1

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

1. PODSTAWOWE POJĘCIA

Pieniądz, podobnie jak inne dobra (towary i usługi))

zmienia swoją wartość w czasie, co jest następstwem

zachodzących w sposób ciągły procesów gospodarczych. Zmianie

może ulegać wartość nominalna pieniądza (np. denominacja)

albo jego wartość realna (np. deprecjacja, aprecjacja).

Deprecjacja – spadek siły nabywczej pieniądza na skutek

inflacji.

Aprecjacja – wzrost siły nabywczej pieniądza na skutek

deflacji.

Ponieważ w gospodarce zazwyczaj występuje zjawisko

deprecjacji pieniądza nie powinien on być bezczynny, gdyż

będzie to zmniejszało jego siłę nabywczą. Każdy posiadacz

pieniądza powinien więc dążyć do jego zaangażowania w procesy

gospodarcze, co powinno przyczynić się do wzrostu jego

wartości w czasie, a przynajmniej do zachowania jego siły

nabywczej na dotychczasowym poziomie.

Obliczanie wartości pieniądza w czasie jest ważne z tego

powodu, że pieniądz jako miernik wartości wszelkich działań

gospodarczych, pozwala jednoznacznie ocenić efekty tej

działalności.

Podstawowym pojęciem jest w tym przypadku stopa zwrotu,

której najlepiej znanym przypadkiem jest stopa procentowa. W

dalszych rozważaniach będziemy posługiwać się tym drugim

określeniem.

Podstawowe określenia:

K0 – wartość początkowa (wartość bieżąca),

Kn – wartość końcowa (wartość przyszła).

Różnica Z = Kn – K0 nazywana jest odsetkami.

2

Stopa procentowa – stosunek odsetek do wartości

początkowej wyrażony w odpowiedniej jednostce czasu.

nKKK

nKZr 11

0

01

0

×−

=×=

Gdzie:

n – okres inwestycji w latach.

Uwaga!

Powyższy wzór jest prawdziwy dla procentu prostego.

Okres stopy procentowej - czyli okres, za który podano

stopę procentową, np. roczna, półroczna, kwartalna,

miesięczna.

W praktyce najczęściej stopę procentową podaje się za

okresy roczne. Dalej r będzie oznaczać roczną nominalną

stopę procentową.

Obliczanie wartości pieniądza w czasie wiąże się

najczęściej z wykonywaniem następujących działań:

• obliczanie odsetek (oprocentowania lub procentu),

• obliczanie wartości przyszłej,

• obliczanie wartości bieżącej (zwane też

dyskontowaniem), które jest matematycznie operacją

odwrotną do obliczania wartości przyszłej.

Kapitalizacja odsetek – dopisywanie odsetek do kapitału

za określony czas zwany okresem kapitalizacji.

Ze względu na moment dokonywania kapitalizacji wyróżnia

się kapitalizację:

• z dołu – odsetki są dopisywane na koniec okresu

kapitalizacji,

• z góry – odsetki są dopisywane na początek okresu

kapitalizacji.

3

W praktyce częściej jest stosowana kapitalizacja z dołu.

Przypadkiem kapitalizacji z góry występującym w praktyce jest

dyskonto lub redyskonto weksli.

Dalej będzie rozpatrywana wyłącznie kapitalizacja

z dołu.

W zależności od sposobu ustalania odsetek, czyli ich

wpływania na wartość odsetek w kolejnych okresach

kapitalizacji wyróżnia się kapitalizację:

• prostą, w której odsetki naliczone za dany okres

kapitalizacji nie są brane pod uwagę przy

obliczaniu odsetek w kolejnym okresie

kapitalizacji,

• złożoną, w której odsetki naliczone w danym

okresie kapitalizacji uwzględniane są przy

obliczaniu odsetek w kolejnym okresie

kapitalizacji.

Ostatni podział kapitalizacji ma charakter techniczny i

wiąże się z prawidłowym obliczeniem wartości przyszłej czy

bieżącej. Jeżeli okres stopy procentowej pokrywa się z okresem

kapitalizacji, to występuje wówczas kapitalizacja zgodna, a

jeżeli te okresy się nie pokrywają, to występuje kapitalizacja

niezgodna (np. stopa procentowa w skali roku - okres

kapitalizacji w miesiącach). Przed obliczeniem wartości

pieniądza należy najpierw ustalić, z którym rodzajem

kapitalizacji mamy do czynienia, a następnie zastosować

odpowiedni wzór.

