wellington d. previero [email protected]...

Introducao Interpolacao Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Forma de Newton-Gregory

Interpolacao

Wellington D. [email protected]

http://pessoal.utfpr.edu.br/previero

Universidade Tecnologica Federal do Parana - UTFPRCampus Londrina

Wellington D. Previero Interpolacao 1 / 41

Sumario

1 Introducao

2 Interpolacao Polinomial

3 Forma de Lagrange

4 Forma de Newton

5 Forma de Newton-Gregory

1 Introducao

3 Forma de Lagrange

4 Forma de Newton

Exemplo 1

Um veıculo de fabricacao nacional, apos varios testes, apre-sentou os resultados abaixo, quando se analisou o consumode combustıvel de acordo com a velocidade media imposta aoveiculo. Fixado uma distancia, os testes foram realizados emrodovia com operacao normal.

Velocidade Media(km/h) 55 70 85 100 120 140Consumo (km/l) 14,08 13,56 13,28 12,27 11,30 10,40

Qual o consumo do veıculo se a velocidade media for de90km/h?

Exemplo 2O comportamento da temperatura de uma garrafa de cervejaao ser colocada num freezer e descrito na tabela abaixo.

Tempo(min) 0 30 60 90 120 150 180 210Temperatura (◦C) 20 16,5 13,2 10,8 8,6 7 5,7 4,7

Qual o tempo necessario para a cerveja esteja a 5◦C?

Exemplo 2O comportamento da temperatura de uma garrafa de cervejaao ser colocada num freezer e descrito na tabela abaixo.

Tempo(min) 0 30 60 90 120 150 180 210Temperatura (◦C) 20 16,5 13,2 10,8 8,6 7 5,7 4,7

Qual o tempo necessario para a cerveja esteja a 5◦C?

Interpolar uma funcao f (x) consiste em aproximar essa funcaopor uma outra funcao g(x), escolhida entre uma classe de funcoesdefinidas a priori e que satisfaca algumas propriedades. A funcaog(x) e entao usada em substituicao a funcao f (x).

Utilizacao:quando sao conhecidos somente os valores numericos dafuncao para um conjunto de dados (dados obtidosexperimentalmente) e e necessario calcular o valor dafuncao em um ponto nao tabelado;quando a funcao em estudo tem uma expressao tal queoperacoes como a diferenciacao e a integracao saodifıceis de serem realizadas.

(x0, f (x0)), (x1, f (x1)), ..., (xn, f (xn)) sao os pontos deinterpolacao;g(x) e o polinomio interpolador.

1 Introducao

3 Forma de Lagrange

4 Forma de Newton

ObjetivoDado o conjunto de n + 1 pontos distintos(x0, f (x0)), (x1, f (x1)), ..., (xn, f (xn)), aproximar f (x) por umpolinomio y = pn(x), de grau menor ou igual a n tal que

f (xi) = pn(xi)

para i = 0,1,2, . . . ,n.

TeoremaDada a funcao f (x) e o conjunto de n + 1 pontos distintos(x0, f (x0)), (x1, f (x1)), ..., (xn, f (xn)), existe um unico polinomiopn(x), de grau menor ou igual a n tal que f (xi) = pn(xi) parai = 0,1,2, . . . ,n.

Demonstracao: Seja pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn.Para obter o polinomio pn(x) devemos obter os seus coeficien-tes a0,a1,a2, . . . ,an.

Pelo enunciado do Teorema, devemos ter que f (xi) = pn(xi)para i = 0,1,2, . . . ,n. Assim:

f (x0) = pn(x0) = a0 + a1x0 + a2x02 + . . . + anx0

f (x1) = pn(x0) = a0 + a1x1 + a2x12 + . . . + anx1

...f (xn) = pn(xn) = a0 + a1xn + a2xn

2 + . . . + anxnn

Logo, temos o sistema com (n+1) equacoes e (n+1) incognitas:a0,a1,a2, . . . ,an.

a0 + a1x0 + a2x02 + . . . + anx0

n = f (x0)a0 + a1x1 + a2x1

2 + . . . + anx1n = f (x1)

...a0 + a1xn + a2xn

2 + . . . + anxnn = f (xn)

A matriz dos coeficientes

1 x0 x0

2 . . . x0n

1 x1 x12 . . . x1

......

