V A R I A T I O N A L M E T H O D S I N
E L A S T I C I T Y A N D P L A S T I C I T Y
S E C O N D E D I T I O N
K Y U I C H I R O W A S H I Z U
P r o f e s s o r o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s , U n i v e r s i t y o f T o k y o
P E R G A M O N
P R E S S
O x f o c d
N e w Y o r k
T o r o n t o
P a r i s
S y d n e y
 
P e r g a m o n
P r e s s O f f i c e s :
U . .
P e r g a m o n P r e s s L t d . , H e a d i n g t o n H i l l a l l ,
O x f o r d ,
0 X 3
U . S . A .
P e r g a m o n P r e s s I n c . , M a x w e l l
H o u s e ,
F a i r v i e w P a r k ,
E l m s f o r d , N e w Y o r k 1 0 5 2 3 , U . S . A .
C A N A D A
P e r g a m o n
o f C a n a d a L t d . , 2 0 7 Q u e e n ' s Q u a y
W e s t ,
A U S T R A L I A
P e r g a m o n P r e s s ( A u s t . ) P t y . L t d . , 1 9 a B o u n d a r y S t r e e t ,
R u s h c u t t e r s B a y , N . S . W . 2 0 1 1 , A u s t r a l i a
F R A N C E
P e r g a m o n P r e s s S A R L , 2 4 r u e d e s E c o l e s ,
7 5 2 4 0 P a r i s , C e d e x 0 5 , F r a n c e
W E S T ( 3 E R M A N Y P e r g a m o n P r e s s G m b H , D - 3 3 0 0 B r a u n s c h w e i g , P o s t f a c h
2 9 2 3 , B u r g p l a t z 1 , W e s t G e r m a n y
C o p y r i g h t © 1 9 7 5
A l l R i g h t s R e s e r v e d . N o p a r t o f t h i s p u b l i c a t i o n m a y b e
r e p r o d u c e d , s t o r e d i n a r e t r i e v a l s y s t e m , o r t r a n s m i t t e d , i n
a n y f o r m o r b y a n y m e a n s : e l e c t r o n i c , e l e c t r o s t a t i c , m a g n e t i c t a p e ,
m e c h a n i c a l , p h o t o c o p y i n g , r e c o r d i n g o r o t h e r w i s e , w i t h o u t t h e p r w r
p e r m i s s i o n i n w r i t i n g f r o m t h e p u b l i s h e r s .
F i r s t
e d i t i o n 1 9 6 8
S e c o n d
e d i t i o n 1 9 7 5
R e p r i n t e d 1 9 7 5
U b r a r y
o f C o n g r e s s C a t a l o g i n g i n P u b l i c s t k u i D a t a
-
V a r i a t i o n a l m e t h o d s i n e l a s t i c i t y a n d p l a s t i c i t y .
( I n t e r n a t i o n a l
s e r i e s o f m o n o g r a p h s i n a e r o n a u t i c s
a n d a s t r o n a u t i c s , D i v i s i o n
1 : s o l i d a n d s t r u c t u r a l
m e c h a n k s ,
v . 9 )
I n c l u d e s
b i b l i o g r a p h i e s .
1 . E l a s t i c i t y . 2 . P l a s t i c i t y . 3 . C a ' c u l u s o f v a r i a t i o n s . 1 . T i t l e .
Q A 9 3 I . W 3 ) 1 9 7 4
6 2 0 . l ' 1 2 3
7 4 — 8 8 6 1
I S B N
0 - 0 8 - 0 1 7 6 5 3 — 4
P r i n t e d
 
F O R E W O R D
T H E v a r i a t i n a l p r i n c i p l e a n d i t s a p p l i c a t i o n t o m a n y b r a n c h e s o f m e c h a n i c s
i n c l u d i n g e l a s t i c i t y a n d p l a s t i c i t y h a s h a d a l o n g h i s t o r y o f d e v e l o p m e n t .
H o w e v e r , t h e i m p o r t a n c e o f t h i s p r i n c i p l e h a s b e e n h i g h - l i g h t e d i n r e c e n t
y e a r s b y d e v e l o p m e n t s i n t h e u s e o f f i n i t e e l e m e n t m e t h o d s w h i c h h a v e b e e n
w i d e l y e m p l o y e d i n s t r u c t u r a l a n a l y s i s s i n c e t h e p i o n e e r i n g w o r k b y M . I .
c i a ! . a p p e a r e d i n V o l . 2 3 , N o . 9 i s s u e o f t h e J o u r n a l o f A e r o n a u t i c a l
S c i e n c e s i n 1 9 5 6 . I t h a s b e e n s h o w n r e p e a t e d l y s i n c e t h a t t i m e t h a t t h e
v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e p r o v i d e s a p o w e r f u l t o o l i n t h e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a -
t i o n o f t h e f i n i t e e l e m e n t a p p r o a c h . C o n v e r s e l y , t h e r a p i d d e v e l o p m e n t o f t h e
f i n i t e e l e m e n t m e t h o d h a s g i v e n m u c h s t i m l u s t o t h e a d v a n c e m e n t . o f t h e
v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e a n d n e w f o r m s o f t h e p r i n c i p e h a v e b e e n d e v e l o p e d
d u r i n g t h e p a s t d e c a d e a s o u t l i n e d i n S e c t i o n 1 o f A p p e n d i x I o f t h e p r e s e n t
b o o k .
T h e f i r s t e d i t i o n o f P r o f e s s o r W a s h i z u ' s b o o k , e n t i t l e d V a r i a t i o n a l M e t h o d s i n
E l a s t i c i t y a n d
P l a s t i c i t y
a n d p u b l i s h e d i n 1 9 6 8 , w a s w e l l
b y e n g i n e e r s ,
t e a c h e r s a n d s t u d e n t s w o r k i n g i n s o l i d a n d s t r u c t u r a l m e c h a n i c s . I t s p u b l i c a -
t i o n w a s t i m e l y , b e c a u s e i t c o i n c i d e d w i t h a p e r i o d o f r a p i d g r o w t h o f a p p i c a -
t i o n o f t h e f i n i t e e l e m e n t e t h o d . T h e p r i n c i p l e f e a t u r e s o f t h e f i r s t e d i t i o n w a s
t h a t o f p r o v i d i n g a s y s t e m a t i c w a y o f
v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s i n
e l a s t i c i t y a n d p l a s t i c i t y , o f t r a n s f o r m i n g o n e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e t o a n o t h e r
a n d o f p r o v i d i n g a
b a s i s f o r t h e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n o f t h e
f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . T h e b o o k w a s w i d e l y u s e d a n d r e f e r e n c e d t r e q u e n t l y
i n l i t e r a t u r e r e l a t e d t o t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d .
N o w , P r o f e s s o r W a s h i z u h a s p r e p a r e d a r e v i s e d e d i t i o n w h i c h a d d s a n e w
A p p e n d i x I . T h e n e w a p p e n d i x i n t r o d u c e s a n u t l i n e o f v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s
w h i c h a r e u s e d f r e q u e n t l y a s a b a s i s f o r m a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n s i n e l a s t i c -
i t y a n d p l a s t i c i t y i n c l u d i n g t h o s e ' n e w v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s d e v e l o p e d i n
c o n n e c t i o n w i t h t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . A s i n t h e c a s e o f t h e f i r s t e d i t i o n ,
A p p e n d i x I i s w r i t t e n i n t h e c l e a r , c o n c i s e a n d e l e g a n t s t y l e f o r w h i c h P r o -
f e s s o r W a s h i z u i s s o w i d e l y k n o w n . T h e r e v i s e d e d i t i o n s h o u l d . f o r m a n
e x t r e m e l y v a l u a b l e a d d i t i o n t o t h e l i b r a r i e s a n d r e f e r e n c e s h e l v e s o f a l l
w h o a r e i n t e r e s t e d i n s o l i d a n d s t r u c t u r a l m e c h a n i c s .
R . L .
N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n ,
 
A C K N O W L E D G E M E N T S •
T U B a u t h o r f e e l s e x t r e m e l y h o n o r e d a n d w i s h e s t o e x p r e s s h i s d e e p e s t
g r a t i t u d e t o D r . R . L . B i s p l i u g h o f f , D e p u t y D i r e c t o r o f N a t i o n a l S c i e n c e
F o u n d a t i o n , f o r h a v i n g g i v e n t h e F o r e w o r d t o t h e r e v i s e d e d i t i o n o f t h i s b o o k .
T h e a u t h o r w o u l d l i k e t o e x p r e s s h i s d e e p e s t a p p r e c i a t i o n t o P r o f e s s o r
T . H . H . P a i n o f t h e M a s s a c h u s e t t s
o f T e c h n o l o g y a n d P r o f e s s o r
I L H . G a l l a g h e r o f C o r n e l l U n i v e r s i t y f o r h a v i n g g i v e n v a l u a b l e c o m m e n t s
t o t h e m a n u s c r i p t f o r t h e n e w a p p e n d i x . D r . O s c a r O r r i n g e r o f t h e M a s s a -
c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y c o l l a b o r a t e d a g a i n w i t h t h e a u t h o r i n
t h e w r i t i n g o f t h e m a n u s c r i p t o f t h e n e w a p p e n d i x . M o r e o v e r , t h e
a u t h o r s h o u l d r e m e m b e r t h a t h e h a s b e e n g i v e n n u m e r o u s c o m m e n t s ,
c r i t i c i s m s a n d e n c o u r a g e m e n t s f r o m t h e r e a d e r s i n c e t h e p u b l i c a t i o n o f t h e
f i r s t e d i t i o n o f t h i s b o o k . T h e a u t h o r w o u l d l i k e t o e x p r e s s h i s s i n c e r e a p -
p r e d a t i o n t o a l l o f t h e s e p e o p l e , w i t h o u t w h o s e e n c o u r a g e m e n t a n d c o l l a b o r a -
t i o n , t h i s r e v i s e d e d i t i o n c o u l d n ' t b e r e a l i z e d .
K . W A s w z u
 
