xac suat va qua trinh ngau nhien new

CHƯƠNG1

XÁC SUẤT VÀ BIẾN NGẪU NHIÊN

1.1 Mô hình xác suất cổ điển

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu và biến cố

Phép thử ngẫu nhiên. Trong xác suất, khái niệm phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử)

là khái niệm cơ bản không có định nghĩa. Ta có thể hiểu phép thử là việc thực hiện một nhóm

các điều kiện cơ bản nào đó để quan sát một hiện tượng có xảy ra hay không. Nói chung, 1 phép

thử phải thỏa mãn 2 điều kiện:

- Có thể lặp vô hạn lần;

- Kết quả của mỗi lần thực hiện phép thử là hoàn toàn ngẫu nhiên.

Ví dụ 1.1. Khi tung một đồng xu cân đối đồng chất thì ta không thể biết chắc chắn sẽ xuất hiện

mặt sấp hay mặt ngữa. Việc tung đồng xu đó ta gọi là phép thử ngẫu nhiên.

Không gian mẫu. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên. Ta

thường kí hiệu là Ω.

Ví dụ 1.2. Gieo một con xúc xắc ta có không gian mẫu là

Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Biến cố. Mỗi tập con của một không gian mẫu gọi là một biến cố. Ta nói "biến cố A xảy ra" khi

thực hiện phép thử nếu kết quả phép thử rơi vào A.

Như vậy mỗi phần tử của không gian mẫu cũng là một biến cố và được gọi là biến cố sơ cấp,

không gian mẫu Ω cũng là một biến cố và được gọi là biến cố chắc chắn, tập rỗng (∅) cũng là một

biến cố và được gọi là biến cố không thể.

Ví dụ 1.3. Khi tung một con xúc xắc thì số chấm xuất hiện một cách ngẫu nhiên. Ta có không

gian mẫu là

Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6,

còn biến cố xuất hiện mặt chẵn là

A = 2; 4; 6.

1

TS. Lê Văn Dũng

Ví dụ 1.4. Hỏi tháng sinh của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên trong lớp học có nhiều hơn

1 sinh viên.

Ta có không gian mẫu Ω = 1; 2; 3; 4; ...; 12.Biến cố sinh viên được hỏi có tháng sinh 31 ngày là A = 1; 3; 5; 7; 8; 10; 12.Biến có sinh viên được hỏi có tháng sinh 32 ngày là ∅.Biến cố sinh viên được hỏi có tháng sinh bé hơn 32 ngày là Ω.

1.1.2 Mối quan hệ giữa các biến cố

- Quan hệ bao hàm: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, kí hiệu A ⊂ B, nếu A xảy ra thì

B cũng xảy ra.

- Quan hệ bằng nhau: Hai biến cố A,B được gọi là bằng nhau nếu A ⊂ B và B ⊂ A.

1.1.3 Các phép toán trên biến cố

Cho A và B là 2 biến cố của không gian mẫu Ω.

a) Giao.

Tập tất cả các phần tử cùng thuộc cả hai biến cố A và B được gọi là giao của 2 biến cố A và B,

được kí hiệu là A ∩B (hoặc A.B).

A ∩B = ω ∈ Ω : ω ∈ A vàω ∈ B.

Biến cố A∩B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra. Nếu A và B không thể cùng xảy ra,

tức là A ∩B = ∅, thì ta nói A và B xung khắc.

b) Hợp.

Tập tất cả các phần tử của cả A và B được gọi là hợp của 2 biến cố A và B, được kí hiệu là A∪B.

A ∪B = ω ∈ Ω : ω ∈ A hoặcω ∈ B.

Biến cố A ∪B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.

c) Hiệu.

Tập tất cả các phần tử thuộc A mà không thuộc B được gọi là hiệu của hai biến cố A và B, được

kí hiệu A\B.

A\B = ω ∈ Ω : ω ∈ A vàω /∈ B.

Biến cố A\B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B không xảy ra.

Biến cố Ω \ B = Bc (còn kí hiệu là B) được gọi là biến cố đối của biến cố B. Mỗi lần thực hiện

phép thử luôn xảy ra một trong hai biến cố B hoặc Bc nhưng không xảy ra đồng thời.

2

Xác suất và các quá trình ngẫu nhiên

Biểu đồ Ven minh họa biến cố giao, biến cố hợp và biến cố đối.

Nhận xét.

+ Hai biến cố đối nhau thì xung khắc với nhau nhưng điều ngược lại nói chung là không đúng.

+ A\B = ABc.

Ví dụ 1.5. Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, kí hiệu A là biến cố xạ thủ 1 bắn trúng mục

tiêu, B là biến cố xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu. Hãy biểu diễn qua A và B các biến cố sau:

a) Cả hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu.

b) Không có xạ thủ nào bắn trúng mục tiêu.

c) Có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu.

d) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu.

1.1.4 Xác suất của biến cố

Xác suất của một biến cố là một số thuộc đoạn [0; 1] dùng để đo lường khả năng xảy ra biến

cố đó. Xác suất của một biến cố càng lớn thì khả năng xảy ra biến cố đó càng cao.

1. Định nghĩa xác suất cổ điển

Cho không gian mẫu Ω = ω1;ω2, ..., ωn, trong đó các biến cố ωi có khả năng xảy ra như

nhau. Kí hiệu |A| là số phần tử của biến cố A. Khi đó ta định nghĩa xác suất của biến cố A là

P (A) =|A||Ω|

.

Điều kiện để áp dụng định nghĩa này là |Ω| < +∞ và các biến cố sơ cấp phải cùng khả năng

xảy ra khi thực hiện phép thử.

Từ định nghĩa xác suất trên ta dễ dàng suy ra ngay các tính chất sau:

1) P (∅) = 0, P (Ω) = 1

2) 0 ≤ P (A) ≤ 1.

3) Nếu A ∪B = ∅ thì P (A ∩B) = P (A) + P (B).

Tổng quát: Nếu A1, A2, ..., An đôi một xung khắc thì

P (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P (A1) + P (A2) + ...+ P (An).

4) P (A) + P (Ac) = 1.

Ví dụ 1.6. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Các viên bi đồng chất,

giống nhau hoàn toàn về kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi. Tính xác suất các

biến cố sau:

a) A: lấy được 1 bi xanh, 2 bi đỏ và 2 bi vàng.

b) B: lấy được 3 bi xanh.

c) C: lấy được ít nhất 4 bi đỏ.

d) D: lấy được ít nhất 1 bi vàng.

3

TS. Lê Văn Dũng

Giải. |Ω| = C515.

a) |A| = C14C

25C

26 suy ra P (A) =

200

1001≈ 0, 2.

b) |B| = C34C

21 suy ra P (B) =

20

273≈ 0, 073.

c) |C| = C45C

110 + C5

5 suy ra P (C) =226

3003≈ 0, 075.

d) |Dc| = C59 suy ra P (D) = 1− P (Dc) = 1− 6

143≈ 0, 985.

2. Định nghĩa xác suất bằng tần số tương đối

Nếu không gian mẫu Ω là một tập vô hạn hoặc hữu hạn nhưng các biến cố sơ cấp không đồng

khả năng thì ta không thể áp dụng công thức tính xác suất cổ điển. Giả sử phép thử C có thể

thực hiện lặp đi lặp lại vô hạn lần trong một điều kiện giống hệt nhau. Nếu trong n lần thực hiện

phép thử C có kn lần xuất hiện biến cố A thì tỉ số fn(A) = knn được gọi là tần số tương đối xuất

hiện biến cố A trong n lần thực hiện phép thử. Người ta nhận thấy rằng khi số phép thử tăng ra

vô hạn thì tần số tương đối fn(A) dao động rất ít xung quanh 1 hằng số. Hằng số đó được định

nghĩa là xác suất của biến cố A.

Như vậy, với n đủ lớn ta có P (A) ≈ fn(A) = knn .

1.2 Mô hình xác suất hiện đại

1.2.1 σ-đại số

Cho tập Ω khác rỗng. Ta chỉ xét một lớp F các tập con của Ω thỏa mãn 3 điều kiện:

(1) ∅ ∈ F ;(2) Nếu A ∈ F thì Ac ∈ F ;(3) Nếu A1, A2, ...., An, ... ∈ F thì

⋃∞n=1An ∈ F .

Lớp F như vậy được gọi là σ-đại số các tập con của Ω.

1.2.2 Độ đo xác suất

Cho F là một σ-đại số trên không gian mẫu Ω. Hàm tập hợp P : F → R được gọi là độ đo

xác suất nếu thỏa mãn 3 điều kiện:

(1) Với mọi A ∈ F , 0 ≤ P (A) ≤ 1;

(2) P (Ω) = 1;

(3) Nếu A1, A2, ..., An, ... ∈ F đôi một xung khắc (Ai ∩ Aj = ∅ với mọi i 6= j) thì

P (

∞⋃n=1

An) =

∞∑n=1

P (An).

Khi đó, mỗi phần tử A của F được gọi là biến cố và P (A) gọi là xác suất biến cố A. (Ω;F ;P )

được gọi là không gian xác suất.

4


1.3 Công thức cộng xác suất

Định lý 1.7. Cho không gian xác suất (Ω,F , P ) và 2 biến cố bất kì A, B. Khi đó,

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).

Chứng minh. Ta có

P (A ∪B) = P (A) + P (AcB)

P (A ∪B) = P (B) + P (BcA)

P (AcB) + P (BcA) + P (AB) = P (A ∪B)

Cộng vế với vế 3 đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ 1.8. Một lớp có 20 sinh viên, trong đó có 10 sinh viên biết tiếng Anh, 12 sinh viên biết

tiếng Pháp và 7 sinh viên biết cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên. Tìm

xác suất sinh viên đó biết ít nhất 1 ngoại ngữ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp.

Giải. Gọi A là biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Anh, B là biến cố chọn được sinh viên biết

tiếng Pháp.

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (AB) = 0, 75.

1.4 Xác suất có điều kiện

Xét ví dụ: Ở một lớp học phần môn Triết gồm 17 sinh viên nam và 13 sinh viên nữ. Trong số

đó có 12 sinh viên nam và 11 sinh viên nữ thi qua môn Triết.

Chọn ngẫu nhiên một sinh viên, xác suất sinh viên đó thi qua môn Triết là 23/30.

Nhưng nếu chọn ngẫu nhiên một sinh viên nam thì xác suất sinh viên đó thi qua môn Triết sẽ là

12/17.

Rõ ràng 2 xác suất trên không bằng nhau. Để phân biệt 2 xác suất trên ta kí hiệu A là biến

cố sinh viên đó thi qua môn Triết, B là điều kiện sinh viên được chọn là sinh viên nam. Khi đó

P(A/B)=12/17 được gọi là xác suất của biến cố A với điều kiện B.

Chú ý rằng

P (A/B) =|A ∩B||B|

=|A ∩B|/|Ω||B|/|Ω|

=P (A ∩B)

P (B).

Định nghĩa 1.9. Giả sử biến cố B có xác suất khác không. Xác suất của biến cố A với điều kiện

B, kí hiệu P (A/B), được định nghĩa như sau:

P (A/B) =P (A ∩B)

P (B)(P (B) 6= 0).

Một hệ quả trực tiếp của định nghĩa xác suất có điều kiện là công thức nhân xác suất.

5

TS. Lê Văn Dũng

Hệ quả 1.10.

P (A ∩B) = P (A).P (B/A) (nếu P (A) > 0)

= P (B).P (A/B) (nếu P (B) > 0) (1.1)

Tổng quát, ta có

P (A1A2...An) = P (A1).P (A2/A1).P (A3/A1A2)....P (An/A1A2...An−1).

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất. Và cũng từ công thức này ta lại có hệ

quả sau.

Hệ quả 1.11. Nếu P (A) > 0 và P (B) > 0 thì

P (B/A) =P (B)P (A/B)

P (A).

Định lý 1.12. Cho P (B) > 0. Khi đó,

(1) P (∅) = 0, P (Ω/B) = P (B/B) = 1;

(2) Nếu A1A2 = ∅ thì P (A1 ∪ A2/B) = P (A1/B) + P (A2/B);

(3) P (A/B) + P (Ac/B) = 1.

Chứng minh. Từ định nghĩa dễ dàng suy ra (1).

Chứng minh (2): ta có

P (A1 ∪ A2/B) =P (A1 ∪ A2)B)

P (B)=P ((A1B) ∪ (A2B))

P (B)

P (A1B) + P (A2B)

P (B)=P (A1B)

P (B)+P (A2B)

P (B).

Chứng minh (3): thay A1 = A và A2 = Ac vào (2) ta có ngay (3).

Ví dụ 1.13. Một hộp đựng 20 bóng đèn tốt, 7 bóng đèn sẽ hỏng sau 1 giờ sử dụng và 3 bóng đèn

hỏng. Lấy ngẫu nhiên một chiếc sử dụng thấy rằng nó không phải là bóng đèn hỏng. Tính xác

suất đó là chiếc bóng đèn tốt.

Giải. Gọi A là biến cố lấy được bóng đèn tốt, B là biến cố lấy được bóng đèn không phải là bóng

đèn hỏng.

