web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн...
TRANSCRIPT
![Page 1: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/1.jpg)
Бүлэг 1
Натурал илтгэгчтэй зэрэг
8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах
1. Зэргийн чанар хэрэглэн илэрхийллийг хялбарчлах.1) A) x3∙ ( x2 )5=x3∙ x10=x13;б ¿ (a3 )2 ∙ a5=a6 ∙ a5=a11;
b) (a2 )3∙ (a4 )2=a6∙ a8=a14; г¿ ( x2 )5 ∙ ( x5 )2=x10 ∙ x10=x20 ;
д) (m2 ∙ m3 )4=(m5 )4=m20; е) ( x4 ∙ x )2 ∙ ( x5 )2=x10;
2¿a¿ (a2 )4=a8 б)a3∙ (a3 )2=a3 ∙ a6=a9;
b¿ ( a5 )2 ∙ (a2)2=a10 ∙ a4=a14 ; г) (a3 )3 ∙ (a3 )4=a9 ∙ a12=a21 ;
д)(a3 ∙ a3 )2=(a6 )2=a12 ; e) ( x2 )3 ∙ ( x3 )5=x6 ∙ x15=x21;
3) a)x5∙ ( x2 )3=x5 ∙ x6=x11 ; б) x8∙ ( x3 )4=x8∙ x12=x20 ;
b)¿ ( x4 )2 ∙ ( x5 )3=x8∙ x15=x23 ; г) ¿ ( x2 )3∙ ( x3 )5=x6 ∙ x15=x21;
2. Илэрхийллийн утгыг ол.a) 26 ∙55=64 ∙ 3025=200000b) 24 ∙ 54=105=100000c) 23 ∙54=103 ∙5=5000d) 24 ∙ 53=103 ∙2=2000
e) ( 12 )
3
∙23=( 12
∙ 2)3
=1
f) ( 13 )
2
∙32=( 13
∙ 3)2
=1
g) 104 ∙0.15=( 110
∙10)4
∙ 0.1=0.1
3. Илэрхийллийн утгыг ол.
a) 25 ∙ (23 )4
213 =25 ∙212
213 =217
213 =24=16
b) 57 ∙ (58 )2
522 =57 ∙516
522 =523
522 =51=5
c) (25 )2
26 ∙ 4= 210
26∙ 22 =210
28 =22=4
d)37 ∙27(34 )3 =37 ∙33
312 =310
312 =132 =
19
4. Илэрхийллийн утгыг ол.(2 ∙522−9 ∙521 ) :521=521 (10−9 ) :521=1 ;
5. Илэрхийллийн утгыг ол.
![Page 2: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/2.jpg)
(5 ∙233−4 ∙ 230 ): 416=232 (10−1 ):232=9 ;
6. (4 ∙ 322+7 ∙321) ÷ (19 ∙274 )2=321 (4 ∙3+7 )÷ (19∙ (33 )4 )2= 321 ∙19192 ∙324=
119 ∙27
= 1513
;
7. 5∙ (3 ∙ 715−19 ∙714 )÷ (716+3 ∙715 )=5 ∙ ( 3∙715−19 ∙714 )(716+3 ∙715)
=5∙ 714 (3 ∙7−19 )
715 (7+3 )= 5 ∙2
7 ∙10=1
7;
8. Илэрхийллийн утгыг ол.
a¿ (−0.5 )4 ÷ (−0.5 )3=−0.5 . б ¿3 ∙26−8 ∙43+5 ∙ 82=3 ∙ 26−8 ∙ (22 )3+5 ∙ (23 )2=26 (3−8+5 )=0 ;в¿ 4 ∙36−11 ∙ 272+7 ∙93=4 ∙36−11 ∙ 36+7 ∙36=0 ;
г ¿ 253∙ 142
49 ∙106 =56 ∙22 ∙72
72 ∙ 26 ∙56 =124 =
116
;д¿ 363∙ 152
184 ∙103 =183 ∙23 ∙32 ∙52
184 ∙23 ∙53 = 110
;
е ¿5 ∙( 12 )
8
−3 ∙( 14 )
4
−7 ∙( 116 )
2
=5 ∙( 12 )
8
−3 ∙(( 14 )
2)4
−7 ∙((12 )
4)2
=( 12 )
8
(5−3−7 )=(12 )
8
∙ (−5 )= −5256
;
9. ∀n∈N хувьд2n+2n+1+2n+2 ⋮ 14 2n (1+2+22 )=2n ∙ 7=2n−1 ∙2∙ 7=2n−1 ∙14
10.∀n∈N хувьд (5n+5n+1) ⋮ 30 5n (1+5 )=5n−1∙ 5∙ 6=5n−1 ∙ 30
11. (35−34 ) ∙ (32+33 ) ⋮ 24=33 (3−1 ) ∙32 (3+1 )=34 ∙3∙ 2 ∙4=34 ∙ 24
12. (163−83 )∙ ( 43+23 ) ⋮ 63 a¿ (212−26 ) ∙ (26+23 )=26 ∙ (26−1 ) ∙ 23∙ (23+1 )=26 ∙ 23 ∙63 ∙9б ¿ (16−8 ) ∙ ( 162+16 ∙8+82 ) ∙ ( 4+2 ) (42−2 ∙ 4+22)=8 ∙6 ∙12 ∙ 448=8∙ 2 ∙4 ∙64 ∙63
13. (1252+252 ) ∙ (52−1 ) ⋮ 39→ (56+54 ) ∙ (52−1 )=54 ∙ (52+1 ) (52−1 )=54∙ 2 ∙13 ∙ 3∙ 8=54 ∙2∙ 8 ∙39
Бүлэг 2
Рациональ илэрхийллийн адилтгал хувиргалт
14 .( a2
a+b− a3
a2+2ab+b2 )÷ ( aa+b
− a2
a2−b2 )=( a2
a+b− a3
(a+b )2 )÷( aa+b
− a2
(a−b ) (a+b ) )= a2
a+b∙(1− a
a+b )÷ aa+b (1− a
a−b )= a2
a+b∙( a+b−a
a+b )÷ aa+b ( a−b−a
a−b )= a2
a+b∙( b
a+b )∙ a+ba ( a−b
−b )=a (b−a )a+b
;
15.(3a−1 ) ∙ (3a−9 )
2 (a2−9 )−2a−92 ∙ (a−3 )
a+3=
(3a−1 ) ∙3 ∙ (a−3 )−2 ∙ (2a−9 ) ∙ (a−3 )2 (a−3 ) ( a+3 )
=( a−3 ) (9a−3−4 a+18 )
2 (a−3 ) (a+3 )=
(5 a+15 )2 (a+3 )
=5 ∙ (a+3 )2 (a+3 )
=52=2.5
16. (5a+3 ) ( a−1 )2 (a2−1 )
−6a+33a+3
= (5 a+3 ) ( a−1 )2 (a−1 ) (a+1 )
−3∙ (2 a+1 )3 (a+1 )
=5a+3−4 a−22 (a+1 )
= a+12 (a+1 )
=12=0.5 ;
17. a2−5 a+65 ( a2−4 )
− a2 (a+2 )
=(a−3 ) ( a−2 )
5 (a−2 ) ( a+2 )− a
2 (a+2 )=2 a−6−5a
10 (a+2 )=
−3 (a+2 )10 ( a+2 )
=−0.3
18. (a−2 )2
( a2−5 a )∙ 2a−10
4−a2 + 2 a−4a (a+2 )
=(a−2 )2
a ( a−5 )∙ 2 (a−5 )
(2+a ) (2−a )+ 2a−4
a (a+2 )=4−2 a+2a−4
a (a+2 )=0
![Page 3: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/3.jpg)
19.( a+1a2−1
− a+1a2−a )∙ (a−a2 )=( a+1
(a−1 ) (a+1 )− a+1
a (a−1 ) )∙ a ∙ (1−a )=a−a−1a (a−1 )
∙ a (1−a )=1
20.[ (x+ y )2
x−2 y ] ∙ x2 ∙ y2
x2+ y2 =( x2+2 xy+ y2−2xyx )∙ x2 ∙ y2
x2+ y2 =x ∙ y2
21. ( x− y )2+3 xyxy
÷ x3− y3
x2 y2 = x2−2 xy+ y2+3xyxy
∙ x2 y2
( x− y ) ( x2+xy+ y2 )= xy
x− y
22.( a2+b2
a2−b2 −a−ba+b ) ∙ a−b
ab=( a2+b2
(a−b ) (a+b )−a−b
a+b )∙ a−bab
=( a2+b2−a2+2ab+b2
a2−b2 ) ∙ a−bab
= 2a+b
23.( x2− y2
x− y− x2+ y2
x+ y )÷ 2 xyx2− y2 =( ( x− y ) ( x+ y )
x− y− x2+ y2
x+ y )÷ 2xyx2− y2=
x2−2 xy+ y2−x2− y2
x+ y∙
( x− y ) ( x+ y )2 xy
=x− y
24.( 4 x9−x2 −
x−39+3 x ) ∙ 18 ( x−3 )
x+3=( 4 x
(3−x ) (3+x )− x−3
3 (3+x ) )∙ 18 ( x−3 )x+3
=( 12 x+x2−6 x+93 (3−x ) (3+x ) ) ∙ 18 ( x−3 )
x+3=
(x+3 )2
3 (3−x ) (3+x )∙ 18 ( x−3 )
x+3=−6
25. a2+b2
ab− a3+b3
a2 b−b3 ÷ a2+aba2−b2 =
a2+b2
ab−
(a+b ) (a2−ab+b2 )b (a−b ) (a+b )
∙(a−b ) (a+b )
a (a+b )=a2+b2−a2+ab−b2
ab=1
26.(a−ba+b
+ a+ba−b ) ∙( a2+b2
2 ab+1) ∙ ab
a2+b2 =a2−2 ab+b2+a2+2 ab+b2
(a+b ) (a−b )∙ a2+2ab+b2
2ab∙ ab
a2+b2 =2 ( a2+b2 )
(a+b ) (a−b )∙
(a+b )2
2ab∙ aba2+b2 =
a+ba−b
;
27.( x2
y2 −2+ y2
x2 ) ∙ x 4 y 4
xy+ y2 ∙
xy−1+ x
yx3−2 x2 y+x y2=
x4−2 x2 y2+ y 4
x2 y2 ∙ x4 y4
y ( x+ y )∙ x2−xy+ y2
x ( x2−2 xy+ y2 )=
( x2− y2 )2
( x+ y )∙ ( x2−xy+ y2 )
( x− y )2=
( x− y )2 (x+ y )2
( x+ y )∙ ( x2−xy+ y2)
(x− y )2=x3+ y3 ;
28. a b2
a2b+ab2 +a3−a2ba3−a b2=
ab2
ab (a+b )+
a2 (a−b )a (a−b ) (a+b )
=( a+b )( a+b )
=1
29. xx2+ y2 −
y ( x− y )2
x4− y4 = xx2+ y2 −
y ( x− y )2
( x2− y2 ) ( x2+ y2 )= x
x2+ y2 −y (x− y )2
( x− y ) (x+ y ) ( x2+ y2 )= x2+xy−xy+ y2
(x+ y ) ( x2+ y2 )= 1
x+ y
30. a2+a−2a4−3 a3 ∙( (a+2 )2−a2
4 a2−4− 3
a2−a )= (a+2 ) (a−1 )a3 (a−3 )
∙( a2+4 a+4−a2
4 (a+1 ) (a−1 )− 3
a (a−1 ) )= (a+2 ) (a−1 )a3 (a−3 )
∙( 4 ( a+1 )4 (a+1 ) (a−1 )
− 3a ( a−1 ) )= ( a+2 ) (a−1 )
a3 ( a−3 )∙ a−3a (a−1 )
=a−2a4
31.( x2
x+ y− x3
x2+ y2+2 xy )÷( xx+ y
− x2
x2− y2 )=( x2
x+ y− x3
( x+ y )2 )÷( x2−xy−x2
x2− y2 )=( x3+x2 y−x3
( x+ y )2 )∙(−( x− y ) ( x+ y )xy )= x ( y−x )
x+ y
32. x−2x ( x−2 )+4
+ 4 (1−x )+x2
8+x3 − 1x+2
= x−2x2−2 x+4
+ 4−4 x+x2
(x+2 ) ( x2−2 x+4 )− 1
x+2= x2−4+4−4 x+x2−x2+2x−4
( x+2 ) ( x2−2 x+4 )= x2−2 x−4
x3+8
33. b2
xy+ (b+x )2
x2−xy− (b+ y )2
xy− y2 =b2
xy+ b2+2bx+ x2
x ( x− y )−b2+2by+ y2
y (x− y )=b2 x−b2 y+b2 y+2bxy+x2 y−b2 x−2bxy−x y2
x ( x− y )= xy ( x− y )
xy ( x− y )=1
![Page 4: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/4.jpg)
34.(ax−ba+b
−bx+ab−a ) ∙( a2−b2
x2−1÷ a2+b2
x−1 )=( abx−b2−a2 x+ab−abx−b2 x−a2−abb2−a2 )∙ a2−b2
x2−1∙ x−1a2+b2=
−x (b2+a2)−(b2+a2 )b2−a2 ∙ a2−b2
(x−1 ) ( x+1 )∙ x−1a2+b2 =
( b2+a2 ) ( x+1 )a2−b2 ∙ a2−b2
( x−1 ) ( x+1 )∙ x−1a2+b2=1
35.( aa2−4
+ 8a2+2a ) ∙ a2−2 a
4−a+ a+8
a+2=( a
(a−2 ) (a+2 )+ 8
a (a+2 ) )∙ a (a−2 )4−a
+ a+8a+2
= a2−8 a+16a ( a−2 ) (a+2 )
∙ a (a−2 )4−a
+ a+8a+2
=(4−a )2
(a+2 )∙ 14−a
+ a+8a+2
=4−a+a+8a+2
= 12a+2
36.2b+a−4 a2−b2
ab3+2 a2 b−3 a2b
∙ a3 b−2a2b2+a b3
a2−b2 =
2 ab+a2−4a2+b2
ab (b2+2 a2−3a2 )
∙ab (a2−2ab+b2 )
a2−b2 = 2ab−3 a2+b2
b (b2+2a2−3a2 )∙ ab (a−b )2
(a−b ) (a+b )=a−b
a+b;
37. a+b−1a2+ab
+ a−b2 ab
∙( ba2−ab
+ ba2+ab )=a+b−1
a (a+b )+ a−b
2ab∙( b
a (a−b )+ b
a (a+b ) )=a+b−1a (a+b )
+ a−b2 ab
∙ ab+b2+ab−b2
a (a−b ) (a+b )=a+b−1
a (a+b )+ 1
a (a+b )= a+b
a ( a+b )=1
a;
38.( c+55 c−1
+ c+5c+1 )÷ c2+5 c
1−5 c+ c2+5
c+1=
(c+5 ) (c+1 )+(c+5 ) (5 c−1 )(5 c−1 ) (c+1 )
∙ 1−5 cc (c+5 )
+ c2+5c+1
=(c+5 ) (c+1+5 c−1 )
(5 c−1 ) (c+1 )∙ 1−5 cc (c+5 )
+ c2+5c+1
= −6c+1
+ c2+5c+1
= c2−1c+1
=c−1 ;
39 .Дараахь илэрхийллийн утга “а” параметрийн утгаас хамаарахгүй болохыг батал.
2−a5
+( 11−2 a )
2
÷( a+24a3−4 a2+a
− 2−a1−8 a3 ∙ 4a2+2 a+1
2 a2+a )=2−a5
+( 11−2 a )
2
÷ ( a+2a (4 a2−4 a+1 )
− 2−a(1−2 a ) ( 4a2+2 a+1 )
∙ 4 a2+2 a+1a (2a+1 ) )=2−a
5+( 1
1−2a )2
÷( a+2a (2a−1 )2
− 2−a(1−2a )
∙ 1a (2a+1 ) )=2−a
5+( 1
1−2a )2
÷ ( a+2+2a2+4 a−2+4 a+a−2a2
a (2a−1 )2 (2a+1 ) )=2−a5
+( 11−2 a )
2
∙ a (2a−1 )2 (2 a+1 )10 a
=2−a5
+ 1+2a10
=4−2a+1+2a10
=12
;
40.( y−37 y−4
− y−3y−4 )÷ 7 y−4
9 y−3 y2 +4 y−14
4− y=( ( y−3 ) ( y−4 )−( y−3 ) (7 y−4 )
(7 y−4 ) ( y−4 ) ) ∙ (7 y−4 )3 y (3− y )
+ 4 y−144− y
=¿
¿( y−3 ) ( ( y−4 )−(7 y−4 ) )
( y−4 )+ 4 y−14
4− y=−4
41. Дараахь илэрхийллийн утга “x”-ийн дурын утганд тогтмол болохыг батал.
( x2−2 x+44 x2−1
∙ 2 x2+xx3+8
− x+22 x2−x )÷ 4
x2+2 x− x+4
3−6 x=( x2−2 x+4
(2x−1 ) (2 x+1 )∙ x (2 x+1 )
( x+2 ) ( x2−2 x+4 )− x+2
x (2 x−1 ) )÷ 4x2+2 x
− x+43−6 x
=( 1(2 x−1 )
∙ x( x+2 )
− x+2x (2x−1 ) )÷ 4
x2+2 x− x+4
3−6 x= x2−x2−4 x−4
x (2 x−1 ) ( x+2 )∙ x ( x+2 )
4+ x+4
3 (2 x−1 )= x2−x2−4 x−4
(2 x−1 )∙ 14+ x+4
3 (2 x−1 )=
−4 ( x+1 )(2 x−1 )
∙ 14+ x+4
3 (2 x−1 )=
−( x+1 )(2 x−1 )
+ x+43 (2 x−1 )
=−3 x−3+x+43 (2 x−1 )
= −2 x+13 (2 x−1 )
=−13
;
42.( 13 p−q
+ 3 pq−427 p3−q3 )÷( 1
9 q2+3 pq+q3 +2−2 q
q3−27 p3 )=9 q2+3 pq+q2+3 pq−427 p3−q3 ÷ q−3 p+2−2q
q3−27 p3 =(3 p+q )2−427 p3−q3 ∙ q3−27 p3
2−3 p−q=
(3 p+q−2 ) (3 p+q+2 )2−3 p−q
=−(3 p+q+2 ) ;
43. Дараахь илэрхийллийн утга “n”-ийн дурын утганд тогтмол болохыг батал.
3 n+14n+4
−( n−4n+6 )
2
∙( n+2116−8 n+n2 −
n+316−n2 )=3 n+14
n+4−( n−4
n+6 )2
∙( n+21(4−n )2
− n+3(4−n ) ( 4+n ) )=3 n+14
n+4−( n−4
n+6 )2
∙( 4 n+84+n2+21 n−4 n−12+n2+3n )
( 4−n )2 (4+n )=3 n+14
n+4−( n−4
n+6 )2
∙(2 n2+24 n+72 )
(4−n )2 (4+n )=3n+14
n+4− 2
n+4=3n+12
n+4=3 ;
44.( 1+6aca3−8 c3 −
1a−2c )÷( 1
a3−8c3 −1
a2+2 ac+4 c2 )=( 1+6 ac(a−2c ) (a2+2ac+4 c2 )
− 1a−2 c )÷( 1
(a−2c ) (a2+2ac+4 c2 )− 1
a2+2ac+4c2 )=1+6ac−a2−2 ac−4 c2
a3−8c3 ∙ a3−8 c3
1−a+2 c=1−(a−2 c )2
1∙ 11−a+2 c
=1+a−2 c ;
45. Дараахь илэрхийллийн утга “x”-ийн дурын утганд тогтмол болохыг батал.
( x+5x2−81
+ x+7x2−18 x+81 )÷ ( x+3
x−9 )2
+ 7+x9+x
=( x+5( x−9 ) ( x+9 )
+ x+7(x−9 )2 )÷( x+3
x−9 )2
+ 7+x9+x
=( x2−45+5 x−9 x+x2+7 x+9 x+63( x−9 )2 ( x+9 ) )÷( x+3
x−9 )2
+ 7+x9+x
=( 2 x2+12 x+18( x−9 )2 ( x+9 ) )÷ ( x+3
x−9 )2
+ 7+x9+x
=2 ( x+3 )2
( x−9 )2 ( x+9 )∙
( x−9 )2
( x+3 )2+7+x
9+x= 2
1 ∙ ( x+9 )∙ 11+ 7+x
9+x= 2
( x+9 )+ 7+x
9+x=9+x
9+x=1;
![Page 5: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/5.jpg)
46.( 1c2−4c
+ 216−c2 +
14c+16 )÷( c−4
2c+8 )2
+ 4c+164c2−c3 =( 1
c ( c−4 )+ 2
(4−c ) (4+c )+ 1
4 (c+4 ) )÷( c−42c+8 )
2
+ 4 c+16c2 (4−c )
=( 4 c+46−8 c+c2−4 cc ( 4−c ) ( 4+c ) )÷( c−4
2 c+8 )2
+ 4 c+16c2 ( 4−c )
=(4−c )2
c (4−c ) ( 4+c )∙ 4 (c+4 )2
(4−c )2+ 4 c+16
c2 (4−c )= 4
c (4−c )∙ 4+c
1+ 4 c+16
c2 (4−c )= c2+4 c+4 c+16
c2 (4−c )=
(c+4 )2
c2 (4−c );
47. Дараахь илэрхийллийн утга “a”-ийн дурын утганд тогтмол болохыг батал.