.... . .

...1 xn xn

2 . . . xnn

e uma matriz de Vandermonte e como por hipotesex0, x1, x2, . . . , xn sao todos distintos, temos que det(A) 6= 0.Portanto o sistema linear admite solucao unica.

Exemplo 3

Determine o polinomio de grau ≤ 2 que interpola os pontos databela

x -1 0 2f (x) 4 1 -1

Resposta

p(x) = 1− 73x + 2

Exemplo 3

Determine o polinomio de grau ≤ 2 que interpola os pontos databela

x -1 0 2f (x) 4 1 -1

Resposta

p(x) = 1− 73x + 2

1 Introducao

3 Forma de Lagrange

4 Forma de Newton

Forma de Lagrange

Sejam f (x) definida em x0, x1, x2, . . . , xn (n + 1) pontos distintose yi = f (xi), i = 0, . . . ,n. Considere pn(x) o polinomio de graumenor ou igual a n que interpola f em x0, x1, x2, . . . , xn na forma

pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + . . . + ynLn(x) =n∑

ykLk (x),

onde Lk (x) e de grau n.

Para cada i , queremos que a condicao pn(xi) = yi sejasatisfeita, isto e,

pn(xi ) = y0L0(xi ) + y1L1(xi ) + . . . + yiLi (xi ) + . . . + ynLn(xi ) = yi .

Para isso, devemos ter que

Lk (xi ) =

{0 se k 6= i1 se k = i

Assim, Lk (x) e definido por:

Lk (xi) =(x − x0)(x − x1) · · · (x − xk−1)(x − xk+1) · · · (x − xn)

(xk − x0)(xk − x1) · · · (xk − xk−1)(xk − xk+1) · · · (xk − xn)

Ou, ainda,

Lk (x) =n∏

j=0j 6=k

(x − xj)

(xk − xj).

Logo, temos a formula de Lagrange para o polonomiointerpolador

pn(x) =n∑

ykLk (x).

Exemplo 4

Considere a funcao f (x) definida nos pontos, conforme a tabela

xi 0 0,5 1f (xi) 1,3 2,5 0,9

Determine o polinomio interpolador, usando a formula deLagrange e estime f (0,8).

Resposta

p(x) = −5,6x2 + 5,2x + 1,3f (0.8) ∼= p(0,8) = 1,876

Exemplo 4

Considere a funcao f (x) definida nos pontos, conforme a tabela

xi 0 0,5 1f (xi) 1,3 2,5 0,9

Determine o polinomio interpolador, usando a formula deLagrange e estime f (0,8).

Resposta

p(x) = −5,6x2 + 5,2x + 1,3f (0.8) ∼= p(0,8) = 1,876

1 Introducao

3 Forma de Lagrange

4 Forma de Newton

Diferencas Divididas

Definicao: Diferenca dividida de ordem zero

Definimos diferenca dividida de ordem zero de uma funcao f (x)definida nos pontos xi , i = 0,1, . . . ,n por:

f [xi ] = f (xi).

Definicao: Diferenca dividida de ordem n

Definimos diferenca dividida de ordem n de uma funcao f (x)definida nos pontos xi , i = 0,1, . . . ,n por:

f [x0, x1, x2, . . . , xn] =f [x1, x2, . . . , xn]− f [x0, x1, x2, . . . , xn−1]

(xn − x0).

Podemos tabelar de forma conveniente as diferencasdividadas, notando que as diferencas de ordem 1 saocalculadas a partir das diferencas de ordem zero, as diferencasde ordem 2, a partir das diferencas de ordem 1 e assim pordiante.

x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3x0 f [x0]

f [x0, x1]x1 f [x1] f [x0, x1, x2]

f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]x2 f [x2] f [x1, x2, x3]

f [x2, x3]x3 f [x3]

Exemplo 5

Seja f (x) tabelado abaixo

xi -1 0 1 2 3f (xi) 1 1 0 -1 -2

Construa sua tabela de diferencas divididas.

Resposta

x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4-1 1

00 1 − 1

61 0 0 − 1

24-1 0

2 -1 0-1

Propriedade

f [x0, x1, x2, . . . , xn] = f [xj0 , xj1 , xj2 , . . . , xjn ] , onde j0, j1, j2, . . . , jn equalquer permutacao de 0,1,2, . . . ,n.

