x - c, · interpolacion segmentaria cuad ratica, esta vez imponiendo algunas condiciones sobre el...

Ia forma progresiva de

de

Ia forma progres iva y

Capitulo 4 INTERPOLACION POLINOMIAL Y AJUSTE POLINOMIAL 201

que coincide con la formula deducida para Pl(X) en el caso de la forma de Lagrange del

polinomio interpolante Recuerde que el polinomio de interpo laci6n es unico

Con respecto al error en la interpolaci6n al usar la forma de Newton tenemos

Dada una funci6nfdefinida en [xo xd Si fescontinua en [XOx l ] y f existeen (XO xl )

entonces el teorema del valor medio implica que existe x E (xo Xl ) tal que f ( x) = f[ xoXl ]

En general se tiene el siguiente resu ltado cuya demostracion puede ser consu ltada en Burden 1985 pag inas 11 7 y 118

Teorema 43 Si f es una funcion de valor real defi nida sobre el intervalo [a b] n veces

continuamente diferenciab le en [a b] y XO xl xn son numeros distintos en [ab]

entonces existe C E [a b] tal que

Usando esta formula se puede IIegar a una expresion para estimar el error al aproximar una

funcion f med iante el polinomio interpolante de Newton Pn(x) a partir de los puntos

XO x l xn x como se indica a continuacion

De la formula del error E(x) dada al estudiar la forma de Lagrange del pol inomio

interpolante tenemos que

( ) _ ()

f x - Pn X + (x -xO)(X - Xl (X- Xn) (n+ l)( ())

() f C x n + 1 I (4 1 )

E(x)

donde c(x) esun numero que depende de x y c(x) E(ab)

De otro lado usando la forma de Newton del polinomio interpolante de grado menor 0 igual que n + 1 para f en los nodos xoXl xnX tenemos que

Igualando las ecuaciones (41) Y (42) concluimos que

donde para calcular f[xOx1 xnx] usamos Pn(x) f(x ) v

La ecuacion (4 3) nos da una fo rmula alternat iva para estim ar el error al usar un polinomio interpo lante

202 METODOS NUMERICOS

Ejemplo 44 Considere la slgulente tabla de datos

I x I

f( x) I 20 5103757

520784322

5104147 24

4813306 26

4359160 TABLA 42

28

Si queremos obtener una aproxlmaclon de f(21 usando todos los datos dados debemos

elegir la forma progresiva del pol inomio interpolante de Newton can todos los datos dad as y una escogencia adecuada para los nodos es Xo = 20 x = 22 X2 = 24 X3 = 26 Y

= 28 ya que x - 21 esta mas cerca de Xc que de x4 x4

Veamos que resultados abtenemos si usamos los polinomios interpolantes de Newton mas middot

apropiados de grados uno dos tres y cuatro para aproximar f( 21)

Empezamos calcu lando las dlferenclas dlvididas que se muestran en la TABLA 4 3 siguiente

donde el valor co rrespondien te ala di ferencla dividida cuatro es 834125 x 10-3 = b4 (que no

aparece en la tabla)

obtenemos

k xk f(Xk) = f[ xk ] Diferencias divididas 1

Diferencias divididas 2


0 20 510375 = bo 052043 = b - 2597275 = b2 04299367 = b3

1 22 5207843 - 051848 - 2339313 04966667 2 24 5104147 -1454205 -2041313 3 26 4813306 -227073 4 28 4359160

TABLA 43

Instrucci6n en DERIVE Dados los n + 1 puntos Mgt [[ xof(xo)] [X f(X1 )] [Xnf(Xn)]]

DI FERENCIAS_DIV(M) aproXlma 0 Simpllfica en las n + 1 diferencias divididas progresivas

de Newton [f[ xo ] f[xo x I] f[ xox - xn1 J correspondientes a los n + 1 puntas dados en la

matriz M Para este ejemp lo tome la matriz

M - [[2005103757] [22 05207843] [24 0510414 71 [26 048 13306] [28 04359160]] y

aproXime la expresion DIFERENCIAS_DIV(A) 0

Entonces

p(X) =f[xo] + f[xa xKx - xo

= 5103757 + 052043(x - 20)

asique

dados debemos

datos dados y 24 X3 = 26 Y

matriz


p (2 1 ) = 5103757 + 052043(21- 20)

= 5155800 ~ f(21)

Si usamos el po linomio mas apropiado de grado dos

P2(X) = f[ xo] + f[ xoxXx - xo) + f[xo x X2](X - xo)(x - x)

== p ( x) + f[ Xo x x2]( X - xo)( x - x)

obtenemos

P2(21) = p (21) - 2597275(21- 20)(21- 22)

= 5155800 +0025972 75

= 5181 773 ~ f(21)

Si usamos el polinomio mas apropiado de grado tres

P3(X) == f[xo] + f[xo x](x - xo) + f[x O x x2](x - xo)(x - Xl)

+f[ xo x x2 X3 ](x - Xo )(x - x)(x - x2)

=P2(X) + f[xo x x2 X3](X -- xo)( x - x)(x - X2)

entonces

P3(21) = P2(21) + 04299 367(21- 20)(21 - 22)(21- 24)

5181 773 + 1289810 x 10-4

== 5183063 ~ f (2 1)

Finalmente si usamos el polinom io de grado cuatro

P4 ( x) = f[ Xo] + f[ xo x]( x - Xo ) + f[ xox x2]( X - Xo)( x - x)

+f[xo x x2 X3 ](x - Xo )(x - xl )( X - x2)

+f[xOXX2 X3 X4](X-XO)( x - x)( x x2)(X - X3)

= P3(X) + f[ xo Xl x2 x3 x4](x - xo )(x - x)(x - x2)(X- x3) obtenemos

P4 (21) =P3 (21) + 8341125 x 10 -3 (21- 20)(21 - 22)(21 - 24 )(21- 26)

35183063 - 1251169 x 10 shy

== 5182938 f(21)

Si estamos interesados en aproximar f(27) med iante el polinomio interpolante mas

apropiado de grado menor 0 igual que tres a partir de los datos dados en la TABLA 43 debemos usar la forma regresiva de Newton del polinomio in terpolante co n los nod)

x4 == 28 X3 == 26 == 24 Y x = 22 10 que nos da en este casox2


P3 (x) =4359160-227073(x - 28 )- 2041313( x - 28)( x - 26)

+04966667( x - 28)( x - 26)( x - 24)

asfque

P3(27) 4359160- 227073(27 - 28)-2041313(27 - 28)(27 - 26)

+04966667(27 - 28)(27 - 26)(27 - 24)

