(3+1) 维 非 线 性 发 展 方 程 精 确 解 的 多样 性

北 京 交 通 大 学 尹 宇 航 ， 马 文 秀 ， 刘 建 国（ 1 ． 北 京 交 通 大 学 理 学 院 ， 北 京 市 100044 ；

2 ． 美 国 南 佛 罗 里 达 大 学 数 学 与 统 计 学 系 ， 美 国 33620 ）

（ Computers and Mathematics with Applications 2018.06 ）吕 兴 副 教 授

中 文 摘 要 ： 在 本 论 文 中 ， 我 们 应 用 Hirota 双 线 性 方 法 以 及 试 探 函 数 法 对 (3+1)维 的 非 线 性 发 展 方 程 及 其降 低 维 度 的 方 程 进 行 分 析 与 求 解 。 基 于 符 号 计 算 ， 通 过 求 解 包 含 相 关 待 定 系 数 的 非 线 性 代 数 方 程 组 得 到 原方 程 多 样 化 的 精 确 解 。 最 后 ， 基 于 理 论 分 析 以 及 图 像 展 示 反 映 了 孤 立 子 的 传 播 以 及 相 互 作 用 动 力 学 行 为 。

英 文 摘 要 ： In this paper, a (3+1)-dimensional nonlinear evolution equation and its reduction is studied by use of the Hirota

bilinear method and the test function method. With symbolic computation, diversity of exact solutions are obtained by solving the

under-determined nonlinear system of algebraic equations for the associated parameters. Finally, analysis and graphical simulation

are given to reveal the propagation and dynamical behavior of the solutions.

关 键 词 ： 试 探 函 数 法 ； 精 确 解 ； 符 号 计 算

一 、 引 言非 线 性 发 展 方 程 在 数 学 物 理 领 域 中 扮 演 着 一 个 十 分

重 要 的 角 色 [1-7] 。 流 体 力 学 ， 光 通 信 以 及 非 线 性 机 械 振动 中 的 很 多 实 际 问 题 都 要 用 非 线 性 发 展 方 程 来 描 述 [8-

11]。 一 般 来 说 ， 寻 找 非 线 性 发 展 方 程 的 精 确 解 很 困 难[12-14] 。 随 着 符 号 运 算 的 发 展 ， 应 用 试 探 函 数 构 建 精 确解 是 合 理 可 行 的 [15,16] 。 同 时 ， 通 过 求 解 高 维 度 的 非 线性 发 展 方 程 来 研 究 其 时 间 与 空 间 的 特 性 非 常 重 要 [17-

23]。在 本 文 中 ， 我 们 将 研 究 如 下 的 非 线 性 发 展 方 程 [24–30]

3uxz-(2ut+uxxx-2uux)y+2(ux∂ x-1uy)x=0 (1)

∂ x-1 代 表 运 算 ∂ x=∂/∂x 的 逆 运 算 。 方 程 (1) 最 初 是 为 研 究

代 数 几 何 解 作 为 模 型 被 引 入 的 [24], 关 于 它 的 可 积 性 和 大量 精 确 解 已 经 得 到 研 究 ， 例 如 ： 孤 子 解 、 正 解 、 负 解以 及 有 理 解 [25–29] 。 另 外 ， 两 种 类 型 的 共 振 解 通 过 对 指数 行 波 解 的 波 数 和 频 率 的 参 数 调 控 获 得 [30] 。

通 过 如 下 变 换u=-3[lnf(x,y,z,t)]xx (2)

国家级大学生创新创业训练计划支持项目（201710004054）作者简介：尹宇航（1997-）、男，辽宁省葫芦岛市，数学与应用数学，本科三年级，微分方程。

方 程 (1) 可 以 转 换 成 如 下 的 双 线 性 方 程 形 式(3 DxDz-2 DyDt- Dx

3Dy)f·f=0 (3)

这 里 DxDz ， DyDt， Dx3Dy 是 双 线 性 算 子 ， 其 定 义 如 下

D xα D y

βD zγDt

δ (f·g)=( ∂∂x

− ∂∂ x'

¿¿α ( ∂∂ y

− ∂∂ y '

¿¿β ( ∂∂ z

− ∂∂ z '

¿¿γ ( ∂∂ t

− ∂∂ t'