Exemplo 6

f [x0, x1] = f [x1]−f [x0]x1−x0

= f [x0]−f [x1]x0−x1

= f [x1, x0]

f [x0, x1, x2] = f [x0, x2, x1] = f [x1, x0, x2] = f [x1, x2, x0] =f [x2, x1, x0] = f [x2, x0, x1]

Propriedade

Exemplo 6

f [x0, x1] = f [x1]−f [x0]x1−x0

= f [x0]−f [x1]x0−x1

= f [x1, x0]

Propriedade

Exemplo 6

f [x0, x1] = f [x1]−f [x0]x1−x0

= f [x0]−f [x1]x0−x1

= f [x1, x0]

Forma de Newton

Seja f (x) uma funcao contınua (n+1) vezes diferenciavel nointervalo [a,b]. Sejam x0, x1, x2, . . . , xn (n + 1) pontos de [a,b].Seja p0(x) o polinomio de grau 0 que interpola f (x) em x0.Assim para x 6= x0:

f [x0, x ] = f [x ]−f [x0](x−x0) = f (x)−f (x0)

(x−x0)

⇒ f (x) = f (x0)︸︷︷︸p0(x)

+ (x − x0)f [x , x0]︸︷︷︸E0(x)

Forma de Newton

f [x0, x ] = f [x ]−f [x0](x−x0) = f (x)−f (x0)

(x−x0)

⇒ f (x) = f (x0)︸︷︷︸p0(x)

+ (x − x0)f [x , x0]︸︷︷︸E0(x)

Forma de Newton

f [x0, x ] = f [x ]−f [x0](x−x0) = f (x)−f (x0)

(x−x0)

⇒ f (x) = f (x0)︸︷︷︸p0(x)

+ (x − x0)f [x , x0]︸︷︷︸E0(x)

Vamos agora construir o polinomio de grau ≤ 1 que interpolaf (x) em x0 e x1:

f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) −

(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]

(x − x0)(x − x1)

f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) −

(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]

(x − x0)(x − x1)

f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) −

(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]

(x − x0)(x − x1)

f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) −

(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]

(x − x0)(x − x1)

f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) −

(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]

(x − x0)(x − x1)

f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) −

(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]

(x − x0)(x − x1)

f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) −

(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]

(x − x0)(x − x1)

f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) −

(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]

(x − x0)(x − x1)

f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) −

(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]

(x − x0)(x − x1)

f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]

(x − x1)=

f (x)−f (x0)(x−x0) −

(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)

(x − x1)

=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]

(x − x0)(x − x1)

⇒ f [x0, x1, x ] = f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)(x−x1)

⇒ f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]︸︷︷︸p1(x)

+ (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]︸︷︷︸E1(x)

⇒ f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]︸︷︷︸p1(x)

+ (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]︸︷︷︸E1(x)

⇒ f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]︸︷︷︸p1(x)

+ (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]︸︷︷︸E1(x)

Aplicando o mesmo raciocınio temos a forma de Newton para opolinomio de grau ≤ n que interpola f (x) em x0, x1, . . . , xn:

pn(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] +

+ . . . + (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)f [x0, x1, . . . , xn]

O erro e dado por

En(x) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)f [x0, x1, . . . , xn, x ]

Exemplo 7

Usando a forma de Newton, determine o polinomio de grau ≤ 2que interpola f (x) nos pontos da tabela

x -1 0 2f (x) 4 1 -1

Resposta

p(x) = 1− 73x + 2

Exemplo 7

Usando a forma de Newton, determine o polinomio de grau ≤ 2que interpola f (x) nos pontos da tabela

x -1 0 2f (x) 4 1 -1

Resposta

p(x) = 1− 73x + 2

1 Introducao

3 Forma de Lagrange

4 Forma de Newton

Diferencas Finitas

Seja f (x) uma funcao contınua no intervalo [a,b]. Sejamx0, x1, . . . , xn (n+1) pontos distintos do intervalo [a,b] tais quexi+1 − xi = h, para i = 0,1, . . . , (n − 1).

