warping constant

8/3/2019 Warping Constant

1/13

S t e e l S t r u c t u r e s 7 ( 2 0 0 7 ) 2 9 7 - 3 0 9

w w w . k s s c . o r . k r

N u m e r i c a l E v a l u a t i o n o n W a r p i n g C o n s t a n t s

o f G e n e r a l C o l d - F o r m e d S t e e l O p e n S e c t i o n s

D u n g M . L u e * , J u i - L i n g L i u a n d C h i n g - H a u L i n

D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g , N a t i o n a l C h u n g - H s i n g U n i v e r s i t y , 2 5 0 K u o - K u a n g R o a d , T a i c h u n g , 4 0 2 T a i w a n

A b s t r a c t

T h e c a l c u l a t i o n o f w a r p i n g c o n s t a n t ( C

w

) f o r a n o p e n t h i n - w a l l e d o p e n s e c t i o n i s a t e d i o u s a n d d i f f i c u l t t a s k a n d t h u s

p r e s e n t i n g a n o b s t a c l e t o r o u t i n e d e s i g n . A l t h o u g h C

w

f o r m u l a s a n d v a l u e s f o r s e l e c t i v e c o l d - f o r m e d s t e e l s e c t i o n s a r e a v a i l a b l e

i n t h e A I S I d e s i g n m a n u a l s , m o s t p r a c t i c i n g e n g i n e e r s h a v e l i m i t e d i d e a o f e v a l u a t i n g t h e w a r p i n g c o n s t a n t s f o r s e c t i o n s n o t

l i s t e d i n t h e A I S I d e s i g n m a n u a l s . T h i s p a p e r p r o p o s e s a d e t a i l e d s t e p - b y - s t e p n u m e r i c a l p r o c e d u r e f o r e v a l u a t i n g t h e w a r p i n g

c o n s t a n t o f a g e n e r a l o p e n t h i n - w a l l e d s e c t i o n . C o m p a r i s o n s h o w s v i r t u a l l y n o d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c a l c u l a t e d v a l u e s a n d

t h o s e l i s t e d i n t h e A I S I d e s i g n m a n u a l s . T h e p r o p o s e d p r o c e d u r e i s a r e l i a b l e a n d u s e f u l t o o l f o r c o m p u t i n g t h e w a r p i n g

c o n s t a n t f o r a n a r b i t r a r y c o l d - f o r m e d s t e e l o p e n s e c t i o n , w h i c h d o e s n o t n e e d a s o p h i s t i c a t e d c o m p u t e r s o f t w a r e .

K e y w o r d s : w a r p i n g c o n s t a n t , t o r s i o n a l s t r e s s , t h i n - w a l l e d s e c t i o n , c o l d - f o r m e d s t e e l , t o r s i o n a l p r o p e r t y

1 . I n t r o d u c t i o n

O p e n t h i n - w a l l e d s e c t i o n s s u b j e c t e d t o t o r s i o n w i l l

r e s u l t i n p u r e t o r s i o n a l s h e a r s t r e s s , w a r p i n g s h e a r s t r e s s

a n d w a r p i n g n o r m a l s t r e s s . E v a l u a t i o n o f t h e s e t o r s i o n -

i n d u c e d s t r e s s e s i s n o t a r o u t i n e j o b f o r p r a c t i c i n g e n g i n e e r s

a s t h e m a j o r d i f f i c u l t y a r i s e s f r o m t h e d e t e r m i n a t i o n o f

s e c t i o n a l w a r p i n g c o n s t a n t ( C

w

) . C o m p l e x f o r m u l a s f o r C

w

u s u a l l y i n v o l v i n g m a t h e m a t i c a l i n t e g r a t i o n s a r e a v a i l a b l e

f r o m p r e v i o u s r e s e a r c h e r s ( B l e i c h , 1 9 5 2 ; G a l a m b o s ,

1 9 6 8 ; K o l l b r u n n e r a n d B a s l e r , 1 9 6 9 ; H e i n s , 1 9 7 5 ; Y u ,

1 9 9 1 ) . C o m p u t a t i o n o f w a r p i n g c o n s t a n t s f o r o p e n t h i n -

w a l l e d s e c t i o n s c a n b e g r e a t l y s i m p l i f i e d b y r e c o g n i z i n g

t h e l i n e a r v a r i a t i o n o f u n i t w a r p i n g p r o p e r t i e s b e t w e e n t h e

t w o c o n s e c u t i v e i n t e r s e c t i o n p o i n t s o f p l a t e e l e m e n t s . A s

a r e s u l t , t h e s o p h i s t i c a t e d i n t e g r a l f o r m s f o r C

w

c a n b e

r e p r e s e n t e d b y n u m e r i c a l e x p r e s s i o n s s u i t a b l e f o r c o m p u t e r

c o d i n g a s h a s b e e n d o n e i n t h e p a s t ( H a n c o c k 1 9 7 8 ; Y o o

a n d A c r a , 1 9 8 6 ; K u b o a n d F u k u m o t o , 1 9 8 8 ; T r a h a i r ,

1 9 9 3 ; L u e a n d E l l i f r i t t , 1 9 9 3 , 2 0 0 3 ; S a l m o n a n d J o h n s o n ,

1 9 9 4 ; P a p a n g e l i s a n d H a n c o c k , 1 9 9 5 ; E l l i f r i t t a n d L u e ,

1 9 9 8 ; L i n a n d H s i a o , 2 0 0 3 ) . A l t h o u g h t h e C

w

v a l u e s a n d

f o r m u l a s f o r n i n e s e l e c t i v e p r a c t i c a l s e c t i o n s a r e p r o v i d e d

i n t h e A I S I d e s i g n m a n u a l ( 2 0 0 2 ) , t h e f o r m u l a s p r e s e n t e d

a r e r a t h e r c o m p l i c a t e d t o m o s t u s e r s . W h e n t h e o p e n

s e c t i o n i s i r r e g u l a r o r n o t a v a i l a b l e i n t h e A I S I M a n u a l , a

g u i d e f o r c o m p u t i n g C

w

f o r s u c h s h a p e s i s w a r r a n t e d . A

s i m p l e a n d r e l i a b l e a p p r o a c h f o r e v a l u a t i n g C

w

v a l u e s

w o u l d b e v e r y u s e f u l f o r p r a c t i c i n g e n g i n e e r s w h e n d e a l i n g

w i t h t o r s i o n a l p r o b l e m s .

I n t h i s s t u d y , a s t e p - b y - s t e p n u m e r i c a l p r o c e d u r e f o r C

w

c a l c u l a t i o n i s p r e s e n t e d a n d d i s c u s s e d . A s i m p l e c o m p u t e r

p r o g r a m w a s d e v e l o p e d t o f a c i l i t a t e t h e t e d i o u s c a l c u l a t i o n

o f C

w

a n d a r e p r e s e n t a t i v e s e c t i o n w a s s e l e c t e d t o i l l u s t r a t e

t h e d e t a i l s o f t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e . T h e a c c u r a c y o f t h e

p r o p o s e d p r o c e d u r e w a s v e r i f i e d b y c o m p a r i n g w i t h t h e

v a l u e s t a b u l a t e d i n t h e A I S I d e s i g n m a n u a l s . T h e

c o m p a r a t i v e s t u d y s h o w s t h a t t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e

c o m p u t e d a n d t a b u l a t e d C

w

v a l u e s a r e n e g l i g i b l e . T h i s

i m p l i e s t h a t t h e p r o p o s e d c o m p u t a t i o n a l m e t h o d t o

c o m p u t e C

w

f o r a c o l d - f o r m e d s t e e l o p e n s e c t i o n i s

a c c u r a t e a n d r e l i a b l e . T h e s t u d y w i l l s a t i s f y t h o s e w h o a r e

l o o k i n g f o r a b e t t e r e s t i m a t i o n o n t o r s i o n a l e v a l u a t i o n o f

c o l d - f o r m e d s t e e l o p e n s e c t i o n s .

2 . I n t e g r a t i o n F o r m s f o r W a r p i n g C o n s t a n t s

o f O p e n T h i n - w a l l e d S e c t i o n s

I n t e g r a t i o n f o r m s f o r w a r p i n g c o n s t a n t s ( C

w

) o f o p e n

t h i n - w a l l e d s e c t i o n s a r e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s , b a s e d o n

G a l a m b o s ( 1 9 6 8 ) a n d H e i n s ( 1 9 7 5 ) . T o c a l c u l a t e t h e C

w

v a l u e , t h e c e n t r o i d ( C ) a n d s h e a r c e n t e r ( S ) o f a s e c t i o n

m u s t b e l o c a t e d f i r s t . B y b a s i c m e c h a n i c s , t h e c e n t r o i d

( C ) c o o r d i n a t e s o f a s e c t i o n i s g i v e n b y E q . ( 1 ) .

