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Introducao as Equacoes Diferenciais

Estocasticas

Joao Guerra

Nucleo de Matematica Financeira (NMF) - CEMAPRE.

Versao Provisoria (12 de Julho de 2005)

1 Introducao

• Uma equacao diferencial estocastica e basicamente uma equacao dife-rencial determinıstica perturbada por ”ruıdo aleatorio”:

dXt

dt= a (t, Xt) + b (t, Xt) Rt, (1)

onde Rt e o ruıdo aleatorio, a (t, x) e b(t, x) sao funcoes determinısticas.A solucao X, se existir, e um processo estocastico definido num deter-minado espaco de probabilidade.

• De acordo com os dados empıricos, um bom modelo para o processo deruıdo Rt deve satisfazer as propriedades:

1. t1 6= t2 =⇒ Rt1 e Rt2 independentes

2. Rt e um processo estacionario, isto e, a distribuicao conjunta de

Rt1+t, Rt2+t, ..., Rtk+t

nao depende de t.

3. E [Rt] = 0.

Observacao 1 Nao existe nenhum processo estocastico ”razoavel”(com tra-jectorias contınuas) que satisfaca as condicoes 1. e 2. No entanto, e possıveldefinir Rt com as propriedades desejadas como um processo generalizado aoqual se chama ruıdo branco. Este processo diz-se um processo generalizado,na medida em que pode ser construıdo como uma medida de probabilidade noespaco S ′ das distribuicoes temperadas definidas em [0,∞) mas, ao contrariode um processo estocastico usual, nao pode ser construıdo como uma medidade probabilidade no espaco (mais pequeno) das funcoes reais definidas em[0,∞) (espaco R

[0,∞]).

1

• Versao discreta de (1):

Xk+1 − Xk = a (tk, Xk) ∆tk + b (tk, Xk)Rk∆tk,

onde Xk = X(tk), Rk = R (tk). Consideremos que Rk∆tk = ∆Uk,sendo U um processo estocastico conveniente. Como R deve satisfa-zer as condicoes 1., 2. e 3., o processo U deve satisfazer as seguintespropriedades:

1. U tem incrementos independentes

2. U tem incrementos estacionarios

3. U tem incrementos de media nula

• O unico processo estocastico com trajectorias contınuas que obedecea estas condicoes e o movimento Browniano B = (Bt, t ≥ 0). ComRk∆tk = ∆Bk, voltando a equacao diferencial estocastica original te-mos

dXt = a (t, Xt) dt + b (t, Xt) dBt, (2)

que deve ser interpretada como a equacao integral estocastica

Xt = X0 +

∫ t

0

a (s, Xs) ds

︸︷︷︸integral de Riemann

+

∫ t

0

b (s, Xs) dBs

︸︷︷︸integral de Ito

, (3)

onde X0 (ω) = Y (ω) e uma variavel aleatoria (condicoes iniciais aleatorias).O integral

∫ t

0a (s, Xs) ds deve ser interpretado como um integral de

Riemann e o integral∫ t

0b (s, Xs) dBs deve ser interpretado como um

integral estocastico de Ito. A equacao (2) ou (3) diz-se uma equacaodiferencial estocastica de Ito.

2

Figura 1: Tres trajectorias do movimento Browniano geometrico com c =1, 5, σ = 1, 0.

1.1 Aplicacoes

1.1.1 Financas

• As flutuacoes aleatorias dos precos das accoes e outros activos nos mer-cados financeiros sugerem que modelos baseados em equacoes diferen-ciais estocasticas podem ser apropriados para modelar a dinamica dosprecos ou de outras variaveis financeiras.

• A evolucao do preco de um activo financeiro com risco (accao) podeser descrito pela EDE

dXt = cXtdt + σXsdBs, (4)

onde c e a taxa media de retorno do activo e σ e a volatilidade associadaao activo. A solucao desta EDE e o movimento Browniano geometrico:

Xt = X0 exp

((c − σ2

2

)t + σBt

). (5)

3

Figura 2: Trajectorias do modelo de Verhulst com diferentes niveis de ruıdo

1.1.2 Dinamica de populacoes

• Neste tipo de modelos, o ruıdo aleatorio e introduzido nas equacoesdiferenciais para modelar a incerteza ambiental.

• Equacao de Verhulst estocastica:

dXt =(λXt − X2

t

)dt + σXtdBt.

λ e um parametro relacionado com a taxa de crescimento da populacaoe com a quantidade (finita) de recursos disponıveis e o termo estocasticoσXtdBt resulta de considerar no modelo determinıstico um parametroλ perturbado: λ −→ λ + σRt, onde Rt e um ruıdo branco.

4

1.1.3 Difusao turbulenta

• A posicao de uma partıcula de um fluido no instante t pode representar-se pelo vector Xt ∈ R

3 e a sua velocidade por Vt ∈ R3. O modelo de

Obukhov para a dinamica da partıcula de fluido consiste no seguintesistema de 6 EDE’s:

dXt = Vtdt,

dVt = − 1

TVtdt + σdBt,

onde B = (Bt, t ≥ 0) e um movimento Browniano tridimensional, σ eo coeficiente de difusao escalar, T e um tempo de relaxacao longo parao processo Vt e o termo − 1

TVtdt tem origem nas forcas de atrito fracas

que actuam sobre a partıcula.

1.1.4 Estabilidade das orbitas de satelites

• As flutuacoes rapidas da densidade atmosferica terrestre e outras per-turbacoes na alta atmosfera devem ser tidas em conta nos modelospara a dinamica de satelites artificiais. Estes efeitos sao incorporadosem modelos determinısticos baseados na mecanica Newtoniana sob aforma de coeficientes perturbados aleatoriamente. Um destes modelos,que surgiu do problema de estabilizar um satelite artificial numa orbitacircular, e o modelo de Sagirow :

d

[X1

t

X2t

]=

[X2

t

−bX2t − sin (X1

t ) − c sin (2X1t )

]dt+

[0

−abX2t − b sin (X1

t )

]dBt.

5

1.1.5 Psicologia experimental

• A coordenacao do movimento Humano ou do movimento animal e, emparticular, a coordenacao dos movimentos repetidos periodicamente eestudada pelos psicologos experimentais com o objectivo de compreen-der melhor os mecanismos de controlo neurologicos. Um exemplo destetipo de experiencias e o seguinte:

1. Uma pessoa senta-se numa mesa com os seus pulsos na posicao verticalfixos.

2. Em seguida, essa pessoa move o dedo indicador de cada mao periodi-camente para a esquerda e para a direita a uma frequencia livrementeescolhida ou imposta por um metronomo.

3. A experiencia e repetida para varios indivıduos.

• Dependendo da frequencia do movimento e do facto da frequencia serescolhida de forma livre pelo individuo ou determinada pelo metronomo,so um de dois estados estaveis e observado: um estado simetrico estavel,no qual os dois indicadores se movem para dentro (aproximando-se)e para fora (afastando-se) simultaneamente e um estado assimetricoestavel, no qual um indicador se move para dentro e outro para fora evice-versa, sendo o movimento repetido periodicamente.

• A variavel de estado e a diferenca de fase dos dois dedos φ. O estadosimetrico estavel corresponde a φ = 0 e o estado assimetrico estavelcorresponde a φ = π.

• Determinou-se experimentalmente que o estado assimetrico sempre perdea estabilidade e da lugar ao estado simetrico quando a frequencia dasoscilacoes ultrapassa um determinado valor crıtico.

• Foi tambem observado que a razao entre esta frequencia crıtica e afrequencia livremente escolhida pelo indivıduo e sempre igual para to-dos os indivıduos observados.

• O modelo determinıstico que foi proposto para descrever o fenomeno eo modelo de Haken:

φ′ = −a sin (φ) − 2b sin (2φ) ,

onde a e b sao parametros que se determinam a partir dos dados expe-rimentais.

6

• De maneira a descrever algumas flutuacoes que surgiam nos dados, foiproposta a seguinte EDE como o modelo de Schoner :

dXt = − (a sin (Xt) + 2b sin (2Xt)) dt + σdWt,

onde Xt e interpretado modulo 2π.

1.1.6 Actividade neuronal

• Muitos modelos estocasticos foram propostos para descrever a activi-dade de descarga de um neuronio. Um deste modelos e o modelo deKallianpur que descreve a dinamica do potencial da membrana:

dXt =

(−1

rXt + α (VE − Xt) + β (Xt − VI)

)dt

+

√γσ2

E (VE − Xt)2 + ǫσ2

I (Xt − VI)2dWt

onde VI ≤ Xt ≤ VE .

