wykład 1. wprowadzenie do teorii grafów

Podstawowe de�nicje

Wykªad 1.Wprowadzenie do teorii grafów

1 / 112

Podstawowe de�nicje

Literatura

1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów.2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do

algorytmów.3 K. A. Ross, Ch. R. B. Wright; Matematyka dyskretna.4 M. Sysªo, N. Deo; Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w

Turbo Pascalu.5 M. Libura, J. Sikorski; Wykªady z matematyki dyskretnej. Cz. I:

Kombinatoryka.6 M. Libura, J. Sikorski; Wykªady z matematyki dyskretnej. Cz. II: Teoria

grafów.7 J. Kurose, K. Ross; Sieci komputerowe. Od ogóªu do szczegóªu z

Internetem w tle.8 J. Harris, J. Hirst, M. Mossingho�; Combinatorics and Graph Theory.9 D. Medhi, K. Ramasamy; Network Routing: Algorithms, Protocols and

Architectures.10 D. Jungnickel, Graphs; Networks and Algorithms.11 B. Korte, J. Vygen; Combinatorial optimization.

2 / 112

Podstawowe de�nicjeGraf nieskierowanyGrafy skierowaneDrogi i cykle

De�nicja grafu nieskierowanego

De�nicja

Grafem nieskierowanym nazywamy uporz¡dkowan¡ trójk¦:

G = 〈V ,E , γ〉

gdzie: V � niepusty zbiór wierzchoªków grafu G , E � zbiór kraw¦dzi grafuG , γ � funkcja ze zbioru E w zbiór {{u, v} : u, v ∈ V } wszystkichpodzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V .

De�nicja

Je»eli e ∈ E oraz γ (e) = {v1, v2} , to elementy v1 i v2 nazywamy ko«camikraw¦dzi e.

3 / 112


De�nicja grafu nieskierowanego

De�nicja

Grafem nieskierowanym nazywamy uporz¡dkowan¡ trójk¦:

G = 〈V ,E , γ〉

gdzie: V � niepusty zbiór wierzchoªków grafu G , E � zbiór kraw¦dzi grafuG , γ � funkcja ze zbioru E w zbiór {{u, v} : u, v ∈ V } wszystkichpodzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V .

De�nicja

Je»eli e ∈ E oraz γ (e) = {v1, v2} , to elementy v1 i v2 nazywamy ko«camikraw¦dzi e.

4 / 112


Przykªad

W praktyce cz¦sto wykorzystujemy gra�czn¡ reprezentacj¦ grafu

a b cd

f

gh

klm

12

34

5 6 7

8

Niech G = 〈V ,E , γ〉 , gdzie:

V = {1, 2, ...8} , E = {a, b, c, d , e, f , g , h, k, l ,m} ,

za± funkcja γ okre±lona jest za pomoc¡ tabeli

e a b c d f g hγ (e) {1, 2} {2} {2, 3} {4} {3, 6} {6, 7} {5, 6}

k l m{2, 5} {1, 5} {1, 5}

5 / 112


Przykªad


a b cd

f

gh

klm

12

34

5 6 7

8


V = {1, 2, ...8} , E = {a, b, c, d , e, f , g , h, k, l ,m} ,


e a b c d f g hγ (e) {1, 2} {2} {2, 3} {4} {3, 6} {6, 7} {5, 6}

k l m{2, 5} {1, 5} {1, 5}

6 / 112


Przykªad


a b cd

f

gh

klm

12

34

5 6 7

8


V = {1, 2, ...8} , E = {a, b, c, d , e, f , g , h, k, l ,m} ,


e a b c d f g hγ (e) {1, 2} {2} {2, 3} {4} {3, 6} {6, 7} {5, 6}

k l m{2, 5} {1, 5} {1, 5}

7 / 112


Kraw¦dzie grafu

a b cd

f

gh

klm

12

34

5 6 7

8

De�nicja

Je»eli γ (e) = {v , v} = {v} , to kraw¦d¹ e nazywamy p¦tl¡.

Na rysunku p¦tlami s¡ kraw¦dzie b i d , poniewa» γ (b) = {2} i γ (d) = {4} .

