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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSITARIAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN - COL CABIMAS
AUTORES:BR. NAVA EMILEIDYS C.I: 21.043.566BR. PÉREZ ABRAHAM C.I: 20.256.231BR. MUSETT YERILYN C.I: 23.467.398
LCDA. ESPINOZA JACKMELI C.I: 20.085.802
ING. SISTEMASSEMESTRE: 9°
CABIMAS, NOVIEMBRE 2012
Optimización con restricciones de desigualdad: las condiciones de Kuhn-Tucker
Muchos modelos en economía son, naturalmente, formulados como
problemas de optimización con restricciones de desigualdad.
En problemas más complejos, con más de una restricción, este enfoque no
funciona bien.
Las desigualdades λ ≥ 0 y g (x *) ≤ c se denominan condiciones de holgura complementaria, la mayoría en una de estas condiciones es floja (es decir, no
una igualdad).
Por un problema con muchas limitaciones, a continuación, como antes se
introduce un multiplicador para cada restricción y obtener la condiciones de
Kuhn-Tucker, que se define de la siguiente manera.
Definición
Las condiciones de Kuhn-Tucker para el problema
máximo x f (x) en g j (x) ≤ c j para j = 1, ..., m
se
L i '(x) = 0 para i = 1 ,..., n
0 λ ≥ j, j g (x) y c ≤ λ j j [j g (x) - c j] = 0 para j = 1, ..., m,
donde
L (x) = f (x) - Σ j = 1 λ mj (j g (x) - c j).
Estas condiciones se nombran en honor de Harold W. Kuhn, miembro
emérito del Departamento de Matemáticas de Princeton, y Albert W. Tucker,
quien formuló por primera vez y estudió las condiciones.
Por consiguiente, también son utilizados para optimizar sistemas aplicando
estas condiciones para determinar las desigualdades estableciendo
restricciones dentro de los problemas y representar su máximo tomando en
cuenta n variables permitiendo analizar el problema tomando en cuenta todos
los aspectos que intervienen dentro del mismo así como sus limitaciones. Por
ejemplo tenemos un repartidor el cual presenta limitaciones como tiempo para
realizar la entrega en el lapso estipulado por el destinatario.
Importancia del teorema de Khun-Tucker en la tarea de toma de decisiones
organizacionales.
Para la toma de decisiones el administrador debe tomar en cuenta su
metodología y forma sistematica, los pasos que proponen los matematicos para
la solución de problemas son:
Diagnostico del problema.
Investigación u obtención de información.
Desarrollo de alternativas.
Experimentación.
Análisis de restricciones.
Evaluación de alternativas.
Formulación de un plan.
Ejecución y control.
Lo importante es tomar decisiones oportunas ya que un ejecutivo no toma
decisiones por miedo o indecisión está destinado al fracaso olvidando que no
hacer nada es tomar ya una decisión: La peor.
Desde un punto de vista práctico, los problemas con restricciones de
desigualdad pueden ajustarse mejor a situaciones reales. Una restricción de
igualdad significa agotar completamente cierto recurso; en cambio, la misma
restricción en forma de desigualdad resulta más realista, debido a que indica la
disponibilidad del recurso pero no obliga agotarlo completamente. Véase en el
siguiente método.
Este método permite analizar cualquier problema sin necesidad de
establecer restricciones así como limitaciones dentro del mismo facilitando el
análisis de la problemática de forma globalizada manteniendo su enfoque en el
campo a estudiar para su posterior optimización. En este caso para resolver
situaciones de mayor complejidad con restricciones de igualdad y desigualdad
transformando los mismos de una situación difícil a una que ya sabemos
resolver, logrando de esta manera facilitar la comprensión del problema de
manera amplia y concisa.
Matriz Jacobiana
La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de
primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta
matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En
este sentido, el Jacobiano representa la derivada de una función multivariable.
Supongamos F: Rn → Rm es una función que va del espacio euclidiano n-
dimensional a otro espacio euclidiano m-dimensional. Esta función está
determinada por m funciones reales: y1(x1,..., xn),..., ym(x1,..., xn). Las
derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz
m por n, la matriz Jacobiana de F:
Matriz Jacobiana
Ejemplo 1. La matriz jacobiana de la función F : R3 → R3 definida como:
Es:
No siempre la matriz jacobiana es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2. Supóngase la función F : R3 → R4, cuyas componentes son:
Aplicando la definición de matriz jacobiana:
La matriz jacobiana tiene la posibilidad de aproximar linealmente a la función
en un punto, tomando en cuenta que no siempre la matriz es cuadrada
dependiendo del número de funciones que la integren. Este método permite es
fácil de usar así como de fácil comprensión. Las
derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz
m por n.