7

1.2 Uma muito breve historia do nascimento da teoria

de equacoes diferenciais estocasticas de Ito

• Kiyosi Ito pretendia estudar os processos de difusao (que sao essenci-almente processos estocasticos de Markov com trajectorias contınuas)usando um metodo probabilıstico em alternativa ao metodo analıticoconhecido na altura.

• O metodo analıtico consistia em estudar as solucoes de duas equacoesdiferenciais parciais, as equacoes de Kolmogorov para as funcoes densi-dade de transicao de probabilidade associadas ao processo de Markovem estudo e usavam-se as tecnicas da teoria de equacoes diferenciaisparciais para provar, sob condicoes muito restritivas, a existencia desolucao para as equacoes de Kolmogorov (ver [6] e [2]).

• O metodo probabilistico para construir difusoes e estudar as suas pro-priedades foi sugerido por Paul Levy e foi desenvolvido por Ito numaserie de artigos publicados em 1942, 1946 e 1951. Este metodo con-siste em considerar equacoes diferenciais estocasticas do tipo (3). Itodemonstrou que as solucoes destas equacoes diferenciais estocasticassao processos de Markov e desenvolveu o calculo estocastico para po-der estudar estas solucoes. O calculo de Ito fornece ferramentas po-derosas que permitem construir processos de difusao (como solucoesde equacoes diferenciais estocasticas) e estudar as suas propriedadescomo, por exemplo, a regularidade das trajectorias, estimativas paraos momentos, a dependencia relativamente a parametros e condicoesiniciais, etc.

• Descricao de Ito (traduzida de [2]): ”Nos artigos (Ito refere-se aos ar-tigos de Kolmogov e Feller sobre o metodo analıtico) vi um poderosometodo analıtico para estudar as probabilidades de transicao de umprocesso, nomeadamente a equacao parabolica de Kolmogorov e a ge-neralizacao desta equacao feita por Feller. Mas eu queria estudar astrajectorias de processos de Markov da mesma maneira que Levy obser-vara os processos diferenciais. Observando os fundamentos intuitivossobre os quais Kolmogorov tinha deduzido a sua equacao, notei que umapartıcula Markoviana realizava um processo diferencial homogeneo notempo para o futuro infinitesimal em cada instante, e cheguei a nocaode equacao diferencial estocastica que governa as trajectorias de umprocesso de Markov...”

8

1.3 Generalizacoes

• Para alem das equacoes diferenciais estocasticas do tipo (2) ou (3),em muitas aplicacoes e necessario considerar equacoes diferenciais es-tocasticas em que o processo estocastico subjacente nao e o movimentoBrowniano mas um processo estocastico mais geral.

• Podem-se considerar por exemplo processos de Levy

L = (Lt, t ≥ 0)

ou o movimento Browniano fraccionario

BH =(BH

t , t ≥ 0),

onde 0 ≤ H ≤ 1 e o parametro de Hurst.

• Um processo de Levy L = (Lt, t ≥ 0) e essencialmente um processoestocastico definido num espaco de probabilidade (Ω,F , P ) que tomavalores em R

d, com incrementos independentes e estacionarios (i.e., adistribuicao de Lt − Ls e a mesma de Lt−s).

• Um processo de Levy pode ter trajectorias descontınuas (saltos) e oconjunto de distribuicoes faz deste tipo de processos candidatos maisflexıveis quando se trata de ajustar modelos estocasticos a dados empıricosou experimentais. E possıvel desenvolver uma teoria de equacoes dife-renciais estocasticas para equacoes do tipo

dXt = a (t, Xt) dt + b (t, Xt) dLt,

usando o calculo estocastico de Ito para semimartingalas (os processosde Levy sao semimartingalas).

• A teoria geral de equacoes diferenciais estocasticas relativamente a se-mimartingalas foi desenvolvida por Doleans (1976) e Protter (1977) euma referencia basica e o livro de Protter [9]. Refira-se que as semi-martingalas (e os processos de Levy) sao particularmente uteis quandoestamos interessados em modelar o caracter descontınuo de processosreais como as fortes oscilacoes em mercados de taxas de cambio ou”crashes”nos mercados financeiros.

• O movimento Browniano fraccionario BH =(BH

t , t ≥ 0)

e um processoestocastico Gaussiano cuja funcao de covariancia e dada por

E [BH (t) BH (s)] =1

2

(t2H + s2H − |t − s|2H

).

9

• Se H = 12

o processo B1

2 e simplesmente o movimento Browniano usual.O processo BH tem trajectorias α-Holder contınuas para qualquer α ∈(0, H).

• Se H 6= 12

os incrementos do processo nao sao independentes. Esteprocesso e um bom modelo quando o fenomeno de ”correlacoes de longoalcance” entre os incrementos esta presente.

• Como o movimento Browniano fraccionario nao e uma semimartin-gala, nao e possıvel desenvolver um integral estocastico de Ito paraeste processo. Contudo, explorando o facto de que para H > 1

2as tra-

jectorias do processo sao mais regulares que para o caso do movimentoBrowniano, e possıvel desenvolver uma teoria de equacoes diferenciaisestocasticas para equacoes do tipo

dXt = a (t, Xt) dt + b (t, Xt) dBHt

onde os integrais∫ t

0b (s, Xs) dBH

s devem ser interpretados trajectoria atrajectoria (ω a ω) ou ”pathwise”.

• A teoria de equacoes diferenciais estocasticas relativamente ao movi-mento Browniano fraccionario tem sido desenvolvida nos ultimos anospor Lin (1995), Decreusefond e Ustunel (1998), Ruzmaikina (2000) eNualart e Rascanu (2002).

10

2 Solucoes de Equacoes Diferenciais Estocasticas

2.1 Solucoes fortes de Equacoes Diferenciais Estocasticas

• Consideremos uma espaco de probabilidade (Ω,F , P ), um movimentoBrowniano B definido neste espaco de probabilidade e a equacao dife-rencial estocastica de Ito

Xt = X0 +

∫ t

0

a (s, Xs) ds +

∫ t

0

b (s, Xs) dBs, (6)

onde a (t, x) e b(t, x) sao funcoes definidas em [0, T ] × R e com valoresem R e X0 e uma variavel aleatoria definida em Ω e independente deB.

• Consideramos apenas equacoes diferenciais estocasticas unidimensio-nais mas as definicoes e os resultados apresentados podem facilmenteser adaptados para o caso multidimensional.

Definicao 2 Uma solucao forte da EDE (6) e um processo estocastico X =(Xt, t ∈ [0, T ]) que satisfaz as seguintes condicoes

1. X e um processo adaptado ao movimento Browniano (i.e., Xt e umafuncao de Bs, s ≤ t)

2. Os integrais que aparecem em (6) sao integrais bem definidos comointegrais de Riemann e de Ito, respectivamente.

3. X e uma funcao das trajectorias do movimento Browniano e dos coe-ficientes a (t, x) e b (t, x).

4. X satisfaz a equacao (6) para 0 ≤ t ≤ T quase certamente.

• Uma solucao forte e uma funcao da trajectoria do movimento Browni-ano subjacente. Se substituirmos o movimento Browniano por outro,a solucao forte e dada pela mesma relacao funcional mas com o novomovimento Browniano no lugar do anterior.

Apresentamos a seguir uma definicao mais rigorosa de solucao forte quepermite distinguir o conceito de solucao forte do de solucao fraca. Para issoconsideremos a filtracao Ft, t ∈ [0, T ] gerada pela variavel aleatoria ξ e porBs, s ≤ t.

11

Figura 3: Interpretacao da EDE como um sistema dinamico

Definicao 3 Uma solucao forte da EDE (6) com condicao inicial X0 = ξ eum processo estocastico X = (Xt, t ∈ [0, T ]) que satisfaz

1. X e um processo adaptado a filtracao Ft, t ∈ [0, T ]

2. P [X0 = ξ] = 1

3. P[∫ t

0

|a (s, Xs)| + |b (s, Xs)|2

ds < ∞

]= 1


Observacao 4 A condicao de adaptabilidade 1. na definicao anterior per-mite descrever a solucao forte de uma EDE como o ”output”de um sistemadinamico descrito pelo par de coeficientes (a, b), cujo ”input”e o movimentoBrowniano B e que e tambem alimentado pelos dados iniciais ξ. O princıpioda causalidade dos sistemas dinamicos implica que Xt dependa exclusiva-mente de ξ e da historia do processo B ate ao instante t.

Definicao 5 Suponhamos que, sempre que X e X sao duas solucoes fortesda EDE (6) relativamente ao mesmo movimento Browniano B e com as

mesmas condicoes iniciais ξ, temos que P[Xt = Xt; 0 ≤ t ≤ T

]= 1. Nestas

condicoes, dizemos que a propriedade de unicidade forte e verificada.

