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WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy
Benjamın R. Callejas Bedregal
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN
Departamento de Informatica e Matematica Aplicada – DIMAp
Grupo de Logica, Linguagem, Informacao, Teoria e Aplicacoes – LoLITA
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 1/111
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AGENDA
Motivação;
Introdução;
Teoria dos Conjuntos Fuzzy;
Lógica Fuzzy;
Relações e Composição Fuzzy;
Sistemas Fuzzy Baseados em Regras;
Tomada de Decisão; e
Considerações Finais.
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MOTIVAÇÃO
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Imprecisão dos conceitos
Não se imagina que tudo é vago até que se tentafaze-lo de maneira precisa. Bertrand Russel
Quando as leis da matemática referem-se à realidadeelas não estão certas. Quando estas leis estão certaselas não se referem à realidade. Albert Einstein
Uma mente educada está satisfeita com o grau deprecisão que a natureza do sujeito admite e não buscaexatidão onde apenas aproximação é possível.Aristóteles
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Teorias Matemáticas de Incertezas
As 3 mais importantes:
Teoria das probabilidades (Blaise Pascal em 1654):estudo matemático das probabilidades,
Matemática intervalar (Ramon Moore em 1959):Impossibilidade de se manipular o valor exato, e
Lógica fuzzy (Lotfi Zadeh em 1965): Imprecisãodos conceitos.
Outras teorias matemáticas que lidam com incertezas:Teoria Generalizada da Incerteza (Zadeh 2005),Shadow sets (Pedrycz 1998), teoria deDempster-Shafer (Dempster 1967 e Shafer 1976),rough sets (Pawlak 1991), etc.
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Limitações da Lógica Aristotélica
Os predicados são sempre ou verdadeiros ou falsos(isto é conhecido como Lei do terceiro Excluído).
Quando associamos a um predicado P o conjunto A
de objetos do universo de discurso U que satisfazemP , então isto é equivalente a dizer que todo elementode U ou pertence ou não pertence ao conjunto A.
Ex: uma figura geométrica ou é um quadrado ou não,ou equivalentemente pertence ou não ao conjunto dosquadrados.
Existe uma estreita relação entre lógica Aristótelicacom a Teoria dos Conjuntos.
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Paradoxo de Sorites
Embora a teoria clássica dos conjuntos seja a base damatemática moderna, tem problemas para modelar amaioria dos problemas reais.
O problema da escolha do limiar entre dois conjuntos(alto ou não alto), denominado de paradoxo de sorites(que em grego significa feixe ou monte), é atribuído aEubulides de Mileto, um dialético adversário deAristóteles.
“Quando um monte de areia deixa de ser um monte deareia, caso tiremos um grão de areia de cada vez?”
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INTRODUÇÃO
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Conjuntos fuzzy
Na teoria dos conjuntos fuzzy (TCF) todo objeto douniverso de discurso “pertence” ao conjunto em algumgrau. Tipicamente valores no intervalo [0, 1], onde 0significa que absolutamente não está e 1 que estácompletamente.
Graus intermediarios, refletem um grau de incertezaenquanto a pertinência ou não do objeto ao conjunto.Quanto mais próximo de 0.5, maior a incerteza.
TCF foi introduzida por Lotfali Askar-Zadeh (maisconhecido como Lotfi A. Zadeh) em 1965.
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Aplicações de LF
1. Sistemas fuzzy que controlam nos carros a força comque os freios são acionados para evitar derrapagens, asuspensão, tração, caixa de câmbios, etc.
2. No controle e otimização do trafico em cidades,rodovias, aereo, etc.
3. Na determinação do risco de investimentos e deoutras naturezas.
4. No apoio à tomada de Decisão
5. Em medicina no diagnóstico de doenças, quantificaçãodo QI em adultos, em epidemiologia, etc..
6. etc.WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 10/111
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Aplicações de LF
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Lógica fuzzy não é probabilidade
Copo contendo um líquido com 0,5 de probabilidadede
ser letal.
Copo contendo um líquido que tem um grau de pertinência 0,5
aos líquidos letais.
Se você for obrigado a escolher um copo para beber, qual
escolherias?
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TEORIA DOS CONJUNTOSFUZZY
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Função característica
Universo de discurso
Em teoria dos conjuntos clássica todo conjunto A numdeterminado universo de discurso U pode seridentificado com a função χA : U → {0, 1} definida por:
χA(x) =
1 , se x ∈ A
0 , se x 6∈ A
χA é chamada função característica do conjunto A.
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Exemplo Função característica
Objetos vs. Dados
Exemplo: O conjunto das pessoas consideradasidosas (idades) pela lei brasileira pode serrepresentado pelo seguinte gráfico:
χ idoso
1
Idade 65
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Conjuntos fuzzy
Um conjunto fuzzy pode ser vista através dos graus depertinência associados a cada objeto do universo. Ouseja, sua melhor representação é através de umafunção que atribui a cada objeto do universo dediscurso um grau de pertinência
O universo de discurso é um conjunto clássico (Crisp),usualmente um subconjunto de R com alguma unidadede medida (graus, metros, kilos, percentagem, etc.).