[( a+1a−1 )
2
+3]÷ [( a−1a+1 )
2
+3]÷ a3+1a3−1
− 2 aa−1
=[ (a+1 )2+3 (a−1 )2
(a−1 )2 ]÷[ ( a−1 )2+3 (a+1 )2
(a+1 )2 ]÷ a3+1a3−1
− 2aa−1
=(a+1 )2+3 (a−1 )2
( a−1 )2÷ (a−1 )2+3 (a+1 )2
(a+1 )2÷ a3+1
a3−1− 2 a
a−1=a2+2 a+1+3 a2−6 a2+3
(a−1 )2÷ a2−2 a+1+3 a2+6 a2+3
(a+1 )2÷ a3+1
a3−1− 2 a
a−1=4 a2−4 a+4
( a−1 )2∙ ( a+1 )2
4 a2+4a+4∙ a3−1
a3+1− 2 a
a−1=
4 (a+1 ) (a3+1 )4 ( a−1 ) (a3−1 )
∙ a3−1a3+1
− 2 aa−1
=a+1−2 aa−1
=1−aa−1
=−1;
48. 9 y−273 y2− y3 +(3 y+9
y−3 )2
∙( 13 y−9
+ 29− y2 −
1y2+3 y )= 9 ( y−3 )
y2 (3− y )+(3 ( y+3 )
y−3 )2
∙( 13 y−9
+ 29− y2 −
1y2+3 y )=−9
y2 +9 ( y+3 )2
( y−3 )2∙( 1
3 ( y−3 )+ 2
(3− y ) (3+ y )− 1
y ( y+3 ) )=−9y2 +
9 ( y+3 )2
( y−3 )2∙( y2+3 y−6 y−3 y+9
3 ( y−3 ) y ( y+3 ) )=−9y2 +
9 ( y+3 )2
( y−3 )2∙
( y−3 )2
3 ( y−3 ) y ( y+3 )=−9
y2 +3 ( y+3 )
1∙ 1
( y−3 ) y=−9 y+27+3 y2+3 y
( y−3 ) y2 =3 y2−6 y+27( y−3 ) y2 =
3 ( y2−2 y+9 )( y−3 ) y2 ;
49.Дараахь илэрхийллийн утга “b”-ийн дурын утганд тогтмол болохыг батал.
12b−4 b2
2b+3+ 1
2 b−3÷( 4
4b2−9− 6 b−9
8b3+27 )=12 b−4 b2
2b+3+ 1
2 b−3÷( 4
(2 b−3 ) (2 b+3 )− 6 b−9
(2 b+3 ) ( 4 b2−6 b+9 ) )=12 b−4b2
2 b+3+ 1
2b−3÷( 16 b2−24 b+36−12 b2+18 b+18 b−27
(2 b−3 ) (2 b+3 ) ( 4 b2−6b+9 ) )=12b−4b2
2b+3+ 1
2b−3÷( 4 b2+12 b+9
(2b−3 ) (2b+3 ) ( 4b2−6 b+9 ) )=12 b−4 b2
2b+3+ 1
2 b−3∙
(2 b−3 ) (2b+3 ) ( 4 b2−6 b+9 )(2b+3 )2
=12 b−4 b2+4 b2−6b+92b+3
=6b+92b+3
=3;
50. 9a(3−a )2
−1 ÷( aa−3
+ 12 a2−9 a27−a3 + 9
a2+3a+9 )= 9 a(3−a )2
−1÷( aa−3
+ 12 a2−9 a(3−a ) (a2+3 a+9 )
+ 9a2+3 a+9 )= 9 a
(3−a )2−1÷( a3−9a2+27 a−27
(3−a ) (a2+3a+9 ) )= 9 a(3−a )2
−1÷ ( a−3 )3
(3−a ) ( a2+3a+9 )= 9 a
(3−a )2−
(a2+3a+9 )(a−3 )2
=−(a−3 )2
(a−3 )2=−1 ;
51. x−4x−2
÷( 80 xx3−8
+ 2 xx2+2 x+4
− x−162−x )− 6 x+4
( 4−x )2= x−4
x−2÷( 80 x
( x−2 ) ( x2+2 x+4 )+ 2 x
x2+2 x+4+ x−16
x−2 )− 6 x+4( 4−x )2
= x−4x−2
÷ ( 80 x+2 x2−4 x+x3+2 x2+4 x−16 x2−32 x−64( x−2 ) ( x2+2 x+4 ) )− 6 x+4
( 4−x )2= x−4
x−2÷( x3−12 x2+48 x−64
( x−2 ) ( x2+2 x+4 ) )− 6 x+4(4−x )2
= x−4x−2
∙( x−2 ) ( x2+2 x+4 )
( x−4 )3− 6 x+4
(4−x )2= x2+2x+4−6x−4
( x−4 )2= x2−4 x
(x−4 )2=
x ( x−4 )( x−4 )2
= xx−4
;
52.Дараахь илэрхийллийн утга “t”-ийн дурын утганд тогтмол болохыг батал.
[ 3+t(3−t )2
− 69−t2 +
3−t(t +3 )2 ]÷ 24 t 2
81−t 4 + 2t2
t2−9=[ 27+27 t+9 t2+t 3−54+6 t2+27−27 t+9 t2−t 3
(9−t2 )2 ]÷ 24 t 2
81−t 4 +2t 2
t2−9= 24 t 2
( 9−t 2 )2∙
( 9−t 2 ) ( 9+t 2 )24 t2 + 2 t2
t 2−9= 9+t2
9− t2 −2t 2
9−t2 =1 ;
53.(3a+2 x+ 3a+2 x3 a−2 x )÷ ( 6 a+1
9 a2−4 x2 +1)− 13a+2 x+1
=(3a+2 x ) (3 a−2 x )+3 a+2 x
3 a−2x÷( 6a+1+9 a2−4 x2
9 a2−4 x2 )− 13a+2 x+1
=(3a+2 x ) (3a−2 x+1 )
3a−2x÷
(3 a+1 )2−4 x2
9a2−4 x2 − 13a+2x+1
=(3a+2 x ) (3 a−2x+1 )
3 a−2 x∙
(3 a+2 x ) (3a−2 x )(3 a+2 x+1 ) (3a−2 x+1 )
− 13 a+2x+1
=(3a+2x )2
(3 a+2x+1 )− 1
3 a+2 x+1=
(3a+2 x+1 ) (3 a−2 x+1 )3a+2x+1
=3a+2 x−1 ;
54. 15 x− y−1
−(5 x− y−5 x− y5 x+ y )÷(1− 10 x−1
25 x2− y2 )= 15 x− y−1
−( (5x+ y ) (5 x− y )−5 x− y5 x+ y )÷(25 x2− y2−10 x+1
25 x2− y2 )= 15 x− y−1
−( (5 x+ y−1 ) (5x− y )5 x+ y )÷ ( (5 x−1 )2− y2
25 x2− y2 )= 15 x− y−1
−(5x+ y−1 ) (5 x− y )
5 x+ y∙ (5x+ y ) (5 x− y )
(5 x+ y−1 ) (5 x−1+ y )= 1
5 x− y−1−
(5x− y )2
5 x− y−1=
(5 x+1− y ) (1−5 x+ y )5 x− y−1
= y−5 x−1 ;
55. x+2y−1
+ 2 x− y−1( x−1 ) (x− y )
÷[ x− yx2+xy− y−1
− x−1x2+x− y− y2 ]= x+2
y−1+ 2 x− y−1
( x−1 ) (x− y )÷[ x− y
x2−1+xy− y− x−1
x2− y2+x− y ]= x+2y−1
+ 2 x− y−1( x−1 ) ( x− y )
÷[ x− y( x−1 ) ( x+1 )+ y ( x−1 )
− x−1( x− y ) ( x+ y )+ x− y ]= x+2
y−1+ 2 x− y−1
( x−1 ) ( x− y )÷ [ x− y
( x−1 ) ( x+ y+1 )− x−1
( x− y ) ( x+ y+1 ) ]= x+2y−1
+ 2 x− y−1( x−1 ) (x− y )
÷ ( x− y )2−( x−1 )2
( x−1 ) ( x+ y+1 ) ( x− y )= x+2
y−1+ 2 x− y−1
( x−1 ) ( x− y )∙ ( x−1 ) (x+ y+1 ) ( x− y )
( x− y−x+1 ) ( x− y+x−1 )= x+2
y−1+ x+ y+1
( y−1 )= x+2−x− y−1
( y−1 )= 1− y
( y−1 )=−1 ;
56.( 2a+c4 a2−2 ac−c−1
− 2 a+14 a2−2 a−c−c2 )∙ (2a+c ) (2 a+1 )
4 a+c+1− 2 a−2
2a−c−1=( 2 a+c
(2a+1 ) (2 a−1 )−c (2 a−1 )− 2a+1
(2a−c ) (2 a+c )−(2a+c ) )∙ (2a+c ) (2a+1 )4 a+c+1
− 2 a−22 a−c−1
=(2a+1+2a+c ) (2a+c−2a−1 )
(2a+1 ) (2a−c−1 ) (2 a+c )∙ (2 a+c ) (2a+1 )
4a+c+1− 2a−2
2a−c−1=
1∙ (2 a+c−2 a−1 )1∙ (2 a−c−1 ) ∙1
∙ 1 ∙ 11
− 2a−22a−c−1
=(c−1 )
(2 a−c−1 )− 2 a−2
2 a−c−1= c+1−2 a
2a−c−1=−1;
57.( 4a2−4 a
−3a+32a3−64 )÷ a−8
a3+4 a2+16 a− 4
4−a=( 4
a (a−4 )− 3a+32
(a−4 ) (a2+4 a+16 ) ) ∙ a (a2+4 a+16 )a−8
− 44−a
=( 4 a2+16 a+64−3 a2−32 aa (a−4 ) ( a2+4 a+16 ) ) ∙ a ( a2+4 a+16 )
a−8− 4
4−a=a2−16 a+64
(a−4 ) ∙ 1∙ 1
a−8− 4
4−a= a−8
a−4+ 4
a−4=1 ;
58. 9x2−9
+ x4+3 x3+9 x2
( x+6 )2∙( 1
9−x2 +9
27−x3 )= 9x2−9
+x2 ( x2+3x+9 )
( x+6 )2∙( 1
(3−x ) (3+x )+ 9
(3−x ) ( x2+3 x+9 ) )= 9x2−9
+x2 ( x2+3 x+9 )
( x+6 )2∙( x2+3 x+9+27+9 x
(3+x ) (3−x ) ( x2+3 x+9 ) )= 9x2−9
+ x2
( x+6 )2∙ ( x+6 )2
9−x2 =9−x2
x2−9=−1 ;
![Page 6: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/6.jpg)
59. 54 p+3q
∙ [ 3q+5(4 p−5 )2+3 q ( 4 p−5 )
− 4 p−512 pq+9 q2+20 p−25 ]= 5
4 p+3 q∙[ 3 q+5
( 4 p−5+3 q ) (4 p−5 )− 4 p−5
4 p (3q+5 )+ (3 q+5 ) (3q−5 ) ]= 54 p+3 q
∙[ (3q+5+4 p−5 ) (3q+5−4 p+5 )(5+3 q ) (4 p−5 ) (4 p+3q−5 ) ]= 5
4 p+3 q∙[ (3 q+4 p ) (3q−4 p+10 )
(5+3 q ) (4 p−5 ) (4 p+3 q−5 ) ];60.( 2m−5
4 m2+6mn+15 n−25+
2m−3n−525−4 m2 )÷ 3n2
(2m−5 )2+3n (2m−5 )−
6 (m+3 )2 m+5 =( 2m−5
(2m−5 ) (2 m+5 )+3n (2m+5 )+
2m−3n−5(2m−5 ) (2m+5 ) )÷ 3 n2
(2m−5 ) (2m−5+3n )−
6 (m+3 )2 m+5 =
((2m−5 )2−(2m−5 )2+9n2 )(2 m−5 ) (2 m+5 ) (2 m+3 n−5 )
∙(2 m−5 ) (2 m−5+3 n )
3 n2 −6 (m+3 )2m+5 =
31 ∙ (2 m+5 ) ∙1
∙ 1∙ 11 −
6 ( m+3 )2m+5 =
3−6 m−182 m+5 =
−6m−152 m+5 =−3 ;
61.( 2x+9x2−x−42
− x+62 x2−5 x−63 ) ∙( 4
x+5+ 12
x+3 )=( 2x+9( x+6 ) ( x−7 )
− x+6(2 x+9 ) ( x−7 ) ) ∙( 4 x+12+12x+60
(x+5 ) ( x+3 ) )= (2x+9+x+6 ) (2 x+9−x−6 )( x+6 ) ( x−7 ) (2 x+9 )
∙ 16 x+72(x+5 ) ( x+3 )
= 3 (x+5 ) ( x+3 )(x+6 ) ( x−7 ) (2 x+9 )
∙ 8 (2 x+9 )(x+5 ) ( x+3 )
= 3∙ 1(x+6 ) ( x−7 )∙ 1
∙ 8 ∙ 11
= 24(x+6 ) ( x−7 )
;
62.[ x2+24(2x−5 )2
+ 85−2 x ]÷[ 1
(2 x−5 )2− 2
2x2+x−15+ 1
( x+3 )2 ]= x2+24+40−16 x(2 x−5 )2
÷ [ x2+6 x+9−4 x2−2 x+30+4 x2−20 x+25(2 x−5 )2 (x+3 )2 ]= ( x−8 )2
(2 x−5 )2∙
(2 x−5 )2 ( x+3 )2
x2−16 x+64=( x+3 )2;
Бүлэг 5,5
Үржигдэхүүн болгон задлах
128. 2 a>0b>0бол √(a+b )+2√ab=√(√a )2+ (√b )2+2√a ∙√b=√(√a+√b )2=√a+√b
a>b>0бол √a+b−2√ab=√ (√a )2+(√b )2−2√a ∙√b=√(√a−√b )2=√a−√b
1. √9+4√5=√ (2+√5 )2=2+√52. √28+10√3=√ (5+√3 )2=5+√33. √6−2√5=√5−14. √8−2√7=√7−15. √11−4√7=2−√76. √24−6√15=√15−3
131.
1. 2√2
=(√2 )2
2 =√2
2.7√7
=√7
3.15
√3 ∙√5= 15
√15=√15
4.28
√2 ∙√7=2 ∙14
√14=2√14
5. x2−8x+2√2
=( x−√8 ) ( x+√8 )
x+√8=x−√8=x+2√2
6. a2−27a−3√3
=a+3√3
![Page 7: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/7.jpg)
7. x−6√x−√6
=(√x )2−(√6 )2
√x−√6=
(√ x−√6 ) (√ x+√6 )√x−√6
=√x+√6
8. a−40√a−2√10
=(√a−√40 ) (√a+√40 )
√a−√40=√a+√40
9. 2 a2−10√a+√5
=2 ( a−5 )√a−√5
=2 (√a+√5 )
10. 30−3 x2
√10−x=
3 (10−x2)√10−x
=3 ( √10+x )
132. Дараах илэрхийллүүдээс нийлбэр эсвэл ялгаварын бүтэн квадрат ялгаарай.
1. 3+2√2=1+2√2+2=(1+√2 )2
2. 7+4√3=(2+√3 )2
3. 28+10√3=(5+√3 )2
4. (16+6 √7 )=(3+√7 )2
5. 46−12√10=(6−√10 )2
6. 19−8√3=(4−√3 )2
7. 54−14√5=(7−√5 )2
8. 92−18√11=(9−√11 )2
9. 5+2√6=(√3+√2 )2
10. 7+2√6= (1+√6 )2
11. 12+2√35=(√7+√5 )2
12. 10+2√21=(√7+√3 )2
13. 5−2√6=(√3−√2 )2
14. 12−2√35=(√7−√5 )2
133. Бутархайг хураа
1. 8+2√71+√7
=1+2√2+ (√77 )2
1+√7=1+√7
2. 7−2√10√5−√2
=(√5−√2 )2
√5−√2=√5−√2
3. 7−2√10√2−√5
=(√2−√5 )2
√2−√5=√2−√5
4. 9−2√14√7−√2
=(√7−√2 )2
√7−√2=√7−√2
134.
1. √4−2√3+√7−4√3=√3−1+2√3=12. √14−6√5+√9−4√5=3−√5+√5−2=13. √9−2√14−√17−2√70=√7−√2−(√10−√7 )=2√7−√10−√24. √8−2√15−√15−2√50=√5−√3−√10+√5=2√5−√3−√10
![Page 8: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/8.jpg)
135. Илэрхийллийн хуваарийг язгуураас чөлөөл.
1. √ 29=√2
3
2. √ 37=√ 3 ∙7
7 ∙ 7=√21
7
3. √3 13=√ 10∙ 3
3 ∙3=√30
3
4. x √ x ∙ yy ∙ y
=z√ xy
y
5. 6 m√ m2 n
=6 m√m
2 n=
3 m√mn
6. 3 x2 y √ 12xy
=3 x ∙√ 12 x2 y2
xy=6 x√ xy
136. Илэрхийллийг a√b хэлбэртэй болго. / энд aϵQ bϵ Ν /
1.1
√14= √14
√14 ∙√14= 1
14=√14
2.4√5
= 4 ∙√5√5 ∙√5
=15 √5
3.5√6
=56
∙√6
4.8
√21= 8
21∙√21
137. Дараах тоонуудыг жишээрэй.
1. 2√3ба 3√22√3=√12<3√2=√18 2√3<3√22. 5√3ба 4√5√75<√80 5√3<4 √53. 2−√5ба 3−√10 2−2.2333 ба 3−3.162−0,233←0.162 2−√5<3−√10
4. 1+√5ба2+√31+2.23<2+1.723.23<3.721+√5<2+√3
5. 3+√7ба 2+√103+2.65>2+3.165.65>5.163+√7>2+√10
6. 7−√10 ба 9−√297−3.16>9−5.383.84>3.627−√10>9−√29
![Page 9: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/9.jpg)
Бүлэг 5.6Иррациональ илэрхийллийг хялбарчлах
138. Илэрхийллийг хялбарчил.
1.4 √a−1a−√a
− 3√a
+ 2√a−1
= 4 √a−1√a (√a−1 )
− 3√a
+ 2√a−1
=4 √a−1−3√a+3+2√a√a (√a−1 )
2.3
√b+4− 3
√b+ 2−3√b
b−4 √b= 3
√b+4− 3
√b+ 2−3√b
√b (√b−4 )=3b−12√b−3 b+48+2√b+4−3 b+12√b
√b (√b+4 ) (√b−4 )= 52+2√b−3b
√b (√b+4 ) (√b−4 )
3.√h−2
h (√h+2 )− h−7
√h (h+4√h+4 )+3=h+4−h√h+7√h+h√h+4 h+4 √h
h (√h+2 )2=5 h+11√h−4
h (√h+2 )2
4.2− y
√ y ( y−2√ y+1 )−2+ √ y+1
y (√ y−1 )=2√ y− y √ y−2 y√ y+4 y−2√ y+ y−1
y (√ y−1 )2= 5√ y−3 y
y (√ y−1 )2=5√ y−3 y√ y−1
y (√ y−1 )2
5.5√h−7
h−4−3√h−2
2−√h= 5√h−7
(√h+2 ) (√h−2 )+3 √h−2
√h−2=5√h−7+3 h+6√h−2√h−2
(√h+2 ) (√h−√2 )= 3 h+9√h−9
(√h+2 ) (√h−2 )
6.2+3√t
t−9−5−2√t
3−√ t= 2+3√ t
(√ t−3 ) (√t +3 )+5−2√t
√ t−3=2−3√ t+5√ t+15−2 t−6√t
(√t−3 ) (√t +3 )= 17−4 √t−2 t
(√ t−3 ) (√t +3 )7.
30 α−26√αβ9 α+6√αβ+ β
∙ √ β+3√α2α
− √α−1√β+10√α
: 2 α−2√α100 α−β
= 2√α (15√α−13√β )(3√α+√ β ) (3√α−√ β )
∙ √ β+3√α2√α
− √α−1√β+10√α
∙(√ β+10√α ) (10√α−β )
2√α (√α−1 )=¿
¿ 15√α−13√ β√α (3√α−√β )
−10√α−√β2√α
=30√α−26√β−30√α +10√βα +3√αβ−β2√α (3√α−√β )
=30√α−30 α−26 √β+13√αβ−β2√α (3√α−√ β )
8.
39t−12√ tz36 t−4 z ∙ 2√ z+6√t
3√z−3√t−2√ z
2√z+√ t: 3√tz−2 z9 t +12√tz+42
=3√ t (13√ t−4 √z )
( 6√t−2√ z ) (6 √t +2√z )∙ 2√ z+6√t
3√t−3√t−2√ z
2√z+3√ t∙
(3√ t+2√ z )2
√z (3√ t−2√z )=¿
13√t−4√ z2 (3√t−√z )
−3√ t+2√ z√ z
=13√ t z−4 z−18 t−12√ tz+6√ tz+4 z2 (3√ t−√z )
= 7 √tz−18 t2 (3√ t−√z )
139. Илэрхийллийг хялбарчил.
1. Хэрэв −1<x<1 бол √ x2+4 x+4+√x2−6 x+9√ x2−6 x+9=|x−3|x−3 ≥ 0 үед√ x2−6 x+9=x−3 x−3≤ 0 үед√x2−6 x+9=3−x−1<x<1 нь x<3 завсарт багтах учир√ x2+4 x+4+√x2−6 x+3=x+2+3−x=5
2. Хэрэв 0 ≤ x≤ 3 бол √ x2−8 x+16+√x2+2 x+1=|x−4|+ x+1
x−4≥ 0 x ≥ 4 үед √ x2−8 x+16=x−4 x−4 ≤ 0 x ≤ 4 үед√ x2−8 x+16=4−x
![Page 10: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/10.jpg)
0 ≤ x≤ 3нь x≤ 4 завсарт багтах учир√ x2−8 x+16+√ x2+2 x+1=4−x+x+1=53. Хэрэв −2<x<0 бол √ x2+6 x+9+√x2−2 x+1=x+3+|x−1|
√ x2−2x+1 нь x−1≥ 0 x ≥1 үед√ x2−2 x+1=x−1 x−1 ≤ 0 x ≤1 үед√x2−2 x+113−x−2<x<0 нь x ≤1 завсартбагтах учир√x2+6 x94+√ x2−2 x+1=x+3+1−x=4
4. Хэрэв −1 ≤ x ≤ 4 бол √ x2−10 x+25+√x2+4 x+4=|x−5|+x+2
√ x2−10 x+25нь x ≥5 үед x−5 тайx<5үед5−x тэй тэнцэнэ.
−1≤ x ≤ 4 нь x<5 завсартбагтах учир−1 ≤ x ≤ 4√ x2−10 x+25+√x2+4 x+4=5−x+x+2=7
140. Иррационалт илэрхийлэл.Илэрхийллийг хялбарчил.