3 4359160 +0227073 + 2041313 x 10 - -1490000 x 10-4

4=4606646 - 1490000 x 10 shy

=4605 156

Como un ejercicio encuentre el polinomio interpolante regresivo de grado menor 0 igual que

cuatro para los datos dados P4 (X) Y uselo para estimar f(27) Tambien estime f(27)

usando el polinomio P4 (X) Y compare los valores P4 (27) y P4 (27) Aprox ime tambien c) Aproxime

f(25) usando P4 (25 ) y P4 (25)

Un algoritmo para encontrar los coeficientes bob1 bn de la forma de Newton del

polinomio interpolante es el siguiente

Algoritmo 41 (Diferencias divididas progresivas) Para obtener los coeficientes

bo bl bn de la forma de Newton del polinomio interpolante usando diferencias divididas

progresivas conocidos n + 1 puntos (xof(XO))(Xlf(X1)) (xnf(xn)) con XOx1 middotxn

numeros distintos

Entrada Los numeros xo x1 xn los valores f( xo) f( Xl) f( xn)

a)Salida Los coefic ientes bob1 de la forma progresiva de Newton del polinomiobn interpo lante

b)

Paso 1 Tomar bo = f( xo)

Paso 2 Para i = 12 n hacer

Para k =01 n - i tomar

_ f(Xk-l-1) - f(Xk) f x - ~~-------~( k ) Xk +i - xk

-26)

menor 0 igual que

Tambien estime f(27 )

Aproxime tambien

los coefic ientes


Paso 3 Salida Los coeficien tes del pol inomio Interpolante progresivo de Newton son bobl b Terminarn

Ejercic io 42 La siguiente tab la corresponde a la funcion f( x) = eX bull

tiD 0 5 10 20 100000 164872 271828 738906

a) Aproxime f( 25) usando interpolac16n lineal con Xo = 0 Y Xl - 5

b) Ap roxime f(75 ) usando interpolacion lineal con xa ~5 Y Xl - 10

c) Aproxime f( 25) Y f(75) usando interpo lacion de grado menor 0 Igual que dos con

Xo = 0 Xl 10 Y X2 = 20

d) Cuales aproximaciones son mejores Y par que

e) Aproxime f(25) usando el pol inomio de in terpolacion de Newton de grado menor 0 igual

que tres para los datos dados bull

Ejerc icio 43 La siguiente tabla corresponde a la fun ci6n f( x) =- sen x bull

EID 30 32 33 35 29552 31457 32404 34290

a) Encuentre una aproximacion de sen(34) usando el polinomio de interpolacion de

Lagrange de grada menor 0 igual que tres para los datos dados

b) Encuentre una aproximacion de sen(34) usando el polinomio de interpolacion de

Newton mas apropiado de grado menor c Jual qL tres

c) Encuentre una cot a para el error en cada aproximacion Cual de las aproximaciones calculadas en a) y b) es mejor bull

Hasta aqui se han construido pollnomios de grado menor 0 iguJu~ para interpolar entre n + 1

puntos dados Como cuando n aumenta el polinomio interpolante Pn (x) tiene mas

oscilaciones y ocurre a menudo que no aproxima bien a la funci6n f esto sugiere que se intente la interpolacion pero localmente es decir po r subintervalos

La idea es que el intervalo que se tiene para interpolar los datos se descompone en una serie de subintervalos y se usan aproximaciones separadas para cada subintervalo sujetas a que las aproximaciones deben coincld ir n algun sentido en los extremos de los subintervalos


Este proceso de aproximaci6n sobre subintervalos se conoce como interpolacion segmentaria 0 por segmentos

42 INTERPOLACI6N SEGMENTARIA CUBICA (CUBIC SPLINES)

Oados n+1 puntos (xof(xo))(x1 f(X1)) (xnf(xn)) con xo x xn numeros distintos y f

alguna funci6n de valor real defin ida en un intervalo [a b] que contiene a los nodos xo x1 xn se trata de aprox imar la funci6n f por segmentos 0 tramos como se indica a

continuacion Aqu se supone que

Xo lt x1 lt lt xn

Una primera forma es aproximar la func i6n fen cada subintervalo [Xk Xk+1] k = O1 n -1

mediante un polinom io lineal 10 que se conoce como interpolaci6n segmentaria lineal Una segunda posibilidad es aproximar la funci6n f en cada subintervalo

[XkXb1 ] k = O 1 n - 1 med iante un polinomio cuadratico 10 que se conoce como

interpolacion segmentaria cuad ratica esta vez imponiendo algunas condic iones sobre el comportamiento de los polinomios aproximantes en cad a segmento

Finalmente tenemos la interpolaci6n segmentaria cubica que es la mas usada la cual consiste en 10 sigu iente

Se aprox ima la funci6n f en cada sub intervalo [Xk Xk+1] mediante un polinomio de grado

menor 0 igual que tres el cual suponemos de la forma

FIGURA 42

Son n polinomios de grado menor 0 igual que tres y cada uno con cuatro coeficientes inc6gnitas asi que tenemos un total de 4n incognitas por determinar

Las condiciones que deben satisfacer tales polinomios son

como interpolac ion

Capitulo 4 INTERPOLAC ION POLINOMIAL Y AJUSTE POLINOMIAL 207

i) jPdXk)=f(Xk) k=01 n - 1

Pn - (xn) = f(xn)

(Condiciones de interporacion Estas condiciones producen n + 1 ecuaciones)

ii) Pk(Xk+) = Pk +(Xk+) k = 01 n - 2

(Condiciones de continuidad en los nodos interiores Estas condiciones producen n - 1 ecuaciones)

iii) Pk (Xk+) = Pk+(Xk+) k = 01 n - 2

(Condiciones de derivabil ldad en los nodos interiores Estas condiciones producen n - 1 ecuaciones)

I

)v) Pk(Xk+)= Pk (Xk+1) bull k = 01 n - 2

(Condiciones de continuidad de la primera derivada en los nodos interiores se conserva la concavidad en la vecindad del nodo interior a no ser que la segunda derivada sea cero en el nodo interior Estas condiciones dan lugar a n -1 ecuaciones)

Hasta aqui tenemos n + 1+ 3(n - 1) =4n - 2 condiciones

v) Se satisface uno de los sig uientes pares de condiciones de f rontera

a) Po(xo)=O Y P~_l(Xn)=O

b) po_(xo) = f middot(xo) Y p~ _ (xn) = f(xn)

Las cond iciones dad as en a) se Iiaman de frontera libre (no dependen de condicior es adicionales sobre la funcio n f )