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Diagramas de Venn (Fuzzy)
Conjunto Crisp Conjunto Fuzzy
x
U
x ∈ A µA(x) = 0, 6
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Exemplo
O conjunto dos idosos (idades) descritos de maneirafuzzy (segundo meu ponto de vista) pode ser oseguinte:
µIdoso(x) =
1 , se x ≥ 70 anos
0 , se x ≤ 50 anosx−5020
, se 50 < x < 70
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Exemplo de Idoso
Graficamente:
50 70
1
Anos
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Variáveis e Termos Lingüísticos
Criança Jovem Adulto Idoso
Idade
1
50 70 60 30 45 1215 17 20 25
35
Semântica
Termos Ligüísticos
Idade Variável Lingüística
Conjunto de Termos
Ligüísticos
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Funções de pertinência Lineares
São as mais fáceis de serem descritas,implementadas e manipuladas.
Triangulares, trapezoidais e semi-trapezoides.
µ
1
U
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Funções de pertinência curvas
Sigmoidais
Graficamente:
µ
1
U
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α-cortes
Dado um α ∈ (0, 1]. O α-corte de um conjunto fuzzy Asobre um universo U é o conjunto crisp
Aα = {x ∈ U : µA(x) ≥ α}
U
1
A -
α
A + α α
A
A α
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Suporte e Núcleo de Conjuntos fuzzy
O conjunto suporte de um conjunto fuzzy A é
SA = {x ∈ U : µA(x) > 0}
O núcleo de um conjunto fuzzy A é o conjunto crisp
NA = {x ∈ U : µA(x) = 1}
Um conjunto fuzzy A é normal se NA 6= ∅
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União, Intersecção e Complemento
Todo conjunto clássico (crisp) A num universo U podeser visto como um conjunto fuzzy A sobre U cujafunção de pertinencia é µA(x) = 1 para todo x ∈ A eµA(x) = 0 para todo x ∈ A.
Em particular U={(x, 1) : x ∈ U} e ∅={(x, 0) : x ∈ U}.
Sejão A e B dois conjuntos fuzzy sobre um universo U
com funções de pertinência µA e µB. Para todo x ∈ U :
União: µA∪B(x) = max(µA(x), µB(x))
Interseção: µA∩B(x) = min(µA(x), µB(x))
Complemento: µA(x) = 1− µA(x)
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União, Interseção e Complemento
União
Interseção
Complemento
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Propriedades da⋃
,⋂
e −
Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ AAssociatividade: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C eA∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ CInvolução: A = AIdempotência: A ∪A = A e A ∩A = AElemento Neutro: A ∩ U = A e A ∪ ∅ = AElemento Absorvente: A ∩ ∅ = ∅ e A∪ U = U
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Propriedades da⋃
,⋂
e −
Distributividade: A ∪ (B ∩ C) = (A∪ B) ∩ (A ∪ C) eA∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A∩ C)Leis de De Morgan: A ∪ B = A ∩ B e A ∩ B = A ∪ BLeis da Absorção: A ∪ (A ∩ B) = A e A ∩ (A ∪ B) = A(A∪ B)α = Aα ∪ Bα, (A∩ B)α = Aα ∩ Bα e Aα = Aα
para todo α ∈ (0, 1]
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Propriedades negativas
Não satisfaz nem a lei do terceiro excluído (A∪A = U )nem a lei da contradição (A ∩A = ∅).
A A
AUA
A A
U
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Inclusão de Conjuntos Fuzzy
A ⊆ B se µA(x) ≤ µB(x) para todo x ∈ U
B A
U WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 30/111
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Propriedades da Inclusão
A ⊆ B sss A ∪ C ⊆ B ∪ C e A ∩ C ⊆ B ∩ C∅ ⊆ A ⊆ UA ⊆ AA = B sss A ⊆ B e B ⊆ AA ⊆ B sss B ⊆ ASe A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ CSe A ⊆ B então Aα ⊆ Bα para todo α ∈ (0, 1].
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LÓGICAS FUZZY
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Conjunção/Intersecção clássica
Tabela da conjunção:
α β α ∧ β
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Propriedades da conjunção:
α ∧ β = β ∧ α
α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ
α ∧ 1 = α e α ∧ 0 = 0
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T-normas
Normas triangulares (t-norms) foram introduzidas em1942 por Menger para modelar distancia em espaçosmétricos probabilísticos
Em 1962 Schweizer e Sklar deram uma axiomatizaçãoe dividiram as Normas triangulares entre t-normas et-conormas.
Alsina, Trillas e Valverde em 1980 usaram t-normaspara modelar conjunção fuzzy generalizando diversasinterpretações para conjunção fuzzy dadas até esseentão.
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 34/111
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T-normas
T : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] é uma t-norma se
é comutativa, i.e. T (x, y) = T (y, x)
é associativa, i.e. T (x, T (y, z)) = T (T (x, y), z)
é isotônica, i.e. se x ≤ x′ e y ≤ y′ entãoT (x, y) ≤ T (x′, y′)
1-identidade, i.e. T (x, 1) = x
Seja T uma t-norma, então T (x, y) = x ∧ y sex, y ∈ {0, 1}.
