www.graduo.ro 36872 36872 metoda elementului finit

Upload: laura-stoicescu

Post on 07-Aug-2018

241 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    1/189

    Metoda elementului finit(MEF)

    IstoricPrincipii de baza- Elemente finite- Noduri

    - Grade de libertate

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    2/189

    "Although the finite elementmethod can make a good engineer

    better, it can make a poorengineer more dangerous..... Onecan now make mistakes with moreconfidence than ever before.

    In timp ce metodaelementului finit poate face caun inginer bun sa devina maibun, ea poate face ca uninginer slab sa devina mai

    periculos Se pot face greelicu mai mult ncredere dectpnacum.

    R. Cook

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    3/189

    Definitie Metoda elementelor finite (MEF) este o metod

    general de rezolvareaproximativaproximativ a ecuaiilor

    difereniale cu derivate pariale care descriu sau nufenomene fizice.

    MEF a devinit unul dintre cele mai puternice

    instrumente in rezolvarea problemelor ingineresti.

    Principial MEF constn descompunerea domeniului de analizn poriuni de

    form geometric simpl, analiza acestorai recompunerea domeniului respectnd anumite cerine

    matematice.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    4/189

    Domeniu de aplicare Din punct de vedere al domeniilor de aplicaie

    metoda poate fi extins

    n orice domeniu deactivitate care descrie un fenomen cuajutorul unor ecuaii difereniale.

    Pann prezent metoda s-a dezvoltat n moddeosebit n domenii ca: analiza structural; analiza termic; analiza fluidelor; analiza electric; analiza magnetic,

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    5/189

    Precursori FEA Hrennikoff, A. P.,

    1940. Plane stressand bending ofplates by method

    of articulatedframework. Tezade doctorat, MIT,

    Boston. Analogia de grinda

    cu zabrele

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    6/189

    Analogia Hrennikoff imparte spatiul continuu in puncte legate prin

    intermediul unor zabrele. Caracteristicile geometricesunt calculate impunand conditia ca deplasarile nodurilorgrinzii cu zabrele sa fie identice cele ale cu corpuluicontinuu (nodurile de colt).

    Au fost studiate elemente spatiale de tip: cub si de

    suprafata: triungni echilateral, dreptunghi si patrat.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    7/189

    Precursori FEA Arhimede (circa 250

    B.C.) determinanumarul prinmodelarea unui cerc

    printr-un poligonregulat inscris.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    8/189

    Precursori FEA Euler a impartit

    intervalul dedefinitie a uneifunctii uni-

    dimensionale inintervale finite pecare variatia este

    presupusa liniara,definite prinvalorile la capete

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    9/189

    Precursori FEA 1942 - Richard

    Courant (NYU)studiaz rsucirea- problema Saint

    Venant, prindiscretizare cutriunghiuri

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    10/189

    1950-1962 Pionierii 1953 1959 se formuleaz i

    definitiveaz metoda deplasrilor ctre

    de M.J. Turner (seful diviziei StructuralDynamics Unit Boeing). Turner, M. J., Clough, R. W., Martin, H. C., Topp, L. J., 1956.

    Stiffness and deflection analysis of complex structures. Journal ofthe Aeronautical Sciences, vol. 23, No. 9, pp. 805823, 854.

    1955 John H. Argyris sistematizeazaconceptul de asamblare a componentelorelementelor a unei structuri intr-unsistem de ecuatii.

    1960 Primul care foloseste termenul deelement finit este Raymond W. Clough(UC Berkeley)

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    11/189

    1962-1970 Anii de aur Fraeijs de Veubeke (1965) -

    Displacement and equilibriummodels in the finite elementmethod

    O.C. ZIENKIEWICZ (with Y.K.CHEUNG), (1967) The FiniteElement Method in Continuumand Structural Mechanics,McGraw Hill, 272 pp

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    12/189

    Strang G., Fix G.

    (1973) AnAnalysis of theFinite Element

    Method

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    13/189

    Programe FEA 1965 1972 MacNeal-Schwendler

    (MSC Software)+NASA NASTRAN (NASA StructuralAnalysis

    System)

    1965 SAMCEF (Liege University)

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    14/189

    Consolidarea 1970-1980 Oden T., (1972)

    Finite elementsnonliniar continua

    Coduri comericialeFEM 1970 ANSYS 1973 SAP4

    1975 ADINA 1978 ABAQUS 1985 COSMOS-M

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    15/189

    Perioada actuala Elementele trebuie sa raspunda

    cerintelor DSM, tinand cont camajoritatea programelor de calcul sebazeaza pe metoda deplasarilor

    Pastrarea de elemente simple, dar

    care sa ofere o suficienta acuratete,chiar si in cazul unui mesh rar -highperformance elements (1989)

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    16/189

    Cunotine necesare - Programator MEF are un caracter pluridisciplinar.

    Implementarea unor programe cu elemente finitepentru anumite tipuri de probleme sau chiar a unuiprogram general de calcul n domeniul ingineriei, cuprecdere pentru calcule ale structurilor de

    rezisten, impune stpanirea diciplinelor

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    17/189

    Cunotine necesare - Utilizator Un utilizator student este pus n

    situaia rezolvrii unei anumiteproblemei nu n a implementa unprogram cu elemente finite pentrurezolvarea ei, de aceea utilizatorultrebuie s afle dac problema se

    preteaz rezolvrii cu MEF i sfoloseasc un program adecvatproblemei respective.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    18/189

    Trebuie s menionm de la nceput

    c programul de calcul folosit pentruanaliza problemei nu rezolvstructura real, ci doar un MODEL alei pe care n general l faceutilizatorul.

    STRUCTURA DE CALCUL -> MODEL -> ANALIZcu MEF

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    19/189

    Modelarea Rezultatele pot fi confirmate sau nu, funcie de cum a

    fost ales modelul de calcul.

    Modelarea este o activitate de simplificare a structuriiprin ncadrarea diverselor poriuni ale structurii ncategoria barelor, plcilor, blocurilor, prinsimplificarea incrcrilori a rezemrilor etc.

    Modelarea corect (ct mai aproape de realitate) ine

    de cunoaterea bazelor teoretice ale metodeii deexperien, inspiraie. De regul un model se dezvoltfuncie de scopul analizei.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    20/189

    Odat stabilit modelul de calcul, se

    impune pregtirea datelor de intrarepentru rezolvarea problemei. Fiecareprogram cu elemente finite prezintparticularitti care trebuie invatedar exist o serie de reguli de baz

    ale metodei care odat stpanitepermite abordarea oricrui programcu elemente finite.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    21/189

    Indiferent de metoda abordat, analiza unei structurireale prezint cteva etape eseniale:

    structura real se identific, prin folosirea unoripoteze simplificatoare, cu un model fizic primar,numit model conceptual;

    modelul primar servete la formularea unui modelmatematic, adic la un set de ecuaii care urmeaz afi rezolvate;

    rezultatele obinute sunt interpretatei dac existmotive ntemeiate acestea pot fi validate.

    Astfel seria celor dou modele conceptual imatematic pot fi folositei pentru alte problemesimilare.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    22/189

    Concepte de bazn MEF -

    introducere Un domeniu solid oarecare, considerat plan numai din

    considerente de prezentare este raportat la un sistem de

    referin cartezian XOY, este ncrcat cu o for F incastrat pe conturul din stnga. Fiecare punct aldomeniului prezint o deplasare pe direcia OX, notatu(X,Y) i una pe direcia OY, v(X,Y).

    Domeniul prezentat poate fi identificat cu un model de

    calcul conceptual, totui n continuare acesta se va numistructur.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    23/189

    Descrierea problemei Problema prezentat reprezint practic o bar de

    seciune variabiln consolncrcatn captul liber

    pentru care se caut soluia, adic de exemplusgeatai tensiunea echivalent maxim. Din punct de vedere matematic, n teoria elasticitii,

    problema prezentat este descris de un set deecuaii difereniale cu derivate parialei de anumitecondiii la limit.

    Pentru anumite cazuri particulare, adic formegeometrice simple i ncrcri bine alese, exist soluiianalitice pentru expresiile cmpului deplasrilori altensiunilor. n general problema nu se poate rezolvape cale analitic.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    24/189

    MEF Se menioneaz c o rezolvare analitic prezint

    soluii pentru o infinitate de puncte din domeniul deanaliz. Se spune c domeniul de analiz reprezint ostructur continu.

    O alternativ de a rezolva astfel de probleme o

    constituie metoda elementelor finite (MEF).

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    25/189

    Elemente finite Pentru a rezolva problema cu MEF, domeniul de analiz

    (sau volumul structurii) notat V, se mparte ntr-un

    numr NE de subdomenii sau fragmente (poriuni deform geometric relativ simpl, fiecare de volum Ve)numiteelemente finite. Deoarece elementele finite nuse intersecteazntre ele se poate scrie c

    Fiecare element finit se numeroteaz (este identificatprintr-un numr), de obicei de la 1 la numrul total de

    elemente finite NE. Raportarea la un element oarecare se face de obicei

    printr-un indice superior (e pentru un elementoarecare).

    NEe

    e 1

    V V=

    =

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    26/189

    Noduri Elementele finite se pun n eviden (geometric) prin

    intermediul unor puncte, de exemplu colurile

    triunghiului, dac elementul finit are forma unui triunghi. Aceste puncte poart denumirea de noduri. Elementelefinite "se leag" (interacioneaz) ntre ele prinintermediul nodurilor comune, astfel cn domeniul deanaliz exist un numr finit de noduri.

    Similar elementelor, nodurile se numeroteaz, de obicei,de la 1 la numrul total de noduri NN.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    27/189

    Discretizare Operaia de mprire a unui domeniu n nodurii

    elemente finite de un singur tip sau chiar mai multetipuri, precumi numerotarea acestora, adicatribuirea unor numere de identificare, poartdenumirea de discretizare.

