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　2017河南省安阳市文科数学二模试卷（Word版含解析）　

一、选择题（本题共 12个小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 ． （ 5 分 ） （ 2017• 安 阳 二 模 ） 已 知 集 合 A={x|2x x﹣ 2≥0} ， B={y|

y=2x，x∈A}，则 A∩B=（　　）A．[0，1） B．[1，2] C．（2，4] D．[2，4]

【考点】交集及其运算．菁优网版权所有【专题】计算题；综合法；集合．【分析】由一元二次不等式的解法求出 A，由指数函数的性质求出 B，由交集的运算求出 A∩B．【解答】解：由 2x x﹣ 2≥0 得 0≤x≤2，则集合 A={x|2x x﹣ 2≥0}=[0，2]，所以 B={y|y=2x，x∈A}={y|1≤y≤4}=[1，4]，即 A∩B=[1，2]，故选 B．【点评】本题考查交集及其运算，指数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．（5 分）（2017•安阳二模）设复数 z 满足 = （其中 i 为虚数单位），则 z 的共轭复数为（　　）A． B． C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．

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【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数 z 满足 = （其中 i 为虚数单位），∴z= = ，则 z 的共轭复数 = ．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（5 分）（2017•安阳二模）设命题 p：函数 f（x）=ln 为奇函数；命题 q：∃x0∈（0，2），x ＞2 ，则下列命题为假命题的是（　　）A．p∨q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧qD．（￢p）∨（￢q）【考点】复合命题的真假．菁优网版权所有【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．

【分析】命题 p：函数 f（x）=ln ，x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，因此函数 f（x）为奇函数，即可得出真假；命题 q：不存在 x0∈（0，2），x ＞2 ，即可得出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．

【解答】解：命题 p：函数 f（x）=ln ，x∈R，f（﹣x）+f（x）=ln

+ln =ln1=0，因此函数 f（x）为奇函数，为真命题；命题 q：不存在 x0∈（0，2），x ＞2 ，因此是假命题．则下列命题为假命题的是（￢p）∧q．故选：C．

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【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　4．（5 分）（2017•安阳二模）若将函数 f（x）=sin（2x+ ）的图象向左平移 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，则g（x）的一个对称中心为（　　）A．（ ，﹣1） B．（ ，﹣1） C．（ ，0） D．（ ，0）【考点】函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数 f（x）=sin（2x+ ）的图象向左平移 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到函数 g（x）=sin[2（x+ ）+ ] 1=cos﹣ （2x+ ）﹣1 的图象，令2x+ =kπ+ ，求得 x= + ，k∈Z，可得 g（x）的一个对称中心为（ ，﹣1），故选：A．【点评】本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．　

5．（5 分）（2017•安阳二模）已知变量 x，y 满足 则目标函数z= 的最大值为（　　）

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A． B． C． D．1【考点】简单线性规划．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；数形结合法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：目标函数 z= =1+ ，作出不等式组对应的平面区域如图：则 的几何意义是区域内的点到定点 D（﹣2，﹣1）的斜率，由图象知 BD 的斜率最大，则由 得 x=0，y=2，即 B（0，2），此时 BD 的斜率 kBD= = ，∴目标函数 z= 的最大值为 1+ = ，故选：A．

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义结合直线的斜率公式是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．　

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6．（5 分）（2017•安阳二模）已知 O 为坐标原点，F1，F2 是双曲线 C：

﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线 C 上一点 P 满足 PF1⊥PF2，且|PF1||PF2|=2a2，则双曲线 C 的离心率为（　　）A． B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设 P 为双曲线右支上一点，|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，运用直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，结合已知条件，由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设 P 为双曲线右支上一点，|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得 m n=2a﹣ ，点 P 满足 PF1⊥PF2，可得 m2+n2=4c2，即有（m n﹣ ）2+2mn=4c2，又 mn=2a2，可得 4a2+4a2=4c2，即有 c= a，则离心率 e= = ．故选：A．【点评】本题考查双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理，考查离心率的求法，以及运算能力，属于基础题．　

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7．（5 分）（2017•安阳二模）执行如图所示的程序框图，则输出的 s=（ ）

