WYKŁAD 2WYKŁAD 2

I. WYBRANE ZAGADNIENIA Z KINEMATYKII. WYBRANE ZAGADNIENIA Z KINEMATYKI1.1. Ruch jednowymiarowy.Ruch jednowymiarowy.2.2. Ruch jednostajnie przyspieszony.Ruch jednostajnie przyspieszony.3.3. Porównanie ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie Porównanie ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie

zmiennym.zmiennym.4.4. Wektory.Wektory.

II. RUCH KRZYWOLINIOWYII. RUCH KRZYWOLINIOWY1.1. Kinematyka ruchu punktu materialnego po torze kołowym. Kinematyka ruchu punktu materialnego po torze kołowym. 2.2. Omówienie rodzajów rzutów i wyprowadzenie Omówienie rodzajów rzutów i wyprowadzenie

odpowiednich wzorów: spadek swobodny, rzut pionowy w odpowiednich wzorów: spadek swobodny, rzut pionowy w górę.górę.

3.3. Porównanie ruchu postępowego z ruchem obrotowym; Porównanie ruchu postępowego z ruchem obrotowym; związki.związki.

III. OSIĄGNIĘCIA WSPÓŁCZESNEJ FIZYKI III. OSIĄGNIĘCIA WSPÓŁCZESNEJ FIZYKI UHONOROWANE NAGRODAMI NOBLAUHONOROWANE NAGRODAMI NOBLA

Ruch jednowymiarowyRuch jednowymiarowyZajmiemy się opisem Zajmiemy się opisem ruchuruchu rozumianym jako rozumianym jako zmiany położenia jednych ciał względem zmiany położenia jednych ciał względem innych, które nazywamy układem odniesienia.innych, które nazywamy układem odniesienia. Zwróć uwagę, że to samo ciało może Zwróć uwagę, że to samo ciało może poruszać się względem jednego układu odniesienia a spoczywać względem innego. poruszać się względem jednego układu odniesienia a spoczywać względem innego. Oznacza to, że ruch jest Oznacza to, że ruch jest pojęciem względnympojęciem względnym..

PrędkośćPrędkośćPrędkość jest zmianą odległości w jednostce czasu.Prędkość jest zmianą odległości w jednostce czasu.

Prędkość stałaPrędkość stałaJeżeli ciało, które w pewnej chwili Jeżeli ciało, które w pewnej chwili tt00 znajdowało się w położeniu znajdowało się w położeniu xx00, porusza się ze stałą , porusza się ze stałą prędkością prędkością vv to po czasie to po czasie tt znajdzie się w położeniu znajdzie się w położeniu xx danym związkiem danym związkiem

x-xx-x00 = v(t = v(t t t00))

czyliczyli (1)(1)

0

0

tt

xx

v

2 4 6 8 10

-2

0

2

4

6

8

x

t

Interpretacja graficzna: prędkość to nachylenie prostej x(t)

Prędkość chwilowa

Jeżeli obiekt przyspiesza lub zwalnia to wskazania szybkościomierza nie zgadzają się z wyrażeniem (1) chyba, że weźmiemy bardzo małe wartości x x0 (x) czyli również bardzo małe t ‑ t0 (t).

Stąd prędkość chwilowa:

Tak definiuje się pierwszą pochodną, więc

(2)

Prędkość chwilowa przejście od siecznej do stycznej.

Nachylenie stycznej to prędkość chwilowa (w chwili t

odpowiadającej punktowi styczności).

t

xt

0limv

td

d xv

0 2 4 60

20

40

60

80

x

t

Wykresy zależności: a) drogi, b) prędkości, c) przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Przyspieszenie

Przyspieszenie to tempo zmian prędkości.

Przyspieszenie jednostajne i chwilowe

Prędkość zmienia się jednostajnie z czasem czyli przyspieszenie jest stałe:

(3)

Gdy przyspieszenie zmienia się z czasem musimy wtedy ograniczyć się do pomiaru zmian prędkości v w bardzo krótkim czasie t (analogicznie do prędkości chwilowej). Odpowiada to pierwszej pochodnej v względem t.