8 / 112


Kraw¦dzie grafu

a b cd

f

gh

klm

12

34

5 6 7

8

De�nicja

Je»eli γ (e) = {v , v} = {v} , to kraw¦d¹ e nazywamy p¦tl¡.

Na rysunku p¦tlami s¡ kraw¦dzie b i d , poniewa» γ (b) = {2} i γ (d) = {4} .

9 / 112


Kraw¦dzie grafu

a b cd

f

gh

klm

12

34

5 6 7

8

De�nicja

Je»eli kraw¦dzie e i f s¡ ró»ne (e 6= f ) i γ (e) = γ (f ) , to nazywamy jekraw¦dziami wielokrotnymi (równolegªymi)

Na rysunku kraw¦dziami wielokrotnymi s¡ kraw¦dzie m i l , bowiemγ (l) = γ (m) = {1, 5}

Uwaga

W przypadku, gdy nie ma w gra�e G kraw¦dzi wielokrotnych, to funkcja γjest ró»nowarto±ciowa.

10 / 112


Kraw¦dzie grafu

a b cd

f

gh

klm

12

34

5 6 7

8

De�nicja



Uwaga


11 / 112


Kraw¦dzie grafu

a b cd

f

gh

klm

12

34

5 6 7

8

De�nicja



Uwaga


12 / 112


De�nicja

Je»eli w gra�e G , a i b nie s¡ kraw¦dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x , y} iγ (b) = {y , z} , to mówimy, »e:

1 Kraw¦dzie a i b s¡ kraw¦dziami s¡siednim lub przylegªymi (maj¡wspólny wierzchoªek y).

2 Wierzchoªki x , y (oraz y i z) s¡ wierzchoªkami s¡siednimi .3 Wierzchoªek x (a tak»e y) jest incydentny do kraw¦dzi a (jest ko«cem

tej kraw¦dzi)

13 / 112


De�nicja




tej kraw¦dzi)

14 / 112


De�nicja



2 Wierzchoªki x , y (oraz y i z) s¡ wierzchoªkami s¡siednimi .

3 Wierzchoªek x (a tak»e y) jest incydentny do kraw¦dzi a (jest ko«cemtej kraw¦dzi)

15 / 112


De�nicja




tej kraw¦dzi)

16 / 112


Graf prosty

De�nicja

Graf bez kraw¦dzi wielokrotnych i p¦tli nazywamy grafem prostym.

Przykªadem grafu prostego jest graf G przedstawiony na rysunku

1 2

3

4a

b

d e

f

c

17 / 112


Graf prosty

De�nicja

Graf bez kraw¦dzi wielokrotnych i p¦tli nazywamy grafem prostym.

Przykªadem grafu prostego jest graf G przedstawiony na rysunku

1 2

3

4a

b

d e

f

c

18 / 112


W przypadku grafów bez kraw¦dzi wielokrotnych (w szczególno±ci wprzypadku grafów prostych) de�nicja grafu sprowadza si¦ do podania zbioruwierzchoªków V i kraw¦dzi w postaci {p, q} , gdzie p, q ∈ V , np. na rysunkuzamiast pisa¢ γ (a) = {1, 3} b¦dziemy pisa¢ a = {1, 3} .

Uwaga

W dalszej cz¦±ci graf bez kraw¦dzi wielokrotnych (w szczególno±ci grafprosty) b¦dziemy zapisywali jako

G = 〈V ,E〉

pami¦taj¡c, »e E = {{p, q} : p, q ∈ V } .

19 / 112


W przypadku grafów bez kraw¦dzi wielokrotnych (w szczególno±ci wprzypadku grafów prostych) de�nicja grafu sprowadza si¦ do podania zbioruwierzchoªków V i kraw¦dzi w postaci {p, q} , gdzie p, q ∈ V , np. na rysunkuzamiast pisa¢ γ (a) = {1, 3} b¦dziemy pisa¢ a = {1, 3} .

Uwaga

W dalszej cz¦±ci graf bez kraw¦dzi wielokrotnych (w szczególno±ci grafprosty) b¦dziemy zapisywali jako

G = 〈V ,E〉

pami¦taj¡c, »e E = {{p, q} : p, q ∈ V } .