C O N T E N T S
F O R E W O R D
A C K N O W L E D G E M E N T S
I N T R O D U C T I O N 1
c H A P T E R 1 .
D i s
T H E O R Y O F E L A s r r c r r Y I N R E C T A N G U L A R C * a -
C O O R D I N A T s
8
1 . 1 . P r e s e n t a t i o n o f a P r o b l e m i n S m a i D i s p l a c e m e n t T h e o r y
8
1 . 2 . C o n d i t i o n s o f C o m p a t i b i l i t y
1 1
S t r e s s F u n c t i o n s
1 2
1 . 4 . P r i n c i p l e o f V i r t u a l W o r k
1 3
1 . 5 . A p p r o x i m a t e M e t h o d o f S o l u t i o n B a s e d o n t h e P r i n c i p l e o f V i r t u a l W o r k
1 5
1 . 6 . P r i n c i p l e o f C o m p l e m e n t a r y V i r t u a l W o r k
1 7
1 . 7 . A p p r o x i m a t e M e t h o d o f S o l u t i o n B a s e d o n t h e P r i n c i p l e o f C o m p l e m e n t a r y
V i r t u a l W o r k
1 9
1 . 8 . R e l a t i o n s b e t w e e n C o n d i t i o n s o f C o m p a t i b i l i t y a n d S t r e s s F u n c t i o n s
2 2
1 . 9 . S o m e R e m a r k s
2 4
C H A P T E R 2 . V A R I A T I O N A L P R I N c r i t a s I N n m S m w . E . D I s P z A c n , m r r r
o r
2 7
2 . 1 . P r i n c i p l e o f M i n m w n P o t e n t i a l E n e r g y
2 7
2 . 2 . P r i n c i p l e o f M i n i m u m C o m p l e m e n t a r y E n e r g y
2 9
2 . 3 . G e n e r a l i z a t i o n o f t h e P r i n c i p l e o f M i n i m u m P o t e n t i a l E n e r g y
3 1
2 . 4 . D e r i v e d V a r i a t o n a l P r i n c i p l e s
3 4
2 . 5 . R a y l e i g h — R i t z M e t h o d — ( 1 )
3 8
2 . 6 . V a r i a t i o n o f t h e B o u n d a r y C o n d i t i o n s a n d C a s t i g l i a n o ' s T h e o r e m
4 0
2 . 7 . F r e e V i b r a t i o n s o f a n E l a s t i c B o d y
4 3
2 . 8 . R a y l e i g h - R i t z M e t h o d — ( 2 )
4 6
2 . 9 . S o m e R e m a r k s
4 8
C H A P T E R 3 . F I N i m
T H E O R Y O P E L A S T I C T r Y I N R E C T A N G U L A R C * s t -
T E S I A N C O O R D I N A T s s
5 2
3 . 1 . A n a l y s i s o f S t r a i n
5 2
3 . 2 . A a l y s i s o f S t r e s s a n d E q u a t i o n s o f E q u I l i b r i u m
5 6
3 . 3 . T r a n s f o r m a t i o n o f t h e S t r e s s T e n s o r
5 8
3 . 4 . S t r e s s - S t r a i n R e l a t i o n s
5 9
3 . 5 .
P r e s e n t a t i o n
o f a P r o b l e m
6 0
3 . 6 . P r i n c i p l e o f V i r t u a l W o r k
6 3
3 . 7 . S t r a i n E n e r g y F u n c t i o n
6 4
3 . 8 . P r i n c i p l e o f S t a t i o n a r y P o t e n t i a l E n e r g y
6 7
3 . 9 . G e n e r a l i z a t i o n o f t h e P r i n c i p l e o f S t a t i o n a r y P o t e n t i a l E n e r g y
6 8
3 . 1 0 . E n e r g y C r i t e r i o n f o r S t a b i l i t y
6 9
3 . 1 1 . T h e E u l e r M e t h o d f o r S t a b i l i t y P r o b l e m
f l
3 . 1 2 . S o m e R e m a r k s
7 4
i x
C O N T E N T S
C H A P T E R 4 . T H E O R Y
I N C U R V I L I N E A R C O O R D I N A T E S
7 6
4 . 1 . G e o m e t r y b e f o r e D e f o r m a t i o n
7 6
4 . 2 . A n a l y s i s o f S t r a i n a n d C o n d i t i o n s o f C o m p a t i b i l i t y
8 0
4 . 3 . A n a l y s i s o f S t r e s s a n d E q u a t i o n s o f E q u i l i b r i u m
8 3
4 . 4 . T r a n s f o r m a t i o n o f t h e S t r a i n a n d S t r e s s T e n s o r s
8 4
4 . 5 . S t r e s s - S t r a i n R e l a t i o n s i n C u r v i l i n e a r C o o r d i n a t e s
8 7
4 . 6 . P r i n c i p l e o f V i r t u a l W o r k
8 8
4 . 7 . P r i n c i p l e o f S t a t i o n a r y P o t e n t i a l E n e r g y a n d i t s G e n e r a l i z a t i o n s
8 9
4 . 8 . S o m e S p e c i a l i z a t i o n s t o S m a l l D i s p l a c e m e n t T h e o r y i n O r t h o g o n a l C u r v i -
' i n e a r C o o r d i n a t e s
9 0
C H A P T E R 5 . E X T E N S I O N S
O F
T H E P R I N C I P L E O F V I R T U A L W O R K A N D R E L A T h D
V A R I A T I O N A L P R N C I P L E S
9 3
P r o b l e m s
9 3
5 . 2 . S t a b i l i t y P r o b l e m s o f a B o d y w i t h I n i t i a l S t r e s s e s
9 6
5 . 3 . I n i t i a l S t r a i n P r o b l e m s
5 . 4 . T h e r m a l S t r e s s P r o b l e m s
9 9
5 . 5 . Q u a s i - s t a t i c P r o b l e m s
1 0 1
5 . 6 . D y n a m i c a l H e m s
1 0 4
5 . 7 . D y n a m i c a l P r o b l e m s o f a n U n r e s t r a i n e d B o d y 1 0 7
C H A P T E R
O F B A R S
1 1 3
6 . 1 . S a i m - V c n a n t T h e o r y o f T o r s i o n 1 1 3
6 . 2 . T h e
P r i n c i p l e o f M i n i m u m P o t e n t i a l E n e r g y a n d i t s T r a n s f o r m a t i o n
1 1 6
6 . 3 . T o r s i o n o f a B a r w i t h a H o l e
1 1 9
6 . 4 . T o r s i o n o f a B a r w i t h I n i t i a l S t r e s s e s
1 2 1
6 . 5 . U p p e r a n d L o w e r B o u n d s o f T o r s i o n a l R i g i d i t y
1 2 5
C H A P T E R 7 . B E A M S
1 3 2
7 . 1 . E l e m e n t a r y T h e o r y o f a B e a m 1 3 2
7 . 2 . B e n d i n g o f a B e a m 1 3 4
7 . 3 .
p r i n c i p l e
o f M i n i m u m P o t e n t i a l E n e r g y a n d i t s T r a n s f o r m a t i o n 1 3 7
7 . 4 . F r e e L a t e r a l V i b r a t i o n o f a B e a m
1 3 9
7 . 5 . L a r g e D e f l e c t i o n o f a B e a m
1 4 2
7 . 6 . B u c k l i n g o f a b e a m
1 4 4
7 . 7 . A B e a m T h e o r y I n c l u d i n g t h e E f f e c t o f T r a n s v e r s e S h e a r D e f o r m a t i o n
1 4 7
7 . 8 . S o m e R e m a r k s
1 4 9
C H A P T E R 8 . P L A T E S
1 5 2
8 . 1 . S t r e t c h i n g a n d B e n d i n g o f a P l a t e
1 5 2
8 . 2 . A P r o b l e m o f S t r e t c h i n g a n d B e n d i n g o f a P l a t e
1 5 4
8 . 3 . P r i n c i p l e o f M i n i m u m P o t e n t i a l E n e r g y a n d i t s T r a n s f o r m a t i o n f o r t h e
S t e L h i n g o f a P l a t e
1 6 0
8 . 4 . P r i n c i p l c o f M i n i m u m E n e r g y a n d i t s T r a n s f o r m a t i o n o r t h e
B e n d i n g o f a P l a t e
1 6 1
8 . 5 . L a r g e D e f l e c t i o n o f a P l a t e i n S t r e t c h i n g a n d B e n d i n g
1 6 3
8 . 6 . R u c k l i n g o f a P h . t e
1 6 5
8 . 7 . T h e r m a l S t r e s s e s i n a P l a t e
1 6 8
8 . 8 . A T h i n P l a t e T h e o r y I n c l u d i n g t h e E f f e c t o f T r a n s v e r s e S h e a r D e f o r m a t i o n
1 7 0
8 . 9 . T h i n S h a l l o w S h e l l
1 7 3
8 . 1 0 . S o m c R e m a r k s
1 7 8
x i
C H A P T E R 9 . S H E L L S
1 8 2
9 . 1 . G e o m e t r y b e f o r e D e f o r m a t i o n
1 8 2
9 . 2 . A n a l y s i s o f S t r a i n
1 8 7
9 . 3 . A n a l y s i s o f S t r a i n u n d e r t h e K i r c h h o f f - - L o % e H y p o t h e s i s
1 8 9
9 . 4 . A L i n e a r i z e d T h i n S h e l l T h e o r y u n d e r t h e K i r c h h o f f - L o v e H y p o t h e s i s
1 9 1
9 . 5 . S i m p l i f i e d F o r m u l a t i o n s
1 9 5
9 . 6 . A S i m p l i f i e d L i n e a r T h e o r y u n d e r t h e K i r c h h o f f — L o v e H y p o t h e s i s
1 9 7
9 . 7 . A N o n l i n e a r T h i n S h e l l T h e o r y u n d e r t h e K i r c h h o f f — L o v e H y p o t h e s i s
1 9 8
9 . 8 . A L i n e a r i z e d T h i n S h e l l T h e o r y I n c l u d i n g t h e E f f e c t o f T r a n s v e r s e S h e a r D e -
f o r m a t i o n s
1 9 9
9 . 9 . S o m e R e m a r k s
2 0 1
C H A P T E R 1 0 . S n w c r u a a s
2 0 5
1 0 . 1 . F i n i t e R e d u n d a n c y
2 0 5
1 0 . 2 . D e f o r m a t i o n C h a r a c t e r i s t i c s o f a T r u s s M e m b e r a n d P r e s e n t a t i o n o f a T r u s s
P r o b l e m
2 0 6
1 0 . 3 . V a r i a t i o n a l F o r m u l a t i o n s o f t h e T r u s s P r o b l e m
2 0 9
1 0 . 4 . T h e F o r c e M e t h o d A p p l i e d t o t h e T r u s s P r o b l e m
2 1 0
1 0 . 5 . A S i m p l e E x a m p l e o f a T r u s s S t r u c t u r e
2 1 3
1 0 . 6 . D e f o r m a t i o n C h a r a c t e r i s t i c s o f a F r a m e M e m b e r
2 1 4
1 0 . 7 . h e F o r c e M e t h o d A p p l i e d t o a F r a m e P r o b l e m
2 1 7
1 0 . 8 . N o t e s o n t h e F o r c e M e t h o d A p p l i e d t o S e m i - m o n o c o q u e S t r u c t u r e s
2 2 1
1 0 . 9 . N o t e s o n t h e S t i f f n e s s M a t r i x M e t h o d A p p l i e d t o S e m i - m o n o c o q u e S t r u c -
t u r e s
2 2 5
C H A P T E R 1 1 . T H E D E F O R M A T I O N T H E O R Y O F P L A s r i c r r Y
2 3 1
1 1 . 1 . T h e D e f o r m a t i o n T h e o r y o f P l a s t i c i t y
2 3 1
1 1 . 2 . S t r a i n - h a r d e n i n g M a t e r i a l
2 3 3
1 1 . 3 . P e r f e c t l y P l a s t i c M a t e r i a l
2 3 5
I 1 4 . A S p e c i a l C a s e o f H e n c k y M a t e r i a l
2 3 7
C H A P T E R 1 2 . T H E F i . o w T H E b R Y o F
2 4 0
1 2 . 1 . T h e F l o w T h e o r y o f P l a s t i c i t y
2 4 0
1 2 . 2 . S t r a i n - h a r d e n i n g M a t e r i a l
2 4 2
1 2 . 3 . P e r f e c t l y P l a s t i c M a t e r i a l
2 4 4
1 2 . 4 . T h e P r a n d t l - R e u s s E q u a t i o n
2 4 5
1 2 . 5 . T h e S a i n t - V e n a n t - L e v y - M i s e s
2 4 7
1 2 . 6 . L i m i t A n a l y s i s
2 5 0
1 2 . 7 . S o m e R e m a r k s
2 5 3
A P P E N D I X A . E X T R E M U M O F A F u N c n o N w r r i i A
C O N D I T I O N
2 5 4
A P P E N D I X B . R E L A T I O N S F O R A T H I N P L A T E
2 5 6
A P P E N D I X C . A B E A M T H E O R Y I N C L U D I N G T H E E F F E C F o r T R A N S V E R S E S H s * &
F O R M A T I O N
2 5 8
A P P E N D I X D . A T H E O R Y O F P L A T E B E N D I N P I N C L U D I N G T H E
E m c r
V E R S E S H E A R D E F O R M A T I O N
2 6 2
A P P E N D I X E . S P E C I A L I Z A T I O N S T O S E V E R A L K I N D S O F S H E U . s
2 6 5
A P P E N D I X F . A N o m O N T H E H A A R - K A R M A N P R I N C I P L E
2 6 9
A P P E N D I X G . V A R I A T I O N A L P R I N C I P L E S I N T h E T H E O R Y O f 2 7 0
A P P E N D I X H . P R O B L E M S
2 7 2
C O N T E N T S
A P P E N D I X
I . V A R I A T I O N A L P R I N C I P L E S
A S A B A S I S
F O R T h E
M E T h o D
3 4 5
I .
I n t r o d u c t i o n
3 4 5
2 .
C o n v e n t i o n a l V a r i a t i o n a l P r i n c i p l e s f o r t h e S m a l l D i s p l a c e m e n t T h e o r y o f
E l a s t o s t a t i c s
3 4 7
3 . D e r i v a t i o n o f M o d i f i e d V a r i a t i o n a l P r i n c i p l e s f r o m t h e P r i n c i p l e o f M i n i m u m
P o t e n t i a l E n e r g y
3 5 1
4 . D e r i v a t i o n o f M o d i f i e d V a r i a t i o n a l P r i n c i p l e s f r o m t h e P r i n c i p l e o f M i n i m u m
C o m p l e m e n t a r y E n e r g y
3 5 7
5 . C o n v e n t i o n a l V a r i a t i o n a l P r i n c i p l e s f o r t h e B e n d i n g o f a T h i n P l a t e
3 6 0
6 . D e r i v a t i o n o f M o d i f i e d V a r i a t i o n a l P r i n c i p l e s f o r
B e n d i n g o f a T h i n P l a t e
3 6 4
7 . V a r i a t i o n a l P r i n c i p l e s f o r t h e S m a l l D i s p l a c e m e n t T h e o r y o f E l a s t o d y n a m i c s 3 7 2
8 . F i n i t e D i s p l a c e m e n t T h e o r y o f E l a s t o s t a t i c s
3 7 8
9 . T w o I n c r e m ç n t a L T h e o r i e s
3 8 4
1 0 . S o m e R e m a r k s o n D i s c r e t e A n a l y s i s
3 9 7
A P P E N D I X
J . N o m s O N T h E P R n q c I p L E O F V I R 1 1 J A L W O R X
4 0 5
4 0 9
 