1. √a√a−√b
− b√a+√b
=a+√ab−√ab+ba−b
= a+ba−b
2.1
a+a√b− 1
a−a√b=1−√b−1−√b
a(1−b)= 2√b
a (1−b)
3.a
√ac+c+ c
√ac−a−a+c
√ac=a√ac−a2+c √ac+c2−c2+a2
√ac (c−a )=√ac (a+c )
c−a= c+a
c−a
4.1
a+√a2−b2+ 1
a−√a2−b2=a−√a2−b2+a+√a2+b2
a2−( a2−b2 )=2a
b2
5.
54−√11
+ 13−√7
− ❑√7−2
−√7−52
=5 (4−√11)
16−11+ 3+√7
9−7−√7+2
7−4−√7−5
2=4−√11+ 3+√7
2−√7+2
3−√7−5
2=24−6√11+9+3√7−2√7−4−3√7+15
6=44−6√11−2√7
6=11−3√11−√7
3
6.
4√5−√2
+ 3√5−2
− 2√3−2
+ √3−16
=4(√5−√2)
5−2+
3 (√5+2)5−4
−2(√3−2)
3−4+ √3−1
6=4 √5+4√2
3+ 3√5+6
1+2√3+4
1+ √3−1
6=8√5+8√2+18√5+36+12√3+24+√3−1
6=26√5+8√2+13√3+39
6
7. √2+1√2−1
+ √2−1√2+1
−√2+32
=3+2√21
+ 3−2√21
−2+3√22
=10−3√22
8. √5−√3√5+√3
+ √5+√3√5−√3
− √5+1√5−1
=8−2√152
+8+2√152
−6−2√54
=13+√52
9. (1+ a√a2−b2 ): (a+√a2−b2 )=√a2−b2+a
√a2−b2∙ 1a+√a2−b2
= 1√a2−b2
10. ( 3√1+x
+√1−x) :( 3√1−x2
+1)= 3+√1−x2
√1+x: √1−x2
3+√1−x2=√1−x
![Page 11: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/11.jpg)
11. (√a+ a b2+c√a b2+c ) : (b√a+b√a b2+c )=(√a+√a b2+c ): b (√a+√a b2+c)=1
b
12.
( m+√m2−n2
m−√m2−n2 −m−√m2−n2
m+√m2−n2 ) : 4m √m2−n2
n2 =m2+m2−n2+2m √m2−n2−m2−m2+n2+2m√m2−n2
m2−m2+n2 : 4 m√m2−n2
n2 =4m √m2−n2
n2 ∙ n2
4 m√m2−n2 =1
13.
n+2+√n2−4n+2−√n2−4
+ n+2−√n2−4n+2+√n2−4
=(n+2 )2+n2−4+2 (n+2 ) √n2−4+ ( n+2 )2+n2−4−2 (n+2 )√n2−4
(n+2 )2−n2+4=
2 (n2+4 n+4+n2−4 )n2+4 n+4−n2+4
=4n2+8n4 n+8
=n
14.
(√a+ b−√ab√a+√b ):( a
√ab+b+ b
√ab−a+ a+b
√ab )=a+√ab+b−√ab√a+√b
: ( a(√a+√b )√b
+ b√a (√b−√a )
+ a+b√ab )= a+b
√a+√b: a√ab−a2+b √ab+b2+a2−b2
√ab (b−a )= a+b
√a+√b: √ab (√b−√a ) (√b+√a )
√ab (a+b )=√b−√a
15.
√a+√b−1a+√ab
+ √a−√b2√ab
∙( √ba−√ab
+ √ba+√ab )= √a+√b−1
√a (√a+√b )+ √a−√b
2√ab∙ a√b+b√a+a√b−b√a
√a ( a−b )= √a+√b−1
√a (√a+√b )+ √a−√b
2√ab∙ 2 a√b√a (√a−√b ) (√a+√b )
= √a+√b−1√a (√a+√b )
+ √b√a (√a+√b )
=√a+2√b−1√a (√a+√b )
141. Батал
1. x>1бол x+√( x−1 )2=2 x+1x<1бол x+√( x−1 )2=1Баталгаа: x>1бол|x−1|= x−1x+√ ( x−1 )2=x+|x−1|=x+x−1=2 x−1
x<1бол|x−1|=−x+1 x+√ (x−1 )2=x+√x−1=x−x+1=1
2. m>nбол (m−n ) ∙√ m+n( m−n )2
=√m+n
m<nбол (m−n ) ∙√ m+nm−n2 =−√m+n
Баталгаа: m−n>0бол|m−n|=m−n (m−n ) ∙√ m+n(m−n )2
= (m−n )√m+n|m−n|
= (m−n ) √m+nm−n
=√m+n
m−n<0бол|m−n|=n−m (m−n ) ∙√ m+n(m−n )2
=(m−n )√m+n
(m−n )=−√m+n
Бүлэг 6Рационал тоо, үет бутархай
142. Үет аравтын бутархайг энгийн бутархайд шилжүүл.
1. 0 , (354 )=354999
2. 5 , (27 )=5 2799
3. 0,5 (36 )=536−5990
=531990
4. 2,4 (9 )=2 49−490
=2 4590
=2 12
![Page 12: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/12.jpg)
5. 2,45 (3 )=2 453−45900
=2 408900
6. 67,5 (23 )=67 523−5990
=67 518990
7. 7,06 (8 )=7 68−6900
=7 62900
8. 0,108 (45 )=10845−10899000
=1073799000
9. 13,6 (5 )=13 65−690
=13 5990
10. 0,375 (28 )=37528−37599000
=3715399000
143. Үет аравтын бутархайг энгийн бутархайд шилжүүл.
1. 0,23 (7 )=237−23900
=214900
2. 7,5 (3 )=7 53−590
=7 4890
3. 2,1 (32 )=2 132−1990
=2 131990
4. 0,5 (61 )=561−5990
=556990
5. 0,1 (6 )=16−190
=1590
6. 0 , (3 )=39
7. 1,1 (6 )=1 16−190
=1 1590
8. 0,13 (6 )=136−13900
=123900
144. Үет аравтын бутархайг энгийн бутархайд шилжүүл.
1. 1,23 (7 )=1 237−23900
=1 214900
2. 2,23 (9 )=2 239−23900
=2 216900
=2 24100
=2 625
3. 0 , (394 )=394999
4. 9,89 (5736 )=9 895736−89999900
=9 895747999900
145. Энгийн бутархайг аравтын бутархайд шилжүүл.
1.13=0 , (3 )
2.17=0 , (142857 )
![Page 13: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/13.jpg)
3.911
=0 , (81 )
4.4
21=0 , (1904761 )
5.344343
=2918
=1,6 (1 )
146. Дараахь тоонуудыг жишээрэй.
1) 0.42857 ба 37
37=0.428571 > 0.42857
2) 56
ба 0,8(32)
56=0.8333>0.8(32)
147. Тоонуудын бүхэл хэсгийг нэрлэ.
1. [15,751000…]=152. [-15,751000…]=-143. [314,32666…]=3144. [-314,32666…]=-3135. [0,888…]=06. [-0,888…]=-17. [1,111…]=18. [2,965774..]=2
Бүлэг 7
Квадрат функцийн график
148. f ( x )=15
x2 бол дараахь хүснэгтийг нөхөж, функцийн графикийг байгуул.
х 0 ± 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5f ( x ) 0 1
545
95
165
255 =5
![Page 14: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/14.jpg)
f (−2.5 )=15
(−2.5 )2=15
∙6.25=1.25 ; f (−2.5 )=15
(2.5 )2=15
∙6.25=1.25 ;
f (−3.5 )=15
(−3.5 )2=15
∙ 12.25=2.45; f (3.5 )=15
(3.5 )2=15
∙12.25=2.45;
g ( x )=−15
x2 графикийг байгуул.
g (2.5 )=−15
(2.5 )2=−15
∙6.25=−1.25 ; f (−2.5 )=−15
(−2.5 )2=−15
∙ 6.25=−1.25 ;
g (3.5 )=−15
(3.5 )2=−15
∙ 12.25=−2.45 ;g (−3.5 )=−15
(−3.5 )2=−15
∙ 12.25=−2.45 ;
149. y=2 x2 функц ба a) y=200 б) y=800 b) y= 50x г) y = - 3200x функцүүдийн огтлолын цэгийн координатыг тэдгээрийн графикийг нь байгуулахгүйгээр олоорой.
200=2 x2 ;100=x2; x1,2=± 10 ;800=2 x2; 400=x2 ;x1,2=±20 ;
50 x=2 x2 ;2 x (25−x )=0 ;x1=0; x−25=0 ; x2=25 ;
−3200 x=2 x2 ;2 x ( x+1600 )=0 ; x1=0 ; x2=−1600 ;
150. y=−25 x2 функцийн графикт а) A(-2;-100) b) B(2;100) c)C(15
;−1¿ цэгүүд харъяалагдах
уу?
y=−25 (−2 )2=−25 ∙4=−100 ;учир А цэг харъяалагдана.
![Page 15: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/15.jpg)
y=−25 (2 )2=−25 ∙ 4=−100 ; учир В цэг харъяалагдахгүй.
y=−25( 15 )
2
=−25 ∙ 125
=−1;учир С цэг харъяалагдана.
154. y=x2 функцийн графикийг ашиглан дараахь функцүүдийн графикийг байгуул.
159. Дараахь функцийн графикийг байгуулаарай.
![Page 16: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/16.jpg)
163.Квадрат гурван гишүүнтийн графикийг байгуул.
![Page 17: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/18.jpg)
165.y=x2−2 функцийн графикийг байгуул..Функцийн утга эерэг ба сөрөг байх “х”-ийн утгуудыг олоорой.
Функцийн утга эерэг байх : x∈ ¿−∞;−1. 5¿¿∪¿
Функцийн сөрөг байх : х∈ [−1,5;1.5 ]
166.y=−x2+4 функцийн графикийг байгуул..Функцийн утга эерэг ба сөрөг байх “х”-ийн утгуудыг олоорой.
Функцийн утга сөрөгбайх : x∈ ¿−∞;−2¿¿∪¿
Функцийн эерэгбайх : х∈ [−2 ;2 ]
167.y=x2−2 x функцийн графикийг байгуул..Функцийн утга эерэг ба сөрөг байх “х”-ийн утгуудыг олоорой.
![Page 19: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/19.jpg)
Функцийн утга эерэг байх : x∈ ¿−∞; 0¿¿∪¿
Функцийн сөрөг байх : х∈ [ 0 ;2 ]
168.y=x2+2 x функцийн графикийг байгуул..Функцийн утга эерэг ба сөрөг байх “х”-ийн утгуудыг олоорой.
Функцийн утга эерэг байх : x∈ ¿−∞;−2¿¿∪¿
Функцийн сөрөг байх : х∈ [−2;0 ]
169. Дараахь тэгшитгэлүүдийн графикийг байгуул.
![Page 20: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/20.jpg)
170. y=4 x2−4 функцийн график А (−0,5 ;−3 ) цэгийг дайрах ба В (1 ;−4 ) ийг дайрахгүй болохыг батал.
172. Функцийн графикийг байгуул.
![Page 21: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/21.jpg)
173. Графикийг байгуул.y= f ( x ) функц өгөгдөв.f ( x )={−x2+4 ;−3 ≤ x≤ 1−12
x+2 ;1≤ x≤ 5
Бүлэг 8
Зэрэгт функц
8.1 Зэрэгт функцийн график, хэрэглэх
181. Дараахь функцүүдийн графикийг байгуул.
![Page 22: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/23.jpg)
182. Функцийн графикийг байгуул.
![Page 24: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/24.jpg)
183. Дараахь функцүүдийн графикийг байгуул.
![Page 25: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/26.jpg)
184. Дараахь зураг дээр дүрслэгдсэн графикуудын тэгшитгэлийг бичээрэй.
![Page 27: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/27.jpg)
Бүлэг 9
Модультай шугаман функц
Модультай хялбар шугаман функцийн график байгуулах
185. Дараахь функцүүдийн графикийг байгуул.
![Page 28: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/30.jpg)
186. Дараахь функцүүдийн графикийг байгуул.
![Page 31: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/32.jpg)
187. Дараахь функцүүдийн графикийг байгуул.
![Page 33: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/34.jpg)
Бүлэг 10
Квадрат тэгшитгэл
10.1 Гүйцэд биш квадрат тэгшитгэл
188. Тэгшитгэлийг бод.
1) 3 x2=4 x2=43
;|x|=√ 43=2√3
3;2. 5 x2=8 ; x2=8
5;|x|=√ 8
5=2√10
5;
3.2 x2+18=0; x2=−9 ;x=∅ ;4.5 x2+125=0 ; x2=−25 ; x=∅
5. 23
x2−23=0; 2
3x2=2
3; x2=1 ;|x|=1 ;6. 3
5x2−5
3=0; 3
5x2=5
3; x2=1 ;|x|=1 ;
7.1−4 x2=0 ; x2= 14
;|x|=12
;8.1−9 x2=0 ; x2=19
;|x|=13
;
10. 121−x2=0 ; x2=121;|x|=11;11. x2+9=0 ; x2=−9 ; x=∅ ;
12. x2+16=0 ; x2=−16 ; x=∅ ;13. 10 x2−121=0 ; x2=1.21;|x|=1.1 ;
14. 10 x2=0.4 ; x2=0.04 ;|x|=0.2;15. 3 ( x2−2 )=2 ( x2−3 ) ;3 x2−6=2 x2−6 ;
x2=0 ; x=0 ;
16. 6 (3−x2 )=13+5 ( 1−x2 );18−6 x213+5−5 x2 ; x2=0 ; x=0 ;
17. t2−2t=0 ; t ( t−2 )=0 ;[ t=0t−2=0
; [ t=0t=2
↔ t={0 ;2 }
![Page 35: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/35.jpg)
18. p2+10 t=0 ; p ( p+10 )=0; [ p=0t+10=0
;[ t=0t=−10
↔t= {−10 ;0 }
19. 5u2−7 u=0;u (5 u−7 )=0 ; [ u=05u=7
;[ u=0
u= 75=1.4
↔ u= {0 ;1.4 }
20. 7 x2−14 x=0 ;7 x ( x−2 )=0 ;[ x=0x−2=0
; [x=0x=2
↔ x= {0 ;2 }
21. 1.2 x+0.6 x2=0 ;0.6 x (2+x )=0 ;[ x=0x+2=0
;[ x=0x=−2
↔ x= {−2;0 }
22. 16
a+ 13
a2
=0 ; 16
a (1+2a )=0 ;[ a=01+2 a=0
; [ a=0
a=−12
↔ a={−12
;0}23. 2.7 m=0.1 m2;0.1 m (m−2.7 )=0 ; [ m=0
m−2.7=0; [ m=0
m=2.7↔m= {0 ;2.7 }
24. 4.2 q=0.2 q2 ;0.2 q (q−2.1 )=0 ; [ q=0q−2.1=0
;[ q=0q=2.1
↔ q={0 ;2.1 }
25. 23
ϑ (ϑ+6 )=15
ϑ (5ϑ−10 ); 23
ϑ 2+6ϑ=ϑ 2−10 ϑ ;
13
ϑ2
−16 ϑ=0; 13
ϑ (ϑ−16 )=0 ; [ ϑ=0ϑ−16=0
;[ ϑ=0ϑ=16
↔ ϑ={0 ;16 }
26. r (3−r )=r (7+r ) ;3 r−r2=7 r+r2 ;2r (5+r )=0 ;[ r=0r+5=0
;[ r=0r=−5
↔ r= {−5;0 };
10. 2 Гүйцэд квадрат тэгшитгэл.Квадрат тэгшитгэл бодох томъёо.
a x2+bx+c=0 ;a (x2+ ba
x+ ca )=a (x2+2 ∙ b
2ax+ b2
4 a2 −b2
4 a2 +ca )=a [(x+ b
2 a )2
− b2−4ac4 a2 ]=0 ;a ≠ 0 ;(x+ b
2 a )2
=b2−4 ac4 a2 ;|x+ b
2 a|=b2−4 ac4 a2 ; x+ b
2a=± √b2−4 ac
2a; x1.2=
−b ±√b2−4 ac2 a
; x1=−b+√b2−4ac
2a; x2=
−b−√b2−4 ac2 a
; D=√b2−4ac ↔
x1=−b+√ D
2a; x2=
−b−√D2a
Хэрэв a=1 ;x2+bx+c=0; x1=−b+√D
2;x2=
−b−√ D2
189. 1.x2−6 x+5=0 D=√36−20=4 x1,2=6∓ 4
2x1=1 ; x2=5
2. x2+2 x−35=0 ; x1,2=−1∓ √1+35=−1∓6 ; x1=−7 ; x2=5
![Page 36: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/36.jpg)
3. x2−2x−35=0 ; x1,2=−1∓√1+35=−1∓6 ; x1=−5 ;x2=7
4.u2−7u−18=0 ;u1,2=7∓√49+72
2=7∓11
2; x1=−2 ; x2=9
5.u2−6 u+9=0 ;u1,2=3∓ √9−9=3 ; (u−3 )2=0 ;u=3
6. t2−8 t−16=0 ; (t−4 )2=0 ; t−4=0 ; t=4
7. q2−22q+121=0 ; (q−11 )2=0 ;q=11
8. x2+18 x+81=0; ( x+9 )2=0 ; x=−9
9.−p2+7 p−10=0; p2−7 p+10=0 ; p1,2=−7∓√49−40
−2=−7∓3
−2; p1=5 ; p2=2
10. a−72−a2=0 ;a2−a−72=0 ;a1,2=1∓√1+288
2=1∓17
2;a1=−8 ;a2=9
11. x+42−x2=0 ;x2−x−42=0; x1,2=1∓√1+168
2=1∓13
2; x1=−6 ; x2=7
12. 2 x+120−x2=0; x2−2 x−120=0 ; x1,2=1∓ √1+120=1∓11; x1=−10 ; x2=12
13. t−t2−1=0 ; t 2−t+1=0 ; t1,2=−1∓√1−4
2=−1∓√−3
2t=∅
14. 3t +9+t 2=0 ; t 1,2=−3∓√9−36
2=−3∓√−27
2; t=∅
190.Дараах тэгшитгэлүүдийг бодож язгуурууд нь координатын шулуун дээр ямар бүхэл тоонуудын хооронд байрлахыг барагцаалан тэмдэглэ.
1. p2+6 p−20=0 ; p1,2=−3∓√9+80=−3∓√89 ;−13<−3−√89<−12 ;6<−3+√89<7 ;−13< p1<−12 ;6< p2<7
2. x2+8 x−14=0 ; x1,2=−4∓√16+14=−4∓√30;−10<−4−√30<−9 ;
1<−4+√30<2 ;−10<x1<−9;1<x2<2
3. x2−x−60=0; x1,2=1∓√1+240
2=1∓√241
2;x1=
1−√2412
; x2=1+√241
2;
−8<x1←7 ;8<x2<9
4.u2−u−40=0 ;u1,2=1∓√161
2;u1=
1−√1612
;u2=1+√161
2;
![Page 37: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/37.jpg)
−6<u1<−5 ;6<u2<7
5. x2+x−60=0 ; x1,2=−1∓ √1+240
2=−1∓ √241
2; x1=
−1−√2412
;
x2=−1+√241
2;−9<x1<−8 ;7<x2<8
6.u2+u−40=0;u1,2=−1∓√161
2;u1=
−1−√1612
;u2=1+√161
2;
−7<u1<−6 ;5<u2<6
7.u2−12 u+18=0;u1,2=6∓√36−18 ;u1=6−√18
2;u2=
1+√182
;
1<u1<2 ;5<u2<6
8.q2−14 q+35=0 ;q1,2=7∓√49−35 ;q1=7−√14 ;q2=7+√14 ;
3<q1<4 ;10<q2<11
191 Тэгшитгэлийг бод.
1.2 x2−5 x+2=0 ; x1,2=5∓√25−16
4=5∓√9
4; x1=
12
; x2=2
2.2 x2−7 x−4=0 ; x1,2=7∓ √49+32
4=7∓√81
4; x1=
−12
; x2=4
3.3 x2−10 x+3=0 ;x1,2=10∓√100−36
6=10∓√64
6; x1=
13
; x2=3
4.5 ϑ2−8ϑ+3=0 ;ϑ1,2=8∓√64−60
10=8∓ √4
10;ϑ 1=
35
;ϑ2=1
5.8 t2−4 t +1=0 ; (2 t−1 )2=0 ;2 t−1=0 ; t=12
6.9 x2−6 x+1=0 ; (3 x−1 )2=0 ;3 x−1=0 ; x=13
7.7 u2+7u+5=0 ;u1,2=−7∓ √49−140
14;D<0 ;u=∅
8.3 p2+9 p+10=0 ; p1,2=−9∓√81−120
6; D<0 ; p=∅
![Page 38: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/38.jpg)
9. 18 ϑ2−15ϑ+2=0 ;ϑ1,2=15∓√225−144
36=15∓√81
36;ϑ 1=
15−936
= 636
=16
;
¿ϑ2=15+9
36=24
36=2
3
10. 50 q2−35 q+6=0 ;q1,2=35∓√1225−1200
100=35∓√225
100;q1=
35−5100
= 30100
= 310
;q2=35+5100
= 40100
= 410
11.12 m2+36 x+27=0 ;∨÷ 3 ;4 m2+12 m+9=0 ; (2m+3 )2=0;2 m+3=0 ;m=−32
12. 45 t 2+60 t +20=0;∨÷ 3 ;9 t2+12 t+4=0 ; (3 t+2 )2=0 ;3 t +2=0; t=−23
192.Дараах тэгшитгэлүүдийг бодож язгуурууд нь координатын шулуун дээр ямар бүхэл тоонуудын хооронд байрлахыг барагцаалан тэмдэглэ.