20 / 112


Stopie« wierzchoªka i stopie« grafu, w gra�e nieskierowanym

De�nicja

Liczb¦ kraw¦dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p¦tlami liczonymipodwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy

deg(v).

Liczb¦ wierzchoªków stopnia k oznaczamy

Dk (G) .

Dla ka»dego grafu de�niujemy ci¡g stopni wierzchoªków grafu G

(D0 (G) ,D1 (G) ,D2 (G) , . . .) .

De�nicja

Stopniem grafu G nazywamy liczb¦

∆ (G) := maxv∈V

deg (v) .

Stopie« grafu jest wi¦c równy najwy»szemu ze stopni jego wierzchoªków.

21 / 112



De�nicja


deg(v).


Dk (G) .


(D0 (G) ,D1 (G) ,D2 (G) , . . .) .

De�nicja


∆ (G) := maxv∈V

deg (v) .


22 / 112



De�nicja


deg(v).


Dk (G) .


(D0 (G) ,D1 (G) ,D2 (G) , . . .) .

De�nicja


∆ (G) := maxv∈V

deg (v) .


23 / 112



De�nicja


deg(v).


Dk (G) .


(D0 (G) ,D1 (G) ,D2 (G) , . . .) .

De�nicja


∆ (G) := maxv∈V

deg (v) .


24 / 112


De�nicja

Wierzchoªek stopnia zerowego nazywamy wierzchoªkiem izolowanym.

De�nicja

Wierzchoªek stopnia pierwszego nazywamy wierzchoªkiem ko«cowym lubwisz¡cym.

25 / 112


De�nicja

Wierzchoªek stopnia zerowego nazywamy wierzchoªkiem izolowanym.

De�nicja

Wierzchoªek stopnia pierwszego nazywamy wierzchoªkiem ko«cowym lubwisz¡cym.

26 / 112


Przykªad

Rozwa»my graf:

x1b

x8

d

x2a

f

e

cx3

x5 x4

x7

h

g x6

Na rysunku:

1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x72 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x63 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 34 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)

5 stopie« tego grafu wynosi wi¦c ∆ (G) = 5

27 / 112


Przykªad

Rozwa»my graf:

x1b

x8

d

x2a

f

e

cx3

x5 x4

x7

h

g x6

Na rysunku:

1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x72 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x63 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 34 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)


28 / 112


Przykªad

Rozwa»my graf:

x1b

x8

d

x2a

f

e

cx3

x5 x4

x7

h

g x6

Na rysunku:1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x7

2 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x63 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 34 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)


29 / 112


Przykªad

Rozwa»my graf:

x1b

x8

d

x2a

f

e

cx3

x5 x4

x7

h

g x6

Na rysunku:1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x72 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x6

3 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 34 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)


30 / 112


Przykªad

Rozwa»my graf:

x1b

x8

d

x2a

f

e

cx3

x5 x4

x7

h

g x6

Na rysunku:1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x72 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x63 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 3

4 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)


31 / 112


Przykªad

Rozwa»my graf:

x1b

x8

d

x2a

f

e

cx3

x5 x4

x7

h

g x6

Na rysunku:1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x72 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x63 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 34 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)


32 / 112


Przykªad

Rozwa»my graf:

x1b

x8

d

x2a

f

e

cx3

x5 x4

x7

h

g x6

Na rysunku:1 wierzchoªki izolowane, to x5 i x72 wierzchoªki wisz¡ce to x4 i x63 ponadto deg (x1) = 2 i deg (x2) = 5, deg (x3) = 4 i deg (x8) = 34 ci¡g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast¦puj¡cy (2, 2, 1, 1, 1, 1)


33 / 112


Kraw¦dzie szeregowe

De�nicja

Mówimy, »e dwie nierównolegªe kraw¦dzie s¡ kraw¦dziami szeregowymi,je»eli ich wspólny wierzchoªek jest stopnia drugiego.

x1b

x8

d

x2a

f

e

cx3

x5 x4

x7

h

g x6

W gra�e kraw¦dzie a i b s¡ szeregowe, natomiast kraw¦dzie b i c s¡ przylegªeale nie s¡ poª¡czone szeregowo, bowiem ich wspólny wierzchoªek jest stopniatrzeciego.

