wzór maxwella-mohra
TRANSCRIPT
Wzór Maxwella-Mohra
Wyznaczanie przemieszczeńWzór Maxwella-Mohra:
( )∫∫ +
−+ ot
gdt dxtNdxh
ttMα
α
+++=⋅
−⋅+⋅ ∫∫∫∑∑lllj j
jj
jjj dx
AG
TTdx
AE
NNdx
JE
MM
k
RRR κ∆δ1
δ
P 1=iP
Belka z rzeczywistymobciążeniem
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
∫∫ll h
q
Wzór służy do wyznaczenia przemieszczenia od obciążenia rzeczywistego. Wrównaniu występują wielkości, wywołane obciążeniem rzeczywistym ijednostkowym obciążeniem wirtualnym, działającym na kierunkuwyznaczanego przemieszczenia.
Wyznaczanie przemieszczeń
Wzór Maxwella-Mohra:
( )− ttMα
+++=⋅
−⋅+⋅ ∫∫∫∑∑lllj j
jj
jjj dx
AG
TTdx
AE
NNdx
JE
MM
k
RRR κ∆δ1
( )∫∫ +
−+
l
ot
l
gdt dxtNdxh
ttMα
α
N – siła normalna,T – siła tnąca, M – moment zginający , R – reakcje,A – poleprzekroju, J – moment bezwładności przekroju względem osi prostopadłej dopłaszczyzny zginania,E – moduł Younga (odkształcenia podłużnego), G – modułKirchoffa (odkształcenia postaciowego),αt – współczynnik rozszerzalności cieplnej,h –wysokość przekroju, ∆ – obciążenia geometryczne,to – temperatura w osi,td i tg –temperatura górna i dolna
Wielkości z nadkreśleniem są wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym
Twierdzenia wykorzystywane we wzorze Maxwella-Mohra
Twierdzenie Maxwella o wzajemności przemieszczeń: Jeżeli na konstrukcję działają dwieniezależne uogólnione siły jednostkowePi=1 i Pj=1, wywołujące odpowiednioprzemieszczeniawji (przemieszczenie w punkciej na kierunku siłyPj wywołane siłą Pi) i wij
(przemieszczenie w punkciei na kierunku siłyPi wywołane siłą Pj), to te przemieszczenia sąsobie równe.
P w = P w oraz P=1 i P=1 ⇒ w = wPi wij = Pj wji oraz Pi=1 i Pj=1 ⇒ wij = wji
Pi
wiiwji
Pj
Pi=1
wiiwji
Pj=1
wijwjj
wij wjj
Ugięcie belki od siły Pi=1Ugięcie belki od siły Pj=1
Praca siły Pj Praca siły Pi
Twierdzenia wykorzystywane we wzorze Maxwella-Mohra
Twierdzenie Maxwella o wzajemności przemieszczeń
ijji uu ⋅=⋅ 11
Pj=1Belka z rzeczywistymobciążeniem
Belka z wirtualnym obciążeniem 1=iP
ui uj
iu ju
ui
Pj=1
uj
Praca obciążenia wirtualnego na rzeczywistym przemieszczeniu
iu
1=iP
ju
ji u⋅1 ij u⋅1=
Praca obciążenia rzeczywistego na wirtualnym przemieszczeniu
Twierdzenia wykorzystywane we wzorze Maxwella-Mohra
Zasada prac wirtualnych dla ciał odkształcalnych:Suma prac sił zewnętrznychPik na przemieszczeniach wirtualnych
i naprężeń rzeczywistych σσσσi na odkształceniachwirtualnych jest równa zero. Pi
iku
iε
∫∫∑ +=⋅V
ji
V
jik
ikik dVdV γτεσuP
ui
iu
0T =−⋅ ∫∑V
jik
ikik dVεσuP
czyli
∫∑ =⋅V
jik
ikik dVεσuP T
Dla układów prętowych
Twierdzenia wykorzystywane we wzorze Maxwella-Mohra
Twierdzenie Maxwella o wzajemności przemieszczeń
ijji uu ⋅=⋅ 11
∫∫ +=⋅=⋅ jijijiij dVdVuu γτεσ11
Zasada prac wirtualnych
∫∫VV
∫∫ +=⋅V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1 ∫∫ +=⋅V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1lub
ui
Pj=1
uj
Belka z rzeczywistymobciążeniem
Belka z wirtualnym obciążeniem
iu
1=iP
ju
Twierdzenia wykorzystywane we wzorze Maxwella-MohraPraca siły wirtualnej na przemieszczeniu rzeczywistym jest równa