4

2. PROCENT PROSTY

Stosowany jest zazwyczaj do obliczania wartości pieniądza

w czasie za krótkie okresy, najczęściej do jednego roku.

Przykładem zastosowania może być odsetki od sumy wekslowej,

dyskonto weksli, oprocentowanie od środków na rachunkach

bieżących itp.

Podstawowe wzory:

nrP

K

nrKKPZnrKP

n

nn

n

×+=

××=−=

×+×=

1

)1(

0

00

0

Jeżeli okres stopy procentowej nie pokrywa się z okresem

kapitalizacji wzory należy odpowiednio zmodyfikować

podstawiając za n np.:

• n = t/12, jeżeli czas podany jest w miesiącach,

• n = t/365, jeżeli czas podany jest w dniach.

W przypadku czasu podanego w dniach najczęściej stosuje

się rzeczywistą lub dokładną liczbę dni, chociaż można spotkać

się z uproszczonym sposobem obliczania n zwanym zasadą

równych miesięcy, w której każdy miesiąc ma 30 dni a rok

360.

W przypadku okresu podanego za pomocą dwóch dat –

początkową i końcową, przy obliczaniu liczby dni stosuje się

najczęściej zasadę, że jeden z dwóch dni granicznych wlicza

się do t, a drugą pomija.

5

PRZYKŁAD:

Obliczyć wartość przyszłą oraz odsetki od kwoty 2 500 zł

przy stopie procentowej 6,0% w skali roku i okresie

wynoszącym:

a) 5 lat,

b) 18 miesięcy,

c) od 15 stycznia do 20 września (uwzględniając

rzeczywistą liczbę dni w roku 365 dni)

d) od 15 stycznia do 20 września (uwzględniając zasadę

równych miesięcy).

Rozwiązanie:

a)

7505%0.650022503)5%0,61(5002

5

5

=××=

=×+×=

ZP

b)

2251218%0,65002

7252)1218%0,61(5002

12/18

12/18

=××=

=×+×=

Z

P

c)

t=16+28+31+30+31+30+31+31+20=248 dni

92,101365248%0,65002

92,6012365248%0,615002

365/248

365/248

=××=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+×=

Z

P

d)

t=15+7x30+20=245

08,102360245%0,65002

08,6022360245%0,615002

360/245

360/245

=××=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+×=

Z

P

6

3. PROCENT ZŁOŻONY Obliczenie wartości przyszłej w przypadku kapitalizacji

złożonej wymaga uwzględnienia odsetek obliczonych w

poprzednich okresach kapitalizacji przy obliczaniu wartości

odsetek w kolejnych okresach kapitalizacji. Można do tego celu

wykorzystać wzór poznany przy procencie prostym, ale

obliczenia należy przeprowadzać dla pojedynczych okresów

kapitalizacji, a w kolejnych brać pod uwagę wartość końcową

kapitału z okresu poprzedniego.

Przykład:

Obliczyć wartość przyszłą kwoty 10 000 zł za 5 lat,

jeżeli stopa procentowa wynosi 6,0% w skali roku a

kapitalizacja jest złożona z dołu.

Rozwiązanie:

26,38213)06,01(77,6241277,62412)06,01(16,91011

16,91011)06,01(2361100,23611)06,01(6001000,60010)06,01(00010

5

4

3

2

1

=+×=

=+×=

=+×=

=+×=

=+×=

KKKKK

Gdyby występowała kapitalizacja prosta wartość przyszła

kapitału wyniosłaby P5=10000x(1+5X0,06)=13000. Różnica między

wartością przyszłą przy kapitalizacji złożonej a wartością

przyszłą przy kapitalizacji prostej jest wynikiem naliczania w

okresach 2, 3, 4 i 5 odsetek nie tylko od kapitału

początkowego, ale także od narosłych odsetek.