( 1 )

w h e r e x a n d y a r e t h e c o o r d i n a t e s o f i n f i n i t e s i m a l a r e a

d A a l o n g t h e s e c t i o n a n d A i s t h e t o t a l a r e a o f o p e n t h i n -

w a l l e d s e c t i o n . T h e o r i g i n o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m i s

X

c

1

A

- - -

x

A

d A

=

Y

c

1

A

- - -

y

A

d A

=

* C o r r e s p o n d i n g a u t h o r

T e l : + 8 8 6 - 4 - 2 2 8 5 - 0 9 9 0 , F a x : + 8 8 6 - 4 - 2 2 8 6 - 2 8 5 7

E - m a i l : d m l u e @ d r a g o n . n c h u . e d u . t w


2/13


3/13

N u m e r i c a l E v a l u a t i o n o n W a r p i n g C o n s t a n t s o f G e n e r a l C o l d - F o r m e d S t e e l O p e n S e c t i o n s 2 9 9

( 4 )

w h e r e A

i

i s t h e a r e a o f p l a t e e l e m e n t i , a n d x

i

a n d y

i

a r e

t h e x - a n d y - c o o r d i n a t e s o f p l a t e e l e m e n t i , r e s p e c t i v e l y

( F i g . 1 ) . C o o r d i n a t e s f o r t h e s h e a r c e n t e r o f s e c t i o n ( F i g .

3 ) m e a s u r e d f r o m t h e c e n t r i o d a r e g i v e n b y :

( 5 )

w h e r e I

x y

i s t h e c r o s s p r o d u c t o f i n e r t i a o f a n a r e a .

I f t h e s e c t i o n i s s i n g l y s y m m e t r i c a l b e i n g t h e c a s e i n

t h e i l l u s t r a t i v e e x a m p l e , t h e n I

x y

= 0 a n d t h e a b o v e s h e a r

c e n t e r e q u a t i o n c a n b e s i m p l i f i e d a s :

( 6 )

w h e r e

( 6 a )

( 6 b )

( 6 c )

( 6 d )

( 6 e )

I n E q s . ( 6 a ) t o ( 6 e ) , w i s t h e u n i t w a r p i n g w i t h r e s p e c t

t o t h e c e n t r o i d , x

i

, x

j

, y

i

a n d y

j

t h e x a n d y c o o r d i n a t e s a t

t h e e n d s o f e l e m e n t , w

i

a n d w

j

t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s

o f w a t t h e e n d s o f e l e m e n t , t t h e t h i c k n e s s o f p l a t e

e l e m e n t ,

i j

t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t a n g e n t o f e l e m e n t

i j a n d t h e c e n t r o i d , a n d L

i j

i s t h e l e n g t h o f t h e e l e m e n t i j .

T h e w a r p i n g c o n s t a n t C

w

c a n b e g i v e n b y :

( 7 )

w h e r e

( 7 a )

( 7 b )

( 7 c )

I n t h e a b o v e , w

o

i s t h e u n i t w a r p i n g w i t h r e s p e c t t o t h e

s h e a r c e n t e r , W

n

t h e n o r m a l i z e d u n i t w a r p i n g , w

o i

a n d w

o j

t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f w

o

a t t h e e n d s o f e l e m e n t , t

i j

t h e t h i c k n e s s o f p l a t e e l e m e n t i j ,

o i j

t h e d i s t a n c e b e t w e e n

X

c

x Ad

A

Ad

A

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

x

i

A

i

i 1=

n

A

i

i 1=

n

- - - - - - - - - - - - - - -

= =

Y

c

y Ad

A

Ad

A

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

y

i

A

i

i 1=

n

A

i

i 1=

n

- - - - - - - - - - - - - - -

= =

X

o

I

x y

I

w x

I

y

I

w y

I

x y

2

I

x

I

y

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --

=

Y

o

I

x

I

w x

I

x y

I

w y

I

x y

2

I

x

I

y

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

=

X

o

I

w y

I

x

- - - - - -

=

Y

o

I

w x

I

y

- - - - - -

=

I

w x

1

3

- --

w

i

x

i

w

j

x

j

+

( ) t

i j

L

i j

i 1=

n

=

1

6

- --

w

i

x

j

w

j

x

i

+

( ) t

i j

L

i j

i 1=

n

+

I

w y

1

3

- --

w

i

y

i

w

j

y

j

+

( ) t

i j

L

i j

i 1=

n

=

1

6

- --

w

i

y

j

w

j

y

i

+

( ) t

i j

L

i j

i 1=

n

+

I

x

y

2

Ad

A

y

2

t sd

o

E

1

3

- --

y

i

2

y

i

y

j

y

j

2

+ +

( ) t

i j

L

i j

i 1=

n

= = =

I

y

x

2

Ad

A

x

2

t sd

o

E

1

3

- --

x

i

2

x

i

x

j

x

j

2

+ +

( ) t

i j

L

i j

i 1=

n

= = =

w

j

w

i

w

i j

+=

w

j

w

i

i j

L

i j

+=

w

i j

i j

L

i j

=

C

w

1

3

- --

W

n i

2

W

n i

W

n j

W

n j

2

+ +

( ) t

i j

L

i j

i 1=

n

=

W

n i

1

2

A

- - - - - -

w

o i

w

o j

+

( ) t

i j

L

i j

i 1=

n

w

o i

=

W

n j

1

2

A

- - - - - -

w

o i

w

o j

+

( ) t

i j

L

i j

i 1=

n

w

o j

=

w

o j

w

o i

o i j

L

i j

+=

F i g u r e 3 . C o o r d i n a t e s a n d t a n g e n t i a l d i s t a n c e s i n a n o p e n

t h i n - w a l l e d s e c t i o n .

F i g u r e 4 . D i s t r i b u t i o n o f w o n a p l a t e e l e m e n t .


4/13

3 0 0 D u n g M . L u e e t a l .

t h e t a n g e n t o f e l e m e n t i j a n d t h e s h e a r c e n t e r , a n d L

i j

i s

t h e l e n g t h o f e l e m e n t i j .

4 . N u m e r i c a l E x a m p l e

T h e c o l d - f o r m e d C - s e c t i o n w i t h l i p s , 8 C S 2 . 5 1 0 5 , i s

u s e d h e r e t o d e m o n s t r a t e t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e a n d t h e

e v a l u a t i o n o f s e c t i o n a l w a r p i n g c o n s t a n t . T h e s e c t i o n i s

d i v i d e d i n t o 5 p l a t e e l e m e n t s a n d t h e i r r e l a t e d j o i n t

n u m b e r s a r e a s s h o w n i n F i g . 1 ( D = 8 . 0 0 0 i n . , B = 2 . 5 0 0

i n . , t = 0 . 1 0 5 i n . ,

d = 0 . 8 8 5

i n . , A = 1 . 4 6 i n .

2

, = 7 . 8 9 5

i n . , = 2 . 3 9 5 i n . , a n d = 0 . 8 3 2 5 i n . , b a s e d o n t h e 2 0 0 2

A I S I d e s i g n m a n u a l ) .

T h e P r o p o s e d S t e p - b y - S t e p P r o c e d u r e :

( 1 ) T h e c e n t r o i d o f s e c t i o n , ( X

c

, Y

c

)

C o o r d i n a t e s o f t h e c e n t r o i d a r e r e f e r e n c e d t o t h e l o w e r

l e f t c o r n e r b e i n g t h e o r i g i n o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m , a s

s h o w n i n F i g . 1 . T h e c o o r d i n a t e s a n d a r e a s f o r e a c h p l a t e

e l e m e n t ( i ) o f t h e s e c t i o n a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 1 .

S u b s t i t u t i n g T a b l e 1 v a l u e s ( i . e . , x

i

, y

i

, a n d A

i

) i n t o t h e

f o r m u l a f o r c e n t r o i d E q . ( 4 ) y i e l d s X

c

= 0 . 7 3 0 1 1 i n . a n d Y

c

= 4 . 0 0 0 0 0 i n .

( 2 ) T h e s h e a r c e n t e r o f s e c t i o n , ( X

o

, Y

o

)

( a ) C o o r d i n a t e s f o r t h e s h e a r c e n t e r a r e r e f e r e n c e d t o

t h e c e n t r o i d w h i c h c a n b e d e t e r m i n e d b y E q . ( 6 ) . T h e

c o o r d i n a t e s o f e l e m e n t j o i n t s a s m e a s u r e d f r o m t h e

c e n t r o i d c a n t h e r e f o r e b e c o m p u t e d a s s u m m a r i z e d i n

T a b l e 2 .