Observe que en el caso a) basta tener una lista de datos (xkYk) con xo x xn numeros

distintos para poder hacer la interpolaci6n segmentaria cubica

Las condiciones dadas en b) se Iiaman de frontera sujeta requieren que se conozca

f ( xo) Y f ( xn) Y fiJan al polinomio Po (x) X E [xo x] en el punto extremo Xo Y al polinomio

Pn-l( x) X [xn-1bull xn] en el punta extremo xn como en este caso se usa mas informacion

acerca de la funci6n f las aproximaclones obtenidas suelen ser mas exactas Si no se dispone de esta informaci6n sobre f se usaran las cond iciones de frontera libre 0 unas

buenas aproximaciones para f( xo) Y f ( xn)

Si definimos

T[xoxn] ~ R

x ~ T(X) = P k (X ) SiX E[Xk xk+d

208 MElODOS NUMERIC OS

Y pdX) k = 01 n - 1 satisfaciendo las condiciones i)-v) entonces T se dice un Trazador

o adaptador cubico para f en [xo xn] Si el Trazador cubico satisface las condiciones

v) a) se llama natural Y si satisface las condiciones v) b) se llama de frontera sujeta V

Nota Si no se da una tabla de datos correspondiente a una cierta funci6n f ni condiciones de frontera se entiende que un Trazador cubico es una funci6n como se defini6 antes pero satisfaciendo las condic iones ii) iii) Y iv)

Una forma de constru ir un Trazador cubico para una funci6n fen [xo xn] es la siguiente

De acuerdo con la condici6n i)

Y si aplicamos la condici6n ii) tenemos para k = 01 n - 2

ak =Pkt(Xk+l) =Pk (Xk~l)

= ak + bk (Xkl -Xk) + Ck( Xk +l - Xk)2 +dk(Xk+1-Xk)3

Si notamos hk=Xk~ l - X k k=01 n-1 usamos que ak= f(xk) para k=01 n-1 y

definimos an = f( xn) entonces

k = 01 n-1 (44)

De otro lado Pk(xk) = bk para k = 01 n - y si apl icamos la condici6n iii) obtenemos

Si definimos bn = p~ 1(Xn ) entonces

bk~ l = bk +2ckhk +3dkh~ k = 01n-1 (45)

( ya que P~- l (Xn) =bn_1 + 2cn_1hn_1 + 3dn_ l h ~_ 1 )

Ahora

o sea

y

es decir

entonces

Y Sl aplicamos la condici6n iv) obtenemos

Tse dice un Trazador

v

(44)

(45)


o sea

Si definimos P~-l(Xn) = 2cn entonces

Ck +1 = ck +3dk hk k = 01 n - 1

(ya que P~-l(Xn) = 2cn_1 + 6dn_1hn_1 = 2cn 0 sea cn = cn - 1 + 3dn_1hn_1 )

Despejando dk de la ecuaci6n (4 6) obtenemos

k=01 n - 1

y sustituyendo en las ecuaciones (44) y (45) obtenemos

(46)

(47)

o sea

(48)

y

es decir

(49)

Despejando bk en (4 8) obtenemos

k = 01 n-1 (410)

y au mentando el indice en uno en la ecuaci6n (410) se tiene que

b = ak +2 - ak +1 _ hk l (2c + c ) k+l h 3 k+l k+2

k+l

y sustituyendo en (49) se tiene que I

210 METODOS NUMERICO S

o sea

10 que nos Ileva finalmente a que

(411 )

para k ~ deg1 n - 2

En este sistema final las inc6gnitas son ck k = Ol n ya que ak = f( xk k = 01 n y

hk = Xk - Xk k = 01 n - 1sonconocidos

Este sistema es de n - 1 ecuaciones can n + 1 incognitas pero si usamos las cond iciones de fran tera se introducen dos nuevas ecuaciones con 10 cual obtenemos un sistema de n + 1 ecuaciones can n + 1 incognitas La pregunta que surge es si este sistema tiene solucion y si la tiene saber si es unica La respuesta la da el siguiente teorema

Teorema 44 Si f es una funci6n de valor real defin ida en un intervalo [a b] entonces f tiene un un ico Trazador cubico natural T en [a b) 0 sea un trazador cubico T que satisface las

cond iciones T(a) = O y T(b) = O

Demostraci6n Haciendo a = Xo lt X I lt lt xn = b Y usando las condiciones de fron tera

li bre

obtenemos Co ~ 0 Y cn =- 0

Estas dos ecuaciones Junto con las ecuaciones en (411) nos producen un sistema lineal AX = b de n + 1 ecuaclones con n 1 incognitas donde

0 0 0 Co deg ho 2(ho+h) h deg 0 C

deg h 2(h h2 ) h2 0 c2x= A

0 cn- 1

hn- 2 2(h n_2 + hn_1) hn_10

cn0 0 0

Como se ve la dominante dia~lonaIlII

para co c cn

ho

o A=

o o

(411 )

las condiciones

un sistema lineal

Co

c1

c2X=

c _ncn

Capitulo 4 INTERPOLACION POUNOMIAL Y AJUSTE POUNOMIAL 211

b =

3 3 -h-(an - an_) - -h- (an- - an- 2)

n- 1 n- 2

o

Como se ve la matriz A de coeficientes de este sistema es tridiagonal estrictamente dominante diagonalmente por filas en consecuencia el sistema dado tiene soluci6n unica para C Oc 1 cn

Conocidos los valores de co c1 cn podemos obtener los valores bob bn_1 usando las

ecuaciones (410) y los valores de do d dn_ usando las ecuaciones (47) con 10 cual se

obtiene el unico Trazador cubico T(x) V

Tambien se tiene el siguiente resultado

Teorema 45 Si f esta definida en [a b] entonces f tiene un unico Trazador cubico T en [ab]

quesatisface r(a) = f(a) y r(b)=f(b)

En este caso los valores de co C se determinan encontrando la unica soluci6n del cn

sistema tridiagonal AX = b donde

o Co o Co c2X=A=

o c _n 1o hn_2 2(h n_2 + hn_) hn- 1 cno o _ 2hn_hn 1 1

3 3 -h- (an -an-)- -h- (an- - an-2)

n- 1 n-2

3f b) - _ 3_ (an - an_) hn -

212 METOOOS NUMERIC OS

que tiene nuevamente matriz de coeficientes estrictamente dominante diaganalmente par filas l

Conocidos los puntos (xo f( Xo n (x1 f( x1)) (xn bullf ( xn )) un algoritmo para encantrar un

