wenn naturgefahren auf aktuare treffen · dr. gero nießen 19. januar 2015 © 2015 towers watson....
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Dr. Gero Nießen 19. Januar 2015
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Versicherungsmathematisches Kolloquium der Universität zu Köln
Wenn Naturgefahren auf Aktuare treffen …
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Einführung
Naturgefahrenmodellierung
Sensitivitätsanalyse
Agenda
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Einführung
Naturgefahrenmodellierung
Sensitivitätsanalyse
Agenda
Ereignisse aus der jüngeren Vergangenheit
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Vier der weltweit zehn teuersten Naturkatastrophen 2013 betrafen
Deutschland:
2007: Kyrill
2002: Hochwasser
Quelle: SwissRe, Handelsblatt
Ereignistyp Zeitraum Weltrang-
listenplatz
Volkswirtschaftlicher
Schaden
Hochwasser Frühjahr Rang 1 18 Mrd. USD
Hagelstürme Juli Rang 2 4,8 Mrd. USD
Sturm „Christian“ Oktober Rang 5 2,7 Mrd. USD
Sturm „Xaver“ Dezember Rang 10 1,4 Mrd. USD
Das NatCat-Risiko ist einer der wesentlichen Treiber des
Risikokapitals von Schaden-/Unfallversicherern
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Quelle: BaFin; Ergebnisse der fünften quantitativen Auswirkungsstudie zu Solvency II (QIS 5)
Naturgefahren bleiben – Versicherungen wesentlich für
die gesamtwirtschaftliche Entwicklung
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Quelle: Aktuar aktuell 28, Dezember 2014
Naturgefahren und ihre Auswirkungen aus
unterschiedlichen Perspektiven
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Individuum Sturm Hagel Flut Erdbeben
Kraftfahrt-Kasko
Gebäude
Hausrat/Inhalt
„Elementarschäden“
(sind NICHT in der klassischen
Wohngebäudeversicherung gedeckt)
Portefeuille Sturm Hagel Flut Erdbeben
Kraftfahrt-Kasko
Gebäude
Hausrat/Inhalt
Mikroskopisch
Erstversicherer
Tarifierung
Einzelnes Risiko
Makroskopisch
Rückversicherer / Broker
Risikokapital / Rückversicherung
Portefeuille von Risiken
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Unterschiede in der aktuariellen Sichtweise
Beispiel Profitabilität Wohngebäude-Sturm
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0 1 2 3 4
Anzahl der Sturm-Vorschäden in den letzten drei Jahren (vor dem Modellierungsjahr)
Exposure Beobachteter Schadensatz
Dieser Effekt wird durch
keines der üblicherweise in
den Daten vorhandenen
Risikomerkmale auch nur
annähernd beschrieben.
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Einführung
Naturgefahrenmodellierung
Sensitivitätsanalyse
Agenda
Modellierung von Naturgefahren auf Portefeuille-Ebene –
Herausforderungen (nicht nur) aus aktuarieller Sicht
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• „Low frequency, high severity“
Naturgefahren treten im Regelfall selten, dann aber mit extremen Schadenhöhen auf
• z.B. Erdbeben in Deutschland
Historische Zeitreihen sind fast immer zu dünn besetzt für valide statistische Schlussfolgerungen
• Zerstörung eines Wärmedämmverbundsystems durch Hagelschlag
• Schäden an Photovoltaikanlagen durch Sturm oder Hagel
• Erhöhte Dichte der Bebauung
• Steigender Anteil von Verträgen mit Elementargefahrendeckung
• Gestiegenes Anspruchsdenken
• …
Verwendung der Schadenhöhen aus der Vergangenheit zur Prognose zukünftiger Schadenhöhen schwierig, z.B.:
Naturgefahrenmodelle
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Quelle: RMS Model Use & Uncertainty, Camar, 10.10.2012
Geophysikalische Modelle:
Schematische Funktionsweise
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Grundlage ist ein Event-Set:
• Schadenereignisse der Vergangenheit
• Ergänzt durch „virtuelle“ Ereignisse (solche, die eintreten können, aber bisher nicht eingetreten sind)
• Expertenschätzungen zu Eintrittswahrscheinlichkeiten
Geokodiertes Portefeuille des Versicherers (möglichst mit
detaillierten Angaben zu Gebäudetyp etc.)