( b ) T h e m o m e n t i n e r t i a s o f a c h a n n e l s e c t i o n w i t h

s t i f f e n e d l i p s , t a k e n w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t r o i d a l a x e s ,

c a l c u l a t e d u s i n g E q s . ( 6 c ) a n d ( 6 d ) a r e :

,

( c ) T h e w a r p i n g p r o d u c t s o f i n e r t i a ( I

w x

a n d I

w y

) a r e

d e t e r m i n e d b y E q s . ( 6 a ) t o ( 6 e ) , i n w h i c h t h e r e q u i r e d

p a r a m e t e r s x

i

, x

j

, w

i

, w

j

, t

i j

a n d L

i j

a r e l i s t e d i n T a b l e s 2 ,

3 , a n d 4 . S u b s t i t u t i n g t h e s e p a r a m e t e r s i n t o E q s . ( 6 a ) t o

( 6 e ) , r e s u l t s i n :

D e t a i l e d c a l c u l a t i o n s f o r I

w x

a n d I

w y

a r e s h o w n i n T a b l e s

5 a n d 6 .

T h e s h e a r c e n t e r o f s e c t i o n i s t h e n c a l c u l a t e d u s i n g E q .

( 6 ) w i t h t h e k n o w n v a l u e s o f I

x

, I

y

, I

w x

a n d I

w y

. T h e s h e a r

c e n t e r i s t h e r e f o r e f o u n d t o b e a t X

o

= 1 . 7 8 0 7 9 i n . a n d Y

o

= 0 . 0 0 0 0 0 i n . w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t r o i d , o r a t X

s

=

1 . 0 5 0 6 8 i n . a n d Y

s

= 4 . 0 0 0 0 0 i n . w i t h r e s p e c t t o t h e l e f t

l o w e r c o r n e r o f t h e s e c t i o n ( S e e F i g . 1 ) .

( 3 ) T h e w a r p i n g c o n s t a n t o f s e c t i o n

T h e r e q u i r e d p a r a m e t e r s i n c l u d i n g w

o i

, w

o j

, W

n i

a n d W

n j

c a n b e e v a l u a t e d b y u s i n g E q s . ( 7 a ) , ( 7 b ) , a n d ( 7 c ) , a s

s u m m a r i z e d i n T a b l e s 7 ~ 9 . O n c e W

n

, W

n j

, t

i j

a n d L

i j

v a l u e s a r e c a l c u l a t e d , t h e v a l u e o f C

w

c a n b e c o m p u t e d b y

E q . ( 7 ) w h i c h g i v e s :

D e t a i l s o f C

w

c o m p u t a t i o n a r e d e m o n s t r a t e d i n T a b l e 9 .

F o r c o n v e n i e n c e a n d c o m p a r i s o n p u r p o s e s , t h e C

w

v a l u e s

f o r s e l e c t i v e s e c t i o n s p r o v i d e d i n t h e 2 0 0 2 A I S I d e s i g n

m a n u a l a r e p r o v i d e d i n T a b l e s 1 0 ~ 1 8 .

a

b c

I

x

y

2

Ad

1 4 . 3 3 3 8 3 =

i n .

4

=

I

y

x

2

Ad

1 . 2 7 3 5 4 =

i n .

4

=

I

w x

0 . 0 0 0 0 0

i n .

5

=

I

w y

2 5 . 5 2 5 5 0

i n .

5

=

C

w

1

3

- --

W

n i

2

W

n i

W

n j

W

n j

2

+ +

( ) t

i j

L

i j

i 1=

n

1 6 . 6 9 3

i n .

6

= =

T a b l e 2 . J o i n t c o o r d i n a t e s , t h i c k n e s s e s , a n d l e n g t h s o f p l a t e e l e m e n t s

E l e m e n t n o . J o i n t x - c o o r d . ( i n . ) y - c o o r d . ( i n . ) t

i j

( i n . ) L

i j

( i n . )

1

1 ( i ) 1 . 7 1 7 3 9 3 . 1 1 5 0 0

0 . 1 0 5 0 0 0 . 8 3 2 5 0

2 ( j ) 1 . 7 1 7 3 9 3 . 9 4 7 5 0

2

2 ( i ) 1 . 7 1 7 3 9 3 . 9 4 7 5 0

0 . 1 0 5 0 0 2 . 3 9 5 0 0

3 ( j ) - 0 . 6 7 7 6 1 3 . 9 4 7 5 0

3

3 ( i ) - 0 . 6 7 7 6 1 3 . 9 4 7 5 0

0 . 1 0 5 0 0 7 . 8 9 5 0 0

4 ( j ) - 0 . 6 7 7 6 1 - 3 . 9 4 7 5 0

4

4 ( i ) - 0 . 6 7 7 6 1 - 3 . 9 4 7 5 0

0 . 1 0 5 0 0 2 . 3 9 5 0 0

5 ( j ) 1 . 7 1 7 3 9 - 3 . 9 4 7 5 0

5

5 ( i ) 1 . 7 1 7 3 9 - 3 . 9 4 7 5 0

0 . 1 0 5 0 0 0 . 8 3 2 5 0

6 ( j ) 1 . 7 1 7 3 9 - 3 . 1 1 5 0 0

x

i

a n d y

i

c o o r d i n a t e s w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t r o i d o f s e c t i o n . 1 i n . = 2 . 5 4 c m

T a b l e 1 . C o o r d i n a t e s a n d a r e a s o f p l a t e e l e m e n t s

E l e m e n t n o . ( i ) x

i

( i n . ) y

i

( i n . ) A

i

( i n .

2

)

1 2 . 4 4 7 5 0 7 . 5 3 1 2 5 0 . 0 8 7 4 1

2 1 . 2 5 0 0 0 7 . 9 4 7 5 0 0 . 2 5 1 4 8

3 0 . 0 5 2 5 0 4 . 0 0 0 0 0 0 . 8 2 8 9 8

4 1 . 2 5 0 0 0 0 . 0 5 2 5 0 0 . 2 5 1 4 8

5 2 . 4 4 7 5 0 0 . 4 6 8 7 5 0 . 0 8 7 4 1

x

i

a n d y

i

a r e c o o r d i n a t e s w i t h r e s p e c t t o l o w e r l e f t c o r n e r . 1 i n .

= 2 . 5 4 c m


5/13


5 . R e s u l t s o f C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e

C a l c u l a t e d a n d t h e L i s t e d V a l u e s

T h e w a r p i n g c o n s t a n t , C

w

= 1 6 . 6 9 3 i n .

6

, f o r t h e c h a n n e l

s e c t i o n w i t h l i p s , 8 C S 2 . 5 1 0 5 , w a s o b t a i n e d u s i n g t h e

p r o p o s e d c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e w i t h = 1 ( = 1

s e c t i o n w i t h s t i f f e n e r l i p s , = 0 s e c t i o n w i t h o u t s t i f f e n e r

l i p s ) . T h i s c o m p u t e d C

w

v a l u e m a t c h e s w i t h t h a t

c o n t a i n e d i n t h e 2 0 0 2 A I S I d e s i g n m a n u a l . T h e r e l a t i v e l y

n e w C

w

f o r m u l a , E q . ( 1 0 ) , f o r C - s e c t i o n s w i t h l i p s w a s

T a b l e 3 . U n i t w a r p i n g s w

i

a n d w

j

w i t h r e s p e c t t o c e n t r o i d o f s e c t i o n

E l e m e n t n o .

i j

( i n . ) L

i j

( i n . )

i j

L

i j

J o i n t

U n i t w a r p i n g s ( i n .

2

)

w

i

w

j

1 1 . 7 1 7 3 9 0 . 8 3 2 5 0 1 . 4 2 9 7 3

1 ( i ) 0 . 0 0 0 0 0 -

2 ( j ) - 1 . 4 2 9 7 3

a

2 3 . 9 4 7 5 0 2 . 3 9 5 0 0 9 . 4 5 4 2 6

2 ( i ) 1 . 4 2 9 7 3 -

3 ( j ) - 1 0 . 8 8 3 9 9

3 0 . 6 7 7 6 1 7 . 8 9 5 0 0 5 . 3 4 9 7 3

3 ( i ) 1 0 . 8 8 3 9 9 -

4 ( j ) - 1 6 . 2 3 3 7 2

4 3 . 9 4 7 5 0 2 . 3 9 5 0 0 9 . 4 5 4 2 6

4 ( i ) 1 6 . 2 3 3 7 2 -

5 ( j ) - 2 5 . 6 8 7 9 8

5 1 . 7 1 7 3 9 0 . 8 3 2 5 0 1 . 4 2 9 7 3

5 ( i ) 2 5 . 6 8 7 9 8 -

6 ( j ) - 2 7 . 1 1 7 7 1

a .

w

j

= w

i

+

i j

L

i j

= 0 + 1 . 4 2 9 7 3 = 1 . 4 2 9 7 3 i n .

