Waves

A wave is a disturbance that transfers energy through a medium.

Waves are very common in nature: light is a wave, sound is a wave, ocean surf is generated by waves, and even matter has wave-like properties. The "disturbance" can be an alternating electromagnetic field strength (light), a variation in water height (ocean waves), a variation in material density (sound waves), or a distortion of the shape of the ground (seismic waves).

If you've felt Earth shake during an earthquake or explosion then you've felt seismic waves. These vibrations travel outward in all directions from their source. Waves generated by large earthquakes can be detected throughout the world and are routinely recorded and analyzed by seismologists.

Summe der angreifenden Kräfte

2. Gesetz Newton‘s:

Von einem Inertialsystem aus gesehen ist die Netto Kraft die auf einen Körper ausgeübt wird proportional zu der Ableitung seines Impulses nach der Zeit.

Die Richtung der Kraft entspricht der Richtung des Impulses des Körpers.

Die Summe der an einen Körper Angreifenden Kräfte

Bewegungsgleichung (angreifende Spannungen)

Summe der angreifenden Kräfte in x Richtung

Für die y und z Richtung ergeben sich die Kräfte analog.

Bewegungsgleichung (angreifende Deformationen)

Durch Umformung bei Einsetzung der Verschiebungen erhalten wir:

Durch Annahme der Lame’schen Parameter als konstantergibt sich:

Für die y und z Komponente der Bewegungsgleichungergibt sich analog:

Umformungen: 1) Differentiation der u,v, und w Komponenten jeweils nach x, y, und z, sowie Addition der Komponenten ergibt:

Dies ist eine Wellengleichung mit Wellengeschwindigkeit:

Die damit hergeleitete Wellengleichung beschreibt die Ausbrei- tung einer primären (P-) Welle. Sie beinhaltet keinerlei Rota- tionskomponente:

€

∂2

∂t 2 Δ = α 2∇ 2Δ

α 2 = λ + 2μρ

Umformungen:2) Differentiation der u und v Komponente der ursprünglichenBewegungsgleichung

jeweils nach y und z ergibt:

Nach Subtraktion der beiden Komponenten ergibt sich:

Analog ergibt sich für die anderen zwei Komponenten:

Die Komponenten enthalten die Komponenten der Rotationund wir können kompakt in Vektor-Notation schreiben:

Elastic Waves

P waves

Elastic Waves

S waves

Einfluss des Material-Verhaltens

K= Kompressionsmodul misst die relative Volumenänderung pro Druckänderungμ = Schermodul misst die Verformung pro angreifender Oberflächenkraftρ = DichteBeachte: Der Dichte-Einfluss auf die Wellengeschwindigkeit ist nicht offensichtlicht

P-Wellen Geschwindigkeit

S-Wellen Geschwindigkeit€

α 2 = λ + 2μρ

Das Gesetz von Birch (I)

Lineare Abhängigkeit der seismischen Geschwindigkeit v von der Dichte ρ des Materials.

a, b sind hier Konstanten die empirisch bestimmt werden müssen.

Das Gesetz von Birch (II)

Laborbestimmung der Dichte-Geschwindigkeits-Relation unter Drücken von (a) 0.2 Gpa, (b) 0.6 Gpa, (c) 1.0 GPa. Die Tiefenäquivalente sind 6, 18 und 30 km.

1 Gpa = 10exp9 Pascal = 10exp9 N/m**2Man beachte, dass 1 Gpa = 10,000 bar = 10 kbar

•Seismic wave propagation outward from the focus

•P-wave: Compressional waves, travel fastest through all physical states of media

•S-wave: Shear waves, travel slower than P-wave, but faster than surface waves, only propagates through solid materials

•Surface waves: Moving along the Earth’s surface, travels slowest, but causing most of the damage

Earthquake’s Seismic Waves

Elastic WavesSurface waves

Surface waves front expand as a cylindrical surfaceBody waves front expand as a spherical surfaceSince the energy is conserved, which one is decaying faster?