1.2x2+8 x−11=0 ; x1,2=−8∓ √64+88
4=−8∓√152
4; x1=
−8−√1524
; x2=−8+√152
4;−6<x1<−5;1<x2<2
2.2 x2+6 x−25=0 ; x1,2=−6∓ √36+200
4=−6∓ √236
4; x1=
−6−√2364
; x2=−6+√236
4;−6<x1<−5 ;2< x2<3
3.3 t2−10 t−20=0 ; t1,2=10∓√100+240
6=10∓ √340
6; t1=
10−√3406
; t2=10+√340
6;−2<t 1<−1; 4<t 2<5
4.3 ϑ2−12ϑ−40=0 ;ϑ1,2=12∓√144+480
6=12∓√624
6;ϑ 1=
12−√6246
;ϑ 2=12+√624
6;−3<ϑ 1<−2;6<ϑ2<7
5.5 p2+14 p+1=0 ; p1,2=−14∓√196−20
10=−14∓ √176
10; p1=
−14−√17610
; p2=−14+√176
10;−3< p1<−2 ;−1< p2<0
6.5 n2+20 n+1=0 ;n1,2=−20∓ √400−20
10=−20∓√380
10;n1=
−20−√38010
;
n2=−20+√380
10;−4<n1<−3 ;−1<n2<0
7.2 x2+7 x−25=0 ;x1,2=−7∓√49+200
4=−7∓ √249
4; x1=
−7−√2494
;
x2=−7+√249
4;−6<x1<−5 ;2<x2<3
8. 2q2+9 q−20=0 ;q1,2=−9∓ √81+160
4=−9∓√241
4; x1=
−9−√2414
; x2=−9+√241
4
193 . Тэгшитгэлийг бод.
![Page 39: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/39.jpg)
1 (2 x+1 ) (x+2 )−( x−1 ) (3 x+1 )=11;
2 x2+5 x+2−(3 x2−2 x−1 )=11;
x2−7 x−8=0 x1.2=7±√49+32
2=7 ±√81
2=7 ± 9
2; x1=8 ; x2=−1
2. (3u−1 ) (u−2 )−(u+1 ) (u+2 )=12 ;
3 u2−7 u+2+u2+3u+2=12 ;
4 u2−4 u−8=0 ;u2−u−2=0 ;u1.2=1±√1+8
2=1±√9
2=1± 3
2;u1=2;u2=−1
3. ( x−1 ) ( x−2 ) ( x−3 )=x3−14 x−2 ;
( x2−3 x+2 ) ( x−3 )=x3−14 x−2; x3−3 x2+2x−3 x2+9 x−6=x3−14 x−2 ;
6 x2−25 x+4=0 x1.2=25 ±√625−96
12=25 ±√529
12=25±23
12; x1=
16
; x2=4
4. x (x−1 ) ( x−2 )=( x+1 ) ( x+2 ) (x+3 )
x3−3 x2+2x=( x2+3 x+2 ) (x+3 )
x3−3 x2+2 x=x3+3 x2+2 x+3 x2+9 x+6
9 x2+9 x+6=0 ;3 x2+3 x+2=0 ;x1.2=−3±√9−24
6; D<0 ; x=∅
5. ( x+7 ) ( x−3 )−(2 x+1 ) ( x+4 )+18=0
x2+7 x−21−2 x2−9 x−4+18=0
x2+5 x+7=0 ; x1.2=−5 ±√25−28
2; D<0 ; x=∅
6 .( 12
x−2) ( x+6 )−(1− x ) (3− x )+16=0
12
x2
−2 x+3 x−12−3+4 x−x2+16=0 ;
![Page 40: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/40.jpg)
12
x2
−5 x+4=0 ; x2−10 x+2=0 ; x1.2=5 ±√25−8=5 ±√17 ;x1=5−√17 ; x2=5+√17
7. (2 x−3 ) (2 x+3 )−2 (1−x )2−(3 x+1 )2=0
4 x2−9−2+4 x−2 x2−9 x2−6 x+1=0
7 x2+2 x+10=0; x1.2=−2 ±√4−280
14; D<0 ; x=∅
8. (5−4 x )2−(3 x+6 )2−(3 x−4 ) (3 x+4 )=0
25−40 x+16 x2−36−36 x−9x2−9x2−16=0 ;
2 x2+76 x−27=0 ; x1.2=76 ±√5776+216
4=76 ±√5992
4;
x1=76+√5992
4; x2=
76−√59924
194. y=−x2+8 ; y=2 xогтлолцлыг ол .
−x2+8=2 x; x2+2 x−8=0 ;x1.2=−1±√1+8=−1±√9 ;x1=−4 ; x2=2 ;
x=−4 ; y=− (−4 )2+8=−8; x=2; y=2∙ 2=4 ; хариу : {(−4 ;−8 ) , (2; 4 ) }
195. Дараах квадрат гурван гишүүнтийн язгуурыг ол.
1 a . x2−8 x+15=0 ; x1.2=4 ±√16−15=4 ±1 ; x1=3 ; x2=5 ;
1 б .− y2+3 y−10=0 ; y1.2=3±√9−40
−2; D<0 ; x=∅
1b . 4 b2−16 b+12=0 ;b2−4 b+3=0 ;
b1.2=2 ±√4−3=2 ±1 ;b1=1;b2=3 ;b= {1 ;3 }
1 г . 2 a2−a=0;2 a2−a=2 a(a− 12 )=0 ; [ a=0
a− 12=0
↔[a=0
a=12
;a={0 ; 12 }
2 a . 5 y2+14 y−3=0; y1.2=−14 ±√196+60
10=−14 ± 16
10;[ y1=−3
y2=−15
; y={−3 ;−15 }
![Page 41: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/41.jpg)
2 б .10 b2−7 b+1=0 ;b1.2=7±√49−40
20=7±3
20;[b1=
−15
b2=12
; y={−15
; 12 }
2 b .−0.4 c2+0.8=0 ;−0.4 (c2−2 )=0 ;c2=2 ;|c|=√2 ;[c1=−√2c2=√2
; c={−√2 ;√2 }
2 г .7 x2−28=0 ;7 ( x2−4 )=0; c2=4 ;|c|=2 ;[c1=−2c2=2
; c= {−2 ;2 }
3 a . 0.5 x2−x−1=0 ;0.5 ( x2−2 x−2 )=0 ; x1.2=1±√1+2=1 ±√3 ; x1=1+√3 ; x2=1−√3 ; x= {1−√3;1+√3}
3б .−100 c2+20 c+3=0;100 c2−20 c−3=0 ; c1.2=10 ±√400+1200
200=10 ± 40
200;c1=
−30200
=−320
;c2=50
200=1
4;c={−3
20; 1
4 }196. Квадрат гурван гишүүнт “в” ямар утганд
a¿b2−4 b+9 ;b=−−42
=2 утгад ;б ¿−b2+6 b−14 ;b=−6−2
=3 утгад
197. Квадрат гурван гишүүнт “х” дурын утганд
a)x2−10 x+28=0 ; D=102−4 ∙28=100−128=−12<0 ;a>1>0 шийдгүй
б ¿−x2+4 x−6=0 ; D=16-24=-8<0;-1=a<0 заавар унш
198. Квадрат гурван гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задал.
a) x2−7 x+10=x2−2 x−5 x+10=x (x−2 )−5 ( x−2 )= (x−2 ) ( x−5 );
б) 3 x2+3 x−6=3 ( x2+x−2 )=3 ( x2−1+x−1 )=3 ( ( x−1 ) ( x+1 )+ (x−1 ) )=¿
¿3 ( x−1 ) (x+2 ) ;
b)7 x2−63=7 ( x2−9 )=7 ( x−3 ) ( x+3 );
г) 5 x2+19 x−4=5(x2+195
x−45 )=5(x2+4 x−1
5x−4
5 )=5( x ( x+4 )−15
( x+4 ))=¿
¿5 ( x+4 )(x−15 )=( x+4 ) (5 x−1 );
199. Квадрат гурван гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задал.
a) x2+ x−72=x2+9 x−8 x−72=x ( x+9 )−8 ( x+9 )=( x+9 ) (x−8 ) ;
![Page 42: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/42.jpg)
б) 7 x2+20 x−3=7( x2+ 207
x−37 )=7( x2+3 x−1
7x−3
7 )=7(x ( x+3 )−17
( x+3 ))=¿
¿7 ( x+3 )(x−17 )=( x+3 ) (7 x−1 );
b)12 x2−588=12 ( x2−49 )=12 (x−7 ) ( x+7 );
г) 3 x2−12 x+3=3 ( x2−4 x+1 ) ; шугаман олон гишүүнтийн дүрсээр бичиж болохгүй.
200. Дараах квадрат гурван гишүүнтүүдийг яагаад шугаман олон гишүүнтийн дүрсээр бичиж болохгүй вэ?
a) x2−5 x+17=( x−2. 5 )2+10.75
б) −3 x2+2 x−1=−3(x2−23
x−13 )=−3((x−1
3 )2
−29 )
b)x2−12 x+39=( x−6 )2+3
г)−4 x2+4 x−3=−4 (x2−x+ 34 )=−4((x−1
2 )2
+ 12 ) иррациональ тоонууд гарч ирнэ.
Дискриминант нь бүхэл тооны квадрат болохгүй.
201. Квадрат гурван гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задал
1)u2+5u−6=u2−u+6 u−6=u (u−1 )+6 (u−1 )=(u−1 ) (u+6 );
2)x2−2 x−15=x2−2 x+1−16=( x−1 )2−16=( x−1 )2−42= (x−1−4 ) ( x−1+4 )=¿
¿ ( x−5 ) ( x+3 )
3)t 2−4 t+4=(t−2 )2;
4)u2+6 u+9=(u+3 )2;
5) v2+v+1=v2+2 ∙ 12
v+ 14+ 3
4=(v+1
2 )2
+ 34
; болохгүй
6) z2−2 z+2=( z−1 )2+1 болохгүй
7)z2+4 z+1= (z+2 )2−3 болохгүй
8) x2+10 x+1= (x+5 )2−24болохгүй
9) x2−(a+b ) x+ab=x2−ax−bx+ab=x ( x−a )−b ( x−a )= (x−a ) ( x−b ) ;
![Page 43: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/43.jpg)
10)x2−(2+a ) x+2 a=x2−2 x−ax+2 a=x ( x−2 )−a ( x−2 )= (x−a ) ( x−2 ) ;
11) 2 r2−r−2=2(r2−12
r−1)=2((r−14 )
2
−1716 ) болохгүй
12)3 v2−2v−1=3 (v2−23
v−13 )¿3¿¿
¿3(v−13−2
3 )(v−13+ 2
3 )=3 (v−1 )(v+ 13 )=(v−1 ) (3 v+1 ) ;
13)−5 m2+3 m+2=−5(m2− 35
m−25 )=−5(m2−1
5m− 2
5m−2
5 )=−5((m−1 )(m+ 25 ))
14) −4q2−q+3=−4(q2+ 14
q−34 )=−4 (q+1 )(q−3
4 );
15) −9 p2−3 p−2=−9 ( p2+ 13
p+ 29 )
16) −25 z2+5 z−4=−25( z2−15
z+ 425 )
17) 7 x2+6 x+1=7(x2+67
x+ 17 )
18) 9 t 2−10 t+2=9(t 2−109
t + 29 )
19) −11 z2+20 z+3=−11( z2−2011
z− 311 )
20) −13 x2−16 x+3=−13( x2+ 1613
x− 313 )
202. ax2+bx+c=0 тэгшитгэлийн дискриминантыг D=b2−4 ac томъёогоор олж дараах тэгшитгэлүүдийн шийдийг шинжил. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг түүний коэффициентүүд ба дискриминантаар шинжлэх:
1) x2−7 x−44 2) x2−6 x 3) x2−5.5 x−3
D=49+56=105 D=36 D=5.52+12=42.25
a>0 ;D<b2 x>0|D|=ba>0|D|=6.5 D<b2
b<0 b<0 ;b<0 D<b2
![Page 44: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/44.jpg)
Эсрэг тэмдэгтэй 0;6 гэсэн хоёр Эерэг 2 шийдтэй.
Хоёр шийдтэй шийдтэй.
4) 2 x2−7 x+5=0 5) 3 x2−2 x−6=0 6) −2 x2−6 x+8=0
D=49−40=9 D=4+72=76 D=36+64=100
a>0 D<b2 a>0 D>b2a<0 D>b2
b<0 b<0 b<0
Эерэг тэмдэгтэй Эсрэг тэмдэгтэй Эсрэг тэмдэгтэй
Хоёр шийдтэй. Хоёр шийдтэй Хоёр шийдтэй
11-р бүлэг.
Бутархай рациональ тэгшитгэл
203.Тэгшитгэл бод.
1 . x2+3 x+52 x−1
=−x2−2 x+82 x−1
;
{x2+3 x+5=−x2−2x+82x−1≠ 0
↔{2 x2+5 x−3=02x ≠1
↔ x1.2=−5±√25+24
4=−5 ± 7
4;
{x1=−3
x2=12
x ≠ 12
↔ хариу : x1=−3
2 . 3 x2−10 x+105 x−7
=7 x−2 x2−45 x−7
;
{3 x2−10 x+10=7x−2 x2−45 x−7 ≠ 0
↔{5 x2−17 x+14=05x ≠ 7
↔ x1.2=17±√289−280
10=17 ± 3
10;
{x1=75
x2=2
x ≠ 75
↔ хариу : x2=2
![Page 45: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/45.jpg)
3 . 1x−1
+ 1x2−1
=58
;
{8 x+8+8=5 x2−5x2−1≠ 0
↔{5 x2−8 x−21=0x2 ≠1
↔ x1.2=8±√64+420
10=8 ±22
10;
{x1=−75
x2=3|x|≠ 1
↔ хариу : x1={−75
;3}
4 . 1x2−4
− 1x−2
=3 ;
{4−x−2=3 x2−12x2−4≠ 0
↔{3 x2+x−14=0x2≠ 4
↔ x1.2=−1±√1+168
6=−1 ± 13
6;
{x1=−73
x2=2|x|≠ 2
↔ хариу : x1={−73 }
5 . 1x+ 1
x+5− 1
x−3=0 ;
{x2+2 x−15+x2−3 x+x2+5 x=0x≠ 0 ; x+5 ≠0 ; x−3 ≠ 0
↔ { 3 x2+4 x−15=0x ≠0 ; x ≠−5 ; x≠ 3
↔ x1.2=−4 ±√16+180
6=−4±14
6;
{ x1=−3
x2=53
x≠ {−5 ;0 ;3 }
↔ хариу : x1={−3 , 53 };
6 . 1t−2
+ 1t+8
+ 1t−5
=0 ;
{t2+3 t−40+ t2−7 t+10+t 2+6 t−16=0t−2≠ 0 ; t+8≠ 0 ; t−5≠ 0
↔ { 3 t2+2 t−46=0t ≠2 ; t ≠−8 ; t ≠ 5
↔ t 1.2=−2±√4+552
6=−2 ±√556
6=−1 ±√139
3;
![Page 46: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/46.jpg)
{t 1=−1+√139
3
t2=−1−√139
3t ≠ {−8 ;2 ;5 }
↔ хариу : t 1.2={−1−√1393
, −1+√1393 };
7 . x+12 x−3
+ xx+1
− 11 x−x2+8(2 x−3 ) ( x+1 )
=0 ;
{x2+2 x+1+2x2−3 x−11 x+x2−8=02 x−3≠0 ; x+1 ≠0 ;
↔ {4 x2−12 x−7=02x ≠3 ; x≠−1 ;
↔ x1.2=12±√144+112
8=12 ±16
8;
{ x1=−12
x2=72
x≠ {−1; 32
;}↔хариу : x1={−1
2, 7
2 };
8 . x2 x−5
+ x−1x
−13 x−x2−20(2x−5 ) x
=0 ;
{x2+2 x2−7 x+5−13 x+ x2+20=02 x−5≠ 0; x ≠ 0;
↔{ (2 x−5 )2=02 x ≠5 ; x ≠0 ;
↔ x1.=52
;
{ x1=52
¿ x≠ {0; 52
;}↔ хариу : x1= {∅ }
9 . xx−4
+ x−42x+6
− 7 x−3.5( x+3 ) ( x−4 )
=0 ;
{2 x2+12 x−x2+8 x−16−14 x+7=0x−4 ≠ 0 ; x+3 ≠ 0
↔ {x2+6 x−9=0x ≠−3 ; x ≠ 4 ;
↔ x1.2=−3 ±√9+9=−3 ±√18=−3 ± 3√2 ;
{x1=−3−3√2x2=−3+3√2
x ≠ {−3; 4 }↔ хариу : x1.2= {−3−3√2 ,−3+3√2 }
10 . t−4t−12
+ 12−t2 t+4
− 14 t−70( t +2 ) (t−12 )
=0;
![Page 47: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/47.jpg)
{2t 2−4 t−36−t2+24 t−144−28 t +140=0t +2 ≠ 0; t−12 ≠ 0 ;
↔ {t 2−8 t−20=0t ≠−2 ; t ≠12 ;
↔t 1.2=4 ±√16+20=4 ±√36=4 ±6 ;
{ t 1=4+6=10t2=4−6=−2
t ≠ {−2;12 }↔ хариу : t 1.2= {10 }
11 . 16+
1 23
u−2
2 u−2−2.5u+9
3u+9=0 ; 1
6+
1 23
u−2
2 (u−1 )−2.5 u+9
3 (u+3 )=0;
{u2+2u−3+5u2+15 u−6 u−18−5u2−18 u+5 u+18=0u−1≠ 0 ;u+3 ≠ 0 ;
↔ {u2−2u−3=0u ≠1 ;u ≠−3 ;
↔u1.2=1±√1+3=1 ±2 ;
{ u1=1+2=3u2=1−2=−1
u≠ {−3 ;1 }↔ хариу : u1.2={−1 ;3 }
12 .1+ 5 z−16z−3
−5 z+18z+1
=0;
{z2−2 z−3+5 z2+5 z−16 z−16−5 z2−18 z−16+15 z+54=0z−3 ≠ 0 ; z+1≠ 0 ;
↔ {z2−16 z+35=0z≠ 3 ; z≠−1;
↔ z1.2=8±√64−35=8±√29 ;
{z1=8+√29z2=8−√29z≠ {−1 ;3 }
↔ хариу : z1.2={8−√29;8+√29 }
13 . 144 ϑ2−1
+ 34 ϑ 2+4 ϑ+1
− 54 ϑ2−4 ϑ+1
=0; 144 ϑ2 +
3(2ϑ+1 )2
− 5(2ϑ−1 )2
=0
{56 ϑ2−14+12ϑ 2−12 ϑ+3−20ϑ 2−20ϑ−5=02ϑ−1≠ 0 ;2ϑ +1≠ 0 ;
↔ {48 ϑ2−32 ϑ−16=0
2ϑ ≠ 12
;2 ϑ ≠−12
;↔ ϑ1.2=
2 ±√4+126
=2± 46
=1± 23
;
{ ϑ 1=−13
ϑ2=1
ϑ ≠{−12
; 12 }
↔ хариу : ϑ1.2={−13
;1}
14 . 174 t 2−12 t+9
+ 654 t 2+12t +9
− 989−4 t2 =0 ; 17
(3−2 t )2+ 65
(3+2t )2− 98
9−4 t 2=0
![Page 48: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/48.jpg)
{68 t2+204 t 153+260t 2−780 t−585−882+392t 2=03−2t ≠ 0 ;3+2 t ≠ 0 ;
↔{720 t 2−576 t−144=0
t ≠−23
; t ≠ 23
;↔5 t 2−4 t−1=0 ; t1.2 =
4±√16+2010
=4 ±√3610
=2 ± 35
;
{t 1=1
t 2=−15
t ≠ {−23
; 23 }
↔ хариу : t1.2={−15
;1}
15 . 5u+2− 81−3u
=0 ;
{2−u−15u2−8=01−3 u≠ 0 ;
↔ {15u2+u+6=03u ≠ 1 ;
↔ D=1−360<0 ;
хариу :u={∅ }
16 . 2 z−1− 157 z−3
=0 ;
{14 z2−13 z+3−15=07 z−3 ≠ 0 ;
↔ {14 z2−13 z−12=07 z ≠3 ;
↔ z1.2=13 ±√169+672
28=13 ±29
28;
{z1=−1628
=−47
z2=4228
=32
z≠ {−1 ;3 }
↔ хариу : z1.2={−47 ; 3
2 }
17. 2 m+ 232m−7
=−4 ;
{4 m2−14 m+23+8m−28=02m−7 ≠ 0 ;
↔ {4 m2−6 m−5=02 m≠ 7 ;
↔ m1.2=6 ±√36+80
8=6±√116
8=6±2√29
8=3±√29
4;
{m1=3+√29
4
m2=3−√29
4m≠ {3.5 }
↔ хариу : m1.2={3−√294
; 3+√294 }
18. 2 x+ 70.54 x+9
=7.5 ;
![Page 49: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/49.jpg)
{8 x2+18 x+70.5−30 x−67.5=04 x+9 ≠0 ;
↔{8 x2−12 x−3=04 x ≠−9 ;
↔ x1.2=12±√144+96
16=12±√240
16=12 ± 4√15
8=3 ±√15
2;
{x1=3+√15
2
x2=3−√15
2x≠ {−2.25 }
↔ хариу : x1.2={3−√152
; 3+√152 }
19. u(u+1)+(2 u−1)2−2(4−1)(u−2)−3
u3−3u2+5 u−3=0
u2+u+4u2−4 u+1+2u2+6u−4−3u3−3u2+5u−3
{ 3u2+3 u−6=0u3−3 u2+5u−3≠ 0
u2 (u−1 )−2 u (u−1 )+3 (u−1 )≠ 0
{u1.2=−1 ±√1+8
2=−1±3
2u1=−2u2=1u ≠ 1
(u−1 ) (u2−2 u+3 ) ≠ 0 { u−1 ≠0u2−2 u+3 ≠0 {u≠ 1
u≠∅ Хариу : u=−2
20. (v−1 ) ( v+1 )−2 v (v−2 )−(v−1 ) ( v−3 )−3
v3+2 v2−10 v+4=0
v2−1−2 v2+4 v−v2+4 v−3−3v3+2v2−10 v+4
=0
2v2−8v+7=0
{v1.2=−8 ±√64−56
4=−8±√8
4=−4 ±√2
2=−2± √2
2v3+20 v2−10 v−4 ≠ 0
204. Бутархайг хураа
1) 4 b+12b2−9
=4 (b+3 )
(b−3 ) (b+3 )= 4
b−3;
2) c2+c−6
7 c+21=
(c+3 ) (c−2 )7 (c+3 )
= c−27
;
![Page 50: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/50.jpg)
3) 16−2 x
8+7 x−x2 =2 (8−x )
−( x−8 ) (x+1 )=
−2 ( x−8 )−( x−8 ) ( x+1 )
= 2x+1
;
4) a2+c−6
7 c+21=
( c+3 ) (c−2 )7 (c+3 )
= c−27
;
5) y3+7 y2−60 y10 y−50
=y ( y+12 ) ( y−5 )
10 ( y−5 )=
y ( y+12 )10
;
6) 3+14b−5 b2
3 b−b2 =(3−b+15 b−5 b2 )
b (3−b )=
3−b+5 b (3−b )b (3−b )
=(3−b ) (1+5 b )
b (3−b )=
(1+5 b )b
;
7) 24 x2−38 x+1512 x2−16 x+5
=24 (x−5
6 )(x−34 )
12(x−56 )( x−1
2 )=
2(x− 34 )
(x−12 )
=4 x−32x−1
;
8) 32 v2+44 v+15
8v2+14 v+3=
32(x+ 58 )( x+ 3
4 )12(x+ 1
4 )(x+ 32 )
=(8 x+5 ) ( 4 x+3 )
3 (4 x+1 )(x+ 32 )
;
32 v2+44 v+15=0 D=√442−4 ∙32 ∙15=√16=± 4 ;v1,2=−44 ± 4
64;v1=
−44+464
=−4064
=−58
;v2=−44−4
64=−48
64=−6
8=−3
4;
8 v2+14 v+3=0; D=√142−4 ∙3∙ 8=√100=± 10 ;v1,2=−14 ± 10
16; v1=
−14+1016
=−416
=−14
;v2=−14−10
16=−24
16=−3
2;
9) 5u2−6u−325u2−11u−16
=5(u2−6
5u−32
5 )5(u2−11
5u−16
5 )=
5(u−165 )(u+2 )
5(u−165 ) (u+1 )
=(u+2 )(u+1 )
;
5 u2−6u−32=0 ; D=√62+4 ∙32∙ 5=√676=± 26 ;u1,2=6 ± 26
10;u1=
6+2610
=3210
=¿ 165
;u2=6−26
10=−20
10=−2 ;
5u2−11u−16=0 ;D=√112+4 ∙16 ∙ 5=√441=±21 ;u1,2=11± 21
10;u1=
11+2110
=3210
=165
;u2=11−21
10=−10
10=−1;
10) 7 t2+9 t−36
7 t2+16 t−48= 7 t2+9 t−36
7 t 2+16 t−48=
7 (t−127 )( t +3 )
7(t−127 ) ( t+4 )
=(t+3 )( t+4 )
;
7 t 2+9t−36=0 ; D=√92+4 ∙36 ∙7=√1089=± 33 ; t1,2=−9 ±33
14; t1=
−9+3314
=2414
=127
; t2=−9−33
14=−42
14=−3;
![Page 51: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/51.jpg)
7 t 2+16 t−48=0; D=√162+4 ∙ 48 ∙ 7=√1600=± 40 ; t1,2=−16 ± 40
14; t 1=
−16+4014
=2414
=127
; t 2=−16−40
14=−56
14=−4 ;
205. 1) 1
27 u2−15 u−2+ 1
18u2−27 u+10= 1
(3u−2 ) (9 u+1 )+ 1
(3 u−2 ) (6u−5 )= 6 u−5+9u+1
(3 u−2 ) (9u+1 ) (6 u−5 )=¿
¿ 15u−4(3u−2 ) (9 u+1 ) (6u−5 )
2) 1
8 t2+2 t−35+ 1
32 t2−212t−27= 1
(2 t+5 ) ( 4 t−7 )+ 1
(4 t−27 ) (8 t +1 )= 8t +1+2 t+5
(2 t+5 ) ( 4 t−7 ) (8 t+1 )= 10 t+6
(2 t+5 ) ( 4 t−7 ) (8 t+1 )
3)1
50 v2+345 v+99− 1
75 v2−505 v+66= 1
(10 u+3 ) (5u+33 )− 1
(15 u−2 ) (5u+33 )
¿ 15u−2−10u−3(10u+3 ) (15 u−2 ) (5 u+33 )
=¿
¿ 5u−5(10u+3 ) (15 u−2 ) (5u+33 )
4)1
24 z2−106 z−93− 1
54 z2−267 z−62= 1
(6 z−31 ) (4 z+3 ) - 1
(6 z−31 ) (9 z+2 ) =
9 z+2−4 z−3(6 z−31 ) (4 z+3 ) (9 z+2 )
=¿
5 z−1(6 z−31 ) (4 z+3 ) (9 z+2 )
206. Бутархайн утгыг олоорой.