(4)

t0vv

a

td

dva

Ruch jednostajnie zmiennyCzęsto chcemy znać zarówno położenie ciała jak i jego prędkość. Ze wzoru (3) mamy v = v0 + at. Natomiast do policzenia położenia skorzystamy ze wzoru: x = x0 + vśrtPonieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość rośnie jednostajnie od v0 do v więc prędkość średnia wynosi: vśr = (v0 + v)/2

Łącząc otrzymujemy: x = x0 + (1/2) (v0 + v)t

gdzie za v możemy podstawić v0 + at. Wtedy

x = x0 + (1/2) [v0 + (v0 +at)] twięc ostatecznie

(5)2

2

00

attxx v

Wykresy: a) drogi, b) prędkości, c) przyspieszenia w funkcji czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym (górne rysunki a>0) i jednostajnie opóźnionym (dolne rysunki a<0)

Ruch na płaszczyźnieRuch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie

współrzędnych x i y. Np. y - wysokość, x - odległość w kierunku poziomym. Taki ruch można traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie.Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r; prędkość wektor v;

przyspieszenie wektor a. Wektory r, v, a są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić (za pomocą wersorów i, j, k czyli wektorów jednostkowych) w postaci:

yxyx

yx

aattt

t

y

t

x

t

yx

jijia

jijir

jir

d

vd

d

vd

d

d

vvd

d

d

d

d

d

v

v

RUCHY PROSTOLINIOWERUCHY PROSTOLINIOWEPorównanie ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie zmiennymPorównanie ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie zmiennym

Ruch jednostajnie zmiennyRuch jednostajnie zmienny Ruch jednostajnyRuch jednostajnyPrzyspieszeniePrzyspieszenie

Def.: a=const.; a≠0

a>0 ruch przysp.

a<0 ruch opóźn.

a=0

Prędkość chwilowaPrędkość chwilowa

Prędkość jest liniową funkcją czasu

Def.: v=v0=const.≠0

2

20

d

d

dt

sd

tt

vvk

v

a

atvv 0t

sv

d

d

RUCHY PROSTOLINIOWERUCHY PROSTOLINIOWEPorównanie ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie zmiennymPorównanie ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie zmiennym

- ciąg dalszy- ciąg dalszy

Ruch jednostajnie zmiennyRuch jednostajnie zmienny Ruch jednostajnyRuch jednostajnyPrędkość średniaPrędkość średnia

DrogaDroga

Droga jest kwadratową funkcją czasu

Równanie ruchu

n

nnśr ttt

tvtvtvv

...

...

21

2211

2

2

0

attvs

vvśr

vts

Wektor jest wielkością matematyczną, która ma zarówno wartość bezwzględną jak i kierunek.

Dodawanie wektorów– metoda geometryczna (reguła wieloboku)

Skalary i wektorySkalary i wektory

Dodawanie wektorów– metoda analityczna

Skalary i wektorySkalary i wektory

składowe: ax = a cos; ay = a sin

długość:

wektor:

analogicznie:

22yx aaa

yx aa jia

yx bb jib yx cc jic

dodawanie wektorów: c = a + bcx = ax + bx cy = ay + by

Każda składowa sumy dwóch wektorów jest równa sumie odpowiednich składowych tych dwóch wektorów.

Mnożenie wektorówSkalary i wektorySkalary i wektory

yyxx babaab cosba

bac

- skalarne: iloczyn dwóch wektorów jest skalarem (liczbą)

gdzie jest kątem pomiędzy wektorami a, b.

długość wektora c:c = ab sin

gdzie jest kątem pomiędzy wektorami a, b

- wektorowe:

Mnożenie wektorówSkalary i wektorySkalary i wektory

bac długość wektora c: c = ab sin

gdzie jest kątem pomiędzy wektorami a, b

Kierunek wektora c jest prostopadły do płaszczyzny utworzo-nej przez wektory a i b, tzn. prostopadły do tych wektorów. Zwrot wektora c wyznacza reguła śruby prawoskrętnej

- wektorowe:

Skalary i wektorySkalary i wektoryWektorami są np.: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, siła, pęd, moment pędu, pole elektryczne, pole magnetyczne, gęstość prądu.

Wielkości skalarne np.: odległość, pole, objętość, gęstość, energia, czas, temperatura, ładunek elektryczny, moc, masa, praca, potencjał pola elektrostatycznego lub grawitacyjnego.