„Zufällige Ziehung“ von Ereignissen aus dem Event-
Set
Je Ereignis: Berechnung der Auswirkungen auf das
Portefeuille
Zusätzlich: Stochastische Variation relevanter
Ereignisparameter, z.B. Zugbahn, Windintensität, etc.
und Abschätzung des entsprechenden
Portefeuilleschadens
Geophysikalische Modelle:
Schematische Funktionsweise
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Simulation des Events
•„Ziehung“ aus dem Event-Set
Auswirkung des Events
auf das Portefeuille
•Zusätzlich: Stochastische Variation der Eventparameter
Bestimmung der
Auswirkungen auf:
•Risikokapital
•Rückversicherung
•GuV
•…
Geophysikalische Modelle:
Typische Outputs
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PML-Kurven / Wiederkehrperioden
OEP (Occurrence Exceedance Probability)
AEP (Annual Exceedance Probability)
ELT (Event Loss Table)
Ein hilfreicher Output für Aktuare: Event Loss Table (ELT)
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Event-
NummerFrequenz
Mittle re r
Schaden
Standard-
abwe ichungExposure -Wert
293.720 0,01547% 408.869.731 108.523.054 65.034.828.146
293.938 0,01289% 426.681.099 94.880.726 49.128.110.933
293.947 0,01289% 573.762.846 126.193.163 65.257.654.865
294.977 0,01289% 437.198.014 108.028.869 62.425.476.103
296.170 0,03437% 374.292.159 94.097.920 52.560.235.331
296.571 0,00067% 454.408.893 111.371.377 65.126.446.195
297.574 0,02578% 357.142.043 91.827.511 58.114.211.227
297.593 0,01289% 510.797.540 90.720.692 53.780.275.050
298.141 0,01125% 541.977.864 95.083.264 42.399.842.203
299.058 0,00106% 496.064.663 100.853.691 49.390.686.739
299.065 0,00137% 410.965.099 101.117.923 61.013.310.071
299.670 0,00950% 424.724.093 85.192.105 43.202.201.165
299.694 0,00262% 377.517.286 76.006.118 36.562.011.738
299.955 0,00095% 797.312.982 121.409.866 50.905.670.174
300.089 0,01750% 540.570.770 92.799.131 37.540.869.586
300.095 0,00086% 355.946.595 99.086.160 64.468.657.552
300.097 0,01750% 478.775.287 88.261.491 34.865.765.043
300.124 0,00802% 1.032.460.638 156.985.298 61.810.377.579
...
...
...
...
...
Informationen in einer ELT
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Event-Nr.: Festgelegt vom Anbieter (Event-Set)
Frequenz: Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieses Ereignisses
Mittlerer Schaden: Erwartungswert des Schadens für das spezifische Portefeuille des VU aus diesem Ereignis (Schadengradkurve ist stochastisch)
Standardabweichung
Exposure-Wert: Von diesem Event gefährdetes Exposure des VU
Event-
NummerFrequenz
Mittlerer
Schaden
Standard-
abweichungExposure-Wert
293.720 0,01547% 408.869.731 108.523.054 65.034.828.146
Modellierung einzelner Ereignisse mit Hilfe der ELT
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Je Event-Nummer: Verwendung der Werte „Mittlerer Schaden“, „Standardabweichung“ und „Exposure-Wert“ zur Parametrisierung der Schadengradkurve (unter der Annahme: Schadengrad ist Beta-verteilt)
Die Summe über die Frequenzen aller Event-Nummern ergibt den Erwartungswert der Anzahl der Ereignisse je Jahr
Simulation der Anzahl der Ereignisse pro Jahr
Je Ereignis:
• „Auswürfeln“ der Event-Nummer
•Ziehung des Schadengrades aus der Beta-Verteilung
•Schadenhöhe ergibt sich als Produkt aus Schadengrad mit Exposure-Wert
Event-
NummerFrequenz
Mittlerer
Schaden
Standard-
abweichungExposure-Wert
293.720 0,01547% 408.869.731 108.523.054 65.034.828.146
Beispielhafte Ergebnisse aus einem Simulationsmodell
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Eigene Sichtweise ist notwendig!
