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Fórmulas para parcial de Probabilidad y Estadística

Operaciones entre conjuntos.......................................................................................................3

Modelo hipergeométrico.............................................................................................................3

Modelo binomial..........................................................................................................................3

Media y sigma del modelo binomial:.......................................................................................3

Variable aleatoria de Pascal.........................................................................................................4

Media y sigma de la variable aleatoria de pascal:....................................................................4

Teorema de Bayes........................................................................................................................4

Teorema de Probabilidades Totales.............................................................................................5

Modelo Multinomial....................................................................................................................5

Numero combinatorio..................................................................................................................5

Variable aleatoria continua..........................................................................................................5

Media y varianza de variable aleatoria discreta y variable aleatoria continua.............................6

Variable aleatoria uniforme.........................................................................................................6

Media y sigma de variable uniforme:.......................................................................................7

Variable aleatoria Mixta...............................................................................................................7

Cambio de variable.......................................................................................................................7

Función densidad y función distribución tras cambio de variables..........................................8

Si ambas discretas................................................................................................................8

Si X continua y G sin tramos horizontales.............................................................................9

Variable aleatoria normal.............................................................................................................9

Estandarización de variable aleatoria normal..............................................................................9

Variable aleatoria truncada........................................................................................................10

Mezcla de variables aleatorias...................................................................................................11

Media y sigma de la mezcla de variables aleatorias:..............................................................11

Variable aleatoria Gamma..........................................................................................................11

Media y sigma de la variable Gamma:....................................................................................12

Gamma como normal.............................................................................................................12

Variable aleatoria exponencial...................................................................................................12

Media y Sigma de la variable aleatoria exponencial:..............................................................12

Proceso de Poisson.....................................................................................................................12

Enfoque a la gamma...............................................................................................................12

Enfoque a la Poisson..............................................................................................................13

Probabilidad, media y sigma de enfoque a la Poisson:.......................................................13

Dos variables aleatorias discretas..............................................................................................13

Variables marginales..............................................................................................................13

Dos variables aleatorias continuas.............................................................................................14

Variables marginales..............................................................................................................14

Media y sigma de una combinación lineal de variables aleatorias independientes...................14

Corolario 1..............................................................................................................................15

Corolario 2..............................................................................................................................15

Distribución de una combinación lineal de variable normal e independiente...........................15

Media y sigma de un producto de variables aleatorias independientes....................................16

Teorema del límite.....................................................................................................................16

Consideraciones del tamaño de n..........................................................................................16

Procedimientos útiles.................................................................................................................16

Maximización de una variable aleatoria.................................................................................16

Obtención de densidad tras truncamiento de una relación entre dos variables....................17

Probabilidades en variables relacionadas por una condición.................................................17

Scigliano Mariano Facundo - pág. 2

Operaciones entre conjuntos

P (C )=1−P(C)

P (A∪B )=P ( A )+P (B )−P (AB)

P (A⋰B )= P (AB )P(B)

P (ABC )=P (A )∗P (B⋰ A )∗P (C⋰ AB)

Modelo hipergeométrico1

P (B3 )=(53)(104 )(157 )

Modelo binomial2X Bi(7 ,P ex)

P (E3 )=P (X=3)=(73)∗Pex3∗(1−Pex )4

P (X>2 )=1−P (X≤2 )=1−Fbi(27;Pex)

Media y sigma del modelo binomial:X Bi(n , p)

μ=n∗p

1 De una dada composición inicial, probabilidad de una dada composición final.2 Dada una probabilidad de realización de un suceso, probabilidad que de n sucesos se realice una dada cantidad en total.


σ=√n∗p∗(1−p)

Variable aleatoria de Pascal3

N Pa(3 ,P ex)

P (3er≝en20 )=P (N=20 )=P ¿

¿ Ppa( 203 ; Pex)=(192 )∗Pex2∗(1−Pex )17∗P ex

P (3er en15omenos )=P (N ≤15 )=Fpa(153;0,25)

Media y sigma de la variable aleatoria de pascal:N Pa(r ,P ex)

μ= rp

σ=√r∗(1−p)p

Teorema de Bayes4

A1 B1 C1

A2 B2 C2

A3 C3

C4

P (A2⋰C3 )=P ( A2C3 )P(C3)

=P (A2C3 (B1∪B2) )

P (C3 ( A1∪A2∪ A3 ) (B1∪B2 ))

P (A1⋰ B1 )=P ( A1B1 )P(B1)

=P (A1 )∗P (B1⋰ A1)P(B1(A1∪ A2∪ A3))

3 Dada una probabilidad de realización de un suceso, probabilidad que la enésima realización ocurra exactamente en una repetición específica. 4 Dadas varias etapas y conociendo una de ellas, probabilidad de que se haya dado una etapa previa a esta específica.