pracy naprężeń na odkształceniach wirtualnych
lub praca siły wirtualnej na przemieszczeniu rzeczywistymjest równa pracynaprężeń wirtualnychnaodkształceniachrzeczywistych
∫∫ +=⋅V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1
naprężeń wirtualnychnaodkształceniachrzeczywistych
∫∫ +=⋅V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1
ui
Pj=1
uj
Belka z rzeczywistymobciążeniem Belka z wirtualnym
obciążeniem
γετσ ,,,σ, τ, ε, γ − naprężenia normalne i styczne orazodkształcenia podłużne i postaciowe odobciążenia rzeczywistego
- naprężenia normalne i styczneoraz odkształcenia podłużne i postaciowe odobciążenia wirtualnego
iu
1=iP
ju
Twierdzenia wykorzystywane we wzorze Maxwella-MohraWzór Maxwella-Mohra
( )∫∫ +
−+
l
ot
l
gdt dxtNdxh
ttMα
α
+++=⋅
+⋅+⋅ ∫∫∫∑∑lllj j
jj
jjj dx
AG
TTdx
AE
NNdx
JE
MM
k
RRR κ∆δ1
wynika z twierdzenia, że praca siły wirtualnej na przemieszczeniurzeczywistym jest równa pracy naprężeń na odkształceniach wirtualnych lubpraca siły wirtualnej na przemieszczeniu rzeczywistym jest równa pracynaprężeń wirtualnych na odkształceniach rzeczywistych
∫∫ +=⋅V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1 ∫∫ +=⋅V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1lub
Wyprowadzenie wzoru Maxwella-Mohra wymaga znajomościzależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami a siłamiwewnętrznymi
Naprężenia i odkształcenia a siły wewnętrzne
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie ∫∫ +=⋅
V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1
Naprężenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:
• normalne od momentu zginającego
wz WW =
Pα
αα−α z
( )J
zMz ασ =
M – moment zginający, A – pole przekroju,J – moment bezwładności przekrojuwzględem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania,b – szerokość przekroju
z
A, J
b
h
z
( )∫=A
zdAzM σα
σ(z)
= Μα
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie ∫∫ +=⋅
V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1
Naprężenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:
• normalne od siły normalnej
wz WW =
Pα
α
α−α z
A
Nασ =
N – siła normalna,A – pole przekroju,b – szerokość przekroju
z
A, J
b
h
α−α
( )∫=A
dAzN σα
zσ(z)
= Να
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie ∫∫ +=⋅
V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1
Naprężenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:
•styczne od siły tnącej przy zginaniu
wz WW =
Pα
αα−α z
τ(z)
( ) ( )bJ
zSTz
ˆατ =
M – moment zginający, A – pole przekroju,J – moment bezwładności przekrojuwzględem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania,b – szerokość przekroju,
moment statyczny od krawędzi przekroju do współrzędnej z( )zS
z
A, J
( )zSb
h
α
= Τα
( )∫=A
dAzT τα
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie ∫∫ +=⋅
V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1
Naprężenia od zewnętrznych siłrzeczywistych:
• normalne od momentu zginającego
• normalneodsiły normalnej
( )J
zMz ασ =Nασ =
z
A, J
h
wz WW =
α−α
• normalneodsiły normalnej
• styczne od siły tnącejA