Trazador cubico para fen [Xo xn ] debe empezar por hacer ak = f(Xk) k = 01 n calcular

hk = Xk+ 1 - xk k = O1 n - 1 resolver el sistema AX = b correspondiente y obtener

ak bk ck Y dk k =01 n - 1

Recuerde que para cada k =01 n -1

es el polinomio interpo lante para f en [xkXk +1J

Ejemplo 45 Oada la funci6n f definida por f( x) = 3xe ~ - 2e ~ Y la tabla siguiente

k xk f( xk)

0 100 2718282 1 105 3286299 2 107 3527609 3 110 3905416

TABLA 44

Encontrar el Trazador Cll bico natural T para fen [10110] Yusa rio para estimar f(103)

Soluci6n Como los nodos xOX1X2 Y X3 no estEln igualmente espaciados debemos

empezar encontrando ho h1 Y h2 bull

De acuerdo con los datos de la tabla se tiene que

ho = x1- Xo = 05 h1 = x2 - x1= 02 h2 = X3 - x2 = 03

Ahora como Po( xo) = 2co = 0 Y P2(x3 ) = 2c3 = 0 entonces Co =0 Y c 3 =0 asi que

debemos resolver el sigu iente sistema

= 0

= ~(3527609 - 3286299) - ~(3286299 - 2718282)02 05

3 3 02c1 + 2(05)c 2 +03c 3 = shy (3905416 - 3527609) - -(3527609 shy 3286299)

03 02

La solucion de este sistema es

n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)

Capitulo 4 INTERPOlACI6N POllNOMIAL Y AJUSTE POllNOMIAL 213

Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0

Usando las ecuaciones en (4 10) obtenemos

bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963

y usando las ecuaciones en (47) obtenemos

do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2

(ya que ak = f( xk ) k = 01 n) entonces el Trazado r cubico natural T para fen [xo x3] es

T[XOX3 ]~R

x ~ T( x) ==- pdx) = ak + bk (x - xk ) + cd x - Xk )2 + ddx - Xk )3

si x [Xk Xk) k = 012

siendo

Po(X) =2718282 + 1113992(x -lOO) + O(x _tOO)2 + 8816863(x-lOO)3

p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3

Como x =t03 E[10105] entonces

f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860

Instrucci6n en DERIVE Dados los n + 1 puntos M = ([ xo Yo J [x yj [ XnYn]]

TRAZADOR( M) Simplifica 0 aproXima en el Trazador cubico natural correspondiente a los

datos dados en la matriz M EI resultado es la matriz [[x po(x)] [x p(x) j [X Pn _1(X)]]

Despues de aproximar el TRAZADOR( M) se puede graficar el resultado entrando los

numeros Y xk+ correspondientes a los extremos del dominio del polinomio pdx) paraxk

cada k cuando DERIVE Ie solicite los valores Min y Max Para el ejemplo anterior tome la

matriz M = [[10 2718282] [105 3286299] [t07 3527609] [t 10 3905416]] y aproXime la

expresion TRAZADOR (M) 0

214 M~TODOS NUM~RICOS

Como ejercicio use el polinomio interpolante de Newton para f en los datos dados en el

ejemplo 45 para estimar f(t03) y compare el resultado con el obtenido usando el Trazador

cubico naturaL bull

Dados cuatro 0 menos puntos sabemos que existe un unico polinomio de grado tres 0 menor que interpola a los datos dados asi que usaremos Trazadores cubicos cuando tengamos cinco 0 mas puntos

Ejemplo 46 Determine todos los valores de a b c dye para los cuales la siguiente funci6n es un Trazador cubico

a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)

Ademas determine los valores de los parametros de modo que el trazador interpole la siguiente tab la

x o 10 40 y 260 70 250

Soluci6n Para que T( x) sea un trazador cubico en (-00+00) debe satisfacer

i) T( x) debesercontinuaentodopuntode (-oo+oo) ycomoloesen (-001) (1 3)y (3 +00)

par ser polin6mica en cada uno de estos intervalos debemos imponer condiciones para que sea continua en los numeros 1 y 3 Debe tenerse que

lim T(x)= T(1)= lim T(x) y lim T(x) = T(1) = lim T(x) x- 1 )( 1gt 1middot )(-3 - x--)3+

es deci r

o sea que debe tenerse a = c y c = d

ii) T(x) debe ser derivable en todo punto de (- 00+00) Y como 10 es en (-001) (1 3) Y

(3+cxraquo) por ser pol in6mica en cada uno de estos intervalos debemos imponer

condiciones para que sea derivable en los numeros 1 y 3 10 cual se tiene si

es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador

la siguiente funci6n

eI trazador interpole la

imponer

Capitulo 4 INTERPOLACI6N POLINOMIAL Y AJUSTE POLINOMIAL 215

o sea si -2a = -2c y 2c = 2d 0 equivalentemente si a = c y c = d que como vemos son las mismas condiciones obtenidas en i)

iii) T(x) debe tener primera derivada continua en todo punto de (-00+00) Y como la

derivada es continua en (-001) (13) Y (3+00) por ser polin6mica en cada uno de estos

intervalos 610 hay que considerar los casos x 1 Y x 3 es decir debe tenerse

T(1)=2a+6b(1-1)=2c y T(3) = 2d+6e(3 - 3)=2c osea a = c y c=d

Hasta aqui sin condiciones de interpolar una tabla de datos dada los coeficientes a b c d y

e del Trazador cubico T( x) deben satisfacer a = c = d Y b e arbitrarios

Para que el Trazador cubico interpole la tabla de datos dada los parametros a b c dye deben satisfacer las siguientes ecuaciones

T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25

10 que nos conduce al siguiente sistema lineal

j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3

Pero de las condiciones obtenidas antes se tiene que a = c d asi que en definitiva el Trazador cubico que interpola la tabla de datos dada es

7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)

Es el Trazador cubico obten ido un Trazador cubico natural

Como T(1) = 14 ct- 0 entonces el Trazador cubico obtenido no es natural +


43 AJUSTE DE UN POLINOMIO POR MiNIMOS CUADRADOS (REGRESION POLINOMIAL)

Hasta ahora hemos estudiado el problema de aprox imar una funci6n y = f( x) par un

po li nomio interpolan te a partir de una serie de datos conocidos

( Xo bullf( Xo ) ) (x 1 f( X)) (xot(xn ))

En esta parte se estudiara el sig uiente pro blema

Supongamos que existe una re lacl6n funcional Y= f( x) entre dos canti dades x e y con f

desconocida y se conocen valores Y k que aproximan a f( xk ) es decir

f(Xk) - Y ~+ Ck k =-shy O1bull n

con ~ desconoc~o

Se trata de recuperar la fu nci6n f a partir de los datos aprox imados Yk k = 01 n