12

2.2 Solucoes fracas

• Intuitivamente, uma solucao forte corresponde a resolver uma EDEnum determinado espaco de probabilidade para um determinado mo-vimento Browniano B dado, enquanto para uma solucao fraca e per-mitido construir o espaco de probabilidade, o movimento Brownianoe a solucao ao mesmo tempo. Por outras palavras, o espaco de pro-babilidade e o movimento Browniano B nao sao dados do problemamas partes da solucao. Para as solucoes fracas, o comportamento dastrajectorias nao e importante. Apenas nos interessa a distribuicao doprocesso X. Para determinar uma solucao fraca da EDE, os coefici-entes a(t, x) e b(t, x) sao dados e e necessario determinar um processoestocastico X, um espaco de probabilidade (Ω,F , P ) e uma filtracaoFt tal que (6) seja satisfeita.

Definicao 6 Uma solucao fraca da EDE (6) e um triplo (X, B), (Ω,F , P ),Ft, t ≥ 0, onde

1. (Ω,F , P ) e um espaco de probabilidade e Ft, t ≥ 0 uma filtracao (quedeve obedecer a determinadas condicoes tecnicas)

2. X e um processo estocastico adaptado a Ft, t ≥ 0

3. B e um movimento Browniano

4. P[∫ t

0

|a (s, Xs)| + |b (s, Xs)|2

ds < ∞

]= 1


• As solucoes fracas X de uma EDE sao suficientes para determinar as ca-racterısticas distribucionais do processo X como, por exemplo, a media,a variancia ou a funcao de covariancia do processo.

• Uma solucao forte ou fraca de uma EDE de Ito diz-se uma difusao. Assolucoes fracas de uma EDE sao portanto importantes para construirdifusoes.

Existem duas nocoes razoaveis de unicidade fraca que importa referir.

13

Definicao 7 Suponhamos que, sempre que (X, B), (Ω,F , P ), Ft, t ≥ 0 e

(X, B), (Ω,F , P ),Ft, t ≥ 0

sao duas solucoes fracas da EDE (6) com um

movimento Browniano comum e num espaco de probabilidade comum e comvalores iniciais iguais, temos que os processos X e X sao indistinguıveis (i.e.,

P[Xt = Xt ∀t ∈ [0, T ]

]= 1). Entao, diz-se que a EDE verifica a propriedade

de unicidade trajectorial.

Definicao 8 A propriedade de unicidade no sentido da lei de probabilidadee verificada para a EDE (6) se, para quaisquer duas solucoes fracas (X, B),

(Ω,F , P ), Ft, t ≥ 0 e (X, B), (Ω, F , P ),Ft, t ≥ 0

, com a mesma dis-

tribuicao inicial (i.e. P [X0 ∈ Γ] = P[X0 ∈ Γ

], ∀Γ ∈ β (R)), temos que os

processos X e X tem a mesma distribuicao.

Exemplo 9 (Tanaka) Considere a EDE unidimensional

Xt =

∫ t

0

sgn(Xs)dBs. (7)

Se (X, B), (Ω,F , P ), Ft, t ≥ 0 e uma solucao fraca, entao o processo Xe uma martingala de quadrado integravel, contınua e X2

t − t e tambem umamartingala. Entao, pelo teorema de caracterizacao de Levy, Xt e um movi-mento Browniano e a unicidade no sentido da lei de probabilidade e verifi-cada. Por outro lado, (−X, B), (Ω,F , P ), Ft, t ≥ 0 e tambem uma solucaofraca e como

P [Xt = −Xt ∀t ∈ [0, T ]] < 1,

uma vez provada a existencia de uma solucao provada, tambem fica demons-trado que a propriedade de unicidade trajectorial nao se verifica.

Consideremos agora um movimento Browniano X =Xt; Ft

X

no mesmo

espaco de probabilidade. Assuma-se que P [X0 = 0] = 1. O mesmo argu-mento usado antes permite mostrar que

Bt :=

∫ t

0

sgn(Xs)dXs

e um movimento Browniano adaptado aFt

X. Entao (X, B), (Ω,F , P ),

Ft

X, t ≥ 0

e uma solucao fraca de (7).

A EDE nao admite uma solucao forte pois, como vamos mostrar, Ft

B ⊂6=

Ft

Xe para que X fosse uma solucao forte seria necessaria a inclusao inversa.

14

Admitamos que a EDE admite uma solucao forte X relativamente aomovimento Browniano B e assuma-se que FX

t ⊆ FBt para todo o t ∈ [0, T ].

Entao X e necessariamente um movimento Browniano. Consideremos umasucessao de funcoes ımpares fn ∈ C1 (R) e tais que

fn (x) = sgn(x) se |x| ≥ 1

n

E obvio que Fn (x) =∫ t

0fn (y) dy e de classe C2 e lim

n→∞Fn (x) = |x| sendo a

convergencia uniforme em compactos. Aplicando a formula de Ito a Fn (Xt)temos que

Fn (Xt) −∫ t

0

fn (Xs) dXs =1

2

∫ t

0

f ′n (Xs) ds.

Aplicando o teorema da convergencia dominada temos que

Fn (Xt) −∫ t

0

fn (Xs) dXs → |X (t)| −∫ t

0

sgn(Xs)dXs.

Por outro lado, pela simetria de fn,12

∫ t

0f ′

n (Xs) ds = 12

∫ t

0f ′

n (|Xs|) ds. Por-tanto,

Bt =

∫ t

0

sgn(Xs)dXs = |X (t)| − limn→∞

1

2

∫ t

0

f ′n (|Xs|) ds

Daqui resulta claramente que FBt ⊆ F |X|

t . O acontecimento Xt > 0 tem

probabilidade 12

e nao e F |X|t - mensuravel, pelo que FX

t \F |X|t 6= ∅ e FB

t ⊂6=

FXt . Portanto, X nao pode ser uma solucao forte.

• Uma solucao forte e sempre uma solucao fraca mas a existencia desolucoes fracas nao implica a existencia de solucoes fortes, como o exem-plo de Tanaka ilustra.

• A unicidade trajectorial implica a unicidade no sentido da lei de pro-babilidade

• A existencia de uma solucao fraca e a propriedade de unicidade trajec-torial implicam a existencia de solucoes fortes.

15

3 Teoremas de Existencia e Unicidade de Solucoes

• Vamos considerar apenas equacoes diferenciais estocasticas unidimen-sionais nesta seccao, por uma questao de simplificacao da notacao. Osresultados apresentados sao validos com as adaptacoes obvias tambempara equacoes diferenciais estocasticas multidimensionais.

Teorema 10 Suponha-se que os coeficientes de a(t, x) e b(t, x) sao funcoescontınuas que satisfazem a propriedade de Lipschitz localmente na variavelx; i.e., ∀n ≥ 1, ∃Kn :

|a(t, x) − a(t, y)| + |b(t, x) − b(t, y)| ≤ Kn |x − y|

para qualquer t ∈ [0, T ] e para quaisquer x, y tais que |x| ≤ n e |y| ≤ n. Entaoa propriedade de unicidade para solucoes fortes e satisfeita para a EDE (6).

Demonstracao. Admitamos que existem duas solucoes, X e X.Definimos os seguintes tempos de paragem

τn := inf t ≥ 0; |Xt| ≥ n ,

τn := inf

t ≥ 0;∣∣∣Xt

∣∣∣ ≥ n

,

Sn := τn ∧ τn ∧ T.

Entao,

E

[∣∣∣Xt∧Sn− Xt∧Sn

∣∣∣2]≤ 2E

[∫ t∧Sn

0

∣∣∣a (u, Xu) − a(u, Xu

)∣∣∣ du

]2

+ 2E

[∫ t∧Sn

0

∣∣∣b (u, Xu) − b(u, Xu

)∣∣∣ dBu

]2

.

Usando a desigualdade de Holder, a isometria de Ito e a propriedade deLipschitz local, temos

E

[∣∣∣Xt∧Sn− Xt∧Sn

∣∣∣2]≤ 2(T + 1)K2

n

∫ t

0

E

∣∣∣Xu∧Sn− Xu∧Sn

∣∣∣2

du.

Aplicando a desigualdade de Gronwall, obtemos

P[Xt∧Sn

= Xt∧Sn∀t ∈ [0, T ]

]= 1.

Fazendo n → ∞, temos que Sn → T q.c. e P[Xt = Xt ∀t ∈ [0, T ]

]= 1.

16

Exemplo 11 A condicao de Lipschitz local nao e suficiente para garantir aexistencia de uma solucao global para a EDE. De facto, mesmo para a EDO

Xt = 1 +

∫ t

0

X2s ds

a solucao que e

Xt =1

1 − t

”explode”quando t ր 1. E necessario impor condicoes mais restritivas paraobter a existencia de uma solucao definida globalmente.

