WYKEAD 5

WYZSZE POCHODNE,

SYMETRIA DRUGICH( WYZSZTCH ) POATODNYCH

11.03.2016

CEL :

DEFlN1CJAwYZS2YCtlP0CHoDNYCHd9WtrakciepopmednichwykTao1dv2defimiowolismypojqcievoZnic2Kowaluosciora2pochodnqodwsorowanmigdzypnestmeniemiBandche.0kazatosig.Zepochodnejestobiekteminneyoroobojumizwyjscioweodwsorowanieif.XoU-YfliXom-7BCxiD2animwigcsdefmiujemypochodnpdruggstmeciqiwyznemusimypmyjmeisigsytuaij.fslifjestndzhicskowalnewkazdympunkuesbiovuUcXtofljestoduzoNowaniemoKNeslonymmeMowartosciachwBCxiDPmestmeiBKiDjestuuarmowaneijesliYjcstpnestmenipBauachetoBKiDtezjestp.Banache.MamyjuzwystarcsojqwdutomaNgdziZeoysdefimiowacpochodqodw2orowaniefliU-7BK.D.Wustalonympuuku.exoeUCfYhdjestelemehtemBCXiBCxiD.Wiemyjuz.ZeLCXiLCxiDtLCx.XjD.Csymamytezisomorfizmdheodwzorowanogranicsomya.7GtojestBCx.xjY.1NovmeodwaorowaniedwuCwielojliniowego.CipoposiodusonowandwuCwieloJliniowyck7.NQs2kqsu.esytuajejestwaglqdnieproste.FAKTiNiechFiVx.gI-Wbgokieodwsovowaniemk-limiowym.Riwn0WQZnesgwarunkejestciggel3Fjestupopew0l3Fjcstogranicsone.tzn1supHFf0n.iv.dHcaocsyoiAe11oilK1nx3t2WVxIVuzywamynormy1l@msn.com

ill . Fjestuggte w 0 ,tan

He >o 28 : miaxlltill< 8 => 11 Flat , ... ,0DH ( e. .

Weimyteroz (xz ,... ,×k )

takie.ZeViHxii.1Wteoy1l8xillf8i30lltY8xii.Dxk1lkE.xsoYPnllFl8xir.i8xdfE8PsxuygylnFlxrr.xid11fEsupHtYxu.nD1fEgcxFfElhn.i.MsthD-Flvzr.i.rH-FQz.rfthu.i.OkthDtFChz.Qtkr.J-FCrzr.iQd-Ft0ziAiBthsii.lJkthktFlv.huOsth3r.jtFChz.Othz.J-FHa.i.TkI-i.imIeDFCIr.iJm.ihm.imnthmnr.IHFltihzi.i0kthD-FlIi.iQdH-HZFlIr.iJm.nhm.0mnthmnr.i0kthk1HfKfZH.illfZM11H1.t1Jmnlll1nmH11Jnnthmt.ll.lNkthidl@m-aranicseuiemeFWezmyterQzfnz.ihDiViHhillyfwtedy11Q.thillflwillt8f2hillSi8cM.ax

"0i "

* )f Sm€ylKH . : htm -111211%+111 . -2114<1168.2

"(miaxhE

e > 5.2 "

1102, ... it .) "

"

Due unoeongoE tnebo wzipi 8<2%1 , ( v , , ...

.%HK.wtedy

joili 11 (hz , ... :hk)H( S to Hffhthzi . ,°k+hk) - Fat , . ,adH( { ,zotem F

jest agape w ( h , ... at.1

.Do

Liwbg KFII = Suplltyxz , ... ,x,d| mazywamy mormq odwsorowanie F- 31krill ! 1

kalwospnawoba hq Zetaname mo Sens,

tzn funkgie FHHFH jest normq .

Oduwnouania ogranicsome one sbiovu L( Y ... ,v ; w ) osuauomy BC v,

. . ,v ; w )BCY . ,v;w ) jest pmestmeuiguuovmowanq , Banoanejeili W

jestBanana

.

Wiemy juz ,ze istnieje izomorfizm migoby L( v

, LCY ... Llywl ) e LCY . . ,V;DKazde stych podpmestneui sawiere odpowieohu

.

podsbior ( podpmestmai

timing ) odwsonowan '

agranicsonych : B(v , BC v,

... BC Ywl ... ) i B ( v,

... ,v ; w )Okazuje his , Ze sodwobi

FAKT : Nick Fe BCYBCV , . . .