I N T R O D U C T I O N
T I l E
c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s i s a b r a n c h o f m a t h e m a t i c s , w h e r e i n t h e s t a t i o n a r y
p r o p e r t y o f a f u n c t i o n o f f u n c t i o n s , n a m e l y , a f u n c t i o n a l , i s s t u d i e d . T h u s ,
t h e o b j e c t o f t h e c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s i s n o t t o f i n d
o f a f u n c t i o n
o f a f i n i t e n u m b e r o f v a r i a b l e s , b u t t o f i n d , a m o n g t h e g r o u p o f a d m i s s i b l e
f u n c t i o n s , t h e o n e w h i c h m a k e s t h e g i v e n f u n c t i o n a l
A w e l l -
e s t a b l i s h e d e x a m p l e i s t o f i n d , a m o n g t h e a d m i s s i b l e c u r v e s j o i n i n g t w o
p o i n t s i n t h e p r e s c r i b e d s p a c e , t h a t c u r v e o n w h i c h t h e d i s t a n c e b e t w e e n
t h e p o i n t s i s a m i n i m u m . T h e p r o b l e m o f f i n d i n g a c u r v e w h i c h e n c l o s e s
a g i v e n a r e a w i t h m i n i m u m p e r i p h e r a l l e n g t h i s a n o t h e r t y p i c a l e x a m p l e .
T h e c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s h a s a w i d e f i e l d o f a p p l i c a t i o n i n m a t h e m a t i c a l
p h y s i c s . T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t a p h y s i c a l s y s t e m o f t e n b e h a v e s i n a
m a n n e r s u c h t h a t s o m e f u n c t i o n a l d e p e n d i n g o n i t s b e h a v i o r a s s u m e s a
s t a t i o n a r y v a l u e . I n o t h e r w o r d s , t h e e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e p h y s i c a l
p h e n o m e n o n a r e o f t e n f o u n d t o b e s t a t i o n a r y c o n d i t i o n s o f s o m e v a r i a t i o n a l
p r o b l e m . F e r m a t ' s p r i n c i p l e i n o p t i c s m a y b e m e n t i o n e d a s a t y p i c a l e x a m p l e .
I t s t a t e s t h a t a r a y o f l i g h t t r a v e l s b e t w e e n
p o i n t s a l o n g t h e p a t h w h i c h
r e q u i r e s t h e l e a s t t i m e . T h i s l e a d s i m m e d i a t e l y t o t h e c o n c l u s i o n t h a t a r a y
o f l i g h t t r a v e l s i n a s t r a i g h t l i n e i n a n y h o m o g e n e o u s m e d i u m .
M e c h a n i c s i s o n e o f t h e f i e l d s o f n l a t h e m a t i c a l p h y s i c s , w h e r e i n t h e
v a r i a t i o n a l t e c h n i q u e h a s b e e n e x t e n s i v e l y i n v e s t i g a t e d . W e s h a l l t a k e a
p r o b l e m o f a s y s t e m o f p a r t i c l e s a s a n e x a m p l e a n d r e v i e w t h e d e r i v a t i o n
o f i t s v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n s 4
F i r s t , w e s h a l l c o n s i d e r t h ó p r o b l e m o f a s y s t e m o f p a r t i c l e s i n s t a t i c
e q u i l i b r i u m u n d e r e x t e r n a l a n d i n t e r n a l f o r c e s . I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e
b a s i s o f v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n i s t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l
w h i c h
m a y b e s t a t e d a s f o l l o w s : A m a n e t h a t t h e m e c h a n i c a l s y s t e m i s i n e q u i l i b r i u m
w i d e r a p p l i e d f o r c e s a n d p r e s c r i b e d g e o m e t r i c a l c o n t r a i n t s . T h e n , t h e
o f
a l l t h e v i r t u a l w o r k , d e n o t e d b y ö ' W , d o n e b y t h e e x t e r n a l a n d i n t e r n a l f o r c e s
e x i s t i n g I n t h e s y s t e m i n a n y a r b i t r a r y I n f i n i t e s i m a l v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s
s a t h f y i n g t h e p r e s c r i b e d g e o m e t r i c a l c o n , t r g m u I s z e r o :
o , w = o .
T h e
•
t F o r d e t a i l s
o f t h e c a l c u l u s o f
v a r i a t i o n s , s e e
R e f s . I
t h r o u g h 8 ( s e e p p . 6 - 7 ) .
F o r d e t a i l s o f t h e v a r i a t i o n a l m e t h o d s i n m e c h a n i c s , s e e R c f s . 2 , 9 , 1 0 a n d 1 1 .
t t T h i s p r i n c i p l e i s a l s o c a l l e d t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s .
f l Ô ' W i s n o t a v a r i a t i o n o f s o m e s t a t e f u n c t i o n P 1 , b u t d e n o t e s m e r e l y t h e t o t a l v i r t u a l
w o r k .
2
V A R I A T I O N A L M E T H O D S I N E L A S T I C I T Y A N D P L A S T I C I T Y
p r e s c r i b e d g e o m e t r i c a l c o n s t r a i n t s , t h e
m e c h a n i c a l s y s t e m i s i n e q u i l i b r i u m .
T h u s , t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k i s e q u i v a l e n t t o t h e e q u a t i o n s o f
e q u i l i b r i u m o f t h e s y s t e m . H o w e v e r , t h e f o r m e r h a s a m u c h w i d e r
f i e l d o f a p p l i c a t i o n t o t h e f o r m u l a t i o n o f m e c h a n i c s p r o l e m s t h a n
t h e l a t t e r . W h e n a l l t h e e x t e r n a l a n d i n t e r n a l f o r c e s a r e d e r i v e d f r o m a
p o t e n t i a l f u n c t i o n U , w h i c h i s a f u n c t i o n o f t h e c o r d i n a t e s o f t h e s y s t e m
o f p a r t i c l e s , t s u c h t h a t
b ' W = — Ô U ,
( 2 )
t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k l e a d s t o t h e e s t a b l i s h m e n t o f t h e p r i n c i p l e o f
s t a t i o n a r y p o t e n t i a l e n e r g y : A m o n g t h e s e t o f a l l a d m i s s i b l e c o n f i g u r a t i o n s ,
t h e s l a t e o f e q u i l i b r i u m i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e s t a t i o n a r y p r o p e r l y o f t h e
p o t e n t i a l e n e r g y U :
t 5 U = O .
( 3 )
T h e a b o v e f o r m u l a t i o n m a y b e e x t e n d e d t o t h e d y n a m i c a l p r o b l e m o f a
s y s t e m o f p a r t i c l e s s u b j e c t t o t i m e - d e p e n d e n t a p p l i e d f p r c e s a n d g e o m e t r i c a l
c o n s t i a i n t s . B y t h e u s e o f d ' A l e m b e r t ' s p r n c i p l e w h i c h s t a t e s t h a t t h e
s y s t e m c a n b e c o n s i e r e d t o b e i n e q u i l i b r i u m i f i n e r t i a l f o r c e s a r e t a k e n i n t o
a c c o u n t , t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k o f t h e d y n a m i c a l p r o b l e m c a n b e
d c r i v e d i n a m a n n e r s i m i l a r o t h e s t a t i c p r o b l e m c a s e , e x c e p t t h a t t e r m s
r e p r e s e n t i n g t h e v i r t u a l w o r k d o n e b y t h e i n e r t i a l f o r c e s a r e n o w i n c l u d e d .
T h e p r i n c i p l e t h u s o b t a i n e d i s i n t e g r a t e d w i t h r e s p e c t t o t i m e t b e t w e e n t w o
l i m i t s i
= t 1 a n d
t
= t 2 .
T h r o u g h i n t e g r a t i o n b y p a r t s a n d b y t h e u s e o f t h e
c o n v e n t i o n t h a t v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s v a n i s h a t t h e l i m i t s , w e f i n a l l y o b t a i n
t h e f o l l o w i n g p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k f o r t h e d y n a m i c a l p r o b l e m :
o f r d t
+ f a ' W d t =
w h e r e
T i s t h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e s y s t e m . S i n c e L a g r a n g e ' s e q u a t i o n s o f
m o t i o n o f t h e s y s t e m m a y b e d e r i v e d f r o m t h e p r i n c i p l e o f v i t u a l w o r k t h u s
o t a i n e d , i t i s e v i d e n t t h a t t h e p r i n c i p l e i s e x t r e m e l y u s e f u l f o r o b t a i n i n g
t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n o f a s y s t e m o f p a r t i c l e s w i t h g e o m e t r i c a l c o n
s t r a i n t s .
-
W h e n
i t i s f u r t h e r a s s u r e d t h a t a l l t h e e x t e r n a l a n d i n t e r n a l f o r c e s a r e
d e r i v e d f r o m a p o t e n t i a l f u n c t i o n U , w h i c h i s d e f i n e d i n t h e s a m e m a n n e r
a s E q . ( 2 ) a n d i s a f u n c t i o n o f c o o r d i n a t e s a n d t h e t i m e 4 w e o b t a i n H a m i l -
t o n ' s p r i n c i p l e , w h i c h s t a t e s t h a t a m o n g t h e s e t o f a l l a d m i s s i b l e c o n f i g u r a t i o n s
o f t h e s y s t e m , t h e a c t u a l m o t i o n m a k e s t h e q u a n t i t y
f ( T
d i
 
s t a t i o n a r y ,
p r o v i d e d t e
c o n f i g u r a t i o n o f t h e s y s t e m i s p r e s c r i b e d a t t h e l i m i t s
t
H a m i l t o n ' s
p r i n c i p l e m a y b e s t a t e d m a t h e m a t i c a l l y a s
f o l l o w s :
( 6 )
w h e r e L = T — U
i s t h e L a g r a n g a n f u n c t i o n o f t h e s y s t e m . i t i s w e l l k n o w n
t h a t H a m i l t o n ' s p r i n c i p l e c a n b e t r a n s f o r m e d b y t h e u s e o f L e g e n d r e ' s
t r a n s f o r m a t i o n i n t o a n e w a n d e q u i v a l e n t p r i n c i p l e , a n d t h a t L a g r a n g e ' s
e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e r e d u c e d t o t h e s o - c a l l e d c a n o n i c a l e q u a t i o n s .
T r a n s f o r m a t i o n s o f H a m i l t o n ' s p r i n c i p l e w e r e e x t e n s i v e l y i n v e s t i g a t e d a n d
a n e l e g a n t t h e o r y k n o w n a s c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n w a s e s t a b l i s h e d .
T h e m a i n o b j e c t o f t h i s . b o o k i s t o d e r i v e t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k a n d
r e l a t e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s i n e l a s t i c i t y a n d p l a s t i c i t y i n a s y s t e m a t i c
w a y . t W e s h a l l f o r m u l a t e t h e s e p r i n c i p l e s i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h e d e v e l -
o p m e n t i n t h e p r o b l e m o f a s y s t e m o f p a r t i c l e s . T h e o u t l i n e i s a s w e
d e f i n e a p r o b l e m i n v o l v i n g a s o l i d b o d y i n s t a t i c e q u i l i b r i u m u n d e r b o d y
f o r c e s p l u s m e c h a n i c a l a n d g e o m e t r i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s p r e s c r i b e d
o n t h e s u r f a c e o f t h e b o d y . T o b e g i n w i t h , w e d e r i v e t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l
w o r k . T h i s p r i n c i p l e i s e q u i v a l e n t t o t h e e q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m a n d t h e
m e c h a n i c a l b u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e s o l i d b o d y , a n d i s - 4 e r i v e d f o r s m a l l
d i s p l a c e m e n t t h e o r y a s w e l l a s f i n i t e d i s p l a c e m e n t t h e o r y 4 W i t h i n t h e r e a l m
o f s m a l l d i s p l a c e m e n t t h e o r y w e o b t a i n a n o t h e r p r i n c i p l e w h i c h w i l l b e
c a l l e d t h e p r i n c i p l e o f c o m p l e m e n t a r y . v i r t u a l w o r k . t t I t i s w o r t h y o f s p e c i a l
m e n t i o n t h a t t h e p r i n c i p l e s o f v i r t u a l w o r k a n d c o m p l e m e n t a r y v i r t u a l w o r k
a r e i n v a r i a n t u n d e r c o o r i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s a n d t h a t t h e y h o l d i n d e -
p e n d e n t l y o f t h e s t r e s s — s t r a i n r e l a t i o n s o f t h e m a t e r i a l o f t h e b o d y . H o w e v e r ,
t h e s t r e s s — s t r a i n r e l a t i o n s s h o u l d b e t a k e n i n t o a c c o u n t f o r t h e f o r m u l a t i n s
o f v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s , a n d t h e t h e o r i e s o f e l a s t i c i t y a n d p l a s t i c i t y s h o u l d
b e t r e a e d s e p a r a t e l y .
T h e v a r i a t i o n a l m e t h o d f i n d s o n e o f t h e m o s t f r u i f u l f i e l d s o f a p p l i c a t i o n
i n t h e s m a l l d i s p l a c e m e n t t h e o r y o f e l a s t i c i t y . W h e n t h e e x i s t e n c e o f a s t r a i n
e n e r g y f u n c t i o n i s a s s u r e d a n d t h e e x t e r n a l f o r c e s a r e a s s u m e d t o b e k e p t
u n c h a n g e d d u r i n g d i s p l a c e m e n t v a r i a t i o n , t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k
l e a d s t o t h e ç s t a b l i s h m e n t o f t h e p r i n c i p l e o f m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y . T h e
v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e i s g e n e r a l i z e d b y t h e i t r o d u c t i o n o f L a g r a n g e m u l -
t i p l i e r s t o y i e l d a f a m i l y o f v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s w h i c h i n c l u d e s t h e H e l l i n g e r —
t F o r v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s i n e l a s t i c i t y a n d p l a s t i c i t y , s e e R c f s . 1 1 t h r o u g h 2 0 .
I n t h e s m a l l d i s p l a c e m e n t t h e o r y , t h e d i s p l a c e m e n t s a r e a s s u m e d s o s m a l l a s t o
a l l o w l i n e a r i z a t i o n s o f a l l g o v e r n i n g e q u a t i o n s o f t h e s o i d b o d y e x c e p t t h e s t r e s s — s t r a i n
r e l a t i o n s . C o n s e q u e n t l y , t h e e q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m , t h e s t r a i n - d i s p l a c e m e n t r e l a t i o n s
a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e r e d u c e d t o l i n e a r i z e d f o r m s i n s m a l l d i s p l a c e m e n t
t h e o r y .
i f
T h i s
 
