1

Priemgetallen

1 Definitie Een priemgetal is ………………………………………………………………………………………………………………………………. .

Getal Priemgetal? Getal Priemgetal? Getal Priemgetal?

0 2 888 888 888

1 17 351

-2 36 526 137 358 157

Hoofdstelling van de rekenkunde: elk natuurlijk getal, groter dan 1, kan ..……………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

In symbolen:

met ……….; , , …, …………………………………..

en , , …, ……… . Het aantal delers van is dan .

Oefening: ontbind 756 in priemfactoren en bepaal het aantal delers

….……………………………………………………………………………………………………………………………… .

2 Aantal priemgetallen Stelling van Euclides

Te bewijzen: er zijn …………………..……………….. priemgetallen

Bewijs uit het ongerijmde:

Stel dat er een ……………… aantal priemgetallen is, en stel het

product van alle priemgetallen, met het grootste priemgetal.

Definieer het getal ………………… . Het is groter dan …………… .

· Als N priem is, dan ………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………….. .

· Als N niet priem is, dan moet het deelbaar zijn door een priemgetal Q

(volgens ………………………………………………………………………………………………). Dit

getal Q is evenwel geen van de priemgetallen , want deling door

een van deze geeft …………….. . Q moet ………………. zijn dan , wat leidt tot

een contradictie.

Besluit: er zijn …………………..……………….. priemgetallen.

2

3 Eigenschappen Eigenschap 1: Een priemgetal dat een product van factoren deelt, deelt ten minste één van

de factoren.

Eigenschap 2: Een getal is deelbaar door een ander getal, dan en slechts dan als in het

eerste al de priemfactoren van het tweede staan, met dezelfde of een grotere exponent.

Eigenschap 3: De kleinste (echte) deler van een deelbaar getal is een priemgetal en het

kwadraat ervan is kleiner dan of gelijk aan het deelbare getal.

Gevolg: twee getallen zijn niet onderling ondeelbaar als ze minstens 1 gemene

priemdeler hebben.

4 Kgv en ggd De ggd van enkele in priemfactoren ontbonden getallen, is het product van de

gemeenschappelijke priemfactoren, elk met zijn kleinste exponent.

Het kgv van enkele in priemfactoren ontbonden getallen, is het product van al de

priemfactoren, elk met zijn grootste exponent.

5 Bijzonderheden Priemgetallen met speciale vorm

· Palindroompriemgetallen

· Tetraëdische priemgetallen

· Repunit-priemgetallen

· Circulaire priemgetallen

· Permutabele priemgetallen

Als p een priemgetal is en a is een willekeurig geheel getal, dan is deelbaar door p

(kleine stelling van Fermat).

Als n een positief geheel getal is, dan is er altijd een priemgetal p met n < p ≤ 2n (postulaat

van Bertrand).

Onbeantwoord / onbewezen:

· Vermoeden van Goldbach: ieder even getal kan geschreven worden als de som van 2

priemgetallen

· Oneindig veel priemtweelingen?

· Formule voor priemgetallen?

6 Oefeningen 1. Het verschil van twee priemgetallen, groter dan 2, is minstens 2. Verklaar.

2. Bereken ggd en kgv van 60, 72 en 180.

3. Elk priemgetal, groter dan 3, is te schrijven als . Het omgekeerde is vals. Toon aan.

3

4. Bereken a en b, als a²-b² = 11.

5. Bepaal twee priemgetallen als het verschil van hun kwadraten een priemgetal is.

6. Welke macht van 60 is deelbaar door 72³?

7. Is p een priemgetal, groter dan 3, dan is p²-1 een 24-voud. Bewijs.

8. Wat is het kleinste priemgetal dat deelt?