Teorema de Probabilidades Totales5

A1 B1 C1

A2 B2 C2

A3 C3

C4

P (C1 )=P (C1(A1∪A2∪ A3)(B1∪B2))=P (C1 A1B1 )+…+P(C1 A3B2)

Modelo Multinomial6

P (A2B2C2 )=( 62 ,2,2)∗Pa2∗Pb2∗Pc2

Numero combinatorio( 62 ,2,2)= 6 !

2 !2 !2!

(62)= 6 !3 !(6−3) !

Variable aleatoria continuaDada una función de densidad f x (x )

P (63<x<74,2 )=∫63

74,2

f x (x)

P ( x=70 )=0

P ( todo x )=∫ppo

fin

f x (x)=1

Para definir la función de distribución, se calcula:

F x (x )=∫ppo

x

f x(x )

5 Dadas varias etapas, probabilidad que ocurra una en específica.6 Dada tres posibilidades en un experimento, probabilidad de una determinada combinación de ellos.


Media y varianza de variable aleatoria discreta y variable aleatoria continuaVariable aleatoria discretaMedia poblacional

μ=E (X )=∑∀ xx∗px (x)

Varianza poblacionalσ 2=E (X−μ )2=∑

∀ x(X−μ )2∗px (x)

Desvío estándar poblacionalσ=√σ2

Variable aleatoria continuaMedia poblacional

μ=E (X )=∫ppo

final

x∗f x ( x ) dx

Varianza poblacional

σ 2=E (X−μ )2=∫ppo

final

( X−μ )2∗f x ( x )dx

Desvío estándar poblacionalσ=√σ2

σ 2=E(X2)−μ2

Variable aleatoria uniforme7

X U (a ,b)

Función distribución:

7 La probabilidad en cualquier parte del intervalo (a;b) es la misma, por lo que área del rectángulo formado es 1.


Media y sigma de variable uniforme:μ=E (x )=a+b

2

σ=b−a√12

Variable aleatoria Mixta8

Se superponen f. de densidad. y se calcula como probabilidades totales.

P (X=4 )=P (4∪M 4 )=16+P (M )∗P (4⋰M )=1

6

μx=E ( x )=1∗16

+ 2∗16

+ 4∗16

+ 7∗16

+∫3

5 x∗112

dx+∫6

10 x∗124

dx

σ x2=( 12∗16 + 2

2∗16

+ 42∗16

+ 72∗16

+∫3

5 x2∗112

dx+∫6

10 x2∗124

dx)−μx2

Cambio de variable9

μy=E ( y )=E (g ( x ))={(Si discreta )∑∀ xg (x )∗px (x)

(Si continua )∫ g (x )∗f x (x)

σ y2=E ( y2 )−μ y

2={(Si discreta )(∑∀ x g (x )2∗px (x))−μy2(Si continua ) (∫ g (x )2∗f x (x))−μy2

8 Tenemos una combinación de sucesos, de lo cual la realización de cada uno depende del resultado de un suceso realizado anteriormente.9 Dada una función referida a un evento, nos interesa algo que en realidad se deriva de ese evento. Debemos definir una nueva función


Función densidad y función distribución tras cambio de variablesX G(x) YDiscreta DiscretaContinua No tiene tramos horizontales ContinuaContinua Todos son tramos

horizontalesDiscreta

Continua Con tramos horizontales y sin tramos horizontales (mixta)

Mixta

Si ambas discretasEvaluamos puntualmente caso a caso y vamos graficando función de densidad.