34 / 112



De�nicja


x1b

x8

d

x2a

f

e

cx3

x5 x4

x7

h

g x6


35 / 112



De�nicja


x1b

x8

d

x2a

f

e

cx3

x5 x4

x7

h

g x6


36 / 112


Izomor�zm grafów

De�nicja

Niech dane b¦d¡ grafy G1 = 〈V1,E1〉 oraz G2 = 〈V2,E2〉 (bez kraw¦dziwielokrotnych).

Mówimy, »e grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne, je»eli istnieje wzajemniejednoznaczne przeksztaªcenie α : V1 → V2 takie, »e kraw¦d¹ {u, v} jestkraw¦dzi¡ grafu G1 ({u, v} ∈ E1) wtedy i tylko wtedy, gdy {α (u) , α (v)} jestkraw¦dzi¡ grafu G2 ({α (u) , α (v)} ∈ E2).

37 / 112


Izomor�zm grafów

De�nicja


Mówimy, »e grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne, je»eli istnieje wzajemniejednoznaczne przeksztaªcenie α : V1 → V2 takie, »e kraw¦d¹ {u, v} jestkraw¦dzi¡ grafu G1 ({u, v} ∈ E1) wtedy i tylko wtedy, gdy

{α (u) , α (v)} jestkraw¦dzi¡ grafu G2 ({α (u) , α (v)} ∈ E2).

38 / 112


Izomor�zm grafów

De�nicja


Mówimy, »e grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne, je»eli istnieje wzajemniejednoznaczne przeksztaªcenie α : V1 → V2 takie, »e kraw¦d¹ {u, v} jestkraw¦dzi¡ grafu G1 ({u, v} ∈ E1) wtedy i tylko wtedy, gdy {α (u) , α (v)} jestkraw¦dzi¡ grafu G2 ({α (u) , α (v)} ∈ E2).

39 / 112


Izomor�zm grafów

Dla grafów z kraw¦dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si¦ komplikuje

De�nicja

Niech dane b¦d¡ grafy G1 = 〈V1,E1, γ1〉 oraz G2 = 〈V2,E2, γ2〉

Mówimy, »e grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne, je»eli istniej¡ przeksztaªceniaα : V1 → V2 i β : E1 → E2 wzajemnie jednoznaczne, takie, »e kraw¦d¹e ∈ E1 ª¡czy wierzchoªki u, v ∈ V1 (γ1 (e) = {u, v}) wtedy i tylko wtedy, gdyodpowiadaj¡ca jej kraw¦d¹ β (e) ∈ E2 ª¡czy wierzchoªki α (u) i α (v) tzn.γ2 (β (e)) = {α (u) , α (v)} .

Zapis G1 ' G2 czytamy: grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne.

40 / 112


Izomor�zm grafów


De�nicja


Mówimy, »e grafy G1 i G2 s¡ izomor�czne, je»eli istniej¡ przeksztaªceniaα : V1 → V2 i β : E1 → E2 wzajemnie jednoznaczne, takie, »e kraw¦d¹e ∈ E1 ª¡czy wierzchoªki u, v ∈ V1 (γ1 (e) = {u, v}) wtedy i tylko wtedy,

gdyodpowiadaj¡ca jej kraw¦d¹ β (e) ∈ E2 ª¡czy wierzchoªki α (u) i α (v) tzn.γ2 (β (e)) = {α (u) , α (v)} .


41 / 112


Izomor�zm grafów


De�nicja




42 / 112


Izomor�zm grafów


De�nicja




43 / 112


Izomor�zm grafów

44 / 112


Izomor�zm grafów

45 / 112


Niezmienniki izomor�zmu grafów

Z de�nicji izomor�zmu wynika, »e grafy izomor�czne musz¡ mie¢

1 t¦ sam¡ liczb¦ wierzchoªków2 t¦ sam¡ liczb¦ kraw¦dzi3 t¦ sam¡ liczb¦ p¦tli4 t¦ sam¡ liczb¦ wierzchoªków ko«cowych5 t¦ sam¡ liczb¦ wierzchoªków izolowanych6 równ¡ liczb¦ wierzchoªków tego samego stopnia7 ten sam ci¡g stopni wierzchoªków (D0 (G) ,D1 (G) , ...)