2

1 i n . = 2 . 5 4 c m

T a b l e 4 . R e q u i r e d d a t a f o r e v a l u a t i o n o f I

w x

a n d I

w y

E l e m e n t n o . J o i n t


2

)

x

i

( i n . ) x

j

( i n . ) y

i

( i n . ) y

j

( i n . ) t

i j

( i n . ) L

i j

( i n . )

w

i

w

j

1

1 ( i ) 0 . 0 0 0 0 0 - 1 . 7 1 7 - 3 . 1 1 5 -

0 . 1 0 5 0 0 0 . 8 3 2 5 0

2 ( j ) - 1 . 4 2 9 7 3 - 1 . 7 1 7 - 3 . 9 4 8

2

2 ( i ) 1 . 4 2 9 7 3 - 1 . 7 1 7 - 3 . 9 4 8 -

0 . 1 0 5 0 0 2 . 3 9 5 0 0

3 ( j ) - 1 0 . 8 8 3 9 9 - - 0 . 6 7 8 - 3 . 9 4 8

3

3 ( i ) 1 0 . 8 8 3 9 9 - - 0 . 6 7 8 - 3 . 9 4 8 -

0 . 1 0 5 0 0 7 . 8 9 5 0 0

4 ( j ) - 1 6 . 2 3 3 7 2 - - 0 . 6 7 8 - - 3 . 9 4 8

4

4 ( i ) 1 6 . 2 3 3 7 2 - - 0 . 6 7 8 - - 3 . 9 4 8 -

0 . 1 0 5 0 0 2 . 3 9 5 0 0

5 ( j ) - 2 5 . 6 8 7 9 8 - 1 . 7 1 7 - - 3 . 9 4 8

5

5 ( i ) 2 5 . 6 8 7 9 8 - 1 . 7 1 7 - - 3 . 9 4 8 -

0 . 1 0 5 0 0 0 . 8 3 2 5 0

6 ( j ) - 2 7 . 1 1 7 7 1 - 1 . 7 1 7 - - 3 . 1 1 5

T a b l e 5 . C a l c u l a t i o n f o r w a r p i n g p r o d u c t o f i n e r t i a I

w x

E l e m e n t n o . w

i

x

i

w

j

x

j

t

i j

L

i j

( + ) w

i

x

j

w

j

x

i

( + )

1 0 . 0 0 0 2 . 4 5 5 0 . 0 8 7 4 0 . 0 7 1 5 0 . 0 0 0 2 . 4 5 5 0 . 0 3 5 8

2 2 . 4 5 5 - 7 . 3 7 5 0 . 2 5 1 5 - 0 . 4 1 2 4 - 0 . 9 6 9 1 8 . 6 9 2 0 . 7 4 2 8

3 - 7 . 3 7 5 - 1 1 . 0 0 0 0 . 8 2 9 0 - 5 . 0 7 7 5 - 7 . 3 7 5 - 1 1 . 0 0 0 - 2 . 5 3 8 8

4 - 1 1 . 0 0 0 4 4 . 1 1 6 0 . 2 5 1 5 2 . 7 7 6 0 2 7 . 8 8 0 - 1 7 . 4 0 6 0 . 4 3 9 0

5 4 4 . 1 1 6 4 6 . 5 7 2 0 . 0 8 7 4 2 . 6 4 2 4 4 4 . 1 1 6 4 6 . 5 7 2 1 . 3 2 1 2

0 . 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0

I

w x

= 0 . 0 0 0 0 i n .

5 a

a .

1

3

- --

1

6

- --

I

w x

1

3

- --

w

i

x

i

w

j

x

j

+

( )

t

i j

L

i j

i 1=

n

=

1

6

- --

w

i

x

j

w

j

x

i

+

( )

t

i j

L

i j

i 1=

n

+


6/13

3 0 2 D u n g M . L u e e t a l .

d e v e l o p e d b a s e d o n t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e a n d i n v o l v e s

s e c t i o n a l d i m e n s i o n s o n l y . W h i l e t h e A I S I M a n u a l ( 1 9 9 1 )

r e q u i r e s m o r e i n f o r m a t i o n i n c l u d i n g c r o s s - s e c t i o n a l a r e a

( A ) , t h e d i s t a n c e b e t w e e n s h e a r c e n t e r a n d w e b c e n t e r l i n e

( m ) , a n d m o m e n t o f i n e r t i a ( I

x

) .

B a s e d o n t h e c o m p a r a t i v e s t u d y , t h e r e a r e v i r t u a l l y n o

d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e c a l c u l a t e d a n d A I S I l i s t e d C

w

v a l u e s . T h i s p r o v e s t h a t t h e p r o p o s e d c o m p u t a t i o n a l

p r o c e d u r e f o r C

w

i s a c c u r a t e a n d r e l i a b l e . F u r t h e r m o r e ,

t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e a n d f o r m u l a s a r e m o r e s u i t a b l e

f o r p r a c t i c a l u s e .

T a b l e 6 . C a l c u l a t i o n f o r w a r p i n g p r o d u c t o f i n e r t i a I

w y

E l e m e n t

n o .

w

i

y

i

w

j

y

j

t

i j

L

i j

( + ) w

i

y

j

w

j

y

i

( + )

1 0 . 0 0 0 5 . 6 4 4 0 . 0 8 7 4 0 . 1 6 4 4 0 . 0 0 0 4 . 4 5 4 0 . 0 6 4 9

2 5 . 6 4 4 4 2 . 9 6 5 0 . 2 5 1 5 4 . 0 7 4 6 5 . 6 4 4 4 2 . 9 6 5 2 . 0 3 7 3

3 4 2 . 9 6 5 - 6 4 . 0 8 3 0 . 8 2 9 0 - 5 . 8 3 5 4 - 4 2 . 9 6 5 6 4 . 0 8 3 2 . 9 1 7 7

4 - 6 4 . 0 8 3 - 1 0 1 . 4 0 3 0 . 2 5 1 5 - 1 3 . 8 7 1 9 - 6 4 . 0 8 3 - 1 0 1 . 4 0 3 - 6 . 9 3 5 9

5 - 1 0 1 . 4 0 3 - 8 4 . 4 7 2 0 . 0 8 7 4 - 5 . 4 1 5 9 - 8 0 . 0 1 8 - 1 0 7 . 0 4 7 - 2 . 7 2 5 3

- 2 0 . 8 8 4 2 - 4 . 6 4 1 3

I

w y

= 2 5 . 5 2 5 5 i n .

5 a

a .

T a b l e 7 . U n i t w a r p i n g s w

o i

a n d w

o j

w i t h r e s p e c t t o s h e a r c e n t e r

E l e m e n t n o . ( i n . ) L

i j

( i n . ) L

i j

( i n .

2

) J o i n t


2

)

w

o i

w

o j

1 3 . 4 9 8 1 8 0 . 8 3 2 5 2 . 9 1 2 2 3

1 ( i ) 0 . 0 0 0 0 0 -

2 ( j ) - 2 . 9 1 2 2 3

a

2 3 . 9 4 7 5 0 2 . 3 9 5 0 9 . 4 5 4 2 6

2 ( i ) 2 . 9 1 2 2 3 -

3 ( j ) - 1 2 . 3 6 6 5 0

3 - 1 . 1 0 3 1 8 7 . 8 9 5 0 - 8 . 7 0 9 5 9

3 ( i ) 1 2 . 3 6 6 5 0 -

4 ( j ) - 3 . 6 5 6 9 0

4 3 . 9 4 7 5 0 2 . 3 9 5 0 9 . 4 5 4 2 6

4 ( i ) 3 . 6 5 6 9 0 -

5 ( j ) - 1 3 . 1 1 1 7

5 3 . 4 9 8 1 8 0 . 8 3 2 5 2 . 9 1 2 2 3

5 ( i ) 1 3 . 1 1 1 1 7 -

6 ( j ) - 1 6 . 0 2 3 4 0

a .

i n .

2

T a b l e 8 . N o r m a l i z e d u n i t w a r p i n g s W

n i

a n d W

n j

E l e m e n t n o . J o i n t w

o i

( i n .

2

) w

o j

( i n .

2

) t

i j

L

i j

( i n .

2

) W

n i

( i n .

2

) W

n j

( i n .

