wielokąty foremne
TRANSCRIPT
![Page 1: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/1.jpg)
WielokątyWielokątyforemneforemne
Wyk. Wyk. Ewa KurzawskaEwa Kurzawska
![Page 2: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/2.jpg)
Co to jest wielokąt foremny ?
Wielokąt foremny to taki wielokąt,
który ma: wszystkie boki równe iwszystkie kąty równe.
![Page 3: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/3.jpg)
trójkąt foremny (trójkąt równoboczny)
czworokąt foremny (kwadrat)
pięciokąt foremny
sześciokąt foremny
ośmiokąt foremny itd…
Przykłady wielokątów foremnych
![Page 4: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/4.jpg)
Dowolny romb nie jest wielokątem foremnym.
ma wszystkie boki równe
nie ma wszystkich kątów równych
![Page 5: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/5.jpg)
Dowolny prostokąt nie jest wielokątem foremnym.
ma wszystkie kąty równe
nie ma wszystkich boków równych
![Page 6: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/6.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego)
![Page 7: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/7.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Każdy wielokąt foremny można podzielić na trójkąty
równoramienne (w ośmiokącie jest ich osiem).
![Page 8: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/8.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Każdy wielokąt foremny można podzielić na trójkąty
równoramienne (w ośmiokącie jest ich osiem).
Każdy zielony kąt jest równy 360°: 8 = 45°.
![Page 9: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/9.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Każdy wielokąt foremny można podzielić na trójkąty
równoramienne (w ośmiokącie jest ich osiem).
Każdy zielony kąt jest równy 360°: 8 = 45°.
Dwa czerwone kąty razem mają 180° – 45° = 135°.
![Page 10: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/10.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Każdy wielokąt foremny można podzielić na trójkąty
równoramienne (w ośmiokącie jest ich osiem).
Każdy zielony kąt jest równy 360°: 8 = 45°.
Dwa czerwone kąty razem mają 180° – 45° = 135°.
Te dwa czerwone kąty razem też mają 135°.
![Page 11: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/11.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Każdy wielokąt foremny można podzielić na trójkąty
równoramienne (w ośmiokącie jest ich osiem).
Każdy zielony kąt jest równy 360°: 8 = 45°.
Dwa czerwone kąty razem mają 180° – 45° = 135°.
Te dwa czerwone kąty razem też mają 135°.
Więc kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego jest równy 135°.
![Page 12: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/12.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób I (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Każdy wielokąt foremny można podzielić na trójkąty
równoramienne (w ośmiokącie jest ich osiem).
Każdy zielony kąt jest równy 360°: 8 = 45°.
Dwa czerwone kąty razem mają 180° – 45° = 135°.
Te dwa czerwone kąty razem też mają 135°.
Więc kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego jest równy 135°.
Podobnie można obliczyć kąt wewnętrzny każdego innego wielokąta foremnego.
![Page 13: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/13.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób II (na przykładzie ośmiokąta foremnego)
![Page 14: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/14.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób II (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka
ośmiokąta dzielą go na 6 trójkątów (o dwa mniej niż osmiokąt ma boków).
![Page 15: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/15.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób II (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka
ośmiokąta dzielą go na 6 trójkątów (o dwa mniej niż ośmiokąt ma boków).
Suma miar kątów każdego trójkąta to 180°, więc suma miar sześciu trójkątów wynosi
6 • 180° = 1080°.
![Page 16: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/16.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób II (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka
ośmiokąta dzielą go na 6 trójkątów (o dwa mniej niż ośmiokąt ma boków).
Suma miar kątów każdego trójkąta to 180°, więc suma miar sześciu trójkątów wynosi
6 • 180° = 1080°.
Jednocześnie jest to suma miar wszystkich kątów wewnętrznych ośmiokąta foremnego.
![Page 17: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/17.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób II (na przykładzie ośmiokąta foremnego) Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka
ośmiokąta dzielą go na 6 trójkątów (o dwa mniej niż ośmiokąt ma boków).