Powy»sze warunkami s¡ warunkami koniecznymi izomor�zmu dwu grafów, alenie s¡ warunkami wystarczaj¡cymi.

46 / 112


Graf skierowany

De�nicja

Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamyuporz¡dkowan¡ trójk¦ G = 〈V ,E , γ〉, gdzie V jest niepustym zbioremwierzchoªków, E � zbiorem kraw¦dzi skierowanych (ªuków), γodwzorowaniem zbioru E w zbiór V × V .

De�nicja

Je±li e (e ∈ E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) ∈ V × V ), to

p nazywamy pocz¡tkiem ªuku

q nazywamy ko«cem ªukuo ªuku e mówimy równie», »e

ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka qªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka qªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q

47 / 112


Graf skierowany

De�nicja


De�nicja





48 / 112


Graf skierowany

De�nicja


De�nicja





49 / 112


Graf skierowany

De�nicja


De�nicja



q nazywamy ko«cem ªuku

o ªuku e mówimy równie», »e


50 / 112


Graf skierowany

De�nicja


De�nicja





51 / 112


Graf skierowany

De�nicja


De�nicja




ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka q

ªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka qªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q

52 / 112


Graf skierowany

De�nicja


De�nicja




ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka qªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka q

ªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q

53 / 112


Graf skierowany

De�nicja


De�nicja





54 / 112


Graf skierowany

Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy

De�nicja

Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p¦tl¡.

De�nicja

Je»eli e, k ∈ E oraz γ(e) = (p, q) i γ(k) = (p, q), to kraw¦dzie e i knazywamy równolegªymi lub wielokrotnymi.

De�nicja

Je»eli G jest grafem prostym (bez p¦tli i kraw¦dzi równolegªych), toprzeksztaªcenie γ jest ró»nowarto±ciowe a graf G mo»emy oznacza¢ jakoG = 〈V ,E〉.

55 / 112


Graf skierowany


De�nicja


De�nicja


De�nicja


56 / 112


Graf skierowany


De�nicja


De�nicja


De�nicja


57 / 112


Przykªad

We¹my graf G = 〈V ,E , γ〉, w którym dane s¡ zbiory:

V = {u,w , x , y , z} � zbiór wierzchoªków,E = {(a, b, c, d , e, f , g , h, k, l ,m} � zbiór ªuków

oraz funkcja γ postaci:

e a b c d e f gγ(e) (x , y) (z , y) (z , y) (u, y) (u, x) (z , u) (x , z)

h k l m(y , y) (z ,w) (w , x) (x ,w)

x a

l

m

w kz

bfg

ued

c

yh

58 / 112


Przykªad





h k l m(y , y) (z ,w) (w , x) (x ,w)

x a

l

m

w kz

bfg

ued

c

yh

59 / 112


Przykªad





h k l m(y , y) (z ,w) (w , x) (x ,w)

x a

l

m

w kz

bfg

ued

c

yh

60 / 112


Przykªad

x a

l

m

w kz

bfg

ued

c

yh

kraw¦d¹ h jest p¦tl¡

kraw¦dzie c i b s¡ wielokrotne (równolegªe)

kraw¦dzie l i m nie s¡ wielokrotne (równolegªe)

61 / 112


Przykªad

x a

l

m

w kz

bfg

ued

c

yh




62 / 112


Przykªad

x a

l

m

w kz

bfg

ued

c

yh




63 / 112


Stopie« wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w gra�e skierowanym

De�nicja

Liczb¦ kraw¦dzi skierowanychwychodz¡cych z wierzchoªka xnazywamy stopniem wyj±ciowymtego wierzchoªka i oznaczamydegout(x).