a)x=−9;12 ;111 үед x2−8 x−33
10 x+30=
(x+3 ) ( x−11 )10 ( x+3 )
= x−1110
;−9−1110
=−2; 12−1110
= 110
; 111−1110
=10;
б) y=−4 ;22.5 ;24 үед 8 y−56
y2−27 y+140=
8 ( y−7 )( y−7 ) ( y−20 )
= 8y−20
; 8−4−20
=−13
; 822.5−20
= 82.5
=8025
=¿
¿ 165
; 824−20
=84=2;
Бүлэг 13
Виетийн теорем
![Page 52: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/52.jpg)
265.f ( x )=−x2+ px+q
−x2+ px+q=0 ;={−(−5)2+ p (−5 )+q=0−32+3 p+q=0
↔ {25−5 p+q=09+3 p+q=0
↔ {−5 p+q=−253 p+q=−9
↔ 8 p=16 ; p=2 ;−5 ∙2+q=−25; q=−15 ;
266.{24 x2+bx+25=0x1
x2=1.5
↔{x1+x2=−b24
x1
x2=1.5
x1 ∙ x2=1
↔{ 1.5 x22=1
x1+ x2=−b24
↔ x2=√ 23
; x1=32
∙√ 23=√ 3
2
√ 23+√ 3
2=
−b24
;b=24(2+3)√3 ∙√2
=20√6
267.
{11 x2+8 x+r=0x1+11 x2=2
↔ { x1∙ x2=r
11
x1+x2=−811
/ ∙11
x1+11 x2=2
↔ { x1 ∙ x2=r
1111 x1+11x2=−8 ↔
x1+11 x2=2
↔ { x1 ∙ x2=r
1110 x1=−10
x1=−1
↔−1+11 x2=2↔ x2=3
11; 3
11∙ (−1 )= r
11↔ r=−3;
268. {4 x2+9 x+a=04 x1+x2=−6
↔ { x1 ∙ x2=a4
x1+x2=−94
/ ∙ 4↔
4 x1+ x2=−6{ x1 ∙ x2=
r11
4 x1+4 x2=−9 ↔4 x1+x2=−6
3 x2=−3;x2=−1
4 x1+(−1 )=−6 ; x1=−54 ;
−54
∙ (−1 )=a4
↔ a=5 ;
269. {x2+(2−a−a2 ) x−a2=0x1+x2=0
↔{ x1 ∙ x2=−a2
x1+x2=−(2−a−a2)↔x1=−x2
{ −x2∙ x2=−a2
x1+x2=−(2−a−a2)↔x1=−x2
x2=a;
0=−(2−a−a2); 2−a−a2=0 ;a2+a−2=0 ;a1=−2; a2=1
![Page 53: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/53.jpg)
270.{(r+1 ) x2+4 x+r+3=0x1
x2=1
4↔ {x2+ 4
r+1x+ r+3
r+1=0
x1
x2= 1
4
↔ {x1+x2=−4r+1
x1 ∙ x2=r+3r+1
x1
x2=1
4
↔ x22= r+3
r+1∙ 4
1 ;
x1=14
∙2 ∙√ r+3r+1
=12
∙√ r+3r+1
; 12
∙√ r+3r+1
+2∙√ r+3r+1
= −4r+1
; 52
∙√ r+3r+1
= −4r+1
;
52
∙√ r+3r+1
+ 4r+1
=0 ; 1√r+1
∙( 52
∙√r+3+ 4√r+1 )=0
52
∙√r+3+ 4√r+1
=0 ; 52
∙√r+3= −4√r+1
/∙√r+1
52
∙√r+3√r+1=−4 ;√(r+3 ) (r+1 )=−85
; (r+3 ) (r+1 )=6425
;
r2+4 r+1−6425
=0 ; r2+4 r−4925
=0 ; D=16+4 ∙ 4925
= 425
∙ 149 ;
r1.2=−4±√ 4
25∙ 149
2=
−4 ± 25 √149
2
271. {x2−3 x+2 b+3=05 x1+3 x2=23
↔{ x1 ∙ x2=2 b+3x1+x2=3 / ∙5 ↔5 x1+3x2=23 { x1∙ x2=2b+3
5 x1+5 x2=15 ↔5 x1+3 x2=23 {x1 ∙ x2=2b+3
2 x2=−8↔5 x1+3 x2=23
{x1 ∙ x2=2b+3x2=−4
5 x1+3 x2=23↔5 x1+3 (−4 )=23 ; x1=7 ;7 ∙ (−4 )=2b+3 ;b=15.5
272. {25 x2−25 x+c−2=0x1−x2=0.2
c=? { x1+x2=1x1−x2=0.2
x1 ∙ x2=2−c25
↔{ 2 x1=1.22 x2=0.8
x1 ∙ x2=2−c25
↔{ x1=0.6x2=0.4
0.6 ∙0.4=2−c25
↔6=2−c↔ c=−4 ;
273. {2 x2−6 x+c=0x1+2 x2=5
c=? {x1=5−2 x2
x1+x2=3
x1 ∙ x2=c2
↔{ x1=5−2 x2
5−2x2+ x2=3
x1 ∙ x2=c2
↔ {x1=1x2=2c=4
![Page 54: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/54.jpg)
274. {x2−4 x+q=0
5 x1+9 x2=0q=?
↔ {x1=−q x2
5x1+x2=4x1 ∙ x2=q
↔ { x1=−q x2
5−q x2
5+ x2=4
x1 ∙ x2=q
↔ { x1=−q x2
55 x2−q x2=20
x1 ∙ x2=q
↔{ x1=9x2=−5
q=9 ∙ (−5 )=−45
275. {x2+(2 a−1 ) x+a2+2=0
x1=2 x2
a=?
{ x1=2x2
x2+2 x2=−2 a+1x1 ∙ x2=a2+2
↔ { x2=1−2a
3
x1=2−4a
31−2a
3∙ 2 (1−2 a )
3=a2+2
↔ 2−8 a+8 a2=9 a2+18↔ a2+8 a+16=0↔ (a+4 )2=0↔ a=−4 ;
276. {x2+(3 a+2 ) x+a2=0
x1=9 x2
a=?↔ { x1=9 x2
x1+x2=3a+2x1 ∙ x2=a2
↔{ x1=9 x2
10 x2=3 a+29x1
2=a2
↔ { x1=9 (3 a+2 )
10
x2=3a+2
10
9( 9 (3 a+2 )10 )
2
=a2
↔ 81a2+108 a+36=100 a2 ;
19 a2−108 a−36=0 ;a1.2=108 ±√11664+2736
38=108 ± 120
38;
a1=−1238
=−619
;a2=22838
=6 ;
277. {3 x2−5 x−2=0x1
3+x23=?
↔ { x1+x2=53
x1 ∙ x2=−23
↔x13+x2
3=( x1+x2 ) (( x1+x2 )2−x1 ∙ x2) 53 [( 5
3 )2
+ 32 ]=5
3 (259
+ 69 )=155
27;
278. {x2+x+4=02x1
+ 2x2
=?↔{x1+x2=−1
x1 ∙ x2=4↔ 2
x1+ 2
x2=
x1+x2
x1∙ x2=−1
4;
![Page 55: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/55.jpg)
279. { 2 x2−8x+3=0x1
1=x1+1x2
1=x2+1байх тэгшитгэл зохио
↔ x11+x2
1=x2+x1+2=6 ;{x11=x1+1=6−√10
2
x21=x2+1=6+√10
2
x1.2=8±√64−24
4
=8±√404
= 4±√102
↔ { x11+x2
1=6
x11 ∙ x2
1=36−104
=264
=132
;2 x2−12 x+13=0
280. { 4 x2−13 x+7=0
x11= 1
x1
x21= 1
x2байх тэгшитгэл зохио
↔ x11+x2
1=1x2
+1x1
=x1+x2
x1∙ x2=
137
x11 ∙ x2
1= 1x1
∙ 1x2
=47
; x1+x2=134
; x1 ∙ x2=74
; x2−137
x+ 47=0 ;7x2−13 x+4=0
281. {x2+3 x+2=0
x11= 1
x1
x21= 1
x2
байхтэгшитгэл зохио ↔ x11+x2
1=1x2
+1x1
=x1+x2
x1 ∙ x2=
−32
x11∙ x2
1= 1x1
∙ 1x2
=12
; x1+x2=−3 ; x1 ∙ x2=2; x2+ 32
x+ 12=0 ;2 x2+3 x+1=0
282. {x2−3 x−10=0x1
1=x1+x2
x21=x2 ∙ x1
байх тэгшитгэл зохио ↔ { x1+x2=3x2 ∙ x1=−10
↔ { x11+x2
1=x2∙ x1+ x1+x2=3−10=−7x1
1 ∙ x21=x2∙ x1 ( x1+ x2 )=3 ∙ (−10 )=−30 ; x2+7 x−30=0
283. {2 x2−6 x+1−a=0x1=x2+10
a=?↔{ x1+x2=3
x2 ∙ x1=1−a
2x1−x2=10
↔ { x1=132
132
∙(−72 )=−1−a
2
x2=−72
↔−912
=1−a ;a=1−912
=892
![Page 56: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/56.jpg)
284. {2 x2−( p−10 ) x+6=0x1
x2=12;
p=?
↔ {x1+x2=10−p
2x2 ∙ x1=3x1=12 x2
↔ 12 x22=3 ; x2
2=14
;
|x2|=12
;|x1|=12∙ 12=6
285. {x2−3 x+2=0x1
2+x22=?
↔ {x1+x2=3x1 ∙ x2=2
↔{x12+2 x1 ∙ x2+x2
2=9−2 x1 ∙ x2=−4
↔ x12+x2
2=5 ;
286. {x2+ax−7=0a=?
↔{6=x1+x2=−ax1∙ x2=−7
↔ a=−6 ;
287. {2 x2−x+a=0a=?
↔ {x1+x2=12
a2=x
1∙ x2
↔ x1=1 ; x2=−12
; a2=x
1∙ x2=
−12
; a=−1 ;
288. 1.{ x1=1x2=−3
↔{−b=x1+x2=1−3=−2c=x1 ∙ x2=1 ∙ (−3 )=−3
↔{ b=2c=−3
↔ x2−2x−3=0
288. 2.{ x1=5x2=−4
↔ { −b=x1+x2=5−4=1c=x1 ∙ x2=5 ∙ (−4 )=−20
↔{ b=−1c=−20
↔ x2−x−20=0
288. 3.{x1=−1x2=−5
↔{−b=x1+x2=−5−1=−6c=x1 ∙ x2=−5 ∙ (−1 )=5
↔{b=−6c=5
↔ x2−6 x+5=0
288.4{x1=−4x2=−6
↔ {−b=x1+x2=−6−4=−10c=x1∙ x2=−6 ∙ (−4 )=24
↔ {b=10c=24
↔ x2+10 x+24=0
288.5{x1=1+√6x2=1−√6
↔{−b=x1+ x2=1+√6+1−√6=2c=x1∙ x2=(1+√6 ) ∙ (1−√6 )=−5
↔ {b=−2c=−5
; x2−2x−5=0
288.6{x1=3−√2x2=3+√2
↔ {−b=x1+x2=3−√2+3+√2=6c=x1 ∙ x2=(3−√2 ) ∙ (3+√2 )=7
↔{b=−6c=7
; x2−6 x+7=0
288.7{x1=−1+√7
2
x2=−1−√7
2
↔{−b=x1+x2=−1+√7
2+−1−√7
2=−1
c=x1 ∙ x2=(−1+√72 )∙(−1−√7
2 )=−3↔ {b=1
c=7; x2+x−3=0
![Page 57: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/57.jpg)
288.8{x1=3−√3
4
x2=3+√3
4
↔{−b=x1+x2=3−√3
4+ 3+√3
4=3
2
c=x1 ∙ x2=(3−√34 ) ∙( 3+√3
4 )=38
↔ {b=−32
c=38
; x2−32
x+ 38=0
288.9{ x1=√3x2=−√3
↔ {−b=x1+x2=√3+(−√3 )=0c=x1 ∙ x2=√3 ∙ (−√3 )=−3
↔ { b=0c=−3
; x2−3=0
288.10{ x1=√7x2=−√7
↔ {−b=x1+x2=√7+(−√7 )=0c=x1 ∙ x2=√7 ∙ (−√7 )=−7
↔{ b=0c=−7
; x2−7=0
288.11{x1=√2x2=√3
↔ { −b=x1+ x2=√2+√3c=x1 ∙ x2=√2 ∙ (√3 )=√6
↔{b=−(√2+√3 )c=√6
;
x2−(√2+√3 ) x+√6=0
288.12{x1=3√3x2=−√3
↔ {−b=x1+x2=3√3+(−√3 )=2√3c=x1 ∙ x2=3√3 ∙ (−√3 )=−9
↔ {b=2√3c=−9
;x2−2√3 x−9=0
289. Квадрат тэгшитгэлийг язгуурыг томъёо ашиглаж бодолгүйгээр олоорой.
1. x2−7 x+12=0 ; x1=6 ; x2=12. x2−10 x+21=0 ; x1=7 ; x2=33. x2−11 x+10=0 ; x1=10 ; x2=14. x2−5 x+4=0 ; x1=4 ; x2=15. x2+5 x+6=0 ; x1=−2 ; x2=−36. u2+7 u+12=0 ;u1=−6 ;u2=−17. x2+12 x+20=0 ;x1=−10; x2=−28. v2+13 v+42=0 ; v1=−6 ; v2=−79. x2+ x−6=0 ;x1=−3; x2=210. t 2+ t−12=0 ; t1=−4 ; t2=311. x2−5 x−6=0 ; x1=6 ; x2=−112. z2−6 z−7=0 ; z1=7 ; z2=−113.−u2+6 u−8=0 ;u1=4 ;u2=214.−x2+8 x−15=0 ; x1=5 ; x2=3
15.2 t2+t−2=0 ; t2+ 12
t−1=0 ; t 1=14
(√17−1 ); t 2=−14
(√17+1 )
16.2 p2−p−2=0 ; p2−12
p−1=0 ; p1=14
(1−√17 ) ; t 2=14
(√17+1 )
![Page 58: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/58.jpg)
17.2 r2−3 r+2=0 ;r2−32
r+1=0 ;шийдгүй
18.2 u2+3u+2=0 ;u2+ 32
u+1=0 ;шийдгүй
19.q2+2q+1=0 ; (q+1 )2=0 ;q1.2=−1 ;
20. y2−2 y+1=0 ; ( y−1 )2=0 ; y1.2=1 ;
Бүлэг 14
290. Квадрат тэгшитгэлд шилжих тэгшитгэлүүд
1. x4−5 x2+4=0; x2=a гэвэл a2−5 a+4=0 ;a1=4 ;a2=1 ;x2=1 ; x1=1 ; x2=−1 ; x2=4 ; x3=2 ; x4=−2;
2.k4−13k2+36=0 ;k2=aгэвэл a2−13a+36=0; a1=4 ;a2=9 ;k 2=9 ;k1=3 ;k 2=−3 ;k2=4 ;k 3=2 ;k4=−2 ;
3. t 4−10 t 2+1=0 ; t 2=a гэвэлa2−10 a+1=0 ;a1=5+√6 ;a2=5−√6 ;t 2=5+√6 ; t1=√5+√6 ; t 2=−√5+√6 ;t 2=5−√6 ; t 3=√5−√6 ; t 4=−√5−√6 ;
4. p4−20 p2+10=0 ; p2=aгэвэл a2−20 a+10=0 ; a1=10+3√10; a2=10−3√10 ;p2=10+3√10 ; p1=√10+3√10 ; p2=−√10+3√10 ;
p2=10−3√10 ; p3=√10−3√10 ; p4=−√10−3 √10 ;
5. u4−4 u2−45=0 ;u2=a гэвэл a2−4 a−45=0 ; a1=9 ;a2=−5 ;u2=9 ;u1=3 ;u2=−3 ;u2=−5 ;шийдгүй
6. x4+6 x2−35=0 ; x2=a гэвэл a2+6 a−35=0 ;a1=−3+4 √11; a2=−3−4 √11;x2=−3+4√11; x1=√4√11−3; x2=−√4√11−3 ;
x2=−(3+4√11) ;шийдг үй
7. 2v4−5 v2+2=0 ;v2=aгэвэл a2−2.5 a+1=0 ;a1=2; a2=12
;
v2=2; v1=√2; v2=−√2 ;
v2=12
;v3=√ 12
;v 4=−√ 12
;
8. 3t 4−10 t 2+3=0 ; t 2=aгэвэл a2−10 a+3=0 ;a1=5+√22; a2=5−√22 ;t 2=5+√22; t 1=√5+√22 ; t2=−√5+√22 ;
t 2=5−√22 ; t3=√5−√22 ; t4=−√5−√22 ;
![Page 59: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/59.jpg)
9. 7t 4+23 t 2+3=0 ; t 2=a гэвэл 7 a2+23 a+3=0; a1=−23+√445
14;a2=
−23−√44514
;
t 2=√445−2314
; t1=√ √445−2314
; t 2=−√ √445−2314
;
t 2=−(√445+23 )14
;шийдгүй
10.9v4+41 v2+5=0 ;v2=a гэвэл 9a2+41 a+5=0 ;a1=−41+√1501
18;a2=
−41−√150118
;
v2=−41+√150118
;v1=√−41+√150118
; v2=−√−41+√150118
;
v2=−(√1501+41 )18
;шийдг үй
11.16y4−24 y2+9=0 ; y2=a гэвэл16 a2−24 a+9=0; (4a−3 )2=0; a1.2=34
;
y2=34
; y1=√ 34
; y2=−√ 34
;
12.25z4−20 z2+4=0 ; z2=a гэвэл 25 a2−20 a+4=0 ; (5a−2 )2=0 ;a1.2=25
;
y2=25
; y1=√ 25
; y2=−√ 25
;
291. Тэгшитгэлийг бод.