¿¿δ

× f(x,y,z,t)g(x’,y’,z’,t’)|x=x’,y=y’,z=z’,t=t’

我 们 假 定 方 程 (3) 具 有 如 下 形 式 的 精 确 解f =e−ξ + δ1 cos(η) + δ2 cosh(γ) + δ3 eξ (4)

或 f =e−ξ + δ1 sin(η) + δ2 sinh(γ) + δ3 eξ (5)

其 中 ξ=a1 x+b1 y+c1 z+d1 t,η=a2 x+b2 y+c2 z+d2 t,γ=a3 x+b3 y+c3 z+d3

t ， ai, bi, ci, di, 和 δi (i = 1, 2, 3) 均 为 待 定 系 数 。 基 于 方 程 (4) 和（ 5 ） ， 我 们 可 以 得 到 方 程 (1) 的 精 确 解 。

本 文 的 结 构 如 下 ： 在 第 二 部 分 ， 我 们 将 求 解 方 程 (3) 进而得到方程(1) 的 精 确 解 。 在 第 三 部 分 ， 我 们 将 对 我 们 得到 的 解 进 行 分 析 和 讨 论 ， 给 出 一 些 描 绘 解 的 性 质 特 征的 图 像 。 在 第 四 部 分 ， 我 们 会 总 结 我 们 的 结 果 。

二 、 解 的 多 样 性（ 一 ） 情 形 1 ： 基 于 试 探 函 数 (4)

将 方 程 (4) 代 入 方 程 (3), 我 们 可 以 得 到 基 于 cos(η)eξ ， cos(η)

e−ξ,sin(η)eξ ， sin(η)e−ξ ， cosh(γ)eξ ， sinh(γ)eξ ， cosh(γ)e−ξ ， sinh(γ)e−ξ

， cos(η) cosh(γ) ， sin(η) sinh(γ) 的 形 式 ， 汇 总 得 到 如 下 的 代 数方 程 ：

3a1c1-3a2c2-2b1d1+2b2d2-a13b1-a2

3b2+3a12a2b2+3a1a2

2b1=0

3a1c1+3a3c3-2b1d1-2b3d3-a13b1-a3

3b3-3a12a3b3-3a1a3

2b1=0

-3a1c2-3a2c1+2b1d2+2b2d1+a13b2-a2

3b1+3a12a2b1-3a1a2

2b2=0

3a1c3+3a3c1-2b1d3-2b3d1-a13b3-a3

3b1-3a12a3b1-3a1a3

2b3=0 (6)

3a3c3-3a2c2-2b3d3+2b2d2-a23b2-a3

3b3+3a22a3b3+3a2a3

2b2=0

3a2c3+3a3c2-2b2d3-2b3d2+a23b3-a3

3b2+3a22a3b2-3a2a3

2b3=0

δ3(12a1c1-8b1d1-16a13b1)+δ2

2(3a3c3-2b3d3-4a33b3)+δ1

2(2b2d2-3a2c2-4a23b2)=0

运 用 符 号 运 算 ， 我 们 得 到 两 组 参 数 的 解 。第 一 组 形 式 的 解 ：

{a1=1 ， a2=0 ， b1=-4

3a32 ， b2=-2 ， b3=-

43a3

，c1=- 8(2a3

2+1)3a3

2， c2=-2(3a3

4+6−4)9a3

2， c3=- 4 (a3

2+3a3+2 )9a3

2， (7)

d1=a33−a3+2

2a3❑

， d2=-1 ， d3=1 ， δ3= a32 δ1

2

4 (a32−1)

+a32δ2

2

4 }

从 而 有 u 的 表 达 式 ：

u=-3e−A1+δ 2a3

2 cosh (C1 )+(a3

2δ 12

4 (a32−1)

+a3

2 δ22

4)e A1

e−A1+δ 1cos (B1 )+δ2 cosh (C1 )+(a3

2δ 12

4(a32−1)

+a3

2 δ 22

4)eA1

+3

（−e−A 1+δ2a3 sinh (C1)+( a32δ1

2

4 (a32−1 )

+a3

2δ22

4 )e A1¿2

¿

（e−A 1+δ1 cos (B1 )+δ 2 cosh (C1 )+( a32 δ 1

2

4 (a32−1)

+a3

2 δ22

4 )e A1 ¿2 ¿

(8)

