file · web viewteorema pythagoras. disusun untuk memenuhi tugas . mata kuliah : filsafat...
TRANSCRIPT
TEOREMA PYTHAGORAS
Disusun untuk Memenuhi Tugas
Mata kuliah : FILSAFAT ILMU
Dosen Pengampu : Drs. GATUT ISWAHYUDI, M.Si
Oleh :
1. SUYONO S.851008048
2. IKHSAN DWI SETYONO S.851008025
3. TUMINI S.851008051
4. TRI WIDIASTUTI S.851008050
Kelas Paralel 1, 2010
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCA SARJANA
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
2010
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pythagoras adalah seorang matematikawan yang lahir sekitar tahun 582 SM. di
Pulau Samos, Yunani. Pythagoras hidup amat sederhana, keras, dan memakai waktunya
mengerjakan matematika. Pythagoras yakin bahwa matematika menyimpan semua
rahasia alam semesta dan dia percaya bahwa beberapa angka memiliki keajaban.
Pythagoras diingat karena dalil Pythagoras, sebuah rumus sederhana dalam geometri
tentang ketiga sisi dalam segitiga siku - siku. Namun, Pythagoras juga melakukan
beberapa eksperimen ilmiah paling pertama melalui mendengarkan suara senar yang
diregangkan dengan panjang yang berbeda dan meneliti matematika oktaf dan harmoni.
Ide - ide matematika Pythagoras menjadi penting bagi filsuf Plato dan melalui pengaruh
Plato para ilmuwan lain seperti Galileo, Kepler, dan Sir Issac Newton.
Pada tahun 2500 SM, orang-orang Mesir Kuno menganggap pasangan bilangan
3,4 dan 5 sebagai bilangan-bilangan yang ajaib dan menyebutnya sebagai salah satu
ajaran dari Dewa Oasis. Ketika mereka membangun fondasi piramida, mereka
menggunakan bilangan-bilangan tersebut sebagai acuan membangun sudut siku-siku
dengan bantuan sebuah tali yang dibuat 4 simpul dengan jarak masing-masing antara
simpul pertama dan kedua berjarak 3 satuan, simpul kedua dan ketiga berjarak 4 satuan
dan simpul ketiga dan keempat berjarak 5 satuan. Jika tali tersebut dibuat segitiga
dengan menyatukan simpul pertama dan keempat, maka didapatkan sebuah segitiga
siku-siku yaitu suatu segitiga yang salah satunya siku-siku.
Dalam matematika , Teorema Pythagoras adalah suatu hubungan di geometri
Euclid antara tiga sisi pada sebuah segitiga siku-siku dimana: Dalam setiap segitiga
siku-siku, luas persegi yang berada di sebelah sisi miring adalah sama dengan jumlah
bidang kotak yang berada pada kedua sisi lainnya
Teorema dapat ditulis sebagai persamaan yang berkaitan dengan panjang sisi a,
b, dan c, yang sering disebut persamaan Pythagoras:
cb
a
dimana c merupakan panjang sisi miring, dan a dan b mewakili panjang dua sisi lain
Teorema Pythagoras ini dinamai oleh seorang matematikawan Yunani bernama
Pythagoras , setelah melakukan penelitian, penemuan dan membuktikan . Meskipun
banyak ilmuan sering berpendapat tentang teorema tersebut (Ada banyak bukti bahwa
matematikawan Babilonia memahami rumus tersebut, tetapi ada sedikit bukti yang
dipasang ke dalam kerangka matematis) . Matematika menyediakan alat-alat praktis
dalam bentuk konsep yang dirancang untuk perhitungan tertentu. Di sisi lain
Pythagoras, adalah salah satu yang pertama untuk memahami angka sebagai unsur-
unsur dalam segitiga siku-siku.
PEMBAHASAN
1. PEMBUKTIAN
1.1 Pembuktian dengan segitiga serupa.
Pembuktian menggunakan segitiga serupa.