Si X continua y G sin tramos horizontales

f y ( y )=f x ( x1 ( y ) )∗|x1' ( y )|+ f x (x2 ( y ) )∗|x2' ( y )|+ f x (x3 ( y ) )∗|x3' ( y )|

Variable aleatoria normal10

X N (μ;σ )

f x ( x )= 1σ∗√2∗π

∗e−( x−μ)2

2∗σ2 ∀ x∈R

Estandarización de variable aleatoria normal11

P(9< x<13)=p (w<x< j)

10 Es la que más frecuentemente es utilizada, se caracteriza por tener una función de densidad en forma acampanada (campana de Gauss)11 El objetivo es llevar a una normal estandarizada N(0,1) para utilizar tabla.


Con

w=9−102

j=13−102

En este caso μ=10 y σ=2

En estandarizada calculamos por tabla:

¿ FZ (1,5 )−F z(−0.5)

Variable aleatoria truncada12

Para calcular función de distribución:

f x t=f x ( x )P(π )

Nótese que truncamiento de normales no es normal, por lo que no se puede estandarizar.

Con P (π )=P(X este dentrode lo quenos interesa truncamiento)

μxt=E (x t )= ∫inicio truncamiento

fintruncamiento xt∗ 1σ∗√2∗π

∗e−(x t−μ )2

2∗σ 2

P (π )d xt

Y para calcular el sigma

σ 2=E(x t2)−μ2=( ∫inicio truncamiento

fintruncamiento x t2∗ 1σ∗√2∗π

∗e−(xt− μ)2

2∗σ2

P (π )d x t)−μ2

No obstante, para probabilidades sin tener que calcular la función distribución podemos aplicar:

P (x t<10 )=P(X<10⋰ X ≥inicio del truncamiento )

Mezcla de variables aleatorias13

12 Desarrollamos un experimento en más de una etapa, si queremos una probabilidad tras descartar del experimento original un determinado rango de resultados realizamos truncamiento.13 Se trabajan probabilidades sobre un lote compuesto por elementos de llegada de distintas fuentes.


P (a≤Z≤b )= px∗p (a≤ x≤b )+ p y∗p(a≤ y ≤b)

Función de distribución:

{ ( si continua ) f z ( z )=px∗f x ( z )+p y∗f y (z )(si discreta ) pz ( z )=px∗px ( z )+p y∗p y(z )

Media y sigma de la mezcla de variables aleatorias:μz=px¿ μx+ p y¿ μy

σ z2=px ( μx2+σ x2 )+ py (μy2+σ y2)−μz2

Nótese que mezcla de normales no es normal ni la mezcla es combinación lineal de x e y.

Variable aleatoria GammaX G(α ; β)

P ( x<800 )=F γ (800α; β)

f γ (t )={ βΓ (α )

∗(β∗t )α−1∗e−β∗t∀ t>0

0 otro t

Con

Γ ( x )=∫0

∞

t x−1∗e−t dt

Media y sigma de la variable Gamma:μγ=

αβ

σ γ=√αβ


Gamma como normalSi α>10oα>15, entonces podemos considerar a la Gamma como una normal con la media y sigma antes estipuladas.

Variable aleatoria exponencialX G(1 ; β)

Con función densidad:

f γ ( t )=β∗e−β∗t

Para calcular función distribución:

F γ ( t )=1−e−β∗t

Media y Sigma de la variable aleatoria exponencial:μγ=

1β

σ γ=1β

Proceso de Poisson14

Para estimar β utilizamos: β=numero fallasen t

t

Enfoque a la gammaBuscamos la r-ésima falla. Nos interesa cuándo se produce la r-ésima falla:

Tr G(r ; β)

Con r fijado y β dado en proceso.

μr=rβ

σ r=√rβ

Cuando r ≥10o15 definimos una normal tomando como parámetros los surgidos de lo antes visto.

N (μ;σ )

Enfoque a la PoissonFijado un tramo t nos interesa cuántas fallas hay en t:

14 proceso estocástico de tiempo continuo que consiste en "contar" eventos raros (de ahí el nombre "ley de los eventos raros") que ocurren a lo largo del tiempo. Deben ser independientes entre sí y exponenciales.


Rt Po( λ)

Donde:

λ=β∗t

Probabilidad, media y sigma de enfoque a la Poisson:P (Rt=r )=e

− λ∗λr

r !∀ r≥0

μPo=λ

σ po=√ λ

Si λ≥10o15 definimos una normal tomando como parámetros los surgidos de lo antes visto.