4
V A R I A T I O N A L M E T H O D S I N E L A S T I C I T Y A N D P L A S T I C I T Y
R e i s s n e r p r i n c i p l e , t h e p r i n c i p l e o f m i n i m u m c o m p l e m e n t a r y e n e r g y a n d
s o f o r t h .
O n t h e o t h e r h a n d , t h e p r i n c i p l e o f c o m p l e m e n t a r y v i r t u a l w o r k l e a d s
t o
t h e e s t a b l i s h m e n t o f t h e p r i n c i p l e o f m i n i m u m c o m p l e m e n t a r y
e n e t g y w h e n
t h e s t r e s s — s t r a i n r e l a t i o n s a s s u r e t h e e x i s t e n c e o f a c o m p l e m e n t a r y
e n e r g y
f u n c t i o n a n d t h e g e o m e t r i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s
a r e a s s u m e d t o b e k e p t
u n c h a n g e d d u r i n g s t r e s s v a r i a t i o n . T h e p r i n c i p l e o f m i n i m u m c o m p l e m e n -
t a r y e n e r g y i s g e n e r a l i z e d b y t h e i n t r o d u c t i o n o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r s t o y i e l d
t h e H e l l i g e r — R e i s s n e r p r i n c i p l e , t h e p r i n c i p l e o f m i n i m u m p o t e n t i a l
e n e r g y
a n d s o f o r t h . I t i s s e e n t h a t t h e s e t w o a p p r o a c h e s t o t h e f o r m u l a t i o n o f t h e
v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s a r e r e c i p r o c a l a n d e q u i v a l e n t t o e a c h o t h e r
a s f a r a s
t h e s m a l l d i s p l a c e m e n t t h e o r y o f e l a s t i c i t y i s c o n c e r n e d .
I n t h e f i n i t e d i s p l a c e m e n t t h e o r y o f e l a s t i c i t y , t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l
w o r k l e a d s
t h e e s t a b l i s h m e n t o f t h e p r i n c i p l e o f s t a t i o n a r y p o t e n t i a l
e n e r g y w h e n t h e e x i s t e n c e o f a s t r a i n e n e r g y f u n c t i o n o f t h e b o d y m a t e r i a l
a n d p o t e n t i a l f u n c t i o n s o f t h e e x t e r n a l f o r c e s i s a s s u r e d . O n c e t h e p r i n c i p l e
o f s t a t i o n a r y p o t e n i a l e n e r g y i s t h u s e s t a b l i s h e d , i t c a n b e g e n e r a l i z e d
t h r o u g h t h e u s e o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r s .
T h e a b o v e t e c h n i q u e i s e x t e n d e d t o d y n a m i c a l e l a s t i c b o d y p r o b l e m s b y
t a k i n g i n e r t i a l f o r c e s i n t o a c c o u n t . T h u s , w e i i e r i v e t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l
w o r k f o r t h e d y n a m i c a l p r o b l e m w i t h t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e c o n c e p t o f
k i n e t i c e n e r g y . T h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k i s t h e n t r a n s f o r m e d i n t o a
v a r i a t i o n a l o r i n c i p l e u n d e r t h e a s s u m p t i o n o f t h e e x i s t e n c e o f a s t r a i n e n e r g y
f u n c t i o n a n d p o t e n t i a l f u n c t i o n s o f t h e e x t e r n a l f o r c e s . T h e n e w l y
v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e m a y b e t h o u g h t o f a s H a m i l t o n ' s p r i n c i p l e e x t e n d e d
t o t h e d y n a m i c a l e l a s t i c b o d y p r o b l e m , a n d i t c a n b e g e n e r a l i z e d t h r o u g h
t h e u s e o f L a g r a n g e m u l i p l i e r s .
T h e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e o f a n e l a s t i c i t y p r o b l e m p r o v i d c s t h c g v e r n i n g
e q u a t i o n s o f t h e p r o b l e m a s s t a t i o n a r y i t 1 t h a t s e n s e , i s
e q u i v a l e n t t o t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s . H o w e v e r , t h e v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n
h a s s e v e r a l a d v a n t a g e s . F i r s t , t h e f u n c t i o n a l w h i c h i s s u b j e c t t o v a r i a t i o n
u s u a l l y h a s a d e f i n i t e p h y s i c a l m e a n i n g a n d i s i n v a r i a n t u n d e r c o o r d n a t e
t r a n s f o r m a t i o n . C o n s e q u e n t l y , o n c e t h e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e h a s b e e n
f o r m u l a t e d i n o n e c o o r d i n a t e s y s t e m , g o v e r n i n g e q u a t i o n s e x p r e s s e d i n
a n o t h e r c o r d i n a t e s y s t e m c a n b e o b t a i n e d b y f i r s t w r i t i n g t h e i n v a r i a n t
q u a n t i t y i n t h e n e w c o o r d i n a t e s y s t e m a n d t h e n a p p l y i n g v a r i a t i o n a l p r o -
c e d u r e s . F o r e x a m p l e , o n c e t h e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e h a s b e e n f o r m u l a t e d
i n t h e r e c t a n g u l a r C a r t e s i a n c o o r d i n a t e
g o v e r n i n g e q u a t i o n s e x -
 
I N T R O D U C T I O N
I n a v a r i a t i o n a l p r o b l e m w i t h s u b s i d i a r y c o n d i t i o n s ,
t h e t r a n s f o r m a t i o n i s
a c h i e v e d b y t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r m e t h o d , a v e r y u s e f u l a n d s y s t e m a t i c
t o o l . T h u s , w e m a y d e r i v e a f a m i l y o f v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s w h i c h
a r e
e q u i v a l e z , i t t o e a c h o t h e r .
T h i r d , v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s s o m e t i m e s l e a d t o f o r m u l a e f o r u p p e r
o r
l o w e r b o u n d s o f t h e e x a c t s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n . A s
w i l l b e s h o w n i n C h a p t e r 6 , u p p e r a n d l o w e r b o u n d f o r m u l a e f o r t h e t o r -
s i o n a l r i g i d i t y o f a b a r a r e p r o v i d e d b y s i m u l t a n e o u s u s e o f t w o v a r i a t i o n a l
p r i n c i p l e s . A n o t h e r e x a m p l e i s a n u p p e r b o u n d f o r m u l a , d e r i v e d f r o m t h e
p r i n c i p l e o f s t a t i o n a r y p o t e n t i a l e n e r g y , f o r t h e l o w e s t f r e q u e n c y o f f r e e
v i b r a t i o n s o f a n e l a s t i c b o d y .
F o u r t h , w h e n a p r o b l e m o f e l a s t i c i t y c a n n o t b e s o l v e d e x a c t l y , t h e v a r i a -
t i o n a l m e t h o d o f t e n p r o v i d e s a n a p p r o x i m a t e f o r m u l a t i o n f o r t h e p r o b l e m
w h i c h y i e l d s a s o l u t i o n c o m p a t i b l e w i t h t h e a s s u m e d d e g r e e o f a p p r o x i m a -
t i o n . H e r e , t h e v a r i a t i o n a l m e t h o d p r o v i d e s n o t o n l y a p p r o x i m a t e g o v e r n i n g
e q u a t i o n s , b u t a l s o s u g g e s t i o n s o n a p p r o x i m a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s .
S i n c e i t i s a l m o s t i m p o s s i b l e t o o b t a i n t h e e x a c t s o l u t i o n o f a n e l a s t i c i t y
p r o b l e m e x c e p t i n a f e w s p e c i a l c a s e s , w e m u s t b e s a t i s f i e d w i t h a p p r o x i m a t e
s o l u t i o n s f o r p r a c t i c a l p u r p o s e s . T h e o r i e s o f b e a m s , p l a t e s , s h e l l s a n d m u l t i -
c o m p o n e n t s t r u c t u r e s a r e t y p i c a l e x a m p l e s o f s u c h a p p r o x i m a t e f o t m u l a t i o n s
a n d s h o w t h e p o w e r o f t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k a n d r e l a t e d v a r i a t i o n a l
m e t h o d s . H o w e v e r , o n e s h o u l d t a k e c a r e i n r e l y i n g u p o n t h e a c c u r a c y o f
a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s t h u s o b t a i n e d . C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , a n a p p l i c a -
t i o n o f t h e R a y l e i g h — R i t z m e t h o d c o m b i n e d w i t h t h e p r i n c i p l e o f s t a t i o n a r y
p o t e n t i a l e n e r g y . T h e m e t h o d m a y p o v i d e a g o o d a p p r o x i m a t e s o l u t i o n
f o r t h e d i s p l a c e m e n t s o f a b o d y i f a d m i s s i b l e f u n c t i o n s a r e c h o s e n p r o p e r l y .
H o w e v e r , t h e a c c u r a c y o f s t r e s s d i s t r i b u t i o n c a l c u l a t e d f r o m t h e a p p r o x i - .
m a t e d i s p l a c e m e n t s i s n o t a s r e l i a b l e . T h i s i s o b v i o u s i f w e r e m e m b e r t h a t ,
i n t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s o b t a i n e d b y t h e a p p r o x i m a t e m e t h o d , t h e e x a c t
e q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m a n d m e c h a n i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s n a v e b e e n
r e p l a c e d b y t h e i r w e i g h t e d m e a n s a n d t h a t , t h e a c c u r a c y , o f a n a p p r o x i m a t e
s o l u t i o n d e c r e a s e s w i t h d i f f e r e n t i a t i o n . T h u s , t h e e q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m
a n d m e c h a n i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e g e n e r a l l y ' v i o l a t e d a t l e a s t l o c a l l y
i n t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n . I n u n d e r s t a n d i n g a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s t h u s
o b t a i n e d , t h e p r i n c i p l e o f S a i n t - V e n a n t i s s o m e t i m e s h e l p f u l . I t s t a t e s : ( 1 4 )
" I f
t h e f o r c e s a c t i n g o n a s m a l l p o r t i o n o f t h e s u r f a c e o f a n e l a s t i c b o d y a r e
r e p l a c e d b y a n o t h e r s t a t i c a l l y e q u i v a l e n t s y s t e m o f f o r c e s a c t i n g o n t h e s a m e
p o r t i o n o f t h e s u r f a c e , t h i s r e d i s t r i b u t i o n o f l o a d i n g p r o d u c e s s u b s t a n t i a l
c h a n g e s i n t h e s t r e s s e s l o c a l l y , b u t h a s a n e g i g i b l e e f f e c t o n t h e s t r e s s e s a t d i s -
t a n c e s w h i c h a r e l a r g e i n c o m p a r i s o n w i t h t h e l i n e a r d i m e n s i o n s o f t h e s u r f a c e
p n w h i c h s h e f o r c e s a r e c h a n g e d . "
 