P (A/B) = 20/27 ≈ 0, 74.

Ví dụ 1.14. Trong một vùng dân cư tỉ lệ người hút thuốc là 60%, tỉ lệ người vừa hút thuốc vừa

bị viêm phổi là 35%. Chọn ngẫu nhiên một người của vùng dân cư đó thấy người này hút thuốc.

Tìm xác suất để người này bị viêm phổi.

6


Giải. Gọi A là biến cố người được chọn hút thuốc, B là biến cố người được chọn bị viêm phổi.

Xác suất để người này bị viêm phổi là

P (B/A) =P (A ∩B)

P (B)=

0, 35

0, 6≈ 0, 583.

Ví dụ 1.15. Một hộp đựng 4 chiếc bút mới và 6 chiếc bút cũ. Mỗi ngày lấy ngẫu nhiên một chiếc

ra sử dụng, cuối ngày trả bút đó lại hộp. Tính xác suất

a) Sau 3 ngày sử dụng hộp còn đúng 1 cây bút mới.

b) Sau 2 ngày sử dụng hộp còn đúng 2 cây bút mới.

Giải. Kí hiệu Ak là biến cố ngày thứ k lấy được bút mới.

a) P (A1A2A3) = P (A1)P (A2/A1)P (A3/A1A2) =4

10.

3

10.

2

10= 0, 24.

b)

P ((A1Ac2) ∪ (Ac1A2)) = P (A1A

c2) + P (Ac1A2)

= P (A1)P (Ac2/A1) + P (Ac1)P (A2/Ac1)

=4

10.

7

10+

6

10.

4

10= 0, 52.

Ví dụ 1.16. Trong 1 trường đại học có 40% sinh viên học tiếng Anh, 30% sinh viên học tiếng

Pháp, trong số sinh viên học tiếng Anh có 55% sinh viên học tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh

viên, biết sinh viên đó học tiếng Pháp. Tính xác suất để sinh viên đó học tiếng Anh.

Giải. Gọi A là biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Anh, B là biến cố chọn được sinh viên biết

tiếng Pháp.

P (A/B) =P (A).P (B/A)

P (B)=

0, 4.0, 55

0, 3≈ 0, 733.

1.5 Biến cố độc lập

Ta có thể hiểu hai biến cố A và B độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không

làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia. Tức là,

P (A/B) = P (A) hoặc P (B/A) = P (B).

Khi đó, nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì từ công thức nhân xác suất suy ra

P (A ∩B) = P (A)P (B).

Hơn nữa, từ công thức nhân tổng quát

P (A1.A2...An) = P (A1).P (A2/A1).P (A3/A1A2)...P (An/A1.A2...An−1)

ta định nghĩa tổng quát như sau:

7

TS. Lê Văn Dũng

Định nghĩa 1.17. Một tập hữu hạn các biến cố A1;A2; ..., An (n ≥ 2) được gọi là độc lập nếu

P (A1.A2...An) = P (A1)P (A2)...P (An).

Định lý 1.18. Nếu A và B độc lập thì A và Bc, Ac và B, Ac và Bc là những cặp biến cố độc lập.

Chứng minh. Ta chỉ chứng minh A và Bc độc lập, các cặp biến cố còn lại chứng minh tương tự.

Giả sử A và B độc lập, khi đó ta có

P (A) = P (AB ∪ ABc)⇒ P (A) = P (AB) + P (ABc)

⇒ P (ABc) = P (A)− P (A)P (B)⇒ P (ABc) = P (A)P (Bc).

Ví dụ 1.19. Hộp I có 3 bi đỏ và 7 bi xanh; hộp II có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ

mỗi hộp ra 1 viên bi. Tìm xác suất để

a) lấy được hai viên bi cùng màu đỏ.

b) lấy được 1 bi xanh và 1 bi đỏ.

Giải. Kí hiệu A là lấy từ hộp I được viên bi màu đỏ, B là lấy từ hộp II được viên bi màu đỏ.

a) A và B độc lập nên xác suất lấy được hai viên bi cùng màu đỏ là

P (AB) = P (A).P (B) =3

10.

6

10= 0, 18.

b) P (ABc ∪ AcB) = P (A)P (Bc) + P (Ac)P (B) = 0, 54.

1.6 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Định nghĩa 1.20. Cho không gian xác suất (Ω,F , P ). Một họ hữu hạn các biến cố E1, E2, ..., En

được gọi là hệ đầy đủ (phân hoạch) của không gian mẫu Ω nếu thỏa mãn 2 điều kiện

(1) Ei ∩ Ej = ∅ với mọi i 6= j;

(2) E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En = Ω.

Ví dụ 1.21. Hỏi tháng sinh của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên.Kí hiệu

E1 là biến cố sinh viên được hỏi sinh vào mùa xuân (gồm các tháng 1,2,3);

E2 là biến cố sinh viên được hỏi sinh vào mùa hạ (gồm các tháng 4,5,6);

E3 là biến cố sinh viên được hỏi sinh vào mùa thu (gồm các tháng 7,8,9);

E4 là biến cố sinh viên được hỏi sinh vào mùa đông (gồm các tháng 10,11,12);

Khi đó E1, E2, E3, E4 là hệ đầy đủ.

Ví dụ 1.22. Một hộp đựng 5 bi xanh và 6 bi đỏ và 7 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Hãy chỉ

ra một số hệ đầy đủ.

8


Định lý 1.23. (Công thức xác suất toàn phần) Cho không gian xác suất (Ω,F , P ). Cho Ek; 1 ≤k ≤ n là một hệ đầy đủ thỏa mãn P (Ek) > 0 với mọi k = 1, 2, .., n và A là một biến cố bất kì.

Khi đó

P (A) =

n∑k=1

P (Ek)P (A/Ek). (1.2)

Đặc biệt, nếu 0 < P (B) < 1 thì P (A) = P (B)P (A/B) + P (Bc)P (A/Bc).


A = AΩ = A(E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En) = (E1A) ∪ (E2A) ∪ ... ∪ (EnA).

Do các biến cố E1A,..., EnA đôi một xung khắc nên áp dụng điều kiện (3) của định nghĩa độ đo

xác suất và Hệ quả 1.10 ta được điều phải chứng minh.

Hệ quả 1.24. (Công thức Bayes) Cho không gian xác suất (Ω,F , P ). Cho Ek; 1 ≤ k ≤ n là

một hệ đầy đủ thỏa mãn P (Ek) > 0 với mọi k = 1, 2, .., n và A là một biến cố bất kì có P (A) > 0.

Khi đó

P (Ek/A) =P (Ek).P (A/Ek)∑ni=1 P (Ei)P (A/Ei)

, ∀1 ≤ k ≤ n.

Ví dụ 1.25. Hộp I đựng 4 bi xanh và 3 bi đỏ và 2 bi vàng, hộp II đựng 5 bi xanh 2 bi đỏ và 3

bi vàng. Từ hộp I lấy ngẫu nhiên ra một viên bi bỏ vào hộp II sau đó từ hộp II lấy ngẫu nhiên ra

hai viên bi. Tính xác suất để hai viên bi lấy ra lần 2 là 2 bi xanh.

Giải. Gọi E là biến cố viên bi lấy từ hộp I bỏ vào hộp II là bi xanh, A là biến cố 2 viên bi lấy

lần 2 là 2 viên bi xanh

P (A) = P (E)P (A/E) + P (Ec)P (A/Ec) =4

9

C26

C211

+5

9

C25

C211

=2

9≈ 0, 22.

Ví dụ 1.26. Một nhà máy có 3 phân xưởng sản xuất. Phân xưởng I sản xuất 50% sản phẩm,

phân xưởng II sản xuất 30% sản phẩm, phân xưởng III sản xuất 20% sản phẩm. Biết rằng tỉ lệ

phế phẩm do phân xưởng I, phân xưởng II, phân xưởng III sản xuất ra tương ứng là 2%, 1% và

3%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.

a) Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm.

b) Giả sử sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng I sản

xuất.

Giải. Kí hiệu E1, E2, E3 lần lượt là các biến cố sản phẩm lấy ra là của phân xưởng I, II và III.

E1, E2, E3 là hệ đầy đủ.

a) Kí hiệu A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Theo công thức xác suất toàn phần:

P (A) = P (A/E1).P (E1) + P (A/E2).P (E2) + P (A/E3).P (E3)

= 0, 02.0, 5 + 0, 01.0, 3 + 0, 03.0, 2 = 0, 019.

9

TS. Lê Văn Dũng

b) P (E1/Ac) =

P (Ac/E1).P (E1))

P (Ac)=

0, 98.0, 5

1− 0, 019≈ 0, 495.

Ví dụ 1.27. Một công ty sử dụng hai máy cùng sản xuất 1 loại sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của

máy I là 3% và của máy II là 2%. Số lượng sản phẩm do máy I sản xuất là 2/3 và máy II sản xuất

là 1/3 tổng sản phẩm của công ty. Tính tỉ lệ phế phẩm của công ty đó.

Giải. Đáp án: 2, 7%.

1.7 Phép thử lặp - công thức Bernoulli

Định lý 1.28. Cho (Ω,F , P ) là không gian xác suất của phép thử C và A là một biến cố thỏa

mãn P (A) = p ∈ (0; 1).

Thực hiện liên tiếp n lần độc lập phép thử C, xác suất có đúng k lần xuất hiện biến cố A là

pn(k) = Cknpk(1− p)n−k.

Chứng minh. Biến cố H có đúng k lần xuất hiện A là hợp của các biến cố có dạng A1A2...An với

Ai = A hoặc Ai = Ac (1 ≤ i ≤ n) trong đó có đúng k lần A và n− k lần Ac. Do tính độc lập của

phép thử nên mỗi biến cố như vậy có xác suất

P (A1A2...An) = pk(1− p)n−k.

Dễ thấy H là hợp của Ckn biến cố dạng trên. Do đó

P (H) = Cknpk(1− p)n−k.

Ví dụ 1.29. Tung 10 lần một con xúc xắc cân đối đồng chất.

a) Tính xác suất có đúng 6 lần xuất hiện mặt một chấm

b) Tính xác suất có ít nhất 9 lần xuất hiện mặt một chấm.

b) Tính xác suất có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt một chấm.

Giải. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt một chấm ở mỗi lần tung xúc xắc, p = P (A) = 1/6.

a) p10(6) = C610(

1

6)6(

5

6)4 ≈ 0, 0022.

b) p10(k ≥ 9) = C910(

1

6)9(

5

6)1 + (

1

6)10 ≈ 8.10−7.

c) p10(k ≥ 1) = 1− p10(k = 0) = 1− (5

6)10 ≈ 0, 84.

Định lý 1.30. Cho n ∈ N, n ≥ 1 và p ∈ (0; 1). Hàm số

pn(k) = Cknpk(1− p)n−1 với k ∈ 0, 1, 2..., n

đạt giá trị lớn nhất tại

k =

[(n+ 1)p] nếu (n+ 1)p 6∈ N(n+ 1)p− 1 và (n+ 1)p nếu (n+ 1)p ∈ N.

10


Chứng minh. Ta cópn(k)

pn(k − 1)=

(n+ 1)p− kpk(1− p)

= 1 +(n+ 1)p− kk(1− p)

.

Do đó, nếu k < (n+ 1)p thì pn(k) > pn(k − 1) và nếu k > (n+ 1)p thì pn(k) < pn(k − 1). Từ đó

suy ta điều phải chứng minh.

Ví dụ 1.31. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ là 0, 6. Cho xạ thủ này bắn độc lập 20

phát vào mục tiêu. Tìm số lần bắn trúng mục tiêu có xác suất xảy lớn nhất.

Giải. (n + 1)p = 21.0, 6 = 12, 6 6∈ Z nên số lần bắn trúng mục tiêu có xác suất lớn nhất là

k = 12.

1.8 Biến ngẫu nhiên

Xét ví dụ: Tung đồng thời 2 con xúc xắc. Gọi X là tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai

con xúc xắc.

Ta có không gian mẫu Ω = (m;n) : m = 1, 6;n = 1, 6.Khi đó X = m + n. X chính là ánh xạ X : Ω → R và mỗi lần tung xúc xắc sẽ cho một giá trị

ngẫu nhiên của X. Ta gọi X là biến ngẫu nhiên. Ta có định nghĩa tổng quát sau.

Định nghĩa 1.32. Cho không gian xác suất (Ω,F , P ). Ánh xạ

X : Ω→ R

được gọi là biến ngẫu nhiên nếu với mọi a ∈ R, ω ∈ Ω : X(ω) < a ∈ F .

Ví dụ 1.33. Gieo một đồng xu 3 lần liên tiếp, gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp. Mô tả X và

chứng minh theo định nghĩa X là biến ngẫu nhiên.

Nhận xét 1.34. Cho không gian xác suất (Ω,F , P ). Mọi ánh xạ X : Ω→ R có miền giá trị hữu

hạn đều là biến ngẫu nhiên và được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản.