Teorema 12 Suponhamos que os coeficientes a(t, x) e b(t, x) satisfazem ascondicoes de Lipschitz globais e as condicoes de crescimento linear seguintes

|a (t, x) − a(t, y)| + |b (t, x) − b (t, y)| ≤ K |x − y| ,|a(t, x)|2 + |b (t, x)|2 ≤ K2

(1 + |x|2

),

para todo o t ∈ [0, T ], x, y ∈ R. Seja ξ uma variavel aleatoria independentedo movimento Browniano B e de quadrado integravel, i. e.

E[ξ2

]< ∞.

Entao existe um processo contınuo e adaptado que e uma solucao forte daEDE relativamente a W , com condicao inicial ξ. Este processo e de quadradointegravel:

E[X2

t

]≤ C

(1 + E

[ξ2

])eCt; t ∈ [0, T ] .

Esquema da demonstracao.

1. A ideia da demonstracao e, tal como no caso determinista, construiruma sucessao de Picard para aproximar a solucao: X

(0)t = ξ e

X(n+1)t := ξ +

∫ t

0

a(s, X(n)

s

)ds +

∫ t

0

b(s, X(n)

s

)dWs.

2. Claramente, X(n+1)t − X

(n)t = Gt + Mt, onde

Gt :=

∫ t

0

(a

(s, X(n)

s

)− a

(s, X(n−1)

s

))ds

e

Mt :=

∫ t

0

(b(s, X(n)

s

)− b

(s, X(n−1)

s

))dWs

e uma martingala.

17

3. Usando a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy (ver [3]) para mar-tingalas, a condicao de Lipschitz, a desigualdade de Cauchy-Schwarz,o teorema de Fubini prova-se que existe um acontecimento Ω∗ tal queP (Ω∗) = 1 e existe uma variavel aleatoria com valores naturais N (ω)tal que

max0≤t≤T

∣∣X(n+m) (ω) − X(n) (ω)∣∣ ≤ 1

2n, ∀m ≥ 1, k ≥ N (ω) . (8)

Concluımos portanto que a sucessaoX

(n)t (ω) , t ∈ [0, T ]

e conver-

gente na norma do supremo para funcoes contınuas e portanto existeum limite contınuo Xt (ω) , t ∈ [0, T ] definido para todo o ω ∈ Ω∗.

4. Para mostrar que o processo Xt := limn→∞

X(n)t construıdo no ponto 3.

satisfaz a EDE ha que utilizar a estimativa (8) e teoremas limite comoo lema de Fatou e o teorema da convergencia dominada. Para ver osdetalhes, consultar [3], paginas 289-291 ou entao as referencias basicassobre calculo estocastico [1], [8] e [10].

Exemplo 13 A EDE linear

Xt = X0 +

∫ t

0

(c1Xs + c2) ds +

∫ t

0

(σ1Xs + σ2) dBs

satisfaz as condicoes do teorema anterior se X0 for independente de B e seE [X2

0 ] < ∞, pois as funcoes a(t, x) = (c1x + c2) e b (t, x) = σ1x + σ2 sao decrescimento linear e verificam a condicao de Lipschitz.

4 O Lema de Ito na Resolucao de EDE’s

Nesta seccao, vamos ver como utilizar o lema de Ito na resolucao de EDE’ssimples.

Exemplo 14 (Movimento Browniano geometrico) Consideremos a seguinteEDE

Xt = X0 + c

∫ t

0

Xsds + σ

∫ t

0

XsdBs (9)

18

para constantes c e σ positivas. Esta EDE tambem se designa por EDE linearcom ruıdo multiplicativo, por causa do segundo integral envolver o produtodo processo X pelos incrementos do movimento Browniano.

Admitamos que a solucao da EDE (9) e da forma Xt = f (t, Bt) paraalguma funcao f de classe C2. Pelo lema de Ito, temos que

Xt = X0 +

∫ t

0

[f1 (s, Bs) +

1

2f22(s, Bs)

]ds +

∫ t

0

f2(s, Bs)dBs.

Podemos identificar o integral de Riemann e o integral de Ito desta EDEcom o integral de Riemann e o integral de Ito de (9), pois um processo de Itoadmite uma unica representacao da forma

Xt = X0 + c

∫ t

0

A(1)s ds +

∫ t

0

A(2)s dBs.

Temos portanto que

cf (t, x) = f1 (t, x) +1

2f22(t, x),

σf (t, x) = f2(t, x)

Da segunda equacao, derivando em ordem a x, obtemos

σ2f (t, x) = f22(t, x)

e portanto,(

c − 1

2σ2

)f (t, x) = f1 (t, x) ,

σf (t, x) = f2(t, x)

Usando a tecnica de separacao de variaveis f (t, x) = g(t)h (x), obtemos duasEDO’s

(c − 1

2σ2

)g (t) = g′ (t)

σh (x) = h′(x).

Estas EDO’s sao de varaveis separaveis e as solucoes sao

g (t) = g (0) exp

((c − 1

2σ2

)t

),

h (x) = h (0) exp (σx) .

19

A solucao final e portanto

Xt = f (t, Bt) = X0 exp

((c − 1

2σ2

)t + σBt

).

Este processo e a solucao forte de (9) e e designado por movimento Browni-ano geometrico.

Exemplo 15 (Processo de Ornstein-Uhlenbeck) Consideremos a EDE li-near

Xt = X0 + c

∫ t

0

Xsds + σ

∫ t

0

dBs. (10)

A EDE (10) diz-se uma equacao de Langevin. Langevin estudou esta EDE em1908 para modelar a velocidade de uma partıcula Browniana. Esta equacaotambem se pode designar por EDE estocastica com ruıdo aditivo pois a com-ponente aleatoria (integral de Ito) e simplesmente aditiva e depende exclusi-

vamente do movimento Browniano(σ

∫ t

0dBs = σBt

). No caso do modelo

da partıcula Browniana, o termo σ∫ t

0dBs representa uma forca aleatoria a

qual a partıcula Browniana esta sujeita, devido aos choques aleatorios comoutras partıculas. Consideremos agora o processo

Yt := e−ctXt.

Aplicando a formula de Ito a Yt = f(t, Xt) com f(t, x) = e−ctx, obtemos

Yt − Y0 =

∫ t

0

[f1 (s, Xs) + cXsf2(s, Xs) +

1

2σ2f22(s, Xs)

]ds

+

∫ t

0

σf2(s, Bs)dBs

=

∫ t

0

[−cYs + cYs] ds +

∫ t

0

σe−csdBs =

∫ t

0

σe−csdBs.

Temos portanto que

Xt = ectX0 + σect

∫ t

0

e−csdBs. (11)

Se X0 for uma constante, este processo diz-se o processo de Ornstein-Uhlenbecke e a unica solucao forte da equacao de Langevin. E um processo Gaussianocaracterizado por:

20

Figura 4: Trajectorias do processo de Ornstein -Uhlenbeck para diferentesnıveis de ruıdo

• E [Xt] = 0

• E [X2t ] = σ2

2c(e2ct − 1)

• Cov (Xt, Xs) = E [XtXs] = σ2

2c

(ec(t+s) − ec(t−s)

), t > s.

Exemplo 16 (EDE com dois movimentos Brownianos independentes) Se-jam B(1) e B(2) dois movimentos Brownianos independentes. Consideremosa EDE estocastica

Xt = X0 + c

∫ t

0

Xsds + σ1

∫ t

0

XsdB(1)s + σ2

∫ t

0

XsdB(2)s (12)

para constantes c, σ1 e σ2.Definamos o processo

Bt =1√

σ21 + σ2

2

(σ1B

(1)t + σ2B

(2)t

).

Como B(1) e B(2) sao independentes, e obvio que

E

[Bt

]= 0

E

[BtBs

]= min (s, t) .

21

Figura 5: Movimento Browniano no plano (B(1)t , B

(2)t ).

E tambem claro que B e um processo Gaussiano. Como um processo Gaussi-ano e completamente caracterizado pelo seu valor esperado e pela sua funcaode covariancia, B e um movimento Browniano. A EDE (12) pode ser escritana forma

Xt − X0 = c

∫ t

0

Xsds +

∫ t

0

Xsd[σ1B

(1)s + σ2B

(2)s

]

= c

∫ t

0

Xsds +√

σ21 + σ2

2

∫ t

0

XsdBs.

Mas esta EDE e precisamente a EDE com ruıdo multiplicativo estudada noexemplo 14. A solucao e portanto

Xt = X0 exp

((c − 1

2

(σ2

1 + σ22

))t + σ1B

(1)t + σ2B

(2)t

).

