wykład 4 - kinematyka mechanizmów. przekładnie kołowe.pdf

Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Przekadnie koowe 1

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski

ANALIZA KINEMATYCZNA PRZEKADNI KOOWYCH Przekadnie koowe s mechanizmami koowymi przeznaczonymi zwykle

do przeniesienia napdu od wau silnika wykonujcego ruch obrotowy do czonu napdowego maszyny roboczej, mechanizmu wykonawczego lub wprost czonu roboczego.

Przekadnie koowe dzielimy:

- przekadnie zwyke - przekadnie o osiach geometrycznych k nieruchomych wzgldem podstawy. Rozrniamy przekadnie zwyke szeregowe, rwnolege, szeregowo-rwnolege,

- przekadnie obiegowe lub inaczej planetarne - przekadnie o osiach geometrycznych k ruchomych wzgldem podstawy. Rozrniamy przekadnie obiegowe proste, zoone, zamknite. W obliczeniach kinematycznych przekadni posugiwa si bdziemy tzw.

przeoeniami kierunkowymi, ktre oglnie mona zapisa wzorem:

0i cb

cac

ab ==

(1)

gdzie: a, b czony ruchome; a - napdzajcy (czynny) , b - napdzany (bierny), c czon nieruchomy

cb

ca , - prdkoci ktowe czonw czynnego a i biernego b przy

unieruchomionym czonie c. Dalej te prdkoci ktowe bdziemy oznacza ba, .

PRZEKADNIE ZWYKE W przypadku analizy przekadni zwykych ma potrzeby wprowadzania

pojcia czonu nieruchomego i wzr (1) mona uproci do postaci:

b

aabi

= lub

a

bbai

= (2)

Przeoenie kierunkowe abi przyjmujemy za ujemne 0iab < , jeeli zwroty prdkoci ktowych czonu a i czonu b s przeciwne. Jest to przekadnia o zazbieniu zewntrznym.

Przeoenie kierunkowe abi przyjmujemy za dodatnie 0iab > , jeeli

zwroty prdkoci ktowych tych czonw s zgodne. Jest to przekadnia o zazbieniu wewntrznym.



Jeeli modu przeoenia kierunkowego 1icab > , wwczas przekadnia su-

y do redukcji prdkoci ktowej i jest nazywana reduktorem.

Jeeli modu przeoenia kierunkowego 1icab < , wwczas przekadnia

suy do zwikszania prdkoci ktowej i jest nazywana multiplikatorem. Przeoenie przekadni mona wyrazi za pomoc parametrw

geometrycznych k uwzgldniajc podstawow zaleno:

2d

vo = (3) gdzie:

vo liniowa prdko obwodowa wsplna dla obydwu k,

sm

d rednica podziaowa koa zbatego lub rednica koa tocznego, [ ]m prdko ktowa koa, [ ]1s , Jeeli chcemy wyraa przeoenie za pomoc prdkoci obrotowej n to

naley uwzgldni zaleno: [ ]1s30n60n2 == , gdzie minobrn . Po uwzgldnieniu powyszych zwizkw jest:

a

b

b

a

b

aab d

dnni ===

(4)

W przypadku przekadni zbatych, wzory na przeoenie moemy wyrazi

rwnie jako stosunki odpowiednich liczb zbw. Podstawowe zalenoci geometryczne i kinematyczne, wsplne dla

przekadni o zazbieniu wewntrznym i zewntrznym :

modu tm = (5)

rednica podziaowa mztzd ==

(6)

prdko obwodowa 2d

2dv 22110 == (7)



odlego osi pary k 2m)zz(a 12 += (8)

przeoenie kierunkowe 1

2

1

2

1

2

2

112 z

zzmzm

ddi =

===

(9)

odlego osi pary k a )

przeoenie kierunkowe 1i

Rys. 1. Zalenoci geometryczne i kinematyczne dla przekadni zbatej o zazbieniu zewntrznym 2m)zz( 12 = (101