Este problema se conoce como un problema de ajuste de datos 0 ajuste de curvas

431 Regresion

( xo Yo )(X I Y) (Xn Y~ ) po linomio

tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl

(caso discreto) TrabaJaremos basicamente el caso en el que f es una funci6n polinomica

Si f es una funcl6n polinomica digamos f( x) = Pm( x) entonces el problema se conv ierte en

Dados n + 1 puntos xoYo ) (x y)(xn Yn) con xo x xn numeros reales distintos se

trata de encontrar un pallnomio

que mejor se ajuste a los datos La de mejor ajuste se entendera en el sentido de que

sea minimo es decir que

n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo

Este criterio de meJor ajuste como ya se mencion6 antes se conace como minimos cuadrados y el metoda para obtener los pol inomios que mejor se ajustan segun mfn imos cuadrados se llama Regresi6n polinomial


Ejemplo 44 Considere la slgulente tabla de datos

I x I

f( x) I 20 5103757

520784322

5104147 24

4813306 26

4359160 TABLA 42

28

Si queremos obtener una aproxlmaclon de f(21 usando todos los datos dados debemos

elegir la forma progresiva del pol inomio interpolante de Newton can todos los datos dad as y una escogencia adecuada para los nodos es Xo = 20 x = 22 X2 = 24 X3 = 26 Y

= 28 ya que x - 21 esta mas cerca de Xc que de x4 x4

Veamos que resultados abtenemos si usamos los polinomios interpolantes de Newton mas middot

apropiados de grados uno dos tres y cuatro para aproximar f( 21)

Empezamos calcu lando las dlferenclas dlvididas que se muestran en la TABLA 4 3 siguiente

donde el valor co rrespondien te ala di ferencla dividida cuatro es 834125 x 10-3 = b4 (que no

aparece en la tabla)

obtenemos

k xk f(Xk) = f[ xk ] Diferencias divididas 1



0 20 510375 = bo 052043 = b - 2597275 = b2 04299367 = b3

1 22 5207843 - 051848 - 2339313 04966667 2 24 5104147 -1454205 -2041313 3 26 4813306 -227073 4 28 4359160

TABLA 43

Instrucci6n en DERIVE Dados los n + 1 puntos Mgt [[ xof(xo)] [X f(X1 )] [Xnf(Xn)]]

DI FERENCIAS_DIV(M) aproXlma 0 Simpllfica en las n + 1 diferencias divididas progresivas

de Newton [f[ xo ] f[xo x I] f[ xox - xn1 J correspondientes a los n + 1 puntas dados en la

matriz M Para este ejemp lo tome la matriz

M - [[2005103757] [22 05207843] [24 0510414 71 [26 048 13306] [28 04359160]] y

aproXime la expresion DIFERENCIAS_DIV(A) 0

Entonces

p(X) =f[xo] + f[xa xKx - xo

= 5103757 + 052043(x - 20)

asique

dados debemos


matriz


p (2 1 ) = 5103757 + 052043(21- 20)

= 5155800 ~ f(21)



== p ( x) + f[ Xo x x2]( X - xo)( x - x)

obtenemos

P2(21) = p (21) - 2597275(21- 20)(21- 22)

= 5155800 +0025972 75

= 5181 773 ~ f(21)



+f[ xo x x2 X3 ](x - Xo )(x - x)(x - x2)


entonces

P3(21) = P2(21) + 04299 367(21- 20)(21 - 22)(21- 24)

5181 773 + 1289810 x 10-4

== 5183063 ~ f (2 1)



+f[xo x x2 X3 ](x - Xo )(x - xl )( X - x2)



P4 (21) =P3 (21) + 8341125 x 10 -3 (21- 20)(21 - 22)(21 - 24 )(21- 26)

35183063 - 1251169 x 10 shy

== 5182938 f(21)





P3 (x) =4359160-227073(x - 28 )- 2041313( x - 28)( x - 26)

+04966667( x - 28)( x - 26)( x - 24)

asfque

P3(27) 4359160- 227073(27 - 28)-2041313(27 - 28)(27 - 26)

+04966667(27 - 28)(27 - 26)(27 - 24)

3 4359160 +0227073 + 2041313 x 10 - -1490000 x 10-4

4=4606646 - 1490000 x 10 shy

=4605 156




f(25) usando P4 (25 ) y P4 (25)






numeros distintos



b)





-26)

menor 0 igual que


Aproxime tambien

los coefic ientes




tiD 0 5 10 20 100000 164872 271828 738906




Xo = 0 Xl 10 Y X2 = 20





EID 30 32 33 35 29552 31457 32404 34290
















Xo lt x1 lt lt xn








FIGURA 42



como interpolac ion



Pn - (xn) = f(xn)


ii) Pk(Xk+) = Pk +(Xk+) k = 01 n - 2


iii) Pk (Xk+) = Pk+(Xk+) k = 01 n - 2


I















Si definimos

T[xoxn] ~ R














k = 01 n-1 (44)



bk~ l = bk +2ckhk +3dkh~ k = 01n-1 (45)


Ahora

o sea

y

es decir

entonces



v

(44)

(45)


o sea


Ck +1 = ck +3dk hk k = 01 n - 1



k=01 n - 1


(46)

(47)

o sea

(48)

y

es decir

(49)


k = 01 n-1 (410)



k+l



o sea


(411 )

para k ~ deg1 n - 2







li bre




deg h 2(h h2 ) h2 0 c2x= A

0 cn- 1

hn- 2 2(h n_2 + hn_1) hn_10

cn0 0 0


para co c cn

ho

o A=

o o

(411 )

las condiciones

un sistema lineal

Co

c1

c2X=

c _ncn


b =

3 3 -h-(an - an_) - -h- (an- - an- 2)

n- 1 n- 2

o










o Co o Co c2X=A=


3 3 -h- (an -an-)- -h- (an- - an-2)

n- 1 n-2

3f b) - _ 3_ (an - an_) hn -










k xk f( xk)

0 100 2718282 1 105 3286299 2 107 3527609 3 110 3905416

TABLA 44





ho = x1- Xo = 05 h1 = x2 - x1= 02 h2 = X3 - x2 = 03



= 0

= ~(3527609 - 3286299) - ~(3286299 - 2718282)02 05

3 3 02c1 + 2(05)c 2 +03c 3 = shy (3905416 - 3527609) - -(3527609 shy 3286299)

03 02


n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)


Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0


bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963


do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2


T[XOX3 ]~R



siendo


p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3


f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860












cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo


dados debemos


matriz


p (2 1 ) = 5103757 + 052043(21- 20)

= 5155800 ~ f(21)