2

)

1

1 ( i ) 0 . 0 0 0 0 0 -

0 . 0 8 7 4

8 . 0 1 1 7 0 -

2 ( j ) - 2 . 9 1 2 2 3 - 5 . 0 9 9 4 7

2

2 ( i ) 2 . 9 1 2 2 3 -

0 . 2 5 1 5

5 . 0 9 9 4 7 -

3 ( j ) - 1 2 . 3 6 6 5 0 - - 4 . 3 5 4 8 0

3

3 ( i ) 1 2 . 3 6 6 5 0 -

0 . 8 2 9 0

- 4 . 3 5 4 8 0 -

4 ( j ) - 3 . 6 5 6 9 0 - 4 . 3 5 4 8 0

4

4 ( i ) 3 . 6 5 6 9 0 -

0 . 2 5 1 5

4 . 3 5 4 8 0 -

5 ( j ) - 1 3 . 1 1 1 7 - - 5 . 0 9 9 4 7

5

5 ( i ) 1 3 . 1 1 1 1 7 -

0 . 0 8 7 4

- 5 . 0 9 9 4 7 -

6 ( j ) - 1 6 . 0 2 3 4 0 - - 8 . 0 1 1 7 0

1

3

- --

1

6

- --

I

w y

1

3

- --

w

i

y

i

w

j

y

j

+

( ) t

i j

L

i j

i 1=

n

=

1

6

- --

w

i

y

j

w

j

y

i

+

( ) t

i j

L

i j

i 1=

n

+

o i j

o i j

w

o j

w

o i

o i j

L

i j

+ 0 2 . 9 1 2 2 3 + 2 . 9 1 2 2 3 = = =


7/13


6 . S u m m a r y o f t h e D e r i v e d a n d t h e L i s t e d

C

w

F o r m u l a s

T h e r e a r e n i n e s e l e c t i v e p r a c t i c a l s e c t i o n s c o n t a i n e d i n

t h e A I S I d e s i g n m a n u a l s ( 1 9 9 1 , 1 9 9 6 , 2 0 0 2 ) , a s s h o w n i n

F i g . 5 . T h e d e r i v e d f o r m u l a s e x p r e s s e d i n t e r m s o f s e c t i o n a l

d i m e n s i o n s a r e o b t a i n e d a c c o r d i n g t o t h e p r o p o s e d

p r o c e d u r e . F o r c o m p a r i s o n p u r p o s e , t h e d e r i v e d a n d t h e

A I S I l i s t e d f o r m u l a s a r e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s .

W a r p i n g c o n s t a n t f o r C - s e c t i o n s w i t h o u t l i p s :

( F r o m t h i s s t u d y a n d 1 9 9 1 A I S I M a n u a l ) ( 8 )

C

w

b

3

t a

2

1 2

- - - - - - - - - - - -

3 b 2 a+

a 6 b+

- - - - - - - - - - - - - - - -

=

T a b l e 9 . C a l c u l a t i o n f o r w a r p i n g c o n s t a n t o f C - s e c t i o n s w i t h l i p s

E l e m e n t n o . J o i n t ( i n .

4

) ( i n .

4

) ( i n .

4

) ( i n .

2

) ( i n .

6

)

1

1 ( i ) 6 4 . 1 8 7 3

4 0 . 8 5 5 4

-

0 . 0 8 7 4 3 . 8 1 8 4

a

2 ( j ) - 2 6 . 0 0 4 6

2

2 ( i ) 2 6 . 0 0 4 6

- 2 2 . 2 0 7 1

-

0 . 2 5 1 5 1 . 9 0 8 0

3 ( j ) - 1 8 . 9 6 4 3

3

3 ( i ) 1 8 . 9 6 4 3

- 1 8 . 9 6 4 3

-

0 . 8 2 9 0 5 . 2 4 0 3

4 ( j ) - 1 8 . 9 6 4 3

4

4 ( i ) 1 8 . 9 6 4 3

- 2 2 . 2 0 7 1

-

0 . 2 5 1 5 1 . 9 0 8 0

5 ( j ) - 2 6 . 0 0 4 6

5

5 ( i ) 2 6 . 0 0 4 6

4 0 . 8 5 5 4

-

0 . 0 8 7 4 3 . 8 1 8 4

6 ( j ) - 6 4 . 1 8 7 3

1 6 . 6 9 3

b

a .

b .

T a b l e 1 0 . C o m p a r i s o n s o f C

w

v a l u e s f o r s e l e c t i v e C - s e c t i o n s w i t h o u t l i p s

S e c t i o n

D

( i n . )

B

( i n . )

t

( i n . )

A

( i n .

2

)

C

w

( i n .

6

)

c a l c u l a t e d b y

a u t h o r s

C

w

( i n .

6

)

p r o v i d e d b y

A I S I m a n u a l

1 2 0 0 T 2 0 0 - 6 8 1 2 . 2 5 0 2 . 0 0 0 . 0 7 1 3 1 . 1 4 0 8 . 4 3 1 0 0 8 . 4 3 0 0

1 0 0 0 T 1 2 5 - 9 7 1 0 . 3 5 6 1 . 2 5 0 . 1 0 1 7 1 . 2 7 0 2 . 1 2 2 0 0 2 . 1 2 0 0

8 0 0 T 1 5 0 - 4 3 8 . 1 6 1 1 . 5 0 0 . 0 4 5 1 0 . 4 9 6 0 . 9 7 1 5 0 0 . 9 7 2 0

5 5 0 T 1 2 5 - 5 4 5 . 6 9 8 1 . 2 5 0 . 0 5 6 6 0 . 4 5 2 0 . 3 1 5 4 2 0 . 3 1 5 0

4 0 0 T 1 2 5 - 3 0 4 . 1 4 1 1 . 2 5 0 . 0 3 1 2 0 . 2 0 3 0 . 0 8 5 5 2 0 . 0 8 5 5

3 5 0 T 1 2 5 - 1 8 3 . 6 2 2 1 . 2 5 0 . 0 1 8 8 0 . 1 1 3 0 . 0 3 8 4 2 0 . 0 3 8 4

S e e F i g u r e 1 f o r t h e n o t a t i o n s .


w

v a l u e s f o r s e l e c t i v e C - s e c t i o n s w i t h l i p s

S e c t i o n

D

( i n . )

B

( i n . )

t

( i n . )

A

( i n .

2

)

C

w

( i n .

6

)


a u t h o r s

C

w

( i n .

6

)

p r o v i d e d b y

A I S I m a n u a l

1 2 C S 4 0 7 0 1 2 . 0 0 0 4 . 0 0 0 . 0 7 0 1 . 4 7 8 0 . 7 6 3 8 0 . 8

1 0 C S 4 1 0 5 1 0 . 0 0 0 4 . 0 0 0 . 1 0 5 1 . 9 9 8 1 . 7 3 6 8 1 . 7

1 0 C S 2 0 8 5 1 0 . 0 0 0 2 . 0 0 0 . 0 8 5 1 . 2 7 1 2 . 9 9 6 1 3 . 0

9 C S 2 . 5 0 5 9 9 . 0 0 0 2 . 5 0 0 . 0 5 9 0 . 8 8 1 1 1 . 9 0 5 1 1 . 9

8 C S 3 . 5 0 7 0 8 . 0 0 0 3 . 5 0 0 . 0 7 0 1 . 1 2 2 4 . 0 9 8 2 4 . 1

7 C S 4 1 0 5 7 . 0 0 0 4 . 0 0 0 . 1 0 5 1 . 6 7 3 8 . 0 9 2 3 8 . 1


W

n i

2

W

n i

W

n j

W

n j

2

t

i j

L

i j

C

w

( )

i

C

w

( )

i

W

n i

2

W

n i

W

n j

W

n j

2

+ +

( )t

i j

L

i j

= 3 6 4 . 1 8 7 4 0 . 8 5 5 2 6 . 0 0 5 + +

( )0 . 0 8 7 4 3

3 . 8 1 8 i n .

6

= =

C

w

C

w

( )

i

i 1=

n

1 6 . 6 9 3 i n .

6

= =


8/13

3 0 4 D u n g M . L u e e t a l .


w

v a l u e s f o r s e l e c t i v e Z - s e c t i o n s w i t h o u t l i p s

S e c t i o n

D

( i n . )

B

( i n . )

t

( i n . )

A

( i n .

2

)

C

w

( i n .

6

)


a u t h o r s

C

w

( i n .

6

)

p r o v i d e d b y

A I S I m a n u a l

8 Z U 1 . 2 5 1 0 5 8 . 0 0 0 1 . 2 5 0 . 1 0 5 1 . 0 6 1 . 5 4 6 0 0 1 . 5 5 0 0

6 Z U 1 . 2 5 0 7 5 6 . 0 0 0 1 . 2 5 0 . 0 7 5 0 . 6 1 2 0 . 6 1 1 8 0 0 . 6 1 2 0

4 Z U 1 . 2 5 0 4 8 4 . 0 0 0 1 . 2 5 0 . 0 4 8 0 . 2 9 9 0 . 1 6 4 1 0 0 . 1 6 4 0

3 . 6 2 5 Z U 1 . 2 5 0 6 0 3 . 6 2 5 1 . 2 5 0 . 0 6 0 0 . 3 4 9 0 . 1 6 0 4 5 0 . 1 6 1 0

2 . 5 Z U 1 . 2 5 0 9 0 2 . 5 0 0 1 . 2 5 0 . 0 9 0 0 . 4 1 6 0 . 0 9 5 2 7 0 . 0 9 5 3

1 . 5 Z U 1 . 2 5 0 3 6 1 . 5 0 0 1 . 2 5 0 . 0 3 6 0 . 1 3 5 0 . 0 1 2 7 3 0 . 0 1 2 7



w

v a l u e s f o r s e l e c t i v e Z - s e c t i o n s w i t h l i p s

S e c t i o n

D

( i n . )

B

( i n . )

t

( i n . )

A

( i n .