2

1

2

1

2

2

12 z

zzmzm

dd

=

===

(11)

Rys. 2. Zalenoci geometryczne i kinematyczne dla przekadni zbatej o zazbieniu wewntrznym



Typowe przekadnie koowe.

zzi1

2

2

112 ==

(12)

Rys. 3. Przekadnia o zazbieniu zewntrznym

zzi1

2

2

112 ==

(13)

Rys. 4. Przekadnia o zazbieniu wewntrznym

zzi1

2

2

112 ==

(14)

W tym przypadku nie okrela si znaku przeoenia

Rys. 4. Przekadnia stokowa

ddi1

2

2

112 ==

(15)

Rys. 4. Schemat przekadni cignowej, pasowej lub acuchowej limacznica

limak zzi1

2

2

112 ==

(16)

gdzie : 1z - zwojno limaka 1. Rys. 5. Przekadnia limakowa



PRZEKADNIE OBIEGOWE (PLANETARNE) Przekadnie obiegowe w odrnieniu od przekadni zwykych cechuj si

tym, e rodki niektrych k zwanych dalej satelitami poruszaj si po torach koowych wok osi geometrycznej przekadni z tym, e rodki tych torw le w geometrycznej osi przekadni. Koa przekadni, ktrych rodki le w osi przekadni nazywane s koami centralnymi natomiast czon, na ktrym osadzone s satelity nazywa si jarzmem.

a) Warunek wsposiowoci k

213 d2dd += , 213 z2zz += b) c) d) Rys. 6. Jednorzdowa przekadnia obiegowa:

a) warunek wsposiowoci, b) i c) schemat konstrukcyjny, d) schemat kinematyczny



Rys. 7. Warianty przekadni obiegowych dwurzdowych Analiza kinematyczna przekadni obiegowych Przekadnie obiegowe maj w oglnym przypadku dwa stopnie swobody: w = 2. Jeeli jednak unieruchomimy wzgldem podstawy jeden z czonw np. koo centralne lub jarzmo, to wwczas przekadnia bdzie posiada jeden stopie swobody: w = 1. Przy tym naley zauway, e przekadnia z unieruchomionym jarzmem nie jest ju przekadni obiegow.

Przekadnia obiegowa o dwch stopniach swobody jest nazywana prze-kadni rnicow lub dyferencjaem a) Przekadnia obiegowa o dwch b) Przekadnia obiegowa o jednym

stopniach swobody stopniu swobody n = 4 n= 3 p4 = 2 p4 = 2 p5 = 4 p5 = 3 w= 3n - p4 - 2p5 = 12 - 2 - 8 = 2 w= 3n - p4 - 2p5 = 9 - 2 - 6 = 1 1, 3 - koa centralne, 2 - satelita, j - jarzmo,

Rys. 8. schematy kinematyczne jednorzdowej przekadni obiegowej: a) przekadnia obiegowa o dwch stopniach swobody, b) przekadnia obiegowa o jednym stopniu swobody.



Symbolami a i b oznaczone zostay tzw. osiowe elementy przekadni obiego-wej tj. koa centralne, natomiast przez j - oznaczono jarzmo. Na Rys. 9a po-kazano prdkoci ktowe czonw ruchomych tj. a , b i j przekadni obiegowej w przypadku kiedy posiada ona dwa stopnie swobody czyli dwa czony (np. a i b ) s czonami czynnymi.

Przyjmiemy, e caa przekadnia zostaa wprawiona w ruch z prdkoci ktow ( j ). W takim przypadku prdkoci ktowe k centralnych a i b zostan pomniejszone o warto ( j ), natomiast jarzmo stanie si nieru-chome 0jj = , (Rys. 9b), a) a j b b) jb Rys. 9. Schematy przekadni obiegowej z zaznaczonymi prdkociami ktowymi: a) bezwzgldne prdkoci ktowe czonw przekadni o dwch stopniach swobody tj.

a , b , j , b) wzgldne prdkoci ktowe czonw przekadni po nadaniu caej

przekadni prdkoci ktowej ( j ) tj. ja , jb , 0jj = .