1. ( x2+x )2−8 ( x2+ x )+12=0 ; x2+x=a гэвэл a2−8a+12=0; a1=2 ;a2=6 ;x2+x=2 ; x2+x−2=0 ; x1=5+√22; a2=5−√22;
2. (u2−3u )2−14 (u2−3u )+40=0 ;u2−3u=a гэвэлa2−14 a+40=0 ;a1=10 ;a2=4 ;u2−3 u=10 ;u2−3u−10=0;u1=5 ;u2=−2 ;u2−3u=4 ;u2−3u−4=0 ;u3=4 ;u4=−13. (1−t2 )2+7 (1−t2 )+12=0 ;1−t2=aгэвэлa2+7 a+12=0 ;a1=−4 ;a2=−3;1−t2=−4 ;1−t2+4=0 ;5−t 2=0 t 1=√5; t 2=−√5 ;1−t 2=−3 ;1−t2+3=0 ;4−t 2¿0 ; t 3=2 ; t 4=−24. ( v2−9 )2
+17 ( v2−9 )+16=0 ; v2−9=aгэвэлa2+17 a+16=0 ;a1=−16 ; a2=−1 ;v2−9=−16 ; v2−9+16=0 ;v2+7=0 шийдг үй .
v2−9=−1; v2−8=0 ;v2=8 ; t 3=2√2; t 4=−2√2
5. ( 3−4 x5 )
2
−2 (3−4 x )+25=0 ;( 3−4 x5 )
2
−10 (3−4 x )
5+25=0 ; 3−4 x
5=a гэвэл
a2−10 a+25=0 ; (a−5 )2=0 ;a1.2=5 ; 3−4 x5
=5 ;3−4 x=25;−22=4 x ;x=−10.5
6. ( 3 x+18 )
2
+(3 x+1 )+16=0 ;( 3 x+18 )
2
+( 3 x+18 ) ∙ 8+16=0 ; 3 x+1
8=a гэвэл
a2+8a+16=0 ; (a+4 )2=0 ; a1.2=−4 ; 3 x+18
=−4 ;3 x+1=−32 ;−33=3 x ;
![Page 60: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/60.jpg)
x=−116. x6−9 x3+8=0 ; x3=a ;гэвэл a2−9 a+8=0 ; ;a1=8 ;a2=1 ; x3=8 ;
x=2 ; x3=1; x=17. x6+28 x3+27=0 ; x3=a; гэвэл a2+28 a+27=0 ; ;a1=−27 ;a2=−1 ; x3=−27 ;
x1=−3 ; x3=−1 ; x2=−1
292. Туслах үл мэдэгч оруулан тэгшитгэлүүдийг бод.
1. √u+u=6 ;√u=a ;a2+a−6=0 ;a1=−3 ;a2=2;√u=−3 ;u1=9 ;√u=2 ;u2=4
2. x−√ x=12 ; x−√x−12=0 ;√ x=a ;a2−a−12=0 ;a1=−3 ;a2=4 ;√ x=−3 ; x1=9 ;√ x=4 ; x2=16 ;
3. t−√ t−1=7 ; t−1+√ t−1−6=0 ;√ t−1=a; a2+a−6=0;a1=−3 ;a2=2;√ t−1=−3 ; t 1=10 ;√ t−1=2 ; t2=5 ;
4. z−√ z−1=11;z−1+√z−1−10=0; √z−1=a ;a2+a−10=0 ;
a1=−1+√41
2;a2=
−1−√412
;√ t−1=−1+√412
; t 1=(−1+√412 )
2
+1 ;
√ t−1=−1−√412
; t1=( 1+√412 )
2
+1;
5. v−√v−3=5 ;v−3−√v−3−2=0 ;√v−3=a ; a2−a−2=0;a1=2; a2=−1 ;√v−3=2 ;v1=7 ;√ v−3=−1; v2=4 ;
6. p−√ p−6=96 ; p−6−√ p−6−90=0; √ p−6=a; a2−a−90=0 ;
a1=10 ;a2=−9; √ p−6=10 ; p1=106 ; √ p−6=−9; p2=87 ;
7.a−2+4√a−5=0; a−5+4√a−5+3=0 ;√a−5=t ; t 2+4 t +3=0;
t 1=−3 ; t 2=−1; √a−5=−3 ; t1=14 ;√a−5=−1 ; t2=6;
8. x+4+6√x−4=0 ; x−4+6√ x−4+8=0 ;√x−4=t ; t 2+6 t+8=0 ;
t 1=−4 ; t2=−2; √x−4=−4 ; t 1=20 ;√ x−4=−2; t 2=8 ;
293. . Тэгшитгэлийг бод.
1.(t +2t )
2
−2( t2+2t )−3=0 ; t 2+2
t=a гэвэл
a2−2a−3=0 ;a1=3 ;a2=−1 ; t2+2t
=3 ; t2−3 t+2=0 ; t1=2 ; t 2=1 ; t 2+2t
=−1; t 2+t+2=0 ;шийдгүй
2. ( x2−3x )
2
+4(x−3x )−5=0 ; x2−3
x=a гэвэл a2+4 a−5=0 ;a1=−5 ;a2=1 ;
![Page 61: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/61.jpg)
x2−3x
=−5 ; x2+5 x−3=0 ; x1=−5+√37
2; x2=
−5−√372
x2−3x
=1; x2−x−3=0 ; x3=1+√13
2; x4=
1−√132
;
3.
z2+ 1z2 −z−1
z−4=0 ; z2+2+ 1
z2 −(z+ 1z )−6=0 ; z+ 1
z=a гэвэл a2−a−6=0 ; a1=3 ;a2=−2; z+ 1
z=3 ; z2−3 z+1=0; z1=
3+√52
; z2=3−√5
2;
z+1z=−2; z2+2 z+1=0 ; (z+1 )2 ¿0 ; z3.4=−1 ;
4. y2+ 1y2 +6 y+ 6
y+6=0 ; y2+2+ 1
y2 +6( y+ 1y )+4=0 ; y+ 1
y=aгэвэл
a2+6 a+4=0 ; a1=−3+√5 ;a2=−3−√5 ; y+ 1y=−3+√5; y2−(−3+√5 ) y+1=0 ; y+ 1
y=−3−√5 ; y2+(3+√5 ) y+1=0
;
294. Хялбар иррациональ тэгши тгэлийг бод.
1. √ x+1=x+1;√ x+1 (1−√x+1 )=0 ;√x+1=0; x=−1;1−√x+1=0;
√ x+1=1; x=0 ;
2. √ x=x ; √x (1−√ x )=0 ;√ x=0 ; x=0 ;1−√ x=0 ;√ x=1 ;x=1;
3. √ x+1=1−x ;{ x+1≥ 01−x>0
(√x+1 )2=(1−x )2↔ { x≥−1
1>x1+ x=1−2 x+x2
↔ 1+x=1−2 x+x2;2 x+x2−3 x=0 ; x1=0 ;
x−3=0 ; x2=3
4. √ x+1=x−1 ; (√x+1 )2= (x−1 )2;1+x=1−2 x+x2;2 x+x2−3 x=0 ; x1=0 ;
x−3=0 ; x2=3
5. √4−x=x−2; (√4−x )2= ( x−2 )2; 4−x=4−4 x+ x2 ;2 x+x2−3 x=0 ; x1=0 ;
x−3=0 ; x2=3
6. √4−x=2−x ; (√4−x )2= (2−x )2; 4−x=4−4 x+ x2 ;2x+x2−3 x=0 ; x1=0 ;
x−3=0 ; x2=3
![Page 62: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/62.jpg)
7.√– x−1=1+x ; (√– x−1 )2=( x+1 )2;−x−1=1+2 x+x2; x2+3 x+2=0 ;
x1=−2 ; x2=−1;
8. √ – x−1=−1−x ; (√– x−1 )2=(−x−1 )2;−x−1=1+2 x+x2 ; x2+3 x+2=0 ;x1=−2 ; x2=−1;
9. √7−x−2 x=1 ; (√7− x )2=(1+2 x )2;7−x=1+4 x+4 x2 ;4 x2+5 x−6=0;
x1=−5+11
8=3
4; x2=
−5−118
=−2;
10.√6+x+2 x=3 ; (√6+x )2=(3−2 x )2;6+ x=3−12 x+4 x2 ;4 x2−13 x−3=0 ;
x1=13+11
8=3 ; x2=
13−118
=14
;
11.√3 x2+5 x−2=3x−1 ; (√3 x2+5 x−2)2=(3 x−1 )2;3 x2+5 x−2=9 x2−6 x+1=0 ;6 x2−11 x+3=0 ;
x1=11+7
12=3
2; x2=
11−712
=13
;
12.√5 x−2 x2+3=2x+1 ;(√5 x−2x2+3 )2= (2 x+1 )2;5 x−2 x2+3=4 x2+4 x+1 ;6 x2−x−2=0 ;
x1=1+712
=23
; x2=1−712
=−12
;
13.√−x2+6x+4=x+2 ; (√−x2+6 x+4 )2=( x+2 )2;−x2+6 x+4=x2+4 x+4 ;2 x2−2 x=0 ;2 x ( x−1 )=0 ;
x1=0 ; x2=1 ;
14.√2 x2+8 x+7−x=2; (√2 x2+8x+7 )2=( x+2 )2;2 x2+8 x+7=x2+4 x+4 ; x2+4 x+3=0 ;
x1=−3 ; x2=−1 ;
15.√3 x2−x−6= x√2; (√3 x2−x−6 )2=( x √2 )2;3 x2−x−6=2 x2 ; x2−x−6=0 ;
x1=3 ; x2=−2 ;
16.√9+5 x−2 x2=3−x ; (√9+5 x−2 x2 )2=(3−x )2 ;
9+5 x−2 x2=9−6 x+x2 ;3x2−11x=0 ; x (3 x−11)=0 ;
x1=0 ; x2=113
=3 23
;
17.√4+2x−x2=x−2; (√4+2 x−x2 )2=( x−2 )2;4+2 x−x2=4−4 x+ x2 ;2 x2−6 x=0 ;2 x ( x−3 )=0;
x1=0 ; x2=3 ;
18.√24+2 x−x2=−x−4 ; (√24+2x−x2 )2=(−x−4 )2;24+2x−x2=16+8 x+x2 ;2x2+6 x−8=0 ; x2+3 x−4=0 ;
![Page 63: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/63.jpg)
x1=−4 ; x2=1;
19.√1+2 x+x2=3 x+15; √(1+x )2=3 x+15;|1+x|=3 x+5 ;1+x=3 x+5 ;2 x=−4 ; x1=−2;−1−x=3x+5 ;4 x=−6 ; x2=−1.5 ;
20.√−x2−x+30=2 x−10 ; (√−x2−x+30)2= (2 x−10 )2 ;−x2−x+30=100−40 x+4 x2 ;5x2−39 x+70=0 ;
x1=39+11
10=5 ; x2=
39−1110
=2.8 ;
Бүлэг 15
Модультай хялбар тэгшитгэл тэнцэтгэл биш.
295.
a) |x|>3 ; x>3 ; x←3b) |x|>4.5; x>4.5; x←4.5c) |x|<8 ;−8<x<8 ;d) |x|>12 ; x>12 ; x←12e) |x|<12 ;−12<x<12 ;f) |x|<1 ;−1<x<1 ;
296.
a) |x|<1 ;−1<x<1 ;b) |x|<4 ;−4<x<4 ;c) |x|≤5 ;−5≤ x ≤5 ;d) |x|>2 ; x>2; x←2e) |x|≥5 ; x ≥5 ; x≤−5f) |x|≤7 ;−7≤ x≤ 7 ;
297. a-параметрийн ямар утгуудад дараахь илэрхийллүүд эерэг байх вэ?
1) |a|+3>0↔|a|>−3б үхтоон шулуунбайна .2) 3−|a|>0 ↔3>|a|↔−3<a<33) |a|−3>0 ↔|a|>3↔−3>a;a>3
298. a-параметрийн ямар утгуудад дараахь илэрхийллүүд сөрөг байх вэ?
1) |a|−4<0↔|a|<4 ↔−4<a<42) 4−|a|<0↔ 4<|a|↔−4>a ;a>43) −|a|−4<0↔−(|a|+4 )<0 ↔|a|+4>0 ;|a|>−4 ; Бүх тоон шулуун
![Page 64: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/64.jpg)
299.Дараах тэгшитгэл ба тэнцэтгэл бишийн шийд болох “х”-ийн утгуудыг тоон шулуун дээр заагаарай.
1) |x−2|=4 ; x−2=4 ; x1=6 ; x−2=−4 ; x2=−2 ;2) |x−3|<1;−1<x−3<1 ;2<x<4 ;3) |x+1|≥3 ;−3 ≥ x+1 ;−4 ≥ x; x+1≥3 ; x≥ 2 ;4) |x−5|≤ 4 ;−4 ≤ x−5≤ 4 ;1≤ x≤ 9 ;5) |4−x|<2;−2<4− x<2 ;−6← x←2;2<x<6
6) |3 x−2|≤ 9 ;−9≤ 3 x−2 ≤ 9;−7≤ 3 x ≤11; /÷3 ;−73
≤ x≤ 113
7) |x+1|=4 ; x+1=4 ; x1=3 ; x+1=−4 ;x2=−5;8) |x|+1>4 ;|x|>3 ;−3>x ; x>3 ;9) |x−2|≤ 8 ;−8≤ x−2 ≤ 8 ;−6 ≤ x≤ 10 ;
300. дараахдавхар тэнцэтгэл бишийг хангах х-ийн олонлогийг тоон шулуун дээр тэмдэглээрэй.
1) -3<x<3
2)
−1≤ x ≤1
3)x>5 ; x←5
4)x≤−2; x ≥2
301.Модулийн тодорхойлолт ашиглан тэгшитгэл бод.
1) |x|+1=5 ;|x|=4 ;x1=4 ; x=−4 ; x2=−4 ;2) 7+3|x|=22−2|x|;5|x|=15 ;|x|=3 ; x1=3 ; x=−3 ; x2=−3 ;3) 2|x|−1=|x|+7 ;|x|=8 ; x1=8 ; x=−8; x2=−8 ;4) 5|x|−7=−3|x|+26 ;8|x|=33 ;|x|=338
; x1=338
; x=−338
; x2=−33
8;
5) |3 x−7|=x ;3 x−7=x ;2 x=7 ; x1=3.5 ;3 x−7=−x ; 4 x=7 ; x2=74
;
-3
30
-1
10
-5 50
-2 20
![Page 65: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/65.jpg)
6) |2 x−3|=x−1 ;2 x−3=x−1 ; x=2; x1=2 ;2 x−3=−x−1;3 x=2 ; x2=23
;7) |15−4 x|−4=1 ;|15−4 x|=5;15−4 x=5 ;4 x=10 ; x1=2.5 ;15−4 x=−5 ; 4 x=20 ; x2=5 ;8) |2 x−9|=x;2 x−9=x ; x=9 ;x1=9;2 x−9=−x ;3 x=9 ;x2=3 ;9) |15−x|=−4 x ;15−x=−4 x ;3 x=−15 ; x1=−5 ;15−x=4 x ;5x=15 ; x2=3 ;10) |x−8|=2 x−4 ; x−8=2x−4 ; x=−4 ; x1=−4 ; x−8=−2x+4 ;3 x=12 ;x2=4 ;11) |x−2|=2 x−10 ;x−2=2 x−10 ; x=8 ; x1=8 ; x−2=−2 x+10 ;3 x=12 ;x2=4 ;12) |2 x−3|+|x+1|=5 x−10 ;2 x−3=0 ;2 x=3 ; x1=1.5; x+1=0; x2=−1 ;
a) ¿−∞ ;−1¿¿ мужид −(2 x−3 )− (x+1 )=5 x−10 ;−2 x+3−x−1=5x−10 ;2 x=12; x=6 ;
b) ¿−1;1.5¿¿ мужид −(2 x−3 )+( x+1 )=5 x−10 ;−2 x+3+x+1=5 x−10 ;
6 x=14 ; x= 73
;
c) ¿1.5 ;+∞ ¿¿ мужид (2 x−3 )+( x+1 )=5 x−10 ;2 x−3+x+1=5 x−10 ;2 x=8 ; x=4 ;13) |x+1|−|3−x|=x+1−|3−6 x|;3−x=0 ; x=3 ; x+1=0 ; x2=−1 ;
3−6 x=0 ; x=12;
a) ¿−∞ ;−1 ¿¿ мужид−( x+1 )−(3−x )=x+1−(3−6 x );
−x−1−3+x=x+1−3+6 x ;7 x=−2; x=−27
;
b) ¿−1; 12¿ ( x+1 )−(3−x )=x+1−(3−6 x ); x+1−3+x=x+1−3+6 x;5 x=0 ; x=0
c) ¿ 12
;3 ¿ ( x+1 )−(3−x )=x+1+ (3−6 x ) ;
x+1−3+x=x+1+3−6 x ;7 x=6 ; x=67
d) ¿3 ;+∞¿ ( x+1 )+(3−x )=x+1+(3−6 x );x+1+3−x=x+1+3−6 x;5 x=0 ; x=014) |3−2 x|−|x+1|+|2− x|=|3−9 x|+x−5 ;3−2 x=0 ; x=1.5 ;
x+1=0 ; x=−1 ;2−x=0 ;x=2;3−9 x=0 ; x=13
;
a) ¿−∞ ;−1¿¿ мужид3−2x+x+1+2−x=3−9 x+ x−5 ;6 x=−8 ; x=−43
;
b) ¿ 13
;1.5¿
c) ¿1.5 ;2¿¿ мужид−3+2 x−x−1+2− x=−3+9 x+x−5 ;10 x=6 ; x=35
;
d) ¿2 ;+∞ ¿ −3+2 x−x−1−2+ x=−3+9 x+x−5 ;8 x=2 ;x=14
;
![Page 66: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/66.jpg)
15) √ x2−6 x+9+√ x2−2 x+1=4 ;|x−3|−|x−1|=4 ;x−3=0 ; x=3 ; x−1=0 ; x=1 ;
a¿¿−∞ ;1¿¿ мужид – x+3+x−1=4 ;2=4 ;шийдгүйb) ¿1 ;3¿¿ мужид – x+3−x+1=4 ;2 x=0 ; x=0c) ¿3 ;+∞¿ x−3−x+1=4 ;−2=4 ; шийдгүй
302.Модуль дотроо үл мэдэгч агуулсан тэнцэтгэл бишийг бодоорой.