== p ( x) + f[ Xo x x2]( X - xo)( x - x)

obtenemos

P2(21) = p (21) - 2597275(21- 20)(21- 22)

= 5155800 +0025972 75

= 5181 773 ~ f(21)



+f[ xo x x2 X3 ](x - Xo )(x - x)(x - x2)


entonces

P3(21) = P2(21) + 04299 367(21- 20)(21 - 22)(21- 24)

5181 773 + 1289810 x 10-4

== 5183063 ~ f (2 1)



+f[xo x x2 X3 ](x - Xo )(x - xl )( X - x2)



P4 (21) =P3 (21) + 8341125 x 10 -3 (21- 20)(21 - 22)(21 - 24 )(21- 26)

35183063 - 1251169 x 10 shy

== 5182938 f(21)





P3 (x) =4359160-227073(x - 28 )- 2041313( x - 28)( x - 26)

+04966667( x - 28)( x - 26)( x - 24)

asfque

P3(27) 4359160- 227073(27 - 28)-2041313(27 - 28)(27 - 26)

+04966667(27 - 28)(27 - 26)(27 - 24)

3 4359160 +0227073 + 2041313 x 10 - -1490000 x 10-4

4=4606646 - 1490000 x 10 shy

=4605 156




f(25) usando P4 (25 ) y P4 (25)






numeros distintos



b)





-26)

menor 0 igual que


Aproxime tambien

los coefic ientes




tiD 0 5 10 20 100000 164872 271828 738906




Xo = 0 Xl 10 Y X2 = 20





EID 30 32 33 35 29552 31457 32404 34290
















Xo lt x1 lt lt xn








FIGURA 42



como interpolac ion



Pn - (xn) = f(xn)


ii) Pk(Xk+) = Pk +(Xk+) k = 01 n - 2


iii) Pk (Xk+) = Pk+(Xk+) k = 01 n - 2


I















Si definimos

T[xoxn] ~ R














k = 01 n-1 (44)



bk~ l = bk +2ckhk +3dkh~ k = 01n-1 (45)


Ahora

o sea

y

es decir

entonces



v

(44)

(45)


o sea


Ck +1 = ck +3dk hk k = 01 n - 1



k=01 n - 1


(46)

(47)

o sea

(48)

y

es decir

(49)


k = 01 n-1 (410)



k+l



o sea


(411 )

para k ~ deg1 n - 2







li bre




deg h 2(h h2 ) h2 0 c2x= A

0 cn- 1

hn- 2 2(h n_2 + hn_1) hn_10

cn0 0 0


para co c cn

ho

o A=

o o

(411 )

las condiciones

un sistema lineal

Co

c1

c2X=

c _ncn


b =

3 3 -h-(an - an_) - -h- (an- - an- 2)

n- 1 n- 2

o










o Co o Co c2X=A=


3 3 -h- (an -an-)- -h- (an- - an-2)

n- 1 n-2

3f b) - _ 3_ (an - an_) hn -










k xk f( xk)

0 100 2718282 1 105 3286299 2 107 3527609 3 110 3905416

TABLA 44





ho = x1- Xo = 05 h1 = x2 - x1= 02 h2 = X3 - x2 = 03



= 0

= ~(3527609 - 3286299) - ~(3286299 - 2718282)02 05

3 3 02c1 + 2(05)c 2 +03c 3 = shy (3905416 - 3527609) - -(3527609 shy 3286299)

03 02


n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)


Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0


bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963


do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2


T[XOX3 ]~R



siendo


p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3


f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860












cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo



P3 (x) =4359160-227073(x - 28 )- 2041313( x - 28)( x - 26)

+04966667( x - 28)( x - 26)( x - 24)

asfque

P3(27) 4359160- 227073(27 - 28)-2041313(27 - 28)(27 - 26)

+04966667(27 - 28)(27 - 26)(27 - 24)

3 4359160 +0227073 + 2041313 x 10 - -1490000 x 10-4

4=4606646 - 1490000 x 10 shy

=4605 156




f(25) usando P4 (25 ) y P4 (25)






numeros distintos



b)





-26)

menor 0 igual que


Aproxime tambien

los coefic ientes




tiD 0 5 10 20 100000 164872 271828 738906




Xo = 0 Xl 10 Y X2 = 20





EID 30 32 33 35 29552 31457 32404 34290
















Xo lt x1 lt lt xn








FIGURA 42



como interpolac ion



Pn - (xn) = f(xn)


ii) Pk(Xk+) = Pk +(Xk+) k = 01 n - 2


iii) Pk (Xk+) = Pk+(Xk+) k = 01 n - 2


I















Si definimos

T[xoxn] ~ R














k = 01 n-1 (44)



bk~ l = bk +2ckhk +3dkh~ k = 01n-1 (45)


Ahora

o sea

y

es decir

entonces



v

(44)

(45)


o sea


Ck +1 = ck +3dk hk k = 01 n - 1



k=01 n - 1


(46)

(47)

o sea

(48)

y

es decir

(49)


k = 01 n-1 (410)



k+l



o sea


(411 )

para k ~ deg1 n - 2







li bre




deg h 2(h h2 ) h2 0 c2x= A

0 cn- 1

hn- 2 2(h n_2 + hn_1) hn_10

cn0 0 0


para co c cn

ho

o A=

o o

(411 )

las condiciones

un sistema lineal

Co

c1

c2X=

c _ncn


b =

3 3 -h-(an - an_) - -h- (an- - an- 2)

n- 1 n- 2

o










o Co o Co c2X=A=


3 3 -h- (an -an-)- -h- (an- - an-2)

n- 1 n-2

3f b) - _ 3_ (an - an_) hn -










k xk f( xk)

0 100 2718282 1 105 3286299 2 107 3527609 3 110 3905416

TABLA 44





ho = x1- Xo = 05 h1 = x2 - x1= 02 h2 = X3 - x2 = 03



= 0

= ~(3527609 - 3286299) - ~(3286299 - 2718282)02 05

3 3 02c1 + 2(05)c 2 +03c 3 = shy (3905416 - 3527609) - -(3527609 shy 3286299)

03 02


n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)


Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0


bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963


do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2


T[XOX3 ]~R



siendo


p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3


f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860












cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo


-26)

menor 0 igual que


Aproxime tambien

los coefic ientes




tiD 0 5 10 20 100000 164872 271828 738906




Xo = 0 Xl 10 Y X2 = 20





EID 30 32 33 35 29552 31457 32404 34290
















Xo lt x1 lt lt xn








FIGURA 42



como interpolac ion



Pn - (xn) = f(xn)


ii) Pk(Xk+) = Pk +(Xk+) k = 01 n - 2


iii) Pk (Xk+) = Pk+(Xk+) k = 01 n - 2


I















Si definimos

T[xoxn] ~ R














k = 01 n-1 (44)



bk~ l = bk +2ckhk +3dkh~ k = 01n-1 (45)


