Lopta opisana oko obrtnih tela I poliedara

O-centar lopte, R poluprečnik lopte ro1, ro2-poluprečnici opisanih krugova oko osnova

Lopta I zarubljena kupa Lopta I pravilna zarubljena četvorostrana piramida

r 2 a2 ro2 =

H y H s H=x+y H s

O x R R

r1 H=x+y ro1 =

r1-r2 a1 r1-r2

Lopta I valjak Lopta I pravilna trostrana prizma

H/2 H/2

O H/2 O R

H/2 R r o

r

Lopta I kupa Lopta I pravilna trostrana piramida

R s R s

H-R O R O R

H-R

r ro

x XxX

Opisana lopta

1.U loptu je upisana jednakostranična kupa ( s=2r ) poluprečnika osnove r = 5. Naći odnos površina lopte i kupe.

( Rešenje: R=

2. Oko pravilne trostrane prizme osnovne ivice 5 i visine 10, opisana je lopta. Naći odnos zapremina lopte i prizme.

(Rešenje: R= ; Vl :Vp =64 )

3.Odrediti zapreminu pravilnog tetraedra upisanog u sferu poluprečnika R=3. (Rešenje: a=2 )

Upisana Lopta

4 . U pravilnu četvorostranu piramidu osnovne ivice a= 3, sve bočne strane su nagnite pod uglom od 60 nad ravan osnove.

U piramidu je upisana lopta. Naći odnos zapremina lopte i piramide. (Rešenje:R= , H= )

5. Površina prave kupe je dva puta veća od površine lopte upisane u tu kupu.odrediti odnos zapremina kupe i lopte. (Rešenje2:1)

6.* U zarubljenoj kupi, zbir kvadrata poluprečnika osnova je 65, a visina je 4 .U zarubljenu kupu je upisana lopta. Odrediti

odnos zapremina lopte i kupe.

( uputstvo: u obrascu za zapreminu kupe: V= nedostaje proizvod poluprečnika jer je . Nije

potrebno izračunavati posebno dužine poluprečnika već se iz osnog preseka zarubljene kupe dobija: , a

odatle )

7. * Lopta površine 64 upisana je u zarubljenu kupu, čija je izvodnica nagnuta nad ravan osnove pod uglom od 60 Izračunati V

zarubljene kupe.(Rešenje: )

8.* U trostranoj piramidi osnovne ivice su 13,14 i 15. Rastojanje vrha piramide od svake osnovne ivice je 5. U piramidu je

upisana lopta. Naći zapreminu te lopte.(Rešenje: H piramide je 3, R lopte je )

9. Pravougli trapez osnovica 10 i 6 i oštrog ugla 6o rotira oko ose koja sadrži duži krak trapeza. Izračunati P i V tako nastalog obrtnog tela.

10. Romb stranice a = 4 i oštrog ugla rotira oko ose koja sadrži teme oštrog ugla iparalelna je visini romba.

Izračunati P i V tako nastalog obrtnog tela.

11. Jednakokraki trapez osnovica 4 i 2 i oštrog ugla 6o rotira oko ose koja sadrži teme oštrog ugla i paralelna je visini trapeza. Izračunati P i V tako nastalog obrtnog tela.

12. Na rastojanju 25 od centra lopte poluprečnika 15, postavljen je izvor svetlosti. Kolika je površina osvetljenog dela lopte?

13. Na rastojanju x od centra lopte poluprečnika 15, postavljen je izvor svetlosti. Površina osvetljenog dela lopte iznosi 180

Koliko je rastojanje x?

14. U valjak je upisana pravilna trostrana prizma, a u prizmu je upisan valjak. Naći odnos zapremina tih valjaka. 15.U pravilnu četvorostranu prizmu upisan je valjak. Odrediti zapreminu valjka ako je zapremina prizme 128.

16. U valjak je upisana pravilna četvorostrana piramida osnovne ivice a, tako da vrh piramide pripada gornjoj bazi valjka. Izračunati odnos zapremina valjka i piramide.