22

5 Equacoes Diferenciais Estocasticas Linea-

res

• Consideremos a EDE linear na sua forma mais geral:

Xt = X0 +

∫ t

0

[c1 (s)Xs + c2 (s)] ds +

∫ t

0

[σ1 (s)Xs + σ2 (s)] dBs, (13)

onde os coeficientes c1, c2, σ1 e σ2 sao funcoes contınuas em [0, T ]. Nes-tas condicoes, e facil verificar que as hipoteses do teorema de existenciae unicidade (Teorema 12) sao satisfeitas, pelo que a EDE linear (13)tem uma unica solucao forte definida em [0, T ]. Nesta seccao seguire-mos de perto a referencia [7].

5.1 Equacoes lineares com ruıdo aditivo

• σ1 (t) ≡ 0.

Xt = X0 +

∫ t

0

[c1 (s) Xs + c2 (s)] ds +

∫ t

0

σ2 (s) dBs. (14)

• A EDE diz-se de ruıdo aditivo pois o processo X nao aparece no integralestocastico. Para resolver este equacao usamos um factor integrante,definindo um novo processo

Yt := y(t)Xt,

onde y (t) e o factor integrante

y (t) := exp

(−

∫ t

0

c1 (s) ds

).

Desta forma, temosYt = f (t, Xt) ,

23

com f (t, x) := y (t) x. Aplicando a formula de Ito ao processo Yt temos1

Yt − Y0 = −∫ t

0

c1 (s) y(s)Xsds +

∫ t

0

y (s) dXs

=

∫ t

0

c2 (s) y (s) dt +

∫ t

0

y(s)σ2 (s) dBs.

Como Y0 = X0, temos que

Xt = [y (t)]−1

(X0 +

∫ t

0

c2 (s) y (s) dt +

∫ t

0

y(s)σ2 (s) dBs

), (15)

sendo esta a solucao forte da EDE (14). Um caso particular de umaequacao linear com ruıdo aditivo e a equacao de Langevin (10), cujasolucao e, como vimos na seccao anterior, o processo de Ornstein-Uhlenbeck (11).

• Modelo de taxas de juro de Vasicek

rt = r0 + c

∫ t

0

[µ − rs] ds + σ

∫ t

0

dBs,

onde rt representa a taxa de juro (instantanea) no instante t e c, µ eσ sao constantes positivas (parametros do modelo). O valor µ e umvalor em torno do qual flutua a taxa de juro rt. Se rt se desvia de µ otermo c

∫ t

0[µ − rs] ds obrigara o processo a voltar a aproximar-se de µ

(diz-se que rt reverte para a media µ. A velocidade a qual rt revertepara µ e controlada pelo parametro µ. O valor de σ e proporcional aintensidade das flutuacoes de rt em torno de µ e diz-se a volatilidade doprocesso. A partir da solucao geral (15), obtemos a solucao do modelode Vasicek

rt = r0e−ct + µ

(1 − e−ct

)+ σe−ct

∫ t

0

ecsdBs.

1Recorde-se a formula de Ito para um processo de Ito Xt = X0+∫ t

0A

(1)s ds+

∫ t

0A

(2)s dBs.

Se f e de classe C2, entao

f (t, Xt) − f (0, X0) =∫ t

0

[f1 (s, Xs) +

1

2

(A(2)

s

)2

f22 (s, Xs)

]ds

+

∫ t

0

f2 (s, Xs) dXs

24

Figura 6: Trajectorias do modelo de Vasicek com r0 = 2, c = 1, µ = 3,σ = 0.5 e com r0 = 1, c = 1, µ = 1, σ = 1.0

Se r0 for constante, rt e um processo Gaussiano. Se µ = 0 entao asolucao do modelo de Vasicek e um processo de Ornstein-Uhlenbeck.Relativamente aos momentos estatısticos de rt, temos

E [rt] = r0e−ct + µ

(1 − e−ct

)

V ar [rt] =σ2

2c

(1 − e−2ct

)

• Quando t → ∞, rtd−→ Z, onde Z e uma variavel aleatoria com distri-

buicao N(µ, σ2

2c

)e a convergencia

d−→ denota convergencia em distri-

buicao. Note-se que, como rt e um processo Gaussiano, ele assumevalores negativos com probabilidade positiva (observe-se a Figura 6).Como rt pretende modelar uma taxa de juro, esta propriedade emanifestamente indesejavel. Ainda assim, se σ2

2cfor pequeno quando

comparado com µ, a probabilidade da taxa rt ser negativa e muitopequena e o modelo e aceitavel.

25

5.2 EDE’s lineares homogeneas com ruıdo multiplica-

tivo

• (c2 (t) = σ2 (t) ≡ 0):

Xt = X0 +

∫ t

0

c1 (s)Xsds +

∫ t

0

σ1 (s) XsdBs. (16)

Se X0 = 0 entao obtemos a solucao trivial Xt = 0 ∀t ∈ [0, T ]. Com-parando com o caso deteminıstico e de esperar que a solucao seja daforma exponencial, pelo que assumimos que Xt > 0 ∀t ∈ [0, T ]. Comesta hipotese, consideramos o novo processo Yt = ln (Xt) = f (Xt).

• Aplicando a regra de Ito a f (Xt), obtemos

Yt − Y0 =

∫ t

0

[1

2(σ1 (s) Xs)

2

(− 1

X2s

)]ds +

∫ t

0

1

Xs

dXs

= −∫ t

0

[1

2σ2

1 (s)

]ds +

∫ t

0

c1 (s) ds +

∫ t

0

σ1 (s) dBs

=

∫ t

0

[c1 (s) − 1

2σ2

1 (s)

]ds +

∫ t

0

σ1 (s) dBs.

Entao a solucao da EDE original e

Xt = X0 exp

∫ t

0

[c1 (s) − 1

2σ2

1 (s)

]ds +

∫ t

0

σ1 (s) dBs

.

Podemos verificar que o processo Xt dado pela formula anterior e defacto a solucao desta EDE, por aplicacao directa da formula de Ito.

• O movimento Browniano geometrico e o exemplo mais importante deuma EDE linear com ruıdo multiplicativo (neste caso c1 (t) ≡ c, σ1 (t) ≡σ para c e σ constantes).

26

5.3 A EDE linear geral.

• Para obtermos a solucao de (13)

Xt = X0 +

∫ t

0

[c1 (s) Xs + c2 (s)] ds +

∫ t

0

[σ1 (s) Xs + σ2 (s)] dBs,

vamos usar a solucao Yt da solucao da EDE linear homogenea (16) comY0 = 1. Definamos os seguintes processos

X(1)t = f (Yt) = Y −1

t

X(2)t = Xt,

onde Xt e a solucao de (13).

• Aplicando a formula de Ito ao primeiro processo obtemos

∫ t

0

[f1 (s, Xs) +

1

2

(A(2)

s

)2f22 (s, Xs)

]ds

+

∫ t

0

f2 (s, Xs) dXs

X(1)t − 1 =

∫ t

0

[1

2σ2

1 (s) Y 2s

(2

Y 3s

)]ds −

∫ t

0

1

Y 2s

dYs

=

∫ t

0

[σ2

1 (s)X(1)s

]ds −

∫ t

0

c1 (s)X(1)s ds −

∫ t

0

σ1 (s) X(1)s dBs

=

∫ t

0

[σ2

1 (s) − c1 (s)]X(1)

s ds −∫ t

0

σ1 (s) X(1)s dBs.

• Aplicando agora a formula de Ito a duas dimensoes2 ao processo pro-duto Zt = X

(1)t X

(2)t (a formula obtida diz-se a formula de integracao

2

f(X

(1)t , X

(2)t

)− f

(X

(1)0 , X

(2)0

)=

∫ t

0

f1

(X(1)

s , X(2)s

)ds +

2∑

i=1

∫ t

0

fi

(X(1)

s , X(2)s

)dX(i)

s

+1

2

2∑

i=1

2∑

j=1

∫ t

0

fij

(X(1)

s , X(2)s

)A(2,i)

s A(2,j)s ds.

27

por partes de Ito) obtemos

Zt − Z0 =

∫ t

0

X(2)s dX(1)

s +

∫ t

0

X(1)s dX(2)

s

−∫ t

0

σ1 (s)X(1)s [σ1 (s)Xs + σ2 (s)] ds =

=

∫ t

0

[σ2

1 (s) − c1 (s)]X(1)

s X(2)s ds −

∫ t

0

σ1 (s)X(1)s X(2)

s dBs

+

∫ t

0

X(1)s [c1 (s)Xs + c2 (s)] ds +

∫ t

0

X(1)s

[σ1 (s)X(2)

s + σ2 (s)]dBs

−∫ t

0

σ1 (s)X(1)s

[σ1 (s) X(2)

s + σ2 (s)]ds

=

∫ t

0

[c2 (s) − σ1 (s) σ2 (s)] X(1)s ds +

∫ t

0

σ2 (s)X(1)s dBs.