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 35/111
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Exemplos de t-normas
As t-normas mais conhecidas são:
Gödel: TG(x, y) = min(x, y)
Łukaciewisz: TL(x, y) = max(x+ y − 1, 0)
Produto: TP (x, y) = xy
Fraca: TW (x, y) = min(x, y) se max(x, y) = 1 eTW (x, y) = 0 caso contrário
Hamacher: Seja γ ≥ 0, TH,γ(x, y) =xy
γ+(1−γ)(x+y−xy)
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 36/111
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Propriedades de t-normas
É possível estabelecer uma ordem entre t-normas.Sejam T e T ′ duas t-normas quaisquer, entãoT ≤ T ′ se ∀x, y ∈ [0, 1], T (x, y) ≤ T ′(x, y)
Proposição: Seja T uma t-norma. TW ≤ T ≤ TG.
Proposição: Existe uma quantidade não-contável det-normas (Ex: a familia TH,γ)
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 37/111
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Disjunção clássica
Tabela verdade da disjunção clássica:
α β α ∨ β
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 38/111
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t-conormas
são funções S : [0, 1]2 → [0, 1] é uma conormatriangular(t-conormas) se
Comutatividade: S(x, y) = S(y, x)
Associatividade: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z)
Isotonicidade: Se x ≤ x′ e y ≤ y′ entãoS(x, y) ≤ S(x′, y′)
0-identidade: S(x, 0) = x
Se x, y ∈ {0, 1}, então S(x, y) = x ∨ y.
x ∈ (0, 1) é 1-divisor não trivial de S se existe y ∈ (0, 1)
tal que S(x, y) = 1.
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 39/111
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Exemplos de t-conormas
Dada uma t-conorma S entãoTS(x, y) = 1− S(1− x, 1− y) é uma t-norma
Dada uma t-norma T entãoST (x, y) = 1− T (1− x, 1− y) é uma t-conorma
Claramente STS= S e TST
= T
STG(x, y) = max(x, y)
STP(x, y) = x+ y − xy
STL(x, y) = min(x+ y, 1)
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Distributividade
Seja uma t-norma T e uma t-conorma S. Então:
T distribui sobre S seT (x, S(y, z)) = S(T (x, y), T (x, z)).
S distribui sobre T , seS(x, T (y, z)) = T (S(x, y), S(x, z))
Proposição: S distribui sobre T sss T = TG e T
distribui sobre S sss S = STG
Corolário: O único par (T, S) tal que T distribui sobre S
e S distribui sobre T é (TG, STG).
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Negação Fuzzy
A negação clássica é definida por ¬0 = 1 e ¬1 = 0
Enric Trillas em 1979 unifica as definições denegações fuzzy existente na época numa classe defunções:
N : [0, 1] −→ [0, 1] é uma negação fuzzy se
N(0) = 1 e N(1) = 0
Se x ≥ y então N(x) ≤ N(y)
Uma negação fuzzy é forte se satisfaz a propriedadeinvolutiva, isto é N(N(x)) = x.
Toda negação forte é contínua e estritamentedecrescente.
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 42/111
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Ponto de equilíbrio
e ∈ [0, 1] é um ponto de equilíbrio de uma negaçãofuzzy N se N(e) = e.
Se e é um ponto de equilíbrio de N e x ≤ e ≤ y entãoN(y) ≤ e ≤ N(x).
Se N tem um ponto de equilíbrio este é único.
Toda negação contínua tem exatamente um ponto deequilíbrio.
Sejão negações fuzzy N1 e N2 com pontos deequilíbrio e1 e e2. Se N1 ≤ N2 então e1 ≤ e2
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 43/111
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Negações Naturais de t-(co)normas
Dada um t-norma T . A negação natural induzida por Té NT (x) = sup{y : T (x, y) = 0}Dada um t-conorma S. A negação natural induzida porS é NS(x) = inf{y : S(x, y) = 1}Proposição: NTS
(x) = 1−NS(1− x) eNST
(x) = 1−NT (1− x).
NTL(x) = 1− x e NSTL
(x) = 1− x. Neste caso e = 0.5.
NTP(x) = NTG
(x) =
1 se x = 0
0 caso contrário
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 44/111
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Outros exemplos
Outros exemplos são:
Negação de Sugeno (generalizada por Hamacher)NS(x) =
1−x1+λx
com λ ∈ [1,∞) tem√λ+1−1λ
comoponto de equilíbrio
Negação intuicionistica ou de Yager:NY (x) = (1− xα)
1
α com α ∈ (0,∞) tem α√0.5 como
ponto de equilíbrio.
Negação de Bedregal: NB(x) = 1− x2 tem√1.25− 0.5 como ponto de equilíbrio.
Maior negação: N⊤(1) = 0 e N⊤(x) = 1 para todox ∈ [0, 1).
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 45/111
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Triplas De Morgan
〈T, S,N〉 é uma tripla de De Morgan se satisfaz
1. N(S(x, y)) = T (N(x), N(y))
2. N(T (x, y)) = S(N(x), N(y))
Se só satisfaz uma delas é dita semi-tripla de DeMorgan
Exemplos de triplas de De Morgan:
〈TG, STG, NTG
〉 〈TL, STL, NTL
〉〈TP , STP
, NTP〉 〈TP , STP
, NTL〉
Exemplos de semi-triplas de De Morgan:
〈TP , STP, NB〉 satisfaz 1 mas não 2.
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 46/111
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Implicações clássicas
Tabela da implicação clássica
α β α → β
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 47/111
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Implicações fuzzy
I : [0, 1]2 → [0, 1] é uma implicação fuzzy se
Se x ≤ z então I(x, y) ≥ I(z, y)
Se y ≤ z então I(x, y) ≤ I(x, z)
I(0, y) = 1, I(x, 1) = 1 e I(1, 0) = 0
Trivialmente, se x, y ∈ {0, 1}, I(x, y) = x → y.
