立體幾何 公理及定理列表

及 證明題參考解答

初稿•未完成

- 1 -

目目目目 錄錄錄錄

第一部分第一部分第一部分第一部分: 公理及定理列表公理及定理列表公理及定理列表公理及定理列表

空間線面關係之公理及定理 …………………………………………… 2

第二部分第二部分第二部分第二部分: 證明題參考解答證明題參考解答證明題參考解答證明題參考解答

(9.2) 空間的平行空間的平行空間的平行空間的平行直線直線直線直線 和和和和 異異異異面面面面直線直線直線直線

[1] p.13 定理 0 ………………………………………………………… 3

[2] p.13 例題 1 (見課本)

[3] p.14 練習 2 ………………………………………………………… 4

[4] p.16 習題 2 ………………………………………………………… 5

(9.3) 直線和平面平行直線和平面平行直線和平面平行直線和平面平行 與與與與 平面和平面平行平面和平面平行平面和平面平行平面和平面平行

[5] p.18 例題 1 (見課本)

[6] p.19 練習 3 (待補)

[7] p.19 練習 5 (待補)

[8] p.20 例題 3 (見課本)

[9] p.21 練習 3 (待補)

[10] p.21 練習 4 (待補)

[11] p.21 習題 3 ………………………………………………………… 6

[12] p.22 習題 4 (待補)

[13] p.22 習題 6 (待補)

[14] p.22 習題 7 (待補)

(9.4) 直線和平面垂直直線和平面垂直直線和平面垂直直線和平面垂直

[15] p.24 例題 2 (見課本)

[15] p.25 練習 5 ………………………………………………………… 7

[16] p.25 練習 6 ………………………………………………………… 8

[17] p.25 練習 7 ………………………………………………………… 9

[18] p.27 練習 1 ………………………………………………………… 10

[19] p.27 練習 2 ………………………………………………………… 11

[20] p.28 習題 3 ………………………………………………………… 12

[21] p.28 習題 4 ………………………………………………………… 13

- 2 -

空間線面關係之公理及定理

平面的基本性質平面的基本性質平面的基本性質平面的基本性質

(公理一公理一公理一公理一) 直線有兩點在平面內 ⇒ 整條直線都在平面內

(公理二公理二公理二公理二) 兩相異平面有公共點 ⇒ 公共點集為直線

(公理三公理三公理三公理三) 不共線的三點確定一個平面

(推論推論推論推論ＡＡＡＡ) 一條直線及其外一點確定一個平面

(推論推論推論推論ＢＢＢＢ) 兩條相交直線確定一個平面.

(推論推論推論推論ＣＣＣＣ) 兩條平行直線確定一個平面.

線線平行線線平行線線平行線線平行 相關命題相關命題相關命題相關命題

(公理四公理四公理四公理四) a // b 且 b // c ⇒ a // c (平行線的傳遞性)

[定理定理定理定理００００] ＶＶ平行 ⇒ 角角相等 (平移不改變夾角)

線面平行線面平行線面平行線面平行 相關命題相關命題相關命題相關命題

[定理定理定理定理１１１１] 線線平行 ⇒ 線面平行

[定理定理定理定理２２２２] 線面平行 ⇒ 線與交線平行

面面平行面面平行面面平行面面平行 相關命題相關命題相關命題相關命題

[定理定理定理定理３３３３] Ｘ面平行 ⇒ 面面平行

[推論推論推論推論４４４４] ＸＸ平行 ⇒ 面面平行

[定理定理定理定理５５５５] 面面平行 ⇒ 截面交線平行

線面垂直線面垂直線面垂直線面垂直 相關命題相關命題相關命題相關命題

[定理定理定理定理６６６６] 線Ｘ垂直 ⇒ 線面垂直

三垂線定理及它的逆定理三垂線定理及它的逆定理三垂線定理及它的逆定理三垂線定理及它的逆定理

[定理定理定理定理７７７７] 平面直線 ⊥ 射影 ⇒ 平面直線 ⊥ 斜線

[定理定理定理定理８８８８] 平面直線 ⊥ 斜線 ⇒ 平面直線 ⊥ 射影

- 3 -

[p.13定理定理定理定理 0] (平移平移平移平移不改變夾角大小不改變夾角大小不改變夾角大小不改變夾角大小)

若兩個角的兩組邊分別平行且方向相同若兩個角的兩組邊分別平行且方向相同若兩個角的兩組邊分別平行且方向相同若兩個角的兩組邊分別平行且方向相同,

則這兩個角相等則這兩個角相等則這兩個角相等則這兩個角相等.