Ahora

o sea

y

es decir

entonces



v

(44)

(45)


o sea


Ck +1 = ck +3dk hk k = 01 n - 1



k=01 n - 1


(46)

(47)

o sea

(48)

y

es decir

(49)


k = 01 n-1 (410)



k+l



o sea


(411 )

para k ~ deg1 n - 2







li bre




deg h 2(h h2 ) h2 0 c2x= A

0 cn- 1

hn- 2 2(h n_2 + hn_1) hn_10

cn0 0 0


para co c cn

ho

o A=

o o

(411 )

las condiciones

un sistema lineal

Co

c1

c2X=

c _ncn


b =

3 3 -h-(an - an_) - -h- (an- - an- 2)

n- 1 n- 2

o










o Co o Co c2X=A=


3 3 -h- (an -an-)- -h- (an- - an-2)

n- 1 n-2

3f b) - _ 3_ (an - an_) hn -










k xk f( xk)

0 100 2718282 1 105 3286299 2 107 3527609 3 110 3905416

TABLA 44





ho = x1- Xo = 05 h1 = x2 - x1= 02 h2 = X3 - x2 = 03



= 0

= ~(3527609 - 3286299) - ~(3286299 - 2718282)02 05

3 3 02c1 + 2(05)c 2 +03c 3 = shy (3905416 - 3527609) - -(3527609 shy 3286299)

03 02


n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)


Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0


bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963


do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2


T[XOX3 ]~R



siendo


p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3


f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860












cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo








Xo lt x1 lt lt xn








FIGURA 42



como interpolac ion



Pn - (xn) = f(xn)


ii) Pk(Xk+) = Pk +(Xk+) k = 01 n - 2


iii) Pk (Xk+) = Pk+(Xk+) k = 01 n - 2


I















Si definimos

T[xoxn] ~ R














k = 01 n-1 (44)



bk~ l = bk +2ckhk +3dkh~ k = 01n-1 (45)


Ahora

o sea

y

es decir

entonces



v

(44)

(45)


o sea


Ck +1 = ck +3dk hk k = 01 n - 1



k=01 n - 1


(46)

(47)

o sea

(48)

y

es decir

(49)


k = 01 n-1 (410)



k+l



o sea


(411 )

para k ~ deg1 n - 2







li bre




deg h 2(h h2 ) h2 0 c2x= A

0 cn- 1

hn- 2 2(h n_2 + hn_1) hn_10

cn0 0 0


para co c cn

ho

o A=

o o

(411 )

las condiciones

un sistema lineal

Co

c1

c2X=

c _ncn


b =

3 3 -h-(an - an_) - -h- (an- - an- 2)

n- 1 n- 2

o










o Co o Co c2X=A=


3 3 -h- (an -an-)- -h- (an- - an-2)

n- 1 n-2

3f b) - _ 3_ (an - an_) hn -










k xk f( xk)

0 100 2718282 1 105 3286299 2 107 3527609 3 110 3905416

TABLA 44





ho = x1- Xo = 05 h1 = x2 - x1= 02 h2 = X3 - x2 = 03



= 0

= ~(3527609 - 3286299) - ~(3286299 - 2718282)02 05

3 3 02c1 + 2(05)c 2 +03c 3 = shy (3905416 - 3527609) - -(3527609 shy 3286299)

03 02


n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)


Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0


bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963


do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2


T[XOX3 ]~R



siendo


p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3


f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860












cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo


como interpolac ion



Pn - (xn) = f(xn)


ii) Pk(Xk+) = Pk +(Xk+) k = 01 n - 2


iii) Pk (Xk+) = Pk+(Xk+) k = 01 n - 2


I















Si definimos

T[xoxn] ~ R














k = 01 n-1 (44)



bk~ l = bk +2ckhk +3dkh~ k = 01n-1 (45)


Ahora

o sea

y

es decir

entonces



v

(44)

(45)


o sea


Ck +1 = ck +3dk hk k = 01 n - 1



k=01 n - 1


(46)

(47)

o sea

(48)

y

es decir

(49)


k = 01 n-1 (410)



k+l



o sea


(411 )

para k ~ deg1 n - 2







li bre




deg h 2(h h2 ) h2 0 c2x= A

0 cn- 1

hn- 2 2(h n_2 + hn_1) hn_10

cn0 0 0


para co c cn

ho

o A=

o o

(411 )

las condiciones

un sistema lineal

Co

c1

c2X=

c _ncn


b =

3 3 -h-(an - an_) - -h- (an- - an- 2)

n- 1 n- 2

o










o Co o Co c2X=A=


3 3 -h- (an -an-)- -h- (an- - an-2)

n- 1 n-2

3f b) - _ 3_ (an - an_) hn -










k xk f( xk)

0 100 2718282 1 105 3286299 2 107 3527609 3 110 3905416

TABLA 44





ho = x1- Xo = 05 h1 = x2 - x1= 02 h2 = X3 - x2 = 03



= 0

= ~(3527609 - 3286299) - ~(3286299 - 2718282)02 05

3 3 02c1 + 2(05)c 2 +03c 3 = shy (3905416 - 3527609) - -(3527609 shy 3286299)

03 02


n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)


Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0


bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963


do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2


T[XOX3 ]~R



siendo


p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3


f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860












cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo














k = 01 n-1 (44)



bk~ l = bk +2ckhk +3dkh~ k = 01n-1 (45)


Ahora

o sea

y

es decir

entonces



v

(44)

(45)


o sea


Ck +1 = ck +3dk hk k = 01 n - 1



k=01 n - 1


(46)

(47)

o sea

(48)

y

es decir

(49)


k = 01 n-1 (410)



k+l



o sea


(411 )

para k ~ deg1 n - 2







li bre




deg h 2(h h2 ) h2 0 c2x= A

0 cn- 1

hn- 2 2(h n_2 + hn_1) hn_10

cn0 0 0


para co c cn

ho

o A=

o o

(411 )

las condiciones

un sistema lineal

Co

c1

c2X=

c _ncn


b =

3 3 -h-(an - an_) - -h- (an- - an- 2)

n- 1 n- 2

o










o Co o Co c2X=A=


3 3 -h- (an -an-)- -h- (an- - an-2)

n- 1 n-2

3f b) - _ 3_ (an - an_) hn -










k xk f( xk)