1.9 Hàm phân phối xác suất

1.9.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.35. Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số

F (x) = P (X < x), x ∈ R

được gọi là hàm phân phối xác suất của X.

Ví dụ 1.36. Tung 1 đồng xu cân đối, đồng chất. Gọi X là số mặt sấp xuất hiện, tìm hàm phân

phối xác suất của X.

11

TS. Lê Văn Dũng

1.9.2 Tính chất

Hàm phân phối xác suất F (x) của biến ngẫu nhiên X có các tính chất sau:

1) 0 ≤ F (x) ≤ 1, x ∈ R, limx→−∞

F (x) = 0, limx→+∞

F (x) = 1.

2) Không giảm: nếu x1 ≤ x2 thì F (x1) ≤ F (x2).

3) Với a < b, P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a).

1.9.3 Phân loại biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.37. - Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu hàm phân phối

của nó là hàm bậc thang.

- Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu hàm phân phối F (x) là hàm liên

tục tuyệt đối, tương đương với tồn tại hàm không âm f(x) sao cho

F (x) =

∫ x

−∞f(t)dt.

Khi đó, f(x) được gọi là hàm mật độ của X.

Định lý 1.38. Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị hữu hạn hoặc vô hạn đếm được thì X là

biến ngẫu nhiên rời rạc.

Chứng minh. Hiển nhiên.

Nếu X có miền giá trị x1, x2, ..., xn, ... thì bảng sau được gọi là bảng phân phối xác suất của

X.

X x1 x2 ... xn ...P P (X = x1) P (X = x2) ... P (X = xn) ...

Hàm phân phối xác suất của X lúc này được xác định bởi

F (x) =∑xi<x

P (X = xi).

Chú ý rằng∑k

P (X = xk) = 1.

Ví dụ 1.39. Một hộp đựng 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ, các viên bi giống nhau hoàn toàn về

kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, gọi X là số bi xanh có trong 2 viên bi

lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X và tìm hàm phân phối xác suất của X.

Giải.

X 0 1 2P 0, 1 0, 6 0, 3

12


F (x) =

0 nếu x ≤ 0

0, 1 nếu 0 < x ≤ 1

0, 7 nếu 1 < x ≤ 2

1 nếu x > 2.

Định lý 1.40. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất F (x) và hàm mật độ

xác suất f(x). Khi đó,

(i) f(x) ≥ 0,∀x ∈ R.

(ii)+∞∫−∞

f(x)dx = 1.

(iii) F (x) liên tục trên R và F ′(x) = f(x) .

(iv) Với a < b,

P (a ≤ X < b) =

b∫a

f(x)dx = F (b)− F (a).

(v) P (X = a) = 0 với mọi a.

Chứng minh. Hiển nhiên.

Ví dụ 1.41. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

f(x) =

k(3x− x2) nếu x ∈ [0; 3]

0 nếu x 6∈ [0; 3]

a) Tìm hằng số k.

b) Tính P (X < 0, 5), P (X ≥ 1).

c) Tìm hàm phân phối xác suất của X.

Giải. a) Ta có∫∞−∞ f(x)dx = 1⇔

∫ 3

0k(3x− x2)dx = 1⇔ k = 2/9.

b) P (X < 0, 5) =∫ 0,5

−∞ f(x)dx =∫ 0

−∞ f(x)dx+∫ 0,5

0f(x)dx = 2/27

P (X > 1) =∫ +∞

1f(x)dx =

∫ 3

1f(x)dx+

∫ +∞3

f(x)dx = 20/27

c) F (x) =∫ x−∞ f(t)dt.

Nếu x < 0 thì F (x) =∫ x−∞ 0dt = 0.

Nếu 0 ≤ x ≤ 3 thì F (x) =∫ 0

−∞ f(t)dt+∫ x

0f(t)dt =

2

9(3x2

2− x3

3).

Nếu x > 3 thì∫ 0

−∞ f(t)dt+∫ 3

0f(t)dt+

∫ +∞3

f(t)dt = 1.

Vậy

F (x) =

0 nếu x < 02

9(3x2

2− x3

3) nếu 0 ≤ x ≤ 3

1 nếu x > 3

13

TS. Lê Văn Dũng

1.10 Biến ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa 1.42.

n (n ≥ 2) biến ngẫu nhiên X1, X2, ..., Xn được gọi là độc lập nếu với mọi x1, x2, ..., xn ∈ R ta có

P (

n⋂k=1

Xk < xk) =

n∏k=1

P (Xk < xk).

1.11 Kì vọng

Kí hiệu L1 là tập tất cả các biến ngẫu nhiên X : Ω→ R khả tích Lebesgue, tức là∫Ω

|X|dP <∞.

Định nghĩa 1.43. Nếu biến ngẫu nhiên X ∈ L1 ta gọi số

E(X) =

∫Ω

XdP

là kì vọng (hay giá trị trung bình) của X.

1.11.1 Các tính chất của kì vọng

1) Nếu C là hằng số thì E(C) = C

2) Nếu a, b ∈ R và X, Y ∈ L1 thì E(aX + b) = aE(X) + b và E(X ± Y ) = E(X)± E(Y ).

3) Nếu X và X độc lập và X, Y ∈ L1 thì E(XY ) = E(X).E(Y ).

Định lý 1.44.

1. Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

X x1 x2 ... xn...P p1 p2 ... pn...

thì

E(X) =∑k

xkpk.

2. Nếu đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x) thì

E(X) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx.

Ví dụ 1.45. Tính kì vọng của các biến ngẫu nhiên trong Ví dụ 1.39 và Ví dụ 1.41.

1.12 Phương sai và độ lệch chuẩn

Định nghĩa 1.46. Giả sử biến ngẫu nhiên X có X2 ∈ L1 . Khi đó, đại lượng

V ar(X) = E(X − E(X))2

được gọi là phương sai của X, σ(X) =√V ar(X) được gọi là độ lệch chuẩn của X.

14


1.12.1 Các tính chất của phương sai

1) V ar(X) ≥ 0, V ar(X) = 0 khi và chỉ khi X = C (hằng số).

2) V ar(X) = E(X2)− (E(X))2.

3) V ar(aX + b) = a2V ar(X) với mọi a, b ∈ R.

4) Nếu X và Y độc lập thì V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y ).

Ý nghĩa. Phương sai cũng như độ lệch chuẩn dùng để đo độ phân tán các giá trị của biến ngẫu

nhiên quanh kỳ vọng của nó. Phương sai càng nhỏ thì độ phân tán càng thấp.

Định lý 1.47.

1. Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

X x1 x2 ... xn...P p1 p2 ... pn...

thì

V ar(X) =∑k

x2kpk − (

∑k

xkpk)2.

2. Nếu đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x) thì

V ar(X) =

∫ +∞

−∞x2f(x)dx− (

∫ +∞

−∞xf(x)dx)2.

Ví dụ 1.48. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của các biến ngẫu nhiên trong Ví dụ 1.39 và Ví

dụ 1.41.

1.13 Một số phân phối xác suất quan trọng

1.13.1 Phân phối 0− 1

1. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối 0− 1 với tham số p ∈ (0; 1) nếu miền giá

trị của X là 0, 1 vàP (X = k) = pk(1− p)n−k, k = 0, 1.

Kí hiệu: X ∼ A(p)

2. Tính chất

Nếu X ∼ A(p) thì E(X) = p và V ar(X) = p(1− p).

1.13.2 Phân phối nhị thức B(n, p)

2. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số n ∈ N∗ và p ∈ (0; 1)

nếu X có miền giá trị 0, 1, ..., n và

P (X = k) = Cknpk(1− p)n−k, k = 0, 1, ..., n.

15

TS. Lê Văn Dũng

Kí hiệu: X ∼ B(n, p)

1. Tính chất

(i) Nếu X ∼ B(n, p) thì E(X) = np và V ar(X) = np(1− p).(ii) Nếu X1, X2, ..., Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với X ∼ A(p) thì biến ngẫu

nhiên S = X1 +X2 + ...+Xn có phân phối nhị thức B(n, p).

Ví dụ 1.49. Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 12%. Các sản phẩm của nhà máy được đóng

gói thành từng hộp, mỗi hộp 20 sản phẩm.

a) Trung bình mỗi hộp chứa bao nhiêu phế phẩm? Tính độ lệch chuẩn số phế phẩm trong mỗi

hộp.

b) Một khách hàng mua ngẫu nhiên một hộp sản phẩm. Tính xác suất hộp đó có chứa phế phẩm.

c) Tìm số phế phẩm trong hộp có xác suất lớn nhất.

Giải.

Gọi X là số phế phẩm trong mỗi hộp. Suy ra X ∼ B(20; 0, 12).

a) E(X) = np = 2, 4.

b) P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− 0, 883 = 0, 318528.

c) (n+ 1)p = 2, 52 6∈ Z nên P (X = k) = Ck20.0, 12k.0, 8820−k đạt giá trị lớn nhất tại k = 2.

1.13.3 Phân phối Poisson

1. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ (λ > 0) nếu X có

miền giá trị N = 0, 1, 2, ... và

P (X = k) =e−λλk

k!k ∈ N.

Kí hiệu: X ∼ ℘(λ).

Phân phối Poisson thường gặp thể hiện phân phối số lần xuất hiện 1 biến cố nào đó trong một

khoảng thời gian (t1; t2) và tỉ lệ với độ dài khoảng đó, tức là trong khoảng thời gian có độ dài T

phân phối có tham số λ thì trong khoảng thời gian có độ dài kT phân phối sẽ có tham số là kλ.

2. Tính chất

X ∼ ℘(λ) thì E(X) = λ, V ar(X) = λ.

Ví dụ 1.50. Một gara cho thuê xe ôtô có 2 ôtô loại A. Số đơn đặt hàng ôtô loại này vào ngày

cuối tuần có phân phối Poisson với số đơn trung bình 2 đơn/ngày. Tính xác suất trong ngày cuối

tuần:

a) Có một ôtô loại A được thuê.

16


b) Có 2 ôtô loại A được thuê.

c) Gara không đáp ứng nhu cầu thuê ôtô loại này.

Giải. Gọi X là số đơn đặt hàng thuê ô tô ngày cuối tuần của gara. Ta có X ∼ ℘(2) (do E(X) =

λ = 2).

a) P (X = 1) = e−2 21

1!=≈ 0, 27.

b) P (X ≥ 2) = 1− P (X < 2) = 1− P (X = 0)− P (X = 1) = 1− e−2 − e−2 21

1!=≈ 0, 59.

c) P (X > 2) = 1− P (X < 2) = 1− P (X = 0)− P (X = 1) ≈ 0, 41.

Ví dụ 1.51. Ở một tổng đài Bưu điện, số cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập

với nhau và có tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút. Tính xác suất để

a) có đúng 5 cuộc trong 2 phút.

b) không có cuộc điện thoại nào gọi đến trong khoảng thời gian 30 giây.

Giải.

a) Gọi X là số cuộc điện thoại gọi đến trong khoảng thời gian 2 phút, suy ra X có phân phối

Poisson. Vì E(X) = 4 nên λ = 4. Do đó

P (X = 5) = e−4 45

5!≈ 0, 156.

b) Gọi Y là số cuộc điện thoại gọi đến trong khoảng thời gian 30 giây. Y ∼ ℘(1). Do đó

P (Y = 0) = e−1 ≈ 0, 368.

3. Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson

Định lý 1.52. (Luật biến cố hiếm) Cho Xn;n ≥ 1 là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối nhị

thức Xn ∼ B(n; pn). Nếu tồn tại giới hạn limn→∞

npn = λ thì

limn→∞

P (Xn = k) = e−λλk

k!, k = 0, 1, 2, ...


P (Xn = k) = Cknpkn(1− pn)n−k =

n(n− 1)...(n− k + 1)

k!pkn(1− pn)n−k

(npn)k

k!

(1− 1

n

)(1− 1

n

)...

(1− k − 1

n

)(1− pn)n (1− pn)−k .

Ta có

limn→∞

(npn)k

k!=λk

k!.

Đặt λn = npn. Khi đó

limn→∞

(1− pn)n = limn→∞

[(1− λn

n

) nλn

]−λn= e−λ.

Các thừa số khác có giới hạn bằng 1. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

17

TS. Lê Văn Dũng

Ứng dụng: Nếu X ∼ B(n; p) với n khá lớn và p khá bé thì X có xấp xỉ phân phối Poisson với

λ = np, tức là:

P (X = k) = Cknpk(1− p)n−k ≈ λk

k!e−λ.

Ví dụ 1.53. Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 0,006. Lấy ngẫu nhiên 1000 sản phẩm của nhà

máy, tính xác suất có đúng 9 phế phẩm.

Chứng minh. GọiX là số phế phẩm trong 1000 sản phẩm, khi đóX ∼ B(1000; 0, 006). Vì n = 1000

khá lớn vàp = 0, 006 khá bé nên ta có thể tính bằng xấp xỉ phân phối Poisson với λ = np = 6:

P (X = 9) ≈ 69

9!e−6 =≈ 0, 069.

Ví dụ 1.54. Một xưởng in sách thấy rằng trung bình một cuốn sách 500 trang có chứa 300 lỗi.