Seja I uma implicação fuzzy, então NI(x) = I(x, 0) éuma negação fuzzy
Seja T uma t-norma. IT (x, y) = Sup{z : T (x, z) ≤ y} éuma implicação fuzzy, conhecida como resíduo de T .
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 48/111
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Exemplos de R-implicações
ITP(x, y) =
1 se x ≤ y
y
xcaso contrário
ITG(x, y) =
1 se x ≤ y
y caso contrário
ITL(x, y) =
1 se x ≤ y
1 + y − x caso contrário
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 49/111
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Bi-implicações fuzzy
A bi-implicação clássica é definida como: x ↔ y = 1
sss x = y.
B : [0, 1]2 → [0, 1] é uma bi-implicação fuzzy se
B1: B(x, y) = B(y, x),
B2: Se x = y então B(x, y) = 1 ,
B3: B(0, 1) = 0,
B4: Se x ≤ y ≤ z então B(x, y) ≥ B(x, z) eB(y, z) ≥ B(x, z).
BT,I(x, y) = T (I(x, y), I(y, x)) é uma bi-implicação.
Denotaremos BT,IT por BT (bi-residuo de T ).
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 50/111
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Exemplo de Bi-implicações fuzzy
BTG(x, y) =
1 se x = y
min(x, y) senão
BTP(x, y) =
1 se x = y
min(x,y)max(x,y)
senão
BG′(x, y)[
min(x, y) se max(x, y) = 1
1 senão
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Lógicas Proposicionais
Seja P um conjunto de símbolos proposicionais. Alinguagem LP é o menor conjunto tal queP ∪ {0} ⊆ LP e se α, β ∈ LP então¬α, (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β), (α ↔ β) ∈ LP .
Lógicas proposicionais são pares 〈LP , |=〉 onde|=⊆ ℘(L)× L é uma relação, chamada deconseqüência lógica, que satisfaz:
Reflexividade: Γ |= α se α ∈ Γ
Monotonicidade: Se Γ |= α então Γ ∪∆ |= α
Transitividade (ou corte): Se Γ |= α e Γ ∪ {α} |= β
então Γ |= β
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Semântica Fuzzy paraLP
F = 〈T, S, I,N,B〉 é chamada de semântica fuzzy deLP .
Seja θ : P → [0, 1]. Defina θF : LP → [0, 1] por
θF(p) = θ(p)
θF(0) = 0
θF(¬α) = N(θF(α))
θF(α ∧ β) = T (θF(α), θF(β))
θF(α ∨ β) = S(θF(α), θF (β))
θF(α → β) = I(θF(α), θF(β))
θF(α ↔ β) = B(θF(α), θF(β))
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 53/111
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F-Tautologias
Dado um t ∈ (0, 1], uma formula α ∈ LP é umat-tautologia em F , denotado por |=F α, se para cadaevaluation fuzzy θ, θF(α) ≥ t. t-tautologias em F sãochamadas de F -tautologias,
Denotaremos o conjunto das F -tautologias de LP porTautF(LP ) e o conjunto das tautologias clássicas porTaut(LP ).
Proposition: Para toda semântica fuzzy F temos queTautF(LP ) ⊆ Taut(LP ).
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Semânticas Fuzzy Tipo Clássica
Seja F uma semântica fuzzy. F é uma semânticatipo clássica se Taut(LP ) ⊆ TautF(LP ).
Uma semântica fuzzy F = 〈T, I,N, S,B〉 é tipoclássica sse
1. S não tem 1-divisores;
2. I(x, y) = 1 sse x < 1 ou y = 1;
3. N = N⊤; e
4. B = BG′ .
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Consequências Semânticas
A noção clássical de consequência lógica pode sergeneralizada em duas formas:
1. Considerando elas como relações fuzzy
2. Considerando elas como uma relação clássical.
Aqui seguiremos a segunda linha.
Uma fórmula α ∈ LP é uma consequ encia l ogica deΓ ⊆ LP com respecto a uma semântica fuzzy F ,denotado por Γ |=F α, se para cada evaluação θ ouθF(α) = 1 ou existe γ ∈ Γ tal que θF(γ) 6= 1.
Esta noção de consequência semântica é reflexiva,associativa e transitiva
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 56/111
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Teorema da Dedução
Teorema: Seja F uma semântica fuzzy tal queI(x, y) = 1 sse x < 1 e y = 1. Então para cada Γ ⊆ LP
e α, β ∈ LP ,
Γ, β |=F α sse Γ |=F β → α
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 57/111
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F-Operações de Conjuntos fuzzy
Dada uma semântica fuzzy F podemos definir:
µA∪SB(x) = S(µA(x), µB(y))
µA∩TB(x) = T (µA(x), µB(y))
µAN(x) = N(µA(x))
IncI(A,B) =∧
x∈UI(µA(x), µB(x)) (grau de inclusão)
SimB(A,B) =∧
x∈UB(µA(x), µB(x)) (grau de
similaridade)
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 58/111
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RELAÇÕES E COMPOSIÇÃOFUZZY
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 59/111
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Relações fuzzy sobre conjuntos crisp
O producto cartesiano dos conjuntos (crisp) A e B, é oconjunto crisp
A× B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}
Uma relação fuzzy entre A e B é qualquer conjuntofuzzy sobre o universo A× B
Exemplo:
B b1 b2 b3 b4
A
a1 0 0, 1 0, 2 0, 8
a2 0, 7 0, 2 0, 3 0, 4
a3 1 0, 6 0, 2 1
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Relações fuzzy sobre conjuntos fuzzy
Dada uma t-norma o producto cartesiano dosconjuntos fuzzy A sobre universo X e B sobre ouniverso Y , é o conjunto fuzzy sobre o universo X × Y
definido por
µA×TB(x, y) = T (µA(x), µB(y))
Uma relação fuzzy entre os conjuntos fuzzy A e B équalquer conjunto fuzzy R sobre o universo X × Y , talque R ⊆ A×T B.