A．﹣1008B．﹣1007C．1010 D．1011

【考点】程序框图．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；定义法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S=1+2 3+4 5+6 7+8 9+…+2016﹣ ﹣ ﹣ ﹣

2017﹣ 的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该 程 序 的 作 用 是 累 加 并 输 出 S=1+2 3+4 5+6 7+8 9+…+2016﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣

2017=1 1008= 1007﹣ ﹣

故选：B

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第

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一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．　8．（5 分）（2017•安阳二模）已知变量 x 与 y 的取值如表所示，且 2.5＜n

＜m＜6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是（　　） x 2 3 4 5 y 6.5 m n 2.5

A． =0.8x+2.3 B． =2x+0.4 C． = 1.5x+8﹣ D ． =﹣1.6x+10【考点】线性回归方程．菁优网版权所有【专题】综合题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】由题意， =3.5， = ∈（3.5，5.5），代入选项，可得 A 满足．【解答】解：由题意， =3.5， = ∈（3.5，5.5），由 2.5＜n＜m＜6.5，可得为负相关，排除 A，B，代入选项C，D，可得 D 满足．故选 D．【点评】本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，基本知识的考查．　9．（5 分）（2017•安阳二模）已知圆 C1：x2+y2+4x 4y 3=0﹣ ﹣ ，动点 P

在圆 C2：x2+y2 4x 12=0﹣ ﹣ 上，则△PC1C2 面积的最大值为（　　）A．2 B．4 C．8 D．20

【考点】圆与圆的位置关系及其判定．菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．

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【分析】圆 C1：x2+y2+4x 4y 3=0﹣ ﹣ ，即（x+2）2+（y 2﹣ ）2=11，圆心为（﹣2，2），C2 ：x2+y2 4x 12=0﹣ ﹣ ，即（x 2﹣ ）2+y2=16，圆心为（2，0），半径为 4，求出|C1C2|，即可求出△PC1C2 的面积的最大值．【解答】解：圆 C1：x2+y2+4x 4y 3=0﹣ ﹣ ，即（x+2）2+（y 2﹣ ）2=11，圆心为（﹣2，2），C2：x2+y2 4x 12=0﹣ ﹣ ，即（x 2﹣ ）2+y2=16，圆心为（2，0），半径为4，∴|C1C2|= =2 ，∴△PC1C2 的面积的最大值为 =4 ，故选：B．【点评】本题考查圆的方程，考查三角形面积的计算，将圆的方程化为标准方程是关键．　10．（5 分）（2017•安阳二模）北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积，设隙积共 n层，上底由 a×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即下底）由 c×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为 S= [（2b+d）a+（b+2d）c]+ （c a﹣ ）．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（　　）

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A．83 B．84 C．85 D．86

【考点】简单空间图形的三视图．菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】由题意，a=3，b=1，c=7，d=5，n=5，代入公式，即可得出结论．【 解 答 】 解 ： 由 题 意 ， a=3 ， b=1 ， c=7 ， d=5 ， n=5 ，∴ S=

[（2b+d）a+（b+2d）c]+ （c a﹣ ）=85，故选 C．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，属于基础题．　11．（5 分）（2017•安阳二模）已知当 x=θ 时，函数 f（x）=2sinx cosx﹣

取得最大值，则 sin2θ=（　　）A． B． C．﹣ D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有【专题】函数思想；转化法．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为函数 f（x）= sin（x+α）

（其中，cosα= ，sinα= ），由题意可得 θ+α=2kπ+ ，k∈z，即

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θ=2kπ+ α﹣ ， k∈z ， 再 利 用诱导公 式 求 得 sinθ 和 cosθ 的 值 ， 可 得sin2θ．【解答】解：函数 f（x）=2sinx cosx=﹣ sin（x+α）取得最大值时，此时

x=θ，其中，cosα= ，sinα= ，∴θ+α=2kπ+ ，k∈z，即 θ=2kπ+ α﹣ ，那么：sinθ=sin（2kπ+ α﹣ ）=cosα=

cosθ=cos（2kπ+ α﹣ ）=sinα=

∴sin2θ=2sinθcosθ= ．故选：D

【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题　

12．（5 分）（2017•安阳二模）已知函数 f（x）= （a＞0，且 a≠1）的图象上关于直线 x=1 对称的点有且仅有一对，则实数 a 的取值范围是（　　）A．[ ， ]∪{3} B．[3，5]∪{ } C．[ ， ）∪{5}D．[3，7）∪{}【考点】分段函数的应用．菁优网版权所有【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．