2

)

C

w

( i n .

6

)


a u t h o r s

C

w

( i n .

6

)

p r o v i d e d b y

A I S I m a n u a l

1 2 Z S 3 . 2 5 0 8 5 1 2 3 . 2 5 0 . 0 8 5 1 . 7 0 9 8 . 8 7 4 9 8 . 6 0

1 0 Z S 2 . 7 5 0 7 0 1 0 2 . 7 5 0 . 0 7 0 1 . 1 9 3 7 . 5 3 6 3 7 . 5 0

9 Z S 2 . 2 5 1 0 5 9 2 . 2 5 0 . 1 0 5 1 . 5 7 2 9 . 6 6 8 2 9 . 7 0

8 Z S 3 . 2 5 0 6 5 8 3 . 2 5 0 . 0 6 5 1 . 0 4 3 0 . 4 7 0 3 0 . 5 0

7 Z S 2 . 2 5 0 5 9 7 2 . 2 5 0 . 0 5 9 0 . 7 6 3 9 . 4 5 6 9 . 4 6

4 Z S 2 . 2 5 0 7 0 4 2 . 2 5 0 . 0 7 0 0 . 6 9 6 3 . 3 8 3 3 . 3 8



w

v a l u e s f o r h a t s e c t i o n s w i t h o u t l i p s

S e c t i o n

D

( i n . )

B

( i n . )

t

( i n . )

A

( i n .

2

)

C

w

( i n .

6

)


a u t h o r s

C

w

( i n .

6

)

p r o v i d e d b y

A I S I m a n u a l

1 0 H U 5 0 7 5 1 0 . 0 0 0 5 . 0 0 0 . 0 7 5 1 . 9 8 9 8 . 4 1 0 9 8 . 4 0

8 H U 8 1 0 5 8 . 0 0 0 8 . 0 0 0 . 1 0 5 2 . 7 1 2 2 2 . 0 6 0 2 2 2 . 0 0

6 H U 3 0 6 0 6 . 0 0 0 3 . 0 0 0 . 0 6 0 0 . 9 5 4 6 . 0 3 9 6 . 0 4

4 H U 4 1 0 5 4 . 0 0 0 4 . 0 0 0 . 1 0 5 1 . 4 5 6 . 8 9 3 6 . 8 9

3 H U 4 . 5 1 3 5 3 . 0 0 0 4 . 5 0 0 . 1 3 5 1 . 7 4 5 . 6 5 5 5 . 6 6

3 H U 3 0 7 5 3 . 0 0 0 3 . 0 0 0 . 0 7 5 0 . 7 6 1 1 . 1 4 3 1 . 1 4



w

v a l u e s f o r e q u a l l e g a n g l e s w i t h l i p s

S e c t i o n

D

( i n . )

B

( i n . )

t

( i n . )

A

( i n .

2

)

C

w

( i n .

6

)


a u t h o r s

C

w

( i n .

6

)

p r o v i d e d b y

A I S I m a n u a l

4 L S 4 1 3 5 4 . 0 0 0 4 . 0 0 0 0 . 1 3 5 1 . 1 2 0 0 . 0 9 0 7 2 0 . 0 9 0 7

4 L S 4 0 7 5 4 . 0 0 0 4 . 0 0 0 0 . 0 7 5 0 . 6 3 6 0 . 0 6 3 1 4 0 . 0 6 3 1

3 L S 1 0 5 3 . 0 0 0 3 . 0 0 0 0 . 1 0 5 0 . 6 6 9 0 . 0 4 2 0 3 0 . 0 4 2 0

3 L S 0 6 0 3 . 0 0 0 3 . 0 0 0 0 . 0 6 0 0 . 3 9 2 0 . 0 2 8 5 7 0 . 0 2 8 6

2 . 5 L S 2 . 5 0 9 0 2 . 5 0 0 2 . 5 0 0 0 . 0 9 0 0 . 4 8 9 0 . 0 2 5 5 6 0 . 0 2 5 6

2 L S 2 1 3 5 2 . 0 0 0 2 . 0 0 0 0 . 1 3 5 0 . 5 7 6 0 . 0 1 9 2 2 0 . 0 1 9 2



9/13


w h e r e = 0 ( F r o m 1 9 9 6 a n d 2 0 0 2 A I S I M a n u a l ) ( 9 )

W a r p i n g c o n s t a n t f o r C - s e c t i o n s w i t h l i p s :

C

w

a

2

b

2

t

1 2

- - - - - - - - - - - -

2 a

3

b 3 a

2

b

2

4 8 c

4

1 1 2 b c

3

8 a c

3

4 8 a b c

2

+ + +

1 2 a

2

c

2

1 2 a

2

b c 6 a

3

c+ + +

+ +

6 a

2

b a

2 c+

( )

3

2 4 a c

2

+

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --

=

C

w

a

2

b

2

t

1 2

- - - - - - - - - - - -

2 a

3

b 3 a

2

b

2

4 8 c

4

1 1 2 b c

3

8 a c

3

4 8 a b c

2

+ + +

1 2 a

2

c

2

1 2 a

2

b c 6 a

3

c+ + +

+ +

6 a

2

b a

2 c+

( )

3

2 4 a c

2

+

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --

=


w

v a l u e s f o r e q u a l l e g a n g l e s w i t h o u t l i p s

S e c t i o n

D

( i n . )

B

( i n . )

t

( i n . )

A

( i n .

2

)

C

w

( i n .

6

)


a u t h o r s

C

w

( i n .

6

)

p r o v i d e d b y

A I S I m a n u a l

4 L U 4 1 3 5 4 . 0 0 0 4 . 0 0 0 0 . 1 3 5 1 . 0 4 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0

4 L U 4 0 9 0 4 . 0 0 0 4 . 0 0 0 0 . 0 9 0 0 . 7 0 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0

3 L U 3 1 3 5 3 . 0 0 0 3 . 0 0 0 0 . 1 3 5 0 . 7 7 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0

3 L U 3 0 9 0 3 . 0 0 0 3 . 0 0 0 0 . 0 9 0 0 . 5 2 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0

2 . 5 L U 2 . 5 1 0 5 2 . 5 0 0 2 . 5 0 0 0 . 1 0 5 0 . 5 0 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0

2 L U 2 1 3 5 2 . 0 0 0 2 . 0 0 0 0 . 1 3 5 0 . 5 0 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0



w

v a l u e s f o r s e l e c t i v e d o u b l e c h a n n e l s w i t h u n s t i f f e n e d f l a n g e s b a c k - t o - b a c k s e c t i o n s i n 1 9 9 1

A I S I M a n u a l

S e c t i o n

D

( i n . )

B

( i n . )

t

( i n . )

A

( i n .

2

)

C

w

( i n .

6

)


a u t h o r s

C

w

( i n .

6

)

p r o v i d e d b y

A I S I m a n u a l

2 - 7 C 3 1 3 5 7 . 0 3 . 0 0 0 . 1 3 5 2 . 5 6 8 6 . 2 3 0 0 6 . 2 3 0 0

2 - 7 C 3 1 0 5 7 . 0 3 . 0 0 0 . 1 0 5 2 . 0 1 3 5 . 0 5 0 0 5 . 0 5 0 0

2 - 6 C 3 1 3 5 6 . 0 3 . 0 0 0 . 1 3 5 2 . 2 9 8 4 . 5 5 0 0 4 . 5 5 0 0

2 - 6 C 3 1 0 5 6 . 0 3 . 0 0 0 . 1 0 5 1 . 8 0 3 3 . 6 9 0 0 3 . 6 9 0 0

2 - 3 C 2 . 2 5 1 0 5 3 . 0 2 . 2 5 0 . 1 0 5 1 . 0 1 5 0 . 3 6 2 0 0 . 3 6 2 0

2 - 2 C 2 . 2 5 1 0 5 2 . 0 2 . 2 5 0 . 1 0 5 0 . 8 0 5 0 . 1 5 5 0 0 . 1 5 5 0



w

v a l u e s f o r s e l e c t i v e d o u b l e c h a n n e l s w i t h s t i f f e n e d f l a n g e s b a c k - t o - b a c k s e c t i o n s i n 1 9 9 1

A I S I M a n u a l

S e c t i o n

D

( i n . )

B

( i n . )

t

( i n . )

A

( i n .

2

)

C

w

( i n .

6

)


a u t h o r s

C

w

( i n .