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Operações sobre Relações fuzzy
Como relações fuzzy são conjuntos fuzzy, podemosopera-las com união, intersecção e complemento,além da ordem de inclusão entre elas.
Seja a relação fuzzyR = {((x, y), µR(x, y)) : x ∈ A e y ∈ B}.
Primeira projeção de R:R(1) = {(x,max
y∈BµR(x, y)) : x ∈ A}
Segunda projeção de R:R(2) = {(y,max
x∈AµR(x, y)) : y ∈ B}
Projeção total de R: R(T ) = maxx∈A
maxy∈B
µR(x, y)
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Exemplo de Projeções
y1 y2 y3 y4 y5 R(1)
x1 0, 1 0, 3 1 0, 5 0, 3 1
x2 0, 2 0, 5 0, 7 0, 9 0, 6 0, 9
x3 0, 3 0, 6 1 0, 8 0, 2 1
R(2) 0, 3 0, 6 1 0, 9 0, 6 1 = R(T )
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Composição Max-min e Min-Max
Seja R1 uma relação fuzzy entre A e B e R2 umarelação fuzzy entre B e C. A composição max-min deR1 com R2 é a siguiente relação fuzzy entre A e C:
R1◦R2 = {((x, z),maxy∈B
min{µR1(x, y), µR2
(y, z)}) : x ∈ A e z ∈ C}
Analogamente, a composição min-max de R1 com R2
é a siguiente relação fuzzy entre A e C:
R12R2 = {((x, z),miny∈B
max{µR1(x, y), µR2
(y, z)}) : x ∈ A e z ∈ C}
A composição min-max de relações crisp em geral nãoresulta na composição crisp dessas relações.
Proposição: R12R2 = R1 ◦ R2WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 64/111
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Exemplo de Composição Max-min
R1 y1 y2 y3 R2 z1 z2 z3 R1 ◦ R2 z1 z2 z3
x1 0, 1 0, 3 0 y1 0, 8 0, 2 0 x1 0, 2 0, 3 0, 3
x2 0, 8 1 0, 4 y2 0, 2 1 0, 6 x2 0, 8 1 0, 6
y3 0, 5 0 0, 4
min{µR1(x1, y1), µR2
(y1, z1)} = min{0, 1; 0, 8} = 0, 1
min{µR1(x1, y2), µR2
(y2, z1)} = min{0, 3; 0, 2} = 0, 2
min{µR1(x1, y3), µR2
(y3, z1)} = min{0; 0, 5} = 0
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Composição Max-minA ◦ RSeja A uma conjunto fuzzy de universo A e R umarelação fuzzy entre A e B. A composição max-min deA com R é o siguiente conjunto fuzzy B:
A ◦R = {(y,maxx∈A
min{µA(x), µR(x, y)}) : x ∈ A e y ∈ B}
A µA R y1 y2 y3 A ◦R µA◦R
x1 0, 1 x1 0, 8 0, 2 0 y1 0, 2
x2 0, 3 x2 0, 2 1 0, 6 y2 0, 8
x3 0 x3 0, 5 0 0, 4 y3 0, 3
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T -Composição
Seja R1 uma relação fuzzy entre A e B, R2 umarelação fuzzy entre B e C, e T uma t-norma. AT -composição de R1 com R2 á a siguiente relaçãofuzzy entre A e C:
R1◦TR2 = {((x, z), supy∈B
T (µR1(x, y), µR2
(y, z)) : x ∈ A e y ∈ B}
Assim,
µR1◦TR2(x, z) = sup{T (µR1
(x, y), µR2(y, z)) : y ∈ B}
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Modus Ponens Clássico
Modus Ponens Clássico: p, p → q |= q ou
Premisa 1 x é A
Premisa 2 se x é A então y é B
Conclusão y é B
Exemplo:
Premisa 1 a água está burbulhando
Premisa 2 Se a água está burbulhando então
a água está fervendo
Conclusão a água está fervendo
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Modus Ponens Fuzzy
Toda implicação fuzzy I determina uma relação fuzzyRI entre conjuntos fuzzy A e B, onde
µRI(x, y) = I(µA(x), µB(y))
Assim, dada uma t-norma T o MP fuzzy é nada maisque uma T -composição entre A e RI
Mas A ◦T RI 6= B.
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Modus Ponens Fuzzy Generalizado
Modificadores linguísticos são funções que modificãoos graus de pertinência de qualquer conjunto fuzzy.