Po ( λ )=N (μ ;σ )

Dos variables aleatorias discretas

P xy (3,2 )=P ( x=3 ) ( y=2 )=P ( x=3 )∗P ( y=2⋰x=3)

∑∀ x

∑∀ yp ( x , y )=1

Variables marginalesP ( y=2 )=pxy (2,2 )+pxy (3,2 )+ pxy (4,2 )

De lo que concluimos que siempre desde la función de densidad conjunta podemos pasar a la función de densidad de cada variable separada:

f xy ( x , y ) → px ( x )→p y( y)

Por otro lado, si pX ( x ) y py ( y ) son independientes:

pxy ( x , y )=px (X=x )∗py (Y= y)

Dos variables aleatorias continuas


P(X<100)(Y >140)=∫0

100

∫140

∞

f xy ( x , y )dy dx

Variables marginalesSiempre vale que desde la función de densidad conjunta podemos pasar a la función de densidad de cada variable separada:

f xy ( x , y ) → px ( x )→p y( y)

De lo que:

f x ( x )=∫ppo

fin

f xy ( x , y )dy

f y ( y )=∫ppo

fin

f xy (x , y )dx

Por otro lado, si las variables son independientes vale:

f xy ( x , y )=f x ( x )∗f y ( y )

Media y sigma de una combinación lineal de variables aleatorias independientes

μz=E ( z )=α∗μ X+β∗μ y+γ

σ z=√α2∗σ x2+β2∗σ y2

Nótese que esto no será útil para aplicar si la combinación no es entre normales, pues z no será entonces calculable como normal ni otro tipo de variable aleatoria. Se deberá obtener la conjunta si son independientes. Si las variables no fueran independientes (como depender de su peso) proceder renombrando a estas dos como una tercera a la que se le calcula media y sigma por cambio de variable y luego se podrá trabajar gracias a Teorema Central del Límite.

Corolario 115

x t=x1+x2+…+xn

15 Se toman muestras independientes y se quiere Xt


μxt=n∗μ

σ x t=√n∗σ2

Corolario 216

x=x1+x2+…+xn

n

μx=μ

σ x=σ√n

Distribución de una combinación lineal de variable normal e independiente

Con x e y normales.

Se cumple para el caso de las normales que la C.L. de normales es normal, de lo que:

Z N (μ ;σ )

Con:

μz=α∗μX+β∗μ y+γ

σ z=√α2∗σ x2+β2∗σ y2

Media y sigma de un producto de variables aleatorias independientes

μz=μx∗μy

σ z=√σx2∗σ y2+σ x2∗μy2+σ y2∗μx2

16 Se toman muestras independientes y se trabaja con el promedio


Teorema del límite

x t=x1+x2+…+xn

Del corolario 1:

X t→ (n∗μ;√n∗σ )

Si n≫, entonces X t→N (n∗μ ; √n∗σ )

Consideraciones del tamaño de n* N >

N 1U 8G(1; β) 10G(α ; β) con α≪ 1000

12

20

Procedimientos útilesMaximización de una variable aleatoriaDada una variable (x) con función distribución conocida y una relación con otro valor (q, desconocido y numérico) la cual queremos maximizar (para que q sea el máximo posible en la relación estipulada) procedemos calculando media de la relación (con cambio de variable integrando respecto a x) y luego derivando respecto a q e igualando a 0.

μg=E(30 x−20 q x≤q10q x>q )=∫o

q (30x−20q )∗180

dx+∫q

80 (10q )∗180

dx

d μgdq

=0↔qesmax


Obtención de densidad tras truncamiento de una relación entre dos variablesDada dos variables independientes (x e y) y una relación entre ellas. Si deseamos la función densidad de una de ellas tras un truncamiento en la relación entonces obtenemos primero la densidad de f(x,y), realizamos el truncamiento e integramos respecto a la otra variable en la región del truncamiento (Separar casos en la integral según la región).

Probabilidades en variables relacionadas por una condiciónDadas dos variables independientes relacionadas por una dada condición, para calcular la probabilidad de la condición obtener la función densidad conjunta e integrar en el recinto correspondiente tras graficar la condición y regiones en las que vive cada variable aleatoria.


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