Tìm xác suất để trong một trang

a) có đúng 2 lỗi.

b) có ít nhất 2 lỗi.

Chứng minh. Gọi p là xác suất một chữ bị lỗi, X là số lỗi trong 1 trang có n chữ. Khi đó

X ∼ B(p;n) và E(Xn) = np = 300/500 = 0, 6. Vì xác suất 1 chữ bị lỗi rất nhỏ và số chữ trong 1

trang rất lớn nên có thể xấp xỉ X bởi phân phối Poisson với λ = 0, 6. Do đó:

a)P (X = 2) =0, 62

2!e−0,6 ≈ −0, 1.

b) PX ≥ 2) = 1− P (X < 2) ≈ 1− 0, 549− 0, 359 = 0, 122.

1.13.4 Phân phối chuẩn

1. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối chuẩn nếu có hàm mật độ:

f(x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 , x ∈ R,

trong đó, −∞ < µ < +∞, σ > 0.

Kí hiệu X ∼ N(µ, σ2).

Dưới đây là hình dáng đồ thị của hàm mật độ f(x):

18


2. Phân phối chuẩn tắc

Biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với µ = 0 và σ = 1 được gọi là phân phối chuẩn tắc và kí

hiệu là Z. Khi đó,

hàm mật độ xác suất được kí hiệu là ϕ(x),

ϕ(x) =1√2πe−

x2

2 ;

hàm phân phối xác suất được kí hiệu là Φ(x),

Φ(x) =

x∫−∞

ϕ(t)dt =1√2π

x∫−∞

e−t2

2 dt.

Chú ý rằng Φ(−x) = 1− Φ(x),∀x ∈ R.

Tính Φ(x) bằng máy tính Casio

1) CASIO FX570MS:

- Vào Mode tìm SD: Mode→Mode→1 (SD);

- Shift→ 3 (Distr) →1;

- Nhập x.

2) CASIO FX570ES:

- Vào Mode tìm 1-Var: Mode→3 (Stat)→1 (1-Var)→ AC

- Shift→ 1(Stat)→ 7 (Distr) →1;

- Nhập x.

Ví dụ 1.55. Tính Φ(1, 96),Φ(−1, 65)

3. Tính chất

Định lý 1.56. Cho X ∼ N(µ, σ2). Khi đó

(i) E(X) = µ, V ar(X) = σ2.

(ii) Z =X − µσ

∼ N(0; 1).

(iii) Nếu X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất với X ∼ N(µ;σ2)

thì S = X1 +X2 + ...+Xn ∼ N(nµ;nσ2).

(iv) P (X < a) = P (X ≤ a) = Φ(a− µσ

).

(v) Với α < β ta có

P (α < X < β) = P (α ≤ X ≤ β) = Φ(β − µσ

)− Φ(α− µσ

).

Ví dụ 1.57. Cho ĐLNN liên tục X ∼ N(1; 4). Tính P (X < 3, 5), P (X > 0), P (0, 5 < X ≤ 2, 5).

Giải. P (X < 3, 5) = Φ(3, 5− 1

2) = Φ(1, 25) = 0, 8944;

P (X > 0) = 1− P (X ≤ 0) = 1− Φ(−0, 5) = Φ(0, 5) = 0, 6915;

P (0, 5 < X ≤ 2, 5) = Φ(0, 75)− Φ(−0, 25) = 0, 3721.

19

TS. Lê Văn Dũng

Ví dụ 1.58. Giả sử số đo chiều dài của một sợi dây kim loại do một máy tự động cắt ra là một

biến ngẫu nhiên chuẩn với µ = 10mm, σ2 = 4mm2.

a) Tính xác suất lấy ra được một sợi dây có chiều dài lớn hơn 13mm.

b) Tìm tỉ lệ sợi dây do máy cắt ra có chiều dài từ 8,5mm đến 12,5mm.

Giải.

P (X > 13) = 1− P (X ≤ 13) = 0, 5− Φ(1, 5) = 0, 067;

P (8, 5 ≤ X ≤ 12, 5) = Φ(1, 25)− Φ(−0, 75) = Φ(1, 25) + Φ(0, 75)] = 0, 668.

Ví dụ 1.59. Đường kính của một trục trong ổ đĩa quang là một biến ngẫu nhiên chuẩn với đường

kính trung bình là 0, 2508 inch và độ lệch chuẩn 0, 0005 inch. Thông số kỹ thuật ghi trên trục là

0, 25± 0, 0015 inch. Tìm tỉ lệ trục có đường kính phù hợp với thông số kỹ thuật.

Giải.

Gọi X là đường kính của trục ổ đĩa quang, ta có X ∼ N(0, 2508; 0, 00052).

P (0, 25− 0, 0015 ≤ X ≤ 0, 25 + 0, 0015) = Φ(3)− Φ(−3) = 2Φ(3) = 0, 997.

Ví dụ 1.60. Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án trong năm được xem là một biến ngẫu nhiên có

phân phối chuẩn. Theo đánh giá của uỷ ban đầu tư thì với xác suất 0,1587 cho lãi suất cao hơn

20% và với xác suất 0,0228 cho lãi suất lớn hơn 25%. Vậy khả năng đầu tư mà công ty không bị

lỗ là bao nhiêu?

Chứng minh. Gọi X là lãi suất đầu tư vào 1 dự án trong 1 năm, khi đó X ∼ N(µ;σ2). Từ giả

thiết ta có P (X > 0, 2) = 0, 1587

P (X > 0, 25) = 0, 0228⇔

1− Φ(0,2−µσ ) = 0, 1587

1− Φ(0,25−µσ ) = 0, 0228

⇔

Φ(0,2−µσ ) = 0, 8413 = Φ(1)

Φ(0,25−µσ ) = 0, 9772 = Φ(2)

⇔µ = 0, 15

σ = 0, 05

Vì vậy, xác suất công ty không bị lỗ là

P (X > 0) = 1− Φ(0− 0, 15

0, 05) = Φ(3) = 0, 9987.

1.13.5 Phân phối đều

1. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a; b] (a < b) nếu có hàm

mật độ

f(x) =

1b−a nếu x ∈ [a; b]

0 nếu x 6∈ [a; b].

Kí hiệu: X ∼ U([a; b]).

20


2. Tính chất

Nếu X ∼ U([a; b]) thì E(X) = a+b2 , V ar(X) =

(b−a)2

2 .

1.13.6 Phân phối mũ

1.Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối mũ với tham số λ (λ > 0) nếu có hàm

mật độ

f(x) =

1λe−x/λ nếu x ≥ 0

0 nếu x < 0.

Kí hiệu: X ∼ Exp(λ).

Trong cuộc sống, phân phối mũ thể hiện phân phối thời gian sống của các đối tượng, ...

2. Tính chất

Nếu X ∼ Exp(λ) thì E(X) = λ, V ar(X) = λ2.

Ví dụ 1.61. Giả sử tuổi thọ (X) của một chiếc quạt trong máy tính là một biến ngẫu nhiên phân

phối mũ với tuổi thọ trung bình là 3300 giờ. Tính xác suất

a) Chiếc quạt hỏng trước 10000 giờ.

b) có tuổi thọ lớn hơn 7000 giờ

Giải. Theo giả thiết E(X) = λ = 3300 nên:

a) P (X < 10000) =10000∫

0

1

3300e−x/3300dx ≈ 0, 952.

b) P (X > 7000) = 1− P (X ≤ 7000) =7000∫0

1

3300e−x/3300dx ≈ 0, 88.

1.14 Các định lí giới hạn

1.14.1 Luật số lớn

Định lý 1.62 (Bất đẳng thức Chebyshev). Cho X là biến ngẫu nhiên. Khi đó, với mọi ε > 0 ta

có

P (|X − E(X)| > ε) ≤ V ar(X)

ε2

Chứng minh. Với ε > 0 tùy ý, đặt A = (|X − E(X)| > ε) ta có

V ar(X) =

∫Ω

|X − E(X)|2dP ≥∫A

|X − E(X)|2dP ≥ ε2P (A),

suy ra P (A) ≤ V ar(X)

ε2.

21

TS. Lê Văn Dũng

Định lý 1.63 (Luật yếu số lớn). Dãy Xn, n ≥ 1 các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối

xác suất với biến ngẫu nhiên X có kì vọng E(X) = µ và phương sai V ar(X) = σ2 hữu hạn thì

limn→∞

P (| 1n

n∑k=1

Xk − µ| ≤ ε) = 1

với mọi ε > 0.

Ý nghĩa của luật số lớn: Với n đủ lớn ta có X =X1 +X2 + ...+Xn

n≈ E(X).

Chứng minh. Đặt Sn = X1 +X2 + ...+Xn. Do các biến ngẫu nhiên Xk độc lập, cùng phân phối

xác suất nên E(Sn) = nµ và V ar(Sn) = nσ2. Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có

P (|Snn− µ| > ε) = P (|Sn − E(Sn)| > nε) ≤ V ar(Sn)

(nε)2=

σ2

nε2→ 0.

1.14.2 Định lí giới hạn trung tâm

Định lý 1.64. Nếu Xn, n ≥ 1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất với

biến ngẫu nhiên X có kì vọng E(X) = µ và phương sai V ar(X) = σ2 hữu hạn thì

limn→∞

P (Sn − nµ√

nσ< x) = Φ(x) x ∈ R,

trong đó Sn = X1 +X2 + ...+Xn.

Ý nghĩa Định lí giới hạn trung tâm: với n đủ lớn thì các biến ngẫu nhiên X1, X2, ..., Xn

không cần thiết có phân phối chuẩn ta cũng có

Sn = X1 +X2 + ...+Xn ≈ N(nµ;nσ2).

Ví dụ 1.65. Tuổi thọ làm việc của một linh kiện điện tử là một biến ngẫu nhiên X có kì vọng

250 giờ và độ lệch chuẩn là 250 giờ. Một công ty mỗi lần chỉ dùng một linh kiện đến khi nào hỏng

mới thay linh kiện khác. Tính xác suất với 100 linh kiện công ty này đủ dùng ít nhất 1 năm (365

ngày).

Chứng minh. Gọi Xk là tuổi thọ của linh kiện thứ k (1 ≤ k ≤ 100), khi đó các biến ngẫu nhiên

X1, X2, ..., Xn độc lập, cùng phân phối xác suất với X. Theo Định lí giới hạn trung tâm ta có

S = X1 +X2 + ...+Xn ≈ N(100.250; 100.2502).

Do đó

P (S ≥ 365.24) = 1− P (S < 8760) = 1− Φ(8760− 25000

2500) = Φ(6, 496) = 1.

22


Hệ quả 1.66. (Định lý giới hạn tích phân Moivre-Laplace) Giả sử Xn là biến ngẫu nhiên có phân

phối nhị thức B(n; p). Đặt

Zn =Xn − np√np(1− p)

.

Khi đó với mọi x ∈ R,

limn→∞

P (Zn < x) = Φ(x).

Nói cách khác, với n đủ lớn ta có B(n; p) ≈ N(np;np(1− p)).

Xấp xỉ trên tốt nhất khi np > 5 và n(1− p) > 5.

Ví dụ 1.67. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ là 0, 7. Cho xạ thủ bắn 100 phát độc

lập vào mục tiêu, tính xác suất có ít nhất 75 phát trúng mục tiêu.

Giải. Gọi X là số phát trúng trong 100 phát đã bắn. Khi đó, X ∼ B(100; 0, 7). Áp dụng hệ quả

trên, X xấp xỉ phân phối chuẩn N(70; 21). Do đó,

P (X ≥ 75) = 1− P (X < 75) = 1− Φ(75− 70√

21) ≈ 0, 14.

Ví dụ 1.68. Có 10000 xe máy mua bảo hiểm của một công ty. Mỗi chủ xe phải nộp phí 100 000

đồng/1 năm và trung bình nhận lại 5 triệu đồng nếu xe máy bị tai nạn giao thông. Qua thống kê

cho biết tỉ lệ xe máy bị tai nạn giao thông trong 1 năm là 0,006. Tính xác suất để:

a) Sau một năm hoạt động công ty bị lỗ.

b) Sau một năm hoạt động công ty lãi ít nhất 800 triệu.

Giải. Gọi X là số xe máy mua bảo hiểm của công ty bị tai nạn trong một năm, khi đó X ∼B(104; 0, 006). Vì np = 60 và np(1 − p) = 59, 64 nên ta có thể xấp xỉ X bởi phân phối chuẩn

N(60; 59, 64).

a) Xác suất sau một năm hoạt động công ty bị lỗ là

P (109 − 5.106X < 0) = P (X > 200) = 1− P (X ≤ 200) = 1− Φ(18, 13) = 0.

b) Xác suất sau một năm hoạt động công ty lãi ít nhất 800 triệu

P (109 − 5.106X ≥ 8.108) = P (X ≤ 40) = Φ(−2, 59) ≈ 0, 005.

1.15 Vectơ ngẫu nhiên 2 chiều

Định nghĩa 1.69. Cho 2 biến ngẫu nhiên X và Y cùng xác định trên không gian xác suất

(Ω;F ;P ). Ánh xạ (X, Y ) : Ω→ R×R được gọi là vectơ ngẫu nhiên 2 chiều.