Przeoenie kierunkowe pomidzy koem a i koem b przekadni przy unie-ruchomionym w ten sposb jarzmie, zapiszemy w postaci zalenoci zwanej wzorem Willisa:

jb

jajabi

= (17)

gdzie: jabi - przeoenie kierunkowe od czonu a do b przy nieruchomym jarzmie j.

ja



Jest to podstawowy wzr, z ktrego mona wyliczy wszystkie moliwe przeoenia przekadni obiegowej. Dla przekadni o jednym stopniu swobody, w ktrej koo b jest nieruchome

0=b , natomiast koo a i jarzmo j s czonami ruchomymi, wzr Willisa przyjmie posta:

baj

j

a

j

ja

jb

jajab i110i ==

=

=

(18)

Zauwaymy jednak, e w rzeczywistoci poszukiwanym przeoeniem przekadni o jednym stopniu swobody jest przeoenie pomidzy koem a i jarzmem j przy nieruchomym kole b czyli baji . Wyznaczymy to przeoenie przeksztacajc wzr (18):

jab

baj i1i = (19)

W ten sposb przeoenie przekadni o osiach ruchomych j

abaji

= udao

si wyrazi za pomoc prostego wzoru, w ktrym wystpuje przeoenie jabi .

Przeoenie jabi to bardzo atwo wyznaczy poniewa dotyczy przekadni zwykej szeregowej lub rwnolegej o osiach nieruchomych, powstaej po-przez mylowe unieruchomienie jarzma oraz mylowe uruchomienie ko-a w rzeczywistoci nieruchomego.

W analogiczny sposb mona wyznaczy przeoenie kierunkowe prze-

kadni w przypadku kiedy koo a jest koem nieruchomym ( 0a = ), natomiast koo b i jarzmo s czonami ruchomymi.

jba

abj i1i = (20)

Jak zauwaymy we wzorach (19) i (20) nastpuje zamiana wskanikw a, b oraz j. Sposb zamiany wskanikw podaje wzr:

jab

baj

bja

i11

i1i

== (21)

gdzie: bjai - przeoenie przekadni obiegowej (jarzmo j ruchome, indeks j u dou),

jabi - przeoenie przekadni z mylowo unieruchomionym jarzmem j (indeks j

u gry).



Dla przekadni o dwch stopniach swobody ( Rys. 10), w ktrej dwa czony s czonami napdzajcymi np. koa a i b natomiast jarzmo j jest czonem biernym, wyznaczymy wpyw prdkoci a i b na prdko j korzystajc ze wzoru Willisa:

a j b Rys. 10. Przekadnia o dwch stopniach swobody

jb

jajabi

= (22)

( ) jajabjb i = (23)

bjab

jab

ajab

ji1

i

i11

= (24)

poniewa zachodz zwizki:

ajb

bjab

ajbaj

baj

jab

jabb

jabaj

jab

i1i1i1

i

i1

i1

i,i

i1

i11 ===

=

==

(25)

to ostatecznie moemy zapisa:

bajba

bjaj ii += (26)



Przykad 1. Analiza kinematyczna jednorzdowej przekadni obiegowej Schemat przekadni pokazano na Rys. 11. Dane: 0,z,z, 3311 = , poniewa koo 3 jest czonem nieruchomym.

Szukane: przeoenie przekadni j

13j1i

= oraz j , 2 .

a) b)

we1 = wyj =

Rys. 11. Przekadnia obiegowa jednorzdowa o jednym stopniu swobody

a) schemat kinematyczny przekadni o ruchomym jarzmie, b) schemat kinematyczny przekadni z unieruchomionym jarzmem Liczby zbw koa 2 nie podano, gdy wynika ona z tzw. warunku wspo-

siowoci przekadni. Warunek ten okrela zwizek geometryczny pomidzy rednicami k zbatych przekadni, ktre le w rozwaanym przypadku w jednej paszczynie, maj wsplny modu a ponadto dwa z nich maj wspln o obrotu.