µm(A)(x) = m(µA(x))
Premisa 1 x é m1(A)
Premisa 2 se x é A então y é BConclusão y é m2(B)Premisa 1 Se a garrafa tem o fundo profundo então
o vinho é de boa qualidade
Premisa 2 A garrafa tem o fundo muito profundo
Conclusão O vinho é de muito boa qualidade
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SISTEMAS FUZZYBASEADOS EM REGRAS
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Arquitetura de um sistemas fuzzy
valor de
saída
Valor de
entrada
Base de Regras
Gerente de Informações
Máquina de Inferência
Fuzz
ifica
dor
Des
fuzz
ifica
dor
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Componentes de um SF
Fuzzificador: Contem as funções de pertinência dasvariáveis lingüísticas de entrada. Recebe um valor douniverso de discurso e retorna o grau de pertinênciaao respectivo conjunto fuzzy
Máquina de inferência: Faz todos os cálculos
Gerente de Informações: Obtém da base de regras asregras aplicáveis para essas entradas.
Base de Regras: Contém as regras do sistema.
Desfuzzificador: Contem as funções de pertinênciadas variáveis lingüísticas de saída. Recebe graus depertinência para uma variável lingüísticas de saída eretorna um valor para essa variável.
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 73/111
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Como construir um sistema fuzzy
Definir as variáveis de entrada, saída e intermediárias(se for o caso)
Definir faixas de valores (universo de discurso dasvariáveis lingüísticas)
Dividir o universo de discurso em conjuntos fuzzy(termos lingüísticos)
Definir a semântica dos conjuntos fuzzy (funçõesde pertinência)
Construir a base de regras
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Como construir um sistema fuzzy
Definir o método de inferência e o método dedefuzzificação a ser usado.
Simular o sistema
Testar o sistema
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Método de Inferência de Mandami
Cada regra assim como o conectivo e é modelada pelat-norma do mínimo (∧). Para o conectivo ou queconecta as regras usa-se o máximo (∨) .
Exemplo: Seja a seguinte base de regras RR1: Se x é A11 e y é A12 então z é B1
R2: Se x é A21 e y é A22 então z é B2
A relação fuzzy determinada por R é µR(x, y, z) =
(µA11(x)∧µA12
(y)∧µB1(z)))∨({µA11
(x)∧µA12(y)∧µB1
(z)))
Dado conjuntos fuzzy A1 e A2 a composiçãoµA1×minA2
◦ µR determina um conjunto fuzzy B quepode ser visto como a união das saídas parciais dasregras R1 e R2.
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EXEMPLO DE SISTEMAFUZZY BASEADOS EM
REGRAS
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 77/111
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Características gerais do sistema
A máquina de inferência vai usar a regra de inferênciaMAX-MIN para determinar a superfície dos conjuntosfuzzy de saída. MAX-MIN para cada grau de saída ecada conjunto fuzzy de saída considera o menor grau,e depois o máximo das intersecções entre termoslingüísticos.
Conjunções: t-norma de Gödel (mínimo)
Para extrair dessa superfície o valor desejado(defuzzificação) será usado o método do centro degravidade
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 78/111
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Análise da qualidade da agua potável
A qualidade da água potável será analisadoconsiderando somente os seguintes fatores:Aparência da cor, medida em UH (Unidade Hazen);potencial hidrogeniônico, medida em pH, ou sejaconcentração dos íons de hidrogênio; e turbidez,medida em UT, causada pela presença de substânciassuspensas e coloidais e que é determinada pelaquantidade de luz dispersada quando passa atravésde uma amostra.
Outras variáveis que poderiam ter sido consideradassão: odor e sabor, nível de fluor, quantidade decoliformes fecais, etc.
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Variável lingüística de entrada
Aparência da água
4 8 12 20 24 16 28 UH
1
Boa Adequada Inadequada
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Variável lingüística de entrada
Potencial hidrogeniônico
2 4 6 10 12 8 14 pH
1
Boa
Adequada Inadequado
baixo
Inadequado alto
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Variável lingüística de entrada
Turbidez
1 2 3 5 6 4 7 UT
1
Boa Adequada Inadequada
9 8 10
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Regras Fuzzy
Considerando a “Aparência da agua” como sendo “boa”.
Turbidez boa adequada inadequada
pH
Inadequado baixo inadequada inadequada inadequada
Adequado adequada adequada inadequada
Bom boa boa inadequada
Inadequado alto inadequada inadequada inadequada
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Regras Fuzzy
Considerando a “Aparência da agua” como sendo“adequada”.
Turbidez boa adequada inadequada
pH
Inadequado baixo inadequada inadequada inadequada
Adequado adequada adequada inadequada
Bom boa adequada inadequada
Inadequado alto inadequada inadequada inadequada
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Regras Fuzzy
Considerando a “Aparência da agua” como sendo“inadequada”.