Nασ =
( ) ( )bJ
zSTz
ˆατ =
N – siła normalna,T – siła tnąca,M – moment zginający, A – pole przekroju,J – momentbezwładności przekroju względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania,b –szerokość przekroju, moment statyczny od krawędzi przekroju do współrzędnej z( )zS
( )zSb
ui
P
uj
α
α
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie ∫∫ +=⋅
V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1
Naprężenia od zewnętrznych sił wirtualnych:
• normalne od momentu zginającego
• normalne od siły normalnej( )
J
zMz ασ =
Nασ =z
A, J
h
wz WW =
α−α
• styczne od siły tnącej Aασ =
( ) ( )bJ
zSTz
ˆατ = ( )zS
b
iu
1=iP
ju
α
α
N – siła normalna,T – siła tnąca,M – moment zginający, A – pole przekroju,J – momentbezwładności przekroju względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania,b –szerokość przekroju, moment statyczny od krawędzi przekroju do współrzędnej z
Odkształcenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:• odkształcenie liniowe od obciążeń statycznych
• odkształceniepostacioweodobciążeń statycznych
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
( ) ( )EA
N
EJ
Mz
E
zz +== σε
wz WW =
∫∫ +=⋅V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1
• odkształceniepostacioweodobciążeń statycznych
• od temperatury w osi
• od różnicy temperatur
EAEJE
tot αε =
( ) ( ) ( )h
ttzztz tgd
t
ααε
−==
( ) ( ) ( )bJG
zST
G
zz
ˆ== τγ
to
tg
td
z
Odkształcenia od zewnętrznych sił wirtualnych:• odkształcenie liniowe od obciążeń wirtualnych
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie ∫∫ +=⋅
V
ji
V
jiji dVdVu γτεσ1
( ) ( )EA
N
EJ
zM
E
zz +== σε
wz WW =
• odkształcenie postaciowe od obciążeń wirtualnych
( )EAEJE
z +==ε
( ) ( ) ( )bJG
zST
G
zz
ˆ== τγ
z
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
1
δ=? Ptgtd
∆Układ z obciążeniem:∆ – obciążenie geometrycznetg, td – obciążenie temperaturąP – obciążenie statyczne
R
Stan wirtualny
Praca sił wirtualnych na przemieszczeniach rzeczywistychrówna jest pracy naprężeń rzeczywistych na odkształceniachwirtualnych:
wz WW =
∫∫∫∫ +=+=−+⋅V
ji
V
ji
V
ji
V
jiji dVdVdVdVk
RRRu γτεσγτεσ∆1
Podpora sprężysta
Podpora sprężysta – podparcie sprężyste, na którym możenastąpić osiadanie. Wektor osiadania ma kierunek reakcji R, azwrot tego wektora jest przeciwny do reakcji. Wartość osiadaniawynosi ∆=Rd, gdzie d jest podatnością lub ∆=R/k, gdziek jestsztywnością.sztywnością.
P
∆
R
dk
1=
Podpora sprężysta
Podpora sprężysta – podparcie sprężyste, na którym możenastąpić osiadanie. Podporę mogą charakteryzować:d [m/kN] – podatność, która mówi o ile osiądzie podpora, jeżelireakcjaR=1kNk [kN/m] – sztywność, która mówi ile wynosi siła, którak [kN/m] – sztywność, która mówi ile wynosi siła, któraspowoduje,że osiadanie wyniesie∆=1m
P
∆
Rk
RRd ==∆Osiadanie wynosi co do wartości
a wektorowok
dR
R∆ −=−=
Rodzaje podpór sprężystych
Podpora sprężysta z osiadaniem – podpora przesuwna, możliwośćosiadania wzdłuż reakcji
Podpora sprężysta z obrotem – niepełna blokada obrotu