6
V A R I A T I O N A L M E T H O D S I N E L A S T I C I T Y A N D P L A S T I C I T Y
h o l d s i n d e p e n d e n t l y o f t h e s t r e s s — s t r a i n r e l a t i o n s o f t h e b o d y a n d t h e
e x i s t e n c e o f p o t e n t i a l u n c t i o n s . A n a p p r o x i m a t e m e t h o d o f s o l u t i o n u s i n g
t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k w i l l b e c a l l e d t h e g e n e r a l i z e d G a l e r k i n ' s m e t h o d . t
A s f a r a s c o n s e r v a t i v e p r o b l e m s i n e l a s t i c i t y a r e c o n c e r n e d , r e s u l t s o b t a i n e d
b y t h e c o m b i n e d u s e o f t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k a n d t h e g e n e r a l i z e d
G a l e r k i n ' s m e t h o d a r e e q u i v a l e n t t o t h o s e o b t a i n e d b y t h e c o m b i n e d u s e o f
t h e p r i n c i p e o f s t a t i o n a r y p o t e n t i a l e n e r g y a n d t h e R a y l e i g h — R i t z m e t h o d .
I t i s q u i t e n a t u r a l i n t h e o r i e s o f p l a s t i c i t y t o m a k e t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l
w o r k a b a s i s f o r t h e e s t a b l i s h m e n t o f v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s . I f t h e p r o b l e m
i s c o n f i n e d t o t h e s m a l l d i s p l a c e m e n t t h e o r y , t h e p r i n c i p l e o f c o m p l e m e n -
t a r y v i r t u a l w o r k b e e m p l o y e d a s a n o t h e r b a s i s . S i n c e s t r e s s — s t r a i n
r e l a t i o n s i n t h e t h e o r i e s o f p l a s t i c i t y a r e m o r e c o m p l i c a t e d t h a n t h o s e i n
t h e t h e o r y o f e l a s t i c i t y , i t m a y b e e x p e c t e d t h a t t h e e s t a b l i s h m e n t o f a
v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e i n p l a s t i c i t y
i s m o r e d i f f i c u l t . S e v e r a l v a r i a t i o n a l
p r i n c i p l e s w h i c h h a v e b e e n e s t a b l i s h e d f o r t h e t h e o r i e s o f p l a s t i c i t y c a n
b e s h o w n t o b e f o r m a l l y d e r i v a b l e i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h o s e i n t h e t h e o r y
o f e l a s t i c i t y , a l t h o u g h r i g o r o u s p r o o f s s h o l d f o l l o w f o r s h o w i n g t h e v a l i d i t y
o f t h e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s .
T h e m o s t s u c c e s s f u l a p p l i c a t i o n o f v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n s i n t h e f i . w
t h e o r y o f p l a s t i c i t y i s t h e t h e o r y o f l i m i t a n a l s i s f o r a b o d y c o n s i s t i n g o f
m a t e r i a l w h i c h o b e y s t h e p e r f e c t l y p l a s t i c P r a n d t l — R e i z s s e q u a t i o n . L i m i t
a n a l y s i s c o n c e r n s t h e d e t e r m i n a t i o n o f a n e i g e n v a l u e c a l l e d t h e c o l l a p s e
l o a d o f t h e b o d y . T w o v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s p r o v i d e u p p e r a n d l o w e r b o u n d
f o r m u l a e f o r l o c a t i n g t h e c o l l a p s e l o a d .
S i n c e a g r e a t m a n y p a p e r s h a v e b e e n w r i t e n o n v a r i a t i o n a l t r e a t m e n t o f
p r o b l e m s i n e l a s t i c i t y a n d p l a s t i c i t y , t h e b i b l i o g r a p h y o f t h i s b o o k i s n o t
i n t e n d e d t o b e c o m p l e t e . T h e a u t h o r i s s a t i s f i e d w i t h c i t i n g o n l y a l i m i t e d
n u m b e r o f a p e r s f o r t h e r e a d e r ' s r e f e r e n c e . L i t e r a t u r e s u c h a s R e f s . 2 2 a n d
2 3 m a y b e h e l p f u l f o r r e v i e w i n g r e c e n t d e v e l o p m e n t s o f h e t o p i c .
T h e v a r i a t i o n a l m e t h o d c a n , o f c o u r s e , b e a p p l i e d t o p r o b l e m s o t h e r
t h a n t h o s e m e n t i o n e d h e r e i n . . F o r e x a m p l e , i t h a s b e e n a p p l i e d t o p r o b l e m s
i n f l u i d m e c h a n i c s , c o n d u c t i o n o f h e a t a n d s o f o r t h .
( 2 4 - 2 6 )
a r e c e n t
a p p l i c a t i o n o f e n g i n e e r i n g c o n c e r n , w e m a y a d d t h a t p r o b l e m s o f t h e p e r -
f o r m a n c e o f f l i g h t
h a v e b e e n e x e n s i v e l y t r e a t e d i n t h e l i t e r a t u r e b y
t h e o p t i m i z a t i o n t e c h i .
B i b l i o g r s p h y
1 . R .
a n d D .
M e t h o d s o f M a t h e m a t i c a l P h y s i c s , V o l . 1 , I n t e r s c i c n c e ,
N e w Y o r k , 1 9 5 3 .
2 . C . L A N C Z O S ,
T h e
V a r i a t i o n a l P r i n c i p l e s o f M e c h a n i c s , U n i v e r s i t y o f T o r o n t o P i e s s ,
1 9 4 9 .
 
I N T R O D U C T I O N
3 . 0 . B O L Z A , L e c t u r e s
o n
t h e
C a l c u l s o f V a r i a t i o n s ,
T h e U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s ,
9 4 6 .
4 . 6 . A . B u s s , L e c t u r e s o n
t h e
C a l c u l u s o f V a r i a t i o n s , T h e
U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s ,
1 9 4 6 .
5 .
C . F o x , A n I n t r o d u c t i o n t o t h e C a l c u l u s o f V a r i a t i o n s , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , L o n -
d o n , 1 9 5 0 .
6 . R . W r I N s r o c K , C a l c u l u s o f V a r i a t i o n s w i t h A p p l i c a t i o n t o P h y s i c s a n d E n g i n e e r i n g ,
M c G r a w - H i l l , 1 9 5 2 .
7 . P . M . M o a s a a n d H . F E S H B A C H , M e t h o d s o f T h e o r e t i c a l P h y s i c s , V o l s . 1
a n d 2 ,
M c G r a w - H i l l , 1 9 5 3 .
8 . S . 6 . M I K H L I N , V a r i a t i o n a l M e t h o d s i n M a t h e m a t i c a l P h y s i c s , P e r g a m o n P r e s s , 1 9 6 4 .
9 . H . G O L D S T E I N , C l a s s i c a l M e c h a n i c s , A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 5 3 .
1 0 . J . L . S Y N o C a n d B . A . G n i r r m , P r i n c i p l e s o f M e c h a n i c s , M c G r a w - H i l l , 1 9 5 9 .
1 1 . H . L . L A N G H A A R ,
E n e r g y
M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s , J o h n W i l e y , 1 9 6 2 .
1 2 . C . B . B I E Z E N O a n d R . G R A M M E L ,
T e c h n i s c h e
D y n a m i k , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 3 9 .
1 3 . R . V . S O U T H W E L L , I n t r o d u c t i o n t o t h e T h e o r y o f E l a s t i c i t y , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d ,
1 9 4 1 .
1 4 . S . T I M O S H E N K O a n d J . N . G O O D I E R , T h e o r y o f E l a s t i c i t y , M c G r a w - H i l l , 1 9 5 1 .
1 5 . N . J . H O F F , T h e A n a l y s i s o f S t r u c t u r e s , J o h n W i l e y , 1 9 5 6 .
1 6 . C . E . P E A R S O N , T h e o r e t i c a l E l a s t i c i t y , H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 5 9 .
1 7 . J . F l . A R G Y R I S a n d S . K E L S E Y , E n e r g y T h e o r e m s a n d S t r u c t u r a l A n a l y s i s , B u t t e r w o r t h ,
1 9 6 0 .
1 8 . V . V . N o v o z l u L o v , T h e o r y o f E l a s t i c i t y , t r a n s l a t e d b y J . K . L u s h e r , P e r g a m o n P r e s s ,
1 9 6 1 .
1 9 . J . H . G R E E N B E R G , O n t h e V a r i a t i o n a l P r i n c i p l e s o f P l a s t i c i t y , B r o w n U n i v e r s i t y , O N R ,
N R - 0 4 1 - 0 3 2 , M a r c h 1 9 4 9 .
2 0 . R . H i u . , M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f P l a s t i c i t y , O x f o r d , 1 9 5 0 .
2 1 . M . B E C K E R , T h e P r i n c i p l e s a n d A p p l i c a t i o n s o f V a r i a t i o n a l M e t h o d s , T h e M a s s a c h u -
s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y P r e s s , 1 9 6 4 .
2 2 . A p p l i e d M e c h a n i c s R e v i e w s , p u b l i s h e d m o n t h l y b y t h e A m e r i c a n S o c i e t y o f M e c h a n i c q 1
E n g i n e e r s .
2 3 . S t r u c t u r a l M e c h a n i c s i n U . S . S . R . 1 9 1 7 — 1 9 5 7 , e d i t e d b y I . M . R a b i n o v i c h . E n g l i s h
t r a n s l a t i o n e d i t e d b y 6 . H e r r n - i a n n w a s p u b l L h c d b y P e r g a m o n P r e s s i n 1 9 6 0 .
2 4 .
S E R R I N ,
M a t h e m a t i c a l
P r i n c i p l e s o f C l a s s i c a l F l u i d M e c h a n i c s , H a n d b u c h d e r
P h y s i k , B a n d V l l / I . S t r ö m u n g s m e c h a n i k I , p p . 1 2 5 — 2 6 5 , S p r i n g e r , 1 9 5 9 .
2 5 . M . A . B l o T , L a g r a n g i a n T h e r m o d y n a m i c s o f H e a t T r a n s f e r i n S y s t e m s i n c l u d i n g
F l u i d M o t i o n . J d u r n a l o f t h e A e r o n a u t i c a l S c i e n c e s , V o l . 2 5 , N o . 5 , p p . 5 6 8 — i l , M a y
1 9 6 2 .
2 6 . K . W A s H i z u , V a r i a t i o n a l P r i n c i p l e s i n C o n t i n u u m M e c h a n i c s , U n i v e r s i t y o f W a s h i n g -
t o n , C o l l e g e o f E n g i n e e r i n g , D e p a r t m e n t o f A e r o n a u t i c i l E n g i n e e r i n g , R e p o r t 6 2 — 2 ,
J u n e 1 9 6 2 .
2 7 . G . L E I T h I A N N ( E d i t o r ) , O p t i m i z a t i o n T e c h n i q u e s w i t h A p p l i c a t i o n s t o A e r o s p a c e S y s -
t e m s ,
 