Body waves decay ~ as inverse of square of distanceSurface waves decay ~ as inverse of the distance

Dispersion

Die Geschwindigkeit der Oberflächenwellen hängt von der Eindringtiefe und der dortigen seismischen Geschwindigkeitsstruktur ab.(Faustregel Tiefe = Wellenlänge/3)

(a) Seismogramm einer dispersiven Oberflächenwelle an 5 Beobachtungsorten. (gestrichelte Linie: Ort einer bestimmten Phase, woraus man die Phasen-

geschwindigkeit bestimmen kann.)(b) Gruppen und Phasegeschwindigkeit für die nebenstehenden Seismogramme

DISPERSION, PHASENGESCHWINDIGKEIT, GRUPPENGESCHWINDIGKEIT

Dispersion bezeichnet die frequenzabhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit (cR oder cL), beziehungsweise der Wellenzahl k:

cL=cL(ω), cR=cR(ω), kL=kL(ω), kR=kR(ω).

Dispersion führt zu „Grüppchenbildung“.

Diese Grüppchen oder „Wellenpakete“

reisen mit der Gruppengeschwindigkeit

cG=(dk/dω)-1.

3D-MODELLE DES ERDMANTELS

Daten – II. Phasengeschwindigkeiten von Oberflächenwellen

Oberflächenwellen (Love-Wellen & Rayleigh-Wellen) breiten sich nahe der Erdoberfläche aus.

Die Amplitude von Oberflächenwellen nimmt exponentiell mit der Tiefe ab: A ~ exp(-wz).

Je höher die Frequenz w, desto geringer ist die Eindringtiefe der Oberflächenwelle.

Je höher die Frequenz w, desto kleiner sind die Strukturen, die Oberflächenwellen ‘sehen’.

→ Oberflächenwellen liefern Informationen über Strukturen im oberen Erdmantel, die nicht tiefer als 300 km liegen. Mit zunehmender Tiefe ‘sieht’ man nur noch großräumige Strukturen.

Typischerweise nutzt man Oberflächenwellen mit Perioden von 20 s bis mehreren 100 s.

Die Phasengeschwindigkeit von Oberflächenwellen ist frequenzabhängig: vphase=vphase(w).

Neben den Phasengeschwindigkeiten für eine gegebene Frequenz w0 nutzt man auch die Dispersionskurven, also die Frequenzabhängigkeit von vphase.

Dispersion, Love-Welle

Dispersion, Rayleigh-Welle

Dispersions-Kurven der Oberflächenwellen

Beachte: Oberflächenwellen breiten sich unter den Ozeanen im Schnitt schneller aus, als unter Kontinenten (Rückschluss auf Untergrund-Struktur).

Seismic waves are generated by many different processes:

* Earthquakes * Volcanoes * Explosions (especially nuclear bombs) * Wind * Planes (supersonic) * People * Vehicles

The range of ground motion amplitudes that are of interest in earthquake studies is very large and seismometers we use are very sensitive. They can detect motions that are much smaller than the thickness of a sheet of paper or as tall as a room. We can detect ground motion in Missouri caused by increased surf activity as a hurricane or large storm system approaches the eastern coast of the lower 48 states.

Measuring Earthquakes

Marshak, 2005

How seismometers work

Measuring Earthquakes

Marshak, 2005

For inertial observer eq motion:

For observer on sismometer:

Where I have an apparent force due to ground acceleration –mu

The equation of seismometer will be:

Where the first term is the force on the mass, the second the forcing of the spring, the third the viscous dumping and the last the ground forcing.

€

m ˙ ̇ x m = Felastic + Ffriction or viscous

€

m ˙ ̇ ξ m + m˙ ̇ u = Fe + Fv

€

m ˙ ̇ ξ = −kξ − μ ˙ ξ − m˙ ̇ u

The equation is the eq of a dumping pendulum:

If I define ea typical frequency:

I have the equation of an harmonic oscillator with dumping

If u has a frequency much higher than w0 I have (long period instrument)

If I have very slow movement respect to w0 I get

Acceleromete (short period instrument)

€

m ˙ ̇ ξ = −kξ − μ ˙ ξ − m˙ ̇ u

€

ω02 = K

mand a var iable ε = μ

m

€

˙ ̇ ξ = −ω02ξ −ε ˙ ξ − ˙ ̇ u

€

˙ ̇ ξ ≈ −˙ ̇ u ⇒ ξ = −u

€

ξ ≈−˙ ̇ u

ω02

Fromhttp://eqseis.geosc.psu.edu/~cammon/HTML/Classes/IntroQuakes/Notes/seismometers.html

•Modified Mercalli Scale 12 divisions Qualitative severity measurement

of damagesand ground movement

Based on ground observations, instead of instrument measurement

Scale depending on earthquake’s magnitude, duration, distance from the epicenter, site geological conditions, and conditions of infrastructures (age, building code, etc.)