Como Y0 = 1, temos que

Y −1t Xt = X0 +

∫ t

0

[c2 (s) − σ1 (s)σ2 (s)]Y −1s ds +

∫ t

0

σ2 (s)Y −1s dBs.

Pelo que a solucao e dada por

Xt = Yt

(X0 +

∫ t

0

[c2 (s) − σ1 (s)σ2 (s)] Y −1s ds +

∫ t

0

σ2 (s)Y −1s dBs

),

(17)onde

Yt = exp

∫ t

0

[c1 (s) − 1

2σ2

1 (s)

]ds +

∫ t

0

σ1 (s) dBs

. (18)

• Note-se que esta forma inclui como caso particular a solucao da Equacaodiferencial ordinaria determinista

dx

dt= [c1 (t) x (t) + c2 (t)] .

Basta considerar σ1 (t) = σ2 (t) ≡ 0 nas formulas (17) e (18).

28

5.4 A media e a variancia da solucao.

• Pretendemos agora calcular as funcoes valor esperado e momento de 2a

ordem do processo Xt dado por (17).

µX (t) = E [Xt]

qX (t) = E[X2

t

]

• Recorde-se que Xt e solucao da EDE (13)

Xt = X0 +

∫ t

0

[c1 (s)Xs + c2 (s)] ds +

∫ t

0

[σ1 (s)Xs + σ2 (s)] dBs

e portanto, usando o facto de que um integral estocastico tem valoresperado nulo, temos que

µX (t) = µX (0) +

∫ t

0

[c1 (s)µX (s) + c2 (s)] ds.

Esta equacao e uma equacao diferencial linear ordinaria e determinista:

dµX

dt= [c1 (t) µX (t) + c2 (t)]

µX (0) = E [X0] .

A solucao desta equacao e dada por (17) e (18), com σ1 (t) = σ2 (t) ≡ 0.Portanto,

µX (t) = X0 exp

(∫ t

0

c1 (s) ds

)+

∫ t

0

c2 (s) exp

(∫ t

s

c1 (u) du

)ds.

• Relativamente a funcao qX (t), de maneira a obtermos uma equacaodiferencial determinista para qX , aplicamos a formula de Ito a Zt =f (Xt) = X2

t (com f (x) = x2). Obtemos

X2t = X2

0 +

∫ t

0

(2Xs [c1 (s) Xs + c2 (s)] + [σ1 (s) Xs + σ2 (s)]2

)ds

+

∫ t

0

2Xs [σ1 (s)Xs + σ2 (s)] dBs,

e portanto (recorde-se uma vez mais que o valor esperado de um integralestocastico e nulo)

qX (t) = qX (0) +

∫ t

0

(2c1 (s) + σ2

1 (s))qX (s) ds+

+

∫ t

0

(2 (c2 (s) + σ1 (s)σ2 (s)) µX (s) + σ2

2 (s))ds.

29

Esta equacao e de facto uma equacao diferencial determinista linearpara qX (t), pois e equivalente a

dqX

dt=

(2c1 (t) + σ2

1 (t))qX (t) + 2 (c2 (t) + σ1 (t) σ2 (t)) µX (t)

+ σ22 (t) ,

qX (0) = E[X2

0

]

e µX (t) e conhecida. E trivial obter a solucao desta EDO e a solucaodo problema, ainda que a formula que se obtem seja, no caso geral,bastante complicada.

• A partir do conhecimento de µX (t) e de qX (t) e trivial obter a varianciade Xt, pois

V ar (Xt) = E [Xt − µX (t)]2 = qX (t) − µ2X (t) .

30

6 Relacoes entre Equacoes Diferenciais Es-

tocasticas e Equacoes Diferenciais Parciais

• Relacao surpreendente entre as solucoes de EDE’s e solucoes de EDP’s:as solucoes de muitas EDP’s elıpticas ou parabolicas podem ser repre-sentadas atraves do valor esperado de funcionais de solucoes de EDE’sassociadas.

Definicao 17 Uma difusao de Ito (homogenea no tempo) e um processo es-tocastico X = (Xt, t ≥ 0) com valores em R

n que satisfaz a EDE

dXt = a(Xt)dt + b(Xt)dBt, t ≥ s, Xs = x, (19)

onde a e b satisfazem as condicoes do teorema de existencia e unicidade:

|a (t, x) − a(t, y)| + |b (t, x) − b (t, y)| ≤ K |x − y| . (20)

• E possıvel associar a cada difusao de Ito Xt um operador diferencial de2a ordem A, que e o gerador infinitesimal do processo estocastico Xt:

Af (x) := limtց0

E [f (Xt)] − f(x)

t; x ∈ R

n.

O conjunto de funcoes f : Rn → R tais que o limite anterior existe

∀x ∈ Rn e denotado por DA.

Teorema 18 Seja X uma difusao de Ito que satisfaz a EDE (19). Se f ∈C2

0 (Rn) entao f ∈ DA e

Af (x) =∑

i

ai (x)∂f

∂xi

+1

2

∑

i,j

(bbT

)i,j

(x)∂2f

∂xi∂xj

(21)

Demonstracao: ver [8]. Argumentos essenciais: formula de Ito e proprie-dades do integral estocastico.

Exemplo 19 O gerador infinitesimal do movimento Browniano n-dimensional:

Af =1

2∆,

onde ∆ =∑

i∂2f

∂x2

i

e o Laplaciano.

31

6.1 Um problema de Dirichlet

• Seja D ⊂ Rn aberto e conexo (domınio) com fronteira ∂D regular.

• Problema de Dirichlet para f : determinar uma funcao contınua u :D → R, u ∈ C2 (D) , solucao de

Lu + g = 0 em Du = f em ∂D,

onde g e f sao contınuas (em D e ∂D, respectivamente) e L e umoperador elıptico3 da forma

Lf (x) =∑

i

ai (x)∂f

∂xi

+1

2

n∑

i,j=1

mij (x)∂2f

∂xi∂xj

,

onde ai (x) e mij (x) = mji (x) sao funcoes contınuas.

• Ideia: associar o operador L a uma EDE, usando o Teorema (18).Comecamos por tentar encontrar a difusao de Ito X associada a estaEDP, cujo gerador A coincide com L em C2

0 (Rn). Para isso bastadeterminar (se existir) b (x) ∈ R

n×n tal que

(bbT

)(x) = m (x) .

Assumimos que a e b satisfazem a hipotese (20). A difusao X associadaao problema de Dirichlet e a solucao da EDE

dXt = a(Xt)dt + b(Xt)dBt,

X0 = x, x ∈ Rn.

• Denotamos por Ex o valor esperado associado a medida de probabili-

dade P x do processo X com valor inicial x.

3O operador L diz-se elıptico se a matriz simetrica mij (x) = mji (x) e definida positiva∀x ∈ R

n.

32

Figura 7: Representacao de uma trajectoria de Xt em D e o ponto XτD(ω)

associado.

Teorema 20 Defina-se o tempo de paragem

τD := t ≥ 0 : Xt /∈ D .

Suponha-se que f e limitada e que g satisfaz

Ex

[∫ τD

0

|g (Xt)| dt

]< ∞, ∀x ∈ R

n

eτD < ∞ q.c. ∀x ∈ R

n.

Entao, se u e uma solucao limitada do problema de Dirichlet, temos que

u (x) = Ex [f (XτD

)] + Ex

[∫ τD

0

g (Xt) dt

]. (22)

• Esquema da demonstracao

Vamos apenas justificar de forma heurıstica o resultado. Definamos

Mt := u (Xt∧τD) +

∫ t∧τD

0

g (Xs) ds. (23)

33

Na forma diferencial, obtemos

dMt = du (Xt) + g (Xt) dt (24)

se t < τD. Se t ≥ τD, e claro que dMt = 0. Aplicando agora a formulade Ito a u (Xt), obtemos

du (Xt) =∑

i

∂u

∂xi

(Xt) dX it +

1

2

n∑

i,j=1

∂2u

∂xi∂xj

(Xt) dX itdXj

t

=∑

i

∂u

∂xi

(Xt) [a(Xt)dt + b(Xt)dBt] +

1

2

n∑

i,j,k=1

bik(Xt)bkj(Xt)∂2u

∂xi∂xj

(Xt) dt

= Lu (Xt) dt +∑

i

b(Xt)∂u

∂xi

(Xt) dBt.

Substituindo em (24) temos

dMt = [Lu (Xt) + g (Xt)] dt +∑

i

b(Xt)∂u

∂xi

(Xt) dBt.