7

Wartość przyszłą przy kapitalizacji złożonej z dołu można

obliczyć za pomocą wzoru:

nn rKK )1(0 +×=

Rozwiązanie przykładu:

26,38213)06,01(00010 55 =+×=K

Wzór na wartość bieżącą kapitału przy kapitalizacji

złożonej zgodnej:

nnnn

rK

rKK

)1(1

)1(0 +×=

+=

Wzór na obliczenie stopy procentowej:

10

−= n n

KKr

Przykład:

Przy jakiej stopie procentowej kapitał początkowy po 5

latach potroi swoją wartość, jeżeli zastosowano model

kapitalizacji złożonej.

%57,242457,01313 55

0

0 ==−=−=KKr

8

Jeżeli kapitalizacja jest niezgodna, to odpowiednie wzory

będą miały następującą postać:

mKK

r

mrK

K

mrKK

mn

mn

mn

mn

mnmn

×⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×=

×

×

×

1

1

1

0

0

0

W kapitalizacji niezgodnej złożonej ważnym parametrem

jest m, który oznacza częstotliwość kapitalizacji dokonywanej

w ciągu roku (zakłada się, że rok jest dzielony na równe

okresy). Jeżeli:

• m=2, to kapitalizacja jest półroczna,

• m=4, to kapitalizacja jest kwartalna,

• m=12, to kapitalizacja jest miesięczna,

• m=365, to kapitalizacja jest dzienna itd.

9

Przykład:

Obliczyć wartość przyszłą kwoty 25000zł po 3 latach przy

stopie procentowej 4,5% w skali roku i kapitalizacji złożonej:

a) rocznej, b) półrocznej, c) kwartalnej, d) miesięcznej.

Rozwiązanie:

a)

( ) 15,52928045,0100025 33 =+×=K

b)

63,570282045,0100025

2323 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×=×

K

c)

86,591284045,0100025

4343 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×=×

K

d)

20,6062812045,0100025

123123 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×=×

K

Im większa częstotliwość kapitalizacji złożonej

niezgodnej (z dołu), tym wartość końcowa kapitało (czy

odsetek) będzie wyższa przy pozostałych parametrach bez zmian.

10

4. EFEKTYWNA I REALNA STOPA PROCENTOWA

Efektywna stopa procentowa pozwala na porównywanie ze

sobą różnych inwestycji o odmiennych parametrach kapitalizacji

złożonej, tzn. o różnym r i m.

Efektywna stopa procentowa – roczna nominalna stopa

procentowa uwzględniająca kapitalizacje dokonywane w ciągu

roku. Odpowiada następującej zależności:

11

1)1( 00

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×=+×

×

m

ef

mnn

ef

mrr

mrKrK

Przykład:

Która z poniższych lokat bankowych jest

najkorzystniejsza:

a) r=8,10% przy m=2, b) r=8,00% przy m=6, c) r=7,90% przy m=12.

Rozwiązanie:

a)

%26,80826,012081,01

2

==−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=efr

b)

%27,80827,01608,01

6

==−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=efr

c)

%19,80819,0112079,01

12

==−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=efr

Najkorzystniejsza jest lokata b), gdyż uzyskała najwyższą

wartość efektywnej stopy procentowej.

11

Przy porównywaniu różnych wariantów lokat przy

kapitalizacji złożonej nie ma znaczenia parametr n. Jeżeli

lokata (inwestycja) jest najbardziej opłacalna dla pierwszego

roku lub dowolnego innego, będzie zawsze najkorzystniejsza.

Natomiast przy porównywaniu inwestycji z kapitalizacją

prostą i złożoną należy obliczyć wartość przyszłą dla

określonego n. Dla innego n odpowiedź może być odmienna.

Wynika to z przyrostu odsetek, które w procencie prostym

przyrastają liniowo, a w procencie złożonym w postępie

geometrycznym.

Realna stopa procentowa – jest to stopa efektywna (lub

nominalna) skorygowana o inflację.

Podstawowy wzór na realną stopę procentową przedstawia

się następująco:

iir

r efre +

−=1

Gdzie:

i – roczna stopa inflacji,

ref – efektywna stopa procentowa (roczna).

Licznik wzoru koryguje dochód o inflację, natomiast

mianownik jest indeksem korygującym o inflację kapitał

początkowy, gdyż także on podlega deprecjacji.

12

Przykład:

Obliczyć roczną, realną stopę procentową, jeżeli okres

inwestycji wynosił 5 lat, a kapitał początkowy w tym okresie

zwiększył się czterokrotnie przy rocznej kapitalizacji

złożonej. Inflacja w tym okresie wyniosła w kolejnych latach:

3,2%, 3,9%, 3,5%, 3,8% i 4,2%.

