wi1808th1/citg - lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/wi1808th1/college...

1Challenge the future

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

College 2

12 september 2016


Samenvatting Hoofdstuk 1.1

• De som van twee vectoren wordt gegeven door

𝒖 + 𝒗 = 𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2 .

• De scalaire vermenigvuldiging van scalair 𝑐 met vector 𝒗 wordt

gegeven door

𝑐𝒗 = 𝑐 𝑣1, 𝑣2 = 𝑐𝑣1, 𝑐𝑣2 .

• Een vector 𝒗 is een lineaire combinatie van vectoren 𝒗1, 𝒗2, … , 𝒗𝑘als er constanten 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑘 zijn zodat 𝒗 = 𝑐1𝒗1 + 𝑐2𝒗2 +⋯+

𝑐𝑘𝒗𝑘.


Samenvatting Hoofdstuk 1.2

• Het inproduct tussen vectoren 𝒖 en 𝒗 in ℝ𝑛 wordt gegeven door

𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 +⋯+ 𝑢𝑛𝑣𝑛.

• De lengte van vector 𝒗 in ℝ𝑛 wordt gegeven door

𝒗 = 𝒗 ⋅ 𝒗 = 𝑣12 + 𝑣2

2 +⋯+ 𝑣𝑛2.

• De afstand d(𝒖, 𝒗) tussen vectoren 𝒖 en 𝒗 in ℝ𝑛 wordt gegeven

door d 𝒖, 𝒗 = 𝒖 − 𝒗 .

• De hoek 𝜃 tussen twee niet-nul vectoren 𝒖 en 𝒗 in ℝ𝑛 kan worden

berekend doorcos 𝜃 =

𝒖 ⋅ 𝒗

𝒖 𝒗.


Programma vandaag

Hoofdstuk 1.2

• Orthogonaliteit

• Projecties

Hoofdstuk 1.3

• Lijnen en vlakken


Orthogonaliteit

Definitie

Twee vectoren 𝒖 en 𝒗 in ℝ𝑛 zijn orthogonaal als 𝒖 ⋅ 𝒗 = 0.

De nulvector 𝟎 is orthogonaal met elke vector 𝒗 in ℝ𝑛.

Voorbeeld

Vectoren 𝒖 = [1,1, −2] en 𝒗 = [3,1,2] zijn orthogonaal, want

𝒖 ⋅ 𝒗 = 3 + 1 − 4 = 0.


Stelling van Pythagoras

Stelling

Voor alle vectoren 𝒖 en 𝒗 in ℝ𝑛 geldt dat

𝒖 + 𝒗 2 = 𝒖 2 + 𝒗 2

dan en slecht dan als 𝒖 en 𝒗 orthogonaal zijn.

Bewijs

𝒖 + 𝒗 2 = 𝒖 ⋅ 𝒖 + 2 𝒖 ⋅ 𝒗 + 𝒗 ⋅ 𝒗

= 𝒖 2 + 2 𝒖 ⋅ 𝒗 + 𝒗 2

= 𝒖 2 + 𝒗 2


Projecties


Projecties

𝒑 = 𝒑 𝒖,

𝒖 =1

‖𝒖‖𝒖, 𝒑 = 𝒗 cos 𝜃 = 𝒗

𝒖 ⋅ 𝒗

𝒖 ‖𝒗‖


Definitie

Als 𝒖 en 𝒗 vectoren in ℝ𝑛 zijn en 𝒖 ≠ 𝟎, dan wordt de projectie van

𝒗 op 𝒖 gegeven door

proj𝒖 𝒗 =𝒖 ⋅ 𝒗

𝒖 ⋅ 𝒖𝒖.

Projecties


• Lijnen in ℝ2 en ℝ3

• Vlakken in ℝ3

• Normaalvorm

• Algemene vorm

• Parametervoorstelling

• Afstand tussen punten, lijnen en vlakken

Hoofdstuk 1.3


Lijn ℓ heeft vergelijking 2𝑥 + 𝑦 = 0.

Lijnen in ℝ2



Normaalvorm

2𝑥 + 𝑦 =21

⋅𝑥𝑦 = 𝒏 ⋅ 𝒙 = 0

met 𝒏 de normaalvector.

Normaalvorm



Parametervoorstelling

𝑥𝑦 =

𝑡−2𝑡





𝑥𝑦 =

𝑡−2𝑡

= 𝑡1−2

= 𝑡𝒅

met 𝒅 de richtingsvector.