Ví dụ 1.70. Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm. Gọi X là chiều dài sản phẩm, Y là chiều

rộng của sản phẩm thì ta có một vectơ ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y ).

23

TS. Lê Văn Dũng

1.16 Hàm phân phối xác suất đồng thời

1.16.1 Hàm phân phối xác suất đồng thời

Định nghĩa 1.71. Cho 2 biến ngẫu nhiên X và Y . Hàm số

FX,Y (x, y) = P (X < x, Y < x)

được gọi là hàm phân phối xác suất đồng thời của vectơ ngẫu nhiên (X, Y ).

1.16.2 Bảng phân phối xác suất đồng thời

Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị lần lượt là x1, x2, ..., xm,y1, y2, ..., yn thì bảng chữ nhật sau được gọi là bảng phân phối xác suất đồng thời của vectơ

ngẫu nhiên (X, Y ).

XY

y1 y2 ... yn

x1 p11 p12 ... p1n

x2 p21 p22 ... p2n

... ... ... ... ...xm pm1 pm2 ... pmn

Trong đó pij = P (X = xi, Y = yj).

Chú ý rằng∑m

i=1

∑nj=1 pij = 1. Và từ bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y ) ta cũng tìm

lại được bảng phân phôi xác suất của X và Y là

X x1 x2 ... xmP

∑nj=1 p1j

∑nj=1 p2j ...

∑nj=1 pmj

Y y1 y2 ... ynP

∑mi=1 pi1

∑mi=1 pi2 ...

∑mi=1 pin

Ví dụ 1.72. Gieo đồng thời 1 đồng xu và 1 con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi X là số mặt sấp

xuất hiện của đồng xu, Y là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc. Lập bảng phân phối xác

suất đồng thời của (X, Y ).

Giải. Gọi X là số mặt sấp xuất hiện của đồng xu. X(Ω) = S,N .Gọi Y là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc. Y (Ω) = 1, 2, 3, 4, 5, 6 .P (X = S, Y = 1) =

1

2.1

6=

1

12.

P (X = S, Y = 2) =1

2.1

6=

1

12.

...

P (x = N, Y = 1) =1

12.

...

Bảng phân bố xác suất đồng thời của X và Y là:

XY

1 2 3 4 5 6

S 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12N 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12

24


1.16.3 Hàm mật độ xác suất đồng thời

Cho vectơ ngẫu nhiên (Y ;X) có hàm phân phối xác suất đồng thời F (x, y). Nếu tồn tại hàm

không âm f(x, y) sao cho

FX,Y (x, y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞f(u, v)dudv

thì f(x, y) được gọi là hàm mật độ đồng thời của (X, Y ). Khi đó ta cũng có

f(x, y) =

∂2FX,Y (x,y)

∂x∂y nếu đạo hàm này tồn tại tại (x;y)

0 nếu trái lại.

Định lý 1.73. Giả sử f(x, y) là hàm mật độ đồng thời của (X, Y ), fX(x) và fY (x) lần lượt là

hàm mật độ xác suất của X và Y . Khi đó,

(i)+∞∫−∞

+∞∫−∞

f(x, y)dxdy = 1;

(ii) fX(x) =+∞∫−∞

f(x, y)dy;

(iii) fY (y) =+∞∫−∞

f(x, y)dx

Ví dụ 1.74. Cho vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời

f(x, y) =

ce−x−y nếu x > 0 và y > 0


a) Tìm hằng số c và tìm hàm phân phối xác suất đồng thời FX,Y (x, y).

b) Tìm hàm mật độ xác suất của X và của Y .

c) Tìm xác suất để (X, Y ) nhận giá trị trong miền chữ nhật

(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, 0 < y < 2.

Giải. a) Ta có:∫ +∞−∞

∫ +∞−∞ f(x, y)dxdy = 1⇔ c

∫ +∞0

∫ +∞0

e−x−ydxdy = 1⇔ c = 1.

Vậy f(x, y) =

e−x−y nếu x > 0, y > 0


Với x > 0 và y > 0 ta có

FX,Y (x, y) =∫ x−∞∫ y−∞ f(u, v)dudv =

∫ x0

∫ y0e−u−vdudv = e−x−y − e−x − e−y + 1,

và FX,Y (x, y) = 0 nếu x ≤ 0 hoặc y ≤ 0.

Vậy FX,Y (x, y) =

e−x−y − e−x − e−y + 1 nếu x > 0, y > 0


c) P (1 ≤ x ≤ 2, 0 < y < 2) =∫ 2

1

∫ 2

0e−x−ydxdy = e−4 − e−2 − e−3 + e−1.

25

TS. Lê Văn Dũng

1.17 Phân phối xác suất có điều kiện và kì vọng có điều

kiện

Định nghĩa 1.75. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên.

Hàm phân phối xác suất của X với điều kiện Y = y là hàm số

F (x/y) = limε→0+

P (X < x/y ≤ Y ≤ y + ε).

Kì vọng của X với điều kiện Y = y là

E(X|Y = y) =

∫ +∞

−∞xdF (x/y).

Định lý 1.76. Nếu P (Y = y) > 0 thì

P (X < x/Y = y) =P (X < x, Y = y)

P (Y = y).


F (x/y) = P (X < x/Y = y) = limε→0+

P (X < x/y ≤ Y ≤ y + ε)

= limε→0+

P (X < x, y ≤ Y ≤ y + ε)

P (y ≤ Y ≤ y + ε).

Vì

limε→0+

P (y ≤ Y ≤ y + ε) > 0 = P (Y = y) > 0

và

limε→0+

P (X < x, y ≤ Y ≤ y + ε) > 0 = P (X < x, Y = y)

nên suy ra F (x/y) = P (X < x/Y = y) =P (X < x, Y = y)

P (Y = y).

Định lý 1.77. Cho X và Y là 2 biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất đồng thời

XY

y1 y2 ... yn

x1 p11 p12 ... p1n

x2 p21 p22 ... p2n

... ... ... ... ...xm pm1 pm2 ... pmn

Trong đó pij = P (X = xi, Y = yj). Khi đó

E(X/Y = yj) =1∑mi=1 pij

m∑i=1

xipij .

26


Định lý 1.78. Cho vectơ ngẫu nhiên (X;Y ) và F (x/y) là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên X với điều kiện Y = y. Nếu tồn tại hàm không âm f(x/y) sao cho

F (x/y) =

x∫−∞

f(t/y)dt

thì

E(X/Y = y) =

∫ +∞

−∞f(x/y)dx.

f(x/y) được gọi là hàm mật độ xác suất của X với điều kiện Y = y. Khi đó ta cũng có

F ′(x/y) = f(x/y)

Ví dụ 1.79. Trong một hộp có 5 quả bóng bàn, trong đó có 3 quả chưa sử dụng (mới) và 2 quả

đã sử dụng (cũ). Lần 1 lấy ngẫu nhiên 2 quả ra sử dụng sau đó trả lại hộp. Lần thứ 2 lấy ra 2

quả để sử dụng.Gọi Xi là số bóng mới lấy ra ở lần thứ i (i=1, 2).

a) Tìm hàm phân phối xác suất F (x/X1 = 1) = P (X2 < x/X1 = 1).

a) Tìm hàm phân phối xác suất F (x/X2 = 1) = P (X1 < x/X2 = 1).

Giải. Gọi X1 là số bi mới lấy ra lần 1, X2 là số bi mới lấy ra lần 2.

P (X1 = k) =Ck3C

2−k2

C25

với k = 0, 1, 2.

P (X2 = k/X1 = 0) =Ck3C

2−k2

C25

với k = 0, 1, 2.

P (X2 = k/X1 = 1) =Ck2C

2−k3

C25

với k = 0, 1, 2.

P (X2 = k/X1 = 2) =Ck1C

2−k4

C25

với k = 0, 1, 2.

Ta có bảng phân bố xác suất đồng thời của (X1, X2) sau:

X2

X1 0 1 2

0 0.01 0.06 0.181 0.06 0.36 0.122 0.03 0.18 0

Ta xác định được phân phối biên của X1, X2 là:

X1 0 1 2P 0.10 0.60 0.30

X2 0 1 2P 0.25 0.54 0.21

a) Ta có

P (X2 = 0/X1 = 1) =P (X2 = 0, X1 = 1)

P (X1 = 1)=

0.06

0.6= 0.1.

P (X2 = 1/X1 = 1) =P (X2 = 1, X1 = 1)

P (X1 = 1)=

0.36

0.6= 0.6.

27

TS. Lê Văn Dũng

P (X2 = 2/X1 = 1) =P (X2 = 2, X1 = 1)

P (X1 = 1)=

0.18

0.6= 0.3.

Vì vậy

F (x/X1 = 1) = P (X2 < x/X1 = 1) =P (X2 < x,X1 = 1)

P (X1 = 1)

=

0 nếu x ≤ 0

0.1 nếu 0 < x ≤ 1

0.7 nếu 1 < x ≤ 2

1 nếu x > 2.

b) Ta có

P (X1 = 0/X2 = 1) =P (X1 = 0, X2 = 1)

P (X2 = 1)=

0.06

0.54=

1

9.

P (X1 = 1/X2 = 1) =P (X1 = 1, X2 = 1)

P (X2 = 1)=

0.36

0.54=

2

3.

P (X1 = 2/X2 = 1) =P (X1 = 2, X2 = 1)

P (X2 = 1)=

0.12

0.54=

2

9.

Vì vậy

F (x/X1 = 1) =

0 nếu x ≤ 01

9nếu 0 < x ≤ 1

7

9nếu 1 < x ≤ 2

1 nếu x > 2.

.

Định lý 1.80. Giả sử f(x, y) là hàm mật độ xác suất đồng thời của (X, Y ) thỏa mãn∫ +∞

−∞f(x, y)dx 6= 0.

Khi đó

F (x/y) =

∫ x−∞ f(t, y)dt∫ +∞−∞ f(x, y)dx

.

Chứng minh. Ta có:

P (X < x/y ≤ Y ≤ y + ∆y) =P (X < x, y ≤ Y ≤ ∆y)

P (y ≤ Y ≤ y + ∆y)

=

∫ y+∆y

y

∫ x−∞ f(u, v)dudv∫ y+∆y

yfY (v)dv

.

Áp dụng định lý giá trị trung bình ta có

lim4y→0

1

4y

y+4y∫y

(

x∫−∞

f(u, v)du)dv) =

x∫−∞

f(u, y)du.

lim4y→0

1

4y

∫ y+∆y

y

fY (v)dv = fY (y)

28


Chia cả tử và mẫu cho 4y ta được:

F (x/y) =

∫ x−∞ f(u, y)du

fY (y)=∫ x−∞

f(u, y)du

fY (y)=

∫ x−∞ f(t, y)dt∫ +∞−∞ f(x, y)dx

.

Hệ quả 1.81.

(i) f(x/y) =f(x,y)fY (y)

;

(ii) f(y/x) =f(x/y)fY (y)

fX(x).

Chứng minh.

(i) f(x/y) =d

dxF (x/y) =

f(x, y)

fY (y).

(ii) f(y/x) =d

dyF (y/x) =

f(x, y)

fX(x)=f(x, y).fY (y)

fX(x).fY (y)=f(x/y).fY (y)

fX(x).

Ví dụ 1.82. Cho vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời

f(x, y) =

2e−x−y nếu y > x > 0


Tìm f(y/x), f(x/y).

Giải. Với x > 0 ta có:

fX(x) =

+∞∫−∞

f(x, y)dy =

x∫0

f(x, y)dy +

+∞∫x

f(x, y)dy

= 0 +

+∞∫x

2e−x−ydy = 2e−2x.

Với x ≤ 0 ta có f(x, y) = 0 nên fX(x) = 0.

Vậy fX(x) =

2e−2x nếu x > 0

0 nếu x ≤ 0.

Ta lại có:

fY (y) =

+∞∫−∞

f(x, y)dx =

∫ +∞−∞ f(x, y)dx nếu y > 0

0 nếu y < 0

=

∫ y0

2e−x−ydx nếu y > 0

0 nếu y < 0=

2e−y(1− e−y) nếu y > 0

0 nếu y < 0.

Do đó

f(y/x) =

ex−y nếu y > x > 0


f(x/y) =

e−x

1− e−ynếu y > x > 0


29

TS. Lê Văn Dũng

Định lý 1.83. Nếu Y là biến ngẫu nhiên rời rạc thì

E(X) =∑j

E(X|Y = y)P (Y = yj).

Chứng minh. Đặt

Xj =

X nếu Y = yj0 nếu Y 6= yj .

Khi đó ta có

X =

n∑j=1

Xj

và

E(X/Y = yj) = E(Xj)/P (Y = yj)

suy ra

E(X/Y = y) =∑j

E(Xj) =∑j

E(X/Y = yj)P (Y = yj).