Dla rozwaanej przekadni obiegowej warunek wsposiowoci mona za-pisa:

2dd

2d 3

21

=+ ; 2zmzm

2zm 3

21

=+

czyli: 2zzz 132

= (P1.1)

Przeoenie przekadni j

13j1i

= wyznaczymy korzystajc ze wzoru Willisa

przyjmujc 03 =

3j1

j

1

j

j1

j3

j1j13 i110i ==

=

=

Po przeksztaceniu otrzymamy: j133j1 i1i = (P1.2)



Przeoenie j13i przekadni z mylowo unieruchomionym jarzmem z Rys. 11b wyznaczymy z prostych zwizkw obowizujcych dla przekadni szere-gowej o osiach nieruchomych.

1

3

2

3

1

2

3

2

2

1j13 z

zzz

zzi =

+

==

(P1.3)

Ostatecznie przeoenie przekadni obiegowej wyniesie:

1

31

1

3j13

3j1 z

zzzz1i1i +=

== (P1.4)

Poszukiwan prdko ktow j wyznaczamy z prostego

przeksztacenia: j

1

1

313j1 z

zzi

=

+= ; 1

31

1j zz

z

+= (P1.5)

W celu obliczenia prdkoci ktowej satelity rwnie wykorzystamy zwizki

wynikajce ze wzoru Willisa:

3j2

j

2

j

j2

j3

j2j23 i110i ==

=

=

(P1.6)

2

32

2

3j23

3j2 z

zzzz1i1i === (P1.7)

Poniewa j

23j2i

= to j

2

322 z

zz

= . Po podstawieniu uprzednio wy-

prowadzonego wzoru na prdko jarzma 131

1j zz

z

+= otrzymamy:

131

1

2

322 zz

zz

zz

+

= (P1.8)

Po podstawieniu 2zzz 132

= i prostych przeksztaceniach ostatecznie

otrzymamy wzr na prdko ktow satelity: 113

12 zz

z

= .

Znak (-) w powyszym wzorze oznacza, e zwrot prdkoci ktowej

satelity 2 jest przeciwny do zwrotu koa napdzajcego 1.



Przykad 2. Analiza kinematyczna dwurzdowej przekadni obiegowej Dwurzdow przekadni obiegow Pecquera przedstawia Rys. 12. Dane: wej = (jarzmo jest czonem napdzajcym - wejciowym),

99z1 = , 100z2 = , 101'z 2 = , 100z3 =

Obliczy przeoenie przekadni: wy

we

3

j13ji

== gdzie koo 3 jest czonem

wyjciowym przekadni) wej = wy =3

Rys. 12. Schemat kinematyczny przekadni dwurzdowej Pecquera

Przeoenie przekadni mona zapisa 1j3

13j

i1i =

Wykorzystamy wzr na przeoenie przekadni o jednym stopniu swobody

32

21

2

1

3

2j31

1j3 zz

'zz1zz

z'z1i1i

=

== (P2.1)

Po podstawieniu wartoci liczbowych otrzymamy: 4

32

211j3 10100100

101991zz'zz1i =

=

= (P2.2)

Ostatecznie przeoenie analizowanej przekadni wynosi: 413j 10i = . Przekadnia redukuje prdko ktow 10000 razy.



Przykad 3. Analiza kinematyczna przekadni falowej Przekadni falow pokazano na Rys. 13. Dane: 100z2 = , 102z3 = , czonem napdzajcym jest jarzmo j, czonem wyjciowym elastyczny piercie zbaty 2 (w zwykej przekadni obiegowej jest to satelita, Rys. 13a),

Obliczy przeoenie przekadni: 2

j12ji

= .