6

)

p r o v i d e d b y

A I S I m a n u a l

2 - 1 2 C S 7 1 3 5 1 2 . 0 7 . 0 0 0 . 1 3 5 5 . 4 1 1 4 7 8 . 0 0 4 7 8 . 0 0

2 - 8 C S 6 1 3 5 8 . 0 6 . 0 0 0 . 1 3 5 4 . 0 1 8 1 3 8 . 0 0 1 3 8 . 0 0

2 - 7 C S 5 . 5 1 3 5 7 . 0 5 . 5 0 0 . 1 3 5 3 . 5 8 6 8 2 . 3 0 8 2 . 3 0

2 - 5 C S 4 1 3 5 5 . 0 4 . 0 0 0 . 1 3 5 2 . 5 4 4 1 5 . 9 0 1 5 . 9 0

2 - 4 C S 4 1 3 5 4 . 0 4 . 0 0 0 . 1 3 5 2 . 2 7 4 1 0 . 4 0 1 0 . 4 0

2 - 3 . 5 C S 4 1 3 5 3 . 5 4 . 0 0 0 . 1 3 5 2 . 1 3 9 8 . 0 9 8 . 0 9



10/13

3 0 6 D u n g M . L u e e t a l .

w h e r e = 1 ( F r o m t h i s s t u d y a n d 1 9 9 6 , 2 0 0 2 A I S I M a n u a l s ) ( 1 0 )

( F r o m 1 9 9 1 A I S I M a n u a l ) ( 1 1 )

W a r p i n g c o n s t a n t f o r Z - s e c t i o n s w i t h o u t l i p s :

( F r o m t h i s s t u d y ) ( 1 2 )

w h e r e = 0 ( F r o m 1 9 9 1 A I S I M a n u a l ) ( 1 3 )

w h e r e = 0 ( F r o m 1 9 9 6 a n d 2 0 0 2 A I S I M a n u a l s ) ( 1 4 )

W a r p i n g c o n s t a n t f o r Z - s e c t i o n s w i t h l i p s :

w h e r e = 5 0

o

( F r o m t h i s s t u d y ) ( 1 5 )

w h e r e = 1 , = 9 0

o

( F r o m 1 9 9 1 A I S I M a n u a l ) ( 1 6 )

C

w

t

2

A

- - -

x A a

2

t

- - - - - - - - - - -

b

2

3

- - - - -

m

2

m b+

A

3 t

- - - -

m

2

a

3

b

2

c

2

2 c 3 a+ +

[ ]

I

x

m

2

t

- - - - - - - - - -

2 a 4 c+

( )+ +

m c

2

3

- - - - - - - - -

8 b

2

c 2 m 2 c c a

( )b 2 c 3 a

( )+

( )+

[ ]

b

2

a

2

6

- - - - - - - - - -

3 c b

2

+

( )4 c a+

( )6 c

2

[ ]

m

2

a

4

4

- - - - - - - - - - -

+

=

C

w

b t a

2

1 2

- - - - - - - - - -

b 2 a+

a 2 b+

- - - - - - - - - - - - -

=

C

w

t b

2

a

2

b

2

2 a b 4

b c 6 a c+ + +

( )4

c

2

3 a

2

3 a b 4 b c 2 a c c

2

+ + + +

( )+ 1 2 a 2 b 2 c+ +

( ) =

C

w

t

1 2

- - - - - -

a

2

b

3

2 a b+

( )

b

2

4 c

4

1 6 b c

3

6 a

3

c 4 a

2

b c 8 a c

3

+ + + +

( )

6 a b c

2

a b+

( )2 b s i n

a c o s

+

( )+

4 a b c

3

2 a 4 b c+ +

( )s i n

c o s

+

c

3

2 a

3

4 a

2

b 8 a b

2

a

2

c 1 6 b

3

4 b

2

c+ +

( )c o s

2

+

+

a 2 b

c+

( )+

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

=

C

w

t

1 2

- - - - - -

a

2

b

3

2 a b+

( )

b

2

4 c

4

1 6 b c

3

6 a

3

c 4 a

2

b c 8 a c

3

+ + + +

( )

6 a b c

2

a b+

( )2 b s i n

a c o s

+

( )+

4 a b c

3

2 a 4 b c+ +

( )s i n

c o s

+

c

3

2 a

3

4 a

2

b 8 a b

2

a

2

c 1 6 b

3

4 b

2

c+ +

( )c o s

2

+

+

a 2 b c+

( )+

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

=

C

w

t b

2

a

2

b

2

2 a b 4

b c 6 a c+ + +

( )4

c

2

3 a

2

3 a b 4 b c 2 a c c

2

+ + + +

( )+

[ ]1 2 a 2 b 2 c+ +

( ) =


11/13


w h e r e = 1 , = 5 0

o

( F r o m 1 9 9 6 a n d 2 0 0 2 A I S I M a n u a l s ) ( 1 7 )

W a r p i n g c o n s t a n t f o r H a t s e c t i o n s w i t h o u t l i p s :

w h e r e = 1 ( F r o m t h i s s t u d y a n d 1 9 9 6 , 2 0 0 2 A I S I M a n u a l s ) ( 1 8 )

( F r o m 1 9 9 1 A I S I M a n u a l ) ( 1 9 )

W a r p i n g c o n s t a n t f o r e q u a l l e g a n g l e s w i t h o u t l i p s :

C

w

= 0

W a r p i n g c o n s t a n t f o r e q u a l l e g a n g l e s w i t h l i p s :

( F r o m t h i s s t u d y a n d 1 9 9 6 , 2 0 0 2 A I S I M a n u a l s ) ( 2 0 )

( F r o m 1 9 9 1 A I S I M a n u a l ) ( 2 1 )

W a r p i n g c o n s t a n t f o r t w o c h a n n e l s w i t h u n s t i f f e n e d

f l a n g e s b a c k - t o - b a c k w e l d e d :

( T h i s s t u d y a n d 1 9 9 1 , 1 9 9 6 , 2 0 0 2 A I S I M a n u a l s ) ( 2 2 )

W a r p i n g c o n s t a n t f o r t w o c h a n n e l s w i t h s t i f f e n e d

f l a n g e s b a c k - t o - b a c k w e l d e d :

( T h i s s t u d y , 1 9 9 1 , 1 9 9 6 , 2 0 0 2 M a n u a l s ) ( 2 3 )

w h e r e i s t h e l e n g t h o f w e b , t h e l e n g t h o f f l a n g e s ,

t h e l e n g t h o f u n s t i f f e n e d f l a n g e , t t h e t h i c k n e s s o f p l a t e

e l e m e n t , a n d m i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n s h e a r c e n t e r a n d

c e n t e r l i n e o f w e b a s s h o w n i n F i g . 1 .

W a r p i n g c o n s t a n t s f o r a l l s e l e c t i v e s e c t i o n s l i s t e d i n t h e

A I S I M a n u a l s w e r e c h e c k e d b y b o t h t h e d e r i v e d a n d t h e

A I S I f o r m u l a s . T h e d i f f e r e n c e s w e r e f o u n d t o b e

n e g l i g i b l e ( S e e T a b l e s 1 0 ~ 1 8 ) .

7 . C o n c l u s i o n s

T h e c a l c u l a t i o n o f w a r p i n g c o n s t a n t f o r a c o l d - f o r m e d

s t e e l o p e n s e c t i o n i s a t e d i o u s t a s k f o r p r a c t i c i n g

e n g i n e e r s . T h i s p a p e r s u m m a r i z e s a n d d i s c u s s e s v a r i o u s

i n t e g r a t i o n f o r m u l a s f o r e v a l u a t i n g C

w

v a l u e s o f a r b i t r a r y

c o l d - f o r m e d s t e e l o p e n s e c t i o n s . B a s e d o n t h i s s t u d y , t h e

f o l l o w i n g f i n d i n g s c a n b e d r a w n .

1 . T h i s s t u d y p r e s e n t s t h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a s f o r C

w

i n t e r m s o f m o r e e x p l i c i t n u m e r i c a l e x p r e s s i o n s f o r g e n e r a l

o p e n s e c t i o n s .

2 . T h i s s t u d y p r o v i d e s a d e t a i l e d p r o c e d u r e f o r c o m p u t i n g

t h e C

w

v a l u e o f a g e n e r a l c o l d - f o r m e d s t e e l o p e n s e c t i o n .

A n i l l u s t r a t i v e e x a m p l e i s p r o v i d e d t o h e l p p r a c t i c i n g

e n g i n e e r s c a l c u l a t e C

w

v a l u e s f o r s e c t i o n s n o t a v a i l a b l e i n

t h e A I S I d e s i g n m a n u a l s .