, BC Ywl . . ) . Oanoumy Q.

E L ( V, .,V ;Dodwzoro-

Qphh ,... .at#odr...)0k )

Q . f- BCY . .

Ni w ), pmypompdkowanie F - ' QF jest izomehycsnymizomorfizmem

.

DOW '0D

wezmynajpierw k=2 FEBCV , BHW ) ) ten HFHjsqy,P±zHEn÷

- BCYW )

tanker ";fypk ,

"#Hh " th "Fltgfyp

, sky .nl#od4H= .

= sup HQP (t.tl/1=11Qp11Dhedowolugokdowodpmebiegeidentycz1hkH't me

, tylko mapisysgokuzhe .

110211=2

F Qp jest izomewig . fest tez isomarfiamem liniowym - tawomozemywskdsai odusovowanie odwrothe

Q 1- Fa QFBCYBCY

... BCYWDBlur . ,v;w )

Dbe K=2 many

Fair )=QHi )a

Defining ohugig.

Iwyzhych pododnych mozemy term sgormuiowac

'

nastg -

pujgw : 32DEFINKJA Niels f :X 7U Y bgdzie nizhiczkowalne w kazaym punkuie U

.

Mowing ,ze f jest rdznicskowalne due

Nozyw puukcie XOEU jail isthiejepochodne odwsorowanie ft : UTBCX , 4) w puukue xo

. Dmugp podwdnq

osuaosamy f"

( xo ) . Jest one clementem BCX, BCFY ) ) . BCFX ;D

Pochodwp mgdu K definingany indukcyjmie , jako pounding odwzovowanie

ft ": U - BCX

, BCX ,. .

. BH , } ) .:) , bgoycp eleeueutemBCX ,BK

,. . . BK ,y ) . . )=

- 1 k

=B(x ,. .

:X ;y )=

.

Wsrid odwonovowan'

dwulimiowychwyrozniamyduulimiowe symehyczne ,tom

QHW )=Q( wit ) . Okazuje big , Ze druge pochodne jest wtasnie take ,tan

many twierokenie

TWIERDZENIE : Jes.li f :U Y jest niznicskowolne dwukrotnie W punkueXOEU lo fllxo ) jest odwsomowaniem dwulimiowym symehycsnym .

Dow '0D : Pokazoic muh.my ,Ze f "(xo) ( K ,h)=f" ( x.) ( h ,k) bib

,co we

jednowychoobi ÷VE >o 11 f'

'(xD ( n ,k) - f "lxD(KNH < {

Pomona bgdzie funky .e

y :[ 0,1 ] at Nf ( xotthtk ) - f( Xotth )y(o)=f( xotk )

411)=f(xothtI¥%×.+n

)¥40)=fl×o+h+k ) - flxoth ) - ffxotk )+f( xo )

wyrrazehie symehyczne wsglgdem soimianyhikjcs.li wigcsdefimiujemy p ( t )=f( xothttk ) - fcxottk ) bqobiemy miei

TH ) - Flo ) - pa ) - 410 ) .

Hf "Ko)(n,K ) - f "lxo) ( K ,h)H= Hf

"

( x. ) ( nik) - yt)+y(o)tyK) -FH - f"

( xo) (K ,h)Hf

fllyk ) - ylo ) - f "lx,) (n ,k)1 +11 pa ) - Flo ) - f

"

( x.)(k,h1H 33

er

Ndznip Sigosamianq ki In,

mozme wigc ssawwac'

jedno 2 him

Szaaujemy 11 pa ) - plo) - f"

( xo) ( h,1<1/1--4 ya ) - ylo) -

y't) ty

'H) - f

"

( xo ) (h ,k)Df

€41.461.41611

's

HYH) - f "Ho)(MHH

i¥*FEt.li?hxtHItItixtH:mtHt:Yt

=

shoni

*f'

Cxotthtk ) - f'KD]h - fftxotth ) - f 'lxoDh - (f "lx.)k)h÷"

( xo ) ( ktth )h - f "lxo) ( th)= -=H[f' ( xotthtk ) - f 'lx .) - f

"

( x. ) ( th+kDn - ffhxotth ) - ftxo ) - f"