    Discretizarea nu este unic, n general ea serealizeaz astfel nct s rspund unor cerinepractice.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    28/189

    Grade de libertate Pentru exemplul prezentat, fiecare nod din domeniul de

    analiz are o deplasare posibil pe orizontal-axa OX i

    una pe vertical-axa OY, se poate spune c exist doiparametri independeni care definesc unic deplasareaunui nod n plan.

    Aceti parametri poart denumirea degrade delibertate ataate nodului. De obicei, gradele de libertate

    ale tuturor nodurilor definite reprezint necunoscuteleprimare ale problemei n MEF, n exemplul de fa,gradele de libertate nodate UX i UY definesc deplasarea"posibil" a unui nod oarecare.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    29/189

    Dimensiunea problemei Pentru unele noduri (1, 2, 3 i 4 din ncastrare),

    deplasrile sunt nule, deci n aceste puncte gradele

    de libertate se definesc "potenial", ele nureprezint necunoscute.

    Numrul total de grade de libertate al problemei Nse obine prin nsumarea gradelor de libertateactive ale tuturor nodurilor.

    Prin grade de libertate active se neleg acele gradede libertate care definesc o deplasare necunoscut.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    30/189

    Necunoscutele problemei /

    Formularea modelului matematic Din cele prezentate mai sus rezult c un

    domeniu continuu cu un numr infinit degrade de libertate este transpus ntr-unmodel discret cu N grade de libertate, decinecunoscutele problemei se limiteaz

    funcie de discretizare. Deoarece analiza cu elemente finite este

    dependent de implementarea unor

    programe de calcul, mrimile cu careaceasta lucreaz sunt de regul vectoriimatrice.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    31/189

    Pentru toat structura se definete

    vectorul deplasrilor nodale totale saual structurii

    ivectorul forelor nodale exterioare{ } {

    T

    x ,1 y ,1 x ,2 y ,2 x ,N y ,NU U U U U .... U U =

    { } { Tx ,1 y ,1 x ,2 y ,2 x ,N y ,NF F F F F .... F F=

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    32/189

    Se consider un

    element oarecare edin discretizareaprecedent pentru

    care cele treinoduri se noteazcu I, J i K.

    d l l / f l

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    33/189

    Vectori deplasarilor / fortelor

    nodale ale elementului Se definetevectorul deplasrilor nodale al

    elementului, de fapt al tipului de element finit

    triunghiular

    care, din condiii de continuitate, este un subset al

    vectorului definit de relaia (1), ivectorulforelor nodale al elementului

    ntre care se poate obine relaia matriceal

    { { T

    e

    x ,I y ,I x ,J y ,J x ,K y ,KU U U U U U U =

    { } { }T

    e e e e e e e

    x ,I y ,I x ,J y ,J x ,K y ,KF F F F F F F=

    { { }{ }e e eF K U , e 1,2,..., NE ,...= =

    M t i d i idit t l t l i

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    34/189

    Matricea de rigiditate a elementului

    finit

    similar relaiei de echilibru a unui sistem elastic(arc) cu un grad de libertate F=kx.

    Matricea ptratic [Ke] poart denumirea dematricea de rigiditate a elementului finit.

    Aceasta se poate determina pentru fiecare elementfinit folosind ecuaiile fundamentale din teoria

    elasticitii, pentru moment se neglijeaz modul ncare ea se poate obine.

    { { {e e eF K U , e 1,2,..., NE ,...= =

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    35/189

    Dac se izoleaz unnod oarecare n dinmodelul cu elementefinite pentru careexist Ncelemente

    concurente, atuncifiecare element finitacioneaz cu o for

    n acel nod i din

    motive de echilibrusuma tuturor forelortrebuie s fie zero.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    36/189

    Atunci cnd n nodul izolat acioneaz i

    fore exterioare acestea trebuie incluseiechilibrul nodului n se scrie:

    Nc Nci i

    x ,n x ,n y ,n y ,n

    i 1 i 1F F F F n 1,2,..., NN .

    = =

    = = =

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    37/189

    Dac seine seama de cele 2 *NN ecuaiii

    n expresiile sumelor se introduc foreleobinute din relaiile se obine o relaiematriceal de forma:

    Nc

    ix ,n x ,n

    i 1

    Nci

    y ,n y ,n

    i 1

    F F

    n 1,2,...,NN .

    F F

    =

    =

    =

    =

    =

    { } { }{e e eF K U , e 1,2,..., NE,...= ={F K U

    =

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    38/189

    Asamblarea

    n care [K] este numit matricea de rigiditateglobala structurii.

    Aceast operaie de obinere a matricei de

    rigiditate globale din matricele de rigiditate aelementelor poart denumirea de asamblareamatricei de rigiditate globali se prezint sugestiv

    n schema

    { { {F K U=

    { { { {ASAMBLAREe e e i 1,2 ,....,NEK U F F K U== =

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    39/189

    Dimensiunea matricei de rigiditate [K] este

    2NN x 2NN i de obicei aceasta rezultsingular, deci din ecuaia nu sepot obine direct deplasrile necunoscute.

    { { }{ }K U=

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    40/189

    Dacns se ineseama de condiiile

    la limit, adic pentru

    unele noduri secunosc deplasrile

    iar pentru alteleforele exterioareaplicatei

    gradele de libertatese clasificn douseturi.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    41/189

    -a: deplasri cunoscute (de cele mai multe

    ori nule) i fore exterioare reaciuninecunoscutei -b: deplasri necunoscutei fore

    exterioare aplicate cunoscute, ecuaiile sepot partiiona (rearanja) n raport cuacestea astfel:

    [ ] [ ][ ] [ ]

    {{ }

    {{ }

    a aaa ab

    b bba bb

    U FK K

    U FK K =

    { { {F K U=

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    42/189

    Din a doua ecuaie matriceal rezult

    deplasrile necunoscute

    iar apoi din prima ecuaie rezult forelenecunoscute (reaciuni)

    { } [ ] { } [ ] { }( )1

    b b abb baU K F K U = +

    { } [ ] { } [ ] { }a a baa abF K U K U= +

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    43/189

    Deplasarea nodului 27 pe direcia OY

    reprezint practic sgeata maxim agrinzii. Din formularea complet a MEF,folosind deplasrile nodale, se pot obinei

    tensiunile n elemente. Aceste aspecte nsse prezintn ale capitole.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    44/189

    Cunoscnd cmpul deplasrilor n cele NN

    noduri se poate reprezenta, scalat pentru ovizualizare convenabil, configuraiadeformatei structurii

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    45/189

    Dacns matricile de rigiditate ale elementelor nuau fost "adecvat" calculate, avnd n vedere c

    elementele sunt legate ntre ele numai n noduri, eposibil uneori ca deformata s arate eronat, adics apar goluri sau suprapuneri ntre laturileelementelor finite adiacente (nu este ndeplinitcondiia de continuitate ntre laturile comuneelementelor finite).

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    46/189

    Rezult c modul n care sunt

    proiectate elementele finite estefoarte important i practic soluiaunor probleme depinde esenial de

    formularea elementelor finite caretrebuie s satisfac unele cerine

    fundamentale pentru a putea fiincluse ncategoria elementelorfinite dintr-un program.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    47/189

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    48/189

    Metoda elementului finit(MEF)

    ElementeElementeintroductiveintroductive

    DiscretizareaDiscretizarea

    TipuriTipuridede elementeelementefinitefinite

    MetodaMetodadeplasarilordeplasarilor

    MatriceMatrice

    dede

    rigiditaterigiditate

    elementelement

    dubludublu

    articulatarticulat

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    49/189

    Cunoscnd cmpul deplasrilor n celeNN

    noduri se poate reprezenta, scalat pentru ovizualizare convenabil, configuraiadeformatei structurii

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    50/189

    Dacns matricile de rigiditate ale elementelor nuau fost "adecvat" calculate, avnd n vedere c

    elementele sunt legate ntre ele numai n noduri, eposibil uneori ca deformata s arate eronat, adics apar goluri sau suprapuneri ntre laturileelementelor finite adiacente (nu este ndeplinitcondiia de continuitate ntre laturile comuneelementelor finite).

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    51/189

    Rezult c modul n care sunt proiectate

    elementele finite este foarte important ipractic soluia unor probleme depindeesenial de formularea elementelor finite

    care trebuie s satisfac unele cerinefundamentale pentru a putea fi incluse ncategoria elementelor finite dintr-un

    program.

    Discretizarea

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    52/189

    tipuri de elemente finiteSe pune problema discutrii aspectelor MEF

    din punctul de vedere al utilizatorului. S-a menionat cursul anterior c MEF

    consider modelul de calcul format dintr-o

    sum de poriuni numite elemente finitelegate ntre ele punctual n noduri. Este clar c o structur (un domeniu) poate

    fi impritn diverse moduri, cu mai multesau mai puine noduri i elemente finite.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    53/189

    Elemente finite MEF a dezvoltat o serie de tipuri de

    elemente finite care din punct de vedere alformei pot fi clasificate n:

    elemente finite unidimensionale(reprezentnd bare, grinzi, tirani)

    elemente finite bidimensionale(reprezentnd plci, nveliuri)

    elemente finite tridimensionale(reprezentnd solidele, blocurile).

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    54/189

    Tipuri de elemente finiteElemente Liniare Parabolice Cubice

    Unidimensionale

    Bidimensionale

    Tridimensionale

    Alte tipuri

    Masa Arc Contact

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    55/189

    Tipuri de elemente finite Din punct de vedere al modului de variaie

    al cmpului necunoscutelor (de exempludeplasrile) n interiorul sau pe conturul lorpot fi clasificate n:

    liniare; parabolice; cubice, etc.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    56/189

    Grade de libertate Dac se consider numrul i felul gradelor

    de libertate pentru un nod, elementele

    finite structurale uzuale 3D pot aveamaxim: 3 grade de libertate translaii i 3 grade de libertate rotaii.

    Uneori gradele de libertate pot ficompletate i cu temperaturi, presiuni,

    viteze sau alte mrimi funcie deformulrile particulare fiecrui tip deelement finit.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    57/189

    Elemente finite Elementele finite sunt definite de puncte

    care nu sunt altceva dect viitoare noduriale structurii.