De�nicja

Liczb¦ ªuków wchodz¡cych dowierzchoªka x nazywamy stopniemwej±ciowym wierzchoªka x ioznaczamy degin(x).

x a

l

m

w kz

bfg

ued

c

yh

degout(x) = 3,degout(u) = 2,degout(z) = 4,degout(w) = 1,degout(y) = 1,

64 / 112



De�nicja


De�nicja


x a

l

m

w kz

bfg

ued

c

yh


65 / 112



De�nicja


De�nicja


x a

l

m

w kz

bfg

ued

c

yh


66 / 112



De�nicja


De�nicja


x a

l

m

w kz

bfg

ued

c

yh

degout(x) = 3, degin(x) = 2,degout(u) = 2, degin(u) = 1,degout(z) = 4, i degin(z) = 1,degout(w) = 1, degin(w) = 2,degout(y) = 1, degin(y) = 5,

67 / 112


Stopie« wierzchoªka i stopie« grafu, w gra�e skierowanym

De�nicja

Stopniem wierzchoªka deg(x) w gra�e skierowanym nazywamy sum¦ stopniwej±ciowych i wyj±ciowych wierzchoªka x .

deg(x) = degout(x) + degin(x)

De�nicja

Stopie« grafu ∆(G) okre±lamy jako maksymalny stopie« wierzchoªka w tymgra�e, czyli

∆(G) = maxu∈V

deg(u)

68 / 112


Stopie« wierzchoªka i stopie« grafu, w gra�e skierowanym

De�nicja

Stopniem wierzchoªka deg(x) w gra�e skierowanym nazywamy sum¦ stopniwej±ciowych i wyj±ciowych wierzchoªka x .

deg(x) = degout(x) + degin(x)

De�nicja

Stopie« grafu ∆(G) okre±lamy jako maksymalny stopie« wierzchoªka w tymgra�e, czyli

∆(G) = maxu∈V

deg(u)

69 / 112


�ródªo i uj±cie w gra�e skierowanym

W digrafach wyró»niamy szczególnie dwa typy wierzchoªków, które niewyst¦puj¡ w grafach nieskierowanych, s¡ to ¹ródªa i uj±cia.

De�nicja

�ródªem w digra�e nazywamy nieizolowany wierzchoªek, do którego niewchodzi »aden ªuk.

Wierzchoªek u jest w digra�e ¹ródªem wtedy i tylko wtedy gdy

degin(u) = 0 ∧ degout(u) > 0

De�nicja

Nieizolowany wierzchoªek digrafu, który nie jest pocz¡tkiem »adnego ªukunazywamy uj±ciem.

Wierzchoªek t jest uj±ciem wtedy i tylko wtedy, gdy

degout(t) = 0 ∧ degin(u) > 0

70 / 112




De�nicja




De�nicja




71 / 112




De�nicja




De�nicja




72 / 112


Przykªad

a b c

d e

Stopnie wierzchoªków w gra�e wynosz¡:

deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2

Stopie« grafu wynosi:

∆(G) = maxu∈V

deg(u) = 3

�ródªem w gra�e G s¡wierzchoªki a i c.

Uj±ciem jest wierzchoªek e.

73 / 112


Przykªad

a b c

d e




∆(G) = maxu∈V

deg(u) = 3



74 / 112


Przykªad

a b c

d e


deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1

deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2


∆(G) = maxu∈V

deg(u) = 3



75 / 112


Przykªad

a b c

d e


deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3

deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2


∆(G) = maxu∈V

deg(u) = 3



76 / 112


Przykªad

a b c

d e


deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2

deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2


∆(G) = maxu∈V

deg(u) = 3



77 / 112


Przykªad

a b c

d e


deg(a) = degout(a) + degin(a) = 1 + 0 = 1deg(b) = degout(b) + degin(b) = 1 + 2 = 3deg(c) = degout(c) + degin(c) = 2 + 0 = 2deg(d) = degout(d) + degin(d) = 1 + 1 = 2

deg(e) = degout(e) + degin(e) = 0 + 2 = 2


∆(G) = maxu∈V

deg(u) = 3



78 / 112


Przykªad

a b c

d e




∆(G) = maxu∈V

deg(u) = 3



79 / 112


Przykªad

a b c

d e




∆(G) = maxu∈V

deg(u) = 3



80 / 112


Przykªad

a b c

d e




∆(G) = maxu∈V

deg(u) = 3



81 / 112


Przykªad

a b c

d e




∆(G) = maxu∈V

deg(u) = 3



82 / 112


Grafy wa»one, sieci

De�nicja

Grafem wa»onym nazywamy graf, w którym ka»dej kraw¦dziprzyporz¡dkowana jest liczba rzeczywista (czasami tylko nieujemna) zwanawag¡ tej kraw¦dzi.