已知: 在 BAC∠ 和 B A C′ ′ ′∠ 中,

AB A B′ ′� , AC A C′ ′� , 並且方向相同.

求證: BAC B A C′ ′ ′∠ =∠ .

[證]

在 AB和 A B′ ′上截取 AD A D′ ′= ,

在 AC和 A C′ ′上截取 AE A E′ ′= .

連結 , , , , DE D E AA DD EE′ ′ ′ ′ ′ .

∵ AD A D′ ′� , AD A D′ ′= ,

∴ ADD A′ ′是平行四邊形.

∴ AA DD′ ′� , AA DD′ ′= . (1)

同理可證 �想想要怎樣證明

AA EE′ ′� , AA EE′ ′= . (2)

∵ (1), (2),

∴ DD EE′ ′� , DD EE′ ′= .

∴ DEE D′ ′是平行四邊形.

∴ DE D E′ ′= .

∵ AD A D′ ′= , AE A E′ ′= , DE D E′ ′= ,

∴ ADE A D E′ ′ ′≅△ △ .

∴ ADE A D E′ ′ ′∠ =∠ . �

- 4 -

[p.14練習練習練習練習 2]

已知: , , AA BB CC′ ′ ′不共面,

AA BB′ ′� , AA BB′ ′= , BB CC′ ′� , BB CC′ ′= .

求證: ABC A B C′ ′ ′≅△ △ .

[證]

∵ AA BB′ ′� , AA BB′ ′= , (1)

BB CC′ ′� , BB CC′ ′= , (2)

∴ AA CC′ ′� , AA CC′ ′= . (3)

∵ (1), (2), (3),

∴ ABB A′ ′ , BCC B′ ′ , ACC A′ ′都是平行四邊形.

∴ AB A B′ ′= , BC B C′ ′= , CA C A′ ′= .

∴ ABC A B C′ ′ ′≅△ △ . �

- 5 -

[p.16習題習題習題習題 2]

已知: 在正方體中, AE A E′ ′= , AF A F′ ′= .

求證: EF E F′ ′= , EF E F′ ′� .

[證]

連結 EE ′和 FF ′ .

∵ AE A E′ ′= , AF A F′ ′= ;

在正方體中, 有 AE A E′ ′� , AF A F′ ′� ,

∴ AEE A′ ′和 AFF A′ ′是平行四邊形.

∴ AA EE′ ′= , AA FF′ ′= ; AA EE′ ′� , AA FF′ ′� .

∴ EE FF′ ′= , EE FF′ ′� .

∴ EFF E′ ′是平行四邊形.

∴ EF E F′ ′= , EF E F′ ′� . �

- 6 -

[p.21習題習題習題習題 3]

已知: a b� , 其中 a⊂平面α , b⊂平面β ,

lα β∩ = .

求證: a l� , b l� .

[證]

∵ a b� , b⊂ β ,

∴ a β� . [定理定理定理定理 1: 線線平行線線平行線線平行線線平行⇒線面平行線面平行線面平行線面平行]

∵ a β� , a⊂ α , lα β∩ = ,

∴ a l� . [定理定理定理定理 2: 線面平行線面平行線面平行線面平行⇒線與交線平行線與交線平行線與交線平行線與交線平行]

∵ a b� , a l� ,

∴ b l� . �

- 7 -

[p.25 練習練習練習練習 5]

已知: 對於 ABC△ , 有 l AB⊥ , l AC⊥ .

求證: l BC⊥ .

[證]

∵ l AB⊥ , l AC⊥ ,

(注意 AB, AC相交)

∴ l ⊥平面 ABC. [定理定理定理定理 6: 線線線線ＸＸＸＸ垂直垂直垂直垂直⇒線面垂直線面垂直線面垂直線面垂直]

∴ l BC⊥ . �

- 8 -

[p.25 練習練習練習練習 6]

如果兩條平行直線中的一條垂直於一個平面,

則另一條直線也垂直於這個平面.