    Exist elemente de grad superior celorcubice (care sunt mai performante), dar celmai des utilizate sunt elementele liniare i

    parabolice.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    58/189

    Elemente finite Necunoscutele unei probleme sunt alese

    chiar n nodurile elementelor finite, noduri

    mai multe pe element inseamnn generalprecizie mai bun.

    Unele elemente finite au noduri interioare(pe fee sau n interiorul volumelor) pentrua imbunti precizia, dar utilizatorul deregul nu lucreaz cu aceste noduri pentru

    c ele sunt generate i apoi condensate nfaza de calcul a matricelor de rigiditate aleelementelor.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    59/189

    Elemente finite Un exemplu sugestiv al discretizrii poate fi

    considerat o oglind spart i lipit cubuci mici de band adeziv la coluri. Altexemplu ilustrativ ar fi o hain din petececusute doar la colurile petecelor.

    Reuniunea contururilor elementelorgenereazreeaua discretizrii.

    Operaia de discretizare este de obicei

    dirijat de utilizator chiar dac programelede firm permit utilizarea discretizariiautomate pe diverse domenii.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    60/189

    Factori de influen a discretizrii Se poate face o distincie netntre:

    discretizarea structurilor care au unsuport fizic respectiv discretizarea n

    elementele sale componente (structuridin bare); discretizarea corpurilor solide sau fluide

    care este un proces arbitrar, purmatematic.

    Factori care condiioneaz

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    61/189

    discretizarea Tipul elementelor finite

    se aleg funcie de tipul problemei i domeniul de analiz, de precizia dorit, de variaia mrimii necunoscute etc.

    Elementele parabolice sunt preferate elementelorliniare, ntruct la acelai numr de noduri soluia

    discretizrii cu elemente parabolice este maiprecis dect cea cu elemente liniare. Dac existmai multe tipuri de elemente finite la granidintre ele trebuie s se asigure continuitatea;

    Factori care condiioneaz

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    62/189

    discretizarea

    Se observ c la unnumr mai mare deelemente rezultatul se

    apropie ctre soluiaexact dar cretereaexcesiv nu face dect s

    conduc la un volumfoarte mare de calcule ideci s creasc timpul deanaliz.

    Mrimea i numrul elementelor finiteinflueneaz convergena soluiei

    Factori care condiioneaz

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    63/189

    discretizareaPoziionarea nodurilor, care n general se

    face uniform n structur.

    Discontinuitaile n geometrie sau n

    incrcare impun alegerea unor nodurisuplimentare. Trecerea de la o zon cudiscretizare fin la una cu discretizare

    modest se face progresv, nu brusc;

    Factori care condiioneaz

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    64/189

    discretizareaGradul de uniformitate al reelei de

    elemente finite. Se evit folosireaelementelor cu form exageratdistorsionat, adic elemente alungitei/sau elemente care au fee care nu se

    ncadreazntr-un plan. Preferabil ar fi ca discretizarea cu

    triunghiuri s conin numai triunghiuri

    echilaterale, discretizarea cu patrulatere sconin doar ptrate, iar cea spaial cubrickuri s conin elemente cubice etc;

    Factori care condiioneaz

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    65/189

    discretizareaStabilirea zonelor de frontier, pentru

    introducerea corect a condiiilor la limit;

    Numrul maxim de noduri sau

    elemente permis de program.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    66/189

    Metoda deplasrilorMetoda deplasrilors-a dezvoltat nainte de

    metoda elementelor finite i a fost aplicatstructurilor complexe formate din barearticulate i grinzi.

    La nceput metoda elementelor finite s-a

    inspirat din metoda deplasrilor, iar nmomentul de fat aceasta (metodadeplasrilor) poate fi privit ca un caz

    particular al metodei elementelor finite,fiind o metod exact pentru calculul statical structurilor din bare drepte.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    67/189

    Metoda deplasrilor Prezentarea metodei deplasrilor constituie pentru

    utilizatorul care stpnete elementele de baz din

    rezistena materialelor si analiza structurala o maiuoarnelegere a unor noiuni de baz cum ar fimatricea de rigiditate a unui element i asamblareamatricei de rigiditate a structurii.

    (RIGIDITATE) Actiunea (forta/moment) ce cauzeza o deplasare

    unitara (deplasare liniara/rotire) unui element

    1 1

    P Mk k

    = =

    = =

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    68/189

    Metoda deplasrilor Se consider o structur simpl din bare

    articulate n plan, pentru care se prezintmodul de obinere a matricei de rigiditate a elementului n

    coordonate locale i globale,

    modul de asamblare a matricei de rigiditate astucturii,

    impunerea condiiilor la limit i rezolvarea problemei pentru o analiz static

    liniar.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    69/189

    Aplicaie Structura este format dintr-o serie de bare

    articulate n planul xOy, pentru care sepresupun cunoscute elementele geometricei materialul din care acestea suntconfecionate.

    Articulaiile sunt de tip cilindric i nbolurile care asigurmbinarea barelor seaplic o serie de fore exterioare conoscute

    F i 2F precum i o serie de fore delegtur (reaciuni) n articulaia din stngai reazemul simplu din dreapta.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    70/189

    Aplicaie Dac se presupune c nu intereseaz dect

    comportarea celor 5 bare i bolurile seconsider rigide, avem urmatorul modelconceptual

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    71/189

    Aplicaie Structura raportat la sistemul global de

    referinXOY, este format din cinci barearticulate n plan.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    72/189

    Aplicaie Cunoscnd:

    lungimea l, ariile barelor de parametruA,

    modulul de elasticitate longitudinal E, i valoarea parametruluiF care definete forele,

    Se cere s se determine deplasrilenodurilor, reaciunile n reazeme i foreleaxiale (eforturile) n bare.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    73/189

    Aplicaie Nodurile i elementele

    structurii se numeroteaz,

    adic structura sediscretizeaz. Dac se face abstracie de

    ncrcri i rezemri, n

    fiecare nod se pot definiforele care ar putea sacioneze asupra structurii,izolate din eventualele

    legturi cu exteriorul. Similar, fiecare nod poateavea o deplasare n lungulaxeiX iY .

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    74/189

    Aplicaie Se observ c toate mrimile (considerate

    pozitive) s-au figurat n sensul pozitiv alaxelor, pentru a uura implementareametodei deplasrilor ntr-un algoritm uorde programat.

    Forele i deplasrile din, definesc vectorul

    ncrcrilor nodale{F}, respectiv vectoruldeplasrilor nodale{U}, pentru ntreagastructur.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    75/189

    Aplicaie

    { }

    x ,1

    y ,1

    x ,2

    y ,2

    x ,3

    y ,3

    x ,4

    y ,4

    F

    FF

    F

    F F

    F

    F

    F

    =

    { }

    1

    1

    2

    2

    3

    3

    4

    4

    U

    V

    U

    V

    U U

    V

    U

    V

    =

    Legtura dintre ceidoi vectori urmeaza fi realizat prinmatricea derigiditate globala structurii[K], dedimensiune 8x8,care se obine dinmatricele derigiditate aleelementelor.

    Matricea de rigiditate a elementului

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    76/189

    bar articulat 2D Pentru a obine matricea de rigiditate a unui

    element oarecare de bar articulatn plan,

    se consider o bar oarecaree cu nodurile lacapeteIiJ care face un unghi ecu axasistemului global de referinOX (SRG).

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    77/189

    Sistem de coordonate local Deoarece este mult mai comod a se lucra

    iniial n coordonate locale, elementului i se

    definetesistemul propriu de referin(SRL), adic sistemul de axe xoy, n careaxaoxeste axa barei.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    78/189

    Element dublu-articulat Pentru acest element se consider c: seciunea lui este constant de valoareAe, bara este dintr-un singur material, cumodulul de elasticitate longitudinal Ee, lungimea elementului esteLe,

    forele preluate de element sunt numaiforele axiale (notate Ne), adic elementulface parte dintr-o structurn carelegturile dintre bare sunt articulaii plane

    perfecte (two forces member). Se consider c elementul este ncrcat numai cu fore n

    nodurile sale

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    79/189

    Element dublu-articulat Deformaiile elementului sunt mici (

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    80/189

    Forele din nodurile elementului n sistemul dereferin global se noteaz cu litere mari, iar n

    sistemul de referin local cu litere mici, similardeplasrile. Se observ cn sistemul de referin local,

    conform ipotezelor enunate, elementul prezint

    fore i deplasri numai n lungul axeiox.

    e e

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    81/189

    Vectori {F } si {U } -SRG

    { }

    e

    X ,I

    e

    J ,Iee

    X ,J

    e

    Y ,J

    F

    FF

    F

    F

    =

    { }

    ,I

    Y ,Ie

    ,J

    Y ,J

    U

    U

    U U

    U

    =

    n concordan cuaceste notaii, pentruelementul finit supusanalizei, se pot defini

    forele {Fe

    } i deplasrile {Ue} dinnoduri,

    n sistemul de referinglobal

    e e

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    82/189

    Vectori {F } si {U } -SRL

    { }

    e eX ,I I

    e

    J ,Iee e

    X ,J J

    e

    Y ,J

    f f

    f 0f

    f f

    f 0

    = =

    { }

    I

    e

    J

    J

    u

    v

    u u

    v

    =

    Similar se pot

    defini: forele {fe} i deplasrile

    {ue} dinnoduri,

    n sistemul dereferin local

    Matricea de rigiditate a elementului

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    83/189

    SRL Este mult mai simplu s se obin

    matricea de rigiditate a elementului ncoordonate locale SRL, fr a faceapel dect la cunotinele de baz din

    rezistena materialelor, adic,alungirea unei bare solicitate axialeste

    NkLN L EAL k

    E A L

    = = =

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    84/189

    Avnd n vedere notaiile precedente,

    rezult c fora axial din bar ialungirea ei, se poate exprima

    ( )