Między wektorami a wielkościami skalarnymi jest wyraźna różnica: wielkości skalarne są w pełni scharakteryzowane przez swoją wartość.

Kinematyka ruchu punktu materialnegoKinematyka ruchu punktu materialnegopo torze kołowympo torze kołowym

Ruch po okręguRuch po okręguRuch po okręgu jest szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego płaskiego. Obierzmy Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego płaskiego. Obierzmy układ współrzęd-nych tak, by początek układu znajdował się w środku koła o promieniu r.układ współrzęd-nych tak, by początek układu znajdował się w środku koła o promieniu r.

Położenie punktu P na okręgu Położenie punktu P na okręgu można jednoznacznie określić za można jednoznacznie określić za pomocą kąta pomocą kąta φφ. Kąt . Kąt φφ nosi nazwę nosi nazwę drogi kątowejdrogi kątowej i wyraża się w i wyraża się w radianach.radianach.Drogę liniowąDrogę liniową ss przebytą przez przebytą przez ciało po łuku można wyrazić za ciało po łuku można wyrazić za pomocą pomocą drogi kątowejdrogi kątowej φφ następująco:następująco:

rs

Kinematyka ruchu punktu materialnegoKinematyka ruchu punktu materialnegopo torze kołowympo torze kołowym

Ruch po okręguRuch po okręgu

więc: Jednostką prędkości kątowej jest rad swięc: Jednostką prędkości kątowej jest rad s-1-1

Jeśli prędkość kątowa w ruchu po okręgu jest stała, to taki ruch nazywamy ruchem jednostajnym po okręgu.Jeśli prędkość kątowa w ruchu po okręgu jest stała, to taki ruch nazywamy ruchem jednostajnym po okręgu.

Różniczkując względem czasu obie Różniczkując względem czasu obie strony równania, otrzymujemy:strony równania, otrzymujemy:

ale: ale:

rs

rdt

d

t

s

d

d

dt

dv

t

s

d

d

prędkość liniowaprędkość liniowa prędkość kątowaprędkość kątowa

rv

Kinematyka ruchu punktu materialnegoKinematyka ruchu punktu materialnegopo torze kołowympo torze kołowym

Ruch po okręguRuch po okręgu

To przyspieszenie związane ze zmianą kierunku prędkości, nazywa się To przyspieszenie związane ze zmianą kierunku prędkości, nazywa się przyspieszeniem dośrodkowym aprzyspieszeniem dośrodkowym a nn..

ale: więc, po podstawieniu:ale: więc, po podstawieniu:

Przyspieszenie dośrodkowe jest zawsze skierowane do środka okręgu (ogólniej – do środka toru ruchu).Przyspieszenie dośrodkowe jest zawsze skierowane do środka okręgu (ogólniej – do środka toru ruchu).

Mimo, że v jest stałe, to wektor v Mimo, że v jest stałe, to wektor v nie jest stały, ponieważ ciągle nie jest stały, ponieważ ciągle zmienia kierunek (rys. a).zmienia kierunek (rys. a).Zmianą wektora v jest wektor Zmianą wektora v jest wektor ΔΔv, v, który nie równa się zeru, a zatem który nie równa się zeru, a zatem przyspieszenie wektorowe, dv/dt, przyspieszenie wektorowe, dv/dt, musi być różne od zera (rys. b).musi być różne od zera (rys. b).

r

van

2

T

rv

2 2

24

T

ran

Kinematyka ruchu punktu materialnegoKinematyka ruchu punktu materialnegopo torze kołowympo torze kołowym

Ruch po okręguRuch po okręgu

Znane jest również pojęcie Znane jest również pojęcie siła odśrodkowasiła odśrodkowa i i przyspieszenie odśrodkoweprzyspieszenie odśrodkowe. Taka siła lub . Taka siła lub przyspieszenie występują tylko wtedy, gdy przyspieszenie występują tylko wtedy, gdy obserwator znajduje się w obracającym się obserwator znajduje się w obracającym się układzie odniesienia (obserwator podlega układzie odniesienia (obserwator podlega przyspieszeniu).przyspieszeniu).Ograniczając nasze rozważania do inercjalnych Ograniczając nasze rozważania do inercjalnych układów odniesienia (obserwator jest w układów odniesienia (obserwator jest w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością po linii prostej) nie będziemy nigdy mieć do po linii prostej) nie będziemy nigdy mieć do czynienia z przyspieszeniem odśrodkowym.czynienia z przyspieszeniem odśrodkowym.