Earthquake Intensity Scale (1)

How big is an earthquake?INTENSITY, Modified Mercalli Scale

•Richter scale: The amplitude of ground motion Increasing one order in

magnitude, a tenfold increase in amplitude

•Moment magnitude scale Measuring the amount of strain

energy released Based on the amount of fault

displacement Applicable over a wider range of

groundmotions than Richter scale

•Earthquake energy: Increase one order in magnitude, about a 32-times increase in energy

Earthquake Magnitude Scale (1)

Richter Magnitude• Both Richter and Wadati found in late 1930 that the difference of amplitude between 2 earthquake is indipendent of the distance (big and small eq decrease in the same way)

• So the ratio of the maximum amplitude on a reference seismogram give an estimation of the difference of the energy released by the events

• The magnitude 0 is defined as the amplitude of a reference seismometer (Wood-Anderson) at 100km from the epicenter. (it is dependent on the location so the scale officially is correct only in CA where it was developed, in reality it is possible to make empirical corrections for other locality)

• Different scales depending the kind of wave used:

• ML is the original scale for moderate events not too far away in CA the biggest wave was the s.

• For Bigger events the largest phase was the surface wave so the scale was expanded to use surface waves Ms

•Deep Earthquake do not create big surface waves so the scale was expanded to use body waves Mb

MAGNITUDEN-SKALEN

Die Magnitude eines Erdbebens ist die einfachste Art und Weise, grob seine Größe zu klassifizieren.

Die grundlegende Annahme ist, dass ein „größeres“ Beben im Mittel größere Amplituden produziert. Dabei gibt es allerdings einige Probleme, da die Amplitude von einer Vielzahl von Parametern abhängt:

i) Erdstruktur (Becken, …),

ii) Orientierung der Bruchfläche (Strahlungsmuster),

iii) zeitliche Entwicklung der Quelle,

vi) Tiefe der Quelle, …

Und trotzdem wird die Magnitude benutzt, weil das Konzept simpel ist und halbwegs Aussagekraft besitzt.

Für die ganzen zusätzlichen Abhängigkeiten der Amplitude führt man Korrekturfaktoren ein.

MAGNITUDEN-SKALEN

Die allgemeine Form einer Magnitudenskala:

M = log(A/T) + f(D,h) + Cs + Cr

A = Amplitude der Phase für die die Magnitudenskala definiert ist,

T = dominante Periode

f = Korrekturfaktor für Herdtiefe h und Epizentraldistanz D,

Cs = Korrekturfaktor für die Station, bzw. die Struktur, auf der sie sitzt,

Cr = Korrekturfaktor für die Quellregion.

Um eine möglichst sinnvolle Schätzung der Magnitude zu bekommen, nutzt man eine Vielzahl von Stationen.

Heute nutzt man im Wesentlichen 3 Magnitudenskalen: ML (lokale Magnitude), mb (Raumwellenmagnitude), MS (Oberflächenwellenmagnitude), MW (Momenten-Magnitude).

MAGNITUDEN-SKALEN

Lokale Magnitude (ML):

In den 1930er beobachtete Richter, dass

i) log[A(D)] mit zunehmender Epizentraldistanz D abnimmt und

ii) die Kurven log[A(D)] für verschiedene kalifornische Beben etwa parallel sind.

Auf der Grundlage dieser Beobachtungen definierte er die zunächst nur für Kalifornien gültige Magnitudenskala

ML = log (A) – 2.48 + 2.76 log(D).

Dabei ist A die maximale Amplitude in einem regionalen Seismogramm, also typischer Weise die Amplitude der direkten S-Welle.

Die Periode T taucht in der Formel nicht auf, da Richters einfache Seismografen (Wood-Anderson-Seismogramme) sowieso immer eine dominante Periode von etwa 0.8 s produzierten.

