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www.dca.ufrn.br/~lmarcos/courses/visao

Visão ComputacionalGeometria de Transformações

Luiz M. G. Gonçalves

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Transformações

Vetores, bases e matrizesTranslação, rotação e escalaCoordenadas homogêneasRotações e translações 3D

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Vetor

Entidade Física Exemplos:

Entidade Geométrica Exemplos:

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Vetores

Noção da Física: comprimento, direção, sentido

Exemplos: velocidade, força, deslocamento

Representação matemática: Enuplas ordenadas v = (v1,v2,…,vn)

v

u

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Vetores Soma, subtração e multiplicação p/

escalar Produto escalar: u.v = u1v1+u2v2+…

+unvn

Produto vetorial: Norma: ||v ||= (v1

2+v22+…+vn

2)1/2

Unitário: ||v ||= 1 Ângulo: (u,v) = acos-1[(u.v) / (||u|| ||v)] Ortogonalidade: u.v = 0 ((u,v)=90o)

v

u

0

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Uso de transformações

Construir modelos complexos a partir de componentes simples

Transformar coordenadas de câmera em mundo, objeto e imagem e vice-versa

Analisar efeitos de transformações rígidas e não rígidas em objetos

xo

zoyo

yc

xc

zc

xwzw

yw

yimxim

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Uso de transformações

Animação Variar transformações no tempo para

criar movimento

xo

zoyo

yc

xc

zc

xwzw

yw

yimxim

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Cinemática

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Combinação linearDados dois vetores v1 e v2,ande uma

distância qualquer na direção de v1 e então ande outra distância na direção de v2

O conjunto de todos os lugares (vetores, pontos) que podem ser atingidos é dado pelas combinações lineares possíveis entre v1 e v2

Um conjunto de vetores é dito linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros

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Combinação linear

V = k1V1+k2V2

v1

v2

k1V1

k2V2

V = k1V1+k2V2

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Independência Linear

Um conjunto de vetores é dito linearmente independente se nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros

Exemplo de 3 vetores LI: e1 = (1,0,0)

e2 = (0,1,0)

e3 = (0,0,1)

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Bases vetoriaisUma base vetorial é um conjunto de

vetores linearmente independentes entre si, cuja combinação linear leva a qualquer lugar dentro do espaço, isto é, varre o espaço.

Para varrer um espaço n-dimensional, são necessários n vetores

Se a base é normalizada e os vetores mutu-amente ortogonais, ela é dita ser ortonormal

Obviamente, há muito mais que uma base possível para um dado espaço vetorial.

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Representação de vetores

Todo vetor tem uma representação única numa dada base Os multiplicadores pelos vetores da base são

chamados de componentes ou coordenadas Mudando a base, muda os componentes,

mas não o vetor

V= v1E1+v2E2+...+vnEn

Os vetores E1, E2, ..., En são a base

Os escalares v1, v2 , ..., vn são os componentes de v com respeito à base.

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Transformação Linear e AfimUma função (ou mapeamento ou

ainda transformação) F é linear se, para todos os vetores v1 e v2 e todos escalares k:

F(V1+V2) = F(V1) + F(V2)

F(kV1) = kF(V1)Qualquer mapeamento linear é

completamente especificado pelo seu efeito numa base vetorial

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Efeito na base

v = v1E1+ v2E2+ v3E3

F(v) = F(v1E1+v2E2+v3E3)=

= F(v1E1)+F(v2E2)+F(v3E3)= = v1F(E1) + v2F(E2)+v3F(E3)

Uma função F é afim se ela é linear mais uma translação Então a função y = mX+b não é linear,

mas é afim

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Transformando um vetor (f11v1+f12v2 +f13v3)E1+(f21v1+f22v2+f23v3)E2+(f31v1+f32v2+f33v3)E3

As coordenadas do vetor da base transformado (em termos dos vetores da base original):

F(E1) = f11E1 +f21E2+f31E3

F(E2) = f12E1 +f22E2+f32E3

F(E3) = f13E1 +f23E2+f33E3

O vetor geral V transformado torna-se:F(V) = v1F(E1) + v2F(E2)+v3F(E3) =v1(f11E1+f21E2+f31E3)+v2(f12E1+f22E2+f32E3)+v3(f13E1+f23E2+f33

E3)=(f11v1+f12v2 +f13v3)E1+(f21v1+f22v2+f23v3)E2+

(f31v1+f32v2+f33v3)E3

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Transformando um vetor

Suas coordenadas ainda em referência a E tornam-se:

v1´= f11v1 +f12v2+f13v3

v2´= f21v1+f22v2+f23v3

v3´= f31v1+f32v2+f33v3

Ou simplesmentevi = fijvj

que é a fórmula de multiplicação matricial

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Multiplicação de matrizes!