Seperti kebanyakan pembuktian atas teorema Pythagoras, cara ini berdasarkan atas
proporsioanalitas dari sisi-sisi dua segitiga yang serupa. Kita anggap ABC menggambarkan
sebuah segitiga siku-siku dengan siku berada di C, seperti terlihat pada gambar. Kita gambar
ketinggiannya dari titik C, dan menyebut H sebagai pertemuan dengan sisi AB. Segitiga
ACH sama dengan segitiga ABC karena keduanya memiliki sebuah siku dan berbagi sudut di
A, yang berarti sudut ketiga akan sama di kedua segitiga ini. Dengan pemikiran yang sama,
segitiga CBH juga sama dengan ABC. Kesamaan tersebut mengarah kepada dua
perbandingan:
ac= HB
adan b
c= AH
b , Dapat juga ditulis menjadi:
a2 = c x HB dan b2 = c x AH
Setelah menjumlahkan kedua persamaan tersebut, kita mendapatkan:
a2 + b2 = c x HB + c x AH = c x (HB+AH) = c2
Dengan kata lain, Teorema Pythagoras:
a2+b2 = c2
1.2 Pembuktian Euclid
Di dalam Elements Euclid, teorema Pythagoras dibuktikan oleh sebuah
pendapat dalam garis-garis berikut ini. A, B, C, adalah vertices segitiga siku-siku,
dengan siku di A. Gambarlah garis lurus dari titik A menuju sisi yang berlawanan
dengan hypotenuse dalam persegi di luas hypotenuse. Garis itu membagi persegi yang
ada di luas hypotenuse menjadi dua persegi panjang, yang masing-masing memiliki luas
yang sama dengan salah satu persegi dari luas kaki-kakinya.
Sebagai pembuktian formalnya, kita memerlukan empat lemmata dasar:
1. Apabila dua segitiga memiliki dua sisi dari salah satu yang sama dengan dua sisi
lainnya, dan sudut-sudutnya terbentuk dari sisi-sisi yang sama, kedua segitiga itu
menjadi congruent (Teorema Sisi-Sudut-Sisi)
2. Luas segitiga adalah separuh dari luas parallelogram dalam dasar yang sama dan
memiliki ketinggian sama
3. Luas persegi adalah sama dengan produk dari sisi-sisinya yang terbagi dua.
4. Luas persegi panjang adalah sama dengan produk dari dua sisi yang berdekatan.
Ide intuitif di balik bukti ini, yang membuat mudah untuk diikuti, adalah bahwa
persegi-persegi yang ada di atas terbentuk menjadi parallelograms dengan ukuran yang
sama, kemudian berubah dan terbentuk menjadi persegi panjang kiri dan kanan yang
terletak di bawah, di luas konstan.
Ilustrasi memuat garis-garis baru.
Pembuktiannya adalah sebagai berikut:
1. Buatlah ACB menjadi segitiga siku-siku dengan siku CAB.
2. Di tiap sisi BC, AB, dan CA, persegi-persegi tergambar, CBDE, BAGF, dan ACIH,
dengan urutan seperti itu.
3. Dari A, gambarlah sebuah garis parallel dengan BD dan CE. Garis ini akan
mempertenukan BC dan DE di K dan L.
4. Gabungkan CF dan AD, untuk membentuk segitiga BCF dan BDA.
5. Sudut CAB dan BAG adalah sudut siku; sehingga C, A, dan G adalah collinear.
Berlaku juga untuk B, A, dan H.
6. Sudut CBD dan FBA adalah sudut siku; sehingga sudut ABD sama dengan sudut
FBC karena keduanya adalah penjumlahan dari sudut siku dan sudut ABC.
7. Karena AB dan BD sama dengan FB dan BC, dengan urutan seperti itu segitiga
ABD harus sama dengan segitiga FBC.
8. Karena A collinear dengan K dan L, persegi panjang BDLK harus dua kali lebih
besar dari segitiga ABD.
9. Karena C collinear dengan A dan G, persesi BAGF harus dua kali lebih besar dari
segitiga FBC.
10.Dengan demikian persegi panjang BDLK harus sama besar dengan persegi BAGF =
AB2.
11.Demikian juga, dapat dilihat bahwa persegi panjang CKLE harus sama besar dengan
persegi ACIH = AC2.