Suma miar kątów każdego trójkąta to 180°, więc suma miar sześciu trójkątów wynosi
6 • 180° = 1080°.
Jednocześnie jest to suma miar wszystkich kątów wewnętrznych ośmiokąta foremnego.
wszystkie kąty ośmiokąta foremnego są równe, więc jego kąt wewnętrzny można obliczyć dzieląc sumę kątów
przez 8:1080° : 8 = 135°.
![Page 18: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/18.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób II (dla n-kąta foremnego) Przez n oznaczymy ilość boków (kątów) wielokąta
foremnego.
![Page 19: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/19.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób II (dla n-kąta foremnego) Przez n oznaczymy ilość boków (kątów) wielokąta
foremnego.
Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka n-kąta dzielą go na n - 2 trójkątów (o dwa mniej niż boków ma n-kąt).
![Page 20: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/20.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób II (dla n-kąta foremnego) Przez n oznaczymy ilość boków (kątów) wielokąta
foremnego.
Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka n-kąta dzielą go na n - 2 trójkątów (o dwa mniej niż boków ma n-kąt).
Suma miar kątów każdego trójkąta to 180°, więc suma miar n - 2 trójkątów wynosi (n - 2) • 180°.
![Page 21: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/21.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób II (dla n-kąta foremnego) Przez n oznaczymy ilość boków (kątów) wielokąta
foremnego.
Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka n-kąta dzielą go na n - 2 trójkątów (o dwa mniej niż boków ma n-kąt).
Suma miar kątów każdego trójkąta to 180°, więc suma miar n - 2 trójkątów wynosi (n - 2) • 180°.
Jednocześnie jest to suma miar wszystkich kątów wewnętrznych n-kąta foremnego.
![Page 22: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/22.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób II (dla n-kąta foremnego) Przez n oznaczymy ilość boków (kątów) wielokąta
foremnego.
Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka n-kąta dzielą go na n - 2 trójkątów (o dwa mniej niż boków ma n-kąt).
Suma miar kątów każdego trójkąta to 180°, więc suma miar n - 2 trójkątów wynosi (n - 2) • 180°.
Jednocześnie jest to suma miar wszystkich kątów wewnętrznych n-kąta foremnego.
wszystkie kąty n-kąta foremnego są równe, więc jego kąt wewnętrzny można obliczyć dzieląc sumę kątów przez n:
(n - 2) • 180°n
![Page 23: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/23.jpg)
Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ?
Sposób III
Korzystając z wyprowadzonego wcześniej wzoru na kąt wewnętrzny wielokąta foremnego (gdzie n to ilość boków
wielokąta foremnego:
(n - 2) • 180°n
α =
![Page 24: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/24.jpg)
Wykorzystanie wzoru na kąt wewnętrzny wielokąta
foremnego ?Przykład:
Ile boków ma wielokąt foremny o kącie wewnętrznym równym 174° ?
Rozwiązanie: Wstawiamy do wzoru: α = 174°. Otrzymujemy
Wielokąt foremny o kącie wewnętrznym równym 174° ma 60 boków.
(n - 2) • 180°n
α =
174 = (n - 2) • 180 /•n n
174n = (n - 2) • 180 174n = 180n - 360 360 = 180n – 174n 360 = 6n /:6n = 60
Korzystając z tego wzoru można także obliczyć ile boków ma wielokąt
foremny o danym kącie wewnętrznym.
![Page 25: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/25.jpg)
Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?
(na przykładzie ośmiokąta foremnego)
![Page 26: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/26.jpg)
Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?
(na przykładzie ośmiokąta foremnego) Z jednego wierzchołka ośmiokąta foremnego można poprowadzić 5 przekątnych (o trzy mniej niż ośmiokąt
ma boków).
![Page 27: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/27.jpg)
Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?
(na przykładzie ośmiokąta foremnego) Z jednego wierzchołka ośmiokąta foremnego można poprowadzić 5 przekątnych (o trzy mniej niż ośmiokąt
ma boków).