其 中A1=x-

43a3

2 y-8(1+2a3

3)9a3

z+a3

3−a3+22a3

t ，B1=-2y- 2(3a3

4+6a3−4)9a3

2z-t ，

C1=a3x- 4

3a3

y-4 (a32+3a3+2)

9a32

z+t

第 二 组 形 式 的 解 ：{a1=1 ， a2=0 ， b1=9a3

4−9a32−16

12a32

， b2=-2 ， b3=−9a34+9a3

2−1612a3

，c1=9a3

7+36a35+36a3

4−107a33−36a3

2−48a3−6472a3

3， c2=−3a3

4−9a32−24a3+16

12a32

， c3=−9a37+9 a3

5−18a34−16a3

3+18 a32−48a3−32

72a33

，(9)

d1=−a33+a3+44 a3

， d2=-1 ， d3=1 ， δ3= 4 a32δ1

2

9a34+7a3

2−16 +¿¿

}

从 而 有 u 的 表 达 式 ：u=-3

e−A 2+δ2a32 cosh (C2 )+¿¿

+3（−e−A 2+δ 2a3 sinh (C 2 )+¿¿¿

(10)

其 中A2=x+ 9a3

4−9a32−16

12a32

y+ 9a37+36a3

5+36a34−107a3

3−36a32−48a3−64

72a33

z+

−a33+a3+44 a3

t

B2=-2y+−3a34−9a3

2−24a3+1612a3

2 z−t

C2=a3x+−9a34+9a3

2−1612a3

+−9a3

7+9a35−18 a3

4−16a33+18a3

2−48a3−3236a3

3 z+ t

（ 二 ） 情 形 2 ： 基 于 试 探 函 数 (5)

将 方 程 (5) 代 入 方 程 (3) ， 我 们 可 以 得 到 基 于 cos(η)eξ,

cos(η)e−ξ, sin(η)eξ, sin(η)e−ξ, cosh(γ)eξ, sinh(γ)eξ, cosh(γ)e−ξ,sinh(γ)e−ξ, cos(η) cosh(γ), sin(η) sinh(γ) 的 形式 , 汇 总 得 到 如 下 的 代 数 方 程 ：

3a1c1-3a2c2-2b1d1+2b2d2-a13b1-a2

3b2+3a12a2b2+3a1a2

2b1=0

3a1c1+3a3c3-2b1d1-2b3d3-a13b1-a3

3b3-3a12a3b3-3a1a3

2b1=0

-3a1c2-3a2c1+2b1d2+2b2d1+a13b2-a2

3b1+3a12a2b1-3a1a2

2b2=0

3a1c3+3a3c1-2b1d3-2b3d1-a13b3-a3

3b1-3a12a3b1-3a1a3

2b3=0 (11)

3a3c3-3a2c2-2b3d3+2b2d2-a23b2-a3

3b3+3a22a3b3+3a2a3

2b2=0

3a2c3+3a3c2-2b2d3-2b3d2+a23b3-a3

3b2+3a22a3b2-3a2a3

2b3=0

δ3(12a1c1-8b1d1-16a13b1)+δ2

2(3a3c3-2b3d3-4a33b3)+δ1

2(2b2d2-3a2c2-4a23b2)=0

运 用 符 号 运 算 ， 我 们 得 到 两 组 参 数 的 解 。第 一 组 形 式 的 解 ：

{a1=1 ， a2=0 ， b1=-4

3a32 ， b2=-2 ， b3=-

43a3

，

c1=- 8(2a32+1)

3a32

， c2=- 2(3a34+6a3−4)9a3

2， c3=- 4 (a3

2+3a3+2)9a3

2， (12)

d1=a33−a3+2

2a3

， d2=-1 ， d3=1 ， δ3= a32 δ1

2

4 (a32−1)

-a32 δ2

2

4 }

从 而 有 u 的 表 达 式 ：

u=-3e−A3+δ 2a3

2sinh (C3 )+(a3

2δ 12

4 (a32−1 )

−a3

2δ 22

4)eA 3

e−A3+δ 1sin (B3 )+δ2 sinh (C3 )+(a3

2 δ12

4 (a32−1 )

−a3

2 δ22

4)eA 3

+3

（−e−A 3+δ 2a3 cosh (C3 )+( a32 δ1

2

4 (a32−1)