【分析】若函数 f（x）= （a＞0 且 a≠1）的图象上关于直线 x=1 对称的点有且仅有一对，则函数 y=logax，与 y=|x 5| 1﹣ ﹣ 上有且只

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有一个交点，解得实数 a 的取值范围．

【解答】解：∵函数 f（x）= （a＞0 且 a≠1）的图象上关于直线 x=1 对称的点有且仅有一对，∴函数 y=logax，与 y=|x 5| 1﹣ ﹣ 上有且只有一个交点，当对数函数的图象过（5，﹣1）点时，a= ，当对数函数的图象过（3，1）点时，a=3，当对数函数的图象过（7，1）点时，a=7，故 a[3，7）∪{ }，故选：D．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，注意运用转化思想，转化为函数的图象的交点问题，考查数形结合思想，难度中档．　二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5 分）（2017•安阳二模）已知向量 =（3，1）， =（1，3），=（k，﹣2），若（ ﹣ ）⊥（ ﹣ ），则 k=　 0 　 ．【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有

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【专题】方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，列出方程求出 k 的值．【解答】解：向量 =（3，1）， =（1，3）， =（k，﹣2），则 ﹣ =（3 k﹣ ，3），﹣ =（2，﹣2），

又（ ﹣ ）⊥（ ﹣ ），∴（ ﹣ ）⊥（ ﹣ ）=2（3 k﹣ ）+3×（﹣2）=0，解得 k=0．故答案为：0．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题目．　

14 ． （ 5 分 ） （ 2017• 安 阳 二 模 ） 已 知 函 数 f （ x ） = 若f[f（x0）]=1，则 x0=　﹣ 1 或 1 　 ．【考点】函数的值．菁优网版权所有【专题】计算题；分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【 分 析 】 当 x0≤0 时 ， ， 由 f （ x0 ） = ， 得f[f（x0）]=f（ ﹣1）= ，无解，由 ＞0，解得x0= 1﹣ ；当 x0＞0 时，f（x0）= ＞0，由 f（f（x0））=f（ ）=

=1，解得 x0=1．

【解答】解：∵函数 f（x）= ，f[f（x0）]=1，∴当 x0≤0 时， ，

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当 f（x0）= 时，f[f（x0）]=f（ ﹣1）= ，无解，当 ＞0 时， =1，解得 x0= 1﹣ ，成立；当 x0＞0 时，f（x0）= ＞0，∴f（f（x0））=f（ ）= =1，解得x0=1，成立．综上，x0 的值为﹣1 或 1．故答案为：﹣1 或 1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．　15．（5 分）（2017•安阳二模）在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a，b，c，且 2acosC a=c 2ccosC﹣ ﹣ ，若 c=3，则 a+b 的最大值为　 6 　 ．【考点】正弦定理．菁优网版权所有【专题】方程思想；转化思想；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】2acosC a=c 2ccosC﹣ ﹣ ，即 2（a+c）cosC=a+c，可得 cosC=，C∈（0，π），解得 C．再利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵2acosC a=c 2ccosC﹣ ﹣ ，∴2（a+c）cosC=a+c，∴cosC= ，C∈（0，π），解得 C= ．由余弦定理可得：9=c2=a2+b2 2abcos﹣ ，∴9= （a+b） 2 3ab≥﹣ （a+b） 2 3×﹣ ， 化 为 a+b≤6，当且仅当a=b=3 时取等号．∴a+b 的最大值为 6．

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故答案为：6．【点评】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　16．（5 分）（2017•安阳二模）已知在直三棱柱 ABC A﹣ 1B1C1 中，△ABC

