wykład 6: bryła sztywna - agh university of science and...

Wykład 7: Bryła sztywnacz.2.

Dr inż. Zbigniew Szklarski

Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321

[email protected]

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

mailto:[email protected]

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika

2

Przykłady obliczeń tensora momentu bezwładności

Dyskretny rozkład masy

Rozważyć układ czterech mas m(a,a), 2m(a,-a), m(-a,-a) oraz 2m(-a,a),

rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu. Wzajemne odległości

między masami nie ulegają zmianie. (a) Znaleźć tensor momentu

bezwładności tego układu mas.

Odp.:a)

( ) ..22 =−=i

iiixx xrmI−=i

iiixy yxmI

−=i

iiixz zxmI

==i

iiyy xmI 2

( ) ( ) +=−=i

iiii

iiizz yxmzrmI 2222 ..

yxI=

==== zyyzzx III 0

a

-a

x

y

?

=2

22

22

1200

062

026

ma

mama

mama

I


3

(b) Znaleźć wektor momentu pędu tego układu mas podczas obrotu z prędkością kątową =i i sprawdzić czy jest on równoległy do wektora prędkości kątowej.

b)𝐿 = ሚ𝐼 ∙ 𝜔 =

6𝑚𝑎2 2𝑚𝑎2 02𝑚𝑎2 6𝑚𝑎2 00 0 12𝑚𝑎2

°𝜔00

= 6𝑚𝑎2𝜔 Ƹ𝒊 + 2𝑚𝑎2𝜔 Ƹ𝒋


4

Liniowy rozkład masy

Cienki jednorodny pręt o długości l i gęstości liniowej

obraca się wokół osi OZ

constdy

dm==

== dmrII zzxx

2oraz

=yyI

+===

− −883

1

3

332

2

2

2

32 ll

l

mydyyI

l

l

l

l

zz

czyli128

2

3

23 mll

l

mI zz ==

X

Y

Z

dm

r

0

Jeżeli przesuniemy oś obrotu na koniec pręta, to I’= ?


5

R

Cienki jednorodny dysk o promieniu R i gęstości

powierzchniowej

Powierzchniowy rozkład masy

dr

XY

Z

ds

dm=

yyxx II =

= dmrI zz2

pozostałe momenty bezwładności obliczymy korzystając z własności ciała o symetrii osiowej - własności tensora momentu bezwładności:

dm= ·ds = · 2 ·r·dr

===R

zz

mRR

R

mdrrI

0

24

2

3

2422

więc


6

( ) ( ) ( ) −+−+−=++i i i

iiiiiiiiizzyyxx zrmyrmxrmIII 222222

2222

iiii zyrx −−=

Wiadomo, że

( ) ( ) ( )=−+−++=++ i i i

iiiiiiiiizzyyxx zrmyrmzymIII 222222

a więc

==++VV

zzyyxx dVrdmrIII 22 22

gdzie

( ) =−+−++=i

ii

i

iiiiiii rmzryrzym 2222222 2

++= iiii zyxr

Dla ciągłego rozkładu masy:

R


7

yyxx II =

===+S

zzxx dSrdmrII 22 222

22

22 mR

mRI xx =+

4

2mRII yyxx ==

Dla rozważanego dysku

otrzymujemy więc

a więc

stąd

XY

Z

2

2mRI zz =

==R

mRR

R

mdrr

0

24

2

3

42222


8

Lub obliczając inaczej: ( ) −== dmxrII yyxx22

skoro

a x2+ y2+ z2 =r2 oraz x = y a więc r2= 2x2 x2 = ½ r2

==

−==

S

yyxx

R

R

mrdr

rdS

rrII

42

22

4

2

222

4

2mRII yyxx ==


9

Powłoka kulista (sfera)

Z

R

Y

X

Gęstość powierzchniowa powłoki o promieniu R

wynosids

dm=

Skoro jest symetria kulista to:

zzyyxx III ==

x2+ y2+ z2 =r2 oraz x = y= z r2= 3x2

3

22 rx = czyli ==

−=== 22

22

3

2

3

2

3mRdmrdm

rrIII zzyyxx

Lub inaczej:

3𝐼𝑥𝑥 = 2න𝑅2𝑑𝑚

𝐼𝑥𝑥 =2

3න𝑅2𝑑𝑚 =

2

3𝑚𝑅2


10

Objętościowy rozkład masy

• Kula o promieniu R i gęstości objętościowej

r

dm

dr

R

MMRI sfery2

3

2=

dmrdI 2

3

2= = dII

dVrdmrI 22

3

2

3

2 ==

drrdV 24=

25

3

5

0

4

5

2

3

415

8

15

8

3

8MRR

R

MRdrrI

R

====


11

Inny sposób obliczeń:

𝑑𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑑𝑉 = 𝜌𝜋𝑅2𝑑𝑦 = 𝜌𝜋 𝑟02 − 𝑦2 𝑑𝑦

𝑑𝐼 =1

2𝑑𝑚𝑅2 =

𝜌𝜋

2𝑟04 − 2𝑟0

2𝑦2 + 𝑦4 𝑑𝑦

𝐼 = න𝑑𝐼 =𝜌𝜋

2න−𝑟0

𝑟0

𝑟04 − 2𝑟0

2𝑦2 + 𝑦4 𝑑𝑦 =

=8

15𝜌𝜋𝑟0

5

Kulę o promieniu 𝑟0 składamy z plastrów o bieżącym promieniu R i grubości dy:

𝑀 = 𝜌𝑉 =4

3𝜋𝜌𝑟0

3 𝐼 =2

5𝑀𝑟0

2


12

• Symetria cylindryczna

walec o promieniu podstawy R, wysokości H i masie M

+

+

=

2

22

22

2

100

012

1

4

10

0012

1

4

1

MR

MHMR

MHMR

IwX

Y

Z

X

Y

Z

=

000

012

10

0012

1

2

2

ML

ML

I p

cienki pręt o długości L i masie M

Przykład:

Dwie masy punktowem1 = 200 g im2 = 300 g są umieszczone na końcach

sztywnego, nieważkiego pręta o długości r = 50 cm. Pręt umieszczony jest

pod kątem =200 względem osi OX, a środek masy tego układu ciał znajduje

się w środku układu współrzędnych XY. Pręt wiruje z częstotliwością f =

2 Hz, a osią obrotu jest oś OY. Obliczyć składowe wektora momentu

pędu oraz podać jego kierunek.

x1y2

y1x2

m1

m2

Y

X

Plan:

• środek masy

• składowe tensora

• składowe momentu pędu

• tg


13

Środek masy:

Składowe tensora:

=

i

iism rmm

r1

m1

m2

r1

r2

r

mrrr 2,012 =−=

mmm

rmr 3,0

5,0

5,03,0

21

21 =

=

+=

mrx 28,0cos11 −=−=

mrx 19,0cos22 ==

mry 1,0sin11 −=−=

mry 07,0sin22 ==

( ) ( )22222

21

211 xrmxrmI xx −+−=

( ) ( ) 20036,00012,00024,0036,004,03,0078,009,02,0 mkgI xx =+=−+−=

( ) ( ) 222

222

21

211 0265,00105,0016,0 mkgyrmyrmI yy =+=−+−=

0222111 =−− zxmzxm=zzI

222111 yxmyxmII yxxy −−==

20096,0004,00056,0 mkg −=−−=

x1


14

( ) −=i

iiixx xrmI 22 −=i

iiixy yxmI

I =3,6 −9,6 0−9,6 26,5 00 0 0

∙ 10−3

Składowe momentu pędu:

tg

76,26,9

5,26−=−===

yy

xy

x

y

I

I

L

Ltg o08,70−=

m1

m2

L


15

𝐿 = ሚ𝐼 ∙ 𝜔 =3,6 −9,6 0−9,6 26,5 00 0 0

°04𝜋0

∙ 10−3 = −38,4𝜋 ∙ 10−3, 106𝜋 ∙ 10−3, 0


16

Toczenie bez poślizgu

Toczenie bez poślizgu jest specyficznym rodzajem ruchu

bryły sztywnej, będącym złożeniem ruchu postępowego

środka masy i ruchu obrotowego wokół środka masy.

Przyczyną toczenia jest występowanie tarcia statycznego.

2R

śm


17

ωR

ωR

śm

vśm

vśm

vśm

2vśm

v = 0

vśm

ruch obrotowy

wokół osi

przechodzącej

przez środek

masy

ruch postępowy toczenie bez

poślizgu jako

złożenie ruchówRvśm =

Raśm =

ωR


18

Energia toczącego się ciała.

całkowita

energia kinetyczna

energia kinetyczna

ruchu postępowego

energia kinetyczna

ruchu obrotowego

2śmkp mv

2

1E =

20

2

1IEko =

Rvśm =

22kp mR

2

1E =

20

22

2

1

2

1 ImREk +=

Ek = Ekp + Eko


19

2walca mR

2

1I =

2kuli mR

5

2I =

2obr mRI =

Całkowita energia kinetyczna

2śm

2222kw mv

4

3mR4

1mR2

1E =+=walca

2śm

2222kk mv

10

7mR5

1mR2

1E =+=kuli

obręczy 2śm

2222kobr mvmR

2

1mR2

1E =+=

Ekobręczy > Ekwalca > Ekkuli


20

Przykład

Na jednorodny walec o masie m i promieniu R nawiniętajest nitka, której wolny koniec zaczepiono do sufitu. Swobodnie puszczony walec spada obracając się i powoduje rozwijanie się nitki – jak na rysunku obok. Ruch obrotowy walca wywołany jest działaniem momentu siły M = mgR.

Przyspieszenie liniowe znajdujemy

z równania ruchu gdzie I jest

momentem bezwładności walca.

Tak więc skąd a = 2g !

R

mg

2

2

dt

dRa

=

2

2

dt

dIM

=

R

amRmgR = 2

2

1a = 2/3 g


21

Zasada zachowania momentu pędu

dt

LdM zew

=W układzie inercjalnymwypadkowy moment sił

jest równy

zmianie momentu pędubryły sztywnej

0=dt

Ld

Jeżeli to czyli 0=zewM

constL =

=


22

Przykład

Na rysunku przedstawiono studenta siedzącego na stołku obrotowym. Student pozostaje w spoczynku, trzymając w ręku koło rowerowe, które ma moment bezwładności Ik=1.2 kg∙m2 względem swojej osi. Koło obraca się z prędkością kątową ωk = 3,9 obrotów/s. W pewnej chwili student obraca koło w wyniku czego student, stołek i środek masy koła zaczynają się obracać razem wokół osi obrotu stołka. Moment bezwładności tego ciała złożonego wynosi Ic=6,8 kg ∙m2. Obliczyć prędkość kątową ωciała po obróceniu koła. W jakim kierunku obraca się student wraz z kołem?

HRW, 1


23

Rozwiązanie

Z zasady zachowania momentu pędu:

kc LL 2=

kkcciał II 2=

kck LLL −=

c

kkciałI

I 2=

poprzed LL

=

wykład 6: bryła sztywna - agh university of science and...

Documents