Định lý 1.84. Nếu Y là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ fY (y) thì

E(X) =

∫ ∞−∞

E(X|Y = y)fY (y)dy

Chứng minh. Ta có:

E(X) =∫ +∞−∞ xfX(x)dx =

∫ +∞−∞

∫ +∞−∞ xf(x, y)dxdy =

∫ +∞−∞ dy

∫ +∞−∞ xf(x, y)dx.

Theo định nghĩa ta có:

E(X/Y = y) =∫ +∞−∞ xf(x/y)dx =

∫ +∞−∞

xf(x, y)dx

fY y.

E(X/Y = y).fY (y) =∫ +∞−∞

xf(x, y)

fY (y)fY (y)dx =

∫ +∞−∞ xf(x, y)dx.

Vậy E(X) =∫ +∞−∞ E(X/Y = y).fY (y)dy.

1.18 Hiệp phương sai, hệ số tương quan

Định nghĩa 1.85. Cho 2 biến ngẫu nhiên. Hiệp phương sai của X và Y là một số xác định bởi

công thức

Cov(X, Y ) = E [(X − E(X)(Y − E(Y )))] .

Định lý 1.86.

(i) Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y );

(ii) Cov(aX, bY ) = abCov(X, Y );

(iii) Nếu X và Y độc lập thì Cov(X, Y ) = 0.

30


Chứng minh.

(i) Giả sử f(x, y)là hàm mật độ đồng thời của (X, Y ) ta có

Cov(X, Y ) =

+∞∫−∞

+∞∫−∞

(x− µ)(y − λ)f(x, y)dxdy,

với µ = E(X), λ = E(y).

Suy ra

Cov(X, Y ) =

+∞∫−∞

+∞∫−∞

(x− µ)(y − λ)f(x, y)dxdy

=

+∞∫−∞

+∞∫−∞

xyf(x, y)dxdy

− λ+∞∫−∞

+∞∫−∞

xf(x, y)dxdy − µ+∞∫−∞

+∞∫−∞

yf(x, y)dxdy + µλ

= E(XY )− E(X)E(Y )− E(X)E(Y ) + E(X)E(Y )

= E(XY )− E(X)E(Y ).

(ii) Cov(aX, bY ) = E(aXbY )− E(aX)E(bY ) = ab[E(XY )− E(X)E(Y )] = abCov(X, Y ).

(iii)Nếu X, Y độc lập thì E(XY ) = E(X)E(Y ). Suy ra

Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = 0.

Định lý 1.87.

(i) Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị lần lượt là x1, x2, ..., xm,y1, y2, ..., yn thì

Cov(X, Y ) =

m∑i=1

n∑j=1

xiyjpij − E(X)E(Y ),

trong đó pij = P (X = xi, Y = yj).

(ii) Nếu (X, Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời f(x, y) thì

Cov(X, Y ) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞xyf(x, y)dxdy − E(X)E(Y ).

Chứng minh. Ta có: Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ).

(i) Vì

E(XY ) =

m∑i=1

n∑j=1

xiyjpij

31

TS. Lê Văn Dũng

nên suy ra Cov(X, Y ) =m∑i=1

n∑j=1

xiyjpij − E(X)E(Y ).

(ii) Nếu (X, Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời f(x, y) thì

E(X.Y ) =

+∞∫−∞

+∞∫−∞

xyf(x, y)dxdy.

Suy ra

Cov(X, Y ) =

+∞∫−∞

+∞∫−∞

xyf(x, y)dxdy − E(X)E(Y ).

Định nghĩa 1.88. Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y, kí hiệu là Corr(X, Y ),

được xác định bởi công thức:

Corr(X, Y ) =Cov(X, Y )√

V ar(X)√V ar(Y )

.

Định lý 1.89.

(i) |Corr(X, Y )| ≤ 1;

(ii) Nếu X và Y độc lập thì Corr(X, Y ) = 0;

(iii) Nếu Y = aX + b thì Corr(X, Y ) = ±1.

Chứng minh. (i) |Corr(X, Y )| ≤ 1.

Đặt X ′ = X − EX. Y ′ = Y − EY.∀t ∈ R, ta có: E(tX ′ + Y ′)2 ≥ 0⇔ EX ′2t2 + 2EtX ′Y ′ + EY ′2 ≥ 0⇔E(X − EX)2t2 + 2tE(X − EX)(X − EY ) + E(Y − EY )2 ≥ 0

⇔ V ar(X)t2 + 2tcov(X, Y ) + V ar(Y ) ≥ 0. Đây là tam thức bậc hai theo t, do đó ta có:

4′ = cov2(X, Y )− V ar(X)V ar(Y ) ≤ 0⇔ cov2(X, Y ) ≤ V ar(X)V ar(Y )

⇔ |cov(X, Y )| ≤√V ar(X)

√V ar(Y )⇔ |cov(X, Y )|√

V ar(X)√V ar(Y )

≤ 1.

Vậy |Corr(X, Y )| = |cov(X, Y )|√V ar(X)

√V ar(Y )

≤ 1.

(ii) Nếu X, Y độc lập thì theo Định lý 1.85, ta có cov(X, Y ) = 0, do đó

|Corr(X, Y )| = |cov(X, Y )|√V ar(X)

√V ar(Y )

= 0.

(iii) Y = aX + b⇒ V ar(Y ) = a2V ar(X)⇒ σY = |a|σX .Mặt khác do

cov(aX + b,X) = E[(aX + b)X]− E(aX + b)EX = aEX2 − a(EX)2 = aV ar(X)

nên suy ra

⇒ Corr(aX + b,X) =aV ar(X)

|a|V ar(Y )= ±1.

32


1.19 Phân phối chuẩn 2 chiều

Định nghĩa 1.90. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y có ρ = Corr(X, Y ) ∈ (0; 1). Vectơ ngẫu nhiên

(X, Y ) được gọi là có phân phối chuẩn 2 chiều với tham số (µ1;σ21), (µ1;σ2

1) với σ1 > 0 và σ1 > 0

nếu có hàm mật độ xác suất đồng thời

f(x, y) =1

2πσ1σ2

√1− Corr2

e−Q(x,y)

2 ,

trong đó

Q(x, y) =1

1− ρ2

[(x− µ1

σ1

)2

− 2 Corr

(x− µ1

σ1

)(y − µ2

σ2

)+

(y − µ2

σ2

)2].

Trong trường hợp µ1 = µ2 = 0, σ1 = σ2 = 1 thì phân phối chuẩn 2 chiều (X, Y ) được gọi là

phân phối chuẩn 2 chiều chuẩn tắc.

Định lý 1.91. Nếu (X, Y ) có phân phối chuẩn 2 chiều với tham số (µ1;σ21), (µ1;σ2

1) thì (U, V )

với U = X−µ1

σ1, V = X−µ2

σ2có phân phối chuẩn 2 chiều chuẩn tắc.

BÀI TẬP

. 1.1. Chứng minh nếu A và B là biến cố thì A \B cũng là một biến cố.

. 1.2. Chứng minh nếu A, B ∈ F và A ⊂ B thì

P (B \ A) = P (B)− P (A).

. 1.3. Cho A, B ∈ F . Chứng minh P (ABc) = P (A)− P (AB)

. 1.4. Chứng minh nếu A,B ∈ F và A ⊂ B thì P (A) ≤ P (B).

. 1.5. Cho An, n ≥ 1 ⊂ F . Chứng minh

P (

∞⋃n=1

An) ≤∞∑n=1

P (An).

. 1.6. Cho A,B,C là các biến cố bất kì. Chứng minh

P (A ∪B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)

− P (A ∩B)− P (B ∩ C)− P (A ∩ C)

+ P (A ∩B ∩ C).

. 1.7. Chứng minh

P (A1A2...An) = P (A1).P (A2/A1).P (A3/A1A2)....P (An/A1A2...An−1).

33

TS. Lê Văn Dũng

. 1.8. Cho 3 biến cố A,B,C trong đó P (C) > 0, P (AC) > 0. Chứng minh:

P (AB/C) = P (A/C).P (B/AC).

. 1.9. Cho A ∈ F sao cho P (A) 6= 0. Xác định một hàm tập PA như sau: với mỗi B ∈ F ,PA(B) = P (B/A). Chứng minh PA cũng là một độ đo xác suất trên F .

. 1.10. Cho A,B là hai biến cố độc lập và A ⊂ B. Chứng minh rằng P (A) = 0 hoặc P (B) = 1.

. 1.11. Cho biến cố A và nhóm biến cố E1, E2, ..., En xung khắc đôi một thoả điều kiện

A ⊂ E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En, P (Ei) > 0∀i. Lúc đó, ta cũng có:

P (A) =

n∑k=1

P (Ek)P (A/Ek).

. 1.12. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc. Tính xác suất để :

a) Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con là 7.

b) Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con hơn kém nhau 2.

ĐS : a. 1/6 b. 2/9

. 1.13. Một nhà khách có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ.

Người quản lí chọn 6 người. Tính xác suất để :

a) Cả 6 người đều là nam.

b) Có 4 nam và 2 nữ

c) Có ít nhất 2 nữ.

d) Có ít nhất 1 nữ

ĐS : a. 1/210 b. 3/7 c. 37/42 d.209/210

. 1.14. Một hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen. Chọn ngẫu nhiên 6 quả

cầu. Tìm xác suất để chọn được 3 quả trắng, 2 đỏ và 1 đen.

ĐS : 20/77

. 1.15. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để :

a) Tất cả 10 tấm đều mang số chẵn.

b) Có đúng 5 tấm mang số chia hết cho 3.

ĐS: a. 1/10005 b.C5

10C520

C1030

34


. 1.16. Ở một nước có 50 tỉnh, mỗi tỉnh có 2 đại biểu Quốc hội. Người ta chọn ngẫu nhiên 50

đại biểu trong số 100 đại biểu để thành lập một ủy ban. Tính xác suất để :

a) Trong ủy ban có ít nhất 1 đại biểu của thủ đô.

b) Mỗi tỉnh đều có đúng 1 đại biểu của ủy ban.

ĐS: : a. 0,7525 b. 250/C50100

. 1.17. Viết các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 lên các tấm phiếu, sau đó sắp thứ tự ngẫu nhiên

thành một hàng.

a) Tính xác suất để được một số chẵn.

b) Cũng từ 9 tấm phiếu trên chọn ngẫu nhiên 4 tấm rồi xếp thứ tự thành hàng, tính xác suất

để được 1 số chẵn

ĐS : a. 4/9 b. 4/9

. 1.18. Bộ bài có 52 lá, trong đó có 4 lá Át. Lấy ngẫu nhiên 3 lá. Tính xác suất có:

a) 1 lá Át

b) 2 lá Át

ĐS : a. 0,204 b. 0,013

. 1.19. Một bình có 10 bi, trong đó có 3 bi đỏ, 4 bi xanh, 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 4 viên. Tính

xác suất để có:

a) 2 bi xanh

b) 1 xanh, 1 đỏ, 2 đen.

ĐS: a. 90/210 b. 36/210

. 1.20. Có 15 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm, được bỏ ngẫu nhiên vào 3 cái hộp I, II, III,

mỗi hộp 5 sản phẩm. Tính xác suất:

a) Ở hộp thứ I chỉ có 1 phế phẩm.

b) Các hộp đều có phế phẩm.

c) Các phế phẩm đều ở hộp thứ III.

ĐS: a. 0,495 b. 0,275 c. 0,022

. 1.21. Trong đề cương ôn tập môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết và 30 bài tập. Mỗi đề thi gồm

có 1 câu hỏi lý thuyết và 3 bài tập được lấy ngẫu nhiên trong đề cương. Một học sinh A chỉ học 4

câu lí thuyết và 12 câu bài tập trong đề cương. Khi thi học sinh A chọn ngẫu nhiên 1 đề thi trong

35

TS. Lê Văn Dũng

cấc đề thi được tạo thành từ đề cương. Biết rằng học sinh A chỉ trả lời được câu lí thuyết và bài

tập đã học. Tính xác suất để học sinh A

a) không trả lời được lí thuyết.

b) chỉ trả lời được 2 câu bài tập.

c) đạt yêu cầu, biết rằng muốn đạt yêu cầu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và ít nhất 2

bài tập.

ĐS: a. 0,6 b. 0,176 c. 0,1387

. 1.22. Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất số trên vé

a) Không có chữ số 1.

b) Không có chữ số 2.

c) Không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 2.

. 1.23. Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một cái bàn dài có 5 chỗ ngồi, tính xác suất

a) xếp A và B đầu bàn

b) xếp A và B cạnh nhau

ĐS: a. 0,1 b. 0,4

. 1.24. Một em bé có 5 chữ số đồ chơi tiện bằng gỗ 1, 2, 3, 4, 5. tính xác suất

a) Em bé này nhặt ngẫu nhiên 3 chữ số mà tổng các chữ số cộng lại là số chẵn

b) Em bé nhặt ngẫu nhiên 3 chữ số có thể lập được được 1 số chẵn gồm 3 chữ số.