−a3

2 δ22

4 )e A3 ¿2

¿

（e−A1+δ 1sin (B3 )+δ2 sinh (C3 )+( a32δ1

2

4 (a32−1)

−a3

2δ22

4 )e A3 ¿2 ¿

(13)

其 中A3=x-

43a3

2 y-8(1+2a3

3)9a3

z+a3

3−a3+22a3

t ，B3=-2y- 2(3a3

4+6a3−4)9a3

2z-t ，

C3=a3x- 4

3a3

y-4 (a32+3a3+2)

9a32

z+t

第 二 组 形 式 的 解 ：{a1=1 ， a2=0 ， b1=9a3

4−9a32−16

12a32

， b2=-2 ， b3=−9a34+9a3

2−1612a3

，

c1=9a37+36a3

5+36a34−107a3

3−36a32−48a3−64

72a33

， c2=−3a34−9a3

2−24a3+1612a3

2

， c3=−9a37+9 a3

5−18a34−16a3

3+18 a32−48a3−32

36a33

，(14)

d1=−a33+a3+44 a3

， d2=-1 ， d3=1 ， δ3= 4 a32δ1

2

9a34+7a3

2−16 -¿¿

}

从 而 有 u 的 表 达 式 ：u=-3

e−A 4+δ 2a32 sinh (C4 )+¿¿

(15)

+3（−e−A 4+δ 2a3cosh (C4 )+¿¿¿

其 中A4=x+ 9a3

4−9a32−16

12a32

y+ 9a37+36a3

5+36a34−107a3

3−36a32−48a3−64

72a33

z+

−a33+a3+44 a3

t

B4=-2y+−3a34−9a3

2−24a3+1612a3

2 z−t

C4=a3x+−9a34+9a3

2−1612a3

+−9a3

7+9a35−18 a3

4−16a33+18a3

2−48a3−3236a3

3 z+ t

（ 三 ） 情 形 3 ： z=x 下 的 降 维 度 情 况采 用 z = x ， 方 程 (3) 降 低 维 度 化 为

(3 Dx2-2 DyDt-Dx

3Dy) f·f =0 (16)

旨 在 获 得 如 下 形 式 的 精 确 解f = e−ξ + δ1 cos(η) + δ2 cosh(γ) + δ3 eξ (17)

其 中 ξ=a1x+b1y+c1t, η=a2x+b2y+c2t, γ = a3x+b3y+c3t 以 及 ai, bi, ci, δi (i = 1, 2, 3) 是 一 些待 定 系 数 。

将 方 程 (17) 代 入 方 程 (16) ， 权 衡 eξ ， e−ξ ， cos(η) ， sin(η) ， cosh(γ)， sinh(γ) 的 系 数 限 制 到 零 ，我 们 可 以 得 到 一 系 列 关 于 ai ， bi ， ci ， δi (i =

1 ， 2 ， 3) 的 代 数 方 程 。 我 们 给 出 如 下 的 一 组 解{b1=

1a1

, b2=-1a2

, b3=1a3

, c1=- 1+a13

2, c2=

a23

2, c3=-a3

3

2 } (18)

进 而 ， 方 程 (1) 在 z = x 降 维 情 况 下 的 精 确 解 具 有 形 式u=-3

a12 e−A−δ1a2

2 cos (B )+δ 2a32cosh (C )+δ3a1

2 eA

e−A+δ1 cos (B )+δ2 cosh (C )+δ 3 eA +3

(−a1 e−A−δ1a2sin (B)+δ2a3 sinh (C )+δ3a1e

A)2

(e−A+δ1 cos (B)+δ 2cosh (C)+δ3 eA)2

(19)

其 中A=a1x+

1a1

y-a13

2t

A=a2x+1a2

y-a23

2t

A=a3x+1a3

y-a33

2t

三 、 分 析 与 讨 论在 这 一 部 分 ， 我 们 将 通 过 精 确 解 的 图 像 描 摹 来 研 究

孤 子 在 传 播 过 程 中 不 断 变 化 的 行 为 。 很 明 显 方 程 (6) 和(11) 是 少 定 的 非 线 性 代 数 方 程 组 ， 含 有 十 五 个 未 知 变 量和 七 个 方 程 。 总 的 来 讲 ， 求 解 这 些 非 线 性 代 数 方 程很 难 。 运 用 符 号 运 算 ， 我 们 已 经 得 到 了 方 程 (1) 的 四组 特 殊 解 ， 解 (8) ， (10) ， (13) 和 (15) 。 三 维 图 像 以 及 它们 的 投 影 图 像 见 图 1 至 图 4 。 通 过 z = x 降 低 维 数 的 方程 (1) 的 解 的 图 像 见 图 5 。