Ponieważ z każdego wierzchołka można poprowadzić 5 przekątnych to z ośmiu wierzchołków wychodzi
8 • 5 = 40 przekątnych.
![Page 28: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/28.jpg)
Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?
(na przykładzie ośmiokąta foremnego) Z jednego wierzchołka ośmiokąta foremnego można poprowadzić 5 przekątnych (o trzy mniej niż ośmiokąt
ma boków).
Ponieważ z każdego wierzchołka można poprowadzić 5 przekątnych to z ośmiu wierzchołków wychodzi
8 • 5 = 40 przekątnych.
Jednak w ten sposób każdą przekątną liczymy dwukrotnie, bo np. przekątna AF wychodzi zarówno z
wierzchołka A, jak i z wierzchołka F. Musimy więc uzyskany wynik podzielić przez 2:
40 : 2 = 20.
![Page 29: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/29.jpg)
Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?
(na przykładzie ośmiokąta foremnego) Z jednego wierzchołka ośmiokąta foremnego można poprowadzić 5 przekątnych (o trzy mniej niż ośmiokąt
ma boków).
Ponieważ z każdego wierzchołka można poprowadzić 5 przekątnych to z ośmiu wierzchołków wychodzi
8 • 5 = 40 przekątnych.
Jednak w ten sposób każdą przekątną liczymy dwukrotnie, bo np. przekątna AF wychodzi zarówno z
wierzchołka A, jak i z wierzchołka F. Musimy więc uzyskany wynik podzielić przez 2:
40 : 2 = 20.
Ośmiokąt foremny ma 20 przekątnych.
![Page 30: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/30.jpg)
Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?
(dla n-kąta foremnego)
![Page 31: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/31.jpg)
Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?
(dla n-kąta foremnego) Z jednego wierzchołka n-kąta foremnego można
poprowadzić n – 3 przekątnych (o trzy mniej niż n-kąt ma boków).
![Page 32: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/32.jpg)
Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?
(dla n-kąta foremnego) Z jednego wierzchołka n-kąta foremnego można
poprowadzić n – 3 przekątnych (o trzy mniej niż n-kąt ma boków).
Ponieważ z każdego wierzchołka można poprowadzić n - 3 przekątnych to z n wierzchołków wychodzi
n • (n – 3) przekątnych.
![Page 33: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/33.jpg)
Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?
(dla n-kąta foremnego) Z jednego wierzchołka n-kąta foremnego można
poprowadzić n – 3 przekątnych (o trzy mniej niż n-kąt ma boków).
Ponieważ z każdego wierzchołka można poprowadzić n - 3 przekątnych to z n wierzchołków wychodzi
n • (n – 3) przekątnych.
Jednak w ten sposób każdą przekątną liczymy dwukrotnie, bo np. przekątna AF wychodzi zarówno z
wierzchołka A, jak i z wierzchołka F. Musimy więc uzyskany wynik podzielić przez 2:
n • (n – 3)2
![Page 34: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/34.jpg)
Jak obliczyć ilość przekątnych wielokąta foremnego ?
Korzystając z wyprowadzonego wzoru na ilość przekątnych wielokąta foremnego (gdzie n to ilość boków wielokąta
foremnego):
n • (n - 3) 2
i =
![Page 35: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/35.jpg)
Ciekawostka:Co to jest parkietaż ?
To mozaika ułożona z wielokątów foremnych.
![Page 36: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/36.jpg)
Ciekawostka:Co to jest parkietaż ?
To mozaika ułożona z wielokątów foremnych.
![Page 37: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/37.jpg)
Ciekawostka:Co to jest parkietaż ?
To mozaika ułożona z wielokątów foremnych.
![Page 38: Wielokąty foremne](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020218/55a1e4131a28ab7d508b4604/html5/thumbnails/38.jpg)
KONIECKONIEC
Wyk. Wyk. Ewa KurzawskaEwa Kurzawska