ,4$#� 5F,1� .$#� 5F.-� 5$F5� 51,$� 51$� 514.� 5F5� 5D$5� ,-4,�541,� ,5-.� 5.5F� 14,� 5.F#� 5-5� 5F,D� 5F,1� 5F.4� #,4� 51,,� D#.� 514F� 514.� 5D$#� 5D$5�5415� ,5D,� 5.51� F5� 5.F-� F.#� 5F5$� 544� 5F..� ,#1#� 51,5� F$#� 5141� ,-51� 5D$-� ,$11�541#� 51F� 5.5D� D4.� 5.F4� F-D� 5F5,� D$.� 5F.F� 5F..� 51,#� 5D$� 514D� D4#� 5D$4� 41$�541-� 1,.� 5.#$� ,#,4� 5.F.� ,4.$� 5F55� ,#.$� 5F.1� 1.-� 51,-� ##4� 51.$� D#4� 5D$.� ,-45�5414� #5D� 5.#,� 1F.� 5.FF� 5.F.� 5F5#� FFF� 5F.D� F1$� 51,4� ,,54� 51.,� 51.$� 5D$F� ,45�541.� -#,� 5.#5� ,-4.� 5.F1� ,$#� 5F5-� .1$� 5FF$� ,#1-� 51,.� ,$5#� 51.5� ,-#,� 5D$1� F5F�541F� 4DF� 5.##� 5.#5� 5.FD� FD1� 5F54� ,,DD� 5FF,� 1,4� 51,F� ,54,� 51.#� 1,1� 5D$D� 5D$1�5411� .-F� 5.#-� ,#,.� 5.1$� ##4� 5F5.� #F.� 5FF5� --$� 51,1� ,-$1� 51.-� 1D4� 5D,$� ,,.-�541D� 1.#� 5.#4� #-$� 5.1,� ,,-1� 5F5F� -$-� 5FF#� 5#4� 51,D� 51,1� 51.4� F.-� 5D,,� ,$.4�54D$� 54D� 5.#.� ,DF.� 5.15� ,$-#� 5F51� -D4� 5FF-� ,#1F� 515$� #F4� 51..� ,-#5� 5D,5� 1#5�54D,� 54D$� 5.#F� 414� 5.1#� 5.15� 5F5D� 5F51� 5FF4� F-� 515,� .4$� 51.F� .,$� 5D,#� DF,�54D5� ,5,4� 5.#1� ,#,D� 5.1-� .F,� 5F#$� ,$-� 5FF.� ,$-$� 5155� ..#� 51.1� 5#D� 5D,-� ,#.#�54D#� 54D5� 5.#D� #FF� 5.14� ,FD� 5F#,� 5F#$� 5FFF� 5FF.� 515#� D-,� 51.D� ,4,� 5D,4� 5.-�54D-� ,5D.� 5.-$� #1-� 5.1.� ,#-#� 5F#5� 5$-1� 5FF1� ,#11� 515-� #45� 51F$� .,4� 5D,.� F51�54D4� #-4� 5.-,� -,F� 5.1F� 5.1.� 5F##� D,,� 5FFD� ,,D$� 5154� 554� 51F,� .#1� 5D,F� 5D,.�54D.� ,F.� 5.-5� ,#5$� 5.11� ,51$� 5F#-� ,#.F� 5F1$� .D4� 515.� ,-,5� 51F5� 54,5� 5D,1� ,-4D�54DF� .#.� 5.-#� 11,� 5.1D� 5.11� 5F#4� ,$D-� 5F1,� ,,##� 515F� FF$� 51F#� ,.D� 5D,D� 1##�54D1� -#5� 5.--� ,D1#� 5.D$� ,$F4� 5F#.� 4,5� 5F15� -51� 5151� 4$-� 51F-� -FD� 5D5$� ,.FD�54DD� ,5-5� 5.-4� 45D� 5.D,� 5$F� 5F#F� #55� 5F1#� -1#� 515D� #.1� 51F4� 1F-� 5D5,� 54#�5.$$� .5-� 5.-.� 4#D� 5.D5� .F5� 5F#1� ,#.1� 5F1-� ,4#.� 51#$� ,-,4� 51F.� F,D� 5D55� ,-.$�5.$,� 511� 5.-F� 5.-.� 5.D#� 5.D5� 5F#D� ,.4� 5F14� ,,,-� 51#,� 1D#� 51FF� 5F#� 5D5#� ,,1-�5.$5� ,#$$� 5.-1� DD5� 5.D-� ,#-F� 5F-$� D4D� 5F1.� ,#D5� 51#5� F.F� 51F1� ,-#D� 5D5-� 1,.�5.$#� .1-� 5.-D� 115� 5.D4� --$� 5F-,� 5F-$� 5F1F� D5D� 51##� 51#5� 51FD� 51F1� 5D54� #5-�5.$-� 5,.� 5.4$� -5-� 5.D.� ##.� 5F-5� -4.� 5F11� .D.� 51#-� 1F,� 511$� .#D� 5D5.� F.�5.$4� 45$� 5.4,� 5-,� 5.DF� -#-� 5F-#� 1--� 5F1D� 5F11� 51#4� -$4� 511,� .$5� 5D5F� 5D5.�5.$.� ,#$#� 5.45� 5F5� 5.D1� 51-� 5F--� 5-$$� 5FD$� 5FD� 51#.� 5,5F� 5115� ,#,� 5D51� .F,�

Page 202: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<=( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��,4���(�C5P�4���*$L; >$*& Q<C<C;(>?<CF� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >5D5D� 5$5� 5DF4� -F4� #$5,� F-,� #$.F� #$..� #,,#� ,,#5� #,4D� F51� #5$4� .-$� #54,� #54$�5D#$� 1FD� 5DF.� D.$� #$55� ,4,,� #$.1� F.F� #,,-� .D5� #,.$� FD� #5$.� D,.� #545� ,1D.�5D#,� DFF� 5DFF� ,,--� #$5#� #$55� #$.D� #-,� #,,4� 11D� #,.,� -#4� #5$F� ,$.1� #54#� #545�5D#5� 5,DD� 5DF1� ,-11� #$5-� ,F51� #$F$� D5$� #,,.� ,#,,� #,.5� 45F� #5$1� -$$� #54-� ,.5F�5D##� -,D� 5DFD� ,#5#� #$54� F54� #$F,� ##5� #,,F� ,$#1� #,.#� #,.5� #5$D� #5$1� #544� 5FD�5D#-� ,#$-� 5D1$� F--� #$5.� #4.� #$F5� 5$-1� #,,1� ,44D� #,.-� ,,5� #5,$� #5$� #54.� F$#�5D#4� ,,F-� 5D1,� 1,#� #$5F� ,$$1� #$F#� ,#,.� #,,D� #,,1� #,.4� 5,$� #5,,� ,45$� #54F� #54.�5D#.� #.F� 5D15� 4.F� #$51� 55F,� #$F-� ,4#.� #,5$� -1$� #,..� ,41#� #5,5� 41#� #541� ,1$�5D#F� 1D$� 5D1#� .5F� #$5D� 5##� #$F4� -4$� #,5,� #,5$� #,.F� #,..� #5,#� 4D-� #54D� #541�5D#1� ,-.1� 5D1-� ,,,D� #$#$� -$-� #$F.� F.1� #,55� 55#� #,.1� ,$11� #5,-� ,.$F� #5.$� 1,4�5D#D� 5D#1� 5D14� FD4� #$#,� -##� #$FF� 4-#� #,5#� .D#� #,.D� #,.1� #5,4� ,514� #5.,� ,$1.�5D-$� --$� 5D1.� ,-D5� #$#5� ,,#.� #$F1� #5#� #,5-� ,F$-� #,F$� ,41-� #5,.� ,-$F� #5.5� .DD�5D-,� ,$#F� 5D1F� D5F� #$##� .F-� #$FD� #$F1� #,54� #,5-� #,F,� F44� #5,F� #5,.� #5.#� F4#�5D-5� ,-F,� 5D11� ,$FD� #$#-� ,,-F� #$1$� ,F4� #,5.� ,4.#� #,F5� FD5� #5,1� ,.$1� #5.-� 544�5D-#� ,$1� 5D1D� 5--� #$#4� ,5,-� #$1,� F1� #,5F� 4#$� #,F#� 1#4� #5,D� ...� #5.4� ,#$4�5D--� 5$-F� 5DD$� 5DD� #$#.� 451� #$15� F#.� #,51� ,,$-� #,F-� 451� #55$� ,.$� #5..� 14,�5D-4� 41D� 5DD,� DD.� #$#F� #$#.� #$1#� #$15� #,5D� --F� #,F4� ,45-� #55,� #55$� #5.F� 5-5�5D-.� -D,� 5DD5� ,$11� #$#1� 411� #$1-� ,FDD� #,#$� D#D� #,F.� ,D1-� #555� ,FD� #5.1� 1,.�5D-F� -5$� 5DD#� .4.� #$#D� ,$,#� #$14� ,5#-� #,#,� -$#� #,FF� ,-,5� #55#� 1FD� #5.D� ,-$$�5D-1� F#.� 5DD-� ,-D.� #$-$� ,5,4� #$1.� ,4-#� #,#5� F1#� #,F1� ,411� #55-� ,-4.� #5F$� -#4�5D-D� D1#� 5DD4� 4DD� #$-,� #$-$� #$1F� #-5� #,##� -1,� #,FD� ,,44� #554� #$$� #5F,� #5F$�5D4$� ,-F4� 5DD.� ,,F.� #$-5� .F4� #$11� ,D5� #,#-� ,4.F� #,1$� ,4D� #55.� ,.,5� #5F5� 51.#�5D4,� -4-� 5DDF� ,5D4� #$-#� #4F� #$1D� #$11� #,#4� 5$D� #,1,� #,1$� #55F� -.,� #5F#� ,$D,�5D45� 51F� 5DD1� ,-DD� #$--� F.$� #$D$� 4,4� #,#.� 5#$#� #,15� ,##5� #551� 1$F� #5F-� ,.#.�5D4#� 5D45� 5DDD� 5DD1� #$-4� ,F-� #$D,� 4.,� #,#F� #,#.� #,1#� ,$.,� #55D� #551� #5F4� 45-�5D4-� ,-F.� #$$$� .5-� #$-.� ,45#� #$D5� 5#,D� #,#1� ,4.1� #,1-� ,FD,� #5#$� -F4� #5F.� F51�5D44� 4D$� #$$,� #$$$� #$-F� ,#14� #$D#� ,$#,� #,#D� F#$� #,14� ,D4� #5#,� #4D� #5FF� ,,#$�5D4.� 55,.� #$$5� ,4$$� #$-1� ,D$-� #$D-� 5F5� #,-$� F1-� #,1.� .-1� #5#5� ,D,D� #5F1� ,.#D�5D4F� 5D4.� #$$#� FF� #$-D� #$-1� #$D4� .,D� #,-,� ,#D4� #,1F� #,1.� #5##� ,5,D� #5FD� ,$D5�5D41� 5$#� #$$-� F4,� #$4$� DF4� #$D.� ,#F.� #,-5� ,4F,� #,11� 5#D,� #5#-� --$� #51$� ,$5-�5D4D� 4#1� #$$4� .$$� #$4,� ,5-5� #$DF� ,,-$� #,-#� --1� #,1D� ,$.5� #5#4� ,5D-� #51,� 4F1�5D.$� -1$� #$$.� ,4$#� #$45� ,F-#� #$D1� ,4-1� #,--� ,--$� #,D$� #,D� #5#.� 1$1� #515� ,.-$�5D.,� ,11� #$$F� FF4� #$4#� ,-,D� #$DD� ,$#5� #,-4� .5D� #,D,� #,D$� #5#F� ..#� #51#� ,5F#�5D.5� ,-1$� #$$1� 5#$#� #$4-� ,45F� #,$$� FF4� #,-.� #.#� #,D5� #DD� #5#1� ,.,D� #51-� 5-.#�5D.#� 5D.5� #$$D� 11-� #$44� 5#-� #,$,� ,#5D� #,-F� ,$-D� #,D#� #$D� #5#D� ,,$.� #514� 41-�5D.-� -44� #$,$� #$$� #$4.� ,D,� #,$5� 4,.� #,-1� 5#.$� #,D-� ,4D.� #5-$� 1$� #51.� #F,�5D.4� ,,14� #$,,� #$,$� #$4F� ,$,D� #,$#� ,#D,� #,-D� -.D� #,D4� .#D� #5-,� -.5� #51F� ,44F�5D..� ,-1#� #$,5� F45� #$41� ,,,,� #,$-� #$$F� #,4$� 55-� #,D.� FDD� #5-5� ,.5$� #511� D4D�5D.F� #--� #$,#� ,#,$� #$4D� #55� #,$4� -4D� #,4,� ,#F� #,DF� ,#1� #5-#� ,$#-� #51D� 4$.�5D.1� 1-F� #$,-� ,5#5� #$.$� ,#4� #,$.� ,445� #,45� 54.$� #,D1� FFD� #5--� 5-#5� #5D$� ,-$�5D.D� 5D.1� #$,4� ,#-� #$.,� #$.$� #,$F� ,,D4� #,4#� ,$4$� #,DD� ,#F,� #5-4� .-D� #5D,� ,$DF�5DF$� 4#D� #$,.� ,5-F� #$.5� ,4#,� #,$1� ,,,� #,4-� ..-� #5$$� ,$5-� #5-.� 4-$� #5D5� 15#�5DF,� 5DF$� #$,F� 1.,� #$.#� ,$5$� #,$D� #,$1� #,44� .#$� #5$,� 415� #5-F� F.-� #5D#� ---�5DF5� F-#� #$,1� 4$#� #$.-� #1#� #,,$� ,5--� #,4.� 5.#� #5$5� ,.$$� #5-1� .$1� #5D-� 5-#�5DF#� DD$� #$,D� #$,1� #$.4� ,554� #,,,� #$4� #,4F� 51.� #5$#� #5$5� #5-D� #.$� #5D4� .4D�5DF-� ,-1F� #$5$� ,#4D� #$..� 1F4� #,,5� ,,.F� #,41� ,4FD� #5$-� F,,� #54$� .5-� #5D.� 5#.1�

�..� 6�A��(5P�4���*$L; >

Page 203: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<=< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��,4���(�(=5P�4���*$L; >$*& Q?<C1;(>?FF2� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >#5DF� #,-� ##-#� ##-5� ##1D� ##11� #-#4� D,4� #-1,� #-1$� #45F� #45.� #4F#� #D.� #.,D� #5D�#5D1� .FD� ##--� F$#� ##D$� ##D� #-#.� 54F.� #-15� ,F-$� #451� F1#� #4F-� ,F1F� #.5$� D$-�#5DD� #5D1� ##-4� ..D� ##D,� ##D$� #-#F� -D$� #-1#� ,#F.� #45D� #451� #4F4� .-D� #.5,� -54�##$$� 15-� ##-.� ,.F5� ##D5� ,4#.� #-#1� F.-� #-1-� 1F,� #4#$� ,$4D� #4F.� --F� #.55� ,1,,�##$,� ##$$� ##-F� ##-.� ##D#� ,,.� #-#D� #.,� #-14� 5$-� #4#,� -51� #4FF� ,-.� #.5#� #.55�##$5� 4$F� ##-1� 5,.� ##D-� ,.D.� #--$� ,#F4� #-1.� 1#� #4#5� 5.-1� #4F1� ,F11� #.5-� ,$4.�##$#� ,-.F� ##-D� D14� ##D4� .FD� #--,� ,14� #-1F� ,41-� #4##� #4#5� #4FD� ,,D#� #.54� ,.5-�##$-� D--� ##4$� 5$$� ##D.� 1-1� #--5� ,F5$� #-11� 5D-#� #4#-� 411� #41$� 1D4� #.5.� ,-F�##$4� ..$� ##4,� ,,,.� ##DF� -F#� #--#� .5.� #-1D� ,,.#� #4#4� 4$-� #41,� #41$� #.5F� 441�##$.� 44,� ##45� 5$D4� ##D1� ,.DD� #---� 51F� #-D$� ,#D4� #4#.� 1#5� #415� ,4D5� #.51� 5F5$�##$F� ##$.� ##4#� D41� ##DD� #$1� #--4� .1D� #-D,� #-D$� #4#F� D,F� #41#� #415� #.5D� ,D$�##$1� 5-1$� ##4-� ,5-F� #-$$� FDD� #--.� ,F5#� #-D5� 1F5� #4#1� ,,4D� #41-� #$F5� #.#$� ,5$�##$D� ,,$#� ##44� 4-D� #-$,� ,54#� #--F� F.4� #-D#� ,-DF� #4#D� #4#1� #414� 5#D� #.#,� #.#$�##,$� ,#5-� ##4.� 1#D� #-$5� F51� #--1� -#,� #-D-� ,F-F� #4-$� D--� #41.� ,FD5� #.#5� 5-D.�##,,� D$5� ##4F� F-.� #-$#� 15� #--D� #--1� #-D4� -.4� #4-,� #4-$� #41F� ,$4-� #.##� 4,1�##,5� 4F4� ##41� ,.FD� #-$-� ,1-� #-4$� 5F4� #-D.� ,#,,� #4-5� 545� #411� 5$F� #.#-� 445�##,#� ##,5� ##4D� ##41� #-$4� .1$� #-4,� 5$#� #-DF� 1$.� #4-#� ,,1,� #41D� FF.� #.#4� ,-4-�##,-� ,.4.� ##.$� #1-� #-$.� ,4F5� #-45� 1.#� #-D1� 5.-� #4--� ,#51� #4D$� #4D� #.#.� 4$-�##,4� #D$� ##.,� ##.$� #-$F� #-$.� #-4#� ,,4,� #-DD� #-D1� #4-4� F$D� #4D,� ,1D� #.#F� #.#.�##,.� 5-1F� ##.5� ,.1$� #-$1� .#D� #-4-� .5F� #4$$� ,$$$� #4-.� ,4F4� #4D5� --1� #.#1� F-1�##,F� ,,FF� ##.#� 4#,� #-$D� DF#� #-44� .D$� #4$,� ,44.� #4-F� #4-.� #4D#� #4D5� #.#D� ,5,5�##,1� #,4� ##.-� 1-$� #-,$� #-$� #-4.� 4,5� #4$5� ,.-1� #4-1� 11F� #4D-� 4DD� #.-$� 44D�##,D� ##,1� ##.4� ,#-4� #-,,� #F1� #-4F� #-4.� #4$#� ,41,� #4-D� ,.1� #4D4� F,D� #.-,� ##$�##5$� -,4� ##..� F-F� #-,5� 544D� #-41� -44� #4$-� ,15-� #44$� ,FF4� #4D.� -.-� #.-5� ,15$�##5,� 1,� ##.F� 54D� #-,#� #-,5� #-4D� ,,45� #4$4� F$$� #44,� ,5F5� #4DF� ,$1D� #.-#� #.-5�##55� .$-� ##.1� ,5.#� #-,-� ,F$F� #-.$� 4,D� #4$.� ,F45� #445� ,..-� #4D1� ,$51� #.--� D,,�##5#� ##55� ##.D� ,,55� #-,4� ,#.4� #-.,� #-.$� #4$F� ,.F� #44#� D.1� #4DD� ,F.D� #.-4� F5D�##5-� 1#,� ##F$� ,.1-� #-,.� .F,� #-.5� 4F.� #4$1� 5.#,� #44-� ,FF.� #.$$� 55-� #.-.� ,15#�##54� #DD� ##F,� ##F$� #-,F� ,$F,� #-.#� #-.5� #4$D� F54� #444� #,4� #.$,� 1#,� #.-F� ,$-5�##5.� ,..#� ##F5� ,D.F� #-,1� ,F$1� #-.-� -#5� #4,$� #5-� #44.� 111� #.$5� ,1$$� #.-1� 4,5�##5F� ,,$D� ##F#� ##F5� #-,D� ,$45� #-.4� --$� #4,,� #4,$� #44F� #44.� #.$#� ,5$$� #.-D� 4##�##51� 54.$� ##F-� ,5$-� #-5$� #.$� #-..� ,F#5� #4,5� #$F5� #441� ,FFD� #.$-� -5-� #.4$� 1F4�##5D� ##51� ##F4� DDD� #-5,� ,5-#� #-.F� #-..� #4,#� ,,F$� #44D� #441� #.$4� F5$� #.4,� ,5,F�###$� DDD� ##F.� ,$44� #-55� ,.45� #-.1� 511� #4,-� 54,� #4.$� 1$$� #.$.� .$$� #.45� D,5�###,� ###$� ##FF� #$F� #-5#� -1D� #-.D� #-.1� #4,4� ..4� #4.,� ,,1F� #.$F� #.$.� #.4#� ,-$-�###5� #D,� ##F1� 4.#� #-5-� #5$� #-F$� ,$-$� #4,.� 1FD� #4.5� ,4$F� #.$1� ,D.1� #.4-� F1#�####� .$4� ##FD� 5,F� #-54� 5F-� #-F,� 4##� #4,F� #4,.� #4.#� ,45.� #.$D� 1$,� #.44� 14�###-� ,..F� ##1$� ,45$� #-5.� ,F,5� #-F5� ,D45� #4,1� ,F4D� #4.-� .-1� #.,$� #.$� #.4.� #,DD�###4� ,,4� ##1,� F#4� #-5F� 5D1� #-F#� ,$4F� #4,D� -4D� #4.4� .5$� #.,,� D-5� #.4F� .1D�###.� -,.� ##15� ,-5-� #-51� 14.� #-F-� ,F#.� #45$� #1-� #4..� ,F1#� #.,5� D$#� #.41� ,5#D�###F� ,-,� ##1#� ,#D#� #-5D� ,5.D� #-F4� ,54$� #45,� 4$#� #4.F� -D5� #.,#� #.,5� #.4D� #.41�###1� ,..1� ##1-� ,4$#� #-#$� ,F,4� #-F.� ,5.-� #455� 41F� #4.1� 55#� #.,-� -,.� #..$� DF4�###D� -F.� ##14� ,#4-� #-#,� .4F� #-FF� 14-� #45#� ,.54� #4.D� ,,.,� #.,4� 5-$� #..,� ,4.1�##-$� ,##4� ##1.� ,.D5� #-#5� ,-#� #-F1� ,F#D� #45-� 11$� #4F$� 1-� #.,.� ,D5$� #..5� ,1#,�##-,� ,$5F� ##1F� ,,51� #-##� #-#5� #-FD� ,-5$� #454� #F4� #4F,� #4F$� #.,F� #.,.� #..#� 5D.�##-5� ,.F,� ##11� 1-F� #-#-� ,.,4� #-1$� ,--� #45.� 1.$� #4F5� ,11$� #.,1� ,1$1� #..-� 5DF.�

Page 204: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<=? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��,4���(�((5P�4���*$L; >$*& Q?FF3;(>2=?<� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >#..4� ,-.4� #F,,� ,5#.� #F4F� ,,4.� #1$#� #1$5� #1-D� ,51#� #1D4� FFD� #D-,� ,,5.� #D1F� ,FF5�#...� .,,� #F,5� ,4#.� #F41� ,1FD� #1$-� D4,� #14$� ,F4� #1D.� #-$1� #D-5� ,DF,� #D11� 5DD,�#..F� ,,41� #F,#� ,F#1� #F4D� #4F� #1$4� F.$� #14,� #14$� #1DF� -#5� #D-#� #D-5� #D1D� #D11�#..1� #D5� #F,-� ,14.� #F.$� F$-� #1$.� .D5� #145� 144� #1D1� ,D-1� #D--� 5,F4� #DD$� #DD�#..D� ,55#� #F,4� ,-14� #F.,� #F.$� #1$F� ,-4F� #14#� #145� #1DD� ,,,#� #D-4� 454� #DD,� ,4#-�#.F$� ,,$$� #F,.� D51� #F.5� 1#.� #1$1� 1#5� #14-� #51� #D$$� .5-� #D-.� ,DF5� #DD5� 5-D4�#.F,� #.F$� #F,F� -,#� #F.#� 5,5� #1$D� 414� #144� FF$� #D$,� ,-,$� #D-F� #D-.� #DD#� ,##,�#.F5� ,#F.� #F,1� ,#45� #F.-� 515#� #1,$� #1$� #14.� #.,4� #D$5� ,D4,� #D-1� ,,5F� #DD-� ,DD.�#.F#� #.F5� #F,D� #F,1� #F.4� ,$$-� #1,,� ,--5� #14F� .$1� #D$#� ,#$,� #D-D� ,$FF� #DD4� FDD�#.F-� 1#4� #F5$� -.-� #F..� ,#--� #1,5� D45� #141� ,D51� #D$-� ,51$� #D4$� ,4$$� #DD.� 5D.�#.F4� ,,F4� #F5,� #F5$� #F.F� #F..� #1,#� ,5#� #14D� .1$� #D$4� F1$� #D4,� ,F44� #DDF� ,,-,�#.F.� D,D� #F55� ,1.$� #F.1� ,F5F� #1,-� ,D$F� #1.$� ,4--� #D$.� 5,.� #D45� ,F51� #DD1� ,DDD�#.FF� #.F.� #F5#� 4,$� #F.D� #F.1� #1,4� 4-4� #1.,� #4,� #D$F� #D$.� #D4#� ,-F-� #DDD� 441�#.F1� .,5� #F5-� ,4,D� #FF$� 5.$� #1,.� ,$$F� #1.5� ,D#,� #D$1� DF.� #D4-� .4D� -$$$� 5.5-�#.FD� ,,#,� #F54� ,-D� #FF,� 1#F� #1,F� .D#� #1.#� #1.5� #D$D� ,#$5� #D44� FD$� -$$,� -$$$�#.1$� 4F4� #F5.� ,1.#� #FF5� #.1� #1,1� ,D$1� #1.-� F#4� #D,$� -4D� #D4.� #--� -$$5� 44,�#.1,� 1,1� #F5F� #F5.� #FF#� ,F,4� #1,D� ,,#D� #1.4� ,4-4� #D,,� #D,$� #D4F� ,#,D� -$$#� -$$5�#.15� ,#,4� #F51� ,.#,� #FF-� -$F� #15$� ,F,D� #1..� ,D#5� #D,5� 1,4� #D41� ,DFD� -$$-� ,$$$�#.1#� ,$,4� #F5D� FD,� #FF4� ,4$� #15,� #15$� #1.F� ,51D� #D,#� 44D� #D4D� D.5� -$$4� 1D�#.1-� D5$� #F#$� ,,,D� #FF.� F.F� #155� ,D4� #1.1� D.F� #D,-� ,5#4� #D.$� -D4� -$$.� 5$$#�#.14� .F$� #F#,� 51.� #FFF� ,54D� #15#� #155� #1.D� 41#� #D,4� -$4� #D.,� ,.#,� -$$F� -$$.�#.1.� ,1-#� #F#5� #,,� #FF1� ,111� #15-� #41-� #1F$� 5,4� #D,.� 11� #D.5� ,D1$� -$$1� ,4$#�#.1F� ,55D� #F##� #F#5� #FFD� #FF1� #154� D$$� #1F,� ,-5,� #D,F� #D,.� #D.#� ,#5$� -$$D� ,1DD�#.11� 5#$-� #F#-� ,1.F� #F1$� D--� #15.� ,D,5� #1F5� ,$11� #D,1� ,D4D� #D.-� DD,� -$,$� -$$�#.1D� F,#� #F#4� -,-� #F1,� #D1� #15F� ,5-.� #1F#� ,5D$� #D,D� #D,1� #D.4� .,$� -$,,� 4F#�#.D$� 1,D� #F#.� 5##4� #F15� ,1D,� #151� 1F� #1F-� ,D#.� #D5$� F#4� #D..� ..$� -$,5� ,11F�#.D,� #.D$� #F#F� ,,,$� #F1#� ,D-� #15D� 4-.� #1F4� ,5-� #D5,� ,#$F� #D.F� #D..� -$,#� -$,5�#.D5� ,F$#� #F#1� #4.� #F1-� ,#F4� #1#$� ,D,4� #1F.� ,45� #D55� ,D.$� #D.1� ,$5#� -$,-� 1D,�#.D#� ,5#$� #F#D� #F#1� #F14� ,4,-� #1#,� ,5FF� #1FF� #1F.� #D5#� #D55� #D.D� ,1.5� -$,4� 5,D�#.D-� ,1-F� #F-$� 4.$� #F1.� ,1D5� #1#5� -FD� #1F1� ,D#D� #D5-� 1F5� #DF$� ,D1-� -$,.� #5.#�#.D4� F#D� #F-,� 1.� #F1F� ,.5#� #1##� #1#5� #1FD� -#,� #D54� ,$DD� #DF,� ,1$-� -$,F� ,5#4�#.D.� #1-� #F-5� ,1F,� #F11� 51-$� #1#-� 4.F� #11$� ,-44� #D5.� ,5$1� #DF5� DD5� -$,1� ,F.#�#.DF� #.D.� #F-#� ,4F.� #F1D� ,.1#� #1#4� .-D� #11,� #11$� #D5F� ,4#� #DF#� ,4$F� -$,D� -$,1�#.D1� ,1-1� #F--� ,..-� #FD$� #FD� #1#.� D4D� #115� .-F� #D51� ,-F5� #DF-� ,D1F� -$5$� 5$$�#.DD� ,F1,� #F-4� F-D� #FD,� ,F1-� #1#F� ,5F1� #11#� #45� #D5D� #D51� #DF4� D$$� -$5,� -$5$�#F$$� DDD� #F-.� ,1F5� #FD5� ,,1-� #1#1� #$#� #11-� 5D,5� #D#$� 45-� #DF.� -D.� -$55� 5$,,�#F$,� #F$$� #F-F� ,5-1� #FD#� #FD5� #1#D� ,#D.� #114� .5D� #D#,� #D#$� #DFF� ,$..� -$5#� 5DF�#F$5� ,14,� #F-1� D#.� #FD-� 1,5� #1-$� ,4#4� #11.� ,$F5� #D#5� D1#� #DF1� .,,� -$5-� #45$�#F$#� ,$4F� #F-D� ,FD#� #FD4� 5#$� #1-,� ..F� #11F� 4$.� #D##� 1F#� #DFD� #-4� -$54� 4F-�#F$-� -.#� #F4$� .5-� #FD.� 41-� #1-5� ##D� #111� ,5,4� #D#-� 51$� #D1$� ,DD� -$5.� .F,�#F$4� 514� #F4,� ,5$D� #FDF� #FD.� #1-#� 14-� #11D� #111� #D#4� ,4F-� #D1,� ,#5.� -$5F� -$5.�#F$.� 4--� #F45� ##4� #FD1� ,-F.� #1--� D.$� #1D$� ,444� #D#.� ,4DD� #D15� ,.51� -$51� ,$$F�#F$F� ,$,,� #F4#� DF5� #FDD� 5.,� #1-4� F.D� #1D,� ,5D.� #D#F� ,5F$� #D1#� ,F$F� -$5D� 5#F�#F$1� F5$� #F4-� ,1F.� #1$$� #DD� #1-.� ,D5#� #1D5� ,,,5� #D#1� F,4� #D1-� 55-$� -$#$� ,44�#F$D� #F$1� #F44� F4$� #1$,� ,$14� #1-F� #1-.� #1D#� -41� #D#D� D$D� #D14� ,4D-� -$#,� .D4�#F,$� ,-1-� #F4.� #,5� #1$5� ,D$$� #1-1� -1$� #1D-� ,F.� #D-$� D1-� #D1.� ,DD5� -$#5� ,FD,�

�..� 6�A��(5P�4���*$L; >

Page 205: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<=2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��,4���(�(<5P�4���*$L; >$*& Q2=??;(>22==� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >-$##� ,D.,� -$FD� -$F1� -,54� #F-� -,F,� #1F� -5,F� -5,.� -5.#� F1#� -#$D� 5F1� -#44� 1F$�-$#-� 5$,.� -$1$� 544� -,5.� 5$.#� -,F5� --F� -5,1� F-$� -5.-� ,#,5� -#,$� ,F5-� -#4.� ,$11�-$#4� 5.D� -$1,� 1-F� -,5F� -,5.� -,F#� -51� -5,D� -5,1� -5.4� ,F$4� -#,,� ,D,.� -#4F� -#4.�-$#.� ,$$1� -$15� ,4.� -,51� ,51� -,F-� 5$1F� -55$� ,$44� -5..� 5,#5� -#,5� ,.,.� -#41� 5,FD�-$#F� ,,$$� -$1#� ,#.,� -,5D� -,51� -,F4� 4$$� -55,� -.1� -5.F� ,$$#� -#,#� 55F� -#4D� ,-45�-$#1� .F5� -$1-� #$.#� -,#$� D--� -,F.� D5F� -555� 5,,,� -5.1� ,44,� -#,-� F,D� -#.$� 4--�-$#D� ,,4-� -$14� .-4� -,#,� ,F$$� -,FF� -,F.� -55#� 5$4� -5.D� ,-55� -#,4� ,F54� -#.,� DFD�-$-$� ,.,4� -$1.� D$1� -,#5� ,$#5� -,F1� 5$11� -55-� ,$5#� -5F$� 5--� -#,.� -,4� -#.5� 5,1$�-$-,� --D� -$1F� .F$� -,##� -,#5� -,FD� #D1� -554� .F4� -5F,� -5F$� -#,F� ,-#D� -#.#� -#.5�-$-5� 4,.� -$11� 4,,� -,#-� .#.� -,1$� F4D� -55.� 5,,5� -5F5� 1$$� -#,1� ,D$-� -#.-� #5F5�-$-#� #,,� -$1D� D1.� -,#4� ,.4-� -,1,� 5$#-� -55F� ,-$D� -5F#� -5F5� -#,D� .,.� -#.4� -14�-$--� ##.� -$D$� ,.#4� -,#.� F$-� -,15� 5$-� -551� ,$4.� -5F-� 5,#.� -#5$� ,5,4� -#..� 5D4�-$-4� 1$D� -$D,� -$D$� -,#F� ,,15� -,1#� ,.D,� -55D� -551� -5F4� ,$54� -#5,� ,$-#� -#.F� #D.�-$-.� 1.F� -$D5� -D4� -,#1� 5$.1� -,1-� ,4.1� -5#$� ,$1$� -5F.� #5$F� -#55� 5,.$� -#.1� 1D.�-$-F� 51-� -$D#� -$D5� -,#D� -,#1� -,14� .5$� -5#,� -5#$� -5FF� D1F� -#5#� ,#,� -#.D� 5$4.�-$-1� F#.� -$D-� F,5� -,-$� 4F4� -,1.� D,� -5#5� 451� -5F1� D5� -#5-� ,$1$� -#F$� F4D�-$-D� -$-1� -$D4� D$� -,-,� ,#,5� -,1F� ,41� -5##� ..#� -5FD� ,,..� -#54� 5$F4� -#F,� D#�-$4$� #5-� -$D.� 1,D,� -,-5� -#.� -,11� ,$-F� -5#-� ,DF,� -51$� #5$� -#5.� #$1� -#F5� #5FD�-$4,� -$4$� -$DF� ,--4� -,-#� ,#1$� -,1D� #4-� -5#4� ,5,$� -51,� ,-5F� -#5F� -#5.� -#F#� -#F5�-$45� #$#D� -$D1� .1#� -,--� ,,1#� -,D$� -,D� -5#.� 5-F,� -515� 5,-$� -#51� 5F$-� -#F-� 5,1F�-$4#� D.4� -$DD� -$D1� -,-4� 15D� -,D,� ,,-#� -5#F� 1D5� -51#� -515� -#5D� F$5� -#F4� ,1F4�-$4-� 5$5F� -,$$� ,$5-� -,-.� 5$F5� -,D5� 5F4,� -5#1� 5,,D� -51-� ,$F,� -##$� ,5DD� -#F.� 5F#4�-$44� 1,$� -,$,� ,#.F� -,-F� .#F� -,D#� ,,DF� -5#D� ,F5F� -514� ,F,-� -##,� -5.� -#FF� ,-41�-$4.� ,45$� -,$5� 5$4,� -,-1� ,F.1� -,D-� ,1.#� -5-$� ,4D� -51.� 5,-#� -##5� #.$� -#F1� 5,11�-$4F� -$4.� -,$#� #F#� -,-D� ,1--� -,D4� 1#D� -5-,� -5-$� -51F� ,-51� -###� ,5#1� -#FD� F4-�-$41� 5$51� -,$-� 4,5� -,4$� 5$F4� -,D.� ,$-1� -5-5� 4$-� -511� ,-$F� -##-� 5,.F� -#1$� 41-�-$4D� -4$� -,$4� 15$� -,4,� ,FF1� -,DF� ,#D1� -5-#� -5-5� -51D� -511� -##4� ,,44� -#1,� ##F�-$.$� 1-$� -,$.� 5$45� -,45� 1.-� -,D1� 5$DD� -5--� #,1#� -5D$� F1$� -##.� -$.-� -#15� ,545�-$.,� ,,F1� -,$F� ,#.1� -,4#� -,45� -,DD� -D#� -5-4� 1-D� -5D,� ,554� -##F� -##.� -#1#� -1.�-$.5� 5$#,� -,$1� ,DF4� -,4-� 5$F.� -5$$� 55-� -5-.� 5,5#� -5D5� ,$F5� -##1� D.#� -#1-� D4D�-$.#� 5#1� -,$D� 41F� -,44� 44-� -5$,� -5$$� -5-F� ,.-#� -5D#� ,#FF� -##D� -##1� -#14� ,F4-�-$.-� ,5F� -,,$� .1-� -,4.� ,$#D� -5$5� 4F5� -5-1� D--� -5D-� 5,-F� -#-$� 5FD� -#1.� F#,�-$.4� 5F$� -,,,� -,,$� -,4F� -,4.� -5$#� -.F� -5-D� ,15$� -5D4� 14D� -#-,� ,--.� -#1F� ,D5.�-$..� 144� -,,5� 54.� -,41� 4#D� -5$-� #,45� -54$� 5,5-� -5D.� ,D.1� -#-5� 5,F,� -#11� ,$D.�-$.F� ,$F1� -,,#� ,15F� -,4D� -,41� -5$4� 1-$� -54,� 4-4� -5DF� -5D.� -#-#� 5$5$� -#1D� ,#5�-$.1� FD,� -,,-� D.1� -,.$� ,..-� -5$.� 5,$#� -545� ,$.#� -5D1� #$F� -#--� 4-#� -#D$� -#D�-$.D� #,5� -,,4� ,.-4� -,.,� -#F� -5$F� .$,� -54#� -545� -5DD� ,-##� -#-4� #D4� -#D,� -#D$�-$F$� D5-� -,,.� 5-$$� -,.5� 5$1$� -5$1� 5#.F� -54-� F$1� -#$$� ,#F4� -#-.� ,5F,� -#D5� ,.-F�-$F,� -,#� -,,F� ,.,$� -,.#� ,--1� -5$D� ,1#� -544� ,1-� -#$,� F1,� -#-F� ,.,� -#D#� ,D$D�-$F5� 54--� -,,1� ,-5$� -,.-� ,$-$� -5,$� -5$� -54.� ,F51� -#$5� 5,4,� -#-1� ,$1F� -#D-� 5,D.�-$F#� -$F5� -,,D� ,#F#� -,.4� ,55-� -5,,� -5,$� -54F� D-4� -#$#� ..5� -#-D� -#-1� -#D4� 414�-$F-� FF.� -,5$� F5$� -,..� 5$1#� -5,5� F51� -541� 5,51� -#$-� ,#--� -#4$� 1DD� -#D.� F1-�-$F4� #54� -,5,� ,414� -,.F� D5.� -5,#� ,D,-� -54D� -541� -#$4� 5-4� -#4,� 551� -#DF� -#D.�-$F.� #$4.� -,55� 5$.$� -,.1� #.-F� -5,-� #-#� -5.$� .#D� -#$.� 5,45� -#45� -$D.� -#D1� F#5�-$FF� F44� -,5#� 411� -,.D� F41� -5,4� ,,5-� -5.,� -5.$� -#$F� ,4##� -#4#� ,-4,� -#DD� ,D$1�-$F1� 5$#D� -,5-� ,$#,� -,F$� 444� -5,.� 45F� -5.5� 5,#,� -#$1� #4D� -#4-� 5,F.� --$$� ,#F4�

Page 206: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<=3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��,4���(�(?5P�4���*$L; >$*& Q22=(;(>21F0� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >--$,� ,.5� ---F� ---.� --D#� --D5� -4#D� #4.� -414� � 45-� -.#,� ,.1#� -.FF� ,44D� -F5#� -F55�--$5� -D.� ---1� -$#,� --D-� ,,F.� -4-$� .1$� -41.� 55D5� -.#5� ,D5� -.F1� 5##D� -F5-� #4-#�--$#� .5D� ---D� ,-15� --D4� -#-� -4-,� ,.F5� -41F� -,F� -.##� -4,� -.FD� -.F1� -F54� #4$�--$-� 54.1� --4$� 1$$� --D.� 5451� -4-5� F4.� -411� 5-FD� -.#-� ,#5#� -.1$� ,45$� -F5.� 5#.#�--$4� 11$� --4,� --4$� --DF� ,-DD� -4-#� 154� -41D� 5,,1� -.#4� F5$� -.1,� ,5$1� -F5F� ,#$-�--$.� 55$#� --45� ,$$F� --D1� 4,D� -4--� .#D� -4D$� ,#4� -.#.� #$-� -.15� 5#-$� -F51� 4D,�--$F� ##1� --4#� #.4� --DD� 5$-4� -4-4� -$-� -4D,� -4D$� -.#F� -.#.� -.1#� ,##F� -F5D� -F51�--$1� .$1� --4-� 555F� -4$$� DDD� -4-.� 55F5� -4D5� 51F� -.#1� 5#,D� -.1-� #4,5� -F#$� ,#F4�--$D� --$1� --44� 1D$� -4$,� .-#� -4-F� -4-.� -4D#� ,4#$� -.#D� -.#1� -.14� ,1F-� -F#,� D,5�--,$� --$� --4.� 5F1-� -4$5� 554,� -4-1� ,,#.� -4D-� 55D.� -.-$� #,D� -.1.� F1$� -F#5� ,.1�--,,� 1$5� --4F� --4.� -4$#� -F-� -4-D� -4-1� -4D4� D,D� -.-,� 5F5� -.1F� ,.#-� -F##� -F#5�--,5� ,,$#� --41� F-#� -4$-� 51,4� -44$� ,$$$� -4D.� #1#� -.-5� ,$44� -.11� #1$1� -F#-� ,$45�--,#� ,-F$� --4D� ,F,4� -4$4� -5-� -44,� #.D� -4DF� -4D.� -.-#� -.-5� -.1D� 45,� -F#4� ,1D-�--,-� 55$F� --.$� ,4.$� -4$.� 5545� -445� #D1#� -4D1� D.1� -.--� 5,4� -.D$� ##4� -F#.� #$F,�--,4� ,F.4� --.,� ,-1F� -4$F� -4$.� -44#� ,11-� -4DD� .4F� -.-4� D5D� -.D,� -.D$� -F#F� ,4F1�--,.� 1D.� --.5� 55#,� -4$1� #D,� -44-� 545� -.$$� 4F4� -.-.� 5#5#� -.D5� ,,$-� -F#1� 5#.1�--,F� .#$� --.#� --.5� -4$D� ,1#.� -444� D,$� -.$,� 5,-� -.-F� ,4-1� -.D#� ,--#� -F#D� 5$#$�--,1� 55$1� --.-� ,D45� -4,$� ,.-� -44.� ,$F,� -.$5� F.F� -.-1� ,F-#� -.D-� 5#-F� -F-$� ,,1-�--,D� D1,� --.4� D-� -4,,� ,$-$� -44F� 411� -.$#� -.$5� -.-D� -.-1� -.D4� D#D� -F-,� 5,44�--5$� D#4� --..� 5#,� -4,5� F$-� -441� .11� -.$-� ,,4,� -.4$� 1DD� -.D.� ,F.$� -F-5� 5#F,�--5,� --5$� --.F� ,-11� -4,#� -4,5� -44D� ,44,� -.$4� .,-� -.4,� -.4$� -.DF� .F,� -F-#� ,$4#�--55� 1$#� --.1� ##4,� -4,-� ,$#.� -4.$� D4� -.$.� ,,5F� -.45� #-11� -.D1� ,D-#� -F--� 4D5�--5#� --55� --.D� #5F� -4,4� #$$� -4.,� -4.$� -.$F� 5F,� -.4#� 1-.� -.DD� 111� -F-4� #.-�--5-� ,#-#� --F$� F--� -4,.� ,,51� -4.5� 551$� -.$1� -$D4� -.4-� F,4� -F$$� #F4� -F-.� FD,�--54� 154� --F,� 45.� -4,F� -4,.� -4.#� .F4� -.$D� -,1� -.44� D#$� -F$,� ,4..� -F-F� 5$5$�--5.� 55,5� --F5� 44D� -4,1� 54,� -4.-� ,FD5� -.,$� -.$� -.4.� D.� -F$5� 5#4,� -F-1� #4.$�--5F� D#,� --F#� 4.F� -4,D� -4,1� -4.4� ,.4� -.,,� #,1� -.4F� -.4.� -F$#� -F$5� -F-D� ,41#�--51� 55D4� --F-� 55#.� -45$� ,.D4� -4..� 551#� -.,5� ,,45� -.41� ,#.� -F$-� 5#$#� -F4$� ,4$$�--5D� 4,4� --F4� ,$F-� -45,� ,5#5� -4.F� -4..� -.,#� .41� -.4D� ,44#� -F$4� D-$� -F4,� -F4$�--#$� 55,4� --F.� ,,,D� -455� -F4� -4.1� ,F,5� -.,-� F.1� -..$� ,1.-� -F$.� 5,F,� -F45� #4,�--#,� 5,$� --FF� ,##,� -45#� -455� -4.D� ,45#� -.,4� F1$� -..,� 5#.� -F$F� 455� -F4#� DF�--#5� 1#,� --F1� 55#D� -45-� ,5-F� -4F$� 551-� -.,.� 4F.� -..5� ,$#4� -F$1� ,,F.� -F4-� 5#F.�--##� ,5$D� --FD� ,-D#� -454� F5-� -4F,� ,D4D� -.,F� ,5,4� -..#� -..5� -F$D� ,D#1� -F44� D4$�--#-� 55,.� --1$� ,51$� -45.� ,5-$� -4F5� ,$,.� -.,1� 5#$1� -..-� 1-F� -F,$� ,11-� -F4.� .D.�--#4� ,FF-� --1,� --1$� -45F� 4$#� -4F#� ,.,-� -.,D� F--� -..4� ,5--� -F,,� .F5� -F4F� ,5$.�--#.� ##5F� --15� ,$FD� -451� #.FD� -4F-� 551F� -.5$� #1-� -...� 5##5� -F,5� ,4,D� -F41� FD5�--#F� F15� --1#� --15� -45D� ,5D-� -4F4� 4-D� -.5,� -.5$� -..F� ,FD-� -F,#� ,4F,� -F4D� -F41�--#1� D4,� --1-� ,,5$� -4#$� F44� -4F.� 5-#,� -.55� 5#,,� -..1� ,,.F� -F,-� 5#4.� -F.$� 4.$�--#D� D.4� --14� 5DD� -4#,� ,#FD� -4FF� 4DF� -.5#� 1$-� -..D� ,5,1� -F,4� 4F-� -F.,� 5,,4�---$� -1$� --1.� 55-#� -4#5� 15-� -4F1� D1$� -.5-� 511� -.F$� ,-$$� -F,.� ,--$� -F.5� 5#1$�---,� ---$� --1F� ,51,� -4##� ,4,,� -4FD� F55� -.54� DDD� -.F,� 1.-� -F,F� 5554� -F.#� ,5D1�---5� 555$� --11� 45F� -4#-� 55.F� -41$� ,,--� -.5.� ,FDD� -.F5� 4,,� -F,1� ##.� -F.-� ,,D,�---#� ,-1,� --1D� --11� -4#4� ,1,-� -41,� ,$,F� -.5F� ,#55� -.F#� -.F5� -F,D� #.#� -F.4� ,D$4�----� ,,,,� --D$� ,FD4� -4#.� ,5D4� -415� 55D,� -.51� .5#� -.F-� FFD� -F5$� ,,5$� -F..� 5#1#�---4� 11D� --D,� DD1� -4#F� 5$D#� -41#� -415� -.5D� ,4-5� -.F4� #F-� -F5,� -F5$� -F.F� ,,#-�---.� ,,D.� --D5� ##.1� -4#1� 55.1� -41-� ,D,� -.#$� 5#,4� -.F.� ,.F� -F55� 5#.$� -F.1� --F�

�..� 6�A��(5P�4���*$L; >

Page 207: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<=F �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��,4���(�(25P�4���*$L; >$*& Q21FC;(>3===� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; > L; >-F.D� ,54-� -FD1� 5#DD� -15F� ,.$1� -14.� .$F� -114� ,D4-� -D,-� F51� -D-#� -D-5� -DF5� FD,�-FF$� D$$� -FDD� -FD1� -151� ,5$F� -14F� ,.,D� -11.� 5--#� -D,4� ,D.4� -D--� D5F� -DF#� -DF5�-FF,� ,-.1� -1$$� 5,F4� -15D� -#D� -141� ,F#4� -11F� ,1$D� -D,.� #.1F� -D-4� #--� -DF-� 151�-FF5� ,,D5� -1$,� -1$$� -1#$� .--� -14D� D$#� -111� ,-4.� -D,F� 5DF� -D-.� 5-F5� -DF4� ,DD�-FF#� 541� -1$5� 5-$$� -1#,� -1#$� -1.$� ,5,4� -11D� -111� -D,1� 5-4D� -D-F� D.D� -DF.� 5,F.�-FF-� 1.1� -1$#� ,.$,� -1#5� #FF4� -1.,� -1.$� -1D$� 1,4� -D,D� -1,1� -D-1� #F,,� -DFF� #,4�-FF4� 5,$$� -1$-� ,5$$� -1##� ,-#,� -1.5� 55$� -1D,� 1$#� -D5$� ,4DD� -D-D� ,.,.� -DF1� 5-11�-FF.� ,#D5� -1$4� D.$� -1#-� 5-,.� -1.#� ,.5$� -1D5� ,55#� -D5,� ..4� -D4$� DD� -DFD� F..�-FFF� 4.,� -1$.� ,4,5� -1#4� ,D#-� -1.-� 4,5� -1D#� .DD� -D55� 5,#D� -D4,� -D4$� -D1$� ,$FD�-FF1� 5#11� -1$F� F4D� -1#.� ,5$1� -1.4� ,#D� -1D-� 5--F� -D5#� 5,1F� -D45� ,14.� -D1,� ,,F5�-FFD� .-1� -1$1� -5$F� -1#F� 5$F5� -1..� 5-#5� -1D4� 1D$� -D5-� ,5#,� -D4#� 4$F� -D15� -5#�-F1$� 5#D� -1$D� .1.� -1#1� D-#� -1.F� 5#44� -1D.� ,$11� -D54� ,4F4� -D4-� 5-F.� -D1#� ,$4.�-F1,� ,#.4� -1,$� 54D� -1#D� ,.,#� -1.1� ,5,.� -1DF� 55-,� -D5.� 5-.#� -D44� DD$� -D1-� .5#�-F15� 5#D,� -1,,� 1-D� -1-$� ,D#4� -1.D� 4-$� -1D1� 1.1� -D5F� 55F-� -D4.� D--� -D14� ,DD-�-F1#� -F15� -1,5� 51$F� -1-,� 5,.5� -1F$� ,-.$� -1DD� 14,� -D51� #1-� -D4F� -D4.� -D1.� ,,$F�-F1-� 1D.� -1,#� -1,5� -1-5� 5,4,� -1F,� -1F$� -D$$� ,,F4� -D5D� #F,� -D41� ,$F5� -D1F� -D1.�-F14� F54� -1,-� 41$� -1-#� ..F� -1F5� .$1� -D$,� ,$,-� -D#$� ,5F4� -D4D� ,$--� -D11� ,,.$�-F1.� 5#D5� -1,4� 144� -1--� ,D$#� -1F#� ,FF,� -D$5� ,F,� -D#,� -D#$� -D.$� D.$� -D1D� ,..5�-F1F� -F1.� -1,.� ,4$-� -1-4� ,F$� -1F-� 5-#.� -D$#� -D$5� -D#5� ,5#5� -D.,� 5-,D� -DD$� -DD�-F11� ,$$F� -1,F� -1,.� -1-.� 5-5#� -1F4� .5-� -D$-� ,1#D� -D##� -D#5� -D.5� 15F� -DD,� F,#�-F1D� -F11� -1,1� 5,D� -1-F� ,F$5� -1F.� 5D.F� -D$4� D1$� -D#-� 5-.F� -D.#� 5,5F� -DD5� F.F�-FD$� -FD� -1,D� ,#-5� -1-1� ,D,D� -1FF� -1F.� -D$.� 1D,� -D#4� ,-$� -D.-� ,5-$� -DD#� -DD5�-FD,� ,4D.� -15$� 5-$� -1-D� ,,,1� -1F1� 5,.1� -D$F� F$$� -D#.� -#,D� -D.4� ##$� -DD-� ,1,4�-FD5� -,D5� -15,� ,.$F� -14$� FF4� -1FD� ,,1D� -D$1� -$1� -D#F� -D#.� -D..� 4F5� -DD4� DDD�-FD#� -FD5� -155� 5-,,� -14,� D1� -11$� ,51$� -D$D� -D$1� -D#1� 5-.1� -D.F� -D..� -DD.� ,5-1�-FD-� .,,� -15#� .#.� -145� #.#D� -11,� ,.5.� -D,$� ,D.-� -D#D� 55--� -D.1� 5D-#� -DDF� ,4FF�-FD4� .14� -15-� ,$F,� -14#� ,5.4� -115� 5--$� -D,,� ,.#F� -D-$� -44� -D.D� -D.1� -DD1� ,55-�-FD.� ,,DD� -154� ,#4$� -14-� 5-5F� -11#� 4,#� -D,5� ,4#4� -D-,� 5-#� -DF$� ,$.-� -DDD� -DD1�-FDF� 1,D� -15.� #1$� -144� DF$� -11-� 5D.� -D,#� -D,5� -D-5� ,F.-� -DF,� ,.4.� 4$$$� .5-����������������

Page 208: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<=1 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�""����G��<5P�4���*$L; .>R QF-1-0-(=-((-(<-(?-(F-<2-?<-20-CF������,4�<�(5P�4���*$L;F.>-L;1.>-L;0.>-L;(=.>-L;((.>-L;(<.>-L;(?.>-L;(F.>-L;<2.>-

L;?<.>-L;20.>� 6L;CF.>$*&<����.����(0(� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

. L;F.> L;1.> L;0.> L;(=.> L;((.> L;(<.> L;(?.> L;(F.> L;<2.> L;?<.> L;20.> L;CF.>� � 5� 1� F� #,� ,4� ,,� ,4� ,5� .#� #5� ,5F� .#� ,51�#� 1� .� ,4� ,4� ,,� 1� ,5� #5� .#� .#� .#� .#�4� ,4� ,-� ,4� 5-� ,$� ,4� 54� .-� ,4� .-� D4� 544�F� 5$� -1� -1� 5$� 5,� -1� ,#� .#� -1� .#� .#� .#�,,� ,,� 5,� #5� --� ,5$� #5� .4� #5� #5� #,D� #5� #1-�,#� ,5� ,#� .-� #D� .4� #D� ,.1� .-� ,-#� .-� #4,� F.F�,F� 4,� #-� ,.� 1-� ##� ,,D� 4,� 544� 544� 544� 544� 544�,D� 4.� 4.� D4� ,D� F.� 4.� #1� D4� D4� 4,5� D4� 4,5�5#� 5#� .D� ,.$� ,,4� 55� 5#� D,� ,.$� 5$F� 4F4� 4F4� 4F4�5D� 1F� 51� ,--� ,,4� 1F� 1F� ,,.� #,D� ,--� #,D� .$1� ,4#.�#,� D5� .5� #,� ,5-� ,4-� 5,.� ,44� #,� -.-� D.$� D.$� D.$�#F� #.� ,,,� ,,,� ,1-� ,,$� ,,,� 55,� -1$� ,,,� F$#� -1$� ,..-�-,� ,5#� -,� 51F� -$� ,.-� 51F� 5-.� 51F� 51F� ,$5-� 51F� ,4DD�-#� ,51� -5� ,51� 5,4� -#� ,51� ,5D� ,51� ,51� ,51� ,51� ,51�-F� -F� ,-$� -F� ,-$� ,1F� -F� 5#-� F$-� -F� F$-� F$-� F$-�4#� ,4D� ,$4� ,4D� ,4D� 5.-� ,4D� 45� ,4D� ,4D� ,4#.� ,4D� ,4#.�4D� 4D� ,,1� ,F.� 4D� ,F.� ,F.� ,,F� F.F� ,F.� F.F� F.F� F.F�.,� .$� ,15� #$-� .$� ,5,� ,1#� ,15� .F,� .F,� ,51$� .F,� ,51$�.F� 5$$� ,##� ##4� 5$$� ..� 5$$� -$5� F#.� ##4� ,-$F� ,-$F� ,-$F�F,� F,� F$� -D.� 51-� ,-5� F,� ,-5� .#D� .#D� .#D� .#D� .#D�F#� F5� ,-.� 4,,� 5,D� 5,D� F5� #.-� 4,,� .4.� 4,,� ,15-� -,.$�FD� 5#.� 5#F� FD� FD� #D4� 445� F1� ,,1-� ,,1-� ,#-#� ,,1-� ,#-#�1#� 1#� 1#� -,4� -,4� ,.4� 5-1� -,4� -,4� D,5� 55-$� 55-$� 55-$�1D� 5.F� 5..� .5#� #44� 11� .5#� 4##� 1$$� .5#� 5$-F� 1$$� #.-1�DF� D.� DF� D.� -1-� -1-� D.� ,D-� D.� D.� #$$F� D.� #5$$�,$,� #$#� 5$5� #$#� ,$$� 4$4� #$#� -$#� ,#,5� #$#� ,D,D� ,D,D� ,D,D�,$#� #$1� #$1� F5$� 4,4� #$1� F5$� ,$#� D5F� F5$� 5#.1� D5F� -55#�,$F� ,$F� #5,� #5$� #5$� -51� #5$� -51� #5$� #5$� #5$� #5$� #5$�,$D� ,$1� 5,F� 4--� -#4� ,$D� #5F� 4-4� 4--� ,,DD� 5D-#� 5D-#� 5D-#�,,#� ##D� ,,5� ,,5� ##D� -4,� FD,� ##1� ,.D4� ,.D4� ,D5$� ,.D4� ,D5$�,5F� #1$� ,5.� ,5F� #1$� 54#� 111� 4$F� ,5F� ,D$-� ,5F� #D#.� 1$$$�,#,� ,#,� #D5� .44� 45-� ,#,� #D5� ,#$� ,--$� ,--$� 5F4,� ,--$� 5F4,�,#F� -,,� 5F#� D4D� .1-� 5F-� D4D� 5F#� D4D� D4D� D4D� D4D� D4D�,#D� -,.� ,#D� -,.� ,#D� -,F� -,.� -,.� -,.� -,.� -$#,� -,.� -$#,�,-D� --F� --F� --F� 4D4� 5DF� --F� 5D1� --F� --F� --F� --F� --F�,4,� -45� #$,� ,$4.� .$-� .$-� ,$4.� F4-� ,$4.� ,$4.� #FF4� ,$4.� 4111�,4F� ,4.� #,-� F1-� F1-� .5F� -F,� ,4.� ,F5F� ,F5F� ,F5F� ,F5F� ,F5F�,.#� -11� -1D� 1,4� 1,4� 1,-� -11� #54� ,FD5� 1,4� ,FD5� #-5#� 1.#D�,.F� ,.F� ,.F� ,,.1� 4$$� 1#4� ,.F� ,$$,� ,4$#� ,4$#� #1-$� ,4$#� #1-$�,F#� 4,D� 4,1� 1.-� 4,D� .D5� 4,D� 4,D� 1.-� 1.-� -.F,� 1.-� -.F,�,FD� ,FD� #4F� 1D4� ,FD� F,4� 4#.� F,4� 1D4� ,D.1� 1D4� -1#5� ,$4.$�,1,� ,1$� ,1,� 4-#� ,1$� #.5� 4-#� ,1,� 4-#� 4-#� 45-1� 4-#� .##4�

�..� 6�A��<5P�4���*$L; .>

Page 209: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<=0 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��,4�<�<5P�4���*$L;F.>-L;1.>-L;0.>-L;(=.>-L;((.>-L;(<.>-L;(?.>-L;(F.>-L;<2.>- L;?<.>-L;20.>� 6L;CF.>$*&(C(����.����22C

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . L;F.> L;1.> L;0.> L;(=.> L;((.> L;(<.> L;(?.> L;(F.> L;<2.> L;?<.> L;20.> L;CF.>,D,� ,D,� 4F#� ,D,� F.-� 4F5� ,D,� 4F5� ,D,� ,D,� ,D,� ,D,� ,D,�,D#� ,D5� #14� ,D5� 4FD� #14� ,D5� ,,4F� ,D5� ,D5� ,D5� ,D5� ,D5�,DF� 4D,� ,D.� 4D,� D1-� ,DF� 4D,� ,,15� 54.$� 4D,� 54.$� #F-#� ,$$-F�,DD� 4D.� #D1� ,#D5� ,DD� ,D1� ,#D5� 4DF� ,FD,� ,#D5� ,FD,� ,FD,� ,FD,�5,,� .#5� 5,$� ,$44� 1--� ,$44� .#5� 1--� ,$44� ,$44� 4.D.� ,$44� 4.D.�55#� ..1� 55#� 55#� ,,,4� 1D,� ,4.$� ,##1� 55#� ##--� .D,5� .D,5� .D,5�55F� 55F� -4-� ,,#4� .1$� .1,� .1$� -4-� 5-D.� 5-D.� 5-D.� 5-D.� 5-D.�55D� 551� .1.� .1F� D,4� ,,--� .1F� ,,--� 5DF.� .1F� -#4,� 5DF.� ,$#$-�5##� .DD� .DD� ,.#,� .DD� ,,.4� ,.#,� 5##� ,.#,� ,.#,� 415-� ,.#,� D$1F�5#D� 5#D� 5#1� 5#D� 5#D� D4.� 5#D� ,,D4� #41-� 5#D� #41-� #41-� #41-�5-,� 5-$� -15� 5-$� 5-$� 5-,� 5-$� -1,� #.,4� 5-$� -$D.� #.,4� ,,#5F�54,� 54,� 54,� F45� ,$$-� ,54-� F45� F4#� #5.#� F45� #5.#� #5.#� #5.#�54F� FF,� FF$� 54.� ,51-� FF$� ,FDD� ,$5F� 54.� #144� 54.� FD.F� ,.,D,�5.#� 5.#� 454� ,1-$� ,#,4� 5.#� 5.#� ,$45� 5#.F� 5#.F� 5#.F� 5#.F� 5#.F�5.D� 1$F� 4#1� ,#--� ,$F4� 4#1� 1$F� 1$.� ,#--� ,#--� ,#--� ,#--� ,#--�5F,� 1,5� 1,5� 5F,� ,$1-� 1,#� ,1D.� ,.54� -$.-� -$.-� -.$F� -$.-� -.$F�5FF� 5F.� 44#� 1#,� ,#1-� ,#14� 1#,� 1#,� 1#,� 1#,� 1#,� 1#,� 1#,�51,� 1-#� 51$� ,D.F� 51$� 4.,� ,D.F� ,-$-� 5451� ,D.F� .-.#� 5451� ,,45$�51#� 1-1� 4..� 1-1� ,-,4� ,,#5� 1-1� ,,#,� #.FD� 1-1� 4#F.� 4#F.� 4#F.�5D#� 1FD� 5D#� 1FD� 1FD� 1FD� 1FD� 414� #1$1� 1FD� 44.F� 44.F� 44.F�#$F� D5$� #$F� ,4#4� D5$� #$F� D5$� ,4#-� ,4#4� ,4#4� ,4#4� ,4#4� ,4#4�#,,� #,,� .55� 5,F.� ,5--� ,5-#� #,,� #,,� 5,F.� 5FDD� 5,F.� FFF4� ,FF5F�#,#� #,5� D#1� 5,D,� D#D� .5.� #,5� #,5� 51,.� 51,.� 51,.� 51,.� 51,.�#,F� D4,� D4,� ,41-� ,41-� ,41-� D4,� ,414� #-1F� ,41-� ..4.� ..4.� ..4.�##,� DD5� DD#� DD5� ,#5-� ##$� DD5� ..5� DD5� DD5� D4DD� DD5� D4DD�##F� ##.� ##.� ##.� ,.1-� ,$,,� ##.� ##F� 4$44� ##.� 4$44� 4$44� 4$44�#-F� #-F� .D#� ,$-$� ,$-$� .D#� ,$-$� ,$-$� -4,,� ,$-$� .4D5� -4,,� ,4.,4�#-D� #-1� #-D� ,F--� ,#D4� ,#D.� ,$-F� 5$D#� #1#D� #1#D� #1#D� #1#D� #1#D�#4#� ,$4D� F$.� #45� ,$4D� #45� 5-F,� 5,,1� #45� 45D4� ,$D-#� ,$D-#� ,$D-#�#4D� #4D� ,$FF� 54,5� #4D� ,$FF� #4D� ,FD-� #5#,� #5#,� 154.� #5#,� 154.�#.F� ,,$$� F#-� #.F� ,,$$� ,,$$� 54.1� ,-.1� 44$-� 44$-� 44$-� 44$-� 44$-�#F#� #F5� ,,,D� ,,,D� ,,,D� #F#� ,,,D� ,,,1� ,,,D� ,,,D� ,$1,.� ,,,D� ,#$44�#FD� ,,#.� #F1� ,,#.� #FD� F41� ,,#.� 55F-� -D5F� ,,#.� -D5F� F5$$� ,D#51�#1#� #1#� ,,-1� #1#� ,D,4� ,D,-� #1#� F..� #1#� #1#� #1#� #1#� #1#�#1D� ,,.F� FFF� ,,.F� ,444� ,,..� ,,.F� #1D� 4$4.� ,,.F� 4$4.� F#D,� ,D1#D�#DF� #D.� ,,D$� ,D1-� ,D1-� #D.� ,,D,� FD#� ,D1-� -#.F� ,D1-� ,$F,D� 5#-5#�-$,� ,5$#� ,5$#� -$$� -$$� 1$5� 51$F� 5-$4� .$,4� .$,4� .$,4� .$,4� .$,4�-$D� -$1� 1,1� 51.#� ,.#4� 5$-4� -$1� 1,1� #.1$� #.1$� D-$F� #.1$� D-$F�-,D� -,D� -,D� 5$D4� -,D� -,1� ,54.� ,.F.� -.$1� -.$1� -.$1� -.$1� -.$1�-5,� -5$� -5$� ,5.#� -5$� ,.1#� ,5.#� 5,$4� 4-F5� ,5.#� FDDD� 4-F5� ,1D--�-#,� -#,� 1.,� -#,� ,F5-� 5,44� -#,� 541.� .-.-� -#,� .-.-� .-.-� .-.-�-##� -#5� -##� -#5� ,5DD� ,5D1� -#5� ,5DD� .-D4� -#5� F#.$� .-D4� 5$#4,�-#D� ,#,.� ,#,.� #$F5� -#D� -#D� #$F5� ,F44� #$F5� #$F5� #$F5� #$F5� #$F5�--#� --#� ,#5D� ,#51� 55,4� ,FF,� ,#51� --5� 4F4D� ,#51� 4F4D� 4F4D� 4F4D�--D� ,#-F� --1� --1� ,FD4� 55--� #,-#� 1DF� --1� .F#4� --1� ,#D,D� 5151F�

Page 210: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<=C �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��,4�<�?5P�4���*$L;F.>-L;1.>-L;0.>-L;(=.>-L;((.>-L;(<.>-L;(?.>-L;(F.>-L;<2.>- L;?<.>-L;20.>� 6L;CF.>$*&231����.����12?

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

. L;F.> L;1.> L;0.> L;(=.> L;((.> L;(<.> L;(?.> L;(F.> L;<2.> L;?<.> L;20.> L;CF.>-4F� -4.� ,#F,� #,DD� 551-� D,#� -4.� 5F-5� #,DD� -,,5� #,DD� ,,-5-� 5.$-1�-.,� ,#1#� -.,� 5#$-� -.$� -.,� ,#1#� D55� 5#$-� 5#$-� 5#$-� 5#$-� 5#$-�-.#� ,#11� -.5� -.#� 5#,4� -.5� #5-$� 5#,-� .D--� .D--� F1F,� .D--� F1F,�-.F� -.F� ,-$$� 5##4� ,-$$� D#-� ,-$$� -.F� 5##4� 4,#.� ,5.$1� ,5.$1� ,5.$1�-FD� -FD� D41� -FD� -FD� D4F� -FD� 51F#� -FD� -FD� ,-1-1� -FD� ,41$F�-1F� ,-.$� DF#� #-$1� ,-.$� ,D-F� #-$1� DF-� -#1#� #-$1� ,,5$$� -#1#� ,DD.F�-D,� -D,� -D$� ,-F5� ,D.-� ,-F#� ,-F5� ,D.#� ,-F5� ,-F5� ,-F5� ,-F5� ,-F5�-DD� ,-D.� ,-DF� 5-D4� -DD� ,-D.� ,-D.� 5-D4� 5-D4� 5-D4� 5-D4� 5-D4� 5-D4�4$#� 4$#� 4$#� #45$� 54,4� 5$,5� 4$#� ,4$1� #45$� -45F� #45$� ,54F4� 51.F,�4$D� ,45F� ,45.� 54--� 5$#4� 5$#4� ,45F� #$4-� 44DD� 54--� ,$.11� ,$.11� ,$.11�45,� ,4.#� ,$-5� #.-F� 45$� ,4.5� #.-F� 45$� #.-F� #.-F� #.-F� #.-F� #.-F�45#� ,4.1� ,4.1� ,4.1� 5.,4� ,$-4� ,4.1� 5$D5� ,4.1� ,4.1� ,4,.F� ,4.1� ,4,.F�4-,� 4-$� ,.5#� 5F$-� 4-$� 5F$4� ,.5#� 5F$-� 4D4,� 4D4,� 4D4,� 4D4,� 4D4,�4-F� ,.-$� 4-.� 5F#4� ,.-$� 5,11� ,.-$� 4-.� .$,.� 5F#4� .$,.� ,,-1F� 51DD,�44F� ,.F,� ,,,#� 5F1-� 5F1-� ,.F,� ,.F,� ##-,� 5F1-� 5F1-� ,4$#D� 5F1-� ,4$#D�4.#� 4.#� ,,5.� 51,4� 51,4� 51,4� ,.11� ,.1D� 51,4� .,D5� 51,4� ,45$$� ##5,.�4.D� ,F$F� ,F$F� #D1#� 55F4� 55F.� #D1#� 55F4� 4,5$� #D1#� 4,5$� 4,5$� 4,5$�4F,� ,F,5� ,,-,� ,F,5� 551-� 4F,� ,F,5� 4F,� F-5#� ,F,5� F-5#� ,$1-1� 5D,5$�4FF� 4F.� ,,4-� 4F.� 511-� ,,4-� 4F.� 5114� 4F.� 4F.� 4F.� 4F.� 4F.�41F� 41F� 41F� ,F.$� ,F.$� ,F.$� ,F.$� #455� ,F.$� ,F.$� ,F$5#� ,F.$� 5$4--�4D#� ,FFD� ,FF1� 4D5� ,FFD� 4D#� -,4,� 5D.-� 11D4� 11D4� 11D4� 11D4� 11D4�4DD� 4DD� ,,DF� -,D5� 4DD� ,,D1� 4DD� 4D1� -,D5� 4#D,� ,-DF4� ,-DF4� ,-DF4�.$,� .$$� .$,� -5$F� .$$� ,1$#� .$$� 5-$-� 4-$1� 4-$1� ,#15#� 4-$1� ,#15#�.$F� ,15$� ,15$� .$F� ,15$� #$#4� -5-1� ,15$� .$F� D,$-� ,11,.� ,11,.� ,11,.�.,#� .,5� ,554� ,1#D� ,1#D� 5-45� ,1#D� #.F1� FD.1� ,1#D� ,,.-F� FD.1� 5F41-�.,F� ,14,� .,.� -#,D� #$1-� .,.� -#,D� ,5#-� -#,D� -#,D� ,4-5-� -#,D� 5-$.#�.,D� ,14.� ,5#1� ,14.� .,D� 5-F4� ,14.� #$D-� ,14.� ,14.� ,14.� ,14.� ,14.�.#,� ,1D5� .#$� --,.� 545-� ,1D5� --,.� ,5.,� --,.� --,.� --,.� --,.� --,.�.-,� ,D5#� ,51,� .-$� .-$� 54.#� --1F� ,D5#� .-$� D.,4� .-$� ,D1F,� -$#1#�.-#� ,D51� .-#� #5,4� #5,4� ,51.� ,D51� ,51.� F$F5� #5,4� ,#4$#� ,#4$#� ,#4$#�.-F� .-F� ,5D-� -451� ,D-$� #5#-� .-F� 541F� 415#� 415#� 415#� 415#� 415#�.4#� ,D4D� ,D4D� #5.-� ,D4D� ,D41� ,D4D� 5.,5� #5.-� #5.-� #5.-� #5.-� #5.-�.4D� .4D� .41� #5D4� .4D� .4D� ,DF.� ,DF.� #5D4� F5-1� ,FFD5� ,FFD5� ,FFD5�..,� ..$� ,#55� ,D1#� ..$� ..$� ,D1#� #D.4� ,D1#� ,D1#� ,D1#� ,D1#� ,D1#�.F#� .F5� .F5� .F5� 5$,D� ##.4� .F5� 5.D,� .F5� .F5� 5$1.#� .F5� 555$1�.FF� 5$#,� 5$#$� 5$#,� ##1-� ,#4#� 5$#,� .F.� 11$$� 5$#,� ,51.#� ,51.#� ,51.#�.1#� .1#� ,#.4� 5$-1� #-,4� .15� 5$-1� ,#.4� 5$-1� 5$-1� 5$-1� 5$-1� 5$-1�.D,� 5$F5� 5$F5� #-44� 5F.-� #-4-� 5$F5� -,-.� #-44� #-44� #-44� #-44� #-44�F$,� 5,$#� F$$� #4$-� F$$� 51$-� 5,$#� F$,� FF,,� #4$-� ,-F5$� ,-F5$� ,-F5$�F$D� F$1� 5,5F� 5,5F� 51#4� ,-,1� 5,5F� ,-,F� D5,.� 5,5F� D5,.� D5,.� D5,.�F,D� F,D� 5,4.� F,D� F,D� 5,4.� F,D� 5,4F� ,$F1-� F,D� ,555#� ,$F1-� ##FD5�F5F� 5,1$� F5F� 4$11� 5,1$� F5.� 4$11� F5F� 4$11� 4$11� ,1,F4� 4$11� 51#45�F##� F#5� 5,D1� #..-� 5,DD� 5,DD� 5,DD� #..4� 1$.#� 1$.#� 1$.#� 1$.#� 1$.#�F#D� 55,.� ,-FF� #.D4� F#D� #.D4� 55,.� --##� 1,51� #.D4� 1,51� ,44,D� #D,.F�F-#� F-#� F-5� 45$$� #F,4� ,-14� F-#� --41� ..1F� ..1F� ,F$11� ..1F� ,F$11�

�..� 6�A��<5P�4���*$L; .>

Page 211: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<(= �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��,4�<�25P�4���*$L;F.>-L;1.>-L;0.>-L;(=.>-L;((.>-L;(<.>-L;(?.>-L;(F.>-L;<2.>- L;?<.>-L;20.>� 6L;CF.>$*&13(����.����(=3(