C H A P T E R 1
S M A L L D I S P L A C E M E N T T H E O R Y O F
E L A S T I C I T Y I N R E C T A N G U L A R
C A R T E S I A N C O O R D I N A T E S
1 . 1 . P r e s e n t a t i o n o f a P r o b l e m i n S m a l l D i s p l a c e m e n t T h e o r y
I n t h e b e g i n n i n g o f h i s c l a s s i c a l w o r k , U ) L o v e s t a t e s : " T h e M a t h e m a t i c a l
T h e o r y o f E l a s t i c i t y i s w i t h a n a t t e m p t t o r e d u c e t o c a l c u l a t i o n
t h e s t a t e o f s t r a i n , o r r e l a t i v e d i s p l a c e m e n t , w i t h i n a s o i d b o d y w h i c h i s
s u b j e c t t o t h e a c t i o n o f a n e q u i l i b r a t i n g s y s t e m o f f o r c e s , o r i s i n a s t a t e o f
s l i g h t i n t e r n a l r e l a t i v e m o t i o n , a n d w i t h e n d e a v o u r s t o o b t a i n r e s u l t s w h i c h
s h a l l b e p r a c t i c a l l y i m p o r t a n t i n a p p l i c a t i o n s t o a r c h i t e c t u r e , e n g i n e e r i n g ,
a n d a l l o t h e r u s e f u l a r t s i n w h i c h t h e m a t e r i a l o f c o n s t r u c t i o n i s s o l i d . "
T h i s s e e m s t o h a v e b e e n a g u i d i n g d e f i n i t i o n o f t h e t h e o r y o f e l a s t i c i t y .
I n t h e f i r s t a n d s e c o n d c h a p t e r s o f t h i s b o o k w e s h a l l d e a l w i t h t h e s m a l l
d i s p l a c e m e n t t h e o r y o f e l a s t i c i t y a n d d e r i v e t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k
a n d i e l a t e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s f o r t h e p r o b l e m o f a n e l a s t i c b o d y i n
s t a t i c e q u i l i b r i u m u n d e r b o d y f o r c e s a n d p r e s c r i b e d b o u n d a r y
R e c t a n g u l a r C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s ( x , y , z ) w i l l b e e m p l o y e d f o r d e f i n i n g
t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l s p a c e c o n t a i n i n g t h e b o d y . I n t h e s m a l l d i s p l a c e m e n t
t h e o r y o f e l a s t i c i t y d i s p l a c e m e n t c o m p o n e n t s , , v , w , o f a p o i n t o f t h e b o d y
a r e a s s u m e d s o s m a l l t h a t w e a r e j u s t i f i e d i n l i n e a r i z i n g e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e
p r o b l e m . T h e l i n e a r i z e d g o v e r n i n g e q u a t i o n s m a y b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s :
( a ) S t r e s s . T h e s t a t e o f i n t e r n a l f o r c e a t a p o i n t o f t h e b o d y i s d e f i n e d b y
n i n e c o m p o n e n t s o f s t r e s s :
4 3 (
x x ,
t : y ,
( 1 . 1 )
w h i c h
s h o u l d s a t i s f y t h e e q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m :
3 ; , ,
a x
t T h r o u g h o u t
t h e p r e s e n t b o o k , a n o v e r b a r i n d i c a t e s
t h a t t h e
b a r r e d q u a n t i t y i s p r e -
s c r i b e d , u n l e s s o t h e r w i s e
s t a t e d .
8
S M A L L
T H E O R Y O F E L A S T I C I T Y
a n d
T , X ,
( 1 . 3 )
w h e r e 1 , 1 a n d 2 a r e c o m p o n e n t s o f t h e b o d y f o r c e s
p e r u n i t v o l u m e . W e
s h a l l e l i m i n a t e t , , ,
a n d
b y
t h e u s e o f E q s . ( 1 . 3 ) , a n d s p e c i f y t h e s t a t e
o f s t r e s s a t a p o i n t o f t h e b o d y w i t h s i x c o m p o n e n t s ( a , ,
a , ,
T 7 , ,
T h e n , E q s . ( 1 . 2 ) b e c o m e :
a ,
T h e
s t a t e o f s t r a i n a t a p o i n t o f t h e b o d y i s d e f i n e d b y s i x c o m -
> ' , , ,
) ' x , ) .
( c ) S t r a i n — d i s p l a c e m e n t
r e l a t i o n s . I n
s m a l l d i s p l a c e m e n t t h e o r y t h e s t r a i n —
d i s p l a c e m e n t r e l a t i o n s a r e g i v e n a s f o l l o w s :
C X
O u O w
=
+
+
( d ) S t r e s s — s t r a i n
r e l a t i o n s . I n
s m a l l d i s p l a c e m e n t t h e o r y , h e s t r e s s — s t r a i n
r e l a t i o n s a r e g i v e n i n l i n e a r , h o m o g e n e o u s f o r m :
0 1 3 0 1 4 0 1 5 a 1 6
r e x
a ,
a 2 1 a 2 2 a 2 3 0 2 4
a 2 5 0 2 6
e ,
0 3 1
a 3 2 a 3 3 a 3 4 0 3 5 a 3 6
( 1 . 6 )
a 4 1 a 4 2 0 4 3 a 4 4 a 4 5 a 4 6
a 5 2 0 5 3 a 5 4
0 5 6
Y : x
a 6 2 0 6 3 a 6 4 a 6 5 a 6 6
T h e
c o e f f i c i e n t s o f t h e s e
e q u a t i o n s a r e c a l l e d e l a s t i c c o n s t a n t s . A m o n g t h e m ,
t h e r e e x i s t r e l a t i o n s o f t h e f o r m :
= a , . ,
2 , . . . , 6 ) . ( 1 . 7 )
E q s . ( 1 . 6 ) m a y b e i n v e r t e d t o y i e l d :
b 1 1 b 1 2 b 1 3 b 1 4 b 1 5 b 1 6
b 2 1 b 2 2 b 2 3 b 2 4 b 2 5 b 2 6
a ,
b 3 4
b 3 6
, ( 1 . 8 )
b 4 2 b 4 3 b 4 4 b 4 5 b 4 6
V z x
b 5 1
; ,
b 6 2 b 6 3 b 6 4 b 6 5 b 6 6
T x ,
b , 3
1 0
V A R I A T I O N A L M E T H O D S I N E L A S T I C i T Y A N D P L A S T I C I T Y
F o r a n i s o t r o p i c m a t e r i a l , t h e n u m b e r o f t h e i n d e p e n d e n t e l a s t i c c o n s t a n t s
r e d u c e s t o 2 , a n d t h e s t r e s s — s t r a i n r e l a t i o n s a r e g i v e n b y :
2 G
[ e x
=
—
+
+ 0 , ) ,
r , , .
( e ) B o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e s u r f a c e o f t h e b o d y c a n b e d i v i d e d i n t o t w o
p a r t s f r o m t h e v i e w p i n t o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s : ' t h e p a r t S 1
o v e r
w h i c h
b o u n d a r y c o n d i i o n s a r c p r e s c r i b e d i n t e r m s o f e x t e r n a l f o r c e s a n d t h e p a r t
S 2 o v e r
w h i c h b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e p r e s c r i b e d i n t e r m s o f d i s p l a c e m e n t s .
O b v i o u s l y S =
S 1 + S 2 . D e n Q t i n g t h e c o m p o n e n t s o f t h e p r e s c r i b e d e x -
t e r n a l f o r c e s p e r u n i t a r e a o f t h e b o u n d a r y s u r f a c e b y 1 , , F , a n d 2 , , , t h e
m e c h a n i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e g i v e n b y
X , = Z , , ,
S 1 ,
- l - r , n ,
( 1 . 1 3 )
n b e i n g
t h e d i r e c t i o n c o s i n e s o f t h e u n i t n o r m a l v d r a w n o u t w a r d s o n
t h e b o u n d a r y :
1 = c o s
c o s ( y , , ) a n d n
c o s ( z , v ) . O n t h e o t h e r
h a n d , d e n o t i n g t h e c o m p o n e n t s o f t h e p r e s c r i b e d d i s p l a c e m e n t s b y ü ,
i )
a n d t h e
g e o m e t r i c a l c o n d i t i o n s a r e g i v e n b y
u = ü , v = 1 ,
o n S 2 . ( 1 . 1 4 )
T h u s , ' w e o b t a i n a l l t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s o f t h e e l a s t i c i t y p r o b l e m i n
s m a l l
d i s p l a c e m e n t t h e o r y : t h e e q u a t i o n s o f e q U i l i b r i u m ( 1 . 4 ) , t h e s t r a i n —
d i s p l a c e m e n t r e l a t i o n s ( 1 . 5 ) a n d t h e s t r e s s — s t r a i n r e l a t i o n s ( 1 . 6 ) i n t h e i n t e r i o r
V o f t h e b o d y , a n d t h e m e c h a n i c a l a n d g e o m e t r i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s ,
( 1 . 1 2 ) a n d ( 1 . 1 4 ) , o n t h e s u r f a c e S o f t h e b o d y . T h e s e c o n d i t i o n s s h o w t h a t
w e h a v e 1 5 u n k n o w n s , n a m e l y , 6 s t r e s s c o m p o n e n t s , 6 s t r a i n c o m p o n e n t s
a n d 3 d i s p l a c e m e n t c o m p o n e n t s i n t h e 1 5 e q u a t i o n s ( 1 . 4 ) , ( 1 . 5 ) a n d ( 1 . 6 ) .
t Y o u n g ' s m o d u l u s E ,
P o i s s o n ' s
r a t i o r a n d t h e m o d u l u s o f r i g i d i t y G a r e r e l a t e d b y t h e
e q u a t i o n E
= 2 G ( l
v ) . T h u s
t h e r e a r e o n l y
t w o i n d e p e n d e n t e l a s t i c c o n s t a n t s .
 
S M A L L D I S P L A C E M E N T T H E O R Y O F E L A S T I C I T Y
1 1
O u r p r o b l e m i s t h e n t o s o l v e t h e s e 1 5 e q u a t i o n s u n d e r t h e b o u n d a r y c o n d i -
t i o n s ( 1 . 1 2 ) a n d ( 1 . 1 4 ) . S i n c e a l l t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s h a v e l i n e a r f o r m s ,
t h e l a w o f s u p e r p o s i t i o n c a n b e a p p l i e d i n s o l v i n g t h e p r o b l e m . T h u s , w e
o b t a i n l i n e a r r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e p r e s c r i b e d q u a n t i t i e s s u c h a s t h e
a p p l i e d l o a d o n S 1 a n d r e s u l t i n g q u a n t i f i e s s u c h a s s t r e s s a n d d i s p l a c e m e n t
c a u s e d i n t h e b o d y .
1 . 2 . C o n d i t i o n s o f C o m p a t i b i l i t y
W e o b s e r v e f r o m E q s . ( 1 . 5 ) t h a t w h e n a c o n t i n u u m d e f o r m s , t h e s i x
s t r a i n c o m p o n e n t s ( e s , e , ,
V i z ' V x , )
c a n n o t b e h a v e i n d e p e n d e n t l y ,
b u t m u $ b e d e r i v e d f r o m t h r e e f u n c t i o n s u , v a n d w a s s h o w n . T h i s s t a t e -
m e n t c a n b e e x p r e s s e d i n a d i f f e r e n t w a y a s f o l l o w s : L e t t i e c o n t i n u u m
u n d e r c o n s i d e r a t i o n b e s e p a r a t e d i n t o a l a r g e n u m b e r o f i n f i n i t e s i m a l r e c -
t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d e l e m e n t s b e f o r e d e f o r m a t i o n . A s s u m e t h a t e a c h e l e -
. . . ,
Y x , ) o f
a r b i t r a r y m a g n i t u d e .
T h e n , t r i a l s t o r e a s s e m b l e t h e e l e m e n t s a g a i n i n t o a c o n t i n u u m a r e a s s u m e d
t o b e m a d e . I n g e n e r a l , s u c h t r i a l s c a n n o t b e s u c c e s s f u l . S o m e r e l a t i o n s s h o u l d
e x i s t b e t w e e n t h e m a g n i t u d e o f t h e s t r a i n c o m p o n e n t s f o r a r e a s s e m b l a g e
t o b e s u c c e s s f u l . T h u s , a p r o b l e m w i l l a r i s e w h i c h m a y b e s t a t e d a s f o l l o w s :
W h a t a r e
t h e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e e l e m e n t s
t o b s r e a s s -
e m b l e d i n t o
c o n t i n u o u s b o d y ?
T h e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s t h a t t h e s i x s t r a i n c o m p o n e n t s
c a n b e d e r i v e d f r o m t h r e e s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n a s g i v e n i n E q s . ( 1 . 5 ) a r e
c a l l e d t h e c o n d i t i o n s
o f
c o m p a t i b i l i t y . I t i s s o w n i n R e f s . 1 t h r o u g h 5 , f o r
e x a m p l e , t h a t t h e c o n d i t i o n s o f c o m p a t i b i l i t y a r e g i v e n i n a m a t r i x f o r m a s ,
[ R J
a 2
3 x
a 2
—
1 2
V A R I A T I O N A L M E T H O D S
E L A S T I C I T Y A N I ) P L A S T I C I T Y
T h e p r o o f t h a t t h e c o n d i t i n s ( 1 j 5 ) a r e n e c e s s a r y f o l l o w s i m m e d i a t e l y
f r o m E q s . ( 1 . 5 ) b y d i r e c t d f f e r e n t i a t i o n . T h e p r o o f t h a t t h e y
a r e s u f f i c i e n t
i s r a t h e r l e n g t h y a n d i s n o t g i v e n h e r e . T h e i n t e r e s t e d r e a d e r I s a d v i s e d t o
r e a d t h e c i t e d r e f e r e n c e s .
I t i s n o t e d a t t h e e n d o f t h i s s e c t i o n t h a t t h e r e e x i s t i d e n t i t i e s b e t w e e n
R , , ,
O U , _ 0
T h e s e
i d e n t i t i e s c a n b e p r o v e d e a s i l y b y d i r e c t c a l c u l a t i o n s . T h e y s h o w t h a t
t h e q u a n t i t i e s
R , ,
. . . , a n d
U , a r e n o t m u t u a l l y i n d e p e n d ç n t , a n d t h a t
t h e c o n d i t i o n s o f c o m p a t i b i l i t y ( 1 . 1 5 ) c a n b e r e p l a c e d
= R , R 2
( l . 1 8 b )
o r a l t e r n a t i v e l y
U , = U , = U , = 0 m V ,
( l . 1 9 a )
( l . 1 9 b )
1 . 3 . S t r e s s F u n c t i o n s
W e k n o w f r o m E q s . ( 1 . 4 ) t h a t w h e n t h e b o d y f o r c e s a r e a b s e n t , t h e e q u a -
+ +
 