1

2 3

4

56

7

89

1011

12

14

16

17

6

83 / 112


Grafy wa»one, sieci

De�nicja

Grafem wa»onym nazywamy graf, w którym ka»dej kraw¦dziprzyporz¡dkowana jest liczba rzeczywista (czasami tylko nieujemna) zwanawag¡ tej kraw¦dzi.

1

2 3

4

56

7

89

1011

12

14

16

17

6

84 / 112


Wa»nym zastosowaniem grafów wa»onych s¡ sieci. W teorii grafówterminami okre±laj¡cymi w¦zeª jest wierzchoªek, a ª¡cze jest kraw¦dzi¡.

W sieci, któr¡ wykorzystujemy do rozwi¡zywania problemówpraktycznych waga kraw¦dzi mo»e oznacza¢ dªugo±¢ odcinka drogi, czasprzejazdu, koszt budowy tego odcinka drogi, przepustowo±¢ (w siecigazowej lub wodoci¡gowej), prawdopodobie«stwo przej±cia sygnaªów,niezawodno±¢ poª¡czenia (w sieci telekomunikacyjnej lub komputerowej)albo dowoln¡ inn¡ cech¦ mierzaln¡ ilo±ciowo przyporz¡dkowan¡ danejkraw¦dzi.

85 / 112




86 / 112




87 / 112


Droga w gra�e

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd

droga efkhk jest drog¡ w gra�e G

jest to droga dªugo±ci 5, odwierzchoªka x5 do wierzchoªka x3

x5 jest wierzchoªkiem pocz¡tkowym, x3jest wierzchoªkiem ko«cowym

γ(e) = {x5, x5}, γ(f ) = {x5, x4},γ(k) = {x4, x3}, γ(h) = {x3, x4},γ(k) = {x4, x3}

De�nicja

Drog¡ w gra�e G nazywamy sko«czony ci¡gkraw¦dzi e1e2...en taki, »e ei ∈ E ,i = 1, ..., n oraz istniej¡ wierzchoªkix1x2...xn+1 takie, »e γ(ei ) = {xi , xi+1} dlai = 1, ..., n.

Mówimy, »e droga e1e2...en jest drog¡dªugo±ci n od wierzchoªka x1 dowierzchoªka xn+1.

Wierzchoªek x1 nazywamy wierzchoªkiempocz¡tkowym, xn+1 - wierzchoªkiemko«cowym drogi.

88 / 112


Droga w gra�e

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd





De�nicja




89 / 112


Droga w gra�e

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd





De�nicja




90 / 112


Droga w gra�e

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd





De�nicja




91 / 112


Droga w gra�e

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd





De�nicja




92 / 112


Droga w gra�e

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd





De�nicja




93 / 112


Droga w gra�e

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd





De�nicja




94 / 112


Droga w gra�e

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd

Ci¡g kraw¦dzi ec nie jest drog¡ w gra�e G ,poniewa» γ(e) = {x5, x5} a γ(c) = {x1, x3}

De�nicja




95 / 112


Droga w gra�e

De�nicja

Je»eli w drodze wierzchoªek pocz¡tkowy pokrywa si¦ z wierzchoªkiemko«cowym, to tak¡ drog¦ nazywamy drog¡ zamkni¦t¡.

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd

Droga degba jest drog¡ zamkni¦t¡. Droga zaczyna si¦ i ko«czy wwierzchoªku x1.