Richter wählte die Konstanten in der Formel so, dass ein Beben mit A=0.001 m in D=100 km, eine Magnitude von ML=0 hat.

MAGNITUDEN-SKALEN

Raumwellen-Magnitude (mb):

Die lokale Magnitudenskala ist wenig nützlich für die Charakterisierung teleseismischer Beben (nur für bestimmtes Instrument, „maximale Verschiebung“ ist wenig aussagekräftig, …).

Daher definiert man eine Magnitudenskala, für die man die Amplitude der direkten P-Welle nutzt:

mb = log (A/T) + Q(h,D)

Der Korrekturfaktor Q ist abhängig von der Epizentraldistanz D und der Herdtiefe h.

Er reflektiert die Tatsache, dass die Amplitude von P-Wellen nicht nur von der Stärke des Erdbebens abhängt.

Die P-Wellenamplitude wird zudem sehr stark von Fokussierungseffekten beeinflusst. So ist die Amplitude in der Nähe von Kaustiken zum Beispiel sehr groß, auch wenn das Beben an sich klein gewesen sein kann.

MAGNITUDEN-SKALEN

Oberflächenwellen-Magnitude (MS):

Ab Epizentraldistanzen von 600 km werden Seismogramme von flachen Beben von langperiodischen Oberflächenwellen dominiert (T etwa 20 s).

Somit liegt es nahe, auch Oberflächenwellen zu nutzen, um die Größe eines Bebens zu messen.

Man definiert MS durch

MS = log (A20) + 1.66 log(D) + 2.0 .

Dabei ist A20 die Amplitude der vertikalen Komponente (Rayleigh-Welle) bei einer dominanten Periode von 20 s.

Kompatibilität: Für ein und das selbe Beben sind MS und mb in der Regel nicht identisch! In etwa hat man jedoch

mb = 2.94 + 0.55 Ms.

Die beiden Skalen fallen etwa bei 6.5 zusammen.

MAGNITUDEN-SKALEN

Das seismische Moment (M0):

Die Magnitudenskalen sind an sich nicht sehr physikalisch und von vielen kaum kontrollierbaren Faktoren abhängig. Ein physikalisch sinnvolleres Maß für die Größe eines Erdbebens ist sein seismisches Moment.

Generell gilt für die Amplitude A

mit m=Schermodul nahe der Bruchfläche, a=Bruchfläche, u=Verschiebung auf der Bruchfläche. Damit definiert man das seismische Moment einfach zu:

Das seismische Moment ist schwerer zu bestimmen, aber definitiv sinnvoller, als die Magnitudenskalen. Es ist – im Prinzip – für ein gegebenes Erdbeben eindeutig bestimmt.

Basierend auf M0 definiert man die Momenten-Magnitude MW

μauA

μauM0

MAGNITUDEN-SKALENSättigung der Magnituden-Skalen (am Beispiel von mb):

Das Spektrum der Raumwellen hängt in ganz charakteristischer Weise von der Größe eines Erdbebens, also seinem seismischen Moment ab.

Bis zu einer Eckfrequenz (corner frequency) ist das Spektrum flach, danach fällt es mit w-2 ab.

Große Beben generieren also im Mittel niedrigere Frequenzen, als kleine Beben!

Zur Bestimmung von mb werden P-Wellen benutzt, bei einer Periode von etwa 1 s.

Ab einem bestimmten seismischen Moment generiert jedoch jedes Beben bei T=1 s etwa gleich große direkte P-Wellen.

Somit ist mb gesättigt und zur Bestimmung großer Magnituden wenig geeignet.

Ein weiterer Grund, aus dem M0 der Vorzug gelassen werden sollte.

Richter MagnitudeAll the scales saturate for big earthquakes since lot of the energy for those events is released at longer periods while the amplitude magnitude are looking only in the window of the 20 second or shorter. (we have seen that a seismometer is a pendulum so it has a typical frequence at which is more sensitive)

So was introduced a scale dependent on the Moment Mw

The Moment of an Earthquake is defined

Mo=Au

Can be measured by observations in the field or observing the amplitude spectra of seismic waves (looking at the frequencies).

The Mo is connected to the energy released by an earthquake

How many?