ĐS: a. 6/10 b. 2/5

. 1.25. Xếp ngẫu nhiên 5 người lên 1 đoàn tàu có 7 toa, tính xác suất để

a) 5 người cùng lên toa đầu

b) 5 người lên cùng toa

c) 5 người lên 5 toa đầu tiên

d) 5 người lên 5 toa khác nhau

e) A và B lên cùng toa đầu

f) A và B lên cùng toa

g) A và B lên cùng toa đầu, không còn ai khác trên toa đầu này

ĐS: a.1/75 b.1/74 c.120/75 d.2520/75 e.1/72 f.1/7 g.63/75

36


. 1.26. Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có

một viên đạn trúng vào A hoặc hai viên đạn trúng vào B hoặc ba viên trúng vào C. Giả sử các

bộ phận A, B, C lần lượt chiếm 15%, 30% và 55% diện tích máy bay. Tính xác suất để máy bay

rơi nếu:

a) Máy bay bị trúng 2 viên đạn.

b) Máy bay bị trúng 3 viên đạn

ĐS: a. 0,3675 b. 0,72775

. 1.27. Trong một bộ bài 52 lá có 4 lá át lấy ngẫu nhiên 3 lá, tính xác suất để có

a) 1 hoặc 2 lá Át

b) Ít nhất một lá Át

ĐS : a. 4800/22100 b. 4804/22100

. 1.28. Một công ty sử dụng hai hình thức quảng cáo là quảng cáo trên đài phát thanh và quảng

cáo trên tivi. Giả sử có 25% khách hàng biết được thông tin quảng cáo qua tivi và 34% khách

hàng biết được thông tin quảng cáo qua đài phát thanh và 10% khách hàng biết được thông tin

quảng cáo qua cả hai hình thức quảng cáo. Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên một khách hàng thì

người đó biết được thông tin quảng cáo của công ty.

ĐS:

. 1.29. Một lớp sinh viên có 50% học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30% học tiếng Đức, 20%

học tiếng Anh và tiếng Pháp, 15% học tiếng Pháp và tiếng Đức, 10% học tiếng Anh và tiếng Đức,

5% học cả ba thứ tiếng Anh, Pháp và Đức. Chọn ngẫu nhiên ra một sinh viên. Tìm xác suất để

a) Sinh viên đó học ít nhất 1 trong 3 ngoại ngữ kể trên.

b) Sinh viên đó chỉ học tiếng Anh và tiếng Đức.

c) Sinh viên đó học tiếng Pháp, biết sinh viên đó học tiếng Anh.

ĐS:

. 1.30. Một công ty đầu tư hai dự án A và B. Xác suất công ty bị thua lỗ dự án A là 0,1, bị thua

lỗ dự án B là 0,2 và thua lỗ cả 2 dự án là 0,05. Tính xác suất công ty có đúng 1 dự án bị thua lỗ.

ĐS: 0,2

. 1.31. Một sinh viên phải thi liên tiếp 2 môn là triết học và toán. Xác suất qua môn triết là 0,6

và qua toán là 0,7. Nếu trước đó đã qua môn triết thì xác suất qua toán là 0,8. Tính các xác suất

a) qua cả hai môn

37

TS. Lê Văn Dũng

b) qua ít nhất 1 môn

c) qua đúng 1 môn

d) qua toán biết rằng đã không qua triết

ĐS: a. 0,48 b. 0,82 c. 0,34 d. 0,55

. 1.32. Một hộp bút có 10 cây bút, trong đó có 7 cây đã sử dụng . Ngày thứ 1 người ta lấy ngẫu

nhiên từ hộp bút 1 cây để sử dụng , cuối ngày trả cây bút vào hộp, ngày thứ 2 và ngày thứ 3 cũng

thực hiện như thế. Tính xác suất :

a) sau ngày thứ 3 trong hộp không còn cây bút mới nào.

b) 3 cây bút lấy ra ở 3 ngày đều là bút đã sử dụng .

c) 2 ngày đầu lấy bút mới , ngày thứ 3 lấy bút đã sử dụng .

. 1.33. Có hai lô hàng. Lô I có 90 chính phẩm và 10 phế phẩm, lô II có 80 chính phẩm và 20 phế

phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 1 sản phẩm. Tính xác suất để

a) Lấy được 1 chính phẩm.

b) Lấy được ít nhất 1 chính phẩm.

ĐS:

. 1.34. Một thiết bị có 2 bộ phận hoạt động độc lập. Cho biết trong thời gian hoạt động xác

suất chỉ 1 bộ phận hỏng là 0,38 và xác suất bộ phận thứ 2 hỏng là 0,8. Tính xác suất bộ phận

thứ nhất bị hỏng trong thời gian hoạt động.

ĐS: 0,7

. 1.35. Ba khẩu súng độc lập bắn vào một mục tiêu, xác suất để 3 khẩu bắn trúng lần lượt bằng

0,7; 0,8 ; 0,5. mỗi khẩu bắn 1 viên, tính xs để

a) một khẩu bắn trúng

b) hai khẩu bắn trúng

c) cả ba khẩu bắn trật

d) ít nhất một khẩu trúng

e) khẩu thứ nhất bắn trúng biết rằng có 2 viên trúng

ĐS : a. 0,22 b. 0,47 c. 0,03 d. 0,97 e. 35/47

38


. 1.36. Một thiết bị gồm 3 cụm chi tiết, mỗi cụm bị hỏng không ảnh hưởng gì đến các cụm khác

và chỉ cần một cụm hỏng là thiết bị ngừng hoạt động. Xác suất để cụm thứ nhất bị hỏng trong

ngày làm việc là 0,1, tương tự cho 2 cụm còn lại là 0,5 ; 0,15. Tính xs để thiết bị không bị ngừng

hoạt động trong ngày

ĐS : 0,3825

. 1.37. Trong một căn phòng điều trị có 3 bệnh nhân bệnh nặng với xác suất cần cấp cứu trong

vòng 1 giờ của các bệnh nhân tương ứng là 0,7; 0,8; 0,9. Tính xác suất trong vòng 1 giờ có ít nhất

1 bệnh nhân không cần cấp cứu.

ĐS: 0,496

. 1.38. Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử có 4 phân xưởng. phân xưởng 1 sản xuất 40%;

phân xưởng 2 sản xuất 30%; phân xưởng 3 sản xuất 20% và phân xưởng 4 sản xuất 10% sản phẩm

của toàn xí nghiệp. Tỉ lệ phế phẩm của các phân xưởng 1, 2, 3, 4 tương ứng là 1%, 2%, 3%, 4%.

Kiểm tra ngẫu nhiên một sản phẩm do nhà máy sản xuất.

a) tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt?

b) cho biết sản phẩm lấy ra kiểm tra là phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm đó do phân

xưởng 1 sản xuất?

ĐS: a. Công thức đầy đủ b. Công thức Bayes

. 1.39. Một dây chuyền lắp ráp nhận các chi tiết từ hai nhà máy khác nhau, tỷ lệ chi tiết do

nhà máy thứ nhất cung cấp là 60%, còn lại của nhà máy thứ 2. Tỷ lệ chính phẩm của nhà máy

thứ nhất là 90% của nhà máy thứ 2 là 85%. Lấy ngẫu nhiên một chi tiết trên dây chuyền và thấy

rằng nó tốt, tìm xác suất để chi tiết đó do nhà máy thứ nhất sản xuất.

ĐS: Công thức Bayes —-

. 1.40. Một cửa hàng máy tính chuyên kinh doanh 3 loại nhãn hiệu là IBM, Dell và Toshiba.

Trong cơ cấu hàng bán, máy IBM chiếm 50%; Dell 30% và còn lại là máy Toshiba. Tất cả máy

bán ra có thời hạn bảo hành là 12 tháng. Kinh nghiệm kinh doanh của chủ cửa hàng cho thấy

10% máy IBM phải sửa chữa trong hạn bảo hành; tỷ lệ sản phẩm cần sửa chữa của hai hiệu còn

lại lần lượt là 20% và 25%.

a) Nếu có khách hàng mua một máy tính, tìm khả năng để máy tính của khách hàng đó phải

đem lại sửa chữa trong hạn bảo hành.

b) Có một khách hàng mua máy tính mới 9 tháng đã phải đem lại vì có trục trặc, tính xác

suất mà máy của Khách này hiệu Toshiba

ĐS: a. Công thức đầy đủ b. Công thức Bayes

39

TS. Lê Văn Dũng

. 1.41. Hai máy cùng sản xuất 1 loại sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của máy I là 3% và của máy II

là 2%. Từ một kho gồm 2/3 sản phẩm của máy I và 1/3 sản phẩm của máy II lấy ngẫu nhiên ra

1 sản phẩm.

a) Tính xác suất để lấy được chính phẩm.

b) Biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy I sản suất.

ĐS: a. 73/75 b.0,75

. 1.42. Tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá ở một vùng là 30%. Biết rằng người bị viêm họng trong

số người nghiện thuốc lá là 60%, còn tỉ lệ người bị viêm họng trong số người không hút thuốc lá

là 40%. Lấy ngẫu nhiên 1 người

a) Biết người đó viêm họng, tính xác suất để người đó nghiện thuốc.

b) Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác suất để người đó nghiện thuốc

ĐS: a. 9/23 b.2/9

. 1.43. Trong 1 trường đại học có 40% sinh viên học tiếng Anh, 30% sinh viên học tiếng Pháp,

trong số sinh viên không học tiếng Anh có 45% sinh viên học tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh

viên, biết sinh viên đó học tiếng Pháp. Tính xác suất để sinh viên đó học cả tiếng Anh.

ĐS: 0,1

. 1.44. Có 3 hộp bi bên ngoài giống hệt nhau. Hộp I có 6 trắng, 1 đen, 2 vàng; hộp II có5 trắng,

2 đen, 3 vàng; hộp III có 4 trắng, 3 đen, 1 vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu

nhiên 4 viên bi.

a) Tính xác suất 4 bi lấy ra có ít nhất 2 màu.

b) Giả sử 4 bi lấy ra cùng màu. Tính xác suất chọn được hộp I.

ĐS: a)0,9476 b) 0,7575

. 1.45. Một thùng có 20 chai, trong đó có 3 chai rượu giả. Trong quá trình vận chuyển bị mất 1

chai không rõ chất lượng. Lấy ngẫu nhiên 1 chai trong 19 chai còn lại.

a) Tính xác suất lấy được chai rượu thật.

b) Giả sử lấy được chai rượu thật. Tính xác suất để lấy tiếp 2 chai nữa được một chai giả và

một chai thật.

ĐS: a. 0,85 b. 16/57

40


. 1.46. Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vị trí A với xác suất 2/3 và ở vị trí B với xác suất

1/3.Có 3 phương án bố trí 4 khẩu pháo bắn máy bay như sau:

Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A , 1 khẩu đặt tại B

Phương án 2: 2 khẩu đặt tại A , 2 khẩu đặt tại B

Phương án 3 : 1 khẩu đặt tại A , 3 khẩu đặt tại B

Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động độc

lập với nhau , hãy chọn phương án tốt nhất.

ĐS: Phương án 2.

. 1.47. Một sinh viên khi tốt nghiệp ra trường muốn vào làm việc ở công ty A phải lần lượt qua

ba đợt sát hạch, xác suất để người đó trượt ở đợt sát hạch 1, 2, 3 lần lượt là 0.4; 0,45; 0,55 và nếu

bị đánh trướt ở đợt sát hạch trước không được dự tiếp đợt sát hạnh tiếp theo và xem như bị loại.

a) Tính xác suất để sinh viên đó không làm việc được ở công ty A.

b) Giả sử sinh viên đó không vào làm việc được ở công ty A ,tính xác suất sinh viên đó bị trượt

ở lần sát hạch thứ 3.

ĐS: a. 0,8515 b. 363/1703

. 1.48. Bắn ba viên đạn độc lập vào 1 mục tiêu. Xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên lần lượt

là 0,7; 0,8; 0,9. Biết rằng nếu chỉ 1 viên trúng hoặc 2 viên trúng thì mục tiêu bị phá hủy với xác

suất lần lượt là 0,4 và 0,6. còn nếu 3 viên trúng thì mục tiêu bị phá hủy . Tìm xác suất để mục

tiêu bị phá hủy.

. 1.49. Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Khả năng bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9.

Tính xác suất

a) Chỉ có 1 người bắn trúng.

b) Có người bắn trúng mục tiêu.

c) Cả hai người bắn trượt.

ĐS:

. 1.50. Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 5%. Tìm xác suất để trong 12 sản phẩm do nhà máy

đó sản xuất ra có

a) 2 phế phẩm.

b) không quá 2 phế phẩm.

ĐS: a. 0,98 b. 0,88

. 1.51. Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 5 cách trả lời, trong đó chỉ có 1 cách trả lời

đúng. Một thí sinh chọn cách trả lời một cách hoàn toàn hú họa. Tìm xác suất để thí sinh đó thi

đỗ, biết rằng để thi đỗ phải trả lời đúng ít nhất 8 câu.

41

TS. Lê Văn Dũng

. 1.52. Bắn liên tiếp 5 viên đạn vào mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi lần bắn là như nhau

và bằng 0,2. Muốn phá hủy mục tiêu phải có ít nhất 3 viên đạn trúng mục tiêu. Tìm xác suất

mục tiêu bị phá hủy.