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . L;F.> L;1.> L;0.> L;(=.> L;((.> L;(<.> L;(?.> L;(F.> L;<2.> L;?<.> L;20.> L;CF.>F4,� 5545� 554#� F4,� #$$-� #$$#� 454.� #$$#� ,,5.-� ,,5.-� ,,5.-� ,,5.-� ,,5.-�F4F� F4.� F4.� 55F,� #F1-� #F1-� 55F,� #$51� 55F,� 55F,� 5,D45� 55F,� 5.-D4�F.,� 551#� 5515� 4#5F� F.$� #1$4� 4#5F� ,45,� .1-1� 4#5F� .1-1� .1-1� .1-1�F.D� F.1� F.D� F.1� #$F4� F.D� F.1� -.,-� F.1� F.1� F.1� F.1� F.1�FF#� 5#,D� ,4-.� 5#,D� 5#,D� #$D,� 5#,D� ,4-.� ,$$-1� 5#,D� ,$$-1� ,-.1F� #D-5#�F1F� 5#.$� ,4F-� #D#4� 5#.$� ,4F#� 5#.$� ,4F#� #D#4� #D#4� 5,5-1� #D#4� 5,5-1�FDF� 5#D,� FDF� #D1-� #D1-� ,4D-� 5#D,� 5#D,� 1F.F� #D1-� 1F.F� ,.F#.� -55-$�1$D� 5-5F� ,.,F� 4..#� #5#4� ,.,F� 4..#� #5#.� 4..#� 4..#� 5$55-� 4..#� #,44,�1,,� 5-#5� 1,,� 5-#5� #5--� #5--� 5-#5� -$44� 5-#5� 5-#5� 5-#5� 5-#5� 5-#5�15,� 5-.#� 5-.#� 5-.#� 15$� 5-.#� 5-.#� -D5.� 5-.#� 5-.#� 5#1$1� 5-.#� 5#1$1�15#� 5-.1� ,.-4� 4F.$� -,,4� -,,-� 4F.$� 5-.D� 4F.$� 4F.$� 4F.$� 4F.$� 4F.$�15F� 15F� 15.� 5-1$� 5-1$� -,#4� 5-1$� -,#-� ,$F4,� 5-1$� ,$F4,� ,$F4,� ,$F4,�15D� 151� ,.41� -,--� ##,4� 5-1.� 5-1F� ##,4� D,,D� D,,D� ,F-$1� D,,D� ,F-$1�1#D� 1#D� 1#D� 41F5� 1#D� ##44� 1#D� ,.FF� F44,� F44,� F44,� F44,� F44,�14#� 145� 14#� 544D� 544D� ,F$4� 544D� -5.-� 544D� 544D� 544D� 544D� 544D�14F� 54F,� ,F,-� 4DDD� -51-� 14F� 4DDD� 14F� FF,5� 4DDD� ,DF,,� FF,5� #4,#.�14D� 54F.� 54F.� 54F.� 14D� 141� 54F.� 141� ,,,.F� 54F.� ,.#5$� ,.#5$� ,.#5$�1.#� 1.#� 541D� 1.#� -#,4� ,F5.� 1.#� -#,4� 1.#� 1.#� 5.F45� 1.#� 51-FD�1FF� 1F.� 5.#,� -#1-� -#1-� #4$1� 5.#,� ,F4-� -#1-� D.-F� 5#.FD� 5#.FD� 5#.FD�11,� 5.-#� 11,� 11$� 11$� 11$� .,.F� #45#� ,#5,4� ,#5,4� ,-DF.� ,#5,4� ,-DF.�11#� 5.-1� 115� --,4� --,4� #4#,� 5.-1� 11#� --,4� --,4� --,4� --,4� --,4�11F� 11F� 5..$� .5$1� 5..$� 5..,� 11F� #4-1� .5$1� FD1#� .5$1� 55,F4� 4$44D�D$F� 5F5$� ,1,#� 5F5$� 5F5$� ,1,-� 5F5$� #.5F� 5F5$� 5F5$� 5.#$#� 5F5$� 5.#$#�D,,� D,,� D,$� D,,� #.--� -44-� D,,� D,$� ,#..-� D,,� ,4-1F� ,#..-� -51,.�D,D� 5F4.� 5F4F� .-#5� D,D� ,1#F� .-#5� 5F4.� .-#5� .-#5� 55DF4� .-#5� #41-$�D5D� 5F1F� 5F1.� D51� #F,4� ,141� .4$#� ,141� D51� ,#D#4� 51FDD� 51FDD� 51FDD�D#F� D#.� D#F� .44D� -.1-� -.14� D#.� D#.� .44D� 1-#5� 5#-5-� 5#-5-� 5#-5-�D-,� 515#� ,115� -F$-� D-$� ,11,� 515#� -F$4� -F$-� -F$-� 54-$F� -F$-� 54-$F�D-F� D-F� 51-,� -F#4� 51-$� D-.� 51-$� 4.1,� -F#4� ,$-,.� -F#4� 544.1� 441F5�D4#� 514D� D45� ..F,� 514D� 514D� ..F,� 514D� 14F.� ..F,� 14F.� 14F.� 14F.�D.F� 5D$$� D..� .F.1� 5D$$� D.F� .F.1� -1#4� 1F$#� .F.1� 1F$#� 1F$#� 1F$#�DF,� DF,� 5D,5� 5D,5� #11-� #11#� 5D,5� 5D,5� 5D,5� 5D,5� 51,4D� 5D,5� ##D1-�DFF� 5D#,� ,D4#� DF.� -11-� -11-� .1#D� 41.5� ,-.44� ,-.44� ,-.44� ,-.44� ,-.44�D1#� D1#� ,D..� .11$� -D,4� 5D-1� D1#� -D,-� .11$� 11-F� 5-4F4� 5-4F4� 5-4F4�DD,� 5DF5� ,D1,� DD,� #D.-� DD$� .D#.� #D.-� DD,� ,-1.-� #$F5$� #$F5$� #$F5$�DDF� DD.� ,DD-� 5DD,� -D1-� 5DD,� 5DD,� 5DD$� ,5D.$� 5DD,� ,1D-#� ,5D.$� --1.-�,$$D� ,$$1� ,$$1� ,$$1� -$#4� -$#.� ,$$1� 4$--� ,4,#4� ,$$1� ,F,45� ,4,#4� -F-5#�,$,#� #$#D� #$#1� #$#D� #$#D� ,$,5� #$#D� ,$,#� #$#D� #$#D� 5D#F.� #$#D� 5D#F.�,$,D� ,$,D� 5$#F� #$4.� ,$,D� #$4F� #$4.� 4$D4� ,#5-F� #$4.� ,#5-F� ,#5-F� ,#5-F�,$5,� ,$5$� ,$5,� 4,$-� ,$5$� 4,$-� #$.#� 5$-,� ,,5#,� ,,5#,� 5,--$� ,,5#,� 5,--$�,$#,� ,$#,� #$D#� F5,.� -,5-� -,5-� ,$#,� #$D#� D5FD� D5FD� D5FD� D5FD� D5FD�,$##� ,$#5� 5$.4� F5#,� #$DD� ,$##� ,$#5� 5$..� F5#,� D5D.� F5#,� 5415-� 4111$�,$#D� #,,.� 5$F1� ,$#D� ,$#D� 5$F1� F5F5� ,$#D� ,441-� ,441-� ,F..#� ,441-� ,F..#�,$-D� #,-F� ,$-D� F#-#� -,D4� #,-.� F#-#� #,-.� D--$� F#-#� 5-,5F� D--$� -#$$1�,$4,� #,45� ,$4$� #,45� -5$-� 5,$,� #,45� .#$4� ,#..#� #,45� ,DD.1� ,DD.1� ,DD.1�

Page 212: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<(( �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

��,4�<�35P�4���*$L;F.>-L;1.>-L;0.>-L;(=.>-L;((.>-L;(<.>-L;(?.>-L;(F.>-L;<2.>- L;?<.>-L;20.>� 6L;CF.>$*&(=F(����.����(?CC

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . L;F.> L;1.> L;0.> L;(=.> L;((.> L;(<.> L;(?.> L;(F.> L;<2.> L;?<.> L;20.> L;CF.>,$.,� #,1#� 5,5,� #,1#� ,$.$� 5,55� #,1#� 4#$-� ,#FD5� #,1#� 5$,4D� 5$,4D� 5$,4D�,$.#� #,11� ,$.#� F--$� 4#,4� #,1D� F--$� -54,� D4.F� F--$� 5---1� D4.F� -#41#�,$.D� ,$.1� #5$.� 4#--� -5F4� 4#-4� #5$F� -5F.� 4#--� ,,F4D� 511.#� 511.#� 511.#�,$1F� #5.$� #5.,� ,$1F� #5.$� 4-#-� F.$1� 4-#-� ,$1F� ,.#$-� ,$1F� ##.D.� .1-1$�,$D,� ,$D,� ,$D,� 4-44� -#.-� 4-44� #5F5� ,$D,� ,5$$$� ,5$$$� 55D,,� ,5$$$� 55D,,�,$D#� ,$D5� ,$D5� #5FD� #5FD� #5F1� #5FD� ,$D5� ,-5$1� #5FD� ,-5$1� ,-5$1� ,-5$1�,$DF� #5D,� #5D$� F.FD� 4-1-� -#11� F.FD� 4-14� F.FD� F.FD� F.FD� F.FD� F.FD�,,$#� ,,$#� 55$4� ,,$#� 44,4� --,,� ,,$#� ..,F� ,.4--� ,,$#� ,1F4,� ,.4--� 4,1-$�,,$D� ##5F� 55,1� ##5F� --#4� 44--� ##5F� ##5F� ##5F� ##5F� ##5F� ##5F� ##5F�,,,F� ,,,.� 55##� 441-� 441-� 55##� ##4,� ,,,F� ,551F� ,551F� ,551F� ,551F� ,551F�,,5#� ##.1� 55-.� 4.,4� 4.,4� ,,55� ##.1� 4.,4� ,5#45� 4.,4� ,5#45� 5#41#� 4D4,D�,,5D� ,,51� ##1F� FD$#� -4,4� ##1F� ,,51� .FF#� FD$#� ,$,.$� 5155-� 5155-� 5155-�,,4,� ,,4,� 5#$5� ,,4,� -.$-� #-4#� ,,4,� 5#$,� ,,4,� ,,4,� ,,4,� ,,4,� ,,4,�,,4#� ,,45� #-41� ,,45� #-4D� 4F.-� ,,45� #-41� ,,45� ,,45� ,,45� ,,45� ,,45�,,.#� ,,.#� ,,.5� #-11� 41,4� -.45� #-11� 5#5.� #-11� #-11� ##F5F� #-11� -$F$-�,,F,� #4,5� #4,#� 4144� -.1-� 5#-5� #4,5� ,,F$� 4144� 4144� #,.,.� 4144� #,.,.�,,1,� #4-#� #4-5� 4D$-� ,,1$� #4-5� #4-#� F$14� ,5DD,� 4D$-� ,5DD,� 5-1$$� .54D5�,,1F� ,,1F� 5#F#� 4D#4� #4.$� ,,1F� #4.$� #4.,� ,#$4.� ,#$4.� ,#$4.� ,#$4.� ,#$4.�,,D#� #4FD� 5#1.� 1#4,� #4FD� 5#1.� 1#4,� -FF,� 1#4,� 1#4,� 5D15-� 1#4,� -.45F�,5$,� ,5$$� 5-$,� ,5$$� ,5$$� .$$4� ,5$$� .$$4� ,1$,4� ,5$$� 5$-,.� ,1$,4� 4.--F�,5,#� ,5,5� #.#D� .$.-� #.#D� -14,� #.#D� #.#D� ,##-#� ,##-#� 54-F5� ,##-#� 54-F5�,5,F� #.4,� ,5,F� ,5,.� .$1-� #.4,� 14,D� .$1-� ,5,.� ,1544� ,5,.� #FF5F� F..F,�,55#� ,55#� #..1� 14.$� .,,4� .,,4� ,55#� ,555� ,,$$F� ,,$$F� ,,$$F� ,,$$F� ,,$$F�,55D� #.1F� 5-4F� .,--� -D,4� -D,.� #.1F� 5-4F� .,--� .,--� .,--� .,--� .,--�,5#,� #.D5� ,5#,� ,5#,� -D5-� ,5#,� 1.,.� #.D5� ,1-.-� ,1-.-� 5$D5F� ,1-.-� 5$D5F�,5#F� ,5#.� #F,$� #F,,� .,1-� 5-F-� #F,,� F-55� #F,,� #F,,� #F,,� #F,,� #F,,�,5-D� ,5-1� 5-D1� ,5-1� -DD4� 5-DF� ,5-1� ,5-1� ,5-1� ,5-1� #1F,D� ,5-1� -,5,.�,54D� ,54D� ,54D� #FF.� ,54D� 54,1� #FF.� F44#� #FF.� #FF.� #FF.� #FF.� #FF.�,5FF� #1#,� 544-� .#1-� .#1-� ,5F.� #1#,� 4,$1� ,-$-F� .#1-� 5.1,.� 5.1,.� 5.1,.�,5FD� #1#.� #1#.� ,5FD� ,5FD� 4,,4� 1D45� .#D4� ,5FD� ,D,1-� ,5FD� #D.-1� 1$4F.�,51#� ,51#� #1-D� .-,4� .-,4� #1-D� #1-1� #1-1� ,-,,5� ,-,,5� 5.D-#� ,-,,5� 5.D-#�,51D� #1.F� ,511� D$5#� 4,44� .--4� D$5#� FF#-� D$5#� D$5#� D$5#� D$5#� D$5#�,5D,� #1F5� 5415� #1F5� 4,.-� #1F5� #1F5� #1F#� #1F5� #1F5� #F-#D� #1F5� #F-#D�,5DF� ,5D.� #1D,� ,5D.� .-1-� ,5DF� ,5D.� 4,1F� ,D-44� ,5D.� ,D-44� ,D-44� ,D-44�,#$,� #D$#� ,#$,� #D$#� ,#$$� 45$#� #D$#� ,#$$� #D$#� #D$#� #D$#� #D$#� #D$#�,#$#� #D$1� ,#$5� D,5$� .4,4� 5.$.� D,5$� 45,5� D,5$� D,5$� #54F4� D,5$� 4$1,.�,#$F� ,#$F� #D5$� #D5$� #D5$� .4#-� #D5$� 5.,#� ,.DD,� #D5$� 5-1#5� ,.DD,� 411,4�,#,D� ,#,D� 5.#1� D5#5� ,#,D� ,#,D� ,#,D� 5.#1� ,,1F,� ,,1F,� #$##.� ,,1F,� #$##.�,#5,� ,#5$� #D.5� D5-F� ,#5$� ,#5$� ,#5$� ..$-� D5-F� ,,111� ##$5-� ##$5-� ##$5-�,#5F� #D1$� 5.4#� ,#5F� #D1$� #D1,� D511� ,#5.� ,DD$-� ,DD$-� ,DD$-� ,DD$-� ,DD$-�,#.,� -$1#� 5F55� ,#.$� ,#.$� 4---� D45F� -$15� 5$-,4� 5$-,4� 5$-,4� 5$-,4� 5$-,4�,#.F� ,#.F� -,$,� D4.1� -,$$� 4-.F� ,#.F� 15$5� D4.1� ,5#$#� #-,F4� #-,F4� #-,F4�,#F#� -,,D� ,#F5� .1.-� -,,D� .1.-� -,,D� .1.-� ,4,$#� .1.-� ,4,$#� 511#5� F5F.1�,#1,� ,#1$� -,-#� -,-#� ,#1$� 5F.,� -,-#� 445-� ,FD45� -,-#� 5.5#D� ,FD45� .5,--�,#DD� -,D.� ,#DD� DFD5� ,#DD� .DD4� DFD5� .DD-� DFD5� DFD5� DFD5� DFD5� DFD5�

�..� 6�A��<5P�4���*$L; .>

Page 213: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<(< �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

��,4�<�F5P�4���*$L;F.>-L;1.>-L;0.>-L;(=.>-L;((.>-L;(<.>-L;(?.>-L;(F.>-L;<2.>- L;?<.>-L;20.>� 6L;CF.>$*&(2=C����.����(3((

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . L;F.> L;1.> L;0.> L;(=.> L;((.> L;(<.>L;(?.> L;(F.> L;<2.> L;?<.> L;20.> L;CF.>,-$D� -55F� -55F� ,-$1� 4.#4� ,-$1� D1.#� F$-4� ,-$1� 5,,#4� ,-$1� -#.FD� 11F.F�,-5#� -5.1� -5.D� ,-5#� F,,4� -5.1� DD.$� 51-.� 5,#--� 5,#--� 5-,D,� 5,#--� 5-,D,�,-5F� ,-5F� ,-5F� F,#4� -51$� 4F$1� -51$� 4F$F� F,#4� ,4.D.� #1451� #1451� #1451�,-5D� ,-51� ,-51� -51F� 4F,4� ,-5D� -51F� ,-5D� -51F� -51F� -51F� -51F� -51F�,-##� -5DD� -5D1� ,$$#,� -5DD� 4F#,� ,$$#,� 4F#5� ,51D.� ,$$#,� #5D4D� ,51D.� 41F45�,-#D� ,-#D� 51FF� ,-#D� ,-#D� F,D-� ,-#D� -#,.� ,-#D� ,-#D� --.$1� ,-#D� -F-1F�,--F� -#-$� -#-$� ,$,51� -#-$� 51D#� ,$,51� -#-,� ,#$5#� ,$,51� ##51$� ,#$5#� 4D#5F�,-4,� ,-4,� -#4#� -#45� 41$-� ,-4,� -#45� F54-� -#45� -#45� -#45� -#45� -#45�,-4#� ,-45� 5D$4� F5.-� -#4D� ,-45� -#4D� 41,,� F5.-� ,4D1#� #D5#,� #D5#,� #D5#,�,-4D� -#F.� 5D,1� F5D4� ,-4D� -#FF� -#F.� 41#.� F5D4� F5D4� F5D4� F5D4� F5D4�,-F,� --,5� ,-F$� ,-F,� 411-� 411-� ,$5D.� 115.� ,-F,� 55$.-� ,-F,� -4.$$� D5.F5�,-1,� ---#� 5D.,� ,$#.F� ,-1$� ---#� ,$#.F� ,-1,� ,$#.F� ,$#.F� ,$#.F� ,$#.F� ,$#.F�,-1#� ---1� ,-1#� ---1� F-,4� F-,-� ---1� ,-15� ---1� ---1� -#$$F� ---1� -#$$F�,-1F� ,-1F� 5DF-� ,-1F� --.$� F-#4� ,-1F� F-#4� 55#$-� ,-1F� 545FD� 55#$-� .D111�,-1D� ,-11� --..� ,-11� 4D44� --..� ,-11� 5DFF� 55##4� ,-11� 55##4� 55##4� 55##4�,-D#� --FD� --FD� --FD� --FD� 4DF5� --FD� 1D4F� --FD� --FD� --FD� --FD� --FD�,-DD� ,-DD� ,-D1� --D.� ,-DD� 4DD4� --D.� --DF� ,D-1F� --D.� 51-1$� ,D-1F� .F-44�,4,,� ,4,,� ,4,,� ,$4F.� .$--� -4#5� ,4,,� .$--� ,#4DD� ,#4DD� #-F45� ,#4DD� #-F45��

�����

����

����

����

����

���������

Page 214: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<(? �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

�""����G��?5P�4���*$L;.�<�>$*&.Q((-(?-(1-(C-<?-<C-?(���,4���?�(5P�4���*$L;((�<�>-L;(?�<�>-L;(1�<�>-L;(C�<�>-L;<?�<�>-L;<C�<�>-L;?(�<�>

������ �� �� �� �� �� �� ��� '�,,&5"� '�,#&5"� '�,F&5"� '�,D&5"� '�5#&5"� '�5D&5"� '�#,&5"�,� ,,� ,5� ,.� ,D� 5#� 51� #,�5� #5� #D� ,.� 4.� 5#� 1F� #,�#� #5� .-� ,.� D4� ,.$� ,--� #,�-� #5� .-� 544� D4� ,.$� #,D� #,�4� #,D� .-� 544� 4,5� 4F4� #,D� D.$�.� #1-� F.F� 544� 4,5� 1D.� ,4#.� ,$5#�F� ,$5#� F.F� 544� 4,5� 5$-F� ,4#.� ,$5#�1� ,$5#� 54.$� -$D.� 4,5� 5$-F� ,4#.� ,$5#�D� ,$5#� -$D4� -$D.� D5,4� 5$-F� ,##,,� ,$5#�,$� ,$5-$� -$D4� -$D.� ,$-5$� 5$-F� ,.#1-� #$F5$�,,� ,551F� -$D4� -$D.� 51.F,� -4$4.� ,.#1-� #5F.F�,5� #5F.1� -D,45� .44#4� -D,45� -D,4,� ,.#1-� #5F.F�,#� #5F.1� -D,45� .44#4� -D,45� -D,4,� ,.#1-� #5F.F�,-� #5F.1� ,.#1#D� .44#4� 5.5,-#� #5F.1$� -41F4,� #5F.F�,4� #5F.FD� 5.5,--� .44#4� 5.5,-#� #5F.1$� -41F4,� D1#$-$�,.� #$#5,.� 5.5,--� ,$-14F.� 5.5,-#� ,,FD.-F� ,--,FD5� ,$-14F4�,F� ,$-14F4� 5.5,--� ,$-14F.� 5.5,-#� ,1#4$$1� 5#4D5D4� ,$-14F4�,1� ,$-14F4� #,-4F5F� ,$-14F.� -F,14D5� -,D-#$#� 45-511$� ,$-14F4�,D� ,$-14F4� #,-4F5F� ,$-14F.� 45-51FD� -,D-#$#� 45-511$� ,$-14F4�5$� ,$-14F.$� ,$-14F.$� ,.FFF5,4� ,-.1$$.-� -,D-#$#� 5-,.415#� #,-4F51$�5,� ,5415D,,� ,.FFF5,4� ,.FFF5,4� 54,.415#� -,D-#$#� 5-,.415#� ##44--#,�55� ##44--#5� ,.FFF5,4� ,.FFF5,4� 54,.415#� D55F-.11� 5-,.415#� ##44--#,�5#� ##44--#5� ,.FFF5,4� ,.FFF5,4� ,#-5,FF51� ,$$..#5D4� ,.FFF5,.,� ##44--#,�5-� ##44--#5� ,.FFF5,4� 5#-11,$54� ,#-5,FF51� ,$$..#5D4� ,.FFF5,.,� ##44--#,�54� 5.1-#4-4-� 5$,#5.4D5� 5.1-#4-4.� ,#-5,FF51� 5.1-#4-41� 5#D11.-5.� 54,$FF551�5.� 5.1-#4-4-� 5.1-#4-4-� 5.1-#4-4.� ,#-5,FF51� 5.1-#4-41� 5#D11.-5.� 54,$FF551�5F� 5.1-#4-4-� 5.1-#4-4-� 5.1-#4-4.� 5D1111,5$� 5.1-#4-41� 5#D11.-5.� 54,$FF551�

�����������

�..� 6�A��?5P�4���*$L;.�<�>

Page 215: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<(2 �� 6�&� 8� �/��*&46*$���&� 6�#/����,�&�

����

�#� *B4�68��� ������� ��� �� � 8��� 8��� ��� � ������� �� � 0�� ��� : � !��� ��� � �� � �0:�"� ���� ��+�������� ����� 3 �� �� �� 5$,$� ��� ���� 5$,,� ����� �� � (����� ���� 0���2���������� �����/� =����&� �� � ������� ���8! �� �� 8���� ������ �� � (����� ���� 0��� ��������������� �0:�&�������� �� � �!��� �� � ��� �� � : ����� ��� ��� ��� �����/� =������������� ���� �����/�*���!�� ��/������!!�8������ ���� � ����� ���� ����������� �������Y��0:��� ����&������/����������� �! ���/�����!! ��� ����0��/����� �����:�&�;����A������/�� � �� ������������������������ ��8��������� ��� �������������� ����! ������� �0�� ��� ������� � �������� ����&��>���� �&� 0�8����� 3�!��/� �� ������� � ���� ��� ��� �� � ���� ������ ���?! ���26������������/�=����/���!��� � ������ �� �� �������� �� ��� ����� �8������ ��� � ���������� �8������ ����! ������ ����&�������������������������

Page 216: Wandering in the World of Smarandache Numbers

<(3 �/�.��&25�/�"���6*���&� 6�#/��� #��*

����

������� ����G�����

0����� ���!������������"�����������������1/F,/FF/1$/,4$/,45/,4#�

� � � � � � �

���"�?�! ��������������1/F#/F-/,4#�� � �

���"�1/,44���� ����3�������� ���������1D��� � � �

������� ����!��� ����,-$� ��� � � �

� ������������1D��� � � �

���!����,#1��� � � �

+�!���� +�� ����������D#��� � � �

���� ��� �����D$��� � � �

��!������ ��,.F� ��� � � �

� !�� ��������! ��,.D� �3��"�I�'��"�,4.� �3�'��""�I�3��"�,41� �3�'��""�I�'��"�,41� �

�� � � �

� �� ������!�����,-F��� � � �

'��"�I���,-5��� � � �

'��"�I���,-5��� � � �

'�5�"'��" � ,-#/,.,�

�� � � �

'�� ,"'��"� � ,--�

�� � � �

'��"�I����"�,4$��� � � �

'��"�Q����"�I����"�,4#��� � � �

'��"�Q����"�I���,4#��� � � �

'��"�I����"�,4#/,.$��� � � �

'��"�Q����"�I���,4#��� � � �

'��"�I����"�,44��� � � �

W'��"X5�Q�'��"�I�5��,4.��� � � �

'�3��""�I�3��"�,41��� � � �

'��"�I�5��E�,�,.5��� � � �

'��"�I���E�,�,.#� ��3�������� �� � ��������� <� � ��#D��� � � �

������ ���������� ���� � �������� �� <� � �-./4$�

�� � � �

������ ����� � ��������������!�� <� � �-F/-1�

�� � � �

�!�������� ���� � ��������� <� � �-5��

�!��� � ��������������!�� <� � �-4��� � � �

� � � � � �

3�������� ���������4#��� � � �

������� ����!��� ����.-� ��� � � �

���! � !��3E� �� ������ ���1$��

� ������������4#��� � � �

���!����.5/14��� � � �

+�!���� +�� ����������41/4D/.$/.,��

���� ��������� ��15��� � � �

���� ��� �����4-/44/4./4F��� � � �

� !�� ��������! ��,.D��

3��"�I���..��� � � �

3��"�I���.F��

3��"�I���.F��

3��"�3���Q�,"�I���.1/1-��

3��"�Q����"�I���F,� ��� � � �

3��"�I����"�F#��� � � � � �

W3��"X5�Q�3��"�I���F4��

3���Q�,"�I�3��"�1F��

3�������� �� �� ������ ���F./FF��

� �� ������!�����.D��� � � �

�3�������� �� <� � ��D��

���!���� <� � �D/5.� ��

� � ��������� <� � ��#D��

� ��� <� � �D/,-��

���� ����8 ���������� <� � ��D/55��

����� <� � �D/,5��

� ����������� <� � �D/5#��

�� � �������� <� � �D/#5��

���� ��������� <� � �D/,F��

� � �� �� <� � �D/51��

� �� ������!�����#.� ��

�<��� ��������� <� � ��D/5$��

���� ����� <� � �D/#$��3E� !�� ��������! ��,.D/,F-/,F4/,FF/,1$�.$�� �� ��������! ��,F-�,5$�� �� ��������! ��,F4�

�3E,��"�,1$��

'E� !�� ��������! ��,.D/,F-/,F4/,FF/,14��

'E,��"�,.-/,14�

Page 217: Wandering in the World of Smarandache Numbers

Wan

derin

g in

th

e W

orld

o

f S

maran

dach

e N

um

bers * A

.A

.K

. M

aju

md

ar

Smarandache Numbers - Cover:Layout 1 9/2/2010 8:13 AM Page 1