( xo ) ( th )]h / f

fllhllf 11h11 +111<11

f ( - kllt { Hthll ) 11h11 f JEHHH (11h11

+7Ethna(xot )=f' Ho )+(f' Hxo) +R(×o ,)

iii

.it#tixiEHl*E2iwQ%baprawdewynikojque2istmienie

drugig.

pahodng:

TiIpa ) - plo ) -

yY9llgssgPonlydlst@Hlssup.nylyksI-fYxoHn.kItfYxokn.ktytd11twierd2euieoWartosciSredhiejfssuPHYlsI-fllCxoKh.k1Ht11yYo1-f4xDCn.k14fJeHhH41hlHl1klYt2E11n1141hlltllklD5Ttakiewsbyos2acowanewaes.nig.Ostatecsnie11yhI-yH-fYxoHnik1Df6E11nkf1h11tHklDDnugaassi2fifYxoXkiDpowstajesjuzossacowanejpme22amiansKneh.w

n ) - FCO) - f"

(xD (K ,h) 116 6 EHKH (11h11 +111<11 )

Rozniaq migobyf "(×D( kin ) if"

( xD ( h,

1<1 many oszawwoug sateen naslg -

pyg ; If 't xD ( k ,k) - f"( x

.) ( K ,h)Hf Ge ( 11h 11+111<11)

'

E wystgpujgce s ossacowaniu pochoobitoz wypowiedzi HE >o FS : 11h11,11141<8

Ossawwauie dooipzeye wigc the maiych hik. Iauwazmy jedmlk ,

ze

one wsglgdu me douliniowosc f "Ko) I Ponti prawg.

strong mozemynapisac'

:

Hf"

(Xo) (n ,k) - f 'YxD(kin ) 11 f GE ( 11h11 +HKHP / XZ

11 Mf "( xo) (h

,K) - A. . 11 f GE flllhll +1111141)

'

11 f"

( xo) ( th ,Xk) -. . . 11 ! GE ( HRHIIHHKH }

Nieriwnosi sochodz.

wigc tet one Hh,XK ) pnydooolnymi .

E Modal posonojedowoluie mote

,w

; "

KDCHKI - f "(×D( kin )a

Indukcyjmie mozme wdowodnic, ze pochodme K -tego mgdu , job

.

isthigdjest odwsonowaniem limiowym symehyosnym

. Dhe K - liniouych Warunek symetni02 noise miezmiennicsojc one wsglqoln me dowolue permutogig arguments .

Dokiadnie men biorpc 33QE L(v÷f; w ) noryuamy symemyauynjesli ale dowolnego

ukiaobe (Qs ,. . .

,D

,< ) elevator 2 V I dowolnq.

permutocfi TESKsaihodzi Q(t , ... ,Q<)= Q ( Jon , , ...

, Jock ,)

UWAGA : Podobnie jak Samo istmienie pahodnycu kierunkowych me ywowantowa.

to voznicokowaleusci,

takze Somo isthienie owuojch poawdnych kierunkowyurme gwarantuje isthieuie drwjg

.

pochodnej wseusiemocnym a nawet

Mie gwarantuje symewii tgu pouodnych . fako pnykiowl rozwazmykolejny ueksponat

"w kolekyifunkyi dziwnycn

:

t :R2 R, ft ,o)=o flxy

)=×y¥5§z÷ays=fi;otkH#ayT

. fi;.tt#tH+T)=.ystF6.ot=jestgf.ol=tlemotKtYHIeei;ottxtxKY)=xs?Itycaotst/

Problem 2 funky.q f wynikd 3 tag ze mienane pochoolne mie sq aforeW (0,0)

. Obaoigsuje baoiem twierdzenie :

34TWIERDZEME f :X >M Y fish

.

w otoczeniu xo istniqig Thtff I DkthfOva2 squiggle w xo to sq Nswne is Xo

.

Twierokenie tego dowodzii mie beokiemy , gdyz naowanie mieokugowyjdzieman unami ! Dowd jest

u zielonym skypie .Na tonic wart sanotowai

kyterium , , byaie Klasy CK "

ale odwsorowan' R

" Rm

TWIERDZENIE : Odwsorowanie f : R"

> U - R"

jest klasyCK me U

wtedyi tylko wteoy , gay istmiejp I

sq cigge wnystkie pochodneagstkowe Mdn K

zk÷xjzaxjs . . . 2g;,

Jett , . ... ,m }