Elastyczny piercie zbaty 2 a) b)

Rys. 13. Schemat obliczeniowy i schemat kinematyczny przekadni falowej: a) schemat obliczeniowy przekadni falowej, b) schemat kinematyczny przekadni falowej Przeoenie przekadni obliczamy podobnie jak przeoenie j23i

w Przykadzie 1 korzystajc ze wzoru Willisa. W obliczeniach posugujemy si schematem obliczeniowym (Rys. 13a).

3j2

j

2

j

j2

j3

j2j23 i110i ==

=

=

(P3.1)

2

32

2

3j23

3j2 z

zzzz1i1i === (P3.2)

Poszukiwane przeoenie wynosi: 50102100100

zzzi

32

232j =

=

=



Przykad 4. Przekadnia ksztatowo-toczna (cykloidalna)

Dane: 3z - liczba palcw koa 3, 2z - liczba zbw cykloidalnych satelity 2.

Obliczy przeoenie przekadni: 2

j32ji

= .

03 =

Przeoenie: 3

j2j

2

j

j2

j3

j2j23 i110i ==

=

=

(P4.1)

23

232j

2

32

2

3j23

3j2 zz

zi;z

zzzz1i1i

=

=== (P4.2)

Rys. 14. Schematy konstrukcyjny i kinematyczny przekadni ksztatowo-tocznej



Przykad 5. Analiza kinematyczna stokowej przekadni rnicowej. Przekadnia rnicowa w pojazdach samochodowych ma za zadanie do-

stosowa prdko ktow k napdowych (przednich lub tylnych) w taki sposb, aby unikn zjawiska polizgu na ukach drogi.

n = 5, p4 =3, p5 =5, w = 2 Rys. 15. Zastosowanie przekadni obiegowej rnicowej do napdu k pojazdu samocho-dowego. Zasada poruszania si pojazdu po uku drogi

Jeeli samochd porusza si po prostej drodze, prdkoci ktowe k jezd-

nych s rwne 43 = . Koo stokowe 5 nie obraca si wzgldem wasnej osi. Wwczas prdko ktowa k jezdnych wynika wycznie z przeoenia przekadni stokowej (1, 2). Poniewa koo 2 jest zarazem jarzmem j przekadni to moemy napisa:

1

2

j

112j1 z

zii ===

oraz

2

11j z

z = (P5.1)

Samochd uzyskuje prdko: 2dv kjs = , gdzie kd - rednica koa jezd-

nego. W ten sposb realizowany jest jeden stopie swobody.



Na ukach drogi prdkoci liniowe k jezdnych rni si od siebie o v2 , oraz o v od prdkoci rodka tylnego mostu przy czym warto v zaley od promienia uku i rozstawu k. (Rys. 15).

=

2Lvv s (P5.2)

gdzie L - rozstaw k jezdnych, - promie uku drogi

Rys. 16. Schemat przekadni rnicowej bez czonw kinematycznie zbdnych

Zrnicowanie prdkoci k umoliwia przekadnia stokowa zoona z k 3, 4 i 5, ktrej przeoenie wynosi:

23

24j43i

= (P5.3)

Zgodnie z wzorem Willisa 02 = . Zatem

1zz

zzzz

4

3

54

35

3

5

5

4

3

4==

==

(P5.4)

Poniewa przeoenie pomidzy koami napdowymi wynosi dokadnie i = 1 to oznacza, e na uku drogi koa 3 i 4 bd napdzane od drogi i gdy prdko ktowa jednego z k wzronie o to drugiego zmniejszy si o .

k

s

k dLv

dv2

==

(P5.5)

W ten sposb realizowany jest drugi stopie swobody. Prdko ktowa tylnych k napdowych wyniesie odpowiednio:

lewego +=+==2

11j3LT z

z (P5.6)

prawego ===2

11j4PT z

z (P5.7)

wykład 4 - kinematyka mechanizmów. przekładnie kołowe.pdf

Documents