Podporęmogą charakteryzować:d [rad/kNm] – podatność, która mówi o ile osiądzie podpora, jeżeli reakcjaM=1kNmk [kNm/rad] – sztywność , która mówi ile wynosi siła, która spowoduje,że osiadanie wyniesieϕ=1
M
Rodzaje podpór sprężystych
Podpora sprężysta z obrotem – niepełna blokada obrotu
Mϕ
Podporęmogą charakteryzować:d [rad/kNm] – podatność, która mówi o ile osiądzie podpora, jeżeli reakcjaM=1k [kNm/rad] – sztywność , która mówi ile wynosi siła, która spowoduje,że osiadanie wyniesieϕ=1
M
k
MMd −=−=ϕObrót wynosi co do wartości
a minus we wzorze oznacza,że obrót będzie miał zwrot przeciwny do reakcjiM
P
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
δUkład obciążonyrzeczywistym obciążeniem z
wz WW =
Wyznaczenie części wzoru dla układu z podporą sprężystąod obciążenia statycznego
P
∆
1
δ
R
rzeczywistym obciążeniem z osiadaniem podpory
Stan wirtualny
Praca sił wirtualnych na przemieszczeniach rzeczywistych
k
RRRWz ⋅−δ⋅=∆⋅+δ⋅= 11
Rk
RRd −=−=∆
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
δ∆Układ obciążony
rzeczywistym obciążeniem
wz WW =
Wyznaczenie części wzoru od obciążenia geometrycznego
1
δ
R
rzeczywistym obciążeniem geometrycznym
Stan wirtualny
Praca sił wirtualnych na przemieszczeniach rzeczywistych
∆⋅+⋅= RWz δ1 ∑ ∆⋅+⋅=j
jjRWz δ1
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
1
δ=?P
Układ z rzeczywistymobciążeniem statycznym
Stanwirtualny
wz WW =
τσ ,
γε ,
RStanwirtualny
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniamirzeczywistymi na odksztaceniach wirtualnych:
( ) ( )∫∫∫ ++=VVV
wp dVbJG
zST
bJ
zSTdV
EA
N
A
NdV
JE
zM
J
MzW
ˆˆ
∫∫ +=V
ji
V
jiwp dVdVW γτεσ
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniamirzeczywistymi na odkształceniach wirtualnych:
wz WW =
∫∫ +=V
ji
V
jiwp dVdVW γτεσ
- naprężenia rzeczywiste
- odkształcenia wirtualne
( ) ( )∫∫∫ ++=VVV
wp dVbJG
zST
bJ
zSTdV
EA
N
A
NdV
JE
zM
J
MzW
ˆˆ
( )J
Mzz =σ
A
N=σ ( ) ( )bJ
zSTz
ˆ=τ
( ) ( )EA
N
EJ
zM
E
zz +== σε ( ) ( ) ( )
bJG
zST
G
zz
ˆ== τγ
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniamiwirtualnymi na przemieszczeniach od obciążeń statycznych:
( ) ( ) =++= ∫∫∫VVV
wp dVbJG
zST
bJ
zSTdV
EA
N
A
NdV
JE
Mz
J
zMW
ˆˆ∫∫∫VVV bJGbJEAAJEJ
( )( ) =++= ∫∫∫VVV
dVGJb
zSTTdV
EA
NNdVz
EJ
MM22
2
22
2
ˆ
( )( ) =++= ∫∫∫∫∫∫lAlAlA
dAdxGJb
zSTTdAdx
EA
NNdAdxz
EJ
MM22
2
22
2
ˆ
( )( )∫ ∫∫∫∫∫ ++=A llAlA
dxAG
TTdA
Jb
zSAdx
EA
NNdAdx
EJ
MMdAz
22
2
222
ˆ
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniamiwirtualnymi na przemieszczeniach od obciążeń statycznych:
( )( )∫ ∫∫∫∫∫ ++= dx
TTdA
zSAdx
NNdAdx
MMdAzW
2
2ˆ( )
∫ ∫∫∫∫∫ ++=A llAlA
wp dxAG
dAJb
dxEA
dAdxEJ
dAzW2222
2
∫=A
dAzJ 2∫=A
dAA ∫=A
dAb
S
J
A2
2
2
ˆκ
Ponieważ
to otrzymujemy
∫∫∫ ++=lll
wp dxAG
TTdx
AE
NNdx
JE
MMW κ
z
A, J
( )zSb
h
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniamiwirtualnymi na przemieszczeniach od obciążeń statycznych:
∫∫∫∫∫ ++=llAlA
wp dxAG
TTdx
EA
NNdAdx
EJ
MMdAzW κ
222
llAlAAGEAEJ
∫=A
dAb
S
J
A2
2
2
ˆκgdzie stała
zależy od kształtu np.:
z
A, J
( )zSb
h
• prostokąt κ=1.2;• koło κ=32/27• dwuteownik κ= ~A/As; A- pole całkowite przekroju; A- pole środnika.