    ( )

    e e ee e

    I J ee e I I Je

    e e e e

    eI Jee

    J I

    N f f E Af u uN L L

    L

    E A E Af u uLL u u

    = = =

    =

    = =

    Matricea de rigiditate n coordonate

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    85/189

    locale SRL

    { }

    { }

    { } [ ]{ }e e11 12 13 14

    21 22 23 24

    31 32 33 3

    e e

    X ,I Ie

    J ,Ie

    e e eX ,J J II

    e

    f k uY ,

    4

    41 42 43 4

    J I

    e

    JJI

    Je I

    J

    4

    J

    f f

    f 0f

    f f uf

    f 0 v0

    k k k k

    k k k k

    k uk k k

    k

    fu

    v0vu

    v

    k

    u

    k k

    =

    = =

    =

    =

    Matricea de rigiditate n coordonate

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    86/189

    locale SRL

    ( )( )

    e

    I 11 I 12 I 13 J 14 J

    e11 12 13 14 II

    21 I 22 I 23 J 2421 22 23 24 I

    e31 32 33 34 JJ

    41 42 43 44 J

    e

    I I I J J

    EAf

    f k u k v k u k v

    k k k k uf

    0 k u k v k u k vk k k k v0

    k k k k uf

    k k k k

    1 u 0 v 1 u 0 vL

    v0

    = + + +

    = + + +

    = + + + =

    ( )( )

    21

    J

    e

    J 31 I 32 I 33 J 34 J

    41 I 42 I

    eI I I J

    11 12 13 14

    e e22 23 24 e

    e

    31 32 33 34

    43 J 44

    J

    41 42 43 44

    J

    f k u k v k u k v

    0 k u k v k

    k k k k 1 0 1

    EAf 1 u 0

    u

    0

    k k k k 0 0 0 0E Ak

    k k k k 1 0 1 0L

    k k k k 0

    v 1

    k

    v

    0 0

    uL

    v

    0

    = + + +

    = =

    = + + +

    = + + +

    0

    Matricea de rigiditate n coordonate

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    87/189

    globale Pentru a obine matricea de rigiditate n

    coordonate globale se folosesc relaiile de

    legturntre deplasrile i forele locale iglobale.

    X ,II

    Y ,II

    X ,JJ

    Y ,JJ

    Uu

    Uv?

    Uu

    Uv

    =

    e

    X ,I I

    e

    Y ,I

    e

    X ,J J

    e

    Y ,J

    F f

    F 0?

    F f

    F 0

    =

    eK ? =

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    88/189

    Transformarea deplasrilor

    e

    I X ,I Y ,I I

    I X ,I Y ,I I

    J X ,J Y ,J J

    J X ,J Y ,J J

    Matricea de transformare T

    u U cos U sin u

    v U sin U cos v

    u U cos U sin u

    v U sin U cos v

    cos sin 0 0

    sin cos 0 0

    0 0 cos sin

    0 0 sin cos

    = +

    = + =

    = +

    = +

    X ,I

    Y ,I

    X ,J

    Y ,J

    eee

    U

    U

    U

    U

    u T U

    =

    Transformarea forelor

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    89/189

    Te

    e e

    X ,I I X ,I I

    e e

    Y ,I I Y ,I

    e e

    X ,J J X ,J J

    e e

    Y ,J J Y ,J

    Matricea de transformare T

    cos sin 0 0sin cos

    F f cos F fF f sin F 0

    F f cos F f

    F f s

    0 0

    0 0 cos sin

    0 0 sin cosin F 0

    =

    =

    =

    = =

    T

    ee eTF f

    =

    Matricea de rigiditate n coordonateglobale SRG

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    90/189

    { {

    { } { }{ } { }

    { } { } { }e

    e e e

    T Te e e e e e e e e e

    e e e K

    u T U

    T f F T k T U K U

    f k u

    =

    == = =

    =

    T

    e e e eK T k T =

    Matricea de rigiditate n coordonateglobale SRG

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    91/189

    T ee e TkT

    ee e

    e

    1 0 1 0

    0 0 0 0E A

    1 0

    cos sin 0 0 cos sin 0 0

    sin cos 0 0 sin cos 0 0

    0 0 cos sin 0 0 cos sin

    0 0 sin co

    1 0L

    0 0 0 0s 0

    K

    0 sin cos

    =

    e e

    e

    e

    E A EANOTATIE cos c sin s

    L L

    = = =

    2 2

    2 2

    e2 2

    e

    2 2

    c cs c cs

    cs s cs sEAKL c cs c cs

    cs s cs s

    =

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    92/189

    Relaia se poate aplica pentru toateelementele modelului considerat.

    Se poate creea un tabelul cu datele propriifiecrui element, ceea ce simplific operaiade identificare a parametrilor respectivi

    1

    2 2 2e

    2 2

    e 3 e

    2 2

    e e42 2

    5

    K

    c cs c cs K Ecs s cs sEA

    K K functie de A , unde e 1,2,3,4 ,5

    L c cs c cs Kcs s cs s

    K

    = =

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    93/189

    Matricele de rigiditate

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    94/189

    Matricele de rigiditate ale elementelor, ncoordonate globale rezult:

    3

    0 0 0 0

    0 2 0 2E AK

    0 0 0 0L

    0 2 0 2

    =

    1 2

    1 0 1 0

    0 0 0 0E AK K

    1 0 1 0L

    0 0 0 0

    = =

    4

    1 1 1 1

    1 1 1 1E AK1 1 1 1L

    1 1 1 1

    =

    4

    1 1 1 1

    1 1 1 1E AK1 1 1 1L

    1 1 1 1

    =

    M e t o d a e l e m e n t u l u i f i n i t

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    95/189

    M e t o d a e l e m e n t u l u i f i n i t ( M E F )

    ElementeElementeintroductiveintroductive

    Matricele de rigiditate

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    96/189

    Matricele de rigiditate ale elementelor, ncoordonate globale rezult:

    3

    0 0 0 0

    0 2 0 2E AK

    0 0 0 0L

    0 2 0 2

    =

    1 2

    1 0 1 0

    0 0 0 0E AK K

    1 0 1 0L

    0 0 0 0

    = =

    4

    1 1 1 1

    1 1 1 1E AK1 1 1 1L

    1 1 1 1

    =

    5

    1 1 1 1

    1 1 1 1E AK1 1 1 1L

    1 1 1 1

    =

    Asamblarea matricei de rigiditate astructurii

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    97/189

    Dac se izoleaz nodurile i elementele modelului discretizattrebuie introduse forele interioare la nivelul fiecrui elementfinit i respectiv nod.

    Se menioneaz c aceste fore apar perechi, au sensuri opusei sunt egale n modul dou cte dou.

    Asamblarea matricei de rigiditate astructurii

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    98/189

    Echilibrul elementelor este asigurat de relaia DE ECHILIBRUNODAL.

    Din echilibrul nodurilor se poate obine o relaie matriceal

    general care include forele nodale exterioare i deplasrilenodale fr a ine seama de condiiile la limit particulare.

    Echilibru nodal

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    99/189

    1 4

    X ,1 X ,1 X ,1

    1 4

    Y ,1 Y ,1 Y ,11 2 3

    X ,2 X ,2 X ,2 X ,2

    1 2 3

    Y ,2 Y ,2 Y ,2 Y ,2

    3 5

    X ,3 X ,3 X ,3

    3 5

    Y ,3 Y ,3 Y ,3

    3 4 5

    X ,4 X ,4 X ,4 X ,4

    3 4 5

    Y ,4 Y ,4 Y ,4 Y ,4

    F F FNodul 1

    F F F

    F F F FNodul 2

    F F F F

    F F FNodul 3

    F F F

    F F F FNodul 4

    F F F F

    = +

    = + = + +

    = + +

    = +

    = +

    = + +

    = + +

    Echilibrul nodal

    1

    X ,1

    1

    Y ,1

    1

    X ,2

    1

    Y ,2

    2X ,2

    F

    F

    F

    F

    F

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    100/189

    X ,1

    Y ,1

    X ,2

    Y ,2

    X ,3

    Y ,3

    X ,4

    Y ,4

    F 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

    F 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    F 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

    F 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

    F 0

    =

    2

    Y ,2

    2

    X ,3

    2

    Y ,3

    3

    X ,2

    3

    Y ,2

    3

    X ,4

    3

    Y ,4

    4

    X ,1

    4

    Y ,1

    4

    X ,44

    Y ,4

    5

    X ,3

    5

    Y ,3

    5X ,4

    5

    Y ,4

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 F

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    { } { } { } { } { } { }

    { } { }

    T T T T T 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

    NE 5T

    e e

    e 1

    F T F T F T F T F T F

    F T F=

    =

    = + + + +

    =

    Matricea de conectivitate

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    101/189

    Matrice de compatibilitate sau matrice delocalizare = fac legatura intre gradele de

    libertate ale elementului si gradele delibertate ale structurii, adica:

    Din acest motiv aceste matrici contin doar

    valori nule sau unitare

    { {e e

    U T U =

    Matricea de conectivitate

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    102/189

    Element e (NE), nodurile I si J (NN)

    X ,1

    Y ,1

    X ,I

    X ,I

    Y ,I

    Y ,I

    X ,J

    X ,J

    Y ,J

    Y ,J

    X ,NN

    Y ,NN

    U

    U

    ...

    UU 0 0 ... ... 1 0 ... ... 0 0 ... ... 0 0

    UU 0 0 ... ... 0 1 ... ... 0 0 ... ... 0 0...

    U 0 0 ... ... 0 0 ... ... 1 0 ... ... 0 0U

    U 0 0 ... ... 0 0 ... ... 0 1 ... ... 0 0U

    ...