Definicao: Diferenca finita de ordem zero

Definimos diferenca finita de ordem zero de uma funcao f (x)definida nos pontos xi , i = 0,1, . . . ,n por:

∆0f (x) = f (x).

Definicao: Diferenca finita de ordem r

A difenca finita de ordem r de uma funcao f (x) definida nospontos xi , i = 0,1, . . . ,n e dada por:

∆r f (xi) = ∆r−1f (xi + h)−∆r−1f (xi).

Podemos organizar o calculo das diferencas finitas conforme atabela a seguir:

x ∆0f (x) ∆1f (x) ∆2f (x) ∆3f (x)

x0 ∆0f (x0)∆1f (x0)

x1 ∆0f (x1) ∆2f (x0)∆1f (x1) ∆3f (x0)

x2 ∆0f (x2) ∆2f (x1)∆1f (x2)

x3 ∆0f (x3)

Exemplo 8

Considere uma funcao f (x) tabelada abaixo

xi 0,5 0,7 0,9 1,1f (xi) 5,8 7,9 10,1 12,3

Construa a tabela de diferencas finitas.

Resposta

x ∆0f (x) ∆1f (x) ∆2f (x) ∆3f (x)0,5 5,8

2,10,7 7,9 0,1

2,2 -0,10,9 10,1 0

2,21,1 12,3

TeoremaSeja f (x) uma funcao contınua e (n+1) vezes diferenciavel nointervalo [a,b]. Sejam x0, x1, . . . , xn (n+1) pontos distintos eequidistantes deste intervalo. Entao

f [x0, x1, . . . , xn] =∆nf (x0)

Utilizando na forma de Newton para pn(x) o teorema anterior

pn(x) = f [x0]︸︷︷︸∆0f (x0)

+(x − x0) f [x0, x1]︸︷︷︸∆f (x0)

+(x − x0)(x − x1) f [x0, x1, x2]︸︷︷︸∆2f (x0)

+ . . . + (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1) f [x0, x1, . . . , xn]︸︷︷︸∆nf (x0)

temos a forma de Newton-Gregory para pn(x):

pn(x) = ∆0f (x0) + (x − x0)∆f (x0)

h+ (x − x0)(x − x1)

∆2f (x0)

2!h2 +

+ . . . + (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)∆nf (x0)

pn(x) = f [x0]︸︷︷︸∆0f (x0)

+(x − x0) f [x0, x1]︸︷︷︸∆f (x0)

+(x − x0)(x − x1) f [x0, x1, x2]︸︷︷︸∆2f (x0)

pn(x) = ∆0f (x0) + (x − x0)∆f (x0)

h+ (x − x0)(x − x1)

∆2f (x0)

2!h2 +

+ . . . + (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)∆nf (x0)

pn(x) = f [x0]︸︷︷︸∆0f (x0)

+(x − x0) f [x0, x1]︸︷︷︸∆f (x0)

+(x − x0)(x − x1) f [x0, x1, x2]︸︷︷︸∆2f (x0)

pn(x) = ∆0f (x0) + (x − x0)∆f (x0)

h+ (x − x0)(x − x1)

∆2f (x0)

2!h2 +

+ . . . + (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)∆nf (x0)

Exemplo 9

Considere a funcao f (x) tabelada nos pontos como segue

x 0 1 2f (x) 1 1

Determine o polinomio interpolador pela formula deNewton-Gregory e avalie f (1,3).

Resposta

p(x) = 1− 56x + 1

f (1,3) ∼= p(1,3) = 0,48

Exemplo 9

Considere a funcao f (x) tabelada nos pontos como segue

x 0 1 2f (x) 1 1

Determine o polinomio interpolador pela formula deNewton-Gregory e avalie f (1,3).

Resposta

p(x) = 1− 56x + 1

f (1,3) ∼= p(1,3) = 0,48

Na tabela abaixo temos o numero de operacoes efetuadasquando sao empregadas as formulas de interpolacao deLagrange, Newton e Newton-Gregory para um conjunto de npontos.

Adicoes Multiplicacoes Divisoes TotalLagrange n2 + n − 1 n2 − 1 2n 2n2 + 3n − 2Newton n2 + n − 2 2n − 3 n2−n

23n2+5n−10

Newton-Gregory n2+3n−42 2n − 3 n − 1 n2+9n−12

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