. 1.53. Một người bắn bia với xác suất bắn trúng là p=0,7

a) Bắn liên tiếp 3 viên, tính xác suất để có ít nhất một lần trúng bia

b) Hỏi phải bắn ít nhất mấy lần để có xác suất ít nhất 1 lần trúng bia lớn hơn hoặc bằng 0,9

ĐS : Công thức Becnuli

. 1.54. Một phân xưởng có 5 máy. Xác suất để trong một ca mỗi máy bị hỏng là 0,1. tìm xác

suất để trong một ca có đúng 2 máy bị hỏng

ĐS : Công thức Becnuli

. 1.55. Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5%, cần phải lấy mẫu cỡ bao nhiêu sao cho xs để bị ít

nhất một phế phẩm không bé hơn 0,95

. 1.56. Tín hiệu thông tin được phát 3 lần với xác suất thu được mỗi lần là 0,4

a) Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đó.

b) Nếu muốn các suất thu được lên đến 0,9 thì phải phát ít nhất bao nhiêu lần.

ĐS:

. 1.57. Cho X và Y là 2 biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω;F , P ). Chứng

minh

a) kX cũng là biến ngẫu nhiên với mọi k ∈ R.

b) |X|α với α > 0 cũng là biến ngẫu nhiên.

c) X ± Y, X.Y, maxX, Y , minX, Y cũng là các biến ngẫu nhiên.

. 1.58. Cho X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω;F , P )

và f : Rn → R là hàm liên tục. Chứng minh f(X1, X2, ..., Xn) cũng là biến ngẫu nhiên.

. 1.59. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối FX(x). Xác định hàm phân phối của biến ngẫu

nhiên Y = aX + b, với a > 0, b ∈ R.

. 1.60. Cho X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với hàm phân phối

tương ứng là F (x). Tìm hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên sau:

a) Yn = MaxX1, X2, ..., Xn.b) Zn = MinX1, X2, ..., Xn.

42


. 1.61. Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm có hàm phân phối xác suất F (x) và E(Xα) <∞với α > 0. Chứng minh

E(Xα) = α

∫ +∞

0

xα−1(1− F (x))dx.

. 1.62. Chứng minh rằng Φ(−x) = 1− Φ(x), ∀x ∈ R.

. 1.63. Cho X ∼ N(µ, σ2). Chứng minh rằng P (µ − 3σ < X < µ + 3σ) = 2Φ(3) − 1 ≈ 0, 9973

(quy tắc 3σ).

. 1.64. Cho X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ EXP (λ).

a) Tìm phân phối của biến ngẫu nhiên Xmin = MinX1, X2, ..., Xn.b) Tìm phân phối của biến ngẫu nhiên Xmax = MaxX1, X2, ..., Xn.

. 1.65. Cho X ∼ EXP (λ) và s, t > 0.

a) Chứng minh rằng: P (X > s+ t/X > s) = P (X > t).

b) Ngược lại, chứng minh rằng nếu X có phân phối liên tục thỏa đẳng thức ở câu a) với mọi

s, t > 0 thì X có phân phối mũ.

. 1.66. Cho X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối Poisson với tham số tương ứng

là λ1 = 4, λ2 = 5.

a) Tính E(X+Y), E(X.Y);

b) Chứng minh X + Y có phân phối Poisson;

c) X.Y có phân phối Poisson hay không?

. 1.67. Một xí nghiệp có hai ô tô vận tải hoạt động. Xác suất trong ngày làm việc các ô tô bị

hỏng tương ứng là 0,1 và 0,2. Gọi X là số ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc.

a) Tìm quy luật phân phối xác suất của X (lập bảng phân phối xác suất).

b) Thiết lập hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị của nó.

. 1.68. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất trong thời gian t các

bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,4; 0,2 và 0,3. Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian t.

a) Tìm quy luật phân phối xác suất của X.

b) Tính xác suất trong thời gian t có không quá 2 bộ phận bị hỏng.

. 1.69. Có hai lô sản phẩm. Lô 1 có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm, lô 2 có 7 chính phẩm và 3

phế phẩm. Từ lô 1 lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ vào lô 2, sau đó từ lô 2 lấy ngẫu nhiên ra 2 sản

phẩm. Tìm quy luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra ở lần 2.

43

TS. Lê Văn Dũng

. 1.70. Xác suất để một người bắn trúng bia là 0,8. Người ấy được phát từng viên đạn để bắn

cho đến khi trúng bia. Gọi X là số viên đạn bắn trượt, tìm quy luật phân phối của X.

. 1.71. Một xạ thủ có 4 viên đạn và 80 nghìn đồng. Xạ thủ đó bắn độc lập từng viên cho tới khi

một viên trúng đích hoặc hết đạn thì dừng lại. Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ là 0,7. Nếu

bắn trúng 1 viên thì được 50 nghìn còn nếu bắn trật 1 viên thì mất 20 nghìn. Gọi X là số tiền có

được của xạ thủ sau khi bắn. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính E(X) và V ar(X). ĐS:

E(X) = 121,093.

. 1.72. Trong một hộp có 5 quả bóng bàn, trong đó có 3 quả chưa sử dụng (mới) và 2 quả đã sử

dụng (cũ). Lần 1 lấy ngẫu nhiên 2 quả ra sử dụng sau đó trả lại hộp. Lần thứ 2 lấy ra 2 quả để

sử dụng.

a) Gọi Xi là số bóng mới lấy ra ở lần thứ i (i=1, 2). Lập bảng phân phối xác suất của các Xi ,

tính E(Xi), Var(Xi).

b) Đặt Z= X1 + X2. Lập bảng phân phối xác suất của Z.

. 1.73. Một người tham gia 1 trò chơi gieo đồng thời 3 đồng tiền cân đối đồng chất. Mỗi đồng

tiền có 2 mặt kí hiệu là S và N. Người đó bỏ ra x đồng cho 1 lần gieo. Nếu kết quả gieo cả 3 mặt

giống nhau thì người đó không thu về đồng nào còn nếu kết quả gieo cả 3 mặt không giống nhau

thì được 3x đồng. Người này có nên thường xuyên tham gia trò chơi này không? Vì sao?

. 1.74. Trong kì thi hết môn học A thầy giáo cho đề cương ôn tập gồm 10 câu lý thuyết và 15

câu bài tập. Thầy giáo cấu tạo đề thi gồm 1 câu lý thuyết và 2 câu bài tập được lấy ngẫu nhiên

trong đề cương. Sinh viên B chỉ học và trả lời được 7 câu lý thuyết và chỉ làm được 10 câu bài

tập trong đề cương. Nếu trả lời đúng câu lý thuyết thì được 4 điểm và làm đúng mỗi câu bài tập

thì được 3 điểm, không có điểm từng phần trong từng câu. Gọi X là số điểm môn học A của sinh

viên B sau khi thi. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính E(X).

ĐS: E(X) = 6,8.

. 1.75. Tuổi thọ của một loại bóng đèn là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với hàm mật độ

như sau

f(x) =

kx2(4− x) nếu x ∈ [0; 4]

0 nếu x 6∈ [0; 4]

a) Tìm k.

b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi.

c) Tìm E(X), V ar(X).

. 1.76. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng

f(x) =

a cosx nếu x ∈ [−π

2;π

2]

0 nếu x 6∈ [−π2

;π

2]

44


a) Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất F(x) của X.

b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (π

4; π).

. 1.77. Cho X có hàm mật độ

f(x) =

x2

9nếu x ∈ [0; 3]

0 nếu x 6∈ [0; 3]

Lấy ngẫu nhiên 3 giá trị của X một cách độc lập. Tính xác suất có ít nhất 1 giá trị của X thuộc

khoảng (0; 2).

. 1.78. Biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất

F (x) = a+1

πarctan

x

2, x ∈ R.

a) Tìm a.

b) Tìm m sao cho P (X>m)=0,25.

. 1.79. Cho X có hàm phân phối xác suất

F (x) =

0 nếu x ≤ 0

a sin 2x nếu 0 < x ≤ π/4

1 nếu x > π/4

a) Tìm a và hàm mật độ của X.

b) Tính E(X)

. 1.80. Trọng lượng (X) của trẻ em tại một vườn trẻ được xem là một biến ngẫu nhiên liên tục

có phân phối chuẩn N(8, 6; 0, 64). Chọn ra một trẻ bất kì,

a) tính xác suất để em bé được chọn ra có trọng lượng từ 8 đến 9,8 kg

b) tính xác suất để em bé được chọn có trọng lượng ít nhất 7,8kg

c) tính xác suất để em bé lấy ra có trọng lượng đúng 8,5kg

. 1.81. Tuổi thọ của một máy điện tử là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 4,2

năm và độ lệch tiêu chuẩn trung bình 1,5 năm. Bán một máy được lãi 140 ngàn đồng song nếu

máy phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi trung bình khi bán một máy là 30 ngàn

thì phải qui định thời gian bảo hành là bao lâu?

. 1.82. Thời gian X (phút) hoàn thành 1 sản phẩm của một công nhân của nhà máy K có phân

phối chuẩn N(µ, σ2) với µ = 5 phút. Biết xác suất một công nhân của nhà máy K hoàn thành 1

sản phẩm trong thời gian ít hơn 5,5 phút là 0,6915.

45

TS. Lê Văn Dũng

a) Tìm phương sai của X.

b) Nhà máy K khoán cho mỗi công nhân phải hoàn thành 25 sản phẩm trong mỗi ca làm việc

2 giờ. Tính xác suất một công nhân hoàn thành 25 sản phẩm với thời gian thấp hơn 2 giờ.

Giả sử thời gian hoàn thành mỗi sản phẩm là độc lập với nhau.

. 1.83. Tuổi thọ của một bóng đèn là biến ngẫu nhiên X có E(X) = 250 giờ và σ(X) = 250 giờ.

a) Một cửa hàng mua 30 bóng đèn để khi hỏng có thể thay thế ngay. Dùng định lí giới hạn

trung tâm để tính: xác suất để cửa hàng duy trì được ánh sáng liên tục trong ít nhất 8750

giờ (≈ 1 năm).

b) Dùng định lí giới hạn trung tâm để tính: chủ cửa hàng phải mua bao nhiêu bóng đèn để duy

trì ánh sáng liên tục 8750 giờ với xác suất 0,9772

. 1.84. Một nhà nghỉ có 1000 người. Nhà ăn phục vụ ăn trưa trong hai đợt liên tiếp. Mỗi nguời

chọn ăn trưa một trong hai đợt này với xác suất như nhau. Dùng định lý giới hạn trung tâm tính:

nhà ăn cần tối thiểu bao nhiêu chỗ để đảm bảo đủ chỗ cho khách vào ăn trưa với xác suất lớn

hơn hay bằng 0, 99?

. 1.85. Số trẻ em sinh ra trong 1 tuần ở làng A là 1 đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối

xác suất

X 0 1 2 3P 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1

Số người chết trong 1 tuần ở làng đó là biến ngẫu nhiên Y có bảng phân phối xác suất

X 0 1 2 3 4P 0, 1 0, 3 0, 4 0, 15 0, 05

Giả sử X và Y độc lập.

a) Tìm bảng phân phối xác suất của vectơ (X, Y ).

b) Tính P (X > Y ).

. 1.86. Cho (X, Y ) có bảng phân phối xác suất

X \ Y −1 1−1 1/6 1/40 1/6 1/81 1/6 1/8

Tính E(X), E(Y ), Cov(X, Y ), Corr(X, Y ).

. 1.87. Cho (X, Y ) có hàm mật độ

f(x, y) =

cx nếu 0 < y < x < 1


a) Tìm hằng số c.

b) Tìm các hàm mật độ của X và Y .

46



f(x, y) =

1

6π nếu x2

9 + y2

4 < 1


Tìm các hàm mật độ của X và Y .


f(x, y) =c

(1 + x2)(1 + y2).


b) Tìm hàm phân phối xác suất đồng thời của (X, Y ).

c) Tìm xác suất (X, Y ) nhận giá trị trong miền hình chữ nhật có các đỉnh A(1; 1), B(√

3; 1),

C(1; 0) và D(√

3; 0).


f(x, y) =

1x nếu 0 ≤ y < x ≤ 1


a) Tìm f(y/x).

b) Tìm P (X2 + Y 2 ≤ 1).


f(x, y) =

c(1− xy3) nếu |x| ≤ 1, |y| ≤ 1



b) Tìm Corr(X, Y ).

. 1.92. Cho (X, Y ) có hàm mật độ xác suất

f(x, y) =

e−y nếu y > x > 0


Tính E(X/Y = y), E(Y/X = x).

47

TS. Lê Văn Dũng

BẢNG I: CÁC GIÁ TRỊ CỦA HÀM PHÂN PHỐI CHUẨN TẮC 2

21

( )2

x t

x e dtπ

−

−∞

Φ = ∫

Hàm tìm ( )xΦ trong Excel: ( ,0,1,1) )( NORMDIST xxΦ =

x 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

48

xac suat va qua trinh ngau nhien new

Documents