    U

    U

    =

    1 I J NE

    I

    J

    Matricea de conectivitate 3 si 4

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    103/189

    X ,1

    Y ,1

    X ,2 X ,2

    Y ,2 Y ,2

    X ,4 X ,3

    Y ,4 Y ,3

    X ,4

    Y ,4

    U

    U

    U U0 0 1 0 0 0 0 0U U0 0 0 1 0 0 0 0

    U U0 0 0 0 0 0 1 0

    U U0 0 0 0 0 0 0 1

    U

    U

    =

    X ,1

    Y ,1

    X ,1 X ,2

    Y ,1 Y ,2

    X ,4 X ,3

    Y ,4 Y ,3

    X ,4

    Y ,4

    U

    U

    U U1 0 0 0 0 0 0 0U U0 1 0 0 0 0 0 0

    U U0 0 0 0 0 0 1 0

    U U0 0 0 0 0 0 0 1

    U

    U

    =

    Matricea de rigiditate

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    104/189

    { } { } { }e

    Te e e e e e e

    K

    F T k T U K U

    = =

    { } { }e eU T U =

    { } { } { } { } [ ]{ }e

    NE 5 NE 5 NE 5T T T

    e e e e e e e e

    e 1 e 1 e 1

    K

    Te e e e

    F T F T K U T K T U K U

    K T K T

    = = =

    = = =

    = = = =

    =

    [ ]NE 5

    e

    e 1

    K K=

    =

    =

    Maticele de rigiditate expandate

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    105/189

    Matricele de rigiditate ale elemetelor insistemul de referinta global se expandeaza

    in vederea asamblarii, pentru aceasta sefoloseste relatia de transformare:

    Matrice de localizare

    T

    e e e eK T K T =

    Matricea de rigiditate a structurii

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    106/189

    Se observa ca matricea de rigiditate astructurii se obtine prin simpla insumare a:

    [ ]NE 5

    e

    e 1

    K K=

    =

    =

    Matricea de rigiditate expandata

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    107/189

    Elementul 1

    1

    T1 e 1 e

    1 0 1 0

    0 0 0 0E AK1 0 1 0L

    0 0 0 0

    1 0 0 0

    0 1 0 0

    0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0E AK T K T

    0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0L

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

    0 0 0 0

    0 0 0 0

    =

    = =

    Matricea de rigiditate expandata1 2 3 4

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    108/189

    1

    1 2 3 4

    1 0 1 0 0 0 0 0 1

    0 0 0 0 0 0 0 0

    1 0 1 0 0 0 0 0 2EA

    K 0 0 0 0 0 0 0 0l

    0 0 0 0 0 0 0 0 3

    0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 0

    =

    Matricea de rigiditate expandata1 2 3 4

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    109/189

    2

    1 2 3 4

    0 0 0 0 0 0 0 0 1

    0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 1 0 1 0 0 0 2EA

    K 0 0 0 0 0 0 0 0l

    0 0 1 0 1 0 0 0 3

    0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 0

    =

    Matricea de rigiditate expandata1 2 3 4

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    110/189

    3

    1 2 3 4

    0 0 0 0 0 0 0 0 1

    0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 2EA

    K 0 0 0 2 0 0 0 2l

    0 0 0 0 0 0 0 0 3

    0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 2 0 0 0 2

    =

    Matricea de rigiditate expandata1 2 3 4

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    111/189

    4

    1 2 3 4

    1 1 0 0 0 0 1 1 1

    1 1 0 0 0 0 1 1

    0 0 0 0 0 0 0 0 2EA

    K 0 0 0 0 0 0 0 0

    l 0 0 0 0 0 0 0 0 3

    0 0 0 0 0 0 0 0

    1 1 0 0 0 0 1 1 4

    1 1 0 0 0 0 1 1

    =

    Matricea de rigiditate expandata1 2 3 4

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    112/189

    5

    1 2 3 4

    0 0 0 0 0 0 0 0 1

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2

    EAK 0 0 0 0 0 0 0 0

    l 0 0 0 0 1 1 1 1 3

    0 0 0 0 1 1 1 1

    0 0 0 0 1 1 1 1 40 0 0 0 1 1 1 1

    =

    Matricea de rigiditate expandata

    Se observ c matricele de rigiditate expandate ale

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    113/189

    Se observcmatricele de rigiditate expandate aleelementelor se pot obine direct din matricele derigiditate globale ale elementelor prin plasareaelementelor corespunztoare gradelor de libertate naceleai poziii (zonele marcate cu gri) n matriceaexpandatcare conine toate gradele de libertate alestructurii.

    Dacun element de aflntre nodurile I i J, atuncipoziia pe orizontali verticaldin matricea derigiditate a elementului se regsete la poziiile I i J

    n matricea de rigiditate expandat. Din acest motiv, practic asamblarea decurge prin

    adunarea elementelor din matricele de rigiditate nmatricea de rigiditate global.

    Matricea de rigiditate globala1 2 3 4

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    114/189

    [ ]NE 5

    e

    e 1

    1 2 3 4

    2 1 1 0 0 0 1 1 1

    1 1 0 0 0 0 1 1

    1 0 2 0 1 0 0 0 2EA

    K K 0 0 0 2 0 0 0 2l 0 0 1 0 2 1 1 1 3

    0 0 0 0 1 1 1 1

    1 1 0 0 1 1 2 0 41 1 0 2 1 1 0 4

    =

    =

    = =

    Matricea de rigiditate globala Proprieti

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    115/189

    Proprieti matricea [K] este simetric;

    este singular, det([K])=0 i nplus rangul matricei este n-3,n care n este numrul total algradelor de libertate (n = 8pentru aplicaia de fa), iar 3

    reprezintnumrul micrilorde corp rigid n 2D;

    elementele de pe diagonalaprincipalsunt pozitive;

    suma elementelor pelinii/coloane este zero.

    2 1 1 0 0 0 1 1

    1 1 0 0 0 0 1 1

    1 0 2 0 1 0 0 0EA

    0 0 0 2 0 0 0 2l

    0 0 1 0 2 1 1 1

    0 0 0 0 1 1 1 1

    1 1 0 0 1 1 2 0

    1 1 0 2 1 1 0 4

    Impunerea condiiilor lalimiti rezolvarea

    Ecuaiile de echilibru

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    116/189

    Ecuaiile de echilibruglobal incluzndcondiiile la limitndeplasri (condiiile demargine):

    i condiiile la limitpentru fore (echilibru -ncrcri):

    ,1 ,1 ,3X Y XU U U= =

    ,2 ,2 ,3

    ,4 ,4

    0 2 0

    0

    X Y X

    X Y

    F F F F

    F F F

    = = =

    = =

    Recapitulare (curs 1)

    a: deplasri cunoscute (de cele mai multe

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    117/189

    a: deplasri cunoscute (de cele mai multeori nule) i fore exterioare reaciuni

    necunoscute i b: deplasri necunoscute i fore exterioare

    aplicate cunoscute, ecuaiile se potpartiiona (rearanja) n raport cu acesteaastfel:

    [ ] [ ][ ] [ ] {{ } {{ }a aaa ab

    b bba bb

    U FK K

    U FK K

    =

    { { {F K U=

    Recapitulare (curs 1)

    Din a doua ecuaie matriceal rezult

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    118/189

    Din a doua ecuaie matriceal rezultdeplasrile necunoscute

    iar apoi din prima ecuaie rezult forelenecunoscute (reaciuni)

    { } [ ] { } [ ] { }( )1

    b b abb baU K F K U = +

    { } [ ] { } [ ] { }a a baa ab

    F K U K U= +

    Impunerea condiiilor la limitirezolvarea{ } [ ]{ }F K U=

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    119/189

    X ,1

    Y ,1

    X ,2

    Y ,2

    X ,3

    Y ,3

    X ,4

    Y ,4

    1 2 3 4

    02 1 1 0 0 0 1 1 1 F 01 1 0 0 0 0 1 1 F

    U1 0 2 0 1 0 0 0 2 0EA

    U0 0 0 2 0 0 0 2 2F

    l U0 0 1 0 2 1 1 1 3 0

    00 0 0 0 1 1 1 1 F

    U1 1 0 0 1 1 2 0 4 F

    U1 1 0 2 1 1 0 4 0

    = =

    Se observ c n nodurile n care se cunosc

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    120/189

    Se observcn nodurile n care se cunoscdeplasrile nu se cunosc reaciunile i acolo

    unde se cunosc ncrcrile nu se cunoscdeplasrile.

    Considernd ecuaiile corespunztoare

    liniilor albe (liniile i coloanelecorespunztoare deplasrilor nule liniile

    nnegrite se "taie" sau se elimin) rezult

    un sistem redus de cinci ecuaii, cu cincinecunoscute

    Sistemul redus

    [ ]{ {K U F

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    121/189

    [ ]{ {r r r

    X ,2

    Y ,2

    X ,3

    X ,4

    Y ,4

    K U F

    U2 0 1 0 0 0

    U0 2 0 0 2 2F

    EA U1 0 2 1 1 0l

    U0 0 1 2 0 F

    U0 2 1 0 4 0

    =

    =

    Se observ, cmatricea [Kr] este nesingular. nl t t i lt i l d

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    122/189

    general, aceastmatrice rezultnesingular, dacmicrile de corp rigid sunt nlturate printr-o fixare

    adecvata structurii

    Pentru aceastaplicaie cele trei deplasri nule impuse(uneori denumite blocaje), asigurmpiedicarea micriide corp rigid.

    Stuctura analizateste static determinat, impunereaunor blocaje suplimentare nu face dect sreduci mai

    mult dimensiunea matricei [Kr] i deci sconduclareducerea efortului de calcul pentru rezolvareasistemului de ecuaii algebrice.