为等腰直角三角形，AB=AC=4，AA1=a．棱BB1 的中点为 E，棱B1C1 的中点为 F，平面 AEF 与平面 AA1C1C 的交线与 AA1 所成角的正切值为 ，则三棱柱ABC A﹣ 1B1C1外接球的半径为　 　．【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；分割补形法；立体几何．【分析】由题意画出图形，求解直角三角形求出 a，然后补形可得三棱柱 ABC

A﹣ 1B1C1外接球的半径．【解答】解：如图，连接 EF 并延长交 CC1 的延长线于 G，连接AG，在平面 ACC1 内过G 作 GH 交 AA1 的延长线于 H，则 AH= ，GH=AC=4，

∴ ，得 a=4．把原直三棱柱补形为正方体，则正方体的棱长为 4．∴三棱柱ABC A﹣ 1B1C1外接球的半径 r= ．故答案为： ．

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【点评】本题考查球的体积与表面积，考查空间想象能力和思维能力，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．　三、解答题17． （12 分 ） （2017•安 阳 二 模 ） 设 数 列{an}的前 n 项和 为 Sn ， 满 足a1=1，2Sn=an+1 1﹣ ．（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设 bn=log3an+1，数列{bn}的前 n项和为 Tn，求数列{ }的前 n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有【专题】转化思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由条件，将 n 换为 n 1﹣ ，两式相减，求出 a2=3，再由等比数列的通项公式，即可得到所求；

（Ⅱ）bn=log3an+1=log33n=n，运用等差数列的求和公式可得 Tn，再由 =

=2（ ﹣ ），运用裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）a1=1，2Sn=an+1 1﹣ ，

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可得 2Sn 1﹣ =an 1﹣ ，（n≥2），两式相减可得，2an=2Sn 2S﹣ n 1﹣ =an+1 a﹣ n，即有 an+1=3an（n≥2），由 2a1=2S1=a2 1﹣ ，可得 a2=3，则 an=a2qn 2﹣ =3•3n 2﹣ =3n 1﹣ ，对 n=1 也成立，则{an}的通项公式为 an=3n 1﹣ ；（Ⅱ）bn=log3an+1=log33n=n，则前 n项和为 Tn= n（n+1），可得 = =2（ ﹣ ），

则数列{ }的前 n项和为 2（1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）=2（1﹣ ）= ．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查数列的求和方法：直接法和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．　18．（12 分）（2017•安阳二模）2016年，某省环保部门制定了《省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准》，为了解本省各家企业对环保的 重视情况， 从 中抽取了 40 家企业进 行 考核评 分 ， 考核评 分均在[50，100]内，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图（满分为 100 分）．（Ⅰ）已知该省对本省每家企业每年的环保奖励 y（单位：万元）与考核评分 x

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的关系式为 y= （负值为企业上缴的罚金），试估计该省在2016年对这 40家企业投放环保奖励的平均值；（Ⅱ）在这 40家企业中，从考核评分在 80 分以上（含 80 分）的企业中随机抽取 2家企业座谈环保经验，求抽取的 2家企业全部为考核评分在[80，90）内的企业的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；数形结合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1，求出 a=0.01，从而求出[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]对应的企业家数分别为：8，10，16，4，2，由此能估计该省在 2016年对这 40

家企业投放环保奖励的平均值．（Ⅱ）这 40家企业中，从考核评分在 80 分以上（含 80 分）的企业有 6家，其中[80，90）的有 4家，[90，100）的有 2家，由此利用等可能事件概率计算公式能求出抽取的 2家企业全部为考核评分在[80，90）内的企业的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：

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（0.020+0.025+0.040+a+0.005）×10=1，解得 a=0.01，∵[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]对应的频率分别为：0.2，0.25，0.4，0.1，0.05，∴[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]对应的企业家数分别为：8，10，16，4，2，∵该省对本省每家企业每年的环保奖励 y（单位：万元）与考核评分 x 的关系式

为 y= ，∴估计该省在 2016年对这 40家企业投放环保奖励的平均值为：= [ 7×8+0×10+3×16+﹣ （4+2）×6]=0.7（万元）．

（Ⅱ）这 40家企业中，从考核评分在 80 分以上（含 80 分）的企业有 6家，其中[80，90）的有 4家，[90，100）的有 2家，从中随机抽取 2家企业座谈环保经验，基本事件总数 n= =15，抽取的 2家企业全部为考核评分在[80，90）内包含的基本事件个数 m=