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
1
δ=? tgtd
Układ z obciążeniemtemperaturą
Stanwirtualny
wz WW =
R
Stanwirtualny
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniamiwirtualnymi na przemieszczeniach od temperatury:
∫=V
jiwt dVW εσ
( )∫∫ +
−=
V
ot
V
gdtwt dVt
A
NdV
h
ttz
J
zMW α
α
( )J
zMz =σ
A
N=σ tot αε = ( ) ( ) ( )h
ttzztz tgd
t
ααε
−==
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniamiwirtualnymi na przemieszczeniach od temperatury:
wz WW =
∫=V
jiwt dVW εσ
Naprężeniaodobciążeń wirtualnych ( ) zMz =σN=σ
( )=+
−= ∫∫∫∫
lA
ot
lA
gdt dxdAtA
NdxdAz
Jh
ttMα
α 2
tot αε = ( ) ( )( )
h
ttz
ztz
tgd
t
ααε
−=
==
( )=+
−= ∫∫
V
ot
V
gdtwt dVt
A
NdV
h
ttz
J
zMW α
α
Naprężeniaodobciążeń wirtualnych
Odkształcenia od temperatury
( )J
z =σA
=σ
to
tg
tdSpody na belce
h
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniamiwirtualnymi na przemieszczeniach od temperatury:
wz WW =
( )=+
−= ∫∫∫∫ ot
gdtwt dxdAt
NdxdAz
ttMW α
α 2 =+= ∫∫∫∫lA
ot
lA
wt dxdAtA
dxdAzJh
W α
( )∫∫∫∫ +
−=
l
ot
Al
gdt
A
dxA
tNdAdx
Jh
ttMdAz
αα2
( )∫∫ +
−=
l
ot
l
gdt dxtNdxh
ttMα
αto
tg
tdSpody na belce
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
Praca wirtualnych sił zewnętrznych na przemieszczeniachrzeczywistych
wz WW =
k
RRRW
jjjz −⋅+⋅= ∑ ∆δ1
Praca sił wewnętrznych, wywołanych obciążeniem
( )∫∫ +
−=
l
ot
l
gdtwt dxtNdx
h
ttMW α
α
∫∫∫ ++=lll
wp dxAG
TTdx
AE
NNdx
JE
MMW κ
wirtualnym, na odkształceniach od obciążenia rzeczywistego
Praca sił wewnętrznych, wywołanych obciążeniemwirtualnym, na odkształceniach od temperatury
Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie
Ponieważ praca wirtualnych sił zewnętrznych naprzemieszczeniach rzeczywistych równa się pracy naprężeńwirtualnych na odkształceniach rzeczywistych:
wz WW =
wtwp WWWz +=
( )∫∫ +
−+
l
ot
l
gdt dxtNdxh
ttMα
α
wtwp WWWz +=
+++=−⋅+⋅ ∫∫∫∑lllj
jj dxAG
TTdx
AE
NNdx
JE
MM
k
RRR κ∆δ1
to otrzymujemy wzór Maxwella Mohra w następującej formie:
Wzór Maxwella-Mohra dla ram płaskich
( )∫∫∫∑ α+
−α+=−∆⋅+δ⋅ ot
gdtjj dxtNdx
ttMdx
MMRRR1
W układach ramowych uwzględniamy wpływ momentówzginających oraz obu rodzajów temperatury:
∫∫∫∑ α++=−∆⋅+δ⋅l
ot
lljjj dxtNdx
hdx
JEkR1
1P
tgtd
∆
q
Rama z obciążeniem Rama z jednostkowym obciążeniem wirtualnymdo obliczeń yA
A
k
Wzór Maxwella-Mohra dla ram przestrzennych
( ) ( )∫∫∫∑
−α−α
+++=−∆⋅+δ⋅lllj
jj
ttMttM
dxEJ
mmdx
EJ
MMdx
EJ
MM
k
RRR
2
11
3
33
2
221
W układach ramowych uwzględniamy wpływ momentów zginających w dwóchpłaszczyznach zginania i moment skręcający oraz oba rodzaje temperatury:
( ) ( )∫∫∫ α+
−α+
−α+
l
ot
l
gdt
l
gdt dxtNdxh
ttMdx
h
ttM 32
P
∆
q
Rama z obciążeniem
1