Como u e, por hipotese, solucao do problema de Dirichlet, [Lu + g] (Xt) =0 e

dMt =∑

i

b(Xt)∂u

∂xi

(Xt) dBt,

pelo que M e uma martingala (aqui haveria que considerar algumasquestoes tecnicas). A partir de (23), obtemos

u (x) = Ex [M0] = E

x [Mt]

E possıvel demonstrar usando o teorema da convergencia monotonae resultados gerais sobre a convergencia de martingalas que quandot → ∞, Mt converge para

M∞ = f (XτD) +

∫ τD

0

g (Xs) ds.

Usando finalmente a igualdade

Ex [M0] = E

x [M∞] ,

obtemos finalmente

u (x) = Ex

[f (XτD

) +

∫ τD

0

g (Xs) ds

].

34

• Demonstracao rigorosa: ver [8].

• A formula (22) e uma representacao estocastica da solucao do problemade Dirichlet considerado.

• Sob condicoes mais restritivas para o operador L (elipticidade uni-forme) e para a funcao g e possıvel provar que a funcao (22) e umasolucao do problema de Dirichlet (existencia de solucao).

Exemplo 21 Problema de Dirichlet:

∆u = 0

em D com condicoes fronteira

u = f em ∂D.

A solucao deste problema admite a representacao estocastica

u (x) = Ex [f (BτD

)] ,

onde B e um movimento Browniano n-dimensional.

6.2 Um problema de Cauchy e a equacao do calor

• Seja X uma difusao de Ito com gerador A.

• Problema de Cauchy para f ∈ C20 (Rn): determinar u ∈ C1,2 em

(0,∞) × Rn solucao de

∂u∂t

= Au em Rn

u (0, x) = f (x) em Rn (25)

• Caso particular: equacao do calor

∂u

∂t=

1

2∆u,

onde u (t, x) representa a temperatura no instante t no ponto x ∈ Rn.

As condicoes iniciais sao

u (0, x) = f (x) em Rn.

35

Figura 8: Ideia grafica da representacao estocastica da solucao da equacaodo calor

Teorema 22 Seja f ∈ C20 (Rn). Entao

1. a funcaou (t, x) = E

x [f (Xt)] . (26)

e solucao do problema de Cauchy (25).

2. se v(t, x) ∈ C1,2 (R × Rn) e uma funcao limitada que satisfaz o pro-

blema de Cauchy, entao v(t, x) = u (t, x), onde u e dada por (26).

Demonstracao: ver [8].

Exemplo 23 Considerando a equacao do calor,

u(x, t) = Ex [f (Bt)] ,

onde B e um movimento Browniano n-dimensional.

36

6.3 A formula de Feynman-Kac

• Vamos agora considerar uma EDP que e uma generalizacao da anterior.Considere-se o seguinte problema de Cauchy para f ∈ C2

0 (Rn) e g ∈C (Rn): determinar uma funcao u ∈ C1,2 em (0,∞) × R

n solucao de

∂u∂t

= Au − gu em Rn

u (0, x) = f (x) em Rn.

(27)

Teorema 24 (Formula de Feynman-Kac) Seja f ∈ C20 (Rn), g ∈ C (Rn) e

assuma-se que g e limitada inferiormente. Entao

1. a funcao

u (t, x) = Ex

[exp

(−

∫ t

0

g (Xs) ds

)f (Xt)

]. (28)

e solucao do problema de Cauchy (27)

2. se v(t, x) ∈ C1,2 (R × Rn) e uma funcao limitada em K × R

n paracada compacto K ⊂ R e se v satisfaz o problema de Cauchy, entaov(t, x) = u (t, x), onde u e dada por (28).

Demonstracao: ver [8].

Exemplo 25 Equacao do calor com dissipacao em R:

∂u

∂t=

1

2∆u − c |x|u.

onde c > 0 e uma constante (−c representa a taxa de dissipacao de calor).Aplicando a formula de Feynman-Kac, obtemos

u(t, x) = Ex

[exp

(−c

∫ t

0

|Bs| ds

)f (Bt)

].

37

7 Solucoes Numericas de Equacoes Diferen-

ciais Estocasticas

• Geralmente, nao e possıvel obter expressoes explıcitas para as solucoesde equacoes diferenciais estocasticas.

• As aproximacoes numericas as solucoes de EDE’s podem classificar-secomo sendo fortes ou fracas.

• Aproximacoes fortes: aproximam-se as trajectorias do processo solucao.

• Aproximacoes fracas: aproximam-se os momentos ou outras quantida-des relacionadas com a distribuicao do processo solucao.

• EDE:

Xt = X0 +

∫ t

0

a (Xs) ds +

∫ t

0

b (Xs) dBs, (29)

com t ∈ [0, T ]. Assumimos que a(x) e b(x) sao Lipschitzianas e queE [X2

0 ] < ∞, de forma a garantir a existencia e unicidade de solucoes.

7.1 As Aproximacoes de Euler

• Particoes πn do intervalo [0, T ]:

πn := t0, t1, t2, . . . , tn ,

onde0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = T.

• Diametro de πn:δn = δ (πn) := max

i=1,...,n∆i,

onde ∆i := ti − ti−1.

• A solucao numerica Xn (aproximacao da solucao exacta X) da EDE(29) e calculada apenas nos pontos da particao πn.

• Os valores de Xnt para t ∈ (ti−1, ti) sao obtidos por interpolacao linear:

Xnt = Xn

ti−1+

t − ti−1

∆i

(Xn

ti− Xn

ti−1

)se ti−1 < t < ti. (30)

38

A partir da EDE (29) e imediato que

Xti = Xti−1+

∫ ti

ti−1

a (Xs) ds +

∫ ti

ti−1

b (Xs) dBs. (31)

• Aproximacoes de 1a ordem para os integrais:

∫ ti

ti−1

a (Xs) ds ≈ a(Xti−1

)∆i

∫ ti

ti−1

b (Xs) dBs ≈ b(Xti−1

)∆iB,

onde ∆iB := Bti −Bti−1e o incremento i do movimento Browniano B.

• Aproximacao de Euler: Xn = (Xnt , t ∈ [0, T ]) tal que

Xn

0 = X0

Xnti

= Xnti−1

+ a(Xn

ti−1

)∆i + b

(Xn

ti−1

)∆iB.

(32)

• Na pratica e util considerar particoes com pontos equidistantes daforma

∆i = δn =T

n∀i = 1, . . . , n.

• Nas Figuras 9-11 comparamos, para varios valores de δn, as apro-ximacoes numericas com solucoes trajectoriais exactas para a EDE

dXt = cXtdt + σXsdBs, (33)

cuja solucao e o movimento Browniano geometrico:

Xt = X0 exp

((c − σ2

2

)t + σBt

).

Valores dos parametros: c = 3/2, σ = 1 e X0 = 1. Quando δn → 0, aaproximacao converge para a solucao exacta.

• Como podemos medir ou quantificar a qualidade da aproximacao numericaXn?

39

Figura 9: Comparacao de uma aproximacao de Euler com a solucao exactapara δn = 1/22.


40


• Se estamos interessados em considerar aproximacoes ”trajectoriais”ouaproximacoes fortes de X (aproximar as trajectorias individuais de Xpelas trajectorias individuais de Xn), uma boa medida para avaliar aqualidade da aproximacao e o ”erro absoluto”medio:

ǫS (δn) := E [|XT − XnT |] . (34)

Definicao 26 Diz-se que Xn e uma solucao numerica forte da EDE (29) se

limδn→0

ǫS (δn) = 0.

• Se estamos apenas interessados em aproximar os valores dos momen-tos de X ou outras quantidades relacionadas com a distribuicao dasolucao da EDE (29), (aproximacoes fracas), a medida para o erro daaproximacao e dada pela ”distancia entre os momentos”:

ǫW (δn) := |E [f (XT )] − E [f (XnT )]| , (35)

onde f e uma funcao polinomial adequada (cuja expressao concretadepende dos momentos que queremos aproximar).

41

Definicao 27 Diz-se que Xn e uma solucao numerica fraca da EDE (29) se

limδn→0

ǫW (δn) = 0.

Definicao 28 Uma aproximacao numerica forte Xn converge fortementepara a solucao X de (29) com ordem de convergencia γ > 0 se existir umaconstante K > 0 e um valor δ0 > 0 tal que

ǫS (δn) ≤ Kδγn ∀δn ≤ δ0.

A aproximacao numerica fraca Xn converge fracamente para a solucao X de(29) com ordem de convergencia γ > 0 se existir uma constante K > 0 e umvalor δ0 > 0 tal que

ǫW (δn) ≤ Kδγn ∀δn ≤ δ0.

Teorema 29 As aproximacoes de Euler convergem fortemente com ordemde convergencia γ = 1

2e convergem fracamente com ordem de convergencia

γ = 1 (com a e b suficientemente regulares).

Demonstracao: Ver [4].