0 100 2718282 1 105 3286299 2 107 3527609 3 110 3905416

TABLA 44





ho = x1- Xo = 05 h1 = x2 - x1= 02 h2 = X3 - x2 = 03



= 0

= ~(3527609 - 3286299) - ~(3286299 - 2718282)02 05

3 3 02c1 + 2(05)c 2 +03c 3 = shy (3905416 - 3527609) - -(3527609 shy 3286299)

03 02


n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)


Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0


bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963


do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2


T[XOX3 ]~R



siendo


p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3


f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860












cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo



v

(44)

(45)


o sea


Ck +1 = ck +3dk hk k = 01 n - 1



k=01 n - 1


(46)

(47)

o sea

(48)

y

es decir

(49)


k = 01 n-1 (410)



k+l



o sea


(411 )

para k ~ deg1 n - 2







li bre




deg h 2(h h2 ) h2 0 c2x= A

0 cn- 1

hn- 2 2(h n_2 + hn_1) hn_10

cn0 0 0


para co c cn

ho

o A=

o o

(411 )

las condiciones

un sistema lineal

Co

c1

c2X=

c _ncn


b =

3 3 -h-(an - an_) - -h- (an- - an- 2)

n- 1 n- 2

o










o Co o Co c2X=A=


3 3 -h- (an -an-)- -h- (an- - an-2)

n- 1 n-2

3f b) - _ 3_ (an - an_) hn -










k xk f( xk)

0 100 2718282 1 105 3286299 2 107 3527609 3 110 3905416

TABLA 44





ho = x1- Xo = 05 h1 = x2 - x1= 02 h2 = X3 - x2 = 03



= 0

= ~(3527609 - 3286299) - ~(3286299 - 2718282)02 05

3 3 02c1 + 2(05)c 2 +03c 3 = shy (3905416 - 3527609) - -(3527609 shy 3286299)

03 02


n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)


Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0


bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963


do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2


T[XOX3 ]~R



siendo


p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3


f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860












cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo



o sea


(411 )

para k ~ deg1 n - 2







li bre




deg h 2(h h2 ) h2 0 c2x= A

0 cn- 1

hn- 2 2(h n_2 + hn_1) hn_10

cn0 0 0


para co c cn

ho

o A=

o o

(411 )

las condiciones

un sistema lineal

Co

c1

c2X=

c _ncn


b =

3 3 -h-(an - an_) - -h- (an- - an- 2)

n- 1 n- 2

o










o Co o Co c2X=A=


3 3 -h- (an -an-)- -h- (an- - an-2)

n- 1 n-2

3f b) - _ 3_ (an - an_) hn -










k xk f( xk)

0 100 2718282 1 105 3286299 2 107 3527609 3 110 3905416

TABLA 44





ho = x1- Xo = 05 h1 = x2 - x1= 02 h2 = X3 - x2 = 03



= 0

= ~(3527609 - 3286299) - ~(3286299 - 2718282)02 05

3 3 02c1 + 2(05)c 2 +03c 3 = shy (3905416 - 3527609) - -(3527609 shy 3286299)

03 02


n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)


Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0


bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963


do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2


T[XOX3 ]~R



siendo


p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3


f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860












cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo


(411 )

las condiciones

un sistema lineal

Co

c1

c2X=

c _ncn


b =

3 3 -h-(an - an_) - -h- (an- - an- 2)

n- 1 n- 2

o










o Co o Co c2X=A=


3 3 -h- (an -an-)- -h- (an- - an-2)

n- 1 n-2

3f b) - _ 3_ (an - an_) hn -










k xk f( xk)

0 100 2718282 1 105 3286299 2 107 3527609 3 110 3905416

TABLA 44





ho = x1- Xo = 05 h1 = x2 - x1= 02 h2 = X3 - x2 = 03



= 0

= ~(3527609 - 3286299) - ~(3286299 - 2718282)02 05

3 3 02c1 + 2(05)c 2 +03c 3 = shy (3905416 - 3527609) - -(3527609 shy 3286299)

03 02


n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)


Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0


bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963


do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2


T[XOX3 ]~R



siendo


p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3


f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860












cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo











k xk f( xk)

0 100 2718282 1 105 3286299 2 107 3527609 3 110 3905416

TABLA 44





ho = x1- Xo = 05 h1 = x2 - x1= 02 h2 = X3 - x2 = 03



= 0

= ~(3527609 - 3286299) - ~(3286299 - 2718282)02 05

3 3 02c1 + 2(05)c 2 +03c 3 = shy (3905416 - 3527609) - -(3527609 shy 3286299)

03 02


n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)


Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0


bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963


do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2


T[XOX3 ]~R



siendo


p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3


f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860












cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo


n calcular

y obtener

r_ ciad()s debemos

asi que

-2718282)

- 3286299)


Co = 0 c = 1322529 c2 = 1319694 c 3 = 0


bo = 1113992 b = 1180118 b2 = 1232963


do = 8816863 d1 = - 4725490 d2 = - 1466327

y como ao 271 8282 a = 3286299 = 3527609a2


T[XOX3 ]~R



siendo


p(X) = 3286299 + 1180118(x - 105) + 1322529(x _105)2 - 4725490(x - 105)3

P2 (X) = 3527609 + 1232963( x - 107) + 1319694( x - 107 -1 466327( x _ 107)3


f(t03) ~ T(103) = Po(103)

= 2718282 + 1113992(103 - tOO) + 8816863(103 - 100)3

= 3054860












cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo





cubico naturaL bull



a(x - 2)2+b(X- 1)3 x E(-001]

T(x) = c(x - 2t x E[13]

d(x- 2)2+e(x- 3t x E[3+(0)


x o 10 40 y 260 70 250





es deci r





es decir si

2a(1- 2)+3b(1- 1)2 = 2c(1-2) y 2c(3 - 2)=2d(3 - 2)+3e(3 - 3)2

usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo


usando el Trazador



imponer










T(O) = a(O - 2)2 + b(O _ 1)3 = 26

2T(1) = a( 1 - 2) + b(1 - 1)3 = c( 1 - 2) 2 = 7

T(4) = d(4-2)2 +e(4-3)3 =25


j4a - b = 26

a=c = 7

14d+e = 25

cuya soluci6n es

J - ~ a = c = 7 b = 2 y e =-3


7(x-2 +2(x - 1)3 x E(-001]

T(x) = 7(x-2t XE[13] 7(x_2)2 - 3(x-3t xE[3+(0)












con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo











con ~ desconoc~o



431 Regresion


tal que

sea minima

respecto a a j=

Resultan cnlrlnl-tl







n

I(Pm(xd - Yk t 7 0

sea minimo


x - c, · interpolacion segmentaria cuad ratica, esta vez imponiendo algunas condiciones sobre el...

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