1) |x−3|<x+2; x−3=0 ; x=3 ;
a) ¿−∞ ;3¿¿ мужид−x+3<x+2;1<2 x; x> 12
;
b) ¿3 ;+∞¿2) |x−4|<3 x−12; x−4=0 ; x=4 ;
a) ¿−∞ ;4¿¿ мужид−x+4<3 x−12;16<4 x ; x>4 ;b)¿4 ;+∞ ¿
3) |2 x−3|>9 ;−9>2 x−3 ; ;−6>2 x ;−3>x ;2x−3>9 ;2x>12 ; x>6 ;4) 2|x+1|>x+4 ; x+1=0 ; x=−1 ;
a) ¿−∞ ;−1 ¿¿ мужид−2 x−2>x+4 ;−6>3 x ;−2>x ;b) ¿−1;+∞ ¿
5) 2|x+1|>−x+4 ; x+1=0; x=−1;a) ¿−∞ ;−1 ¿¿ мужид−2 x−2>−x+4 ;−6> x ;b)¿−1;+∞ ¿
6) 3|x−1|≤ x+3 ; x−1=0 ; x=1;b) ¿−∞ ;1¿¿ мужид−3 x+3≤ x+3 ;0 ≤ 4 x ;0 ≤ xb)¿1 ;+∞ ¿
7) 5 x−|2 x+1|>3 ;2x+1=0 ; x=−0.5;
a) ¿−∞ ;−0.5¿¿ мужид5 x+2x+1>3 ;7 x>−1; x>−17
;
b)¿−0.5 ;+∞ ¿8) 4|x+2|<2x+10 ; x+2=0 ; x=−2 ;
c) ¿−∞ ;−2 ¿¿ мужид−4 x−8<2 x+10;−18<6 x ;−3<xb)¿−2;+∞ ¿
9) 3|x+1|≥ x+5 ; x+1=0 ; x=−1 ;d) ¿−∞ ;−1 ¿¿ мужид−3 x−3 ≥ x+5 ;−8≥ 4 x ;−2 ≥ x ;b)¿−1;+∞ ¿
10)|x−2|≤ 2x+1 ; x−2=0 ; x=2 ;
a) ¿−∞ ;2¿¿ мужид−x+2≤ 2 x+1 ;1≤3 x ; 13
≤ x ;
b)¿2 ;+∞ ¿
11) |x−2|+|3−x|>4+x ;
3−x=0 ; x=3 ; x−2=0 ; x=2 ;
![Page 67: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/67.jpg)
a¿¿−∞ ;2¿¿ мужид – x+2+3−x>4+ x ;1>3 x ; 13>x ;
b) ¿2 ;3¿¿ мужид x−2+3−x>4+ x;−3>x;c) ¿3 ;+∞¿ x−2−3+x>4+ x; x>9 ;
12) |2−5x|+|x+1|≥ 3+x;
2−5 x=0; x=2.5; x+1=0; x=−1;
a¿¿−∞ ;−1¿¿ мужид 2−5 x−x−1≥ 3+x ;−2 ≥7 x ;−27
≥ x ;
b) ¿−1;2.5¿¿ мужид 2−5 x+x+1≥ 3+x ;0≥ 5 x;0 ≥ x ;
c) ¿2.5 ;+∞¿ −2+5 x+ x+1≥ 3+x ;5 x≥ 4 ; 45
≤ x;
13) |2 x+5|−|3x−4|≤ 2 x−4 ;
2 x+5=0 ; x=−2.5 ;3 x−4=0; x=−43
;
a¿¿−∞ ;−2.5¿¿ мужид −2 x−5+3 x−4 ≤2 x−4 ; x≥−5
b) ¿−2.5 ;−43
¿¿ мужид 2 x+5+3 x−4 ≤ 2 x−4 ;3 x≥ 0 ; x≥ 0 ;
c) ¿−43
;+∞¿
14) |x−1|+|2−x|>3+x ;
x−1=0 ;x=1;2−x=0 ; x=2 ;a¿¿−∞ ;1¿¿ мужид – x+1+2−x>3+x ;0>3 x ; 0>x;b) ¿1 ;2¿¿ мужид x−1+2−x>3+x ;−2>x ;c) ¿2 ;+∞ ¿
15) |2 x+1|+|3 x+2|≤ 3+5 x ;
2 x+1=0 ; x=−0.5 ;3 x+2=0 ; x=−23
;
a¿¿−∞ ;−0.5¿¿ мужид – 2 x−1−2−3 x≤ 3+5 x ;0 ≤ 10x ;0 ≤ x ;
b) ¿−0,5 ;−23
¿¿ мужид 2 x+1−2−3 x≤ 3+5 x ;−4≤6 x ;−23
≤ x ;
c) ¿2 ;+∞ ¿
16) |x−1|−|x|+|2 x+3|>2 x+4 ;
x−1=0 ;x=1; x=0;2 x+3=0 ; x=−32
;
a¿¿−∞ ;−1.5¿¿ мужид – x+1+x−2 x−3>2 x+4 ;−6>4 x ;−32
>x ;
![Page 68: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/68.jpg)
b) ¿−1,5 ;0¿¿ мужид – x+1+x+2 x+3>2 x+4 ;0>0 ;шийдг үйc) ¿0 ;1¿d) ¿1 ;+∞ ¿
17) |5 x−1|−|4 x+2|≤|x−3|
5 x−1=0 ; x=15
; 4 x+2=0 ; x=−12
; x−3=0 ; x=3 ;
a¿¿−∞ ;−0.5¿¿ мужид – 5 x+1+4 x+2≤−x+3 ;0 ≤ 0 ;б үхтоон шулуун
b) ¿−0,5 ; 15
¿¿ мужид −5 x+1−4 x−2≤−x+3;−4≤ 8 x ;−12
≤ x ;
c) ¿15
;3 ¿
d) ¿3 ;+∞¿
18) |x−2|−|x−5|≤ 13
x−2=0 ; x=2; x−5=0 ; x=5 ;a¿¿−∞ ;2¿¿ мужид – x+2+x−5 ≤ 13 ;0≤ 16 ;б үх тооншулуунb) ¿2 ;5¿¿ мужид x−2+x−5 ≤ 13 ;2 x ≤20 ; x≤ 10c) ¿5 ;+∞ ¿
19) |x−1|≤|2x−1|2
+1/ ∙ 2;2|x−1|≤|2 x−1|+2
x−1=0 ;x=1;2 x−1=0; x=0.5;a¿¿−∞ ;0.5¿¿ мужид – 2 x+2≤−2 x+1 ;0≤−1 ;шийдгүйb) ¿2 ;5¿¿ мужид 2 x−2≤ 2 x−1; 0≤ 1 ;б үх т үүн шулуунc) ¿5 ;+∞ ¿
303.1) 3<|x|<7 ; 3<x<7 ;3← x<7/ ∙ (−1 ) −7<x←32)1<|x−2|<4 ; 1<x−2<4; ; 3<x<6; ; 1← ( x−2 )<4; 1← x+2<4 ;−1← x<2;/(-1);−2<x<1;3)3<|2 x−1|<5 ;3<2x−1<5 ; 4<2 x<6 ;2< x<3 ;3←2 x+1<5;
2←2x<4 ;−2<x←14) 5 ≤|x|<9 ; 5 ≤ x<9 ;5≤−x<9 /∙ (−1 ) −9<x←55) 2 ≤|x+1|≤ 6 ;1≤ x≤ 5 ;;3≤−x≤ 7 ;−7 ≤ x≤−3 ;
![Page 69: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/69.jpg)
6)4 ≤|4 x−3|≤ 12 ;4≤ 4 x−3≤ 12 ;7≤ 4 x≤ 15 ; 7
4≤ x≤ 15
4;4 ≤−4 x+3≤ 12;1 ≤−4 x≤ 9 ;−9
4≤ x ≤−1
4;
Бүлэг 17
322. 4 x2+ px+4=0 хоёр шийдтэй байх вэ?
D=p2−4 ∙ 4 ∙ 4>0↔ p2−82>0; pϵ ¿−∞ ;−8[∪]8 ;+∞¿
323. 2 x2+ px−p=0 шийдгүй байх вэ?
D=p2−4 ∙ 2 ∙ p<0 ↔ p2−8 p>0 ; p ( p−8 )<0 ; pϵ ¿0 ;8¿
324. 4 x2+4 x+ p2=0 хоёр шийдтэй байх вэ?
D=42−4 ∙4 ∙ p2>0↔ 42−16 p2=16 (1−p2)>0; pϵ ¿−1 ;1¿
325. 3 x2+ px+3=0 шийдгүй байх вэ?
D=p2−4 ∙ 3 ∙3<0↔ p2−62<0 ; pϵ ¿−6 ;6¿
326. x2−(2 p−1 ) x+ p2+3=0 шийдгүй байх вэ?
D= (2 p−1 )2−4 ∙ ( p2+3 )<0↔ 4 p2−4 p+1−4 p2−12<0 ↔−4 p−11<0 ;4 p>11; p> 114
;
327. 4 x2+4 x+ p2=0 хоёр шийдтэй байх вэ?
D=42−4 ∙4 ∙ p2>0↔ 42−16 p2=16 (1−p2)>0; pϵ ¿−1 ;1¿
328. 2 p x2+(4 p−3 ) x+ (2 p−6 )=0 хоёр шийдтэй байх вэ?
D= (4 p−3 )2−4 ∙2 p ∙ (2 p−6 )>0 ↔16 p2−24 p+9−16 p2+48 p=24 p+9>0↔
p>−38
;
329. x2−(2 p−1 ) x+ p2−3=0 шийдгүй байх вэ?
D= (2 p−1 )2−4 ∙ ( p2−3 )<0 ↔ 4 p2−4 p+1−4 p2+12<0 ↔−4 p+13<0 ;4 p>13; p> 134
;
330. x2+2 px+ p2−3 p+6=0 хоёр шийдтэй байх вэ?
D= (2 p )2−4 ∙ ( p2−3 p+6 )<0↔ 4 p2−4 p2+12 p−24<0↔ 12 p−24<0 ; p<2 ;
![Page 70: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/70.jpg)
Бүлэг 18
Тоон дараалал
335. Дарааллын эхний таван гишүүнийг ол.
a)10,11,12,13,14,15,b)1,4,9,16,25c)4,7,10,13,16
336. {an } дараалал an=5 n−2 томъёогоор өгөгдөв.
a1=5 ∙1−2=3
a6=5 ∙6−2=28
a10=5∙10−2=48
a100=5 ∙ 100−2=498
ar=5 ∙ r−2
ar+1=5∙ (r+1 )−2=5 r+3
337. Хоёр,тав ба арав дахь гишүүдийг ол.
a) x2=2+6=8 ; x5=5+6=11; x10=10+6=16 ;
b) x2=22=4 ; x5=52=25 ; x10=102=100 ;c) x2=23−4=4 ;x5=53−4=121 ;
d) x2=2∙ 2−1
3=1 ; x5=
2 ∙5−13
=3 ; x10=2∙ 10−1
3=19
3;
e) x2=2 (2−1 )=2 ; x5=2 (5−1 )=8 ; x10=2 (10−1 )=18 ;
f) x2=(−1 )2=1 ; x5=(−1 )5=−1 ; x10=(−1 )10=1 ;
338. an=55−4 n дарааллын хэддүгээр гишүүн нь 15 вэ? 55−4n=15 ;n=10
339. Дарааллын эхний таван гишүүнийг ол.
a)c1=3 ;cn+1=cn+4 c2=c1+4=3+4=7 ;c3=c2+4=7+4=11;c4=c3+4=11+4=15 ;c5=c4+4=15+4=19
b) c1=4 ;cn+1=2 cn c2=2c1=2 ∙4=8 ;c3=2c2=2 ∙8=16 ;c4=2 c3=2∙16=32;c5=2c4=2 ∙32=64
340. an=n2−2n+3 ; n2−2n+3=3 ; n2−2n=0 ;n (n−2 )=0 ;n=2;
n2−2n+3=66 ;n2−2 n−63=0 ;n=9 ;
![Page 71: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/71.jpg)
n2−2n+3=103;n2−2n−100=0 гишүүн биш
341. a)b1=4 ; bn+1=bn+4 b2=b1+4=4+4=8 ;b3=b2+4=8+4=12 ;b4=b3+4=12+4=16 ;b5=b4+4=16+4=20
d=8−4=4 ; bn=b1+d ( n−1 )=4+4 (n−1 )=4 n
. b)b1=1;bn+1=5bn+24b2=5∙ 1+24=29 ;b3=29+24=53 ;
Бүлэг 19
Арифметик прогресс
Бүлэг 19
342. 2 x2−5 x+2=0¿: 2 a1ба a4тэгшитгэлийн шийдүүд бол түүнийг ол.
x2−2.5 x+1=0 a1+a5=0.5+2=2.5
x2−2.5 x+1=0 x1=2 a1=0.5
x2=0.5 a4=2
343. S7=8 S8=7 бол S15=?
S8−S7=a8 S15=2a1+d (15−1)
2 ∙ 15 =
2∙ a1+14 d2
∙ 15= (a1+7 d )∙ 15
7−8=−1; a8=−1 S15=15 ∙(114
−154
¿=−15
S8=¿ a1+a8
2∙8
7=(a1−1)∙4
4 a1=11
a1=114
S7=2a1+6 d
2 ∙ 7 8=(a1+3 d) ∙7 8=( 11
4+3d) ∙7
87=11+12d
4 87−11
4=3 d
3d=32−7728
=−4528 d=−15
28;
345. a3+a11=40
![Page 72: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/72.jpg)
a6+a7+a8=40+a7=40+a6+a8
2=40+20=60
a6+a8=40
a7=a6+a8
2=40
2=20
346. S3=3 ; S6=7 S9=?
Sn=( a1+an ) ∙ n
2=
( ar+an−r+1 )∙ n2
a1+a6=a3+a4
{ S6=a1+a6
2∙6=
a3+a4
2∙ 6=a3+a4=7
S3=a1+a3
2∙3=3=
a1+a3
2∙3=a1+a3=2
=¿ {a1+2 d+a1+3d=7a1+a1+2 d=2 S9=
a1+a9
2∙ 9
a1+a1+2d=2 a1=−43
∙ 12=−2
3 2a1=2−2 ∙ 53=−4
3 3d=5 d=53
S9=S6+a7+a8+a9=S6+a1+6d+a2+6d+a3+6d=S6+S3+18 d=7+3+18 d=10+18 ∙ 53=40
347. a3+a4+a5+a6+a7=45 S9=?
S9=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=¿ 2 a+b=45
45 ∙ 2−a5=90−9=81
348. 1,4,7 , …………. an=298 n=?
a1=1d=3 an=¿ a1+d (n−1 )=1+3 (n−1 )=3 n−2
Sn=a1+an
2∙ n=1+3 n−2
2∙ n
298=n2
(3 n−1 ) 3n2−n+596=0
D=1+4 ∙3∙596=1+7152=7153 a100=298
![Page 73: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/73.jpg)
349. ( x+1 )+( x+4 )+ (x+7 )+…+( x+28 )=155
3n−2=28 n=10
10 x+ (1+4+7+…+28 )=155
S10=1+28
2∙ 10=29 ∙ 5=145
10 x+145=155
x=1
350. ( x+1 )+( x+4 )+ (x+7 )+…+( x+58 )=610
1+4+7+…+58
a1=1 d=3
an=a1+3 (n−1 )=3 n−2
n=20
20 x+ (1+4+…+58 )=610
S20=1+58
2∙ 20=590
20 x+590=610
20 x=20 x=1
351.x−1
x+ x−1
x+…+ 1
x=3
x+( x−1 )+ (x−2 )+…+1−xx
=13
1+x2
∙ x−x
x=1
3x≠ 0
x+x2−2 x2 x
=13
x2−x2 x
=13
x−12
=13
![Page 74: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/74.jpg)
x=23+1=5
3
352. 33 ∙35 ∙….∙ 32 n−1=275
33+5+…+2 n−1=(3¿¿3)5=315 ¿
3+5+…+2 n−1=15
a1=3d=2
an=a1+2 (n−1 )=3+2n−2=2 n+1
Sn=a1+an
2∙ n=3+2 n+1
2∙ n=(n+2 ) n
n2+2n=15 n2+2n−15=0
n=−5←шийд бишn=3
353. 22∙ 24 ∙26∙ …∙ 22n=(0.25 )−28
22+4+6+…+2n=(2¿¿−2)−28=256¿
2 (1+2+3+…+n )=56
1+2+3+…+n=28
n=−8 шийд биш n=7
354. 1+4+7+…+n=117
a1=1 d=3
an=1+3 n−3=3 n−2
Sn=1+3n−2
2∙ n=3n−1
2=117
3n2−n−234=0
D=1+43234=2809=532
n1,2=1± 53
6n1=9n2=
−56
355. 1+7+13+…+n=280
a1=1d=6
![Page 75: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/75.jpg)
an=a1+d (n−1 )=1+6 (n−1 )=6 n−5
Sn=1+6n−5
2∙ n=6n−4
2∙ n= (3 n−2 ) n=280
3n2−2 n−280=0
D=4+12 ∙ 280=4 (1+3 ∙280 )=4 ∙841=(2∙29 )2=582
n1,2=2± 58
6n1=10 n2=
−566
356. a1=3.4a2=−0.2
a3=? a4=? a5=?a6=?
d=a2−a1=−0.2−3.4=−3.6
a3=a2+(−3.6 )=−0.2+(−3.6 )=−3.8
a4=−3.8+ (−3.6 )=−7.4
a5=−7.4+ (−3.6 )=−11
a6=−11+ (−3.6 )=−14.6
357. b1=−0.8 d=4
b3=b1+2 d=−0.8+4 ∙2=7.2
b7=b1+6 d=−0.8+6 ∙ 4=23.2
b24=b1+23 d=−0.8+23 ∙4=91.2
br+1=b1+(r+1 ) ∙d=−0.8+4 (r+1 )=4 r+3.2 358. a . a1=16
a8=a1+7 dd=? 37=16+7 d a8=37
21=7 d d=3
b . a1=4 a18=−11d=?
a18=a1+17 d=4+17 d−11=4+17 d
−15=17 d d=−1517
c .a1=0.5 a23=−23d=?
![Page 76: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/76.jpg)
a23=a1+22 d−23=0.5+22 d−23.5=22 dd=−23.522
359. a1=106 d=12
a7=a1+6 d=106+6 ∙ 12=178
a12=a1+11d=106+11∙12=238
360. x1=14 d=0.5
a . an=17.5 n=? 17.5=a1+d (n−1 )
17.5=14+0.5 n−0.5
0.5 n=4 n=8
b . an=15n=? 15=a1+d (n−1 )
15=14+0.5n−0.5
1.5=0.5 nn=3
c . an=34 n=? 34=14+0.5n−0.5
20.5=0.5 n n=41
361. a . 18 ;14 ;…………… .. a1=18 d=−14 an=18−14 ( n−1 )=32−14 n
−38=32−14n 14n=70 n=5
5−р гишүүн байна
b .−64=32−14 n 14 n=96 n=9614
гишүүнбиш байна
c .−80=32−14 n14 n=112n=8 8−р гишүүнбайна
362. 2 ;an ;an+1;22 an=?
an+an+ 1=2+22=24
an=2+d
an+1=2+2 d
2+d+2+2 d=24
![Page 77: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/77.jpg)
3d=20 d=203
an=2+ 203
=263
an+1=2+ 2∙ 203
=463
363. a2+an−2=a5+an−5 батал
2+n−2=n Sn=a1+an
2∙ n
a2=a1+d an−2=a1+(n−2 ) d
a2+an−2=a1+d+a1+dn−2d=2 a1+dn−d
a5=a1+4d an−5=a1+ (n−5 ) d
a5+an−5=a1+4 d+a1+dn−5 d=2 a1+dn−d 2 a1+dn−d=2 a1+dn−d
364. a1=7 a2=n2 a3=(n+1 )2=n2+2n+1=a2+2n+1
a2=a1+d a3=a1+2 d 7+2 d=7+d+2 n+1
a2=7+d a3=7+2d
n2=7+ (n+1 )2
22 n2=7+n2+2n+1
n2−2n−8=0 n=4 n=−2∅
7;16;25………… болов
365. a2;b2;c2 – арифметик прогресс
b2=a2+c2
21
b+c1
a+c1
a+b1
a+c=1
2 ( 1b+c
+ 1a+b )
366. a1=−16a2=−13
d=−13— 16=3 an=a1+d (n−1 )=−16+3 (n−1 )=3 n−19
Sn=−16+3n−19
2∙ n=n
2(3 n−35 )
a. Sn=62
(3 ∙6−35 )=−51
b. S16=162
(3 ∙ 16−35 )=104
c. S25=252
(3 ∙ 25−35 )=500
![Page 78: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/78.jpg)
d. Sr+1=r+1
2 (3 ∙ (r+1 )−35 )= (r+1 ) (3 r−32 )2
367. а . a1=4 d=2S12=?a12=a1+11 ∙ d=4+11 ∙2=26S12=4+26
2∙12=30 ∙6=180
б . a1=−5d=3 S12=?a12=a1+11 ∙ d=−5+11 ∙ 3=28 S12=−5+28
2∙12=23∙ 6=138
в .a1=16.5d=−1.5 S12=?
a12=a1+11 ∙ d=16.5+11 ∙ (−1.5 )=16.5−16.5=0 S12=16.5+0
2∙12=16.5 ∙6=99
г . a1=1+√3 d=−√3 S12=?
a12=a1+11 ∙ d=1+√3−11 ∙√3=1−10 ∙√3=0 S12=1+√3+1−10 ∙√3
2∙12= (2−9 ∙√3 )∙ 6=12−54 ∙√3
368. an=3 n+2S5=?
a1=3 ∙1+2=5
a2=3 ∙2+2=8
d=a2−a1=8−5=3
a5=a1+4d=5+4 ∙ 3=17
S5=5+17
2∙5=11 ∙5=55
369. a. 1+2+3+4+…+80=?
a1=1 a2=2d=1a80=80
S80=1+80
2∙ 80=81∙ 40=3240
b. 10+11+12+…+98+99=?
a1=10 d=1an=10+(n−1 )=99n=90
S90=10+99
2∙90=109 ∙ 45=4905
c. 2+4+6+…+98+100=?
a1=2 d=2 an=a1+2 (n−1 )
100=2+2n−2=2nn=50
![Page 79: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/79.jpg)
S50=2+100
2∙50=102 ∙25=2550
370. a. a1=8 a7=24S9=?
a7=a1+6 d a9=a7+2d=24+2 ∙3=30
24=8+6 d S9=8+30
2∙ 9=19 ∙ 9=171
d=3
b. a4=16 a12=88 S9=?
a12=a4−8d
88=16+8 d
d=9
a9=a4+5d=16+5 ∙ 9=61
S9=16+61
2∙9=77 ∙9
2=296 1
2
371. 26 m∙ 2m=52 m
52m+15 m=67m
372. S3=48 S6=141 a1=? d=?
{ a1+a3
2∙3=48
a1+a6
2∙ 6=141
=¿ {a1+a3=32a1+a6=47
=¿ {a1+a1+2 d=32a1+a1+5 d=47
=¿ {2 a1+2d=322 a1+5d=47
3 d=15 d=3
2 ∙ a1+2∙3=322 a1=26 a1=13
374. 3+7+11+…+x=289
a1=3a2=7 d=4
x=3+4 (n−1 )=4n−1
(3+4 n−1 )2
∙ n=289
(4 n+2 )2
∙ n=289
![Page 80: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/80.jpg)
(2n+1 ) n=289 шийдгүй
b. 8+5+2+…+x=270
a1=8 a2=5 d=−3
x=8+ (−3 ) (n−1 )=11−3 n
270=(8+11−3 n )
2∙n
540=209−33 n−57 n+9n2
9n2−90 n−331=0 шийдгүй
375. Sn=5 n2+3 n
Sn=(2 a1+d (n−1 ) )
2∙ n
S1=5 ∙12+3∙1=8=a1
S2=5 ∙4+3 ∙2=26
a2=26−8=18
d=18−8=10 a1=8 d=10
b. Sn=3 n2
a1=3 ∙12=3 a2=S2−a1=12−3=9
S2=3 ∙ 22=12d=a2−a1=9−3=6
c. Sn= (4 n−1 ) n
a1=(4 ∙ 1−1 ) ∙1=3 a2=14−3=11
S2= (4 ∙ 2−1 ) ∙2=14 d=a2−a1=11−3=8
376. S3=66a2 ∙ a3=528
¿
22 ∙ (22+d )=528 d=2 ;a1=20
377. 113 ;a2;a3;a4 …a9 ;a10 ;163
a2+a10=a3+a9=a4+a8=a5+a7=276
![Page 81: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/81.jpg)
a1+d+a1+9d=276
2a1+10 d=276 ; a1+5 d=138;113+5 d=138 ;d=5
113,118,123,128,133,138,143,148,153,158,163
378.s20=? {a1+a4+a7=45a4 ∙ a6=315
↔{a1+a1+3d+a1+6 d=45(a1+3 d ) ( a1+5 d )=315
↔ { a1+3 d=1515 (15+2 d )=315
↔ a1=6 ;d=3
a20=a1+19 d=6+19∙3=63 ; s20=10 ( a1+a20)=10 (6+63 )=690 ;
379. 10+15+20+…+an=2475 n=?
a1=10 ;a2=15 ;d=15−10=5;
an=a1+d (n−1 )=10+5 (n−1 )=5 n+5
sn=10+5n+5
2∙ n=15+5 n
2∙ n ;2475=5 (3+n )
2∙ n ;n2+3 n−990=0; n=30
380..s50=? {a2+a6+a10=36a6 ∙ a9=216
↔ {a1+d+a1+5d+a1+9 d=36(a1+5d ) (a1+8 d )=216
↔ { a1+5d=1212 (12+3d )=216
↔
d=2;a1=2 ;
a50=a1+49 d=2+49 ∙ 2=100 ; s50=25 (a1+a50 )=25 (2+100 )=2590 ;
381. 96+98+100+…+126+128=? ;a1=96 ;a2=98 ; d=98−96=2;
128=96+2 (n−1 );n=17 ;s17=17(a1+a17 )
2=112∗17=1904 ;
382. ..s15=? {a3+a5+a7=60a5 ∙ a6=300
↔ {a1+2 d+a1+4 d+a1+6 d=60(a1+4 d ) (a1+5d )=300
↔ { a1+4d=2020 (20+d )=300
↔
d=−5 ;a1=40;
a15=a1+14 d=40+14 ∙ (−5 )=−20 ;s15=15( a1+a15 )
2=15
( 40+(−20))2
=150;
383. a6+a9+a12+a15=20 бол s20=? a6+a15=a9+a12=a ;2a=20 ;a=10;
![Page 82: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/82.jpg)
s20=a1+a2+a3+a4+…+a17+a18+a19+a20=10 ∙ 202
=100 ;
384. {a3+a2+a1=9a1 ∙ a2∙ a3=15
↔ { a1+2d+a1+d+a1=9a1 ( a1+d ) (a1+2 d )=15
↔ {a1+d=3 ;a1=3−da1 ∙3 (3+d )=15
↔
(3−d ) ∙ (3+d )=15 ;9−d2=15; d2=−7шийдг үй
385. 3a2 , a3 ,a4 , a5 , a6 , a7 ,24
a2+a7=a3+a6=a4+a5=27 ; a1+d+a1+6 d=27 ;2 a1+7 d=27 ;
2∗3+7 d=27 ;d=3 ;2a1=27−7d; a1=3 ;3,6,9,12,15,18,21,24
386. sn=2n2−3 n бол эхнийгишүүн ба ялгаврыг ол.
s1=2 ∙ 12−3 ∙1=−1; a1=−1 ;
s2=2 ∙ 22−3 ∙2=8−6=2 ;a2=s2−s1=2 — 1=3 ;d=3−(−1 )=4
387. −2 ;−6 ;−10 дарааллын 13-р гишүүн ба нийлбэрийг ол.
a1=−2 ;a2=−6 ; d=−6 — 2=−4 ;
an=a1+d (n−1 ); a13=−2−4 (13−1 )=−50 ;
s13=−2+ (−50 )
2∙ 13=−169;
388. a1+a2+a3=0 ;a1+a2+a3+a4=1 бол s12=?