=6，抽取的 2家企业全部为考核评分在[80，90）内的企业的概率 p= ．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．　19．（12 分）（2017•安阳二模）如图，在几何体 A1B1D1 ABCD﹣ 中，四边形 A1B1BA 与 A1D1DA均为直角梯形，且 AA1⊥底面 ABCD，四边形 ABCD 为

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正方形，AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P 为 DD1 的中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥PC；（Ⅱ）求几何体A1B1D1 ABCD﹣ 的表面积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）以 A 为原点，AB 为 x轴，AD 为 y轴，AA1 为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB1⊥PC．（Ⅱ） 几 何体 A1B1D1 ABCD﹣ 的 表 面积： + +

+ ．【 解 答 】证明： （Ⅰ） ∵ 几 何体 A1B1D1 ABCD﹣ 中 ，四边形 A1B1BA 与A1D1DA均为直角梯形，且 AA1⊥底面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，∴以 A 为原点，AB 为 x轴，AD 为 y轴，AA1 为 z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P 为 DD1 的中点．∴A（0，0，0），B1（2，0，4），C（4，4，0），D（0，4，0），D1（0，2，4），P（0，3，2），

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=（2，0，4）， =（4，1，﹣2），• =8+0 8=0﹣ ，

∴AB1⊥PC．解：（Ⅱ） =（4，0，0）， =（0，﹣1，2），| |= ，DC⊥DP，| |=| |= =6，| |= =2 ，| |= ，C 到直线 DD1 的距离 d=| |• =4

几何体A1B1D1 ABCD﹣ 的表面积：+ + +

= + + + +

=42+6 +2 ．

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查几何体的表面积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．

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20．（12 分）（2017•安阳二模）已知椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，过点 F1 的直线 l，交椭圆 E 于 A、B两点，过点 F2 的直线 l2 交椭圆 E 于 C，D两点，且 AB⊥CD，当 CD⊥x轴时，|

CD|=3．（Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程；（Ⅱ）求四边形 ACBD 面积的最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；数形结合法；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为 ，过点 F2 的直线 l2 交椭圆 E 于 C，D两点，当CD⊥x轴时，|CD|=3，列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 E 的标准方程．（Ⅱ）设四边形 ABCD 的面积为 S，AB 与 CD 中有 一条 与 x 轴重 合或 平行，S=2b2=6．若 AB 与 CD 的斜率都存在，不妨设 AB 的斜率为 k，设 AB：

y=k（x+1）与椭圆相交于 A（x1，y1），B（x2，y2），则，得（3+4k2 ）x2+8k2x+4k2 12=0﹣ ，由韦达定理和弦长公式求出 AB=

， 同 理 ， 得 BC= ， 从 而 S= =72×

，令 t= ∈（0，1），S=g（t）=72× ，由此根据函数的单调性能求出四边形 ACBD 面积的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为

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F1，F2，离心率为 ，过点 F2 的直线 l2 交椭圆 E 于 C，D两点，当CD⊥x轴时，|CD|=3，

∴ ，解得 a=2，b= ，c=1，

∴椭圆 E 的标准方程为 ．（Ⅱ）设四边形 ABCD 的面积为 S，若 AB 与 CD 中有一条与 x轴重合或平行，

S= =2b2=6．若 AB 与 CD 的斜率都存在，不妨设 AB 的斜率为 k，设 AB：y=k（x+1）与椭圆相交于 A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ，得 3x2+4k2（x+1）2 12=0﹣ ，即（3+4k2）x2+8k2x+4k2 12=0﹣ ，

， ，

AB= = = ，

同理，得 BC= ，

S= =72× ，

令 t= ∈（0，1），S=g（t）=72× ，

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g（t）在（0， ）上是减函数，在[ ，1）上是增函数，g（0）=g（1），

∴四边形 ACBD 面积的最小值 Smin=g（ ）=72× = ．

【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查四边形的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用．　21．（12 分）（2017•安阳二模）已知函数 f（x）=exlnx 1﹣ ，g（x）=