    Rezolvarea aflarea deplasarilor

    Rezolvarea sistemului de ecuaii de mai sus conduce la

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    123/189

    soluiile

    ,2 ,2 ,3

    ,4 ,4

    1.5 3.5 3

    2 2.5

    X Y X

    X Y

    Fl Fl FlU U U

    A EA EA

    Fl FlU UEA EA

    = = =

    = =

    Rezolvarea aflarea reactiunilor

    Pentru a obine reaciunile, se considerdoar ecuaiile

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    124/189

    corespunztoare liniilor negrite din ecuaia global,deoarece o parte din termenii ecuaiilor se nmulesc cudeplasri nule (se considertermenii ncadrai i negriimai accentuat), adic

    X ,2

    Y ,2X ,1

    X ,3Y ,1

    X ,4Y ,3

    Y ,4

    U ( 1.5 Fl / EA )U ( 3.5 Fl / EA )1 0 0 1 1 F

    EAU ( 3 Fl / EA )0 0 0 1 1 0.5F

    l

    U ( 2 Fl / EA )0 0 1 1 1 1.5F U ( 2.5 Fl / EA )

    = =

    Rezolvarea aflarea eforturilor Pentru calculul eforturilor n bare se reconsiderecuaiile

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    125/189

    de echilibru ale elementului finit (ex. Elementul 4)

    { } { } { }e e e e e e

    4

    4

    f k u k T U

    2 20 0

    0 22 2F

    1 0 1 0N 22 2 00 00 0 0 0 00 EA 2 2 Fl2 21 0 1 0lN 2 2 2EA

    0 0 F0 0 0 0 Fl

    0 2 2 22.50EA2 2

    0 02 2

    = =

    = =

    Rezolvarea aflarea eforturilor Calculul decurge similar pentru toate barele

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    126/189

    Dacse doresc tensiunile din bare se folosete relaia

    1

    2

    3

    4

    5

    1.5

    1.5

    2

    2

    2

    3 2

    2

    N F

    N F

    N F

    N F

    N F

    =

    =

    =

    =

    =

    ee

    e

    N =

    Semnificaia fizica elementelormatricei de rigiditate

    e 2 2F Uc cs c cs

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    127/189

    X ,I X ,I

    e 2 2

    Y ,I Y ,I e 2 2

    eX ,J X ,J

    e 2 2Y ,J Y ,J

    e

    11 12 13 14X ,I

    e

    21 22 23 24Y ,I

    e31 32 33 34X ,J

    e

    Y ,J

    F Uc cs c cs

    F Ucs s cs sEAF L Uc cs c cs

    F Ucs s cs s

    K K K KF

    K K K KF

    K K K KF

    KF

    =

    =

    X ,I

    Y ,I

    X ,J

    41 42 43 44 Y ,J

    U

    U

    U

    K K K U

    Semnificaia fizica elementelormatricei de rigiditate

    e

    11 12 13 14 11X ,I

    e

    K K K K K1F

    K K K K K0

    X ,I1U

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    128/189

    e

    21 22 23 24 21Y ,I

    e

    31 32 33 34 31X ,Je

    41 42 43 44 41Y ,J

    K K K K K0F

    K K K K K0F

    K K K K K0F

    = =

    Y ,I

    X ,J

    Y ,J

    0U

    0U

    0U

    =

    Metoda elementului finit(MEF)

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    129/189

    (MEF)

    ElementeElementeintroductiveintroductive

    Recapitulare (C1-C3) Concepte de bazn MEF - introducere Tipuri de elemente finite

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    130/189

    Tipuri de elemente finite Discretizarea (definitie, factori ) Metoda deplasarilor

    vectorul ncrcrilor nodale {F}, vectorul deplasrilor nodale {U}. Matricea de rigiditate a elementului bararticulat

    2D Sistem de referinta local / global Matricea de

    transformare Asamblarea matricei de rigiditate a structurii

    matricea de conectivitate Impunerea condiiilor la limiti rezolvarea

    Matricea de rigiditate a elementuluigrind2D Pentru a obine matricea de rigiditate a unui element oarecare

    de grind n plan (uneori numit BEAM2D) se consider un

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    131/189

    de grindn plan (uneori numitBEAM2D), se considerunelement oarecare e cu nodurile la capete I i J care face un

    unghi e cu axa sistemului global de referinOX. Pentru acest element se considerc

    seciunea lui este constantde arie Aei moment de inerieIez

    bara este dintr-un singur material, cu modulul deelasticitate longitudinal Ee,

    lungimea elementului este Le,

    elementul poate prelua fore n plan i moment dencovoiere fatde axa oz i nu este ncrcat dect lacapete.

    Elementul grind2D Se menioneazcmomentele de ncovoiere nu depend

    de sistemul de referin global sau local deoarece axele

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    132/189

    de sistemul de referinglobal sau local deoarece axeleOZ i oz sunt paralele.

    Elementul face parte dintr-o structurn care legturiledintre elemente sunt suduri perfecte, adicspredeosebire de elemental TRUSS, elemental BEAMtransfercupluri ntre elemente.

    Elementul grind2D De asemenea se considercdeformaiile elementului

    sunt mici, ceea ce se traduce prin faptul c

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    133/189

    , p p ecuaiile de echilibru scrise pentru elementul

    nedeformat sunt aceleai i pentru elementuldeformat. Forele i momentele din nodurile elementului:

    n sistemul de referinglobal (SRG) se noteazculitere mari,

    iar n sistemul de referinlocal (SRL) cu litere mici,similar deplasrile.

    Elementul grind2D se pot defini vectorii forele {Fe} i deplasrilor {Ue} din

    noduri n sistemul de referin global

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    134/189

    noduri, n sistemul de referinglobal

    { }

    e

    X ,I

    e

    Y ,I

    e

    Z ,Ie

    e

    X ,J

    e

    Y ,J

    e

    Z ,J

    F

    F

    MFF

    FM

    =

    { }

    ,I

    Y ,I

    Z ,Ie

    ,J

    Y ,J

    Z ,J

    U

    U

    RUU

    UR

    =

    Elementul grind2D Similar se pot defini forele {fe} i deplasrile {ue} n

    sistemul de referin local

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    135/189

    sistemul de referinlocal

    { }

    e

    X ,I

    e

    Y ,I

    e

    Z ,Ie

    e

    X ,J

    e

    Y ,J

    e

    Y ,J

    f

    f

    mff

    fm

    =

    { }

    I

    I

    e

    J

    J

    J

    u

    v

    uu

    v

    =

    Elementul grind2D Deoarece este mult mai simplu sse obinmatricea de

    rigiditate a elementului n coordonate locale, i n plus

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    136/189

    rigiditate a elementului n coordonate locale, i n plusefectul ncovoierii este decuplat de cel al forei axiale

    (care a fost abordat n cadrul elementului TRUSS2D), seconsiderpentru nceput elementul n coordonate locale,numai cu ncrcrile i gradele de libertatecorespunztoare ncovoierii

    Elementul BEAM2D solicitat la ncovoiere. (a) Notaii generale; (b) ncrcrile nodale; (c) gradelede libertate

    Elementul grind2D

    ntre forele nodale i deplasrile nodaletrebuie s existe relaia

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    137/189

    trebuie sexiste relaia

    11 12 13 14

    21 22 23 24

    31 32 33 34

    e

    Y ,I

    41 42

    I

    e

    Z ,I

    4

    I

    e

    3 44

    Y ,J J

    eZ ,J

    k k k k k k k k

    f vm

    f v

    m

    k k k k

    k k k k

    =

    Elementul grind2D Folosind semnificaia fizica elementelor matricei de

    rigiditate, anterior prezentat(C3), pentru elementul

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    138/189

    g , p ( ), pfinit se impun pe rnd cte o deplasare (rotire) unitate i

    restul deplasrilor nodale zero, iar reaciuniledeterminate reprezintelementele matricei de rigiditate.

    Modul de obinere a

    elementelor matriceide rigiditate aelementului grind2D folosind deplasrinodale impuse

    controlat ireaciunilecorespunztoare

    Elementul grind2D De exemplu, pentru primul caz de ncrcare din cele

    patru, folosind metoda eforturilor (prezentatla static),

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    139/189

    p , (p ),forele nodale se obin rezolvnd sistemul dublu static

    nedeterminat, care conduce la sistemul de ecuaii

    11 1 12 2

    21 1 22 2

    X X 1X X 0

    + =+ =

    Elementul grind2D Coeficienii ijse calculeazfolosind metoda Mohr-

    Maxwell, adic

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    140/189

    iar reaciunile din dreapta se obin din condiiile de

    echilibru. n mod similar se obin i restul coloanelor dinmatricea inclusn relaia.

    ( )

    ( )

    e

    e e

    z1 3

    e

    ij i je e e eLz z

    2 2e

    1 2 E I X

    L1m m dx

    E I 6 E I

    X L

    =

    =

    =

    Elementul grind2D Dacse renunla indicele e, matricea corespunztoare

    ncovoierii se poate scrie n sistemul de referinlocal

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    141/189

    astfel:

    e

    X ,I Ie

    Y ,I I

    e 2 2Z ,I z

    3e

    JX ,J

    e

    JY ,J2 2

    eJY ,J

    f u0 0 0 0 0 0

    f 0 12 6 L 0 12 6 L v

    m 0 6 L 4L 0 6 L 2LE I

    0 0 0 0 0 0L uf

    0 12 6 L 0 12 6 L vf0 6 L 2L 0 6 L 4Lm

    =

    Elementul grind2D iar matricea corespunztoare solicitrii axiale (curs 3)se scrie

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    142/189

    eX ,I I

    e

    Y ,I I

    e

    Z ,I I

    e

    JX ,J

    e

    JY ,J

    eJY ,J

    f u1 0 0 1 0 0

    f 0 0 0 0 0 0 v

    m 0 0 0 0 0 0E A1 0 0 1 0 0L uf

    0 0 0 0 0 0 vf

    0 0 0 0 0 0m

    =

    Elementul grind2D Prin suprapunerea efectelor, din relaiile rezultmatricea

    de rigiditate a elementului BEAM2D n coordonate locale

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    143/189

    (SRL)2 2

    z z

    2 2e z

    3 2 2

    z z

    2 2

    AL AL0 0 0 0

    I I

    0 12 6 L 0 12 6 L

    0 6 L 4L 0 6 L 2LE Ik

    L AL AL0 0 0 0

    I I

    0 12 6 L 0 12 6 L

    0 6 L 2L 0 6 L 4L

    =

    Elementul grind2D Deoarece relaia de legturdintre gradele de libertate

    n coordonate locale i globale se poate scrie (curs 3)

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    144/189

    X ,II

    Y ,II

    Z ,I eI

    J X ,J

    J Y ,J

    J Z ,J

    Uu c s 0 0 0 0 c s 0 0 0 0

    Us c 0 0 0 0 s c 0 0 0 0v

    R0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

    T0 0 0 c s 0 0 0 0 c s 0u U

    0 0 0 s c 0 0 0 0 s c 0v U

    0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1R

    = =

    c cos ; s sin

    = =

    Elementul grind2D Matricea de rigiditate a elementului BEAM2D n

    coodonate globale rezult

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    145/189

    Te e e e

    6x6 6x6 6x6 6x6

    K T k T =

    Influena numerotrii nodurilor Influena numerotrii nodurilor asupra formei matricei de

    rigiditate globale a structurii

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    146/189

    Asamblarea matricei de rigiditate a structurii constnadunarea matricelor de rigiditate expandate aleelementelor.