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Quelle: RMS Model Use & Uncertainty, Camar, 10.10.2012
Verwendung eigener Daten: Hagel-KfZ
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Schadendatum
Gesamtaufwand
aus dem Ereignis
(indexiert auf das
zu modellierende
Jahr)
Anzahl betroffener
Risiken
Anzahl versicherter
Risiken
Betroffen-
heitsgrad
Durchschnitts-
schaden
12/05/1990 39,026,166 58,578 1,001,980 5.85% 666
18/05/1990 6,561,265 15,955 1,001,980 1.59% 411
05/06/1990 9,762,185 32,169 1,001,980 3.21% 303
21/06/1990 1,408,154 13,970 1,001,980 1.39% 101
15/07/1990 15,019,904 72,349 1,001,980 7.22% 208
16/08/1990 7,227,897 54,240 1,001,980 5.41% 133
13/03/1992 6,434,826 36,999 1,035,314 3.57% 174
10/05/1992 7,940,952 39,900 1,035,314 3.85% 199
05/07/1992 3,878,351 27,193 1,035,314 2.63% 143
18/03/1993 4,408,972 37,915 1,051,981 3.60% 116
10/03/2011 18,104,430 62,838 1,351,987 4.65% 288
23/03/2011 2,263,324 18,943 1,351,987 1.40% 119
20/04/2011 4,284,516 38,505 1,351,987 2.85% 111
12/07/2011 22,301,422 32,649 1,351,987 2.41% 683
24/07/2011 17,018,896 109,257 1,351,987 8.08% 156
12/03/2012 24,487,825 78,501 1,368,654 5.74% 312
15/03/2012 2,326,921 21,679 1,368,654 1.58% 107
19/04/2012 8,781,395 78,619 1,368,654 5.74% 112
25/05/2012 8,291,493 68,182 1,368,654 4.98% 122
10/04/2013 4,730,136 44,119 1,385,321 3.18% 107
...
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...
...
...
Verwendung eigener Daten: Hagel-KfZ
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Schadendatum
Gesamtaufwand
aus dem Ereignis
(indexiert auf das
zu modellierende
Jahr)
Anzahl betroffener
Risiken
Anzahl versicherter
Risiken
Betroffen-
heitsgrad
Durchschnitts-
schaden
12/05/1990 39,026,166 58,578 1,001,980 5.85% 666
18/05/1990 6,561,265 15,955 1,001,980 1.59% 411
05/06/1990 9,762,185 32,169 1,001,980 3.21% 303
21/06/1990 1,408,154 13,970 1,001,980 1.39% 101
15/07/1990 15,019,904 72,349 1,001,980 7.22% 208
16/08/1990 7,227,897 54,240 1,001,980 5.41% 133
13/03/1992 6,434,826 36,999 1,035,314 3.57% 174
10/05/1992 7,940,952 39,900 1,035,314 3.85% 199
05/07/1992 3,878,351 27,193 1,035,314 2.63% 143
18/03/1993 4,408,972 37,915 1,051,981 3.60% 116
10/03/2011 18,104,430 62,838 1,351,987 4.65% 288
23/03/2011 2,263,324 18,943 1,351,987 1.40% 119
20/04/2011 4,284,516 38,505 1,351,987 2.85% 111
12/07/2011 22,301,422 32,649 1,351,987 2.41% 683
24/07/2011 17,018,896 109,257 1,351,987 8.08% 156
12/03/2012 24,487,825 78,501 1,368,654 5.74% 312
15/03/2012 2,326,921 21,679 1,368,654 1.58% 107
19/04/2012 8,781,395 78,619 1,368,654 5.74% 112
25/05/2012 8,291,493 68,182 1,368,654 4.98% 122
10/04/2013 4,730,136 44,119 1,385,321 3.18% 107
...
...
...
...
...
...
Betroffenheitsgrad
Anzahl betroffener Risiken /
Anzahl versicherter Risiken
Durchschnittsschaden
Gesamtaufwand /
Anzahl betroffener Risiken
Verwendung eigener Daten: Hagel-KfZ
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Anpassen von Verteilungen für
Betroffenheitsgrad (z.B. Beta-
Verteilung)
Durchschnittsschaden (z.B.
LogNormal-Verteilung)
Geeignete Annahme über
Abhängigkeiten treffen
Verteilung für Anzahl der
Ereignisse pro Jahr
parametrisieren
Simulation von Einzelereignissen
Verwendung eigener Daten: Hagel – Abhängigkeit
zwischen Betroffenheitsgrad und Durchschnittsschaden
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Einführung
Naturgefahrenmodellierung
Sensitivitätsanalyse
Agenda
Welche Anforderungen resultieren aus Solvency II?
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Gerade im Bereich
NatCat sind also wegen
seiner Relevanz für die
Höhe des Risikokapitals
Sensitivitätsanalysen
durchzuführen.
Mögliche Sensitivitätsanalysen für Naturgefahren
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Naturgefahrenmodell mit unterschiedlichen Exposureinformationen oder Event-Sets berechnen und anschließender Durchlauf des internen Modells
Alternative Naturgefahrenmodelle (anderer Hersteller) zur Berechnung verwenden
„Geeignete“ Skalierung des Outputs der Naturgefahrenmodelle, um die eigene Einschätzung adäquat abzubilden
Adjustierung der Gewichtung einzelner Simulationsszenarien zur Einbringung eigener Sichtweisen (REVO)
REVO: Relative Entropy View Overlay
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Einsatz im Rahmen von ESG‘s:
• Expertenmeinungen über
• Erwartungswerte
• Schwankungen
• Perzentile
• etc.