Turbidez boa adequada inadequada
pH
Inadequado baixo inadequada inadequada inadequada
Adequado inadequada inadequada inadequada
Bom adequada adequada inadequada
Inadequado alto inadequada inadequada inadequada
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 85/111
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Valores de entrada
Suponha que num determinado momento a aparência daágua está em 15 UH. Então
4 8 12 20 24 15 28 UH
1
Boa Adequada Inadequada
0,25
0,75
WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 86/111
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Valores de entrada
Suponha que nesse mesmo momento o potencialhidrogeniônico da água está em 7 pH. Então
2 4 6 10 12 8 14 pH
1
0,65625
Boa
Adequada Inadequado
baixo
Inadequado alto
7
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Valores de entrada
Suponha que nesse mesmo momento a turbidez da águaestá em 3 UT. Então
1 2 3 5 6 4 7 UT
1
Boa Adequada Inadequada
9 8 10
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Regras que se aplicam
Se aparência é adequada , o pH é adequado e aturbidez adequada então a potabilidade é adequadamin{0.75, 1, 1} = 0, 75
Se aparência é adequada , o pH é bom e a turbidezadequada então a potabilidade é boamin{0.75, 0.65625, 1} = 0, 65625
Se aparência é inadequada , o pH é adequado e aturbidez adequada então a potabilidade é adequadamin{0.25, 1, 1} = 0, 25
Se aparência é inadequada , o pH é bom e a turbidezadequada então a potabilidade é boamin{0.25, 0.65625, 1} = 0, 25
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Variável de saída
Qualidade da potabilidade da água
0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.4 0.7
1
0,5
Boa Adequada Inadequada
0.9 0.8 1
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Cortes na variável de saída
Regra 1: gera a seguinte região para o termolingüístico “potabilidade da água adequada”:µPA′(z) = min{0.75, µPA(z)}Regra 2: gera a seguinte região para o termolingüístico “potabilidade da água boa”:µPB′(z) = min{0.65625, µPB(z)}Regra 3: gera a seguinte região para o termolingüístico “potabilidade da água adequada”:µPA′(z) = min{0.25, µPA(z)}Regra 4: gera a seguinte região para o termolingüístico “potabilidade da água boa”:µPB′(z) = min{0.25, µPB(z)}
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Cortes na variável de saída
0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.4 0.7
1
Boa Adequada Inadequada
0.9 0.8 1
0.75 0.65625
0.25
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Região Solução
A utilização da regra MAX-MIN gera a seguinteregião solução
0.1 0.2 0.3 0.6
0.45
0.725
1
Boa Adequada Inadequada
0.9 1
0.75 0.65625
0.5
0.475
0.75
0.76
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Centro de Gravidade
Dessa região se extrai o valor pelo método do Centrode Gravidade usando a seguinte fórmula
RA =Σn
i=0xiµA(xi)Σn
i=0µA(xi)
Na medida que escolhermos mais x′is mais próximos
do centro de gravidade estaremos.
É o método mais usado pois os valores defuzzificadostendem a se mover mais suavemente entre doiscálculos com pequenas variações nas entradas.
Pode ser aplicado a projetos que usamrepresentações discretas de funções de pertinência
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Cálculo do Centro de Gravidade
Um método simplificado é considerar somente ospontos de inicio e de fim de uma curva.
Assim
Potabilidade = 0·0.4+0.75·0.475+0.75·0.725+0.5·0.75+0.65625·0.76+0.65625·1.10+0.75+0.75+0.725+0.5+0.65625+0.65625
≈ 2.50000218753.7125
= 0.67340126
Logo a água estaria adequada.
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LÓGICA FUZZY NO APOIO ÀTOMADA DE DECISÃO
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Tomada de Decisão
Tomada de decisão se resolve um problemaenvolvendo a perseguição de metas sobre certasrestrições.
A decisão tomada deveria resultar numa ação.
Tomada de decisão tem um role importante emeconomia, administração, engenharia, ciências sociaise políticas, estratégia militar, etc.
A dificuldade reside em que as informações podem serincompletas, imprecisas, subjetivas, etc. Assim esteprocesso pode ser realizado num ambiente “fuzzy”onde as metas e restrições sejam modeladas porconjuntos fuzzy.
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Restrições e metas
Cada Restrição e meta podem ser encaradas comoconjuntos fuzzy só que em sentidos opostos, ou sejaque enquanto o grau de pertinência a uma meta seaproxima de 1, o grau de pertinência à restrição seaproxima de 0.
x
1
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Restrições, metas e Decisões
A decisão é caracterizada pela seleção o escolha deuma alternativa entre várias possíveis.
A melhor decisão é dada por aquele ponto de maiorgrau de pertinência à intersecção das restrições emetas.
x
1
x opt
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Restrições, metas e Decisões
Assim, D = {(x, y) : x ∈ A e y = min{µC(x) : C ∈ C}},onde C é o conjunto de restrições e metas fuzzy.
xopt = {x ∈ A : µD(x) ≥ µD(y) para todo y ∈ A}, ondeA é o conjunto de alternativas.
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Exemplo: Descrição do problema
Uma empresa espera preencher uma vaga para umdeterminado cargo. Existem 5 candidatos c1, . . . , c5
que formam o conjunto de alternativas A = {c1, . . . , c5}.
As metas são
1. Experiência no cargo (M1)
2. Conhecimento em computação (M2)
3. jovem (M3)
só há uma única restrição: o salário oferecido deve sermodesto (R1).