Rama z jednostkowym obciążeniem wirtualnymdo obliczeń xA
A
Wzór Maxwella-Mohra dla krat
∫∫∑ +=−⋅+⋅l
ot
ljjj dxtNdx
AE
NN
k
RRR α∆δ1
Ponieważ siły normalne są stałe w elementach kratowych to
W układach kratowych uwzględniamy wpływ sił normalnychoraz temperatury w osi:
Ponieważ siły normalne są stałe w elementach kratowych to można wzór zapisać w formie:
∑∑∑ +=−⋅+⋅n
nnotn
k
kkk
jjj ltN
AE
lNN
k
RRR α∆δ1
P to
∆ k
to
Wzór Maxwella-Mohra dla łuków
+++=−⋅+⋅ ∫∫∫∑ jj dxAG
TTdx
AE
NNdx
JE
MM
k
RRR κ∆δ1
W łukach uwzględniamy wpływ wszystkich sił wewnętrznychoraz temperatury:
( )∫∫ +
−+
l
ot
l
gdt dxtNdxh
ttMα
α
∫∫∫∑lllj
jj AGAEJEk
∆ k
q
tgtd
Wzór Maxwella-Mohra dla łuków
( )∫∫∫∑ +
−+=−⋅+⋅
l
ot
l
gdt
ljjj dxtNdx
h
ttMdx
JE
MM
k
RRR α
α∆δ1
Łuki wyniosły czyli stosunek strzałki do rozpiętości f/l> 1/5 spełniające warunekh/l<1/10:
Łuki płaskie czyli stosunek strzałki do rozpiętości f/l<1/5 spełniające warunekh/l<1/30:
Pozostałełuki płaskieczyli stosunekstrzałki do rozpiętości f/l<1/5 spełniające warunek
f
l
h ( )∫∫ +
−+
l
ot
l
gdt dxtNdxh
ttMα
α
+++=−⋅+⋅ ∫∫∫∑lllj
jj dxAG
TTdx
AE
NNdx
JE
MM
k
RRR κ∆δ1
Pozostałełuki płaskieczyli stosunekstrzałki do rozpiętości f/l<1/5 spełniające warunekh/l>1/30:
Całkowanie na przykładzie belki swobodnie podpartej
Wyznaczenie obrotu punktu B.
1
tg
td
q
Bl
x
Belka z obciążeniemRama z jednostkowym obciążeniem wirtualnym
1
l
xM =
l
M [kNm] [/]M
8
2ql
Równania momentów zginających
( )2
2xlx
qM −=
( )lll
l
B l
xx
JE
qdx
l
xx
JE
qdx
l
xxlx
q
JEdx
JE
MM
0
43
0
32
0
2
4
1
3
1
222
11
−=
−=
−==⋅ ∫∫∫ϕ
JE
ql
l
ll
JE
qB 24
04
1
3
1
21
343 =
−
−=⋅ϕ
Całkowanie na przykładzie belki swobodnie podpartej
Całkowanie uproszczone dla iloczynu funkcji liniowej i dowolnej
( ) baxxM +=
( ) ( )xfxM =Wykres dowolnej funkcji
Wykresfunkcji liniowej
xśrodek ciężkości figury
xs
( ) baxxM +=
Wyznaczanie całki( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )ss
llll
xMAbaxAbA
SaA
bAaSdxxbfxdxxafdxxfbaxMdxM
=+=
+=
=+=+=+= ∫∫∫∫
Wykresfunkcji liniowej
l
( )∫=l
xdxxfS
( )∫=l
dxxfA
- moment statyczny figury, opisanej funkcją f(x)
- pole figury, opisanej funkcją f(x)
A
Sxs = - współrzędnaśrodka ciężkości figury, opisanej funkcją f(x)
( )sxM
Całkowanie na przykładzie belki swobodnie podpartej
Wyznaczenie obrotu punktu B.
1
tg
td
q
Bl
x
Belka z obciążeniemRama z jednostkowym obciążeniem wirtualnym
1
l
M [kNm] [/]M
8
2ql
JEdx
JE
MM
l
B
11 ==⋅ ∫ϕ
l1
8
2ql
JE
qll
ql
JE 241
2
1
83
21 32
=⋅
=
Pola i środki ciężkości podstawowych figur
aa/2
b/2bs
Prostokąt abA =
b/3 b
Trójkąt abA2
1=
s
a2a
a
a32
Parabola 2o
aa/2
s b
abA3
2=
Parabola 2o
a
s b
abA3
2=
a85
Parabola 2o
a
s b
abA3
1= a43
Koniec