S M A L L D I S P L A C E M E N T T h E O R Y O P E L A S T I C I T Y
p r e s s e d i n t e r m s o f e i t h e r M a x w e l l ' s s t r e s s f u n c t i o n s
a n d X 3
d e f i n e d
b y
— 8 2 X z
8 2 X i
— 8 2 X 3
o r M o r e r a ' s s t r e s s f u n c t i o n s
a n d
b y
O z
I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t , w h e n t h e s e t w o k i n d s o f s t r e s s f u n c t i o n s a r e
c o m b i n e d s u c h t h a t
Ø 2 % 3
0 X 2
—
+
+
t h e e x p r e s s i o n s ( 1 . 1 6 ) a n d ( 1 . 2 3 ) h a v e s i m i l a r f o r m s .
I n a t w o - d i m e n s i o n a l s t r e s s p r o b l e m , w h e r e t h e e q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m
a r e
t h e
s o - c a l l e d A i r y s t r e s s f u n c t i o n d e f i n e d b y
8 2 F
' I , =
( 1 . 2 5 )
s a t i s f i e s t h e e q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m i d e n t i c a l l y .
1 . 4 . P r i n c I p l e
o f V i r t u a l W o r k
I n t h i s s e c t i o n w e s h a l l d e r i v e t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k f o r t h e p r o b l e m
d e f i n e d i n S e c t i o n 1 . 1 . W e c o n s i d e r
i n e q u i l i b r i u m n d e r p r e s c r i b e d
 
1 4
V A R I A T I Q N A L M E T H O D S I N E L A S T I C I T Y
A N ! )
P L A S T I C I T Y
b y
a , , . . . ,
a n d O b v i o u s l y ,
m V ,
a n d
X , — i , = O , . . . , Z , — 2 , = O o n S 1 . ( 1 . 2 7 )
N o w , t h e b o d y i s a s s u m e d t o e x e c u t e a n a r b i t r a r y s e t o f i n f i n i t e s i m a l v i r t u a l
d i s p l a c e m e n t s ô u , ö v a n d 8 w f r o m t h i s e q u i l i b r a t i n g c o n f i g u r a t i o n .
T h e n , w e h a v e
J J f
= ;
d x d y d z a n d ; d S a r e t h e e l e m e n t a r y v o t U & n e a n d t h e e l e m e n t a r y
a r e a o f t h e . s u r f a c e o f t h e
r e s p e c t i v e l y .
H e r e , w e s h a l l c h o o s e t h e a r b i t r a r y s e t o f v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s s u c h t h a t
t h e g e o m e t r i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n S 2 a r e n o t v i o l a t e d . N a m e l y , t h e y
a r e s o c h o s e n a s t o s a t i s f y t h e
e q u a t i o n s :
3 w = 0 o n S 2 .
( 1 . 2 9 )
T h e n ,
b f g e o m e t r i c a l r e l a t i o n s
d y d z =
±
n d S
( 1 . 3 0 )
w h i c h h o l d o n t h e b o u n d a r y , a n d t h r o u g h i n t e g r a t i o n s b y p a r t s s u c h t h a t
( 1 . 3 1 ) t
w e
m a y t r a n s f o r m E q . ( 1 . 2 8 ) i n t o
f f f
d V
— f f f ( Z a u + ? ö v + 2 8 w ) d V
— f f ( X , o u
÷
( 1 . 3 2 )
t
T h i s i s a n a p p l i c a t i o n o f t h e d i v e r g e n c e t h e o r e m o f G a u s s e x p r e s s e d b y t h e e q u a t i o n
M m +
 
S M A L L D I S P L A C E M E N T T H E O R Y O F E L A S T I C I T Y
w h e r e
t 3 ô u
c 3 ö v
c 3 ô w
( 1 . 3 3 )
T h i s i s t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k f o r t h e p r o b l e m d e f i n e d i n S e c t i o n 1 . 1 .
T h e p r i n c i p l e h o l d s f o r a r b i t r a r y i n f i n i t e s i m a l v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s s a t i s f y i n g
t h e p r e s c r i b ' e d g e o m e t r i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s . *
N e x t , w e s h a l l c o n s i d e r w h a t k i n d o f r e l a t i o n s w i l l b e o b t a i n e d i f t h e
p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k i s r e q u i r e d t o h o l d f o r
a n y a d m i s s i b l e v i r t u a l
d i s p l a c e m e n t s . R e v e r s i n g t h e a b o v e d e v e l o p m e n t , w e m a y o b t a i n E q .
( 1 . 2 8 ) f r o m E q . ( 1 . 3 2 ) . S i n c e b u , t 3 v a n d
a r e c h o s e n a r b i t r a r i l y i n V a n d
o n S 1 , a l l t h e c o e f f i c i e n t s i n E q . ( 1 . 2 8 ) a r e r e q u i r e d t o v a i r s h . T h u s , w e
h a v e a n o t h e r s t a t e m e n t o f t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k : I n t r o d u c t i o n o f t h e
s t r a i n — d i s p l a c e m e n t r e l a t i o n s ( 1 . 5 ) a n d t h e g e o m e t r i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s
( 1 . 1 4 ) i n t o t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k y i e l d s t h e e q u a t i o s o f e q u i l i b r i u m
( 1 . 4 ) a n d m e c h a n i c a l b o u n d a r y c o n d i z i o n s j j
s t r a i n — d i s p l a c e m e n t r e l a t i o n s h a v e b e e n
b r i u m m a y b e o b t a i n e d f r o m t h e
s p e c i a l m e n t i o n t h a t t h e p r i n c i p l e o f
w @ k
t i l l
m a t e r i a l s t r e s s — s t r a i n r e l a t i o n s .
1 . 5 . A p p r o x i m a t e M e t h o d o f S o l u t i o n B a s e l o n t h e P r i n c i p l e o f V i r t u a l y v o r x i
A n a p p r o x i m a t e m e t h o d o f s . l u t i o n c a r ( b e f o r m u l a t e d
t h e l
p r i n c i p l e o f v i r t u a l
T h i s a p p r o a t h w i l l b e
G a l e r k i n m e t h o d . t T h e f i r s t s t e p o f t h e m e t h o d i s m
p l a c e m e n t c o m p o n e n t s u , v a n d w c a n b e e x p r e s s e d a p p r o x i m a t e l y a s
f o l l o w s :
-
( 1
y , z ) = w 0 ( x , y , z )
+ 2 j c , w , ( x , y , z ) ,
w h e r e u 0 , v 0 a n d w 0 a r e s o c h o s e n t h a t
= i , v 0 =
*
F o r a p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n o t t h e p r i n c i p l e , s e e A p p e n d i x . 1 .
t T h i s i s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e s o - c a l l e d G a l e r k i n m e t h o d w h i c h r e q u i r e s t h a t a p p r o x i -
m a t e d i s p l a c e m e n t s o f E q s . ( 1 . 3 4 ) a r e c h o s e n t o s a t i s f y n o t o n l y t h e g e o m e t r i c a l b o u n d a r y
c o n d i t i o n s o n S 2 , b u t a l s o b y s u b s t i t u t i o n o f t h e s t r e s s — s t r a i n r e l a t i o n s t h e m e c h a n i c a l
b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n S 1 . F o r G a l e r k i n ' s m e t h o d , s e e R e f s . 5 , 7 t h r o u g h 1 1 , f o r i n -
s t a n c e .
I t i s n o t e d t h a t t h e n u m b e r o f t h e t e r m s u n d e r t h e t h r e e s u m m a t i o n s i g n s n e e d n o t
b e e q u a l t o e a c h o t h e r . I n o t h e r w o r d s , s o m e t e r m s a m o n g u , ,
 
1 6
V A R I A T i O N A L M E T H O D S I N E L A S T I C I T Y A N D P L A S T I C i T Y
a n d u , , v , , w , ;
= 1 , 2 , . . . , n
a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t f u n c t i o n s w h i c h
s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s
1 4 = 0 ,
( 1 . 3 6 )
T h e
c o n * t a n t s a , , b , a n d c , a r e a r b i t r a r y . W e t h e n h a v e :
a a
=
r . 1
i — i
I n t r o d u c i n g
E q s . ( 1 . 3 4 ) i n t o t h e p r i n c i p l e ( 1 . 3 2 ) , w e h a v e
a
0 , ( 1 . 3 8 )
N ,
z w , ) d v _ f f Z , w , d s .
( 1 . 3 9 )
i n c e
k , , O b , a n d O c , a r e a r b i t r a r y , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s :
= 0 ,
M , =
0 ,
N , =
0 ,
( 1 . 4 0 )
n o t e t h a t t h e e x p r e s s i o n s ( 1 . 3 9 ) a r e t r a n s f o r m e d v i a i n t e g r a t i o n b y p a r t s
I n t o ,
( 1 . 4 1 )
T h e
s e c o n d s t e p i s t o c a l c u l a t e t h e s t r e s s c o m p o n e n t s i n t e r m s o f E q s .
( 1 . 3 4 ) b y t h e u s e o f E q s . ( 1 . 5 ) a n d t h e s t r e s s — s t r a i n r e l a t i o n s . H e r e w e a s s u m e
8 w , \ 1 1
 
S M A L L D I S P L A C E M E N T T H E O R Y O F E L A S T I C I T Y
I n t r o d u c i n g E q . ( 1 . 4 2 ) i n t o E q . ( 1 . 4 0 ) , w e h a v e a s e t o f 3 n s i m u l t a n e o u s
l i n e a r e q u a t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e 3 n u n k n o w n s a , , b , a n d
C r ;
1 ,
2 ,
. . . , n .
B y s o l v i n g t h e s e e q u a t i o n s , v a l u e s o f a , , b , a n d c , a r e d e t e r m i n e d . B y s u b -
s t i t u t i n g t h e c o n s t a n t s t h u s d e t e r m i n e d i n t o t h e e x p r e s s i o n s ( 1 . 3 4 ) ,
a n a p -
p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r t h e d i s p l a c e m e n t
i s o b t a i n e d .
B y a p r o p e r c h o i c e o f t h e f u n c t i o n s u 0 , v 0 , w 0 , u , , v , , i t , ; r
= 1 ,
2 , . . . ,
a n d
t h e n u m b e r n , i t i s p o s s i b l e t o o b t a i n g o o d a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s f o r
t h e d e f o r m a t i o n o f t h e b o d y . H o w e v e r , t h e a c c u r a c y o f t h e s t r e s s e s c a l c u l -
a t e d b y t h e u s e o f E q s . ( l . 4 2 ) , e m p l o y i n g t h e v a l u e s o f a , , b r a n d c , t h u s d e t e r -
m i n e d , i s i n g e n e r a l n o t a s g o o d . T h i s i s o b v i o u s i f w e r e m e m b e r t h a t w e
h a v e r e p l a c e d t h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n s ( 1 . 4 ) a n d t h e m e c h a n i c a l b o u n d a r y
c o n d i t i o n s ( 1 . 1 2 )
t h e 3 n w e i g h t e d e x p r e s s i o n s s h o w n i n E q s . ( 1 . 4 1 ) , a n d
t h a t t h e a c c u r a c y o f a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n d e c r e a s e s
d i f f e r e n t i a t i o n .
T h e e q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m a s w e l l a s t h e m e c h a n i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s
a r e g e n e r a l l y v i o l a t e d , a t l e a s t l o c a l l y , i n t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n .
T h e a c c u r a c y o f t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n m a y b e i m p r o v e d b y i n c r e a s i n g
t h e n u m b e r o f t e r m s n . I f E q s . ( 1 . 3 4 ) r e p r e s e n t t h e s e t o f a l l a d m i s s i b l e
f u n c t i o n s w h e n n t e n d s t o i n f i n i t y , w e m a y h o p e t h a t t h e a p p r o x i m a t e s o l u -
t i o n w i l l a p p r o a c h c l o s e t o t h e e x a c t s o l u t i o n f o r a s u f f i c i e n t l y l a r g e n , a n d
t e n d t o i t w h e n t h e n u m b e r o f t e r m s i n c r e a s e s w i t h o u t l i m i t . H o w e v e r ,
e x p e r i e n c e a n d i n t u i t i o n a r e r e q u i r e d i f o n e w i s h e s t o o b t a i n a n a c c u r a t e
a p p r o x i m a t i o n w h i l e r e t a i n i n g o n l y a s m a l l n u m b e r o f t e r m s i n E q . ( 1 . 3 4 ) .
M o d i f i c a t i o n s o f t h e a b o v e m e t h o d a r e f r e q u e n t l y e m p l o y e d . F o r e x a m p l e ,
w e m i g h t c h o o s e
u ( x , y , z ) =
w h e r e m =
0 , I , 2 , . . . , n a r e p r e s c r i b e d f u n c t i o n s o f z ,
w h i l e
U r n ,
V m
a n d w m a r e u n d e t e r m i n e d . E q u a t i o n s g o v e r n i n g U r n , V m
a n d
i V m
a r e
d e r i v e d
f r o m t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k . W e s h a l l c i t e f r e q u e n t e x a m p l e s o f t h i s
m e t h o d i n C h a p t e r s 7 , 8 a n d 9 .
1 . 6 .
P r i n c i p l e o f C o m p l e m e n t a r y V i r t u a l W o r k
W i t h i n t h e r e a l m o f s m a l l d i s p l a c e m e n t t h e o r y w e c a n f o r m u l a t e a n o t h e r
p r i n c i p l e w h i c h i s c o m p l e m e n t a r y t o t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k i n d e f i n -
i n g t h e p r o b l e m p r e s e n t e d i n S e c t i o n 1 . 1 . W e c o n s i d e r t h e b o d y i n e q u i l i -
b r i u m u n d e r t h e p r e s c r i b e d b o d y f o r c e s a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a n d d e n o t e
. . . ,
 