Uma matriz F de dimensões nxn representa uma função linear em n dimensões A i-ésima coluna mostra o que a função

faz ao vetor de base correspondenteTransformação é uma combinação

linear das colunas de F Primeiro componente do vetor de

entrada escala a primeira coluna da matriz

acumula no vetor de saída repete para cada coluna e componente

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Exemplo: ACHANDO A MATRIZ

F:R2->R2: (x, y) -> (2x, 3y)E1 = (1,0), E2 = (0,1)

F(E1) = (2, 0)

F(E2) =(0,3)

Em forma matricial: 2 0 X 0 3 YF:R2->R2: (x, y) -> (2x+y, 3y+x)

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Multiplicação matricial

Usualmente calcula-se de modo diferente faça o produto interno da coluna i da

matriz com o vetor de entrada para conseguir componente i do vetor de saída:

v1´ f11 f12 f13 v1

v2´ = f21 f22 f23 v2

v3´ f31 f32 f33 v3

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Translação

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Rotação

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Matriz de rotação possui vetores unitários

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Representação da rotação

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Rotação em torno de Z

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Exemplo de rotação

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Relações espaciais

Representação em relação a um frame (sistema de coordenadas)

P (X,Y,Z)

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Orientação

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Orientação

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Matriz de orientação

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Propriedade elementar (unitária)

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Transformações Homogêneas

Juntando posição e orientação

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Juntando orientação e posição

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Coordenadas Homogêneas

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Juntar rotação e translação

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Coordenadas homogêneas

Translação não é linear. Como representar em forma de matriz? Adiciona uma coordenada extra a cada vetor

x´ 1 0 0 tx xy´ = 0 1 0 ty yz´ 0 0 1 tz z1 0 0 0 1 1

Coordenada extra é chamada de homogênea (ou w)

Transformação denominada homogênea

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Transformação Homogênea

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Transformações Homogêneas 3D

São muito similar ao 2DCoordenadas homogêneas requerem

matrizes 4x4Matrizes de translação e escala são:

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Representação da rotaçãoRepresentação da rotaçao é mais complexa

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Rotação 3D

Rotação é um pouco mais complicado

Sistema de coordenadas de mão direita ou esquerda afeta direção de rotação

Sistema de mão direita

Sistema de mão esquerda

x

y

z

x

y z

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Produto Cruzado (Vetorial)

Eixo Z é determinado a partir dos eixos X e Y pelo produto vetorial

Produto vetorial segue regra da mão direita em um sistema de mão direita e regra da mão esquerda em um sistema de mão esquerda

Estaremos trabalhando quase sempre com sistema de mão direita

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Matriz dual

Se v = (x,y,z) é um vetor, a matriz v*=é denominada matriz dual de v

Produto vetorial: v x a = v* a Ajuda a definir rotações em torno de eixo

arbitrário Velociade angular e matriz dual vezes

derivadas Interpretação geométrica de v* a:

Projeta a num plano normal a v Rotaciona de 90º em torno de v Vetor resultante é perpendicular a v e a a

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Ângulos de Euler para rotações 3D

Ângulos de Euler: 3 rotações em torno de cada eixo, porém: Interpolação de ângulos para animação

produz movimentos bizarros Rotações dependem da ordem, e não

existem convenções para que ordem usar

Usado amplamente, devido à simplicidade

Conhecidos como row, pitch, yaw

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Roll (x), Pitch (y), Yaw (z)

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Rotação em torno de cada eixo

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Generalização da Rotação

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Rotação arbitrária

Dado um eixo ou direção (x,y,z) e um ângulo , a matriz de rotação fica:

X

Y

Z

(x,y,z)

(Px’,Py’,Pz’)

(Px,Py,Pz)

-

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Exemplo de rotação + translação

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Exemplo: continuação

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Problema da comutatividade

Translação seguida de rotação é diferente de rotação seguida de translação

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Transformações em cadeia

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Seqüência de transformações

Mesmo conjunto aplicado a vários pontos

Calcular e combinar matrizes é rápido

Reduzir a seqüência numa única matriz

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Colapsando transformações

Considere a seqüência p’=ABCDpMultiplicação não é comutativa (ordem)Multiplicação é associativa

Da esquerda para a direita (pré-multiplicação)

Direita para a esquerda (pós-multiplicação)ABCD = (((AB)C)D) = (A(B(CD)))Troque cada matriz pelo produto do par

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Colapsando transformações

Mesmo resultado:

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Convenção vetor-coluna

Transformação por matriz x vetor

A(B(C(D(x)))) = produto matriz-vetor dado pela seqüência ABCDx

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Convenção vetor-linha

Transformação por vetor x matriz

Todas as matrizes devem ser transpostas

Seqüência ABCDx transposta é xtDtCtBtAt

OpenGL usa esta regra

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Invertendo a transf. homogênea

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