La utilización de estos métodos se han convertido en una de las mayores
herramientas utilizadas en las organizaciones para la toma de decisiones
debido a su complejidad y la manera en que representan los problemas
tomando en cuenta todas las variables que intervienen dentro del mismo,
facilitando de esta manera a los directivos seleccionar la solución más óptima
para cada problema. Los mismos son representados de forma sencilla y
específica para su fácil comprensión.
El objetivo de la optimización matemática es, por tanto, encontrar los
máximos y mínimos de funciones de varias variables sujeta a una serie de
restricciones.
Campos de aplicación de las condiciones de Khun- Tucker y Lagrange.
Los multiplicadores de Khun-Tucker , al igual que los multiplicadores de
Lagrange en el caso de restricciones de igualdad, son calculados
simultáneamente a los puntos óptimos. Además de servir para utilizar las
condiciones de optimización de segundo orden y para indicar las restricciones
que se encuentran saturadas, tienen una clara interpretación económica y
financiera.
Dado el óptimo de un programa con restricciones de desigualdad podría
plantearse un programa equivalente eliminando las restricciones no saturadas y
expresando en forma de igualdad las saturadas.
También son aplicados en sistemas eléctricos, en el área de sistemas,
matemática, toma de decisiones entre otras.
Campos de aplicación de la matriz jacobiana.
Las matrices son una herramienta muy útil no sólo en el campo de las
matemáticas y la física como era de esperar; sino también en el campo de las
ciencias sociales, por ejemplo en economía y en geografía. Esta gran utilidad
se debe a que las matrices aportan un nuevo lenguaje facilitando el trabajo en
una gran cantidad de ámbitos. Empezaremos en primer lugar con las
aplicaciones en Matemáticas, donde vamos a distinguir las aplicaciones en las
distintas ramas:
Álgebra lineal: 1. En esta rama destaca la utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones
de la forma AX = B, mediante el cálculo de la matriz inversa:
2. Estudio de las aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales mediante
la matriz asociada, que nos permite calcular el núcleo y la imagen.
Geometría:1. Para expresar la ecuación de un giro de ángulo α alrededor del eje OZ:
2. Para representar las ecuaciones de las formas cuadráticas. Haciendo el
estudio de la matriz correspondiente podemos clasificar la cuadrática en
definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa o semidefinida
negativa. La matriz asociada a la forma cuadrática siempre es una matriz
simétrica.
Análisis:En la rama del análisis se utilizan las matrices jacobianas, que se usan para
expresar las derivadas parciales de una función en varias variables:
Si f(x,y,z) está definida de la siguiente forma:
Continuamos con las aplicaciones en la Física.
La aplicación más importante en este campo son las transformaciones de
Lorenz, que dan las ecuaciones del movimiento de un punto en línea recta y
sobre el plano conocidas la velocidad de la luz.
Por ejemplo: suponiendo que el punto se desplaza sobre el eje OX y que
estamos en un espacio tetradimensional, donde la cuarta dimensión es el
tiempo, entonces, el punto tendrá como coordenadas inciales (x,y,z,t) y como
finales (x’,y’,z’,t’). Las ecuaciones que dan esta transformación son:
Donde C representa la velocidad de la luz.
Una vez que ya hemos visto algunas de las aplicaciones más importantes en
Ciencias, vamos a ver la importancia que tienen en las Ciencias Sociales.
Empezaremos primero con la Economía.
Las matrices se utilizan para la presentación de datos de un problema en
forma de tabla de doble entrada. Un ejemplo de esto es el modelo Input-Output,
que permite solucionar problemas macroeconómicos, algunos de los cuáles
son:
- Orientar o estructurar los sectores productivos.
- Poder predecir las demandas de producción.
- Interpretar las relaciones económicas existentes entre los distintos sectores
de producción.
Si continuamos por la Geografía.
También aparecen cuando hay tablas de doble entrada, por ejemplo, para
hacer referencia a la distancia que hay entre varias ciudades:
Y hasta aquí algunas de las aplicaciones más importantes de las matrices,
ya que las hemos conocido mucho más a fondo, estudiando los diferentes
tipos, las operaciones que podemos realizar y finalmente las múltiples
aplicaciones en los diversos campos de nuestra vida.