Rozwiązanie:

• obliczamy roczną, przeciętną stopę procentową:

%95,313195,0145 ==−=r

• obliczamy roczną przeciętną stopę inflacji

korzystając ze wzoru na średnią geometryczną:

%72,30372,01)042,1)(038,1)(035,1)(039,1)(032,1(5 ==−=i

• roczna, realna stopa zwrotu wynosi:

%22,272722,00372,010372,03195,0

==+

−=rer

13

5. Płatności

Przez płatności należy rozumieć określoną liczbę wpłat

(wypłat) dokonywanych w jednakowym odstępie czasu (okresy

płatności) w stałej lub różnej wysokości.

Płatności mogą być dokonywane:

− z góry, czyli na początek okresu płatności lub

− z dołu, czyli na koniec okresu płatności.

Wartość przyszłą płatności zgodnych, czyli takich, w których

okres stopy procentowej pokrywa się z okresem kapitalizacji

oraz okresem płatności, oblicza się według następujących

wzorów:

( )

rrAFVA

rrrAFVA

n

D

n

G

1)1(

1)1(1

−+×=

−+×+×=

Wartość bieżącą płatności zgodnych oblicza się według

następującego wzoru:

( )

n

n

D

n

n

G

rrrAPVA

rrrrAPVA

)1(1)1(

)1(1)1(1

+×−+

×=

+×−+

×+×=

14

ZADANIA:

1) Ustalić stan książeczki oszczędnościowej po 10 latach, jeżeli dokonano w niej następujących operacji finansowych: na początku wpłacono 2500 zł, po czterech latach wpłacono 1000 zł, po następnym roku wypłacono 3000 zł. Roczna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest złożona roczna z dołu.

2) Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty 100 zł po upływie 5 lat, jeżeli podlega ona oprocentowaniu wg rocznej stopy procentowej 9% przy kapitalizacji złożonej z dołu: a) rocznej, b) półrocznej, c) miesięcznej.

3) W banku, w którym obowiązuje roczna kapitalizacja złożona z dołu, kapitał 50 zł utworzył po 1 roku wartość 60 zł. Ile zyskałby właściciel kapitału w ciągu kolejnych 2 lat, gdyby przy nie zmienionej rocznej stopie wprowadzono kapitalizację kwartalną?

4) Jaka jest roczna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji złożonej z dołu kapitał podwoił swoją wartość po 5 latach?

5) Bank stosuje następujące roczne stopy procentowe dla lokat złotówkowych:

Czas lokaty w miesiącach r

3 5,5%

6 6,9%

12 5,2%

Odsetki są dopisywane do kapitału po deklarowanym okresie trwania lokaty. Niepodjęcie kapitału po okresie deklarowanym jest równoważne jego wpłacie na następny taki sam okres. Wybrać najkorzystniejszy wariant ulokowania 1000 zł na 2 lata.

6) Jaka jest roczna stopa procentowa, jeżeli przy kapitalizacji złożonej miesięcznej z dołu z kapitału 30 zł po 15 miesiącach uzyskano wartość 50 zł?

7) Po 2 latach i 3 miesiącach kwartalnej kapitalizacji złożonej z dołu kwota 50 zł wzrosła dwukrotnie. Jaką wartość osiągnie ta kwota po kolejnym roku?

8) W banku, w którym kapitalizacja jest złożona z dołu dwumiesięczna, po 14 miesiącach z kwoty 500 zł uzyskano 700 zł. Jaką wartość osiągnie ta kwota po dalszych 2 latach?

9) Do banku wpłacono 200 zł. Przez pierwsze 3 lata obowiązywała roczna kapitalizacja złożona z dołu z roczną stopą procentową 12%, a przez następne 2 lata kwartalna kapitalizacja złożona z dołu z roczną stopą procentową 9%. Wyznaczyć wartość tego kapitału po 5 latach.

10) Przez kolejne 3 lata roczna stopa procentowa przyjmowała wartości odpowiednio: 5,0%, 5,2%, 4,5%. Wyznaczyć wartość odsetek za okres 3 lat od kwoty 1 zł oraz przeciętną stopę procentową, jeżeli bank stosował roczną kapitalizację złożoną z dołu.