12.Penambahan dua hasil ini, AB2 + AC2 = BD x BK + KL x KC
13. Karena BD = KL, BD* BK + KL x KC = BD (BK + KC) = BD x BC
14. Dengan demikian, AB2 + AC2 = BC2, karena CBDE adalah sebuah persegi
1.3 Pembuktian Garfield
Luas trapezoid adalah
A = h2 (S1 + S2) , dimana h adalah tinggi, dan s1 dan s2 adalah panjang dari sisi-sisi
parallel.Sehingga luas trapezoid dalam gambar adalah:
A = (a+b)
2 (a+b) = (a+b)2
2
Sedangkan Segitiga 1 dan Segitiga 2 masing-masing memiliki luas ab2 , dan Segitiga 3
memilliki luas c2
2, dan luas ini separuh dari persegi yang ada di hypotenuse. Kemudian,
luas trapezoid adalah:
A =
ab2
+ ab2
+ c2
2=ab+ c2
2
Kedua luas harus sama, sehingga:
(a+b)2
2=ab+ c2
2
a2+2ab+b2
2=ab+ c2
2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
a2 + b2 = c2
C2
a2
a
b
c
c2
b2
Dengan demikian, persegi yang ada di hypotenuse = penjumlahan dari persegi-persegi
dari kedua sisi lainnya.
1.4 Pembuktian Dengan Pengurangan
Dalam pembuktian ini, persegi yang ada di hypotenuse ditambah empat rangkap
segitiga dapat disatukan ke dalam bentuk yang sama dengan persegi-persegi dari dua
sisi lainnya ditambah empat rangkap segitiga. Pembuktian ini diambil dari China.
Pembuktian dengan penjumlahan luas.
Pembuktian Dari Persamaan
Dari diagram yang terdapat di pembuktian Euclid di atas, kita dapat melihat tiga
gambar serupa, masing-masing menjadi “sebuah persegi dengan segitiga di atasnya”.
Karena segitiga besar dibuat dari dua segitiga kecil, luasnya adalah penggabungan dari
luas dua segitiga kecil. Dengan kesamaan itu, ketiga persegi ada di dalam proporsi yang
sama yang saling berhubungan dengan ketiga segitiga, demikian juga luas persegi yang
lebih besar adalah penggabungan dari luas dua persegi yang lebih kecil.
Pembuktian Teorema Pythagoras dengan pengaturan empat segitiga siku-siku
yang identik: Karena total luas dan luas semua segitiga adalah konstan, total luas
hitamnya juga konstan. Tetapi ini dapat dibagi ke dalam persegi-persegi dari sisi-sisi
segitiga a, b, c, yang menunjukkan bahwa a2+b2=c2.
Pembuktian dengan penyususunan kembali diberikan melalui ilustrasi dan
animasi. Dalam ilustrasi, luas dari masing-masing persegi besar adalah (a+b)2. Dalam
keduanya luas keempat segitiga identik dihapus. Sisa luasnya, a2 + b2 dan c2, Gambar,
ketiga paling kanan juga memberikan bukti. Kedua atas kotak dibagi seperti
yang ditunjukkan dengan shading biru dan hijau, potongan segitiga ketika
disusun ulang dapat dibuat persegi yang lebih rendah pada terpanjang atau
sebaliknya persegi besar dapat dibagi seperti yang ditunjukkan menjadi
potongan-potongan yang mengisi dua lainnya. Hal ini menunjukkan daerah
persegi besar sama yang kedua yang lebih kecil.
(a + b)2 = c2 +
ab2 +
ab2 +
ab2 +
ab2
(a + b)2 = c2 +ab +ab
(a + b)2 = c2 +2ab
Karena: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Maka :
a2 + 2ab + b2 = c2 +2ab
jadi: a2 + b2 = c2
1.5 Pembuktian secara Aljabar
Digram dari dua bukti aljabar
Teorema tersebut bisa dibuktikan secara aljabar menggunakan empat
salinan dari sebuah segitiga siku-siku dengan sisi a, b, dan c, diatur dalam
sebuah persegi dengan sisi c seperti di bagian atas diagram. Keempat segitiga
sama dengan luas yaitu masing-masing luasnya
ab2 . Sedangkan persegi kecil
memiliki sisi b - a dan luas daerah (b - a) 2 . Luas persegi besar adalah:
Tapi ini adalah sebuah persegi dengan panjang sisi c maka luasnya adalah c2.