．（Ⅰ）若 g（x）=a 在（0，2）上有两个不等实根，求实数 a 的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x）+ ＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数 g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数在（0，2）的最大值和最小值，求出 a 的范围即可；（Ⅱ）根据函数 f（x）的定义域为（0，+∞），得到函数在定义域内的最小值

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为 1，则答案得证．

【解答】（Ⅰ）解：g′（x）= ，令 g′（x）＞0，解得：x＜1，令 g′（x）＜0，解得：x＞1，故 g（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，

故 g（x）max=g（1）= ，而 g（0）=0，g（2）= ，若 g（x）=a 在（0，2）上有两个不等实根，

则 ＜a＜ ；（Ⅱ）证明：要证明 f（x）+ ＞0，即证明 xln x＞xe x﹣ ﹣

设函数 m（x）=xln x，则 m′（x）=1+ln x，所以当 x∈（0， ）时，m′（x）＜0；当 x∈（ ，+∞）时，m′（x）＞0．故 m（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，从而m（x）在（0，+∞）上的最小值为 m（ ）=﹣ ，设函数 n（x）=xe x﹣ ﹣ ，则 n′（x）=e x﹣ （1 x﹣ ）．所以当 x∈（0，1）时，n′（x）＞0；当 x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0．故 n（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而 n（x）在（0，+∞）上的最大值为 n（1）=﹣ ；

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因为 mmin（x）=m（1）=nmax（x），所以当 x＞0 时，m（x）＞n（x），即 f（x）+ ＞0．【点评】本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，考查了利用导数求函数的最值，是中高档题．　[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）（2017•安阳二模）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方

程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4 sin（ ﹣θ）．（Ⅰ）求 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点 M 为曲线 C1 上任意一点，过M 作圆 C2 的切线，切点为 N，求|MN|

的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有【专题】方程思想；转化思想；直线与圆；坐标系和参数方程．

【分析】（I）曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），相加可得普通方程 ． 圆 C2 的极坐 标 方 程 为 ρ=4 sin （ ﹣ θ ） ，展开可 得 ： ρ2=

（cosθ+sinθ），利用互化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）求出圆心到直线的距离 d，可得|MN|的最小值= ．

【解答】解：（I）曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），相加可得普通

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方程：x+y= 4﹣ ．

圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4 sin（ ﹣θ），展开可得：ρ2=

（cosθ+sinθ），可得直角坐标方程：x2+y2=4x+4y．（Ⅱ）由（x 2﹣ ）2+（y 2﹣ ）2=8，可得圆心 C2（2，2），半径 r=2 ．

圆心到直线的距离 d= =4 ，则|MN|的最小值= = =2 ．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•安阳二模）已知函数 f（x）=2|x+1| |x 1|﹣ ﹣ ．（Ⅰ）求函数 f（x）的图象与直线 y=1围成的封闭图形的面积m；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若（a，b）（a≠b）是函数 g（x）= 图象上一点，求 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．菁优网版权所有【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）化简函数 f（x）的解析式，画出函数 f（x）的图象，数形结合可得函数 f（x）的图象和直线 y=1围成的封闭图形的面积m 的值．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，由题意化简要求的式子，分类讨论，利用基本不等

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式，求得 的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）=2|x+1| |x 1|=﹣ ﹣ ，它的图象如图所示：函数 f（x）的图象与直线 y=1 的交点为（﹣4，1）、（0，1），故函数 f（x）的图象和直线 y=1围成的封闭图形的面积m= •4•3=6．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若（a，b）（a≠b）是函数 g（x）= 图象上一点，

则 b= ，故 ≠a，且 = = =（a﹣ ）+ ．

当 a﹣ ＞0 时，故 = =（a﹣ ）+ ≥2 =4 ，

当且仅当（a﹣ ）= 时，取等号．

当 a﹣ ＜0 时 ， 故 = =（a﹣ ）+ = [﹣ ﹣（a﹣ ） ﹣

]≤ 2﹣ = 4﹣ ，

当且仅当﹣（a﹣ ）=﹣ 时，取等号．

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综上可得， ≥4 ，或 ≤﹣4 ．

【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，基本不等式的应用，属于中档题．