Lijnen in ℝ2



Het punt 𝑃 = (1,3) ligt op lijn ℓ.

Normaalvorm

𝒏 ⋅ 𝒙 − 𝒑 = 0 → 𝒏 ⋅ 𝒙 = 𝒏 ⋅ 𝒑

21

⋅𝑥𝑦 =

21

⋅13

= 2𝑥 + 𝑦 = 5

Normaalvorm


Definitie

De normaalvorm van de vergelijking van lijn ℓ in ℝ2 is

𝒏 ⋅ 𝒙 − 𝒑 = 0 of 𝒏 ⋅ 𝒙 = 𝒏 ⋅ 𝒑

met 𝒑 een punt op ℓ en 𝒏 ≠ 𝟎 een normaalvector voor ℓ.

De algemene vorm van de vergelijking van lijn ℓ is

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐

met 𝒏 =𝑎𝑏

een normaalvector voor ℓ.

Normaalvorm



Het punt 𝑃 = (1,3) ligt op lijn ℓ.


𝒙 − 𝒑 = 𝑡𝒅 → 𝒙 = 𝒑 + 𝑡𝒅

𝑥𝑦 =

13

+ 𝑡1−2

𝑥 = 1 + 𝑡 en 𝑦 = 3 − 2𝑡 zijn de

parametrische vergelijkingen met 𝑡

een parameter.



Definitie

De parametervoorstelling van de vergelijking van lijn ℓ in ℝ2 of ℝ3

is

𝒙 = 𝒑 + 𝑡𝒅

met 𝒑 een punt op ℓ en 𝒅 ≠ 𝟎 een richtingsvector voor ℓ.

De vergelijkingen die corresponderen met de componenten van de

parametervoorstelling heten de parametrische vergelijkingen van ℓ.



Voorbeeld

Vind een parametervoorstelling van de lijn ℓ in ℝ3 door de punten

𝑃 = (−1,5,0) en 𝑄 = 2,1,1 .

• Punt 𝒑 op lijn ℓ: punt 𝑃

• Richtingsvector 𝒅: vector 𝑃𝑄 =3−41

Dit geeft 𝒙 = 𝒑 + 𝑡𝒅 =−150

+ 𝑡3−41

.



Vlakken in ℝ3


Definitie

De normaalvorm van de vergelijking van een vlak 𝒫 in ℝ3 is

𝒏 ⋅ 𝒙 − 𝒑 = 𝟎 of 𝒏 ⋅ 𝒙 = 𝒏 ⋅ 𝒑

met 𝒑 een punt op 𝒫 en 𝒏 ≠ 𝟎 een normaalvector voor 𝒫.

De algemene vorm voor de vergelijking van 𝒫 is 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑

met 𝒏 =𝑎𝑏𝑐

een normaalvector voor 𝒫.

Vlakken in ℝ3


Definitie

De normaalvorm van de vergelijking van een vlak 𝒫 in ℝ3 is

𝒏 ⋅ 𝒙 − 𝒑 = 𝟎 of 𝒏 ⋅ 𝒙 = 𝒏 ⋅ 𝒑

met 𝒑 een punt op 𝒫 en 𝒏 ≠ 𝟎 een normaalvector voor 𝒫.

Opmerking: parallelle vlakken hebben dezelfde normaalvector(en).

Vlakken in ℝ3


Definitie

De parametervoorstelling van de vergelijking een vlak 𝒫 in ℝ3 is

𝒙 = 𝒑 + 𝑠𝒖 + 𝑡𝒗

met 𝒑 een punt op 𝒫 en 𝒖 ≠ 𝟎 en 𝒗 ≠ 𝟎 niet parallelle

richtingsvectoren voor 𝒫.

De vergelijkingen die corresponderen met de componenten van de

vectorvorm heten de parametrische vergelijkingen van 𝒫.

Vlakken in ℝ3

Participant LeadersPoints Participant Points Participant

6 13B9C3 5 13BA5D

6 16C32B 5 13BAA1

6 16C348 5 13BAEC

6 18EAEA 5 16C36B

6 18EB91 5 18EA2C

6 1D61C4 5 18EA5B

6 1D624D 5 1D6181

6 62A8D0 5 1D624E

5 13B9BE 5 1D62A9

5 13BA44 4 13B96E

wi1808th1/citg - lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/wi1808th1/college...

Documents