    Deoarece asamblarea implicintroducerea tuturorelementelor finite n procesul de asamblare, rezultatulfinal al asamblriinu este influenat de ordinea denumerotare a elementelor.

    Totui modul de numerotare al nodurilor poate influnaforma matricei de rigiditate a structurii.

    Matricea de rigiditate element Conform regulii de asamblare direct, elementele

    matricei de rigiditate ale unui element finit tip barcunod ile de identifica e I i J

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    147/189

    nodurile de identificare I i J

    [ ] [ ] [ ]

    [ ] [ ]II IJ

    JI JJ

    K K

    K K K

    =

    I J

    I

    J

    Matricea de rigiditate globala asamblat n matricea de rigiditate globala structurii

    (care are NN noduri) se regsete n poziiile

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    148/189

    [ ] [ ] [ ]

    [ ] [ ]II IJ

    JI JJ

    K KK

    K K

    =

    Trebuie menionat csubmatricele componenteale uneimatrice de rigiditate pot reprezenta un numr oarecare degrade de libertate ale nodului de exemplu dou pentru o

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    149/189

    grade de libertate ale nodului, de exemplu doupentru o

    bararticulat2D i ase pentru o grind3D.2 2

    z z

    2 2

    e z

    3 2 2

    z z

    2 2

    AL AL0 0 0 0

    I I

    0 12 6 L 0 12 6 L0 6 L 4L 0 6 L 2LE I

    kL AL AL

    0 0 0 0I I

    0 12 6 L 0 12 6 L

    0 6 L 2L 0 6 L 4L

    =

    1 2

    1 0 1 0

    0 0 0 0E AK K

    1 0 1 0L

    0 0 0 0

    = =

    Dacelementul finit care se asambleazestetriunghiular, atunci regula de asamblare este similar,adic pentru elementul triunghiular cu trei noduri I J i

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    150/189

    adicpentru elementul triunghiular cu trei noduri I, J i

    K pentru care matricea de rigiditate se poate partiionaastfel

    [ ]

    [ ] [ ] [ ]

    [ ] [ ] [ ]

    [ ] [ ] [ ]

    II IJ JJ

    JI JJ JK

    KI KJ KK

    K K K

    K K K K

    K K K

    =

    I

    I

    J

    J K

    K

    elementele matricei se regsesc n poziiile

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    151/189

    [ ]

    [ ] [ ] [ ]

    [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

    II IJ JJ

    JI JJ JK

    KI KJ KK

    K K K

    K K K K

    K K K

    =

    Matricele de rigiditate ale structurilor de mari dimensiunisunt matrice rare, adic cu puini termeni nenuli.

    De aceea, memorarea acestor matrice slab populate i

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    152/189

    De aceea, memorarea acestor matrice slab populate i

    operaiile la care acestea sunt supuse, devin maieficiente dac se memoreaz i respectiv se opereaznumai cu elementele nenule (sparse technique).

    Pentru structura plan de bare articulate s-au folosit treimoduri diferite de numerotare a nodurilor, a), b), c)pentru care se obin matricele de rigiditate globale cu

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    153/189

    pentru care se obin matricele de rigiditate globale cu

    elementele nenule marcate prin puncte.

    Se observ c toate variantele de numerotare conduc laelemente nenule n vecintatea diagonalei principale.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    154/189

    Varianta de numerotare c, prezint matricea de rigiditateglobal cu toi termenii nenuli grupai n vecintareadiagonalei principale.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    155/189

    Se spune c aceast matrice este de tip band, limeade band a matricei reprezint numrul maxim deelemente nenule pe orizontal.

    Deoarece, de regul, matricele de rigiditate sunt

    simetrice, se poate lucra cu o matrice dreptunghiular

    care are un numr de coloane egal cu semibandamatricei de rigiditate i este aproape total populat.

    Aceast reprezentare n memorie conduce laeconomisirea resurselor calculatorului i a fost intensfolositn special la nceputul dezvoltrii MEF cnd

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    156/189

    p p

    resursele de calcul erau modeste.

    Pentru a obine o matrice band, programele cuelemente finite prezint proceduri speciale derenumerotare a nodurilor astfel nct s se obin o

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    157/189

    lime minim a benzii. Se observ c limea benzii este definit de diferena

    maxim a nodurilor de identificare care definesc fiecareelement. Astfel n varianta de numerotare a) diferena maxim este 9-1=8; n varianta b) 5 iar n varianta c) 2.

    Limea de semiband LB, se obine din relaia:

    LB 1 GLN NDIF= +

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    158/189

    n care GLN reprezint numrul de grade de libertate penod

    iar NDIF este diferena maximn valoare absolut anumerelor nodurilor de identificare pentru toate

    elementele definite, adic

    e

    NDIF max I J=

    Dacse considerstructuri oarecare din bare, o serie dereguli de numerotare a nodurilor care conduc la o limeminimde band

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    159/189

    M e t o d a e l em e n t u l u i f i n i t (MEF )

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    160/189

    Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare ordinareRezolvarea sistemelor de ecuatii liniare ordinare

    Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare cu legaturiRezolvarea sistemelor de ecuatii liniare cu legaturi

    Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare ordinare

    Att n analiza staticct i n alte tipuri de analizeapare problema rezolvrii unui sistem de ecuaiiliniare cu un numr foarte mare de ecuaii (zeci sau

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    161/189

    sute de mii pentru probleme reale). Acesta rezultn urma operaiei de asamblare i aimpunerii condiiilor la limit.

    Cert este faptul cprocedurile de rezolvare a

    sistemelor de ecuaii liniare reprezinto etapesenialpentru rezolvarea unei clase foarte largi deprobleme i stpnirea principiilor de lucru aleacestora poate influena att rezultatele obinute, ct

    i efortul de calcul (timpul de lucru i spaiul necesarpe hard discul calculatorului).

    Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare ordinare

    Din punct de vedere matematic i informatic metodelede rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare suntmultiple.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    162/189

    Metoda elementelor finite, prezintanumite fazeintermediarepnla obinerea sistemului liniar deecuaii (cum ar fi asamblarea ecuaiilor de echilibru lanivel de element, n ecuaia globalde echilibru a

    structurii i impunerea condiiilor de echilibru) iuneori aceste faze intermediare influeneazalgoritmiide rezolvare, cu scopul de a obine o eficienmaimare a metodei.

    n continuare, se evideniazanumite aspectegenerale ale principalelor metode de rezolvare,fcndu-se referire la analiza structuralstatic.

    Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare ordinare Analiza static, caracteristicsistemelor fizice n care se

    neglijeazefectul amortizrii i al ineriei (este vorba devibraii), nu i al efectului greutii proprii, constn

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    163/189

    rezolvarea sistemului de ecuaii liniare rezultat n urmaasamblrii

    care strict din punct de vedere matematic este echivalent

    cu minimizarea potenialului

    n care [K] este matricea de rigiditate a structurii, de

    regulsingular, {u} este vectorul deplasrilor nodaleale structurii, iar {F} este vectorul forelor nodaleaplicate structurii.

    [ ]{ } {K U F=

    { } [ ]{ } { } { }T T1

    U K U U F 2

    =

    Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare ordinare Vectorul {u} are n general doucomponente, a

    deplasrilor impuse {u}r(de cele mai multe ori nule) i adeplasrilor necunoscute {u}a.

    Deplasrile cunoscute introduc o componenta forelor

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    164/189

    p p de reaciune {F r}, iar pentru deplasrile necunoscute secunosc forele aplicate structurii {F a}, deci, folosindaceastpartiionare, se poate scrie

    Forele aplicate structurii provin din forele aplicate direct nnoduri, forele produse de o micare cu acceleraie constantastructurii i/sau a cmpului gravitaional, fore produse devariaiile de temperatur(efectul termoelastic) i foreechivalente, produse de presiunea care lucreazpe elemente.

    { } { } { }

    a

    a rr

    FF F F

    F

    = + =

    Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare ordinare

    Partiionarea ecuaiei n concordancu gradele delibertate ai r conduce la relaia matriceal(curs1)

    K K U F

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    165/189

    Din a doua ecuaie matricealrezultdeplasrile

    necunoscute

    iar apoi din prima ecuaie rezultforele necunoscute(reaciuni)

    [ ] [ ][ ] [ ] {{ } { }{ }a aaa ar

    r rra rr

    U

    K K U F

    =

    { } [ ] { } [ ] { }( )1

    a a raa ar U K F K U

    = +

    { } [ ] { } [ ] { }r a rra rr

    F K U K U= +

    Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare ordinare Se observcdeplasrile necunoscute pot fi obinute

    dacsubmatricea de rigiditate [K]aaeste nesingular,adicstructura nu are micare de solid rigid saumecanism.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    166/189

    Dactotui echilibrul este asigurat de forele aplicate, sepoate face un artificiu de nlturare a singularitiimatricei fie prin fixarea unor deplasri care suprimmicarea de corp rigid sau mecanism, fie prinintroducerea adiionalde elemente n matricearespectivcare nu modificconsiderabil matricea derigiditate, dar care o transformn matrice pozitivdefinit.

    Trebuie menionat cdei n ecuaie apare inversa unei

    submatrice din matricea de rigiditate globala structurii,aceasta nu se calculeazpractic niciodat. Metodele derezolvare a sistemelor de ecuaii sunt implementateastfel nct numrul de operaii pentru rezolvarea lor sfie minim.