Sehingga berlaku:
Sebuah bukti yang sama menggunakan empat salinan dari segitiga sama
diatur simetris sekitar persegi dengan sisi c, seperti ditunjukkan pada bagian
bawah diagram. Hal ini menghasilkan sebuah persegi yang lebih besar, dengan
sisi a + b maka luasnya (a + b ) 2. Keempat segitiga dan sisi c persegi harus
memiliki daerah yang sama dengan persegi yang lebih besar,
Maka didapat :
2 PENGGUNAAN TEOREMA PYTHAGORAS
2.1 Triple Pythagoras
Triple Pythagoras memiliki tiga integer positif a, b, dan c sehingga a2 + b2 = c2.
Dengan kata lain, triple Pythagoras mewakili panjang sisi sebuah segitiga siku-siku
dimana ketiga sisinya memiliki panjang integer. Bukti monumen megalitikum di Eropa
Utara menunjukkan bahwa triple semacam itu sudah diketahui sebelum penemuan
tulisan. Triple semacam itu umumnya ditulis (a, b, c). Beberapa contoh yang terkenal
adalah (3, 4, 5) dan (5, 12, 13).
Daftar Triple Pythagoras kuno hingga 100
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13,
84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89),
(48, 55, 73), (65, 72, 97)
2.2 Keberadaan angka-angka irasional
Salah satu konsekuensi dari teorema Pythagoras adalah bahwa panjang yang
incommensurable (perbandingannya adalah angka irasional), seperti akar pangkat 2,
dapat dibangun. Sebuah segitiga siku-siku yang kedua kakinya sama memiliki panjang
hypotenuse akar pangkat 2. Bukti bahwa akar pangkat 2 adalah irasional sangatlah
kontras dengan keyakinan lama yang menyebut bahwa segala sesuatu adalah rasional.
Menurut legenda, Hippasus, yang membuktikan ketidakrasionalan akar pangkat dua,
tenggelam di laut sebagai konsekuensinya.
2.3 Jarak koordinat kartesius
Rumus jarak koordinat kartesius berasal dari teorema Pythagoras. Bila (χ0, y0) dan
(χ1, y1) adalah titik-titik di dalam pesawat, jarak diantara keduanya juga disebut jarak
Euclidean diketahui dengan:
√ ( χ1 – χ 0 )2 + ( y 1 – y 0 ) 2 .
Lebih umum lagi, di dalam Euclidean n-space, jarak Euclidean diantara dua titik,
A=(a1, a2, …, an) dan B=(b1, b2, …, bn) didefinisikan menggunakan teorema Pythagoras
sebagai berikut:
√(a1 – b 1)2 + (a2 – b 2) 2 + … + (a n – b n) 2
= √∑
i = 1
n
( ai − bi )2
KESIMPULAN
Teorema Pythagoras adalah suatu hubungan di geometri Euclid antara tiga sisi
pada sebuah segitiga siku-siku dimana dalam setiap segitiga siku-siku, luas persegi yang
berada di sebelah sisi miring adalah sama dengan jumlah bidang kotak yang berada
pada kedua sisi lainnya. Teorema Pythagoras ini dinamai oleh seorang matematikawan
Yunani bernama Pythagoras , setelah melakukan penelitian, penemuan dan
membuktikan . Meskipun banyak ilmuan sering berpendapat tentang teorema tersebut
(Ada banyak bukti bahwa matematikawan Babilonia memahami rumus tersebut, tetapi
ada sedikit bukti yang dipasang ke dalam kerangka matematis) . Matematika
menyediakan alat-alat praktis dalam bentuk konsep yang dirancang untuk perhitungan
tertentu. Di sisi lain Pythagoras, adalah salah satu yang pertama untuk memahami angka
sebagai unsur-unsur dalam segitiga siku-siku.
Teorema dapat ditulis sebagai persamaan yang berkaitan dengan panjang sisi a,
b, dan c, yang sering disebut persamaan Pythagoras:
Sebuah tripel Pythagoras memiliki tiga bilangan bulat positif a, b, dan c, seperti
bahwa 2 + b 2 = c 2 Dalam sebuah Pythagorean triple merupakan panjang sisi segitiga
siku-siku di mana ketiga sisi memiliki panjang integer. Beberapa contoh dikenal dengan
baik adalah (3, 4, 5) dan (5, 12, 13).
b
a
c