楽しいポテトチップスの袋詰め (Wrapping potato chips is fun) 解説

@okuraofvegetabl

問題概要 ２つの自然数 N,K が与えられる。

１≦N,K≦３*１０^６

１≦A1＜A2…Ak-1＜Ak≦N

A(奇数)＝奇数、A(偶数)＝偶数

を満たす数列Aの数(mod １０^９+７)を求めたい。

ぽてち先生は韓国に行っている。

考察(1) 自明な場合

- KがNより大きいとき、条件を満たす数列が

存在しないのは明らか

- 逆に、NがK以上のとき、条件を満たす数列が

少なくとも一つ存在する

(A1=１,A2=２…,AK=K)

考察(2)

N,Kがそれぞれn,kのときのmodをとる前の解を

f(n,k)と表すことにする。

nとkの偶奇が異なるとき、

- Akの偶奇はkと同じでn以下なのでnは使われない

- f(n,k)=f(n-1,k)

- したがってn,kの偶奇が一致する場合のみ考えればよい

考察(2) N＝Kのとき

- 解は (A1=１,A2=２…,AK=K) の１通りのみ。

- ゆえにf(n,k)=１

- 先程の考察を考慮すると、N＝K+１のときも

- f(n,k)=１

考察(3)

今後は、n,kの偶奇は一致しているとします。

f(n,k)をA1が１の時とそうでない時に分けて考えてみると…

A1が1のとき ２以上n以下の整数からA2,A3…Akを条件を満たすように選ぶ方法の数

- この問題は１以上n-１以下の整数からA1A2…Ak-1を

条件を満たすように選ぶ問題に帰着できる。

- したがってf(n-１,k-１)に等しい

A1が1でないとき ３以上n以下の整数からA1,A2…Akを条件を満たすように選ぶ方法の数

- A1は奇数なので少なくとも３以上だから

- この問題は１以上n-２以下の整数からA1A2…Akを

条件を満たすように選ぶ問題に帰着できる。

-したがってf(n-２,k)に等しい

考察(4) 以上より、

f(n,k)=f(n-１,k-１)+f(n-２,k) (n≧３)

ん?、これは漸化式…

DPだ！！

え、でもちょっと待てよ、

１≦N,K≦３*１０^６

(絶望)

とりあえず埋めてみる K＼N １ ２ ３ ４ ５ ６ ７

１ １ １ ２ ２ ３ ３ ４

２ × １ １ ３ ３ ６ ６

３ × × １ １ ４ ４ １０

４ × × × １ １ ５ ５

とりあえず埋めてみる K＼N １ ２ ３ ４ ５ ６ ７

１ １ １ ２ ２ ３ ３ ４

２ × １ １ ３ ３ ６ ６

３ × × １ １ ４ ４ １０

４ × × × １ １ ５ ５

とりあえず埋めてみる K＼N １ ２ ３ ４ ５ ６ ７

１ １ １ ２ ２ ３ ３ ４

２ × １ １ ３ ３ ６ ６

３ × × １ １ ４ ４ １０

４ × × × １ １ ５ ５

勘のいい方ならもうお気づきかもしれませんが…

パスカルの三角形っぽい

パスカルの三角形

パスカルの三角形

考察(5) 出てくる数字がパスカルの三角形にもある

-> nCrの形で表せるのでは？

- 実際、あの表を手で書いてみて

パスカルの三角形との対応を考えると

f(n,k) = (n+k)/2Ｃk だとわかる。

証明(1) 実は、今までの漸化式などは全く考える必要がなかった。

まず、A０=０、Ak+１=n+１とする。

ここで、階差数列 Bi = Ai+1-Ai (０≦i≦k) を考える。

任意のBiは奇数で、定義より、

B０+B1+…+Bk = Ak+1 - A０ = n+１ である。

Ci=(Bi – １)/２ (０≦i≦k)とおくと、

C０+C1+…+Ck = {(n+１)-(k+１)}/２ = (n-k)/２

証明(2) 各Ciには非負整数を好きな順で入れられるので、

f(n,k)は、総和が(n-k)/２となる要素数がk+１個の

非負整数列(重複可)の数と一致する。

この場合の数は(n-k)/２個の○と

(k+１)-１=k個の｜を並べる場合の数に対応する。

ゆえに f(n,k) = {(n-k)/２+k} Ｃk = (n+k)/２ Ｃk

nＣr = n!/(n-r)!/r!

これであとは普通に計算するだけですが、

注意すべきことが一つだけあります。

(ある程度問題を解いている方にはあたりまえだろ、

といわれてしまいそうですが…)

MODがらみの計算 ある値のmod hoge を出力せよという問題は多々あります。

hogeが素数の時（本問）、足し算、引き算、掛け算は

普通に計算して逐一modをとれば問題ありません。

では割り算をしたいときはどうすればいいのでしょうか…

MODで割り算 MODのからむ計算で、xで割り算をしたいときは、

1/xと等価な数(逆元,x^-1)を掛けてやることで、

正しく値を求めることができます。

本問ではmod 素数なので、

フェルマーの小定理よりx^(p-1)≡１(mod p)

で、xの逆元はx^(p-2)(mod p)となります。

逆元 しかし本問では、n回も割り算をしないといけないので、

累乗に繰り返し２乗法を用いても間に合わないかも

知れません。

実は、xの逆元は１…x-１の逆元から簡単に求めることができて、１からxまでの逆元はＯ(x)で列挙することができます。

xの逆元をinv[x]で表すと、

inv[x]=MOD-(MOD/x)*inv[MOD%x]%MOD

計算量 １から(N+K)/２までの逆元の列挙でＯ（N+K）

{(N+K)/２}!と{(N-K)/２}!、K!の逆元を求めるのにＯ(N+K)

あわせてＯ（N+K)

Submit数 １８

AC数 ９

FA ＩＨ１９９８０４１２(ＨＩＲ１８０) (１:２３)