1 8
V A R I A T I O N A L M L T H O D S I N E L A S T I C I T Y A N D P L A S T I C I T Y
i v e l y . O b v i o u s l y ,
( , u
S 2 .
( 1 . 4 5 )
N o w , t h e b o d y i s a s s u m e d t o t a k e a n a r b i t r a r y s e t o f i n f i n i t e s i m a l v i r t u a l
v a r i a t i o n s o f t h e s t r e s s c o m p o n e n t s
f r o m t h i s e q u i l i b r a t -
i n g c o n f i g u r a t i o n . T h e n w e h a v e
P P r /
— * ) O z , ] d S
( 1 . 4 6 )
h i c h , v i a i n t e g r a t i o n s b y p a r t s , i s t r a n f o r m e d
f / f
d I ' _ f f
( U O X , ± v O Y , + w O Z V ) d S
— f f ( u
H e r e ,
+
+
—
+
+
O x
O y
O z
i n
t h t i n t e r i o r o f t h e b b d y V a n d
O X ,
+
o
Y , =
0 ,
÷
. 3 Z , ) d S
 
S M A L L D I S P L A C E M E N T T H E O R Y O F E L A S T I C I T Y
1 9
T h e f o r m u l a ( 1 . 5 0 ) w i l l b e c a l l e d t h e p r i n c i p l e o f c o m p l e m e n t a r y v i r u a l
w o r k . T h e p r i n c i p l e h o l d s f o r a r b i t r a r y i n f i n i t e s i m a l v i r t u a l s t r e s s v a r i a t i o n s
s a t i s f y i n g t h e e q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m a n d p r e s c r i b e d m e c h a n i c a l b o u n d a r y
c o n d i t i o n s . I t i s s e e n t h a t t h e p r i n c i p l e o f c o m p l e m e n t a r y v i r t u a l w o r k h a s
a
f o r m w h i c h i s c o m p l e m e n t a r y t o t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k g i v e n b y
E q . ( 1 . 3 2 ) .
N e x t , w e s h a l l c o n s i d e r w h a t c o n d i t i o n s r e s u l t i f t h e p r i n c i p l e o f c o m -
p l e m e n t a r y v i r t u a l w o r k i s r e q u i r e d t o h o l d f o r a n a r b i t r a r y s e t o f a d m i s -
s i l e v i r t u a l s t r e s s v a r i a t i o n s . F o r s u c h a f o r m u l a t i o n t h e L a g r a n g e m u l t i -
p l i e r m e t h o d p r o v i d e s a s y s t e m a t i c t o o l . t W e s h a l l t r e a t E q s . ( 1 . 4 8 ) a n d
( 1 . 4 9 ) a s c o n s t r a i n t s a n d e m p l o y t h e d i s p l a c e m e n t s u , v a n d w a s t h e L a g -
r a n g e m u l t i p l i e r s a s s o c i a t e d w i t h t h e s e c o n d i t i o n s . T h u s , r e v e r s i n g t h e
a b o v e d e v e l o p m e n t , w e o b t a i n E q . ( 1 . 4 6 ) f r o m E q . ( 1 . 5 0 ) . S i n c e t h e q u a n t i -
t i e s & , ,
h a v e b e e n
i n d e p e n d e n t o f e a c h o t h e r b y i n t r o -
d u c t i o n o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r s , a l l h e c o e f f i c i e n t s i n E q . ( 1 . 4 6 ) a r e r e q u i r e d
t o v a n i s h . T h i s l e a d s t o a n o t h e r s t a t e m e n t o f t h e p r i n c i p l e o f c o m p l e m e n -
t a r y v i r t u a l w o r k : I n t r o d u c t i o n o f t h e e q u a t i o n s o f e q u i i b r i w n ( 1 . 4 ) a n d t h e
m e c h a n i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 1 . 1 2 ) i n t o t h e p r i n c i p l e o f c o m p l e m e n t a r y
v i r t u a l w o r k y i e l d s t h e s t r a i n - d i s p l a c e m e n t r e l a t i o n s ( 1 . 5 ) a n d t h e g e o m e t r i c a l
b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 1 . 1 4 ) . C o n s e q u e n t l y , o n c e t h e e q u a t i o n s o f e q u i E -
b r i u m h a v e b e e n d e r i v e d i n t h e s m a l l d i s p l a c e m e n t t h e o r y , t h e s t r a i n —
d i s p l a c e m e n t r e l a t i o n s m a y b e . o b t a i n e d f r o m t h e p r i n c i p l e o f c ó m p l e m e n -
t a r y v i r t u a l w o r k . I t i s w o r t h y o f s p e c i a l m e n t i o n t h a t t h e p r i n c i p l e o f
c o m p l e m e n t a r y v i r t u a l w o r k h ç l d s i r r e s p e c t i v e o f t h e m a t e r i a l s t r e s s — s t r a i n
r e l a t i o n s .
1 . 7 . A p p r o x i m a t e M e t h o d o f S o l u t i o n B a s e d o n t h e P r i O c i p l e
o f C o m p l e m e n t a r y V i r t u a l W o r k
A n a p p r o x i m a t e m e t h o d o f s o l u t i o n c a n b e f o r m u l a t e d b y e m p l o y i n g
t h e p r i n c i p l e o f c o m p l e m e n t a r y v i r t u a l w o r k . T h i s a p p r o a c h i s s i m i l a r t o
t h e o n e m e n t i o n e d i n S e c t i o n 1 . 5 a n d m a y a l s o b e c a l l e d t h e g e n e r a l i z e d
G a l e r k i n m e t h o d . F o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y , w e s h a l l c o n s i d e r a t w o - d i -
m e n s i o n a l e l a s t i c i t y p r o b l e m o f a s i m p l y c o n n e c t e d b o d y 4 T h e s i d e b o u n -
d a r y o f t h e b o d y i s c y l i n d r i c a l w i t h t h e g e n e r a t i n g l i n e p a r a l l e l t o t h e
• f F o r L a g r a n g e m u l t i p l i e r m e t h o d , s e e C h a p t e r 4 o f R e f . 1 2 , a n d C h a p t e r s 2 a n d 5 o f
R e f . 1 3 .
T h e t w o - d i m e n s i o n a l e l a s t i c i t y p r o b l e m d e f i n e d h e r e i s a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o t h e
e o . c a l l e d p l a n e s t r e s s p r o b l e m o f a t h i n i s o t r o p i c p l a t e w i t h t r a c t i o n - f r e e t i p p e r a n d L o w e r
s w f a c e s . I n a p l a n e s t r e s s p r o b l e m w e a s s u m e 0 a n d o b t a i n E s 1 +
O
t h e o t h o r h a n d , t h i s e l a s i c i t y p r o b l e m c a n b e s h o w n t o b e m a t h e m a -
t i c a l l y e q u i v a l e n t t o a p l a n e s t r a i n p r o b l e m o f a n i s o t r o p i c b o d y , b y r e p l a c i n g E a n d v I n
E q s . ( 1 . 5 1 ) w i t h E ' I
E / ( l — , 2 ) r J m d
, ' [
— s f ( 1 — v ) J j
r e s p e c t i v e l y , a n d e m p l o y i n g t h e
—
+
 
2 0
V A R i A T I O N A L M E T H O D S I N E L A S T I C I T Y A N D P L A S T I C I T Y
z - a x i s , a n d t h e d e f o r m a t i o n o f t h e b o d y i s a s s u m e d i n d e p e n d e n t o f
z . T h e
s t r e s s c o m p o n e n t s
a n d
a r e a s s u m e d t o v a n i s . T h e r e m a i n i n g
s t r e s s c o m p o n e n t s
a , a n d r , a r e a s s u m e d t o b e f u n c t i o n s o f ( x , y )
=
—
=
w h e r e
U n d e r a s s u m p t i o n o f a b s e n c e o f b o d y f o r c e s , t h e e q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m
t h e n r e d u c e t o E q s . ( 1 . 2 4 ) , w h i c h s u g g e s t s t h e u s e o f t h e A i r y s t r e s s I u n c t i o n
d e f i n e d b y E q s . ( 1 . 2 5 ) .
T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n t h e s i d e s u r f a c e m u s t b e p r e s c r i b e d i n d e -
p e n d e n t l y o f z , a n d a r p a s s u m e d t o b e g i v e n , f o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y , i n
t e r m s o f e x t e r n a l f o r c e s o n l y , n a m e l y
I , = 1 ' , = F ,
( 1 . 5 3 )
o n t h e s i d e b o u n d a r y C , w h e r e
I n t h e a b o v e 1 a n d m a r e t h e d i r e c t i o n c o s i n e s o f t h e o u t w a r d n o r m a l v t o
t h e b o u n d a r y C . I f t h e c o n t o u r o f t h e s i d e b o u n d a r y C i s g i v e n p a r a m e -
t r i c a l l y i n t e r m s o f t h e a r c l e n g t h s m e a s u r e d a l o n g C , s u c h t h a t
x = x ( s ) , y = y ( s ) , ( 1 5 5 )
w e h a v e
I = d y / d s , m = — d x / d s . ( 1 . 5 6 )
T h e a r c l e n g t h s i s m e a s u r e d a s s h o w n i n F i g . 1 . 1 . B y i n t r o d u c i n g t h e A i r y
s t r e s s f u n c t i o n a n d E q s . ( 1 . 5 6 ) i n t o E q s . ( 1 . 5 4 ) , w e o b t a i n X , a n d Y , i n
a u
a v
0
 
S M A L L D I S P L A C E M E N T T H E O R Y O F E L A S T I C I T Y
2 1
•
d f O F \
( 1 . 5 ' ? )
' L O X
W e s h a l l a s s U * a n e x p r e s s i o n f o r t h e s t r e s s f u n c t i o n o f t h e f o l l o w i n g f o r m :
F ( x , y ) = F 0 ( x , y ) + E
a , F , . ( x ,
w h e r e F 0
F r a r e c h o s e n s o t h a t
d / 4 F 0 \ _ 1
—
—
—
=
o n t h e
C , a n d a , . ; r = 1 , 2 , . . . ,
n a r e
a r b i t r a r y c o n s t a n t s . T h e e q u a -
t i o n s ( 1 . 5 w )
t h a t b o t h O F , j O x a n d v 3 F , . / O y a r e c o n s t a n t a l o n g C . S i n c e
t h e
a f u n c t i o n a x + b y . + c , a , b
a n d c a r e
r b i t r a r y c o n s t a n t s , i s i m m a t e r i a l a s f a r a s t h e s i m p l y c o n n e c t e d
b o d y i s c o n c e r n e d , w e m a y
F , = Ø ,
o n
( 1 . 6 0 )
w i t h o u t
o f g e n e r a l i t y .
I n t r o d u c t i o n o f E q . ( 1 . 5 8 ) i n t a E q s . ( 1 . 2 5 ) r e s u l t s i n t h e f o l l o w i n g e x p r e s -
s i o n s f o r t h e s t r e s s c o m p o n e n t s :
8 2 F
— O x
V y
O x
A s e t o f a d m i s s i b l e v i r t u a l s t r e s s v a r i a t i à n a t h e n g i v e n b y
, _ l
' . ' 3 ?
v X u 3 ?
S u b s t i t u t i n g
E q . ( 1 . 6 2 ) i n t o t h e p r i n c i p l e ( 1 3 0 ) , a n d r e m e m b e r i n g t h a t a l l
t h e s u r f a c e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e g i v e n i n t e r m s o f f o r c e s o n l y , w e
h a v e
2 2
V A R I A T I O N A L M E T H O D S I N E L A S T I C I T Y A N D P L A S T I C I T Y
w h e r e
L , =
( 1 . 6 4 )
I n E q . ( 1 . 6 4 ) , t h e l e n g t h o f t h e b o d y n t h e d i r e c t i o n o f t h e z - a x i s
i s t a k e n a s
u n i t y , a n d t h e i n t e g r a t i o n s e x t e n d t h r o u g h t h e r e g i o n o f t h e b o d y i n t h e