    Metodele de rezolvare a ecuaiilorliniare

    Metodele de rezolvare a ecuaiilor liniare n formamatricealse pot clasifica n:

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    167/189

    metode exacte, cum ar fi metoda de eliminare Gauss, metoda de factorizare Choleski sau

    metoda de rezolvare frontali

    metode aproximative, cum ar fi

    metoda gradienilor conjugai sau metoda relaxrii.

    Metode exacte Metodele exacte de rezolvare se referla faptul cexist

    algoritmi bine definii, care dupun numr de paidinainte fixat - dependent de dimensiunea problemei,conduc la obinerea soluiei exacte, n ipoteza cerorile

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    168/189

    de reprezentare a numerelor n calculator (de trunchiere)sunt nesemnificative.

    Pentru reprezentarea n dublprecizie i probleme de

    dimensiuni acceptabile, bine condiionate numeric(adiccu valori ale raportului dintre cea mai mare i cea maimicvaloare de pe diagonala principala matricei derigiditate, ct mai aproape de unitate), metodele derezolvare exacts-au dovedit destul de eficiente, ani de-

    a rndul.

    Metodele exacte Aceste metode in seama de simetria i caracterul band

    al matricei de rigiditate, pentru a fi mai eficiente. Pentru a obine o matrice cu o lime ct mai mica

    benzii, numerotarea iniiala nodurilor se schimb(se

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    169/189

    face renumerotarea nodurilor folosind algoritmiconsacrai): dacse folosete algoritmul de eliminare Gauss, sau se renumeroteazelementele dacse folosete

    algoritmul de rezolvare frontal. Acesta din urms-a impus n perioada n care memoria

    RAM a calculatoarelor era relativ limitati se bazeazpe combinarea fazei de asamblare cu cea de eliminare aecuaiilor (n memoria ROM).

    Algoritmul este foarte sofisticat, dar este stabil i sefolosete pe scarlargi n momentul de fa.

    Metode exacte

    Metodele de rezolvare exactprezintdoufaze: prima este denumiteliminare sau triunghiularizare, iar cea de-a doua retrosubstituie.

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    170/189

    Deoarece aceste metode sunt descrise pe larg n diversecri i tratate, cei interesai sunt invitai sconsultelucrri consacrate acestora.

    Metode aproximative Metoda gradienilor conjugai cunoate diverse variante

    de implementare cum ar fi: 1 .Jacobi Conjugate Gradient (JCG), recomandat

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    171/189

    pentru probleme bine condiionate numeric, algoritmimplementat pentru matrice reale i complexe,simetrice i nesimetrice;

    2 .Preconditioned Conjugate Gradient (PCG)implementat pentru matrice reale, simetrice i pozitivdefinite;

    3 .Incomplete Choleski Conjugate Gradient (ICCG)mai robust dect primele dou, implementat pentrumatrice reale i complexe, simetrice i nesimetrice.

    PCG este de circa 4-10 ori mai rapid dect JCG, iar ICCGeste n general mai rapid dect JCG.

    Metode aproximative n metodele aproximative soluia sistemului cu condiiile

    la limitimpuse, se determinca suma seriei vectorilor{pj}

    { { { {1 1 2 2

    u a p a p ... a p= + + +

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    172/189

    n care m este mai mic dect dimensiunea matricei [K]iar {pj} sunt corecii succesive ale soluiei. Valoarea destart a acestor vectori poate influena foarte multnumrul de iteraii m.

    Rata de convergeneste proporionalcu rdcinaptrata numrului de condiionare a matricei [K] , iarcriteriul de convergeneste de regul

    1 1 2 2 m m

    { } { }{ } { }

    T

    j j 2

    T

    R R

    F F

    Metode aproximative

    { } { }

    { } { }

    T

    j j 2

    T

    R R

    F F

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    173/189

    n care

    poate fi privit ca un reziduu pentru {uj} - vectoruldeplasare determinat la pasulj. De obicei = 10-5seconsideracceptabil pentru aplicaii, dar poate fi redusdaceste necesar.

    { { } [ ]{ }j jF K U=

    Metode aproximative Pentru dimensiuni mari ale matricilor de rigiditate, care

    n general conin multe zerouri (motiv pentru care senumesc i "matrice rare" = sparse), tehnicile deoperare cu acestea sau dovedit foarte eficiente pentru

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    174/189

    creterea vitezei de calcul, prin nlturarea operaiiloraritmetice cu zero i spaiul necesar, deoarece pentruvalorile nule nu se alocspaiu n memorie.

    Metodele de rezolvare aproximativ, prin iterareasoluiei, s-au dovedit a fi mult mai eficiente, n primulrnd, ca vitezde calcul i s-au impus odatcucreterea memoriei centrale (RAM) a calculatoarelor.

    Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare cu legturi

    Condiiile la limitn deplasri (i rotiri) pot fiinterpretate, din punct de vedere matematic, ca niterestricii asociate unui sistem de ecuaii. Aceste restricii

    fi l ii i l d i d l i

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    175/189

    pot fi relaii simple de impunere a unor deplasri, saurelaii cinematice ntre anumite grade de libertate.

    Uneori acestea poartdenumirea de relaii de legturntre mrimile nodale.

    Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare cu legturi

    Cteva exemple de relaii cinematice ntre o serie degrade de libertate pentru stucturi simple de cadre plane

    C d l i l li t f d i t l

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    176/189

    Cadru plan cu un reazem simplu nclinat fade sistemulde referinglobal

    Blocaje

    Relatie cinematica

    X ,1 Y ,1 Z ,1U 0; U 0; R 0;= = =

    Y ,3 X ,3U 3 U=

    Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare cu legturi

    Cteva exemple de relaii cinematice ntre o serie degrade de libertate pentru stucturi simple de cadre plane

    G i d ti l i i t di

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    177/189

    Grindcu articulaie intermediar Blocaje

    Relatie cinematica

    X ,1 Y ,1 Z ,1

    Y ,5

    U 0; U 0; R 0;

    U 0

    = = =

    =

    X ,2 X ,3 Y ,2 Y ,3U U ; U U ;= =

    Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare cu legturi

    Cteva exemple de relaii cinematice ntre o serie degrade de libertate pentru stucturi simple de cadre plane

    G i i l t i id

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    178/189

    Grinzi cuplate rigid Blocaje

    Relatie cinematica

    X ,1 Y ,1 Z ,1U 0; U 0; R 0;= = =

    X ,3 X ,2 Z ,2

    Y ,2 Y ,3

    Z ,2 Z ,3

    U U a R ;

    U U ;

    R R

    =

    =

    =

    Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare cu legturi Procedeele matematice de rezolvare a unui sistem de

    ecuaii cu restricii sunt multiple. Cele mai utilizate metode sunt eliminareaunui numr de

    ecuaii egal cu numrul condiiilor de restricie, metodamultiplicatorilor Lagrange i metoda funciei de

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    179/189

    multiplicatorilor Lagrangei metoda funciei depenalizare. Din punct de vedere fizic, o resticie poate sincludun

    singur grad de libertate, cum ar fi, spre exemplu,impunerea unei deplasri nodale pe o anumitdirecie(blocaj sau deplasare cunoscut), sau mai multe gradede libertate, ca, de exemplu, condiia ca pe dougradede libertate o mrime nodalsaibaceeai valoarenenul, iniial necunoscut.

    Restriciile impuse mai multor grade de libertate(restricii multipunct) sunt, n general, produse deprezena elementelor rigide sau a unor modelri depreluare a micrilor de mecanism.

    Rezolvarea sistemelor de ecuaiiliniare cu legturi Dacecuaia de echilibru static a unei structuri

    asamblate, pentru care s-au impus sau nu anumitecondiii la limitn deplasri este

    [ ]{ } {K U F=

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    180/189

    iar restriciile - ecuaii liniar independente, sunt scrise nforma

    se pune problema de a rezolva ecuaia care ssatisfaccondiiile. Matricea [C] este o matrice dreptunghiularcutermeni constani, care are un numr de linii egal cu

    numrul de restricii. Vectorul {Q} este, de asemenea,un vector de constante. De cele mai multe ori, npractic, este un vector cu toate elementele nule.

    [ ]{ } {K U F=

    [ ]{ {C U Q=

    Metoda eliminrii

    Ecuaia

    care conine n grade de libertate, se poate aranja astfel

    nct vectorul deplasrilor nodale s fie de forma:

    [ ]{ {K U F=

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    181/189

    nct vectorul deplasrilor nodale sfie de forma:

    In care

    reprezintdeplasrile "reinute" (n numr de r)

    deplasrile care urmeaza fi "eliminate" (n numr de e,deci n = r + e).

    { } { } { }{ T

    T T

    r eU U U=

    { rU

    { }eU

    Metoda eliminrii

    n aceste condiii ecuaia

    poate fi rescrisn forma

    [ ]{ } {C U Q=

    {U

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    182/189

    Deoarece numrul de ecuaii liniar independente r, estemai mic dect numrul ecuaiilor de echilibru n, rezultcmatricea [Ce] este ptratici nesingular.

    [ ] [ ] {

    { } { }

    r

    r e

    e

    UC C 0

    U

    =

    { } [ ]{ } { }{ }

    [ ][ ]

    { }r1 r

    1e e r r r

    e e r

    IUU C C U U U C C

    = =

    Metoda eliminrii

    care poate fi rescrissub forma

    { }

    [ ]

    { }

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    r

    1r1 1

    IU T U ; unde T

    C C

    = =

  • 8/21/2019 Www.graduo.ro 36872 36872 Metoda Elementului Finit

    183/189

    Dacecuaia se nlocuiete n care se

    nmulete la stnga cu transpusa matricei detransformare [T ], rezultun sistem de r ecuaii, adic

    n care

    { } [ ]{ } [ ] [ ]e rn x1 r x1n x r C C

    [ ]{ } {K U F=

    [ ]{ {r r rU F=

    [ ] [ ] [ ][ ] { } [ ]{ }T

    r rT K T ; F T F = =

    Metoda eliminrii

    Matricea [T ] se poate obine i n mod direct, prinformula