• Para EDE’s com ruıdo aditivo (isto e b (t, x) ≡ b(t)) a ordem de con-vergencia forte do esquema de Euler e γ = 1.

• O esquema de Euler fornece boas aproximacoes quando os coeficientesde deriva e de difusao sao aproximadamente constantes, mas em gerale recomendavel usar esquemas de maior ordem de convergencia.

• No caso das aproximacoes fracas, devido ao criterio de aproximacao(35), temos liberdade para escolher outras variaveis aleatorias maissimples em vez dos incrementos do movimento Browniano ∆iB. Defacto, se estivermos interessados em aproximacoes a alguns momen-tos da solucao (e nao em aproximacoes trajectoriais), basta considerarvariaveis aleatorias em que os momentos de ordem mais baixa coin-cidam com os momentos dos incrementos do movimento Browniano∆iB.

42

7.2 As aproximacoes de Milstein

• Se aplicarmos a formula de Ito aos coeficientes a (Xs) e b (Xs) naequacao (31) obtemos a expansao de Taylor-Ito:

Xi − Xi−1 =∫ ti

ti−1

[a

(Xti−1

)+

∫ s

ti−1

(aa′ +

1

2b2a′′

)dy +

∫ s

ti−1

ba′dBy

]ds

+

∫ ti

ti−1

[b(Xti−1

)+

∫ s

ti−1

(ab′ +

1

2b2b′′

)dy +

∫ s

ti−1

bb′dBy

]dBs

= a(Xti−1

)∆i + b

(Xti−1

)∆iB + Ri,

e o termo de resto e

Ri =

∫ ti

ti−1

[∫ s

ti−1

(aa′ +

1

2b2a′′

)dy +

∫ s

ti−1

ba′dBy

]ds

+

∫ ti

ti−1

[∫ s

ti−1

(ab′ +

1

2b2b′′

)dy +

∫ s

ti−1

bb′dBy

]dBs.

• Podemos reescrever Ri na forma

Ri = R(1)i + R

(2)i =

∫ ti

ti−1

[∫ s

ti−1

bb′dBy

]dBs + R

(2)i

e considerar a aproximacao

R(1)i ≈ b

(Xn

ti−1

)b′

(Xn

ti−1

)∫ ti

ti−1

[∫ s

ti−1

dBy

]dBs. (36)

• Para calcular∫ ti

ti−1

[∫ s

ti−1

dBy

]dBs utilizaremos alguns argumentos heurısticos.

O tratamento rigoroso destes integrais multiplos e delicado (ver [4]). Deforma heurıstica, temos que:

(∆iB)2 =

∫ ti

ti−1

(∫ ti

ti−1

dBy

)dBs

e ∫ ti

ti−1

(∫ ti

ti−1

dBy

)dBs =

∫ ti

ti−1

(∫ s

ti−1

dBy

)dBs

+

∫ ti

ti−1

(∫ ti

s

dBy

)dBs +

∫ ti

ti−1

(dBs)2

= 2

∫ ti

ti−1

(∫ s

ti−1

dBy

)dBs + ∆i.

43

• Substituindo em (36), obtemos

R(1)i ≈ 1

2b(Xn

ti−1

)b′

(Xn

ti−1

) [(∆iB)2 − ∆i

].

Assumindo hipoteses de regularidade sobre os coeficientes a e b e posıvelprovar que o termo R

(2)i e um infinitesimo em ∆i de ordem superior a

R(1)i e portanto desprezar R

(2)i (ver [4]).

• Chegamos portanto ao seguinte esquema de aproximacoes:

Xn0 = X0

Xnti

= Xnti−1

+ a(Xn

ti−1

)∆i + b

(Xn

ti−1

)∆iB

+12b(Xn

ti−1

)b′

(Xn

ti−1

) [(∆iB)2 − ∆i

].

Este e o esquema de aproximacoes de Milstein.

Teorema 30 Se a(x) e diferenciavel e b(x) e duas vezes diferenciavel, entaoas aproximacoes de Milstein convergem fortemente com ordem de convergenciaγ = 1.

Uma demonstracao deste resultado pode ser encontrada em [4].

• Na Figura 12, apresentamos os valores estimados para o logaritmo doerro absoluto medio, no caso das aproximacoes de Euler e de Milsteinpara a EDE (33), considerando a simulacao de N = 100 trajectorias,com c = 1, σ = 1, X0 = 1 e T = 1.

• A estimativa para o erro absoluto medio e dada pela formula

ǫS (δn) =

∑N

k=1

∣∣XT,k − XnT,k

∣∣N

.

Os valores de δn considerados foram δn = 1/24, 1/25, 1/26, . . . , 1/214.

• E evidente a partir da figura que os dados se ajustam as rectas

log (ǫE,S (δn)) = K1 +1

2log (δn) ,

log (ǫM,S (δn)) = K2 + log (δn) ,

no caso de Euler e de Milstein, respectivamente, pelo que temos

ǫE,S (δn) ≈ K1

√δn

ǫM,S (δn) ≈ K2δn,

o que confirma os resultados sobre convergencia enunciados.

44

Figura 12: Comparacao dos erros absolutos medios para os esquemas deEuler e de Milstein.

• A ordem de convergencia das aproximacoes de Milstein pode ser melho-rada se aplicarmos a formula de Ito novamente as funcoes integrandasque aparecem no termo de resto R

(2)i da expansao de Taylor-Ito. Os

termos que surgem na expansao de Taylor-Ito envolvem integrais es-tocasticos multiplos e o seu tratamento e delicado (ver [4]).

Exemplo 31 Sistema de EDE’s nao lineares.

Brusselator:

dX =(α − 1)X + αX2 + (X + 1)2Y

dt + σX (1 + X) dB

dY =−αX − αX2 − (X + 1)2Y

dt − σX (1 + X) dB.

Para o Brusselator determinıstico (σ = 0), (0,0) e globalmente assimptotica-mente estavel para α < 2 mas perde a estabilidade em α = 2 atraves de umabifurcacao de Hopf dando lugar a um ciclo limite para α > 2, cujo perıodo eamplitude e proporcional a

√α − 2.

Na Figura 13 representa-se uma trajectoria que ilustra a estabilidade daorigem para o Brusselator estocastico se α = 1.8, enquanto na Figura 14representa-se um ”ciclo lımite estocastico”para este sistema com α = 2.5.As trajectoria representadas foram obtidas pelo esquema de Milstein com

45

δn = 1/29 e com os parametros seguintes: σ = 0.1, X0 = −0.5, (X0 = −0.1para o ciclo limite ), Y0 = 0 e T = 100.

No caso estocastico, as simulacoes numericas sugerem que continua aexistir, do ponto de vista fenomenologico, uma bifurcacao de Hopf (agoraestocastica), que surge numa vizinhanca de α = 2, sendo que o valor crıticodepende da intensidade do ruıdo σ (ver [5]).

Os resultados numericos sugerem tambem que a origem perde a esta-bilidade para valores maiores de α, quando comparados com o caso deter-minıstico, o que significa que a presenca de ruıdo ajuda a ”estabilizar o sis-tema”.

Por outro lado, a amplitude media das oscilacoes dos ciclos limite es-tocasticos parece diminuir a medida que aumenta o ruıdo (σ) e segue aformula:

Am ∼√

α − α (σ) ,

onde α (σ) > 2 e o ponto crıtico da ”bifurcacao de Hopf estocastica”(quedepende da intensidade do nıvel de ruıdo σ).

Figura 13: Estabilidade da origem para o Brusselator estocastico com α = 1.8

46

Figura 14: Um ciclo limite para o brusselator estocastico com α = 2.5.

Referencias

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[2] Robert Jarrow and P. Protter, A short history of stochastic integrationand mathematical finance: the early years, 1880–1970, in The HermanRubin Festschrift, IMS Lecture Notes 45, 2004, pp. 75–91.

[3] I. Karatzas and S. E. Shreve (1991), Brownian Motion and StochasticCalculus, 2nd edition, Springer.

[4] P. E. Kloeden and E. Platen (1992), Numerical Solution of StochasticDifferential Equations, Springer.

[5] P. E. Kloeden, E. Platen and H. Schurz (1994), Numerical solution ofSDEs through computer experiments, Springer.

[6] Paul-Andre Meyer, Les processus stochastiques de 1950 a nos jours,In Development of mathematics 1950-2000, pages 813-848. Birkhauser,Basel, 2000.

47

[7] T. Mikosch (1998), Elementary Stochastic Calculus with Finance inView, World Scientific Pub.

[8] B. Oksendal (1998), Stochastic Differential Equations, Springer.

[9] P. Protter (1990), Stochastic Integration and Differential Equations,Springer.

[10] D. Revuz and M. Yor (1999), Continuous martingales and Brownianmotion, Third Edition, Springer.

48

edes

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