已知: l ⊥平面α , m l� .

求證: m⊥平面α .

[證]

在平面α內任取兩條相交直線 a, b.

∵ l ⊥平面α ,

∴ l a⊥ , l b⊥ .

∵ m l� ,

∴ m a⊥ , m b⊥ . [定理定理定理定理 0: 平移不改變夾角大小平移不改變夾角大小平移不改變夾角大小平移不改變夾角大小]

∴ m⊥平面α . [定理定理定理定理 6: 線線線線ＸＸＸＸ垂直垂直垂直垂直⇒線面垂直線面垂直線面垂直線面垂直] �

- 9 -

[p.25 練習練習練習練習 7]

一條線段的垂直平分面內任一點

到這條線段兩端點的距離相等.

已知: AB⊥平面α , 垂足為 M;

MA MB= , 點 P在平面α內.

求證: PA PB= .

[證]

連結 PM.

∵ AB⊥ α , PM α⊂ ,

∴ AB PM⊥ .

即 90AMP BMP∠ =∠ = ° .

∵ MA MB= ,

( 90 )AMP BMP∠ =∠ = ° ,

PM PM= ,

∴ AMP BMP≅△ △ .

∴ PA PB= . �

- 10 -

[p.27 練習練習練習練習 1]

已知: 在 ABC△ 中, AH 是 BC邊上的高,

點 O在 AH上, 且OP⊥平面 ABC.

求證: PA BC⊥ .

[證]

∵ AH 是 ABC△ 的 BC邊上的高, O AH∈ ,

∴ BC AO⊥ . (1)

∵ OP⊥平面 ABC, AO⊂平面 ABC,

∴ AO是 AP的射影. (2)

∵ (1), (2),

(斜線: AP, 射影: AO, 平面直線: BC)

∴ BC AP⊥ . [定理定理定理定理 7: 三垂線定理三垂線定理三垂線定理三垂線定理] �

- 11 -

[p.27 練習練習練習練習 2]

已知: 如圖, PD⊥平面 ABC,

AC BC= , D為 AB的中點.

求證: AB PC⊥ .

[證]

∵ D是 AB的中點.

∴ CD是 CAB△ 的中線.

∵ AC BC= ,

∴ CAB△ 是等腰三角形,

∴ CD也是 CAB△ 的高,

即 AB CD⊥ . (1)

∵ PD⊥平面 ABC,

∴ CD是 CP的射影, (2)

∵ (1), (2),

(斜線: CP, 射影: CD, 平面直線: AB)

∴ AB CP⊥ . [定理定理定理定理 7: 三三三三垂線定理垂線定理垂線定理垂線定理] �

- 12 -

[p.28 習題習題習題習題 3]

已知: 在空間四邊形 ABCD中,

AB AC= , DB DC= .

求證: BC AD⊥ .

[證]

設點 M為線段 BC的中點,

連結 AM及 DM.

則 AM和 DM分別是 ABC△ 和 DBC△ 的中線.

∵ AB AC= , DB DC= ,

∴ ABC△ 及 DBC△ 都是等腰三角形,

∴ AM 和 DM也分別是 ABC△ 和 DBC△ 的高.

即 BC AM⊥ , .BC DM⊥

(注意 AM, DM相交.)

∴ BC ⊥平面 ADM. [定理定理定理定理 6: 線線線線ＸＸＸＸ垂直垂直垂直垂直⇒線面垂直線面垂直線面垂直線面垂直]

∴ BC AD⊥ . �

- 13 -

[p.28 習題習題習題習題 4]

已知: 平面α ∩平面β CD= ,

EA α⊥ , 垂足為 A; EB β⊥ , 垂足為 B.

求證: CD AB⊥ .

[證]

∵ CDα β∩ = ,

∴ CD α⊂ , CD β⊂ .

∵ EA α⊥ , CD α⊂ ,

∴ EA CD⊥ . (1)

同理可證 �想想要怎樣證明

EB CD⊥ . (2)

∵ (1), (2),

(注意 EA, EB相交)

∴ CD⊥平面 EAB. [定理定理定理定理 6: 線線線線ＸＸＸＸ垂直垂直垂直垂直⇒線面垂直線面垂直線面垂直線面垂直]

∴ CD AB⊥ . �