96 / 112


Droga w gra�e

De�nicja

Je»eli w drodze wierzchoªek pocz¡tkowy pokrywa si¦ z wierzchoªkiemko«cowym, to tak¡ drog¦ nazywamy drog¡ zamkni¦t¡.

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd

Droga degba jest drog¡ zamkni¦t¡. Droga zaczyna si¦ i ko«czy wwierzchoªku x1.

97 / 112


Droga prosta (±cie»ka)

De�nicja

Drog¡ prost¡ lub ±cie»k¡ nazywamy drog¦, w której wszystkie kraw¦dzie s¡ró»ne.

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd

Droga degbac jest drog¡ prost¡x1, x5, x5, x3, x2, x1, x3

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd

Droga fkhkc nie jest drog¡ prost¡,poniewa» kraw¦d¹ k powtarza si¦dwa razy.

98 / 112



De�nicja


x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd


x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd


99 / 112



De�nicja


x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd


x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd


100 / 112


Cykl w gra�e

De�nicja

Zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, której odpowiada ci¡g wierzchoªków x1x2...xnx1,nazywamy cyklem je±li wszystkie wierzchoªki x1x2...xn s¡ ró»ne.

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd

Droga dgba jest drog¡ prost¡, zamkni¦t¡.Ci¡g wierzchoªków, które jej odpowiadaj¡jest postaci x1, x5, x3, x2, x1, a wi¦cwszystkie wierzchoªki x1, x5, x3, x2 s¡ ró»ne.

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd

Droga degba nie jest cyklem, chocia» jestdrog¡ prost¡, zamkni¦t¡, poniewa» w ci¡guwierzchoªków, odpowiadaj¡cych tej drodzex1, x5, x5, x3, x2, x1 wierzchoªek x5 powtarzasi¦.

101 / 112


Cykl w gra�e

De�nicja


x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd


x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd

Droga degba nie jest cyklem, chocia» jestdrog¡ prost¡, zamkni¦t¡, poniewa» w ci¡guwierzchoªków, odpowiadaj¡cych tej drodzex1, x5, x5, x3, x2, x1 wierzchoªek x5 powtarzasi¦.

102 / 112


Cykl w gra�e

De�nicja


x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd


x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd

Droga degba nie jest cyklem, chocia» jestdrog¡ prost¡, zamkni¦t¡, poniewa» w ci¡guwierzchoªków, odpowiadaj¡cych tej drodzex1, x5, x5, x3, x2, x1 wierzchoªek x5 powtarzasi¦. 103 / 112


Graf acykliczny

De�nicja

Graf nie zawieraj¡cy cykli nazywamy grafem acyklicznym.

Graf acykliczny.

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd

Graf posiada cykle np. fgh, acb itd.

104 / 112


Graf acykliczny

De�nicja


Graf acykliczny.

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd


105 / 112


Graf acykliczny

De�nicja


Graf acykliczny.

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd


106 / 112


Odlegªo±¢ wierzchoªków

De�nicja

Odlegªo±ci¡ pomi¦dzy wierzchoªkiem u i wierzchoªkiem v nazywamydªugo±¢ najkrótszej drogi od u do v i oznaczamy j¡ symbolem d(u, v).

x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd

Odlegªo±¢ pomi¦dzy wierzchoªkami x2 i x4 wynosi

d(x2, x4) = 2.

Ka»da inna droga ª¡cz¡ca te wierzchoªki ma dªugo±¢ wi¦ksz¡ ni» 2 np. drogax2x3x1x5x4 ma dªugo±¢ 4.

107 / 112



De�nicja


x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd


d(x2, x4) = 2.


108 / 112



De�nicja


x1 x2

x3

x4

x5

a

c

gfe

k h

bd


d(x2, x4) = 2.


109 / 112


Graf spójny

De�nicja

Graf G nazywamy spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy, ka»da para jego ró»nychwierzchoªków jest poª¡czona drog¡ w tym gra�e.

110 / 112


Drzewo

De�nicja

Graf spójny i acykliczny nazywamy drzewem.

u t v m

w

s k l

y x z n

111 / 112


Dzi¦kuj¦ za uwag¦!!!

112 / 112

wykład 1. wprowadzenie do teorii grafów

Documents