C

w

t

1 2

- - - - - -

a

2

b

3

2 a b+

( )

b

2

4 c

4

1 6 b c

3

6 a

3

c 4 a

2

b c 8 a c

3

+ + + +

( )

6 a b c

2

a b+

( )2 b s i n

a c o s

+

( )+

4 a b c

3

2 a 4 b c+ +

( )s i n

c o s

+

c

3

2 a

3

4 a

2

b 8 a b

2

a

2

c 1 6 b

3

4 b

2

c+ +

( )c o s

2

+

+

a 2 b

c+

( )+

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

=

C

w

a

2

b

2

t

1 2

- - - - - - - - - - - -

2 a

3

b 3 a

2

b

2

4 8 c

4

1 1 2 b c

3

8 a c

3

4 8 a b c

2

+ +

1 2 a

2

c

2

1 2 a

2

b c 6 a

3

c+ +

+ +

6 a

2

b a

2 c+

( )

3

+

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

=

C

w

a

2

4

- - - - -

I

x

Y

( )

2

A 1

a

2

A

4 I

y

- - - - - - - -

+

2 b

2

t c

3

3

- - - - - - - - - - - - - -

a b

2

c

2

t

a

2

b t c

3

Y A

3 I

y

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4 b

2

t

2

c

6

9 I

y

- - - - - - - - - - - - - - - - -

++=

C

w

a

4

c

3

t 4 a 3 c+

( )

6 2 a

3

a c

( )

3

[ ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

=

C

w

t

2

a

4

c

3

1 8 I

x

- - - - - - - - - - - - -

4 a 3 c+

( )=

C

w

t a

2

1 2

- - - - - -

8 b

3

c

3

b

3

c

3

+

- - - - - - - - - - - - - -

=

C

w

t b

2

3

- - - - - -

a

2

b 3 a

2

c 6 a c

2

4 c

3

+ + +

( )=

a b

c


12/13

3 0 8 D u n g M . L u e e t a l .

3 . T h e C

w

v a l u e s c a l c u l a t e d b y t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e

c o m p a r e w e l l w i t h t h o s e t a b u l a t e d i n t h e c u r r e n t A I S I

d e s i g n m a n u a l s . T h i s m e a n s t h a t t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e

i s a c c u r a t e a n d r e l i a b l e . T h e p r o p o s e d c o m p u t a t i o n a l

p r o c e d u r e a n d f o r m u l a s w o u l d b e v e r y u s e f u l f o r e n g i n e e r s

w h e n d e a l i n g w i t h t h e C

w

c a l c u l a t i o n f o r t h e s e c t i o n s n o t

a v a i l a b l e i n t h e d e s i g n m a n u a l s .

4 . A l t h o u g h s o p h i s t i c a t e d c o m p u t e r p r o g r a m s d o e x i s t ,

t h e y m a y n o t b e r e a d i l y a v a i l a b l e f o r e v e r y o n e . A s i m p l e

n u m e r i c a l p r o c e d u r e u t i l i z i n g M i c r o s o f t E x c e l w a s p r o p o s e d

t o f a c i l i t a t e t h e c o m p u t a t i o n o f c o m p l e x C

w

.

5 . U n l i k e t h e 1 9 9 1 A I S I f o r m u l a s , t h e d e r i v e d C

w

f o r m u l a s a r e a f u n c t i o n o f s e c t i o n a l d i m e n s i o n s o n l y ( i e

, , a n d ) . D u r i n g t h i s s t u d y , d i s c r e p a n c i e s o f C

w

v a l u e s t a b u l a t e d i n t h e 1 9 9 1 A I S I d e s i g n m a n u a l w e r e

d e t e c t e d . F o r i n s t a n c e s , C

w

s h o u l d b e 0 . 1 0 8 i n .

6

( i n s t e a d

o f 0 . 1 3 2 i n .

6

) f o r S e c t i o n 4 . 0 1 . 1 2 5 0 . 0 6 0 , a n d i t s h o u l d

b e 1 . 1 5 6 i n .

6

( i n s t e a d o f 1 . 5 6 i n .

6

) f o r S e c t i o n 6 . 0 1 . 6 2 5

0 . 0 4 8 .

R e f e r e n c e s

A I S I ( 1 9 9 1 ) . C o l d - F o r m e d S t e e l D e s i g n M a n u a l , W a s h i n g t o n ,

D C , A m e r i c a n I r o n a n d S t e e l I n s t i t u t e .





B l e i c h , F . ( 1 9 5 2 ) . B u c k l i n g S t r e n g t h o f M e t a l S t r u c t u r e s .

M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k , p p . 1 0 4 - 1 2 3 .

E l l i f r i t t , D . S . a n d L u e D . M . ( 1 9 9 8 ) . D e s i g n o f c r a n e

r u n w a y b e a m w i t h c h a n n e l c a p . E n g i n e e r i n g J o u r n a l ,

A I S C , 3 5 ( 2 ) , p p . 4 1 - 4 9 .

G a l a m b o s , T . V . ( 1 9 6 8 ) . S t r u c t u r a l m e m b e r s a n d f r a m e s .

P r e n t i c e - H a l l , N e w J e r s e y , p p . 8 0 - 1 5 8 .

H a n c o c k , G . J . ( 1 9 7 8 ) . L o c a l d i s t o r t i o n a n d l a t e r a l b u c k l i n g

o f I - b e a m s . J o u r n a l o f t h e S t r u c t u r a l D i v i s i o n , A S C E ,

1 0 4 ( 1 1 ) , p p . 1 7 8 7 - 1 8 0 0 .

H e i n s , C . P . ( 1 9 7 5 ) . B e n d i n g a n d t o r s i o n a l d e s i g n i n

s t r u c t u r a l m e m b e r s . L e x i n g t o n B o o k C o . , L e x i n g t o n ,

M A .

K o l l b r u n n e r , C . F . a n d B a s l e r , K . ( 1 9 6 9 ) . T o r s i o n i n

s t r u c t u r e s . S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , p p . 9 6 - 1 3 0 .

K u b o , M . a n d F u k u m o t o , Y . ( 1 9 8 8 ) . L a t e r a l t o r s i o n a l

b u c k l i n g o f t h i n - w a l l e d I - b e a m s . J o u r n a l o f t h e

S t r u c t u r a l D i v i s i o n , A S C E , 1 1 4 ( 4 ) , p p . 8 4 1 - 8 5 5 .

L i n , W . Y . a n d H s i a o , K . M . ( 2 0 0 3 ) . M o r e g e n e r a l

e x p r e s s i o n f o r t h e t o r s i o n a l w a r p i n g o f a t h i n - w a l l e d

o p e n - s e c t i o n b e a m . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M e c h a n i c a l

S c i e n c e s , 4 5 ( 5 ) , p p . 8 3 1 - 8 4 9 .

L u e , T . a n d E l l i f r i t t , D . S . ( 1 9 9 3 ) . T h e w a r p i n g c o n s t a n t f o r

t h e w - s e c t i o n w i t h a c h a n n e l c a p . E n g i n e e r i n g J o u r n a l ,

A I S C , 3 0 ( 1 ) , p p . 3 1 - 3 3 .

L u e , D . M . a n d E l l i f r i t t , D . S . ( 2 0 0 3 ) . N u m e r i c a l e v a l u a t i o n

f o r w a r p i n g c o n s t a n t o f b u i l t - u p c r a n e r u n w a y b e a m .

S S R C A n n a u a l S t a b i l i t y C o n f e r e n c e , B a l t i m o r e , M D , p p .

2 1 3 - 2 3 2 .

P a p a n g e l i s , J . P . a n d H a n c o c k , G . J . ( 1 9 9 5 ) . C o m p u t e r

a n a l y s i s o f t h i n - w a l l e d s t r u c t u r a l m e m b e r s . C o m p u t e r &

S t r u c t u r e s , 5 6 ( 1 ) , p p . 1 5 7 - 1 7 6 .

a b c

F i g u r e 5 . N i n e p r a c t i c a l s e c t i o n s p r o v i d e d i n t h e A I S I M a n u a l s .


13/13


S a l m o n , G . C . a n d J o h n s o n , E . J . ( 1 9 9 4 ) . S t e e l s t r u c t u r e s

d e s i g n a n d b e h a v i o r . p p . 4 8 4 - 5 4 2 .

T r a h a i r , N . S . ( 1 9 9 3 ) . F l e x u r a l - t o r s i o n a l a n d b u c k l i n g o f

s t r u c t u r e s . C R C P r e s s , p p . 3 0 4 - 3 5 6 .

Y o o , C . H . a n d A c r a , S . V . ( 1 9 8 6 ) . C r o s s - s e c t i o n p r o p e r t i e s

o f t h i n - w a l l e d m u l t i - c e l l u l a r s e c t i o n . C o m p u t e r s &

S t r u c t u r e s , 2 2 ( 1 ) , p p . 5 3 - 6 1 .

Y u , W . W . ( 1 9 9 1 ) . C o l d - f o r m e d s t e e l d e s i g n . J o h n W i l e y &

S o n s , N e w Y o r k , p p . 5 2 2 - 5 4 0 .

warping constant

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