• sollten konsistent zum ESG verarbeitet werden (vor allem inklusive des Erhalts der durch den ESG vorgegebenen Abhängigkeitsstrukturen)
Einsatz im Rahmen von NatCat (oder auch ManMadeCat):
• Expertenmeinungen einbringen
• Sensitivitäten testen (Rückversicherung, SCR, etc.)
• Stresstests
REVO: Funktionsweise
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Standardmäßig ist jedes Szenario in einem Simulationsmodell mit dem gleichen Wert gewichtet („1“), d.h. die Gewichtung der Szenarien ist gleichverteilt.
Ziel ist es, die Gewichtung so zu verändern, dass die Vorgaben erreicht werden (bei gleichzeitigem Beibehalten der Abhängigkeitsstrukturen!)
Hätten wir (zufällig) ein Szenario, das genau die Vorgaben enthält, würde man das Ziel erreichen, indem man dieses Szenario mit 1 gewichtet und den Rest mit 0, was aber dem eigentlichen Ziel der Simulation zuwiderläuft.
REVO sucht nun die Gewichtung, bei der in den Szenarien die maximale „Unsicherheit“ verbleibt (die Entropie der Gewichte ist maximal).
Entropie: Theorie
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Wikipedia: „Entropie ist ein Maß für den mittleren Informationsgehalt
pro Zeichen einer Quelle, die ein System oder eine Informationsfolge
darstellt.“
ℍ 𝑋 = − 𝑝𝑗 log 𝑝𝑗
𝑛
𝑗=1
Claude Shannon
(1916 – 2001)
Entropie am Beispiel des Münzwurfs
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Bei einem Münzwurf ist das Erscheinen von Kopf und Zahl gleichwahrscheinlich.
Wenn man die Entropie als Maß der Ungewissheit auffasst, so wird sie hier maximal, denn es ist ungewiss, ob beim nächsten Wurf Kopf oder Zahl geworfen wird:
Ist 𝑋 die diskrete Zufallsvariable mit 𝑃 𝑋 = 𝐾𝑜𝑝𝑓 = 1 2 = 𝑃 𝑋 = 𝑍𝑎ℎ𝑙 , dann ergibt sich ℍ 𝑋 = − 𝑝𝑗 log2 𝑝𝑗
𝑛𝑗=1 = 0,5 + 0,5 = 1.
Bei einer gezinkten Münze mit Wahrscheinlichkeit für Kopf 75% und für Zahl 25%, ist die Ungewissheit für den Ausgang des nächsten Wurfes geringer als bei einer normalen Münze.
Die Entropie als Maß für die Ungewissheit sinkt in diesem Fall auf 0,811.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0% 20% 40% 60% 80% 100%
En
tro
pie
(In
form
ati
on
sg
eh
alt
)
Wahrscheinlichkeit für Kopf
Entropie beim Wurf einer Münze
REVO: Mögliche Ergebnisse im Simulationsmodell
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Sim.-
Nr.
NatCat-Ereignisse Brutto-
schäden
RV-
Entlastung
GuV Gewichtung
original
Gewichtung
REVO
1 1 mittlerer Sturm
1 schwere Überschwemmung
… … … 100% 250%
2 - … … … 100% 10%
3 - … … … 100% 20%
4 1 schwerer Sturm … … … 100% 140%
5 1 leichter Sturm
1 leichte Überschwemmung
… … … 100% 80%
… … … … … … …
REVO in der Praxis: Originalverteilung
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REVO in der Praxis: Adjustierung des Mittelwertes
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REVO in der Praxis: Adjustierung eines Perzentils
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REVO in der Praxis: Eine extremere Modifikation
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Schematische Darstellung in einem modularen System
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Ermöglicht die Analyse von Stress-
und Sensitivitätstests ohne erneutes
Durchrechnen der „Vormodelle“!
Beispiel: Auswirkung unterschiedlicher Stressszenarien
auf die Nettoposition und das SCR
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REVO: Fazit
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Neben dem Nutzen von REVO für die Verwendung im Kontext eines ESG bestehen weitere Nutzen hinsichtlich:
• Adjustierung der Modellrechnungen von Drittanbietern
• Sensitivitätstests
• Stresstests
In vielen Fällen können neue
Modelldurchläufe vermieden werden
Abhängigkeiten im Modell bleiben
bestehen
Sensitivitäts- und Stresstests können leicht durchgeführt werden; auch für solche Tests, die nicht direkt über Modellparameter gesteuert werden
können
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Haben Sie Fragen?
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F +49 (0)221 8000 3456
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