0+a4=1; a1+3d=1 ;a1+a1+d+a1+2d=0 ;
3a1+3 d=0 ;a1=−d ;−d+3d=1 ;d=0.5; a12=−d+11d=10 d ;
s12=( a1+a12 )∙ 6=−d+10 d=9 d=9 ∙ 0.5∙ 6=27
389.
{s8+s6−s3=1646a1−a5=8
↔ {4 (a1+a8 )+3 (a1+a6 )−1.5 (a1+a3 )=1646 a1−a1−4d=8
↔{11 a1+40 d=1645 a1−4 d=8/¿10
↔ {11a1+40 d=16450 a1−40 d=80
↔ a1=4 ;5 ∙4−4 d=8 ;d=3;
390. 3,5,7 , … дарааллын хувьд sn>143 ;n=?
![Page 83: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/83.jpg)
a1=3 ;a2=5 ;d=5— 3=2;
an=a1+d (n−1 ); an=3+2 (n−1 )=2 n+1 ;
sn=3+2 n+1
2∙ n>143 ;n2+2 n−143>0 ;n>11
391.
{s9+s7−s4=240a6−7 a1=2
↔ {4.5 ( a1+a9 )+3.5 ( a1+a7 )−2 ( a1+a4 )=240a1+5d−7 a1=2
↔ {12 a1+51 d=2405d−6 a1=2/¿2
↔ {12 a1+51 d=240−12 a1+10 d=4
↔ 61 d=244 ; d=4 ;5∙4−6 a1=2 ;a1=3
392. 2,5,8 ,… дарааллын хувьд sn>100 ;n=?
a1=2; a2=5 ;d=5 — 2=3 ;
an=a1+d (n−1 ); an=2+3 (n−1 )=3n−1;
sn=2+3n−1
2∙ n>100 ;3n2+n−200>0; n>8
393. {a2+a3=15a1 d=9
↔ . {a1+d+a1+2 d=15a1 d=9
↔{2 a1+3 d=15a1 d=9
↔ a1=9d
;2 ∙ 9d+3 d=15
d2−5d+6=0 ;d=2;d=3 ;a1=92=4.5 ;a1=
93=3
Бүлэг 20
Геометр прогресс
394. √5 ∙5 ∙√5=( x+1 )2;25=( x+1 )2 ; ( x+1−4 ) (x+1+5 )=0 ; x=4 эсвэл x=6
395. b2=a ∙ cбайна . Эндээс a ∙c нь ү ржвэр ньтэгээс их тоо байна . D=b2−4 ∙ a ∙ c=¿a ∙ c−4 ∙ a∙ c=−3∙ a ∙ c<0болох учиршийдг ү й .
396. a4 ∙a8=a3∙ q ∙a8
q=a3 ∙ a8=−512 болно .
{ a3+a8=124a3 ∙ a8=−512
=¿a3=124−a8 үү нийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулбал
a8 ∙ (124−a8 )=−512 ;a8=xгэе . x2−124 ∙ x−512=0
D=1242−4 ∙ (−512 )=15376+2048=17424
397. S3 ∶ S2=3 ∶ 2 ;b1+b2+b3
b1+b2=
b1 ∙ (1+q+q2)b1 ∙ (1+q )
=32
;2+2∙ q+2 ∙ q2=3+3 ∙q
![Page 84: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/84.jpg)
2 ∙q2−q−1=0 ; D=1−4 ∙2∙ (−1 )=9; q=1+34
=1 ;q=1−34
=−12
;
399. q3=a4 ∶ a1=3 ∶ 19=27 ;q=3 ;a3=3 ∶ 3=1 ;
a1 ∙ a5=a32
a2 ∙ a4=a32болно a1 ∙ a2 ∙ a3 ∙ a4 ∙ a5=a3
5=15=1
400. b1+b2=7b1+b2+b3+b4+b5+b6=91 ;b3+b4+b5+b6=91−7=84
S4=b1+b2+b3+b4; q2 ∙ (b1+b2+b3+b4 )=84 ;q2∙ (b1+b2+b3+b4 )=84 ;q2∙ (b1+b2+q2 ∙ ( b1+b2 ))=84 ;
q2 ∙ (7+7 ∙ q2 )=84 ;7 ∙ q4+7 ∙q2−84=0 ;q4+q2−12=0(q2+4 ) (q2−3 )=0; q=±√3
I . q=−√3 үед b1+b1 ∙ q=7 ; b1=7
1+q= 7
1−√3II . q=√3үед b1+b1 ∙ q=7 ;b1=
71+q
= 71+√3
401. q=1.8 ∶ 0.3=6b3=1.8 ∙ 6=10.8b4=10.8∙ 6=64.8
402. a¿b3=1.6 ∙22=1.6 ∙ 4=6.4b¿b5=1.6 ∙24=1.6 ∙ 16=25.6c ¿b7=1.6 ∙26=1.6 ∙ 32=51.2d ¿bγ=1.6 ∙ 2γ−1
403. a¿a6=3 ∙ 25=3 ∙32=96b¿a5=125 ∙( 15 )
4
=53∙( 15 )
4
=15
c ¿a7=64 ∙(−14 )
6
=26 ∙ 1212 =
126
d ¿a8=2∙√2∙( 1√2 )
7
=2∙√2∙ 18 ∙√2
=14
404. a¿b1=b6 ∶ q5= 127
∶( 13 )
5
=(13 )
3
∶ (13 )
5
=(13 )
−2
=9b¿b1=b7 ∶ q6=256 ∶ (−2 )6=28∶ 26=22=4
405. a¿q=b5∶ b3=48 ∶ 12=4b¿q=b6∶ b4=16∶ 25=1625
;
406. b1=19
;b6=27 болноq5=b6∶ b1=27 ∶ 19=33∙ 32=35; q=3
b2=19
∙ 3=13
;b3=19
∙ 32=1 ;b3=19
∙27=3 ;b4=19
∙81=9 ;
407. a1;a2;a3 …геометр прогресс учир a1 ∙ a3=a22байна .
a¿ (2 ∙ a2 )2=2 ∙ a1 ∙ 2 ∙ a2=¿4 ∙ a22=4 ∙ a1∙ a3=¿a2
2=a1 ∙ a3 болох тул геометр прогрес сүү снэ .
b¿ ( a2+3 )¿2=( a1+3 ) ∙ ( a3+3 )=¿a22+6 ∙ a2+9=a1 ∙ a3+3∙ a1+3 ∙ a3+9=¿
a22+6 ∙ a2=a1 ∙ a3+3∙ a1+3 ∙ a3 ; эндээс 6 ∙ a2=3 ∙ a1+3 ∙a3биелэх эсэхийг шалгана .
2 ∙ a2=a1+a3 геометр прогресс дээр биелэхг ү й учир дараалалгеометрпрогресс үү сгэхг ү й .
![Page 85: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/85.jpg)
c ¿ (√a2 )2=√a1 ∙√a3 ;a2=√a1 ∙√a3 хоёр талыг квадрат зэрэг дэвш үүлэе
a22=a1 ∙ a3 ньг еометр прогрессын дараалсан гурван гишүү ний хувьд биелдэг учир
дараалал геометрпрогресс үү сгэнэогресс
409. { b4−b2=8b5−b3=36 { b1∙ (q3−q )=8
b1 ∙ ( q4−q2)=36харгалзан хуваавал
b1∙ (q3−q )b1 ∙ ( q4−q2 )
= 836
=¿
q ∙ ( q2−1 )q2 ( q2−1 )
= 836
=¿ 1q=2
9=¿q=4.5 b1=
8q ∙ ( q2−1 )
= 84.5 ∙ (4.52−1 )
84.5 ∙ (20.25−1 )
= 84.5 ∙19.25
= 886.625
410. b2=a ∙ cбиелэнэ(a+b+c ) ∙ ( a−b+c )=(a+c )2−b2=¿a2+2∙ a ∙ c+c2−b2=a2+2 ∙ b2+c2−b2=a2+b2+c2
411.
a¿ S5=b1∙ (q5−1 )
q−1=
32∙(( 14 )
5
−1)14−1
=32 ∙( 1
45 −1)−34
=32 (1−45 )
45(−34 )
=25∙ (1−45 )
45 ∙(−34 )
=1−1024−3 ∙23 =1023
3∙8=1023
24
b¿ S5=27 ∙((−1
3 )5
−1)−13
−1=
33 ∙(−135 −1)−43
=33 ∙ (−1−35 )
35 ∙ (−43 )
=−1−2433 (−4 )
=24412
=613
c ¿S5=2∙√3∙ ( (√3 )5−1)
√3−1=
2 ∙√3 ∙ (2 ∙√3−1 )√3−1
416. a¿Xn+1
Xn=
Xn
Xn−1болохыг шалгана 2 ∙3n+1
2 ∙3n = 2 ∙3n
2∙ 3n−1 ;3=3 учраас геометр прогресс м ө н
b¿ 3n+1−33n−3
= 3n−33n−1−3
; (3n+1−3 )∙ (3n−1−3 )=( 3n−3 ) ∙ (3n−3 )
32 n−3 ∙ 3n+1−3 ∙3n−1+9=32 n−2 ∙ 3∙ 3n+9 ;32n−9 ∙3n−3n+9=32 n−6 ∙3n+9 ;
−10 ∙3n=−6 ∙ 3n тэнцэх гү й . Иймд геометр прогресс бишc ¿ Xn2=Xn−1∙ Xn+1болохыг шалгая
22 n=2n−1 ∙2n+1;22 n=22 n болох учир геометрпрогресс м ө н
417. b6−b4=72b5−b3=9 {b1∙ (q5−q3 )=72
b1 ∙ ( q4−q2 )=9харгалзан хуваавал q ∙ (q2−1 )
q2−1=8 ;q=8
b1=9
84−82 =9
82 ∙ (82−1 )= 9
64 ∙63= 1
7 ∙64= 1
448 S8=
1448
∙ (88−1 )
8−1= 88−1
7 ∙ 448;
![Page 86: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/86.jpg)
418. {b1+b2+b3=13b1
2+b22+b3
2=91
b2=b1 ∙b3байх тул үүнийг хоёр дахьтэгшитгэлд орлуулбалb12+b1
2 ∙ b32+b3
2=91
b12+b1∙ b3+b3
2=91 ; (b1+b3 )2−b1∙ b3=91; эхний тэгшитгэлээс b1+b3=13−b2
үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд оруулбал (13−b2 )2−b22=91 болно .
169−26∙ b2+b22−b2
2=91 ;26 ∙b2=169−91;26 ∙ b2=78;b2=3 болно .
{b1+b3=10b1
2+b32=82
b1=10−b3 үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулбал
(10−b3 )2+b32=82 ;100−20 ∙ b3+2 ∙b3
2=82 ;b32−10∙ b3+9=0b3=9 ;
b3=1b3=9 үед b1=1
b3=1үедb1=9 болно.
422. S=b1
1−q;
b1
1−q=
6 ∙ (√30+5 )5
;b1=6 ∙ (√30+5 )
5∙(1−1
6∙√3)=6 ∙ (√30+5 )
5∙( 6−√3
6 );
424. b2=24 s=b1
1−q=108
b2
q ∙ (1−q )=108 24
q ∙ (1−q )=1082=q ∙ (1−q ) ∙9
9 ∙ q2−9 ∙q+2=0 D=81−4 ∙ 9∙ 2=81−72=9q1=9+318
=1218
=23
;q2=9−318
= 618
=13
425. { b1+b2+b3=26b5+b6+b7=2106 { b1∙ (1+q+q2 )=26
b1 ∙q4 ∙ ( 1+q+q2 )=2106 Эдгээрийг харгалзан хуваавал
1q4 =
181
;буюу q=3 ;болно .b1 ∙ (1+3+9 )=26 ;13∙ b1=26 ;b1=2 ;
426. { b1+b2+b3=21b7+b8+b9=1344 { b1 ∙ (1+q+q2 )=21
b1 ∙q6∙ (1+q+q2)=1344 Эдгээрийг харгалзан хуваавал
1q6 =
164
;q6=64=26 ;q=2;b1 ∙ (1+2+4 )=21 ;b1 ∙7=21 ;b1=3 ;
1q6 =
164
;q6=64=26 ;q=2;b1 ∙ (1+2+4 )=21 ;b1 ∙7=21 ;b1=3 ;
427. {b3+b5=180b1+b3=20
b1 ∙ q2 ∙ ( 1+q2 )b1 ∙ (1+q2 )
=18020 q2=9 ;q=± 3 ;
q=3 үед b1 ∙ (1+q2 )=b1∙ (1+9 )=20 ;b1=2q=−3 үед b1 ∙ ( 1+q2 )=b1 ∙ (1+9 )=20 ;b1=2
![Page 87: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/87.jpg)
428. {b5+b1=45b1+b3=15 {b1 ∙ (q4−1 )=45
b1 ∙ (1+q2 )=15эдгээрийг харгалзан хуваавал
b1∙ (q2−1 ) ∙ (q2+1 )b1 ∙ (1+q2 )
=4515
;q2−1=3 ;q2=4 ; q=± 2 үед b1=3
429. {b1+b2+b3=28b4+b5+b6=3,5 { b1∙ (1+q+q2 )=28
b1 ∙q3 ∙ (1+q+q2 )=3,5 Эдгээрийг харгалзан хуваавал
1q3 =8 ;q3=1
8; q=1
2;b1∙(1+ 1
2+ 1
4 )=28 ;b1 ∙( 4+2+14 )=28 ;
b1=4 ∙ 28 ÷ 7=16 ;b8=b1 ∙ q7=16 ∙(12 )
7
=18
;
430. {b1 ∙b2=−18
b1∙ b5=1
64
эдгээрийг харгалзан хуваавал 1q3 =−8 ;q=−1
2эхний
тэгшитгэлээс b12∙ q=−1
8;b
1
2
=−18
∙(−12 )= 1
16;b1=± 1
4;
b6=± 14
∙ (−2 )5
431.{b1 ∙b3=1
144
b3 ∙b4=12
эдгээрийг харгалзан хуваавал 1q3 = 1
72;q3=72;q= 3√72=2 ∙ 3√9
b22= 1
144;b2=
112
;b1=b2 ÷ q= 112
∙ 12∙ 3√9
= 124 ∙ 3√9
S4=1
24 ∙ 3√9∙
3√724−13√72−1
;
432. 63 ≤ b1+b2+b3≤ 93 60 ≤b2+b3 ≤90 ;60 ≤ b1 ∙ ( q+q2 )≤ 90 ;
60 ≤ 3∙ (q+q2 ) ≤ 90 ;20 ≤ ( q+q2 )≤ 30 ;q=4 ; q=5байх боломжтой .
![Page 88: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/88.jpg)
433. { b2−b1=20b4−b1=140 b1 (q−1 )= 20 Эдгээрийг харгалзан хуваавал
b1 (q3−1 )= 140
11+q+q2 =
17 ; q+q2 - 6 = 0 (q+3)(q - 2)=0 q = - 3 эсвэл q = 2
q = - 3 үед b1= - 5
q = 2 үед b1= 20
434. a1+a3+a5 = 182 a1(1+q2+q4)=182 Эдгээрийг харгалзан хуваавал
a2+a4+a6 =546 a2(1+q2+q4)=546
1q =
13 q=3 a1(1+92+814)=182 a1 = 2
Sn= a 1(qn−1)q−1
2(3n−1)3−1
= 242 (3n−1)= 242 3n=243 3n= 34
n=4
435. a1-a2=8 a1(1−q)= 8 Эдгээрийг харгалзан хуваавал
a2+a3= 12 a2(1 + q )=12 (1−q)2(1+q)
= 23 2q2 +2q = 3- 3q 2q2 +5q -3 = 0
D = 25-4∙2∙(-3) = 25+24=49
a1 = −5+7
4 = 12 a1(1−
12)= 8 a1= 16
436. 155≤ b1+b2+b3≤215 155≤ b2+b3≤210 155≤ b1(q+q2¿≤210
150≤ 5(q+q2)≤210 30 ≤ q(q+1) ≤ 42 q=6 байх боломжтой
437. a22 = a1 ∙ a3 a1+a2+a3=7a1 a1+a2+a1
3=7a1 1+q+a12 =7
q + a12= 6 q- натурал тоо q= 2 үед a1= 2 болно
Арифметик ба геометр прогрессийн хавсарсан бодлогууд
438. a1+a2+a3= 56
a1 - 1; a2 - 7; a3 - 21 2(a2 - 7)= a1 - 1+ a3 - 21
2a2 -14= a1 + a3 - 22 2a2= a1 + a3 - 8 (*)
Эхний тэгшитгэлээс a1 + a3 = 56 – a2 үүнийг (*) – д орлуулбал 2a2= 56-a2 -8 3a2=48 a2= 16
![Page 89: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/89.jpg)
Геометр прогрессийн чанар ёсоор {a1+a3=40162=a1∙ a3
{a1+a3=40a1 ∙ a3=256 үүнийг бодно
439. a1+a2+a3= 39 эндээс 3a2 =39 a2 = 13 болно
a1 - 4; a2 - 5; a3 - 2 Геометр прогрессийн чанар ёсоор
(a2- 5 )2= (a1 - 4)(a3 - 2) 64= (a2 –d - 4)( a2 +d -2)
64= (9-d)(11+d) 99+9d -11d + d2 – 64 = 0 d2 -2d +35=0
(d+7)(d-5)=0 d= -7 a1 = 13-(-7)= 20 a3 = a2 +d= 13-7 = 6
16;8;4 тоонууд геометр прогресс үүсгэнэ q=12
S8= 16 ∙(( 1
2 )8
−1)
12−1
= 16(( 1
2 )8
−1)
−1 ∙ 2= -32∙((1
2 )8
−1)
440. a1 ; a2 ; a3 ; a1+a2+a3=70
a1 - 2; a2 - 8; a3 - 24 2(a2 - 8)= a1 – 2 + a3 -24
2a2 – 16= a1 + a3 -10; (*) эхний тэгшитгэлээс
a1 + a3 = 70 – a2 үүнийг (*)-д оруулбал
2a2= 70- a2 -10; 3a2=60 a2=20 болно
a1 = 20q a3 = 20∙ q Эдгээрийг эхний тэгшитгэлд оруулбал
20q + 20+20q=70
20q + 20q= 50
2a + 2q=5 2q2 -5q +2= 0 D= 25-4∙2∙2 = 9
q= 5+3
4 = 2 a1 = 10 a3= 40 S1,2= 10∙(212−1)2−1
441. . a1 ; a2 ; a3 ; a1+a2+a3=15 3a2= 15 a2= 5
a1 +1; a2 +4; a3 +19 (a2 + 4)2 = (a1 +1)( a3 +19) 81= (a2-d+1)( a2+d+19)
81= (6-d)(24+d) 81= 144+6d-24d-d2 d2+18d-63=0
(d+21)(d-3)=0 d=3 a1= 2; a3= 8
3;9;27 q=3 S8= 3∙(38−1)3−2
= 1,5∙ (38−1)
![Page 90: Web viewБүлэг 1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг. 8-р ангийн үзсэн хичээлийг давтах. Зэргийн чанар](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102412/5a7880057f8b9a8c428c6346/html5/thumbnails/90.jpg)