Kinematyka ruchu punktu materialnegoKinematyka ruchu punktu materialnegopo torze kołowympo torze kołowym

Ruch po okręguRuch po okręgu

W ruchu po okręgu wektor przyspieszenia W ruchu po okręgu wektor przyspieszenia a a jest jest sumą dwóch wektorów:sumą dwóch wektorów:-wektora przyspieszeniawektora przyspieszenia dośrodkowego (normalnego):dośrodkowego (normalnego):

-wektora przyspieszeniawektora przyspieszenia stycznego (równoległego):stycznego (równoległego):

rr

van

22

rvat

Kinematyka ruchu punktu materialnegoKinematyka ruchu punktu materialnegopo torze kołowympo torze kołowym

Ruch jednostajny po okręguRuch jednostajny po okręgu

W ruchu jednostajnym po okręgu mamy:W ruchu jednostajnym po okręgu mamy:

, więc, więc

W tym przypadku występuje tylko przyspieszenie W tym przypadku występuje tylko przyspieszenie normalne. Jego występowanie wiąże się z tym, że normalne. Jego występowanie wiąże się z tym, że podczas tego ruchu zmienia się kierunek prędkości, podczas tego ruchu zmienia się kierunek prędkości, chociaż jej wartość bezwzględna pozostaje stała.chociaż jej wartość bezwzględna pozostaje stała.

W ruchu niejednostajnym po okręgu zmienia sie W ruchu niejednostajnym po okręgu zmienia sie zarówno wartość, jaki kierunek prędkości.zarówno wartość, jaki kierunek prędkości.

const 0 0ta

Kinematyka ruchu punktu materialnegoKinematyka ruchu punktu materialnegopo torze kołowympo torze kołowym

Ruch jednostajny po okręguRuch jednostajny po okręguOkres ruchuOkres ruchuCzas T potrzebny na przebycie drogi kątowej Czas T potrzebny na przebycie drogi kątowej φφ = = 22ππ nazywamy okresem. Dla nazywamy okresem. Dla ωω = const i = const i φφ = 0, = 0, gdy t = 0 otrzymujemy: gdy t = 0 otrzymujemy:

stąd dla stąd dla φφ = 2 = 2ππ i t = T mamy: i t = T mamy:

CzęstotliwośćCzęstotliwośćCzęstotliwością f ruchu po okręgu nazywamy Częstotliwością f ruchu po okręgu nazywamy liczbę obiegów punktu po okręgu na jednostkę liczbę obiegów punktu po okręgu na jednostkę czasu, zatem:czasu, zatem:

Jednostką jest sJednostką jest s-1-1, zwana, zwana hercem (Hz). hercem (Hz).

t

2

T

Tf

1

Ruch prostoliniowy i obrotowyRuch prostoliniowy i obrotowy

Ruch prostoliniowy Ruch obrotowy

Droga liniowa s Droga kątowa

Prędkość liniowa

v = ds/dt Prędkość kątowa

d/dt

Przyspieszenie liniowe

a = dv/dt = d2s/dt2

Przyspieszenie kątowe

= d/dt = d2/dt2

Masa [kg] m Moment bezwładności [kg m2]

I1. pktu: i =mr2

2. ciała: I =Σi = = Σmr2

Pęd [kg m/s] p = m v Moment pędu (kręt) [kg m2/s]

L1. pktu: k = rmv = = mr2

2. ciała: L =Σk= = Σi =

Ruch prostoliniowy i obrotowyRuch prostoliniowy i obrotowy

Siła [N] F Moment siły M = ± rF

Zasada zachowania pędu

ΣFzewn=0 =>

p=const.

Zasada zachowania momentu pędu

ΣMzewn=0 =>

L=const.

II zasada dynamiki

F = maF = dp/dt

II zasada dynamiki

M = IM dL/dt

Praca [J] W = F s Praca [J] W = M

Energia kinetyczna [J]

Ek = = ½mv2 Energia kinetyczna [J]

Ek = ½

Ruch prostoliniowy Ruch obrotowy