基 于 u 的 表 达 式 ， 我 们 得 到 lim u =0

t→±∞这 里 解 u 由 表 达 式 (8), (10), (13), (15) 和 (19) 给 出 。 从 三 维 图 像以 及 其 投 影 图 像 中 看 , 解 (10), (13), 和 (15) 的 波 峰 沿 着 其 运 行方 向 周 期 性 地 上 升 和 下 落 。 解 (8) 和 (19) 的 解 描 述 了 两个 波 的 作 用 情 况 ， 图 1 和 图 5 中 可 以 看 出 ， 图 1 表 示两 种 暗 型 波 间 发 生 平 行 的 面 对 面 作 用 ， 图 5 给 出 了 两种 暗 型 波 之 间 的 斜 向 相 互 作 用 ( 通 过 选 择 不 同 的 时 间值 来 揭 示 详 细 的 交 互 过 程 ) 。

在 图 2 中 ， 波 是 暗 型 的 ， 向 x 轴 的 负 方 向 传 播 ， 并 且波 峰 周 期 性 地 上 升 和 下 降 ， 图 3 和 图 4 是 明 亮 型 的 。

(a) t = -6 ； t = -3 ； t = 0

t = 3 ； t = 6

(b)t = −6 ； t = −3 ； t = 0

t = 3 ； t = 6

图 1 (a) 解 (8) 在 t = −6 ， t = −3 ， t = 0 ， t = 3 以 及 t = 6 时 u 的 图 像 ，其 中 a3=2 ， z = 0 ， δ1 = 3 且 δ2 = 1 ； (b) 是 (a) 图 对 应 的 投 影 图 。

t = 0 t = 3 t = 6

(a) t =0 ； t = 3； t = 6

(b) t =0； t = 3； t = 6

图 2 (a) 解(10) 在 t = 0， t = 3以 及 t = 6时 u 的 图 像 ， 其 中 a 3 = 2√3

， z =

0, δ1 = 1 ， δ2 =3

2√2；

(b) 图 是 (a) 图 对 应 的 投 影 图 。

t =0 ； t = 3； t = 6

图 3 解 (13) 在 t = 0 ， t = 3 ， t = 6 时 u 的 图 像 ， 其 中 a3

=2 ， z=0 ， δ1=3， δ2 =1

t =0 ； t = 3； t = 6

图 4 解(15) 在 t = 0 ， t = 3 ，t =6 时 u 的 图 像 ， 其 中 a3 =2√3

， z=0 ， δ1

= 1 ， δ2 = 1

(a) t = -12 ； t = -6 ； t = 0

t = 6； t =12

（ b ） t = -12 ； t = -6 ； t = 0

t = 6； t =12

图 5 (a) 解 (19) 在 t= −12 ， t= −6 ， t= 0 ， t = 6 ， t = 12 时 u 的 图 像 ， 其中 a1=1 ， a2=2 ， a3=2 ， δ1 = 1 ， δ2 = 1 以 及 δ3 = 1 ； (b) 图 是 (a) 图 对

应 的 投 影 图

四 ． 总 结 与 评 论基 于 Hirota 双 线 性 方 法 ， 试 探 函 数 法 是 寻 找 非 线 性 发

展 方 程 精 确 解 一 种 有 效 的 办 法 。 在 本 文 中 ， 我 们 以 一个 (3+1) 维 的 非 线 性 发 展 方 程 和 它 的 降 维 度 形 式 作 为 例子 进 行 研 究 。 基 于 符 号 运 算 ， 我 们 通 过 求 解 少 定 代 数方 程 组 确 定 待 定 系 数 ， 进 而 获 得 原 非 线 性 发 展 方 程 多种 形 式 的 精 确 解 ( 见 方 程 (6) 和 (11)) 。 在 我 们 将 来 的 工作 中 ， 可 以 考 虑 其 他 形 式 的 试 探 函 数 来 对 一 些 高 维 度的 非 线 性 发 展 方 程 求 解 。

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