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Exemplo: O processo de decisão fuzzy
Suponha que a comissão de seleção avaliou cadacandidato do ponto de vista das metas e restriçãosalarial. Chegando-se aos seguintes conjuntos fuzzy
M1 = {(c1, 0.8), (c2, 0.6), (c3, 0.3), (c4, 0.7), (c5, 0.5)}M2 = {(c1, 0.7), (c2, 0.6), (c3, 0.8), (c4, 0.2), (c5, 0.3)}M3 = {(c1, 0.7), (c2, 0.8), (c3, 0.5), (c4, 0.5), (c5, 0.4)}R1 = {(c1, 0.4), (c2, 0.7), (c3, 0.6), (c4, 0.8), (c5, 0.9)}
Fazendo a intersecção fuzzy usual (mínimo) temos oseguinte conjunto fuzzy decisão:D = {c1, 0.4), (c2, 0.6), (c3, 0.3), (c4, 0.2), (c5, 0.3)}Portanto copt = c2
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Relações de Preferência Fuzzy
Uma Relações de Preferência Fuzzy (RPF) sobre umconjunto de alternativas A é uma relação fuzzy Rsobre A que satisfaz as seguintes condições:
Para a ∈ A, µR(a, a) = 0.5 e
Para cada a, b ∈ A, µR(a, b) + µR(b, a) = 1
µR(a, b) indica quanto a alternativa a é melhor que aalternativa b.
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Tomada de Decisão baseado em RPF
Considere um conjunto de alternativas A; um conjuntode critérios C; um vetor de pesos P associados aoscritérios, tal que
∑
c∈Cpc = 1; e uma familia de RPF
indexada por C.
Determinar a RPF colletiva R sobre A da seguinteforma: Para cada a, b ∈ A, calculeµR(a, b) =
∑
c∈Cpc · µRc
(a, b)
Seja V : A → [0, 1] definida por V (a) =(∑
b∈A
µR(a,b))+0.5
#A
Ordenar as alternativas de acordo com o valor dadopela função V .
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Exemplo
Considere 4 alternativas, dois critérios com o peso 0.4
e 0.6 e as seguintes RPF para cada um dos criterios.
Rc1 a1 a2 a3 a4 Rc2 a1 a2 a3 a4
a1 0.5 0.6 0.7 0.6 a1 0.5 0.6 0.3 0.8
a2 0.4 0.5 0.6 0.4 a2 0.4 0.5 0.4 0.7
a3 0.3 0.4 0.5 0.2 a3 0.7 0.6 0.5 0.8
a4 0.4 0.6 0.8 0.5 a4 0.2 0.3 0.2 0.5
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Exemplo
RPF coletiva:R a1 a2 a3 a4
a1 0.5 0.6 0.46 0.72
a2 0.4 0.5 0.48 0.58
a3 0.54 0.52 0.5 0.56
a4 0.28 0.42 0.44 0.5
Calculando V : V (a1) =2,784
= 0, 695,V (a2) =
2,464
= 0, 615, V (a3) =2,624
= 0, 655 eV (a4) =
2,144
= 0, 535
Então: a1 > a3 > a2 > a4.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
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Direções em LF
Direções no estudo da lógica fuzzy1. Lógica Fuzzy no sentido amplo: Desenvolvimento de
sistemas baseados no raciocínio aproximado. Ex.:sistemas de apoio à tomada de decisão, sistemascontroladores e de agrupamento/classificação.
2. Lógica Fuzzy no sentido restrito: Estudo da LFenquanto lógica simbólica e portanto aqui apreocupação é determinar teorias formais, formasnormais, estruturas algébricas dos conectivos lógicos
3. Fuzzyficação de conceitos formais, tais como grupos,reticulados, métricas, linguagens formais,computabilidade, etc.
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Revistas Internacionais – Qualis-CC
IEEE Transactions on Fuzzy Systems - Qualis-CC= A1
Fuzzy Sets and Systems (Elsevier) - Qualis-CC= A1
Approximate Reasoning - Qualis-CC= A2
Knowledge-Based Systems - Qualis-CC= A2
Soft Computing - Qualis-CC=
Applied Soft Computing - Qualis-CC=
Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-BasedSystems (World Scientific) - Qualis-CC= B1
Intelligent and Fuzzy Systems (IOS Pres) - Qualis-CC=B2
International J. on Fuzzy Systems - Qualis-CC=
Fuzzy Optimization and Decision Making (Springer) -WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 109/111
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Congressos sobre LF
FUZZ-IEEE (Qualis-CC A2)
IPMU (Qualis-CC B2)
IFSA (Qualis-CC B1)
CBSF
EUSFLAT
FLINS (Qualis-CC B4)
FSKD (Qualis-CC B2)
NAFIPS (Qualis-CC B2)
GEFS (Qualis-CC B4)
EUROFUSEWEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 110/111
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Lógica Fuzzy no Brasil
Rosana S.M. Jafelice, Laécio C. de Barros, e Rodney C. Bassanezi. Teoria dosConjuntos Fuzzy com Aplicações. Notas em Matemática Aplicada 17. SociedadeBrasileira de Matemática Aplicada e Computacional São Carlos - SP, 2005.http://www.sbmac.org.br/notas.php
Livro Laécio C. de Barros, e Rodney C. Bassanezi. Tópicos de Lógica Fuzzy eBiomatemática. Editora UNESP, 2a ed., 2010
Minissimposio sobre lógica fuzzy no CNMAC de 2009
3o Congresso Brasileiro de Sistemas Fuzzy: Em João Pessoa-PB, 17–20 deAgosto de 2014, junto com o FLINS
Criação do Comitê temático sobre Sistemas Fuzzy no CNMAC 2010.
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