Inegalitati (VIII)

Marius MaineaC.N. ,,Vladimir Streinu’’ Gaesti

I Definitii, Notatii, Proprietati.

Notam , (media armonica), , (media geometrica)

, (media aritmetica), ,(media patratica).

Se cunosc inegalitatile mediilor:

pentru orice numere pozitive x si y.

, , , a,b,c, reale.

oricare ar fi a,b,c reale.

,

Inegalitatea Cauchy-Buniaovswski-Schwartz (C-B-S)

pentru a,b,c,x,y,z reale.

Pentru orice numere reale, folosind relatiile de mai sus, se deduc urmatoarele inegalitati

a) b) . c) .

d) pentru a,b,c reale si x,y,z pozitive.

Pentru orice exista si este unic astfel incat .

II Probleme rezovate

R1) Daca a,b,c sunt nenegative atunci :a)

b)

c) Daca in plus , atunci .***

Solutie:

a) conform ,d,b)

b) Conform ultimei proprietati exista x,y,z reale astfel incat , , , si

inegalitatea devine sau , care este adevarata

conform punctului anterior.

c) Rezulta din punctul b).

R2) Daca a,b,c >0 atunci

Mircea Lascu SHL, ONM-2006

Solutie: Folosind inegalitatea mediilor avem , deci

.

Analog si de unde

prin adunare se obtine concluzia.

R3) Daca a,b,c sunt numere positive atunci

(Inegalitatea lui Nesbitt)

Solutie: Aplicind -d,b)

R4) Daca a,b,c,x,y,z >0 asttfel incat , atunci

(Liviu Oprisescu,C.R. Arhimede)

Solutie: Presupunem prin absurd ca . Adunand aceasta inegalitate cu cea

din ipoteza obtinem conform

inegalitatii mediilor si analoagele.

Asadar obtinem contradictia , ceea ce ne arata ca presupunerea

facuta e falsa.

R5) Fie a,b,c>0 . demonstrati ca

(SHL-.JBMO/2002)

Solutie : Aplicam problema anterioara  pentru :

, , si , , . Intr-adevar

, deoarece folosind -d)

In concluzie

q.e.d.

R6) Fie a,b,c>0 astfel incat . Demonstrati ca :

(Marius Mainea)Solutie : Aplicam tot probema R4) pentru :

, , si , , . Atunci

conform R3)

si deci q.e.d.

R7) Daca a,b,c [ ,1] , atunci

(Mircea Lascu ONM,-2006)

Solutie: Pentru prima inegalitate:

Cum , rezulta deci si analog

si de unde prin sumare

q.e.d.

Pentru a doua folosim ca si atunci

q.e.d.

R8) Daca astfel incat atunci

( Marius Mainea , RMT ,1-2008)

Solutie : Conform ipotezei , avem

conform

inegalitatii mediilor . Analog pentru celealte fractii.

si .

Prin sumare , deoarece conform R1-c)

R9) Aratati ca pentru orice numere reale positive a,b,c avem

(*** SHL/2007)

Solutie: Din inegalitatea mediilor si analoagele , de unde prin adunare

) conform R3)

R10) Fie a,b,c>0 numere reale cu a+b+c=1. Demonstrati ca

(Laura & Gheorghe Molea, SHL-ONM/2007)

Solutie:Din inegalitatea mediilor avem si analoagele , de unde

(*)

Pe de alta parte folosind -d)

conform ipotezei si atunci

(**) si din (*) si (**) rezulta concluzia.

R11) Fie a,b,c reale , , si

S= . Demonstrati ca

(elev Gheorghe Pupazan C.N. Paun/2007)

Solutie: Aplicand inegalitatea mediilor avem

si de unde prin adunare

deci q.e.d.

R12) Fie a,b,c pozitive cu a+b+c=1 . Demonstrati ca

(Marcel Teleuca, C.N.Paun/2006)

Solutie : conform inegalitatii mediilor.

Scriind inegalitatile analoage si adunandu-le obtinem concluzia

.

III Probleme propuse

P1) Daca a,b,c sunt reale pozitive cu atunci

(JBTST III-2008)Solutie: Aratam pentru inceput ca

Intr-adevar aplicand -b) de doua ori avem

de unde .

Folosind acest lucru

q.e.d.

P2) Demonstrati ca daca x,y,z>0 si , atunci

(Claudiu Mandrila,elev,Targoviste)

Solutie : Folosind -d) rezulta

si e suficient sa aratam ca ceea ce este evident din -a)

P3) Daca a,b,c>0, atunci

(MS/2006)

Solutie: Prelucram putin primul termen:

unde am folosit

inegalitatea mediilor si proprietatea ,a cincea, pentru .

Asadar si analog ,

si apoi prin adunare rezulta concluzia.

P4) Fie OABC un triedru tridreptunghic cu varful in O. Demonstrati ca :

(Marius Mainea,RMT 3/2004)Solutie : Notam OA=a , OB=b , OC=c. Folosind , sau inegalitatea CBS, avem si analoagele. Avem

Insumind cu

inegalitatile analoage obtinem inegalitatea din stanga. Pentru cea din dreapta

, deoarece ( )

De aici q.e.d.

P5) a) Demonstrati inegalitatea :

b) Fie a,b,c,d>0. Demonstrati inegalitatea

(Traian Tamaian ONM/2005)Solutie : a) Din inegalitatea mediilor ,

obtinem si atunci

b) Aplicand a) obtinem

si

. Rezulta ca

=

=

P6) Fie a,b,c si asttfel incat

a) Demostrati ca b) n ce caz avem egalitatela (a) ?

(Cecilia Deaconescu, SHL,ONM/2005)

Solutie :a) Din inegalitatea mediilor , , de unde

si analog , de unde prin adunare

Asadar trebuie sa avem egalitate in

toate inegalitatile de mai sus de unde , , , sau

b) Egalitatea are loc pentru x=y=z=1 si a=b=c=

P7) Fie a,b,c >0 astfel incat a+b+c=1. Demonstrati ca

(Mircea Lascu)

Solutie :

Notând , avem şi inegalitatea din enunţ devine:

. (1)

Dar folosind inegalitatea rezulta , ,

si insumind obtinem inegalitatea (1).

P8) Fie a,b,c astfel incat . Sa se arate ca

(Marcel Chirita,SHL-ONM/2002)

Solutie: Este cunoscuta identitatea:

.

Notand y=ab+bc+ca , observam ca si avem

, unde am folosit R1-b) si inegalitatea CBS.

P9) Demonstrati inegalitatea

(Nicolae Papacu, SHL, ONM/2003)

Solutie: Aplicand -d) obtinem

Asadar e suficient sa aratam ca , echivalent cu

, care rezulta din inegalitatea mediilor

P10) Daca a,b,c>0 cu abc=1, atunci

(Marius Mainea)

Solutie: Folosind inegalitatea mediilor

si analog

, si prin sumare

, folosind -a) si R1-b)

Bibliografie :

1) Titu Andreescu et co ,,Old and new inequalities’’ Ed gil 20042) Mircea Becheanu& Bogdan Enescu ,,Inegalitati Elementare…” Ed Gil 2002 3) Colectia GM , RMT,Arhimede4) www.mateforum.ro 5) www.artofproblemsolving.com